Relaciones métricas en un triángulo

w
w
w
w
Relaciones métricas en un triángulo
Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.
El estudio de un triángulo siempre ha revestido interés y por ello es que existen una
serie de descripciones, expresadas en teoremas y/o propiedades, algunas de ellas son
las siguientes:
i)
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
.c
u
g
o
o
g
e
rd
rd
rd
u
u
e
v
v
w
.h
.h
w
c
a
Sea b el lado mayor y a y c los lados menores, entonces
se cumple que el lado mayor siempre es menor que la
suma de los lados menores:
w
Sea un triángulo de lados a, b y c.
w
Los lados de un triángulo
w
ii)
w
w
w
w
w
.h
.h
v
v
e
e
Nota: esto cumple con la fórmula general para obtener la suma S de los ángulos
interiores de un polígono de n lados: S = 180° · (n – 2)
w
u
Es decir: α + β + γ = 180°
rd
l
l
.c
β
α
g
o
g
o
.c
.c
l
l
γ
b
b <a+c
iii)
Teorema de la bisectriz
Sea el triángulo ABC C
(∆ABC) de la figura y CD la bisectriz del ángulo cuyo vértice es C
(ACB).
x x
AD AC
=
DB CB
B
A
w
A
b
1
l
.c
o
g
rd
u
e
v
w
w
w
w
w
w
w
w
.h
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
u
g
g
o
o
.c
.c
l
l
l
o
.c
e
rd
u
g
v
w
o
.c
Teorema de Pitágoras: c 2 = a 2 + b 2
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de matemática y física
www.hverdugo.cl
w
g
c
C
.h
u
e
v
.h
w
w
w
w
w
Sea el ∆ABC, en donde el vértice C corresponde al ángulo recto. Los lados que forman
el ángulo recto se denominan catetos (a y b en la figura) y el lado opuesto al ángulo
recto se denomina hipotenusa (el lado c en la figura).
B
a
w
rd
g
u
rd
w
w
w
w
.h
.h
.h
v
v
Es aplicable solo a triángulos rectángulos.
Un triángulo rectángulo es aquel en
que uno de sus ángulos interiores es
recto.
Ángulo recto es aquel que mide 90°
v
e
e
e
rd
rd
u
u
Este es, quizás, el teorema más “famoso” de la geometría,
y – por cierto – uno de los más utilizados.
w
l
l
o
o
Teorema de Pitágoras
g
g
o
iv)
.c
.c
.c
l
l
D
w
w
w
w
Nota: Para todo tipo de triángulos, rectángulos o no, existe un teorema al que suele
llamársele “teorema generalizado de Pitágoras”, pero para comprenderlo se necesitan
conocimientos de trigonometría, que es materia de otro nivel de aprendizaje, pero si lo
desea averiguar … se denomina “teorema del coseno”.
Teorema de Euclides
Proyección de un segmento sobre otro
Sea AB y CD dos segmentos como se muestra en
la figura.
D
g
u
v
w
C
w
w
w
w
w
w
.h
"En un triángulo rectángulo el cuadrado de uno de sus catetos es igual al área
del rectángulo que tiene por lados la hipotenusa y la proyección del mismo
cateto en la hipotenusa".
w
w
w
l
e
rd
rd
e
v
.h
.h
.h
v
v
e
e
Primer teorema de Euclides, o teorema del cateto
w
.c
o
o
rd
rd
B
F
El segmento EF es la proyección de CD sobre AB.
u
u
g
Los llamados teoremas de Euclides son
dos, y son los siguientes:
E
u
g
o
A
.c
.c
g
o
l
C
l
l
Euclides fue un matemático griego muy
importante, tanto que a prácticamente toda
la geometría que se estudia en un nivel
básico y secundario se le denomina
“geometría euclidiana”. Y, curiosamente, el
único teorema que está asignado a
Euclides es, en realidad, el teorema de
Pitágoras.
