3. el campo gravitatorio.

INTERACCIÓN
GRAVITATORIA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Teorías y módulos.
Ley de gravitación universal de Newton.
El campo gravitatorio.
Energía potencial gravitatoria.
El potencial gravitatorio.
Movimientos de masas en campos de fuerzas
gravitatorias.
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
1
0. CONOCIMIENTOS PREVIOS
Los conocimientos previos que son necesarios dominar y ampliar son:
•Las fuerzas de pesos, rozamiento, y normales.
•La fuerza resultante.
•El módulo, la dirección y el sentido de las vectores.
•Diferenciar entre vector y escalar.
•Las energías mecánicas, cinética y potencial.
•El trabajo.
•Las fuerzas conservativas y disipativas.
•La fuerza gravitatoria (ley de gravitación universal).
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Interacción gravitatoria
2
1. TEORÍAS Y MODELOS.
Los modelos sobre el sistema solar han ido evolucionando:
• Teorías geocéntricas:
Todo gira en torno a la Tierra y las
estrellas son el límite del universo.
– Modelo de Aristóteles (384-322
a. de C.):
Los cuerpos celestes giran en
esferas concéntricas alrededor
de la Tierra.
– Modelo de Ptolomeo (100-170 a.
de C.):
La Tierra inmovil en el centro del
universo.
Los planetas (excepto el Sol y la
Luna) realizan un movimiento
alrededor
de
la
Tierra
(deferente) y otro orbital de giro
(epiciclo).
Física 2º bachillerato
• Teorías heliocéntricas:
Todo gira alrededor del Sol, es el centro.
– Modelo de Copérnico (1473-1543):
La Tierra gira alrededor del Sol,
como el resto de los planetas.
La diferencia angular con las
estrellas es inapreciable por su
gran distancia.
– Modelo de Galileo (1564-1642):
Introdujo teorías divinas en el
heliocentrismo enfrentándose a la
inquisición.
– Modelo de Kepler (1571-1630).
Interacción gravitatoria
3
1. TEORÍAS Y MODELOS.
Las leyes de Kepler son:
• Primera ley (ley de las órbitas):
Los planetas describen órbitas elípticas (no circunferencia) planas alrededor del
Sol, el cual se encuentra situado en uno de los focos.
• Segunda ley (ley de las áreas):
El radiovector de los planetas respecto al Sol barre áreas iguales de la elipse en
tiempos iguales, su velocidad no es constante.
• Tercera ley (ley de los periodos):
Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas alrededor del Sol son
proporcionales a los cubos de las distancias (radios) medio de sus órbitas.
Posteriormente fue reformulada de manera más precisa indicando que los
cuadrados de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.
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Interacción gravitatoria
4
1. TEORÍAS Y MODELOS.
Perihelio
Afelio
1 de enero

r 1 enero
Foco
  Eje menor

Sol
30 de
julio
A
b
A

r 1 julio
Sol
a
30 de
enero
1 de
julio
Eje mayor
El perihelio es el punto de la órbita más
próximo al Sol y el afelio es el punto de
la órbita más alejado del Sol (en la
órbita terrestre se les denomina
perigeo y apogeo respectivamente).
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Interacción gravitatoria
T  k r
2
3
5
1. TEORÍAS Y MODELOS.
Las principales nociones actuales sobre el sistema solar
son:
• Los planetas tienen un movimiento de rotación y
traslación (suelen ser perpendiculares).
• Las órbitas son elípticas y planas.
• Las órbitas planetarias están casi en el mismo plano.
• Los movimientos planetarios tienen el mismo sentido.
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Interacción gravitatoria
6
2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.
La ley de gravitación universal de Newton indica
que todos los cuerpos del universo se atraen con una
fuerza que es directamente proporcional al producto
de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de las distancias que las separa.

