solución analítica de mecanismos usando grupos de assur.

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Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005. UTP. ISSN 0122-1701
SOLUCIÓN ANALÍTICA DE MECANISMOS USANDO GRUPOS DE ASSUR.
RESUMEN
Se presentan soluciones analíticas para el grupo primario R y el grupo de Assur
de clase II RRR, usando notación polar compacta y defiendo la inversión
geometrica para llegar a una solución lineal, las soluciones analíticas son
codificadas como funciones de MatLab y validadas mediante el análisis de un
mecanismo por técnicas gráficas.
LEONARDO DE J. MESA P.
Ingeniero Mecánico
Profesor Catedrático
Estudiante Maestría Sistemas
Automáticos de Producción
Universidad Tecnológica de Pereira
leomesa@gmail.com
PALABRAS CLAVES: Cinemática, mecanismos, grupos de Assur.
ABSTRACT
It presents analytical solutions for primary group G and Assur’s group of class II
RRR, using compact polar notation and defining the geometric inversion to
obtain a linear solution, analytical solutions are codified as MatLab functions
and validated using a mechanism analysis by a graphic technique.
KEYWORDS: Kinematics, mechanisms, Assur’s groups.
1.
SEBASTIÁN DURANGO I.
Ingeniero Mecánico
Docente Universidad Autónoma
de Manizales.
Estudiante Maestría Sistemas
Automáticos de Producción
Universidad Tecnológica de Pereira
sebasracer@gmail.com
INTRODUCCIÓN
De acuerdo a Hinkle [6] la cinemática de máquinas se
define como el estudio del movimiento relativo entre las
partes de una máquina. Existen muchos enfoques
posibles para el análisis cinemático de maquinas y
mecanismos, se cuenta con métodos gráficos,
algebraicos, vectoriales y matriciales, como se puede ver
en Erdman y Sandor [5], Norton [8], Shigley [9], Mabie
[7] y Calle, Calderón y Durango [4]. Las técnicas para el
análisis cinemático presentadas en la anterior literatura
adolecen de generalidad requiriéndose de su aplicación
concreta sobre cada mecanismo particular. En el caso de
mecanismos complejos es deseable un método general
que permita resolver el análisis cinemático de una forma
clara y simple. Una solución a este problema fue
planteada en 1914 por el científico L. V. Assur, quien
realizo el estudio de los mecanismos desde su estructura.
Baranov [1] y Calle y colaboradores [2] presentan
resúmenes del estudio de Assur sobre la estructura y el
análisis cinemático de mecanismos planos.
Es posible entonces usar diferentes herramientas para
obtener expresiones analíticas que resuelvan la
cinemática de los grupos primarios y grupos de Assur y a
partir de estas soluciones resolver la cinemática de
cualquier mecanismo plano a partir de su estructura.
Se exploro la solución del grupo primario R y del grupo
de Assur clase II RRR mediante representación vectorial.
La manipulación de las expresiones vectoriales obtenidas
se resolvió usando notación polar compacta, facilitándose
el análisis de la velocidad y de la aceleración para el
mecanismo, toda vez que los procesos de diferenciación
respecto al tiempo se reducen a diferenciar funciones
exponenciales.
Para la solución del grupo de Assur clase II RRR, se
definió de antemano la inversión geométrica, valiéndose
de un vector adicional entre los pares libres marcados
como A y B en la Figura 2 y una variable discreta que
toma uno de dos valores posibles de acuerdo a la
configuración definida. Esta técnica fue usada por
Erdman y Sandor [5] para el análisis del mecanismo
plano de cuatro barras, y su principal ventaja es que
conduce a una solución única para la posición a
diferencia de las soluciones dobles propuestas por Calle y
colaboradores [2].
Las expresiones analíticas obtenidas se programaron
como funciones de MatLab1 y se usaron para resolver la
cinemática de un mecanismo de cuatro barras con
estructura según Assur, I R → II RRR. La validación de
las soluciones se resolvió mediante técnicas gráficas
asistidas por computador para la posición, velocidad y
aceleración.
