A2. APÉNDICE MATEMÁTICAS FINANCIERAS En este apéndice se presentan las fórmulas tradicionales para hallar las sumas equivalentes en el tiempo y una colección de fórmulas para equivalencia de tasas nominales y efectivas. Para usar estas fórmulas se manejarán las siguientes variables: TABLA A2.1 Variables Variable Tiempo Tasa de interés Suma presente Suma futura Cuota o serie uniforme A2.1 SUMA Símbolo n i P F C Excel NPER TASA VA VF PAGO PRESENTE A SUMA FUTURA Para hallar el valor de una suma futura F al final de n períodos, equivalente a una suma presente, a una tasa de interés compuesto i % , se utiliza la siguiente fórmula: F=P(1+i)n (A2.1) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. El cálculo del valor futuro se hace aplicando en forma sucesiva la fórmula básica F=Px(1+i)n Esta aplicación se hizo en el ejemplo sobre interés compuesto en el capítulo. En Excel (en español) = VF(i;n;C;P;tipo). Esta función en Excel sirve para calcular F a partir de C o de P; también permite calcular el valor de F indicando si es cuota anticipada DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 71 (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular F a partir de P, se omite el valor de C; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo. En la versión 97 de Excel, se recomienda el uso del botón Pegar función, o Asistente de funciones en versiones anteriores, que se activa con un botón de la barra de herramientas de Excel. Al oprimir este botón aparece el menú de funciones y allí se escoge la función que se desea. Gráficamente se tiene: 0 P n 0 n F Para trabajar los ejemplos que se presentan a continuación, se recomienda usar la hoja de cálculo y construir una tabla como ésta: EJEMPLO A2.1 Suponga que se invierten $500.000 en una cuenta de ahorros que produce el 22% anual. Si no se retira ninguna cantidad y se paga interés compuesto, ¿cuánto se podrá retirar al finalizar el año 5? 72 IGNACIO VÉLEZ PAREJA En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 4 5 Flujo -500.000 0 0 0 0 F=? =VF(22% ;5;;-500000)=$1.351.354,08 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Excel es consistente con la convención que se adoptó antes: considerar que un ingreso es una cifra positiva y que un egreso es una cifra negativa, de manera que cuando se introducen los valores de los flujos en las funciones, se debe tener en cuenta introducirlos con signo negativo si son egresos y Excel calculará el resultado como un ingreso, y viceversa. Sin embargo, se dan casos en los cuales, por ejemplo, no se desea saber cuánto hay que invertir para obtener ciertos beneficios, sino a cuánto equivalen hoy ciertos beneficios futuros, o a cuánto equivalen hoy ciertos pagos futuros; en estos casos no se aplica lo dicho, sino que es necesario ajustar los signos para que se produzca el resultado deseado. Si se desea saber a cuánto equivalen unos ingresos futuros, esos ingresos habrá que introducirlos a la función, con signo negativo, para que arroje un resultado positivo. DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 73 Ejercicio de autocorrección 1 (La solución se encuentra al final del apéndice). ¿Cuánto se tendrá al cabo de 12 meses, si se ha depositado una suma de $1.000.000 a una tasa del 2% mensual? A2.2 SUMA FUTURA A SUMA PRESENTE Para hallar la suma presente en el instante cero, equivalente a una suma futura situada al final del período n, a una tasa de interés compuesto, i% , se utiliza la siguiente fórmula que se desprende de la anterior (A2.1). P= F (1 + i )n (A2.2) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. El cálculo del valor futuro se hace aplicando en forma sucesiva la fórmula básica F=P/(1+i)n En Excel = VA(i;n;C;F;tipo) Esta función en Excel sirve para calcular P a partir de C o de F; también permite calcular el valor de P, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular P a partir de F, se omite el valor de C; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo. Gráficamente se tiene: 0 0 n F n P EJEMPLO A2.2 Si se necesita tener $15.000.000 dentro de 3 años para pagar una matrícula, ¿cuánto debe ahorrarse hoy, por una sola vez, en una cuenta de ahorro que ofrece una tasa de interés de 25% anual? En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 Flujo P=? 0 0 15.000.000 =VA(25% ;3;;15.000.000)=-$7.680.000 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel; y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. 74 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Ejercicio de autocorrección 2 (La solución se encuentra al final del apéndice). ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 3% mensual, para tener $2.000.000 al final de 12 meses? A2.3 SERIE DE CUOTAS UNIFORMES A SUMA PRESENTE A su vez, para hallar la suma al final del instante cero (o sea hoy) a la tasa de interés compuesto i% , que sea equivalente a una suma uniforme durante n períodos al final de cada uno, 1, 2, ..., n, se utiliza la fórmula: n ( 1 + i) −1 P=C n i (1 + i ) (A2.3) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya conocida F=P(1+i)n o de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el análisis que se trata de hacer; por lo tanto, no se presenta ya que hay varios textos que sí lo hacen (Baca 1998a, 1998b y 1999). Se debe insistir al lector en que no es necesario memorizar las fórmulas. En detalle: P= C C C C C + + +L+ + 1 2 3 n −1 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n Esta expresión da origen a la fórmula (A2.3) En Excel = VA(i;n;C;F;tipo). Esta función en Excel sirve para calcular P a partir de C o de F; también permite calcular el valor de P, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular P a partir de C, se omite el valor de F; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo. Gráficamente se tiene: 0 1 C C C C n 0 C P n Donde P es la suma situada al final del instante 0; C es la suma uniforme al final de cada período 1,2, ..., n; i es la tasa de interés y n el número de períodos. DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 75 Cuando n es muy grande, entonces: (1 + i )n − 1 n n n ( 1 + i) − 1 ( 1 + i ) (1 + i ) P = lím C = lím C n n→ ∞ n→∞ (1 + i )n i (1 + i ) i (1 + i )n 1− P = lím C n→ ∞ 1 (1 + i )n = C 1 − 0 = C i i i (A2.4) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. En este caso se llama costo capitalizado. Se puede demostrar que cuando las sumas de dinero futuras experimentan un crecimiento porcentual de g, entonces esta expresión queda modificada así: P = C i −g (A2.5) Esto es válido para i>g; para g=i, el valor de P no está determinado. Tanto la ecuación A2.4 como la A2.5 son útiles cuando se trata de calcular el valor de salvamento o terminar el de un proyecto o firma (véanse capítulos 6 y 9). EJEMPLO A2.3 Si hoy se deben 10 cuotas de $43.077,28, calculadas al 2,76% mensual, ¿cuánto se debe pagar en este momento, para cubrir la totalidad de la deuda? En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Flujo P=? -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 -43.077,28 76 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya conocida F=P(1+i)n o de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el análisis que se trata de hacer; por lo tanto, no se presenta ya que hay varios textos que sí lo hacen (Baca 1998a, 1998b y 1999). Se debe insistir al lector, en que no es necesario memorizar las fórmulas. =VA(2,76% ;10;43077,28)=-$371.999,92 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas y no los valores. Calcule el valor de P, cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500. Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Por qué cambia el resultado? Ejercicio de autocorrección 3 (La solución se encuentra al final del apéndice). ¿A cuánto equivale hoy una serie de ingresos de $1.000 mensuales, recibidos al final de cada mes, durante 12 meses, si la tasa de interés es del 2,5% mensual? A2.4 SUMA PRESENTE A SERIE DE CUOTAS UNIFORMES Para hallar la suma uniforme durante determinado número de períodos 1,2, ..., n, equivalente a una suma presente en cero a una tasa de interés compuesto i% , se utiliza la fórmula: i (1 + i ) (1 + i )n − 1 n C=P (A2.6) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Esta fórmula es la inversa de la anterior. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el análisis que se trata de hacer; por lo tanto, no se presenta (hay varios textos, ya mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector en que no es necesario memorizar las fórmulas. DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 77 Si se despeja C de P= C + C + 1 + C + 1 (1 + i )1 (1 + i )2 (1 + i )3 C +L+ C + (1 + i )n −1 (1 + i )n se tiene C= P 1 (1 + i ) 1 (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 +L+ 1 (1 + i ) n −1 + 1 (1 + i )n y cuando se hacen simplificaciones basadas en series y progresiones de la aritmética, se obtiene la fórmula (A2.6). En Excel = PAGO (i;n;P;F;tipo). Esta función en Excel sirve para calcular C a partir de P o de F; también permite calcular el valor de C, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular C a partir de P, se omite el valor de F; si se desea que sea vencida, se omite el valor tipo. Cuando n es muy grande, de manera similar al caso anterior: i (1 + i ) n i (1 + i ) (1 + i )n C = lím P lím P = n→∞ (1 + i )n − 1 n → ∞ (1 + i )n − 1 (1 + i )n (1 + i )n i i = lím P = Pi lím P n →∞ n →∞ 1 1 − 0 1− (1 + i )n n (A2.7) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Gráficamente se tiene: 0 P n 0 1 C C n C C C 78 IGNACIO VÉLEZ PAREJA EJEMPLO A2.4 Existe la posibilidad de diferir una compra con tarjeta de crédito por valor de $435.000 en 12 cuotas iguales, a 2,76% mensual. ¿Cuál es el valor de la cuota C? En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Flujo 435.000 C=? C=? C=? C=? C=? C=? C=? C=? C=? C=? La fórmula (A2.6) se deduce de la misma expresión de la fórmula (A2.3) y es exactamente la inversa: En Excel: = PAGO(2,76%;12;435000) = -$43.077,28 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel; y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Esta cuota se compone de dos partes: un abono a capital que aumenta con el tiempo y un pago de interés que disminuye. En general, es cierto que una cuota para pagar un préstamo se compone de un abono o amortización más los intereses pactados; esto es cierto en todos los casos. Hay un caso muy particular, que es el estudiado aquí, donde la suma de esas dos componentes es siempre igual, porque se trata de una cuota uniforme. Para entender esto, se sugiere resolver el ejercicio 3 del final del capítulo. En forma matemática, siempre se tendrá: Cuota = intereses + abono o amortización Con los datos del ejemplo 4, se tiene: DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS Mes Saldo inicial Intereses 0 1 435.000,0 12.006,0 2 403.928,7 11.148,4 3 371.999,9 10.267,2 4 339.189,8 9.361,6 5 305.474,2 8.431,1 6 270.828,0 7.474,9 7 235.225,6 6.492,2 8 198.640,5 5.482,5 9 161.045,7 4.444,9 10 122.413,3 3.378,6 11 82.714,6 2.282,9 12 41.920,3 1.157,0 Abono 31.071,3 31.928,8 32.810,1 33.715,6 34.646,2 35.602,4 36.585,0 37.594,8 38.632,4 39.698,7 40.794,4 41.920,3 Cuota 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 43.077,3 Saldo final 435.000 403.928,7 371.999,9 339.189,8 305.474,2 270.828,0 235.225,6 198.640,5 161.045,7 122.413,3 82.714,6 41.920,3 0,0 79 Tasa 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% 2,76% Calcule el valor de C cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500. Calcule el valor de P, cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500. Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Por qué cambia el resultado? Ejercicio de autocorrección 4 (La solución se encuentra al final del apéndice). Si se depositan $1.500.000 en una caja de ahorros al 1,5% mensual, ¿cuánto se podrá retirar mensualmente durante 12 meses, al final de cada mes, de modo que después del último retiro el saldo sea cero? A2.5 SERIE DE CUOTAS UNIFORMES A SUMA FUTURA Para calcular la suma futura al final del período n equivalente a una serie uniforme durante n períodos, a la tasa de interés compuesto i% , al final de cada uno, 1, 2, ..., n, se utiliza la fórmula: F =C (1 + i )n − 1 i (A2.8) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya conocida F=P(1+i)n o de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el análisis que se trata de hacer; por lo tanto, no se presenta (hay varios textos, ya mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector en que no es necesario memorizar las fórmulas. 80 IGNACIO VÉLEZ PAREJA F = C (1 + i ) n −1 [ = C (1 + i ) n −1 + C (1 + i ) n −2 + (1 + i ) n −2 + L + C (1 + i ) + C (1 + i ) 1 o + L + (1 + i ) + (1 + i ) 1 o ] Al hacer las simplificaciones se llega a la fórmula (A2.8) En Excel = VF(i;n;C;P;tipo). Esta función en Excel sirve para calcular F a partir de C o de P; también permite calcular el valor de F, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular F a partir de C, se omite el valor de P; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo. Gráficamente se tiene: 0 1 C n C C C 0 C n F EJEMPLO A2. 5 Se desea calcular cuánto se tendrá en una cuenta de ahorros al final de 27 meses, si se depositan $35.000 mensuales y la cuenta de ahorros paga el 2,5% mensual. En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 ... 22 23 24 25 26 27 Flujo 0 -35.000 -35.000 -35.000 ... -35.000 -35.000 -35.000 -35.000 -35.000 -35.000 + F=? =VF(2,5% ;27;-35.000)=$1.326.920,03 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo el valor 1.¿Por qué cambia el resultado? DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 81 Ejercicio de autocorrección 5 (La solución se encuentra al final del apéndice). Si una persona ahorra mensualmente $2.500 y le liquidan intereses mensuales del 3% , ¿cuánto podrá retirar al final de 24 meses? A2.6 SUMA FUTURA A SERIE DE CUOTAS UNIFORMES Para obtener el valor de la serie uniforme al final de cada período 1, 2, ..., n, equivalente a una suma futura al final del período n, a la tasa de interés compuesto i% , se utiliza la fórmula: C=F i (1 + i )n − 1 (A2.9) Esta fórmula es la inversa de la anterior. Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica –concepto de equivalencia– de todo el análisis que se trata de hacer, por lo tanto no se presenta (hay varios textos, ya mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector en que no es necesario memorizar las fórmulas. C= (1 + i ) n −1 + (1 + i ) n −2 F 1 + L + (1 + i ) + (1 + i ) (A2.10) En Excel = PAGO(i;n;P;F;tipo). Esta función en Excel sirve para calcular C a partir de P o de F; también permite calcular el valor de C, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular C a partir de F, se omite el valor de P; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo. Gráficamente se tiene: 0 n F 0 1 C C C C n C 82 IGNACIO VÉLEZ PAREJA EJEMPLO A2.6 Supóngase ahora, que se desea retirar de una cuenta de ahorros la suma $35.000.000, después de haber ahorrado una cuota mensual durante 36 meses, a una tasa de 2,5% mensual. ¿Cuál debe ser esa cuota? En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 ... 