bloque temático i. números reales.

TEMA
1.
NÚMEROS
PROPORCIONALIDAD
Diversificación 4º ESO.
REALES
Y
IES Ntra. Sra. De la Almudena 2015-16
ÍNDICE
1.
LOS NÚMEROS REALES ..........................................................................................................................................................................................................................................1
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS ....................................................................................................................................................................................................1
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES DECIMALES ............................................................................................................................................................................2
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES FRACCIONARIOS ....................................................................................................................................................................3
1.3.1.
CONCEPTO DE FRACCIÓN ..............................................................................................................................................................................................................3
1.3.2.
NÚMERO MIXTO, FRACCIONES DECIMALES, FRACCIONES EQUIVALENTES, FRACCIONES IRREDUCIBLES ..........................................................................................3
1.3.3.
SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES.................................................................................................................................................................................................5
1.3.4.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ................................................................................................................................................................................................5
1.3.5.
DIVISIÓN DE FRACCIONES ............................................................................................................................................................................................................6
1.3.6.
OPERACIONES COMBINADAS .........................................................................................................................................................................................................6
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO ......................................................................................................................................................................................................................7
2.1.
POTENCIAS CON EXPONENTE NATURAL .....................................................................................................................................................................................................7
2.2.
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO ........................................................................................................................................................................................8
2.3.
POTENCIA DE FRACCIONES .......................................................................................................................................................................................................................8
UNIDADES DE MEDIDA Y NOTACIÓN CIENTÍFICA ...................................................................................................................................................................................................9
3.1.
EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL .................................................................................................................................................................................................................9
3.2.
NOTACIÓN CIENTÍFICA ........................................................................................................................................................................................................................... 10
PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES ................................................................................................................................................................................................................. 12
4.1.
PROPORCIONALIDAD............................................................................................................................................................................................................................... 12
4.2.
PORCENTAJES ......................................................................................................................................................................................................................................... 13
RADICALES .......................................................................................................................................................................................................................................................... 14
5.1.
LA OPERACIÓN DE RAÍZ CUADRADA......................................................................................................................................................................................................... 14
5.2.
POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO: RADICALES ......................................................................................................................................................................... 14
1.1.
1.2.
1.3.
2.
3.
4.
5.
1. LOS NÚMEROS REALES
Números naturales (N) : son los números enteros positivos . Responden a realidades concretas como por el
ejemplo al número de coches que tiene una persona, el número de progenitores, el número de camas en una
habitación de un hotel…
Números enteros (Z) : son los números enteros positivos y negativos. Responden a realidades de números
naturales que pueden ser negativos como por ejemplo la planta de aparcamiento donde dejé el coche en el
centro comercial, el piso en el que vivo, la temperatura de la calle …
Números racionales (Q) : son los números enteros y los decimales exactos y periódicos (puros o
mixtos).Responden a realidades de magnitudes fraccionarias como por ejemplo el reparto de una deuda o
fortuna, la partición de una hipoteca...
Números reales ( R) : son los números racionales y los números irracionales ( decimales infinitos no periódicos).El
número real más conocido es el número π= 3,141592…..Estos últimos se caracterizan porque no se pueden
representar como el cociente de dos números enteros y escritos de forma decimal tienen infinitas cifras
decimales que no son periódicas.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Actividades:
1) Dibuja en un folio el esquema de los números reales, colorea cada conjunto (naturales : rojo, enteros: amarillos,
racionales: azul, reales: verde) , escribe una pregunta al dorso de cada conjunto que sólo se pueda contestar
con un ejemplo del número buscado, distinto al propuesto en el tema escribe la respuesta en el frontal. Verifica
otros ejemplos propuestos por tus compañeros y coméntalos con ellos.
