1 Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra Capítulo 1: Espacios vectoriales. 1. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos de R 3 es subespacio vectorial: (a) S 1 = f(x; y; z) 2 R3 : x = 0g; (c) S3 = f(x; y; z) 2 R 3 : x = 3y = ¡zg; (e) S5 = f(x; y; z) 2 R3 : y + 2x = 0; z = 5xg; (g) S7 = f(x; y; z) 2 R 3 : x ¡ y = 1g; 2. Estudia la independencia lineal de los vectores de R3 : (b) S 2 = f(x; y; z) 2 R3 : x ¡ 3y + 2z = 0g (d) S4 = f(x; y; z) 2 R3 : x = y ó y = zg (f ) S6 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 ¡ y 2 = 0g (h) S 8 = f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g: (a) u 1 = (1; ¡1; 0); u 2 = (1; 3; ¡1); u 3 = (5; 3; ¡2): (b) v1 = (2; 2; ¡1); v2 = (4; 4; 1); v3 = (1; 0; ¡1): (c) w1 = (3; ¡1; 2); w2 = (2; 1; 3); w3 = (0; 1; 1) En cada caso, determina las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio que engendran. Busca además una base de dichos subespacios y, cuando proceda, completalas a una base de R 3 . 3. Determina una base B y las ecuaciones paramétricas del subespacio S de R4 dado por las ecuaciones: 8 x ¡y +z ¡t = 0 > > < 2x +2y ¡z ¡t = 0 4x +z = 0 > > : 3x +y +t = 0 Determina una base de R 4 que contenga a B. 4. Sea P2 (x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Comprueba que p 1(x) = x; p 2 (x) = x ¡ 1; p3 (x) = (x ¡ 1)2 forman una base de P 2 (x) y determina las coordenadas de p(x) = 2x2 ¡ 5x + 6 respecto de esa base. 5. Sea F (R; R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudia si W es un subespacio de F (R; R) donde: (a)W = ff 2 F (R; R) : f (1) = 0g; 2 (b)W = ff 2 F (R; R) : 2f (0) = f (1)g; (c) W = ff 2 F (R; R) : f (¡x) = ¡f (x)g 6. En el espacio vectorial E = C (R; R) de todas las funciones continuas con segunda derivada continua se considera para a; b 2 R; el subconjunto F = ff 2 E : f 00 + af 0 + bf = 0g: Prueba que F es un subespacio de E: 7. Estudia si las siguientes familias de vectores son linealmente dependientes o independientes: (a) fe2x ; x 2 ; xg ½ F (R; R): (b) fsen ¼t; sen 2¼tg ½ C[0; 1] donde C[0; 1] denota las funciones continuas definidas en [0; 1] con valores en R. 8. Encuentra una base de R 4 que contenga a los vectores (0; 1; 1; 1) y (1; 1; 0; 1). 9. Demuestra que B n = f1; (x ¡ 2); (x ¡ 2)2 ; :::; (x ¡ 2)n g es una base de P n (x). Si n = 4, halla las coordenadas del vector p(x) = 5x4 + 6x 3 ¡ 4x + 2 respecto de la base B 4 : 10. Estudia si los siguientes subconjuntos de M2£2 (R) son subespacios vectoriales de M2£2 (R): (a) S = fA 2 M 2£2 (R) : r(A) = 1g; donde r (A) designa el rango de A: (b) T = fA 2 M2£2 (R) : traza(A) = 0g; donde traza(A) denota la suma de los elementos de la diagonal principal. 11. Se considera el subconjunto P de R n formado por todas las n-uplas de números reales, tales que los elementos de cada n-upla forman una progresión aritmética. Prueba que P es un subespacio vectorial de R n y determinar una base del mismo. Calcula respecto de la base hallada las coordenadas del vector (4; 7; 10; ::::; 3n + 1). 12. Determina una base para la suma y la intersección de los espacios F y G engendrados por 2 2 f(1; ¡1; 1; 2); (0; 1; 3; 1)g; f(1; 0; 4; 3); (1; 1; 0; ¡1)g: 13. Sea P = f1; sen x; cos x; sen 2x; cos 2xg. (a) Estudia la dependencia e independencia lineal de P: (b) Da una base del subespacio L(P ). (c) Calcula, respecto de la base encontrada en (b), las coordenadas de: f (x) = cos 2x + sen 2x; g(x) = cos x: 14. Demuestra que R 3 es suma directa de los siguientes subespacios vectoriales: (a) W 1 = f(x; y; z) 2 R 3 : x + y + z = 0g; W2 = f(t; 2t; 3t) 2 R3 : t 2 Rg: (b) U1 = f(x; y; z) 2 R 3 : x = y = zg; U2 = f(0; y; z) 2 R 3 : y; z 2 Rg: (c) V 1 = f(x; x; 0) 2 R3 : x 2 Rg; V2 = f(0; y; y) 2 R3 : y 2 Rg V 3 = f(z; z; z) 2 R3 : z 2 Rg: 15. Se considera en R 3 el subespacio W = f(x; y; z) : x + y ¡ z = 0; x + y + z = 0g. 2 (a) Halla la ecuación de un suplementario de W . (b) Descompón según W y el suplementario hallado en (a); el vector (¡1; 3; 4) de R 3 . 