Transformaciones casiconformes y dinámica Holomorfa 1

AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) 21–56.
Transformaciones casiconformes y dinámica
Holomorfa*
Juan Francisco Estrada Garcı́a, Julio Erasto Poisot Macı́as **
Resumen
En este artı́culo se da una introducción a los conceptos y resultados básicos
de las transformaciones casiconformes y el espacio de Teichmüller con algunas
de sus aplicaciones en el estudio de la dinámica generada por las transformaciones racionales definidas en la esfera de Riemann
Palabras clave: Casiconformes, superficie de Riemann, espacio de
Teichmüller, sistemas dinámicos holomorfos
1.
Introducción
De acuerdo con Ahlfors [2], la noción de transformación casiconforme fue
introducido por H. Grötzsch en 1928, al darse cuenta que si Q es un cuadrado y R es un rectángulo, que no es un cuadrado, no existe transformación
conforme de Q en R, tal que envı́e vértices en vértices. Al conseguir medir la
aproximación a la conformidad de la transformación que resolvı́a su problema,
Grötzsch dio el primer paso hacia la creación de la Teorı́a de las transformaciones casiconformes. Fue hasta 1935 en que los mapeos de Grötzsch fueron
retomados por Lavrentieff en un artı́culo, que trata acerca de las ecuaciones
diferenciales parciales no lineales asociadas al estado de un flujo potencial de
un gas incomprensible. Tal trabajo proporciona una nueva interpretación de
las ecuaciones de Cauchy-Riemann, a saber la conformidad. Esta teorı́a, por
amplio consenso, tiene su nacimiento en un artı́culo de Lars Ahlfors en 1954 en
el Journal D’ Analyse, en donde se presenta su primer trato sistemático y en su
correcta generalidad, y se ha desarrollado tanto, que no todos los tópicos pueden ser cubiertos en un solo escrito sin importar el punto de vista que se tome.
* Artı́culo de divulgación cientı́fica.
** Facultad de Ciencias Fı́sico Matemáticas. BUAP, festrada@fcfm.buap.mx
22
F. Estrada, J. Poisot
En este artı́culo, introducimos las definiciones y resultados básicos necesarios
para entender la Teorı́a de la deformación de las transformaciones casiconformes en el plano. Cualquiera de tales transformaciones, puede ser deformada a
la identidad dentro de toda la familia de transformaciones casiconformes. De
acuerdo al Teorema de Uniformización, el caso de las transformaciones entre
superficies de Riemann puede reducirse al caso de dominios planos. Esto nos
permite tratar la Teorı́a de los espacios de Teichmüller, la cual entre otras
cosas nos da una parametrización de todas las estructuras complejas de una
superficie dada. Finalizamos este artı́culo dando algunas de las aplicaciones de
esta teorı́a en el estudio de la dinámica holomorfa.
2.
2.1.
Transformaciones conformes
Definición y resultados básicos
Una transformación en plano que preserva medidas de ángulos y orientación, se llama conforme. En análisis complejo, una función f diferenciable con
derivada no cero, preserva ángulos y orientación. En particular, una función
biyectiva entre dos dominios (abiertos y conexos) A y B, holomorfa, es un biholomorfismo entre estos dos dominios, y establece un homeomorfismo conforme
entre estos dos dominios. A tal transformación le llamamos equivalencia conforme. Estos conceptos se generalizan a dominios del plano complejo extendido
C̄ := C ∪ {∞} cuya representación geométrica es la esfera de Riemann. En el
caso especial de que A = B, tal equivalencia conforme se llama automorfismo
conforme de A.
Ejemplos fundamentales de transformaciones conformes son los grupos de
automorfismos
conformes
de
los
dominios
canónicos
C̄,
C,
M= {z ∈ C : |z| < 1}, H = {z ∈ C : Im (z) > 0}, descritos en el siguiente teorema:
Teorema 2.1. (i) Todo elemento de Aut(C̄) tiene la forma:
γ (z) =
donde a, b, c, d ∈ C con ad − bc = 1.
az + b
,
cz + d
Transformaciones casiconformes
23
(ii) Todo elemento de Aut(C) tiene la forma:
γ (z) = az + b,
donde a, b ∈ C con a 6= 0.
(iii) Todo elemento de Aut(M) tiene la forma:
γ (z) =
az + b
,
b̄z + ā
donde a, b ∈ C con |a|2 − |b|2 = 1. Estos elementos también se pueden escribir
como.
z−α
γ (z) = exp iθ
,
1 − ᾱz
donde θ ∈ R y α ∈M.
(iv) Todo elemento de Aut(H) tiene la forma:
γ (z) =
az + b
,
cz + d
donde a, b, c, d ∈ R con ad − bc = 1.
Demostración. (i) Si γ ∈ Aut(C̄) y γ (∞) = ∞, entonces en una vecindad de
∞, γ tiene una expansión de Laurent:
γ (z) = az +
∞
X
bn z −n ,
n=0
con a 6= 0. Entonces γ (z) − az es holomorfa en C̄, y por el principio del
máximo se tiene que γ (z) − az debe ser una constante b. Ası́ obtenemos que
γ (z) = az + b con a 6= 0. Si γ ∈ Aut(C̄) y γ (∞) = z0 6= ∞, entonces
definiendo γ1 (z) = 1/(z−z0 ), vemos que γ1 ,γ1 ◦ γ ∈ Aut(C̄), y γ1 ◦ γ(∞) = ∞.
Ası́ obtenemos que γ1 ◦ γ (z) = 1/(γ(z)−z0 ) = a1 z + b1 , donde a1 , b1 ∈ C con
a1 6= 0. Por lo tanto, γ se escribe en la forma enunciada con ad − bc 6= 0.
Además, γ no cambia cuando a, b, c y d son multiplicados por una constante
común, por lo cual podemos normalizar la expresión de γ con ad − bc = 1.
(ii) Cada elemento γ ∈ Aut (C) se extiende a uno de Aut(C̄), si establecemos que γ (∞) = ∞. Ası́ que por el argumento anterior, se sigue que γ se
expresa en la forma estipulada.
24
F. Estrada, J. Poisot
(iii) Sea γ ∈ Aut(4) con γ(0) = β. La transformación γ1 (z) = (z−β)/(1−β̄z)
pertenece a Aut(4). Por tanto, γ2 = γ1 ◦ γ ∈ Aut(4) y γ2 (0) = 0. De acuerdo
al lema de Schwarz, γ2 es una rotación γ2 (z) = expiθ z; con θ ∈ R, la otra
expresión estipulada se sigue de inmediato.
(iv) T (z) = (z−i)/(z+i) es un biholomorfismo entre H y 4; entonces, para
cada elemento γ ∈ Aut(H), obtenemos γ1 = T ◦ γ ◦ T −1 ∈ Aut(4). Ası́, γ1 es
una transformación que puede expresarse como en (i). Y puesto que γ envı́a
H sobre si mismo, podemos suponer que a, b, c , d ∈ R, con ad − bc > 0. Por
tanto, γ puede escribirse de la forma en (iii), y en consecuencia de la forma en
(iv).
Todas estas transformaciones pertenecen al grupo de transformaciones de
Möbius, las cuales se definen como:
az + b
M öb C̄ = T (z) =
: a, b, c, d ∈ C con ad − bc 6= 0
cz + d
. Una propiedad geométrica de las transformaciones de Möbius, es que transforman cı́rculos en la esfera en cı́rculos en la esfera. Dado que tres puntos
caracterizan un cı́rculo, entonces dados dos triángulos en C̄, existe una única
transformación de Möbius, que lleva un triángulo en el otro y que lleva vértices
en vértices.
Uno de los resultados más importantes del análisis complejo, tanto por
sus múltiples aplicaciones a la fı́sica matemática como a la geometrı́a, es el
Teorema de Transformación Conforme de Riemann.
Teorema 2.2. . [Representación Conforme de Riemann] Todo dominio simplemente conexo del plano que no sea todo el plano, es conformemente equivalente al disco unitario 4.
Una demostración de este teorema puede encontrarse en [1]. Es claro que
utilizando los automorfismos del disco unitario, podemos obtener una infinidad
de representaciones conformes de un dominio simplemente conexo que no sea
el plano. La unicidad de tal transformación queda establecida exigiendo que
el cero del disco unitario, sea la imagen de un punto dado en el dominio
simplemente conexo y que la derivada en ese punto sea un número real positivo,
o exigiendo que el argumento
de la derivada en ese punto sea un número real
dado en el intervalo (−π, π . Para establecer el comportamiento en la frontera
Transformaciones casiconformes
25
de la transformación de Riemann, necesitamos recordar que un dominio de
Jordan es una imagen homeomorfa del disco unitario cerrado.
Teorema 2.3 (Carathéodory-Osgood). Una transformación conforme del disco unitario sobre un dominio en el plano, puede ser extendida a un homeomorfismo del disco cerrado sobre la cerradura del dominio si y solo si este dominio
es de Jordan.
Una demostración de este teorema puede encontrarse en [3]. El teorema
de Riemann es de existencia, ası́ que en sus aplicaciones tanto a la fı́sica
como a la geometrı́a, es muy conveniente, contar con una expresión explı́cita
del biholomorfismo, lo cual es establecido en el siguiente resultado, donde
se usa que el semiplano superior y el disco unitario son biholomorfos, y el
biholomorfismo está dado por:
z−λ
T (z) = exp (iθ)
,
z − λ̄
donde Im(λ) > 0 y θ ∈ R.
Teorema 2.4 (Fórmula de Schwarz-Christoffel). Sea f una transformación
conforme del semiplano superior H sobre el interior D de un polı́gono cerrado
P en el plano; sean −∞ < a1 < a2 < · · · < an ≤ ∞ la lista de puntos
transformados a los vértices de P por el homeomorfismo extendido fe de f a la
cerradura H de H en C, y sea αj π el ángulo interior de P en el vértice f˜(aj ).
Entonces, existen constantes A y B, tales que para cualquier z ∈ H:
Z z
f (z) = A
(ς − a1 )α1 −1 (ς − a2 )α2 −1 · · · (ς − an )αn −1 dς + B
i
si an 6= ∞, mientras que:
Z z
f (z) = A
(ς − a1 )α1 −1 (ς − a2 )α2 −1 · · · (ς − an−1 )αn−1 −1 dς + B
i
si an = ∞.
Una demostración puede encontrarse en [1].
26
2.2.
F. Estrada, J. Poisot
Sobre la solución al problema de Grötzsch
Podemos enunciar la problemática de Grötzsch del modo siguiente: existe
una transformación conforme que envı́e un cuadrado en un rectángulo, que no
es un cuadrado, de forma que lleve vértices a vértices?, su respuesta es negativa.