1.1. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Tema 1. Números Reales
Página 1
VALOR ABSOLUTO: es el valor del número sin tener en cuenta el signo, da idea de su magnitud.se representa con
dos barras verticales. Ejemplo: І -5 І= 5; І +6І=6
SUMA: la suma de dos números enteros se resuelve siguiente estas reglas:
• Mismo signo: se suma el valor absoluto de los números y se pone el signo de
los mismos
• Distinto signo: se suman los del mismo signo hasta obtener uno positivo y otro
negativo, se restan los valores absolutos y se pone el signo del número de mayor
valor absoluto.
RESTA: para restar dos números enteros sólo tienes que sumar al primero el opuesto
del segundo.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: para multiplicar o dividir dos números enteros es
suficiente con multiplicar o dividir el valor absoluto de los números y poner el signo
conforme esta regla.
Actividades:
2) Cada alumno copiará en su cuaderno la regla de los signos y la preparará dos ejercicios de suma de números
enteros, otros dos de resta, otros dos de multiplicación y otros dos de división. Los pasará a su compañero y
hará los suyos y los de su compañero. Los corregimos juntos en la clase.
1.2. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES DECIMALES
Los números racionales pueden expresarse en forma decimal (exactos, periódicos puros y mixtos) o en forma de
fracciones. Explicaremos las operaciones básicas en este apartado para los números decimales
Los números decimales tienen una parte entera y otra decimal separadas por una coma
SUMAS Y RESTAS: para sumar o restar números decimales operaremos igual que con los
números enteros, con la particularidad de que todas las cifras las agruparemos respecto a la
coma para operar. Ejemplo:
MULTIPLICACIONES: se calcula igual que con
números enteros, aplicando la misma regla de
signos. El resultado final tendrá tantas cifras
decimales como tengan los números multiplicados.
Ejemplo:
DIVISIONES: Las divisiones en las que
participan números decimales pueden ser de
varios tipos. Cada uno de estos casos se
resuelve de forma diferente. Ejemplos:
REDONDEO :se denomina redondeo a la eliminación de las cifras decimales a partir de una señalada. Si la primera
cifra que eliminamos es 5 o mayor, sumamos 1 a la última cifra que se escribe. Si la cifra es menor que 5 la última
cifra que se escribe permanece igual
TRUNCADO: se denomina truncado a la supresión sin más de las cifras decimales a partir de una señalada
Actividades:
3) Calcula las siguientes sumas y restas :
a. 15,05+0,0075=
4) Calcula las siguientes multiplicaciones :
a. 15,05 0,0075=
b. 0,5 (-12,33)=
Tema 1. Números Reales
b. 0,5+12,33-1,2+2,3-10,25+5 – 4,896=
c. -1,2 2.3=
d. (-10,25) (-4,8)=
Página 2
5) Calcula las siguientes divisiones :
a. 15,03 : 3=
c. -12 : 0,2=
b. 50,5 : (-0,05)=
d. (-10,35) (-0,003)=
6) Redondea primero y trunca después los siguientes números a la centésima, compara los resultados:
1,234
145,789
2,981
6,236
2,895
1.3. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES FRACCIONARIOS
Los números racionales pueden expresarse en forma decimal (exactos, periódicos puros y mixtos) o en forma de
fracciones. Explicaremos las operaciones básicas en este apartado para los números fraccionarios o fracciones.
1.3.1. CONCEPTO DE FRACCIÓN
LA FRACCIÓN COMO PARTES DE LA UNIDAD :El todo se toma como la
unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.
Ejemplo 1 : Un depósito contiene 2/3 de gasolina El todo es el depósito.
La unidad equivale a 3/3, en este caso.
En general, el todo sería una fracción con el mismo número en el
numerador y el denominador de la forma n/n.Entonces2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la
gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas
por gasolina.
LA FRACCIÓN COMO COCIENTE : Ejemplo: Repartir 4 € entre cinco amigos:
LA FRACCIÓN COMO OPERADOR: Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el
número y el resultado lo dividimos por el denominador. Ejemplo: Calcular los 2/3 de 60 €:
2 · 60 = 120
120 : 3 = 40 €
LA FRACCIÓN COMO RAZÓN Y PROPORCIÓN
Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones.
Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el instituto es de 3 a 2, estamos diciendo
que por cada 3 chicos hay 2 chicas. Es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y 2 son chicas.
PORCENTAJES
Un caso particular de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que estos no son más que la
relación de proporcionalidad que se establece entre:
Un número y 100
tanto por ciento
Un número y 1000
tanto por mil
Un número y 1
tanto por uno
Ejemplo:
Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa?
35 · 10 = 350
350 : 100 = 3.5
35 − 3.5 = 31.5 €
1.3.2. NÚMERO MIXTO, FRACCIONES DECIMALES, FRACCIONES EQUIVALENTES,
FRACCIONES IRREDUCIBLES
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria. Para pasar de
número mixto a fracción impropia:
1 Se deja el mismo denominador.
2 El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el denominador más el numerador,
del número mixto.
Ejemplo:
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor
que 1.
Tema 1. Números Reales
Página 3
Para pasar una fracción impropia a número mixto:
1 Se divide el numerador por el denominador.
2 El cociente es el entero del número mixto.
3 El resto es el numerador de la fracción.
4 El denominador es el mismo que el de la fracción impropia.
Ejemplo:
Pasar
13/5
a
número
mixto
Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.
Ejemplo:
Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de
medios.
a y d son los extremos
b y c son los medios
Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un
número entero, distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. Al primer caso le
llamamos ampliar o amplificar.
Simplificar fracciones: Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.
1 Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.
2 Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir,
probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así
sucesivamente.
3 Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
4 Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del
numerador y denominador, lo cual es equivalente a dividir numerador y denominador por la misma
potencia de 10.
5 Si el número por el que dividimos es el máximo común divisor del numerador y denominador llegamos
a una fracción irreducible. Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto
sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, o lo que es lo mismo, cuando el mcd
de ambos números es 1.
Ejemplo:
Actividades
7) Calcula en mínimo común múltiplo de los siguientes números:
a. m.c.m.(12, 24, 32)=
b. m.c.m.(15, 7, 3)=
8) Calcula qué fracción de la unidad representa:
c. m.c.m.(625, 75, 34)=
1 La mitad de la mitad.
2 La mitad de la tercera parte.
3 La tercera parte de la mitad.
4 La mitad de la cuarta parte.
9) Halla los pares de fracciones equivalentes y colócalas en parejas:
Tema 1. Números Reales
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10) Escribe los inversos de:
11) Pasar a fracción:
0,00051
0,37
1,0001
12) Simplifica las siguientes fracciones a fracciones irreducibles:
5,1
8,24
1.3.3. SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS (CON IGUAL DENOMINADOR): Hay tres simples pasos
para sumar y restar fracciones homogéneas (con igual denominador):
Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales
Paso 2: suma los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso
1
Paso 3: simplifica la fracción (si hace falta).
Ejemplo :
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS (DE DIFERENTE DENOMINADOR): Hay que reducir a
común denominador.
Paso 1: Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y
cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.
Paso 2: Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo
multiplicamos por el número que haya en el numerador.
Paso 3: Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los
numeradores y dejamos el mismo denominador.
Paso 4: Si podemos simplificamos.
Ejemplos
FORMA ABREVIADA
SUMA DE FRACCIONES HETEROGENEAS
RESTAS DE FRACCIONES HETEROGENEAS
1.3.4. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Multiplicar fracciones, ya sea con igual o diferente denominador, siempre va a ser lo mismo porque el
procedimiento no varía. Para multiplicar dos fracciones, el procedimiento es muy simple. Solo es
Tema 1. Números Reales
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necesario hacerlo horizontalmente, es decir, multiplicar ambos numeradores y luego ambos
denominadores. Finalmente hay que simplificar la fracción resultante. Ejemplo:
1.3.5. DIVISIÓN DE FRACCIONES
Dividir fracciones, ya sea con igual o diferente denominador, siempre va a ser lo mismo porque el
procedimiento no varía. Los pasos son los siguientes :
1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el
nuevo numerador.
