T.P.03.-2007

ESTABILIDAD II
CAPITULO III – ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES
GUIA TRABAJOS PRACTICOS
AÑO 2007
T.P. N°3.1:
Una placa rectangular de acero, como la de la figura, se encuentra sometida a tensiones normales
uniformes solamente en las direcciones x e y. Con instrumentos de laboratorio se midieron las
deformaciones en las direcciones de las tensiones (x y y). Se pide determinar en forma analítica el
valor de la deformación faltante (z) y la deformación específica volumétrica para los datos que se
consignan.
Datos:
x = 500  10 – 6
y = 100  10 - 6
 = 0,30
E = 2  10 6 kg/cm2
Como:  x  0
Estado plano o
doble de tensiones
y  0
z  0
1
( x     y )
E
1
 ( y     x )
E
1
       x   y
E
1
Se puede establecer:  x 
y
z
De (1):  x  E   x     y
(2):  y  E   y     x

2

3
x  E   x    E   y  2  x
x 
E
1   2    x     y 
E
1   2    y     x 
Análogamente:  y 
Reemplazando valores:
x 
y 
2  10 6 Kg
1  0,30 cm
2
2
500  10 6  0,30  100  10 6   1165 kg cm 2
2
100  10 6  0,3  500  10 6   550 kg cm 2
2  10 6 Kg
1  0,30 cm
2
Reemplazando en (3):
z  
0,30 cm 2
6
1165  550
Kg
2
  z  257  10  6
2  10 Kg
cm
Deformación especifica en la dirección z ( z < 0 => contracción).
La deformación específica volumétrica es:
 v   x   y   z  500  100  257   10  6   v   343  10  6 (v > 0  aumento de volumen)
1
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AÑO 2007
T.P.N°3.2:
De una sección específica de un elemento estructural sometido a un estado de cargas, se extrae para su
análisis un prisma elemental en el que se pone en evidencia el estado tensional a que está sujeto (ver
figura).
Para dicho estado se pide: determinar en forma analítica y gráfica  y  para  = 45°, las tensiones
principales y las direcciones de los planos donde actúan.
Y
y
Datos:
x = - 300 kg/cm2
y = 100 kg/cm2
xy = - 300 kg/cm2
 = 45°

xy
x
X

Z
Un elemento definido por tres planos normales entre sí, está sometido a un estado doble o plano,
cuando las tensiones en dos de sus caras son nulas.
Debido al estado tensional existente (x, y, xy) se producen en un plano  que forma un ángulo 
con el plano vertical yz, tensiones  y  normales entre sí que se pueden calcular con las
expresiones analíticas y las formas gráficas vista en teoría.
Recordando la convención de signos:
Tensiones normales:>0  Tracción
Tensiones tangenciales:   0  (momento
horario respecto a un punto interior del prisma)
Angulo:   0  antihorario a partir del plano
vertical

1) Determinación analítica:
En nuestro caso:
 
x  y x  y

 cos 2   xy  sen 2
2
2
 
x
xy
yx
y
 300  100  300 - 100

 cos 90  300  sen 90  200 kg cm 2 (tracción)
2
2
x  y
 
 sen 2   xy  cos 2
2
 300  100
 
 sen 90 o  300  cos 90 o      200 kg cm 2 (antihorario)
2
 
2
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Tensiones principales:
Son los valores extremos (máximos y mínimos) de las tensiones normales, y sus direcciones definen
los ejes principales.
Además, en los planos donde actúan, las tensiones tangenciales son nulas.
 max 
x  y
2
min
 max 
min

1

2
 x   y 2  4  2xy
 300  100 1
 
2
2
 300  100 2  4  300 2
  max  260,55 kg cm 2
 -100  360,55  
  min   460,55 kg cm 2
Direcciones:
tg 2    
2 xy
x  y
2  300
tg 2    
 1,5 ( tg 2   0  2  en 2 do y 4 to cuadrante)
 300  100
 
 


arctg (1,5)
 28 o 9' 18' '
2
2   4 to C 
ó    90 o  28 o 9' 18' '  61o 50' 42' '
(2   2 do C)
Tensiones tangenciales máximas:
1
 max   
2
min
1
 max   
2
min
 x   y 2  4  2xy
 300  100 
2
 4 ( 300)
2

 máx   360,55 kg cm 2
 min  360,55 kg cm 2
Direcciones:
 x   y  300  100
tg 2  

 0,667 tg 2   0  2  en 1o y 3o cuadrante
2  xy
2  300

 

arctg 0,667
 16 o 50' 42' '
2
ó    90 o  16 o 50' 42' '  106 o 50' 42' '
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2) Determinación Gráfica – Círculo de Mohr para tensiones
máx

