propuestas did´acticas para la ense˜nanza de las probabilidades

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
FACULTAD DE EDUCACIÓN Y HUMANIDADES
PROPUESTAS DIDÁCTICAS PARA LA
ENSEÑANZA DE LAS PROBABILIDADES EN
EDUCACIÓN MEDIA
Tesina presentada a la Facultad de Educación y
Humanidades de la Universidad de La Frontera.
Como parte de los requisitos para optar al tı́tulo
de Profesor de Estado en Matemática.
MANUEL ALEJANDRO GONZÁLEZ NAVARRETE
TEMUCO - CHILE
2008
UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
FACULTAD DE EDUCACIÓN Y HUMANIDADES
PROPUESTAS DIDÁCTICAS PARA LA
ENSEÑANZA DE LAS PROBABILIDADES EN
EDUCACIÓN MEDIA
Tesina presentada a la Facultad de Educación y
Humanidades de la Universidad de La Frontera.
Como parte de los requisitos para optar al tı́tulo
de Profesor de Estado en Matemática.
MANUEL ALEJANDRO GONZÁLEZ NAVARRETE
PROFESOR GUÍA: ANTONIO SANHUEZA CAMPOS
TEMUCO - CHILE
2008
Dedicado a quienes me enseñaron a dar esos
primeros pasos ...
ÍNDICE
– INDICE DE ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II
– INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
– OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
– MARCO TEÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
– DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
– CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
– BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
I
INDICE DE ACTIVIDADES
1 EL
1.1
1.2
1.3
1.4
DÍA DEL AZAR
Explicación de la Actividad . . . .
Desarrollo de la Actividad . . . . .
Conclusión y Cierre de la Actividad
Sugerencias Finales . . . . . . . . .
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2 LA
2.1
2.2
2.3
2.4
PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA
Explicación de la Actividad . . . . . . . . . .
Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . . .
Conclusión y Cierre de la Actividad . . . . . .
Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . . . .
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. 8
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3 EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO
3.1 Explicación de la Actividad . . . . . . . . . .
3.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . . .
3.3 Conclusión y Cierre de la Actividad . . . . . .
3.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . . . .
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20
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26
26
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27
27
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36
37
4 UN
4.1
4.2
4.3
4.4
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CONJUNTO DE PROPIEDADES
Explicación de la Actividad . . . . . .
Desarrollo de la Actividad . . . . . . .
Conclusión y Cierre de la Actividad . .
Sugerencias Finales . . . . . . . . . . .
5 NUEVAS FORMAS DE CONTAR
5.1 Explicación de la Actividad . . . .
5.2 Desarrollo de la Actividad . . . . .
5.3 Conclusión y Cierre de la Actividad
5.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . .
II
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3
3
4
6
7
INDICE DE ACTIVIDADES
6 A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
6.1 Explicación de la Actividad . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Conclusión y Cierre de la Actividad . . . . . . . . . .
6.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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38
38
45
46
7 LO
7.1
7.2
7.3
7.4
CLÁSICO EN PROBABILIDADES
Explicación de la Actividad . . . . . . .
Desarrollo de la Actividad . . . . . . . .
Conclusión y Cierre de la Actividad . . .
Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . .
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48
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55
8 CONDICIONADAMENTE PROBABLE
8.1 Explicación de la Actividad . . . . . . . .
8.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . .
8.3 Conclusión y Cierre de la Actividad . . . .
8.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . .
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9 APLICAR Y RESOLVER
9.1 Explicación de la Actividad . . . .
9.2 Desarrollo de la Actividad . . . . .
9.3 Conclusión y Cierre de la Actividad
9.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . .
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III
INTRODUCCIÓN
Actualmente en nuestro sistema educativo, los contenidos de probabilidades se encuentran dentro de los que más complicaciones traen a los profesores de
matemática a la hora de enseñarlos; ya sea por la dificultad de abordar algunas
situaciones o por el escaso material didáctico disponible para su enseñanza. Motivo
por el cual en muchos establecimientos es común que los docentes de la especialidad
prefieran enseñar dichos contenidos de escasa manera, y al mismo tiempo de una
forma poco contextualizada; inclusive, en el peor de los casos, los educadores evitan
trabajar dichas unidades.
Bastante común resulta encontrarnos con propuestas de enseñanza que mayoritariamente acuden a los ejemplos del lanzamiento de dados o monedas y/o extracciones de cartas desde una baraja. Es claro que el estudio de las probabilidades en
sus inicios se encargó de analizar situaciones relacionadas con los juegos de azar,
pero en la actualidad resulta importante poder vincular los conceptos de esta teorı́a
a nuevas situaciones y de forma contextualizada.
El convencimiento de que esta labor es posible, se vuelve hoy en dı́a una necesidad
para que nuevas propuestas emerjan, promoviendo el cambio y el intercambio respecto del tipo de actividades y ejemplos en la enseñanza de la unidad de probabilidades.
IV
INTRODUCCIÓN
De esta manera surge la iniciativa de presentar las siguientes propuestas didácticas, orientadas a la enseñanza de la probabilidad en educación media; que buscan
ser un referente para que los docentes puedan incluir en el proceso de enseñanzaaprendizaje nuevas actividades y tomen la iniciativa para construir, bajo sus propias
visiones y realidades, otras propuestas que se adecuen al tipo de situaciones que ellos
deseen estudiar en este contenido.
Se presenta de este modo, un conjunto de nueve actividades que están orientadas a los contenidos introductorios de la teorı́a de probabilidades, equivalentes a
las unidades de segundo y tercer año medio. En ellas son propuestas situaciones
que intentan mostrar novedosas formas en que los contenidos pueden ser tratados,
ası́ como también, se contextualizan los ejemplos para una mejor comprensión por
parte de los estudiantes.
V
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
- Plantear propuestas de enseñanza de las probabilidades que sean dirigidas a
los docentes de educación media.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
- Mostrar actividades relacionadas con los contenidos de probabilidades, que
pueden servir de guı́a a los docentes para su desempeño en el aula.
- Sugerir el desarrollo del pensamiento crı́tico, tanto del estudiante, como del
profesor sobre la importancia del estudio de la teorı́a de probabilidades en
la enseñanza media, como herramienta para la toma de decisiones en la vida
diaria.
- Reconocer la importancia del análisis combinatorio y particularmente el principio de la multiplicación en el cálculo de las probabilidades.
VI
MARCO TEÓRICO
La Inferencia Estadı́stica y la Teorı́a de la Probabilidad complementariamente se han convertido hoy en dı́a en ramas de la matemática con las más diversas
aplicaciones. Ası́ como plantea Ross:
La estadı́stica inferencial se ha vuelto indispensable en salud
pública y en investigaciones médicas, en ingenierı́a y en estudios
cientı́ficos, en mercadotecnia y control de calidad, en educación,
contadurı́a, economı́a, predicciones meteorológicas, encuestas de
opinión, deportes, seguros, apuestas, y en toda investigación que
se precie de ser cientı́fica. La estadı́stica se ha enraizado en nuestra
herencia intelectual. (2002, p. 6)
A pesar de ello, es necesario dar cuenta que el desarrollo de la teorı́a de la probabilidad no ha estado exenta de controversias. Para muchos teóricos matemáticos,
la estadı́stica y la probabilidad con sus imprecisiones o manejo de los errores, dejan de poseer el fundamento caracterı́stico de la matemática, ese indiscutible rigor
axiomático que ha permitido construir las relaciones entre los conceptos manejados
por esta misma. Todo lo que hasta ahora ha permitido que la matemática tenga un
lugar privilegiado dentro de las ciencias. Para De León (2006) la razón es clara: las
matemáticas mantienen desde hace ya milenios una bien ganada fama de fiabilidad,
fama bien ganada porque constituyen el más sólido edificio conceptual construido
VII
MARCO TEÓRICO
por la humanidad.
La matemática por si sola se ha convertido en una herramienta preferida por
muchas ciencias para dar explicación a diversos fenómenos; pero es claro que al
tratar de modelar procesos sociales, y como señalan Jiménez y Jiménez (2005), los
fenómenos de la naturaleza, el hombre se ha encontrado con que hay situaciones que
obedecen a un modelo determinista y otras que en cambio obedecen a un modelo
aleatorio.
Santaló (1999) considera que este tipo de matemática, que es menos precisa y
menos referida a casos concretos, es más útil que las exactas para tratar las ciencias
no exactas. Está convencido también de que es imperativo incluirla en la educación
matemática de todo individuo.
Ası́ como lo señala Kline:
Afortunadamente, las ciencias sociales y las biológicas han adquirido un método matemático, nuevo por completo, de obtener
información sobre sus fenómenos respectivos: el método estadı́stico. (...) Sin embargo, con el uso de los métodos estadı́sticos, ha
surgido también el problema de determinar la confiabilidad de los
resultados. Este aspecto de la estadı́stica se trata por medio de la
teorı́a matemática de la probabilidad. (1998, p. 496)
Esta emergente relevancia que ha adquirido esta teorı́a hace que cada vez más autores respalden su importancia y la trascendencia de ésta en el futuro de los sistemas
educacionales, entre ellos Dacunha-Castelle (1996), que ha propuesto la necesidad
VIII
MARCO TEÓRICO
de que todo ciudadano posea una base sólida en probabilidad y estadı́stica, que le
permita comprender, juzgar y criticar la avalancha de información que los medios
de comunicación le brindan dı́a a dı́a. De manera similar, Andradas (2002) opina
que la probabilidad es capaz de predecir el comportamiento de fenómenos de masas
con una precisión extraordinaria, de ahı́ la importancia de que los individuos se familiaricen con estos conceptos. Es claro que en la actualidad los ciudadanos tienen
el derecho y el deber de dudar sobre lo que se les está informando, de lo contrario
podrı́an ser vı́ctimas de las intenciones de manipulación, que un determinado estudio
sobre algún tema en particular tiene como finalidad.
Se intenta por tanto afirmar que la estadı́stica y la teorı́a de la probabilidad;
se han ido ganando el carácter de ciencia, siendo en la actualidad un respaldo indiscutiblemente aceptado para cualquier estudio cientı́fico que quiera trabajar con
datos numéricos y relaciones entre variables. Todo ello a pesar de que la probabilidad encuentra su formalización hace pocas décadas atrás. De la forma en que
Maibaum (1988) planteó: La teorı́a de probabilidades y la Estadı́stica matemática,
son disciplinas matemáticas relativamente jóvenes por si mismas, donde la teorı́a de
probabilidades, como teorı́a independiente - que incluye a sus vez numerosas disciplinas y campos de aplicación - y como fundamento de la Estadı́stica matemática,
posee una significación particular.
En virtud de esto último, Martı́n-Pliego y Ruiz-Maya (2004), plantean que existe
cierta polémica a la hora de ubicar el origen del Cálculo de Probabilidades. Según
Mode (2005), a mediados del siglo XVI, Girolamo Cardano, el matemático, médico
y jugador italiano escribió Liber de Ludo Aleae (El Libro de los Juegos de Azar) en
el que apareció el primer estudio conocido de los principios de probabilidad. Para
IX
MARCO TEÓRICO
De Lara (2005), Cardano fue quien introdujo por primera vez el concepto de probabilidad. A pesar de ello, la obra creada por Cardano es más bien un manual para
jugadores; ya que en palabras de Ugochukwu (2004) este libro trató acerca de la
probabilidad en las apuestas de dinero, dando consejos, basado en su experiencia,
sobre cómo hacer trampa.
Sin embargo, para la mayorı́a de los autores, el cálculo de probabilidades comienza con los primeros estudios sobre los juegos de azar, plasmado en la correspondencia
epistolar entre Pascal y Fermat, originada por el famoso problema planteado por el
Caballero de Meré, lo que se tradujo en un avance sustancial en el desarrollo de
la teorı́a de probabilidad. Aunque para Veloso y Wisniewski (2001), hoy en dı́a el
problema del Caballero de Meré lo puede resolver con facilidad cualquier estudiante
de un primer curso de probabilidad, en aquella época fue novedoso.
Etayo et al. exponen que el famoso problema del Caballero de Meré,
Consistı́a en explicar cómo podı́a ser que fuera más ventajoso sacar
por lo menos un 6 en cuatro jugadas con un solo dado, que sacar
por lo menos una vez 6 con dos dados en 24 jugadas (a pesar -decı́a
el Caballero de Meré- que 4 es a 6 como 24 es a 36). (1995, p. 113)
Para Autor (1997), el primer libro sobre probabilidad fue el trabajo de Christian
Huygens (1629-1695), que apareció en 1657. En él (el razonamiento en los juegos
de azar), se explora la noción de esperanza matemática. Esto permite el cálculo de
ganancias o pérdidas que un jugador puede esperar, conociendo las probabilidades
involucradas en el juego. Sin embargo, aún hasta estas épocas el tratamiento de los
X
MARCO TEÓRICO
fenómenos aleatorios eran vistos como casos particulares.
Veloso y Wisniewski (2001) han planteado que algunos años después de la aparición del libro de Huygens, Jacob Bernoulli publicó en Basilea, Suiza, su obra Ars
Conjectandi, en la cual aparecen por primera vez las fórmulas y las leyes de la teorı́a
de las probabilidades. Considerado de esta manera como el primero en dar la definición clásica de probabilidad; esto influenciado por los trabajos de Graunt y Petty,
que habı́an demostrado las ventajas de incluir en sus tablas no sólo los números
absolutos, sino también las proporciones respecto del total. De acuerdo a Hacking
(1995), con Jacob Bernoulli, la probabilidad habı́a emergido completamente.
Según Carneiro (2005), la tradición abierta por Bernoulli fue retomada por Abraham de Moivre en su libro Teorı́a del Azar de 1718 y por Thomas Bayes, aunque el
verdadero continuador fue el fı́sico y matemático Pierre Simon de Laplace.
En palabras de De Oliveira, Pitombeira, Pinto y Fernandez; “el matemático inglés Thomas Bayes (1702 - 1761), inició las investigaciones sobre el problema de
hallar las probabilidades de las causas de un evento observado”(2006, p. 9). Estas
ideas dieron sentido a la conocida probabilidad a posteriori y permitieron el desarrollo de la estadı́stica bayesiana.
Del mismo modo, De Oliveira et al. (2006); señala que De Moivre, mediante su
libro, desarrolló la teorı́a se las sucesiones recurrentes, las que usó para resolver varios problemas de probabilidades.
En cuanto al trabajo y, refiriéndose particularmente al libro de Abraham de
XI
MARCO TEÓRICO
Moivre, Uspensky (1954) menciona:
De Moivre no contribuyó mucho al desarrollo de los principios,
pero este trabajo tiene un renombre merecido por los métodos
nuevos y de gran poder que expone para la resolución de los más
difı́ciles problemas. Muchos resultados importantes ordinariamente
atribuidos a Laplace y Poisson pueden hallarse en el libro de De
Moivre.
Como exponen Levin y Rubin (2004), en el siglo XIX, Pierre Simon, marqués
de Laplace (1749-1827), unificó todas estas ideas y compiló la primera teorı́a general de probabilidad. Laplace desde 1774 escribió muchos artı́culos sobre el tema de
la probabilidad. En 1812 publicó en Parı́s su Théorie Analytique des Probabilités,
donde hace un desarrollo riguroso de la teorı́a de probabilidad con aplicación a problemas demográficos, jurı́dicos, sociales y además astronómicos. De acuerdo a Obagi
(2003), esta teorı́a, aparte de que es la primera exposición sistemática del cálculo de
probabilidades, también presenta un análisis, que hasta entonces sólo empleaba los
recursos de la aritmética, de esta forma Laplace pone el cálculo de probabilidades
sobre una base moderna y general.
A partir de Laplace, las dos disciplinas, cálculo de las probabilidades y estadı́stica, que habı́an hasta entonces permanecido separadas, se fusionan de manera que
el cálculo de las probabilidades se constituye en el andamiaje matemático de la estadı́stica.
El alemán Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), quien en palabras de Veloso y Wisniewski (2001) es considerado por muchos como el matemático más notable en toda
XII
MARCO TEÓRICO
la historia de la humanidad hasta nuestros dı́as, no tanto por la cantidad sino por la
impresionante calidad y originalidad de sus trabajos, los cuales tuvieron influencia
relevante en casi todas las áreas de la matemática. Gauss desarrolló la teorı́a de
los errores; conjuntamente con Bessel y Laplace, llegaron a establecer el método de
los mı́nimos cuadrados, como procedimiento matemático para resolver el problema
fundamental de la teorı́a de los errores.
