LIBRO 3º ESO MATEMÁTICAS.qxp - MATEMÁTICAS DEL COLEGIO

Una función en matemáticas, es un término que
se usa para indicar la relación entre dos o más
magnitudes.
El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716) fue el primero que utilizó el término
función en 1694 para referirse a varios aspectos
de una curva e introdujo conceptos como
constante, variable y parámetro.
Leibniz.
Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue el
primero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos.
En esta unidad vas a aprender a:
1. Reconocer una relación funcional.
2. Determinar el dominio y recorrido de una función.
3. Representar gráficamente funciones.
4. Determinar las características principales de una función: intervalos de
crecimiento, máximos y mínimos, continuidad, simetría, periodicidad,
signo...
5. Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas de una función
y representar gráficamente funciones afines y cuadráticas a partir de
ellos.
6. Determinar las características de las funciones lineales, afines, de
proporcionalidad inversa, cuadráticas y de las rectas paralelas a los
ejes.
7. Realizar análisis completos de funciones (dominio, recorrido,
continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, simetría, periodicidad,
signo).
8. Conocer las funciones definidas a trozos.
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES
103
PARA EMPEZAR
Representa los siguientes puntos sobre un eje de coordenadas.
1.
(0,1), (1,0), (3,4), (-3,-4), (2,-5), (-2,5)
Representa gráficamente las siguientes relaciones:
2.
a) y = 3x
b) y = 2x - 4
c) y = 1/x
d) y = 2x2
e) x = 3
f) y = 2
PARA RECORDAR
1. RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES. TABLAS, GRÁFICAS Y FÓRMULAS.
La relación entre dos magnitudes se puede expresar y representar de diferentes formas. Veamos un ejemplo:
El parking de unos grandes almacenes cobra 1 € por aparcar el coche y por cada
media hora de estancia 0’5 € más. Para que el cliente pueda calcular fácilmente
el precio que debe abonar al retirar el vehículo, han recogido los precios en la
siguiente tabla:
Tiempo (horas)
0
0’5
1
1’5
2
2’5
3
Precio (€)
1
1’5
2
2’5
3
3’5
4
Sin embargo para representar la relación que hay entre el tiempo que permanece un vehículo en el parking
y el precio que cuesta, también podían haber decidido expresarlo mediante una gráfica.
Precio (€)
4
Recuerda que para representar gráficamente la relación que hay entre dos
magnitudes, se toman dos rectas numéricas perpendiculares (ejes de coordenadas) que se cortan en un punto llamado origen, y dividen al plano en cuatro
cuadrantes.
3’5
3
2’5
2
1’5
1
0’5
El eje horizontal se llama de abscisas y le asignaremos la letra X. El eje vertical,
eje de ordenadas y se designa por la letra Y.
Y
0’5 1 1’5 2 2’5 3
Horas
Para situar un punto en el plano necesitamos un par ordenado de
números a los que llamaremos coordenadas del punto. La primera
coordenada corresponde al eje de abscisas y la llamaremos abscisa
del punto. La segunda coordenada corresponde al eje de las
ordenadas y la llamaremos ordenada del punto.
2º cuadrante
1er cuadrante
X
3er cuadrante
4º cuadrante
Muchas de las relaciones que hay entre magnitudes, en la práctica, vienen dadas por fórmulas (expresiones
algebricas):
Área de un cuadrado = l2
(el área depende de lo que mide el lado)
Espacio recorrido = v · t
(el espacio que recorremos depende de la velocidad que llevamos y del
tiempo que estemos desplazándonos)
Y en otras ocasiones a partir de una tabla y de una gráfica somos capaces de obtener una expresión
algebraica que nos de la relación entre dos magnitudes.
¿Serías capaz de obtener la expresión que relaciona las dos magnitudes que hemos representado en la tabla
y en la gráfica del ejemplo del parking?
104 FUNCIONES
COLEGIO VIZCAYA
2. FUNCIONES.
Sabemos que el lado de un cuadrado y su área son dos magnitudes que están
relacionadas y que el área del cuadrado depende del valor del lado, es decir, el
área está en función (depende) del valor del lado y además esta relación es la
siguiente:
A = l2
Ahora construimos una tabla de valores y representamos gráficamente los datos de esa tabla.
Y
Lado (l)
0
1
2
3
4
5
Área (l2)
0
1
4
9
16
25
Generalmente, te encontrarás que las dos magnitudes que están relacionadas se
llaman X e Y. X representa a la magnitud independiente (en nuestro caso, el lado
del cuadrado), e Y representa a la magnitud dependiente (en nuestro caso, el
área depende del lado).