31 32 33 34 35 36 Flujo 0 C=? C=? C=? ... C=? C=? C=? C=? C=? C=? + 35.000.000 En Excel: =PAGO(2,5%;36;35000000)=-$610.805,19 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el Pegar función, o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo el valor 1.¿Por qué cambia el resultado? Ejercicio de autocorrección 6 (La solución se encuentra al final del apéndice). ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente esa misma persona durante 36 meses, si quiere retirar al final $300.000 y la cuenta de ahorros le paga 3% mensual? A2.7 CÁLCULO DE NÚMERO DE PERÍODOS En estos factores sólo se ha trabajado en el cálculo de P, F o C, pero se puede también calcular las otras variables n e i. Para calcular n, se utiliza la función: =NPER(i;C;P;F;tipo) para Excel. Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 83 EJEMPLO A2.7 Supóngase ahora que se desea retirar de una cuenta de ahorros, la suma $35.000 después de haber depositado $5.000 por una sola vez a una tasa de 2,5% mensual. ¿Cuánto se debe esperar? En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 ... n-2 n-1 n =? Flujo -5.000 0 0 0 ... 0 0 35.000 =NPER(2,5% ;;-5000;35000)=78,81 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Ejercicio de autocorrección 7 (La solución se encuentra al final del apéndice). ¿En cuánto tiempo se duplica un ahorro de $2.300.000, si se reconocen intereses de 3,5% mensual? La función que calcula el núm ero de períodos, que se expresa =NPER(tasa;pago;va;vf;tipo), contiene las variables P ( VA), C (pago) y F ( VF), lo cual significa que se puede encontrar el número de períodos, combinando no sólo P y F como en el ejemplo anterior, sino también P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercicio de jugar con esta función. A2.8 CÁLCULO DE TASA DE INTERÉS En el caso del cálculo de i, vale la pena precisar que dados valores de P, F, C y n, el valor calculado es aquella tasa de interés que hace equivalentes dos flujos de caja de distinto signo. Por lo tanto, los signos de las cifras involucradas en el cálculo deben ser consistentes con el diagrama de flujo de caja respectivo; esto es, una inversión debe ser un egreso, con signo negativo, y un ingreso debe tener signo positivo. Cuando se trabaja con Excel, se utiliza =TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) o =TIR(rango;i semilla). La primera se emplea, como ya se ilustró, en el caso en que haya cuotas uniformes; la segunda, cuando los flujos de caja no son uniformes. En Pegar función o Asistente de funciones para la función TIR, aparece estimar en lugar de i semilla; cuando no se escribe ningún valor, el programa supone que es 0,1. Esta tasa de interés inicial que se le introduce a la función es el valor que utiliza el programa para iniciar una secuencia de iteraciones. 84 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Por ejemplo, si se tiene la siguiente inversión: Período Flujo $ 0 -1.000 1 1.400 El lector, que es inteligente, sabrá de inmediato que la tasa que hace equivalente el flujo positivo con el flujo negativo es 40%. El computador, que es torpe, pero veloz, tendrá que hacer un proceso de prueba y error, e intentará con 20% y después con 50% , etcétera, hasta que después de varios intentos, descubrirá que es 40% . La tasa de interés que utiliza para la primera prueba es la i semilla o estimar de las funciones Tasa o TIR de Excel. La función de Excel TASA, se utiliza cuando se tienen flujos de caja uniformes y sólo hay que introducir un valor C o Pago en Excel, para indicar el flujo de caja uniforme. Cuando el flujo de caja no es uniforme, obviamente no hay un valor único, uniforme, para introducir en la función. En ese caso, no es posible utilizar la función TASA y deberá utilizarse la función TIR. Con esa función hay que indicar el rango donde se hallan los valores, desde el instante cero hasta el final del período n. En el caso de la función de Excel TIR, se le debe indicar al programa el rango donde aparecen todos los flujos que se desean analizar. Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se encuentran los datos. Este rango debe incluir todos los valores, desde el instante cero hasta el final o período n. Las cifras de las inversiones deben escribirse con signo negativo. Si en los flujos analizados se encuentra un período con valor cero (0), debe escribirse como tal; Excel no considera una celda en blanco como cero. En caso de hallar una celda en blanco, no la toma en cuenta como período del flujo de caja libre analizado. Con las funciones que utilizan rango en sus parámetros se puede utilizar un flujo de caja libre no uniforme. Estas funciones responden a la pregunta ¿a qué tasa de interés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo de beneficios? EJEMPLO A2.8 Si una persona puede retirar la suma de $35.000 después de haber depositado $15.000 hace 36 meses, ¿a qué tasa de interés mensual ahorró? En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 1 2 3 ... 34 35 36 i= Flujo -15.000 0 0 0 ... 0 0 35.000 =TASA(36;;-15.000;35.000) =2,38% DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 85 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Ejercicio de autocorrección 8 (La solución se encuentra al final del apéndice). Si una persona ahorra $5.000 mensuales durante 36 meses y retira $300.000 el último mes ¿a qué tasa de interés ahorró? La función que calcula la tasa de interés, que se expresa =TASA(nper;pago;va;vf;tipo;i semilla), contiene las variables P (VA), C (pago) y F (VF), lo cual significa que se puede encontrar la tasa de interés combinando no sólo P y F, como en el ejemplo anterior, sino también P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercicio de jugar con esta función. EJEMPLO A2.9 Si una persona invierte $20.000 y recibe en el primer mes $9.000, en el segundo mes $5.000 y en el tercer mes $7.000, ¿a qué tasa de interés mensual invirtió? B 30 Mes 31 32 33 34 0 1 2 3 C Flujo $ -20.000 9.000 5.000 7.000 =TIR(Rango)=2,61% Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se encuentran los datos. Este rango debe incluir todos los valores, desde el instante cero hasta el final, o período n. Las cifras de las inversiones deben escribirse con signo negativo. 86 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Ejercicio de autocorrección 9 (La solución se encuentra al final del apéndice). Si se recibe un préstamo de $10.000 y se paga en cuatro cuotas así: la primera, $3.400; la segunda, $3.175; la tercera, $2.950, y la cuarta, $2.725, ¿a qué tasa de interés prestaron? A2.9 SUMA PRESENTE EQUIVALENTE A FLUJO NO UNIFORME Existe un caso muy común que consiste en saber cuál es el equivalente en pesos de hoy (valor actual o valor presente) de un flujo de caja libre que no tiene un patrón determinado; es decir, que los flujos de caja pueden ser diferentes. En Excel esto se calcula con la función =VNA(i;rango). Estas funciones calculan la suma equivalente en el instante cero de un flujo de caja libre a la tasa de interés indicada y lo expresan en unidades monetarias del período inmediatamente anterior al que inicia el rango que se indicó en la función. Esto es, que si se calcula el valor presente de una serie de flujos desde 1 hasta n, el resultado será una cifra en valor presente o actual, en el instante 0. El lector debe pensar en unidades monetarias de qué período se obtiene el resultado si se utiliza todo el rango desde 0 hasta n. Gráficamente: 0 1 2 3 n 0 n P EJEMPLO A2.10 Con los datos del ejemplo 9, si esa persona desea vender el derecho a recibir los flujos de caja futuros de su inversión, y su tasa de interés es de 2% mensual, ¿por cuál suma mínima debe hacer la transacción? Mes Flujo $ 0 -20.000 1 9.000 2 5.000 3 7.000 =VNA(2% ;Rango –desde 