s - elara.supersitio.net

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
LABORATORIO DE CONTROL CLÁSICO
PRACTICA N˚ 4
DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ATRASO
POR EL MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAICES
OBJETIVO:
Usar el Matlab para el Diseño de un compensador en atraso por el método del lugar de las raíces.
INTRODUCCION
La compensación es la modificación de la dinámica del sistema, realizada para satisfacer las
especificaciones determinadas. Por lo general se refieren a la precisión, la estabilidad relativa y la
velocidad de respuesta.
El método del lugar geométrico de las raíces es un enfoque gráfico que permite determinar las
ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicaciones de los polos y ceros en lazo
abierto conforme algún parámetro (por lo general la ganancia) varía de cero a infinito.
Normalmente el desempeño deseado no puede obtenerse con sólo el ajuste de la ganancia. Cuando se
requiere de un ajuste diferente al de la ganancia, debemos modificar los lugares geométricos de las
raíces originales insertando un compensador conveniente.
La compensación de un sistema de control se reduce al diseño de un filtro cuyas características tiendan a
compensar las características indeseables de la planta.
En el diseño realizado mediante el método del lugar geométrico de las raíces, al insertar un compensador
en serie con la planta, el lugar geométrico de las raíces del sistema es modificado de tal manera que es
obligado a pasar por un par de polos dominantes en lazo cerrado (posición deseada), de tal manera que
cumpla con las especificaciones, tanto transitorias como de estado estacionario.
El problema principal consiste en la elección apropiada de los polos y los ceros del compensador Gc (s )
para alterar el lugar geométrico de las raíces con el propósito de cumplir con las especificaciones de
desempeño.
LAB. DE CONTROL CLÁSICO
PRACTICA Nº 4
1
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
Compensador electrónico en
amplificadores operacionales.
atraso
con
Función de transferencia del compensador en
atraso es:
1 ⎞
⎛
s+
⎜
E0 ( s ) R2 R4 ⎛ R1C1 s + 1 ⎞ R4 C1
R1C1 ⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟=
Ei ( s ) R1 R3 ⎝ R2 C2 s + 1 ⎠ R3C2 ⎜ s + 1 ⎟
⎜
R2 C2 ⎟⎠
⎝
⎛
1 ⎞
⎜ s+ ⎟
⎛ Ts + 1 ⎞
T ⎟
= Kc β ⎜
⎟ = Kc ⎜
⎜s+ 1 ⎟
⎝ β Ts + 1 ⎠
⎜
β T ⎟⎠
⎝
RC
T = R1C1 ,
β T = R2 C2 ,
β = 2 2 >1
R1C1
Kc β =
R2 R4
,
R1 R3
Kc =
R4 C1
R3C2
Es una red de atraso si R1C1 < R2 C2 .
Esta red tiene una ganancia en cd de K c β
Diseño de un compensador en atraso por el método del lugar de las raíces.
Para compensar en atraso el sistema debe de tener características satisfactorias de la respuesta
transitoria pero no en estado estacionario.
En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo cerrado sin
modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria.
Para evitar modificar las características transitorias, se debe evitar un cambio notable en el lugar
geométrico de las raíces alrededor del punto deseado, la contribución de ángulo de la red de atraso debe
limitarse a una cantidad pequeña, menor a 5° . Para asegurar esto, colocamos el polo y el cero de la red
de atraso relativamente cerca uno del otro y cerca del origen del plano s . De este modo, los polos en
lazo cerrado del sistema compensado sólo se alejarán ligeramente de sus ubicaciones originales y su
característica de la respuesta transitoria cambiará muy poco.
sd = −0.33 + 0.58 j
El compensador en atraso proporciona ganancia
adicional β sobre el punto deseado sd (polos
dominantes deseados de lazo cerrado) y muy poco
ángulo en atraso φm , como se muestra en la figura.
β=
⎛
⎝
φ m = ∠⎜ s +
1
T
1
βT
=
cero
polo
φm
⎛
1⎞
1 ⎞
⎟
⎟ − ∠⎜⎜ s +
β T ⎟⎠
T⎠
⎝
−
LAB. DE CONTROL CLÁSICO
PRACTICA Nº 4
2
1
1
−
βT
T
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
Ejemplo
Si consideramos el siguiente sistema
2
G (s ) =
s (s + 1)(s + 2)
Se desea una K v = 5 y una ζ = 0.5 ,
El punto sd = −0.33 + 0.58 j cumple con una ζ = 0.5
Este sistema aporta un ángulo sobre el punto
deseado sd de
sd = −0.33 + 0.58 j
∠G (s d ) = −∠(s ) − ∠(s + 1) − ∠(s + 2) s = s = −180°
d
Como el ángulo es igual a −180° , el punto sd
pertenece al lugar de las raíces.
La ganancia en el punto deseado sd sería de
K=
s s +1 s + 2
2
= 0.518
sd
Por lo que el coeficiente estático de error de
velocidad del sistema original sería de.