X
Entonces, la relación anterior podemos encontrarla escrita de la siguiente forma:
y = x2
(x = lado, y = área)
A la relación que existe entre dos variables se le llama función por lo que en ocasiones te encontrarás que
la expresión anterior está escrita de la siguiente forma:
y = f(x) = x2 (el área está en función del lado según la expresión x2)
Observa también, que para un único valor de x sólo hay un único valor de y, es decir, para un valor del lado
sólo existe un valor posible del área.
Función: es la relación que existe entre dos magnitudes que generalmente llamaremos x e y, de manera que a cada valor de la primera (x) le corresponde un único valor
de la segunda (y). Se designa f(x).
A la magnitud que se fija previamente y puede tomar cualquier valor, se le llama
variable independiente y se le designa con la letra x.
A la magnitud cuyo valor depende de la variable independiente y se calcula a partir
de ella se le llama variable dependiente y se designa con la letra y.
La representación de los pares de valores relacionados forma la gráfica de la función.
PARA PRACTICAR
3.
De las siguientes gráficas, ¿cuáles representan una función?
4.
Observa la gráfica y da los valores de f(3), f(-1), f(4) y f(0).
Si en la representación gráfica
de una función queremos señalar que las variables x e y no
toman valores desde el 0 si no
que toman valores desde por
ejemplo 10 y 15 lo indicaremos
mediante ejes de coordenadas
quebrados:
19
18
17
16
15
10 11 12 13 14 15 16 17
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES
105
PARA APRENDER
3. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.
Una compañía eléctrica aplica la siguiente tarifa: 3 € por el contacto de una
determinada potencia y además por cada kilovatio/hora consumido 0’25 €.
a) ¿Quién es la variable independiente? Escribe cómo se denota.
b) ¿Y la variable dependiente?
c) Expresa mediante una ecuación la relación que existe entre
ambas variables.
d) Representa gráficamente la función.
e) La variable independiente, ¿puede tomar cualquier valor?
Indícalos.
f) ¿Y la variable dependiente?
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente x, para los que existe un valor de la variable dependiente y. Se denota
Dom(f).
El recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la
variable dependiente y. Se designa Im(f).
g) ¿Quiénes son el dominio y recorrido en el ejemplo anterior?
PARA PRACTICAR
5.
Calcula el dominio y recorrido de las siguientes funciones.
a)
b)
c)
La forma más cómoda para indicar
que puntos pertenecen al dominio o
al recorrido de una función es
utilizar intervalos.
Y
X
-1
El dominio va
desde -oo hasta
+oo y el recorrido
desde -1 (incluido) hasta +oo.
Entonces utilizando intervalos:
Dom (f) = (-oo,+oo)
Im (f) = [-1,+oo)
106 FUNCIONES
COLEGIO VIZCAYA
¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones? En caso afirmativo señala su
dominio y recorrido.
b)
c)
d)
e)
f)
6.
a)
PARA APRENDER
4. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN.
Continuidad y discontinuidad.
En las siguientes gráficas hemos representado el número de personas que viajan en un autobús a lo largo
de un día y la temperatura que hay dentro del autobús en ese mismo día.
Nº personas
ºC
25
50
20
15
10
5
40
30
20
10
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
hora
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
hora
a) ¿Alguna de las gráficas anteriores tiene saltos? Indica las horas en las que son los saltos.
b) Si dibujamos las gráficas anteriores, ¿cuál se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel?
Una función es continua cuando su gráfica no presenta ‘saltos’. Por tanto su gráfica
se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario se dice que la función
es discontinua. Los puntos en los que la gráfica de la función efectúa un salto se
llaman puntos de discontinuidad.
Nota
También se puede decir que una función es continua en un tramo,
aunque tenga discontinuidades en otros lugares.
En ocasiones, también puede que te encuentres gráficas que son
discontinuas como la representada al margen.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2
COLEGIO VIZCAYA
3 4 5 6
Nº exámenes
FUNCIONES
107
PARA PRACTICAR
7.
Halla el dominio y recorrido de las siguientes funciones. ¿Son continuas? En caso negativo
indica los puntos de discontinuidad.
a)
d)
g)
b)
e)
h)
c)
f)
i)
PARA APRENDER
Crecimiento y decrecimiento.