2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo
denominador.
3º Después si podemos se simplifica.
Ejemplo:
1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS
1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º. Calcular las potencias y raíces.
3º. Efectuar los productos y cocientes.
4º. Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
5º. Realizar las sumas y restas.
Actividades:
13) Calcula las siguientes sumas y restas de fracciones homogéneas:
a)
b)
c)
14) Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones heterogéneas:
d)
a)
b)
c)
15) Resuelve las siguientes multiplicaciones de fracciones
d)
a)
b)
16) Resuelve las siguientes divisiones de fracciones
c)
d)
a)
b)
c)
d)
17) Juego del “ahorcado” de fracciones
JUEGO DEL AHORCADO DE FRACCIONES: UN ALUMNO SELECCIONA UNA OPERACIÓN Y LA REALIZA, Y SE LA
PREGUNTA A SU COMPAÑERO. SI ÉSTE ACIERTA, ES ÉL EL QUE EMPIEZA A AHORACARSE. SI EL COMPAÑERO NO
ACIERTA EL COMPAÑERO EMPIEZA A AHORCARSE.Y ASÍ HASTA QUE ALGUNO GANA O PIERDE.
HAY SEIS
OPORTUNIDADES
ALUMNO A:
ALUMNO B:
SOLUCIONES: http://www.vitutor.com/di/r/ejercicios_fracciones.html
Tema 1. Números Reales
Página 6
I.
VIII.
II.
IX.
X.
III.
IV.
V.
XI.
VI.
XII.
VII.
18) Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?
19) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del
trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva
recorridos cada uno?
20) Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?
21) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el
partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:
1 El número de votos obtenidos por cada partido.
2 El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.
22) Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el
resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
23) ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 l?
2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
2.1. POTENCIAS CON EXPONENTE NATURAL
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es
el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes
reglas:·
PROPIEDADES
0
a =1
a1 = a
Producto de potencias con la misma base:
am · a n = am+n
División de potencias con la misma base:
am : a n = am - n
Potencia de una potencia:
(am)n=am · n
Producto de potencias con el mismo exponente:
an · b n = (a · b) n
Cociente de potencias con el mismo exponente:
an : b n = (a : b) n
Tema 1. Números Reales
Página 7
2.2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
2.3. POTENCIA DE FRACCIONES
PROPIEDADES
1.
5.Potencia de una potencia:
2.
3. Producto de potencias con la
misma base:
6. Producto de potencias con el
mismo exponente:
4. División de potencias con la
misma base:
7. Cociente de potencias con el
mismo exponente:
Actividades:
24) Escribe en forma de una sola potencia:
33 · 34 · 3 =
57 : 53 =
(53)4 =
(5 · 2 · 3)4 =
[(53)4 ]2 =
(82)3=
(93)2=
25 · 24 · 2 =
25) Realizar las siguientes operaciones con potencias:
(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =
(−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) =
(−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 =
2−2 · 2−3 · 24 =
22 : 23 =
2−2 : 23 =
22 : 2−3 =
2−2 : 2−3 =
[(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =
26) Realiza las siguientes multiplicaciones con potencias de fracciones de igual base:
27) Realiza las siguientes divisiones con potencias de fracciones de igual base:
28) Realiza las siguientes operaciones combinadas con potencias de fracciones:
Tema 1. Números Reales
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3. UNIDADES DE MEDIDA Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
3.1.EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas
entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10.
Unidades de longitud
La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para
medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:
La tabla métrica - longitud
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en
la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas
unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya
entre ellas.
Ejemplo 1:
¿Cuántos centímetros son 6,5 kilómetros? Podemos usar la tabla métrica.
Nos puede ayudar a encontrar la respuesta.
Ponemos 6 en el lugar de km y 5 en el próximo lugar a la derecha.
Llenamos los lugares con los ceros hasta cm.
