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PREPARATORIA
15
FISICA II
1992
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1 992
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1020082300
FÍSICA II
ING. JOSÉ LUIS GUTIÉRREZ
ENERO 1 9 » -
ALVARADO.
J
& C Z |
i
l
U
ÍNDICE
CAP.
Pág.
PRÓLOGO.
1
OBJETIVOS D E L CURSO.
3
Isaac Newton (biografía)
I
fOHOO UNIVERSITARIO
62697
E L NACIMIENTO DE LA DINÁMICA.
1-1 Leyes del movimiento.
1-2 Explicación aristotélica del movimiento.
1-3 Primera ley del movimiento de Newton.
1-4 El significado de la primera ley.
1-5 Segunda ley del movimiento de Newton.
1-6 Masa, peso y caída libre.
1-7 Tercera ley del movimiento de Newton.
1-8 Como susar las leyes de Newton.
1-9 Las fuerzas básicas de la naturaleza.
1-10 Ejemplos de la primera ley del movimiento.
1-11 Ejemplos de la segunda ley del movimiento.
1-12 Ejemplos de la tercera ley del movimiento.
1-13 Ley de gravitación universal.
1-14 Sistema técnico.
Autoevaluación.
5
9
& C Z |
i
l
U
ÍNDICE
CAP.
Pág.
PRÓLOGO.
1
OBJETIVOS D E L CURSO.
3
Isaac Newton (biografía)
I
fOHOO UNIVERSITARIO
62697
E L NACIMIENTO DE LA DINÁMICA.
1-1 Leyes del movimiento.
1-2 Explicación aristotélica del movimiento.
1-3 Primera ley del movimiento de Newton.
1-4 El significado de la primera ley.
1-5 Segunda ley del movimiento de Newton.
1-6 Masa, peso y caída libre.
1-7 Tercera ley del movimiento de Newton.
1-8 Como susar las leyes de Newton.
1-9 Las fuerzas básicas de la naturaleza.
1-10 Ejemplos de la primera ley del movimiento.
1-11 Ejemplos de la segunda ley del movimiento.
1-12 Ejemplos de la tercera ley del movimiento.
1-13 Ley de gravitación universal.
1-14 Sistema técnico.
Autoevaluación.
5
9
SATÉLITES Y MOVIMIENTO PLANETARIO.
2-1 Primera ley de Kepler.
2-2 Segunda ley de Kepler.
2-3 Tercera ley de Kepler.
2-4 Satélites.
2-5 Campos gravitacionales.
2-6 Potencia gravitacional.
2-7 Velocidad de escape.
Autoevaluación.
59
MÉTODO D E LAS COMPONENTES.
81
3-1 Bases de trigonometría.
3-2 Descomposición de uns fuerza.
3-3 Suma de vectores por el método de las componentes.
EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS RÍGIDOS.
4-1 Fuerzas en equilibrio.
4-2 Condiciones de equilibrio.
4-3 Fuerzas concurrentes.
4-4 Fuerzas no concurrentes.
4-5 Centro de masa.
4-6 Centro de gravedad.
4-7 Pares.
4-8 Par motor.
4-9 Equilibrio de rotación.
MÁQUINAS SIMPLES.
Introducción.
5-1 Máquinas.
5-2 Palanca.
5-3 Torno.
5-4 Poleas.
5-5 Plano inclinado.
Autoevaluación.
93
107
VI
FRICCIÓN.
6-1 Introducción.
6-2 Fuerza de rozamiento.
6-3 Coeficiente de fricción.
6-4 El plano inclinado.
6-5 Problemas para analizar.
Autoevaluación.
127
BIBLIOGRAFÍA.
149
PRÓLOGO
Las aplicaciones de la física, (ya sea atómica o nuclear), se ha
ido i n c r e m e n t a n d o n o t a b l e m e n t e en e s t e siglo; b a s t a d e c i r c o m o
ejemplo que los satélites y naves lanzadas a Marte o a la Luna, si esta
c i e n c i a no h u b i e r a d e s a r r o l l a d o lo q u e h a s t a a h o r a , no h a b r í a n
llegado a su destino, inclusive ni siquiera pensado en lanzarlas.
Pero el avance en estudios físicos hizo posible un viaje tan largo
como el de la Tierra hasta Marte, utilizando como fuente de energía
las baterías solares, y aún todavía que m e d i a n t e la comprobación de
algunas reacciones químicas, en un tiempo no muy lejano, sea posible
conocer si existe vida o no en algún o t r o planeta de nuestro sistema
solar.
D e s d e luego, que con lo q u e aquí e s t u d i e s no vas a llegar a la
Luna, p e r o c u a n d o m e n o s serás capaz de c o m p r e n d e r m u c h o s
fenómenos, y de adquirir una amplia visión de los avances científicos
actuales y futuros.
E s i n e g a b l e el h e c h o d e q u e e n el t r a n s c u r s o d e u n s o l o
semestre, no sea posible estudiar con p r o f u n d i d a d todas las teorías,
leyes y aplicaciones de la física, además de que nosotros (los autores
de este material de estudio) no buscamos este fin, sino al contrario,
lo que i n t e n t a m o s es ú n i c a m e n t e p r o p o r c i o n a r t e las bases elemen-
tales e i n f o r m a c i ó n s u f i c i e n t e p a r a q u e estos cursos te sirvan en el
futuro para cualquier profesión que optes seguir.
Por ello es q u e estos cursos son, en realidad i n t r o d u c c i o n e s a
los campos de las ciencias anteriormente señaladas.
T o d o el material que hemos elaborado, ha sido diseñado de tal
m a n e r a s que seas el que obtenga la información, por tu propia cuenta, ya q u e e s t a m o s c o n v e n c i d o s de que e s t e es el c a m i n o c o r r e c t a
p a r a la m e j o r f o r m a c i ó n de un f u t u r o p r o f e s i o n i s t a . Por ú l t i m o ,
q u e r e m o s dejar grabado en este material y en tu mente, las palabras
q u e P a u l o F r a i r e p u b l i c ó en la e d i c i ó n d e su l i b r o "La educación
como práctica de la Libertad" y que dicen:
"LA NUEVA ÉTICA DE LA EDUCACIÓN, TIENDE A HACER
DEL I N D I V I D U O EL DUEÑO Y AUTOR DE SU PROPIO
PROGRESO CULTURAL"
OBJTIVOS DEL CURSO
Los o b j e t i v o s del curso se p u e d e n r e d u c i r a tres, y p e n s a m o s
que en ellos se encuentran incluidos todos los aspectos que pudieran
llevarnos a ofrecer un curso de este tipo.
H El a l u m n o o b t e n d r á un c o n o c i m i e n t o f i r m e sobre los fundamentos de las leyes y principios de la física, desarrollando
la habilidad de manejar estos conceptos, aplicándolos en la
solución de problemas similares a los resueltos en este curso.
I
El alumno demostrará su comprensión de los principios de la
física al aplicarlos en la i n t e r p r e t a c i ó n y explicación de los
fenómenos y situaciones reales.
I
El alumno será capaz de relacionar las leyes y fenómenos de
la f í s i c a c o n o t r o s c a m p o s d e l c o n o c i m i e n t o , c o m o la
Medicina, la Ingeniería, la Biología y la Sociedad.
UNIDAD I.
DINÁMICA.
A h o r a n e c e s i t a m o s c o n o c e r l a s c a u s a s q u e o r i g i n a n el
movimiento, en particular el cambio de movimiento de los cuerpos y
de la forma, como el cambio está relacionado con los factores que le
afectan: las acciones de otros cuerpos (fuerzas), y las propiedades de
los mismos cuerpos (inercia, elasticidad, etc.).
OBJETIVOS.
1.- Distinguir los conceptos: fuerza, inercia y masa.
2.- Distinguir entre los conceptos: peso y masa.
3.- Enunciar las leyes de Newton, la ley de gravitación universal
y su formulación matemática.
4.- Identificar las unidades de fuerza y masa en los sistemas absoluto y técnico.
5.- Definir los conceptos: cantidad de movimiento e impulso.
6.- C o n c l u i r , cuáles son las d i r e c c i o n e s de la a c e l e r a c i ó n y la
cantidad de movimiento con respecto a una fuerza aplicada.
7.- Distinguir, a partir de ejemplos dados, las fuerzas de acción y
reacción.
PROCEDIMIENTO.
UNIDAD II
LEYES DE NEWTON.
1.- Lee el capítulo I "Nacimiento de la Dinámica" y la Biografía
del Físico Isaac Newton en forma general y rápida.
2.- Realiza una segunda lectura para que subrayes lo más importante.
3.- Analiza despacio cada uno de los términos.
Isaac Newton le corresponde el mérito de haber sido el primero
en incluir los c o n c e p t o s de f u e r z a y masa en la mecánica y formular
las leyes fundamentales que gobiernan todo el movimiento.
4.- Escribe en tu cuaderno un resumen de este capítulo.
5.- Estracta cada uno de los objetivos y escríbelos en tu libreta.
6.- Dá un repaso general a estos objetivos.
NOTA:
Como requisito para esta unidad, deberás entregar en
hojas tamaño carta, la contestación a cada uno de los objetivos.
OBJETIVOS.
1.- Emplear lo establecido en la segunda ley de Newton, resolviendo problemas con los datos apropiados.
2.- C o n v e r t i r u n i d a d e s de fuerza del sistema M.K.S. al c.g.s. y
viceversa.
3.- E m p l e a r el c o n c e p t o e s p e c i f i c a d o en la ley de gravitación
u n i v e r s a l , r e s o l v i e n d o p r o b l e m a s a p a r t i r d e los d a t o s
apropiados.
4 - C a l c u l a r a p a r t i r de los d a t o s a p r o p i a d o s , la c a n t i d a d de
movimiento de un cuerpo.
5.-JEmplear la definición algebraica del impulso, resolviendo
problemas a partir de los datos apropiados.
PROCEDIMIENTO.
1.- A n t e s de e m p e z a r con los p r o b l e m a s lee d e t e n i d a m e n t e el
resumen que recopilaste en tu trabajo con la unidad anterior
de este mismo capítulo.
2.- Analiza despacio cada uno de los ejemplos resueltos en este
capítulo.
3.- Realiza un poster con todas las definiciones algebraicas de
este capítulo y colócalo en el lugar más visible de tu casa.
4.- Resuelve los p r o b l e m a s dados en este capítulo t r a t a n d o de
llegar a las respuestas dadas.
5.- Resuelve problemas de otros textos de Física que tengas a tu
alcance, ya que la práctica en tu material, es lo que hará que
obtengas mejores resultados.
NOTA:
Como requisto de esta unidad, deberás entregar en hojas
tamaño carta, los problemas de la autoevaluación.
ISAAC NEWTON (1642-1727)
Una de las más grandes inteligencias
que ha d a d o la h u m a n i d a d , N e w t o n f u e
a u t o r d e principia mathematica, d o n d e
p r e s e n t ó un i n n o v a d o r e s q u e m a g e n e r a l
del Universo que cierra con broche de oro
la llamada revolución científica. Nacido
en W o o l s t h r o p e , I n g l a t e r r a , el 25 d e
d i c i e m b r e d e 1 6 4 2 , su j u v e n t u d se
c a r a c t e r i z ó p o r sus c o n s t a n t e s e n f e r medades. Tras revolucionar el mundo con
su e x t r a o r d i n a r i a i n t e l i g e n c i a , m u r i ó en
Londres el 20 de marzo de 1727. En su infancia vivió con sus abuelos, y desde la escuela e l e m e n t a l se mostró
como un niño raro, aficionado a elaborar sus propios juguetes con algunos procedimientos mecánicos surgidos de su propia imaginación e
inteligencia. Hacia el año de 1653 regresó a colaborar en la granja de
su m a d r e . Ahí un tío, e s t u d i a n t e de Trinity College de C a m b r i d g e ,
insistió en e n v i a r a I s a a c N e w t o n a e s t u d i a r a la U n i v e r s i d a d de
C a m b r i d g e , d o n d e o b t u v o el g r a d o de b a c h i l l e r en 1665. Nuevamente, en esta ocación a causa de una p e s t e que había en Londres,
regresó a la g r a n j a m a t e r n a . Se cuenta que f u e en ese lugar d o n d e
o b s e r v ó c o m o c a í a u n a m a n z a n a al s u e l o y q u e a p a r t i r de e s a
observación empezó a establecer relaciones entre la fuerza que hacía
caer a la manzana y la fuerza que sostenía a la Luna en su órbita.
Newton encontró que la velocidad de
la r a í d a erp prnpnroinnaJ-ala f u e r z a de la
g r a v e d a j L y q u e esta f u e r z a d i s m i n u í a en
6000 krf
lOOOkai
proporción con el cuadrado
I a distancia
deLobj^te aFcentro de la Tieria. Esto constituye su ley del inverso del cuadrado. Al
e s t a b l e c e r la c o m p a r a c i ó n e n t r e la caída
de la manzana y la Luna, Calculó la distancia de la T i e r r a a la L u n a e x p r e s a d a en
u n i d a d e s de radio de la T i e r r a . Por varias
razones Newton no estuvo p l e n a m e n t e de
acuerdo en estas observaciones, por lo cual
no retomó el problema de la gravitación sino hasta 15 años más tarde.
E n t r e l o s a ñ o s d e 1656 a 1666, N e w t o n e n f o c ó sus i n v e s tigaciones hacia la óptica, sobre t o d o hacia las e n s e ñ a n z a s legadas
por Kepler. Newton hizo pasar la luz por una rendija de una cortina y
a través de un prisma para después reflejarla en una pantalla d e n t r o
d e un c u a r t o o b s c u r o . La luz se r e f r a c t a b a c r e a n d o una g a m a de
colores con el orden del arco iris: rojo, naranja, amarillo, verde, azul,
añil y v i o l e t a . D e m o s t r ó que e s t o s c o l o r e s e s t a b a n t o d o s en la luz
blanca, y que ésta era una combinación de los diferentes colores. Los
e x p e r i m e n t o s de Newton con el prisma le dieron un gran renombre.
A los 27 años de edad asumió el cargo de profesor de matématicas en
la U n i v e r s i d a d de C a m b r i d g e . En 1672 f o r m ó p a r t e de la R o y a l
Society, donde expuso sus observaciones sobre la luz y el color.
Estas investigaciones indujeron a Newton a trabajar teorías
sobre la naturaleza de la luz. Para Newton, la luz estaba f o r m a d a de
p e q u e ñ a s partículas, como pelotitas. Describiendo el movimiento de
las p a r t í c u l a s se podían explicar los d i f e r e n t e s f e n ó m e n o s ópticos
conocidos en su tiempo.JBjUiie-iüi^abajos-€n el campa, de La óptica
destaca su t e l e s c o p j ¿ í l e reflexiúm_en el que c o n c e n t r a b a la luz por
reflexión en un espejo parabólico en lugar de refractarlo a través-de
léñtesv E s t e invento tenía dos ventajas sobre el antiguo telescopio de
r e f r a c c i ó n . E n el t e l e s c o p i o d e N e w t o n la luz no a l c a n z a b a a
a t r a v e s a r el c r i s t a l , s i n o q u e se r e f l e j a b a en la s u p e r f i c i e de t a l
m a n e r a q u e n o h a b í a a b s o r c i ó n d e luz en e s t e c r i s t a l . La o t r a
consistía en que al r e c u r r i r a un e s p e j o d e s a p a r e c í a la a b e r r a c i ó n
c r o m á t i c a ( f e n ó m e n o ó p t i c o q u e c o n s i s t e en c r e a r u n o s b o r d e s
coloreados a l r e d e d o r de los cuerpos celestes cuando la luz atraviesa
los lentes). Este telescopio de reflexión propició un gran avance de
los estudios astronómicos. Otro aporte de Newton, realizado también
en esta época, fue el d e s a r r o l l o del cálculo en 1669. Con esta nueva
teoría matemática, Newton se colocó a la cabeza de las matemáticas
de su época.
Newton volvió a estudiar los movimientos de los cuerpos celestes hacia el año 1679; conocía con presición la cifra exacta del radio
de la Tierra y había trabajado con el cálculo para medir las diferentes
p a r t e s de un c u e r p o e s f é r i c o . Isaac N e w t o n e m p e z ó a r e d a c t a r su
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, conocida universal
m e n t e c o m o Principia mathematica. En este libro, Newton expuso
las conocidas tres leyes del movimiento. En la primera ley hizo referencia al p r i n c i p i o de i n e r c i a ! un c u e r p o en r e p o s o p e r m a n e c e en
r e p o s o y un c u e r p o en m o v i m i e n t o con v e l o c i d a d c o n s t a n t e permanece en ese movimiento siempre que no intervengan f u e r z a s ext e r i o r e s q u e lo m o d i f i q u e n . E n la s e g u n d a ley del m o v i m i e n t o ,
Newton establece una relación entre la fuerza, la masa del c u e r p o y
la aceleración producida, con la que establece la p r i m e r a diferencia
entre la masa de un cuerpo (cantidad de inercia que posee) y su peso
(es decir la cantidad de fuerza gravitatoria existente entre el mismo y
otro c u e r p o ) . La t e r c e r a ley señala que para cada acción existe una
r e a c c i ó n igual y de s e n t i d o c o n t r a r i o . C o n e s t a s t r e s l e y e s e s t e
c i e n t í f i c o inglés r e d u j o t o d o lo que h a s t a e n t o n c e s se c o n o c í a de
mecánicaLAdernás, encontró una relación matemática entre la fuerza
g r a v i t a t o m T d e l o s cuerpos en el e s p a c i o l C o m p r o b ó que esta fuerza
era d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l al p r o d u c t o de las masas de los dos
cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
s e p a r a b a sus c e n t r o s . E s t a p r o p o r c i ó n p o d r í a c o n v e r t i r s e en una
i g u a l d a d i n t r o d u c i e n d o u n a c o n s t a n t e . La e c u a c i ó n a f i r m a :
F = Gmim2/d 2 , d o n d e las masas de los c u e r p o s son mi y m : respec-
t i v a m e n t e , d e s la d i s t a n c i a e n t r e s u s c e n t r o s , G la c o n s t a n t e
gravitatoria y F la f u e r z a de atracción de la gravedad entre estas dos
masas.
C A P Í T U L O I.
EL NACIMIENTO DE LA
DINÁMICA.
1-1 LEYES DEL MOVIMIENTO.
'
¿
La cinématica es el estudio <le cómo se mueven los objetos, pero
no d e por qué se m u e v e n . G a l i l e o investigó m u c h o s a s p e c t o s de la
cinématica con visión, originalidad y energía y la parte más valiosa de
su obra fue la relacionada con tipos especiales de movimiento, tales
c o m o la caída libre. En f o r m a clara y consistente nos m o s t r ó c ó m o
d e s c r i b i r el m o v i m i e n t o d e los o b j e t o s c o n la a y u d a d e las i d e a s
matemáticas.
t i v a m e n t e , d e s la d i s t a n c i a e n t r e s u s c e n t r o s , G la c o n s t a n t e
gravitatoria y F la f u e r z a de atracción de la gravedad entre estas dos
masas.
C A P Í T U L O I.
EL NACIMIENTO DE LA
DINÁMICA.
1-1 LEYES DEL MOVIMIENTO.
'
¿
La cinématica es el estudio de cómo se mueven los objetos, pero
no d e por qué se m u e v e n . G a l i l e o investigó m u c h o s a s p e c t o s de la
cinématica con visión, originalidad y energía y la parte más valiosa de
su obra fue la relacionada con tipos especiales de movimiento, tales
c o m o la caída libre. En f o r m a clara y consistente nos m o s t r ó c ó m o
d e s c r i b i r el m o v i m i e n t o d e los o b j e t o s c o n la a y u d a d e las i d e a s
matemáticas.
G a l i l e o había e s c r i t o q u e el presente no parece ser el tiempo
apropiado para investigar la causa de la aceleración del movimiento
natural.... C u a n d o Isaac Newton c o m e n z ó a e s t u d i a r el movimiento
e n la s e g u n d a m i t a d d e l s i g l o X V I I , e s a a f i r m a c i ó n y a n o e r a
a p r o p i a d a . E n r e a l i d a d , d e b i d o a q u e G a l i l e o ' l o g r ó d e s c r i b i r el
m o v i m i e n t o e n f o r m a tan e f e c t i v a , N e w t o n p u d o c o n c e n t r a r su
atención en la dinámica, que es el e s t u d i o de por qué se mueven los
.objetos en la f o r m a en que lo hacen, por q u é se empiezan a mover en
lugar de permanecer en reposo, por qué aceleran o llevan una trayectoria curva, y por qué se detienen.
¿ C u á l es la d i f e r e n c i a e n t r e la d i n á m i c a y la c i n e m á t i c a ? . La
c i n e m á t i c a e s t u d i a la d e s c r i p c i ó n del m o v i m i e n t o . Por e j e m p l o ,
p o d r í a m o s describir el m o v i m i e n t o de una piedra que cae desde un
precipicio.y para hacerlo, p o d r í a m o s escribir una ecuación que
m o s t r a r a la r e l a c i ó n q u e existe e n t r e la d i s t a n c i a d q u e r e c o r r e la
p i e d r a al c a e r y el t i e m p o t d e la c a í d a . P o d e m o s e n c o n t r a r la
a c e l e r a c i ó n y la rapidez final alcanzada d u r a n t e cualquier intervalo
de t i e m p o q u e escojamos, p e r o c u a n d o t e r m i n a m o s de describir el
movimiento de la piedra, seguimos insatisfechos. Podríamos pregunt a r n o s p o r q u é la p i e d r a a c e l e r a en lugar de c a e r con una r a p i d e z
constante, y por qué acelera siempre uniformemente cuando no interviene la fricción del aire. Para contestar a estas preguntas, d e b e m o s
de e n t e n d e r los conceptos de fuerza y masa, y al hacerlo estamos est u d i a n d o dinámica, la cual va más allá de la c i n e m á t i c a al t o m a r en
cuenta la causa del movimiento.
- ^ C i n e m á t i c a : Descripción del movimiento {Velocidad, distancia
recorrida, tiempo transcurrido y aceleración}.
/ d i n á m i c a : Causas del movimiento. {Masa, fuerza}.
Al estudiar la cinemática se observa que un objeto puede:
(a)
(b)
(c)
(d)
Permancecer en reposo;
moverse uniformemente en línea recta;
acelerar durante el movimiento rectilíneo;
disminuir la rapidez durante el movimiento rectilíneo.
D e b i d o a q u e las ú l t i m a s d o s s i t u a c i o n e s s o n e j e m p l o s d e
aceleración, realmente podríamos reducir la lista a:
(a)reposo,
(b) movimiento uniforme y
(c) movimiento acelerado.
Por lo tanto, son estos tres fenómenos los que trataremos de explicar. P e r o la p a l a b r a "explicar" d e b e usarse con c u i d a d o . Para el
físico, un suceso se "explica" c u a n d o pude d e m o s t r a r s e que es una
consecuencia lógica de una ley, la cual es v e r d a d e r a según el físico.
En o t r a s p a l a b r a s , un f í s i c o q u e t e n g a fe e n u n a ley g e n e r a l ,
"explicará" el s u c e s o d e m o s t r a n d o q u e es c o n s i s t e n t e ( q u e va de
a c u e r d o ) con la ley. Hay un n ú m e r o infinito de sucesos s e p a r a d o s y
de d i s t i n t o s a s p e c t o s q u e o c u r r e n f r e c u e n t e m e n t e a n u e s t r o alrededor y en nuestro interior. En cierto sentido, el t r a b a j o del físico
consiste en m o s t r a r en qué forma estos sucesos resultan necesariamente de ciertas reglas generales que describen la forma en que funciona el m u n d o . E s t e e n f o q u e a la " e x p l i c a c i ó n " se hace p o s i b l e
gracias al hecho de que las leyes g e n e r a l e s de la física son sorprend e n t e m e n t e p o c a s . E n e s t e c a p í t u l o h a b l a r e m o s de t r e s de e s t a s
leyes. Estas leyes nos permiten c o m p r e n d e r prácticamente todos los
movimientos que se p u e d e n observar fácilmente. Añadiendo una ley
m á s , la d e la Gravitación Universal. P o d r e m o s explicar los movimientos de las estrellas, los planetas, los cometas y los satélites y de
hecho, por medio de la física nos podemos dar cuenta una y otra vez
de que la naturaleza tiene una simplicidad maravillosa.
CsLl)(
Para explicar el reposo, el movimiento u n i f o r m e y la aceleración de cualquier
objeto, necesitamos poder contestar
p r e g u n t a s c o m o las s i g u i e n t e s : ¿ P o r
n o se m u e v e un f l o r e r o si lo d e j a m
s o b r e u n a m e s a ? Si se le d a un l i g e
e m p u j ó n a un disco de hielo seco
c a n s a s o b r e u n a s u p e r f i c i e lisa y pía
¿ p o r q u é se m u e v e con u n a r a p i d e z unif o r m e y en l í n e a r e c t a ? ¿ p o r q u é ni dism i n u y e s u r a p i d e z ni s e va h a c i a l a
d e r e c h a ni a la izquierda?. Podemos contestar a éstas y otras preguntas específicas sobre el movimiento, ya sea directa o indirectamente,
por m e d i o de las tres "leyes del movimiento" generales de Isaac Newton.
1-2 EXPLICACIÓN ARISTOTÉLICA DEL MOVIMIENTO.
El c o n c e p t o de la f u e r z a j u g ó un p a p e l muy i m p o r t a n t e en la
d i n á m i c a a r i s t o t é l i c a , v e i n t e siglos a n t e s de N e w t o n . E n la física
aristotélica había dos tipos de movimiento, el natural y e l violento.
Por e j e m p l o , se creía que una piedra que caía tenía un m o v i m i e n t o
natural ( h a c i a su l u g a r n a t u r a l ) y por o t r o l a d o , se c r e í a q u e u n a
piedra que se levantaba g r a d u a l m e n t e tenía un movimiento violento
(fuera de su lugar natural). Para mantener uniforme este movimiento
violento, se tenía que aplicar una fuerza c o n t i n u a m e n t e . Cualquiera
que trate de mover una roca grande se dará cuenta de esta fuerza.
L a s i d e a s d e A r i s t ó t e l e s i b a n de a c u e r d o a m u c h a s o b s e r vaciones de sentido común, p e r o había también dificultades.
T o m e m o s un ejemplo específico, una flecha que se dispara en el aire.
Esta no puede entrar en movimiento violento sin algo que la impulse
o la e m p u j e . La física aristotélica exigía que tal cosa ocurriera, p e r o
si se quitaba esta fuerza, la flecha debería detener inmediatamente su
vuelo y caer directamente al piso con un movimiento natural.
GínncCfiBl
tfp^
v
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ov^o
r
tv-CA
i
P e r o por s u p u e s t o , una flecha no cae al piso tan p r o n t o c o m o
pierde contacto con el arco, ¿Cuál es entonces la fuerza que impulsa
a la f l e c h a ? A q u í los discípulos de A r i s t ó t e l e s o f r e c í a n una a s t u t a
s u g e r e n c i a : El m o v i m i e n t o de la flecha a través del aire, era mantenido por el aire mismo. Al empezar a moverse la flecha, el aire que
queda frente a ella se hace a un lado y naturalmente hay más aire que
viene a llenar el e s p a c i o que d e j ó vacío la flecha. Ellos decían que
era esta c o r r i e n t e de aire que q u e d a b a d e t r a s de la flecha la que la
sostenía volando.
En la p r i m e r a mitad del Siglo XVII se d e s a r r o l l a r o n ideas más
adecuadas para explicar el movimiento desde nuestro punto de vista
actual, pero en todos los casos se consideraba necesario que hubiera
una fuerza para sostener el movimiento uniforme. La explicación de
éste dependía de que se pudiera encontrar la fuerza que lo provocaba
y eso no e r a s i e m p r e f á c i l . H a b í a t a m b i é n o t r o s p r o b l e m a s , p o r
ejemplo, una bellota o una piedra no tienen una rapidez uniforme al
caer sino que aceleran. ¿Cómo se explica esto? Algunos discípulos de
Aristóteles p e n s a b a n que la aceleración de un o b j e t o que cae tiene
que ver con su a p r o x i m a c i ó n a su lugar n a t u r a l , la t i e r r a . En o t r a s
palabras, se creía que los objetos que caen son como un caballo cansado q u e e m p i e z a a galopar al acercarse a su e s t a b l o . O t r o s decían
que c u a n d o un o b j e t o cae, el p e s o del aire q u e q u e d a a r r i b a de él
a u m e n t a y lo e m p u j a , m i e n t r a s q u e la c o l u m n a de a i r e q u e se encuentra bajo él, disminuye y ofrece menos resistencia a su caída.