En la siguiente gráfica se muestra el perfil de una etapa de montaña de una competición ciclista:
Altura (m)
2000
1500
1000
500
25
50
75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350
Distancia (km)
a) ¿A qué altura están la salida y la meta?
b) ¿Cuánto mide la cumbre más alta que tienen que ascender?
c) ¿En qué intervalos tienen que subir los corredores?
d) ¿Y bajar?
e) ¿En que tramos los corredores se desplazan horizontalmente?
Los tramos en los que ciclista tiene que ascender, se dice que la función es creciente, en los que baja,
decreciente, y en los que no sube ni baja, creciente y decreciente a la vez.
108 FUNCIONES
COLEGIO VIZCAYA
Una función f(x) es creciente, cuando al aumentar la variable independiente x,
aumenta la variable dependiente y; es decreciente cuando al aumentar x, disminuye
y; y es creciente y decreciente cuando al aumentar x, la y no varia.
Y
Y
Y
X
creciente
X
X
creciente y decreciente
decreciente
Máximos y mínimos.
Hemos representado sobre una gráfica las temperaturas que se han registrado en una estación climática
durante 24 horas.
a) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?
b) ¿En qué intervalos es creciente?
c) ¿En cuáles decreciente?
d) ¿Cuál es la temperatura máxima que se
registró?
B
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
D
A
C
F
G
I
H
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
E
e) ¿Y la mínima?
f)
Hay algunos momentos del día en los que la temperatura toma valores muy altos o muy bajos.
Indícalos.
Al punto B se le llama máximo absoluto de la función y al punto E mínimo absoluto ya que representan el
valor más alto y más pequeño que alcanza la temperatura.
Los puntos A, C y D se llaman máximos relativos de la función, y los puntos F, G, H e I mínimos relativos
de la función, porque aunque no son los valores mayores y menores de la temperatura, en ciertos
momentos del día sí lo son.
Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) absoluto en un punto, si las imágenes que
toma la función son todas menores (mayores) que la imagen de él.
Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto, si las imágenes
próximas a la imagen de él son menores (mayores) que él.
PARA PRACTICAR
8.
Una función viene dada por la siguiente gráfica:
a) Indica su dominio y recorrido.
b) Estudia dónde es creciente.
c) Indica dónde es decreciente.
d) ¿Tiene algún máximo? ¿De qué tipo?
e) ¿Y algún mínimo?
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES
109
9.
Dadas las siguientes funciones, estudia su dominio y recorrido, intervalos de crecimiento y
decrecimiento y sus máximos y mínimos. ¿Son continuas?
a)
b)
c)
PARA APRENDER
Simetrías.
Considera las funciones f(x) = x2 y f(x) = x3.
a) Completa las siguientes tablas de valores:
x
-3
-2
-1
0
y = x2
1
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = x3
b) Dibuja las gráficas de ambas funciones en papel cuadriculado. Dobla la gráfica de f(x) = x2 por el eje OY.
¿Qué sucede?
c) ¿Y si doblas la gráfica de f(x) = x3? Prueba a doblarla a su vez por el eje OX.
d) Observa ahora las dos tablas que has completado antes. ¿Cómo son los valores de la y para los
valores positivos de la x con respecto a los valores negativos?
En la primera función se cumple que los valores que toma para x positivos y x negativos son iguales
(f(-x) = f(x)). En este caso se le dice que la función es simétrica respecto del eje de ordenadas OY o par.
Sin embargo, en la segunda gráfica, los valores que toma para x positivos y x negativos son opuestos
(f(-x) = -f(x)). Si esto sucede se dice que la función es simétrica respecto del origen O o impar.
Una función f(x) es simétrica respecto del eje de ordenadas OY (simétrica par)
cuando para todo x del dominio f(-x) = f(x), y es simétrica respecto del origen O
(simetría impar) si f(-x) = -f(x).
Ejemplo:
Estudia gráfica y analíticamente si las gráficas siguientes son simétricas:
a) f(x) = - 2x2
f(-x) = - 2(-x)2
= - 2x2
Simétrica respecto de OY
110 FUNCIONES
b) f(x) = x3 - x
f(-x) = (-x)3 - (-x)
= -x3 + x
Simétrica respecto de O
c) f(x) = x2 + x + 1
f(-x) = (-x)2 + (-x) + 1
= x2 - x + 1
No es simétrica
COLEGIO VIZCAYA
Periodicidad.