Ahora vemos ese 6,5 km = 650000 cm.
Unidades de masa
La unidad principal para medir longitudes es el gramo. Existen otras unidades para medir cantidades mayores y
menores, las más usuales son:
kilogramo
Otras unidades de masa
Tonelada métrica
1 t = 1000 kg
Quintal métrico
1 q = 100 kg
kg 1000 g
hectogramo hg 100 g
decagramo dag 10 g
gramo
g
1g
decigramo dg 0.1 g
centigramo cg 0.01 g
miligramo
mg 0.001 g
Unidades de capacidad
La unidad principal para medir capacidades es el litro.
kilolitro
kl 1 000 l
hectolitro hl 100 l
decalitro dal 10 l
litro
l
1l
decilitro dl 0.1 l
centilitro cl 0.01 l
mililitro
ml 0.001 l
Unidades de superficie
La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que
tiene 1 metro de lado.
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada
unidad vale 100 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a
multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantas parejas de ceros como lugares haya entre ellas.
Tema 1. Números Reales
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kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2
hectómetro
cuadrado
hm
decámetro
cuadrado
dam2 100 m2
metro cuadrado
m2
decímetro
cuadrado
dm2 0.01 m2
centímetro
cuadrado
cm2 0.0001 m2
2
10 000 m
2
1 m2
Otras medidas de superficie
La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.
1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²
El área equivale al decámetro cuadrado.
1 a = 1 dam2 = 100 m²
La centiárea equivale al metro cuadrado.
1 ca = 1 m²
milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2
Unidades de volumen
La medida fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico.
kilómetro cúbico
km3 1 000 000 000 m3
hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3
decámetro cúbico dam3 1 000 m3
metro
m3
1 m3
decímetro cúbico
dm3 0.001 m3
centímetro cúbico cm3 0.000001 m3
milímetro cúbico
Observamos que desde los submúltiplos, en la
parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte
superior, cada unidad vale 1000 más que la
anterior. Por lo tanto, el problema de convertir
unas unidades en otras se reduce a multiplicar
o dividir por la unidad seguida de tantos tríos
de ceros como lugares haya entre ellas.
mm3 0.000000001 m3
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa
Capacidad Volumen Masa (de agua)
1 kl
1l
1 m³
1 dm
1t
3
1 kg
1 ml
1 cm³
1g
Medida compleja
Es aquella que expresa distintas clases de unidades.
Medida incompleja o simple
Se expresa únicamente con una clase de unidades.
Paso de medidas complejas a incomplejas
Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la
que queremos obtener como resultado final.
Paso de medidas incomplejas a complejas
Tenemos dos casos:
1º Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.
2º Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.
Actividades:
29) Convierte las siguientes cantidades a metros: 7,2 km; 8 mm; 92 hm; 125 cm ; 2 dam;
0.6 dm
30) Un médico prescribe una dosis de 0,4 g de cierta medicina. ¿Cuántos comprimidos de 50 mg se debe tomar el
paciente para completar la dosis?
31) Una botella de coca cola tiene 1 litro ¿cuántos vasos de 20 cl podré llenar con ella?
3.2. NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica (también llamada forma estándar) es una manera de escribir números en dos partes:
Sólo las cifras (con el punto decimal después de la primera cifra), seguidas por
×10 a la potencia que mueve el punto decimal donde deberías estar (o sea, que muestra cuántas posiciones se
mueve el punto decimal).
Tema 1. Números Reales
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En este ejemplo, 5326,6 se escribe como 5,3266 × 103,
porque 5326,6 = 5,3266 × 1000 = 5326,6 × 103
¿ Cómo se hace ?
Para saber la potencia de 10, piensa “¿cuántas veces muevo el punto decimal?”
Si el número es 10 o más, hay que mover el punto decimal a la izquierda, y la potencia será positiva.