2.
La solución del grupo primario R consistirá en resolver la
posición, velocidad y aceleración del punto
correspondiente al par libre, marcado como B en la
Figura 1. Para la posición se tiene:
rB = f (rA , θ 2 , l AB )
rB = rA + rBA
rB = l OA ⋅ e
1
Fecha de recepción: 31 Enero de 2005
Fecha de aceptación: 01 Abril de 2005
GRUPO PRIMARIO R.
iθ1
(1)
+ l BA ⋅ e
iθ 2
MatLab es una marca registrada de MathWorks Inc.
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También interesa resolver la posición, velocidad y
aceleración de puntos particulares como los centros de
masa, representados mediante el punto E en la Figura 1.
a B = f (rA , θ 2 , l AE , ω 2 , α 2 ) ; α 2 =
aB =
dω 2
dt
dv B
dt
(6)
a B = −ω 22 ⋅ l AB ⋅ e iθ 2 + α 2 ⋅ l AB ⋅ e iθ 2
Imag
E
B
Análogamente para el punto E, la aceleración será:
rEA
rE
rBA
a E = f (rA , θ 2 , l AE , δ , ω 2 , α 2 ) ; α 2 =
delta
teta2
rB
rA
aE =
dv E
dt
(7)
a E = −ω 22 ⋅ l EA ⋅ e i (θ 2 +δ ) + α 2 ⋅ l AB ⋅ e i (θ 2 +δ )
A
Real
teta1
3.
Figura 1. Grupo primario R.
GRUPO DE ASSUR CLASE II RRR.
Imag
Para la posición del punto E, se tiene:
rE = f (rA , θ 2 , l AE , δ )
rB = rA + rEA
C
(2)
rB = l OA ⋅ e iθ1 + l AE ⋅ e i (θ 2 +δ )
A 1
Para las velocidades de los puntos B y E se diferencian
las expresiones (1) y (2) respecto al tiempo:
dθ
v B = f (rA , θ 2 , l AB , ω 2 ) ; con ω 2 = 2
dt
drB drA drBA
vB =
=
+
dt
dt
dt
v B = ω 2 i ⋅ l BA ⋅ e iθ 2
v E = ω 2 i ⋅ l EA ⋅ e i (θ 2 +δ )
Ahora, para el análisis de la aceleración del punto B:
rC
2 r2
r5 PSI
B
rB
Real
Figura 2. Grupo de Assur clase II RRR.
(4)
Para el grupo de Assur clase II RRR, es posible
ensamblar la díada en una de dos inversiones
geométricas; para determinar la inversión se usará la
variable discreta µ que tomara uno de dos valores: µ = 1 o
µ = -1, según la inversión: para una rotación horaria de r5
a r2, µ = -1, como se muestra en la Figura 2
correspondiente a la primera inversión geométrica. Ahora
para la segunda inversión geometrica se tendría una
rotación antihoraria de r5 a r2 y µ = +1.
(5)
Sea ψ el valor absoluto del ángulo entre r5 y r2 con 0 ≤ ψ
≤ π. El ángulo con signo entre r5 y r2 será µψ.
Análogamente para la velocidad del punto E, se tiene:
drA
=0
dt
rA
r1
(3)
drA
Como
= 0 , entonces la velocidad del punto B, será:
dt
v E = f (rA , θ 2 , l AE , ω 2 , δ )
dr
dr
dr
v E = E = A + EA ;
dt
dt
dt
dω 2
dt
Convención:
• Los ángulos se miden positivos con el eje X+ en
sentido antihorario.