Hacemos deslizar una ficha con forma circular sobre una recta y dibujamos la trayectoria que sigue el punto
superior de la ficha. Observa la gráfica que hemos obtenido:
La gráfica se repite cada 3 cm. Las funciones
que tienen este comportamiento se llaman
periódicas y al intervalo en el que se repiten
periodo. En nuestro caso tenemos una
función periódica de periodo 3.
3 cm
Una función f(x) es periódica cuando los valores que toma se repiten cada cierto
intervalo fijo, que se llama periodo (siempre se considera el periodo mínimo).
Signo de una función.
El termómetro de un observatorio meteorológico ha registrado los siguientes datos:
a) ¿En qué intervalos la temperatura ha estado
por encima de los 0 ºC?
ºC
8
6
4
2
b) ¿Y por debajo?
4
-2
8
12
16
20
24
Horas
Una función f(x) es positiva en un punto a si f(a) > 0 (queda por encima del eje X), y
es negativa si f(a) < 0 (queda por debajo del eje X).
PARA PRACTICAR
10.
11.
Completa estas gráficas para que sean simétricas:
a) Respecto del eje de ordenadas.
b) Respecto del origen.
1)
3)
2)
Estudia la simetría de las siguientes funciones sin representarlas gráficamente.
a) y = - x + 1 b) y = 3x2
12.
4)
c) y = - 2x3
d) y = x2 + 1 e) y = 2x4 - x2
Estudia la siguiente gráfica.
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES
111
PARA APRENDER
Puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Los puntos de corte de una función con los ejes, son puntos en los que la gráfica
de la función corta a los ejes de coordenadas. Y se calculan de la siguiente forma:
Para que corte al eje OY
Para que corte al eje OX
x tiene que ser 0 (x = 0)
y tiene que ser 0 (y = 0)
Ejemplo:
Calcula los puntos de corte de la función f(x) = x2 - 1 con los ejes de coordenadas.
Corte con OY (x = 0): y = 0 - 1 = - 1
(0, - 1) es el punto de corte.
Corte con OX (y = 0): x2 - 1 = 0; x2 = 1; x = ±1
(-1,0)
(1,0) y (-1,0) son los puntos de corte.
(1,0)
(0,-1)
PARA PRACTICAR
13.
Halla los puntos de corte de la función y = x2 - 5x + 6 con los ejes de coordenadas.
14.
Haz un estudio completo de las siguientes funciones:
a)
b)
112 FUNCIONES
COLEGIO VIZCAYA
PARA RECORDAR
5. PROPIEDADES DE ALGUNAS FUNCIONES.
En el siguiente cuadro encontrarás un resumen de algunas funciones que conoces hasta ahora con las
características más importantes de cada una de ellas.
FUNCIÓN
Función de
proporcionalidad
directa
FORMA
ANALÍTICA
y = mx
(función lineal)
Función afín
PROPIEDADES
GRÁFICA
EJEMPLO
· x e y son directamente
proporcionales.
· m es la constante de
proporcionalidad y se
llama pendiente de la
recta (inclinación).
· Si m>0 es creciente.
· Si m<0 es decreciente.
Recta que
pasa por el
punto (0,0).
y = 2x
· m es la pendiente.
· n es el valor de la
ordenada para x = 0.
Recta que
NO pasa
por el punto
(0,0).
y = 2x + 3
· x e y son inversamente
proporcionales.
Hipérbola.
y = 1/x
· Si a>0 la parábola está
abierta hacia arriba.
· Si a<0 está abierta hacia
abajo.
· El vértice de la parábola
tiene abscisa:
Parábola.
y = x2 + 4x + 3
y = mx + n
(n ≠ 0 )
Función de
proporcionalidad
inversa
Función
cuadrática
y=
k
x
y = ax2 + bx + c
(a ≠ 0 )
x=
−b
2a
· Función creciente y
decreciente.
Al eje OX
Recta
paralela
a OX.
y=3
3
y=k
0
Rectas paralelas
· NO es función.
Al eje OY
Recta
paralela
a OY.
x=-2
x=k
-2
COLEGIO VIZCAYA
0
FUNCIONES
113
PARA PRACTICAR
15.
Comprueba que en la función y = x2 - 4x + 4 el punto de corte con el eje X es x = -b/2a.
16.
Dada la función y = x2 - 6x + 8:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
17.
En una compañía eléctrica, la cuota de abono bimensual es de 15 euros y, además, por cada
kilovatio/hora consumido hay que abonar 5 céntimos de euro más.
a)
b)
c)
d)
e)
18.
¿Qué tipo de función es?
¿Cómo es su gráfica?
¿Hacía dónde está orientada?