16. Consideramos en R3 los subespacios V 1 = f(0; x; y) : x; y 2 Rg; V 2 = Lf(1; 1; 1); (1; 2; 3)g. 17. Determina una base de V 1 + V 2 ; V1 \ V 2 y obten las ecuaciones paramétricas e implícitas de V 1 + V 2 y V 1 \ V2 . 18. Consideramos los subespacios V y W contenidos en R3 : 8 < x1 =¸ + ° V = x2 =¹ + ° ; W ´ x1 ¡ x 2 + 2x3 = 0 : x3 =¸ + ¹ + 2° (a) Determina una base de V; V + W; V \ W . (b) Encuentra unas ecuaciones implícitas para V \ W . (c) Determina una base de un suplementario de V \ W . 19. Los siguientes subconjuntos y familias de vectores de algunos espacios vectoriales son subespacios y bases de éstos. Verifica la verdad o falsedad de esta afirmación en los ejemplos siguientes: (a) f(a; b) 2 R2 : a = ¡1g ; base f(¡1; 3)g : 2 (b) fp(x) 2 P3 : (x ¡ 1) divide a p(x)g ; base fx ¡ µ 1; x ¡¶1g: ½µ ¶ µ ¶¾ 2 1 2 1 0 1 (c) com(B) = fA 2 M2£2 =BA = ABg con B = ; base ; : 0 2 0 2 1 0 20. Halla en cada uno de los ejemplos siguientes la suma y la intersección del par de subespacios dados y comprueba que se verifica la ecuación dim(V1 ) + dim(V 2 ) = dim(V 1 + V 2 ) + dim(V 1 \ V 2): µ ¶ µ ¶ 2 1 2 0 (a) V 1 = com ; V2 = com : (Ver el ejercicio anterior). 0 2 0 2 (b) V 1 = fp(x) 2 P 3 =(x + 1) divide a p(x)gV 2 = fp(x) 2 P 3 =(x ¡ 1) divide a p(x)g: 21. Demuestra que el subespacio vectorial de las funciones pares y el de las impares son subespacios suplementarios del espacio vectorial de las funciones f : R ¡! R. 22. Sea P 2 (x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Se consideran dos subconjuntos suyos, F = fp (x) 2 P 2 (x) : p (x) = ax 2 ¡ ax + 2a; a 2 Rg y G = fp (x) 2 P 2 (x) : p (x) = (2® ¡ ¯) x 2 + ®x ¡ 2¯; ®; ¯ 2 Rg: Se pide (a) Probar que F y G son subespacios vectoriales de P 2 (x). Halla sus dimensiones. (b) Determina F \ G y F + G. 23. Halla la matriz de paso de la base B = f(1; 0); (0; 1)g a la base B 0 = f(2; 3); (¡3; ¡4)g y la matriz de paso de B 0 a B. Si el vector ~x tiene por coordenadas (1; 1)B en la base B, ¿Qué coordenadas tiene en la base B 0 ? Si el vector ~y tiene por coordenadas (5; 0)B0 , en la base B 0 , ¿qué coordenadas tiene en la base B?. 24. Halla la matriz de paso de la base B = f1; xg de P1 (R) a la base B 0 = f2 + 3x; ¡4 + 5xg. El polinomio p(x) = 2 ¡ x, ¿qué coordenadas tiene en la base B 0 ?. El polinomio de coordenadas (5; 5)B0 en la base B 0 , ¿qué coordenadas tiene en la base B ?. 25. En el espacio vectorial de matrices 2 £ 2 con coeficientes reales, M2£ 2 (R), halla las coordenadas de la matriz A en la base B siendo A= µ 2 4 ¡1 6 ¶ y B= ½µ 1 ¡1 1 0 ¶ µ 2 ; 3 0 1 ¶ µ ; 0 ¡1 1 0 ¶ µ 0 ; 0 ¡2 4 ¶¾ 3 Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos. 1. Determina una base ortonormal para el subespacio de R 3 generado por: (a) u 1 = (1; ¡1; 0); u 2 = (5; 3; ¡2); u 3 = (1; ¡1; 0): (b) v1 = (1; 1; 1); v 2 = (1; 0; 1); v3 = (3; 2; 3): (c) w1 = (3; ¡1; 2); w2 = (1; 0; 2); w3 = (¡2; 1; 0): Encuentra además las ecuaciones cartesianas de cada subespacio y halla su suplementario ortogonal. 