C u a n d o un objeto llega finalmente al suelo, que es el lugar más
cercano al centro de la tierra que puede alcanzar, se detiene, y ahí en
su lugar natural p e r m a n e c e . El r e p o s o no r e q u e r í a de ninguna explicación mayor, puesto que se consideraba como el estado natural de
las cosas de la t i e r r a y por lo t a n t o , los t r e s fenómen-os de r e p o s o ,
m o v i m i e n t o u n i f o r m e y a c e l e r a d o , p o d r í a n ser e x p l i c a d o s en una
forma más o menos razonable por un discípulo de Aristóteles. Ahora
vamos a examinar la explicación que de estos mismos fenómenos nos
dió Newton. La clave para este e n f o q u e consiste en t e n e r una idea
clara de lo que significa el concepto de fuerza.
Nuestro sentido común nos da una idea acerca de la fuerza, que
está muy í n t i m a m e n t e ligada a n u e s t r a p r o p i a actividad m u s c u l a r .
S a b e m o s que se r e q u i e r e un e s f u e r z o constante para levantar y sostener una roca pesada o cuando empujamos una segadora de pasto, o
r e m a m o s en un bote, o partimos un tronco de árbol o amasamos pan,
nuestros músculos nos indican que estamos aplicando una fuerza a un
o b j e t o . La f u e r z a y el movimiento están asociados n a t u r a l m e n t e en
n u e s t r a s m e n t e s con la actividad m u s c u l a r . C u a n d o p e n s a m o s en
c a m b i a r la f o r m a de un o b j e t o , m o v e r l o d e l u g a r , o c a m b i a r su
movimiento, pensamos automáticamente en la sensación muscular de
aplicar fuerza a ese objeto. Pronto veremos que muchas, de nuestras
ideas c o m u n e s sobre la fuerza, a u n q u e no todas, nos serán útiles en
física.
S a b e m o s además, sin tener que pensar en ello, que las f u e r z a s
p u e d e n h a c e r q u e los o b j e t o s se m u e v a n , sin e m b a r g o , t a m b i é n
pueden hacer que se queden quietos.
1-3 PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON.
A p a r t i r de nuestra experiencia de
t o d o s los d í a s , p e n s a m o s a u t o m á t i c a m e n t e q u e siempre se necesita una fuerza p a r a m a n t e n e r un o b j e t o en
movimiento. De hecho, si no existiera la
fuerza de fricción, nos bastaría un ligero
e m p u j ó n para mandar mesas y sillas
d e s l i z á n d o s e s o b r e el p i s o c o m o si
f u e r a n discos de hielo seco (dioxido de , - j
c a r b o n o en e s t a d o s ó l i d o ) q u e al d e s - ^ £
lizarse sobre una superficie plana y lisa,
se mueve casi sin perder su velocidad. La
p r i m e r a ley d e N e w t o n l a n z a un r e t o
directo a la ¡dea aristotélica de lo que es
natural. D e c l a r a q u e el e s t a d o de reposo y el e s t a d o de movimiento
u n i f o r m e y el e s t a d o siñ a c e l e r a c i ó n en línea recta son i g u a l m e n t e
n a t u r a l e s . Si no f u e r a por la existencia de alguna f u e r z a , c o m o por
ejemplo, la fricción, -los objetos se moverían e t e r n a m e n t e ! Podemos
e x p r e s a r la p r i m e r a ley del m o v i m i e n t o de N e w t o n en l e n g u a j e
moderno como sigue:
T o d o s l o s o b j e t o s p e r m a n e c e n en e s t a d o de r e p o s o o de
movimiento rectilíneo uniforme, a menos que actúe sobre ellos una
fuerza no balanceada. Asimismo, si un objeto se encuentra en estado
de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, la fuerza no balanceada que actúa sobre él, deberá ser igual a cero.
P a r a p o d e r e n t e n d e r e\ m o v i m i e n t o de un o b j e t o , d e b e m o s
t o m a r en c u e n t a , todas las f u e r z a s q u e actúan s o b r e él. Si iüíla* las
f u e r z a s , ( i n c l u y e n d o la f r i c c i ó n ) e s t á n b a l a n c e a d a s , el o b j e t o se
moverá con una v constante.
A u n q u e Newton fue el primero en expresar esta idea como una
ley general, G a l i l e o había hecho las mismas afirmaciones cincuenta
años antes. Por supuesto, ninguno de los dos poseían discos de hielo
seco, ni i n s t r u m e n t o s similares. Por lo tanto, no podían observar el
movimiento en el cual se hubiera reducido la fricción, en forma tan
considerable. Por el contrario, Galileo inventó un experimento en el
que imaginó que la fricción fuera cero.
Este experimento pensado se basaba en una observación real. Si
se toma el extremo de un péndulo que se encuentra en reposo, se jala
y luego se suelta, el p é n d u l o f o r m a r á un arco y luego se levantará a
una altura similar a la que tuvo cuando se soltó. En realidad, Galileo
mostró que esto ocurrirá aun cuando ponga una clavija que cambie el
trayecto, como lo muestra la figura anterior.
A partir de esta observación, Galileo siguió con su experimento
pensado, y p r e d i j o q u e si soltaba una pelota desde una cierta altura,
sobre una r a m p a que no tuviera fricción, la pelota rodaría hasta alc a n z a r u n a a l t u r a similar en u n a r a m p a igual, c o l o c a d a f r e n t e a la
o t r a . C o n s i d e r e m o s el s i g u i e n t e d i a g r a m a : en d o n d e v e m o s q u e si
cambiamos la rampa de la derecha a la posición (a), a la (b) y luego a
la (c), la pelota tendrá que recorrer una distancia mayor en cada caso
para alcanzar la altura original.
V e m o s q u e f r e n a más l e n t a m e n t e al d i s i m i n u r el á n g u l o de
inclinación, p e r o si la segunda rampa estuviera exactamente al nivel
del piso, como se muestra en (d), la pelota nunca podría llegar a la altura original. Por lo tanto, Galileo creía que una pelota sobre esta sup e r f i c i e sin f r i c c i ó n , r o d a r í a e t e r n a m e n t e en l í n e a r e c t a y sin
m o d i f i c a r su r a p i d e z . P o d e m o s c o n s i d e r a r que esto q u i e r e decir lo
m i s m o q u e la p r i m e r a ley d e N e w t o n . En r e a l i d a d , a l g u n o s historiadores científicos le conceden el crédito a Galileo, por haber sido
el p r i m e r d e s c u b r i d o r de esta ley. Sin e m b a r g o , o t r o s h i s t o r i a d o r e s
s e ñ a l a n el h e c h o de que G a l i l e o p e n s a b a q u e la "rotación e t e r n a "
consistía en "mantenerse a una altura constante sobre la superficie de
la Tierra", y no pensó que sería "moverse en línea recta a través del
espacio".
E s t a t e n d e n c i a de los o b j e t o s a m a n t e n e r s e en su e s t a d o de
reposo o de movimiento uniforme, es llamada algunas veces el "prin-
cipio de la inercia", p o r lo q u e a l g u n a s
v e c e s n o s r e f e r i m o s a'la p r i m e r a ley de
Newton, como la ley de la inercia. La inerÓ a e s u n a p r o p i e d a d c o m ú n a t o d o s los
o b j e t o s . P o r así d e c i r l o , los c u e r p o s ?
m a t e r i a l e s t i e n e n un rasgo de t e r q u e d a d !
con respecto a su e s t a d o de movimiento
una vez q u e se e s t á n d e s p l a z a n d o , cont i n ú a n h a c i é n d o l o sin m o d i f i c a r ni su
rapidez ni su dirección, a menos que actúe
sobre ellos alguna fuerza externa no balanceada, pero si están en reposo, permanecen así. Esta tendencia es lo
que hace tan necesarios los cinturones de seguridad cuando un coche
se d e t i e n e de pronto, y también explica por qué es p r o b a b l e que en
un camino con hielo, el coche no de vuelta en una curva, sino que se
siga de frente y tal vez entre a un terreno o choque contra una barda.
Mientras mayor es la inercia de un objeto, mayor es su resistencia a
c a m b i a r su e s t a d o de m o v i m i e n t o , y m a y o r s e r á la f u e r z a q u e se
necesita para producir un cambio de éste último. Por ejemplo, es más
difícil a r r a n c a r un tren y un barco y hacer que alcancen su r a p i d e z
máxima, que m a n t e n e r l o s en ella una vez que ya la alcanzaron. (En
ausencia de la fricción, seguirían moviéndose sin tener que aplicar
una f u e r z a ) . Pero por esa misma razón, es difícil detenerlos, y tanto
los p a s a j e r o s c o m o la carga s i g u e n h a c i a a d e l a n t e si se f r e n a de
repente el vehículo.
La p r i m e r a ley de Newton nos dice, que si un o b j e t o se mueve
con una rapidez constante en línea recta, las fuerzas que actúan sobre
él d e b e r á n ser balanceadas, o sea que el c u e r p o esta en e q u i l i b r i o .
¿Acaso significa esto que en la física de Newton el estado de reposo y
de m o v i m i e n t o u n i f o r m e son e q u i v a l e n t e s ? ¡Así es en r e a l i d a d ' .
Cuando sabemos que un cuerpo esta en equilibrio, solo sabemos que
v es constante. El hecho de que el valor de esta constante sea cero o
no, d e p e n d e en todo caso de nuestro marco de referencia al medir la
magnitud de vy p o d e m o s decir que está en r e p o s o o m o v i é n d o s e a
una v constante mayor a cero, solo con respecto a otro cuerpo.
T o m e m o s , p o r e j e m p l o , el c a s o de
una c o m p e t e n c i a de jalar una cuerda. Los
dos e q u i p o s están s e n t a d o s en la cubierta
de una b a r c a q u e navega a una velocidad
uniforme por un río de corriente tranquila.
Hay dos observadores que reportan el incid e n t e , u n o d e s d e la m i s m a b a r c a y o t r o
d e s d e la orilla del río; cada uno, desde su
propio marco de referencia. El observador
de la barca dirá que las fuerzas de la cuerda e s t á n b a l a n c e a d a s y que p e r m a n e c e en
reposo. El que está en la orilla reportará que las fuerzas están balanceadas y que la cuerda se encuentra en movimiento uniforme. ¿Cuál
de los dos tiene la razón?. Ambos: la primera ley del movimiento de
N e w t o n s e ^ p l i c a a las dos o b s e r v a c i o n e s , pues el h e c h o de que un
cuerpo esté en reposo o en movimiento uniforme depende del marco
de referencia que usemos para observar el hecho. En ambos casos, las
fuerzas que actúan sobre el objeto en cuestión estarán balanceadas.
1-4 EL SIGNIFICADO DE LA PRIMERA LEY.
Las leyes d e N e w t o n t i e n e n q u e ver con m u c h o s c o n c e p t o s
filosóficos p r o f u n d o s . Pero estas leyes no son tan fáciles de usar; y
p o d e m o s ver la importancia de la primera sin e n t r a r en ninguna de
las ideas complejas. Para mayor comodidad, vamos a hacer una lista
de los p u n t o s de vista i m p o r t a n t e s q u e nos p r o p o r c i o n a la p r i m e r a
ley.
•
Presenta la idea de la inercia como una propiedad básica de
todos los o b j e t o s m a t e r i a l e s . La inercia es la t e n d e n c i a de
c u a l q u i e r o b j e t o a m a n t e n e r su e s t a d o d e r e p o s o o de
movimiento uniforme.
•
Señala la equivalencia entre estado de reposo y el estado de
m o v i m i e n t o u n i f o r m e en línea r e c t a . En a m b o s casos, la
fuerza neta es igual a cero.
•
C r e a el c o n c e p t o del m a r c o de r e f e r e n c i a . Un o b j e t o q u e
esté quieto según un observador, puede estar en movimiento
según otro. Por lo tanto, se d e b e de especificar el marco de
r e f e r e n c i a , si es q u e q u e r e m o s q u e las i d e a s d e r e p o s o y
movimiento uniforme tengan algún sentido.
•
Se le c o n s i d e r a c o m o una ley universal. H a c e énfasis en el
hecho de que un sólo esquema puede estudiar el movimiento
en cualquier lugar del universo. Por primera vez, se hace una
distinción e n t r e los sucesos de la T i e r r a y de o t r o s lugares
del Universo. La misma ley se aplica a los objetos terrestres,
así c o m o a la Luna, los p l a n e t a s y las estrellas, y también a
las pelotas, los discos de hielo seco, los ¡manes, los núcleos
de los átomos, los electrones, y Itodo!.
•
La p r i m e r a ley d e s c r i b e el c o m p o r t a m i e n t o de los o b j e t o s
c u a n d o n o hay f u e r z a s no b a l a n c e a d a s q u é a c t ú e n s o b r e
e l l o s . P o r lo t a n t o , p r e p a r a el t e r r e n o p a r a la p r e g u n t a
s i g u i e n t e : ¿ Q u é es e x a c t a m e n t e lo q u e sucede c u a n d o una
fuerza no balanceada llega a actuar sobre un objeto?.
1-5 LA SEGUNDA LEY DEL MOVIEMIENTO DE NEWTON.
Hasta ahora hemos encontrado dos de nuestros tres objetivos: la
explicación del reposo y del movimiento uniforme. En términos de la
p r i m e r a ley, a m b o s son e q u i v a l e n t e s . Es d e c i r , s i m p l e m e n t e son
modos d i f e r e n t e s de describir el e s t a d o de equilibrio, en el cual no
hay n i n g u n a f u e r z a no b a l a n c e a d a q u e a c t ú e s o b r e el o b j e t o en
cuestión.
T o m e m o s , p o r e j e m p l o , el c a s o de
una c o m p e t e n c i a de jalar una cuerda. Los
dos e q u i p o s están s e n t a d o s en la cubierta
de una b a r c a q u e navega a una velocidad
uniforme por un río de corriente tranquila.
Hay dos observadores que reportan el incid e n t e , u n o d e s d e la m i s m a b a r c a y o t r o
d e s d e la orilla del río; cada uno, desde su
propio marco de referencia. El observador
de la barca dirá que las fuerzas de la cuerda e s t á n b a l a n c e a d a s y que p e r m a n e c e en
reposo. El que está en la orilla reportará que las fuerzas están balanceadas y que la cuerda se encuentra en movimiento uniforme. ¿Cuál
de los dos tiene la razón?. Ambos: la primera ley del movimiento de
N e w t o n s e ^ p l i c a a las dos o b s e r v a c i o n e s , pues el h e c h o de que un
cuerpo esté en reposo o en movimiento uniforme depende del marco
de referencia que usemos para observar el hecho. En ambos casos, las
fuerzas que actúan sobre el objeto en cuestión estarán balanceadas.
1-4 EL SIGNIFICADO DE LA PRIMERA LEY.
Las leyes d e N e w t o n t i e n e n q u e ver con m u c h o s c o n c e p t o s
filosóficos p r o f u n d o s . Pero estas leyes no son tan fáciles de usar; y
p o d e m o s ver la importancia de la primera sin e n t r a r en ninguna de
las ideas complejas. Para mayor comodidad, vamos a hacer una lista
de los p u n t o s de vista i m p o r t a n t e s q u e nos p r o p o r c i o n a la p r i m e r a
ley.
•
Presenta la idea de la inercia como una propiedad básica de
todos los o b j e t o s m a t e r i a l e s . La inercia es la t e n d e n c i a de
c u a l q u i e r o b j e t o a m a n t e n e r su e s t a d o d e r e p o s o o de
movimiento uniforme.
•
Señala la equivalencia entre estado de reposo y el estado de
m o v i m i e n t o u n i f o r m e en línea r e c t a . En a m b o s casos, la
fuerza neta es igual a cero.
•
C r e a el c o n c e p t o del m a r c o de r e f e r e n c i a . Un o b j e t o q u e
esté quieto según un observador, puede estar en movimiento
según otro. Por lo tanto, se d e b e de especificar el marco de
r e f e r e n c i a , si es q u e q u e r e m o s q u e las i d e a s d e r e p o s o y
movimiento uniforme tengan algún sentido.
•
Se le c o n s i d e r a c o m o una ley universal. H a c e énfasis en el
hecho de que un sólo esquema puede estudiar el movimiento
en cualquier lugar del universo. Por primera vez, se hace una
distinción e n t r e los sucesos de la T i e r r a y de o t r o s lugares
del Universo. La misma ley se aplica a los objetos terrestres,
así c o m o a la Luna, los p l a n e t a s y las estrellas, y también a
las pelotas, los discos de hielo seco, los ¡manes, los núcleos
de los átomos, los electrones, y Itodo!.
•
La p r i m e r a ley d e s c r i b e el c o m p o r t a m i e n t o de los o b j e t o s
c u a n d o n o hay f u e r z a s no b a l a n c e a d a s q u é a c t ú e n s o b r e
e l l o s . P o r lo t a n t o , p r e p a r a el t e r r e n o p a r a la p r e g u n t a
s i g u i e n t e : ¿ Q u é es e x a c t a m e n t e lo q u e sucede c u a n d o una
fuerza no balanceada llega a actuar sobre un objeto?.
1-5 LA SEGUNDA LEY DEL MOVIEMIENTO DE NEWTON.
Hasta ahora hemos encontrado dos de nuestros tres objetivos: la
explicación del reposo y del movimiento uniforme. En términos de la
p r i m e r a ley, a m b o s son e q u i v a l e n t e s . Es d e c i r , s i m p l e m e n t e son
modos d i f e r e n t e s de describir el e s t a d o de equilibrio, en el cual no
hay n i n g u n a f u e r z a no b a l a n c e a d a q u e a c t ú e s o b r e el o b j e t o en
cuestión.
H a b / á n n o t a d o q u e no se e s t a b l e c i ó n i n g u n a r e l a c i ó n cuantitativa ( m a t e m á t i c a ) e n t r e la f u e r z a y la inercia. E s t u d i a r e m o s por
s e p a r a d o , las f o r m a s en que la fuerza y la inercia entran en la segunda ley. P o s t e r i o r m e n t e , en e s t a m i s m a sección e s t u d i a j e m o s más
c u i d a d o s a m e n t e c ó m o m e d i r la f u e r z a y la i n e r c i a . P e r o p r i m e r o ,
t o m a r e m o s algo de tiempo para asegurarnos de que la afirmación de
N e w t o n q u e d ó clara. V a m o s a c o n s i d e r a r en p r i m e r lugar una
situación en la que diferentes fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo,
y después t o m a r e m o s otra situación, en la que la misma fuerza actúe
sobre diferentes objetos.
La f u e r z a y la aceleración. Con el o b j e t o de hacer hincapié en
el aspecto de la fuerza, la segunda ley de Newton p u e d e expresarse
como sigue: .
La fuerza neta no balanceada que actúa sobre un objeto está
en proporción directa, y tiene la misma dirección, que la aceleración
del objeto.
E n f o r m a m á s b r e v e , p o d e m o s e s c r i b i r e s t a ley así:"La
aceleración de un objeto es proporcional a la fuerza neta que actúa
s o b r e él". S i Fneta r e p r e s e n t a la f u e r z a n e t a y a r e p r e s e n t a la
aceleración, ponemos esta relación como sigue
a « Fneta
T a n t o a c o m o F n e t a s o n v e c t o r e s . Al d e c i r q u e s o n p r o p o r cionales, también queremos decir que apuntan en la misma dirección.
El decir q u e una cantidad es p r o p o r c i o n a l a otra es hacer una
afirmación matemática precisa. Aquí, significa que si una cierta fuerz a n e t a (Fneta) h a c e q u e u n o b j e t o se m u e v a c o n u n a c i e r t a
aceleración (a) entonces una fuerza nueva que equivalga al doble de
la anterior, (2F n eta) hará que el mismo o b j e t o tenga una aceleración
doble a la a n t e r i o r , (2a). De la misma m a n e r a , una f u e r z a que sea 3
veces, etc. U s a n d o símbolos, este principio p u e d e expresarse como
sigue:
Si una fuerza
Fneta
provoca a, entonces una fuerza igual a
2F n ¿ta provocará 2a.
3Fneta provocará 3a.
5 . 2 F n e t a provocará 5.2a.
y así sucesivamente.
Masa y Aceleración. A h o r a p o d e m o s estudiar el aspecto de la
inercia en la s e g u n d a ley, el e f e c t o que t i e n e la misma f u e r z a neta
sobre diferentes objetos. Al hablar de la primera ley, definírnosla ine r c i a c o m o la r e s i s t e n c i a d e un o b j e t o a c a m b i a r su v e l o c i d a d ^
S a b e m o s por e x p e r i e n c i a y por o b s e r v a c i ó n , q u e hay o b j e t o s q u e
tienen más inercia que otros. Por ejemplo, vamos a s u p o n e r que ust e d e s l a n z a r a n u n a p e l o t a de b é i s b o l y d e s p u é s una bala de competencia. Ustedes saben que la pelota aceleraría más y por lo tanto,
a l c a n z a r í a u n a r a p i d e z m a y o r q u e la b a l a. (Asi ve m o s q u e la
aceleración de un c u e j p o depende tanto del cuerpo^como de la fuerza q u e se le a p l i q u e ? E l c o n c e p t o de la c a n t i d a c í d e i n e r c i a de un
cuerpo, se expresa con la palabra
Masa es una palabra común, pero sólo será útil en física si no se
c o n f u n d e con a l g u n o s de sus s i g n i f i c a d o s de t o d o s los días, y q u e
marca el sentido común. Por ejemplo, la masa a menudo se usa como
un sinónimo de peso. Pero a u n q u e ambos conceptos están estrechamente r e l a c i o n a d o s , no son e x a c t a m e n t e la misma cosa.jEl peso es
una fuerza con la que la gravedad está actuando sobre un objeto^ Por
o t r o lado, la masa es una m e d i d a de la r e s i s t e n c i a del o b j e t o a la
aceleración. Es cierto que sobre o cerca de la
s u p e r f i c i e d e la T i e r r a , los o b j e t o s q u e son
difíciles de acelerar, también son pesados.
con masa 1/5 m experimentará 5a,
con masa 2.5m experimentará 0.4a,
y así sucesivamente.
Si aplicamos la misma fuerza a varios obj e t o s de m a s a ^ i f e r e n t e , sus aceleraciones no
serán iguales.^Newton dijo que la aceleración
r e s u l t a n t e de c a d a o b j e t o e s t a b a en
p r o p o r c i ó n i n v e r s a a la m a s a ^ S i u s a m o s el
s í m b o l o m p a r a la m a s a ( e s u n a c a n t i d a d esc a l a r ) , y el s í m b o l o a p a r a la m a g n i t u d de la
aceleración vectorial a p o d e m o s decir q u e "a
es proporcional a 1/m o:
a « 1/m
Esta ecuación significa que si una determ i n a d a f u e r z a le da a un o b j e t o u n a d e t e r minada aceleración, la misma fuerza hará que
un objeto que tenga el doble de masa, obtenga
la m i t a d d e la a c e l e r a c i ó n ^ U n o b j e t o q u e
t e n g a t r e s v e c e s la masa a n t e r i o r , t e n d r á un
tercio de la aceleración, un objeto con la quinta p a r t e de la masa, t e n d r á 5 v e c e s la misma
a c e l e r a c i ó n , y así s u c e s i v a m e n t e . Así vemos
p o r e j e m p l o , q u e un camión necesita mucho
más t i e m p o p a r a a l c a n z a r la misma r a p i d e z ,
c u a n d o está lleno que cuando está vació.
U s a n d o símbolos, podemos expresar esta
relación de la manera siguiente:
Si se le aplica una cierta fuerza F n c t a , a un objeto
con masa m experimenta a, entonces un objeto
con masa 2m experimentará l/2a,
con masa 3m experimentará l/3a,
E s t a s a f i r m a c i o n e s p u e d e n d e m o s t r a r s e p o r m e d i o de exp e r i m e n t o s . ¿ P u e d e n d a r a l g u n a idea de c ó m o p o d r í a r e a l i z a r s e
esto?.
Los papeles que juegan la fuerza y la masa en la segunda ley de
Newton pueden combinarse en una sola oración:
La aceleración de un objeto es directamente proporcional, y
tiene la misma dirección, que la fuerza no balanceada que actúa
sobre él, y asimismo, está en proporción inversa a la masa del objeto.
Las ideas expresadas en esta larga oración, se p u e d e n resumir
por medio de la siguiente ecuación:
a = Fnrta/m
Esta ecuación es sólo una de las formas posibles de expresar la
s e g u n d a ley del m o v i m i e n t o de N e w t o n . Por s u p u e s t o , la misma
relación puede escribirse de la forma, igualmente correcta, siguiente:
Fnda = ma
En c u a l q u i e r a d e las d o s f o r m a s , é s t a es p o s i b l e m e n t e la
ecuación más f u n d a m e n t a l en la mecánica de Newton. De la misma
m a n e r a q u e la p r i m e r a ley, la s e g u n d a t a m b i é n t i e n e un a m p l i o
c a m p o d e a p l i c a c i ó n . N o i m p o r t a q u e la f u e r z a s e a m e c á n i c a ,
eléctrica o magnética, no importa que la masa sea la de una estrella o
la de una partícula nuclear, no importa que la aceleración sea grande
o p e q u e ñ a , p o d e m o s usar esta ley p a r a los p r o b l e m a s más simples
c o m o p a r a los más c o m p l i c a d o s . Al m e d i r la a c e l e r a c i ó n q u e u n a
f u e r z a n e t a d e s c o n o c i d a p r o d u c e en un o b j e t o de masa conocida,
p o d e m o s c a l c u l a r el v a l o r n u m é r i c o d e la f u e r z a , a p a r t i r d e la
ecuación Fneta = ma. O bien, al medir la aceleración q u » una fufiiza
neta conocida p r o d u c e en un o b j e t o de masa desconocida, p o d e m o s
c a l c u l a r el v a l o r n u m é r i c o de la masa a p a r t i r de la e c u a c i ó n m =
F n e t a / a . D e s d e luego, q u e n e c e s i t a m o s medir d o s d e l a s t r e s c a n tidades para poder calcular la otra.
Unidades
f u e r z a v m a s a . Sin e m b a r g o , a n t e s de p o d e r
realizar tales medidas, necesitamos establecer las unidades de masa y
f u e r z a . Más aún, estas u n i d a d e s d e b e n ser constantes en relación a
las u n i d a d e s de a c e l e r a c i ó n , q u e ya se han d e f i n i d o en t é r m i n o s de
n o r m a s de longitud y tiempo, por e j e m p l o , metros por segundo por
segundo (m/seg/seg).
A h o r a p o d e m o s c o n t e s t a r a la p r e g u n t a de c o m o asignar a un
"empujón" o un "jalón" una unidad de f u e r z a . Definimos una unidad
de fuerza, como aquélla que, actuando por si sola, hace que un objeto
con una masa de un kilogramo, acelere a un ritmo de exactamente 1
metro/segundo/segundo.
1 kg
1
1 m/seg2
I m a g i n e m o s un e x p e r i m e n t o en el q u e un o b j e t o de un kilogramo f u e r a jalado por una balanza de resorte en dirección horizontal sobre una superficie plana y sin fricción. Se regularía el jalón para
hacer que el o b j e t o de un kg acelerara exactamente 1 m/seg. La fuerza requerida tendría por definición, una magnitud de una unidad:
Fneta = l k g x l m/seg2 = l k g m/seg2
%
Por lo tanto, 1 kg ná/seg 2 de fuerza es una cantidad que ocaciona
que un objeto con una masa de 1 kg acelere 1 m/seg .
£ La unidad kg m/seg 2 ha conseguido tener el nombre más corto,
NF/WTON. se abrevia N. El newton es una unidad derivada, se define
en términos de una relación especial entre el metro, el kilogramo y el
segundo. Por lo tanto, el newton forma parte del sistema de unidades
M.K.S., que se usa casi universalmeóte e n las obras científicas moder- J.
ñas.
N e w t o n no "descubrió 1 * los c o n c e p t o s de f u e r z a y masa, p e r o
r e c o n o c i ó q u e son básicas para c o m p r e n d e r el movimiento. Aclaró
estos c o n c e p t o s y e n c o n t r ó una m a n e r a de expresarlos con v a l o r e s
numéricos, haciendo posible así, la ciencia de la dinámica.
1-6 MASA, PESO Y CAÍDA UBRE.
La ¡ d e a d e la f u e r z a d e n t r o d e la
física incluye mucho más que empujones y
j a l o n e s m u s c u l a r e s . C a d a vez q u e observamos una aceleración, sabemos que existe una f u e r z a q u e e s t a a c t u a n d o . Las
fuerzas no necesitan ser "mecánicas" (ejerc i d a s s o l o p o r el c o n t a c t o ) . T a m b i é n
p u e d e n r e s u l t a r d e la g r a v e d a d , d e la
e l e c t r i c i d a d , el m a g n e t i s m o y o t r a s acc i o n e s . Las leyes de N e w t o n f u n c i o n a n
con todas las fuerzas.
La fu«rza de gravedad actúa sobre los objetos aún sin que exista
un contacto directo. Tales objetos pueden estar separados por uno
cuantos meteos de aire, como en el caso de la Tierra y una piedra qúe
cae, o p u e d e n estar separados por muchos kilómetros de espacio
vacío, comtfen el caso de los satélites artificiales con respecto a la
Tierra.
Usaremos el símbolo Fg para la fuerza de gravedad. La magnitud de esta es casi la misma en toda la superficie de la Tierra, con
r e s p e c t o a un c i e r t o o b j e t o . Si q u i s i é r a m o s ser muy p r e c i s o s ,
tendríamos que tomar en cuenta que en la Tierra no es exactamente
esférica, y que existen irregularidades en la composición de la corteza, las cuales pueden causar ligeras diferencias (hasta un 2%) en la
fuerza de gravedad sobre el mismo objeto en diferentes lugares de la
T i e r r a . U n o b j e t o q u e t e n g a u n a m a s a c o n s t a n t e d e 1 kg,
experimentará una fuerza de gravedad de 9.812 newtons en Londres,
pero solamente 9.796 newtons en Denver, Colorado. Los geólogos se
valen de estas variaciones para localizar petróleo y otros depósitos
minerales.
La palabra peso se usa a menudo en la conversación diaria como
si quisiera decir lo mismo que la masai En la física, definimos el peso
de un objeto como la fuerza gravitatoria que actúa sobre él/El peso
es una cantidad vectorial, como lo son todas las fuerzas. Ei peso de
cada uno de ustedes consiste en la fuerza que nuestro planeta ejerce
sobre ustedes, ya sea que esten parados o sentados, volando o cayendo, dando la vuelta a la Tierra en un vehículo espacial o simplemente
parados sobre la báscula para "pesarse".
Piensen por un momento en lo que hace una báscula. El resorte
que tiene se comprime hasta que ejerce una fuerza hacia arriba lo
suficientemente intensa para sostenerlos. Así que lo que la báscula
registra realmente es la fuerza que hace empujando bajo sus pies.
Cuando ustedes y la báscula se quedan en reposo y no aceleran, la
báscula debe estar empujando bajo sus pies con una fuerza igual en
magnitud al peso de ustedesaEs por e s o que están en equilibrio, la
suma de todas las fuerzas sobre ustedes es igual a cero.
Ahora imaginen por un momento un experimento pensado que
es ridículo pero instructivo. Mientras ustedes están parados sobre la
báscula, el piso cede de repente (el cual había estado empujando a la
báscula para arriba). Tanto ustedes como la báscula caen dentro de
un profundo pozo en caída libre. En todo momento, ía rapidez de
caída de ustedes y la de la báscula serán iguales, puesto que caen con
la misma aceleración. Ahora sus pies tocan la báscula en forma muy
ligera (si no es que no la tocan para nada). Si observan el marcador,
verán que registra cero. Esto no quiere decir que hayan perdido peso,
eso sólo podría ocurrir si la Tierra desapareciera repentinamente, o
si fueran transportados muy lejos, al espacio interestelar. No, F g
sigue actuando sobre ustedes como antes y acelerando su caída, pero
como la báscula acelera junto con ustedes, ya no están empujándola
hacia abajo, ni ella tampoco les empuja hacia arriba.
Pueden darse una idea bastante buena sobre la diferencia que
existe entre las propiedades del peso y de la masa tomando un libro
grande con sus manos. Primero, pongan el libro sobre una mano, y
sientan el peso del libro que empuja hacia abajo. Ahora, tomen el
libro y agítenlo hacia los lados. Seguirán sintiendo el peso hacia
abajo, pero también podrán darse cuenta de lo difícil que es acelerarlo hacia los lados. Esta resistencia a la aceleración constituye 1? masa
del libro. Podrían "cancelarla sensación del peso colgando el libro de
un cordón, pero la sensación de su inercia al tratar de agitarlo sería
la misma. Esta es solamente una demostración muy burda, sin embargo, hay experimentos más elaborados que podrían mostrarnos que el
peso puede cambiar, sin que también baya un cambio en la masa. Así
podemos ver que cuando un astronauta usa una gran cámara sobre la
superficie de la Luna, la encuentra mucho más manuable que sobre la
Tierra. En términos de la gravedad lunar, el peso de la cámara sólo es
una sexta parte de lo que sería en la Tierra. Pero su masa o inercia
no disminuye, así que sería tan difícil tratar de hacerla oscilar y tomar
una nueva posición, como lo sería aquí en la Tierra.
Aho*a p o d e m o s e n t e n d e r más claramente 4os resultados del exp e r i m e n t o d e Galileo sobre los objetos que caen^Galileo mostró que
cualquier o b j e t o d e t e r m i n a d o (en un lugar determinado) cae con una
a c e l e r a c i ó n u n i f o r m e a g . ^ ¿ C u á l e s la c a u s a d e e s t a a c e l e r a c i ó n
u n i f o r m e ? ! U n a f u e r z a n e t a c o n s t a n t e , q u e e n e s t e c a s o de c a í d a
libre, es s i m p l e m e n t e F g . A h o r a b i e n , la segunda ley d e N e w t o n exp r e s a la r e l a c i ó n e n t r e e s t a f u e r z a y la a c e l e r a c i ó n r e s u l t a n t e . Si
aplicamos la ecuación Fneta = m a e n e s t e caso, e n q u e Fneta = Fg y
que a = ag, podemos decir que:
F g = mag
D e s d e l u e g o q u e p o d e m o s e s c r i b i r la e c u a c i ó n e n u n a f o r m a
distinta:
ag=Fg/m
A p a r t i r d e la s e g u n d a ley d e N e w t o n , p o d e m o s v e r a h o r a
porquéwa a c e l e r a c i ó n d e un c u e r p o e n caída libre es c o n s t a n t e . La
r a z ó n e T q u e , p a r a un o b j e t o con u n a c i e r t a masa m, la f u e r z a de
gravedad F g sobre distancias normales de caída es casi constante.
Sin embargo,^Galileo hizo más q u e decir q u e los o b j e t o s caen
con una a c e l e r a c i ó n amsianifc:(él d e s c u b r i ó q u e en c u a l q u i e r lugar
d e t e r m i n a d o , iodos l o s o b j e t o S c a e n c o n u n a misma a c e l e r a c i ó n
u n i f o r m e l A h o r a s a b e m o sjq u e e a 1 a s u p e rf ic i e d e U T i e x r a , e s t a
a c e l e r a c i o n t i e n e un valor a p j ^ x n ¿ a d n riV Q ft-m/^g ^Sin i m p o r t a r
cUáíseaTalMsrm^
los cuerpos en caída libre (en
el mismo lugar) tienen la misma aceleración a g .
1-7 TERCERA LEY D£L MOVIMIENTO DE NEWTON.
En su p r i m e r a ley, Newton describió el c o m p o r t a m i e n t o de los
obietos que se encuentran en estado de equilibrio; es decir, cuando la
fuerza neta q u e actúa sobre ellos es igual a cero. Su segunda ley explica cómo cambia su movimiento cuando la fuerza neta no es igual a
cero. La tercera ley de Newton añade un nuevo y sorprendente punto
de vista sobre las fuerzas.
Consideremos este problema: en una carrera de 100 metros, un
atleta parte desde el r e p o s o hasta casi la r a p i d e z máxima en menos
de 1 seg Podríamos medir su masa antes de que empiece la carrera, y
podríamos usar fotografía de alta velocidad para medir su aceleración
inicial Al s a b e r su masa y a c e l e r a c i ó n , p o d r í a m o s usar la ecuación
para encontrar la fuerza que actúa sobre él durante la aceleración inicial ¿Pero de d ó n d e viene esa f u e r z a ? . D e b e tener algo que ver con
el c o r r e d o r m i s m o . ¿ E s p o s i b l e q u e él e j e r z a una f u e r z a s o b r e si
mismo en f o r m a global? Por e j e m p l o , ¿es p o s i b l e q u e él m i s m o se
levante estirando las correas de sus zapatos?
La t e r c e r a ley de Newton nos ayuda a c o m p r e n d e r j u s t a m e n t e
estas situaciones s o r p r e n d e n t e s . Primero, vamos a ver qué es lo que
dice la tercera ley. En las propias palabras de Newton es como sigue:
Para toda acción hay una reacción igual y opuesta; o bien, las
acciones mutuas de dos cuerpos que actúan cada uno sobre el otro,
siempre son iguales y en dirección opuesta.
E s t a es u n a t r a d u c c i ó n p a l a b r a por p a l a b r a d e los principios.
Sin embargo, se ha aceptado en forma generalizada que se puede sustituir la palabra acción por la expresión flirrzñ flilfi acltiñ Sfíhre un QDjeto, así c o m o las p a l a b r a s r r a r r i f t n igual y npilCSta por la expresión
h i e r r » ipnalmenff g r ? " ^
o t r o ohietQ. L é a n l a con e s t o s cambios.
La Idea más s o r p r e n d e n t e de esta afirmación es el hecho de que
las f u e r z a s siempre ocurren en parejas idénticas, y sobre dos objetos
d i f e r e n t e s . E n r e a l i d a d , la idea de q u e exista u n a sola f u e r z a q u e
actúe sin que haya ninguna otra actuando en otro sitio, cargce de sent i d o en a b s o l u t o . S o b r e este p u n t o , Newton escribió: Todo aquéllo
q u e e j e r z a u n a p r e s i ó n o una t r a c c i ó n s o b r e a l g o , es j a l a d o y
oprimido en la misma medida por ese algo. Si se oprime una piedra
con un d e d o , el d e d o t a m b i é n es o p r i m i d o por la p i e d r a . E s t a
afirmación sugiere el hecho de q u e las fuerzas siempre surgen como
resultado de las acciones mutuas (interacciones) e n t r e los objetos, si
un o b j e t o A oprime o j a l a a B, entonces al mismo tiempo, B e m p u j a o
j a l a con e x a c t a m e n t e la misma f u e r z a sobre A. Estas f u e r z a s pares,
siempre son idénticas en cuanto a su magnitud, siempre son opuestas
en c u a n t o a su dirección y siempre actúan sobre dos objetos diferentes.
La primera ley hace énfasis en que debemos de tomar en cuenta
la razón por la cual los dbjetos a u m e n t a n o disminuyen su rapidez, o
bien cambian su dirección. La segunda nos dice q u e el ritmo de cambio de la velocidad de un objeto relacionado tanto como la masa del
o b j e t o c o m o con la f u e r z a neta que se ejerce sobre él. D e hecho, la
segunda ley nos muestra que los mismos significados de fuerza y masa
e s t á n í n t i m a m e n t e l i g a d o s e n t r e sí. Y la t e r c e r a e s t a b l e c e u n a
relación de la fuerza que existe entre los objetos que interaccionan.
C u a l q u i e r o b j e t o A q u e a f e c t e al o b j e t o B d e b e a su vez ser
a f e c t a d o p o r B, e n f o r m a igual y o p u e s t a . P o d e m o s usar la f o r m a
a l g e b r á i c a p a r a e x p r e s a r esta idea, d e q u e cada vez q u e exista una
interacción entre A y B:
1-9 LAS FUERZAS BÁSICAS DE LA NATURALEZA.
FAB = Fba
Esta ecuación nos resume calaramente la tercera ley de Newton:
Siempre q u e hay una interacción entre dos cuerpos, las fuerzas ejercidas sobre cada uno de ellos son iguales en magnitud y o p u e s t a s en
dirección.
1-6 COMO USAR LAS LEYES DE NEWTON
H e m o s estudiado con cierto detalle cada una de las tres leyes de
N e w t o n . La p r i m e r a hace hincapié sobre el p u n t o de vista m o d e r n o
en el e s t u d i o del movimiento. Dice q u e lo que r e q u i e r e explicación
no es el movimiento en sí. Sino el cambio del movimiento.
A pesar de su importancia individual, las tres leyes de Newton
nos serán útiles si las usamos juntas. La mecánica basada en las leyes
de Newton f u e más efectiva, y en realidad hasta finales del Siglo XIX,
parecía que todo el Universo podía comprenderse como "Materia en
Movimiento".
Al Estudiar las leyes del movimiento de Newton, hemos llegado
a comprender mejor los objetos en reposo, en movimiento uniforme,
y en m o v i m i e n t o a c e l e r a d o . Sin e m b a r g o , hay m u c h a s c o s a s q u e
también hemos a p r e n d i d o . La primera ley de Newton nos mostró la
importancia de los marcos de r e f e r e n c i a . De hecho, el p r i m e r paso
hacia la teoría de la relatividad fue el c o m p r e n d e r la relación que
existe entre las descripciones del mismo suceso visto desde marcos de
referencia distintos.
La segunda ley de Newton muestra la importancia fundamental
d e l c o n c e p t o d e la f u e r z a . D i c e , e n e f e c t o . C u a n d o Qh.sefYCn
aceleración, busquen la fuerza!. Es así c o m o nos dimos c u e n t a de la
fuerza debida a la gravedad que explicaba la cinemática de Galileo.
D e s c u b r i m o s q u e , e n un lugar d e t e r m i n a d o , a g e s c o n s t a n t e p a r a
todos los o b j e t o s y como a = Fg/m según la segunda ley de Newton,
sacamos en c o n c l u s i ó n q u e la m a g n i t u d de Fg s i e m p r e es p r o p o r cional a m.
u e r z a r e d u c i d a la q u e h a c e q u e
el m u n d o se mantenga
La segunda interacción coniste eTTÍos p r o c e s o s e l é c t r i c o s y
y a d q u i e r e gran impora n c i a e n la e s c a l a a t ó m i c a y
lar. P o d e m o s d e c i r q u e es
r i n c i p a l m e n t f 'a f u e r z a
¡ e c t r o m a g n é t i c a la que m a n t i e n e
n i d o s t o d o s los o b j e t o s cuyo
a ñ o va d e s d e un á t o m o h a s t a
montaña.
P e r o esta es u n a s o l u c i ó n a la m i t a d , y a h o r a q u e r e m o s s a b e r
más. ¿ P o r q u é Fg es p r o p o r c i o n a l a m p a r a t o d o s los o b j e t o s e n un
lugar determinado? ¿En qué forma cambia Fg en un determinado ob*
j e t o si se c a m b i a a un lugar más d i s t a n t e de la T i e r r a ? Acaso existe
una ley que relacione a Fg, m y la distancia, o sea una Ley de fuerza.
Al c o n o c e r la ley d e F u e r z a , p o d r e m o s e n t e n d e r t o d a s las interacciones gravitatorias entre los objetos.
La a t r a c c i ó n de la g r a v e d a d no es la única f u e r z a básica por
medio de la cual existe una interacción entre los objetos. Sin embargo, p a r e c e ser que hay muy pocas f u e r z a s c o m o ésta. De hecho, los
físicos creen que todo lo que observamos en la naturaleza es el resultado de cuatro tipos básicos de interacciones^En términos de nuestra
comprensión actual, l o ú o i los sucesos que ocurren en la naturaleza,
desde las partículas subnucleares, hasta las e n o r m e s galaxias, tienen
que ver con uno o más de estos tipos de fuerzas^Por supuesto, no hay
nada sagrado en torno al n ú m e r o cuatro, que podría a u m e n t a r o disminuir si hubiera nuevos descubrimientos o puntos de vista en cuanto
a las teorías actuales. Por ejemplo, algún día podríamos ver que dos o
más de estas f u e r z a s básicas surgen en r e a l i d a d de una f u e r z a fundamental.
^ L a p r i m e r a de estas cuatro interacciones consiste en la fuerza
de gravedad.lEsta a d q u i e r e importancia sólo en uña escala relativam e n t e g r a n d e , en la q u e t e n g a n q u e v e r e n o r m e s c a n t i d a d e s de
átomos de materia. Entre átomos individuales, la fuérza de gravedad
es extremadamente reducida, pero sin embargo, es precisamente esta
Conocemos las leves de fuerza que gobiernan las interacciones
Pravitacionales y electromagnéticas. Por lo tanto, éstas están bastante
bien entendidas. Pero es mucho menos lo que sabemos acerca de las
dos interacciones básicas restantes, y hoy en día se lleva acabo mucha
investigación sobre ellas^La tercera interacción (a la que llamamos
fuerte) mantiene unidas dk alguna forma las partículas del núcleo. La
c u a r t a (a la q u e l l a m a m o s dfiMlgobierna c i e r t a s r e a c c i o n e s e n t r e
partículas subnucleares. ^
Por s u p u e s t o , si t e n e m o s otros nombres para las f u e r z a s , p e r o
cada una de ellas p e r t e n e c e a u n o de los tipos básicos. U n o de los
más c o m u n e s e s l a f u e r z a d c J t k g f r l S e c r c c
interacción eléclTka, es decir, que los ¿tomlJiTñT5Tuperf.ciejle les
objetos se J ^ l i z a n o se f r o t a n Ü n o s c o n t r a otro§ J jeiuiiiuliUiSUULa
int^racoón eléctrica.
El saber que hay pocas interacciones básicas es a la vez sorprend e n t e y a l e n t a d o r . Es s o r p r e n d e n t e p o r q u e a p r i m e r a vista, los
sucesos que nos r o d e a n parecen ser muy variados y complejos, y es
a l e n t a d o r p o r q u e hace que n u e s t r a difícil m e t a , la de c o m p r e n d e r
todos los sucesos de la naturaleza, parezca más accesible.
1-10 EJEMPLOS DE LA PRIMERA LEY DÉL MOVIMIENTO.
Analicemos el siguiente suceso. Cuando viajamos en un autobús
y estamos de»pie completamente sueltos (libres pará movernos}.
fue aplicada d i r e c t a m e n t e a nosotros. Los automóviles
m o d e r n o s u s a n ¿ i n t y r o n e s de s e g u r i d a d ' p a r a e v i t a r e s t e
problema y no sufra daños el conductor en caso de choque.
fig.2
1.- El a u t o b ú s no se m u e v e (esta en reposo), hasta q u e el cond u c t o r acciona el m e c a n i s m o a d e c u a d o p a r a q u e el m o t o r
a p l i q u e u n a f u e r z a y se p u e d a m o v e r ( a r r a n q u e ) , n o s o t r o s
también estamos en reposo.
2.- Al i n s t a n t e de a r r a n c a r , sentimos que nuestro c u e r p o tiene
un movimiento hacia atrás, es decir, como el camión empieza
a moverse, n u e s t r o c u a r p o t f e n d e a q u e d a r s e en la posición
en que estaba. El autobús también tiende a quedarse.
A través de la intuición de Galileo ante f e n ó m e n o s similares al
a n t e r i o r , I s a a c N e w t o n e n u n c i ó lo q u e hoy c o n o c e m o s c o m o la
Primera Ley del Movimiento.
Todo cuerpo que se encuentre én reposo o en movimiento uniforme tiende a conservar este estado de reposo o movimiento uniforme a menos de que se aplique una fuerza exterior*
En n u e s t r o e j e m p l o , en el p r i m e r y t e r c e r caso, la f u e r z a está
dada por el motor. Para quitar el estado de reposo en el casol y para
cambiar el movimiento en el vehículo en el caso 3.
3.- Y a e n m o v i m i e n t o , n o s a d e c u a m o s al m o v i m i e n t o d e l
* vehículo, pero cada vez que el conductor accione el mecanismo ( t r a s m i s i ó n ) p r o p i o p a r a un c a m b i o de v e l o c i d a d , si es
brusco, sentimos movimientos de nuestro cuerpo.
En el caso 2, la fricción del piso del vehículo con los pies de los
p a s a j e r o s , es lo q u e p r o v o c a el c a m b i o del e s t a d o de r e p o s o al de
movimiento.
4.- Y si el c o n d u c t o r f r e n a b r u s c a m e n t e , n u e s t r o m o v i m i e n t o
tiende a seguir hacia adelante, ya que la fuerza de frenado no
Y en el c u a r t o c a s o , el a u m e n t o d e f r i c c i ó n p o r m e d i o de la
fuerza de los frenos (la cual es superior a la del m o t o r ) para llevarlo
del estado de movimiento al de reposo.
E n J o s c u a t r o c a s o s e x i s t e u n a o p o s i c i ó n ai c a m b i o , la cual
n o t a m o s en los " b a i l o t e o s " d e l v e h í c u l o y de l o s p a s a j e r o s , en la
"protesta" del motor y en el "chirriar" de los frenos al parar.
¿A la propiedad de un cuerpo a oponerse a un cambio del estado
de reposo o de movimiento se le llama inercia.
La inercia de un cuerpo la podemos medir cuantitativamente y a
e s t a " m e d i c i ó n la 1 l a m a m o s masa. E s t a s e m i d e e n g r a m o s y
kilogramos.
1-11 EJEMPLOS DE LA SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO.
Comparemos los siguientes eventos:
2.- En un alto de una carretera coinciden 2 automóviles, uno de
motor 225 y otro de motor 360. Los dos casi tienen la misma
masa, p e r o la f u e r z a generada es mayor en el de motor 360.
Si arrancan los dos al mismo tiempo, vemos que el de motor
360 aumenta su velocidad más rápidamente.
En el p r i m e r caso, el avance está d e p e n d i e n d o de la masa. A
mayor masa, menor aceleración y a menor masa, mayor aceleración.
En el s e g u n d o caso, el avance está d e p e n d i e n d o de la f u e r z a
a p l i c a d a , d e lo c u a l d e d u c i m o s q u e a m a y o r f u e r z a , m a y o r
aceleración; y a menor fuerza menor aceleración.
E s t o nos da u n a i d e a de la d e f i n i c i ó n de la s e g u n d a ley del
movimiento que especifica: Cuando un cuerpo esta bajo la acción de
una f u e r z a c o n s t a n t e , la a c e l e r a c i ó n que se le p r o d u c e es p r o p o r cional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa.
Esta definición nos conduce a la llamada ecuación de la fuerza.
F = ma
Ejemplo 1.
Si una p e q u e ñ a masa de 1 g. se le aplica una f u e r / a consl a n t e q u e le p r o d u c e u n a a c e l e r a c i ó n d e 1 c m / s e g " .
¿Cuánto vale esa f u e r / a ?
Datos: m = 1 g; a = 1 cm/seg 2
Solución:
Por la ec. 1, tenemos:
1 - C u a n d o un automóvil y un camión de pasajeros se paran juntos en un alto, observamos que al encender la luz verde, sale
m á s r á p i d o el a u t o m ó v i l ( a ú n c u a n d o el c a m i ó n p u e d e
generar más fuerza), si los dos generan la misma fuerza.
F = ma
F = 1 g x 1 cm/seg 2
F = 1 g cm/seg 2
A la f u e r z a que a un c u e r p o de 1 g de masa le p r o d u c e una
a c e l e r a c i ó n de 1 cm/seg , s e le l l a m a dina. P o r lo t a n t o ,
tenemos:
F = 1 g cm/seg 2
1 dina = 1 g cm/seg 2
Ejemplo 3.
A un c u e r p o de 3 kg se le a p l i c a una f u e r / a de 60 N. Calcular la aceleración producida.
Datos: m = 3 kg; F = 60 N
F = 1 dina
Solución:
Ejemplo 2.
Por la Ec. 1, tenemos:
A un c u e r p o de 1 kg. de masa se le aplica una f u e r z a cons
t a n t e q u e le p r o d u c e una aceleración de 1 m/seg". ¿Cuál es
el valor de dicha fuerza?
Datos: m = 1 kg; a = 1 m/seg 2
Solución:
F = ma
despejando; a = F/m
Sust.
a = 60 N/3kg
a = 60 kg m/seg z /3 kg
a = 20 m/seg 2
Por la ec. 1: tenemos:
Ejemplo 4.
F = ma
F = 1 kg x 1 m/seg 2
F = 1 kg m/seg
2
A la f u e r z a q u e a un c u e r p o d e 1 kg le p r o d u c e u n a
aceleración de 1 m/seg 2 se le llama newton. Por lo t a n t o en
nuestro ejemplo tenemos:
F = 1 kg m/seg 2
1 N = 1 kg m/scg 2
F = 1N
Puesto que 1 kg = 103, 1 m = 102 cm, tenemos:
1 N = lkg(10 3 g/kg) m[10 2 cm/m|
1 N = 10 3 x 102 g cm/seg 2
1 N = 105 g cm/ seg 2
1 N = 105 dinas
1 kgr = 9.8 N
Un c u e r p o d e 6 kg p a r t e del r e p o s o y a d q u i e r e una velocidad de 3 m/scg en 6 seg. Calcular la fuerza aplicada.
F = ma
a = (v - v c )/t
F = m ( v - v 0 )/t (2)
F = (mv - mv 0 )/t (3)
F = (60kg-3m/scg - 60 kg 0)/6scg
F = 3 kgm/scg 2
F = 3N
En la e c u a c i ó n ( 3 ) o b s e v a m o s los p r o d u c t o s m^ y m ^ Í A l
p r o d u c t o d e la m a s a p o r la v e l o c i d a d se le l l a m a Cantidafl de
movimientoLPor lo t a n t o mv - m v ü e s la d i f e r e n c i a ( c a m b i o ) de la
c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o ( mv). La c a n t i d a d de m o v i m i e n t o final
menos la cantidad de movimiento inicial. Por lo tanto:
Sust. F = 45 kg s 7.5 m/seg 2
F ^ cambio de la cantidad de movimiento/ tiempo
F = mv/t
(4)
F = 337.5 N
Para e n c o n t r a r la diferencia de la cantidad de movimiento
se usa la fórmula:
CM = mv - mv 0
Pasando el tiempo al otro miembro de la ecuación, tenemos:
Sust.
Ft = mv - mv0
S i e n d o el p r o d u c t o de la f u e r z a por el t i e m p o , el impulso, el
c u a l e s i g u a l aTcámbio de la cantidad de movimiento.
CM = (45 kg 60 m/seg) - (45 kg-0 m/seg)
CM = 2,700 kgm/seg
Para calcular el impulso se usa la ec.
p = Ft
En el ejemplo tenemos:
Sust. p = 337.5 N x 8 seg
p = Ft
= mv - mv0
p » 2,700 N-seg
p = 2,700 kgm/seg
p = 3 N x6 seg = 3kgx6 m/seg-3 kgxO
p = 18 Nseg = 18 kgm/seg.
Ejemplo 5.
Un c u e r p o p a r t e desde el reposo y adquiere una velocidad
de 60 m/seg en 8 seg. Si tiene una masa de 45 kg, encontrar:
a) la f u e r z a a p l i c a d a , b) la c a n t i d a d de movimiento, c) el
impulso.
Datos v 0 = 0, v = 6» m/seg, t = 8 seg, m = 45 kg.
Incógnitas: F = ?, CM = ?, p = ?
Solución: C o m o no c o n o c e m o s el valor de la aceleración y
e s n e c e s a r i o c a l c u l a r la f u e r z a por la f ó r m u l a F = ma,
procedemos a calcularla.
Por definición: a = (v - v 0 )/t
Sust. a = (60 m/seg - 0)/8 seg
C o m o en la e c u a c i ó n 5 se e s t a b l e c e q u e el i m p u l s o de un
c u e r p o s i e m p r e es igual al i n c r e m e n t o d e la c a n t i d a d d e
movimiento, entonces no había necesidad de calcular el im
pulso; sino que directamente hubiéramos dicho que tenía el
mismo valor que la cantidad de movimiento.
Ejemplo 6.
U n c u e r p o de 12 kg al que se le aplica una fuerza de 180 N
d u r a n t e un t i e m p o de 4 s^g, a d q u i e r e una velocidad de 80
m/seg. Calcular: a) la cantidad de movimiento, b) el impulso, c) la velocidad que tenía inicialmente.
Datos: m = 12 kg, F = 180 N; t = 4 seg; y v = 80 m/seg
Incógnitas: CM « ?; p = ?
Solución: Con la diferencia o incremento de ía cantidad de
movimiento es igual A impulso, podemos calcular el impuls o p r i m e r o , ya q u e c o n o c e m o s t o d o s l o s d a t o s . A s í
tenemos:
a = 7.5 m/seg 2
P
Ahora si podemos calcular la fuerza por la fórmula.
F = ma
~
40
sust.
= F;
p = 180 N x 4 seg
p = 720 N-seg
LA PULSERA PERDIDA (CUENTO)
P o r lo t a n t o , la d i f e r e n c i a de la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o
será igual también:
CM = 720 N-seg
Para poder calcular la velocidad inicial que tenía el cuerpo,
nos apoyaremos en la fórmula de la cantidad de mov.m.ento.
- No la e n c u e n t r o y estoy s e g u r a de q u e la d e j é a q u í , encima del pupitre.
- ¿Qué te sucede Martha? ¿Qué estás buscando?
- Mi pulsera, no la encuentro.
- No la habrás dejado en tu casa?
CM = mv - mv 0
Despejando
v c = (CM - mv)/-m
v 0 =720 N-seg - 12 kg x 8 m/seg/- 12 kg
v 0 = -240 kg m/scg/ 12 kg
v 0 = 20 m/seg
- O h , no, e s t o y s e g u r í s i m a de q u e la t r a j e . A l t e r m i n a r la
última clase me la quité, y la dejé aquí encima.
- M u c h a c h o s , q u i é n c o g i ó la p u l s e r a de M a r t h a , e s t a b a
sobre el pupitre.
- Yo no.
- No se.
- ¡ C ó m o q u e n a d i e ! La p u l s e r a no se p u d o haber movido
por si misma.
- E x a c t a m e n t e s e ñ o r i t a . Los o b j e t o s no se mueven por si
mismo; p a r a q u e e m p i e c e n a m f t v g n g hiT H»r » P l i r ' f l " t
una fuerza. ¿Oué es lo que sucedió?