Calcula los puntos de corte con los ejes y el vértice de la parábola.
Represéntala gráficamente utilizando los puntos obtenidos en el apartado anterior.
Estudia su gráfica (dominio, recorrido, continuidad, crecimiento, máximos, mínimos...).
Forma la tabla de valores que relaciona la potencia consumida y el importe a abonar.
Representa gráficamente los valores de la tabla.
Escribe la función asociada a esta relación.
Si una familia consumió 250 kilovatios/hora, ¿cuál será el importe de su factura?
¿Cuántos kilovatios/hora consumió otra familia si pagó 65’15 €?
Se sabe que la distancia, en metros recorrida por un peatón a velocidad constante es proporcional a la duración del trayecto en segundos. Un peatón ha recorrido 12 metros en 7 segundos.
a) Escribe la función asociada a esta situación.
b) Representa gráficamente dicha función.
19.
Representa las siguientes funciones:
a) y = - x b) y = 2x c) y = x + 1 d) y = 3x - 2 e) y = 0 f) y = 4 g) x = 0 h) x = 2
20.
Escribe la ecuación de proporcionalidad directa que:
a) Pasa por el punto (2,3).
b) Tiene pendiente -2.
c) Pasa por el punto (-3,4).
21.
Halla la pendiente de cada una de las funciones siguientes:
a)
b)
22.
Indica, sin representarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes:
a) y = 7x
b) y = -3x
c) y = 4x
d) y = -6x
23.
Indica si las rectas y = 3x + 2 e y = 6x + 4 son paralelas o secantes.
24.
Razona cuáles de las siguientes rectas son paralelas:
a) y = 5x + 2
25.
b) y = -5x - 3
d) y = -3x - 3
¿Cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas?
a) y = 4x - 2 b) y = 4 - 2x
26.
c) y = 5x + 12
c) y = 2 - 4x
d) y = x + 2
e) y = 2x + 4 f) y = 4
d) y = -x2
e) y = -2x2
Representa sobre un mismo gráfico:
a) y = x2
114 FUNCIONES
b) y = 2x2
c) y =
1 2
x
2
f) y = -
1 2
x
2
COLEGIO VIZCAYA
27.
Representa sobre un mismo gráfico:
a) y = x2
28.
b) y = (x - 2)2
c) y = (x + 1)2
Representa sobre un mismo gráfico:
a) y = x2
30.
c) y = x2 - 2
Representa sobre un mismo gráfico:
a) y = x2
29.
b) y = x2 + 1
b) y = (x- 2)2 + 1
c) y = (x + 1)2 - 2
Representa sobre un mismo gráfico:
a) y =
4
4
,y=−
x
x
b) y =
3
3
, y = +2
x
x
c) y =
1
1
1
1
, y = + 1, y = − 1, y = − 4
x
x
x
x
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES 115
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
CÓMO CONSTRUIR UNA PARÁBOLA
Una de las funciones que hemos estudiado en esta unidad es la función cuadrática cuya representación
gráfica es la parábola. Dibujarla y construirla no siempre es fácil, pero aquí te mostramos varios métodos en
los que únicamente se necesita regla y compás.
Uno de las formas más curiosos para dibujar una parábola es el conocido como el método del sastre, usado
por estos profesionales tradicionalmente para cortar telas en forma de curva.
Para ello se dibujan dos semirrectas que se corten en un punto y se marcan divisiones iguales en cada una
de ellas. Luego se numeran las marcas empezando en ambos lados por el vértice. Por último une los
puntos cuyos valores sumen un número fijo determinado.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
11
2
1 2
3 4
5 6
7 8
9 1
0 11
12
Otro método para construir parábolas, es utilizar una importante propiedad de las parábolas:
“Para cualquier punto de la parábola, la distancia al foco (F) es siempre igual a la distancia de la
recta directriz(d)”
d
F
Si cambias el foco de sitio se obtienen parábolas distintas.
116 FUNCIONES
COLEGIO VIZCAYA
Pero no acaban aquí las curiosidades matemáticas sobre esta gráfica. La parábola está incluida, junto a otras
curvas (elipse e hipérbola), dentro de un grupo que recive el nombre de cónicas. Este nombre es debido a
que se obtienen cortando un cono, mediante planos, de una determinada forma. En concreto, la parábola se
obtiene cortando un cono con un plano paralelo a una de sus generatrices.
Las parábolas en nuestro entorno.