2. En R4 con su producto escalar usual se pide (a) Determina un vector unitario que sea ortogonal a los vectores (1; 2; 1; 0) ; (0; ¡1; 1; 0) y (1; 1; ¡2; 1) : (b) Obtén por el método de Gram-Schmidt una base de vectores ortonormales para V = L f(1; 2; ¡1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (1; 0; ¡2; 1)g : 3. En el espacio vectorial E = C[¡1; 1], con el producto escalar < f; g >C = Z 1 f (x)g(x)dx; ¡1 se consideran los vectores u 1 (x) = 1; u2 (x) = x; u3 (x) = 1 + x: Calcula el ángulo que forman entre sí. 4. Se considera en el espacio P3 (x) el subconjunto de los cuatro primeros polinomios de Chebychev, T = f1; x; 2x 2 ¡ 1; 4x 3 ¡ 3xg: Demuestra: (a) Los polinomios son son linealmente independientes. (b) Los polinomios son ortogonales con el polinomio 1 respecto al producto escalar ponderado Z 1 f (x)g(x) p < f; g >T = dx: 1 ¡ x2 ¡1 5. Demuestra que si 2 vectores son ortogonales, son linealmente independientes. 6. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones un = x n del espacio vectorial E = P (x), con el producto escalar < f; g > C , y normaliza los polinomios obtenidos. (Para n = 0; 1; 2; 3 y x 2 (¡1; 1)). 7. Demuestra que las funciones fuk g son ortonormales dos a dos con el producto escalar < f; g > C en [0; 1] siendo p u k = 2 sin (k¼t) : 8. Sea H el subespacio de R 4 definido por las ecuaciones: 8 < x + 2y ¡ z ¡ 2t = 0 2x + y ¡ 2z ¡ t = 0 : 2x + 7y ¡ 2z ¡ 7t = 0 (a) Determina las ecuaciones paramétricas de H, y una base ortonormal suya. (b) Calcula la proyección ortogonal sobre H del vector u = (2; ¡2; 3; ¡3). (c) Determina una base ortonormal de R 4 que contenga a la base de H hallada anteriormente. (d) Repite lo mismo en R 3 con el sistema ½ 2x + y = 0 y u = (1; 1; 1): z=0 9. Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el producto escalar < f; g > C en [¡1; 1] ; se pide: (a) Proyección ortogonal del polinomio p(x) = x + 3 sobre el subespacio engendrado por x + 2. (b) Calcula una base ortonormal a partir de la base f1; xg. 10. Sea S2 el subespacio vectorial de las matrices simétricas de orden dos con la base " y la matriz A; donde 0 1 ½µ ¶ µ ¶ µ ¶¾ 1 0 1 1 0 0 1 0 0 "= ; ; ; A = @ 0 2 1 A: 0 0 1 0 0 1 1 1 2 Definimos el producto escalar hu; vi como hu; vi = u t Av para todo u; v 2 S2 : Se pide µ ¶ µ ¶ µ 1 ¡1 1 0 0 (a) Determina el módulo de la matriz : Determina el ángulo que forman las matrices y ¡1 2 0 ¡1 1 µ ¶ µ ¶ 1 0 0 1 (b) Halla el subespacio suplementario ortogonal del subespacio S2 generado por y : 0 0 1 0 1 0 ¶ : 4 3 4 11. Utilizando el producto escalar usual de R y R , encuentra el complemento ortogonal de W , siendo: ½ x 1 ¡ x2 + x 3 + x 4 = 0 a) W = L(u; v) con u = (1; 0; 1); v = (2; ¡1; 1); b) W ´ 2x1 ¡ x 2 = 0 12. En el espacio vectorial E = C[¡1; 1], con el producto escalar < f; g >C , se considera la función f (x) = ex . Busca el polinomio p(x) de grado menor o igual que dos más próximo a f y Calcula kf (x) ¡ p (x)k C . 13. Sea H el subespacio de R 3 definido por la ecuación cartesiana x + 2y ¡ z = 0: (a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal suya. (b) Calcula el vector de H más próximo a u = (1; 1; 1) y la distancia de u a H. (c) Encuentra una base ortonormal de R 3 que contenga a la base hallada anteriormente. 14. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones f 1 =Z x; f 2 = x2 y f 3 = x3 del espacio vectorial E = 1 fv : [0; 1] ! R; v es derivable; v(0) = 0g con el producto escalar < f; g >= f 0(x)g 0 (x)dx. 0 15. Calcula los coeficientes de Fourier1 de la función f (x) = e¡x y la norma de la mejor aproximación de f (x)como combinación lineal de las funciones obtenidas anteriormente. 16. Prueba que para todo número real µ, la transformación T : R 3 ¡! R 3 definida por 0 1 0 1 x sen µ cos µ 0 T (x) = A @ y A ; donde A = @ ¡ cos µ sen µ 0 A z 0 0 1 es una isometría. 