Posteriormente, las aportaciones a la teorı́a de la probabilidad se caracterizan por
su proveniencia, principalmente de los matemáticos rusos de la Escuela de San Petersburgo. Martı́n-Pliego et al. (2004), destacan a V. Y. Buniakovskii (1804-1889), M.
V. Ostrogradskii (1801-1862), pero sobre todo a Pafnuttii Lvovich Chebichev (18211894), con su conocida desigualdad también atribuı́da al francés I. Bienaymé (17961878), creador de una escuela, entre los que destacan A. Liapunov (1857-1918) y
su discı́pulo predilecto A. Markov (1856-1922); con un trabajo importante en la
teorı́a de los procesos estocásticos, proponiendo secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende de su valor en el
presente, pero de manera independiente a la historia de la variable, conocidas como
Cadenas de Markov.
Ya en el año 1900, durante el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas
realizado en Parı́s, el doctor David Hilbert señaló como uno de los problemas
matemáticos más importantes: la necesidad de una rigurosa fundamentación de los
conceptos básicos del cálculo de probabilidades. A pesar que muchos matemáticos
se preocuparon de esta tarea, fue solamente en 1933, cuando el matemático soviético
Andréi Kolmogórov propuso los llamados axiomas de probabilidad, basados en la
teorı́a de conjuntos y en la teorı́a de la medida, desarrollada años antes por Lebesgue,
XIII
MARCO TEÓRICO
Borel y Frechet entre otros. Este modelo matemático es lo que dio forma a lo que hoy
en dı́a conocemos como teorı́a de probabilidades. Esta aproximación axiomática que
vino a generalizar lo hasta ahora conocido como probabilidad clásica, permitió dar
la rigurosidad necesaria a muchos argumentos ya utilizados, ası́ como permitió el
estudio de problemas fuera de los marcos clásicos y aclarar las aparentes paradojas
existentes. Dando paso a un desarrollo tanto cuantitativo como cualitativo de los
conceptos y las aplicaciones relacionadas con las más diversas áreas de conocimiento.
Un aspecto importante que se desprende de la reciente formalización de la teorı́a
de la probabilidad es que lentamente el tratamiento académico de esta misma se
ha venido observando en los sistemas educativos; en las últimas décadas del siglo
XX se comienzan a tratar en las reformas educacionales los tópicos de estadı́stica
y probabilidad, tal como ha ocurrido en el sistema educacional chileno. Al respecto
Santaló (1999) apuntaba que la teorı́a de las probabilidades se fue desarrollando por
cuenta separada, también por matemáticos, pero fuera de los claustros académicos,
sin que figurara en los planes de estudio de las carreras universitarias, mucho menos
en los de la enseñanza elemental y media.
Considerando entonces la idea de Pérez, Castillo y De Lobos, quienes plantean
que: “la probabilidad tiene la enorme cualidad de representar adecuadamente la
realidad de muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su conocimiento
permite comprender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos” (2000, p.
15). Y de lo ya dicho sobre el hecho que la estadı́stica y la teorı́a de la probabilidad
son ciencias complementarias, siendo recı́procamente un fundamento la una de la
otra. De la forma en que expresan Walpole, Myers, Myers y Ye (2007), debemos
considerar que los conceptos de probabilidad forman un componente significativo
XIV
MARCO TEÓRICO
que complementa los métodos estadı́sticos y ayuda a evaluar la consistencia de la
inferencia estadı́stica. Por consiguiente, la disciplina de la probabilidad brinda la
transición entre la estadı́stica descriptiva y los métodos inferenciales.
Por estas razones como plantean Jiménez y Jiménez (2005): la sociedad se ve inevitablemente obligada a adaptar y reestructurar su sistema educativo, para cumplir
con su compromiso de formar a los individuos que la componen. La educación, por
tanto requiere entender que una persona que vive en esta sociedad moderna debe
tener un mejor manejo de aquellas situaciones de carácter aleatorio, porque también
a los procesos dependientes de la casualidad le son inherentes ciertas regularidades,
ya que la casualidad no significa ausencia total de reglas ni menos aún caos.
Como señalaban Núñez, Sanabria y Garcı́a (2004), para el caso de Costa Rica el
hecho de que hace falta un análisis profundo de posibles metodologı́as del trato de la
incertidumbre en la enseñanza secundaria. No es antojadizo. El cuestionamiento de
los contenidos plantea toda una profundización en los temas que se van a desarrollar.
En este sentido, es inevitable destacar la labor del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, (NCTM por sus siglas en inglés) de los Estados Unidos de
Norteamérica que estableció en el año 2000 los estándares de la educación matemática
para primaria y secundaria. Documento que presenta los niveles de aprendizaje requeridos desde el nivel pre-kinder hasta el egreso de secundaria; incluyendo tópicos
de Números y Operaciones, Álgebra, Geometrı́a y Estadı́stica y Probabilidades. En
el caso del área de Probabilidades, existen propuestas para niños desde Tercer Grado, quienes deben poseer al momento de completar el Quinto Grado, las capacidades
de:
XV
MARCO TEÓRICO
- Describir eventos como probable o improbable y discutir el grado de probabilidad usando palabras como certeza, igualmente probable, e imposible.
- Predecir la probabilidad de los resultados de experimentos sencillos y probar
las predicciones.
- Entender que la medida de la probabilidad de un evento puede ser representado
por un número entre 0 y 1.
En el caso de los estudiantes entre el Sexto y el Octavo Grado, ellos deberán:
- Comprender y utilizar la terminologı́a adecuada para describir eventos complementarias y mutuamente excluyentes.
- Usar la proporcionalidad y poseer una comprensión básica de la probabilidad
de hacer y probar conjeturas acerca de los resultados de los experimentos y
simulaciones.
- Calcular las probabilidades de eventos compuestos simples, utilizando métodos
tales como la organización de listas y los diagramas de árbol.
Finalmente en secundaria; los adolescentes deben manejar las siguientes habilidades:
- Entender los conceptos de espacio muestral y distribución de probabilidad y
construir espacios muestrales y distribuciones en casos sencillos.
- Utilizar simulaciones para construir distribuciones de probabilidad empı́rica.
- Calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos sencillos.
- Entender los conceptos de probabilidad condicional y de sucesos independientes.
XVI
MARCO TEÓRICO
- Entender cómo calcular la probabilidad de un evento compuesto.
Atender a estos objetivos planteados por la NCTM requiere de un arduo trabajo; si se desea replicar tales aprendizajes en nuestro sistema educativo debemos
comenzar de a poco.
Importante resulta identificar que en nuestro paı́s, los planes y programas presentados por el Ministerio de Educación proponen la enseñanza de las probabilidades a
partir de Segundo Año de Enseñanza Media, para este nivel los objetivos de aprendizaje son los siguientes:
- Relacionar la noción de probabilidad con la información estadı́stica que deriva
de la repetición de un fenómeno aleatorio y explicar qué diferencia a éstos de
los fenómenos determinı́sticos.
- Analizar e interpretar los resultados de problemas que involucran cálculo de
probabilidades, considerando experimentos aleatorios simples; explicar los procedimientos utilizados; analizar la independencia de los mismos; reconocer los
casos de equiprobabilidad.
- Conocer y utilizar la fórmula de Laplace para el cálculo de probabilidades;
comparar probabilidades y analizar su valor máximo y su valor mı́nimo.
- Utilizar el Triángulo de Pascal y el diagrama de árbol como técnicas de conteo
en la resolución de problemas.
- Interpretar información de diversos ámbitos, que involucra probabilidades.
XVII
MARCO TEÓRICO
Se vislumbra de esta forma un panorama alentador, que es reforzado con la idea
de que al finalizar el Cuarto Año Medio los estudiantes deberán manejar el concepto
de Muestra Aleatoria y ser capaces de realizar inferencias de acuerdo a distintos
tipos de muestras.
De forma complementaria a las ideas anteriormente propuestas, es importante
recurrir al concepto de numeralismo; el cual de acuerdo a Ochsenius (1999), dice
relación con la adecuada utilización de conceptos y modos de razonar propios de
la matemática en el complejo proceso de adaptación de los seres humanos al mundo en que se desenvuelven. Lo que en cierto modo se refiere a la habilidad de las
personas para usar la matemática al resolver problemas prácticos en la cotidianidad.
En esta lı́nea Ochsenius (1999), basándose en los contenidos y objetivos propuestos por los planes y programas de los doce años de estudio, del sistema educativo
chileno, propone lo siguiente para el área de probabilidades:
El adulto numeralista debe ser capaz de:
a) Reconocer eventos equiprobables y calcular su probabilidad.
b) Calcular la probabilidad de un subconjunto del espacio muestral.
c) Reconocer que si dos sucesos son independientes, entonces el resultado de uno
de ellos no influye en la probabilidad del otro.
d) Estimar aproximadamente la probabilidad de ganar en juegos de azar sencillos.
e) Utilizar adecuadamente la ley de los grandes números en la toma de decisiones
en la vida cotidiana.
XVIII
MARCO TEÓRICO
Importante se vuelven por tanto las palabras de Vygostky quien afirma que “la
enseñanza directa de conceptos es tarea vana e imposible” ya que de esta manera
sólo se obtendrán “verbalismos vacı́os, que solo simulan conocimiento” (1975, p. 83)
Ası́ como también lo propuso Gardner (1996), refiriéndose a que el sistema educativo ha privilegiado los procedimientos mecánicos, dejando de lado la comprensión;
encontrándonos con que la destreza en resolver problemas es puesta en equivalencia con el dominio de la materia en estudio. Ya que sólo se preguntan los tı́picos
problemas, enunciados y ejercitados repetitivamente. Lo que Ochsenius reafirma proponiendo:
Los problemas de la vida cotidiana constituyen una clara violación
de este acuerdo; no son susceptibles de ser resueltos por aplicación
mecánica de algoritmos pues la realidad plantea cada vez situaciones diferentes, son preguntas que rara vez tienen un enunciado
explı́cito donde se encuentre cómodamente la información necesaria
y precisa para contestarlas. (1999, p. 33)
XIX
DESARROLLO DE LAS
ACTIVIDADES
Se presentan a continuación las actividades propuestas para el desarrollo de
los contenidos de probabilidades para la enseñanza media.
En cuanto a su estructura, se debe mencionar que éstas están compuestas por
cuatro secciones, las que se exponen a continuación;
1) Explicación de la Actividad: en la que se dan a conocer los objetivos
y las caracterı́sticas de la actividad que se propone, además de incluir algunas
definiciones, en los casos que sean necesarios.
2) Desarrollo de la Actividad: esta sección se enfoca a describir los ejemplos especı́ficos que se plantean para la enseñanza del contenido propuesto. El
desarrollo de la actividad es, en cierto modo, el relato de lo que se espera sea
realizado en el aula.
3) Conclusión y Cierre de la Actividad: cada una de las actividades que
se proponen incluyen algunas ideas de cómo realizar el cierre de éstas, de tal
manera de poder evaluar el aprendizaje de los estudiantes y plantear otras
situaciones que refuercen los contenidos tratados.
4) Sugerencias Finales: el apartado de sugerencias finales expresa algunas
recomendaciones para el docente, con respecto a lo que es esperable obtener
1
DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES
luego de la realización de la actividad; las inquietudes que deberı́an surgir de
los estudiantes y las ideas que el docente debiera considerar para las próximas
sesiones. Además se pueden encontrar algunos contenidos complementarios que
permiten profundizar lo que ha sido tratado en la propuesta didáctica.
2
ACTIVIDAD 1
EL DÍA DEL AZAR
Una Introducción al Concepto de Azar.
1.1
Explicación de la Actividad
En esta actividad se intenta conseguir que los estudiantes relacionen la
cotidianidad con lo que ellos entienden como azar y, especı́ficamente la manera en
que formalmente es definido tal concepto.
Por tanto se motivará a los alumnos con una historia que les contará el quehacer
de un dı́a común en la vida de un estudiante; en este trayecto irán ocurriendo
situaciones en las que el azar juega un rol fundamental, dichos eventos serán
relacionados indirectamente con el fin que se postula, haciendo consultas a los
estudiantes sobre lo que podrı́a ocurrir; para de ésta forma ir guiando a los alumnos
a crear una idea, o bien aclarar sus ideas, sobre lo que el azar representa en
situaciones diversas.
Luego de una discusión grupal, guiada por preguntas con la finalidad de que los
alumnos identifiquen las caracterı́sticas de un fenómeno azaroso; se propondrá que
los estudiantes definan lo que se interpreta, con relación al concepto de azar.
Finalmente se hará una discusión general, para de esta forma, entregar una ca-
3
ACTIVIDAD 1. EL DÍA DEL AZAR
racterización del contenido y hacer la aclaración de las dudas que pueden generarse
en los alumnos.
1.2
Desarrollo de la Actividad
Como se explica en la sección anterior, se propone la introducción al concepto
de azar a través de una historia que vaya develando las caracterı́sticas de los
fenómenos con tal cualidad.
La historia por tanto serı́a la siguiente:
Un dı́a cualquiera de la semana, te levantas temprano para asistir al liceo; tal
como todos los dı́as te diriges al paradero para poder tomar alguna micro que te lleve a
tu destino, ¿cuál de las micros que te son útiles será la que pase primero?. Subiéndote
a dicha micro, ¿cuántos personas exactamente irán en ésta al momento de pagar tu
boleto?, ya que como es sabido si hay muchos pasajeros puede que la micro demore un
poco más y quizás ¿cuántos minutos tardes, en llegar al liceo?.
Una vez en el colegio, encuentras a tus amigos conversando sobre el programa de
televisión que vieron la noche anterior, ¿de qué canal puede haber sido este programa
que mantiene en discusión a tus amigos?. Luego de eso ingresa el profesor de Biologı́a
que continúa con la materia de la clase anterior, de la cual promete entregar un
cuestionario, preguntándote ¿cuántas serán las preguntas que contenga?. Aunque lo
único que tienes claro es que deseas salir a recreo lo antes posible.
Tocando el timbre, al salir a recreo vas directamente al baño; en éste ¿con cuántos
4
ACTIVIDAD 1. EL DÍA DEL AZAR
amigos te encontrarás para conversar?. Sea ası́ o no, de todas formas igual el recreo
pasará rápidamente porque hay muchas formas de entretenerse, pero pronto deberás
volver a la sala.
Al entrar a la clase de historia, todos saben que el profesor elegirá a algún alumno
para hacer el recuento de la materia vista en la clase anterior, entonces ¿qué posibilidades hay de que el escogido seas tú?; o peor aún, ya que vienes algo entusiasmado del
recreo, ¿serás sorprendido por él cuando estés tirándole papeles a tus compañeros?.
Por suerte la mañana ha pasado rápido y ya es hora de ir al casino del liceo para
almorzar, escuchas en los pasillos que hay legumbres de almuerzo, ¿será posible predecir
con exactitud que tipo de legumbres son?.
Más tarde, luego de ese rico almuerzo de legumbres; debes rendir la prueba de
lenguaje, para la cuál no has estudiado y decides usar un torpedo, en el que pusiste un
par de preguntas de una larga lista que contenı́a la guı́a de estudio. Por tanto, ¿cuál
es la posibilidad de que al menos una de las preguntas de la prueba coincidan con las
del torpedo? o bien, ¿que opción hay de que el profesor te sorprenda copiando justo la
primera vez que saques el torpedo?.
Terminada la prueba tus ánimos no están de lo mejor. Más aún, luego del recreo el
cansancio se comienza a notar; pero sabes que viene la clase de matemática, que tal
vez sea una opción para conversar con tus amigos, porque el profesor es bastante latero.
Llega él y les propone trabajar en un nuevo contenido, para el cuál comenzarán hablando
sobre el azar y, te preguntas ¿cuál es la opción de que este profesor te entregue una guı́a
tan poco matemática como ésta?...
5
ACTIVIDAD 1. EL DÍA DEL AZAR
1.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
Para poder realizar el cierre de la actividad se propone que los estudiantes
hagan el análisis de las situaciones planteadas en la historia anterior. Se busca que
los alumnos a concluyan sobre las caracterı́sticas de instancias en las que juegue un
rol el azar. Por tanto, se sugieren preguntas como:
• ¿Puedes responder con certeza las preguntas planteadas en el desenlace de la
historia?