.c
v)
a y b son los catetos y
c es la hipotenusa del triángulo
rectángulo ABC.
a
h es la altura del triángulo, respecto
al vértice C, del ángulo recto.
b
h
p es la proyección del cateto a en la
hipotenusa.
q es la proyección del cateto b en la
hipotenusa.
A
B
p
q
c
o
.c
g
u
rd
e
v
.h
w
w
w
w
w
Otras proporciones que se obtienen son:
p a
=
a c
q b
=
b c
y
2
.c
o
g
rd
u
e
v
.h
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
l
l
o
e
.h
v
.h
.h
v
v
e
rd
rd
u
u
g
g
e
rd
u
g
o
.c
.c
o
.c
l
l
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w
w
w
w
a2 p
=
b2 q
w
De lo anterior se deduce la siguiente proporción:
w
l
l
.c
o
g
rd
v
e
.h
.h
.h
v
v
e
e
rd
u
u
u
rd
a2 = pc
b2 = qc
g
g
o
o
.c
.c
l
l
El teorema se expresa de dos formas, uno por cada cateto:
w
w
w
w
Segundo teorema de Euclides o teorema de la altura
"En un triángulo rectángulo el cuadrado de su altura es igual al área del
rectángulo que tiene por lados las proyecciones de los catetos en la
hipotenusa".
h2 = pq
Una proporción que se tiene es:
l
l
.c
g
u
g
o
o
o
Área y perímetro
g
g
o
vi)
.c
.c
.c
l
l
p h
=
h q
u
e
rd
rd
v
e
v
w
.h
h
w
b
w
w
w
w
w
w
w
w
w
c
.h
a
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
u
Sean un triángulo cualquiera de lados a, b y c y de altura h.
Perímetro
En todo triángulo su perímetro corresponde a la suma de sus lados:
P=a+b+c
Se llama semiperímetro a la semisuma del los lados de un triángulo, es decir:
p=
P a+b+c
=
2
2
Área
o
.c
u
u
g
g
g
u
w
l
l
w
w
w
w
w
w
.h
v
.h
v
e
e
rd
u
rd
u
g
g
o
o
.c
.c
.c
o
g
u
rd
e
v
.h
w
w
w
w
w
w
3
l
l
o
.c
e
rd
u
g
v
.h
e
v
.h
w
w
w
w
w
Donde p es el semiperímetro del triángulo.
Hernán Verdugo Fabiani
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rd
rd
v
e
.h
A = p(p − a)(p − b)(p − c )
w
w
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
Otra forma de conocer el área de un triángulo, y es útil para cualquier tipo de triángulo
sin necesidad de conocer su altura, es la que viene dada por la “fórmula de Herón”.
w
u
l
l
.c
o
o
g
b ⋅h
2
o
A=
.c
.c
l
l
El área de un triángulo se obtiene por el semiproducto entre la base y la altura del
triangulo, es decir:
w
w
w
w
Razón del área entre dos triángulos semejantes
Sean dos triángulos rectángulos semejantes, ∆ABC ∼ ∆A’B’C’, ambos con el ángulo
recto en C, como los de la figura siguiente:
C
C’
a
a’
b’
B
l
l
.c
.c
.c
l
l
A’
Si los triángulos son semejantes, entonces:
g
g
o
o
g
o
B’
c’
.c
c
A
u
g
o
b
u
v
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
.h
.h
El área del ∆ABC es: A =
w
e
rd
rd
e
v
ab
,
2
a' b'
El área del ∆A’B’C’ es: A ' =
2
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
u
a b c
= = = k (1) donde k es la razón de proporcionalidad entre ambos triángulos.