17. ¤ Dado el subespacio S, generado por los vectores: f(1; 0; 0); (¡1; 1; 0); (2; 1; 0)g, calcula la proyección ortogonal del vector v = (1; 1; 1) sobre S. 18. Sean a y b dos vectores ortogonales del plano distintos de cero. Entonces para todo vector c del plano existen ® y ¯ tal que c = ®a+¯ b: Usa el producto interno para encontrar ® y ¯ en función de a y b. 19. Dado P 2 (R) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y el producto escalar < f; g > C en [¡1; 1] ; se pide: (a) Comprueba que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos polinomios arbitrarios de orden dos. (Toma dos cualesquiera y haz las cuentas). (b) Demuestra que µZ 1 ¶ 12 Z 1 2 p (x) dx · 2 (p (x)) dx ¡1 ¡1 para todo polinomio p (x) 2 P 2 (R) : 20. Sea R 2+¡ el espacio formado por los vectores de R2 con la métrica (no es un producto escalar) hu; vi = ut ¢ A ¢ v siendo A la matriz µ ¶ 1 0 A= : 0 ¡1 Comprueba, encontrando un ejemplo, que se verifican las siguientes propiedades. (I) (II) (III) (IV) Existen vectores con hu; ui < 0 (Vectores temporales). Existen vectores con hu; ui = 0 (Vectores luz). Existen vectores con hu; ui > 0 (Vectores espaciales). Comprueba con un ejemplo que para vectores de los apartados a y b la desigualdad de Cauchy-Schwartz toma la otra dirección, es decir que kuk ¢ kvk · jhu ¢ vij Nota: Este espacio es una versión dos-dimensional del espacio cuatridimensional de Minkowski, que es donde trabaja la teoría de la relatividad especial de Einstein. Este es el ejemplo más sencillo de espacio vectorial no euclídeo. 1 Los coeficientes de Fourier son las coordenadas de la proyección de la función sobre el subespacio considerado 5 Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices. 1. ¤ Dada la aplicación lineal: T : R4 ! R2 T (x; y; z; w) = (x ¡ 2z; 2y + 3w) (a) Encuentra su representación matricial respecto a las bases canónicas. (b) Halla su núcleo y su imagen. (c) Calcula la imagen por T de un vector ortogonal a v = (1; 1; 1; 1). (d) Halla la matriz de la aplicación con respecto a la base canónica en R4 y la base B = f(1; 3); (2; 1)g en R 2 . 2. Estudia si la aplicación lineal f : R2 ¡! R2 definida por µ ¶ 3 4 4 3 f (x; y) = x + y; x ¡ y 5 5 5 5 es una transformación ortogonal. 3. Sea P2 (R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que dos y f : R3 ! P 2 la aplicación lineal que cumple: f (1; 1; 1) = 2¯ + ®x; f (0; ¡1; 1) = ®x + ¯x 2 ; f (0; 0; 1) = ¯ + (® ¡ 1)x donde ® y ¯ son números reales. Se pide: (a) Halla ® y ¯ para que f no sea inyectiva. (b) Halla ker f e Im f en función de ® y ¯. (c) Sea el subespacio U = f(a; b; c) 2 R3 : a = bg. Halla el subespacio f (U ) y su dimensión dependiendo de los valores de ® y ¯ . 4. Estudia cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados: µ ¶ ¡1 (a) M B : M 2£2 (R) ¡! M2£1 (R) dada por MB (A) = AB con B = : 1 (b) M B : M 2£2 (R) ¡! M2£2 (R) dada por S B (A) = A + B con B 2 M 2£ 2 (R) fija: (c) A : P n (x) ¡! Pn (x) dada por A(p(x)) = p(x + 1): (d) A : P n (x) ¡! Pn (x) dada por A(p(x)) = p(x) + 1: 5. Sea f : R 3 ¡! R 3 dada por f (x1 ; x 2 ; x3 ) = (x 1 ¡ x2 ; x 1 ; x1 ¡ x 3 ). Encuentra la matriz de f respecto a la base canónica. Halla la imagen mediante f de los siguientes subespacios vectoriales de R3 : (a) V 1 = f(x1 ; x 2 ; x3 ) 2 R 3 : x 1 ¡ x2 + x3 = 0g: (b) V 2 = f(0; x 2 ; x3 ) 2 R3 : x 2 ; x3 2 Rg: (c) V 3 = f(x1 ; x 2 ; x3 ) = t(¡1; 1; 1) : t 2 R 3 g: 6. Sabiendo que la aplicación f transforma los vectores u1 = (1; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u3 = (1; 1; 1) de R 3 en los vectores w1 = (2; 1; 2), w2 = (3; 1; 2), w3 = (6; 2; 3) respectivamente, encuentra la matriz de f en las siguientes bases: (a) La base canónica de R 3. (b) La base fu 1 ; u2 ; u3 g. 7. Halla las ecuaciones del núcleo y de la imagen de las siguientes aplicaciones lineales, indicando si son inyectivas, suprayectivas o biyectivas: µ ¶ ¡1 (a) M B : M 2£2 (R) ¡! M2£1 (R) dada por MB (A) = AB con B = : 1 (b) f : P 3 (x) ¡! P3 (x) tal que; f (1) = x2 + 1; f (x) = x + 2; f (x 2 ) = x3 ¡ x; f (x3 ) = 1: (c) La aplicación derivación de P n (x) en Pn¡1 (x): 8. Sea V un espacio vectorial real y W1 y W2 dos subespacios vectoriales de V y f una aplicación de W1 £ W 2 en V definida por: f (x; y) = x + y. (a) Demuestra que f es una aplicación lineal. (b) Demuestra que ker f = f(x; ¡x)=x 2 W 1 \ W 2 g: (c) Demuestra que ker f es isomorfo a W1 \ W 2 . 9. Demuestra que si f es una aplicación lineal de V en V 0 , y g es una aplicación lineal de V 0 en V 00, entonces ker(g ± f ) = f ¡1 (ker g) 10. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, f y g endomorfismos de V . Demuestra que: ker(g ± f ) = f ¡1 (ker g \ Im f ): 11. Demuestra que si f es un endomorfismo de un espacio vectorial V , entonces f 2 = 0 si, y sólo si, f (V ) ½ ker f. 12. Sea f : V ¡! V un endomorfismo. Demuestra que si f 2 = f entonces se verifica que V = ker f © Im f: 6 2 13. Demuestra que si un endomorfismo de V es idempotente, es decir, f = f , entonces se verifica: (a) x 2 Im f , x = f (x): (b) 1 ¡ f es idempotente. (c) ker(1 ¡ f ) = Im f: (d) ker f = Im (1 ¡ f ): 14. Sea f un endomorfismo del espacio vectorial V . Demuestra que: (a) Si dim V = 2n + 1; entonces ker f 6= Im f: (b) Si dim V = 2n; entonces ker f = Im f , si, y solo si, f 2 = f y dim Im f = n. 15. En R3 se considera la base B = fu1 ; u 2 ; u3 g. Clasifica el endomorfismo f dado por f (u1 ) = au 1 + u 2 + u3 ; f (u 2) = u 1 + u 2 + u3 ; f (u 3 ) = u 1 + bu2 + u3 : 16. Se consideran 3 espacios vectoriales A; B; C; cuyas bases respectivas son B A = fu1 ; u 2 ; u3 g; B B = fb1 ; b2 g; B C = fv1 ; v2 ; v3 g y dos homomorfismos dados respectivamente por f: Se pide: (a) (b) (c) (d) A u1 u2 u3 ¡! ¡! ¡! ¡! B b1 ¡ b 2 b2 2b 2 y g: B b1 b2 ¡! ¡! ¡! C v 1 ¡ v2 + v3 v 1 ¡ v2 Matriz del homomorfismo h = g ± f : A ¡! C. Encontrar el conjunto h¡ 1 (1; 1; 1), donde (1; 1; 1) 2 C. Núcleo de h. Imagen del subespacio intersección de los subespacios siguientes: 8 < x 1 = 2® + ¯ V1 ´ x 2 = ® ¡ ¯ ; V 2 ´ x 1 ¡ x 2 + 2x 3 = 0 : x 3 = ¡® 17. Determina en la base canónica de R 3 la matriz del endomorfismo f definido por las siguientes condiciones: (a) La aplicación f, restringida al plano que tiene por ecuación x + y + z = 0, es una homotecia de razón 3. (b) La aplicación f transforma en sí misma la recta de ecuaciones f 2 x + 4y + 3z = 0x + 2y + z = 0: 18. Demuestra que si f es una aplicacion ortogonal, entonces es un isomorfismo. 19. En R3 se considera la base B = fu 1 ; u2 ; u 3 g y el endomorfismo f definido respecto a la base B por: f (x 1 u 1 + x2 u 2 + x 3u 3 ) = (x 2 + x3 )u 1 + (x 1 ¡ x 2 )u2 + (x2 + x 1 )u 3 : Se pide: (a) Expresión analítica de f respecto a la base B . (b) Ecuaciones de ker f y de Im f: (c) Determina una base de ker f y ampliarla a una base B 1 de R 3 . (d) Halla la expresión analítica de f respecto de la base B 1: 20. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión 3. Para cada a 2 R, se considera el endomorfismo fa : V ¡! V cuya matriz respecto a una base fija B de V es, 0 1 a 0 ¡1 A=@ 0 1 1 A a 1 a Estudia los endomorfismos fa según los valores de a: 21. Consideremos la base de R 3, B = fu 1 = (1; 0; 0); u2 = (¡1; 3; 5); u3 = (¡2; 1; 2)g y sea T : R 3 ¡! R 3 la aplicación lineal tal que T (u1 ) = 2u1 + u 2 ; T (u2 ) = u 1 ¡ u2 + u 3 ; T (u3 ) = 4u1 ¡ u 2 + 2u3 : (a) Determina la matriz de la transformación respecto de la base canónica y las ecuaciones cartesianas del ker T referida a la base canónica y a la base B = fu 1 ; u2 ; u3 g: (b) Las ecuaciones cartesianas del subespacio L engendrado por u1 y u 2 y la proyección ortogonal de u 3 sobre L. 22. Hallar una aplicación lineal f : R 3 ¡! R3 tal que: (a) f (1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1). 7 2 (b) f = f (c) La ecuación de ker f es x + z = 0 23. Sea f : R 4 ¡! R4 el homomorfismo definido por f (1; 1; 1; 1) f (1; 1; 1; 0) = (0; 0; 1); f (1; 0; 1; 0) = (1; 1; ¡1); = (0; 0; ¡1); f (¡1; ¡2; 0; 0) = (1; 1; 1): (a) La matriz de f respecto de las bases canónicas. (b) Dimensión y ecuaciones cartesianas de ker f e Im f : 24. Se considera el homorfismo f : R 3 ! R 2 que hace corresponder a los vectores (1,0,1), (0,1,0), (,1,1,0) los vectroes (1; 0); (0; 2); (1; 1) respectivamente. Se pide: (a) Matriz asociada a f en las bases canónicas de R 3 y R2 . (b) Subespacio transformado de V ´ 5x 1 ¡ 3x2 ¡ x 3 . (c) Ecuación de f (V ) en la base B ´ f(1; 1); (2; 0)g: 25. En un espacio vectorial V de dimensión n se considera un endomorfismo f tal que f n = 0 y f n¡1 6= 0: Sea v tal que f n¡1 (v) 6= 0 (a) Demuestra que v,f (v) ; f 2 (v) ; :::; f n¡ 1 (v) es una base de V . (b) Halla la matriz de f respecto dicha base. 26. Sea P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales . Se considera la aplicación u : P n¡ 1 ! P n tal que u (P ) = Q con Q definido por ³ ´ 2 d 2 Q (x) = ex e¡x P (x) ; x 2 R: dx (a) Demuestra que la aplicación es lineal. (b) Halla el núcleo de u: (c) Halla la dimesión de la imagen de u. (d) Determina la matriz de u en las bases canónicas. 27. Sea la aplicación lineal f : R 3 ! R3 definida por f (x; y; z) = (x + z; y + z) : Determina las bases B1 y B 2 de R 3 y R 2 respectivamente, tales que la matriz de f respecto a B 1 y B2 sea 28. Sea la matriz de orden n con coeficientes en R; 0 0 B 0 B B A=B B @ 0 1 0 0 ¢¢¢ ¢¢¢ .. . 0 1 1 0 ¢¢¢ ¢¢¢ 0 0 Halla Ap pasando a endomorfismos de R n ; (p 2 Z) : 29. Se considera el homorfismo f : P3 ! M2£ 2 (R) definido por µ ¡ ¢ f ax3 + bx 2 + cx + d = µ 1 0 0 1 0 0 ¶ : 1 1 0 C C C C: C 0 A 0 a c+ d b+d 0 ¶ : (a) Halla la matriz del homorfismo en las bases canónicas. (b) Da las ecuaciones implícitas del subespacio imagen. (c) Calcula una base del núcleo. 30. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales, y f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes: – f (1 + x) = 2 ¡ x. – El núcleo de f coincide con la imagen. Se pide: (a) Matriz del endomorfismo f en la base B = f1; xg. (b) Calcula una base de f (W ), siendo W el subespacio de ecuación x1 + 2x 2 = 0: (c) Imagen inversa del conjunto f(1; 1); (0; 0)g. 31. Halla una aplicación lineal f : R3 ¡! R 3 tal que: (a) f (1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1). (b) f 2 = f: (c) La ecuación de ker f es x + z = 0: 8 3 3 32. Sean f; g : R ¡! R tales que p f (e1 ¡ 3e3 ) = ¡e3 ; f (e p2 ) = e2 ; f ( 3e1 + e3 ) = 2e1 ; g(e1 ) = e1 ; g(e2 ) = ¡e2 ; g(e3 ) = e3 : (a) Estudia si f y g son ortogonales. (b) Halla h = f ± g: 33. Sea f : R ! R la aplicación lineal cuya matriz respecto a la base canónica viene dada por A= à con a 2 R . Determina para que valores de a la matriz A es ortogonal. p 2 2 a ¡a p 2 2 ! 9 Facultad de Ciencias Químicas Departamento de Matemáticas Álgebra Capítulo 4: Valores y vectores propios. 