¿Existe un difeomorfismo C 1 que resuelva este problema?, su respuesta es
afirmativa. ¿Existe un modo de medir la desviación de la conformodidad de
la solución?, su respuesta es afirmativa. El siguiente argumento nos permite
verificar estas respuestas [2]:
Sea f : U → V un difeomorfismo de clase C 1 entre dos dominios U y V
del plano que preserva orientación, es decir, el jacobiano Jf (z) :=| ∂f (z) |2
¯ (z) |2 es positivo en U , lo cual denotamos por f ∈ Dif + (U, V ), para
− | ∂f
¯ con z = x + iy, la
el cual se definen las derivadas parciales complejas ∂f y ∂f
diferencial df y la derivada Df por:
∂f =
1
¯ = 1 (fx + ify )
(fx − ify ) , ∂f
2
2
¯ dz̄
df = ∂f dz + ∂f
¯ (z) ū.
[Df (z)] (u) = ∂f (z) u + ∂f
La derivada ∂α f en la dirección α:
f (z + r exp (iα)) − f (z)
.
r→0
r exp (iα)
∂α f (z) = lı́m
¯ exp (−2iα), y ası́:
Entonces, ∂α f = ∂f + ∂f
¯ (z) |, mı́n | ∂α f (z) |=| ∂f (z) | − | ∂f
¯ (z) | .
máx | ∂α f (z) |=| ∂f (z) | + | ∂f
α
α
¯ (z) | es positiva, ya que el jacobiano Jf :=| ∂f |2
La diferencia | ∂f (z) | − | ∂f
2
¯
− | ∂f | es positivo para los difeomorfismos que preservan la orientación. En
consecuencia, el cociente de dilatación:
Df (z) :=
¯ (z) |
| ∂f (z) | + | ∂f
máxα | ∂α f (z) |
=
¯ (z) |
mı́nα | ∂α f (z) |
| ∂f (z) | − | ∂f
es finito y mayor o igual a 1.
Transformaciones casiconformes
27
¯ se anula en su domiLa transformación f es conforme si y sólo si ∂f
nio. Entonces, ∂α f es independiente de α: y obtenemos que ∂α f = ∂f =
0
f , lo cual es equivalente a que el cociente de dilatación sea idénticamente
igual a 1.
El cociente de dilatación es un invariante conforme: si g y h son transformaciones conformes, tales que
w = h ◦ f ◦ g esté definida, entonces se demuestra
que Df (z) = Dw g −1 (z) .
Sean R y R0 dos rectángulos con lados a, b y a0 , b0 , respectivamente. Podemos suponer que a/b ≤ a0 /b0 y que b ≤ b0 ; de otra manera, intercambiamos
a y b. Supongamos que R̄ ⊂ U y R̄0 ⊂ V y f (R) = R0 , y que f envı́a lados a
en lados a0 y lados b en lados b0 . Obtenemos las siguientes estimaciones:
¯ |dz| ≤ |df | ≤ |∂f | + ∂f
¯ |dz| ,
|∂f | − ∂f
lo cual se sigue de la definición de diferencial; además:
Z a
Z a
0
¯ dx
a =
|df (x + iy)| dx ≤
|∂f | + ∂f
0
0
a0 b0 ≤
Z
0
a02 b02 ≤
Z
0
aZ b
0
aZ
b
0
Z aZ b
¯ 2 |∂f | + ∂f
2
¯ dxdy
∂f
dxdy
|∂f
|
−
¯ |∂f | − ∂f
0
0
Z aZ b
0 0
=ab
Df dxdy
0
o
y en particular,
¯ dxdy
|∂f | + ∂f
a0 a
1
≤
0
b b
ab
0
Z Z
Df dxdy
R
a0 a
≤ sup Df (z) .
b0 b z∈U
El mı́nimo es alcanzado para la transformación afı́n, dada por:
1 a0 b0
1 a0 b0
f (z) =
+
z+
−
z̄.
2 a
b
2 a
b
Esto demuestra que no existe transformación conforme, que resuelva el
problema de Grötzsch.
28
3.
3.1.
F. Estrada, J. Poisot
Definición
analı́tica
Casiconforme
de
transformación
El caso diferenciable
De acuerdo a la sección anterior, siguiendo a Ahlfors, podemos definir el
concepto de transformación casiconforme para f ∈ Dif + (U, V ).
Def inición 3.1. f ∈ Dif + (U, V ) es K−casiconforme, con K ≥ 1 si Df (z) ≤
K para todo z ∈ U . Diremos que f ∈ Dif + (U, V )es casiconforme, si existe
un K ≥ 1, tal que f es K−casiconforme. La menor K, tal que f es Kcasiconforme, es llamada dilatación casiconforme de f .
Ejemplo 3.2. 1) Sean U = {x + iy : |y| ≤ 2x y 0 < x < 1}, V = C. Consideremos la función f : U → V, dada por:
√
y
f (x + iy) = 2 x + i √ ,
x
es casiconforme, ya que f ∈ Dif + (U, V ) y Df es acotada en U.
2) Sea K > 1. La función h : 4 → 4, dada por h (z) = z |z|K , es casiconforme, ya que h ∈ Dif + (4, 4) y
K
¯ |∂h| + ∂h
K+1 + 1
Dh =
¯ ≤ 1− K .
|∂h| − ∂h
K+1
3) Sea U = {x + iy : |y| ≤ x y 0 < x < 1} , V = C. La transformación
g : U → V, dada por g (x + iy) = x + i xy , es un elemento de Dif + (U, V ) ,
tal que Dg no es acotada en U por lo cual no es casiconforme. Sin embargo,
para cualquier punto en U , podemos construir una vecindad de tal punto, en
la cual esta transformación es casiconforme.
Desde el punto de vista geométrico, podemos hacer las siguientes observaciones: 1) Una transformación conforme infinitesimalmente envı́a circunferencias en circunferencias, lo cual se desprende directo de la definición de derivada compleja. 2) Una transformación casiconforme infinitesimalmente envı́a
circunferencias en elipses, es decir, la derivada envı́a circunferencias en elipses,
lo cual se constata del siguiente argumento:
¯ (z) exp (iθ) .
Df (z) r exp (iθ) = r∂f (z) exp (iθ) + r∂f
Transformaciones casiconformes
29
¯ (z) = r2 exp (iθ2 ), la parte derecha
Y si tomamos ∂f (z) = r1 exp (iθ1 ), y ∂f
de la igualdad anterior toma la forma:
θ1 + θ2
θ1 − θ2
θ1 − θ2
r exp i
(r1 + r2 ) cos
+ θ + i (r1 − r2 ) sin
+θ
,
2
2
2
que es la representación polar de una elipse, cuyo cociente de las longitudes del eje
mayor y el eje menor es:
¯ (z)
|∂f (z)| + ∂f
r1 + r2
=
¯ (z) = Df (z) ,
|r1 − r2 |
|∂f (z)| − ∂f
lo cual nos proporciona una interpretación geométrica de Df (z) .
Si S 1 = {z ∈ C : |z|= 1} y f ∈ Dif + (U, V ), para z ∈ U , denotamos por Ef (z) la
elipse Df −1 (f (z)) S 1 considerada módulo una homotecia real y se define la función
µf (z) :=
¯ (z)
∂f
∂f (z) .
Tenemos que |µf (z)| < 1. Las condiciones siguientes son equivalentes:
i) La transformación f es conforme, es decir, f es holomorfa con derivada no nula
en U .
ii) Ef es el campo de circunferencias.
iii) µf = 0 en U .
Los datos provistos por el campo de elipses Ef en U (considerado módulo una homotecia real en cada punto) y los de la función µf : U → 4, son equivalentes. Además,
tenemos que µf y Df están relacionadas por:
Df (z) =
1 + |µf |
.
1 − |µf |
El argumento principal de µf (z) satisface:
Arg (µf (z)) = θ2 − θ1 = −2ϕ,
donde ϕ es el ángulo que hace el eje menor de la elipse con el eje real.
La definición de la función µf y su significado geométrico, nos permite plantearnos
la siguiente pregunta: dado un dominio en U j C y un campo de elipses E definido
en U , ¿podemos encontrar un difeomorfismo f : U → V , tal que el campo E = Ef ? Lo
cual equivale a: dada una función µ : U → 4, ¿podemos encontrar un difeomorfismo
f : U → V , tal que µ = µf ? Es decir, nos estamos preguntando por las soluciones de
la ecuación en derivadas parciales:
¯ = µ∂f,
∂f
30
F. Estrada, J. Poisot
la cual es conocida como ecuación de Beltrami. Esta ecuación surge también en el estudio de la geometrı́a diferencial de superficies, en particular en la
teorı́a de superficies que admiten una estructura holomorfa, conocidas como superficies de Riemann, y esta teorı́a es fundamental en el estudio de la dinámica holomorfa.
Una de las técnicas más exitosas en dinámica holomorfa inaugurada en la década de
1980, es la llamada cirugı́a holomorfa, en la cual el uso del teorema que garantiza la
existencia de soluciones a la ecuación de Beltrami, es un hecho fundamental, ası́ como en el estudio de grupos kleinianos. En todas estas aplicaciones de la ecuación de
Beltrami, es necesario considerar que la función µ no es necesariamente continua; es
decir, f no es necesariamente diferenciable. Por lo que necesitamos generalizar nuestro
concepto de transformación casiconforme.
3.2.
El caso general
Para tratar el caso general, necesitamos introducir algunas nociones básicas de la
Teorı́a de distribuciones de L. Schwartz. Sea U un abierto de C. Denotamos con C (U )
(respect. C 1 (U ), C ∞ (U )) el espacio vectorial de funciones continuas definidas en U ,
y que toman valores en C (respect. el espacio de funciones con derivadas continuas
y el espacio de funciones con derivadas de todos los órdenes). Denotamos Ccomp (U )
el espacio de funciones con soporte compacto definidas en U , y definimos igualmente
1
∞
Ccomp
(U ) y Ccomp
(U ).
El espacio L2 (U ) es completación del espacio Ccomp (U ) con la norma L2 definida
por:
ZZ
ZZ
2
(kf kL2 ) =
2
2
|f | =
|f (z)| dxdy,
z∈U
donde la integral es considerada respecto a la medida de Lebesgue. Éste es un espacio
de Hilbert complejo. Denotamos por L2comp (U ) el subespacio de funciones de L2 (U )
que tienen soporte compacto en U , y por L2loc (U ) el espacio de
funciones definidas en U y que están localmente en L2 . De igual manera, definimos
L1 (U ), L1comp (U ), L1loc (U ). Recordemos que
L∞ (U ) = {f : U → C medible y acotada}
es un espacio de Banach complejo, con la norma |f |∞ :=sup esencz∈U |f (z)|.
Def inición 3.3. Dadas dos funciones f y g en L1loc (U ), decimos que g =
sentido de distribuciones, si:
ZZ
ZZ
∂h
∞
∀h ∈ Ccomp
(U )
gh = −
f
.
∂x
∂f
∂x
en el
Transformaciones casiconformes
31
La función g está determinada de manera única (como elemento de L1loc (U )) por
esta condición.