• ¿Por qué razón crees tú que no es posible asegurar el resultado de dichas
situaciones?
• ¿Es posible en cambio, poder intuir los sucesos a ocurrir en cada una de las
instancias?
• ¿Qué caracterı́stica común encuentras en estas situaciones?
• ¿Es posible decir que en estos ejemplos entra en juego el factor suerte?
Preguntas de este tipo, pueden ayudar a los alumnos a aclarar sus ideas
con respecto a lo que se conoce como azar; procurando como docentes guiar las
discusiones grupales, es importante que sea finalmente consensuada una definición
del concepto de azar.
A la vez, se sugiere que los ejemplos planteados sean revisados, encontrando los
llamados espacios muestrales; sin necesidad de utilizar estos conceptos que aún los
alumnos no son capaces de manejar.
6
ACTIVIDAD 1. EL DÍA DEL AZAR
Relevante resulta el hecho de aclarar a los estudiantes que muchas situaciones
de la vida están relacionadas con el azar. Pero no toda la cotidianidad se basa
en modelos aleatorios; ya que también es posible responder, con exactitud, a
inquietudes que surgen de fenómenos que son regidos por leyes cientı́ficas.
1.4
Sugerencias Finales
Bajo el supuesto de realizar esta actividad como introducción a la unidad de
probabilidades, es importante que el profesor utilice dinamismo y complemente la
actividad con situaciones azarosas propuestas por los estudiantes, de esta forma mantener motivados a los estudiantes; no dando instancias para que ellos se distraigan.
También es necesario vislumbrar actividades similares a éstas para los siguientes
contenidos de la unidad; esto porque no sirve de nada una introducción motivadora
para luego terminar utilizando estrategias tradicionales para la enseñanza de los
contenidos matemáticos.
7
ACTIVIDAD 2
LA PROBABILIDAD DE UNA
HISTORIA
Un Pequeño Análisis de la Historia de la Probabilidad.
2.1
Explicación de la Actividad
Para esta actividad es necesario que el docente indique, a modo recordatorio,
las caracterı́sticas que poseen las situaciones azarosas y de esta forma, comentará
desarrollos históricos, en diversas culturas y contextos sociales, que han involucrado
la noción inconciente de probabilidad. Esta primera instancia servirá de introducción a la actividad siguiente del contenido.
Es importante destacar que el concepto de probabilidad clásica o de equiprobabilidad aún no es tocado formalmente; pero se recomienda que el docente explique
con sus palabras las nociones de probabilidad, ejemplifique situaciones en que la
probabilidad de ocurrencia de algún suceso, en comparación con otro es igual o
distinta. Tomar esa parte del contenido como un referente y un apoyo, servirá
para poder inmiscuir a los estudiantes en las situaciones que el ser humano ha
enfrentado y, que de alguna u otra forma ha intentado dar respuesta. De esta forma,
se podrá complementar más adelante los conceptos con la contextualización de ellos.
Se propone por tanto, realizar como siguiente actividad un trabajo investigativo
8
ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA
de distintas etapas históricas o civilizaciones, identificando en estas situaciones,
caracterı́sticas en las que el azar y los conceptos de probabilidad han jugado un
papel relevante.
Este trabajo debe ser desarrollado por lo estudiantes en horarios extra
académicos, y lo más certero es que se vaya trabajando en paralelo a las actividades
futuras del contenido; buscando el momento de dar el cierre a la investigación, en
coincidencia con el inicio del estudio de la probabilidad clásica; para que luego los
estudiantes puedan dar respuestas, en lo posible, a las situaciones encontradas,
mediante los conceptos tratados en esa futura actividad.
En el contexto de lo que se intenta, se puede mencionar el ejemplo de la
civilización Maya; quienes fueron capaces de plantear Profecı́as, de las cuales hay
vestigios del cumplimiento de un par de ellas; la pregunta que debe surgir es el
cómo este pueblo logró llegar a la certeza (suceso seguro), de que las situaciones
que planteaban serı́an realidad. Al mismo tiempo un ejemplo más común de la
influencia de las probabilidades en esa época, son las apuestas que se hacı́an en el
deporte de pelota que ellos practicaban; se ha dicho que la vida incluso era puesta
en prenda como apuesta en los partidos.
O bien, un ejemplo más actual, refrente al manejo de las situaciones a las que
se enfrentarán los equipos de investigación espacial, cuando deciden adentrarse en
el espacio para su estudio.
Finalmente, los trabajos de investigación desarrollados por los estudiantes, serán
comentados para que se vayan concluyendo las caracterı́sticas de las situaciones que
9
ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA
hicieron que el mismo ser humano fuera desarrollando una teorı́a sobre este tipo de
eventos, y de esta forma construyera la axiomática de la teorı́a de probabilidades. Lo
que es demasiado importante contextualizar, no sólo como una necesidad histórico
temporal que se hizo presente de distinta manera al ser humano; ya que se funda en
la capacidad intrı́nseca del ser de visionar las posibilidades de un suceso y, a su vez,
en la misma limitación que le impide encontrar la certeza de sus propias respuestas.
2.2
Desarrollo de la Actividad
Como se explica en la sección anterior, se plantea la asignación de un trabajo
investigativo a los estudiantes del curso.
Se formarán grupos de trabajos. Se procede por tanto a realizar un sorteo de
ciertos temas: Mayas, Aztecas, Egipcios, Romanos, Edad Media, Pueblo Mapuche,
entre otros. Por esta razón, no muy poco original, el tı́tulo de la unidad “La
probabilidad de una historia”, aunque en el contexto de ésta, el tı́tulo engloba la
noción de que la misma historia que vive actualmente la humanidad, en la que
posee una teorı́a de las probabilidades, bastante evolucionada, también dependió
y fue testigo en el pasado de que todo futuro es propenso a ser estudiado por sus
propios antepasados; los que dentro de sus posibilidades lograron que este desarrollo
haya desencadenado en lo que hoy en dı́a se presenta como una herramienta para
el ser humano.
El avance del trabajo se irá supervisando constantemente; realizando discusiones grupales de lo encontrado hasta cierta etapa, comentando las situaciones
10
ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA
anecdóticas que se involucren con el tema de las probabilidades, que los alumnos
vayan encontrando en sus lecturas e investigaciones.
Para concluir la actividad se deberá realizar una exposición de las investigaciones por parte de los grupos; estas muestras deben apuntar a identificar las
caracterı́sticas de las situaciones que los alumnos han considerado como eventos en
los que el azar entra en juego y, que de esta forma el ser humano necesitó buscar
respuestas.
2.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
Para el cierre de la actividad se pide el compromiso del docente por hacer
comprender a los estudiantes, la gran capacidad del ser humano de construir bajo
toda esta evolución histórica, una ciencia axiomática que le ha permitido estudiar
y dar respuestas a quizás las mismas problemáticas que siempre le han aquejado;
que de una u otra forma estuvieron presentes en su cotidianidad y que lo instaron a
dejar el legado de lo que hoy en dı́a es conocido como la teorı́a de la probabilidad.
Históricamente estas necesidades o simples curiosidades de dar respuesta a
situaciones azarosas lograron encantar a diversas personas. Ahora es propicio
aprovechar esas vivencias y actuales vivencias, para dar a conocer que el estudio de
las probabilidades tiene una razón de ser; hay cosas que en el futuro del estudiante
y en la cotidianidad actual de este mismo, podrı́an ser abordadas de mejor forma si
los planteamientos se complementan con el fundamento teórico de las probabilidades.
11
ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA
2.4
Sugerencias Finales
El dinamismo y el conocimiento de lo que plantea, con la certeza de las
afirmaciones que realice, son relevantes en los aspectos que el profesor debe manejar
para desarrollar de buena forma la actividad. Importante es la lectura de los
antecedentes históricos que puedan servir de complemento a las investigaciones que
los estudiantes estén realizando; pues el profesor debe tener la claridad del enfoque
que los estudiantes intenten dar a sus propuestas de situaciones. Del mismo modo
se sugiere al docente que presente como referencia, las situaciones históricas más
conocidas en el desarrollo de la teorı́a de probabilidades; tales como el problema de
Cardano y el partido de Tenis, o la interrogante del Caballero de Meré. Pero esto
será, solamente, para reconocer las motivaciones que los matemáticos tuvieron para
plantearse de manera teórica, interrogantes similares a las estudiadas.
Finalmente, como se comentó en la introducción, es recomendable que el desarrollo de esta parte de la unidad sirva de un complemento provechoso que el docente
utilice, para contextualizar y poder explicar con mayor cercanı́a los futuros conceptos
y contenidos de la unidad.
12
ACTIVIDAD 3
EXPERIMENTANDO EN LO
COTIDIANO
Estudio de los Conceptos de Experimentos Aleatorios, Espacio Muestral y Sucesos.
3.1
Explicación de la Actividad
La presente actividad se enmarca en el concepto de Experimento Aleatorio y
las ideas implicadas en este. Se busca que los estudiantes caractericen las nociones
de Experimento y, especı́ficamente, aquellos que se presentan de modo aleatorio.
En el transcurso de la actividad, el docente irá conduciendo las deducciones a
través de ejemplos; los que en primer lugar permiten diferenciar entre situaciones
deterministas y aleatorias.
Se debe mostrar, de forma similar a lo que se hizo con la historia introductoria
(El dı́a del Azar), que en la cotidianidad se encuentran bastantes situaciones
que proponen un modelo aleatorio, en las cuales es viable adelantar las posibles
respuestas que podrı́an suceder. Sin embargo, no se tendrá la certeza de asegurar
cuál será el desenlace exacto.
Se mostrará a los alumnos las posibles preguntas a las situaciones aleatorias
que se plantean en estudios experimentales; como las respuestas a alguna encuesta
13
ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO
sobre un tema de interés o los flujos periódicos de personas u objetos en ciertos
lugares o circunstancias.
Una vez que los jóvenes logren identificar las particularidades de los Experimentos Aleatorios, procederán a analizar los conceptos de Espacio Muestral y Sucesos,
determinando algunos de ellos. Finalmente, se concluirá la actividad dando formalmente las definiciones de los conceptos tratados; lo que dará paso a las futuras
propuestas que se adentran en las propiedades del cálculo de probabilidades.
3.2
Desarrollo de la Actividad
Se
comienza dando ejemplos de situaciones cotidianas que corresponden
a modelos determinı́sticos, de ellos se asegura el resultado final. Este tipo de
experimentos serán comparados con aquellos de tipo aleatorio, para finalmente
proponer una definición de los últimos.
Se desea que el docente plantee situaciones como,
a) Un árbol (de hojas caduca) es estudiado al comenzar el otoño, ¿qué pasará
con sus hojas en ésta estación?. Si el próximo año se pregunta lo mismo, ¿cuál
será la respuesta a aquello?.
b) Si hay una luz encendida, y presionas su interruptor, ¿qué ocurrirá con la
ampolleta?.
c) Al lanzar una piedra al aire (sin existir algo que obstaculice su trayecto), ¿qué
ocurrirá con la piedra luego de alcanzar su altura máxima?.
14
ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO
d) Una niña tiene 4 monedas de $100, le pide a su papá 2 monedas, del mismo
valor, ¿cuánto dinero posee ahora la pequeña?.
Debe resultar un consenso, el hecho de que las respuestas a cada una de
las interrogantes son indiscutibles; no habrá otra opción para cada uno de los
experimentos, esto debido a que cada uno de ellos responde a leyes o principios
cientı́ficos (biológicos, fı́sicos, matemáticos, entre otros). Serán por tanto, denotados
como experimentos determinı́sticos, ya que independientemente de las veces que
se vuelvan a repetir (bajo similares condiciones), los resultados serán siempre los
mismos.
Posterior a esto, el profesor podrá proponer situaciones en las que no es posible
determinar con exactitud el resultado final o desenlace; dichas situaciones se
complementarán con algunas preguntas que acompañen la idea de la incertidumbre
presente en los experimentos. Se aclara que el tipo de situaciones se separarán en
dos bloques; el primero de ellos intenta ilustrar, únicamente, el concepto de experimento aleatorio, para analizar sus caracterı́sticas. Luego de esto, con el segundo
grupo de situaciones, se conducirá a los estudiantes a comprender los conceptos
de Espacio Muestral y de sucesos, mediante otro tipo de preguntas; las que permitirán a los alumnos visualizar los posibles resultados, ellos podrán identificarlos
en distintos experimentos y luego pasar a dar una definición formal de éstos mismos.
El tipo de situaciones a plantear, para el primer grupo, serán como las que siguen,
a) Si se contabiliza el número de vehı́culos que transitan por la esquina del liceo
durante el dı́a. Podrı́as adelantarte a asegurar, ¿cuántos autos pasarán entre
las 13 y las 14 horas?
15
ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO
b) En un partido cualquiera de la selección, se analiza la cantidad de tiros que
ataja el arquero chileno durante el transcurso del juego. ¿Cuál será el total de
tapadas?, ¿puedes responder con exactitud antes del partido?
c) Tienes la posibilidad de revisar tu correo electrónico solamente los dı́as
Domingo, ¿cuántos correos encontrarás en tu bandeja de entrada cada vez
que lo revises?
d) En una fruterı́a escoges tres naranjas para pesarlas y luego cancelar, ¿serı́as
capaz de asegurar cuánto pesan exactamente las naranjas seleccionadas?
e) Cada vez que vas al supermercado, te encuentras en las cajas con colas de
distinto tamaño. En un dı́a cualquiera, ¿cuántas personas exactamente pasarán
por las cajas en el transcurso de tu espera?. O bien, ¿cuántos de ellos cancelan
con tarjeta de crédito?
f) Para una tarea de lenguaje debes realizar una entrevista a algún personaje de
la ciudad, ¿cuánto crees que será la duración de la grabación?
g) De acuerdo a lo que caminas diariamente dentro del liceo. Con exactitud,
¿cuántos pasos darás en un dı́a cualquiera?, ¿a cuántos metros equivaldrán
estos?
Las situaciones antes propuestas buscan la comprensión del concepto de
Experimento Aleatorio. Las preguntas planteadas pueden ser complementadas por
otras que el docente estime convenientes. Cada ejemplo debe ser aprovechado para
representar además, sin tanta profundidad, los conceptos de Variable Aleatoria.
Considerando que cada situación se acompaña de un valor a estudiar; esta variable
puede ser también analizada, bajo las caracterı́sticas de los valores posibles que
tomará, siendo éstos continuos (medir algo, como en el ejemplo d) y f)) o discretos
16
ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO
(contar, como en a), b), c) y e)). En algunos casos, un mismo experimento puede
ser analizado bajo variables continuas o discretas, dependiendo de lo requerido,
tal como ocurre en el ejemplo g); donde la cantidad de pasos es un valor discreto, pero los metros a los que equivalen éstos, corresponde a una variable continua.
Otro aspecto importante es la relevancia del análisis de estas distintas situaciones, las que resultarán de utilidad en algunos estudios estadı́sticos. Tal como se
contabiliza el flujo de vehı́culos en las intersecciones de algunas calles, para estudiar
la instalación de un semáforo; ası́ como se analiza la cantidad de clientes en un
supermercado, para mejorar u optimizar el servicio. O bien, simplemente preocupa
el número de tapadas de un arquero, para determinar su nivel como jugador.
En la siguiente parte, es considerado el segundo grupo de situaciones,
h) Si estás jugando al cachipún con un amigo, ¿podrı́as asegurarte de ganar en el
primer intento?, ¿qué tipo de resultados pueden darse? (Espacio Muestral)
i) De una alcancı́a tratas de sacar unas monedas, solamente puedes retirar 2
monedas cualquiera, ¿tendrás certeza de cuánto suman ambas?, ¿qué posibles
resultados pueden darse?
j) Para la tarea de biologı́a, el profesor decide sortear las parejas que trabajarán
en ella. ¿De que género (sexo) será tu compañero de tarea?, ¿qué posibilidades
existen?
k) Conociendo a un nuevo compañero, le consultas si su equipo favorito es el
mismo que el tuyo, ¿qué posibles respuestas podrı́as obtener? ¿te adelantarı́as
a asegurar lo que responderá?