1. Halla los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales de R n en Rn que están dadas por las siguientes matrices: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 4 6 5 ¡1 2 ¡1 ¡1 0 a = ; b= ; c= ; d= ¡3 ¡5 4 1 3 1 0 ¡1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ¡1 2 2 ¡1 2 ¡1 1 0 ¡1 2 e = @ 1 ¡2 ¡1 A ; f = @ 0 ¡2 1 A ; g=@ 0 1 0 A ; h = @ 0 ¡1 0 A: ¡2 3 1 ¡1 0 0 ¡1 1 0 ¡1 1 ¡3 En los casos que sea posible halla una base de Rn formada por vectores propios, y la matriz en esa base, de las aplicaciones dadas en el ejercicio anterior. 2. Señala cuáles de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta una matriz de cambio de base P : 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ¡1 3 ¡1 4 ¡1 ¡1 B 0 0 1 0 C C a = @ ¡3 5 ¡1 A ; b = @ 1 2 ¡1 A ; c = B @ 0 1 0 0 A: ¡3 3 1 1 ¡1 2 1 0 0 0 3. Busca los valores y vectores propios de la aplicación derivación D, en P 3 (x). 4. Determina para que valores a; b 2 R la matriz A es diagonalizable en R siendo A 0 1 a b 0 A = @ 0 ¡1 0 A : 0 0 1 5. Estudia para que valores reales de ® la matriz A es diagonalizable y en los casos en que lo sea, encuentra su forma diagonal , J; y una matriz P tal que P ¡1 AP = J; siendo 0 1 1 ¡2 ¡2 ¡ ® A: A= @ 0 1 ® 0 0 1 6. Demuestra que si x es vector propio de f para el valor propio ¸, entonces x es vector propio de f n para el valor propio ¸n ; n 2 N . ¿Qué ocurre si además f es invertible?. 7. En R3 , consideramos el endomorfismo f dado por f (x; y; z) = (2x + y + z; 2x + 3y + 2z; x + y + 2z) y sea A la matriz de f respecto de la base canónica. Determina: vectores propios, valores propios, diagonalización y matriz de paso. 8. En R3 , consideramos la aplicación f (x; y; z) = (3x + y; ¡x + y; 0). Halla los valores y vectores propios. ¿Es diagonalizable?. 9. Sea E un espacio vectorial sobre R y f un endomorfismo de E tal que f 2 = f . Demuestra que: (a) E = Im f © ker f: (b) f es diagonalizable. 10. Si dim(E ) = 3 y B = fu; v; wg es una base de E tal que 0 f (u) = u ¡ w; f (v) = v ¡ 2w; f (w) = 0 determinar una base B de E respecto de la cual la matriz de f sea diagonal. 11. Estudia si es diagonalizable el endomorfismo de R 2 definido por f (a; b) = (a + b; b): 12. Sea f : R 3 ¡! R3 el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la base B = fe1; e2 ; e3g es 0 1 0 10 1 y1 1 1 ¡1 x1 @ y2 A = @ 0 2 ¡1 A @ x 2 A : y3 0 1 0 x3 (a) Calcula los valores propios y sus subespacios propios asociados. (b) ¿Se puede encontrar otra base B 0 , tal que respecto a ella sea f diagonalizable?. 13. Sea f : R 3 ¡! R3 el endomorfismo definido por: f (x; y; z) = (x + 2y ¡ z; 2y + z; 2y + 3z): (a) Halla la matriz de f respecto de la base B = fe1 ; e2 ; e3 g. (b) Calcula los valores propios, los subespacios propios y comprueba que el subespacio suma de estos subespacios es suma directa. 10 3 3 14. Sea f : R ¡! R el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la base B = fe1; e2 ; e3g es 0 1 0 10 1 y1 1 2 2 x1 @ y2 A = @ 1 2 ¡1 A @ x2 A y3 ¡1 1 4 x3 Encuentra una nueva base B 0 tal que respecto de ella la expresión analítica de f venga dada por una matriz diagonal. 15. Eleva A a la potencia enesima siendo 0 1 a b b A = @ b a b A: b b a 16. Demuestra que una matriz A y su traspuesta At tienen el mismo polinomio característico. 17. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpo C de los números complejos. Halla la condición necesaria y suficiente para que los valores propios sean iguales. 18. Halla todas las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales que tengan por valores propios 1 y ¡1. 19. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea V = W1 © W 2 donde dim(W 1 ) = m. Encuentra el polinomio característico de la proyección ¼ 1 de V sobre W 1 . 20. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que tres se define la aplicación f dada por f (p(x)) = p(x) + p0 (x): (a) Demuestra que f es un endomorfismo. (b) Halla la matriz A asociada al endomorfismo f respecto de la base canónica. 0 1 0 0 0 1 B 0 0 1 0 C 2 3 4 C (c) Sea la matriz J = B @ 0 1 0 0 A y la matriz B = A + J: Prueba que las matrices I; B; B ; B y B son linealmente 1 0 0 0 independientes. (d) Halla la matriz inversa de B. 21. Se considera la matriz 0 1 1 1 1 1 B 1 1 ¡1 ¡1 C C: J=B @ 1 ¡1 1 ¡1 A 1 ¡1 ¡1 1 Prueba que es diagonalizable y determinar una matriz P que permita la diagonalización. 22. Encuentra una matriz C tal que C 2 = A, siendo µ ¶ 26 ¡10 A= : ¡10 26 23. Calcula, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, la inversa de la matriz 0 1 1 2 0 A = @ ¡1 3 1 A : 0 1 1 24. Sea B = fe1; e2 ; e3g una base de IR3 y A la matriz de un endomorfismo referido a dicha base. En dicho endomorfismo, los subespacios n x¡y = 0 V 1 ´ x + y + z = 0; V 2 = x¡z = 0 están asociados respectivamente a los vectores propios ¸ = 1 y ¸ = 1=2. Se pide: (a) Diagonaliza la matriz A. (b) Calcula la matriz M = 2A4 ¡ 7A3 + 9A2 ¡ 5A + I. (c) Calcula la matriz N = A¡3 ¡ 4A¡ 2 + 5A¡ 1 + 4I. 25. Estudia para que valores reales de t, la matriz A es diagonalizable en el campo real siendo µ ¶ cos t sen t A= : sen t cos t 26. Encuentra una forma canónica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientes matrices: 0 1 0 1 0 1 0 3 2 ¡2 0 ¡1 ¡2 ¡2 0 ¡1 3 2 D = @ 0 4 ¡1 A ; E = @ 1 3 1 A ; F = @ ¡1 ¡1 ¡1 A ; G = @ 4 10 0 1 2 1 0 3 1 0 1 3 6 27. Diagonaliza las siguientes matrices simétricas 0 3 ¡1 A = @ ¡1 3 0 0 1 0 1 0 0 102 0 0 A ; B = @ 0 ¡ 10 A ; C = @ 1 2 201 1 1 1 1 0 1A; 1 0 1 ¡3 ¡12 A : ¡7 11 0 0 t calculando una matriz de paso P ortogonal que permita escribir su forma diagonal A como A = P AP: 28. Sea B = fe1 ; e2; e3 ; e4 ; e5 g una base del espacio vectorial R5 . Sea f un endomorfismo de R 5 del que se conoce – f (e2 ) = ¡e2 : – f (e3 + e4 ) = e3 + e4 : – f (e5 ) = 2e 5 + e1 ¡ e2 : – El polinomio característico de f tiene la raíz triple 2. – Las ecuaciones implícitas, respecto de la base B, del núcleo del endomorfismo f ¡ 2I son 8 x + x 2 + x3 = 0 > < 1 x3 + x4 = 0 > : x5 = 0 : Se pide (a) Matriz de f respecto de la base B. (b) La forma canónica de Jordan de f y una matriz de paso P . 29. Dada la matriz A: 0 ¡1 A=@ 0 0 donde ® y ¯ son dos números reales. Se pide ® ¡1 0 1 0 ¯ A 2 (a) Estudia para que valores de ® y ¯ la matriz A es diagonalizable. (b) Para aquellos valores para los que no sea diagonalizable hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de paso correspondiente en función de ® y ¯. 30. Estudia para qué valores de los parámetros a y b, reales, la matriz 0 1 5 0 0 A = @ 0 ¡1 b A 3 0 a es diagonalizable, calculando: (a) Forma canónica de Jordan y la matriz de paso para los valores a = ¡1 y b = ¡1. (b) Forma canónica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10. Calcular en este caso A129 . 31. Sea f un endomorfismo de R 3 . Se sabe que una base del núcleo del endomorfismo está constituida por los vectores (1; 1; 0) y (1; 0; 1) y que la imagen del vector (0; 2; 1) es el vector (1; 1; 0). Se pide (a) (b) (c) (d) Valores propios y subespacios invariantes de f . Diagonaliza el endomorfismo f . Clasifica dicho endomorfismo. Obten los subespacios invariantes de f n .