Si el número es menor que 1, el punto decimal se mueve a la derecha, y la potencia de 10 será negativa:
Ejemplo: 0,0055 se escribe 5,5 × 10-3, porque 0,0055 = 5,5 × 0,001 = 5,5 × 10-3
Comprobación
Después de poner el número en notación científica, sólo tienes que comprobar:
La parte de las “cifras” está entre 1 y 10 (puede ser 1, pero no 10)
La parte de la “potencia” dice cuántas veces has movido el punto decimal
¿Por qué se usa?
Porque hace más fácil trabajar con números muy grandes o muy pequeños, que son normales en trabajos
científicos o de ingeniería.
Por ejemplo es más fácil escribir (y leer) 1,3 × 10-9 que 0,0000000013
También se pueden hacer cálculos más fácilmente, como en este ejemplo:
Ejemplo: se ha medido un espacio muy pequeño en un chip de computadora y tiene anchura 0,00000256m,
longitud 0,00000014m y altura 0,000275m. ¿Cuál es su volumen?
Primero las convertimos a notación científica:
anchura: 0,000 002 56m = 2,56×10-6
longitud: 0,000 000 14m = 1,4×10-7
altura: 0,000 275m = 2,75×10-4
Después multiplicamos las cifras juntas (dejamos los ×10 para luego):
2,56 × 1,4 × 2,75 = 9,856
Ahora multiplicamos los ×10s:
10-6 × 10-7 × 10-4 = 10-17 (esta parte es fácil: sólo he tenido que sumar -6, -4 y -7)
El resultado es 9,856×10-17 m3
Actividades:
32) Expresa las siguientes cantidades en forma de notación científica:
a) 3200=
b) Dos millones=
c) 4450000000=
d) 0,00005=
e) 5,3=
f) 87=
33) Marca la respuesta correcta para indicar cómo se expresa un tiempo de 86 400 s en notación científica es:
a)
c)
b)
d)
Tema 1. Números Reales
Página 11
4. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES
4.1.PROPORCIONALIDAD
Magnitud
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.
Razón
Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.
Proporción
Proporción es una igualdad entre dos razones.
En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los
consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.
Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.
Regla de tres simple y directa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la
cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
Repartos directamente proporcionales
Consiste en dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a
cada una de las magnitudes dadas.
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número
cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Regla de tres simple inversa
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la
cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
Repartos inversamente proporcionales
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente
proporcional a las inversas de las magnitudes.
Proporcionalidad compuesta
Tema 1. Números Reales
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Una magnitud se relaciona proporcionalmente con otras, ya sea de modo directo o inverso.
Regla de tres compuesta
Se emplea para resolver problemas de proporcionalidad compuesta.
4.2.PORCENTAJES
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Se emplea mucho en la
vida real para el cálculo de los precios finales cuando nos aplican bien descuentos o recargos
Descuentos:
Recargos:
Interés
Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la
cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.
Concepto
Nombre
Símbolo
Cantidad prestada
Capital
C
Tiempo del préstamo
Tiempo
t
Un beneficio por 100 € en un año
Rédito
r
Beneficio del préstamo
Interés
I
Si él es el tiempo viene expresado en meses:
Si el tiempo viene expresado en días:
Actividades:
34) Calcular
el
término
desconocido
de
las
siguientes
2
4
3
5
proporciones:
1
35) Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas
durante ocho días?
Tema 1. Números Reales
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36) Con 12 botes de medio kg ( ½ kg ) de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos
botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de
longitud.
37) 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán
necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
38) Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro
grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
39) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
40) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por
el vehículo?
41) El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?
42) Al comprar un teléfono móvil que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
43) Se vende un perro que nos costó 80 € con una ganancia del 15%. Halla el precio de venta.
5. RADICALES
5.1.LA OPERACIÓN DE RAÍZ CUADRADA
La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando
se conoce su cuadrado.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.
Raíz cuadrada entera
La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.
Actividades:
44) Calcula los valores de las siguientes potencias:
3
1
4
2
5.2. POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO: RADICALES
Tema 1. Números Reales
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