   28
   61
  45
   106
   16 o
P
mín


máx

yx
y
máx 
 

mín
x
xy
16
mín
 max  260 kg cm 2
mín
 min  460 kg cm 2
 max  360 kg cm 2
máx
 min  360 kg cm 2
   200 kg cm 2
   200 kg cm 2



Esc ,  
x  y
2
x  y
2
1,3 cm
100 kg cm 2
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T.P.N0 3.3:
Se utiliza un ensamble de dos piezas biseladas para determinar la resistencia de una cola, tal como
muestra la figura.
a) Especificar el valor máximo del ángulo θ para que en la cola la tensión normal sea inferior o igual
al 20% de la tensión de corte (en valor absoluto).
b) Con el valor del ángulo θ hallado anteriormente, la cola cede cuando la carga P es de 780Kg.
Calcular la tensión de corte actuante en la cola y la tensión normal ejercida sobre el plano de contacto.
a) Un elemento diferencial está sometido a un estado de compresión simple ( y  0,  xy  0)
Debemos buscar un ángulo α tal que:    0, 20  
x   y x   y
 x  y


 cos 2   xy  sen 2  0,20  
 sen 2   xy  cos 2 
2
2
2


x

 1  cos 2   0, 20  x  sen 2
2
2
(sen2  + cos2 ) + (cos2  - sen2 )  0,20  2  sen   cos 
2 cos2   0,20  2  sen   cos 
sen 
1
 tg  
 5    78  41' 24"
cos 
0,20
   11° 18’ 36”
b) Para P = 780 Kg   x 

 780 Kg
4  6 cm
2
 32,5 kg cm 2 compresión 


 32,5
kg cm 2 1  cos 2  78 o 41' 24' '      1, 25 kg cm 2
2
 32,5
 
kg cm 2 sen 2  78 o 41' 24' '      6, 25 kg cm 2
2
 


   20 %  
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Gráficamente:
Esc ,  
1 cm
5,2 kg cm 2
   6,25 kg cm 2
   1,5 kg cm 2
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T.P.N0 3.4:
Un prisma de hormigón es comprimido según el eje z por una carga P. En las caras paralelas al plano
xz existen planchas rígidas unidas por 4 bulones de acero. Se pide: a) La tensión en los bulones; b)
Las deformaciones Δx, Δy, Δz.
Datos:
P  10 tn
a  10 cm
b  c  15 cm
 b  16 mm ;  h  0,10
E o  210 tn cm 2
H
E AC  2100 tn cm 2
La compresión en la dirección Z tiende a expandir el cubo en las direcciones x e y. En la dirección x
expande libremente, en la dirección y para deformarse, el cubo debe estirar a los bulones, lo que
genera en éstos esfuerzos de tracción.
Estado de tensiones en el cubo:
x



y  z  
y  z
Eh Eh
Eh
y

y 

z
Eh Eh

x 
z 



z


y
Eh Eh
z  
P
10000

  66,7 kg cm 2
ab
150
Las planchuelas en la dirección “y” están sometidas a la presión de contacto σy y al esfuerzo T. de los
bulones.
El signo (-) es necesario

p /  Fy  0  4T    y a.c. porque la tensión  y

es negativo .
T   ac   b   ac  2 cm 2
4  ac  2     y  10  15   ac  18,75  y
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*Por condición de deformación:
y


 ac   y h  ac 

 z
E ac E h E h

y
18,75

 18,75
 y 

 z 
y  y    z
E ac
Eh Eh
10


 y  1  1,875   0,10  66,7 kg cm 2   y  2,32 kg cm 2

 ac  18,75   2,32 kg cm 2

 ac   43,5 kg cm 2  T  87 Kg
 y  ac 
43,5
3
 2,07  105
2100 10
 0,10
x 
 2,32  66,7   3,28 105
3
210  10
1
z 
 66,7  0,10 2,32  31,65 105
3
210  10
x   x  a  3,28  10 5  10 
x  3,280  10 4 cm
y   y  b  2,07  10  5  15  y  3,105  10  4 cm
z   z  c  31,65  10  5  15  z  47 ,475  10  4 cm


v   v  v i   x   y   z a  b  c   26,3  10  5  2250  0,59175 cm 3
Verificación aplicando Energía de Deformación:
P  z 10000

 47, 475  10  4  23,7375 Kgcm
2
2
U  U h  U AC
Te 
y  y z  z 
Uh  

  v ih
2 
 2
  2,32   2,07  10 5  66,667  31,65  10 5 
Uh  

  2250  23,6835 Kgcm
2
2


2
T  lb
 T  l b 
  4 
U ac  4  
2 E ac   b
 2 
4  87 2  15
U ac 
 0,05406 Kgcm
2  2100  10 3  2
U  23,7375 Kgcm
Se verifica : Te  U
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