1 hasta 3-)=$20.225,63 Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se encuentran los datos. Este rango debe incluir sólo los valores, desde el período uno hasta el final, o período n. Las cifras de las inversiones deben escribirse con signo negativo. DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 87 Sugerencias: dibuje el diagrama de flujo de caja libre y escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel, y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Ejercicio de autocorrección 10 (La solución se encuentra al final del apéndice). Calcule la suma presente en instante cero 0 del siguiente flujo de caja libre a una tasa de interés de 25% por período: Año Flujo $ 0 1 8 2 4 3 8 4 12 A2.10 CONCLUSIONES Obsérvese que en Excel sólo se requieren tres funciones para manejar los casos de transformación entre sumas de dinero P, F y C. Éstas son: = VF (i;n;C;P;tipo) para transformar P a F o C a F. = VA (i;n;C;F;tipo) para transformar F a P o C a P. = PAGO (i;n;P;F;tipo) para transformar P a C o F a C. Obsérvese que estas funciones se pueden utilizar con más de una variable; por ejemplo, se puede calcular una cuota uniforme equivalente a una suma inicial –VA o P– y una suma futura –VF o F–. Se puede calcular una suma presente equivalente a una serie de cuotas uniformes –pago o C– y una suma futura –VF o F–, etcétera. Al llegar a este punto es posible que algunos lectores familiarizados con el tema hayan extrañado que ciertas fórmulas tradicionales, como los gradientes, no aparezcan en el texto. La razón es muy simple: muchas de las simplificaciones que se han venido utilizando en este tema, como los gradientes, eran válidas hace más de cincuenta años. En esa época, era necesario asimilar el comportamiento de costos o ingresos crecientes (o decrecientes) a una línea recta que aumenta o decrece por un gradiente constante g para poder condensar su cálculo en una fórmula compacta. Después de que se ha desarrollado el conjunto de funciones de hojas electrónicas, como Excel, que se presentó arriba, se tiene la esperanza de que ya no se utilicen más estos malabarismos algebraicos que cumplieron su función muy bien en la primera mitad del siglo XX y comienzos de la segunda. Las funciones —en forma resumida y en función de los patrones típicos cuando hay cuota uniforme, suma presente o suma futura— son: Operación A suma presente A suma futura A cuota uniforme Tasa de interés Número de períodos Patrón típico (a partir de P, F, C, nper y/o i%) Patrón no típico (irregular) VA VNA VF PAGO TASA No hay No hay NPER No hay TIR 88 IGNACIO VÉLEZ PAREJA A2.11 FACTORES Y FUNCIONES DE EXCEL1 = VF (i;n;;P) Convierte una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0, en una suma futura F al final del período n. =VA(i;n;;F) Convierte una suma futura F al final del período n en una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0 . = VA (i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n , en una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del instante 0 . = P A G O (i;n;P) Convierte una suma presente P al comienzo del período 1 , o sea final del instante 0, en una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n . = VF (i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C , que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n , en una suma futura F , al final del período n . = PAGO (i;n;;F) Convierte una suma futura de valor F, situada en el final del período n , en una serie uniforme de valor C, que se inicia en el final del período 1 y termina al final del período n. = TASA (nper;pago;va;vf;tipo;isemilla), = TIR (rango;i semilla ): Calcula la tasa de interés que hace equivalentes unos flujos negativos a unos positivos. Responde a la pregunta ¿a qué tasa de interés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo de beneficios? Para la función TASA se le debe indicar los parámetros C, F, P , e i semilla. Para la función TIR se le debe indicar al programa una tasa de interés inicial (i semilla), con la cual inicia los cálculos y el rango donde aparecen todos los flujos que se desean analizar. = VNA (i;rango) Calcula el valor presente de un flujo de caja libre a la tasa de interés indicada y lo expresa en unidades monetarias del período inmediatamente anterior al que inicia el rango que se indicó en la fórmula. = NPER (tasa;pago;va;vf;tipo;isemilla) Encuentra el número de períodos que se requieren para que una inversión se convierta en un determinado monto al final de esos períodos o el número de cuotas que se requieren para pagar un préstamo con una cuota determinada o el número de depósitos iguales necesarios para obtener una cierta suma de dinero al final de los períodos calculados. En todos los casos se debe estipular una tasa de interés. 1 Se repite esta tabla (mencionada en el capítulo 2, numeral 2.7) con el fin de facilitar la recordación de las ideas. DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 89 Estos factores se encuentran en calculadoras financieras y otras hojas electrónicas de manera que pueden obtenerse con gran precisión y rapidez. También se pueden utilizar tablas de factores de interés que se encuentran en los libros viejos de matemáticas financieras. A2.12 TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA En el texto del capítulo se presentaron las fórmulas básicas que relacionan las tasas anticipadas y vencidas y las tasas nominales y las efectivas. A continuación se presentan otras fórmulas que permiten hallar en forma directa las equivalencias entre cualquier tasa nominal y su efectiva correspondiente, y viceversa. Si se desea calcular la tasa nominal anticipada a partir de una tasa de interés efectiva, se despeja de (2.18) y se obtiene: 1 inom A = n1 − (1 + ief ) − n 1 = n1 − n (1 + i ) ef n (1 + ief ) − 1 = n n (1 + i ) ef (A2.11) Escoja el lector la que le parezca menos complicada2. EJEMPLO A2.11 Se tiene una tasa de interés nominal del 24% anual, mes vencido (n = 12) entonces, la tasa de interés efectiva es: = INT.EFECTIVO(24% ;12)=26,82% Sugerencias: escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. EJEMPLO A2.12 Si la tasa de interés nominal fuera 32% y se liquida trimestralmente por anticipado, la tasa de interés efectiva anual será: 2 Esta fórmula la dedujo Fabián Ruiz Gutiérrez estudiante de mi curso en la Universidad Javeriana en II-99 90 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Tasa de interés trimestral anticipada = 0,32/4 = 0,08= 8% Tasa de interés trimestral vencida = 0,08/(1-,08)=0,087 =8,7% Tasa de interés efectiva anual = (1+,087)4 -1= 1,39588 - 1 = 0,39588 = 39,59% efectivo anual. Obsérvese que siempre hay que reducir el interés nominal al interés periódico que se indica en la forma de liquidar. En Excel, =int. efectivo(8,7% *4;4)=39,59% 0 = VF(-32% /4;-4;;-1)-1 = 39,59% i ef Sugerencias: escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Ejercicio de autocorrección 11 (La solución se encuentra al final del apéndice). Si un préstamo está pactado al 36% anual, trimestre vencido, ¿cuál es la tasa de interés efectiva que se está pagando anualmente? ¿Recuerda la cifra que se le pidió guardar en el ejemplo 11 del capítulo 2? Basándose en este ejercicio de autocorrección, se puede concluir que cuando se calcula la tasa de interés efectiva anual, se supone, en el caso de un préstamo, por ejemplo, que quien recibe el dinero prestado tiene la posibilidad de ahorrar a la misma tasa a la que le prestan. ¿Es este supuesto razonable? Para el caso de una persona que guarda su dinero en una caja fuerte (o en una lata de galletas, que para el caso es lo mismo), ¿qué