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Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, se
resuelve la posición que consiste en determinar
(θ 1 , θ 2 , rc ) = f (rA , rB , µ , l AC , l AB ) , donde:
r3 = l AE ⋅ e i (θ1 +δ E )
l AC = r1 ;
Ahora, para el punto F del eslabón 2, se tiene:
l AB = r2 ;
rF = f (rB , θ 2 , δ F , l BF )
r5 = rA − rB
(8)
⎛ r 2 + r52 − r12
ψ = arccos⎜ 2
⎜
2r2 r5
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
θ 2 = arg(r5 ) + µψ
(9)
por lo tanto :
iθ 2
(13)
(14)
Se determina el vector r4, fijo respecto a r2:
r4 = l BF ⋅ e i (θ 2 +δ F )
Ahora es posible determinar la posición y orientación del
eslabón 2:
r2 = l CB e
rE = rA + r3
rF = rB + r4
(15)
3.2. Grupo de Assur clase II RRR, solución de la
velocidad. La solución de la velocidad para el grupo de
Assur clase II RRR, consiste en determinar:
(ω1 , ω 2 , v c ) = f (r1 , r2 , rA , rB , v A , v B )
(16)
Resuelta la posición del eslabón 2, se puede determinar r1
Considerando el lazo que representa la díada se tiene:
r1 = r2 + rB − rA
r1 + rA − r2 − rB = 0
(10)
θ 1 = arg(r1 )
(17)
Se diferencia la expresión (17) respecto al tiempo:
Se resuelve entonces la posición del punto C:
rC = rA + r1
(11)
3.1. Grupo de Assur clase II RRR, solución para un
punto cualquiera en la díada. Una vez determinada la
solución general para la díada, resulta directa la solución
particular de cualquier punto sobre ella.
d
(r1 + rA − r2 − rB ) = 0
dt
d
d
d
d
(rA ) + (r1 ⋅ e iθ1 ) − (r2 ⋅ e iθ 2 ) − (rB ) = 0 (18)
dt
dt
dt
dt
v A + ω1i ⋅ r1 ⋅ e iθ1 − ω 2 i ⋅ r2 ⋅ e iθ 2 − v B = 0
ω1i ⋅ r1 ⋅ e iθ1 − ω 2 i ⋅ r2 ⋅ e iθ 2 = v B − v A
Desarrollando (18) de acuerdo a la identidad de Euler y
separando las partes real e imaginaria se tiene:
Imag
E
r3 deltaE
A
r1
1 rC
rA
C
2 r2
deltaF
r4
F
B
rB
Real
Figura 3. Grupo de Assur clase II RRR con puntos particulares.
Teniendo como entradas rA , rB , δ E , δ F , θ 1 y θ 2 , para el
punto E del eslabón 1, se busca:
rE = f (rA , θ 1 , δ E , l AE )
(12)
Se calcula el vector r3, fijo con respecto a. r1:
G
G
real : − ω 1 r1 sin θ 1 + ω 2 r2 sin θ 2 = real(v B − v A )
G
G
imag. : −ω1 r1 cos θ 1 + ω 2 r2 cos θ 2 = img(v B − v A )
(19)
(20)
Las expresiones (19) y (20), constituyen un sistema de
ecuaciones lineales para ω1 y ω2, que tiene solución:
ω1 =
ω2 =
G
G
G
G
− sin θ 2 ⋅ img(v B − v A ) − real(v B − v A ) ⋅ cos θ 2
sin(θ 1 − θ 2 ) ⋅ r1
(21)
G
G
G
G
− cos θ 1 ⋅ real(v B − v A ) − img(v B − v A ) ⋅ sin θ 1
(22)
sin(θ 1 − θ 2 ) ⋅ r2
Ahora resulta directa la determinación de vC:
rC = rB + r2
d
d
(rC ) = (rB + r2 )
dt
dt
v C = v B + ω 2 i ⋅ r2
(23)
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3.3. Grupo de Assur clase II RRR, solución de la