- E n t o n c e s s e g ú n s u s i l u s t r e s c o m p a ñ e r o s , la p u l s e r a
comenzó a moverse e x p o n t á n e a m e n t e , violando una ley d e
la física, que hoy vamos a estudiar.
- No sé de q « é J c y e s t é hablando, pero con lenguaje vulgar,
lo que ocurre es que le ratearon la pulsera a Martha.
- V a m o s a d a r c l a s e y d e s p u é s b u s c a r e m o s la p u l s e r a .
Nadie se irá antes de que aparezca.
- Profesor, d e qué ley estaba hablando?.
- Calma, calma. Como todo el m u n d o sabe, menos ustedes,
m i s e s t i m a d o s a l u m n o s , c u a n d o un c u e r p o se d e j a e n
r e p o s o , p o r e j e m p l o , la p u l s e r a d e M a r t h a . s e g u i r á en
reposo....
- A menos que alguien la desaparezca, no?
- N o s e a s p a y a s o . C o m o les d e c í a , s e g u i r á en r e p o s o a
menos que alguien o algo lo mueva Para que el c u e r p o en
r e p o s o se mueva, hay q u e jalarlo o e m p u j a r l o , es decir, hay
q u e aplicarle una f u e r z a . Por otro lado, p r i m e r o el c u e r p o
estaba en reposo y luego se movió. Alicia ¿hubo cambio en
su velocidad?
d o fuerzas de fricción y no tendrán velocidad constante.
- B u e n o , a q u í en la T i e r r a sí es cierto lo que dices. Es muy
difícil d e eliminar las f u e r z a s de fricción. Sin e m b a r g o , en
el e s p a c i o i n t e r p l a n e t a r i o un c u e r p o se p u e d e mover con
velocidad constante, ya que ahí no hay fuerzas de fricción.
- Sí, cambio de cero al valor con el que se movió.
- ¡Mi pulsera! ¡En tu mugroso perro!
- Muy bien.
- ¿Es tu pulsera Martha?
- Entonces hubo una aceleración, no?.
- ¡Sí! ¡Tú la cogiste!
- E f e c t i v a m e n t e , y así n o s d a m o s c u e n t a d e q u e s i j j i n
c u e r p o se le a p l i c a j i n a J u ^ z a , su-movimientajes acelerado^
- Pero no lo hice adrede.
- Y, qué sucede en un movimiento uniforme?
- ¿ Q u é ? d á m e l a . A h o r a tengo que lavarla con alcohol. No
sabemos cuantas pulgas tenga.
- A h í no hay a c e l e r a c i ó n , p o r q u e la velocidad del c u e r p o
n o r.amhia En el caso q u e e s t a b a m o s t r a t a n d o , el c u e r p o
n o t i e n e a c e l e r a c i ó n , d e b i d o a q u e ao está recibiendo ninguna fuerza.
- Q u i e r e d e c i r , q u e si u n j r u e r p o se mueve con v e l o c i d a d
c o n s t a n t e ^ e s J ó r g u T ñ o recibe la a c c i ó n d e ^ l g u n a fuerza?
- Mi perro está limpio.
- Ya no hables.
- E s t a m o s en clase! P e d r o , salte con tu p e r r o , no vengas a
interrumpir.
- Si, y esa es precisamente la primera ley de Newton.
- P o d e m o s analizar con o t r o p u n t o de vista, la primera ley
de Newton.
- Nos la puede enunciar para escribirla.
- ¿Cuál?
- Si un c u e r p o e s t á en r e p o s o p e r m a n e c e r á en r e p o s o a
m e n o s q u e s o b r e el a c t ú e u n a f u e r z a ; si u n c u e r p o se
mueve, con m o v i m i e n t o u n i f o r m e , s e g u i r á m o v i é n d o s e a
v e l o c i d a d c o n s t a n t e , a lo l a r g o de la m i s m a línea r e c t a , a
menos que sobre el actúe una Tuerza,
- Si un c u e r p o está en r e p o s o , se r e s i s t e a c a m b i a r su est a d o d e r e p o s o . P a r a q u e e m p i e c e a m o v e r s e , hay q u e
aplicarle una fuerza.
- P r o f e s o r , le voy a h a c e r una p r e g u n t a difícil. Si a v i e n t o
una p e l o t a d e f ú t b o l y sin q u e n a d i e la t o q u e , se d e t i e n e ,
porqué no se mueve a velocidad constante todo el tiempo?
- A d e m á s Si un c u e r p o t i e n e m o v i m i e n t o c o n v e l o c i d a d
c o n s t a n t e , t a m b i é n se r e s i t e a c a m b i a r su v e l o c i d a d ; si
q u e r e m o s cambiar su velocidad, tenemos que aplicarle una
fuerza. Así, se habrán d a d o cuenta de que cuerpos se resisten a cambiar de estado de movimiento.
- Ya lo pusieron a pensar, profesor.
- Escucha, c u a n d o lanzas una pelota de fútbol, si existe una
fuerza que la detiene.
- ¿ Q u é fuerza es ésa?
- Es la que ejerce el suelo, el pasto sobre la pelota. La fuerza d e f r i c c i ó n q u e i m p i d e q u e la p e l o t a se m u e v a c o n
velocidad constante.
- Entonces los cuerpos a! moverse, siempre estarán sintien-
- Por fuerza.
- ¿Esa resistencia es una propiedad de los cuerpo?
- Si, y se le llama inercia.
PASEANDO POR LA CALLE.
velocidad de un cuerpo, mayor será su aceleración.
- Entonces, c u a n d o le diste la p a t a d a más f u e r t e , la piedra
se movió con mayor aceleración, ¿sí?
- Hoy sentí difícil la clase de física.
- T e n e m o s que pensar mucho respecto a esa segunda ley de Newton, que nos enseñaron.
- ¡Hola, muchachos! ¿porqué tienen caras largas?
- Estamos meditando.
- ¿En qué meditan?, ¿respecto del alma de los cangrejos?
i.lHIMl
- En la segunda ley de Newton. Todavía no la entiendo bien
eso de que la fuerza es igual a la masa por la aceleración.
- P e r m í t a n m e explicarla. P r i m e r o veamos la a c e l e r a c i ó n .
O b s e r v e n c u a n d o p a t e o esta p i e d r a . ¿ Q u é le s u c e d i ó a la
piedra?
II
- Así es, p r e c i o s a ; a mayor f u e r z a aplicada, mayor
aceleración del cuerpo.
- -Ah!, ahora sí entendí.
- Si se m i d i e r a n l a s f u e r z a s y las a c e l e r a c i o n e s se e n c o n t r a r í a q u e , a p l i c a r u n a f u e r z a d o b l e , la a c e l e r a c i ó n
resulta doble; si la fuerza aumenta al triple, la aceleración
se triplica, etc. es decir, la acelera-ción es proporcional a la
fuerza aplicada.
- E n t o n c e s Newton realizó este tipo de experimentos y obtuvo que la aceleración es proporcional a la fuerza?.
uu».
- E m p e z ó a moverse.
- No, Newton no e f e c t u ó estos experimentos. A n t e s de explicarles qué hizo, vamos a ver qué sucede con la masa, ¿de
acuerdo?.
•i
- Sí, se aceleró.
- De acuerdo.
- ¿Y si le doy una patada más fuerte, qué ocurre?
- S u p o n g a n q u e una p e l o t a , se está m o v i e n d o a 30 km/hr
(8.33 m/seg), y que en 5 seg la detienen con la mano.
:m>
11
•tf..
l ii
- También se acelera.
- Sí, p e r o , ¿ c ó m o se c o m p a r a e s t a a c e l e r a c i ó n c o n la
anterior?.
- No sé.
- C u a n d o le di una p a t a d a con f u e r z a , la p i e d r a se movió
con mayor velocidad que cuando la patié despacio, verdad?
- Así fue.
- E n l o s d o s c a s o s , la p i e d r a e s t a b a en r e p o s o a n t e s d e
darle la patada.
- Muy fácil. En la casa tengo una manopla y soy muy b u e n o
para atrapar pelotas.
- Eso no me interesa. Lo que quiero si puedes detenerla en
ese tiempo.
- Sí, sí puedo.
- B i e n . A h o r a s u p o n g a m o s q u e un c a m i ó n se mueve a 30
k m / h r y q u e lo q u i e r e n d e t e n e r en 5 s e g , ¿ l o p o d r í a n
hacer?.
• ¿De qué otra cosa?
-Si.
- De ninguna manera. ¿En qué estas pensando?.
- Si, c o m o r e s u l t a d o d e c a d a p a t a d a , la p i e d r a c a m b i o de
velocidad, ¿cómo fue mayor el cambio?
- Al i n t e n t a r l o , lo más p r o b a b l e sería que nos a t r o p e l l a r a .
Concluimos q u e la pelota, si la podemos detener, mientras
que al camión no, de acuerdo?
- Pues, c u a n d o adquirió mayor velocidad; y eso fue cuando
la pateaste más fuerte.
- Y r e c o r d a r a n q u e m i e n t r a s mayor sea el c a m b i o de
- ¿Sí, pero que nos quieres decir?
I>
m
- Bueno, miren, t a n t o el camión como la pelota cambian su
velocidad de 30 km/hr a 0 km/hr.
- Sus cambios de velocidad son iguales.
- Y además experimentan
po, 5 segundos.
CSÍOS
cambios en el mismo tiem-
- E x a c t o , f í j e n s e q u e t e n e m o s d o s c u e r p o s a los que
queremos dar las mismas aceleraciones.
•v
que e s la expresión m a t e m á t i c a d e la segunda ley de Newton:
•
La a c e k r a c i ó p producida a un cuerpo es proporcional a la
fuerza aplicada e Inversamente proporcional a la masa. ¿
1-12 EJEMPLOS DE LA TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO.
- P e r o si hay a c e l e r a c i ó n , q u i e r e d e c i r , q u e se aplica una
fuerza.
iilii*n|i
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1.191iI!I
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ii
- Y a uno si se la podemos dar, mientras que al otro no.
- Sí d i c h o de o t r a f o r m a , d e b e m o s aplicar a cada c u e r p o ,
una' fuerza para d e t e n e r l o y, a pesar de q u e tienen las mismas aceleraciones, podemos aplicarle la fuerza necesaria a
la.pelota, p e r o n o t e n e m o s la f u e r z a q u e se r e q u i e r e p a r a
detener el camión.
- Eso quiere decir, ¿qué además de la aceleración, las fuerzas también dependen de otra cosa?
Esta ley de Isaac Newton establece que a toda fuerza de acción
se o p o n e otra f u e r z a e n s e n t i d o c o n t r a r i o y de igual m a g n i t u d
llamada reacción.
En la a p l i c a c i ó n e i n t e r p r e t a c i ó n de esta ley hay que tener
mucho cuidado, ya que las dos fuerzas actúan en cuerpos distintos;
jamás en el mismo cuerpo.
Este principio se puede ilustrar con los siguientes ejemplos.
- Así es.
- ¿De qué otra cosa?
- I g u a l q u e en el c a s o d e la a c e l e r a c i ó n , si se m i d i e r a la
f u e r z a q u e es n e c e s a r i a a p l i c a r l e a un c u e r p o p a r a q u e
t e n g a c i e r t a a c e l e r a c i ó n , se e n c o n t r a r í a q u e si su m a s a
a u m e n t a al d o b l e , la f u e r z a t a m b i é n d e b e a u m e n t a r al
d o b l e . Y si la m a s a a u m e n t a al t r i p l e , la f u e r z a t a m b i é n
aumenta al triple.
La fuerza es proporcional a la masa, además de ser proporcional a la aceleración.
- Por lo tanto, j u n t a n d o los dos aspectos, matemáticamente
se expresa como sigue: Si la fuerza aplicada a un c u e r p o la
d e n o t a m o s c o n la l e t r a F, s u m a s a c o n la l e t r a m y I a
aceleración resultante la a, tendremos que:
F = ma
despejando la aceleración (a), obtenemos:
a = F/m
lo. Al golpear con el pie un balón de fútbol que está en reposo,
adquiere una velocidad por lo regular hacia adelante del
p a t e a d o r , p e r o t a m b i é n el p a t e a d o r s i e n t e un p e q u e ñ o
retroceso y hasta un pequeño dolor en su pie.
2o. Al g o l p e a r e n p l e n o c e n t r o , a una p e l o t a p o r m e d i o d e un
b a t e , dicha p e l o t a sale hacia adelante del b a t e a d o r y el bate
sufre un retroceso ( que se siente en las manos del bateador).
3o. Si se golpea la pared con el puño, en la pared casi no se nota
la fuerza aplicada, pero en el puño si se siente.
E n los t r e s casos (el balón, la p e l o t a y la p a r e d ) están recibiendo u n a f u e r z a , p e r o al mismo t i e m p o estos cuerpos están regresando
otra fuerza igual y en sentido contrario al pie, al bate y al puño.
A u n q u e no existe una d e t e r m i n a c i ó n de cuál es la fuerza de
acción y cuál es la fuerza de reacción, analicemos los eventos.
E n el e v e n t o 1, la f u e r z a d e acción a c t ú a s o b r e la p e l o t a (sist e m a p i e - b a l ó n ) y la f u e r z a de r e a c c i ó n ( s i s t e m a b a l ó n - p i e ) actúa
s o b r e el p i e . Si las d o s f u e r z a s a c t u a r a n s o b r e el b a l ó n , é s t e no se
m o v e r í a de m o d o q u e se a n u l a r í a n por ser iguales y de s e n t i d o contrario.
En el e v e n t o 2, la f u e r z a de acción (sistema b a t e - p e l o t a ) actúa
s o b r e la p e l o t a y la f u e r z a d e r e a c c i ó n (sistema p e l o t a - b a t e ) actúa
sobre la pelota.
Por lo tanto, es importante hacer notar que las fuerzas de acción
y reacción expuestas en la'tercera ley de Newton sobre el movimiento
actúan sobre cuerpos diferentes.
A d e m á s , q u e u n c u e r p o e s t é en r e p o s o o e n m o v i m i e n t o
d e p e n d e de las f u e r z a s q u e s o b r e él c a t ú e n y no d e las f u e r z a s q u e
provoque dicho c u e r p o s o b r e otros. En general, la f u e r z a de acción
en cualquier sistema, siempre será aquella que produzca movimiento
o algún c a m b i o al s i s t e m a a n a l i z a d o . La f u e r z a d e r e a c c i ó n s e r á
aquella que se o p o n g a a la f u e r z a de acción y e s t a r á a c t u a n d o en el
cuerpo que aplique la acción. •
Ejemplo. E n el e v e n t o 1, el movimiento del balón d e p e n d e del
golpe del pie sobre él y no de la reacción del balón sobre el pie; y en
el evento 2, la pelota viaja por la fuerza del bate sobre ella.
1-13 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Constantemente hemos observado los siguientes eventos:
E n el e v e n t o 3, la f u e r z a d e a c c i ó n
(sistema p u ñ o - p a r e d ) actúa sobre la pared
y la f u e r z a d e r e a c c i ó n ( p a r e d - p u ñ o )
actúa sobre el puño.
i
Estas f u e r z a s de reacción explican el
l a n z a m i e n t o de un c o h e t e . N e c e s i t a una
f u e r z a p a r a l a n z a r los g a s e s hacia el ext e r i o r y la r e a c c i ó n d e los gases hacia el
c o h e t e , h a c e n q u e é s t e t e n g a su
desplazamiento.
62697
l o . Q u e un c u e r p o q u e e s t á s o b r e u n a m e s a o s o b r e el piso, y
que al quererlo levantar necesitamos ejercer una fuerza, por
lo menos igual a su peso.
La c o n s t a n t e n e w t o n i a n a d e g r a v i t a c i ó n t i e n e los s i g u i e n t e s
valores:
En el sistema M.K.S.:
2o. Si e s e c u e r p o s o b r e la mesa la llevamos hasta u n poca más
allá de la orilla, cae (nunca se eleva).
3o. Si a r r o j a m o s un c u e r p o hacia arriba, llega un m o m e n t o en
que no sube, sino que empieza a caer.
Con un caso similar, Isaac Newton analizó la existencia de algo
que en realidad provocaba que el cuerpo permaneciera como pegado
(evento 1), q u e se dirigiera hacia la superficie de la Tierra (evento 2)
y q u e se o p u s i e r a a seguir s u b i e n d o y d e s p u é s se a c e l e r a r a ' h a c i a la
s u p e r f i c i e d e la T i e r r a ( e v e n t o 3 ) ; se e s t a b l e c i ó lo q u e se c o n o c e
como la ley d e la gravitación Universal.
Cualquier par de cuerpos se atraen uno al otro con una fuerza
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia entre ellos.
Algebraicamente:
G = &66 x 10 11 m3/kg seg2
G = 6j66xie 11 Nm 2 /kg 2
En el sistema c.g.s.:
G=
6J66
x 10"8 cm3/g seg2
G = 6^6x10^ dinas c m V
Para tener una idea clara de la magnitud de las fuerzas gravitacionales, consideremos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 7.
Calcular la fuerza de atracción entre dos cuerpos de 5 x 10 5
kg da uno separados 1.5 x 10 2 m.
Datos: mi - 5 x 10 5 kg, m 2 - 5 x 105 kg, d « 1.5 x 102 m.
F « mimí/d2
r e e m p l a z a n d o el s í m b o l o d e p r o p o r c i o n a l i d a d por u n a c o n s t a n t e
tenemos:
Solución: Por la ecuación (7):
F = Gmim2/d 2
6.66 x 1 0 1 1 m 3 /kg-seg 2 x 5 x 105 kg x 5 x 105 kg
F = G mimz/d2
d o n d e mi y m2 son las masas de los c u e r p o s d es la d i s t a n c i a entre
e l l a s y G es la constante newtoniana de gravitación. La masa mi tira
de m2 con una fuerza de F y la m2 tira de mi con una fuerza igual a F.
(1.5 x 102 m) 2
= 7.4 x 10"4 kg m/seg 2
- 7.4 x 10"4 N
Esta es una fuerza demasida pequeña para ser detectada.
1-14 SISTEMA TÉCNICO.
.L&sjlinas y los newtons son unidades absolutas d e fuerza. Surgen d é l a ecuación de la fuerza cuando se usan las unidades absolutas
de masa y tiempo.
Dos cantidades iguales a una tercera, lo son iguales entre sí:
F/A = P/g
La forma de la e c u a c i ó n de la fuerza, para los i n g e n i e r o s ,
quedaría:
F = ma
F = (P/g)a
F
kgm/seg2
F
• gcm/seg2
E j e m p l o . Un c u e r p o q u e pesa 30 kg está en reposo. Cuál sería la
fuerza requerida para darle una aceleración de 1 m/scg 2 .
F = (30 kg / 9.8 m/seg 2 ) x 1 m/scg 2
El ingeniero rara vez usa las unidades del sistema métrico. Encuentra más conveniente medir las fuerzas en kilogramos y toneladas
m é t r i c a s d e p e s o . En la c o n s t r u c c i ó n de e d i f i c i o s , p u e n t e s ,
a e r o p l a n o s y toda c l a s e de m á q u i n a s , g e n e r a l m e n t e las cargas
a p l i c a d a s se e s p e c i f i c a n en kilogramos de p e s o y en libras. Para
aplicar la segunda ley de Newton del movimiento, como se expresa en
la ecuación de la fuerza.
F = ma
es necesario modificar uno de los factores, la masa o la aceleración.
Por definición, el kilogramo de peso equivale a una fuerza de
9.8 newtons, y el gramo de fuerza de 980 dinas.
1 kgf = 9.8 newtons
lgf = 980 dinas.
Para ver c ó m o se deducen estas unidades de la ecuación de la
fuerza, tenemos:
m = F/A; m = P/g
F =» 3.1 kgf
La respuesta es una fuerza de 3.1 kg.
El t é r m i n o ( P / g ) r e p r e s e n t a la m a s a e n u n i d a d e s d e
ingeniería o t a m b i é n l l a m a d o t é c n i c o ( u n i d a d técnica de
masa, UTM). En el sistema inglés recibe el pombre de slug.
AUT0EVAL.UAC1ÓN.
1.- U n a masa d e 60 kg está b a j o la acción de 15,000 d i n a s .
C a l c u l a r su a c e l e r a c i ó n , [a = 2.5 x lO^m/seg 2 , a = 0 . 2 5
cm/seg 2 ]
2 . - U n a m a s a d e 3 . 5 kg r e c i b e u n a a c e l e r a c i ó n d e 0 . 5
m/seg 2 . C a l c u l a r f u e r z a a p l i c a d a e n a ) n e w t o n s y b ) e n
dinas, (a) F = 1.75 N b ) F = 1.75 x 10 5 días).
i inmuto*
3 . - A un a u t o se l e a p l i c a u n a f u e r z a d e 6 1 . 2 kgf y se le
p r o d u c e una acleración d e 1.2 m/seg . Calcular la masa del
cuerpo.[m = 510 kg].
4.- U n a masa d e 890 g recibe una aceleración constante d e
200 cm/seg 2 . C a l c u l a r la f u e r z a r e q u e r i d a en a ) dinas y b)
en Newtons. [a) F = 1.78 x 10 5 dinas, b) F = 1.78 NI
>1
1 llSiiiil
ü
5.- U n camión que pesa 4,000 kg y que se mueve a 45 km/hr,
se a c e l e r a d u r a n t e 5 seg p a r a o b t e n e r « n a velocidad d e 90
km/hr. E n c o n t r a r la fuerza en: a) N, b) kgf, c) dinas, la) F
= 10 N b) F = 10 kgf y c) F = 1 0 \ 6 dinas).
6 - Un proyectil d e 6 kg a v a n z a n d o 2900 m/seg, choca con..
•
1 1
t r a la ladera de una colina d o n d e p e n e t r a en el suelo a una
p r o f u n d i d a d de 2 m. Calcular a) el tiempo de detención, b)
la f u e r z a media en n e w t o n s , c) la c a n t i d a d d e movimiento
c o n q u e e m p i e z a a p e n e t r a r , d) el i m p u l s o , [a) t = 1.38 x
10' 3 , b ) 1.27 x 10 7 N, c ) C M - 1.74 x 10 kgm/seg, d) p 1.74 x 10 4
7.- U n m a r t i l l o d e 1 k g d e m a s a q u e se m u e v e c o n u n a
v e l o c i d a d d e 8 m / s e g . g o l p « a la c a b e z a d e u n c l a v o ,
e n c a j á n d o l o 2 cm d e n t r o d e un b l o q u e d e m a d e r a .
D e s p r e s i a n d o la masa del clavo, calcular: a) la cantidad de
m b v i m i e n t o del m a r t i l l o a n t e s del i m p a c t o , b) la
a c e l e r a c i ó n d u r a n t e el i m p a c t o , c) el i n t e r v a l o d e t i e m p o
d u r a n t e el i m p a c t o y d) el impulso, la) CM = 8 kgm/seg, b)
1,600 m/seg 2 , c) t = 0.005 seg y d) p « 8 kgm/segl8 Convertir los siguientes pesos d a d o s en kgf a n e w t o n s y
dinas. A ) 80 kgf, b) 755 kgf, c ) 360kgf, d ) 824 kgf, e) 660 kff.
U s e p a r a c a l c u l a r g - 10 m/seg 2 . [ a ) w « 8 0 0 N, b ) w =
755 N, c) w - 3,600 N, d) w - 8,240 N, e) w = 6.600N].
9 - Convertir las siguientes fuerzas d a d a s en newtons a kgf.
a) 800 N, b ) 670 N, c) 1,720 N, d) 24,000 N, y e) 840,000 N.
(a) w = 80 kgf, b ) w = 67 kgf, c) w = 172 kgf, d ) w = 2,420
kgf, e) 8,400 kgr]10.- D o s e s f e r a s de metal, cada una con una masa de 5 millones de kg, están c o l o c a d a s con sus c e n t r o s a 5 m de dist a n c i a . C a l c u l a r la f u e r z a de a t r a c c i ó n e n t r e e l l a s en: a )
newtons, b) dinas c) kgf. Use para facilitar los cálculos g =
10 m/seg 2 , G = 6.67 x 1 0 1 1 m^/kgseg 2 . la) F = 66.7 N, b) F
= 6.67 x 10 6 dinas, c) F = 6.67 kgf].
11.- La Luna tiene una masa de 7.3 x 10 22 kg y la Tierra una
masa d e 6 x 10 24 kg. E n c o n t r a r la fuerza de atracción entre
los dos c u e r p o s en: a) newtons, b) kgf. Distancia de la Tierra a la Luna = 3.9 x 10 6 m. [a) F = 1.92 x 10 20 N, b) F =
1.92 x l O 1 9 kgr).
12.- D o s t a n q u e s d e l e j e r c i t o , p e s a n d o 15 t o n e l a d a s
métricas c a d a uno, pasan uno f r e n t e al otro. Si la distancia
e n t r e sus c e n t r o s de masa, c u a n d o están más c e r c a es de 5
m. ¿ C u á l es la a t r a c c i ó n g r a v i t a c i o n a l e n t r e e l l o s en kg
peso, en newtons y en dinas? JF = 6 x 10 5 kgf, 6 x 10' 4 N y
F = 60 dinas].
UNIDAD III
SATÉLITES Y MOVIMIENTO
PLANETARIO.
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De acuerdo con la historia de la astronomía, fue Pitágoras (530
A. C.), f i l ó s o f o de la antigua G r e c i a , q u i e n dijo: "E/ mundo es
redenodo y pende en el espacio". "La Tierra -agregó- no está quieta,
sino que gira en torno de un fuego central llamado Hestia. Este fuego
no es el Sol, porque el Sol está iluminado
como los planetas,
por
reflexión desde Hestia".
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OBJETIVOS:
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s o l q m s b ¿o!
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1.- Definir o reconocer las definiciones apropiadas o distinguir
como verdaderos o falsos, los enunciados relativos a cada
uno de los términos, conceptos o principios de la siguiente
lista:
a) Primera ley de Kepler.
b) Perigeo.
c) Apogeo.
f) Tercera ley de Kepler.
g) Intensidad de campo.
h) Campo gravitacional.
d) Sfigunda ley de Kepler.
i) Potencial gravitacional.
e) Radio vector. "
2.- Emplear las ecuaciones de apogeo, perigeo, semieje menor o
semieje mayor resolviendo problemas.
3.- A p l i c a r la t e r c e r a ley de K e p l e r , r e s o l v i e n d o p r o b l e m a s a
partir de los datos apropiados.
4.- Calcular la velocidad orbital a partir de los datos apropiados.
5.- Calcular la intensidad del campo gravitaei^nal en cualquier
planeta.
6 . - A p a r t i r d e l o s d a t o s a p r o p i a d o s c a l c u l a r el p o t e n c i a l
gravitacional. apropiados.
7.- A partir de los datos paropiados calcular la velocidad d e escape.
PROCEDIMIENTO.
1.- Lee en tu libro de texto el capítulo II.
2.- Analiza despacio los ejemplos resueltos en tu libro de texto.
3.- Resuelve los problemas de la autoevaluación.
4X- C u a l q u i e r d u d a q u e t e n g a s i n m e d i a t a m e n t e c o n s ú l t a l a ,
p u e d e ser con alguno de tus compañeros o directamente con
tu maestro.
5.- Practiva lo más que p u e d a s cualquier problema relacionado
con el tema.
Para tener derecho a presentar esta unidad, deberás
e n t r e g a r e n resueltos los problemas del capítulo II de tu
libro de texto, en hojas tamaño carta.
CAPÍTULO II
¿ii "
SATÉLITES Y MOVIMIENTO
PLANETARIO.
2-1 PRIMERA LEY DE KEPLER.
Los planetas se mueyen en órbitas elípticas con el sol en uno
de sus furos.—
Una elipse se puede construir fijando los dos extremos de una
cuerda a dos alfileres,Fi y F2, c o m o se muestran en la fig. 1. Manteniendo la cuerda estirada con un lápiz en P, se puede trazar el arco
completo, tal como se traza un círculo con un compás.
perigeo = a ( l - e)
semeje menor =
1 - e) 2
2-2. S E G U I D A LEY DE KEPLER.
La linea recta que une al Sol con cualquiera de los planetas
describe áreas iguales en intervalos iguales de tiempo.
Si la longitud de la cuerda permanece inalterada y los focos Fi y
F2 se acercan más y más, el eje mayor AB y el eje m e n o r CD serán
más y más iguales, en el límite cuando los focos coinciden. Las verd a d e r a s órbitas de los p l a n e t a s son así tan circulares, que si se
dibujaran con un compás difererían del círculo en menos de lo que
corresponde al grosor de la línea.
Como se indica en la fig. 3, la recta referida se llama radio vector, varía en longitud desde un mínimo en el perigeo, a un máximo en
el apogeo. Aún cuando la órbita de la Tierra e s casi circular, los
números 1,2,3,4, etc., corresponden a las posiciones de la Tieira al
terminar cada uno de los doce meses iguales.
r
La exentricidad e de una elipse (véase la fig. 2) está definida
con la relación entre las distancias SQ y AQ.