17
ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO
l) Si lanzas un dado al aire, y estudias el número resultante en la cara superior
¿qué posibles resultados existen?
m) Cada mañana, para asistir al liceo, tomas la primera micro (que llegue a tu
colegio) que pase por el paradero, ¿cuál será el último dı́gito en la patente de
la micro que tomes en un dı́a cualquiera?, ¿qué posibles resultados existen?
Estas situaciones, acompañadas por preguntas que ayuden a los estudiantes a
comprender el concepto de Espacio Muestral; requieren que el docente caracterice
dichas ideas y proponga finalmente una definición al concepto. Se visualiza que
los ejemplos permiten encontrar con facilidad los posibles resultados. De igual
modo, se deben identificar en las situaciones algunos sucesos, para que los alumnos
comiencen a manejar todos los conceptos requeridos para el estudio formal de la
teorı́a de la probabilidad.
En el ejemplo h), puede consultarse a los estudiante sobre los resultados
que permiten que se gane el juego; o bien, aquellos que favorezcan al oponente,
vislumbrando de ésta forma algunas ideas sobre lo que serı́a un suceso. También se
puede referenciar el ejemplo i), explicando que un grupo de resultados, tales como
los pares de monedas que suman más de $100, será considerado como un suceso;
del cuál a futuro se verán otras caracterı́sticas más especı́ficas.
3.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
Para finalizar la actividad se propone que el docente se apoye de las definiciones
de Espacio Muestral y Suceso, de ésta manera son formalizadas las ideas que los
18
ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO
estudiantes construyeron con los ejemplos, respecto a las particularidades de dichos
conceptos.
El docente también podrá presentar otros ejemplos y pedir a los estudiantes que
determinen los Espacios Muestrales, proponiendo con palabras algunos sucesos, para
luego ser identificados en concreto, de acuerdo a los elementos del Espacio Muestral.
Por ejemplo, para la situación de la patente de la micro, puede proponerse el evento
o suceso de que el dı́gito final corresponda a un número impar, un número primo o
un número mayor que 5, entre otros.
3.4
Sugerencias Finales
Hasta ahora las actividades que han sido propuestas representan una introducción a los conceptos requerido para el estudio de la teorı́a de probabilidad.
Importante es verificar que los estudiantes comprendan las ideas referidas a este
contenido. Por tanto, se debe procurar una constante evaluación de los aprendizajes
de los alumnos, consultando a la mayorı́a y haciéndolos participes de las actividades
en el aula.
En lo sucesivo, las actividades venideras se adentran en propiedades que permiten ir concretando los elementos requeridos para el cálculo de probabilidades. Encontrándose formalizaciones matemáticas más teóricas, que requerirán de un mayor
trabajo en clases, para procurar el aprendizaje de los estudiantes.
19
ACTIVIDAD 4
UN CONJUNTO DE
PROPIEDADES
Estudio de las Propiedades de la Teorı́a de Conjuntos útiles en Probabilidades.
4.1
Explicación de la Actividad
En estos momentos los estudiantes ya manejan los conceptos básicos asociados
a la teorı́a de la probabilidad. En más, para la presente actividad se requiere que
sean formalizadas las nociones de Espacio Muestral y Suceso. Se aclara que el Espacio Muestral es denotado por la letra griega Ω (omega mayúscula); y algún suceso o
evento de éste, es asignado por una letra mayúscula de nuestro alfabeto (A, B, C, ...)
Los objetivos de esta actividad, son entonces, poder enunciar eventos, mediante
palabras y desarrollarlo por extensión, enumerando los elementos de éstos. Se
tratarán además las nociones de complemento, intersección y unión entre sucesos.
Caracterizándolas mediante ejemplos que permitirán visualizar los elementos que le
van conformando en diversas situaciones.
Para finalizar, se trabaja el concepto de cardinalidad, determinando en algunos
Espacios Muestrales y sucesos, el valor de aquello. Y se deducirán las propiedades
básicas asociadas a la cardinalidad del complemento de un suceso y la unión entre
dos eventos.
20
ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES
4.2
Desarrollo de la Actividad
Comienza el trabajo de la actividad con un ejemplo que venga a reforzar las
ideas de la notación de un suceso y del Espacio Muestral. Es importante decir
que, en la mayorı́a de los experimentos aleatorios es necesario buscar los posibles
resultados. No obstante, para ejemplificar de mejor manera, serán utilizadas algunas
situaciones en que el Espacio Muestral es propuesto inicialmente.
El ejemplo introductorio será;
a) Un niño tiene el dı́a Lunes clases de Matemática, Música, Lenguaje, Historia
y Artes. Su madre ha forrado todos sus cuadernos del mismo color. En cierto
momento, el niño saca un cuaderno al azar desde su mochila, ¿a qué asignatura
corresponderá el seleccionado?.
Se tiene para esto, el Espacio Muestral dado por, Ω = {Música, Matemática,
Artes, Historia, Lenguaje}. El que es posible denotar por:
Ω ≡ Todos los cuadernos dentro de la mochila.
Surge ahora la pregunta, ¿qué cuadernos NO utilizará en la asignatura de
Lenguaje?. Considerando solamente un grupo de los que están en la mochila. A
saber, un grupo que forma parte del Espacio Muestral, se denominará subconjunto
de Ω. Es posible ahora resumir dicho grupo, denotándolo con un letra A, y concluir
que A = {Música, Matemática, Artes, Historia}. Hágase notar que todos los
21
ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES
elementos de A están en Ω, particularidad de ser un subconjunto (A ⊆ Ω).
El suceso A en palabras será:
A ≡ Cuadernos dentro de la mochila que NO son de Lenguaje.
Otro ejemplo de subconjuntos (suceso), serı́a considerar los cuadernos de las
asignaturas que terminan con la “letra a”. Será llamado B, en esta situación, B =
{Música, Matemática, Historia}, y en palabras se escribirá,
B ≡ Cuadernos de las asignaturas que terminan con la “letra a”.
Se sugiere por ejemplo, preguntar a algún alumno o alumna, cuáles asignaturas
le agradan, le desagradan o en cuáles tiene mejores calificaciones. De esta manera
se definirán otros subconjuntos.
C ≡ Cuadernos de las asignaturas que le gustan a Carolina.
D ≡ Cuadernos de las asignaturas en que Aranzazú tiene un promedio superior a 6.
En el momento en que el docente se asegura que los ejemplos han sido comprendidos; procede a caracterizar los conceptos de complemento, intersección y unión
entre conjuntos. Para aquello, una opción es mantener el mismo ejemplo de los
cuadernos, o bien proponer una nueva situación.
Para representar las siguientes propiedades, un ejemplo de utilidad serı́a:
b) Un grupo de 8 amigos se encuentran descansando en la plaza de Temuco (José,
22
ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES
Yanira, Luı́s, Marı́a, Manuel, Verónica, Nicolás y Javiera). De ellos se sabe que
solamente Marı́a, Javiera y Nicolás son de Temuco. Un turista los encuentra
y pregunta a uno de ellos (al azar) por una dirección dentro de la ciudad.
La situación se plantea bajo la lógica de un Experimento Aleatorio, por lo que,
Ω ≡ Los 8 amigos que descansan en la plaza.
De ésta situación se toman los sucesos.
A ≡ El consultado es de Temuco.
B ≡ El consultado es una mujer.
Obteniendo que,
A = {Javiera, Marı́a, Nicolás} y
B = {Yanira, Verónica, Javiera, Marı́a}
El docente podrá preguntar por aquellos jóvenes que NO son de Temuco,
se dirá que ellos son: José, Yanira, Luı́s, Manuel y Verónica. Quienes por dicha
particularidad se podrán identificar como el suceso,
Ac ≡ el consultado NO es de Temuco.
Usando esa notación, porque al comparar los integrantes de Ac , se asegura que
éstos son los amigos que NO son parte de los elementos de A. De otra forma, son
los jóvenes que le faltan a A para “completar” todo el grupo de amigos. De esta
23
ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES
manera, Ac es llamado el complemento de A. O sea A y Ac se “complementan”
para formar el total.
De forma similar, se puede ver que B c , serı́an los amigos que NO cumplen con
B, es decir
B c ≡ el consultado es un hombre.
Se supondrá ahora que al turista le “gustarı́a” ser ayudado por una persona
que sea de Temuco “o” por una mujer; para esa condición los jóvenes que pueden
ayudar al turista son: Javiera, Marı́a, Nicolás, Verónica y Yanira.
Resulta importante que el alumno visualice la idea de que estos jóvenes cumplen
con pertenecer a A “o” pertenecen a B. De esta forma, ellos serán considerados
como integrantes del suceso A ∪ B, que se refiere a la unión de los conjuntos A y B
(compuesto por los elementos que pertenecen a A “o” que pertenecen a B).
Posteriormente, se planteará a los estudiantes que por las intenciones del turista,
es lógico que lo que realmente le conviene a él, es ser ayudado por una mujer que
sea de Temuco. Es decir, una persona que cumpla las condiciones de ser de la
ciudad (A) “y” de ser mujer (B). Las niñas que ayudarán de mejor forma al turista
serán Javiera y Marı́a; ellas cumplen con la condición A y B, al mismo tiempo. Se
llamará ésta idea la intersección entre A y B, denotado por A ∩ B y formado por
los elementos que tienen en común A y B.
Una vez que se han visto estas ideas, el docente comentará el concepto de
24
ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES
cardinalidad de un conjunto, explicándolo como el número de elementos presentes en éste. Ası́, encontrar la cardinalidad del Espacio Muestral, denotado por
#(Ω), consiste en contar los posibles resultados del Experimento Aleatorio. Una
observación importante, es que la cardinalidad será siempre un número Natural
(porque se está contando) y particularmente, #(Ω) ≥ 2; ya que si se refiere a un
Experimento Aleatorio, el Espacio Muestral deberá poseer, al menos, dos opciones
(para reafirmar la idea de incertidumbre).
Del ejemplo a), se obtiene que #(Ω) = 5, en el caso de la situación en b),
#(Ω) = 8. Se intenta de esto, poder reconocer algunas propiedades; en consideración
del ejemplo b). Si de dicha situación se busca #(A), la que es igual a 3. Al mismo
tiempo, #(Ac ) = 5. Para el suceso B, se dirá que #(B) = 4 y #(B c ) = 4. La
conclusión que se debe considerar es que si (Ac ) está conformado por los elementos
que no están en A, se cumplirá siempre que:
#(A) + #(Ac ) = #(Ω)
Finalmente, se consulta a los estudiantes sobre cómo calcular #(A ∪ B). Una
posible respuesta es la idea de que se conocen los integrantes de A ∪ B, los que
son Verónica, Yanira, Javiera, Marı́a y Nicolás; por lo que #(A ∪ B) = 5. No
obstante, es posible proponer la opción de contabilizar los elementos de A y los
elementos de B, pero al sumar éstas cantidades, se estarán contando dos veces
algunos integrantes. Ya que si #(A) = 3 y #(B) = 4, es claro que se cuenta a
Javiera y Marı́a en ambos casos. Se debe recordar, que éstas dos niñas cumplı́an
con A y con B, al mismo tiempo, lo que fue llamado A ∩ B.
25
ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES
Por tanto, para considerar #(A ∪ B), se tomará #(A) y #(B), pero se deberá
quitar los elementos repetidos, que fueron encontrados con #(A ∩ B). Es decir:
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B)
4.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
Un detalle importante al cierre es proponer ejemplos en los que la intersección
de los conjuntos no existe, y de ésta forma mostrar que esos casos la manera de
calcular la cardinalidad de la unión será dada por
#(A ∪ B) = #(A) + #(B)
Se comentará que estas nociones de contar, hasta ahora serán vistas bajo la lógica
de que las cardinalidades requerirán de enumerar los elementos de cada conjunto.
Mas, en las actividades venideras, se verá que es posible encontrar las cardinalidades
utilizando métodos más rápidos y precisos.
4.4
Sugerencias Finales
Recomendable puede resultar ejemplificar las situaciones mediante diagramas
de Venn, para que los alumnos identifiquen los conceptos de intersección y unión de
manera más gráfica. Más aún, se pueden entregar algunos datos, en alguna situación,
para que ellos efectúen el diagrama de Venn y hagan coincidir las cardinalidades
implicadas en el problema.
26
ACTIVIDAD 5
NUEVAS FORMAS DE CONTAR
Desarrollo de las Propiedades de la Teorı́a Combinatoria y el Principio de
Multiplicación.
5.1
Explicación de la Actividad
Considerando
que los estudiantes ya manejan los conceptos de Espacio
Muestral y Suceso; reconociendo que los posibles resultados de un experimento
aleatorio permiten tener una primera impresión sobre el número de situaciones que
se enfrentarán, una vez que se llevan a cabo estos experimentos.
Por tanto, para ser más precisos, el docente iniciará la actividad comentando
la importancia de conocer con exactitud el número (o cardinalidad) de posibles
situaciones que se presentan en diversos modelos aleatorios. En este caso, el profesor
hará énfasis en el hecho de que ante algunas situaciones es fácil encontrar el número
de posibles desenlaces, tal como se vio en la actividad anterior, pero en otras
ocasiones la manera en que se contabiliza se ve limitada, en concordancia a las
herramientas básicas de conteo.
Surge entonces la necesidad de conocer nuevas formas de sacar cuentas y, como
ocurre con el diagrama de árbol, en momentos especı́ficos ayudarse por algún
esquema representativo. Este tipo de diagramas deberá por tanto ser ejemplificado
por el docente; se propone en la actividad un ejemplo desarrollado con diagrama
27
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
de árbol, pero serı́a una buena opción plantear otros más. A su vez, la forma en
que se construye un diagrama, deberá ser conocida por los estudiantes antes del
desarrollo de la actividad; el docente deberá por tanto enseñar a los estudiantes
dicho contenido.
El objetivo perseguido por la actividad es proponer a los alumnos nuevas
formas de contar, que son útiles a la hora de trabajar con Espacios Muestrales
o Eventos que presentan una gran cantidad de elementos; o en otras palabras,
cuando las posibilidades son muchı́simas. Dentro de esto mismo, se hará referencia
a la necesidad de abordar un principio de conteo, que facilite el trabajo que
puede realizarse mediante un diagrama de árbol; el cual es útil en cierto tipo de
situaciones. De esto se desprende la importancia de procurar la enseñanza del principio de la multiplicación; situación que también se aborda en la presente propuesta.
5.2
Desarrollo de la Actividad
Para comenzar la actividad se planteará a los estudiantes una situación
referente a la elección de un uniforme de un equipo de básquetbol; esta situación se
irá complementando con otras condiciones que van reafirmando las deducciones y
al mismo tiempo, van agregando dificultades en la resolución de las interrogantes.
Secuenciadamente, los alumnos irán advirtiendo la lógica que propone el principio
de la multiplicación para enumerar los posibles resultados de un experimento
aleatorio.
Primeramente, el ejemplo tratado será de la siguiente manera:
28
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
- En un equipo de básquetbol, se les da a elegir a los jugadores los colores
del uniforme a utilizar; para la polera están disponibles el verde, el azul y el
rojo; en el caso del pantalón, pueden escoger entre blanco, negro, rojo y azul.
Determinar todas las posibles combinaciones de uniforme a seleccionar.
En esta situación se propone que los estudiantes puedan representar los distintos
tipos de uniforme mediante el llamado diagrama de árbol, para visualizar como se
van conformando las parejas resultantes.
Polera Pantalón
B
x<
xx
x
x
xx lll5 N
xlxllll
VJ FRFRRRR
FF RRR
FF )
FF R
FF
"
A
<B
xx
x
x
xx 5
xxlllll N
x
xl
/ A lRlR
•)
FF RRR
))
FF RRR
FF )
))
FF R
FF
))
"
))
A
))
))
B
))
x<
))
xx
x
x
))
xx ll5 N
lxxlxllll
R RFFRRRR
FF RRR
FF )
FF R
FF
"
A
(V,B)
(V,N)
(V,R)
(V,A)
(A,B)
(A,N)
(A,R)
(A,A)
(R,B)
(R,N)
(R,R)
(R,A)
Posterior a eso pueden ser planteadas preguntas como las siguientes.
a) ¿Cuántos tipos de uniformes pueden ser escogidos por los jugadores?
b) ¿Cuál es el número de uniforme en que la polera NO es verde?