velocidad para un punto cualquiera en la díada. Se
considera resuelta la posición del punto E y las
velocidades en la díada. De la expresión (13), se tiene:
rE = rA + r3
rE = rA e
iθ A
+ r3 e
i (θ1 +δ E )
α1 =
(24)
; r3 = l AE
α2 =
⎛ − ω 12 r1 cos(θ 1 − θ 2 ) − sin θ 2 ⋅ img(a B − a A ) ⎞
⎜
⎟
⎜ + ω 2 r − cos θ ⋅ real(a − a )
⎟
2 2
2
B
A
⎝
⎠
sin(θ 1 − θ 2 ) ⋅ r1
⎛ ω 22 r2 cos(θ 1 − θ 2 ) − cos θ 1 ⋅ real(a B − a A ) ⎞
⎜
⎟
⎜ − sin θ ⋅ img(a − a ) − ω 2 r
⎟
B
A
1
1 1
⎝
⎠
sin(θ 1 − θ 2 ) ⋅ r2
(31)
(32)
La solución de la velocidad consistirá en determinar
v E = f (θ 1 , δ E , r3 , ω1 , v A ) , entonces diferenciando la
expresión (24) con respecto al tiempo, se llega a :
Ahora es posible resolver la aceleración del punto C,
retomando la expresión 23:
v Ε = v A + ω 1i ⋅ r3 e i (θ1 +δ E )
v C = v B + ω 2 i ⋅ r2
(25)
De igual forma, para el punto F, de la expresión (15)
Diferenciando respecto al tiempo
rF = rB + r4
rF = rB e iθ B + r4 e i (θ 2 +δ F )
vF =
(23)
v C = v B + ω 2 i ⋅ r2 e iθ 2
(26)
d
rF = v B + ω 2 i ⋅ r4 e i (θ 2 +δ F )
dt
a C = a B − ω 22 r2 e iθ 2 + α 2 i ⋅ r2 e iθ 2
K
K
a C = a B − ω 22 r2 + iα 2 ⋅ r2
(33)
donde :
3.4. Grupo de Assur clase II RRR, solución de la
aceleración. La solución de la aceleración para un grupo
de segunda clase consistirá en determinar:
ai =
dθ
dω i
dv i
; ωi = i ; αi =
dt
dt
dt
Se consideran resueltas la posición y la velocidad. A
partir de (18) se resuelve la aceleración:
3.5. Grupo de Assur clase II RRR, solución de la
aceleración para un punto cualquiera en la díada. Se
consideran resueltas la posición y la velocidad del punto
E y las aceleraciones angulares para los eslabones.
Retomando (25) y diferenciando, se tiene:
ω 1i ⋅ r1 ⋅ e iθ1 − ω 2 i ⋅ r2 ⋅ e iθ 2 = v B − v A
v E = v A + ω1i ⋅ r3 e i (θ1 +δ E )
(α 1 , α 2 , a C ) = f (r1 , r2 , rA , rB , v A , v B , ω1 , ω 2 , a A , a B )(27)
(18)
a E = a A − ω12 r3 ⋅ e i (θ1 +δ E ) + iα 1 r3 ⋅ e i (θ1 +δ E )
Diferenciando respecto al tiempo:
con
α 1i ⋅ r1e iθ1 − ω12 r1e iθ1 − α 2 i ⋅ r2 e iθ 2 + ω 22 r2 e iθ 2 = a B − a A
donde :
(28)
r3 = l AE
Análogamente, a partir de (26), para F se tiene:
v F = v B + ω 2 i ⋅ r4 e i (θ 2 +δ F )
dθ
dω i
dv
; ai = i
ωi = i ; αi =
dt
dt
dt
(34)
a F = a B − ω 22 r4 ⋅ e i (θ 2 +δ F ) + iα 2 r4 ⋅ e i (θ 2 +δ F )
(35)
Separando la parte real y la parte imaginaria de la
expresión (28), de acuerdo a la identidad de Euler:
real :
− α 1 r1 sin θ 1 − ω 12 r1
= real(a B − a A );
4.
cos θ 1 + α 2 r2 sin θ 2 + ω 22 r2
cos θ 2 =
(29)
imaginaria :
α 1 r1 cos θ 1 − ω12 r1 sin θ 1 + α 2 r2 cos θ 2 + ω 22 r2 sin θ 2 =
= img(a B − a A );
(30)
Las expresiones (29) y (30), forman un sistema de
ecuaciones lineales para α1 y α2 que tiene solución:
PROGRAMACIÓN
VALIDACIONES.
