Hoja2

PROBLEMAS DE MECÁNICA ESTADÍSTICA I
(5º de Físicas – Curso 2004/05)
HOJA 2
1. El helio, en condiciones normales, tiene un coeficiente de viscosidad igual a 2×10-4 poise.
Determinar: (a) el coeficiente de conductividad térmica; (b) el recorrido libre medio; (c) el diámetro
molecular; (d) la presión para la cual el recorrido libre es de 1 cm a 1000 K.
2. Un recinto contiene gas a una presión P y tiene en una de sus paredes un pequeño orificio de área A
a través del cual pasan por efusión las moléculas del gas a una región en la que se ha hecho el vacío.
En esta región, directamente enfrente del orificio a una distancia L del mismo, está suspendido un
disco circular de radio R. Está orientado de modo que la normal a su superficie apunta hacia el orificio.
Suponiendo que las moléculas en el haz que escapa son dispersadas elásticamente por el disco,
calcular la fuerza ejercida sobre él por el haz molecular.
P
A
R
L
3. Un ion de masa m y carga e se mueve en un gas diluido de moléculas con las que choca. El tiempo
medio entre las colisiones que sufre el ion es τ. Supongamos que se aplica un campo eléctrico
uniforme Ε en la dirección x.
(a) Hallar la densidad de corriente eléctrica jx en funcion del campo Ε, para una densidad de iones ni.
(b) ¿Cuál es la distancia media x (en la direccion de Ε) que recorre el ion entre colisiones si parte con
una componente x nula de la velocidad vx después de cada choque?
(c) ¿En qué porcentaje de casos recorre el ion una distancia x menor que x ?
4. Dos recipientes, A y B, de igual volumen y separados por una pared porosa, contienen una cierta
cantidad de gas ideal monoatómico. Cada recipiente se mantiene en contacto con termostato a
temperatura TA y TB, respectivamente, tales que TA > TB. (a) Calcular la relación entre las presiones pA
y pB en el equilibrio. (b) Supongamos ahora que se conectan los dos recipientes por un tubo (con lo
cual se igualan las presiones), manteniendo la diferencia de temperaturas. Calcular el flujo neto y su
dirección.
5. Un sistema de N partículas clásicas se halla en presencia de un potencial Φ (r). A partir de la
ecuación de transporte de Boltzmann (usando la aproximación de tiempo medio entre colisiones):
(a) Hallar la función de distribución de equilibrio del sistema.
(b) Calcular el campo de densidad (número de partículas en cada posición r con independencia de su
velocidad) de equilibrio cuando el potencial externo es un potencial armónico Φ (r) = (α/2) r2 .
Representar gráficamente y discutir la forma del campo de densidad.
(c) ¿Qué forma tiene el campo de densidad calculado en (b) en el límite α → 0? Explicar el resultado
obtenido.
6. Los niveles de energía de un oscilador de frecuencia ν están dados por:
ε = ½ hν, 3/2 hν, ... , (n+ ½) hν ...
Cuando un sistema tiene N osciladores independientes, su energía total es:
E = ½ N hν + M hν
(siendo M un entero).
(a) Hallar la “probabilidad termodinámica” WM o número de estados posibles del sistema.
(b) Determinar la relación entre la temperatura y la energía E del sistema.
7. Se coloca un sólido a temperatura T en un campo magnético exterior H = 30000 gauss. El sólido
contiene átomos paramagnéticos de spin ½ que interaccionan débilmente de modo que la energía de
cada uno de ellos es ± µH. Si el momento magnético es igual a un magnetón de Bohr, es decir,
µ = 0.927×10-20 ergios/gauss, ¿por debajo de qué temperatura se debe enfriar el sólido para que más
del 75% de los átomos se polaricen con sus spines paralelos al campo magnético externo?
8. Cuando una partícula con spin ½ se coloca en un campo magnético, sus niveles de energía se
desdoblan en + µH y - µH y tiene un momento magnético +µ o -µ a lo largo de la dirección del campo
magnético. Suponer que un sistema compuesto por N de tales partículas está en un campo magnético
H y se mantiene a una temperatura T. (a) Hallar la energía interna, la entropía, el calor específico y el
momento magnético total del sistema con la ayuda de la distribución canónica. (b) Hallar la
fluctuación del momento magnético total.
9. Considerar un sistema compuesto por un número muy grande N de partículas fijas y débilmente
interactuantes, en contacto con un foco térmico a la temperatura T. Cada partícula tiene sólo 2 posibles
niveles de energía, ε0 = 0 y ε1 = ε > 0.
(a) Calcular, en función de ε, la energía media del sistema y las poblaciones medias de los niveles.
Aproximadamente, ¿a qué temperatura empieza a poblarse el nivel excitado? (es decir, ¿cuándo habrá
al menos 1 partícula en dicho nivel?).
(b) ¿Cuál es el número de estados accesibles al sistema? A partir de este resultado, calcular la entropía
del sistema a la temperatura en que comienza a poblarse el nivel excitado.
(c) ¿Cuál es el calor específico C del sistema, a parámetros externos constantes? Representar
gráficamente C(T) y calcular sus valores límites para altas y bajas temperaturas. Determinar el valor de
la temperatura correspondiente al máximo del calor específico.
10. Se considera una cadena unidimensional consistente en n (n>>1) elementos, tal como se ve en la
figura. Sea a la longitud de cada elemento y sea x la
distancia entre los puntos extremos.
a
(a) Hallar la entropía de esta cadena en función de x y
de los parámetros n y a.
(b) Obtener la relación entre la temperatura de la
cadena y la fuerza (tensión) necesaria para mantener
la distancia x, suponiendo que las articulaciones giran
libremente. (Nótese que esto implica que la energía
interna no dependerá de x.)
(c) Desarrollar el resultado anterior en primer orden
de aproximación y comentar su significado físico.
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