m1  m2 
Fg  G
ur
2
d
G  6, 67 10
11
N  m2
kg 2
La línea de acción de dicha fuerza es la de la recta
m
m


que los une.
F
F
•
•
2
1

ur
r
Como todas las fuerzas se miden en newton (N).
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Interacción gravitatoria
7
2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.
La ley de gravitación universal se puede
expresar:
z
• De forma vectorial: 
m1  m2 
Fg  G
ur
2
d
m’

r
• De forma escalar:
m1  m2
Fg  G
2
d
m

g
y
x
En ambos casos el signo menos indica que
es una fuerza de atracción.
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8
2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.
Demostración de la tercera ley de Kepler a
partir de la ley de gravitación universal:

mM 
m  M m  v2
GM 
d 2 

v
G 2 
2
2
G

M
2



r
4



d
d
d
mv
2


T 
r3  K  r3
Fc 


d
T
GM
d

s 2   r 
v 

t
T 
Fg  G
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9
2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.
Las fuerzas gravitatorias son
vectoriales, por lo que las
fuerzas que actúan sobre una
masa cualquiera de un conjunto
de masas es igual a la
resultante vectorial de las
fuerzas que las demás ejercen
sobre ella, considerando a cada
una de ellas individualmente
(principios de superposición de
las fuerzas).

g3

r3
P

g1



r1
g 2 g
1
m1

g3
gT

r2
m2
m3
n 

FT   Fi ,1
i 2
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10
EJERCICIO-EJEMPLO
Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan
posiciones fijas separadas por una
distancia de 2 m, según indica la figura.
Una tercera masa, m’ = 0,2 kg, se suelta
desde el reposo en el punto A,
equidistante de las dos masas
anteriores y a una distancia de 1 m de
la línea que las une (—AB = 1 m). Si no
actúan
más
que
las
acciones
gravitatorias de las masas, determina:
a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y
sentido) sobre la masa m’ en la posición
A.
b) Las aceleraciones de m’ en las posiciones
A y B.
Dato: G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2.
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11
RELACIÓN DE EJERCICIOS
FUERZAS GRAVITATORIAS
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Interacción gravitatoria
12
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
Un campo es una región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la
presencia de una partícula.
Toda masa (m) crea a su alrededor un campo de fuerzas en el espacio que lo
rodea que interaccionará con cualquier cuerpo (m´) situado dentro del campo.
Para describir un campo tengo:
•
Magnitudes que definen el campo:
– Intensidad.
– Potencial.
•
Magnitudes inherentes a la interacción del campo con la partícula:
– Fuerza.
– Energía potencial
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Interacción gravitatoria
13
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
La intensidad de campo gravitatorio (g) en un punto es una
magnitud vectorial que representa la fuerza por unidad de masa en
dicho punto. Es una perturbación de las propiedades del espacio que
rodea a un cuerpo material, en el sentido de que cualquier otro
cuerpo material, colocado en esa zona del espacio, es atraído hacia el

primero.
m 
 Fg
g
 G 2 ur
m
d
Su dirección es la línea recta que une la masa con el punto y su
sentido del punto al cuerpo.


m1

u2
F1,2
F2,1
m2

u1
r
Se mide en Newton por kilogramo (N/Kg)
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14
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
Según el principio de superposición
la intensidad de campo gravitatorio
en un punto, debido a la acción de
varias masas puntuales, es la suma
vectorial de las intensidades de
campo en dicho punto creadas por
cada
una
de
las
masas
individualmente
e
independientemente.
Cuando un cuerpo se ve sometido
simultáneamente a la acción de
varias fuerzas, el efecto resultante
es igual a la suma (vectorial) de los
efectos que experimentaría si
estuviera sometido a cada una de
las fuerzas individuales.

g3

r3
P


g1


r1
g 2 g
1
m1

g3
gT

r2
m2
m3


gT   g i
n
i 1
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Interacción gravitatoria
15
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
El campo gravitatorio es un
campo conservativo, el trabajo
realizado
por las
fuerzas
(conservativas) del campo para
llevar una partícula de un punto
a otro depende solo de los
estados inicial y final (y no del
camino recorrido).
WAB
mM

  F  d r    G 2
A
A
r

B

B
La
energía
conserva.
2
3
B

B 1 
1
 

d
r


G

m

M


d
r  GmM 



2

A r
rA

 
mecánica
B

se
El trabajo realizado en un campo
conservativo a lo largo de
cualquier trayectoria cerrada es
cero.
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1
Interacción gravitatoria
A
m’
m
16
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
Hay tres modos de definir un campo
de fuerzas conservativo:
1
•Aquel en el que el trabajo realizado
por las fuerzas de campo no depende
de la trayectoria.
B 
2
3

WAB   F  d r  WAC B  WADB
A
B
•Aquel en el que el trabajo de las
fuerzas del campo a lo largo de
cualquier trayectoria cerrada vale
cero.





B
WAB   F  d r  WAB A  
 F d r  0
A
A
•Aquel en el que existe una función
de Ep tal que:
r
WAB   F  dr  EP  rA   EP  rB 
r
B
m’
m
A
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Interacción gravitatoria
17
EJERCICIO-EJEMPLO
En tres vértices de un cuadrado de 5 m de
lado se disponen sendas masas de 12 Kg.
Determinar el campo gravitatorio en el
cuarto vértice y el trabajo realizado por
el campo para trasladar una masa de 12
Kg desde el cuarto vértice hasta el
centro.
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18
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
Las líneas de campo (o líneas de fuerza) representan los campos de fuerza. Son
líneas imaginarias y tangentes en cada punto al vector intensidad de campo.
Su sentido es entrante hacia la masa que origina el campo. No tienen origen
definido (no tiene fuentes – puntos donde empiezan las líneas de campo-, pero
sí sumideros - puntos donde terminan las líneas de campo- ). Indica el sentido
en que se movería la unidad de masa al colocarla en ese punto.
El número de líneas de fuerzas por unidad de superficie es proporcional al valor
de la intensidad de campo, a mayor densidad mayor es el valor.
El módulo del vector intensidad de campo viene dado por la densidad de líneas de
campo. La dirección es la tangente a la línea de campo. El sentido corresponde
a la fuerza sobre una masa en el punto.
El campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes.
Las líneas de campo no pueden cortarse.
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19
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
Representaciones de líneas de campo:

g

g

g

u
M

g
 r
u

g

g
m

g
M

g
Al representarlo debo dibujar un vector dirigido hacia la partícula que crea el
campo y el módulo debe ser mayor cuanto más cerca esté de dicha partícula.
La línea de campo coincide con la fuerza que experimenta una masa que se
colocara en el punto informando sobre la aceleración que obtendría esa masa en
ese punto
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Interacción gravitatoria
20
3. EL CAMPO GRAVITATORIO.
El campo gravitatorio terrestre es el originado por el planeta
Tierra.
P
Se toma el planeta como una masa puntual y la distancia a la
superficie se suma a la del radio del planeta.