29
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
Inmediatamente, para la pregunta a), los estudiantes lograrán reconocer que es
posible formar 12 tipos de uniformes distintos; estos uniformes pueden resumirse
como duplas compuestas por (polera, pantalón). Entonces, se puede decir que si la
polera es de color Verde, ésta podrá ir acompañada por los 4 pantalones distintos,
formando las duplas (V, B), (V, N), (V, R) y (V, A); de igual forma, para la
polera de color Azul, ésta estará acompañada por los 4 pantalones, ası́ como la
polera Roja, formará otras 4 duplas. Lo que en resumidas cuentas, permite decir
que se han formado 3 (poleras) grupos de 4 (pantalones) duplas cada uno, lo que
completan las 12 duplas contabilizadas.
En virtud del diagrama, para la pregunta b), los alumnos podrán contabilizar
8 duplas en las que la polera no es verde; lo que se justifica por el hecho de tener
ahora 2 (poleras) grupos de 4 (pantalones) duplas; que sumados completan las
mencionadas 8 duplas.
Formulando una nueva situación, ahora se pueden escoger 5 colores de poleras
y 4 colores para el pantalón, ¿cuántos tipos de uniformes se podrán formar?.
Para resolver ésta nueva interrogante, se espera que los estudiantes no acudan al
diagrama de árbol. Sin embargo, si es necesario, pueden confeccionarlo, pero las
conclusiones realizadas deben estar en virtud de que bajo la lógica mencionada
anteriormente, es posible contabilizar las duplas sin necesidad del diagrama. En
este caso, si se tienen 5 posibles colores para las poleras, y 4 para los pantalones;
cada polera formará 4 duplas, con los respectivos pantalones. Por tanto, se tendrán
5 grupos de 4 duplas cada uno, los que suman 20 posibles duplas.
El siguiente, es un pequeño esquema de utilidad para conocer la forma en que
30
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
se calcula, de manera inmediata, la cantidad de duplas.
Polera
Pantalón
En este esquema, las dos casillas, son completadas por las combinaciones
posibles, entre poleras y pantalones. Teniendo para la primera casilla 3 opciones;
Verde, Azul y Roja. En el caso de la segunda casilla, se presentan 4 opciones;
Blanco, Negro, Rojo y Azul. Por lo que dichas opciones se representan como,
Polera
Pantalón
×
3
4
= 12
De acuerdo a la situación planteada, en que se tienen para escoger 5 colores de
poleras y 4 colores para el pantalón; dar respuesta a esta interrogante consistirá en
representar el esquema como sigue,
Polera
Pantalón
×
5
4
= 20
Suponiendo ahora que el uniforme de los seleccionados, aparte de contener
la polera y el pantalón, incluirá las calcetas. Se propone la idea de que para
las poleras, pantalones y calcetas, existen 2 colores solamente; Verde y Rojo.
De esta manera el estudiante, si desea podrá identificar los posibles trı́os que se
forman, anotándolos uno por uno. Sin embargo, una observación que surge es que
si se deja de lado el color de la calceta; entre la polera y el pantalón es posible formar:
Polera
2
Pantalón
×
2
= 4 duplas
31
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
Dichas duplas pueden ir acompañadas por la calceta de color Verde o la calceta
de color Rojo, lo que permite decir que se forman 2 grupos de 4 trı́os cada uno
(un grupo con la calceta Verde y otro con la calceta Roja). A saber, los trı́os que
se conforman por (polera, pantalón, calceta) serán; (R, R, R); (R, R, V); (R, V,
R); (R, V, V); (V, R, R); (V, R, V); (V, V, R) y (V, V, V). Se propone nuevamente el esquema utilizado en las situaciones anteriores, en este caso denotado por,
Polera
Pantalón
Calceta
Para ésta situación, se reconocen en cada casilla las respectivas opciones de las
poleras, pantalones y calcetas; como cada una de ellas posee 2 opciones, el esquema
permite afirmar,
Polera
2
Pantalón
×
2
Calceta
×
2
= 8 trios
Este principio que ya es familiar, puede servir para pensar en una nueva opción
de uniformes, en que las poleras están disponibles en 4 colores, los pantalones en 5
y las calcetas en 3 colores, ¿cuántas opciones de uniformes se contabilizan?
Polera
4
Pantalón
×
5
Calceta
×
3
= 60 trios
Una vez tratados estos ejemplos, se formaliza al estudiante el principio de la
multiplicación; que permite resolver problemas de combinatoria y será de bastante
utilidad a la hora de calcular probabilidades. Como se mostró en las situaciones de
los uniformes, el principio es basado en la conformación de casillas que son llenadas
32
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
por los elementos que pueden ser ubicados en ellas. Una observación importante, es
que este ejemplo mediante un diagrama de árbol, será posible desarrollarlo, pero
requerirá de mucha paciencia.
Como es sabido, es necesario presentar otras situaciones a los alumnos para que
puedan entender claramente el principio. De esta manera, se propone la siguiente
situación:
- Para un concurso de baile, hace falta solamente una pareja para completar los
cupos; en el salón hay 5 mujeres y 3 tı́midos varones que no han ingresado
aún en la competencia. ¿Cuántas posibles parejas pueden formar estas ocho
personas, para conformar la dupla faltante en el concurso?
Para dar respuesta a la situación, es de utilidad el siguiente esquema.
Mujer
Varón
Como fue visto en los ejemplos anteriores, bastará con multiplicar la cantidad de
mujeres, por la cantidad de varones para determinar el número de posibles parejas,
las que serán
5 × 3 = 15 parejas
Se verifica por tanto la utilidad que presenta este principio y lo fácil de tratar
que puede resultar para los estudiantes. Se debe considerar la idea de que en esta
situación, aún es posible el desarrollo de la misma, mediante un diagrama de árbol.
Sin embargo, el ejemplo a continuación, al igual que otras situaciones, resultarı́a
33
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
muy difı́cil de resolver con dicho diagrama.
En base a lo expuesto en el párrafo anterior, se plantea la siguiente interrogante:
- ¿Cuántas números pares de 3 dı́gitos existen?
Dicha situación resulta ser interesante por el hecho de que contabilizar estos
números no es complicado, ya que se verifica que los números de 3 dı́gitos son
aquellos que están entre 100 y 999, inclusive; los que completan 900 posibilidades. A
su vez, es claro que entre estos números hay pares e impares, en igual cantidad, ya
que si 100 es par, 101 es impar y ası́ sucesivamente; es decir, la mitad de los números
es par y la otra mitad es impar. Por tanto los números con dichas condiciones son 450.
No obstante, el principio de la multiplicación es de utilidad para contabilizar
estos números, se considera el esquema siguiente:
Centena
Decena
Unidad
En el caso de las Centenas, los dı́gitos que podrán ubicarse en este casillero,
deben ser distintos de 0, como única condición (083 no es un número de tres
dı́gitos); por tanto existen 9 opciones. En cuanto a las Decenas, pueden ubicarse
todos los dı́gitos sin restricciones, teniendo 10 opciones. Finalmente, se sabe que un
número par debe terminar en un dı́gito par; por lo que serán favorables los dı́gitos
0, 2, 4, 6 y 8, los que contabilizan 5 opciones.
Centena
9
Decena
×
10
Unidad
×
5
= 450 números pares.
34
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
Es posible comprobar de esta manera, que el principio de la multiplicación, tal
como dice el tı́tulo de la actividad, es una “nueva forma de contar”. Del mismo
modo en que se puede hacer bajo otros métodos, este principio permite clarificar
las opciones ante cierta situación; lo que como se ha dicho, es de utilidad para la
resolución de problemas de probabilidad.
Seguidamente, se propone un problema que se adecua a algunas de las situaciones de probabilidad, ya que de cierta manera, representa las ideas bajo las cuales
son extraı́das las muestras aleatorias en estudios estadı́sticos.
El problema a plantear es el siguiente,
- En una urna hay 25 bolitas azules, 15 bolitas rojas, 10 bolitas negras y 15
bolitas verdes. Se extraen cinco bolitas SIN reemplazo.
a) ¿Cuántos opciones hay de que las 5 bolitas extraı́das sean de color Negro?
b) ¿Cuántas posibilidades hay de sacar las dos primeras bolitas de color Rojo
y las siguientes de color Azul?
Para proceder a responder las preguntas, es necesario reconocer que el esquema
a plantearse contendrá 5 casillas. Cada casilla representará el orden en que son
retiradas las bolitas. Un detalle importante es que la extracción de las bolitas se
produce sin reemplazo; por lo que si en la primera extracción, por ejemplo, se
obtiene una bolita azul, para la segunda extracción habrán 24 bolitas azules y
quedarán 64 bolitas en la urna.
La pregunta a), debe considerar que para la primera extracción hay 10 bolitas
negras disponibles, pero en la segunda habrán sólo 9 y ası́ sucesivamente. Por lo
35
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
que, se aborda el problema de la siguiente manera,
10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30.240
Para la pregunta b), el esquema entonces será,
15 × 14 × 25 × 24 × 23 = 2.898.000
Existen por tanto, 30.240 posibilidades en las que la extracción de las 5 bolitas
termina con la obtención de todas ellas de color Negro. Y las posibilidades de extraer las 2 primeras bolitas de color Rojo y las otras de color Azul serán 2.898.000.
Números cuya asimilación permitirán, más adelante, comprender la gran cantidad
de posibilidades que se presentan en algunas situaciones especı́ficas; tales como la
confección de una patente o el sorteo de un juego de azar.
5.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
En el momento del cierre, el docente podrá realizar un resumen de las nuevas
formas de contar expuestas anteriormente; siendo majaderos, el principio de la
multiplicación es un contenido de la teorı́a combinatoria que debe ser tratado como
un elemento indispensable para el cálculo de probabilidades. Considerándolo una
alternativa valiosa para encontrar la cardinalidad de los Espacios Muestrales y de
los Sucesos.
Una buena opción complementaria a la propuesta, es presentar a los alumnos
problemas de permutaciones, para que identifiquen otras maneras de contar;
adquiriendo también herramientas que van facilitando los desarrollos de las futuras
36
ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR
situaciones de probabilidad.
5.4
Sugerencias Finales
Las propiedades estudiadas en ésta propuesta requieren de un desarrollo de
habilidades de conteo por parte del estudiante; ası́ como desde pequeños, se van
perfeccionando las técnicas de conteo, ya sea de uno en uno o luego de grupos más
grandes de elementos; o tal vez aprovechando las operatorias básicas, como la suma
y la multiplicación; el ser humano es capaz de encontrar “atajos” para mejorar y
agilizar la manera en que cuenta. Del mismo modo se propone que sean ejercitados
estos principios de conteo, para que los estudiantes vayan encontrando relaciones
de utilidad para ir precisando sus formas de contar; en este caso bajo el principio
de la multiplicación y otros principios más.
En este sentido, la siguiente propuesta didáctica presenta algunos tipos de ejercicios a ser tratados para el logro de estos objetivos.
37
ACTIVIDAD 6
A CONTAR, QUE NO SE NOS
DEBE OLVIDAR
Actividad Orientada a la Aplicación de las Técnicas de Conteo a Situaciones
Cotidianas, Calculando Espacios Muestrales y la Cardinalidad de Ciertos Sucesos.
6.1
Explicación de la Actividad
Durante esta actividad se debe procurar que los estudiantes vayan aplicando
los contenidos tratados sobre las formas de contar; a través de los diagramas de
árbol, permutaciones, combinatorias o el principio de la multiplicación. Se hará de
esta forma que los alumnos logren calcular los Espacios Muestrales y las cardinalidades de algunos sucesos, implicados en los experimentos aleatorios que se proponen.
6.2
Desarrollo de la Actividad
Para reforzar y aplicar los contenidos antes tratados, se plantean las actividades detalladas a continuación:
1) En el juego del Cachipún, los competidores tienen tres opciones de juego;
Piedra, Papel o Tijera. Las reglas son claras, quien saca Piedra vence a la
Tijera, pero la Tijera gana al Papel y el Papel vence a la Piedra.
38
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
Planteando a los estudiantes este juego para su estudio; analizando las posibles
combinaciones resultantes y, sin aún conocer algunos conceptos, identificar con ello
que este es un juego equitativo, por la equiprobabilidad de sus resultados.
El siguiente diagrama representa las posibles situaciones que se pueden dar con
el juego del cachipún entre dos niños. Se propone que de esta forma, el docente
pida que los estudiantes realicen el diagrama de árbol respectivo, para que puedan
responder a las preguntas que se plantean posteriormente. (En el diagrama: R
representa Piedra, T es Tijera y P es Papel).
1er Niño 2do Niño
5R
jjjj
j
j
j
jj
/P
R
E TTTTTT
TTT)
T
j5 R
jjjj
j
j
j
/ P TjT
/P
•3
TTTT
33
TTT)
33
T
33
33
33
j5 R
3
jjjj
j
j
j
j
/P
T TTTTT
TTTT
)
T
(R,R)
(R,P)
(R,T)
(P,R)
(P,P)
(P,T)
(T,R)
(T,P)
(T,T)
¿Cuántos elementos componen el Espacio Muestral de este experimento?
¿Cuántas opciones permiten que gane el primer niño?
¿Cuántas posibles combinaciones producen un empate entre los jugadores?
¿Cuál de los dos niños tiene más opciones de ganar?.
Las preguntas quedan planteadas para que los estudiantes se dediquen a contestarlas; como ha sido visto, el diagrama de árbol permite analizar esta situación y
39
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
facilitará encontrar las cantidades consultadas en las interrogantes.
Los posteriores ejemplos, son presentados bajo el principio de la multiplicación
y se desarrollarán parcial o completamente, los que serán propuestos a modo de
actividad para los estudiantes.
2) Se comenta ahora a los alumnos, sobre el nuevo sistema de patentes introducido
en Chile.
Desde finales del año 2007, se comenzó a identificar los automóviles con
patentes que contienen 4 letras, seguidas de 2 números. Existió controversia en
un comienzo sobre la posibilidad de que se dieran patentes con alguna combinación de 4 letras, que podrı́a causar algún malentendido. Un ejemplo de
esto es el hecho de resultar incómodo para el dueño del vehı́culo cuya patente
fuese VACA-07, LOCO-99 ó MONO-21 y, peor aún si alguna palabra con doble
sentido figurase en alguna patente. Finalmente una decisión rápida fue eliminar
del sistema de numeración las vocales. Se plantean entonces las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas combinaciones son posibles con el definitivo sistema de numeración?
b) ¿Cuál es el número de patentes que fueron eliminadas al suprimir las vocales
de dicho sistema? (antes de calcular), ¿crees que es insignificante esta cantidad?
c) ¿Cuántas patentes contienen el número 13?
d) ¿Cuántas de ellas terminan en la combinación 07?
40
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
De esta manera, se tiene una buena forma de permitir a los estudiantes que
apliquen las propiedades del principio de la multiplicación visto anteriormente. El
docente por tanto podrá incitar el trabajo grupal, para que los alumnos comenten
ésta actividad y respondan a las interrogantes planteadas.
Se verán de forma resumida algunas indicaciones para la resolución de los problemas. La primera pregunta puede ser abordada mediante un esquema, en el que
los estudiantes identifiquen con claridad que el principio de multiplicación permitirá
dar respuesta a la interrogante.
Conformación de la Patente
Letra ×
Letra ×
Letra × Letra ×
Número × Número
Si la cantidad de letras del abecedario es 26, y se descartan de ellas las vocales,
se tienen 21 posibles letras que irán en las 4 primeras casillas de las patentes. En
cuanto a los dı́gitos, desde el 0 al 9, existen 10 posibilidades. Por lo que, las posibles
combinaciones serán:
21 × 21 × 21 × 21 × 10 × 10 = 19.448.100
Es decir, la cantidad de patentes que se pueden formar de dicha forma son cerca
de 20 millones; lo que obviamente asegura un sistema de identificación que durará
por bastantes años más.
Considerando la segunda pregunta; lo que se recomienda es calcular el número
de patentes que se forman usando todo el abecedario, para luego realizar la resta
con el número obtenido en la situación anterior.