EN
MATLAB
Y
Las soluciones de la posición velocidad y aceleración del
grupo primario R y del grupo de Assur clase II RRR se
codificaron como funciones de MatLab. Dichas
funciones operan sobre arreglos de vectores y permiten el
análisis de múltiples posiciones para un mecanismo dado.
Para validar las soluciones obtenidas se resolvió la
cinemática de un mecanismo de cuatro barras que tiene
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una estructura según Azur IR→IIRRR. Los parámetros
geométricos y cinemáticos están de acuerdo a la notación
de la Figura 4 y están descritos por la siguiente
expresión:
θ1 = 0°
Orientación del eslabón fijo
θ 2 = 30°
Orientación del eslabón de entrada
ω 3 = −5,9910 rad/s, ω 4 = −3,9917 rad/s,
α 3 = 26,0800 rad/s 2 , α 4 = 53,3306 rad/s 2 ,
l O2 A = 2 cm; l AB = 7 cm; l BO4 = 9 cm; l O2O4 = 6 cm (36)
l AP = 6 cm; δ3 = π
6
Reemplazando los valores de las expresiones (36) y (38),
con µ = -1 en las funciones codificadas en MatLab se
llega a:
θ 3 = 88,8372°, θ 4 = 117,2861°,
rad
(40)
rP = 6,3629 cm ∠ 100,5214°,
v P = 40,7790 cm/s ∠ 58,2007°,
a P = 418,5556 cm/s 2 ∠ − 119,5481°
ω 2 = 10 rad s ; α 2 = 0 rad 2
s
4.3 Validaciones. Las validaciones a las soluciones
analíticas por grupos de Assur se realizaron mediante la
técnica gráfica de los planos de velocidad y aceleración.
Imag
B
0 1 2
cm
P
3 4
Figura 4. Mecanismo cuatro barras.
4.1 Solución del grupo primario. En primer lugar se
resuelve la cinemática del grupo primario, formado por el
eslabón 2 y su unión al bastidor. La solución consiste en
resolver la posición, velocidad y aceleración del punto A,
según las expresiones (1), (4) y (6):
(rA , v A , a A ) =
(
f θ 2 , l O2 A , ω 2 , α 2
)
(37)
88,84º
2
117,29º
A
o2
Real
o4
Figura 5. Solución gráfica de la posición.
Imponiendo un marco de coordenadas en O2 y
reemplazando los valores de la expresión (36), en las
funciones codificadas en MatLab se obtiene:
La solución de la posición para la configuración ‘abierta’
del mecanismo se presenta en la Figura 5 de donde se
pueden tomar asistidos por computador los datos:
rA = 2 cm ∠ 30°
θ 3 = 88,84°,
θ 4 = 117,29°
v A = 20 cm/s∠ 120°
(38)
a A = 200 cm/s 2 ∠ − 150°
4.2 Solución del grupo clase II RRR. Una vez resuelto
el grupo primario, se alimenta su solución como entrada
para la solución del grupo de Assur clase II RRR, esto es
resolver la posición, velocidad y aceleración de los
puntos B y P, así como la orientación, velocidad y
aceleración angular de los eslabones 3 y 4, según las
expresiones (8), (9), (10), (11), (13), (21), (22), (23),
(25), (31), (32), (33) y (34):
(rB , v B , a B ,θ 3 ,θ 4 , ω 3 , ω 4 , α 3 , α 4 , rP , v P , a P ) =
(
= f θ 2 , l O2 A , ω 2 , α 2 , θ1 , l O2 A , l AB , l BO4 , l O2O4 , µ
) (39)
(41)
Con la técnica de los planos de velocidad es posible
resolver las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3
y las velocidades de los puntos B y P, Figura 6.