2 * 0.518
Kv =
= 0.518
2
Seleccionar el compensador en atraso.
Se Necesita aumentar la ganancia en un factor de
5 5.18 = 9.65 , por lo que β = 9.65 . Si escogemos la
ubicación del cero, por ejemplo en −0.033 , la
ubicación del polo sería de −0.033 β = −0.0034 , la
aportación de ángulo del compensador en atraso
será de.
φm = ∠ ( s + T1 ) − ∠ ( s + β1T )
= ∠ ( s + 0.033) − ∠ ( s + 0.0034 ) s = −2.27°
d
El compensador sería
⎛ s + 0.033 ⎞
Gc ( s ) = ⎜
⎟ Kc
⎝ s + 0.0034 ⎠
Como la aportación de ángulo del compensador en
atraso es menor a 5° , el lugar geométrico de las
raíces del sistema compensado se modificará
ligeramente, como se observa en la figura.
Pero la aportación de ganancia del compensador
en atraso será de
1
0.033
β = T1 =
= 9.7
0.0034
βT
Lugar de las raíces del
sistema sin compensar
Lugar de las raíces del
sistema compensado
Realmente el punto deseado si se modifica, pero lo
hará ligeramente.
sd = −0.33 + 0.58 j , del sistema sin compensar
sd = −0.32 + 0.56 j , del sistema compensado
LAB. DE CONTROL CLÁSICO
PRACTICA Nº 4
3
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
El sistema compensado sería
⎛
⎞ ⎛ s + 0.033 ⎞
2
G ( s ) Gc ( s ) = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎟ Kc
⎝ s ( s + 1)( s + 2 ) ⎠ ⎝ s + 0.0034 ⎠
La K c se obtiene con la condición de magnitud
Kc =
s s + 1 s + 2 s + 0.0034
2 s + 0.033
= 0.51
sd
El coeficiente estático de error de velocidad del
sistema compensado sería de.
2*0.0034*0.51
Kv =
= 4.95
2*0.033
REPORTE
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es:
G( s) =
1
( s + 2 ) ( s + 5)(s + 8)
Diseñe un compensador en adelanto de tal manera que se cumpla con las siguientes especificaciones:
1) Una relación de amortiguamiento ζ = 0.6
2) Un Coeficiente estático de error de posición de K p = 15
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO:
1.
2.
3.
4.
5.
Con las especificaciones de funcionamiento, determine la posición deseada de las raíces (polos)
dominantes de lazo cerrado (punto deseado s d ).
Grafique e imprima el lugar de las raíces del sistema sin compensar y determine si la localización
de las raíces deseadas, se encuentra sobre el lugar de las raíces. (Para compensar solo en atraso
es necesario que el punto deseado se encuentre sobre el lugar de las raíces).
Si el punto deseado se encuentra sobre el lugar de las raíces, determine la ganancia K de lazo
abierto necesaria para ubicarse sobre el punto deseado.
Evalué el coeficiente estático de error original y calcule el incremento necesario para obtener el
coeficiente estático de error deseado.
K v deseado
=β
K v original
Esta será la ganancia que debe de proporcionar el compensador en atraso.
Ubique al cero del compensador a una décima de la parte real del punto deseado, esto es:
1 Re al ( punto deseado )
=
T
10
LAB. DE CONTROL CLÁSICO
PRACTICA Nº 4
4
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
6.
Ubique al polo del compensador en
1
βT
7.
La función de transferencia del compensador sería:
⎛
⎜ S+1
T
Gc ( S ) = ⎜
⎜
1
⎜S+
β
T
⎝
8.
9.
10.
11.
12.
13.
⎞
⎟
⎟K
⎟ c
⎟
⎠
Calcule el ángulo de retardo de fase que proporciona el compensador en atraso sobre el punto
deseado. Este deberá ser menor a 5°.
1
1
)
φ = ∠( s + ) − ∠( s +
βT
T
Calcule la función de transferencia del sistema compensado G (S ) * Gc (S )
Evalúe la ganancia del sistema compensado K c en el punto deseado. Analíticamente y utilizando
el matlab. En el matlab se logra graficando el lugar de las raíces del sistema compensado y
colocando con el cursor los polos de lazo cerrado sobre el punto deseado.
Determine todas las raíces de lazo cerrado del sistema compensado con la ganancia determinada
Kc .
Imprima el Lugar de las raíces del sistema compensado.
Obtenga la respuesta en el tiempo del sistema compensado en lazo cerrado para una entrada
escalón unitario con la ganancia determinada K c y determine sus características ζ , M p , t p , ω n , t s
(
14.
15.
de la gráfica.
Compare estos valores con los valores de diseño, especificados al inicio.
Determine el coeficiente estático de error de posición K p del sistema compensado.
16.
17.
Explique el desarrollo de diseño, mostrando las graficas y resultados obtenidos en cada punto.
Conclusiones.
LAB. DE CONTROL CLÁSICO
PRACTICA Nº 4
5
)
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.