S i j V ' l j»flpjHtv'I f i I í i ^^H
e = SQ/AQ
Donde AQ es el semieje mayor a, y SQ es igual a ae. con el sol
en uno de los focos, la distancia más corta AS se llama perigeo y la
distancia mayor BS, se llama apogeo.
Un p e q u e ñ o estudio de la fig. 2 permitirá al lector encontrar
que:
Fig. 3. Orbita d í p t i c a d e un planeta o satélite, que muestra las áreas iguales
barridas por el vector radial en iguales intervalos de tiempo
apogeo = a(l + e)
Para describir estas distancias orbitales desiguales en intervalos
iguales de tiempo, la velocidad será máxima en el perigeo y mínima,
seis meses después," en el apogeo. Durante el período de 1 a 2 ó de 7
a 8, por ejemplo, las áreas descritas serán iguales.
C u a n d o la T i e r r a se m u e v e a lo l a r g o de su ó r b i t a en septiembre, octubre, noviembre, etc., la fuerza de atracción del Sol
causa que la velocidad aumente. Alcanzando el perigeo, al final de
d i c i e m b r e , su v e l o c i d a d e s máxima y demasiado rápida para permanecer a esta distancia n del Sol. Durante los m e s e s de marzo,
abril, mayo, Etc.,1a Tierra se va a l e j a n d o del Sol, y la fuerza de
atracción solar reduce la velocidad terrestre. Al cesar el apogeo, al
final de junio, la velocidad de la Tierra es mínima, demasiado lenta
para m a n t e n e r s e a esta distancia mayor r2del S o l . La distancia
medida desde el Sol es de 149.680.000 km., mientras el promedio de
la velocidad orbital de la Tierra es de 29.8 km/seg.
2.3 TERCERA LEY DE KEPLER.
Tabla 1. CARACTERÍSTICAS MEDIAS D E LOS PLANETAS.
Planeta
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Plutón
0.241
0.615
1.000
1.881
11.682
29.458
84.015
164.790
247.700
36.0
67.1
92.9
41.5
483.3
886.1
1783.0
2793.0
3665.0
57.9
108.1
149.5
227.8
777.8
1246.0
2869.0
4496.0
5899.0
1.245
1.252
1.247
1.249
1.246
1.247
1.245
1.246
1.246
1504.3
3828.2
3958.9
2070.5
43429.0
35748.5
14727.0
13381.0
1781.4
2421.1
0.3244
6161.0
4.861
6371.0
5.975
0.6387
3332.1
69892.0 1902.1
57532.0 560.4
87.1
23701.0
21535.0
103.1
2867.0
0.5?
Por simplicidad, asumimos que la órbita de la Tierra es circular,
como se muestra en la fig. 4. En este diagrama M es la masa del Sol.
m es la masa de un planeta como la Tierra, y r es la distancia entre
sus centros. La fuerza centrípeta F, como se da en la ecuación (5) es
precisamente la fuerza de atracción gravitacional dada en la ecuación
(14h). Estas son:
Los c u a d r a d o s de los períodos orbitales de los planetas son
proporcionales a los cubos de sus distancias medias desde el Sol.
El período T de un planeta o satélite, se define como el tiempo
requerido para dar una vuelta completa alrededor de su órbita; la distancia media r, se define como el promedio de las distancias desde el
Sol. En la Tabla 1 se dan los datos importantes de los 8 planetas
mayores del sistema solar. Las relaciones constantes en la columna 5
comprueban la tercera ley de Kepler.
Aunque las leyes de Kepler originalmente fueron derivadas de
las cuidadosas observaciones de Tycho Brahe, ellas se deducen de las
leyes básicas de la Mecánica Clásica.
Fig 4. La f u e r z a g r a v i t a c i o n a l de a t r a c c i ó n F es la f u e r z a c e n i r í p e t a q u e
mantiene a la Tierra en su órbita casi circular alrededor del Sol.
Fuerza centrípeta:
2-4 SATÉLITES.
F = mv 2 /r
(5)
Ley de Newton de la Gravitación:
F = GMm/r 2
donde
(6)
G = 6.66 x 10" 11 m 3 /kg seg 2
P u e s t o que estas dos ecuaciones son expresiones d i f e r e n t e s de
la m i s m a f u e r z a F, se p u e d e n i g u a l a r sus s e g u n d o s m i e m b r o s , y
tenemos:
G M m / r 2 = mv 2 /r (7)
E n la m e c á n i c a , la v e l o c i d a d de un c u e r p o está d a d a p o r v =
d/t. Si e s c o g e m o s la d i s t a n c i a d p a r a d a r u n a v u e l t a a la ó r b i t a , el
tiempo t se convierte en el período T y obtenemos:
v = 2(,r)r/T
(8)
E l e v a n d o al c u a d r a d o ambos m i e m b r o s de esta ecuación y sust i t u y e n d o el v a l o r d e v en el s e g u n d o m i e m b r o d e la e c u a c i ó n (7),
podemos escribir:
GM/r = 4 ( « ) V
T 2 = (4w/GM)r* (9)
Puesto que todas las cantidades d e n t r o del paréntesis son constantes, T 2 « r , la tercera ley de Kepler es compatible con las leyes de
la mecánica clásica.
Cuando un v e h í c u l o del espacio es lanzado desde el suelo a la
órbita de la Tierra como un satélite, su dirección inicial de despegue
es vertical hacia arriba. A medida que el cohete gana altura, las aletas
estabilizadoras de control o los chorros hacen que, lentamente, gire
hacia la trayectoria horizontal. Para e n c o n t r a r q u e la velocidad que
un vehículo del e s p a c i o a d q u i e r e al circular en t o r n o de la T i e r r a ,
consideremos los detalles de la fig. 5.
La p r o y e c c i ó n d e algunos cientos de k i l ó m e t r o s
de altura, desde la cima de la
cual se lanzan proyectiles en
dirección horizontal. Con
una velocidad inicial baja, el
proyectil seguirá una trayectoria casi parabólica, como se
m u e s t r a en A. A u n a v e l o c i d a d u n p o c o m a y o r , la
trayectoria será B. C o n u n a
v e l o c i d a d a ú n m á s a l t a , el
p r o y e c t i l al c a e r h a c i a la
Tierra, seguirá una trayecFig. 5
toria circular de radio r. Esta
• un*
velocidad particular se llama
velocidad orbital. Si se elevan todavía la velocidades, tales c o m o la
que se m u e s t r a en D, el proyectil seguirá una trayectoria elíptica, o
sea que se escapa por completo de la Tierra.
Por la ley de Newton de la gravitación, la fuerza F ejercida por
la Tierra sobre el satélite de masa m es inversamente proporcional a
r 2 , y por su segunda ley del movimiento, la fuerza es proporcional a
a. Por lo tanto, se d e d u c e que la aceleración de una masa m hacia la
Tierra, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
w
Combinando estas dos relaciones, podemos escribir la siguiente
proporcionalidad inversa del cuadrado:
Si la ó r b i t a e s t á muy próxima a la s u p e r f i c i e de la Tierra,
podemos escribir en primera aproximación, r = R, y la ecuación (14)
se convierte en:
R2
v = VgfC
(10)
g
donde a es la aceleración hacia el interior de la masa m. a una distancia r, y g es la aceleración correspondiente a la distancia R, o sea, en
la superficie de la Tierra. Trasponiendo g, obtenemos:
IHIÍ-I
(La a c e l e r a c i ó n d e b i d a a la g r a v e d a d , g = 9 . 8 0 m / s e g 2 e s
equivalente a 127,000 km/h 2 ).
24> CAMPOS GRAVITACIONALES.
R2
a = g —
(11)
Esta aceleración hacia el interior de cualquier satélite orbital
es, precisamente, la aceleración centrípeta requerida para mantenerlo en órbita y para impedir que se salga por la tangente. Escribimos:
v2
a=
(15)
(12)
U n m é t o d o c o n v e n i e n t e e i n f o r m a t i v o para d e s c r i b i r la
atracción gravitacional de un cuerpo por otro a distancia, es definr lo
que se llama "campo gravitacional". Para ver como surge este concepto y cómo se usa, consideremos el siguiente desarrollo.
En la figura 6, una masa M se muestra ejerciendo una fuerza
gravitacional F, s o b r e una p e q u e ñ a masa m. La magnitud de esta
fuerza, según la ley de Newton de la gravitación es:
r
Igualando estas dos relaciones, obtenemos:
V2
r
R2
g —
r
Mm
F = G —
(16)
(13)
la cual despejando v, se transforma fácilmente en :
/R2"' •
v = /g
(14)
r
velocidad orbital.
La i n t e n s i d a d d e l c a m p ó l e n
cualquier p u n t o A en el e s p a c i o que
rodea a una masa M, se define como la fuerza por unidad de masa
que actúa sobre cualquier masa m colocada en dicho punto.
F
I = m
(17)
La p e q u e ñ a m a s a m se u s a e n e s t a d e s c r i p c i ó n , ú n i c a m e n t e
c o m o un m e d i o p a r a d e t e c t a r y m e d i r el c a m p o gravitacional en el
p u n t o A ; ya sea m g r a n d e o p e q u e ñ a , la fuerza por unidad de masa
en el punto será la misma. Si la masa m es doble, se duplicará la fuerza F; si m es triple, F s e triplicará, etc. Para encontrar una ecuación
para la intensidad del campo I, sólo necesitamos obtener un valor de
F/m en la ecuación (17).
Trasponiendo m a l a izquierda, encontramos que:
F
m
M
= G—
r
(18)
M
Si se transfiere m al otro lado de la ecuación (18), o b t e n e m o s la
relación:
F = mi
(19)
I n t e r p r e t a d a p r o p i a m e n t e , esta e c u a c i ó n dice q u e c u a l q u i e r
m a s a m s i t u a d a en un c a m p o g r a v i t a c i o n a l d e i n t e n s i d a d I, e xperimenta una fuerza F que actúa sobre ella y que es igual al producto de la m por I.
En la superficie de la Tierra el campo gravitacional es igual a
g, la aceleración debida a la gravedad.
£sto_se_deduce T directamente._df: la sf.yundaiey de Newton del
movimiento la cual para la caída de los campos se escribe:
F = mg
P o r l o t a n t o , e n la superficie de la Tierra la i n t e n s i d a d del
campo gravitacional:
E n la f i g u r a 7, se p r e s e n t a un
esquema del campo gravitacional alr e d e d o r de una masa e s f é r i c a M .
L a s f l e c h a s m u e s t r a n q u e la
dirección d e l c a m p o e s e n t o d a s
p a r t e s r a d i a l h a c i a el c e n t r o , y el
e s p a c i a m i e n t o de las líneas indica
q u e el c a m p o es más i n t e n s o en la
s u p e r f i c i e . Para cada punto, a igual
distancia del centro, 1 intensidad del
campo 1 es la misma, pero a medida
que la distancia crece, el campo disminuye.
Fig. 7. El campo gravitacional alrededor de una masa esférica M es
radial hacia el interior.
En un p e q u e ñ o v o l u m e n del espacio, e p u e d e s u p o n e r q u e el
campo gravitacional es constante en dirección y magnitud. La trayectoria s e g u i d a p o r u n a m a s a m , p r o y e c t a d a a t r a v é s de un c a m p o
gravitacional u n i f o r m e de intensidad I, es el resultado de una f u e r z a
constante F. En el espacio libre, la trayectoria es una parábola, como
se muestra en la figura 8.
Si el c a m p o n o es u n i f o r m e , c o m o en el caso de un gran volum e n e n el e s p a c i o c e r c a n o a la T i e r r a , la f u e r z a no es c o n s t a n t e y la
trayectoria de un proyectil no es una parábola.
Como r e s u l t a d o del t r a b a j o realizado sobre un c u e r p o , hemos
a l m a c e n a d o d e n t r o d e é f , en/virtud d e su nueva posición, una cantidad equivalente de energía potencial.
E P . = mgs
Al establecer estas ecuaciones, se supone que la intensidad del
campo gravitacional g es constante para la distancia V , a través de la
cual actúa la f u e r z a . Sin e m b a r g o , si la distancia es grave, la intensidad d e l c a m p o n o e s c o n s t a n t e y v a r í a i n v e r s a m e n t e c o n el
c u a d r a d o d e la d i s t a n c i a d e s d e el c e n t r o d e la T i e r r a ( v é a s e la
ecuación 18).
Fig. 8. La t r a y e c t o r i a d e un p r o y e c t i l en un c a m p o g r a v i t a c i o n a l uniforme
en una p a r à b o l a
Para calcular el trabajo realizado por medio de la ecuación (21),
y con u n a f u e r z a q u e c a m b i a de m o d o c o n t i n u o , se r e q u i e r e un
procedimiento matemático llamado cálculo. El cálculo muestra q u e
el trabajo realizado al llevar una masa m desde un p u n t o a la distancia r del c e n t r o de M, hasta una distancia tan grande q u e el c a m p o
gravitacional sea tan débil que pueda despreciarse, está dado por:
W = Fr
(22)
2-6 POTENCIA GRAVITACIONAL
H e m o s visto q u e el t r a b a j o realizado para elevar un c u e r p o de
u n a masa "m" a una altura "s", está d a d o por el p r o d u c t o f u e r z a por
distancia.
W = Fs
(21)
D o n d e la fuerza F está dada por la segunda ley de Newton, F =
mg,
W = mgs
En esta ecuación, F es la f u e r z a que actúa sobre m c u a n d o está
en el punto A. (Véase la figura 9). Este resultado sencillo hace fácil
expresar el t r a b a j o r e a l i z a d o con ayuda de la e c u a c i ó n (17). Sustituyendo este valor de F en la ecuación (22), podemos obtener:
Mm
W = G
(23)
r
La energía potencial de una masa en ese mismo punto es, por lo
tanto,
GM
P - -
(26)
r
Cualquier masa m situada en, o cerca de la superficie de la Tierra M, puede ser vista c o m o si estuviera en un agujero, donde la
energía potencial es negativa y elevarla fuera en el espacio libre (r infinita y E.P. = 0), requiere una cantidad de energía W.
W=
(27)
-mP
•«ih»!*»
Fig. 9. La f u e r z a q u e se n e c e s i t a p a r a a l e j a r una masa m d e la T i e r r a , disminuye al a u m e n t a r la distancia desde la superficie y se vuelve c e r o en el infinito
Mn
•MI
¥
BE
MH
i
Hit
(24)
E.P. = - G
H
El signo "menos" indica que la energía es negativa con respecto
al nivel cero, el cual está en el infinito. Cuando r
• » la E.P
•
0. Elevar una masa contra el tirón de un campo gravitacional requiere un gasto de energía.
D e f i n i m o s ahora el p o t e n c i a l g r a v i t a c i o n a l P de cualquier
punto en el espacio en torno de una masa M, como la energía potencial por u n i d a d de masa c u a l q u i e r masa m, l o c a l i z a d a en dicho
punto.
E.P
(25)
P =
r r s
w
i .
A f
|
?
*
IMúüto
s
2
EP=0
Fig. 10. La e n e r g í a p o t e n c i a l d e una m a s a m de la T i e r r a e s n e g a t i v a c o n
respecto a su energía potencial en el infinito.
Por lo tanto, hemos llegaado al resultado muy simple de que la
fuerza de cualquier masa esta dada por mi, y que su energía potencial
es igual a mP.
2-7 VELOCIDAD DE ESCAPE
m
Dividiendo ambos miembros de la ecuación (24) por m y sustituyendo en la ecuación (25), obtenemos:
Un satélite que escapa de la Tierra y nunca regresa, debe haber
sido lanzado con una velocidad mayor de la r e q u e r i d a p a r a p o n e r l o
en ó r b i t a . Para e n c o n t r a r la velocidad mínima de escape, aprovecharemos el potencial gravitacional dado en la sección precedente.
Para elevar una masa m desde cualquier punto a una distanciar,
d e s d e el c e n t r o de M, se r e q u i e r e el gasto de energía en la cantidad
dada por la ecuación (27). (Véase la figura 10). Si comunicamos esta
energía para dar a la masa una velocidad, la energía total gastada será
cinética, + mv . Por sustitución directa en la ecuación (27) de + mv1
e n l u g a r d e W, y - G M / r en l u g a r d e P, v e r la e c u a c i ó n ( 2 6 ) , obtenemos:
G» = gR2/M
(30)
Al s u s t i t u i r e s t a e x p r e s i ó n p o r G en la e c u a c i ó n ( 2 9 ) , obtenemos:
v = 72gR (31)
velocidad de escape desde
la superficie de la Tierra.
GM
1/2 mv
Nótese que esta velocidad de escape es la raíz cuadrada de dos
multiplicada por la velocidad orbital (véase la ecuación 15).
= m
£ •»«jiimiH1"
Despejando v, encontramos que esta ecuación da:
Vcscape = 1.41Vorbkal
(32)
"v lili
GM
ii : ¡" i t
¿
Ai
I ISItf'i'
lili ¡liilS
v =
Esta relación es válida para cualquier valor de r:.
(28)
•H.E. Whitc. Física Moderna, Cap. 18, Ed. 1965.
velocidad de escape
Si lanzamos la masa m desde la superficie de la Tierra, donde r
= R, escribimos:
I
GM
v = 2>
(29)
R
•MilI Pffl
Si d e s e a m o s expresar la velocidad de escape en función de g, en
la s u p e r f i c i e de la Tierra, p o d e m o s igualar la fuerza F dada la ley de
Newton de la gravitación con la fuerza F dada por su segunda ley del
movimiento:
R4
Se d i b u j a una elipse con d o s alfileres c o l o c a d o s a 6 cm de
d i s t a n c i a y una c u e r d a de 10 cm de largo. C a l c u l a r : a) el
v a l o r d e l e j e m a y o r , b) el v a l o r d e l e j e m e n o r ,
en—
centricidad, d)
y c ) 1* distancia del
perigeo.
a) Semieje mayor = 3 cm + 2 cm
= 5 cm
V(\5
1
= mg
era) - (3cm)
7(25 c m - 9 cm 2 )
>/16 cm2
4 cm
de la cual obtenemos:
10 cm
eje mayor
b) Semieje menor
Mn
G
Ejemplo 1.
„eje menor = 8 cm
Semieje menor = a - V1 - e 2
3 cm
c)
e =
= 0.6
Semieje menor = 5 cm >/l(0 - 6)¿
Un satélite está en órbita de la Tierra 1,600 km arriba de la
s u p e r f i c i e . C a l c u l a r a) su v e l o c i d a d y b ) su p e r í o d o d e
revolución en minutos.
Solución:
a) Por la ecuación 14, tenemos:
/ R
v
2
= y/g
"
r
v= R V
r
km(6.371x10 3 km)2
v = V 127xl0
3
h 2 7.971 x 103 km
4Ü
v = 25,430 km/h
b) Por la ecuación 8, tenemos:
2ji • 7971 km
T =
25,430 km/h
T = 1.967 h
T = 118.16 min
Hacerlo inmediatamente.
1.- Se construye una elipse con dos puntos situados a 28 cm
u n o del o t r o con una c u e r d a de 40 cm. Calcular los mismo
d a t o s d e l e j e m p l o 1. {40 cm, 28.565 cm, 0.7 cm, 34 cm, 6
cmj.
2.- Se construye una elipse de 0.9 de excentricidad con una
c u e r d a d e 50 cm. Calcular: a) el eje mayor, b) el eje menor,
c) el apogeo y d) el perigeo. [50 cm, 21.794 cm, 47.5 cm, 2.5
cm].
Hacerlo inmediatamente.
3.- Un satélite está en órbita de la Tierra a 2,800 km arriba
de la s u p e r f i c i e . C a l c u l a r : a) su velocidad o r b i t a l y b) su
p e r í o d o d e revolución en minutos. (23,708 km/h, 2.43 h ó
145.8 min].
4.- Un satélite en órbita de la Tierra a 5000 km arriba de la
superficie. Calcular: a) su velocidad orbital y b) su período
de revolución en minutos].
p =
6.66X10"11 m/kgseg 2 x 0.6383 x 10 24 kg
1
3.3321 x 106 m
Ejemplo 3.
P = 1.277 x 10 7 m 2 /seg 2
E n c o n t r a r la i n t e n s i d a d del c a m p o gravitacional sobre la
superficie del planeta Marte.
Solución:
P = 1.277 x 10 7 J/kg
Ejemplo 5.
Por la ecuación 18-a, tenemos:
I =G
¿Cuál es la v e l o c i d a d de e s c a p e en m/seg de un c o h e t e , si
su c o m b u s t i b l e se c o n s u m e a 70 km de la s u p e r f i c i e de
Marte?
M
r2
Solución:
D e la tabla 1, tenemos:
z Gm
M = 0.6387 x 10 kg y r = 3,332.1 km
11
I = 6.67X10
m
V = y/2
0.6387x10 24
——
kgseg 2 (3.3321xl0 m)
I = 3.83 m/seg 2
I = 3.83 N/kg
r
r = 3.3321xl0 3 km + 0.07 x 103km
r = 3.4021 x 10 3 km
í 6.66 x 10* 11 m/kgscg 2 x 0.6387 x 10 24 kg
v = V2 x
3.4021 x 106 km
Hacerlo inmediatamente.
5.- C a l c u l a r la i n t e n s i d a d del c a m p o gravitacional de un
punto a 1,000 km de la superficie de la Tierra. [7.32 m/seg 6
7.32 N/kg].
6.- C a l c u l a r la i n t e n s i d a d del c a m p o g r a v i t a c i o n a l ^ 1,000
km de la s u p e r f i c i e del p l a n e t a M a r t e . (2.27 m/seg ó 2.27
Ü M
Ejemplo 4.
E n c o n t r a r el potencial de cualquier punto situado sobre la
superficie del planeta Marte.
Solución:
Por la ecuación 26, tenemos:
P = GM/r
v = V2.501 x 10 7 m 2 /scg 2
v = 5 x 10 3 m/seg
v = 18,002 km/h
Hacerlo inmediatamente.
7.- C a l c u l a r la velocidad d e e s c a p e en m/seg y km/h de un
c o h e t e a 100 km s o b r e la s u p e r f i c i e de la T i e r r a . [ 11,000
m/seg, 39,924 km/h).
8.- C a l c u l a r la velocidad d e e s c a p e en m/seg y km/h de un
cohete a 80 km d e la superficie d e Venus. (10,185.6 m/seg,
36,668.2 km/h].
1.- Se d i b u j a una elipse con el eje mayor de 8 m y el eje menor de
4 e m . E n c o n t r a r : a) la e x c e n t r i c i d a d , b ) la d i s t a n c i a d e a p o g e o , c>la
distancia de perigeo y d) la distancia entre los focos.
«fcr
2.- Se c o n s t r u y e una elipse con un eje mayor de 10 m y un
e j e m e n o r de 4 m. E n c o n t r a r : a) la excentricidad, b) la distancia d e apogeo, c) la distancia de perigeo, d) la distancia
e n t r e los f o c o s y e ) la l o n g i t u d d e la c u e r d a q u e d e b e n
usarse.
3.- U n s a t é l i t e gira en ó r b i t a de 708 km de la T i e r r a . Encontrar: a) su velocidad, b) su período en minutos.
ir*
W'
cr:
it
-si
I ÍP
iiSHí
i
4.- Un s a t é l i t e e s t á en ó r b i t a de la T i e r r a a una a l t u r a d e
227 km. Calcular: a) la velocidad orbital, b) su p e r í o d o d e
revolución en minutos.
5.- ¿Cuál d e b e ser la velocidad de un satélite si su órbita alr e d e d o r de la Tierra es de 1,250 km de la superficie? ¿Cuál
será su período?
6.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la
superficie del planeta Saturno.
7.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la
s u p e r f i c i e de los siguientes planetas: a) Júpiter, b) M a r t e ,
c) Mercurio, d) Venus, e) Urano.
8.- Calcular la velocidad de e s c a p e en m/seg, de un cohete
si su c o m b u s t i b l e se a g o t a a 100 km de la s u p e r f i c i e de la
Tierra.
9.- E n c o n t r a r la velocidad de escape para un proyectil que
sale de la superficie de los siguientes planetas: a) Tierra, b)
Marte, c) Júpiter, d) Venus, c) Urano.
SUMA DE VECTORES
APLICANDO EL MÉTODO DE
LAS COMPONENTES.
El d e s a r r o l l o d e la t r i g o n o m e t r í a t u v o c o m o m o t i v a c i ó n la
astronomía cuantitativa y la medición del t i e m p o . Su f u n d a d o r f u e
Hiparco, de q u i e n no se tiene t r a b a j o s escritos d i r e c t a m e n t e , p e r o
cuyas c o n t r i b u c i o n e s e s t á n a c r e d i t a d a s por P t o l o m e o en su o b r a
"Colección Matemática o Almagest". Aquí se e n c u e n t r a la conexión
con la herencia de Babilonia del uso de las fracciones sexadécimales
y la i n t r o d u c c i ó n de la f u n c i ó n s e n o a través de las c u e r d a s de un
círculo.
OBJETIVOS.
1.- D e f i n i r cada u n o de los t é r m i n o s , c o n c e p t o s , p r i n c i p i o s o
leyes incluidas en este capítulo.
2.- Descomponer un vector sobre un par de ejes coordenados.
1.- Se d i b u j a una elipse con el eje mayor de 8 m y el eje menor de
4 c m . E n c o n t r a r : a) la e x c e n t r i c i d a d , b ) la d i s t a n c i a d e a p o g e o , c>la
distancia de perigeo y d) la distancia entre los focos.
«fcr
2.- Se c o n s t r u y e una elipse con un eje mayor de 10 m y un
e j e m e n o r de 4 m. E n c o n t r a r : a) la excentricidad, b) la distancia d e apogeo, c) la distancia de perigeo, d) la distancia
e n t r e los f o c o s y e ) la l o n g i t u d d e la c u e r d a q u e d e b e n
usarse.
3.- U n s a t é l i t e gira en ó r b i t a de 708 km de la T i e r r a . Encontrar: a) su velocidad, b) su período en minutos.
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4.- Un s a t é l i t e e s t á en ó r b i t a de la T i e r r a a una a l t u r a d e
227 km. Calcular: a) la velocidad orbital, b) su p e r í o d o d e
revolución en minutos.
5.- ¿Cuál d e b e ser la velocidad de un satélite si su órbita alr e d e d o r de la Tierra es de 1,250 km de la superficie? ¿Cuál
será su período?
6.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la
superficie del planeta Saturno.
7.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la
s u p e r f i c i e de los siguientes planetas: a) Júpiter, b) M a r t e ,
c) Mercurio, d) Venus, e) Urano.
8.- Calcular la velocidad de e s c a p e en m/seg, de un cohete
si su c o m b u s t i b l e se a g o t a a 100 km de la s u p e r f i c i e de la
Tierra.
9.- E n c o n t r a r la velocidad de escape para un proyectil que
sale de la superficie de los siguientes planetas: a) Tierra, b)
Marte, c) Júpiter, d) Venus, c) Urano.
SUMA DE VECTORES
APLICANDO EL MÉTODO DE
LAS COMPONENTES.
El d e s a r r o l l o d e la t r i g o n o m e t r í a t u v o c o m o m o t i v a c i ó n la
astronomía cuantitativa y la medición del t i e m p o . Su f u n d a d o r f u e
Hiparco, de q u i e n no se tiene t r a b a j o s escritos d i r e c t a m e n t e , p e r o
cuyas c o n t r i b u c i o n e s e s t á n a c r e d i t a d a s por P t o l o m e o en su o b r a
"Colección Matemática o Almagest". Aquí se e n c u e n t r a la conexión
con la herencia de Babilonia del uso de las fracciones sexadécimales
y la i n t r o d u c c i ó n de la f u n c i ó n s e n o a través de las c u e r d a s de un
círculo.
OBJETIVOS.
1.- D e f i n i r cada u n o de los t é r m i n o s , c o n c e p t o s , p r i n c i p i o s o
leyes incluidas en este capítulo.
2.- Descomponer un vector sobre un par de ejes coordenados.
3.- Calcular la r e s u l t a n t e y su dirección d e dos ó más vectores,
después de haber descompuesto los vectores sobre un par de
ejes coordenados (método de las componentes).
PROCEDIMIENTO.
1.- Lectura general y rápida del capítulo.
CAPÍTULO 3.
m
2.- Segunda lectura para subrayar lo más importante.
3.- Escribe un resumen del capítulo.
4.- Analiza detenidamente los ejemplos resueltos.
5.- T o m a n d o c o m o b a s e los e j e m p l o s r e s u e l t o s , r e s u e l v e los
MÉTODO DE LAS
COMPONENTES.
problemas incluidos para "hacerlos inmediatamente" llegando a los resultados marcados.
NOTA;
Para tener derecho al examen de esta unidad, deberás
entregar, en hojas tamaño carta, la autoevaluación del
capítulo III.