significado tendrá decir que si el préstamo es de 36% TV, entonces, la tasa de interés efectiva anual es la obtenida en el ejercicio de autocorrección? Ese individuo, ¿Cuál de las dos formas de pago preferirá, en el caso del ejemplo 11? ¿Se podrá decir que la tasa de interés efectiva anual es la misma para él, que para aquél que puede ahorrar al 9% trimestral? EJEMPLO A2.13 Si un banco dice cobrar una tasa de interés de 42,87% efectiva anual, ¿A qué tasa de interés mes anticipado corresponde esa tasa de interés efectiva? La tasa de interés nominal mes vencido es 36,21% . La tasa de interés periódica, mensual vencida es 3,02% . La tasa de interés periódica mensual anticipada es: ima = 3,02% = 2,93% 1 + 3,02% En Excel, tasa. nominal(42,87% ;12)/12= 3,02% i = mv DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 91 La tasa de interés periódica mensual anticipada es: ima = 3,02% = 2,93% 1 + 3,02% Sugerencias: escriba en celdas los datos que entran en la función de Excel y al utilizar el Pegar función o Asistente de funciones, introduzca las celdas, no los valores. Ejercicio de autocorrección 12 (La solución se encuentra al final del apéndice). Si la tasa de interés efectiva anual de un préstamo es de 42% y se sabe que se liquidó por trimestre anticipado, ¿Cuál fue la tasa nominal de interés que se pactó? Así mismo, si se quiere convertir directamente una tasa nominal anticipada con n 2 períodos a una tasa nominal anticipada con n 1 períodos, se puede utilizar esta ecuación: inomAn1 inomAn2 = n1 1 − 1 − n2 n2 n1 (A2.12) El lector puede verificar el resultado de esta fórmula con el del ejemplo 25. De igual manera, para transformar una tasa nominal vencida con n2 períodos a una tasa nominal vencida con n 1 períodos se puede utilizar la siguiente relación: inomVn1 i nomVn2 = n1 1 + n2 n2 n1 − 1 (A2.13) Para transformar una tasa nominal vencida con n 2 períodos a una tasa nominal anticipada con n 1 períodos se puede utilizar la siguiente relación: inomAn1 1 = n1 1 − inomVn2 1 + n 2 − n2 n1 (A2.14) 92 IGNACIO VÉLEZ PAREJA Para transformar una tasa nominal anticipada con n2 períodos a una tasa nominal vencida con n1 períodos se puede utilizar la siguiente relación: inomVn1 1 = n1 inomAn2 1 − n 2 n2 n1 − 1 (A2.15) Estas fórmulas muestran que la utilidad de la tasa de interés efectiva queda reducida a hacer comparaciones entre tasas que se liquidan de manera diferente. No es necesario siquiera el cálculo de la tasa de interés efectiva para hacer las transformaciones entre tasas. El lector debe comprobar estas fórmulas con los datos del ejemplo 25. A2.13 RESUMEN De Efectiva A Nominal anticipada Nominal anticipada con n 2 períodos Nominal anticipada con n1 períodos Nominal vencida con n 2 períodos Nominal vencida con n1 períodos Nominal vencida con n 2 períodos Nominal anticipada con n1 períodos Nominal anticipada con n 2 períodos Nominal vencida con n1 períodos DE ECUACIONES Fórmula 1 − inom A = n1 − (1 + ief ) n 1 = n1 − n (1 + i ) ef n (1 + ief ) − 1 = n n (1 + i ) ef n2 inomAn 2 n1 i nomAn1 = n1 1 − 1 − n 2 n2 i nomVn2 n1 − 1 i nomVn1 = n1 1 + n 2 1 inomAn1 = n1 1 − n − 2 n inomVn2 1 1 + n 2 inomVn1 1 = n1 inomAn 2 1 − n 2 n2 n1 − 1 DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 93 La relación entre tasas se puede ver en el siguiente esquema elaborado por Andrés Mejía, profesor del Departamento de Administración de la Universidad Javeriana en mayo de 2000. Transformación de tasas equivalentes ! TASA EFECTIVA ANUAL iefectiva = (1 + i periódica ) n El signo negativo muestra que se están trabajando tasas anticipadas −1 ! El signo positivo muestra que se están trabajando tasas vencidas )−n − 1 = (1 − i i = 1 − i i periódica = ( n 1 + i efectiva ) − 1 i TASA PERIÓDICA VENCIDA ! i = i Nótese que la operación que determina las tasas efectivas es la potenciación, puesto que se basa en el cálculo de tasas compuestas i periódica =i ×n = i 1+ i i 1− i = 1 (1 + i ) TASA PERIÓDICA ANTICIPADA = i i nominal n i nominal = i periódica × n TASA NOMINAL ANUAL A2.14 SOLUCIÓN A n ! i n Nótese que la operación que determina las tasas nominales es la multiplicación, puesto que se basa en el cálculo de tasas simples LOS EJERCICIOS DE AUTOCORRECCIÓN 1. ¿Cuánto se tendrá al final de 12 meses, si se ha depositado una suma de $1.000.000 a una tasa del 2% mensual? F = V F (2%;12;;-1.000.000)=$1.268.242 2. ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 3% mensual, para tener $2.000.000 al final de 12 meses? P = V A (3%;12;;2.000.000)=-$1.402.759,76 3. ¿A cuánto equivale hoy una serie de ingresos de $1.000 mensuales, recibidos al final de cada mes, durante 12 meses, si la tasa de interés periódica es del 2,5% mensual? P = V A (2,5%;12;-1.000)=$10.257,76 4. Si se depositan $1.500.000 en una caja de ahorros al 1,5% mensual, ¿cuánto se podrá retirar mensualmente durante 12 meses, al final de cada mes, de modo que después del último retiro el saldo sea cero? 94 IGNACIO VÉLEZ PAREJA C = P A G O (1,5%;12;-1.500.000)=$137.519,98 5. Si una persona ahorra mensualmente $2.500 y le liquidan intereses mensuales del 3% ¿cuánto podrá retirar al final de 24 meses? F= V F (3%;24;-2.500)=$86.066,17 6. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente esa misma persona durante 36 meses, si quiere retirar al final $300.000? C = P A G O (3%;36;300.000)=-$4.741,14 7. ¿En cuánto tiempo se duplica un ahorro de $2.300.000, si se reconocen intereses de 3,5% mensual? n= NPER (3,5%;-2.300.000;4.600.000)=20,15 meses. 8. Si una persona ahorra $5.000 mensuales durante 36 meses y retira $300.000 el último mes ¿a qué tasa de interés periódica ahorró? i = T A S A (36;-5.000;;300.000)=2,73% 9. Si se recibe un préstamo de $10.000 y se paga en cuatro cuotas, así: la primera, $3.400; la segunda $3.175; la tercera, $2.950 y la cuarta $2.725, ¿a qué tasa de interés periódica prestaron? = T I R (Rango desde instante 0 a 4)=9,0% Período 0 1 2 3 4 Flujo de caja $ 10.000 -3.400 -3.175 -2.950 -2.725 10. Calcule la suma presente en instante 0 del siguiente flujo de caja libre a una tasa de tasa de interés periódica de 25% por período: Año Flujo $ 0 1 8 2 4 3 8 4 12 = V N A (25%, rango desde período 1 hasta 4)=$17,97 11. Si un préstamo está pactado al 36% anual, trimestre vencido, ¿cuál es la tasa de interés efectiva que se está pagando anualmente? = INT . EFECTIV O (36%;4) = 41,16% 12. Si la tasa de interés efectiva anual de un préstamo es de 42% y se sabe que se liquidó por trimestre anticipado, ¿cuál fue la tasa de interés nominal que se pactó? i nom trim venc i trim ant i nom nc = T A S A . NOMINAL (42%;4)=36,65% =(36,65/4)/(1+36,65/4)=8,39% anual trim ant =8,39%*4=33,57% DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 95 A2.15 EJERCICIOS 1. ¿Por qué es distinto el valor del derecho a $1 hoy, de un derecho igual dentro de un año? Según esto, ¿qué es el interés? ¿Qué se entiende por equivalencia? 2. ¿Cuántos flujos de caja netos en n años podrían ser equivalentes a una suma presente de $P al i% anual? 3. Desarrolle los siguientes casos: 3.1. Describa el plan de pago de $10.000 para pagar esta deuda en cuatro pagos trimestrales iguales (cuota uniforme), que incluyen intereses de 9% trimestral y se pagan al final de cada trimestre, sobre el saldo no pagado, al comienzo del período. Trimestre Saldo al inicio del trimestre Interés Abono a la deuda Cuota uniforme Saldo al final del trimestre Tasa 0 1 2 3 4 3.2 Resuelva también, bajo el supuesto de que los abonos a la deuda son iguales: Trimestre Saldo al inicio del trimestre Interés Abono a la deuda Cuota Saldo al final del trimestre Tasa 0 1 2 3 4 Juegue con los abonos y ajuste los valores hasta lograr que el saldo final se mantenga en cero. Al hacer esto en forma repetida, usted podrá verificar la respuesta del ejercicio 2. Este ejercicio 3 equivale a lo que en los textos tradicionales se llama tablas de amortización. 4. ¿Las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas? Argumente la respuesta. 4.1 La tasa de interés es constante a través del tiempo. 4.2 Para un análisis de un flujo de caja por períodos anuales sólo pueden considerarse tasas de interés anuales. 96 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 4.3 La diferencia entre una tasa interés nominal y una tasa de interés efectiva radica en que la tasa de interés efectiva es siempre un múltiplo entero de la tasa nominal. 5. En una casa de cambios de Bogotá, le dijeron a una secretaria que le prestaban $200.000 al 5% . Cuando llevó a su fiador para recibir el dinero y entregar los cheques para el pago del préstamo, se enteró de que le entregarían $198.000, pues le descontaban $2.000 por concepto de estudio del crédito. Debió girar estos cheques: Mes 1 2 3 $ 54.000 50.000 46.000 Mes 4 5 6 $ 42.000 38.000 34.000 Como necesitaba el dinero, ella y su fiador le dieron las gracias al amable señor de la casa de cambios. ¿Verdaderamente le prestaron el dinero al 5%? ¿A qué tasa le prestaron? R. No. 9,71% . 6. La empresa debe pagar el impuesto predial de su sede, el cual asciende a $35.756 al año. Si la oficina de recaudación le ofrece un descuento por pronto pago de 15% , si paga antes de abril 30 de ese año, ¿a qué tasa interés anual efectiva corresponde ese descuento, si el pago se hace el 30 de marzo? Si, por el contrario, no se acoge al descuento y debe pagar intereses de mora del 36% anual, liquidado mensualmente sobre el monto debido, a partir del 1 de mayo, ¿cuál es la suma total que deberá pagar el 1 de agosto? 7. Si la liquidación es mensual, ¿a qué tasa de interés debe colocarse $1.000.000 para: ¿Acumular $1.000.000 de intereses en 2 años? ¿Acumular $2.000.000 de intereses en 3 años y medio? 8. ¿Cuál es el valor de la tasa de interés efectiva, cuando una tasa de interés nominal del 15% se liquida: a) anualmente; b) semestralmente; c) trimestralmente; d. mensualmente. Haga el cálculo para diferentes tasas de interés nominal, por ejemplo, 20% , 25% , 30% , 30% , 40% , 45% , 50% . En la hoja de cálculo, utilice pasos de 1% . 9. Cuál es la tasa de interés efectiva semestral y la tasa de interés efectiva anual de los siguientes certificados de depósito a término: 90 días, 25% anual nominal, trimestre anticipado. 180 días, 26% anual nominal, trimestre vencido. 10. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva semestral y anual de los siguientes títulos de ahorro nacional: 90 días 22,86% anual nominal, trimestre vencido. 180 días, 25,14% anual nominal, semestre vencido. 360 días, 29,45% anual nominal, año vencido. DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 97 11. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual de una inversión que ofrece una tasa de interés nominal anual del 28% , pagado por semestre anticipado? 12. Existen títulos-valores que se negocian en la Bolsa que tienen la estructura genérica de un bono; un bono es la promesa de pago que hace una firma con la cual se compromete a pagar el valor nominal (valor del bono) al vencimiento (maduración o redención) y unos intereses pactados (cupones) que se pagan periódicamente. La firma los puede vender a descuento o no (a descuento significa que los vende por menor valor que el nominal). Así mismo, puede ofrecer intereses periódicos (cupones) o no. ¿Con qué descuento debe adquirir un inversionista un título que se debe redimir a los 5 años, si al final de cada año recibe intereses del 12% con respecto al valor nominal del documento mencionado y aspira a obtener un rendimiento anual del 35% ? Ayuda: el rendimiento es la tasa de interés de equivalencia, o sea, que hace equivalentes los flujos netos positivos y los flujos netos negativos. 13. Una inversión ofrece una tasa de interés nominal anual del 31% , pagado cada mes al vencimiento; si otra alternativa paga los intereses por trimestre anticipado, ¿qué rentabilidad nominal anual TA se debe exigir en esta segunda opción para que las dos sean equivalentes? 14. Una posibilidad de financiación es la emisión de bonos o títulos negociables en bolsa. ¿Con qué descuento se debe emitir un título que no paga intereses, si se desea que su vencimiento ocurra a los 90 días y que el rendimiento para el comprador sea del 28,5% nominal anual? 15. Si la cuenta Prontoahorro ofrece una tasa de interés de 39% anual liquidado trimestralmente y vencido y la cuenta Ahorre-ya ofrece 37% anual liquidado mensualmente y vencido, ¿en cuál de las dos abriría una cuenta de ahorros para mantener allí un depósito por dos años? 16. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva trimestral y anual, si una tasa de interés nominal anual del 48% se liquida mensualmente? 17. Una persona recibe en calidad de préstamo $5.000.000 de una corporación, para ser pagados en 12 cuotas iguales al final de cada mes, con una tasa de interés de 1% por mes. Sus pagos mensuales fueron calculados de la siguiente manera: Suma del préstamo $ Interés al 1% mensual $ Estudio de la solicitud $ Total $ Pagos mensuales $5.700.000/12 = 5.000.000 600.000 100.000 5.700.000 475.000 ¿Qué opina usted de esta forma de liquidar los pagos? Determine la tasa de interés efectiva y nominal por año que pagó esa persona. 98 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 18. En un almacén deportivo le ofrecen una bicicleta cuyo precio de lista es de $68.000 y se puede comprar a través de una tarjeta de crédito a 6 o 12 meses. Sin embargo, si usted paga de contado, le hacen un descuento, y la bicicleta valdría $61.200. Los factores que utiliza la tarjeta de crédito para calcular la cuota mensual (se multiplica el valor del pagaré por el factor para calcular la cuota mensual) que se debe pagar en cada caso, son: Plan 6 meses 12 meses Factor 0,18104 0,09699 ¿Cuál es la tasa de interés que dice cobrar la tarjeta de crédito? ¿Cuál es la verdadera tasa de interés que usted paga al comprar con la tarjeta? Suponga que se difiere la totalidad de la compra. R. 2,42% , 5,65% (6 meses), 4,20% (12 meses). 19. Suponga que un banco anuncia que las tasas anuales de interés en cada uno de los próximos cuatro años serán 28% , 30%, 35% y 32% . 19.1 Elabore una tabla que muestre la cantidad acumulada al final de cada año por cada peso depositado hoy. 19.2 ¿Cuánto habrá que depositar hoy para tener $10.000.000 al finalizar el cuarto año? R. $3.372.399,21 19.3 ¿Qué tasa de interés anual constante sería equivalente a la serie de las tasas dadas, para alguien que desea invertir hoy y recibir la inversión después de cuatro años (en otras palabras, ¿qué tasa de interés transformaría la suma presente que se encontró en el punto anterior en $10.000.000 dentro de cuatro años?). R. 31,22% 19.4 A la tabla del primer punto añada una columna que muestre la cantidad que se debe depositar ahora si se desea tener un saldo de $1 al final del año 1. ¿Al final del año 2?, ¿y del año 3?, ¿Y del año 4? 20. Suponga que una corporación de ahorros paga una tasa del 25% de interés anual y usted invierte $ 2.000.000 en enero de 1992 y desea hacer tres retiros anuales iguales a partir del año 1994, de tal manera que al hacer el último retiro (en 1996) la cuenta queda en $0. ¿Cuál es el valor de los retiros iguales que se podrían hacer? 21. ¿Cuál es el costo efectivo anual de un crédito de $1.000.000 que se paga al final de un año, con una tasa de interés del 28% anual nominal, con intereses pagaderos por trimestre anticipado? 