a' b' c '
ab
A
ab
Si se dividen ambas áreas, se tiene:
= 2 =
A ' a' b' a' b'
2
De la proporción planteada al comienzo (1), se tiene que a = ka’ y b = kb’, por lo tanto,
se tendrá
A
ab ka' ⋅ kb'
=
=
= k ⋅k = k2
A ' a' b'
a' b'
Por lo tanto, la razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, de áreas A y A’, es:
A
= k2
A'
Si fueran dos triángulos cualesquiera en donde en donde los lados c y c’ actúan como
Se deducirá, igual que en el caso del triángulo rectángulo, que
u
rd
e
v
.h
w
w
4
l
.c
o
g
rd
u
e
v
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
.h
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
u
g
g
o
o
.c
.c
l
l
l
o
.c
e
rd
u
g
v
.h
w
w
A
= k2
A'
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l
g
g
u
rd
v
e
w
w
Considerando que de la razón dada (2) se tiene que c = kc’ y h = kh’
w
w
w
w
.h
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
u
por lo tanto, sus respectivas áreas serán: A =
w
c h
= = k (2),
c ' h'
o
.c
l
.c
o
ch
c ' h'
y A' =
2
2
ch
A
ch
= 2 =
Y, al plantear la razón entre las áreas, se tendrá:
A ' c´h' c' h'
2
g
g
o
o
.c
.c
l
l
bases y tienen respectivamente alturas h y h’, se tendrá la proporción
w
w
w
w
Ejercicios
Algunos ejercicios fueron tomados de:
Texto Tercero Medio, Ed. Santillana, 1995.
Web: www.matesxronda.net, guía del profesor José Jiménez Nieto.
1.En el ∆ABC, rectángulo en C, de la figura, q = 1,8 cm, p = 3,2 cm. Determine
los valores de a, b y h.
C
l
B
p
.c
u
g
o
o
o
q D
l
.c
.c
g
o
a
h
.c
A
l
l
b
g
u
e
rd
rd
e
v
v
w
.h
.h
q D
w
w
w
w
w
w
A
B
p
w
a
h
w
b
w
w
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
u
g
2.En el ∆ABC, rectángulo en C, se tiene que c = 25 cm y h = 12 cm. Determine
los valores de p, q, a y b.
C
c
3.Demuestre que en un triángulo rectángulo, el recíproco del cuadrado de la
longitud de la altura es igual a la suma de los recíprocos de las longitudes de los
catetos.
Hay que demostrar que
1
1
1
= 2 + 2 . Se sugiere utilizar los teoremas de Euclides.
2
h
a
b
4.Una escalera de 10 m de longitud está apoyada contra una pared vertical. Si el
pié de la escalera dista 6 m de la pared, en un suelo horizontal y plano, ¿a qué altura
está el extremo superior de la escalera?
5.-
Determine la longitud de la diagonal d de un cuadrado de lado a.
l
l
o
.c
.c
.c
o
Si a = 6 5 cm y b = 3 5 cm, hallar q.
u
w
l
l
w
w
w
w
w
w
.h
v
.h
v
e
e
rd
u
rd
u
g
g
o
o
.c
.c
.c
o
g
u
rd
e
v
.h
w
w
w
rd
w
5
l
l
o
.c
e
rd
u
g
v
.h
v
w
w
w
El lado de un triángulo equilátero mide 2 cm. Determine la longitud de su altura.
Hernán Verdugo Fabiani
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.h
vi)
e
v
e
.h
Si a = 30 cm y c = 50 cm, hallar h.
Si h = 12 cm y q = 9 cm, hallar b.
Si b = 8 cm y q = 12 cm, hallar c.
Si h = 14 cm y c = 35 cm, hallar p.
Si a = 7 5 cm y h = 14 cm, hallar c.
w
i)
ii)
iii)
iv)
v)
w
w
w
w
w
.h
.h
v
v
e
e
8.Sea el triángulo del problema 2. Encuentre lo que se pide en cada caso
siguiente:
9.-
g
g
u
rd
rd
rd
u
u
g
g
o
o
7.La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es 9 : 25. Si un lado del
primero mide 18 cm, ¿cuánto medirá su lado correspondiente en el segundo polígono?
w
.c
l
l
6.Determine la razón de las áreas de dos triángulos semejantes si la razón de
sus perímetros es 2 : 5.
w
w
w
w
10.- En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina
en ésta dos segmentos de longitudes 3 cm y 12 cm. Calcula las longitudes de sus
catetos.