C u a n d o o b s e r v a m o s un o b j e t o q u e e s t á en m o v i m i e n t o , nos
p r e g u n t a m o s ¿cuál es el f e n ó m e n o
que p r o v o c a e s e m o v i m i e n t o ? La
r e s p u e s t a a e s t a p r e g u n t a es: una
fuerza que actúa en la dirección del
movimiento. P e r o , ¿ q u é pasa cuando un c u e r p o está estático? ¿Habrá
fuerzas que provoquen el equilibrio
y no se mueva el cuerpo?
Para facilitar la comprensión a
estas respuestas, estudiaremos
varios m é t o d o s en los c u a l e s i n t e r v i e n e n f u e r z a s aplicadas a un
mismo cuerpo.
Si despejamos los catetos en las funciones seno y coseno, nos
quedaría:
b = C Sene
3-1 BASES DE TRIGONOMETRÍA
a = C Cose
Muchos de los p r o b l e m a s de la mecánica son más fáciles de
resolver por el método llamado "método de las componentes".
Para su estudio es n e c e s a r i o que c o n o z c a m o s los conceptos
básicos de la trigonometría aplicada a un triángulo rectángulo tal y
como se muestra en la figura 1.
Empezaremos definiendo a como el cateto adyacente al ángulo,
h como el cateto opuesto al ángulo y £ la hipotenusa.
Si sustituimos e s t o s valores en la d e f i n i c i ó n de la tangente,
tendremos:
C Sen e
Tan 0 =
eliminando C
C Cose
Sen e
Tan 0 =
Cos
0
En un triángulo, la función "seno" será la relación que existe
entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
b
Sene =
3-2 D E S C O M P O S I C I Ó N DE UNA F U E R Z A EN S U S
COMPONENTES.
c
Al igual que el seno, la función c o s e n o es una relación, en la
que se divide el cateto adyacente entre la hipotenusa.
a
Cos 0 =
c
Y en el caso de la tangente también es una relación, pero entre
el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Si hacemos una comparación de la Fig. 1 con la fig. 2, en la fig. 1
tenemos el cateto AB = a, que en la fig. 2 sería F x (la proyección en
el eje de las x del vector F. En la fig. 1 tenemos el cateto BC = b, que
en la figura 2 sería Fy, obtendríamos:
Fx = FCose
Sen d =
b
Tan e =
a
Fy
—
F
Fv = F Sene
en cada uno de los ejes.
Así, tenemos que:
Fy
Tan e = —
Fx
Cos 0 = Fx/F
despejando F x = FzCosfl
Con estos conceptos podemos trazar cualquier f u e r z a con espec
to a c u a l q u i e r par de e j e s c o o r d e n a d o s y t r a t a r l o c o m o si fueraui
triángulo (fig. 2) y saber el valor de sus catetos que r e p r e s e n t a n pan
nosottros los valores de la fuerza sobre el eje x y sobre el eje Y.
F» = 80 N x Cos 45°
Cos 45° = 0.707 (Tablas de trigonometría)
Fx = 80 N x 0.707
F x = 56.56 N
Además:
Sen
Despejando
0 = Fy/F
Fy = F S e n 0
F y = 80 N x Sen 45°
Sen 45° = 0.707 (tablas de trigonometría)
F y = 80 N x 0.707
F v = 56.56 N
;
Ejemplo 1.
Descomponer una fuerza de 80 N a 45° sobre la horizontal.
Hacerlo inmediatamente.
1.- D e s c o m p o n e r una f u e r z a d e 500 d i n a s a 22.5° d e e j e
+ x. (Fx = 461.94 dinas, F y 191.34 dinas].
2.- Descomponer una fuerza de 48 kg a 300° del eje + x. (F x
= 24 kg, F y - -41.57 kg].
3.- D e s c o m p o n e r una fuerza de 60 N a 180° del e j e + x. (F x
= - 60 N, F y = 0 N].
Ejemplo 2.
D e s c o m p o n e r una fuerza de 120 kg actuando a 150° del e j e
+ x.
Fig. 3a
Fig. 3b
Solución:
Sabemos que t e n e m o s que tomar la fuerza de 80 N c o m o la
h i p o t e n u s a d e un t r i á n g u l o r e c t á n g u l o (fig. 3-1) y que los
c a t e t o s del triángulo, serán, las proyecciones de la f u e r z a
E n e s t e c a s o e l v e c t o r s e e n c u e n t r a e n el s e g u n d o
c u a d r a n t e ( f i g . 4) d e un p a r d e e j e s c o o r d e n a d o s . L o
p o d e m o s t r a b a j a r igual, p e r o r e c o r d a n d o que es más fácil
t r a b a j a r con á n g u l o s m e n o r e s d e 90°. F o r m e m o s el t r i á n g u l o ABC c o n
e n l u g a r d e 150°, ya q u é C o s 150° = Cos 30° y Sen 150° - Sen 30°
Por lo tanto:
Fx = 120 kg x Cos 150°
= 120 kg x (-Cos 30°)
F x = FxCosd
2o. Cada f u e r z a se d e s c o m p o n e en su c o m p o n e n t e sobre el eje
y
(fig. 7).
F y = FxSenfl
= 120 kg x (-0.866)
- -103.92 kg
3o. Se suman las componentes "x" para dar la componente resultante "x" (vector sobre el eje "x" en la fig. 8)
Fy = 120 kg x Sen 150°
- 120 kg x Sen 30°
Fxi + Fx2 + Fx3 + ... + Fxn = I F x (Sumatoria de fuerzas
en V ) .
- 120 kg x 0.5
= 60 kg
3 - 3 S U M A DE V E C T O R E S POR EL M É T O D O DE LAS
COMPONENTES.
C u a n d o varias f u e r z a s actúan s o b r e un m i s m o cuerpo,
s i m u l t á n e a m e n t e , su f u e r z a r e s u l t a n t e p u e d e s e r c a l c u l a d a por
c u a l q u i e r a de los varios m é t o d o s d i f e r e n t e s . A l g u n o s m é t o d o s son
l a r g o s y p e s a d o s , m i e n t r a s q u e o t r o s c o m p r e n d e n un m í n i m o de
operaciones simples. De las soluciones gráficas de problemas de fuerza, el m é t o d o del polígono es indudablemente el más sencillo. De las
soluciones analíticas, el método de las componentes", es el más corto
y preferido por su simplicidad.
O b s e r v e m o s las figuras del e j e m p l o 3 (figuras 5, 6, 7 y 8) donde
se m u e s t r a un sistema en el q u e están a c t u a n d o c u a t r o f u e r z a s concurrentes (fig. 5). Ahora sigamos los siguientes pasos:
l o . Cada f u e r z a se d e s c o m p o n e en su c o m p o n e n t e sobre el eje
V (fig. 6).
4o. Se suman las componentes "y" para dar la componente resultante "y". (Vector sobre el eje "y" en la fig. 8).
Fyi + Fy2 + Fy3 + ... + Fyn = 2Fy (Sumatoria de fuerzas
en "y")
5o. Se combinan las componentes resultantes i F x y £ F y a ángulo
r e c t o p a r a o b t e n e r su resultante R (fig. 8). Se t r a b a j a en el
c u a d r a n t e q u e c o r r e s p o n d a a los c u a t r o c u a d r a n t e s de los
ejes coordenados.
R = V (lFx) z + (!F y ) z
6o. Se calcula la dirección de la resultante (fig. 8) por medio de
la función tangente con el rectángulo final.
Tand = Fx/Fy
e = Tan
Fx
En el ejemplo 3 están todos los pasos aquí marcados.
P a r a h a c e r la c o m b i n a c i ó n m a r c a d a en el 5o. paso, d e b e m o s
recordar las siguientes consideraciones:
Ejemplo 3.
E n c o n t r a r la resultante de las siguientes fuerzas: a) 150 kg
a 62°, b) 125 kg a 205°, c) 130 kg a 270° y 180 kg a 337° (ver
fig- 5).
a ) C u a n d o la s u m a d e las c o m p o n e n t e s e n X e s positiva, es
decir, la componente de la resultante en X es positiva, dicho
vector se graficará hacia la derecha (Ver fig. 8).
b) C u a n d o la c o m p o n e n t e de la r e s u l t a n t e en X es negativa, el
vector se graficará hacia la izquierda.
I&OK«
c) Si la c o m p o n e n t e de la,resultante en Y es positiva, el vector
se graficará hacia arriba.
d) Si la c o m p o n e n t e de la resultante en Y es negativa, el vector
se t r a f i c a r á hacia abajo (Ver fig. 8)
123*9
lt«K»
Bajo estas consideraciones, podemos concluir:
130 Kf
l o . Cuando I F X es positiva y £F y es positiva, la resultante se encuentra en el primer cuadrante.
2o. Cuando XFX es negativa y 2F y es positiva, la resultante se encuentra en el segundo cuadrante.
3o. C u a n d o ZFX es n e g a t i v a y l F y es negativa, la r e s u l t a n t e se
encuentra en el tercer cuadrante.
4o. Cuando ZFX es positiva y l F y es negativa, la resultante se encuentra en el cuarto cuadrante.
+ 2F*
- I F x
+
EFy
- I F x
+ IF
-EFy
+ XFx
-2Fy
y
1er. cuadrante
2do. cuadrante.
3er. cuadrante.
4to. cuadrante.
P r i m e r o d e b e m o s d e s c o m p o n e r c a d a uno de los v e c t o r e s
sobre el eje "x" ver fig, 6), y debemos de tomar la siguiente
consideración: los vectores, que al descomponerlos nos indiquen a la derecha, son positivos y los que indique hacia la
izquierda son negativos.
150 Cos 62°
-
70.421 kg
125-Cos 205° = 125(-Cos 25°)
« -113.288 kg
180- Cos 337° = 180( + Cos 23°)
= + 165.691 kg
o
130 Cos 270° = 130( Cos 0 )
TOTAL
=
0.00
« + 122.824 kg
A h o r a , s o b r e el eje "y" t e n e m o s los vectores m o s t r a d o s en
la fig. 7 y también debemos de considerar: los vectores que
i n d i q u e n h a c i a a r r i b a s o n positivos, y l o s q u e i n d i q u e n
hacia abajo son negativos.
150 Sen 62°
= +132.442 kg
125 Sen 205° = 125(-Sen 25°)
= -
130 Sen 270° = 130(-Sen 90°)
= - 130.000 kg
180 Sen 337° = 180(-Sen 23°)
= -
52.827 kg
158.95°].
6.- E n c o n t r a r la resultante y su dirección de las siguientes
fuerzas: a) 250 dinas a 30°, b) 370 dinas a 180°, c) 500 dinas
a 250° y d) 500 dinas a 330°. (604.66 dinas, 280.34°].
70.332 kg
AUTOEVALUACIÓN.
TOTAL
= - 120.717 kg
H e m o s o b t e n i d o a h o r a d o s v e c t o r e s . U n o s o b r e el eje de
las !¿L con valor d e 122.824 kg y o t r o s o b r e el eje d e las
con valor d e -120.717 kg. Siguiendo con la misma b a s e d e
q u e un vector hacia la d e r e c h a es positivo (en el e j e de las
x") y hacia a b a j o negativo (en el eje de las
formamos el
diagrama de la fig. 8.
Por el teorema de Pitágoras obtenemos:
1.- Hallar las c o m p o n e n t e s de una fuerza de 156 N actuand o a un ángulo de 34°.
2.- D e s c o m p o n e r el vector fuerza de 900 kg a c t u a n d o a 15°
sobre un cuerpo.
3.- H a l l a r la r e s u l t a n t e d e 5 v e c t o r e s f u e r z a c o p l a n a r c s ,
a p l i c a d o s a un c u e r p o de la siguiente f o r m a : a) 19 N a 0°,
b ) 15 N a 60°, c ) 16 N a 135°, d ) 11 N a 210°, e ) 12 N a
270°.
4.- H a l l a r la r e s u l t a n t e del siguiente s i s t e m a de v e c t o r e s
fuerza coplanares y concurrentes: a) 3 kg,a 0 o , b) 4 kg a 30°
y c) 4 kg a 150°.
= 172.216 kg
y la d i r e c c i ó n d e l vector
tante será:
-120.717
Tan G
122.824 kg
Tan 0 = -0.9828
are tan -0.9828 = - 44.5°
La dirección es igual a -44.5° 6 315.5°
Hacerlo inmediatamente.
4.- E n c o n t r a r la resultante y su dirección de las siguientes
f u e r z a s : a ) 180 N a 1 3 5 ° y b ) 2 4 0 N a 8 5°. ( 3 8 1 . 4 9 N,
106.19 o !.
5.- E n c o n t r a r la r e s u l t a n t e de las siguientes f u e r z a s : a) 15
k g a 0 o , b ) 7 0 k g a 1 2 0 ° y c ) 5 0 k g a 2 4 0 ° . (48.22 kg,
HMiiiliiPlr'
FUERZAS EQUILIBRADAS Y
FUERZAS NO EQUILIBRADAS.
...El cisne tira hacia las nubes
el cangrejo hacia atrás, y el
lucio hacia el agua.
»
E s t o q u i e r e d e c i r q u e u n a f u e r z a , la del cisne, e s t á d i r i g i d a
hacia arriba, la del lucio hacia un lado, y la t e r c e r a la del cangrejo,
hacia atrás. P e r o no podemos olvidar que existe otra fuerza, el peso
del carro cargado, que está dirigida verticalmente hacia abajo. Según
esta fábula, "el carro hasta ahora está en el mismo sitio", es decir, que
la resultante de todas las fuerzas aplicadas a él es igual a cero.
OBJETIVOS.
1.- D e f i n i r cada u n o de los c o n c e p t o s , t é r m i n o , leyes o principios incluidos en este capítulo.
2.- Ejemplificar equilibrio dinámico y equilibrio estático.
3.- Definir ei concepto de equilibrio en fuerzas concurrentes.
4.- Resolver p r o b l e m a s d o n d e se aplique la p r i m e r a condición
de equilibrio.
5.- Determinar, gráficamente, el centro de gravedad.
6.- Definir el concepto equilibrio en fuerza no concurrentes.
CAPITULO IV.
PROCEDIMIENTO,
1.- Lectura rápida del capítulo.
2.- Segunda lectura para subrayar lo más importante.
EQUILIBRIO DE LOS
CUERPOS RÍGIDOS.
3.- Realizar un resumen del capítulo.
4.- Realizar despacio los ejemplos resueltos.
5.- Resolver los problemas para "hacerlo inmediatamente.
6.- Resolver los problemas de la autoevaluación.
NOTA:
Para tener derecho a presentar esta unidad, deberás
entregar en hojas tamaño carta, la autoevaluación del
capítulo IV de tu libro de texto.
4-1 FUERZAS EN EQUILIBRIO.
Todos nosotros tenemos la ¡dea de una fuerza, ya que la ligamos
íntimamente con nuestra actividad muscular. Para mover un mueble,
levantar un objeto, pegarle a un balón, nuestros músculos nos indican
que e s t a m o s a p l i c a n d o u n a f u e r z a a u n o b j e t o . La f u e r z a y el
movimiento están asociados en forma natural en nuestras mentes con
la actividad muscular. C u a n d o pensamos en cambiar la f o r m a de un
objeto, moverlo de lugar, o cambiar su movimiento, p e n s a m o s automáticamente en la sensación muscular de aplicar fuerza a ese objeto.
Estas i d e a s c o m u n e s s o b r e la f u e r z a , a u n q u e n o t o d a s , nos s e r á n
útiles en la mejor comprensión de la física.
P e r o además de que las fuerzas p u e d e n hacer que los objetos se
m u e v a n , t a m b i é n p u e d e n h a c e r q u e se q u e d e n q u i e t o s . Las estructuras de grandes edificios están bajo la influencia de poderosas fuerzas, sin e m b a r g o , están en reposo. A p a r e n t e m e n t e , se r e q u i e r e más
que una simple aplicación de fuerzas para mover un objeto.
Si observamos una competencia en que dos equipos tiran de una
cuerda, se ejercen grandes fuerzas de cada lado, pero puede la cuerda
p e r m a n e c e r en reposo. Podemos decir que las fuerzas se balancean o
se anulan. U n f í s i c o d i r í a q u e la c u e r d a e s t a b a en equilibrio. Esto
quiere decir, q u e la suma de todas las fuerzas aplicadas a un extremo
d e la c u e r d a e s d e i g u a l m a g n i t u d q u e la s u m a d e las f u e r z a s
aplicadas a í o t r o lado, a u n q u e ambas tienen direcciones diferentes.
T a m b i é n el físico establecerá que la fuerza neta en la cuerda es igual
a cero. P o r lo t a n t o , un c u e r p o en e q u i l i b r i o no p u e d e e m p e z a r a
m o v e r s e , a m e n o s q u e se a ñ a d a u n a f u e r z a nueva y desbalanceada
que rompa el equilibrio.
Si c o n o c e m o s p o r s e p a r a d o c a d a u n a d e las f u e r z a s q u e se
aplican a un o b j e t o en reposo, p o d e m o s predecir si va a permanecer
así. Veamos el siguiente diagrama:
Fuerza F2
Fuerza Fi
Equipo 1
Equipo 2
Vamos a s u p o n e r que estas fuerzas, Fi y F2, se miden con toda
exactitud y en forma s e p a r a d a . Luego las d i b u j a m o s de nuevo en las
direcciones y escalas correctas. Sin embargo, esta vez las pondríamos
por los orígenes, como se muestra en la figura siguiente.
Si la punta del segundo vector cae exactamente sobre el origen
de la o t r a , e n t o n c e s s a b e m o s q u e los e f e c t o s de a m b a s f u e r z a s se
balancean. C o m o a m b a s son iguales y a c t ú a n en d i r e c c i o n e s contrarias, la resultante es cero.
C o n c l u s i ó n : Si un o b j e t o p e r m a n e c e en reposo, la suma de las
fuerzas que actúan sobre él será igual a cero. El reposo es un ejemplo
del estado de equilibrio, pero también en el movimiento uniforme se
tiene un e j e m p l o , ya que, t o d a s las f u e r z a s que actúan sobre el objeto, se encuentran balanceadas.
4-2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO.
Si un c u e r p o está en reposo y permanece en él, se dice que está
en equilibrio estático. Si s a b e m o s q u e un c u e r p o está en e q u i l i b r i o
estático y, por consiguiente, que tiene aceleración igual a cero, por
las leyes de N e w t o n s a b e m o s que la f u e r z a neta que actúa sobre el
cuerpo es igual a cero.
1.- a = 0
La aceleración del centro de masa vale cero.
2.- a = 0
La aceleración angular alrededor de un eje f\jo en un
marco de referencia inercial vale cera
P u e s t o q u e la f u e r z a n e t a q u e a c t ú a s o b r e un c u e r p o es en
g e n e r a l , la s u m a d e v a r i a s f u e r z a s , e s t o p u e d e e s c r i b i r s e de la
siguiente forma:
£F = 0
Si cada una de las f u e r z a s se resuelve en c o m p o n e n t e s rectangulares a lo l a r g o de d o s e j e s p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e sí x e y, e s t a
ecuación vectorial puede escribirse como dos ecuaciones algebráicas.
Fi
(deben estar sobrepuestas) F2
2F X = o
2Fy = O
Si lo incluimos en tres ejes perpendiculares x, y y z, tendremos:
£Fx = 0
SFy = 0
IFZ
4-3 F U E R Z A S C O N C U R R E N T E S .
Siempre que las líneas de acción de un conjunto de vectores de
fuerza, que actúan sobre un cuerpo, se cortan en un solo punto, se
dice que dichos vectores de fuerza son concurrentes.
Ejemplol.
De un c u e r p o q u e e s t á s o s t e n i d o por dos c a b l e s , c o m o
m u e s t r a la f i g . 1, c a l c u l a r el v a l o r d e l a s f u e r z a s en los
cables.
= 0
P a r a s i m p l i f i c a r , n o s l i m i t a r e m o s a c o n s i d e r a r o b j e t o s que
p u e d e n ser t r a t a d o s c o m o p u n t o s , o b j e t o s a los q u e llamaremos
p a r t í c u l a s . Si lo h a c e m o s así, p o d e m o s i g n o r a r d e f o r m a c i o n e s y
rotaciones.
Si la fuerza neta ejercida sobre una partícula es igual a cero, las
l e y e s d e N e w t o n n o s d i c e n q u e la a c e l e r a c i ó n d e la p a r t í c u l a se
mueven con velocidad constante. Si la velocidad de una partícula que
estaPh' en equilibrio dinámico. Condición 1 marcada anteriormente.
Con la condición 2, esto también se cumple cuando trabajamos
el movimiento de rotación.
De lo expuesto aquí, p o d e m o s notar que el c u e r p o no necesita
e s t a r e n r e p o s o p a r a q u e se e n c u e n t r e en e q u i l i b r i o . En otras
p a l a b r a s , no se n e c e s i t a la f a l t a de m o v i m i e n t o . Si se p r e s e n t a el
movimiento, desde luego éste debe ser uniforme.
Figrl.
Solución:
P o r las c o n d i c i o n e s d e e q u i l i b r i o en f u e r z a s c o n c u r r e n t e s
tenemos:
F* = Fi eos 30° - F 2 eos 30°
F y = Fi sen 30° + F 2 sen 30° - 90 kg
Por lo tanto:
F j x 0.866 - F2 x 0.866 = 0
Fi x 0.500 + F 2 x 0.866 - 90
S i v * 0, debe ser constante (tanto en dirección y sentido como
en magnitud), y si el cuerpo gira con la velocidad angular w * 0, debe
ser constante ( t a n t o en dirección como en sentido y magnitud). Esto
será un equilibrio dinámico.
Si ÜJ = 0 y v = 0, hablamos de un equilibrio estático.
Si multiplicamos por 0.866 la ecuación (2) y por 0.500 la ec.
(1),serán ahora ecuaciones simultáneas y tenemos:
Fix0.433-F2x0.433
-
0
F ixO.433 + F 2 X0.433
- 77.94
FixO.866
- 77.94
la fuerza resultante:
F i = 77.94 k g / 0.866
Fi •= 90 kg.
FX = T - W X
Sustituyendo en la ecuación (2), obtenemos:
90 kgxO.SOO + F2X0.500 = 90
45 kg
FR = 2000 kg - 1279.73 kg
FR = 720.27 kg.
+ F2x0.500 = 90
90 kg - 45 kg
4-4 FUERZAS NO CONCURRENTES.
F2
0.500
F 2 = 90 kg.
x
--__£jemplo 2.
F u e r z a s no e q u i l i b r a d a s . Un p e q u e ñ o a u t o b ú s de 4200 kg.
s u b e p o r un p l a n o i n c l i n a d o . Si lleva una t e n s i ó n de 2000
kg. hacia arriba y el plano inclinado tiene una p e n d i e n t e d e
32 % , C u á l s e r á la f u e r z a r e s u l t a n t e q u e lo moverá hacia
arriba sin considerar la fricción? Fig. 2.
A n a l i z a n d o un "sube y baja" y dos niños q u e t i e n e n el mismo
peso, p u e d e n balancearse si se sientan cerca de los extremos opuestos de la t a b l a . Sin e m b a r g o , si un n i ñ o p e s a d o y o t r o l i g e r o se
colocan en los d o s extremos, el p e s a d o hace d e s c e n d e r su lado y el
segundo asciende. Para equilibrar el sube y baja, el niño pesado debe
moverse h a c i a el c e n t r o . Al p a r e c e r , el e q u i l i b r i o c o n f u e r z a s
paralelas incluye no sólo el t a m a ñ o y d i r e c c i ó n de la f u e r z a , sino
también su distancia al centro de rotación.
Solución:
La ú n i c a f u e r z a q u e c o n t r a - r r e s t a r á a la f u e r z a d e
2000 kg será la c o m p o n e n t e
s o b r e el p l a n o i n c l i n a d o
del peso del móvil. P a r a
calcular necesitamos
p r i m e r o el valor del ángulo
Fig.2.
del plano inclinado. Fig. 3.
tan 0.32 = 17.74°
lo tanto, el valor de W x
será:
W x = W sen A
W x = W sen 17.74°
W* = 4200 kg x 0.3047
Fig. 3.
W x = 1279.73 kg.
4-5 CENTRO DE MASAS.
El centro d e masas de un c u e r p o dado o de un sistema de cuerpos es un p u n t o tal, q u e p a r a c u a l q u i e r p l a n o q u e p a s e por él, los
momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado.
Momento de la masa es el producto de la masa del cuerpo por el
radio de giro.
m i n =m2T2
4-6 CENTRO DE GRAVEDAD.
U n a de las fuerzas que se encuentran en los problemas de equilibrio es la de la g r a v e d a d . El centro de gravedad se d e f i n e como la
posición donde se puede considerar que actúa la gravedad.
L o s o b j e t o s p e q u e ñ o s c e r c a n o s a la s u p e r f i c i e d e la Tierra,
E n c o n t r a r el c e n t r o d e masas de dos c u e r p o s mi = 2 g y
m2 = 5 g, separados 14 cm. Figura 4.
Solución:
Por el diagrama tenemos:
n + r2 = 14 cm
tenemos:
TI
F g = mg
= 14 cm - n
Sustituyendo en la ecuación (3), tenemos:
mi x r i = m2 x r 2
El centro de gravedad y el centro de masas coinciden.
2g x r j = 5g x (14 cm - r j )
Hacerlo inmediatamente.
2g x ri = 70 g-cm - 5g x r j
1.- Calcular el c e n t r o de masas de 2 cuerpos, u n o de 8 kg. y
o t r o de 14 kg. s e p a r a d o s 45 cm. {28.64 cm de la masa d e 8
kg. 6 16.36 cm de la de 14 kg.}
7g x ri = 70 g-cm
2.- Calcular el centro de masas de 2 cuerpos, uno de 15 kg y
o t r o de 25 kg s e p a r a d o s 80 cm. {50 cm. d e la masa de 15 kg
6 30 cm. de la masa de 25 kg.
ri = 10 cm
n = 70 g-cm / 7 g
12 = 14 cm - 10 cm
r2 = 4 cm
El c e n t r o d e m a s a s de d o s c u e r p o s es un p u n t o e n el cual se
p u e d e n c o n s i d e r a r c o m o c o n c e n t r a d o s t o d o s los p e s o s . Por esta
r a z ó n , e l c e n t r o d e m a s a s e s a m e n u d o l l a m a d o e l c e n t r o de
gravedad. En el e j e m p l o 3, podríamos sustituir a los dos cuerpos por
uno solo de 7 g de masa situado a 4 cm de la masa de 5 g.
4-7 PARES.
C u a n d o varias f u e r z a s actúan sobre un c u e r p o *'<gido, el equilibrio completo no se asegura solo con el cumplimiento de la primera
condición de equilibrio. En la fig , por ejemplo, se presenta un cuerpo sobre el cual actúan 2 fuerzas iguales, pero opuestas. Aunque F x
= 0 ó F y = 0 están satisfechas, el c u e r p o no esta en completo equilibrio. Actúa sobre él un par que tiende a ponerlo en rotación, para
evitar e s t e giro, s o b r e el c u e r p o rígido d e b e a c t u a r o t r o p a r igual
pero opuesto. En otras palabras, para estar en equilibrio de rotación,
deben estar compensados los pares.
U n par se d e f i n e como d o s fuerzas iguales, de sentido opuesto,
q u e n o a c t ú a n a lo l a r g o d e la misma línea. La m a g n i t u d de un par
está d a d a por el p r o d u c t o de las fuerzas y la distancia perpendicular
entre ellas.
Par = F x r
E s t e producto de F x r, el m o m e n t o de un par se compara con el
m o m e n t o de u n a f u e r z a . Un par f o r m a d o por dos f u e r z a s pequeñas
con una gran separación entre ellas.
Un c u e r p o rígido se define como aquel cuyas diversas partes no
c a m b i a n sus p o s i c i o n e s r e l a t i v a s , c u a n d o se le a p l i c a n f u e r z a s en
diferentes puntos. En realidad, no se conocen cuerpos que satisfagan
esta condición, p e r o para propósitos práticos, la mayoría de los cuerpos sólidos se pueden considerar como rígidos.
4-8 PAR MOTOR.
Se tiene una b a r r a de 5 m. de largo y está pivoteada ( p u e d e
girar) en uno de sus extremos. Si se le aplica una fuerza de
10 newtons, calcular su par motor.
L = Fxr
L = 10 N x 4 m
L = 50 N-m
Las unidades que hemos obtenido es en N-m que aparentan
ser iguales a las unidades de trabajo, julio = N-m, p e r o no
lo son, ya que, en el t r a b a j o , la fuerza y la distancia tienen
la misma dirección y en el caso del momento, la fuerza y la
distancia son p e r p e n d i c u l a r e s . Las u n i d a d e s de t r a b a j o y
las unidades de momento no son las mismas.
4-9 EQUILIBRIO DE ROTACIÓN.
C u a n d o u n a sola f u e r z a a c t u a n d o s o b r e un c u e r p o , t i e n d e a
p r o d u c i r rotación, se dice q u e e j e r c e un par m o t o r . El par motor es
s i n ó n i m o de m o m e n t o de f u e r z a y se d e f i n e como el p r o d u c t o de la
f u e r z a por el brazo de palanca, siendo ésta la distancia perpendicular
desde el punto de giro a la fuerza.
L = Fxr
Cuando mencionamos el equilibrio de traslación, dijimos que se
debía de cumplir las condiciones de que la suma de fuerzas en x y la
suma de fuerzas en y debían de ser iguales a cero ( Fx = 0 y Fy = 0).
Para estar en equilibrio de rotación, la suma de todos los pares
motores debe ser igual a cero. Por lo tanto, para que el cuerpo en el
que se aplican f u e r z a s no c o n c u r r e n t e s esté en e q u i l i b r i o total, se
debe cumplir:
SF* = 0
iFy = 0
£L = 0
Hacerlo inmediatamente.
Ejemplo 4.
E q u i l i b r i o de rotación. Calcular los valores de Ri y R2 d e l
problema de la fig. 5.
P o r las c o n d i c i o n e s d e e q u i l i b r i o : F x = 0 , F y y L = 0 ,
tomando como base el punto R i , obtenemos:
£LRI
=
60 N x l m
+
80 N x 4M
+
6 0 N x 7 . 5 m - R2 x
3 - En la fig. del e j e m p l o 4, cambiar las f u e r z a s por 75 kg,
100 kg y 125 kg respectivamente y calcular R j y R2. {Ri =
176.56 kg y R 2 = 123.44 kg.}
4.- En la fig. del e j e m p l o 4, cambiar las distancias de 0.5 ni
por 1.5 m y ia de 8 m por 9 m. C a l c u l a r Ri y R2\T {R1 =
92.22 N y R2 = 107.78 N}.
8m = 0
P u e d e s o b s e r v a r q u e los t r e s p r i m e r o s m o m e n t o s s o n
positivos, porque si tivieran facilidad de hacer girar la viga,
g e n e r a r í a n un g i r o e n el m i s m o s e n t i d o ( a f a v o r d e l a s
m a n e c i l l a s d e l r e l o j ) y a la ú l t i m a se le p u s o el s i g n o
negativo, p o r q u e el giro sería en sentido contrario (en contra de las manecillas del reloj).
£ L r i = 60 n-m + 320 N-m + 450 N-m - R2 x 8 m = 0
AUTOEVALUACIÓN.
1.- Las c o n d i c i o n e s p a r a el e q u i l i b r i o del c u e r p o s ó l i d o
son:
/
2.- Hallar la resultante R de las tres fuerzas indicadas en la
sig. figura.
= 830 N-m - R 2 x 8 m = 0
Despejando tenemos:
30 kg
R 2 = 830 N-m / 8m
40c: 1m l
R 2 = 103.75 N
£ F y = - 60 N - 80 N - 6 0 N + 103.75 N + RI = 0
SON
60 N
lm I
3m
60 N
3.5 m
I 5m
f
50 k g
60 cm
X
50 cm
jiOcm
}
3.- Calcular Ti y T2 del problema de la siguiente figura. W
= 100 kg.
En la suma de f u e r z a s en Y las t r e s primeras son negativas
p o r q u e van hacia a b a j o , en cambio Ri y R2 van hacia arriba, por ello son positivas.
Fy
= -96.25 N + RI = 0
RI = 96.25 N
II
20 kg
Fig. 5.
F y = - 200 N + 103.74 N + RI = 0
r
4.- H a l l a r la r e s u l t a n t e d e las 4 f u e r z a s i n d i c a d a s en el
siguiente diagrama y los valores de Ri y R 2 -
1
UNIDAD VI.
MÁQUINAS SIMPLES.
Cuando se piensa en máquinas, nos podemos imaginar un motor
de automóvil, una l o c o m o t o r a o una fábrica llena de c o m p l i c a d o s
a p a r a t o s p a r a f a b r i c a r p i e z a s . C i e r t a m e n t e , t o d o s los e j e m p l o s
anteriores son máquinas, p e r o están construidas acoplando entre sí
muchas máquinas simples, como las que estudiaremos en esta unidad.
OBJETIVOS.
1.- Definir cada uno de los conceptos, términos y leyes incluidos
en este capítulo.
2.- D i f e r e n c i a r e n t r e máquinas simples y c o m p u e s t a s , y e n t r e
palancas de primer, segundo y tercer género.
3.- Distinguir, en cualquier tipo de máquina simple, d ó n d e se
encuentran la fuerza de potencia y de resistencia, el brazo de
potencia, el de resistencia, y el fulcro o punto de apoyo.
4.- Calcular el t r a b a j o suministrado, trabajo ejecutado, ventaja
mecánica efectiva, ventaja mecánica ideal, rendimiento, fuer-
za-ée ta p o t e n c i a y f u e r z a d e la r e s i s t e n c i a a p a r t i r de los
datos apropiados.
PROCEDIMIENTO.
1.- Lectura general y rápida del capítulo.
CAPÍTULO V
2.- Leyendo despacio, subraya lo más importante.
3.- Escribe un resumen del capítulo.
4.- Analiza despacio los ejemplos resueltos.
MÁQUINAS SIMPLES
5.- T o m a n d o c o m o b a s e los e j e m p l o s r e s u e l t o s , r e s u e l v e los
problemas incluidos para "hacerlo inmediatamente:, llegando
a los resultados marcados.
6.- Sobre una cartulina, escribe las ecuaciones fundamentales de
e s t e c a p í t u l o y c o l ó c a l a f r e n t e a tu lugar de e s t u d i o en tu
casa.
NOTA:
Para tener derecho a presentar esta unidad, deberás
entregar, en hojas tamaño carta, la autoevaluación del
capítulo V en tu libro de texto.
INTRODUCCIÓN.
En s u j u v e n t u d , A r q u í m e d e s
deseaba dedicarse exclusivamente a las
matemáticas. Calculó la razón de la longitud de la circunferencia de un círculo
a su diámetro; ideó un plan para contar
los g r a n o s d e a r e n a e n la p l a y a y
formuló un método para medir las áreas
y los volúmenes de cuerpos cilindricos y
esféricos.
Anhelaba ser recordado como un
filósofo matemático. Pero como estaba
e m p a r e n t a d o con H i e r ó n II, rey de Siracusa (250 a. de C.), se sentía
f o r z a d o por una doble obligación —como subdito y como pariente ~
a o b e d e c e r l o . T r a b a j ó bajo sus o r d e n e s y p r o d u j o unas c u a r e n t a inv e n c i o n e s , a l g u n a s con f i n e s c o m e r c i a l e s , p e r o la m a y o r í a con
propósitos militares.
Precisamente, con propósitos militares, Arquímedes desarrolló
su teoría sobre las poleas y palancas. Se dice que para poner a prueba
su teoría hizo construir una polea múltiple; después unió una cadena
e n el e x t r e m o de la p o l e a a un b a r c o c o m p l e t a m e n t e cargadoy
e n t r e g ó el o t r o e x t r e m o d e la c a d e n a a H i e r ó n . E s t e q u e d ó muy
s o r p r e n d i d o al ver q u e le b a s t a b a h a c e r un leve e s f u e r z o de sus
m a n o s p a r a levantar el b a r c o del agua, d e j á n d o l o s u s p e n d i d o en el
aire como por arte de magia.
de las regatas emplea un torno p a r a izar un b o t e f u e r a del agua y un
leñador utiliza una cuña p a r a r a j a r la leña. Incluso, al e m p u j a r una
carga pesada cuesta arriba se usa una máquina simple (la pendiente
de la rampa)
El c a s c a n u e c e s , e l g a t o , el t o r n o , la c u ñ a y la r a m p a s o n
ejemplos de máquinas simples
¿ E n qué principios se basa la utilidad de las poleas? ¿Con qué
f i n se u s a n a c t u a l m e n t e ? E n e s t e c a p í t u l o e n c o n t r a r e m o s una
respuesta a estas preguntas.
brozo d* r«si3t**cia
5-1 MÁQUINAS.
Las máquinas son dispositivos mecánicos que permiten trabajar
más c ó m o d a m e n t e , a u m e n t a n d o la velocidad de una operación, dism i n u y e n d o la f u e r z a q u e d e b e a p l i c a r s e o
cambiando la dirección de la fuerza.
Levantar pesos y empujar automóviles
atascados, con nuestros músculos, son form a s directas d e r e a l i z a r t r a b a j o . M u c h a s
veces, para realizarlo se e m p l e a n a p a r a t o s
m e c á n i c o s . Uncascanueces p u e d e p a r t i r
una nuez, demasiado dura para romperla
con las manos. Un mecánico emplea un gato
p a r a levantar un automóvil. Un entusiasta
Estas m á q u i n a s se p u e d e n emplear para d i f e r e n t e s usos; p e r o
todas se utilizan p a r a r e a l i z a r un t r a b a j o . P u e d e n h a c e r fácil u n a
tarea difícil; p o s i b l e , u n a i m p o s i b l e ; s e g u r a , una p e l i g r o s a y aun
placentera, una tarea desagradable. Las máquinas simples se emplean
diariamente muchas veces. Constituyen una parte básica de nuestra
herencia. Actualmente, no podríamos sobrevivir sin ellas. Si se aprenden su principios su empleo será más efectivo.
C o m p r e n d e r á má
f á c i l m e n t e esos principios
investiga.
E n los t i p o s de m á q u i n a s
podemos t e n e r i m á q u i n a s
simples, t a l e s c o m o la
el torno, la cuña, el tornillo, la
p o l e a y el p l a n o i n c l i n a d o e n
cuyos p r i n c i p i o s se basan
las m á q u i n a s i n v e n t a d a s p o r el
h o m b r e ; y máquinas compuestas
q u e son a q u e l l a s q u e e s t á n —
m a d a s por dos o más m á q u i n a s simples, por e j e m p l o , el polipasto o
motón.
5-2 PALANCA.
El mecanismo para destapar frascos, los a l i c a n t e s , m a r t i l l o y s u b i b a j a
p e r t e n e c e n al t i p o d e m á q u i n a s
simples llamadas palancas. Las palancas son tan c o m u n e s que t o d o s
sabemos como se usan.
T o d a palanca tiene un p u n t o fijo
llamado fulcro, donde actúan dos fuerzas -La fuerza de la potencia y la fuerza
de la resistencia- Si se cambia la posición del fulcro, cambia la relación entre
ellas.
Cuando una fuerza actúa sobre una palanca, la distancia perpendicular desde el fulcro hasta la línea de acción de la fuerza se llama
brazo de la palanca (brazo de la
potencia).
Hay dos maneras de calcular la ventaja mecánica de una palanca. Puede suceder que la fuerza de la potencia (Fp) o la f u e r z a de la
resistencia (FR) s e a n d e s c o n o c i d a s , o b i e n , q u e la d i s t a n c i a de la
potencia (rp) o la d i s t a n c i a de la r e s i s t e n c i a (TR) s e a n d i f í c i l e s de
medir.
Considerando que la palanca es una máquina simple que puede
carecer de rozamiento para los casos prácticos, tenemos:
rp
FR
Vme
=
VMI =
FP
CLASES DE PALANCAS.
Primer género: T i e n e n e l
fulcro entre la fuerza de la potencia y la f u e r z a de la r e s i t e n c i a .
Ejemplos: las tijeras, la balanza,
los alicates, etc.
=
rH
Segundo género: T i e n e n l a
f u e r z a de la r e s i s t e n c i a e n t r e ela
f u e r z a de la p o t e n c i a y el f u l c r o
( f u n c i o n a n como un multiplicador
de f u e r z a ) . Ejemplos: La carretilla
y una puerta.
momento de la potencia = momento de la resistencia
F p r p = FRI-R
P a l a n c a
d e
2 d o
g é n e r o
Tercer género: La f u e r z a de
p o t e n c i a se e j e r c e e n t r e la f
de la r e s i t e n c i a y el f u l c r o ,
p í o s : la p a l a , el a n t e b r a z o , las
tenazas para pan, etc.
Hay q u e c o n s i d e r a r q u e
no s i e m p r e una palanca es una
b a r r a r e c t a , ya q u e , el c a s c a n u e c e s , el m a r t i l l o , u n a
p u e r t a , u n a c a ñ a de p e s c a r ,
u n a c a r r e t i l l a o un b o t e d e
r e m o s no son una s i m p l e
barra.
T a m b i é n , al aplicar la ley de la c o n s e r v a c i ó n de la energía en
una máquina simple, recibe el nombre de ley del t r a b a j o .
Trabajo suministrado = trabajo ejecutado + trabajo gastado
Si se desprecia la fricción, tenemos:
trabajo suminstrado = trabajo ejecutado
Las máquinas p r o p o r c i o n a n ventajas mecánicas y en el caso de
una p a l a n c a la V m c ( v e n t a j a m e c á n i c a e f e c t i v a ) , sería la relación
entre la fuerza de la resistencia y la fuerza de la potencia.
FR
Vmc
=
(2)
Fp
Para resolver p r o b l e m a s
relacionados a las palancas, se
h a c e n m á s s e n c i l l o s si n o s
a c o s t u m b r a m o s a d e s a r r o l l a r un e s q u e m a d o n d e se manifiesten las
mediciones correspondientes (Fp, FR, rp, TR y el fulcro).
Pero ninguna máquina es perfectamente eficiente, por lo tanto,
podemos calcular la ventaja mecánica ideal por medio de la siguiente
ecuación:
brazo de la potencia
Las f u e r z a s que actúan sobre la barra son: potencia (Fp), resistencia (FR) y el p u n t o de apoyo que es el c e n t r o de la división entre
los dos brazos: brazo de la potencia rp y brazo de la resistencia (m).
El equilibrio se obtiene multiplicando la potencia por su brazo y
la r e s i s t e n c i a por el suyo. Al p r o d u c t o de esta multiplicación se le
llama momento. Por lo tanto, tenemos:
Vmi =
brazo de la resistencia
rp
Vmi =
(3)
TR
Ahora, podemos definir el rendimiento de una máquina:
Hacerlo inmediatamente.
trabajo útil ejecutado
rendimiento
x 100
trabajo total suminstrado
(4)
1.- Calcular el r e n d i m i e n t o de una palanca con la que se
l e v a n t a una r o c a de 120 kg, a p l i c a n d o una f u e r z a de 25
kg.El p u n t o de apoyo está a 25 cm de la resistencia y 125
cm de la potencia.
Vmc
Rendimiento =
x 100
(5)
Vm¡
Las palancas se clasifican de la siguiente manera:
5-3 TORNO.
Ejemplo 1.
C a l c u l a r el r e n d i m i e n t o de una p a l a n c a con la c u a l se
levanta una roca de 80 kg. aplicando una fuerza de 20 kg si
el punto de apoyo esta a 30 cm de la resistencia y a 140 cm
de la potencia.
Solución:
Por la ecuación 2 tenemos:
Vme = Fr/FP
O t r o t i p o de p a l a n c a es el t o r n o . A q u í la p a l a n c a se p u e d e
mover t a n t o c o m o se necesite, el brazo de la resistencia s i e m p r e es
igual al radio del tambor donde se enrolla la cuerda.. El brazo de la
potencia no es, n e c e s a r i a m e n t e , igual al de la r e s i s t e n c i a . Por lo
tanto, la ventaja mecánica puede ser, y generalmente es, diferente de
1.
= 80 kg/20 kg
= 4
por la ecuación 3 tenemos:
Vm, =
rp/rR
= 140 cm/30 cm
= 4.66
Y por la ecuación 5, tenemos:
Rendimiento = V m e x 100/V mi
= 4 x 100/4.66
= 85.8 %
C u a n d o el hombre inventó una palanca que podía girar los 360°
de la circunferencia, descubrió una importante variación de la palanca, l l a m a d a la r u e d a y el e j e . R e s u l t a
espectacular la manera como una rueda
y un e j e se u n e n a m u c h o s dispositivos
conocidos, en los que nunca pensamos un destapador de frascos, un grifo o una
llave en una cerradura.
O t r a s de las más i n r e r e s a n t e s máquinas s i m p l e s s o n los e n g r a n e s y la
polea c o n b a n d a . A q u í los b r a z o s d e
palanca giran continuamente. Estos dispositivos s i e m p r e c o n t i e n e n , por lo
gitud de la manivela es el brazo de la potencia y el radio del cilindro
es el brazo de la resistencia.
La ley del m o m e n t o se aplica aquí exactamente igual que en la
palanca.
En la fig. 3-1 p u e d e s ver el croquis de un t o r n o y sus brazos de
palanca en los diagramas 3b y 3c.
menos, dos palancas con dos fulcros. Un brazo de palanca mueve a
o t r o , c o m o c u a n d o dos e n g r a n e s e n d i e n t a n e n t r e sí. U n a palanca
p u e d e mover a la otra, porque se conectan con una banda flexible, o
con una c a d e n a , c o m o en la bicicleta. La longitud de los brazos de
palanca sexletermina midiendo el diámetro de las ruedas, y con estas
medidas se calcula la ventaja mecánica.
E n los e n g r a n e s se p u e d e n c o n t a r los d i e n t e s y c o m p a r a r la
razón del n ú m e r o de dientes, en lugar de los brazos de palanca. Las
m á q u i n a s de esta clase se e m p l e a n paraganar velocidad, o fuerza,
p e r o no a m b a s a la vez. Si se gana en velocidad, se pierde en fuerza
de resistencia.
El torno consiste en un cilindro metálico o de madera que girí
alrededor de un eje. Su principio es similar al de una palanca. La Ion
Las p a l a n c a s e s t u d i a d a s h a s t a a h o r a
sólo p u e d e n mover las cargas una distancia p e q u e ñ a ; si las desea más lejos, debe
colocar la palanca en otra posición e iniciar, de nuevo, t o d o el movimiento. Sin
embargo, existen máquinas simples
s e m e j a n t e s a las p a l a n c a s q u e p u e d e n
m o v e r u n a c a r g a t a n l e j o s c o m o se
quiera.
Un b u e n e j e m p l o e s u n a polea
simple, q u e se ve en la ilustración de del
asta de la bandera. La polea es fija; no se
t r a s l a d a , solo gira. Esta es u n a p a l a n c a
que n u n c a agota sus b r a z o s de p a l a n c a .
Los brazos de palanca, tanto de la potencia c o m o d e la r e s i s t e n c i a , son s i e m p r e
iguales a l t a d i o de la rueda de la polea. La ventaja mecánica ideal de
la polea fija, es exactamente igual a 1, por ello, la ventaja de la polea
fija estriba en que cambia la dirección de la fuerza.
Para i n c r e m e n t a r la ventaja mecánica en el caso de las poleas,
se desarrollan arreglos de varias poleas donde una de ellas es fija y la
otra u otras son móviles, ver ilustración.
U n a p o l e a s i m p l e , c o n s i s t e en un
disco a c a n a l a d o por donde corre una
c u e r d a q u e gira a l r e d e d o r de un e j e
central. Este disco está sostenido por una
a r m a d u r a rígida q u e apoya en el eje, es
d e c i r , es u n a p a l a n c a con f u l c r o en el
centro. La véntaja mecánica de una polea
fija es 1 y se utiliza sólo para cambiar la
d i r e c c i ó n e n q u e la f u e r z a d e b e
aplicarse.
- i - *
ú
y
i
i
tí
5-5 PLANO INCLINADO.
El p l a n o i n c l i n a d o es u n a s u p e r ficie plana q u e f o r m a un ángulo agudo
con la horizontal, en el cual también existe una f u e r z a de potencia, una f u e r z a
de r e s i s t e n c i a , u n a d i s t a n c i a d e la
potencia y una distancia de la resistencia.
Se c o n s i d e r a n c o m o p l a n o s inclinados la cuña Ymel tornillo.
¥
Poleas.
Si se u s a c o m o p o l e a m ó v i l , se
p u e d e c o n s i d e r a r como una palanca con
f u l c r o e n e l e x t r e m o . El b r a z o d e la
potencia es igual al diámetro de la rueda y el brazo de la resistencia a
su radio.
brazo de la potencia
Vmi
=
brazo de la resistencia
diámetro
Vm¡ =
radio
2r
Vmi = -r—
= 2
¿ C ó m o podría llevar un piano de 400
kg d e s d e la c a l l e h a s t a el i n t e r i o r d e la
casa? El piano es muy p e s a d o para levantarlo f r e n t e a la p u e r t a , e investigar este
problema con pianos reales sería muy em
barazoso. Sin e m b a r g o , esto lo p u e d e in
vestigar con un modelo pequeño.
Un grupo de e s t u d i a n t e s realizó esta
i n v e s t i g a c i ó n l e v a n t a n d o un p a t í n d e
r u e d a s , e m p l e a n d o un d i n a m ó m e t r o ;
-
—
Cuita»
v i e r o n q u e la f u e r z a e r a de 720 g. M i d i e r o n la a l t u r a d e l extremo
e l e v a d o d e l p l a n o i n c l i n a d o y su l o n g i t u d , a n o t a n d o los d a t o s del
m o d o siguiente:
Estas observaciones indican que se necesita menos f u e r z a para
tirar del p a t í n a lo l a r g o de la r a m p a q u e p a r a l e v a n t a r l o d i r e c a mente.
Longitud del plano inclinado 1 m
VENTAJA DEL PLANO INCLINADO.
altura del plano 25 cm
peso del patín 720 g
U n e s t u d i a n t e tiró del patín l e n t a m e n t e a lo largo del plano y
m i d i ó u n a f u e r z a d e 240 g. O t r o lo h i z o r á p i d a m e n t e y m i d i ó una
f u e r z a d e 3 0 0 g. T o d o s o b s e r v a r o n q u e e r a n e c e s a r i a u n a fuerza
m a y o r p a r a iniciar el m o v i m i e n t o del p a t í n q u e p a r a mantenerlo en
movimiento. Después, tomaron las medidas cuando el patín se movía
con una velocidad bajo y constante.
F U E R Z A R E Q U E R I D A P A R A L L E V A R E L PATIN HACIA
A R R I B A D E L P L A N O A U N A V E L O C I D A D B A J A Y CONSTANTE
Ensayos
A
B
C
D
E
F
=
Fuerza
240 gramos
270 gramos
210 gramos
300 gramos
180 gramos
240 gramos
1440 gramos
suma de fuerzas
promedio
número de ensayos
1440 gramos
—— = 240 gramos
6
C o m p a r e m o s n u e v a m e n t e la f u e r z a de 240 g, necesaria en un
plano inlincado, con la 720 g; q u e se r e q u i e r e sin él. ¿ C ó m o indica
esta comparación la ventaja de emplear una máquina simple? Con el
plano inclinado el patín se puede levantar directamente. En este sentido la máquina simple hace más fácil la tarea: la fuerza es menor.
No conviene a f i r m a r q u e la máquina simple ahorra t r a b a j o , se
debe analizar a n t e s la situación. Por medio de la máquina simple se
ejerce una f u e r z a de 240 g (0.24 kg) a lo largo de una distancia de 1
metro, y el t r a b a j o es de 0.24 ( k g m ) . L e v a n t a n d o d i r e c t a m e n t e el
patín, una fuerza de 720 g (0.72 kg) se mueve a lo largo de una distancia de 25 cm (0.25 m), y el t r a b a j o es de 0.72 kg x 0.25 m - 0.180 kgm.
Se requiere más t r a b a j o para levantar el patín por el plano que direct a m e n t e . Con un p l a n o i n c l i n a d o , la t a r e a r e q u i e r e m e n o s f u e r z a ,
pero m¿is trabajo.
Por consiguiente, en relación con la fuerza, esta máquina simple
proporciona una ventaja definida. ¿En qué consiste esa v e n t a j a ? La
m a n e r a más sencilla de expresarla es c o m p a r a r la f u e r z a r e q u e r i d a
sin el p l a n o inclinado con la r e q u e r i d o usando el plano. Es decir: la
ventaja es igual a la fuerza requerida sin el plano dividida por la fuerza
requerida con el plano. Entonces, la fórmula sería:
fuerza (sin el plano)
ventaja mecánica = —
fuerza (con el plano)
= 10 m/1 m
720 gramos
=
240 gramos
10
rendimiento = V m e x 100/V mi
= 6.25 x 100/10
= 3
O b s e r v e q u e el r e s u l t a d o no t i e n e u n i d a d e s , p u e s t o q u e los
gramos del numerador y del nominador se cancela.
« 62.5 %
Hacerlo inmediatamente.
Ejemplo 2.
U n a c a j a que pesa 50 kg es e m p u j a d a para subir una pend i e n t e de 10 m d e largo y 1 m de altura. Si se necesita una
fuerza de 8 kgf para empujar la caja. Calcular el rendimiento del plano inclinado.
2.- Si en el e j e m p l o 2, la altura es de 1 5 m y los otros dalos
son iguales, ¿Cuál será el rendimiento. {93.84 %}.
3.- Si en el e j e m p l o 2, la pendiente es de 12 m de largo y los
o t r o s d a t o s son los m i s m o s del e j e m p l o . C a l c u l a r el rendimiento. {52.08%}
_
Solución:
Para calcular el trabajo total suministrado.
T s = Fprp
T s = 8 kgf x 10 m
T s = 80 kgf-m
T r a b a j o útil ejecutado:
Ejemplo 3.
U n a c a j a q u e p e s a 48 kg es e m p u j a d a p o r e n c i m a de un
p l a n o i n c l i n a d o de 5 m de l a r g o y 1 m de a l t u r a , con una
f u e r z a de 12 kg. C a l c u l a r el r e n d i m i e n t o d e l p l a n o inclinado.
Solución:
T u = FRTR
Tenemos los siguientes datos:
T u = 50 kgf x 1 m
FR = 48 kg, Fp = 12 kg, r R = 1 m, rp = 5 m.
T u = 50 kgf-m
T r a b a j o suministrado = Fp x rp
Por la ecuación 4 tenemos:
= 12 kg x 5 m
rendimiento - T u x 100/T S
= 50 kgf-m x 100/80 kgf-m
ó también:
= 60 kg-m
T r a b a j o útil = FR x RR
= 48 kg x 1 m
Vme =
FR/FP
= 50 kgf/8 kgf
= 6.25
V M , = rp/rR
= 48 kg-m
Rendimiento = T U x 100 /T»
= 48 kg-m x 100/60 kg-m
= 80 %
V m e = FR/FP
AUTOEVALUACIÓN 5.
. = 48 kg/12 kg
= 4
V m , = rp/rR
= 5 m/lm
= 5
Rendimiento = V m e x 100/V mi
= 4 x 100/5
= 80%
«I
,I I
i Util Ii
-
1.- D i b u j a de nuevo la fig. 1, s e ñ a l a n d o para cada u n o de
los ejemplos:
a) ¿ Q u é t i p o de m á q u i n a s i m p l e es. y el p o r q u e de c a d a
respuesta.
b) ¿ D ó n d e se e n c u e n t r a n el f u l c r o o p u n t o de a p o y o , la
f u e r z a de la potencia, la fuerza de la resistencia y el brazo
de la resistencia.
2.- De la s i g u i e n t e lista de m á q u i n a s , c l a s i f i c a r l a s c o m o
s i m p l e s o c o m p u e s t a s ; d e las s i m p l e s , si se t r a t a de una
palanca, deducir si es de primer, segundo o tercer género.
a) tijeras
f) Tornillo
b) Polca
g) Escoba
c) Polipasto
h) Carretilla
d) Cascanueces
i) Pinzas
e) Torno
j) Bicicleta
3.- Las t i j e r a s de h o j a l a t e r o de la fig. 1, tienen mangos de
25 cm de largo y la p e r s o n a que las usa, aplica la f u e r / a a
2.5 cm de sus extremos. E n c o n t r a r : a) La ventaja mecánica
i d e a l c u a n d o l a s c u c h i l l a s c o r t a n un p e d a z o de m e t a l
colocado a 1.25 cm del fulcro, b) Suponiendo que la f u e r / a
se a p l i c a r a e x a c t a m e n t e en los e x t r e m o s de las t i j e r a s .
¿Cuál sería l» nueva ventaja mecánica ideal?.
{a)V m , = 18 y b) V m i - 20}.
4.- L o s m a n g o s d e un c a s c a n u e c e s c o m o el de la fig. 1,
t i e n e n 18 cm d e l a r g o . C a l c u l a r : a) La f u e r z a q u e r e c i b e
una n u e z c o l o c a d a a 6 cm de la b i s a g r a , si se e j e r c e una
f u e r z a de 20 N en los e x t r e m o s libres de la p a l a n c a , b) el
rendimiento de esta máquina simple.
{a) FR = 60 N y b) Rend. = 100 7c)
5.- E n c o n t r a r la v e n t a j a m e c á n i c a ideal de un t o r n o , si el
d i á m e t r o de su eje es de 10 cm y la manivela tiene una longitud de 30 cm. (Ver fig. 3).
{V m i = í>}
6.- U n h o m b r e lleva una carga de p i e d r a s de 150 kg en una
c a r r e t i l l a c o m o la de la fig. 1. El c e n t r o d e gravedad d e la
carga está a 20 cm del e j e de la r u e d a ; el h o m b r e sostiene
los mangos de la carretilla a 80 cm del eje.
a) Encontrar la ventaja mecánica ideal de la dcarretilla.
{a) V m i = 4}
UNIDAD VII
b) D e s p r e c i a n d o la fricción, calcular la fuerza de la potencia.
{b) F P = 37.5 kg}
F R I C C I ÓN
7.- U n p l a n o i n c l i n a d o d e 24 m d e l a r g o y 3 m d e a l t u r a
tiene un rendimiento de 80 %.. Calcular la fuerza necesaria
para subir por él una carga que pesa 50 kg.
{F P = 7.81 kg}
8.- Si en el t o r n o del problema, 5, se levanta una carga d e 9
kg con una f u e r z a de 2 kg, ¿cuál será el r e n d i m i e n t o de la
máquina?
{Rend. = 75 % }
La f u e r z a de fricción o de r o z a m i e n t o es tan común en la vida
diaria, a u n q u e p o c a s v e c e s nos d a m o s c u e n t a de e s t o , en a l g u n a s
ocaciones nos es de gran ayuda, como en el caso de poder caminar o
al enfrenar un automóvil, como en otras ocaciones es tan perjudicial,
en un resbalón o el desgaste de las piezas del motor de un automóvil.
Al t e r m i n a r e s t a u n i d a d t e n d r á s una idea más clara de e s t e
fenómeno.
OBJETIVOS.
1.- Definir cada uno de los términos, conceptos y principios establecidos en el capítulo 6 de este libro.
2.- Explicar el término fricción y las causas que la provocan.
3 - D e t e r m i n a r el valor de la normal en diferentes condiciones
físicas de un cuerpo (plano inclinado y plano horizontal).
4.- D i f e r e n c i a r e n t r e c o e f i c i e n t e de fricción e s t á t i c o y coeíi-
6.- U n h o m b r e lleva una carga de p i e d r a s de 150 kg en una
c a r r e t i l l a c o m o la de la fig. 1. El c e n t r o d e gravedad d e la
carga está a 20 cm del e j e de la r u e d a ; el h o m b r e sostiene
los mangos de la carretilla a 80 cm del eje.
a) Encontrar la ventaja mecánica ideal de la dcarretilla.
{a) V m i = 4}
UNIDAD VII
b) D e s p r e c i a n d o la fricción, calcular la fuerza de la potencia.
{b) F P = 37.5 kg}
F R I C C I ÓN
7.- U n p l a n o i n c l i n a d o d e 24 m d e l a r g o y 3 m d e a l t u r a
tiene un rendimiento de 80 %.. Calcular la fuerza necesaria
para subir por él una carga que pesa 50 kg.
{F P = 7.81 kg}
8.- Si en el t o r n o del problema, 5, se levanta una carga d e 9
kg con una f u e r z a de 2 kg, ¿cuál será el r e n d i m i e n t o de la
máquina?
{Rend. = 75 % }
La f u e r z a de fricción o de r o z a m i e n t o es tan común en la vida
diaria, a u n q u e p o c a s v e c e s nos d a m o s c u e n t a de e s t o , en a l g u n a s
ocaciones nos es de gran ayuda, como en el caso de poder caminar o
al enfrenar un automóvil, como en otras ocaciones es tan perjudicial,
en un resbalón o el desgaste de las piezas del motor de un automóvil.
Al t e r m i n a r e s t a u n i d a d t e n d r á s una idea más clara de e s t e
fenómeno.
OBJETIVOS.
1.- Definir cada uno de los términos, conceptos y principios establecidos en el capítulo 6 de este libro.
2.- Explicar el término fricción y las causas que la provocan.
3 - D e t e r m i n a r el valor de la normal en diferentes condiciones
físicas de un cuerpo (plano inclinado y plano horizontal).
4.- D i f e r e n c i a r e n t r e c o e f i c i e n t e de fricción e s t á t i c o y coeíi-
crénte de fricción cinético y calcular susValores.
5.- R e c o n o c e r la e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a p a r a el c o e f i c i e n t e de
fricción por el deslizamiento uniforme.
6.- I d e n t i f i c a r las u n i d a d e s que se m a n e j a n para la fricción y el
coeficientge de fricción.
7.- Resolver a partir de los datos apropiados, problemas bajo las
siguientes condiciones:
a) Sin fricción.
b) Con fricción.
c) Con velocidad constante.
d) Con movimiento u n i f o r m e m e n t e acelerado.
PROCEDIMIENTO.
1.- Lee en f o r m a g e n e r a l tu m a t e r i a l del c a p í t u l o 6 de tu libro
de texto.
2.- S u b r a y a lo más i m p o r t a n t e del m a t e r i a l incluido para esta
unidad.
3.- Realiza un r e s u m e n de lo subrayado y escríbelo en tu libreta
de ápuntes.
4.- D e s a r r o l l a un e s c r i t o d o n d e establezcas 25 e j e m p l o s en que
se manifieste la fricción.
5.- A n a l i z a los p r o b l e m a s r e s u e l t o s del p u n t o 6-5 y que esten
relacionados con esta unidad.
NOTA:
Para tener derecho a evaluarte en esta unidad, deberás
entregar completamente resueltos los problemas de la
autoevaluación 6 y tu escrito (bien presentado) del punto
4 del procedimiento.
CAPÍTULO VI.
jl
1:
FRICCIÓN.
ll
6-1 INTRODUCCIÓN.
Cuando se desliza un cuerpo sobre otro, o sobre un piso existen
fuerzas entre el cuerpo que se desliza y la superficie sobre la cual se
produce ese deslizamiento, éstas reciben el nombre de fuerzas de
fricción, o simplemente fricción, la cual se opone al movimiento de los
objetos que están en contacto entre sí.
La explicación deMas causas de la fricción no es sencilla. Algunos
científicos creen que se debe ptincipalmente al roce de las superficies
desiguales de los objetos en contacto. A medida que las superficies se
frotan, tienden a entrelazarse resistiéndose al desplazamiento de una
sobre otra. Se ha demostrado que, en realidad, partículas diminutas, se
separan de una superficie y llegan a encajarse en la otra.
Apartir de esta teoría de la fricción, podría pensarse, que si se
pulen cuidadosamente las dos superficies, la fricción deslizante que se
produzca entre ellas habría de disminuir; sin embargo, se ha demostrado
que hay un límite del grado de fricción que puede reducirse mediante
el pulido de las superficies en contacto, pues cuando estas quedan muy
lisas, aumenta la fricción entre ellas. Por lo anterior se ha incluido otra
teoría, según la cual, es posible que en algunos casos la fricción se
a las mismas fuerzas que mantienen unidos a los átomos v m o l é c ^
de las superficies en contacto.
Los efectos de la fricción están muy presentes en la vida diaria,
aunque muchas veces no nos damos cuenta de ello. Por ejemplo, no
podríamos caminar si no existiera fricción entre las suelas de los zapatos
y el suelo.' Además, para que un automóvil empiece a moverse, es
necesario que exista fricción entre las llantas y la carretera y, al aplicar
los frenos del vehículo, se produce este mismo tipo de fuerzas por el
rozamiento de las balatas y los tambores o discos de las ruedas; de
manera que se reduce la rapidez de su giro, mientras que la fricción de
las llantas con el piso es la que termina de detener al autómovil.
Las mismas fuerzas de fricción son las que permiten que nos
mantengamos parados y evitan que los platos se deslicen fuera de la
mesa, si ésta no esta bien nivelada. En todos los casos anteriores, la
fricción es deseable, pero en otras ocaciones, ésta puede constituir una
desventaja. Por ejemplo, cuando tratamos de mover un mueble pesado
deslizandolo sobre el piso, es la fuerza de fricción (estática en este caso),
la que se opone al movimiento; también se tratan de disminuir los
efectos de la fricción (cinética) entre dos piezas en movimiento, cuando
se utilizan lubricantes (por ejemplo, el aceite para motores o trasmisiones de automóviles).
La dirección de esta fuerza es la del movimiento, pero en sentido
opuesto. Esto se puede comprobar cuando se empuja una caja pesada
sobre un piso de madera o de cualquier otro material, y se puede sentir
el esfuerzo necesario en nuestros brazos para mover hacia uno u otro
lado la caja y vencer la fuerza de rozamiento que la mantiene en reposo
(o cinética).
Mediante algunos experimentos sencillos podemos demostrar
ciertos factores de los que depende la fuerza de rozamiento.
1 ,a
de rozamiento depende de la clase df movimiento de
Ip* superficies, en la Fig. 1, un ladrillo esta colocado sobre una mesa y
se tira de él con un dinamómetro (aparato que muestra la cantidad de
fuerza aplicada para poder mover al ladrillo a una velocidad constante,
superando las fuerzas de rozamiento entre las superficies), la fuerza
indicada en su lectura es igual en magnitud y dirección a la fuerza de
r o z a m i e n t o , p e r o de s e n t i d o c o n t r a r i o . C u a n d o la t e n s i ó n del
dinamómetro se lee en el instante preciso, antes de que el ladrillo se
ponga en movimiento y se observa de nuevo, cuando avanza con
velocidad uniforme, las observaciones demuestran que la fricción
estática es mayor que la cinética (se lee 500 gf con el ladrillo inmóvil y
400 gf con el ladrillo en movimiento).
6-2 FUERZA DE ROZAMIENTO.
La fuerza de rozamiento o de fricción puede definirse, como la
fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre otra, debido
a su atracción mutua, o de sus irregularidades o a ambas cosas.
Fig. 1. La fuerza de rozamiento en reposo (estática) es mayor
cinética o en movimiento.
que la
La fuerza de rozamiento es independiente del área de las superficies en contacto. Si el ladrillo se desliza por su cara mayor, media o
menor, la fuerza aplicada sigue siendo la misma. En la Fig. 2 se muestra,
que para las 3 posiciones del ladrillo, la fuerza aplicada es siempre 400
gf-
Fig. 3. La fuerza de rozamiento depende del material de las superficies
enfrentadas, cuando los demás factores son iguales.
Fig. 2. La fuerza de rozamiento es independiente del área de las superficies en contacto, cuando ¡os demás factores son iguales.
1.a fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza
que comprime las superficies entre sf. Este experimento consiste en
hacer variar la carga o peso del objeto que se trata de mover y esto se
logra en nuestro caso, variando la cantidad de ladrillos, para tomar
diferentes lecturas y demostrar la proporcionalidad. Cuando sólo,se tira
de un ladrillo la fuerza es de 400 gf. Si un segundo ladrillo, se coloca
encima del primero, la fuerza llegaa 800 gf, con otro ladrillo, la fuerza
será de 1,200 gf.
La fuerza de rozamiento depende del material de las superficies
enfrentadas. Si envolviéramos al ladrillo con un papel, desminuiriamos
la fuerza de rozamiento como se muestra en la Fig. 3, donde se puede
notar que con el ladrillo envuelto, la fuerza de rozamiento disminuye
de 400 gf hasta 150 gf por el diferente material de la superficie en
contacto con. la mesa.
Fig. 4-a
C =
AIN
(Ib)
6-3 COEFICIENTE DE FRICCIÓN.
El coeficiente de fricción o de rozamiento puede definirse como
la relación entre la fuerza de rozamiento y la fuerza normal, que como
ya se mencionó anteriormente, es la fuerza perpendicular que comprime dos superficies entre sL
Despejando la ecuación (Ib), tenemos:
M = f/N
Fig 4-b. La fuerza de rozamiento es directamente proporcional a ¡a fuerza
que comprime a las superficies entre sí.
Este último caso, nos servirá para definir algunos conceptos importantes. Por ejemplo, la proporcionalidad es directa porque nos permite suponer que si colocamos 4 ladrillos, la fuerza será de 1600 gf, con
5 s e r í a d e 2 , 0 0 0 gf, y así s u c e s i v a m e n t e . E x p r e s a n d o en forma
matemática lo anterior, tenemos:
f « N
(la)
donde f es la fuerza de rozamiento o de fricción, « es un signo de
proporcionalidad y N es la "normal", una fuerza perpendicular al área
de las superficies en contacto, que en este caso es igual a la magnitud y
dirección del peso de el(los) ladrillo(s), pero de diferente sentido.
Para eliminar el signo de proporcionalidad, hay que introducir una
constante, q¡ue en este caso es n (miu), que representa al coeficiente de
fricción, del que se hablará más adelante. Por lo tanto, la expresión
quedará como:
(le)
donde n representa el coeficiente de fricción que, por ser la
relación entre dos fuerzas, es un número sin unidades.
Existen 2 tipos de coeficientes de fricción, así como también
existen dos tipos de fricción.
-Fricción estática. Es la que se presenta cuando el cuerpo está en
reposo, si no hay tendencia al movimiento, no habrá fuerza de
fricción, o bien, se puede decir que la fuerza de fricción estática
(fe) es cero. Su valor aumentará si se empieza a aplicar una
fuerza uniformemente nasta llegar a un valor máximo en el
instante en que el cuerpo empezara a moverse. La ecuación que
representa a la fricción estática es:
f c = ¿iCN
(2a)
^ = fc/N
(2b)
donde
es el coeficiente de fricción estático.
2.- Fricción cinética. Es la fricción en movimiento. La fuerza de
fricción cinética aparece en el momento en que el cuerpo empieza a moverse, y se considera constante (independiente de la
velocidad del cuerpo, aunque se ha comprobado que La fricción
por deslizamiento crece muy poco a velocidades bajas y es prácticamente constante sólo a velocidades altas). Su expresión
matemática es:
fe = *cN
(3a)
de donde
hc = fc/N
i3b)
es el coeficiente de fricción cinético.
Además, como se había mencionado, que la fricción estática es
mayor que la cinética.
fe > fe
podemos deducir que:
Mt > Me
(El coeficiente de fricción estático es mayor que el cinético. La
comprobación de esto, queda como ejercicio para el alumno).
En la tabla 1-1 que se muestra a continuación, se proporcionan
algunos valores de coeficientes de fricción para diferentes superficies
de contacto.
TABLA 1-1. Valores medios de coeficientes de fricción (para
superficies secas).
Material de las superficies
m
Roble sobre roble
0.25
Hule sobre concreto
0.70
Metales sobre roble
0.55
Pino sobre pino
0.35
Acero sobre acero
0.18
Superficies engrasadas
0.05
Hierro sobre concreto.
0.30
Cuero sobre metales.
0.56
Hule sobre roble.
0.46
Acero sobre babbit.
0.14
NOTA: Los valores dados son para superficies secas, porque el
agua y otros líquidos pueden afectar al coeficiente de fricción.
6-4 EL-PLANO INCLINADO.
despejando:
C o m o se consideró en nuestro curso anterior, el plano inclinado
es una máquina simple, que nos sirve para poder-subir, a l i ñ e altura
determinada, un objeto pesado a lo largo de una pendiente, con menos
esfuerzo q u e si lo levantaramos directamente. En la figura 5b se puede
notar, que el valor de la normal "N", ya no es igual al peso "P" del objeto,
como lo era cuando éste se deslizaba por una superficie plana (fig. 5a).
Py = P COS 6»
G
Py
Por la función seno:
Sen e = C-O/H
(4)
Sen 6 = Px/P
Px
despejando:
Px = P-Senfi
Por lo tanto, el valor de la normal será:
N = Py
N = P x Cos 6
NOTA:
a) Cuando el objeto se desliza por una superficie plana, el valor de la
norma! es igual a su peso (N = P). b) En un plano inclinado, el valor de la
normal "AT es igual a la componente en "Y* del peso del objeto (N = Py).
Fig. 5. Valor de la normal en diferentes condiciones físicas de un cuerpo.
En el caso del plano inclinado, el ángulo que forma este con
respecto a la horizontal, es igual al ángulo que el vector peso forma con
el eje "Y", trazado perpendicularmente a la longitud del plano. Esto nos
f o r m a un triángulo cuyos catetos son las componentes Px y Py, y la
hipotenusa es el peso P, como se muestra a continuación:
Donde Cos 6
= C A/H
= Py/P
«Por la tercera ley de Newton o del movimiento, la normal se
puede considerar como la fuerza de reacción, igual en magnitud y
dirección, pero de diferente sentido al peso, o a su componente en
el eje de referencia. Esto es, a la fuerza que comprime a las
superficies entre sí.
6-5 PROBLEMAS PARA ANALIZAR
= 12 kg.
NOTA:
Los siguientes problemas te servirán para comprender mejor los
principios teóricos explicados anteriormente. Consulta cualquier duda
con tu maestro o compañeros.
En e s t e ejemplo s e c o m p r u e b a q u e la fuerza d e fricción estática e s
mayor q u e la cinética, o en otras palabras, q u e e s n e c e s a r i o aplicar
una fuerza mayor para vencer la inercia o e s t a d o d e r e p o s o del bloque,
q u e para mantenerlo en movimiento a velocidad c o n s t a n t e
Ejemplo 1.
S u p o n g a m o s q u e s e quiera mover un bloque d e cierto material q u e
p e s a 40 kg. Los coeficientes d e fricción entre él y la superficie s o n
« 0.6 y / i c = 0.3. a) Si s e aplica una fuerza d e 20 kg y el bloque sigue
sin moverse, cuál será el valor d e la fuerza d e fricción estática, b) ¿ Q u é
fuerza s e d e b e r á aplicar para q u e el bloque e m p i e c e a moverse?, c) Va
c o n el bloque en movimiento, ¿ q u é valor d e b e r á tener la fuerza
aplicada para q u e el bloque s e mueva a velocidad c o n s t a n t e ?
Ejemplo 2
S e arrastra una caja a una velocidad c o n s t a n t e s o b r e una superficie
plana, c o n una fuerza d e 20 kg. Si el p e s o d e la caja e s de 80 kg. a)
cuál será el valor d e la fuerza d e fricción cinética 7 , b) cuál e s el
coeficiente d e fricción cinético?
Solución;
Solución:
a) SI el bloque está en reposo, existe un equilibrio d e fuerzas. Por lo
tanto, para mover el bloque s e necesita aplitar una fuerza, un p o c o
mayor d e 24 kg.
a) Para c o m p r e n d e r mejor e s t e problema, e s conveniente dibujar c a d a
una d e las fuerzas q u e a c t ú a n s o b r e la caja. A e s t o le llamaremos
diagrama d e c u e r p o libre (O.C.L.).
F = fe
t*
F = 20 kg
• N
b) Para q u e s e inicie el movimiento s e d e b e r á e x c e d e r la fuerza d e
fricción estática máxima, la cual es:
y c o m o la normal e s igual al p e s o del bloque (éste s e moverá en una
superficie plana):
fe
F
í
fe = /*eN
*
x
•P
= (0.6) (40 kg)
= 24 kg (valor máx)
Fig 6. Diagrama de cuerpo libre para un objeto que se desliza por una
superficie plana, a velocidad constante.
c) Para mover el bloque a velocidad constante, la fuerza aplicada
d e b e r á s e r igual en magnitud a la fuerza d e fricción cinética:
En e s t e c a s o , c o m o la caja s e m u e v e a velocidad constante, s e
considerará en equilibrio. Por lo tanto:
F = fc
IFx = eyZFy = o
= /"cN
= (0.3) (40 kg)
En el eje "x":
I F , = 0 —( + )
Solución;
F - fc = O
= 20 kg
E m p e z a r e m o s por dibujar ef-diagrama d e c u e r p o libre (D C.L) para e s t e
problema, s u p o n i e n d o q u e el bloque (o caja) s e mueve hacia la
d e r e c h a incluyendo el vector aceleración
Por lo tanto, la fuerza d e fricción cinética s e considerará igual a la
fuerza aplicada (20 kg)
A
+ 4
N
b) en el e j e "y":
SFy = 0 f ( + )
N-P = 0
N = P
= 80 kg
C o n e s t e valor, p o d e m o s calcular el coeficiente d e fricción cinética (MC)
c o n la fórmula:
fe = /icN
despejando
V
W
W
M
W
W
,
V?
Fig. 7. Diagrama de cuerpo libre para un objeto que se desliza por un
plano horizontal
(o superficie plana) con movimiento
uniformemente
acelerado.
Las condiciones para las sumatorias d e fuerzas en e s t e caso, serán las
siguientes:
Mc = fc/N
VFX =
ma y £ F y = 0
Me = 20 kg/80 kg
Me = 0.25
Aquí s e d e m u e s t r a q u e el coeficiente d e fricción n o tiene unidades.
La igualación d e la £ F X está b a s a d a en la s e g u n d a ley d e Newton
C o m p a r a n d o c o n las condiciones anteriores (para velocidad constante).
£Fx = 0
NOTA:
En los e j e m p l o s anteriores, s e c o n s i d e r ó un movimiento uniforme
(velocidad constante), s o b r e un plano horizontal c o n fricción. Ahora
a n a l i z a r e m o s el movimiento uniformemente acelerado, s o b r e el mismo
plano horizontal c o n y sin fricción:
y
ZFy = 0
Vemos q u e la diferencia e s en el análisis del eje "X". ya que. ahora s e
trata d e un desiquillbrio cinético al ser la velocidad variable, a diferencia del c a s o anterior, en el q u e si existía un equilibrio (ver otra vez el
ejemplo 2)
Analizando el eje "X"
SFx = m a ( —
Ejemplo 3.
Una c a j a d e m a d e r a d e 50 kg. s e e m p u j a a lo largo d e un piso horizontal
d e m a d e r a c o n una fuerza d e 200 newtons. Si el coeficiente d e fricción
cinético tiene un valor d e 0.1, calcular la aceleración d e la caja
+ F -
f = ma
D e s p e j a n d o la aceleración a
a = (F -
f)/m
+)
Ya conoceihos ei valor de la fuerza aplicada (F = 200 N). pero desconocemos los otros valores
f = ^-N y P = mg
Para calcular el valor de la normal, hacemos análisis en el eje "Y".
N -P = 0
N = P
P = mg
= 50 kg 10 m/seg 2
Ejemplo 4.
v
Un mueble rectangular de madera de 50 kg. cae desde un camión que
se mueva a 90 km/hr. Si el coeficiente de fricción por deslizamiento
entre la madera y el pavimento es de 0.5. ¿Qué distancia se deslizará
la caja sobre el pavimento antes de detenefse?
Solución:
Como primer paso dibujamos el diagrama de cuerpo libre. En este caso
no existirá la fuerza aplicada porque el cuerpo se detendrá por efecto
de la fricción.
«
Sentido del
~a
» __
Movimiento.
/
^
= 500 N
Por lo tanto:
**
f = /iN
f
= 0.1 x 500 N
i i n i n / / é ///////// w w / / J
/ / / / / / / /
= 50 N
m = P/g
= 500 N/10 m/seg 2
= 50 kg
Sustituyendo en la ecuación:
Fig. 8. Diagrama de cuerpo libre para un objeto que se detine
movimiento uniformemente acelerado sobre un plano horizontal.
Con el análisis en el eje "Y", obtenemos:
Fy = 0 (
a = ( F - f)/m
+)
N -P = 0
= (200 N - 50 N)/50 kg
N = P
= 150 N/50 kg
P = mg
= 3 m/seg 2
(El signo positivo nos indica sentido hacia la derecha).
= 50 kg 10 m/seg 2
= 500 N
Analizando
ahora
IF* - ma(
-f - ma
/<N « ma
el eje "X"
•+)
con
Despejando la aceleración:
N -P = 0
= -0.5-500 N/50 kg
N = P
= -5 m/seg 2
Pero como no se nos da el peso "P". ni la masa "m para calcularlo,
expresamos el valor de la normal de la siguiente manera
Para calcular la distancia, debemos seleccionar la fórmula adecuada
(4 fórmulas generales dei movimiento uniformemente acelerado).
Datos: v 0 = 90 km/hr, v = 0, a = -5 m/seg 2
N = P
= mg
V2 = Vo2 + 2 ' d
Analizando ahora el eje "X"
despejando la distancia:
F x = ma (
d = (v 2 -v 0 2 )/2a
d =(0)-(25m/seg) 2 /2(-5m/seg 2 )
d = 62.5 m
Será la distancia que recorrerá el cuerpo antes de detenerse.
» +)
-f = ma
-¿iN = ma
H - mg = m(a)
despejando el coeficiente: n
H = m(a)/-m(g)
Ejemplo 5.
eliminando la masa "m"
Una bola de boliche con una velocidad inicial de 6 m/seg se desplaza
50 m a lo largo de un piso completamente nivelado (horizontal) antes
de detenerse Calcular el coeficiente de fricción de rodadura.
M - a/-g
Solución:
V2 = Vo2 +
El diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) será similar al anterior.
necesitamos el valor de la aceleración, y esta la podemos calcular por
la siguiente fórmula:
^
2
a = (v -vo2,/2d
a = (0) - (6 m/seg) 2 /2z50m
= -0.36 m/seg 2
= -0 36 m/seg 2 /-10m/seg 2
= 0 036
Será el valor del coeficente de fricción para rodadura (recuerda que
esta cantidad es adiminsional. ésto es sin unidades)
En el análisis en el eje "Y", obtenemos
£F y = o < - +)
Podemos notar que el resultado de este problema, comparándolo con
los valores de la tabla 1-1, ©I coeficiente de fricción por rodadura es
mucho menor que cualquier valor de coeficiente de fricción por des
lizamiento
Lo anterior se puede comprobar, empujando una bola de madera y un
trozo rectangular del mismo material con idénticas velocidades y
observando cual de los dos se detiene primero.
fricción es de 0.3. contestar las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál e s el valor de la fuerza normal?
b) ¿Cuánto vale la fuerza de fricción?
AUTOEVALUACIÓN
1.- Una caja que pesa 80 kg descansa sobre un piso horizontal de
madera. Si el coeficiente de fricción estático es de 0.5. calcular la fuerza
necesaria para poner la caja em movimiento.
[F = 40 kgf ó 392 N).
2 - Si con una fuerza de 200 N se puede mover a velocidad constante
un objeto de 70 kg. sobre una superfiie horizontal. ¿Cuál será su
coeficiente de fricción cinética?
[Me = 0 291].
3 - Si es necesaria una fuerza de 550 gf para poder iniciar el movimiento
de un ladrillo de 800 gf de peso y otra fuerza de 400 gt para mantenerlo
a velocidad constante, como se muestra en la fig 1 de este capítulo,
¿cuáles serán los valores para el coeficiente de fricción estática?
fr/e = 0.687. pe = 0.50].
4 - ¿Cuál será la fuerza necesaria para poder mantener un automóvil
de 2,000 kg moviéndose sobre una carretera plana de concreto?.
Suponer un coefiente de fricción cinético entre las llantas de caucho y
la carretera de concreto de 0.4.
(F = 800 kgf ~ 8000 N],
5 - ¿Qué fuerza se requiere para arrastrar una caja de hierro que pesa
50 kgf. sobre una superficie plana de concreto? (Ver tabla 1-1 de este
capítulo) [F = 15 kgf » 150 N],
6 - Determinar el valor de la normal, si un baúl de 100 kgf de peso se
empuja: a) por una superficie plana con una fuerza de 80 kgf, b) por
un piano inclinado que forma un ángulo de 20° con la horizontal si la
fuerza con que se empuja (a velocidad constante) es de 81 2 kgf
[a) N = 100 kgf, b) N = 93.97 kg]
7 - Si un niño se encuentra jalando un carrito de juguete de 800 gde
masa por medio de una cuerda que forma un ápgulo de 30° con la
horizontal, si la tensión en la cuerda es de 4 -10° y el coeficiente de
c) Caicuter la fuerza resultante del sistema propuesto y determinar el
tipo de movimiento
(a) N = 6-10 5 dinas, b) f = 1.8 -10 5 dinas, c) fuerza resultante =
1.564 10 ]
8 - Se le aplica una fuerza de 80 kgf a un objeto de 100 kg de masa,
situada sobre una superficie horizontal durante 6 segundos Si el
coeficiente de fricción cinético entre las superficies es de 0 3, contestar
las siguientes preguntas auxiliándose con las 4 fórmulas del movimiento uniformemente acelerado
a) ¿Cuál será la velocidad que adquiere al final de los 6 seg
b) ¿Qué distancia recorrerá el objeto mencionado mientras se le aplica
la fuerza.
(a) v = 30 m/seg, b) d = 90 m]
9 - Con los datos del problema anterior, calcular la distancia en la cual
se desplazará el cuerpo antes de detenerse por efecto de la fricción y
el tiempo que tardará en detenerse.
(a) d = 6 m. b) t = 2 seg ]
10.- El coeficiente de fricción cinético entre una llanta de caucho y una
carretera de concreto húmedo es de 0 5 Calcular: a) El mínimo tiempo
que empleo en detenerse un auto que se desplaza por esa carretera
húmeda con una velocidad de 90 km/hr (sin aplicar los frenos, la única
fuerza que lo detiene es la fricción) b) La distancia que recorrerá el
auto antes de detenerse
(a) t = 5 seg. b) d = 62.2 m].
11 - Una muchacha que pesa 50 kgf se desplaza sobre unos patines
de rueda sobre un piso completamente nivelado, con una velocidad
de 18 km/hr Si en determinado momento, deja de impulsarse, se
empieza a detener por efecto de la fricción, y alcanza el estado de
reposo después de cubrir una distancia de 50 m. Calcular el coeficiente
de fricción por rotación.
[p = 0.025].
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