22. Una corporación paga una tasa de interés del 2,5% mensual. 22.1 ¿A qué tasa de interés efectiva anual equivale esa cifra? DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 99 22.2 ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual correspondiente al 2,5% mensual? 22.3 Si usted invierte $4.500.000 y no retira nada, ¿cuánto tendrá dentro de seis meses?, ¿dentro de tres años? 23. ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1’000.000 si la tasa de interés es del 10% semestral?, ¿en cuánto tiempo se triplica?, ¿se cuadruplica? 24. Si usted invierte hoy $1.000.000 y desea que en 10 años tal suma se haya triplicado, ¿a qué tasa de interés deberá hacer su inversión? Si desea que su capital se duplique en ese mismo período, ¿a qué tasa de interés debe invertirlo? 25. ¿En cuánto tiempo se duplicará un capital a una tasa de interés del 8% anual?, ¿del 12% anual?, ¿del 18% anual?, ¿del 24% anual?, ¿del 30% anual? 26. Si un capital se duplica cada cuatro años, ¿qué tasa de interés está ganando?, ¿si se duplica cada 10 años? 27. Una aceptación bancaria es un documento que expide un banco en favor de un tercero por cuenta de un cliente. El tercero puede hacer efectiva la aceptación y presentarse a cobrar al banco en la fecha de vencimiento de este título-valor, o descontarla en el mercado de valores. Las tasas a las que se descuentan estos documentos varían dependiendo de la escasez o abundancia de efectivo en el mercado. Si se tiene una aceptación bancaria a 90 días y se descuenta al 38% anual trimestre anticipado, ¿a qué tasa de interés efectiva anual corresponde esta operación? 28. Con la información del ejercicio anterior, si se desea obtener neto $15.000.000, ¿cuánto debe ser el valor de la aceptación bancaria antes del descuento? 29. ¿Cuánto se acumulará en un fondo al final de 25 años si se invierten hoy $2.000.000 al 24% anual? 30. ¿Cuál es el valor presente de $5.000.000, que se recibirán dentro de 37 años, si la tasa de interés es del 30% anual? 31. Se desea tener $22.000.000 al final de 30 años, ¿qué suma uniforme de dinero se debe invertir al final de cada uno de los 30 años si la tasa de interés es del 18% anual? 32. ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir ahora para recibir $1.000.000 al año a perpetuidad, si la tasa de interés es del 20% anual? 33. Desarrolle los siguientes puntos: 33.1 ¿Cuánto debe ser el ahorro recibido al final de 5 años, para justificar un gasto de $2.000.000 ahora, otro gasto de $15.000.000 al final del tercer año y de $2.000.000 al final del cuarto año, teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 36% anual? 33.2 ¿Cuál es la suma acumulada de $1.000.000 al final de 60 años, si la tasa de interés es del 15% . 100 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 33.3 ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar usted hoy por la promesa de recibir $1.000.000 durante 5 años, al final de cada año, si su tasa de interés es del 18% anual?, ¿si su tasa de interés fuera 24% ?, ¿si fuera 12% ? 34. Si la tasa de interés es del 20% , hasta qué cantidad se podría pagar hoy por $1.000.000 anuales (pagaderos al final de cada año, empezando el año hoy), durante: a) 5 años; b) 10 años; c) tiempo indefinido. 35. Si usted deposita $1.000.000 al final de 1998 en una cuenta de ahorros a una tasa de interés del 18% anual liquidado trimestralmente, ¿cuánto tendrá usted en su cuenta al final del 2006? 36. Si usted deposita en su cuenta de ahorros $500.000 al final de cada año, comenzando al final de 1998 y finalizando en el 2004, ¿qué suma tendrá usted en su cuenta, si el interés anual es del 15% ? 37. Si usted desea disponer, al final del 2000, de una suma de $4.000.000 en una cuenta de ahorros al 24% anual, ¿cuándo debería depositar la suma de $1.000.000? 38. ¿Qué cantidad debe depositarse en una cuenta de ahorros a una tasa de interés anual del 18% a finales de 1998 para que se pueda retirar de la cuenta $1.000.000 anuales, comenzando al final del 2010 y terminando a fines del 2028? 39. Si usted se entera de que alguien ha depositado $1.000.000 en una cuenta bancaria al final de 1998, 2000 y 2001, y que esa cuenta ha alcanzado la suma de $10.270.000 al finalizar 2004, ¿qué tasa de interés devengó esa cuenta? 40. En septiembre de 1994 la Cooperativa Cafetera Central publicó un aviso, cuya parte pertinente dice: La Cooperativa Cafetera Central [...] ofrece BONOS EL CAFETERO 1994 cuyas características [...] son las siguientes: [...] 2. Valor Nominal: la emisión constará de 50.000 bonos de un valor nominal de $100.000 cada uno. [...] 6. Vencimiento: el plazo de los bonos será de 60 meses contados a partir de la fecha de su suscripción. 7. Tasas de Interés: La tasa de interés será del DTF+3,00% TA. Se entiende por DTF la tasa promedio de captación a 90 días de los bancos, corporaciones financieras, corporaciones de ahorro y vivienda y compañías de financiamiento comercial, divulgadas semanalmente por el Banco de la República o, en caso de desaparecer, por aquella tasa promedio de captación que la sustituyó. Para la liquidación de los intereses se tomará el DTF vigente el día en el cual se inicia el período de causación de los intereses, adicionado en los puntos pactados. 8. Pago de Intereses: los intereses se pagarán trimestre anticipado, trimestre vencido, semestre anticipado o semestre vencido a elección del suscriptor. [...] DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 101 Analice esta oferta y, sin hacer ningún cálculo, decida cuál es la mejor forma de liquidar los pagos de intereses del bono (cupones), suponiendo que el pago de los intereses en las modalidades ofrecidas debe mantener la tasa de interés efectiva que resulta del punto 7, y que el comprador no tiene problemas de liquidez. Si la tasa DTF fuera de 26,2% anual, calcule la tasa de interés anual efectiva, bajo el supuesto de que los intereses se liquidaran como dice la oferta. ¿Cuál es la tasa de interés nominal para cada modalidad de pago ofrecida, sabiendo que la tasa de interés efectiva debe ser la misma para cada caso? Si su tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa de rentabilidad mínima aceptable) fuera de 35% anual efectiva, ¿cuál modalidad de pago le conviene más? Si usted mantiene el bono durante los primeros cuatro pagos y decide venderlo inmediatamente después de recibir el cuarto pago de intereses (bajo la modalidad de TA), ¿cuál sería el mínimo valor por el cual lo vendería, si su tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa mínima aceptable) fuera de 35% anual? Usualmente una emisión de bonos se vende en un período corto y después de comprados los bonos se puede decir que no puede volver a comprar los mismos bonos en lo que se conoce como mercado primario, es decir, comprar los bonos al emisor de éstos. Sugerencia: lea el texto del ejercicio 12 de esta misma sección para informarse, si lo necesita, sobre lo que es un bono. 41. Su empresa ha solicitado una financiación de cartera ordinaria a un banco al 36% anual, trimestre anticipado, con un plazo de 3 años; le cobran una comisión del 1,5% del total del préstamo por una sola vez, y la deuda la debe pagar trimestralmente; el gerente del banco ha insistido en que es un préstamo muy barato, pues calcula que como máximo le va a costar 36,5% al año, teniendo en cuenta que la comisión es por una sola vez. ¿Cuánto es el verdadero costo del préstamo en términos de tasa de interés efectiva anual? 42. ¿Cuál es la rentabilidad de un papel de descuento a 1 año, si se ha comprado con un descuento del 25% del valor nominal? 