La característica principal en la reflexión de una onda, sea de sonido o de luz en una superficie parabólica
(superficie generada al girar la parábola sobre su eje de simetría), es que todos los rayos que parten del foco
salen paralelos al eje de la parábola; y viceversa, los rayos que inciden paralelos al eje convergen en el foco.
Hay aplicaciones muy importantes de esta propiedad como son las antenas receptoras de las señales de
radio y televisión, procedentes de los satélites de comunicación que concentran las señales más débiles en
el foco. Los telescopio reflectantes, también se construyen con espejos parabólicos. Otra consecuencia de
esta propiedad es que los faros de los coches sean paraboloides.
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES 117
PARA ENTRENAR
1. La función que hace corresponder a cada radio de una circunferencia la longitud de la misma, ¿es
continua o discontinua?
2. Dibuja la gráfica de una función que tenga puntos de discontinuidad en x = -2, x = 2 y x = 5. Escribe su
expresión algebraica.
3. Haz un estudio completo de las siguientes gráficas de funciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Representa las siguientes funciones:
a) y = -1/2 x
b) y = 5x
c) y = 1/5 x
5. Representa las siguientes funciones:
1
a) y = - x + 6
b) y = - 2x + 5
2
d) y = -1/5 x
e) y = -5x
c) y = 5x - 2
d) y =
f) y = 1/2 x
1
x-1
3
6. Halla la ecuación de las siguientes rectas:
a) Tiene pendiente - 1 y ordenada en el origen 4.
b) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4,-5).
c) Pasa por los puntos (-4,7) y (3,9).
7. Averigua si los puntos (0,2), (1,-1) y (-1,5) están alineados.
8. En la siguiente gráfica hemos representado el movimiento de los cestos de una noria en función del
tiempo que la noria gira y la distancia al suelo de uno de los cestos. altura (m)
a) Realiza un estudio completo de la gráfica.
b) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?
c) ¿Cuál será la altura al cabo de 14 minutos?
No es necesario continuar la gráfica.
minutos
9. ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones?
a)
b)
c)
d)
10. Representa las rectas:
a) 2x + 5y = 7
b) x - 2y = 4
c) 2x = 12
d) y = 4 −
3
(x + 7 )
5
11. En la función y = mx + n, ¿cómo debe ser m para que la función sea decreciente?
12. Indica, sin dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles paralelas.
a) y = 3x - 2
b) y = - 3x + 2
c) 3x - y + 5 = 0
d) 2y = 3x - 2
13. Dadas las funciones y = x2 e y = - x2, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos
donde hay máximos y minimos.
14. Estudia la simetría de las siguientes funciones sin representarlas:
a) y = x2 + 8
118 FUNCIONES
b) y = x3 - 5
c) y = x4 - x2 + 1
d) y = x3 - x - 3
COLEGIO VIZCAYA
15. Haz un estudio completo de las gráficas siguientes:
a)
b)
d)
c)
e)
f)
16. Representa las funciones siguientes calculando los puntos de corte con los ejes y el vértice.
a) y = x2 - 6x
b) y = - x2 + 2x + 3
c) y = x2 + 4x + 3
17. En la gráfica aparece representada la gráfica de la función y =
4
.
x
4
4
a) ¿Cómo se puede construir a partir de ella la gráfica de la función
b) ¿Y la de
4
+2 .
x
4
−3 ?
x
18. Estudia las siguientes gráficas de funciones:
a)
b)
c)
19. Relaciona las siguientes rectas con sus gráficas y halla su ecuación.
a) Tiene pendiente -3/4 y ordenada en el origen 0.
b) Pasa por el punto (2,1) y tiene pendiente 4/5.
c) Pasa por los puntos (-2,0) y (0,-3).
20. A partir de la gráfica, halla la ecuación. Fíjate en la pendiente y en la ordenada en el origen.
a)
b)
c)
21. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1) y es paralela a la recta y = 6x + 9.
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES 119
22. Dada la recta de ecuación y = 3x + 3:
a) Escribe las ecuaciones de dos rectas que sean paralelas a ella.
b) Escribe las ecuaciones de dos rectas que no sean paralelas a la dada.