41
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
Si son incluidas las vocales, el número de patentes asciende a:
26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 45.697.600,
Lo que permitirá deducir que la cantidad de patentes eliminadas es similar o
mayor que la cantidad de patentes que posee el sistema actual. Importante resulta
destacar que la forma más rápida de eliminar el problema comentado, referente a las
palabras de cuatro letras, era desechando las vocales de las patentes. Pero tal vez,
no haya sido la mejor opción; a pesar de que eliminar solamente las combinaciones
conflictivas, hubiese causado un problema muchı́simo más complicado; y en cierto
modo no serı́a claro cuales, especı́ficamente, son las palabras que se deben eliminar.
Abordar los problemas c) y d), requieren del mismo análisis para ambos. Lo
único necesario es contar todas las maneras en que pueden tomarse 4 letras para
acompañar a estos números. Es decir, a cada uno de ellos se le asocian,
21 × 21 × 21 × 21 = 194.481 palabras.
Resultarı́a interesante mostrar a los alumnos que el antiguo sistema de patentes,
con 2 letras y 4 dı́gitos; poseı́a 6.760.000 posibles numeraciones, lo que le permitió
mantenerse vigente durante un par de décadas.
3) Un nuevo problema a plantear, consiste en estudiar cuántos números de cuatro
dı́gitos son mayores que 2400 y cumplen algunas caracterı́sticas adicionales.
Tales como,
a) tienen todos los dı́gitos diferentes
42
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
b) no tienen dı́gitos iguales a 3, 5 ó 6
d) tienen las caracterı́sticas de a) y b) simultáneamente
Dichas situaciones serán abordadas con las propiedades de conteo vistas en el
capı́tulo anterior. Sin embargo, este tipo de problemas requiere de un estudio más
recatado, propiciando un conteo por casos, ya que el hecho de necesitar números
mayores que 2400, restringe las posibilidades para el primer y segundo dı́gito (no
es posible poner por ejemplo, el número 1 en la primera posición). Se pasa ahora a
analizar la primera pregunta.
En primera instancia, se enfoca el conteo de los números que están entre 2400
y 2999. Es decir, aquellos que comienzan con el dı́gito 2 y, cuyo segundo dı́gito
sea mayor o igual que 4, por lo que para la segunda ubicación se tienen 6 posibilidades. Los números que cumplen las caracterı́sticas serán calculados de acuerdo a,
1 × 6 × 8 × 7 = 336
Esto debido a que el primer dı́gito fue fijado (era el número 2), luego para la
segunda ubicación, quedan 6 opciones (los dı́gitos 4, 5, 6, 7, 8 ó 9), en el caso de la
tercera ubicación hay 8 posibilidades (todos los dı́gitos distintos de 2 y del ubicado
en la segunda posición), y finalmente para la última quedarán 7 dı́gitos. Se anotan
entonces, 336 números en la primera contabilización.
En el segundo caso, considerar los números entre 3000 y 9999; se cuentan estos
números con el siguiente producto,
7 × 9 × 8 × 7 = 3528
43
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
El análisis es parecido, en este caso para la primera ubicación, se cuentan los
dı́gitos entre 3 y 9, para el segundo valor sirven todos los que sean distintos al
ubicado primero y ası́, se procede a ubicar los 2 últimos bajo el mismo razonamiento.
Finalmente se deben sumar las dos cantidades obtenidas, por tanto los números
de 4 cifras, mayores que 2400 y con todos sus dı́gitos distintos son 3864.
Para la pregunta b), se utilizan los mismos argumentos, pero en esta situación es
posible repetir los dı́gitos, lo que es una caracterı́stica importante a considerar. Una
vez resueltos ambos problemas, la forma en que se desarrolla la parte c), resultará
bastante sencilla para los estudiantes.
4) Un último problema que se recomienda sea tratado en la actividad, consiste
en calcular todas las formas en que pueden ser extraı́dos los 6 números correspondientes al sorteo del Loto.
Para dar respuesta a la interrogante referente al conocido juego de azar de
nuestro paı́s, los estudiantes requieren de un análisis muy similar a los realizados
anteriormente. Es importante considerar que el estudio de esta situación permitirá
crear una noción en los estudiantes de la gran cantidad de combinaciones que son
posibles de ocurrir en un sorteo cualquier. Sin embargo, un detalle importante a
considerar, es que este cálculo planteado considerará como distintos resultados el
hecho de que los números sean extraı́dos de la forma (1, 2, 3, 4, 5 y 6), al hecho
de extraerlos en el orden (1, 3, 2, 4, 5 y 6). Es decir, las permutaciones entre los 6
elementos serán consideradas como situaciones distintas. Esta observación permite
considerar que a la hora de calcular la probabilidad de obtener el premio del Loto,
44
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
es necesario contar solamente en una ocasión las combinaciones propuestas a modo
de ejemplo.
A saber, la cantidad de posibles extracciones que se pueden hacer en el sorteo
del Loto será calculada por,
39 × 38 × 37 × 36 × 35 × 34 = 2.349.088.560
Lo que para algunos, lamentablemente convierte a la mayorı́a de los apostadores
en ingenuos seguidores de la suerte.
6.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
Las situaciones planteadas en este capı́tulo intentan reforzar en los estudiantes
el estudio de la cardinalidad de los Espacios Muestrales y Sucesos, en base a los
principios de conteo. Es importante que el docente haga hincapié en la gran utilidad
que entregan dichos principios. La conexión entre la aplicación de los diagrama
de árbol y las propiedades del principio de multiplicación debe ser resaltada; ya
que como se ha dicho, una forma esquemática de contar puede ser apoyada por el
diagrama, pero si se requiere de mayor rapidez y, en cierto modo precisión a la hora
de contar, lo más adecuado es acudir al principio multiplicativo.
Otros problemas similares pueden ser planteados como interrogantes a la hora
de concluir la actividad, para que los estudiantes despierten la curiosidad por dar
respuesta a preguntas que pueden encontrar en la cotidianidad.
45
ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR
Finalmente se propone que el docente concluya, y complemente las actividades
con preguntas que vayan avanzando en nociones de probabilidad, tal como puede ser
aprovechado el ejemplo del cachipún para ello; las demás situaciones permiten dejar
planteadas interrogantes sobre las probabilidades de ciertos sucesos implicados en
éstas.
6.4
Sugerencias Finales
La resolución de problemas de este tipo, dependerá de la forma en que el
profesor desee apuntar al logro de objetivos; es deseable que sean considerados otros
ejemplos, tales como el sistema de funcionamiento de las máquinas de los casinos.
Una pequeña investigación al respecto puede llevar a sacar conclusiones, en conjunto
con los estudiantes, bastante novedosas. Simplemente se necesita cuestionar cosas
tan sencillas, como el hecho de que los dueños de casinos estén tan interesados en
abrir nuevos locales, para poder aumentar sus ganancias a costa de la ingenuidad
de la gente. O ¿será posible que las opciones de ganar estén equilibradas para el
apostador y el casino?
46
ACTIVIDAD 7
LO CLÁSICO EN
PROBABILIDADES
Desarrollo del Concepto de Probabilidad Clásica y la Fórmula de Laplace para el
Cálculo de Probabilidades.
7.1
Explicación de la Actividad
La actividad propuesta para este contenido busca guiar a los estudiantes en
concluir la necesidad, en la que se basa la teorı́a de la probabilidad clásica, de
suponer cierto tipo de experimentos como sucesos equiprobables. De este modo se
analizan las caracterı́sticas y propiedades de dichos eventos.
Se trabajarán experimentos aleatorios con sucesos equiprobables, los que serán
abordados de modo que se irán planteando preguntas que guiarán a los estudiantes
para que deduzcan ellos mismos, situaciones en las que se encuentran ante sucesos
con igual probabilidad. Avanzando de esta forma en la actividad, se busca que los
estudiantes comprendan el por qué se plantea que el cálculo de la probabilidad
clásica, implica considerar la cantidad de casos posibles y la cantidad de casos favorables, para con ello aplicar la proporción y obtener la probabilidad de cierto suceso.
El objetivo de la actividad, por tanto, es que el docente vaya guiando a los
alumnos para que ellos identifiquen la fórmula de probabilidad clásica como una
47
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
noción matemática, que nace de la deducción humana; surgida por el análisis de
situaciones similares a las que los estudiantes revisarán en esta parte del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Como ya se han manejado los conceptos de Espacio Muestral, Suceso y otros
necesarios para la comprensión de las propiedades de la probabilidad clásica; es de
esperar que simplemente baste un repaso mediante ejemplos, que retraten de la
forma más sencilla y concreta a los alumnos, las caracterı́sticas propias de estos.
Sin embargo, se hace hincapié que algunas notaciones necesarias para esta parte
de la unidad deben ser vistas en estos momentos, tales como la probabilidad de un
suceso A, denotado por P(A).
7.2
Desarrollo de la Actividad
Progresivamente el docente irá situando a los estudiantes ante experimentos
aleatorios con distintas caracterı́sticas, la particularidad de ellos es la equiprobabilidad de sus sucesos, lo que permitirá deducir de ésta forma, la fórmula del cálculo
de probabilidad clásica dada por Laplace.
Se proponen a continuación algunas situaciones, en el orden progresivo que se
busca, las que se complementan con preguntas que favorecen las conclusiones de los
estudiantes.
a) En una caja oscura, se sabe que hay 100 bolitas, de éstas hay 90 bolitas azules,
5 bolitas verdes y 5 bolitas rojas. Se extrae una bolita al azar.
48
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
- ¿Qué es más probable, extraer una bolita azul o una roja?
- ¿Qué color de bolitas tiene más posibilidades de salir?
- ¿Crees que es más probable sacar una bolita roja que una verde? ¿Por qué?
Observación: Este tipo de ejemplos hará en el estudiante crearse la idea de que
hay situaciones en que los sucesos estudiados no poseen iguales posibilidades de
ocurrir, lo que más adelante se le darán a conocer como sucesos no equiprobables.
b) Suponer la situación de que un equipo de fútbol está 5 puntos por debajo del
puntero del torneo, quedando solamente un partido. De acuerdo a los posibles
resultados del último partido que dispute el equipo.
- ¿Cuáles son los posibles resultados del encuentro?
- ¿Cuántas opciones hacen que el equipo sobrepase al puntero?
- ¿Qué probabilidad posee el equipo de salir campeón?
Observación: En esta situación se busca que el estudiante identifique que es “imposible” que el equipo sobrepase al lı́der, que en otras palabras de dice que tiene
“cero” posibilidades (probabilidades) de salir campeón.
c) Si dentro del curso se selecciona un estudiante, ¿Qué posibilidades existen de que
el alumno o la alumna tenga menos de 20 años de edad?
- ¿Se tendrá la certeza de que eso ocurrirá? ¿Por qué?
- Del total de estudiantes de la clase, ¿cuántos de ellos tienen menos de 20 años
de edad?
Observación: Con el ejemplo mencionado se intentará que los estudiantes utilicen
la idea de que están completamente seguros de que el suceso ocurrirá. Es decir,
49
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
que expresen que están “cien por ciento seguros” de que la situación ocurrirá al
realizar el experimento. Lo que será complementado más adelante, cuando sea
denotado con el valor 1.
d) Del ejemplo planteado en el capı́tulo anterior, referente al cachipún, se habı́a
intentado deducir que dicho juego era equitativo, ya que las posibilidades de
ganar, empatar o perder eran las mismas para ambos jugadores.
- Se vuelve a preguntar ¿cuántas opciones dan como ganador al segundo niño?
- Si el primer niño saca Tijera, ¿cuántas opciones tiene su contrincante para
ganar?
Observación: Este ejemplo proporciona las bases para poder deducir la equiprobabilidad en situaciones sencillas, es claro que ningún jugador tiene más opciones
de ganar.
e) Lanzar una moneda al aire
- Qué opción presenta más posibilidades de salir, ¿cara o sello?
- ¿Por qué razón crees, que en los partidos de fútbol, el árbitro arroja una moneda
al aire para que los capitanes escojan el lado en que desean jugar?
- ¿Podrán los futbolistas asegurar que una opción (cara o sello) tiene más opciones, para tener certeza de que ganarán el sorteo?
Observación: Finalmente ejemplos como estos intentan que el estudiante deduzca
las caracterı́sticas de sucesos equiprobables y también comprendan que en ocasiones, convenientemente se definen distintos sucesos como equiprobables; lo que
suele suceder cuando no se tiene la certeza de afirmar lo contrario.
50
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
Para continuar la actividad se explicará a los estudiantes la forma en que las
probabilidades se reparten equitativamente entre sucesos equiprobables, para ası́
hacer comprender que las probabilidades se van conformando como la relación
existente entre los casos favorables y los casos posibles.
Un detalle importante es que una fórmula requerida para determinar las
probabilidades, debe tener la caracterı́stica de que un suceso con más elementos,
tiene una mayor probabilidad de ocurrir, ya que la razón su cardinalidad es más
grande. También es necesario reconocer que la probabilidad de un suceso seguro,
debe ser la máxima probabilidad que pueda alcanzar cualquier suceso. Y un suceso
imposible debe resultar en una probabilidad cero.
Agregando la idea de que es claro que en el ejemplo a), es más probable obtener
una bolita azul que una roja (porque hay más bolitas de color azul), ası́ como en el
ejemplo d) la probabilidad de que gane el primer niño es igual a la probabilidad de
que gane el segundo, porque la cantidad de situaciones que favorecen a ambos son
las mismas.
Entonces, de acuerdo a las caracterı́sticas de la primera situación, es posible
preguntarse, tal como Laplace pudo haberse cuestionado; ¿cuántas bolitas hay en la
urna?, ¿de un total de cuántas?, pudiendo por tanto proponer una razón entre las
cantidades, dada por:
N úmero de Casos F avorables
Número de bolitas azules
=
Número total de bolitas
N úmero de Casos P osibles
Esta expresión (razón) posee la caracterı́stica importante de que al considerar
51
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
el número de casos favorables en el numerador de la razón, se deduce por tanto que
el valor resultante de un suceso con más elementos, será mayor al de un suceso con
menos elementos.
Ası́ entonces, como ocurre en el caso c), si todos los estudiantes cumplen con
la condición pedida, se verifica que la razón propuesta terminará con un valor
correspondiente a 1; ya que el número de casos favorables es igual al número de
casos posibles. Esta idea es reafirmada con el capı́tulo referente a las nociones de
la teorı́a de conjuntos; donde se dijo que cualquier evento no puede tener más
elemento que el espacio muestral; por lo que la probabilidad no será mayor que 1.
También se puede afirmar, que para el ejemplo b), la probabilidad de ganar el
campeonato, que se asigna al equipo es 0, ya que de las opciones totales (casos
posibles) ninguna de ellas le permite resultar campeón (casos favorables).
De otra forma la razón entre la cantidad de elementos de un suceso (casos favorables) y la cantidad de elementos del Espacio Muestral (casos posibles), que se ha
visto considera la necesidad de asignar mayor probabilidad a algún suceso con más
elementos favorables. Y toma valores que están entre 0 (para un suceso imposible)
y 1 (para un suceso seguro). Lo que será definido como probabilidad clásica:
P (A) =
N úmero de Casos F avorables
N úmero de Casos P osibles
P (A) =
#(A)
#(Ω)
Teniendo definida esta fórmula, se analizan las propiedades relacionadas al
cálculo de la probabilidad clásica. Para ello es necesario referenciar las carac52
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
terı́sticas vistas en el capı́tulo sobre la teorı́a de conjuntos.
i) Recordando que un suceso A, se define como un subconjunto del Espacio Muestral Ω. Y como #(A), se refiere a contar los elementos de A, se afirma que
0 ≤ #(A), de forma similar 2 ≤ #(Ω) (ya se vio que el Espacio Muestral deberá poseer a lo menos dos posibilidades). También es sabido que la cantidad
de elementos de un conjunto no puede ser inferior a la cantidad de elementos
de alguno de sus subconjuntos. Lo que permite asegurar,
0 ≤ #(A) ≤ #(Ω)
Por tanto, si se divide todo por #(Ω) > 0.
0
#(A)
#(Ω)
≤
≤
#(Ω)
#(Ω)
#(Ω)
0 ≤ P (A) ≤ 1
ii) Como también se ha visto,
#(A) + #(Ac ) = #(Ω)
De la misma forma, al dividir todo por #(Ω) > 0.