gT  G
MT

u
2 r
( RT  h)
El módulo de la intensidad de campo gravitatorio terrestre en
un punto de la superficie del planeta coincide con el valor de la
aceleración de la gravedad en dicho punto.
h
A
r = RT+h
RT
El peso (fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo en la
superficie) se calcula a partir de esta ecuación.
P  m  gT
En la superficie de la Tierra (h=0) su valor es de 9,8 m/s2. La
intensidad de campo gravitatorio de un planeta es máxima en la
superficie.
El campo gravitatorio en el interior de la Tierra solo es debido
a la masa contenida en una esfera que pasa por ese punto
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Interacción gravitatoria
M T  5,97 1024 kg
RT  6,37 106 m
21
EJERCICIO-EJEMPLO
¿A qué altura sobre la superficie de la
Tierra se debe encontrar un cuerpo para
que su peso disminuya un 10 % respecto
del que tiene en la superficie?
Dato: radio de la Tierra = 6370 km.
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
22
RELACIÓN DE EJERCICIOS
CAMPOS GRAVITATORIOS
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
23
4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.
La energía potencial gravitatoria es una magnitud escalar que indica el
trabajo realizado por las fuerzas de campo.
Es una función de la posición que ocupa el cuerpo.
m1  m2
Ep  G
d
Es una medida de la capacidad de la posibilidad de realizar un trabajo
sobre una partícula susceptible de moverse bajo la acción de las
fuerzas de una campo.
Es la energía de una masa por estar en presencia de otra masa.
La energía potencial total será la suma algebraica de las energías
potenciales correspondientes a cada partícula de manera individual e
independiente.
Lo que realmente interesa no es el valor de la energía potencial sino sus
variaciones.
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Interacción gravitatoria
24
4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.
Según el teorema de la energía potencial en un campo de fuerzas
conservativas, el trabajo realizado por las fuerzas de campo para llevar
una partícula de A a B es igual a la variación de energía potencial
cambiada de signo.
WAB  Ep  ( EpB  EpA )  EpA  EpB
Así, el valor de la energía potencial coincide con la del trabajo realizado
por las fuerzas del campo para llevar una partícula desde el punto en el
que se encuentra hasta un punto donde la energía potencial valga cero
(en el infinito).
Cuando el trabajo es positivo es espontáneo, lo realiza el campo (y
viceversa, si es negativo es realizado en contra del campo-necesito de
fuerzas externas a él-). Esto es debido al signo negativo intrínseco de
las energías potenciales.
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
25
4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.
La energía potencial
gravitatoria
terrestre
será la originada por el
planeta
Tierra
(MT)
sobre una masa (m)
situada a una distancia
(h) del centro de la
Tierra.
Ep
RT
r
U0   G
MT
RT
MT  m
Ep  G
( RT  h)
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
26
5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO.
El potencial gravitatorio en un punto es una magnitud
escalar que se define como la energía potencial gravitatoria
por unidad de masa en ese punto.
Ep
m
V
 G
m
d
n
Se mide en J/kg.
VT   Vi
i 1
WA B  Ep  ...  m  (VA  VB )
Se corresponde con el trabajo (cambiado de signo) que hace
el campo gravitatorio para traer una masa de 1 kg desde el
infinito hasta un punto.
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Interacción gravitatoria
27
5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO.
El potencial gravitatorio
terrestre
será
el
originado por el planeta
Tierra.
E
R
p
r
T
U0   G
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MT
V  G
( RT  h)
MT
RT
Interacción gravitatoria
28
5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO.
Las superficies equipotenciales son lugares geométricos del espacio
formados por la unión de puntos con el mismo valor de potencial. Hay una
superficie equipotencial para cada valor de potencial.
Son perpendiculares a las líneas de campo y forman planos paralelos.
El trabajo para mover una masa dentro de una superficie equipotencial es
nulo.
El campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes. Si la partícula se
mueve bajo la acción de las fuerzas de campo (en la dirección espontánea
que le indica el campo) lo hará disminuyendo su potencial (y su energía
potencial).
La dirección en la que la variación de potencial por unidad de longitud es
máxima es la de la perpendicular a las superficies equipotenciales.
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
29
5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO.
Representaciones de superficies equipotenciales:
Líneas de campo
m
M
Superficies equipotenciales
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
30
EJERCICIO-EJEMPLO
Un satélite artificial de 1,2 t de masa se eleva a una distancia
de 6 500 km del centro de la Tierra y recibe un impulso,
mediante cohetes propulsores, para que describa una
órbita circular alrededor de ella.
a) ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que
tenga lugar este movimiento? ¿cuánto tardará en realizar
un ciclo?
b) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas del
campo gravitatorio al llevar el satélite desde la superficie
de la Tierra hasta esa altura?
c) ¿Cuál es la energía total del satélite?
Datos: radio de la Tierra = 6360 km; g0 = 9,8 m s–2.
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Interacción gravitatoria
31
RELACIÓN DE EJERCICIOS
ENERGÍA POTEMCIAL Y
POTENCIAL
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
32
6. MOVIMIENTOS DE MASAS EN
CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.
Un satélite es un cuerpo con una masa (m) que gira en una
órbita circular estable en torno a la Tierra.
Sobre él actúa la fuerza de atracción gravitatoria
terrestre que es igualada por la fuerza centrípeta.
Poner en órbita un satélite requiere un consumo de energía
igual a la energía necesaria para colocarlo a la altura
deseada más la energía que hay que comunicarle para que
adquiera la velocidad orbital buscada.
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
33
6. MOVIMIENTOS DE MASAS EN
CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.
La velocidad de escape es la mínima velocidad que
debe adquirir, en la posición que esté, para
escapar de la acción del campo gravitatorio.
MT  m
2  G  MT
1
2
0  Ec  Ep   m  ve  (G
)  ve 
2
R
R
La energía de amarre o de ligadura o de escape
es la energía máxima menor de la cual no es
posible escapar de la acción del campo
gravitatorio.
MT  m
Ep  G
R
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Interacción gravitatoria
34
6. MOVIMIENTOS DE MASAS EN
CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.
La velocidad de orbitar (o velocidad orbital) es la
velocidad para que la masa realice una órbita
alrededor de la masa que origina el campo.
vo2
G  MT
M m
Fg  Fc  G 2  m  vo 
d
d
R

El periodo de revolución del satélite es el tiempo
necesario para realizar una órbita.
T

2   r
vo
FG
La energía orbital es la energía mecánica cuando
está en una órbita circular.
2
 M G 
1
M m 1
M m
1
M m
Eo  Ec  Ep   m  v 2  (G 
)   m  
  G
  G 
2
d
2
d 
d
2
d

La energía necesaria para cambiar de órbita (para
elevarlo el trabajo es positivo y viceversa):
E
12
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria

FG  FC
 G
M m  1 1 
  
2  r1 r2 
35
6. MOVIMIENNTOS DE MASAS EN
CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.
En función de la energía puedo
conocer la forma de la
órbita:
E=Ec+Ep
• Circunferencia (cerrada).
E≤Eo
• Elipse (cerrada).
E<Eo<0
• Parábola (abierta).
E=0 Ec=Ep
• Hipérbola (abierta).
E>0 Ec>Ep
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Interacción gravitatoria
Sol
36
6. MOVIMIENNTOS DE MASAS EN
CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.
1 Mm
G
r
2
1 Mm
 Si  G
 ET  0
r
2
 Si ET  
CIRCUNFERENCIA
ELIPSE
 Si ET = 0  Ec = Ep
PARÁBOLA
 Si ET > 0  Ec > Ep
HIPÉRBOLA
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
37
6. MOVIMIENNTOS DE MASAS EN
CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.
Un satélite geoestacionario es el que se
encuentra siempre sobre el mismo punto de la
Tierra, su periodo coincide con el movimiento
de rotación de la Tierra (periodo de 24h).
Las órbitas geoestacionarias corresponden a
alturas elevadas (>36.000 km) y suelen ser
órbitas
ecuatoriales
para
aplicaciones
metereológicas y de comunicaciones.
Física 2º bachillerato
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38
EJERCICIO-EJEMPLO
Un satélite artificial se desplaza en una
órbita circular a una altura de 300 km
sobre la superficie de la Tierra. Calcula:
a) Su velocidad de orbitar.
b) Su periodo de revolución.
c) Su aceleración centrípeta.
Datos: radio de la Tierra = 6370 km; g0 = 9,8
m s–2.
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39
RELACIÓN DE EJERCICIOS
MOVIMIENTOS DE MASAS
Física 2º bachillerato
Interacción gravitatoria
40