23. Representa las siguientes funciones:
a) y = -3
b) y = 1/3
c) y = -12/5
24. Representa las siguientes rectas:
a) x = -6
b) x = 2/3
c) x = -11/4
25. Escribe todo lo que deduzcas de la siguiente gráfica de una función.
26. Relaciona cada gráfica con su expresión analítica:
a)
b)
2) y = x3
1) y = x + 1
c)
3) y = x2
27. Representa gráficamente:
a) y = x
e) y = 2x
i) y = -x
m) y = -2x
b) y = 5/2x
f) y = 2/5x
j) y = -5/2x
n) y = -2/5x
c) y = -2x - 4
g) y = 9 - 3x
k) y = 4x
o) y = -2
d) y = 0
h) y = 3x - 2
l) y = 2/3x - 5
p) y = -2x - 6
28. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)
b)
c)
d)
La recta x = 4 es paralela al eje de abscisas.
La recta x - 3 = 0 es paralela al eje de ordenadas.
La recta y = -2 es paralela al eje de abscisas.
Las rectas y = 2x - 1 e y = x - 1 son paralelas.
29. Representa gráficamente las siguientes funciones dadas a trozos:
si x ≤ 3
⎧x − 1
y=⎨
2
si x > 3
⎩
30. ¿Cuál es el dominio de esta función?
a)
y=
120 FUNCIONES
⎧3
b) y = ⎨
⎩4 − x
si x <1
si x ≥1
x
COLEGIO VIZCAYA
31. Estudia la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = - x2 + 1
c) y = - 3x2
e) y = 2x2 - 2
b) y = - x2 - 1
d) y = - 3x2 + 2
f)
y = x2 - 4x + 1
32. Dada la función f(x) que asocia a cada número real su doble:
a) Escribe la expresión de la función.
b) Calcula f(1), f(3) y f(2’5).
c) Indica cuál es su dominio y recorrido.
33. Andoni estuvo enfermo durante tres días y se tomó la temperatura cuatro veces al día como se
muestra en el gráfico.
40
a)
b)
c)
d)
e)
¿Tiene sentido unir los puntos?
¿Qué día y a qué hora tuvo la temperatura máxima?
¿Y la mínima?
¿En qué intervalos la fiebre crecía?
¿Y en cuáles decrecía?
39
38
37
36
35
6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24
Lunes
Martes
Miércoles
34. Halla la recta que tiene por pendiente 3 y pasa por el punto (3,7).
35. Halla la recta que pasa por los puntos (0,1) y (1,4). Indica su pendiente.
36. Halla la recta cuya pendiente es -3 y cuya ordenada en el origen vale 2.
37. Dibuja utilizando los puntos de corte y calculando el vértice de la función y = 2x2 - 8x + 6.
38. ¿Cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba?
a) y = 6 - 5x + x2
b) y = 7 + 3x - 4x2
c) y = x + x2
d) y = 9x - x2
39. ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
a) y = 3x + 2
b) y = 2x + 3
c) y = 2x - 1
d) y = 3x
e) y = 3x + 9
40. Halla el valor de m y n para que las rectas de ecuaciones y = 2x + n e y = mx + 4 sean paralelas y la
primera pase por el punto (3,5).
41. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:
a)
b)
42. ¿Cuál es el dominio y recorrido de estas funciones?
a)
b)
43. Estudia la gráfica:
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES 121
44. Estudia gráfica y analíticamente la simetría de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
y=
y = x 4 - 2x 2
y=
x2 + 1
x
1
x2 + 1
y = x3 + x2
45. En la siguiente gráfica se ha representado el volumen que ocupa el agua cuando varia la temperatura de la misma.
Volumen
2
4
6
8
10
12
14
ºC
a) ¿En que intervalo crece el volumen? ¿Y en cuál decrece?
b) ¿A qué temperatura el volumen del agua es mínimo?
c) ¿Para qué temperaturas alcanza el mismo volumen?
46. De las siguientes gráficas, ¿cuáles representan una función?
a)
b)
c)
47. Analiza las siguientes gráficas de funciones:
a)
c)
b)
122 FUNCIONES
d)
d)
e)
f)
COLEGIO VIZCAYA
PARA APRENDER MÁS
1. Analiza las siguientes funciones:
a)
b)
2. ¿Cuál es el dominio y recorrido de las siguientes funciones? ¿Son continuas?
a)
c)
e)
b)
d)
3. Representa gráficamente las siguientes funciones dadas a trozos:
a)
⎧x + 3
y=⎨
⎩x − 1
⎧−x + 3
b) y = ⎨
⎩x + 2
si x < 0
si x ≥ 0
4. Analiza las siguientes funciones:
a)
c)
b)
d)
si x <1
si x ≥1
e)
f)
5. Halla la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación y = - 2x + 6 en cada uno de los siguientes
casos:
a) Que tenga ordenada en el origen igual a 7.
b) Que pase por el origen de coordenadas.
c) Que pase por el punto (-2,-5).