ω 3 = −5,99 rad/s,
ω 4 = −3,99 rad/s,
v A = 20 cm/s ∠120°,
(42)
v P = 40,778 cm/s ∠ 58,201°,
v B = 35,925 cm/s ∠ 27,286°
Para resolver el problema de las aceleraciones se uso la
técnica de los planos de aceleraciones, representada en la
¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., de
donde se puede medir asistido por computador y usando
Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005. UTP
126
un factor de escala y las relaciones cinemáticas
adecuadas:
α 3 = 26,09 rad/s 2 ,
α 4 = 53,33 rad/s 2 ,
El MatLab resulta es una herramienta adecuada para
codificar las soluciones analíticas desarrolladas,
permitiendo el análisis de múltiples posiciones en el
rango propuesto del movimiento del mecanismo y con
exactitud apropiada.
a B = 500,9 cm/s 2 ∠ − 136,08°
Es posible desarrollar programas CAE para análisis de
mecanismos con fines académicos y comerciales con los
recursos de que dispone el medio universitario regional.
Quedando validadas las soluciones analíticas para la
posición, la velocidad y la aceleración del grupo primario
R y el grupo estructural o grupo de Assur clase II RRR.
Se espera poder aplicar esta técnica a otros grupos de
Assur y desarrollar un programa para el análisis de
mecanismos planos de acuerdo a lo expuesto.
a P = 418,6 cm/s 2 ∠ − 119,6°,
0 5 10
cm/s
6.
P
[1] BARANOV, G. G. Curso de la Teoría de
Mecanismos y Máquinas, Segunda edición, 524
paginas, MIR, Moscú, 1985.
40.78
A
[2] CALLE, Gabriel; DIAZ, Alexander y QUINTERO,
Héctor F. Análisis Cinemático a partir del Análisis
Estructural
según
Assur.
V
Congreso
Iberoamericano de Ing. Mecánica, Mérida, 2001.
B
58.21°
27.29°
polo,o2,o4
35.92
Figura 6. Plano de velocidades para el ejemplo de validación.
0 50 100
cm/s.s
polo,02,04
500.65
A
n1
418.6
B
P
BIBLIOGRAFIA
n2
[3] CALLE, Gabriel; QUINTERO, Héctor. F. y
ROMERO Carlos. A. Mejoramiento Estructural de
Mecanismos, Revista Scientia et Technica No. 9,
Pereira, 1999.
[4] CALLE, Gabriel, CALDERON, Marco T y
DURANGO, Sebastián. Análisis Cinemàtico de
Cadenas Cerradas usando Técnicas para el Análisis
de Robots. Memorias del Congreso Nacional de la
ACA, Ibagué, 2004.
[5] ERDMAN, Arthur G. y SANDOR, George N.
Diseño de Mecanismos: Análisis y Síntesis, Tercera
edición, 645 paginas, Pearson, México, 1998.
[6] HINKLE, Rolland T. Kinematics of Machines, 231
páginas, Prentice Hall. New York, 1953.
Figura 7. Plano de aceleraciones para el ejemplo de validación.
[7]
5.
CONCLUSIONES.
La combinación del análisis estructural de mecanismos
según Assur y el enfoque propuesto por Erdman y Sandor
[5] para el análisis cinemático de mecanismos usando
números complejos y definiendo la inversión cinemática
resulto en una técnica general para el análisis de
mecanismos planos con ventajas considerables para su
codificación en computador.
MABIE, Hamilton. Mecanismos y Dinámica de
Maquinaria, Tercera edición, 632 paginas, Limusa,
México, 2001.
[8] NORTON, Robert L.
Diseño de Maquinaria,
Segunda edición, McGraw - Hill, México, 1995
[9] SHIGLEY, Joseph E. y UICKER, John J. Teoría de
Maquinas y Mecanismos, McGraw - Hill, México,
1988.