11.-
Calcule la diagonal de un rectángulo de 34 cm de perímetro y 5 cm de altura.
12.-
Calcula la medida de la diagonal de los rectángulos cuyos lados, en
centímetros, mide: a) a = 20 y b= 21; b) a = 15 y b = 10 .
13.- La diagonal de un rectángulo mide 26 cm y su perímetro 68 cm. Determine la
medida de los lados del rectángulo (se necesita la solución de la ecuación de segundo
grado).
.c
u
g
o
e
rd
rd
e
w
.h
v
v
n
B
w
w
A 20 cm
w
w
m
16.- En el siguiente triángulo de lados 30 cm, 40 cm y
50 cm, determine la altura sobre la hipotenusa y las
proyecciones de los catetos sobre la misma.
C
w
h
w
w
w
w
C
.h
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
15.- Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una
cuerda perpendicular al diámetro la divide en dos
segmentos, uno de los cuales mide 20 cm. Determine la
medida de la cuerda.
w
l
l
.c
g
u
u
u
g
o
o
g
o
.c
.c
l
l
14.- Sean los siguientes tríos de medidas, ¿cuáles corresponden a los lados de un
triángulo rectángulo?: a) 4 cm, 5 cm y 6 cm, b) 6 cm, 8 cm y 10 cm, c) 9 cm, 10 cm y
11 cm, d) 2 cm, 2 y 2 cm.
D
30 cm
h
p
q
B
A
50 cm
o
.c
g
u
rd
e
v
.h
.h
w
w
w
5,8 m
w
w
w
w
w
w
w
w
l
l
o
g
u
rd
v
e
X
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
4m
u
o
g
g
o
Y
.c
.c
.c
l
l
17.- La sección del tejado de una casa tiene la forma de un triángulo rectángulo, en
Y, y sus dimensiones están indicadas en la figura. Si se quiere colocar una viga desde
X a Y para que resista mejor, hallar su medida h y la distancia desde su pié hasta sus
extremos (p y q).
18.- En un triángulo rectángulo ABC las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa miden 4 cm y 16 cm. Determine la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa
y los catetos.
19.- En un triángulo rectángulo ABC la hipotenusa mide 20 cm y uno de sus catetos
10 cm. Determine el otro cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y
la altura sobre la hipotenusa.
6
l
l
.c
o
o
g
rd
u
e
e
.h
v
.h
v
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
.h
.h
v
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20.- Una linda hormiga roja está recorriendo por un círculo de 60 cm de radio. En un
momento camina sobre un diámetro y se detiene a 30 cm del centro. Si entonces
decide ir hacia la circunferencia en un camino perpendicular al diámetro en que se
movía, ¿qué distancia recorrerá?
a = 4 cm; b = 3 cm; h = 2,4 cm
a = 15 cm; b = 20 cm; p = 9 cm (o 16 cm); q = 16 cm (o 9 cm).
h=8m
d= a 2
4 : 25
30 cm
3 cm
10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.-
3 5 cm y 6 5 cm
13 cm
a) 29 cm; b) 5 cm
10 cm y 24 cm
a) no, b) si, c) no, d) si
80 cm
h = 24 cm; p = 18 cm y q = 32 cm
Resultados aproximados: h = 2,90 m; p = 2,76 m y q = 3,.04 m
c = 20 cm; h = 8 cm, y aproximadamente los catetos miden 5,66 cm y 11,31 cm
b = 10 3 cm; c = 20 cm; h = 5 3 cm; p = 5 cm; q = 15 cm
Aproximadamente 52 cm.
l
.c
w
l
o
.c
g
g
u
u
rd
rd
v
e
v
e
.h
.h
w
w
w
w
w
w
w
l
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g
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u
e
v
w
w
w
w
w
w
w
.h
.h
.h
v
v
e
e
rd
rd
u
u
g
g
o
o
.c
.c
l
l
7
w
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l
.c
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o
g
u
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1.2.4.5.6.7.9.-
v
v
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Algunas respuestas: