introduccion - Universidad de Antioquia

INTRODUCCION
BERNARDO ARENAS GAVIRIA
Universidad de Antioquia
Instituto de Física
2016
Índice general
0. Introducción
0.1. Cantidades físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1. Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.2. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.1. Cantidades escalares . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2. Cantidades vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.3. Notación vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.4. Representación de un vector . . . . . . . . . . . .
0.2.5. Dirección de un vector . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.6. Vectores iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.7. Vectores iguales y opuestos . . . . . . . . . . . . .
0.2.8. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.9. Suma o composición de vectores . . . . . . . . . .
0.2.10. Suma de vectores por el método gráfico . . . . . .
0.2.11. Componentes rectangulares de un vector . . . . .
0.2.12. Suma de vectores por componentes rectangulares
0.2.13. Producto entre vectores . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.14. Producto escalar o producto punto entre vectores
0.2.15. Producto vectorial o producto cruz entre vectores
0.2.16. Derivadas con vectores . . . . . . . . . . . . . . .
0.3. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4. Matemática para la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.1. Algebra y trigonometría . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.2. Geometría Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.3. Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5. Pautas generales en la solución de problemas . . . . . . .
0.6. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía
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1
2
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3
4
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5
5
6
6
6
7
9
11
11
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16
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22
25
3
Capı́tulo
0
Introducción
PROLOGO
La Física es fundamental en las áreas de ciencias e ingeniería, ya que en ella se encuentran
los fundamentos del mundo tecnológico que vivimos en el siglo XXI. En el curso de Física Mecánica se trabajan los temas relacionados con la
mecánica, es decir, con el movimiento ó reposo
de los cuerpos que vemos a diario en nuestro
alrededor.
El curso gira alrededor de tres ejes conceptuales, como son, el principio de conservación
del vector momento lineal, la ley de conservación de la energía y el principio de conservación
del vector momento angular, que corresponden
a las tres primeras unidades del curso. Las dos
unidades siguientes se trabajan considerándolas como aplicación de las tres primeras y la unidad 6 como un caso particular de la segunda ley
de Newton, tema de mucha utilidad para los estudiantes que posteriormente trabajarán los temas de resistencia de materiales.
En cada unidad, primero aparecen las competencias o metas que debe alcanzar el estudiante,
las cuales son el termómetro que muestra si se
han comprendido los conceptos tratados. Se debe tener claro que lo importante en el proceso
de enseñanza-aprendizaje es la comprensión de
los conceptos, más que su memorización y mecanización. En este texto, los capítulos se han
trabajado de tal forma que el estudiante pueda comprender mucha parte de los temas sin
ayuda del profesor. Para lograr lo anterior, el
estudiante primero debe hacer una lectura inicial de los conceptos antes de ser tratados en el
aula con el profesor. Un aspecto de máxima importancia, es considerar la clase como tiempo de
estudio con la asesoría del profesor. Procediendo de la forma anterior, se estará en capacidad
de trabajar los ejemplos resueltos, los ejercicios
propuestos y los enunciados que aparecen al final de la unidad.
Dentro de la metodología del curso, se tiene
como parte muy importante el trabajo individual del estudiante en la clase y en los talleres,
con el acompañamiento del profesor. La física,
particularmente la Física Mecánica, es una ciencia que requiere del acompañamiento del profesor, para contar con él en el momento que se
tengan dudas o inquietudes respecto a determinados temas o conceptos.
Por último, para que se tenga un conocimiento global de los temas que se trabajan en el curso
de Física Mecánica, se hace una breve síntesis de
cada una de las unidades a tratar.
Capítulo 0, Introducción: Se hace una revisión del lenguaje matemático que será necesario
utilizar en el curso, haciendo énfasis en la parte
vectorial.
Capítulo 1, Momento lineal, energía cinética
y su conservación: En esta unidad, se definen y
analizan los conceptos cinemáticos y dinámicos
que permiten comprender bajo qué condición se
conserva el vector momento lineal total de un
sistema, tanto en el caso unidimensional como
bidimensional.
Capítulo 2, Momento lineal, fuerza y energía
mecánica: Teniendo presente los conceptos tratados en la unidad anterior, se consideran nue-
2
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
vos conceptos, tanto cinemáticos como dinámicos, que llevan a obtener los tres métodos que
permiten resolver el problema dinámico de una
partícula, como lo son: las leyes de Newton, el
teorema del trabajo y la energía y consideraciones de energía total.
Capítulo 3, Momento angular y su conservación: En esta unidad, se aplican los conceptos
vistos en la unidades anteriores al caso del movimiento curvilíneo o bidimensional, lo que da
lugar a tratar nuevos conceptos que permiten la
comprensión del principio de conservación del
vector momento angular.
Capítulo 4, Momento angular y momento de
una fuerza: Adicional a los temas tratados en
las unidades anteriores, se analizan los efectos
de rotación que tienden a generar las fuerzas sobre los cuerpos, es decir, esta unidad es una aplicación de los conceptos comprendidos en las
tres unidades anteriores, agregándole los efectos rotacionales.
Capítulo 5, Movimiento oscilatorio: Esta es
una unidad donde se aplican los conceptos vistos en las unidades anteriores, para el caso de
movimientos que se repiten en el tiempo.
Capítulo 6, Estática de partículas y cuerpos
rígidos: En la última unidad del curso, se analizan las condiciones bajo las cuales un cuerpo,
tratado bajo el modelo de partícula o cuerpo rígido, permanece en estado de reposo. COMPETENCIAS
En esta introducción se busca que el estudiante
Manipule adecuadamente las herramientas
matemáticas que son indispensables en la
física.
Infiera la importancia del análisis dimensional y de las unidades en la física.
Obtenga las relaciones numéricas entre los
diferentes sistemas de unidades que se emplean en la física.
Distinga entre una cantidad escalar y una
cantidad vectorial.
Utilice correctamente la notación vectorial.
Analice las diferentes operaciones con vectores.
Obtenga las relaciones matemáticas entre
coordenadas rectangulares y coordenadas
polares.
0.1.
Cantidades físicas
0.1.1.
Análisis dimensional
Los conceptos, leyes y principios de la física,
se expresan mediante ecuaciones matemáticas
que contienen diferentes tipos de cantidades denominadas cantidades físicas. Desde el punto
de vista dimensional, estas cantidades físicas se
clasifican en dos grupos: fundamentales y derivadas. Una cantidad fundamental se define como
aquella que no es posible expresar en función
de ninguna otra; en cambio una cantidad derivada se define como aquella que se expresa en función de una o varias cantidades fundamentales.
En física se reconocen cuatro cantidades fundamentales, a partir de las cuales es posible expresar cualquier otra cantidad física. Estas son: la
longitud cuya dimensión es L, la masa cuya dimensión es M, el tiempo cuya dimensión es T y
la carga eléctrica cuya dimensión es C.
En lo que sigue, la dimensión de una cantidad
física se expresa encerrando la cantidad física
entre corchetes. Por ejemplo si F es una fuerza,
su dimensión se expresa en la forma [F].
En el área de la mecánica, sólo es necesario
considerar las tres primeras cantidades fundamentales, esto es, L, M y T, ya que se tratarán
temas en los cuales no interviene la carga eléctrica. Por ello, se hace referencia únicamente a
las que son de interés en los conceptos a tratar
cuando se analiza el estado de reposo o movimiento de los cuerpos.
Cualquier otra cantidad física se encuentra
dentro del grupo de las denominadas cantidades derivadas, tales como: área (A) con dimensión [ A] = L2 , volumen (V) con dimensión
[V ] = L3 , densidad (ρ) con dimensión [ρ] =
ML−3 , fuerza (F) con dimensión [F] = MLT−2 ,
velocidad (v) con dimensión [v] = LT−1 , etc.
3
0.1. CANTIDADES FÍSICAS
0.1.2.
Unidades
Tabla 1: Cantidades físicas, dimensiones y unidades
A cada una de las cantidades fundamentales se
le asigna una unidad patrón, dependiendo del
sistema de unidades a emplear. Existen tres sistemas de unidades: El Sistema Internacional (SI),
el Sistema Gaussiano y el Sistema Inglés (SU).
El sistema de unidades más utilizado en la actualidad y que será empleado en la mayoría de
los casos, es el SI. En este sistema de unidades
la dimensión L se expresa en metros (m), la dimensión M se expresa en kilogramos (kg) y la
dimensión T se expresa en segundos (s).
El sistema gaussiano es un sistema derivado
del anterior y en el cual las unidades de las dimensiones L, M, T son, respectivamente, el centímetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s).
Los factores de conversión, entre los sistemas
de unidades SI y gaussiano, están dados por:
1 m ≡ 102 cm
1 kg ≡ 103 g.
y
Cantidad física
Símbolo
Dimensión
Unidad
x, y,z
L
m
Masa
M, m
M
kg
Tiempo
t
T
s
Posición
r
L
m
Desplazamiento
∆r
L
m
−
1
Velocidad
v
LT
m s−1
−
2
Aceleración
a
LT
m s−2
Vel. angular
ω
T−1
s−1
−
2
Acel. angular
α
T
s−2
Mto. lineal
P, p
MLT−1
kg m s−1
−
2
Fuerza
F, f
MLT
kg m s−2
Mto. angular
L
ML2 T−1 kg m2 s−1
Mto. de una fuerza
M
ML2 T−2 kg m2 s−2
Trabajo
W
ML2 T−2 kg m2 s−2
Energía
E
ML2 T−2 kg m2 s−2
Potencia
P
ML2 T−3 kg m2 s−3
Abreviaturas. Vel.: Velocidad, Acel.: Aceleración Mto.:Momento
Longitud
El sistema de unidades SU es de poco uso en la
actualidad. En este sistema las cantidades fundamentales son la fuerza con dimensión F, la
reciben los siguientes nombres
longitud con dimensión L y el tiempo con dimensión T y sus unidades patrón son, respecFuerza: 1 kg m s−2 ≡ 1 N (Newton).
tivamente, la libra (lb), el pie (p) y el segundo
(s). Otra unidad utilizada en este sistema es la
Trabajo y energía: 1kg m2 s−2 ≡ 1 J (Julio).
pulgada (in o pul), cuya relación con el pie es
Potencia: 1 kg m2 s−3 ≡ 1 W (Vatio).
1 p ≡ 12 in.
Presión: 1 N m−2 ≡ 1 Pa (Pascal).
Las relaciones entre las unidades del sistema SI
y el sistema SU son:
1 lb ≡ 4.448 N
y
1 p ≡ 0.3048 m.
Como se verá, en el desarrollo de los diferentes
temas del curso, un buen manejo de las dimensiones y sus respectivas unidades, tanto de las
cantidades fundamentales como derivadas, permitirá detectar posibles errores cometidos en los
cálculos matemáticos que se llevan a cabo en el
análisis de situaciones físicas.
En la tabla 1 se muestran las cantidades
físicas que serán utilizadas en los temas a tratar
en este curso. Se incluyen sus correspondientes
dimensiones y las unidades respectivas en el
sistema SI, con el fin de ir adquiriendo familiaridad desde ahora con ellas. Algunas de ellas
Ejemplo 0.1 Determine las dimensiones y unidades,
en cada uno de los sistemas anteriores, de k1 , k2 , k3 en
la expresión s = k1 t2 − k2 t + k3 , sabiendo que s es una
longitud (L) y t es un tiempo (T).
Solución
Si s es una longitud, cada uno de los términos de esta expresión debe tener dimensiones de longitud, es decir, para
el primer término
[
]
[ ]
k1 t2 = [k1 ] t2 = [k1 ] T2 = L,
así
[k1 ] =
L
= LT−2 ,
T2
por consiguiente, sus unidades son: m s−2 en el sistema SI,
cm s−2 en el sistema gaussiano y en el sistema inglés p s−2 ,
por lo que de acuerdo con la tabla 1, k1 corresponde a una
aceleración.
4
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
0.2.
Para el segundo término
[k2 t] = [k2 ] [t] = [k2 ] T = L,
de donde
[k2 ] =
L
= LT−1 ,
T
en este caso las unidades son: m s−1 en el sistema SI,
cm s−1 en el sistema gaussiano y p s−1 en el sistema inglés, o sea que k2 corresponde a una velocidad.
Para el tercer término
[k3 ] = L,
donde finalmente, las unidades de k3 son: m en el sistema
SI, cm en el sistema gaussiano y p en el sistema inglés, ya
que sólo tiene dimensiones de longitud.
Ejercicio 0.1 Halle las dimensiones y unidades, en los
tres sistemas, de la constante G que aparece en la expresión
m m
F = G 12 2 ,
r
donde F es una fuerza, r es una longitud y tanto m1 como
m2 son masas.
Ejercicio 0.2 Teniendo en cuenta las dimensiones obtenidas para G en el ejercicio 1, determine a qué cantidad
física corresponde g en la expresión
g=G
m
.
r2
Ejercicio 0.3 Encuentre las dimensiones y unidades en
√
cada una de las siguientes expresiones (a) gR, (b) mgR,
[
( vt )
]
(c) mvR cos R + 1 y (d) 12 mv2 + mgR(1 − cos θ ). Don-
Vectores
La física es una ciencia natural que tiene como
objetivo explicar los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza, tales como el estado de
reposo movimiento de los cuerpos.
Para poder explicar estos fenómenos se dispone de modelos físicos, los cuales están sustentados por leyes comprobadas experimentalmente y que se expresan en forma de ecuaciones matemáticas. Es decir, se toma la matemática como el medio más adecuado para explicar
los fenómenos de la naturaleza que están directamente relacionados con la física, en otras palabras, la matemática es el lenguaje de la física.
Por ello, es necesario utilizar el álgebra, la trigonometría, la geometría euclidiana, la geometría vectorial y el cálculo, ya que mediante estas
ramas de la matemática, es posible llevar a cabo procedimientos matemáticos adecuados con
las cantidades físicas a utilizar, para un buen entendimiento de los fenómenos físicos involucrados.
Lo anterior lleva a una clasificación de las
cantidades físicas, dependiendo de la forma como se expresan. De este modo, se clasifican en
cantidades escalares y cantidades vectoriales.
0.2.1.
Cantidades escalares
de g es una aceleración, R es una longitud, m es una masa,
Son aquellas cantidades físicas que quedan
completamente determinadas por su magnitud
cuál cantidad física corresponde cada expresión.
y su unidad respectiva. Las cantidades escalaEjemplo 0.2 La densidad de una sustancia es res se operan de acuerdo con las reglas de la
ρ = 4.5 g cm−3 . Exprese esta densidad en el sistema SI de aritmética, el álgebra y el cálculo. Cantidades
unidades.
físicas de este tipo son el área (A), el volumen
Solución
(V),
la masa (m), el tiempo (t), el trabajo (W),
Utilizando factores unitarios se tiene
la potencia (P), el momento de inercia (I), la
ρ = 4.5 g cm−3
presión (p), la energía (E), la temperatura (T), la
6 cm3
1
kg
10
entropía (S ), etc.
= 4.5 g cm−3 ×
×
,
v es una velocidad y t es un tiempo. En cada caso, diga a
103 g
1 m3
así, luego de efectuar y simplificar se obtiene
Ejemplos: A = 10 cm2 , V = 3 m3 , m = 5 kg,
t = 3 s.
ρ = 4.5 × 103 kg m−3 .
Ejercicio 0.4 Exprese en unidades SI y en unida-
des gaussianas: (a) 50 km h−1 . (b) 3.03 × 103 p s−2 . (c)
300 p lb s−1 .
0.2.2.
Cantidades vectoriales
Son aquellas cantidades físicas que para su
completa determinación, se requiere añadir una
5
0.2. VECTORES
dirección además de su magnitud y su unidad
respectiva. A diferencia de las cantidades escalares, las cantidades vectoriales se operan de
acuerdo con las reglas de la geometría vectorial.
Cantidades físicas de este tipo son la velocidad
(v), la aceleración (a ), la velocidad angular ( ω),
la aceleración angular (α ), el momento lineal o
cantidad de movimiento (p ), la fuerza (F ), el
momento de una fuerza (M ), el momento angular (L ), etc.
0.2.3.
Notación vectorial
0.2.5. Dirección de un vector
Por definición, a un vector se le debe asignar,
además de su magnitud, una dirección. Para
que la dirección del vector quede completamente determinada, es necesario definir una dirección de referencia, respecto a la cual se mide el
ángulo que forma el vector considerado. En la
figura 2 se muestra la dirección de los vectores
de la figura 1, donde se ha tomado la horizontal
como la dirección de referencia.
Matemáticamente, los vectores de la figura 2,
se expresan en la forma:
A= A
Como se ha podido observar, las cantidades escalares y las cantidades vectoriales, se denotan de manera diferente con el fin de distinguir
unas de otras. En textos impresos, generalmente
se utiliza letra negrilla para representar los vectores; por ejemplo, la fuerza se expresa como F y
en otros casos como ⃗F. Igualmente, la magnitud
⃗ | = A,
del vector A se representa como |A| = | A
que corresponde a un escalar.
En los temas que se tratarán de acá en adelante, es indispensable distinguir claramente entre
una cantidad escalar y una cantidad vectorial.
0.2.4.
Representación de un vector
Un vector se representa gráficamente mediante
una flecha cuya longitud, utilizando una escala
adecuada, corresponde a la magnitud del vector. Igualmente, la dirección del vector está dada por el sentido de la flecha, como se ilustra
en la figura 1 para los vectores A, B, C y D, que
tienen direcciones diferentes.
o
B=B
C=C
D =D
45
A
o
B
45
0o
o
o
C 90
D
45o
Figura 2: Dirección de un vector.
0.2.6. Vectores iguales
Los vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección, como se
ilustra en la figura 3. Matemáticamente, lo anterior se expresa en la forma A = B.
A
A
45
B
B
q
C
q
Figura 3: Vectores iguales.
D
0.2.7. Vectores iguales y opuestos
Figura 1: Representación de un vector.
Dos vectores A y B son iguales y opuestos si tienen la misma magnitud pero sentidos opuestos,
6
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
z
como se ilustra en la figura 4. Por lo que matemáticamente A = −B.
k
q
A
i
B
j
y
O
q
x
Figura 4: Vectores iguales y opuestos.
Figura 6: Vectores unitarios en coordenadas rectangulares.
0.2.8. Vectores unitarios
vectores con el fin de obtener el vector suma o
Un vector unitario es aquel cuya magnitud es vector resultante.
igual a la unidad. Por ello, como en la figura 5,
se define el vector unitario λ, que es paralelo al
0.2.10. Suma de vectores por el método
vector A, en la forma
gráfico
A
λ≡ ,
A
donde A es la magnitud del vector A.
z
A
l
y
Dentro de este método existen dos maneras de
hacerlo, por el método del polígono y el método
del paralelogramo.
Cuando se trata de sumar dos vectores, se
puede utilizar el método del triángulo o el método del paralelogramo, en la forma que se
muestra en las figuras 7 y 8, donde se ilustra
gráficamente la suma de los vectores A y B.
x
A
B
Figura 5: Vector unitario paralelo al vector A
De este modo, el vector A se puede expresar
en la forma A = λA, lo cual indica que un vector unitario es adimensional, esto es, no tiene dimensiones.
Para trabajar operacionalmente con vectores,
a cada uno de los ejes coordenados se le asocia
un vector unitario, como se ilustra en la figura
6 donde al eje x se le asocia el vector unitario
i, al eje y el vector unitario j y al eje z el vector
unitario k.
0.2.9. Suma o composición de vectores
Los vectores se pueden sumar gráfica y analíticamente, como se describe a continuación. Esta
operación vectorial es de utilidad, por ejemplo,
cuando se trata de hallar la fuerza neta o fuerza
resultante que actúa sobre un cuerpo. En este y
muchos otros casos, es necesario sumar varios
B
A
S=A+B
S=B+A
B
A
Figura 7: Método del triángulo.
En el caso del método del triángulo, se toma
uno de los vectores y donde éste termina se traslada el otro vector, de este modo, el vector suma
está dado por el vector que va desde donde empieza el primer vector hasta donde termina el
segundo, como se ilustra en la figura 7.
Al observar la figura 7, se encuentra que A +
7
0.2. VECTORES
B = B + A, lo cual indica que la suma de vectores es conmutativa.
En el método del paralelogramo, se trasladan
los dos vectores a un punto común, se completa el paralelogramo cuyos lados opuestos tienen
valores iguales a la magnitud del vector correspondiente. El vector suma está dado por la diagonal que parte del punto común a los dos vectores, como se muestra en la figura 8.
A
B
A
ni la dirección de ninguno de ellos, pues si esto
ocurre se encontraría un vector suma diferente
al buscado.
0.2.11. Componentes rectangulares de un
vector
En la sección 0.2.12, se considera el método analítico que permite sumar vectores. En dicho método se emplea el concepto de componentes rectangulares de un vector.
Con ayuda de los vectores unitarios asociados a los ejes coordenados, siempre es posible
expresar un vector en componentes rectangulares, como se ilustra en la figura 10, para el vector
A.
z
S=A+B
B
Azk
Figura 8: Método del paralelogramo.
O
A
Ay j
Axi
y
Cuando se trata de sumar más de dos vectox
res, se hace una generalización del método del
triángulo y en este caso se habla del método del
Figura 10: Componentes rectangulares de un vector.
polígono, el cual se ilustra en la figura 9, para la
suma de los vectores A, B, C y D.
En este caso se ha aplicado el método gráfico
para la suma de vectores, con la condición que
los vectores componentes son perpendiculares
A
C
B
D
entre sí, esto es, el vector A expresado en componentes rectangulares está dado por
D
A
A = A x i + Ay j + Az k,
B
donde las componentes rectangulares A x , Ay
y Az pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la orientación del vector respecto a
C
los sentidos positivos de los ejes rectangulares.
S=A+D+B+C
En el caso de la figura 10, las tres componentes
son positivas. La magnitud del vector A está reFigura 9: Método del polígono.
lacionada con la magnitud de sus componentes
Igual que para dos vectores, sigue siendo vá- rectangulares, por medio de la expresión
lida la conmutatividad en la suma de vectores,
A2 = A2x + A2y + A2z .
esto es, A + B + C + D = D + C + B + A =
A + D + B + C.
Donde se ha utilizado el teorema de Pitágoras.
Cuando se suman vectores gráficamente, al
Para expresar la dirección de un vector en el
trasladarlos, no se debe cambiar ni la magnitud espacio tridimensional, se utilizan los ángulos
8
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
que el vector en consideración forma con cada uno de los ejes coordenados.En el caso de
la figura 10, el vector A forma los ángulos θ x ,
θy y θz , con los ejes x, y y z, respectivamente.
De este modo, las respectivas componentes del
vector A, se obtienen mediante las expresiones
A x = A cos θ x , Ay = A cos θy y Az = A cos θz .
Así
A = A(cos θ x i + cos θy j + cos θz k),
donde el vector unitario paralelo al vector A, está dado por
dependiendo de la orientación del vector respecto al sentido positivo de los ejes de coordenadas, esto es, del cuadrante donde se encuentre el vector. En la figura 11, las componentes
son positivas.
En el caso particular de un vector en dos dimensiones, como sus componentes rectangulares son perpendiculares, el teorema de Pitágoras permite relacionar la magnitud del vector
con la magnitud de sus componentes rectangulares, mediante la expresión
A2 = A2x + A2y ,
λ = cos θ x i + cos θy j + cos θz k,
donde, conociendo las magnitudes de dos de
ellas, es posible conocer la magnitud de la otra.
expresado en función de los cosenos directores
Por otro lado, una vez que se conocen las
cos θ x , cos θy y cos θz .
magnitudes de las tres cantidades, la dirección
Igualmente, como la magnitud del vector λ es
del vector A se obtiene utilizando cualquiera de
la unidad, se satisface la igualdad
las definiciones de las funciones trigonométri2
2
2
cas, aunque es costumbre emplear la función tricos θ x + cos θy + cos θz = 1,
gonométrica tangente, esto es,
esto es, la suma de los cuadrados de los cosenos
Ay
Ay
directores es igual a la unidad.
tan θ =
,
θ = tan−1
,
Ax
Ax
En el caso de dos dimensiones, se procede de
forma idéntica, solo que únicamente aparecen ó
Ax
Ax
dos componentes rectangulares, como se muestan β =
,
β = tan−1
.
tra en la figura 11, para el vector A.
Ay
Ay
De acuerdo con lo anterior, en la figura 11 se
puede tomar como referencia el eje x o el eje y
De este modo, el vector A de la figura 11, matemáticamente se expresa en la forma
y
Ay j
O
b
A
q
Axi
x
A=A
q
A=A
b
Figura 11: Componentes rectangulares de un vector. Ejemplo 0.3 Encuentre las componentes rectangulares
del vector unitario paralelo a la línea AB de la figura 12,
apuntando en el sentido de A hacia B.
En este caso, aplicando de nuevo el método
gráfico para la suma de vectores, se tiene que el Solución
−→
Sea λ un vector unitario paralelo al vector AB, esto es
vector A expresado en componentes rectangu−→
lares está dado por
AB
λ=
A = A x i + Ay j,
donde igualmente las componentes rectangulares A x y Ay pueden ser positivas o negativas,
AB
.
−→
De acuerdo con la figura 13, el vector AB tiene las componentes rectangulares
−→
AB = ( − 0.6i + 0.32j − 0.51k)m,
9
0.2. VECTORES
y
0
51
mmB
B
320 mm
q
A
O
600 mm
A
Figura 14: Vector suma de dos vectores.
x
c
z
S=A+B
Figura 12: Vector unitario tridimensional.
B
q
a
y
5
mm
10 B
b
A
320 mm
Figura 15: Ley del coseno.
l
O
600 mm
A
Reemplazando las expresiones de la ecuación (2) en la
ecuación (1), se obtiene
x
S2
z
Figura 13: Componentes de un vector unitario.
=
=
( A + B cos θ )2 + ( B sen θ )2
=
A2 + B2 + 2AB cos θ,
donde mediante esta expresión, conocida como la ley del
coseno, es posible conocer la magnitud del vector suma.
Para hallar la dirección del vector suma, con ayuda de
la figura 16, se procede como sigue.
donde su magnitud está dada por
AB
=
√
0.62 + 0.322 + 0.512 m
0.85 m.
d
−→
Por consiguiente el vector unitario paralelo al vector AB,
expresado en componentes rectangulares, está dado por
a
λ
=
=
( − 0.6 i + 0.32 j − 0.51 k)m
,
0.85m
−0.71 i + 0.38 j − 0.6 k.
λy = +0.38,
e
q
b
Figura 16: Ley del seno.
O sea que las componentes rectangulares del vector unitario son
λ x = −0.71,
g B
b
A
c
S
λz = −0.6.
Ejercicio 0.5 En el ejemplo 3, encuentre las componentes rectangulares del vector unitario paralelo a la línea BA,
apuntando en el sentido de B hacia A. Compare su resultado con el obtenido en el ejemplo 3.
cb = S sen β = B sen θ,
S
B
=
,
sen θ
sen β
(3)
ed = A sen β = B sen γ,
A
B
=
.
sen γ
sen β
(4)
Por las ecuaciones (3) y (4), se encuentra
S
A
B
=
=
.
sen θ
sen γ
sen β
Expresión conocida como la ley del seno, y mediante la cual es
Ejemplo 0.4 Con ayuda del método gráfico, halle el
vector suma de los vectores mostrados en la figura 14.
posible hallar el ángulo β, conociendo los valores de B, θ y S.
Ejercicio 0.6 Halle la magnitud y dirección del vector
Solución
Teniendo en cuenta el método del triángulo, la magnitud
y dirección del vector suma se obtiene como sigue.
De la figura 15 se cumple la igualdad
suma, de los vectores mostrados en la figura 17.
(ac)2 = (ab)2 + (bc)2 ,
(1)
0.2.12. Suma de vectores por componentes rectangulares
ac = S, ab = A + B cos θ, bc = B sen θ.
(2)
Para sumar dos o más vectores por componentes rectangulares, primero se expresa cada uno
donde
10
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
B=15 u
57
o
opuesto a la dirección tomada como positiva para el eje y (Cy < 0),
A=23 u
Figura 17: Vector suma de dos vectores
- la componente horizontal del vector D es
positiva y su componente vertical negativa,
ya que el vector se encuentra en el cuarto
cuadrante (Dx > 0, Dy < 0).
ii) Componentes rectangulares del vector sude los vectores en sus componentes rectangulares y luego se suman, por separado, las compo- ma
nentes rectangulares paralelas a cada eje coorS x = A x + Bx + D x ,
denado, es decir, al sumar los vectores A, B, C y
Sy = Ay + By + Cy + Dy .
D, se procede así
i) Se obtienen las componentes rectangulares De este modo, el vector suma en componentes
de cada vector, como se ilustra gráficamente en rectangulares, está dado por
la figura 18.
S = Sx i + Sy j.
y
iii) Magnitud del vector suma
Ay j
y
A
B
Bxi
By j
O
Dy j
Dxi
D
Axi
x
Sy j
q
C
Figura 18: Componentes rectangulares de cada vector.
A = A x i + Ay j,
O
D = Dx i + Dy j,
donde,
x
Sxi
Figura 19: Vector suma de varios vectores.
Como las componentes del vector suma son
perpendiculares entre sí, de nuevo se utiliza el
teorema de Pitágoras, esto es
B = Bx i + By j,
C = Cy j,
S
b
S2 = S2x + Sy2
iv) Dirección del vector suma
tan θ =
Sy
Sx ,
θ = tan−1
Sy
Sx ,
tan β =
Sx
Sy ,
β = tan−1
Sx
Sy
- las componentes del vector A son positivas,
ya que el vector se encuentra en el primer dependiendo del eje que se tome como referencia, como se muestra en la figura 19.
cuadrante (A x > 0, Ay > 0),
- la componente horizontal del vector B es
negativa, mientras que su componente vertical es positiva por estar ubicado el vector
en el segundo cuadrante (Bx < 0, By > 0),
- el vector C solo tiene componente vertical
la cual es negativa por apuntar en sentido
Ejemplo 0.5 Halle el vector suma o vector resultante,
de los cuatro vectores mostrados en la figura 20.
Solución
Luego de considerar las componentes rectangulares de cada vector, se encuentra que las componentes rectangulares
del vector suma son
Sx = 5.77u
y
Sy = −17.75u.
11
0.2. VECTORES
y
B=
25
o
y
20
15 u
u
B=
=
A o
37
O
x
D= 7 u
C = 30 u 29o
25
o
20
u
=
A o
37
15 u
x
O
D= 7 u
C = 30 u 29o
Figura 20: Vector suma de cuatro vectores.
Figura 22: Vectores en dos dimensiones.
De este modo, el vector suma expresado en componentes
rectangulares está dado por
se debe tener cuidado al definirlas ya que existen dos tipos de producto, uno de ellos se conoce como producto escalar o producto punto entre
S = (5.77i − 17.75j)u.
dos vectores y el otro como producto vectorial o
Finalmente, luego de hallar la magnitud y dirección de producto cruz entre dos vectores, los cuales tienen propiedades o características diferentes coeste vector, se obtiene
mo se muestra en lo que sigue.
S = 18.66 u
o
71.99
La figura 21 muestra la solución gráficamente
y
O
-17.75 u
5.77 u
71.99o
x
18.66 u
0.2.14. Producto escalar o producto punto
entre vectores
El producto escalar entre dos vectores, será de
gran utilidad en la definición matemática del
concepto de trabajo.
Se consideran los vectores A y B que forman
entre sí un ángulo θ, como se ilustra en la figura
23. El producto escalar entre estos dos vectores,
que se representa como A · B, está definido por
A · B ≡ AB cos θ,
Figura 21: Componentes rectangulares del vector
suma.
o sea que el producto escalar entre los vectores
A y B es igual al producto de sus magnitudes
por el coseno del ángulo que forman.
Ejercicio 0.7 Encuentre los siguientes vectores, utilizando los cuatro vectores de la figura 22. (a) V1 = A −
(B − C) + D, (b) V2 = −(A − B) + C − D, (c) V3 =
A + D − (2C − B) y (d) V4 = −A − B − C − D.
A
q
0.2.13.
Producto entre vectores
B
Figura 23: Producto escalar de dos vectores.
En física se definen cantidades, tales como el
trabajo realizado por una fuerza, el momento
angular de un cuerpo o el torque de una fuerza,
De acuerdo con esta definición, se tiene que el
en función del producto entre dos vectores. Pero producto punto entre dos vectores es un escalar
12
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
que cumple la condición
A · B = AB cos θ,
B · A = BA cos θ,
- Cuando los vectores son antiparalelos el
producto punto es mínimo, ya que en este
caso el coseno adquiere su mínimo valor.
- Cuando los vectores son perpendiculares el
producto punto es nulo.
lo cual indica que el producto escalar satisface
la propiedad de conmutatividad.
En síntesis, el producto punto entre los vectores
Partiendo de esta definición, es posible obteA y B adquiere valores comprendidos entre el
ner otras dos definiciones para el producto escaintervalo − AB ≤ A · B ≤ + AB.
lar, teniendo en cuenta la figura 24, como sigue.
Teniendo en cuenta lo anterior, para los vectores unitarios i, j y k, que son linealmente independientes por ser perpendiculares entre sí,
A
A
se satisfacen las siguientes igualdades
B cos q
q
q
A cos q
B
i · j = j · i = j · k = k · j = k · i = i · k = 0.
(b)
Por consiguiente, el producto escalar de los vectoresA y B, teniendo en cuenta sus componentes rectangulares, también se puede expresar en
la forma
B
(a)
i · i = j · j = k · k=1,
Figura 24: Proyección de un vector sobre el otro.
En la figura 24(a), la proyección del vector A
A · B = A x Bx + Ay By + Az Bz .
sobre el vector B está dada por A cos θ, lo cual
permite expresar la definición de producto esEjemplo 0.6 Utilizando la definición de producto
calar en la forma
punto, encuentre el ángulo que el vector A forma con cada
A · B ≡ ( A cos θ ) B,
uno de los vectores B, C y D, mostrados en la figura 25.
y
esto es, el producto escalar de los vectores A y
B también se puede definir como el producto de
la componente del vector A paralela a B por la
magnitud de B.
Análogamente, al considerar la figura 24(b),
la proyección del vector B sobre el vector A está dada por B cos θ, por lo que la definición de
producto escalar se puede escribir en la forma
A · B ≡ A( B cos θ ),
B=
25
o
20
15 u
u
=
A o
37
O
x
D= 7 u
C = 30 u 29o
Figura 25: Producto punto y ángulo entre vectores.
o sea, el producto escalar de los vectores A y B Solución
Inicialmente se expresa cada vector en componentes recigualmente se puede definir como el producto tangulares
de la magnitud del vector A por la componente
A = (20 cos 37 i + 20 sen 37 j) u,
del vector B paralela al vector A.
B = (−15 cos 25 i + 15 sen 25 j) u,
Como consecuencia de la definición del proC = (−30j) u,
ducto escalar entre los vectores A y B, se obtieD = (7 sen 29 i − 7 cos 29 j) u.
nen las siguientes conclusiones
Ahora, empleando la definición de producto escalar, entre
- Cuando los vectores son paralelos el pro- los vectores A y B, se tiene que el ángulo entre ellos está
ducto punto es máximo, ya que en este caso dado por
A·B
cos θ =
.
el coseno adquiere su máximo valor.
AB
13
0.2. VECTORES
Llevando a cabo las operaciones indicadas en la expresión
anterior, para cada pareja de vectores, se encuentra
Angulo entre los vectores A y B: θ1 = 118o .
Angulo entre los vectores A y C: θ2 = 127o .
Angulo entre los vectores A y D: θ3 = 98o .
Resultados que están de acuerdo con los mostrados en
la figura 25.
Ejercicio 0.8 Utilizando la definición de producto pun-
de tal forma que es igual a otro vector C perpendicular tanto al vector A como al vector B, esto
es, el vector C = A × B es un vector perpendicular al plano formado por los vectores A y B,
donde su magnitud está dada por
|C| = |A × B|
= AB sen θ,
to, encuentre el ángulo entre los siguientes vectores (a)
A + B y A − C, (b) B − C y A − D, (c) B y A − C y (d)
D − A y C + B, donde los vectores A, B, C y D, se mues-
C = Ax B
tran en la figura 26.
y
q
B
A
B=
25
o
20
=
A o
37
15 u
u
Figura 28: Producto vectorial entre vectores.
x
O
D= 7 u
C = 30 u 29o
Figura 26: Angulo entre vectores.
Ejercicio 0.9 Considere los vectores P1 y P2 de la figura 27. Efectúe el producto escalar entre estos dos vectores
y utilice el resultado para demostrar la identidad trigonométrica
cos(θ1 − θ2 ) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2
q1
P2
q2
x
Figura 27: Identidad trigonométrica.
0.2.15.
- Cuando los vectores son paralelos la magnitud del producto cruz es nula, ya que en
este caso el seno adquiere el valor cero.
- Cuando los vectores son antiparalelos la
magnitud del producto cruz es nula, ya que
en este caso el seno adquiere el valor cero.
- Cuando los vectores son perpendiculares,
la magnitud del producto cruz es máxima,
ya que el seno adquiere su máximo valor,
esto es AB.
y
P1
o sea, la magnitud del producto vectorial entre los vectores A y B es igual al producto de sus
magnitudes por el seno del ángulo que forman.
Por otro lado, como consecuencia de la definición del producto vectorial entre los vectores
A y B, se tienen las siguientes conclusiones
Producto vectorial o producto
cruz entre vectores
Se consideran los vectores A y B que forman entre sí un ángulo θ, como se ilustra en la figura
28. El producto vectorial entre estos dos vectores, que se representa como A × B, está definido
- Cuando los vectores son perpendiculares,
formando entre sí un ángulo de 270o , la
magnitud del producto cruz es mínima, ya
que el seno adquiere su mínimo valor, esto
es − AB.
En síntesis, el producto cruz entre los vectores
A y B adquiere valores comprendidos entre el
intervalo − AB ≤ |A × B| ≤ + AB.
Teniendo en cuenta lo anterior, para los vectores unitariosi, j y k, que son linealmente independientes por ser perpendiculares entre sí, se
14
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
y
satisfacen las siguientes igualdades
P1
i × i = j × j = k × k = 0,
i × j = k,
k × j = −i,
j × i = −k,
k × i = j,
P2
q1
j × k = i,
i × k = −j
q2
x
Por consiguiente, el producto vectorial de los
Figura 29: Producto cruz.
vectores A y B, teniendo en cuenta sus componentes rectangulares, también se puede exprePor consiguiente, el producto vectorial de los vectores dasar en la forma
dos, que de acuerdo con la regla de la mano derecha apunta en la dirección negativa del eje z, está dado por
C = A×B
= ( A x i + Ay j + Az k) × ( Bx i + By j + Bz k).
P1 × P2 = − P1 P2 (senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1 )k,
por lo que su magnitud es
Con
C = Cx i + Cy j + Cz k,
|P1 × P2 | = P1 P2 (senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1 ).
(1)
Por otro lado, considerando la definición de producto vectorial, se tiene que la magnitud también está dada por
se encuentra que
|P1 × P2 | = P1 P2 sen(θ1 − θ2 ).
Cx = Ay Bz − Az By ,
Cy = Az Bx − A x Bz ,
Cz = A x By − Ay Bx .
(2)
Finalmente, igualando las ecuaciones (1) y (2), se obtiene
sen(θ1 − θ2 ) = (senθ1 cos θ2 − sen θ2 cos θ1 ).
Ejemplo 0.8 Utilizando la definición de producto
El resultado anterior también se puede obtener cruz, encuentre el ángulo que el vector A forma con cada uno de los vectores B, C y D, mostrados en la figura 30.
al resolver el determinante
y
i
j
k A × B = A x Ay Az u
Bx By Bz 20
B=
25
El producto vectorial entre vectores se utilizará
para definir, respecto a un punto determinado,
el vector momento de una fuerza y el vector
momento angular de un cuerpo.
o
15 u
=
A o
37
x
O
D= 7 u
C = 30 u 29o
Figura 30: Producto cruz y ángulo entre vectores.
Ejemplo 0.7 Considere los vectores P1 y P2 de la figura 29. Efectúe el producto vectorial entre estos dos vectores
y utilice el resultado para demostrar la identidad trigonométrica
sen(θ1 − θ2 ) = sen θ1 cos θ2 − cos θ1 sen θ2
Solución
Para hallar el producto vectorial de estos dos vectores, primero se debe expresar cada uno de ellos en componentes
rectangulares, esto es
P1
=
P1x i + P1y j
P2
=
=
=
P1 cos θ1 i + P1 sen θ1 j,
P2x i + P2y j
P2 cos θ2 i + P2 sen θ2 j.
Solución
Inicialmente se expresa cada vector en componentes rectangulares
A
B
C
D
=
=
=
=
(20 cos 37 i + 20 sen 37 j) u,
(−15 cos 25 i + 15 sen 25 j) u,
(−30 j) u,
(7 sen 29 i − 7 cos 29 j) u.
Ahora, empleando la definición de producto vectorial, entre los vectores A y B, se encuentra que el ángulo entre
ellos está dado por
sen θ =
|A × B|
.
AB
15
0.2. VECTORES
donde se ha tenido en cuenta que los vectores
unitarios i , j y k tienen magnitud y dirección
o
Angulo entre los vectores A y B: θ1 = 62 , que es el suple- constantes, es decir
Llevando a cabo las operaciones indicadas en la expresión
anterior, para cada pareja de vectores, se encuentra
mento de θ1 = 118o .
di
dj
dk
=
=
= 0.
dt
dt
dt
Angulo entre los vectores A y C: θ2 = 53o , que es el suplemento de θ1 =
127o .
Angulo entre los vectores A y D: θ3 = 82o , que es el suplemento de θ1 = 98o .
Resultados que concuerdan con los obtenidos en el ejemplo 6, utilizando la definición de producto escalar.
Ejercicio 0.10 Encuentre, empleando la definición de
producto vectorial, el ángulo entre los siguientes vectores
(a) A + B y A − C, (b) B − C y A − D, (c) B y A − C y
En algunas situaciones se hace necesario determinar la derivada de un producto escalar o de
un producto vectorial. En este caso, se aplican
las mismas reglas del cálculo para la derivada
de un producto.
Así, la derivada del escalar A = B · C, está
dada por
(d) D − A y C + B, donde los vectores A, B, C y D, son
dA
dt
los mostrados en la figura 31. Compare con los resultados
obtenidos en el ejercicio 0.8.
=
=
y
B=
25
o
20
15 u
De igual manera, la derivada del vector D =
P × Q, es
u
=
A o
37
O
x
dD
dt
D= 7 u
C = 30 u 29o
=
=
Figura 31: Angulo entre vectores.
0.2.16.
Derivadas con vectores
En diferentes situaciones se hace necesario derivar un vector, bien sea respecto a una de las
coordenadas o respecto al tiempo, es decir, respecto a una cantidad escalar. Esta operación se
emplea al definir cantidades físicas tales como
los vectores velocidad (v), aceleración (a), fuerza (F) y momento de una fuerza respecto a un
punto (τ). En lo que sigue, t es un escalar respecto al cual se tomarán las derivadas de un
vector o de un producto de vectores.
Si el vector A está dado en componentes rectangulares por A = A x i + Ay j + Az k, su derivada respecto al escalar t, viene dada por
dA
dt
=
=
d
(B · C)
dt
dB
dC
·C+B·
.
dt
dt
d
( A x i + A y j + A z k),
dt
dAy
dAz
dA x
i+
j+
k,
dt
dt
dt
d
(P × Q)
dt
dP
dQ
×Q+P×
.
dt
dt
En este caso se debe tener presente que el
producto cruz no es conmutativo, mientras que
el producto punto sí lo es.
Ejemplo 0.9 Derivar los siguientes vectores respecto al escalar t. (a) A(t) = 3t2 i + 2tj + 8k. (b)
r(t) = [ Acos(ωt)] i + [ Asen(ωt)] j, donde ω es una
constante.
Solución
(a)
dA(t)
= 6ti + 2j.
dt
(b)
dr(t)
dt
=
[− Aω sen(ωt)] i + [ Aω cos(ωt)] j
=
Aω {[− sen(ωt)] i + [cos(ωt)] j}.
Ejercicio 0.11 Halle la segunda derivada de los vectores dados en el ejemplo 9. Encuentre una relación entre el
vector r (t) y su segunda derivada.
16
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
0.3. Coordenadas polares
y (m)
B (-3.00, 3.00)
r2
Hasta este momento se han empleado coordeq
D
O
nadas rectangulares para el trabajo con vectox (m)
q
res. Como se verá más adelante, se presentan
r
situaciones físicas en las que es más adecuado
emplear otro sistema de coordenadas conocido
A (2.00, -4.00)
como coordenadas polares r θ, en las que un punto del plano xy, con coordenadas rectangulares
Figura 34: Distancia entre dos puntos.
(x, y), se expresa en la forma (r, θ) donde r es
la longitud de la recta que va del origen al punto en consideración y θ es el ángulo que la recta De acuerdo con la figura 34, la diferencia entre los vectores
r1 y r2 es igual al vector D, esto es
forma con respecto a un eje de referencia, mediD = r1 − r2
do en sentido antihorario, como se ilustra en la
= (5i − 7j) m.
figura 32.
2
1
1
De este modo, la distancia entre los puntos A y B, corresponde a la magnitud del vector diferencia, es decir
√
D = 52 + 72 ≈ 8.6 m.
(r, q)
r
q
Figura 32: Coordenadas polares.
Mediante el sistema de coordenadas rectangulares, es posible encontrar una relación entre ambos sistemas de coordenadas, teniendo en
cuenta la figura 33.
y
(r, q)
(x, y)
r
q
x
(b) Coordenadas polares de cada punto
Para el punto A sus coordenadas polares son (r1 ,θ1 ),
cuyos valores están dados por
√
22 + 42
r1 =
= 4.47 m,
4
θ1 = 360 − tan−1
2
= 296.57o .
Para el punto B las coordenadas polares son (r2 ,θ2 ), con
valores
√
r2 =
32 + 32
= 4.24 m,
3
θ2 = 180 − tan−1
3
= 135o .
Figura 33: Coordenadas polares y coordenadas recEjercicio 0.12 Dos puntos en el plano tienen coordenatangulares.
o
o
das polares (2.5 m, 30.0 ) y (3.8 m, 120.0 ). Determine (a)
Las coordenadas cartesianas de estos puntos. (b) La dis-
De la figura 33 se tiene
x = r cos θ
y
tancia entre ellos.
y = r sen θ.
Ejemplo 0.10 Las coordenadas cartesianas de dos
puntos en el plano xy, están dadas por (2.0, − 4.0) m y
( − 3, 0, 3.0) m. Determine (a) La distancia entre estos
puntos. (b) Sus coordenadas polares.
0.4.
Matemática para la física
Como la matemática es parte del lenguaje en el
que se expresa la física, de ahí radica la importancia de ella en esta área de la ciencia. Por lo
Solución
(a) Para determinar la distancia entre los puntos A y B, se anterior, en esta sección se hace una revisión geconsideran los vectores r1 y r2 , cuyas componentes rectanneral de algunas operaciones y conceptos mategulares están dadas por
máticos que se utilizan en la física, particularmente en el curso de Física Mecánica.
r1 = (2i − 4j) m
y
r2 = ( − 3i + 3j) m.
17
0.4. MATEMÁTICA PARA LA FÍSICA
0.4.1.
Algebra y trigonometría
Logaritmos Las propiedades de los logaritmos, permiten disponer de una herramienta de
Para operar de manera literal, en la deducutilidad en la física.
ción de expresiones matemáticas que involuSi y = ln x, entonces x = ey .
cran diferentes cantidades físicas y en la solución de ecuaciones simultáneas, es necesario
utilizar el algebra y la trigonometría.
ln( ab) = ln( a) + ln(b)
ln( a/b) = ln( a) − ln(b)
Algebra
ln an = n ln a
Potencias Producto de potencias con la misma base x.
x n x m = x n+m
xn
= x n−m
xm
√
x1/n = n x
( x n )m = x nm .
ln e = 1
ln e a = a
1
ln
= − ln a.
a
Las propiedades anteriores, para los logaritmos
naturales cuya base es la constante de Euler e,
son de validez general en cualquier base.
Trigonometría Las funciones trigonométricas
Operaciones algebraicas Operaciones alge- y las identidades trigonométricas, son de uso
braicas entre fracciones, con las cantidades, a, b, común en el manejo de expresiones matemátic y d.
cas, particularmente cuando se trabaja con cantidades vectoriales, tales como el momento lia
c
ad ± bc
±
=
neal, la fuerza y el momento angular. Utilizando
b d
bd
el triángulo de la figura 35, se obtienen las defia c
ac
( )( ) =
niciones mostradas en la tabla 2, para los ángub d
bd
los γ y β.
ad
( a/b)/(c/d) =
.
bc
Productos notables Productos notables que se
utilizan en muchas situaciones donde se debe
factorizar una expresión matemática.
( a ± b )2
a2 − b2
( a ± b )3
( a + b + c )2
=
=
=
=
a2 ± 2ab + b2
a
g
c
b
b
Figura 35: Triángulo rectángulo.
( a + b)( a − b)
a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
Tabla 2: Definición de las funciones trigonométricas
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Angulo β
Angulo γ
sen β = a/c sen γ = b/c
Ecuación cuadrática Cuando se tiene una
cos β = b/c cos γ = a/c
ecuación cuadrática de la forma
tan β = a/b tan γ = b/a
cot β = b/a cot γ = a/b
2
ax + bx + c = 0,
sec β = c/b sec γ = c/a
csc β = c/a csc γ = c/b
donde x es la cantidad no conocida, sus soluciones están dadas por la expresión
Mediante la figura 36, se ilustra la ley del seno
√
−b ± b2 − 4ac
y la ley del coseno, las cuales se utilizan en el cax=
.
2a
so de triángulos que no son rectángulos, como
18
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
ocurre en muchos casos al sumar cantidades físicas de tipo vectorial, particularmente, vectores
fuerza.
Identidades trigonométricas
sen2 θ + cos2 θ = 1
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ
180 - b
1
sen2 θ
2
1
cos2 θ
2
sen(−θ )
Figura 36: Triángulo no rectángulo
cos(−θ )
sen(θ ± π/2)
cos(θ ± π/2)
sen(θ ± π )
Ley del seno
cos(θ ± π )
a
sen β
=
=
b
sen γ
c
.
sen α
sen(θ ± β)
cos(θ ± β)
.
0.4.2.
Ley del coseno
a2 = b2 + c2 − 2bc cos β
a2 = b2 + c2 + 2bc cos(180 − β)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos γ
c2 = a2 + b2 − 2ab cos α.
= 2 cos2 θ − 1
= 1 − 2 sen2 θ
1
=
(1 − cos θ )
2
1
=
(1 + cos θ )
2
= − sen θ
= cos θ
= ± cos θ
= ∓ sen θ
= ∓ sen θ
= − cos θ
= sen θ cos β ± cos θ sen β
= cos θ cos β ∓ sen θ sen β
Geometría Euclidiana
En esta parte, se enuncian tres teoremas de la
geometría euclidiana, que a menudo es necesario tener en cuenta en la física. Igualmente, se
consideran algunas propiedades de las figuras
geométricas más utilizadas.
Teorema Si una recta corta dos rectas paralelas, los ángulos alternos internos entre ellas
son iguales.
g
En el caso particular que uno de los ángulos sea
b
recto, es decir, cuando el triángulo es rectángulo, se obtiene el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, si γ = π/2, la tercera de las ecuaciones an- Figura 37: Angulos alternos internos entre paralelas
teriores adquiere la forma
En la figura 37, los ángulos β y γ son alternos
internos, por lo tanto β = γ.
2
2
2
b = a +c ,
Teorema Si una recta corta dos rectas paralelas, los ángulos correspondientes entre ellas
son iguales.
que corresponde al teorema de Pitágoras.
19
0.4. MATEMÁTICA PARA LA FÍSICA
g
b
Longitud de la circunferencia La longitud
o perímetro de una circunferencia de radio R,
está dado por,
l = 2πR
Figura 38: Angulos correspondientes entre paralelas
Area y volumen En la tabla 3 se indica el
En la figura 38, los ángulos β y γ son corres- área y el volumen de algunas figuras geométricas, que son útiles en el análisis de diferentes
pondientes, por lo tanto β = γ.
temas de la física.
Teorema Dos ángulos formados por lados
respectivamente perpendiculares, son iguales.
Como en la figura 39, el lado AB es perpendi-
D
g
E
B
b
C
Tabla 3: Area y volumen
Figura geométrica
Rectángulo (lados a y b)
Triángulo (base b y altura h)
Círculo (radio R)
Esfera (radio R)
Cilindro (radio R y longitud l)
Area
Volumen
ab
bh/2
πR2
4πR2
2πRl
4
3
3 πR
2
πR l
A
Figura 39: Angulos iguales
0.4.3. Cálculo
cular al lado DC y el lado DB es perpendicular
al lado AE, los ángulos β y γ están formados por
lados respectivamente perpendiculares, es decir
β = γ.
En la física, el cálculo es una herramienta de
gran utilidad, ya que muchas cantidades se expresan o definen bien sea utilizando el concepto
de derivada o de integral.
Arco de una circunferencia La longitud del
arco mostrado en la figura 40, es gual al radio
R multiplicado por el ángulo θ en radianes, esto
es,
Cálculo diferencial Mediante el cálculo diferencial se definen cantidades físicas tales como
el vector velocidad, el vector aceleración y el
vector fuerza. Por est razón, se considera la definición de derivada y algunas de sus propiedades.
s = Rθ
Definición de derivada
s
R
q
Figura 40: Arco de una circunferencia
Si la variable y es una función de la variable x,
esto es, y = y( x ), la derivada de la función y
respecto a x, está dada por
dy
∆y
≡ lı́m
.
dx
∆x →0 ∆x
Propiedades de la derivada A continuación
se indican algunas propiedades de la operación
derivada.
20
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
Derivada de la suma de dos funciones Si
f ( x ) = g( x ) + h( x ), donde x es una variable,
la derivada de la función f ( x ) respecto a x, está
dada por
d f (x)
dg( x ) dh( x )
=
+
.
dx
dx
dx
Derivada del producto de dos funciones Si
f ( x ) = g( x )h( x ), donde x es una variable, la
derivada de la función f ( x ) respecto a x, está
dada por
d f (x)
dg( x )
dh( x )
=
h( x ) + g( x )
.
dx
dx
dx
Derivada del cociente de dos funciones Si
f ( x ) = g( x )/h( x ), donde x es una variable, la
derivada de la función f ( x ) respecto a x, está
dada por
d f (x)
=
dx
dg( x )
dx h ( x ) −
g( x )
[h( x )]2
dh( x )
dx
.
Tabla 4: Derivada de funciones
Función
d/dx =
ax
y=e
ae ax
y = sen( ax )
a cos( ax )
y = cos( ax )
− a sen( ax )
y = tan( ax )
a sec2 ( ax )
y = cot( ax )
− a csc2 ( ax )
y = sec x
tan x sec x
y = csc x
− cot x csc x
y = ln( ax )
a/x
−
1
y = sen ( ax )
a/(1 − a2 x2 )1/2
−
1
y = cos ( ax ) − a/(1 − a2 x2 )1/2
y = tan−1 ( ax )
a/(1 + a2 x2 )
se utiliza el símbolo de sumatoria ∑. En física
se emplean, tanto la integral como la sumatoria,
debido a que se trabaja con cantidades discretas
y con cantidades continuas.
Integrales más comunes A continuación, se
indican las integrales más comunes que se preRegla de la cadena Si y = f ( x ) y x = g(t), sentan en la física.
donde x y t son variables, la derivada de la funb
∫ b
x n+1 ción y respecto a t, está dada por
n
x dx =
n + 1 a
a
d f ( x ) dg(t)
dy
1
=
.
)(bn+1 − an+1 )
= (
dt
dx
dt
n+1
∫ b
1
Segunda derivada Si y = f ( x ), donde x es
dx = ln x |ba
x
a
una variable, la derivada segunda de la función
= ln b − ln a
y respecto a x, está dada por
b
= ln
2
a
d d f (x)
d y
b
.
=
∫ b
2
1
dx
dx dx
sen(cx ) dx = − cos(cx )
c
a
a
Derivadas más comunes En la tabla 4, se in1
[cos(ca) − cos(cb)]
=
dican las derivadas de las funciones más comuc
b
nes que se presentan en la física.
∫ b
1
cos(cx ) dx =
sen(cx )
c
a
a
Cálculo integral ∫ La integral, cuyo símbolo es
1
una S alargada, , corresponde a la operación
=
[sen(cb) − sen(ca)]
c
opuesta de la derivada y es de utilidad cuan
∫ b
1 cx b
cx
do se trabaja con cantidades continuas. De este
e dx =
e
c a
a
modo, la integral se interpreta como una suma
1 cb
de cantidades continuas. Cuando se trabaja con
=
[e − eca ].
c
cantidades discretas o contables a simple vista,
21
0.5. PAUTAS GENERALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Alfabeto griego Por último y debido a que en la solución de problemas.
en el movimiento curvilíneo y rotacional, va1. Mientras no se entienda con toda claridad
rias cantidades físicas se expresan mediante lela situación física planteada en un probletras del alfabeto griego, se tiene la tabla 5 con el
ma particular, no es posible llegar a una sonombre de cada letra y su representación.
lución que tenga sentido físico real. Por ello
es indispensable leer detenida y cuidadosaTabla 5: Alfabeto griego
mente el enunciado propuesto. No entenNombre
Mayúscula Minúscula
der el enunciado es quizá el origen de muAlfa
A
α
chas salidas en falso, que pueden llevar a
Beta
B
β
soluciones sin ningún significado.
Gamma
Γ
γ
2. Una vez que se ha logrado cumplir el paDelta
∆
δ
so anterior, es posible trazar un diagrama
Epsilon
E
ϵ
o esquema de la situación planteada en el
Zeta
Z
ζ
enunciado. Con esto se logra una mejor viEta
H
η
sualización del caso que se describe.
Theta
Θ
θ
Iota
Kappa
Lambda
Mu
Nu
Xi
Omicron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Upsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
0.5. Pautas generales en la solución de problemas
Los diferentes temas que se tratan en un curso
de física, corresponden a situaciones que se presentan en la naturaleza, tal como el movimiento
de los cuerpos. Estos temas se analizan primero de una manera general y luego se aplican los
conceptos involucrados en el análisis y solución
de situaciones físicas particulares, más conocidos como problemas. A continuación, se consideran las pautas generales que se deben seguir
3. Con ayuda del diagrama anterior, generalmente, se escriben las cantidades dadas
y las cantidades conocidas. Igualmente, se
debe estar seguro de cuáles cantidades debe determinar, es decir, cuáles son las incógnitas del problema.
4. En la solución de un problema, por lo general, sólo se aplican pocos principios o conceptos físicos. En esta etapa es indispensable analizar cuáles principios o conceptos
se deben emplear, teniendo en cuenta la relación entre las cantidades a determinar y
las cantidades conocidas.
5. Teniendo en cuenta que la matemática es el
lenguaje de la física, se expresan los principios o conceptos en función de las cantidades físicas que intervienen en el problema particular. En esta parte se debe tener
mucho cuidado de utilizar expresiones matemáticas que sean válidas en la situación
que se está tratando. Tenga presente que
algunas expresiones no son de validez general, sino que sólo son aplicables en ciertos casos. Como algunas veces se obtienen
varias ecuaciones simultáneas que es necesario resolver, se debe contar el número de
ecuaciones y de incógnitas con el fin de saber si es posible obtener una solución en
función de las cantidades conocidas o no.
En cada caso particular, utilice el método
22
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
más adecuado que le permita resolver de dades kg · m2 · s−1 y el denominador kg · m2 ·
la forma más sencilla posible, el sistema de s−2 . ¿Qué cantidad física se obtuvo finalmente?
ecuaciones simultáneas.
0.3 Justificando su respuesta, diga si cada una
6. Hasta donde sea posible, trabaje en forma de las afirmaciones anteriores es correcta o inliteral, es decir, utilice los símbolos de las correcta: (a) Sólo se pueden sumar cantidades
cantidades físicas conocidas en lugar de ha- físicas que tengan las mismas unidades. (b) Dos
cer los reemplazos numéricos desde un co- cantidades físicas se pueden multiplicar o divimienzo. Así es posible expresar literalmen- dir, si y sólo si, tienen las mismas dimensiones.
te las incógnitas en función de las cantidades dadas en el enunciado, y de esta forma 0.4 Cierta región, la rapidez del sonido en el
−1
−1
se tiene la posibilidad de hacer un análisis aire es 335 m · s . Halle, en km · h , la rapidez
físico y dimensional de los resultados obte- de un avión que se mueve con una rapidez igual
nidos, permitiendo detectar posibles erro- al doble de la velocidad del sonido en dicha reres. Espere hasta el final para reemplazar gión.
los valores numéricos con sus respectivas
0.5 Un deportista tiene una estatura de 5.8 p y
unidades. Es importante incluir unidades,
9.9 pul. Halle su estatura en el sistema internaporque la respuesta se debe expresar en
cional de unidades y en el sistema gaussiano.
función de ellas y porque se tendrá una
comprobación adicional al simplificar las 0.6 La separación entre dos de los soportes del
unidades en forma adecuada.
puente Golden Gate, en San Francisco California, es de 4200 p. Exprese esta distancia km.
7. Cuando se obtengan respuestas numéricas,
es necesario hacer un análisis de ellas res- 0.7 Un cilindro circular recto tiene un diámetro
pondiendo a la pregunta ¿tiene sentido fí- de 7.1 pul y una altura de 1.9 p. Halle el área de
sico el valor encontrado? Por ejemplo, si la base y su volumen, en el sistema internaciose encuentra que la velocidad de un auto nal de unidades.
es mayor que la velocidad de la luz (3 ×
108 m · s−1 ), o que un cuerpo, tal como un 0.8 En las ecuaciones siguientes, x se da en m,
balón, tiene una masa igual a la de la tie- t en s, v en m · s−1 y a en m · s−2 . Teniendo en
rra (5.98 × 1024 kg) o a la de un electrón cuenta estas unidades, determine las√dimensio(9.1 × 10−31 kg), es porque existe un error nes de las cantidades: (a) v2 /x, (b) x/a y (c)
en la solución del problema, ya que son res- at2 /2.
puestas o resultados que no están de acuer0.9 En la expresión x = Ae−ωt , x es una longido con la realidad.
tud, A es una longitud máxima y t es un tiempo
8. Por último, se deben utilizar "todas" las . ¿Cuáles son las dimensiones de ω?
comprobaciones posibles de los resultados.
0.10 Un objeto de cierta masa, que está sujeto
al extremo de una cuerda, describe una circun0.6. ENUNCIADOS
ferencia. La fuerza ejercida por la cuerda tiene
las dimensiones ML/T−2 y depende tanto de la
0.1 Considere las cantidades físicas masa (M), masa del cuerpo, como de su rapidez y del radio
longitud (L), fuerza (F) y tiempo (T). Diga cuál de la circunferencia que describe. ¿Cuál combide ellas no es una cantidad física fundamental nación de estas últimas tres cantidades, genera
en el sistema (a) internacional de unidades y (b) las dimensiones de la fuerza?
inglés de unidades.
0.11 Muestre que el momento lineal tiene las
0.2 Al analizar una situación física, se obtiene dimensiones del producto de una fuerza por el
un resultado tal que el numerador tiene las uni- tiempo.
23
0.6. ENUNCIADOS
0.12 Cuando un cuerpo se mueve en el aire, se
genera una fuerza de fricción que es proporcional al área superficial A del cuerpo y a su rapidez al cuadrado v2 , es decir, Ff = CAV 2 . Obtenga las dimensiones de la constante C.
A
q
B
Figura 41: Método del paralelogramo.
0.13 En el sistema internacional de unidades la
fuerza se da en N. Halle las dimensiones y unicon la horizontal. (b) Resuelva el numeral andades, en dicho sistema, de la constante de graterior utilizando componentes rectangulares. (c)
vitación universal G, que aparece en la ley de
Compruebe sus resultados si θ = 0o , 90o , 180o .
gravitación de Newton F = Gm1 m2 /r2
0.18 Sobre un punto, que se encuentra sobre
0.14 Simplifique cada una de las siguientes
una circunferencia, se aplica un vector de 103
expresiones vectoriales: (a) 3(A − 2B) + C −
unidades que apunta hacia el centro y otro de
4(6B − C ) = 0, (b) P = 4[3(2A − 3B + C) −
3 × 103 unidades que apunta horizontalmente
(5A − C) + 8B], (c) 8A − 7B − 4(3B + 6A) = 0. hacia la derecha, como en la figura 42. (a) Utilizando el método del paralelogramo y la trigo0.15 Responda cada una de las siguientes pre- nometría, obtenga la magnitud y dirección del
guntas. (a) Los vectores A y B tienen igual mag- vector suma, en función del ángulo θ. (b) Renitud. ¿Es posible que su suma sea cero? Expli- suelva el numeral anterior, utilizando compoque. (b) Los vectores P y Q tienen magnitudes nentes rectangulares. (c) Compruebe sus resuldiferentes. ¿Es posible que su suma sea nula? tados si θ = 0o , 90o , 180o .
Explique. (c) Los vectores A, B y C tienen igual
magnitud. ¿La suma entre ellos puede ser cey
ro? Explique. (d) Los vectores P, Q y R tienen
diferente magnitud. ¿La suma entre ellos puex
q
de ser cero? Explique. (e) El vector M tiene una
3 x 10 u
magnitud de 4 unidades y el vector N de 3 uni10 u
dades. Cómo se deben combinar estos vectores
para que se obtenga un vector resultante con Figura 42: Magnitud y dirección del vector suma.
magnitud de: (i) 1 unidad, (ii) 5 unidades, (iii)
7 unidades y (iv) Cualquier magnitud entre 1 y
7 unidades.
0.19 Un barco en alta mar recibe dos señales
3
3
desde los transmisores A y B que se encuentran
separados 100 km y uno al sur del otro. El localizador de direcciones del barco detecta que
A se encuentra en la dirección E30o S y que B
se encuentra al este. (a) Encuentre la separación
entre el barco y cada transmisor de señales. (b)
Exprese en componentes rectangulares los vectores que unen al barco con cada transmisor.
(c) Utilizando los vectores anteriores, obtenga
0.17 Se tienen los vectores A y B de la figura el vector que une al transmisor A con el trans41, que forman entre sí un ángulo θ y cuya re- misor B.¿Cuál operación entre vector realizó en
sultante o suma es el vector S. (a) Utilizando el este caso?
método del paralelogramo y la trigonometría,
obtenga la magnitud y dirección del vector S, 0.20 (a) Encuentre un vector unitario paralelo
en función de P, Q y el ángulo φ que forma al vector M = −i + 2j + k. (b) Halle la compo0.16 La magnitud y dirección respecto a la horizontal, de los vectores A, B y C, están dadas
respectivamente por 50 unidades y 45o , 75 unidades y 210o , 100 unidades y 330o . Determine
la magnitud y dirección de: (a) A − B + C. (b)
A + B − C, (c) el vector D, si A + B − C + D = 0
y (d) el vector D si A − B − C − D = 0
24
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
nente del vector M = −i + 2j + k en la dirección 0.27 La figura 44 muestra el sistema fijo de
del vector N = 4i + 3j.
coordenadas xy, con sus vectores unitarios asociados i y j. Adicionalmente, se tienen los vecto0.21 La magnitud de la suma de dos vectores res unitarios rotantes a y b. Considere el instany la magnitud de su diferencia son iguales. De- te en el cual el vector unitario a forma un ángulo
muestre que los dos vectores son perpendicula- θ con la horizontal. (a) Exprese los vectores unires.
tarios a y b en componentes rectangulares. (b)
De acuerdo con el enunciado, ¿qué diferencia se
0.22 Los vectores A y B, que se encuentran
presenta entre las parejas de vectores unitarios
en plano xy, forman con el eje x los ángulos
i y j con a y b? Explique. (c) Encuentre la derespectivos θ1 y θ2 . (a) Exprese cada vector en
rivada de cada vector unitario respecto al tiemsus componentes rectangulares. (b) Mediante el
po. Dar sus respuestas completamente simplifiproducto punto, demuestre que cos(θ1 − θ2 ) =
cadas. ¿Qué puede concluir de sus resultados?
cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2
Explique.
0.23 Dos vectores, de magnitudes P y Q, forman entre sí un ángulo β cuando se colocan a
partir del mismo origen. Mediante componentes rectangulares, halle la magnitud del vector
suma de estos dos vectores. ¿Qué nombre recibe el resultado obtenido?
0.24 La figura 43 muestra dos conjuntos de
ejes coordenados y sus vectores unitarios asociados. (a) Demuestre que i′ = cosφi + senφj,
j′ = −senφi + cosφj. b) Use el resultado del numeral anterior para demostrar que las componentes rectangulares del vector A en ambos sistemas de coordenadas, se relacionan mediante
′
′
las expresiones A x = A x cosφ + Ay senφ, Ay =
− A x senφ + Ay cosφ.
y
y'
x'
j
y
j
b
O
a
q
i
x
Figura 44: Vectores fijos y vectores rotantes.
0.28 Obtenga la magnitud y dirección del vector suma resultante entre los vectores A =
−6i + j − 3k unidades y B = 4i − 5j + 7k unidades.
0.29 Se tienen los vectores P = 3i − 4j + 3k unidades y Q = −3i + 5j − 6k unidades. (a) Halle
la magnitud y dirección del producto cruz entre
los vectores P y Q. (b) Encuentre el ángulo entre
los vectores P y Q.
0.30 En el punto A de la figura 45, sobre el eje
x,
se aplican los vectores M y N cada uno de
x
O
magnitud 100 unidades. (a) Halle la magnitud y
dirección del vector S = M + N. (b) Encuentre
Figura 43: Sistemas de coordenadas.
el producto escalar entre M y N. ¿Qué ángulo
forman estos vectores? (c) Encuentre el produc0.25 Demostrar que si la suma y la diferencia to vectorial entre M y N. ¿Qué ángulo forman
de dos vectores, son perpendiculares, los vecto- estos vectores?
res tienen magnitudes iguales.
0.31 (a) ¿Qué ángulo forman los vectores A y
0.26 Dos vectores tienen la misma magnitud B, sabiendo que su producto punto es − AB? (b)
V y forman entre sí un ángulo θ. Demostrar: La magnitud de cada uno de los vectores A y B
(a) Que la suma tiene una magnitud S = es 5.6 m y forman entre sí un ángulo de 58o . Ha2V cos(θ/2), (b) Que la diferencia tiene una lle el valor del producto punto entre estos vecmagnitud D = 2V sen(θ/2).
tores.
j'
i'
j
i
25
0.6. ENUNCIADOS
z
B
7m
3m
C
M
A
N
y
4m
x
Figura 45: Suma de vectores tridimensionales.
0.32 Determine tanto el producto punto entre
los vectores P y Q, como el ángulo comprendido
entre ellos, si (a) P = −6i + 3j, Q = 2i − 4j, (b)
P = −5i − 5j, Q = −4i + 2j, (c) P = −4i − 6j,
Q = −6i + 4j.
26
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
Bibliografía
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[4] Arthur P. Boresi. Richard J. Schmidt. Ïngeniería Mecánica: ESTATICA". Thomson,
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y R. A. Freedman. "Física Universitaria
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Educación, 2004.
[7] F. P. Beer y E. R. Johnston, Jr. "Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática".
McGraw-Hill, 1998.
27
Índice alfabético
C,
cantidad
derivada, 2
escalar, 4
fundamental, 2
vectorial, 4
coordenadas
polares, 16
rectangulares, 16
cosenos directores, 8
D,
definición
de producto
escalar, 11, 12
vectorial, 13
derivada
de un producto escalar, 15
de un producto vectorial, 15
de un vector, 15
dimensión
de una cantidad física, 2
dirección
de un vector, 5, 7, 8
L,
ley
del coseno, 9
del seno, 9
M,
método
analítico, 7
del paralelogramo, 6, 7
del polígono, 6, 7
del triángulo, 6
magnitud
de un vector, 5
del producto
vectorial, 13
N,
notación vectorial, 5
P,
producto
entre vectores, 15
escalar, 11–13
de vectores unitarios, 12
vectorial, 11, 13
de vectores unitarios, 13
producto entre vectores, 11
propiedad
conmutativa, 12, 15
proyección
de un vector, 12
R,
representación vectorial, 5
S,
sistema
gaussiano de unidades, 3
inglés de unidades, 3
internacional de unidades, 3
T,
teorema
de Pitágoras, 7, 8
V,
vector, 4
aceleración, 15
componentes rectangulares, 7, 8
en componentes rectangulares, 7–9
en dos dimensiones, 8
28
ÍNDICE ALFABÉTICO
fuerza, 15
momento angular, 14
momento de una fuerza, 14, 15
suma, 6, 7, 11
analíticamente, 9–11
gráficamente, 6
unitario, 8
velocidad, 15
vectores
iguales, 5
iguales y opuestos, 5
unitarios, 6
29