COLEGIO VIZCAYA
FUNCIONES 123
6. Analiza las siguientes funciones:
a)
b)
c)
7. Representa utilizando los puntos de corte con los ejes:
a) y = x2 - 2x - 8
b) y = - x2 - 2x + 3
c) y = 2x2 - 8x + 6
d) y = - x2 + 4x + 4
8. ¿Cuál es el periodo de esta función?
9. Halla las ecuaciones de las rectas que, pasando por el punto (2,3) son paralelas a los ejes de coordenadas.
10. Escribe la ecuación de la recta en cada uno de los siguientes casos:
a)
b)
c)
d)
Pasa
Pasa
Pasa
Pasa
por
por
por
por
(5,-2) y tiene pendiente 4.
(3,0) y tiene pendiente -1/3.
(-2,1) y tiene pendiente 3/4.
(0,0) y tiene pendiente 1.
11. Escribe la ecuación de esta recta:
12. Sandra ha dibujado un gráfico en el que representa la distancia de su casa al colegio.
Km
Minutos
Explica lo que deduces de la gráfica.
13. Dibuja la parábola cuya función es f(x) = 1/6 x2 e indica sus características.
14. Representa utilizando los puntos de corte:
a) y = x2 - 6x + 5
b) y = x2 - 9x
124 FUNCIONES
c) y = x2 - 8x + 16
d) y = x2 + 6x + 9
e) y = x2 + 4x + 3
f) y = 3 - 4x - 4x2
g) y = x2 - 2x - 3
h) y = 21 - 10x + x2
COLEGIO VIZCAYA
15. Escribe las ecuaciones de las rectas cuyas gráficas son:
a)
b)
16. Estudia la gráfica siguiente:
17. Representa gráficamente las siguientes funciones:
⎧x − 3
a) y = ⎨
⎩ 2x + 1
si x > 3
si x ≤ 4
⎧x + 3
b) y = ⎨
⎩ 2x − 1
si x > 0
si x ≤ 0
⎧ 2x − 1 si x > -1
c) y = ⎨
⎩ −3x + 1 si x ≤ -1
18. Escribe la ecuación de las otras dos rectas a partir de la dada.
y=-x-1
19. Representa y estudia las siguientes funciones:
a) y = - 3x2 + 5
d) y = x2 - 2x - 8
g) y = x2 - 3
b) y + x2 = - 4x - 2
e) y = (x + 3)2
h) y = (x - 5)2
c) y = (x - 4)2 + 16
f)
y = -(x - 3)2 + 2
20. Asocia cada una de estas gráficas con la función correspondiente:
a)
b)
c)
1) y = 2x2
2) y = - 2x2 + 3
3) y = 3(x - 1)2
i)
y = 2(x + 4)2
d)
4) y = x2 + 2x + 4
21. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a) y = 2x
COLEGIO VIZCAYA
b) y = x3
c) y =
1
x2
d) y =
1
x − 16
2
FUNCIONES 125
22. Representa gráficamente:
si x <1
⎧x + 2
⎧ 2x − 3 si x > 1
a) y = ⎨
b) y = ⎨
si x ≥ 1
⎩ −2x + 4
⎩3x + 1 si x ≤ 1
23. Representa las siguientes funciones indicando si son funciones afines o lineales:
a) y = x
d) y = x + 2
g) y = - 3x
j)
b) y = - 3x + 3
e) y = 6x - 1
h) y = - 5x
k) y = 3x - 3
c) y = - 4x + 1
f)
i)
l)
y = - 5x + 2
y = - 4x
y = 2x - 1
y = 3x + 5
24. Representa las siguientes funciones cuadráticas representando los puntos de corte con los ejes de
coordenadas y el vértice de cada parábola:
a) y = 3x2 - x - 2
c) y = x2 - 6x + 5
e) y = x2 - 5x + 6
b) y = 2x2 - 32
d) y = x2 + 4x + 3
f)
y = - x2 - 2x - 1
25. Dada la siguiente función indica todo lo que puedas decir de ella:
26. La función de la parábola superior es
1 2
x . ¿Cuál es la función determinada por la parábola inferior?
2
27. Escribe la ecuación de las siguientes rectas:
a)
b)
c)
28. Dibuja una función que cumpla:
a)
b)
c)
d)
Es creciente en (oo,2).
Es discontinua en x = 2.
Pasa por (3,0).
Tiene un máximo absoluto en x = 5.
126 FUNCIONES
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