#(Ω)
#(A) #(Ac )
+
=
#(Ω)
#(Ω)
#(Ω)
P (A) + P (Ac ) = 1
P (A) = 1 − P (Ac )
53
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
iii) Otra propiedad importante, se refiere al cálculo de la probabilidad de la unión
de dos eventos,
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B)
Dividiendo por #(Ω) > 0.
#(A) #(B) #(A ∩ B)
#(A ∪ B)
=
+
−
#(Ω)
#(Ω) #(Ω)
#(Ω)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Resumiendo, se tienen las propiedades:
a) 0 ≤ P (A) ≤ 1
b) P (φ) = 0
c) P (Ω) = 1
d) P (A) = 1 − P (Ac )
e) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Estas propiedades serán de gran utilidad a la hora de resolver problemas de
probabilidad en situaciones cotidianas y, especı́ficamente, en las futuras actividades
propuestas por este trabajo.
54
ACTIVIDAD 7. LO CLÁSICO EN PROBABILIDADES
7.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
Al realizar el cierre de la actividad, el docente debe plantear situaciones sencillas en las que sea necesario calcular probabilidades, considerando cautelosamente,
el espacio muestral y los casos favorables para cada una de las situaciones. Se
busca entonces comprobar el aprendizaje de los alumnos con respecto a la llamada
fórmula de Laplace.
Se deberá considerar constantemente las dudas que surjan de los estudiantes,
para asegurarse de que la metodologı́a utilizada ha sido efectiva; en caso contrario
es necesario rescatar otros ejemplos que motiven a los estudiantes y cumplan con
los objetivos que se vean más débiles.
7.4
Sugerencias Finales
Los ejemplos considerados en la actividad deben ser analizados detalladamente,
adelantándose a las posibles respuestas y deducciones de los estudiantes, para
que no ocurra que algún ejemplo destinado a cumplir cierto objetivo, termine
desviándose y no cumpla la labor correspondiente. Es importante también rescatar
situaciones que a los propios estudiantes les surjan como propuestas para ciertos
ejemplos, con lo que se puede complementar las nociones que el docente posee, y
desea que los alumnos conozcan, con la visión propia de los estudiantes.
55
ACTIVIDAD 8
CONDICIONADAMENTE
PROBABLE
Estudio de la Probabilidad Condicional.
8.1
Explicación de la Actividad
El objetivo de la actividad siguiente es relacionar la Probabilidad Condicional
con la Probabilidad Clásica, para calcular condicionalidad en función de lo visto
anteriormente, al mismo tiempo se busca que los estudiantes descubran la fórmula
que permita resolver problemas de Probabilidad Condicional, mediante ejemplos
que guı́en dichas conclusiones.
Importante resulta para el docente, manejar el concepto de Probabilidad
Condicional, que está basado en una situación especı́fica, lo que se resume como la
probabilidad de que ocurra un evento Condicionado por un escenario particular,
dado por otro evento. En el caso de buscar la probabilidad de un suceso A, dado (o
sabiendo que ha ocurrido) un suceso B; esto será denotado por P (A/B), lo que se
lee “la probabilidad de A dado B”.
En esta actividad se busca que los estudiantes reconozcan, mediante ejemplos
especı́ficos, que la probabilidad condicional puede resolverse bajo los mismos
argumentos de la probabilidad clásica. En el sentido de que un problema de
56
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
probabilidad condicional, puede ser planteado, mediante una reformulación de su
enunciado, como un problema de probabilidad clásica.
Para cerrar, se propone que los alumnos logren comprender que en estos casos, la
probabilidad buscada corresponde a la razón entre la cardinalidad de la intersección
de los sucesos y la cardinalidad del suceso condicionante.
8.2
Desarrollo de la Actividad
Proponiendo, que de forma introductoria, los estudiantes sean consultados
sobre la probabilidad de algunas situaciones que pueden ser resueltas mediante
probabilidad clásica, esperando que los estudiantes respondan con facilidad. Por
ejemplo, pueden ser consultados por la probabilidad de escoger un hombre dentro
de la sala, o bien, la probabilidad de obtener una suma par al lanzar dos dados (que
requiere de algunas herramientas vistas en la Actividad 5).
Posterior a esto, se consulta sobre nuevas situaciones, como las siguientes:
a) Al lanzar un dado en dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
de los número sea 8, dado que el primer número es par?
b) Se tienen dos urnas, una con 3 bolitas rojas y 6 verdes; la otra con 6 bolitas
rojas y 2 de color verde. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita roja,
dado que se escogió la primera caja?.
c) Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar
una mujer, sabiendo que el estudiante elegido pertenece a la primera fila de la
57
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
sala?
d) Calcular la probabilidad de que un equipo obtenga más de dos puntos (en dos
partidos), sabiendo que el primero no lo perdió.
e) Seleccionando un estudiante del curso. ¿Cuál es la probabilidad de que él/ella
use lentes, sabiendo que se seleccionó una mujer?.
Es claro que al plantear esas interrogantes, se espera que los estudiantes NO sean
capaces de dar una respuesta inmediata. Sin embargo, es necesario aclarar que las
caracterı́sticas de dichas situaciones, corresponden a probabilidades condicionales
(el nuevo contenido a tratar), en donde existen dos sucesos en cuestión, uno de ellos
es el del cuál se desea saber su probabilidad de ocurrencia, y el otro corresponde a
un suceso que condiciona, del cual se tiene certeza de que ha ocurrido. Es en este
momento donde el docente puede dar algunos formalismos, como la definición o la
notación de la probabilidad condicional.
Seguidamente, buscará mostrar a los estudiantes que las preguntas anteriores,
pueden ser reestructuradas, de tal forma que sea posible dar una nueva lectura y
lograr identificar que resolver dicha situación es equivalente a desarrollar alguna
situación resuelta mediante probabilidad clásica.
Concentrándo la atención en el siguiente ejemplo:
c) Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar
una mujer, sabiendo que el estudiante elegido pertenece a la primera fila de la
sala?.
Definiendo inmediatamente los siguientes sucesos:
58
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
M≡ El estudiante seleccionado es una mujer.
F≡ El estudiante seleccionado pertenece a la primera fila de la sala.
De esta manera, la probabilidad consultada corresponderá a P (M/F ), como
hasta ahora no es posible desarrollar esa probabilidad, se deja pendiente para
mostrar a los estudiantes la siguiente caracterı́stica del enunciado anterior.
En virtud de lo mencionado, al considerar el suceso condicionante como un evento
del que se tiene la información de que ha ocurrido; se sugiere proponer a los estudiantes una segunda lectura de la situación, de la manera siguiente:
c’) Escogiendo un estudiante de la primera fila de la sala, ¿cuál es la probabilidad
de que se seleccione una mujer?.
Esta segunda forma de enunciar el mismo problema, permitirá que el estudiante
plantee la situación con las herramientas que ya posee, es posible entonces definir
ahora:
W≡ Mujeres de la primera fila. (*)
F≡ Estudiante de la primera fila de la sala.
Por tanto la probabilidad solicitada, se desarrollará
P (M/F ) =
#(W )
#(F )
Lo cual corresponde, como se ha dicho, a una situación de probabilidad clásica.
Tomando ahora otro de los ejemplos:
59
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
e) Seleccionando un estudiante del curso ¿Cuál es la probabilidad de que él/ella
use lentes, sabiendo que se seleccionó una mujer?.
Definiendo inmediatamente los siguientes sucesos:
L≡ El estudiante seleccionado usa lentes.
M≡ El estudiante seleccionado es una mujer.
La probabilidad consultada es P (L/M ), pero nuevamente se busca una manera
de dar una segunda lectura al enunciado,
e’) Escogiendo una mujer dentro del curso, ¿cuál es la probabilidad de que ella
use lentes?.
Bajo esta forma de enunciar el problema, se define ahora:
J≡ Mujeres que usan lentes. (**)
M≡ Mujeres dentro de la sala.
Por tanto la nueva probabilidad a calcular, correspondiente a una probabilidad
clásica, serı́a:
P (L/M ) =
#(J)
#(M )
En virtud de los dos ejemplos planteados, se desea encontrar las caracterı́sticas
de los nuevos eventos (*) y (**), surgidos de los problemas c) y e), respectivamente.
La pregunta para los estudiantes es, ¿qué caracterı́sticas poseen estos nuevos
eventos, de acuerdo a los sucesos originales de cada uno de esos problemas (en
60
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
forma separada)? o bien, ¿qué relación tiene el suceso W con los eventos M y
F, del problema c)? y ¿qué relación tiene el suceso J con los eventos L y M, del
experimento e)?
Comparando estos sucesos, de acuerdo a las preguntas planteadas anteriormente
Para el problema c), se toman los sucesos:
M≡ El estudiante seleccionado es una mujer.
F≡ Estudiante de la primera fila de la sala.
W≡ Mujeres de la primera fila. (*)
Como se plantea, es necesario verificar cuál es la relación que presenta el
suceso W, con respecto a los otros dos. En este caso, el docente deberá conducir
a los estudiantes para que reconozcan que este suceso W, es la intersección de
los otros dos eventos en cuestión; ya que las mujeres de la primera fila, cumplen
con la caracterı́stica de los estudiantes del conjunto M y al mismo tiempo con la
caracterı́stica del suceso F.
Para el problema e), considerar los sucesos:
L≡ El estudiante seleccionado usa lentes.
M≡ Mujeres dentro de la sala.
J≡ Mujeres que usan lentes. (**)
Del mismo modo, este evento J, posee la particularidad de ser la intersección de
61
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
los otros dos sucesos. Por lo que se afirma que J = M ∩ L
Finalmente, el docente deberá conducir a los estudiantes a la obtención de la
fórmula del cálculo de la probabilidad condicional. Para ello en este caso, puede
tomar la forma en que se obtuvo la probabilidad de la situación e).
P (L/M ) =
#(M ∩ L)
#(J)
=
#(M )
#(M )
Por tanto, se concluye que la manera en que se calcula la probabilidad de un
evento A, sabiendo que ha ocurrido B, es decir P (A/B) será:
P (A/B) =
8.3
#(A ∩ B)
#(B)
Conclusión y Cierre de la Actividad
Como actividad de cierre es aconsejable que se propongan situaciones tipo,
para que los estudiantes identifiquen las cardinalidades pedidas para calcular las
probabilidades condicionales.
Por tanto, se puede proponer el experimento aleatorio de elegir un estudiante
del curso, y preguntar, ¿cuál es la probabilidad de que el seleccionado tenga
sueño, sabiendo que se escogió un hombre?. Induciendo por tanto el calculo de la
probabilidad identificando los sucesos involucrados, definiendo entonces:
S≡ El estudiante seleccionado tiene sueño.
H≡ El estudiante seleccionado es un hombre.
62
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
Por tanto la probabilidad a calcular serı́a,
P (S/H) =
Cantidad de Hombres que tienen sueño
#(S ∩ H)
=
Número de Hombres en el curso
#(H)
La resolución de este problema, obviamente dependerá de la cantidad de
estudiantes con dichas caracterı́sticas en el curso.
Como una aclaración muy importante, y que resultarı́a ideal para el cierre de
la actividad, se destaca el hecho de dar a conocer a los alumnos, la idea de que la
probabilidad condicional puede ser calculada sin la necesidad de encontrar la cardinalidad de la intersección de los sucesos y la cardinalidad del suceso condicionante.
Ya que con un paso algebraico se caracteriza la probabilidad condicional como sigue:
#(A ∩ B) #(Ω)
·
=
P(A/B) =
#(B)
#(Ω)
#(A∩B)
#(Ω)
#(B)
#(Ω)
=
P (A ∩ B)
P (B)
Esto último puede ser presentado con algún ejemplo en el que se conozcan las
probabilidades de la intersección de los sucesos y la probabilidad de que ocurra
el suceso condicionante; sin necesidad, como se decı́a anteriormente, de contar los
elementos de cada uno de los sucesos.
8.4
Sugerencias Finales
Para complementar las ideas planteadas, es posible proponer la resolución de
situaciones como las que siguen:
63
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
Se tienen 10 cajas, que contienen bolitas rojas y negras; si en la primera caja
hay 6 rojas y 4 negras. Se selecciona una caja al azar y se escoge una bolita, ¿cuál
es la probabilidad de que la bolita sea roja y provenga de la caja uno?
Leyendo detenidamente el ejemplo, se identifica que la pregunta planteada
requiere calcular la probabilidad de la intersección de los eventos. Viéndolo de la
siguiente forma, se definen los sucesos como sigue:
R≡ La bolita proviene de la caja Roja.
U≡ La bolita proviene de la caja Uno.
Considerando ahora la última fórmula propuesta,
P (R/U ) =
P (R ∩ U )
P (U )
De acuerdo a los datos del enunciado se reconoce que la probabilidad condicional es conocida, ya que la probabilidad de obtener una bolita Roja sabiendo que
proviene de la caja Uno; es equivalente a preguntar: ¿cuál es la probabilidad de
sacar una bolita Roja de la caja Uno?. Lo que numéricamente es P (R/U ) =
6
.
10
De forma similar, se deduce del enunciado, que la probabilidad de que la bolita
provenga de la caja Uno es como preguntar: ¿cuál es la probabilidad de seleccionar
la caja uno (de las diez cajas presentes)?, lo que es igual a P (U ) =
1
.
10
Ahora bien;
como se dijo, la probabilidad consultada se refiere a la intersección entre el suceso
R y el suceso U, o sea P (R ∩ U ). Entonces la fórmula considerada anteriormente,
quedará de la siguiente forma
64
ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE
6
10
=
P (R ∩ U )
1
10
⇒
6
10
·
1
10
= P (R ∩ U ) ⇒
6
100
= P (R ∩ U )
Esta última consideración, es un anticipo de lo que posteriormente se convierte
en el llamado Teorema de Bayes, que permite calcular las probabilidades de las
causas de un evento observado.
65
ACTIVIDAD 9
APLICAR Y RESOLVER
Capı́tulo Dedicado a la Resolución de Problemas de la Teorı́a de Probabilidades.
9.1
Explicación de la Actividad
La última sección, más que una propuesta de actividad, pretende presentar
algunos tipos de situaciones que pueden ser resueltas, mediante los principios tratados en las anteriores actividades. Son vistos algunos ejemplos con sus resoluciones,
que podrı́an mostrarse a los estudiantes, para que ellos intenten resolverlos. O bien,
estos problemas podrı́an ser también tratados en alguna evaluación de la unidad.
En estas situaciones, es necesario aplicar los principios de conteo, las propiedades
de la probabilidad clásica y las caracterı́sticas de la probabilidad condicional, ya
sea de forma independiente o combinando propiedades. Necesitando abordar
los problemas con un análisis que requiere mayor profundidad. Se estudian por
tanto, experimentos aleatorios que pueden resultar interesantes para los estudiantes.
9.2
Desarrollo de la Actividad
Propuestos quedan los siguientes problemas.
1) En una bolsa hay caramelos de 4 tipos diferentes. 150 pastillas son de menta,
66
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
60 de naranja, 45 con relleno y 100 son de anı́s. Si un niño saca un caramelo
al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que saqué un dulce con relleno?
b) ¿Qué probabilidad hay de que saque un dulce de menta o anı́s?
c) ¿Qué probabilidad hay de que saque un dulce que NO sea de naranja?
Para esta situación, se requiere conocer los conceptos de probabilidad clásica, y
sus propiedades. Es necesario identificar la cardinalidad del espacio muestral y de
los eventos involucrados. Por tanto, de definen los siguientes conjuntos:
Ω ≡ Todos los dulces en la bolsa. ⇒ #(Ω) = 355.
M≡ Dulces de Menta. ⇒ #(M ) = 150.
N≡ Pastillas de Naranja. ⇒ #(N ) = 60.
R≡ Caramelos con Relleno. ⇒ #(R) = 45.
A≡ Dulces de Anı́s. ⇒ #(A) = 100.
Respondiendo a las preguntas planteadas:
a) Se necesita calcular P (R), es necesario considerar entonces que P (R) =
P (R) =
#(R)
.
#(Ω)
9
45
=
≈ 0.12
355
71
b) Se consulta sobre P (M ∪ A). En este caso, como la intersección entre los
conjuntos no existe, se afirma que P (M ∪ A) = P (M ) + P (A).
P (M ∪ A) = P (M ) + P (A) =
150 100
250
50
+
=
=
≈ 0.7
355 355
355
71
67
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
c) Para esta situación, es posible basarse en la propiedad del complemento,
sabiendo que P (N c ) = 1 − P (N ) y reconociendo claramente que P (N ) =
60
,
355
entonces:
P (N c ) = 1 −
295
59
60
=
=
≈ 0.83
355
355
71
De igual forma, se pudo haber buscado
P (N c ) = P (M ∪ R ∪ A) = P (M ) + P (R) + P (A)
Obteniendo,
P (N c ) =
150
45
60
295
+
+
=
≈ 0.83
355 355 355
355
2) Un número entero entre 1 y 300 es escogido aleatoriamente. Calcular la probabilidad de que sea divisible por 3 ó 5. (De Oliveira, Pitombeira, Pinto y
Fernandez, 2006, p. 132)
Esta situación puede ser resuelta con las propiedades de la probabilidad clásica.
Sean los conjuntos:
Ω ≡ Números enteros entre 1 y 300.
A≡ Números entre 1 y 300 divisibles por 3.
B≡ Números entre 1 y 300 divisibles por 5.
Hay que calcular P (A ∪ B). Es fácil identificar que los números divisibles por
3, entre 1 y 300, son 100. A saber; {3, 6, 9, ..., 300}, cantidad que se obtiene
68
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
de
300
.
3
En el caso de los números divisibles por 5, se calculan con
300
,
5
los que
serán 60. Sin embargo, es necesario aclarar que entre estas cantidades hay números
que se repiten. Por ejemplo, el número 15 está siendo contado como un múltiplo
de 3 y de 5, ası́ como el 30 y el 45, entre otros. Dichos números son aquellos
múltiplos de 3 y 5 al mismo tiempo. Es decir, estos corresponden a los elementos del conjunto A∩B. La cantidad de dichos números se calculará determinando
300
.
15
Considerando ahora,
#(A) = 100
#(B) = 60
#(A ∩ B) = 20
Se sabe que:
P (A) =
100
300
= 31 ,
P (B) =
60
300
= 15 ,
P (A ∩ B) =
20
300
=
1
.
15
De esta forma, para calcular la probabilidad deseada, se ocupa la propiedad,
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B) =
1 1
1
7
+ −
=
≈ 0.47
3 5 15
15
3) Un torneo es disputado por los equipos A, B, C y D. Es 3 veces más probable
que gane A de que gane B, 2 veces más probable que gane B de que gane
C y tiene 3 veces más probabilidades de ganar C que D. ¿Cuáles son las
69
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
probabilidades de ganar de cada uno de los equipos? (De Oliveira et al., 2006,
p.132)
El espacio muestral se conforma de cuatro posibles resultados del experimento.
Se indica,
A ≡ El equipo ganador del torneo es A,
B ≡ El equipo ganador del torneo es B,
C ≡ El equipo ganador del torneo es C,
D ≡ El equipo ganador del torneo es D.
Sea también, P (D) = p. Teniendo las siguientes relaciones,
P (C) = 3 · P (D) = 3p,
P (B) = 2 · P (C) = 6p,
P (A) = 3 · P (B) = 18p.
Como la suma de las probabilidades debe ser igual a 1, es decir:
P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1,
18p + 6p + 3p + p = 1.
O sea 28p = 1, de done p =
P (A) =
1
.
28
Por tanto
6
3
1
18
, P (B) = , P (C) = , P (D) = .
28
28
28
28
4) Se lanzan 3 dados simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
de los números obtenidos sea mayor que 5?
70
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
Considerando los trı́os (a, b, c); donde a representa el valor obtenido en el
primer dado, b es el número del segundo dado y c el valor que aparece en el tercer
dado. Buscando ahora la cantidad de trı́os posibles en este experimento (Espacio
Muestral). Como se ha visto con el principio de la multiplicación, el número de
trı́os es posible determinarlos con, 6 × 6 × 6 = 216.
Se definirá,
A ≡ La suma de los tres números es mayor que 5.
La forma más sencilla de encontrar la probabilidad, es mediante la propiedad
del complemento. Contando de esta forma, los trı́os en que la suma de los números
es menor o igual que 5, estos son: (1, 1, 3); (1, 3, 1); (3, 1, 1); (2, 2, 1); (2, 1, 2) y
(1, 2, 2). Finalmente,
P (A) = 1 − P (Ac ) = 1 −
30
5
6
=
=
36
36
6
5) La selección chilena de fútbol se encuentra participando en un torneo internacional de 16 equipos. Estos deben separarse en grupos de a 4. Los equipos
cabeza de serie son; Brasil en el grupo 1, Italia en el grupo 2, Alemania en
el grupo 3 y España en el grupo 4. Los hinchas chilenos tienen la certeza
que el único equipo, fácilmente vencible por Chile, es la selección de Vanuatu
(Oceanı́a). El hecho de que Chile gane un partido en primera fase, le permite
clasificar a la segunda ronda. Por tanto ¿cuál es la probabilidad de que Chile
y la selección de Vanuatu queden en un mismo grupo?
71
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
Considerando el Espacio Muestral, como el conjunto de todas las permutaciones
de los 12 equipos que deben ir a sorteo en los grupos; es decir el número de casos
posibles será 12!
El siguiente esquema es de utilidad para interpretar la situación a estudiar.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
Grupo 4
B***
D***
A***
C***
El esquema planteado representa los 16 equipos, en donde las letras A, B, C y D
simbolizan los equipos cabeza de serie. Se cuentan entonces, las posibles permutaciones entre Chile y Vanuatu en el caso de que pertenezcan al grupo 1; es posible
suponer que Chile puede ser colocado en 3 lugares, quedando para Vanuatu 2 espacios, y los restantes equipos podrı́an ser dispuestos de 10! formas diferentes. Por lo
que el número de permutaciones en que Chile y Vanuatu pertenecen al grupo 1 será
igual a,
3 × 2 × 10!.
Ahora es importante considerar que esta forma de analizar debe ser multiplicada
por 4, ya que éstas mismas posibilidades se darán en el caso de que Chile y Vanuatu
queden en los grupos 2, 3 ó 4. Finalmente, la probabilidad de que estos equipos
queden en el mismo grupo será,
4 · 3 · 2 · 10!
2
=
≈ 0.18.
12!
11
6) Juan y cuatro de sus amigos compran, cada uno de ellos, un helado de una
caja que contiene 100 unidades, de los cuales 1 viene premiado con un vale
72
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
otro. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan obtenga el helado premiado?
Este ejemplo es de utilidad para plantear diversas situaciones y, al mismo
tiempo clarificar el concepto de Espacio Muestral. Con una primera lectura, algunos
estudiantes pueden suponer que al existir 5 amigos, la probabilidad de que Juan
obtenga el helado premiado es
1
.
5
Sin embargo, es importante clarificar que el
espacio muestral estará compuesto por la cantidad de helados; el cual puede sufrir
modificaciones si se considera el orden en el que Juan compra su helado, es decir, si
es el primero o no en comprar.
a) Si Juan es el primero en comprar el helado, ¿Cuál es la probabilidad de que
Juan obtenga el helado con premio?
Para este caso, la probabilidad es directa, ya que de 100 helados hay solo 1
premiado, por tanto P (J) =
1
.
100
b) Si Juan es el segundo en comprar el helado, y se sabe que el amigo que
compró antes NO obtuvo el helado premiado ¿Cuál es la probabilidad de que
Juan saque el helado premiado?
En esta nueva situación, la probabilidad se vuelve condicionada, y se puede
verificar son facilidad, que en esta nueva situación quedarán 99 helados en la caja
y obviamente estará el helado premiado, por lo que P (J) =
1
.
99
c) Si Juan es el segundo en comprar el helado, y del helado de Mario, quien
compra en primer lugar, No se sabe si es el premiado. ¿Cuál es la probabilidad
de que Juan gane el vale otro?
73
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
Ahora la situación debe ser analizada mediante el principio de la multiplicación,
para identificar que existen 100 × 99 maneras en que Mario y Juan pueden comprar
sus helados. Y con un poco de destreza, se identificará que si se quiere que Juan
obtenga el helado con vale otro (casos favorables), debe considerarse que este
helado premiado que obtiene Juan, formará parejas con el helado NO premiado
de su amigo (primer comprador). Se dice entonces, que los helados NO premiados
que puede sacar Mario son 99. Por tanto las parejas que hacen que Juan obtenga
el helado con vale otro, y su amigo haya comprado un helado sin premio, son
exactamente 99. La probabilidad entonces se traduce en,
P (J) =
1
99
=
100 × 99
100
Con un poco de paciencia, gracias al principio de la multiplicación, se mostrará
que no importando el orden en que se compran los helados; Juan siempre tendrá la
misma probabilidad de obtener el vale otro (si es que no hay información sobre sus
amigos que compren primero), como se compara en el caso a) y c).
7) De 5000 jóvenes Temuquenses, 1500 de ellos juegan fútbol, 1100 practican
básquetbol y 550 se dedican al voleibol; además se conoce que un 20% del
total practican fútbol y básquetbol al mismo tiempo; ası́ mismo 10% de todos
los jóvenes, desarrollan tanto el fútbol como el voleibol. Y solamente un 1%
les gusta jugar básquetbol y voleibol a la vez. (No hay jóvenes que practiquen
los tres deportes conjuntamente). Si se escoge un joven al azar;
a) ¿Cuál será la probabilidad de que el escogido practique básquetbol si ya es
sabido que juega voleibol?
74
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
b) Decidir cuál de las dos siguientes probabilidades es mayor. 1) Que el joven
juegue fútbol sabiendo que practica básquetbol, o bien 2) que el joven practique
fútbol, sabiendo que le gusta el voleibol.
Estos problemas planteados, corresponden a situaciones de probabilidad condicional. Se resuelve entonces cada uno de ellos.
Para ambas situaciones, se definen los eventos,
F ≡ El seleccionado practica Fútbol,
B ≡ El seleccionado juega Básquetbol,
V ≡ El seleccionado juega Voleibol.
En el caso de a), hay que calcular P (B/V ), para lo que es necesario encontrar
#(B ∩ V ) y #(V ). Lo que se hace entonces es,
P (B/V ) =
1% · 5000
50
1
#(B ∩ V )
=
=
=
#(V )
550
550
11
Para la pregunta b), se requiere P (F/B) y P (F/V ). De los datos se asegura que
P (F/B) =
20% · 5000
1000
10
#(F ∩ B)
=
=
=
#(B)
1100
1100
11
P (F/V ) =
#(F ∩ V )
10% · 5000
500
10
=
=
=
#(V )
550
550
11
En conclusión, ambas opciones poseen la misma probabilidad.
75
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
8) En una alcancı́a hay 100 monedas de $5, 50 monedas de $10, 80 monedas de
$50, 20 monedas de $100 y 35 monedas de $500. Si se extrae una moneda al
azar, responder:
a) ¿Qué probabilidad hay de que la moneda resulte ser de $500, si se sabe que
la moneda extraı́da tiene un valor mayor o igual que $50?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda tenga un valor menor que $100,
sabiendo que la moneda obtenida NO es de $10?
En concordancia a ambas interrogantes, se definen los siguientes sucesos,
A ≡ La moneda obtenida es de $500,
B ≡ La moneda obtenida tiene un valor mayor o igual que $50,
C ≡ La moneda tiene un valor menor que $100,
D ≡ La moneda obtenida NO es de $10.
Para responder a la pregunta planteada en a), se necesita calcular P (A/B),
encontrando #(A ∩ B), lo que equivale, exclusivamente a las monedas de $500,
éstas son 35. Del mismo modo, #(B) corresponde a sumar 80 + 20 + 35 (monedas
de $50, $100 y $500), son entonces 135.
P (A/B) =
#(A ∩ B)
35
7
=
=
≈ 0.26
#(B)
135
27
Lo planteado en b), requiere calcular P (C/D). Buscando #(C ∩ D), se deben
contar las monedas de $5 y $50, éstas suman 180. Para #(D), se cuentan todas las
monedas que no sean de $10, las que son 235 monedas.
76
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
P (C/D) =
#(C ∩ D)
180
36
=
=
≈ 0.76
#(D)
235
47
9) Se sabe que el 80% de los penales cobrados a favor de Brasil son lanzados por
jugadores del Flamengo. La probabilidad de que un penal sea convertido es
de 40% si el ejecutante es del Flamengo y de un 70% en caso contrario. Un
penal es cobrado a favor de Brasil. ¿Cuál es la probabilidad de que el penal
sea ejecutado por un jugador de Flamengo y sea convertido?. (De Oliveira et
al., 2006, p.144)
La probabilidad consultada es:
P (“El pateador es del Flamengo” y “El penal es convertido”) = P (F ∩ C)
{z
} |
{z
}
|
F
C
De acuerdo a la fórmula de probabilidad condicional, se ha visto que es posible
expresar P (F ∩ C) = P (F ) · P (C/F ). Del enunciado, P (F ) = 0.8 y P (C/F ) = 0.4.
Entonces,
P (F ∩ C) = 0.8 · 0.4 = 0.32
Se puede notar que era posible haber utilizado P (F ∩ C) = P (F ) · P (F/C).
Pero la probabilidad de que el pateador sea del Flamengo, sabiendo que el penal es
convertido, o sea P (F/C) NO era conocida de acuerdo a los datos.
77
ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER
9.3
Conclusión y Cierre de la Actividad
Como fue mencionado al explicar la actividad, se espera que estos ejercicios
sirvan de referencia para desarrollar el trabajo de los estudiante, o la evaluación
de estos mismos. Se considera que situaciones de este tipo pueden ser un buen
indicador del aprendizaje, ya que como ha sido visto, se requiere la posesión de las
habilidades y los contenidos en profundidad para su resolución. Una forma en que
puede completarse la actividad, es planteando situaciones similares para que los
estudiantes se atrevan a proponer formas de resolución, haciendo que el curso vaya
interactuando sobre las formas de abordar ejemplos semejantes. Inclusive, es posible
que se pida a los estudiantes exponer la resolución de situaciones de este tipo; para
que de manera grupal, sean capaces de mostrar a sus compañeros distintas formas
de abordar los problemas.
9.4
Sugerencias Finales
Es importante que el docente se atreva a proponer situaciones similares. En
la literatura tradicional, relacionada con la materia de probabilidades, no es común
encontrar ejemplos como éstos. Pero queda en la creatividad del docente, el trabajar
por un cambio y promover el intercambio de actividades como las presentadas en
este apartado.
78
CONCLUSIONES
Debemos reconocer que las actividades propuestas por el autor no serán las
que mejoren los aprendizajes de todos los alumnos (lo que tampoco es su intención).
Sin embargo, es bastante probable que la inclusión de situaciones de este tipo permita
una mejor recepción de los contenidos por parte de los estudiantes.
Como hemos dicho, es importante que para la enseñanza de la probabilidad sean
manejados la mayorı́a de los conceptos y propiedades de la teorı́a de conjuntos.
Ası́ como también se desea el conocimiento de los métodos de conteo aportados por
la teorı́a combinatoria; particularmente el principio de la multiplicación, que como
vimos se convierte en una potente herramienta para determinar las cardinalidades
de los Espacios Muestrales y de algunos Sucesos. Las actividades desarrolladas, que
fortalecen lo mencionado antes, permitirán a los estudiantes poseer una base importante para el desarrollo de los futuros contenidos de probabilidades. Al mismo
tiempo, éstas propuestas servirán de base para el entendimiento posterior de los
principios básicos de la estadı́stica descriptiva e inferencial.
Esperamos con este trabajo poder motivar la creación de nuevas propuestas para
la enseñanza de los contenidos de la unidad de probabilidades. Y resaltar la necesidad de cambio y del intercambio respecto del tipo de actividades y ejemplos en la
enseñanza de esta unidad, mostrando situaciones que intentan dejar de lado el tı́pico
lanzamiento del dado y la moneda.
79
CONCLUSIONES
Finalmente consideraremos imperantemente necesario el desarrollo de una nueva
academia, y un impulso que surja en primera instancia de los futuros educadores,
para de esta forma, poder renovar las propuestas de enseñanza de esta ciencia, que
cada vez más y con mayor fuerza va tomando posición en el desarrollo cientı́fico,
tecnológico y práctico de nuestra sociedad.
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