1
Def inición 3.4. Definimos el espacio de Sobólev Hloc
(U ) como el espacio vecto∂f
1
rial de funciones f ∈ Lloc (U ), que admiten derivadas parciales ∂f
∂x y ∂y en el
1
sentido de distribuciones contenidas en L2loc (U ). Para f ∈ Hloc
(U ), definimos ∂f
¯
y ∂f en el sentido de distribuciones mediante las fórmulas habituales:
∂f
1 ∂f
¯ = 1 ∂f + i ∂f .
−i
, ∂f
∂f =
2 ∂x
∂y
2 ∂x
∂y
Teorema(lema de H. Weyl). Si U ⊂ C es abierto, y f : U → C es una función continua,
¯ = 0 en el sentido de distribuciones, entonces f es holomorfa
¯ ∈ L1 (U ) y ∂f
tal que ∂f
loc
en U .
Una demostración puede encontrarse en [9]. Con estos conceptos estamos en la posibilidad de enunciar la definición analı́tica general de transformación
casiconforme.
Def inición 3.5. Sean U, V subconjuntos abiertos de C, tomemos K ≥ 1, y sea
k := (K − 1) / (K + 1), ası́ que 0 ≤ k < 1. Una transformación f : U → V es
K−casiconforme, si es un homeomorfismo cuyas derivadas parciales en el sentido de
¯ pertenecen a L2 (U ) y satisfacen:
distribuciones ∂f y ∂f
loc
¯ ≤ k |∂f |
∂f
en L2loc (U ); es decir, |µ| ≤ k a µ se llama dilatación compleja de f .
Supongamos que f es k−casiconforme y g es k 0 −casiconforme, y pongamos:
K=
1+k
,
1−k
K0 =
1 + k0
,
1 − k0
entonces la K 00 correspondiente a f ◦g es a o más K ·K 0 y ası́ f ◦g es k 00 −casiconforme
para alguna k 00 = k 00 (k, k 0 ) . En realidad, se puede demostrar que:
Proposición 3.6. Si f : U → V y g : V → W son homeomorfismos casiconformes,
entonces la composición g ◦ f es casiconforme y
µg◦f (z) =
µf (z) + µg (z) ·
∂f (z)
∂f (z)
1 + µg (f (z)) · µf (z) ·
Si f es holomorfa, entonces µg◦f (z) = µg (f (z)) ·
∂f (z)
∂f (z) .
∂f (z)
∂f (z)
.
32
F. Estrada, J. Poisot
Una demostración puede encontrarse en [2]. De acuerdo al lema de Weyl,
tenemos:
Teorema 3.7. Sean U, V ⊆ C abiertos. Un homeomorfismo f : U → V que es
1-casiconforme, es conforme.
El siguiente resultado es el punto de partida para la Teorı́a de la deformación de
transformaciones casiconformes en el plano.
Teorema 3.8. (Morrey, Bojarski, Ahlfors, Bers) (Transformación medible de Riemann). i) Sea U ⊆ C un abierto y sea µ ∈ L∞ (U ) , tal que kµk∞ < 1. Entonces
existe una transformación casiconforme f := fµ : U → C, que satisface la ecuación
de Beltrami:
¯ = µ∂f
∂f
Además, f (z) − z→ 0 cuando z → ∞. A tal función µ se le llama coeficiente de
Beltrami en U .
ii) Si g es otra solución casiconforme de esta ecuación, entonces existe una función
holomorfa e inyectiva ϕ : f (U ) → C, tal que g = ϕ ◦ f , ası́ que µϕ◦f (z) = µf (z).
iii) Si la función µ depende también de un parámetro λ, es decir, µ : Λ × U → C,
donde λ ∈ Λ y Λ es un dominio de C, y la dependencia de µ respecto a λ es holomorfa
(respect. continua), entonces las soluciones de la ecuación de Beltrami, fµλ , dependen
de manera holomorfa (respect. continua) del parámetro λ.
Una demostración se encuentra en [7].
Nota 3.9. Dos transformaciones entre superficies f , g : S1 → S2 , se dicen isotópicas
si existe una familia a un parámetro Ht : S2 → S2 de homeomorfismos, tal que
H0 = idS2 y H1 ◦ f = g. De acuerdo a (ii), dos soluciones fµ y gµ de la ecuación de
Beltrami, son isotópicas. Además, si fµ y gµ son homeomorfismos casiconformes de
la esfera C̄, entonces gµ = ϕ ◦ fµ para alguna transformación de Möbius ϕ.
4.
Superficies de Riemann
En el estudio del comportamiento multivaluado de ciertas funciones holomorfas,
o en el estudio de la extensión del dominio de holomorfı́a (continuación analı́tica) de estas funciones, surge el concepto de superficie de Riemann. Hay varias
formas de introducir este concepto, pero la forma que nos conviene en esta exposición es la siguiente:
Una variedad de dimensión n es un espacio topológico conexo Hausdorff X, tal
que cada punto del espacio posee una vecindad abierta, que es homeomorfa a un
abierto de Rn o de Cn (variedad topológica). Si además en cada punto p ∈ X, para
Transformaciones casiconformes
33
dos vecindades U, U 0 de p, con ϕ : U → Rn y ψ : U 0 → Rn homeomorfismos a abiertos
de Rn (o Cn ), se tiene que:
ϕ ◦ ψ −1 : ψ (U ∩ U 0 ) → ϕ (U ∩ U 0 )
es diferenciable (analı́tica), la variedad se llama diferenciable (analı́tica).
Def inición 4.1. Sea S una variedad diferenciable de dimensión real 2. Una carta
compleja es un homeomorfismo ϕ : U → V de un subconjunto abierto U ⊂ S sobre
un subconjunto abierto V ⊂ C. Dos cartas complejas ϕi : Ui → Vi , i = 1, 2, se dicen
compatibles holomorfamente si la función:
ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 )
es biholomorfa.
Un atlas complejo en S es un sistema U = {ϕi : Ui → Vi , i ∈ I} de cartas, que son
compatibles holomorfamente y que cubren a S; es decir, ∪i∈I Ui = S.
Dos atlas complejos U y U 0 se dicen equivalentes holomorfamente ,si toda carta de U
es compatible holomorfamente con toda carta de U 0 . Nótese que la
composición de funciones biholomorfas es biholomorfa; en consecuencia, la noción
de equivalencia holomorfa de atlas complejos es una relación de equivalencia.
Una estructura compleja sobre una variedad S de dimensión real 2, es una clase
de equivalencia de atlas equivalentes holomorfamente sobre S.
Def inición 4.2. Una superficie de Riemann es un par (S, Σ) , donde S es una variedad
de dimensión real 2, conexa y Σ es una estructura compleja sobre S.
Usualmente escribimos S en lugar de (S, Σ), siempre que sea clara la estructura
compleja Σ que estamos considerando.
Ejemplo 4.3. Ejemplos de superficies de Riemann:
(a) El plano complejo C. Su estructura compleja está definida por el atlas cuya
única carta es la función identidad C→ C.
(b) Dominios. Supongamos que S es una superficie de Riemann y que D ⊂ S es
un subconjunto abierto y conexo. Entonces D tiene una estructura compleja natural,
que lo convierte en una superficie de Riemann. El atlas es aquel formado por todas las
cartas complejas ϕ : U → V sobre S, tales que U ⊂ D. En particular, todo dominio
de C es una superficie de Riemann.
(c) La esfera de Riemann C̄. Introducimos la siguiente topologı́a sobre C̄. Los
conjuntos abiertos son, los conjuntos abiertos usuales U ⊂ C, junto con los conjuntos
de la forma V ∪ {∞}, donde V ⊂ C es el complemento del subconjunto compacto G ⊂
34
F. Estrada, J. Poisot
C. Con esta topologı́a, C̄ es un espacio topológico Hausdorff compacto, homeomorfo
a la esfera de dimensión 2, S 2 . Tomemos:
U1 := C̄ {∞} = C
U2 := C̄ {0} = {C {0}} ∪ {∞} .
Definimos las funciones ϕ1 : U1 → C como la función identidad y
n1
z∈C{0}
ϕ2 (z) := z para
.
0 para z=∞
El atlas definido por estas dos cartas, convierte a C̄en una superficie de Riemann.
(d) El cilindro. Considérese el grupo cı́clico G de traslaciones actuando en C, cuyos
elementos son de la forma z → z + n, donde n ∈ Z. Entonces hay una transformación
cubriente natural (véase la sección siguiente) π : C → C/G, que envı́a un punto a la
órbita bajo la acción de G. Topológicamente, el espacio de órbitas puede ser representado como la banda infinita {z | 0 5 x < 1} con el punto iy en el lado izquierdo
de la banda, identificado con 1 + iy en el lado derecho. Las ramas de π −1 restringidas a la imagen de π de conjuntos abiertos en C, que están estrictamente entre dos
lı́neas verticales separadas una unidad, son homeomorfismos. Esos homeomorfismos
constituyen un sistema de cartas para C/G, cuyas transformaciones de transición son
traslaciones en G. Ası́ que C/G es una superficie de Riemann. Además, se puede verificar que la transformación z → exp {2πiz} induce un isomorfismo conforme de C/G
sobre C \ {0}.
(e) Los toros. Sea G el grupo de las traslaciones de la forma z → z + nw1 + mw2
con n, m ∈ Z, y w1 , y w2 forman una base sobre R para C, actuando en C. Entonces
R = C/G es un toro, y como en el ejemplo anterior, este tiene una estructura de
superficie de Riemann, dada por las ramas de la inversa de la transformación cubriente
π : C → C/G.
(f) El Teorema de Transformación medible de Riemann nos conduce naturalmente
a la idea de que cada µ ∈ L∞ (U ), en un dominio simplemente conexo U ⊂ C̄, produce
una nueva superficie de Riemann (U, Σµ ), con la estructura conforme Σµ definida por
el atlas U (µ) , que consiste en la familia de todas las transformaciones ϕ : U → C̄, las
cuales son casiconformes con dilatación µ en U . El punto (ii) de tal teorema garantiza
que las funciones de transición entre dos diferentes cartas coordenadas, es holomorfa.
Def inición 4.4. Una función entre dos superficies de Riemann f : (S1 , Σ1 ) →
(S2 , Σ2 ), se dice holomorfa si para cualesquiera cartas complejas ϕ : U → V , φ :
U 0 → V 0 de Σ1 y Σ2 , respectivamente, tales que f (U ) ⊂ U 0 , se verifica que la expresión local de la función φ ◦ f ◦ ϕ−1 : V → V 0 es holomorfa. Dos superficies de Riemann
se dicen equivalentes biholomorfamente ,si existe una función biyectiva y holomorfa
entre ellas, con inversa holomorfa.
Transformaciones casiconformes
35
Uno de los problemas más importantes del análisis complejo es el de la clasificación
de superficies de Riemann, bajo la relación de equivalencia biholomorfa. Este problema
alcanzó finalmente su respuesta (Koebe, Poincaré, Klein) a principios del siglo XX,
lo cual queda establecido en el siguiente teorema.
4.1.
Espacios cubrientes
La Teorı́a de los espacios cubrientes está relacionada con el estudio del grupo
fundamental. Muchas cuestiones topológicas básicas sobre espacios cubrientes, pueden
reducirse a cuestiones puramente algebraicas sobre los grupos fundamentales de los
distintos espacios involucrados. Recurriremos a esta teorı́a para establecer resultados
básicos en el estudio de las superficies de Riemann.
En lo que sigue, se supondrá que todos los espacios son arco-conexos y localmente
arco-conexos, mientras no se diga lo contrario.
e → X entre espacios
Def inición 4.5. Decimos que una transformación continua π : X
e recubre a X a través de π, si
topológicos, es llamada transformación cubriente o que X
cada y ∈ X tiene una vecindad V , tal que π −1 (V ) = ∪j∈J Uj , donde los Uj son abiertos
e tales que para todo j ∈ J, π : Uj → V es un homeomorfismo.
conexos ajenos de X,
Def inición 4.6. Decimos que dos curvas α, α0 : [0, 1] → X son homotópicas (relativas
a los puntos extremos), si existe una función continua γ : [0, 1] × [0, 1] → X tal que
para γs (t) = γ (t, s) se tiene que γ0 = α y γ1 = α0 , y las curvas γs tienen los mismos
puntos extremos para cada s.
En particular, si α es una curva cerrada α (0) = α (1) = x0 , entonces las γs son
también curvas cerradas con punto extremo x0 . La función γ es llamada homotopı́a
entre α y α0 . Dado x0 ∈ X, sea π1 (X, x0 ) el espacio de clases de homotopı́a de
curvas cerradas, con γ (0) = γ (1) = x0 . Este espacio puede convertirse en el grupo
fundamental de X con punto base x0 , definiendo para cada [γ1 ], [γ2 ], pertenecientes a
π1 (X, x0 ), su suma [γ1 ] + [γ2 ] como la clase de homotopı́a de la curva:
γ1 (2t) para t∈[0, 1 ]
γ (t) = γ (2t−1) para t∈ 12,1 .
[2 ]
2
Un espacio X es conexo simplemente si π1 (X, x0 ) = 0, donde 0 representa la clase de
homotopı́a de la curva constante x0 . La propiedad principal de una transformación
cubriente es que curvas y homotopı́as, pueden ser levantadas: para cada α : [0, 1] → X
continua, existe ᾱ : [0, 1] → X con π ◦ ᾱ = α. Además, si γ es una homotopı́a entre
α y α0 , entonces existe una homotopı́a γ̄ entre ᾱ y algún levantamiento ᾱ0 de α0 . Un
cubriente es universal si X es conexo simplemente.
36
F. Estrada, J. Poisot
Teorema 4.7. Sea X un espacio topológico conexo por trayectorias. Entonces, tenemos lo siguiente:
1. Existe una transformación cubriente π : X → X.
2. Cada transformación continua f : Y → X, tiene un levantamiento. Más precisamente, para cada y ∈ Y y cada x̄ ∈ π −1 (f (y)), existe una única transformación
continua f : Y → X con π ◦ f = f y f (y) = x̄.
3. Si f : Y → Y es una transformación cubriente y Y es conexo simplemente,
entonces f es un homeomorfismo. En particular, el cubriente universal es único salvo
homeomorfismos.
Una demostración puede consultarse en [9]. Debido al teorema precedente, uno
puede levantar π : X → X a una transformación π̄ : X → X. Puesto que π es una
transformación cubriente, π̄ también es una transformación cubriente, y puesto que X
es conexo simplemente, es un homeomorfismo. Sea Γ el espacio de tales levantamientos:
Γ = π̄; π̄ es un levantamiento de π : X → X .
Este espacio es un grupo con la composición, y es llamado grupo de transformaciones
cubrientes.
Ejemplos de superficies cubrientes:
(i) Sea π : C→ C − {0}, dado por π (z) = exp (z). Entonces, C es una superficie
cubriente universal de C − {0}.
(ii) Sea π : H → ∆−{0}, dado por π (z) = exp (2πiz). Entonces, H es un cubriente
universal de ∆ − {0}.
(iii) Sea π : C − {0} → C − {0}, dado por π (z) = z n , con n ∈ N. Entonces, C − {0}
es una superficie cubriente de sı́ misma, pero no es una
superficie cubriente universal.
2
(iv) Sea λ > 1, definamos r = exp −2π /log λ y A = {w ∈ C : r < |w| < 1}.
Definimos π : H → A por π (z) = exp (2πi log(z)/log(λ)), donde log (z) denota su rama
principal. Entonces, H es la superficie cubriente universal del anillo A.
(v) Sea Γτ = {γ = m · 1 + nτ : m, n ∈ Z, τ ∈ H}, el grupo de red generado por 1 y
τ con la operación de suma. Este grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo Aut(C),
donde el isomorfismo está dado por γ → γ 0 (z) = z + m · 1 + nτ . Sea π la proyección
de C → C/Γτ , entonces C es la superficie cubriente universal del toro C/Γτ .
(vi) Si X es localmente conexo simplemente, el grupo Γ actúa discontinuamente
sobre X (es decir, cada punto tiene una vecindad U , tal que γ (U ) ∩ U 6= ∅ para sólo
un número finito de elementos γ ∈ Γ). Además, el espacio X es homeomorfo a X/Γ y
el grupo Γ es isomorfo al grupo fundamental π1 (X) .
Teorema 4.8. En toda superficie de Riemann S, existe una superficie cubriente
universal S de S, la cual es biholomorfa a una de las siguientes:
1) El plano complejo C.
2) La esfera de Riemann C̄.
3) El disco unitario 4.
Transformaciones casiconformes
37
Demostración. Este teorema es consecuencia de un notable resultado, debido a Koebe,
llamado Teorema de Planaridad de Koebe, el cual establece que cualquier superficie
de Riemann plana, es conformemente equivalente con una de las tres posibilidades
siguientes: C̄, C, o un dominio contenido en C. Una superficie R es plana si cualquier
curva cerrada simple, contenida en R, divide a R en dos componentes. De la Teorı́a de
los espacios cubrientes, cualquier superficie R tiene una cubierta universal simplemene con transformación cubriente π : R
e → R, donde π es un homeomorfismo
te conexa R
e sin puntos fijos,
local y hay un grupo G de transformaciones cubrientes actuando en R
e
R
con la propiedad de que /G es homeomorfo a R. Además, cada punto p ∈ R tiene
una vecindad N , tal que γ (N ) ∩ N es vacı́o para cada elemento γ ∈ G \ {id}.
La estructura conforme dada en R, induce una estructura conforme en el espacio
e convirtiéndolo en una superficie de Riemann plana simplemente conexa.
cubriente R,
Ası́, el Teorema de Planaridad y el Teorema de Representación Conforme de Riemann,
e es conformemente equivalente a C̄ o a C o a H.
implican que R
Nótese que el grupo G es libre de torsión actuando en H, cuyo espacio factor es
conforme a R, pero no es determinado en forma única. Sin embargo, si G0 es otro subgrupo libre de torsión de P SL (2, R), tal que H factorizado por G0 es conformemente
equivalente a R, entonces existe una transformación de Möbius B, que preserva H,
tal que G0 = B ◦ G ◦ B −1 .
Nos referiremos a estas tres posibilidades como el caso euclidiano (o parabólico),
hiperbólico, y esférico (o elı́ptico), respectivamente. Esas superficies de Riemann no son
mutuamente conformemente equivalentes. El plano complejo C no es biholomorfo a
C, ya que C no es compacto y C sı́ lo es. Por la misma razón, ∆ y C no son biholomorfos. El plano C y el disco ∆ no son biholomorfos, ya que en C toda función entera
acotada es constante y en ∆, existen funciones holomorfas acotadas no constantes. La
transformación de Möbius w = (z−i)/(z+i) modifica biholomorfamente H en el disco
unitario ∆.
4.2.
Métricas en superficies de Riemann
De acuerdo a la sección anterior, una superficie de Riemann es una variedad diferenciable de dimensión real 2 y en el estudio de la geometrı́a diferencial, el concepto
de métrica riemanniana sobre ellas es una herramienta fundamental, lo cual necesitaremos más adelante.
Def inición 4.9. Una métrica riemanniana sobre una superficie de Riemann S, es una
forma cuadrática positiva sobre el espacio tangente en cada punto de S.
En una carta local z = x + iy, ésta se puede escribir como:
ds2 = a (z) dx2 + 2b (z) dxdy + c (z) dy 2 ,
38
F. Estrada, J. Poisot
a (z) b (z)
donde a (z) > 0 y b (z) −a (z) c (z) < 0 y la matriz asociada
depende
b (z) c (z)
suavemente de z. Con la notación compleja dz = dx + idy y dz̄ = dx − idy, la métrica
se puede expresar como:
2
2
ds2 = ρ (z) |dz + µ (z) dz̄| ,
2
con ρ (z) > 0 y |µ (z)| < 1. La métrica estándar de C es ds20 := |dz| = dx2 + dy 2 y la
de C̄ es:
!2
2 |dz|
2
dsC̄ =
.
2
1 + |z|
La métrica hiperbólica (o de Poincaré) en el disco unitario ∆ es:
ds2∆
=
!2
2 |dz|
2
1 − |z|
,
la cual tiene a las transformaciones de Möbius M öb (∆) como isometrı́as.
De cada métrica, podemos obtener una distancia d (z1 , z2 ) integrando a lo largo
de las curvas de z1 a z2 y tomando el ı́nfimo de tales longitudes. Dos métricas ds21
y ds22 son equivalentes conformemente, si existe una función positiva τ (z), tal que
ds22 = τ (z) ds21 . Una clase de equivalencia conforme de métricas, define una estructura
conforme sobre S. Trataremos también con estructuras conformes medibles, para las
cuales los coeficientes de la métrica se suponen medibles y las relaciones anteriores
son satisfechas casi donde quiera,
a la medida de Lebesgue. La estructura
con respecto
conforme estándar es σ0 := ds20 = ds2C̄ , donde los corchetes denotan la clase de
equivalencia de las métricas respectivas. Se puede demostrar usando lo anterior, que
las estructuras conformes medibles están en una correspondencia uno a uno con las
dz
diferenciales de Beltrami, tensores de la forma µ (z) dz
, la cual es consistente bajo
cambios de coordenadas. Una estructura conforme medible es llamada acotada, si
|µ (z)|∞ < 1.
5.
Deformaciones de estructuras complejas y espacio de Teichmüller
En el siglo XIX, B. Riemann se pregunta cómo describir las variaciones de estructuras complejas sobre una superficie dada. Esta problemática es retomada por
O. Teichmüller en 1938, utilizando como herramienta fundamental las transformaciones casiconformes, dando origen a la Teorı́a del espacio de Teichmüller, que da
Transformaciones casiconformes
39
una respuesta a este problema construyendo una parametrización del conjunto de
todas las estructuras complejas de una superficie dada. Esta teorı́a está en la intersección de muchas importantes áreas de las matemáticas como: la Teorı́a de
superficies de Riemann, variedades complejas, grupos fuchsianos, kleinianos, grupos
de Lie, topologı́a en dimensiones 2 y 3, ecuaciones diferenciales, dinámica holomorfa
y Teorı́a ergódica. Recientemente esta teorı́a ha empezado a jugar un rol importante
en la Teorı́a de cuerdas.
5.1.
Deformaciones casiconformes de funciones holomorfas
Dado U ⊂ C̄ abierto, denotamos con B (U ) el conjunto de todos los coeficientes
de Beltrami sobre U , que es la bola unitaria en L∞ (U ). La métrica de Poincaré sobre
B (U ), se define como sigue:
dB (µ1, µ2 ) = sup esencz ∈U dP (µ1 (z) , µ2 (z)) ,
donde dP (µ1 (z) , µ2 (z)) es la distancia de Poincaré entre dos puntos en ∆.
Un camino de Beltrami en U es una función t → µt ∈ B (U ), tal que para casi todo
z ∈ U , t → µt (z) es una geodésica hiperbólica en ∆. Si µt es un camino de Beltrami,
entonces su vector tangente en t = t0 ,
νt0 (z) =
d
µt (z) |t=t0 ,
dt
es una función medible esencialmente acotada, llamada vector de Beltrami. Inversamente, cualquier función ν ∈ L∞ (U ) es tangente a un único camino de Beltrami.
Lema 5.1. (1) Sea f : U → V una transformación casiconforme. Si µ ∈ B (V ),
entonces su función regreso f ? µ se define por:
?
(f µ) (z) =
µf (z) + µ (f (z)) ·
∂f (z)
∂f (z)
1 + µ (f (z)) · µf (z) ·
∂f (z)
∂f (z)
y esta expresión es un coeficiente de Beltrami sobre U .
(2) La función f ? : B (V ) → B (U ), definida por µ 7−→ f ? µ, es una isometrı́a de
la métrica de Poincaré y transforma caminos de Beltrami en caminos de Beltrami.
Observaciones. (1) Si f es holomorfa, entonces:
(f ? µ) (z) = µ (f (z)) ·
∂f (z)
casi donde quiera
∂f (z)
y esta función de regreso está bien definida aún si f no es inyectiva.
40
F. Estrada, J. Poisot
(2) µf = f ? (0). En otras palabras, el coeficiente de Beltrami de un homeomorfismo casiconforme f es el regreso del coeficiente de Beltrami idénticamente cero.
(3) La acción tangente de f sobre un vector de Beltrami, está dada por:
2
∂f (z)
1 − |µf |
∂f
(z)
(T f ? (µ)) (ν) (z) = 2 ν (f (z)) .
(z)
1 + µ (f (z)) · µf (z) · ∂f
∂f (z)
De manera que si ν es un vector de Beltrami tangente al camino de Beltrami µt en
t = t0 y µt0 = µ, entonces (T f ? (µ)) (ν) es el vector de Beltrami tangente al camino
de Beltrami f ? (µt ) en t = t0 . Nótese que si f es holomorfa, entonces
(T f ? (µ)) (ν) (z) = ν (f (z)) ·
∂f (z)
casi donde quiera.
∂f (z)
Los caminos de Beltrami pueden ser usados para construir deformaciones de funciones holomorfas. Una demostración del lema anterior, ası́ como del teorema siguiente,
pueden encontrarse en [4].
Teorema 5.2. Sea F : U → V una función holomorfa entre conjuntos abiertos, tales
que V ⊂ U . Sea µt : V → C un camino de Beltrami en V con µ0 ≡ 0, satisfaciendo
la condición
F ? (µt ) = µt para toda t.
Sea ϕt : V → Vt ⊂ C una familia continua de homeomorfismos casiconformes con
ϕ0 = id, tal que el coeficiente de Beltrami de ϕt es µt . Entonces:
Ft = ϕt ◦ F ◦ ϕ−1
t
es una familia continua de funciones holomorfas.
Def inición 5.3. Sea S una superficie de Riemann, un coeficiente de Beltrami µ sobre
S es una colección de coeficientes de Beltrami µi : Vi → C, uno para cada carta
ϕi : Ui → Vi de S, llamada expresión de µ en ϕi , satisfaciendo la condición de
compatibilidad:
?
ϕj ◦ ϕ−1
µj = µi sobre ϕi (Ui ∩ Uj )
i
y la condición de acotación:
|µi (z)| < k para casi todo z ∈ Vi ,
donde k < 1 es independiente de i.
Transformaciones casiconformes
41
Def inición 5.4. Un homeomorfismo f entre dos superficies de Riemann S1 y S2 ,
es K−casiconforme si todas las expresiones locales de f son K−casiconformes. La
transformación de regreso f ? : B (S2 ) → B (S1 ), se define tomando los regresos de las
expresiones locales de la función f . La métrica de Poincaré sobre B (S) se define como
sigue:
dB (µ1 , µ2 ) = sup sup esencz∈ϕi (Ui ) dP (µ1,i (z) , µ2,i (z)) .
i
−1
0
Notemos que dP (µ1,i (z) , µ2,i (z)) = dP (µ1,j (z 0 ) , µ2,j (z 0 )) si ϕ−1
i (z) = ϕj (z ).
De tal manera que el supremo anterior sobre i, puede ser tomado sobre cualquier
atlas. Notemos también que f ? es una isometrı́a.
Decimos que una familia a un parámeto µt de coeficiente de Beltrami, es un camino
de Beltrami sobre la superficie de Riemann S, si para cada carta ϕi : Ui → ϕi (Ui ),
t 7→ µi,t es un camino de Beltrami en ϕi (Ui ), donde µi,t es la expresión de µt en esta
carta. Análogamente, definimos un vector de Beltrami ν en el coeficiente de Beltrami
µ como una colección νi :ϕi (Ui ) → C de vectores de Beltrami, tales que:
?
T ϕj ◦ ϕ−1
(µj ) (νj ) = νi
i
y tal que el supremo esencial |νi | es uniformemente acotado. Esta condición de invarianza puede ser escrita en coordenadas locales como sigue:
∂ ϕj ◦ ϕ−1
i
−1
−1 · νj ϕj ◦ ϕi (z) = νi (z) ;
∂ ϕj ◦ ϕi
como antes, cada vector de Beltrami ν en µ determina un único camino de Beltrami
µt con µ0 = µ e inversamente.
5.2.
Deformaciones
Complejas
casiconformes
de
estructuras
Con los conceptos introducidos en la sección anterior y el Teorema de MorreyBojarsky-Ahlfors-Bers, podemos definir con toda precisión el significado de la deformación casiconforme de una estructura compleja, asociada a un coeficiente de Beltrami, sobre una superficie de Riemann.
Teorema 5.5. (Superficie de Riemann Sµ ). Sean S una superficie de Riemann y
µ un coeficiente de Beltrami sobre S, entonces µ determina una nueva superficie de
Riemann Sµ y una transformación casiconforme f : S → Sµ , tal que f ? (0) = µ.
Corolario 5.6. (1) Toda transformación casiconforme f : U → U , donde U ⊂ C un
dominio, es isotópica a la identidad. (2) Toda transformación casiconforme f : S → S
con S una superficie, es isotópica a la identidad.
42
F. Estrada, J. Poisot
Idea de la demostración del teorema
Sea U = {ϕi : Ui → Vi , con i ∈ I} un atlas sobre S y para cada ϕi ∈ U, sea µi :
Vi → C la expresión local de µ. Sea ψi : Vi → ψi (Vi ) la transformación casiconforme cuyo coeficiente de Beltrami es µi , es decir, ψi? (0) = µi . Entonces, U =
{ϕi = ψi ◦ ϕi : Ui → ψi (Vi )} es un atlas para S. La transformación casiconforme f
queda determinada localmente por las ψi .
Nota 5.7. Sea Sµ el espacio topológico S dotado con la estructura compleja definida por el atlas U. Tomando f como la transformación identidad en Sµ , obtenemos
f ? (0) = µ, Por lo cual un camino de Beltrami µt sobre S, define una familia a un
parámetro de superficies de Riemann Sµt . Si µ0 = 0, entonces ésta es una deformación
de la estructura compleja original sobre S. Inversamente, dada cualquier superficie
de Riemann S1 y un homeomorfismo casiconforme f : S → S1 , podemos obtener un
coeficiente de Beltrami µ = f ? (0) sobre S. Por lo tanto, podemos identificar el espacio
B (S) con el C (S) de todas las estructuras complejas sobre el espacio topológico S,
que son homeomorfas casiconformemente a la estructura original.
5.3.
Espacio de Teichmüller de una superficie de Riemann
De acuerdo a las secciones anteriores, podemos dar la siguiente definición de espacio de Teichmüller:
Def inición 5.8. Dada una superficie S, dos coeficientes de Beltrami µ1 y µ2 sobre S
son equivalentes en el sentido de Teichmüller µ1 ∼T µ2 , si µ1 = ϕ? µ2 , donde ϕ : S → S
es un homeomorfismo casiconforme que es isotópico a la identidad. El espacio de clases
de equivalencia de coeficientes de Beltrami sobre S, es llamado espacio de Teichmüller
de S y es dentado por T (S). Sea π : B (S) → T (S) la correspondiente proyección,
ésta puede ser utilizada para dotar a T (S) de una estructura compleja. Definimos
sobre T (S) la métrica de Teichmüller como sigue:
dT ([µ1 ] , [µ2 ]) = dB π −1 ([µ1 ]) , π −1 ([µ2 ]) .
Notemos que esto es precisamente el mı́nimo de la distancia de Poincaré, de
dP (µ1 , ϕ? (µ2 )) sobre todos los homeomorfismos casiconformes ϕ : S → S, que
son isotópicos a la identidad. Otra manera de definir el espacio T (S) es la siguiente: para cualquier transformación casiconforme f : S → S1 , donde S1 es otra superficie de Riemann, consideramos el par (S, f ). Decimos que dos pares (S1 , f1 )
y (S2 , f2 ) son equivalentes en el sentido de Teichmüller ,si f2 ◦ f1−1 es homotópica
a una transformación conforme de S1 sobre S2 . Denotamos por [S, f ] la clase de
equivalencia del par (S, f ). Entonces, llamamos al conjunto de todas las clases
de equivalencia el espacio de Teichmüller de S.
Transformaciones casiconformes
43
Ejemplo 5.9. (1) El espacio de Teichmüller C es trivial (cualquier transformación
casiconforme en C es isotópica a la identidad), lo cual se desprende del Teorema de
Integración de Morrey-Bojarski-Ahlfors-Bers.
(2) Para la superficie de Riemann
S = AR = {z ∈ C : 1 < |z| < R}
con R > 1. Notemos que la imagen de S bajo una transformación casiconforme,
es conformemente equivalente a otro anillo S1 = {z ∈ C : 1 < |z| < s} , y que toda
transformación casiconforme de S sobre sı́ misma, es homotópica a la identidad o a
la transformación conforme z → zs . Además, por el principio de reflexión, podemos
concluir que anillos correspondientes a diferentes valores de s, no son mutuamente
conformemente equivalentes. Por lo tanto, T (S) se identifica con el intervalo abierto
(1, ∞).
(3) Supongamos que S = 4 o S = ∆ − {0}. Entonces, la imagen de S bajo una
transformación casiconforme es conformemente equivalente a S y toda transformación
casiconforme de S sobre sı́ misma, es homotópica a la identidad. Por lo tanto, T (∆)
y T (∆ − {0}) consisten de un solo punto.
(4) Supongamos que la cubriente universal de S es C. Por un teorema (consecuencia del Teorema de Uniformización) que afirma: una superficie de Riemann
tiene una cubriente universal biholomorfa a C si y sólo si ésta es biholomorfa a una
de las tres siguientes: C, C − {0}, o C/Γ con Γ un grupo de red. Entonces, S es
conformemente equivalente a una de las tres C, C − {0}, o C/Γ. La imagen de C
o C − {0} por una transformación casiconforme, es equivalente conformemente a
C o C − {0}, respectivamente. Además, toda transformación casiconforme de C sobre
sı́ misma es homotópica a la identidad. Por lo tanto, T (C) consiste de un solo punto.
Toda transformación casiconforme de C − {0} sobre sı́ misma, es homotópica a la
identidad o a la transformación conforme z → z1 . Por tanto, T (C − {0}) consiste de
un solo punto. Con una argumentación un poco más elaborada, se puede mostrar que
existe un homeomorfismo entre T (C/Γ) y H.
6.
Movimiento holomorfo
La introducción de este concepto estuvo motivada por el estudio de la estabilidad
estructural (la cual trataremos en una sección posterior) de la dinámica generada por
la iteración de funciones racionales de una variable compleja, actuando en la esfera
de Riemann en un célebre artı́culo de Mané, Sad y Sullivan [M SS]. Esta teorı́a se ha
convertido en años recientes en una herramienta muy importante para el estudio de
la dinámica holomorfa y de los espacios de Teichmüller.
44
F. Estrada, J. Poisot
Def inición 6.1. Una función Φ : 4 × A → C̄ es llamada movimiento holomorfo de
un conjunto A ⊂ C̄, si:
(i) para cualquier a ∈ A fijo, la transformación λ → Φ (λ, a) es holomorfa en ∆.
(ii) para cualquier λ ∈ ∆ fijo, la transformación a → Φλ (a) = Φ (λ, a) es inyectiva.
(iii) la transformación Φ0 es la identidad en A.
Observación.— En la definición anterior, podemos sustituir el disco 4 por una
variedad compleja conexa.
No es difı́cil convencerse de que cada transformación g, que es parte de un movimiento holomorfo, es casiconforme. En particular, cada transformación que es parte
de un movimiento holomorfo, distorsiona figuras en a lo más una cantidad acotada.
El resultado que introdujo este concepto y que sirve para caracterizar la estabilidad
es:
Teorema 6.2. (λ−lema MSS). Sea Λ una variedad compleja analı́tica, y sea A ⊂ C.
Si ϕ : Λ × A → C es un movimiento holomorfo de A, entonces para cada λ ∈ Λ, la
transformación A → C, dada por a 7→ ϕ (λ, a), es casiconforme.
Puede consultarse una demostración de este teorema en [15].
Nótese que no se pide que A sea abierto, ası́ que la definición analı́tica de casiconformidad no tiene sentido, por lo que es necesario usar caracterizaciones geométricas
de las transformaciones casiconformes.
Corolario 6.3. Si ϕ : Λ × A → C es un movimiento holomorfo, entonces ϕ es
continua, y se extiende continuamente a un movimiento holomorfo ϕ
b : Λ × A → C,
donde A es la cerradura de A en C.
Un resultado más general también es cierto.
Teorema 6.4. (Slodkowski). Sea A ⊂ C̄. Cualquier movimiento holomorfo ϕ : ∆ ×
A → C̄, se extiende a un movimiento holomorfo ϕ̂ : ∆ × C̄ → C̄.
Una demostración se encuentra en [8].
7.
7.1.
Aplicaciones a la dinámica holomorfa
Preliminares sobre dinámica holomorfa
P (z)
Una función racional f (z) = Q(z)
, donde P y Q son polinomios de una variable compleja con coeficientes complejos y primos relativos, define una función holomorfa de C en sı́ misma. Consideramos a f como una transformación cubriente
Transformaciones casiconformes
45
ramificada de C. Para una cantidad finita de excepciones, cada valor w ∈ C tiene exactamente d preimágenes, donde el grado de f es d = máx {grado de P, grado de Q}.
Siempre supondremos que el grado de f es mayor que 1. Denotamos por Rd el conjunto
de todas las funciones racionales de grado d. La iteración de f es la sucesión de funciones {f n }n≥0 , donde f 0 = id, f n+1 = f ◦f n , lo cual genera un sistema dinámico holomorfo en la esfera de Riemann C. La órbita de z ∈ C bajo f es O+ (z) = {f n (z) : n ≥ 0}.
−1
La órbita inversa es O− (z) = ∪n≥0 f −n (z) = ∪n≥0 (f n ) (z). La órbita grande de z
es Og (z) = ∪n≥0 O− (f n (z)). Dos funciones racionales f y g se dicen conjugadas por
una transformación de Möbius h : C → C, si g = h ◦ f ◦ h−1 . Notemos que en este caso
h lleva órbitas bajo f a órbitas bajo g. Por lo tanto, funciones racionales conjugadas
por una transformación de Möbius serán consideradas equivalentes desde un punto
de vista dinámico. Consideraremos también conjugaciones mediante homeomorfismos
o transformaciones casiconformes, y conjugaciones locales, las cuales serán definidas
sólo en subconjuntos de C, tales como una vecindad de un punto periódico.
Un punto es llamado punto periódico si existe un n ≥ 1, tal que f n (z) = z, y el
más pequeño n con tal propiedad es llamado perı́odo de z. El multiplicador del ciclo
0
es la derivada λ = (f n ) (z) cuando z 6= ∞, y es definido después de una conjugación
con una apropiada transformación de Möbius, enviando el ∞ en C cuando z = ∞.
Cuando 0 < |λ| < 1 (respect. λ = 0, |λ| = 1, |λ > 1|), z es llamado atractor (respect.
superatractor , indiferente, repelente). Un punto periódico indiferente z es llamado parabólico, si λ es una raı́z de la unidad, o irracionalmente indiferente en el otro caso.
Un punto crı́tico de f es un punto donde f no es localmente inyectivo, lo cual
equivale a que f 0 (z) = 0, si z 6= ∞ y f (z) 6= ∞. Denotamos por Cf el conjunto
de puntos crı́ticos y Vf = f (Cf ) es el conjunto de valores crı́ticos de f . Entonces
f : C \ f −1 (Vf ) → C \ Vf es una cubierta (no ramificada) de grado d. El conjunto
poscrı́tico Pf de f , se define por:
Pf = ∪z∈Cf , n≥1 {f n (z)} .
En cierto sentido, este conjunto captura la esencia del sistema dinámico generado por
f . Un punto excepcional es un punto z, tal que O− (z) es finito.
Def inición 7.1 (Familia normal y conjuntos de Fatou y Julia). Una familia F de
funciones holomorfas de un conjunto abierto U ⊂ C a C, se dice ser normal si para cualquier sucesión de F, existe una subsucesión que converge uniformemente en
conjuntos compactos, donde la distancia en la imagen es medida en términos de la
distancia esférica.
Un teorema de Montel asegura que cualquier familia que omite tres valores en C,
es normal; además, las funciones lı́mite también son holomorfas. El conjunto de Fatou
46
F. Estrada, J. Poisot
de f está definido por:
la familia de iteradas {f n }n≥0 es normal
Ff = z ∈ C :
en alguna vecindad abierta de z
y su complemento es el conjunto de Julia Jf = C \ Ff . Intuitivamente, si el valor
inicial z ∈ Ff , entonces el comportamiento de su órbita O+ (z) para n suficientemente
grande, no es sensible a pequeñas perturbaciones de z.
A continuación se enuncian los resultados básicos acerca de los conjuntos de Fatou
y Julia.
Teorema 7.2. (Linealización, forma normal). Supongamos que f es una función
holomorfa definida en una vecindad de z0 ∈ C, tal que f (z0 ) = z0 y λ = f 0 (z0 ).
(i) Si 0 < |λ| < 1 ó |λ| > 1, entonces existe una transformación conforme ψ
definida en una vecindad de z0 , tal que ψ (z0 ) = 0, ψ 0 (z0 ) 6= 0 y ψ ◦ f ◦ ψ −1 (z) = λz
en una vecindad de 0.
(ii) Si λ es una raı́z q−ésima primitiva de la unidad, λ = exp 2πi pq , y f q no es
kq+1
la identidad, entonces f q tiene una expansión de la forma f q (z) = z +c (z − z0 )
+
qk+2
O (z − z0 )
, donde k ∈ N y c 6= 0. En este caso, existen kq dominios
Ω
(i
∈
Z/kqZ)
i
con z0 ∈ ∂Ωi y funciones holomorfas ψi : Ωi → C, tales que f Ωi ⊂ {z0 } ∪ Ωi+kp ,
f nq (z) → z0 en Ωi (n → ∞) y ψi (f q (z)) = ψi (z) + 1.
dj
dk
(iii) Si λ = 0, dz
j f (z0 ) = 0 (j = 1, ...k − 1) y dz k f (z0 ) 6= 0, entonces existe
una transformación conforme ψ definida en una vecindad de z0 , tal que ψ (z0 ) = 0,
ψ 0 (z0 ) 6= 0 y ψ ◦ f ◦ ψ −1 (z) = z k en una vecindad de 0.
En el caso (i), ψ es llamada coordenada linealizante; las ψi en (ii) son llamadas
coordenadas de Fatou, y ψ en (iii) es llamada coordenada de Böttcher .
Teorema 7.3. Para cualquier función racional f , se tiene lo siguiente:
(i) El conjunto de Julia Jf es distinto del vacı́o y cerrado en C, y Ff es abierto.
Ellos son completamente invariantes (es decir, f (Ff ) = Ff = f −1 (Ff ) y f (Jf ) =
Jf = f −1 (Jf )). Además, C = Jf t Ff .
(ii) Puntos periódicos atractores y sus cuencas de atracción están contenidos en
Ff , donde la cuenca de atracción de z0 de perı́odo p, se define por:
B (z0 ) = z ∈ C : f np (z) → z0 cuando n → ∞ .
Puntos periódicos parabólicos están en Jf ; sin embargo, ellos tienen cuencas (excluyendo las órbitas inversas de los puntos parabólicos) que están contenidas en Ff .
En ambos casos, el ciclo de cuencas contiene al menos un punto crı́tico. Puntos periódicos repulsores están en Jf . En cuanto a los puntos indiferentes irracionales,
ambos casos pueden ocurrir.
Transformaciones casiconformes
47
(iii) Si U es un conjunto abierto, tal que U ∩ Jf 6= ∅, entonces ∪n≥0 f n (U )cubre
C, excepto a lo más dos puntos, los cuales, si existen, son excepcionales.
(iv) Si z no es un punto excepcional, entonces Jf ⊂ O− (z). La igualdad vale si
z ∈ Jf .
(v) Jf = a la cerradura de {puntos periódicos repulsores de f}.
(vi) Si f es un polinomio, entonces ∞ es un punto fijo superatractor y
Jf = ∂Kf = ∂B (∞) ,
donde Kf es el conjunto de Julia lleno; es decir,
n
o
Kf = z ∈ C : {f n (z)}n≥0 es acotada .
Una demostración de estos teoremas puede encontrarse en [14, 15, 3].
7.2.
Teorema de No Errancia de Sullivan
Dada la invariancia bajo iteración de los conjuntos de Julia y Fatou y como el
conjunto de Fatou es abierto, en general, el conjunto de Julia subdivide en componentes conexas al conjunto de Fatou, las cuales llamaremos componentes de Fatou. Dada una componente U ⊂ Ff , el conjunto f (U ) es una componente conexa de C − Jf y f induce una transformación propia de U sobre f (U ). Decimos
que U es periódica si existe k > 0, tal que f k (U ) = U ; si existe m≥ 0, tal que
f m (U ) es periódica, decimos que U es periódica eventualmente si las f n (U ) son
dos a dos distintas, por lo que llamamos a U componente de Fatou errante. Uno
de los problemas más importantes en la dinámica racional que plantearon y dejaron sin respuesta Fatou y Julia (1920), consistió en averiguar sobre la existencia de
componentes de Fatou errantes. En 1982, D. Sullivan introdujo las transformaciones
casiconformes y el espacio de Teichmüller en la solución de este problema. Esta técnica
ha resultado la base de las subsecuentes investigaciones en esta área.
Teorema 7.4. (No Errancia). Una función racional de grado mayor que uno, no
tiene componente de Fatou errante.
Idea de la demostración. Sea U una componente errante. Para n suficientemente grande, f induce un isomorfismo de f n (U ) sobre f n+1 (U ), ası́ que haciendo un
corrimiento, podemos suponer que esto sucede desde n = 0. Sea µ una forma de
Beltrami sobre U , tal que kµk < 1, transportémosla con f sobre las f n (U ), después
sobre las f −m (f n ), y por último, la extendemos por 0. Se obtiene sobre C una forma
de Beltrami en L∞ de norma < 1, que de acuerdo al Teorema de Morrey-BojarskyAhlfors-Bers, define sobre C una estructura compleja σµ (diferente en general de
la
estructura compleja estándar σ0 ), y f es una transformación analı́tica de C, σµ en
48
F. Estrada, J. Poisot
ella misma. Por el teorema de uniformización, existe un isomorfismo ϕµ de C, σµ
sobre C, σ0 . Entonces, fµ = ϕµ ◦ f ◦ ϕ−1
µ es una nueva función racional. Sullivan
demuestra que para toda p, se puede encontrar en el espacio de formas de Beltrami
continuas con soporte compacto sobre U , un subespacio E de dimensión p, y en E, un
abierto no vacı́o W , tal que las {fµ }µ∈W son distintas dos a dos, lo cual es una contradicción con el hecho de que una transformación racional de grado d sólo depende
de un número finito de parámetros.
7.3.
El espacio de Teichmüller de una función racional
Dado que no hay componentes errantes en el conjunto de Fatou, toda componente
de Fatou es periódica eventualmente por lo cual el siguiente teorema nos da una
descripción completa de la dinámica de una función racional sobre su conjunto de
Fatou. Utilizando el teorema de linealiación y forma normal de la sección anterior y el
desarrollo de Taylor de f en una vecindad de los puntos periódicos, podemos enunciar
el siguiente teorema.
Teorema 7.5 (Teorema de clasificación). Si U es una componente de Fatou de periódo p para f , entonces solo una de las siguientes afirmaciones es válida.
(CA) Cuenca atractora: existe un punto periódico atractor z0 ∈ U de perı́odo p
tal que la sucesión de iteradas f np (z) → z0 (n → ∞) uniformemente sobre conjuntos
compactos en U ;
(CSA) Cuenca superatractora: igual que en (CA) excepto que z0 es superatractor
y además z0 es un punto crı́tico de f .
(CP) Cuenca parabólica: existe un punto periódico parabólico z0 ∈ ∂U tal que
f p (z0 ) = z0 , el multiplicador del ciclo es 1 y fnp (z) → z0 (n → ∞) uniformemente
sobre conjuntos compactos de U .
(DS) Disco de Siegel: existe una transformación conforme ψ : ∆ → U y un número
irracional α tal que ψ ◦ f p ◦ ψ −1 (z) = exp (2πiα) z;
(AH) Anillo de Herman: Lo mismo que en (DS) excepto que ∆ es reemplazado por
un anillo A = {z ∈ C : r < |z| < 1}.
Puede consultarse un demostración en [14, 15, 3]. Para el número de ciclos de
componentes de Fatou periódicas, tenemos:
Teorema 7.6 (Teorema de Shishikura). Denotamos por nCA , nSCA , nCP , nDS , nAH
el número de cı́clos de cuencas atractoras, cuencas superatractoras, cuencas parabólicas, discos de Siegel y anillos de Herman de una función racional de grado d. Entonces
nCA + nSCA + nCP + nDS + 2nAH ≤ 2d − 2 y nAH ≤ d − 2. Además, existen al menos
(nDS + 2nAH ) de puntos crı́ticos en el conjunto de Julia.
Transformaciones casiconformes
49
Para una demostración véase [17].
Deformaciones casiconformes sobre componentes de Fatou. Cuando f tiene una componente de Fatou periódica, podemos construir una deformación casiconforme especı́fica de acuerdo a su tipo. Veamos esta construcción en el caso de cuencas
atractoras. Supongamos que f tiene un punto periódico atractor z0 de perı́odo p con
multiplicador λ. Sea ψ la coordenada linealizante como en el Teorema de Linealización. Notemos que ψ puede ser extendida a toda la cuenca B (z0 ) por medio de la
ecuación funcional. Sea B 0 (z0 ) igual a B (z0 ) menos la órbita grande de z0 y puntos
crı́ticos.
Definimos:
E = ψ (B 0 (z0 )) ∼,
donde la equivalencia es definida por w ∼ w0 si y sólo si w0 = λn w para algún n ∈ Z.
Entonces, E es isomorfo a un toro C ((log λ) Z + 2πiZ) menos un conjunto finito de
puntos, y la función ψ induce una función natural ψ : B 0 (z0 ) → E, que es una transformación cubriente. De hecho, E puede ser identificado con el conjunto de órbitas
grandes en B 0 (z0 ). Dada cualquier estructura conforme medible acotada σ sobre E,
podemos definir una estructura conforme f invariante por σ 0 = π ? (σ) sobre B (z0 )
y σ 0 = σ0 sobre el resto. Por lo tanto, el lema de Shishikura nos permite obtener la
deformación casiconforme g de f mediante la estructura σ 0 .
Análogamente, una deformación casiconforme se puede construir para cuencas
parabólicas, donde la coordenada linealizante es reemplazada por la de Fatou, donde
el toro C (log λ0 ) Z + 2πiZ menos un conjunto finito de puntos, es reemplazado por
el cilindro CZ menos un conjunto finito de puntos.
Para discos de Siegel o anillos de Herman, notemos que cualquier órbita grande
(excepto para el centro de un disco de Siegel) es densa en una curva invariante. Por
esta razón, las deformaciones estarán basadas sobre la deformación de superficies
de Riemann foliadas; por ejemplo, un disco o un anillo redondo foliado por discos
concéntricos, y tal deformación deberá preservar la foliación. Una situación similar
ocurre para cuencas superatractoras, pues la clausura de órbitas grandes corresponde
a la unión de cı́rculos concéntricos en la coordenada de Böttcher.
Existe también la posibilidad de una deformación casiconforme soportada sobre
un conjunto de Julia.
Def inición 7.7. Decimos que f tiene un campo de lı́neas invariante sobre el conjunto
de Julia, si existe un subconjunto completamente invariante medible X contenido en
Jf ; es decir, f −1 (X) = X, con medida de Lebesgue positiva y una función medible
X 3 z 7→ l (z), donde l (z) es una lı́nea recta que pasa por 0 en el espacio tangente
Tz C y f 0 evı́a l (z) en l (f (z)) para todo z ∈ X.
50
F. Estrada, J. Poisot
Si f tiene un campo de lı́neas invariante sobre su conjunto de Julia, es decir, en
dz
soportada en X, con |µ|=1. Una
X se tiene una diferencial de Beltrami µ = µ (z) dz
diferencial de Beltrami determina una función en el espacio tangente, homogénea de
grado cero, por:
a (z)
µ (v ) = µ (z)
,
a (z)
donde v = a (z ) ∂∂z es un vector tangente. El correspondiente campo de lı́neas
consiste en esos vectores tangentes, para los cuales µ (v ) = 1 (unión el vector cero).
Entonces, éste define un campo de elipses con una excentricidad constante. Este, a
su vez, define una estructura conforme invariante σ que es diferente de la estructura
conforme estándar sobre el conjunto de Julia. Por lo tanto, f puede ser deformada
por σ.
Para describir el espacio de Teichmüller de funciones racionales, se necesitan las
siguientes definiciones:
Def inición 7.8. La clase de conjugación casiconforme de f es:
cc (f ) = {funciones racionales que son casiconformemente conjugadas a f } .
El espacio de Teichmüller de una función racional f es:
g es una función racional; h es una transformación
T (f ) = (g, h) |
∼,
casiconforme, tales que h ◦ f = g ◦ h
donde la relación de equivalencia ∼ es definida por (g1 , h1 ) ∼ (g2 , h2 ) si y sólo si existe
una isotopı́a Ht : C → C (t ∈ [0, 1]), tal que Ht ◦ g1 = g2 ◦ Ht y H0 = h2 ◦ h−1
1 y H1
es una transformación de Möbius.
Otras definiciones necesarias son: un punto es llamado acı́clico si no es periódico
ni preperiódico. Dos puntos son llamados equivalentemente foliados por la gran órbita,
si tienen la misma órbita grande o ambos están en el conjunto de Fatou y las clausuras
de las órbitas grandes dentro del conjunto de Fatou coinciden. Por ejemplo, los puntos
sobre las mismas curvas invariantes de un disco de Siegel o de un anillo de Herman, son
equivalentes en este sentido. También los puntos z, z 0 en una cuenca superatractora,
kn
cuyas coordenadas de Böttcher están relacionadas por |ψ (z 0 )| = |ψ (z)| (n ∈ Z)
(donde k es el grado local del punto periódico superatractor), son equivalentes en este
sentido.
Sea nAC (U ) denota el número de clases de equivalencia foliada por grandes órbitas
de puntos crı́ticos acı́clicos, cuya órbita intersecta U . Sea nCL el número máximo de
campos de lı́neas invariantes sobre el conjunto de Julia con soportes mutuamente
ajenos.
Transformaciones casiconformes
51
Teorema 7.9 (McMullen-Sullivan). El espacio de Teichmüller de una función racional f , puede ser descrito como sigue:
Y
T (f ) = M1 (Jf , f ) ×
T (U, f ) ,
U
donde el producto es sobre todos los ciclos periódicos de componentes de Fatou, con
U representando una componente en el ciclo.
(i) M1 (Jf , f ) es el conjunto de diferenciales de Beltrami f invariantes µ con
soporte en Jf y |µ|∞ < 1. Este espacio es isomorfo al polidisco de dimensión nCL .
(ii) Si U es una cuenca atractora o una cuenca parabólica, entonces T (U, f ) es
el espacio de Teichmüller ordinario del toro cociente o del cilindro cociente, descritos
antes con nAC (U ) perforaciones correspondientes a las órbitas grandes de puntos
crı́ticos. En el último caso, el cilindro perforado es isomorfo a C con nAC (U ) + 2
perforaciones.
(iii) Si U es una cuenca superatractora, un disco de Siegel o un anillo de Herman,
entonces T (U, f ) es el espacio de Teichmüller definido por un disco foliado o anillo
foliado con hojas marcadas, correspondiendo a las órbitas grandes foliadas de puntos
crı́ticos.
(iv) La dimensión de T (U, f ) es nAC (U ) para una cuenca atractora, una cuenca
superatractora o un disco de Siegel. Ésta es nAC (U ) − 1 para una cuenca parabólica
y nAC + 1, para un anillo de Herman. Por lo tanto,
dim T (f ) = nAC − nCP + nAH + nCL .
Además, existe un grupo M od (f ) (grupo modular), que actúa sobre T (f ) propia y
discontinuamente y existe un isomorfismo de orbifolds:
cc (f ) ∼M öbius ' T (f ) M od (f ) .
Para una demostración de este teorema, consúltese [13, 12].
7.4.
Estabilidad estructural
Def inición 7.10. Una función racional es llamada hiperbólica, si todo punto crı́tico
es atraı́do a un ciclo periódico atractor o superatractor. Una familia holomorfa de funciones racionales, parametrizada por una variedad compleja conexa Λ, es una función
holomorfa F : Λ × C → C. Entonces, fλ = F (λ, •) : C → C es una función racional de
grado constante d > 1. Una familia se dice que es J−estable en el parámetro λ0 ∈ Λ,
si existe una vecindad U de λ0 contenida en Λ y una función H : U × J (fλ0 ) → C,
tal que hλ = H (λ, •) : J (fλ0 ) → J (fλ ) es un homeomorfismo para cada λ ∈ U ;
y además hλ ◦ fλ0 = fλ ◦ hλ y hλ → hλ0 cuando λ → λ0 , uniformemente sobre
J (fλ0 ). De manera análoga, es definida estabilidad estructural en el parámetro λ0 si
reemplazamos J (fλ0 ) y J (fλ ) por C en la definición anterior.
52
F. Estrada, J. Poisot
Cuando Λ es igual a Racd (la variedad compleja constituida por todas las funciones racionales de grado fijo d) y F es la función F (g, z) = g (z) (donde g ∈ Racd ),
entonces las funciones mismas son llamadas J−estables o estructuralmente estables,
si las condiciones anteriores son satisfechas.
Lema 7.11. Las funciones racionales hiperbólicas son J−estables. Además, el conjunto de funciones estructuralmente estables es abierto y denso dentro de las hiperbólicas. Las conjugaciones hλ pueden ser elegidas de manera que hλ es un movimiento
holomorfo del conjunto de Julia (o de C en el caso de funciones estructuralmente
estables).
La primera afirmación en el lema anterior, es una consecuencia inmediata del
λ−lema. De hecho, para funciones hiperbólicas, los puntos periódicos repulsores no
se bifurcan, por lo cual ellas definen un movimiento holomorfo, el cual se extiende a
su cerradura, que es el conjunto de Julia. Además, hay otro notable resultado.
Teorema 7.12. Para cualquier familia holomorfa de funciones racionales, los parámetros estructuralmente estables forman un abierto y denso. Además, en las componentes
conexas de los parámetros estructuralmente estables, la conjugación hλ es casiconforme y define un movimiento holomorfo.
Una demostración de este teorema puede consultarse en [4, 13, 15].
7.5.
Cirugı́a casiconforme
Cirugı́a casiconforme es una manera de construir nuevas funciones racionales con
ciertas propiedades dinámicas, a partir de las funciones ya existentes. Para hacer
esto, se construye una transformación que no es holomorfa (al menos en una parte
de su dominio), pero que aún es casi-regular. Después, convocando al Teorema de la
Transformación Medible de Riemann, se recupera la holomorfı́a. Con el paso por las
transformaciones casi-regulares, se gana flexibilidad en la construcción.
Def inición 7.13. Una transformación continua g : C → C es llamada casi-regular , si
existe una K ≥ 1, tal que en cada punto de C, g puede ser localmente escrita como
una composición de una función holomorfa y una función K−casiconforme.
Las estructuras conformes medibles pueden ser regresadas por transformaciones
casi-regulares. Por tanto, se puede hacer una construcción como en el teorema de la
sección 5.1 para transformaciones casi-regulares. La pregunta es cómo obtener una σ
que sea invariante.
Lema 7.14. (Principio de cirugı́a). Supóngase que g : C → C es una transformación
casi-regular y σ es una estructura conforme medible acotada, tal que g ? (σ) = σ (casi
Transformaciones casiconformes
53
donde quiera) fuera de un conjunto medible X. Si cada órbita de g pasa por X a
lo más una vez (o un número acotado de veces), entonces existe una transformación
casiconforme ϕ : C → C, tal que h = ϕ ◦ g ◦ ϕ−1 es una función racional.
Una demostración de este lema puede consultarse en [17].
A continuación, se establecen algunas aplicaciones de la cirugı́a. Empezamos con
la Teorı́a de las transformaciones con parecido polinomial, introducidas por DouadyHubbard, que de hecho inician los trabajos en cirugı́a.
Def inición 7.15. Una transformación con parecido polinomial, es un triplete f =
(f, U, V ) donde, U , V son dominios conexos simplemente en C con U ⊂ V y f : U → V
es una función holomorfa propia. Su grado es el número de imágenes inversas de un
punto z ∈ V , contadas con multiplicidad, que son independientes de z. Su conjunto
de Julia lleno es:
Kf = {z ∈ U : f n (z) (n = 0, 1, 2, . . .) están definidas y pertenecen a U } .
Cualquier polinomio P puede ser restringido a un dominio U de modo que
(P |U , U, P (U ))
se convierte en una transformación con parecido polinomial del mismo grado.
Teorema 7.16. (Rectificación). Sea f = (f, U, V )una transformación con parecido
polinomial de grado d, y supóngase además que las fronteras de U y V son curvas de
Jordan analı́ticas reales. Entonces, existe un único polinomio P (z) y una transformación casiconforme ϕ : V → V 0 ⊂ C, tal que ϕ ◦ f = P ◦ ϕ sobre U . Además, ϕ puede
ser escogido de forma que ∂ϕ/∂z = 0 casi donde quiera en Kf (lo cual unicamente tiene sentido si Kf tiene medida positiva). El polinomio P es único, salvo conjugación
afı́n si Kf es conexo.
Una demostración puede consultarse en [6].
La noción de transformación con parecido polinomial es de gran importancia en
la Teorı́a de las renormalizaciones, la cual es de gran importancia en la dinámica
holomorfa.
Otro tipo de cirugı́a es la que relaciona los anillos de Herman con los discos
de Siegel. Un homeomorfismo de R en sı́ mismo, o de S 1 en si mismo, es llamado
casisimétrico si éste se extiende a una transformación casiconforme de C.
Teorema 7.17. Sea f una función racional que envı́a S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} sobre
sı́ mismo. Supóngase que f |S 1 es casisimétricamente conjugada a una rotación irracional z → exp (2πiα) z sobre S 1 , donde α ∈ R \ Q. Entonces, existe una función
54
F. Estrada, J. Poisot
racional h y una transformación casiconforme ϕ : C → C, tal que h = ϕ ◦ f ◦ ϕ−1 sobre ϕ C \ 4 y h tiene un disco de Siegel con número de rotación α, el cual contiene a
ϕ (4)
como
un
subdisco
invariante.
La
curva
ϕ S 1 es una curva invariante en el disco de Siegel o su frontera, de acuerdo a
cuando S 1 sea una curva invariante en un anillo de Herman de f o no.
Una demostración puede consultarse en [16]. Si f tiene un anillo de Herman
de perı́odo 1, el cual contiene a S 1 como una curva invariante, entonces f |S 1 es
conjugado de forma real-analı́tica a una rotación irracional; por tanto, esta cirugı́a
puede ser aplicada. Sin embargo, un ejemplo más interesante es el caso de la función:
f (z) = exp (iω) z 2
z−3
,
1 − 3z
la cual tiene un punto crı́tico en S 1 . Para cualquier número irracional α, existe un
ω ∈ R, tal que f |S 1 tiene número de rotación α, lo cual significa en este caso que
las órbitas de f |S 1 tienen el mismo orden cı́clico como el de z 7→ exp (2πiα) z. Sujeta
α a una condición de teorı́a de números llamada de tipo acotado, Herman fue capaz
de demostrar que f |S 1 es conjugado casisimétricamente a la rotación irracional. De
forma que obtuvo el siguiente:
Teorema
7.18. Si α es un número irracional de tipo acotado, es decir, satisface
p
que α − q ≥ Cq 2 para cualquier pq ∈ Q con una constante fija C > 0, entonces
la función Pα (z) = exp (2πiα) z + z 2 tiene un disco de Siegel, cuya frontera es un
cuasicı́rculo conteniendo un punto crı́tico de Pα .
Una demostración puede consultarse en [16].
Este artı́culo constituye una introducción a los temas tratados. Nos resta solamente citar las referencias en las cuales se basa este artı́culo y dónde pueden encontrarse
las demostraciones omitidas en esta presentación, ası́ como mayor extensión en su
tratamiento.
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F. Estrada, J. Poisot
Francisco Estrada Garcı́a (festrada@fcfm.buap.mx)
Julio Poisot Macı́as (jpoisot@fcfm.buap.mx)
Facultad de Ciencias Fı́sico Matemáticas. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla - Ciudad Universitaria.