T-1) EL MUÑECO SALTARÍN (10 puntos) Un muñeco saltarín se puede aproximar mediante un muelle de longitud l0 = 5,0 cm de masa despreciable, unido a un disco de masa m = 40 g, y el conjunto está ensartado en un largo eje vertical fijo al suelo. El juguete se deja caer desde una altura h0 = 25 cm (ver figura, arriba). Después de tocar el suelo, el muelle se comprime hasta una longitud l = 2,0 cm (abajo). l0 h0 Se desprecian todos los rozamientos. 1. Describir el movimiento del disco, mediante: l a) Una explicación cualitativa analizando el balance energético. (1,5 puntos) b) Una representación gráfica de su altura h en función del tiempo t. (1,5 puntos) c) Las ecuaciones del movimiento, indicando el significado de los términos incluidos en ellas. (2 puntos) 2. Calcular: a) La constante elástica del muelle. (2 puntos) b) La máxima energía potencial almacenada en el muelle. (1 punto) c) El periodo del movimiento. (2 puntos) XIV OLIMPIADA ESPAÑOLA DE FÍSICA Cuenca, abril de 2003 T-1) El muñeco saltarín (solución) 1.a) El movimiento es periódico no amortiguado, ya que todas las fuerzas son conservativas y la energía total permanece constante. Inicialmente cae convirtiendo energía potencial gravitatoria en cinética. Tras hacer contacto con el muelle, sigue descendiendo, transformando ahora energía cinética y potencial gravitatoria en potencial elástica. Después de alcanzar la máxima compresión del muelle, con energía cinética nula, recupera invirtiéndose el movimiento. El ciclo de este movimiento consta de dos partes: mientras el muelle está apoyado en la mesa es armónico simple (sistema muelle-masa); cuando no lo está, es uniformemente acelerado (descenso y ascenso en el campo gravitatorio terrestre). h h0 0 l0 l h(t) =h0 −12 gt2 h (t ) = ∆ l sin ω t ∆l Tarm Tcaíd t arm 1.b) Sea h la coordenada posición. Suponiendo que en t = 0 se suelta el muñeco en la posición h = h0 (figura), la gráfica es un arco de parábola hasta que el muelle hace contacto con el suelo. En ese momento (posición h = l0) se inicia un movimiento de tipo armónico simple, primero comprimiéndose el muelle hasta la posición h = l, y después elevándose hasta despegar del suelo en la misma posición en que hizo contacto, h = l0. Se describe así medio ciclo (aproximadamente) del M.A.S 1. A continuación se realiza el movimiento de subida hasta la altura inicial h = h0, repitiéndose el ciclo. 1.c)2 Movimiento armónico simple: h(t ) = A sin ωt , amplitud A = l0 − l = ∆l, y frecuencia angular ω. Caida libre: h(t ) = h0 − 12 gt 2 , h0 altura inicial y g aceleración de la gravedad. 2.a) De la conservación de la energía en un descenso completo, mgh0 = mgl +12 k∆l 2 , ⇒ k= 2mg (h0 − l ) = 2,0·102 N m−1 ∆l 2 2.b) E max =12 k∆l 2 = 90·10−3 J. 2(h0 − l0 ) 2.c) T = Tarm + Tcaida =12 2π m + 2 = 4,5·10−1 s. k g 1 El análisis riguroso es algo más complicado, difícilmente realizable por los alumnos de la olimpiada: el centro de oscilación está debajo del punto h = l 0, a una distancia del mismo δl = mg/k = 1,93 mm (deformación estática del muelle). Por tanto, la parte armónica del ciclo total dura más de medio periodo del M.A.S. 2 No se espera que los alumnos establezcan las constantes iniciales y los intervalos de validez de cada expresión analítica.