43. Una universidad ha emitido bonos convertibles en matrícula, cuya adquisición se puede hacer por medio de una financiación (un préstamo) del 70% del monto a una tasa del 24% anual, pagadera por trimestre anticipado; la universidad ofrece una tasa de interés mensual del 3,5% vencido sobre el valor nominal y espera recibir al final de los 36 meses de plazo sus bonos por matrícula, cuyo valor es equivalente al 105% del valor nominal de los bonos. Usted ha estudiado esta posibilidad y decide comprar $1.000.000 en bonos, ¿qué rentabilidad le produjeron los $300.000 que le correspondió aportar de su bolsillo? Suponga que el préstamo se devuelve al final de los 36 meses. Sugerencia: lea el texto del ejercicio 12 de esta misma sección para informarse, si lo necesita, sobre lo que es un bono. 44. ¿Cuánta es la rentabilidad efectiva anual de un CDT de $1.000.000 al 30% trimestre anticipado? 45. Un amigo está necesitado de dinero y lo único con que cuenta es un CDT de un banco muy conocido. Le pide que sobre ese documento le 102 IGNACIO VÉLEZ PAREJA preste un dinero y le dice que él está dispuesto a endosárselo, para que lo cobre posteriormente. El CDT se emitió a 90 días al 30% trimestre anticipado, por $2.000.000; ese certificado fue emitido hace 48 días. Si el dinero que usted le puede prestar a su amigo lo tiene invertido a una tasa de interés del 36% anual efectivo, ¿cuánto es lo máximo que usted podría ofrecerle por el CDT? ¿cuánto sería si el CDT fuera a 30% trimestre vencido? 46. Un amigo le dice que es mejor pagar de contado un carro que vale $2.400.000 a pagar una cuota inicial de $1.300.000 y 10 cuotas de $136.000, porque con el sistema a plazos, usted termina pagando $2.660.000 por un carro que vale $2.400.000. ¿Qué le contestaría usted? ¿Qué tasa de interés estarían cobrando por la financiación del saldo del carro? 47. Carlos nació el 17 de octubre de 1991; al cumplir 1 año, una tía le abrió una cuenta de ahorros a su nombre y consignó $100.000; consignó sumas anuales de $50.000 en la cuenta de ahorros, hasta que él tuvo la edad de 18 años. En esa cuenta se le reconoce una tasa de interés periódica del 18% anual liquidado anualmente. Carlos espera comenzar a retirar sumas anuales de $1.200.000 a partir del 17 de octubre del 2011, y a los 23 años espera retirar el saldo. a) Calcule este saldo. b) Si la tía deseara hacer sólo un depósito el 17 de octubre de 1991 y que Carlos pudiera hacer todos los retiros mencionados y terminar con el mismo saldo calculado, ¿cuál sería esa suma de dinero? R: a) $8.715.216,52. 48. Una empresa es propietaria de una flota de buses y tiene su propio taller de mantenimiento. Un cierto tipo de bus usado normalmente durante 5 años tiene un costo inicial de $4.500.000 y al final de esos 5 años se puede vender en $5.000.000. Los costos de mantenimiento son de $300.000 el primer año y crecen en $100.000 cada año. Si se supone una tasa de interés del 36% anual, ¿cuánto sería lo máximo que se puede pagar por un servicio equivalente, es decir, por arrendar anualmente un bus similar en lugar de comprarlo? 49. Su empresa recibe un préstamo de $100.000.000 y lo debe pagar en 6 años en pagos iguales, que incluyen el interés sobre saldos. Si la tasa de interés es del 25% anual, ¿cuál es la cuota que debe ser pagada al final de cada año? De esa cuota uniforme, ¿cuánto es la suma que se amortiza cada año y cuánto es el monto de los intereses que se pagan cada año? 50. Suponga que su empresa compró un papel comercial de Avianca con descuento, en $71,95 y después de 365 días lo vende por su valor nominal de $100,00. ¿Qué tasa de interés anual obtuvo? Si ese papel lo compró a $79,65 y lo vendió a los 270 días en su valor nominal de $100,00, ¿qué interés anual nominal y efectivo obtuvo? ¿Y si lo compró en $86,00 y lo vendió en $100,00 a los 180 días? 51. El Distrito Capital de Bogotá lanzó los Bonos Pro-Urbe en las siguientes condiciones: se venden con descuento en $91,00, se liquidan intereses del 6% anual sobre el valor nominal, trimestre vencido y DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 103 se redimen, o sea los compra al año, por $100, que es su valor nominal. ¿Cuál es el interés trimestral producido por esa inversión? ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual? 52.En un almacén de electrodomésticos del centro de Bogotá, se obtuvo la siguiente información (noviembre de 1987): Se ofrecía un televisor de 14", en color, con control remoto, y la etiqueta decía que el precio de contado era de $96.000. Al averiguar si había alguna forma de financiación, se desarrolló el siguiente diálogo entre el vendedor y el cliente: Vendedor: Le ofrecemos crédito a 10 meses de plazo sin financiación. El plan es una cuota inicial de $43.082 y 10 cuotas de $10.100. Cliente: (Después de hacer unas cuentas) Pero, ¿el precio no es de $96.000? Vendedor: Sí, pero a crédito es de $144.082. Cliente: Muy bien, pero ¿no hay un plazo más largo? Vendedor: Por supuesto, caballero; le ofrezco un plazo de 25 meses con una cuota inicial de $15.082 y 25 cuotas de $7.334. Cliente: ¿Qué otras posibilidades hay? Vendedor: Pues si tiene tarjeta de crédito para diferirlo en 12 meses, se la acepto, pero el precio es de 109.909,90. Analice esta situación. Suponga que la tarjeta de crédito le cobra al cliente el 2,5% mensual y que le difieren la totalidad de la compra (o sea que no le cobran una suma mayor en la primera cuota, sino que se reparte en 12 cuotas uniformes). ¿Cuál es el interés anual efectivo? R. 376,04% e. a. para 10 meses; 141,31% e. a. para 25 meses y 75,70% e. a. para tarjeta de crédito. 53. En febrero de 1996 la Corporación Social de Ahorro y Vivienda Colmena publicó un aviso, donde ofrece sus Bonos Ordinarios Emisión 1996, cuya parte pertinente dice: 4. Valor Nominal e Inversión mínima: El valor nominal de cada bono de las series B, C, D y E es de UN ($1.000.000,00). La inversión mínima en bonos de la serie B, C, D y E es de DIEZ MILLONES DE PESOS M/CTE ($10.000.000,00) es decir, DIEZ (10) bonos. MILLÓN DE PESOS M/CTE 5. Ley de circulación: Los bonos serán a la orden. En consecuencia, podrán ser trasladados mediante endoso y entrega del título, y serán libremente negociables en las Bolsas de Bogotá, Medellín y Occidente o mediante su negociación directa por los tenedores. 104 IGNACIO VÉLEZ PAREJA 6. Plazo y rendimiento de los bonos: El plazo de los bonos será el que se indica más adelante, y se cuenta a partir de la fecha de suscripción. El rendimiento de los bonos será el equivalente en términos efectivos a la tasa DTF TA. adicionada en determinado número de puntos porcentuales anuales TA. de acuerdo con la serie que corresponda, de la forma en que se indica a continuación: Serie B C D E Plazo 2 años 3 años 4 años 5 años Rendimiento DTF + 2,00% TA DTF + 2,50% TA DTF + 2,75% TA DTF + 3,00% TA Para la liquidación de los intereses se tomará la DTF vigente en la semana en que se inicie el respectivo período de causación de los intereses, adicionado en los puntos indicados. [...] 7. Periodicidad de pago de los intereses: La periodicidad de pago de los intereses podrá elegirse, a opción del suscriptor, entre las modalidades que se indican a continuación: • • • • • Semestre vencido ( SV) Trimestre vencido ( TV) Trimestre anticipado (TA) Mes vencido ( MV) Mes anticipado (MA) Si la tasa DTF fuera de 27,4% anual, calcule la tasa de interés anual efectiva, bajo el supuesto de que los intereses se liquidaran como dice la oferta. ¿Cuál es la tasa de interés nominal para cada modalidad de pago ofrecida, sabiendo que la tasa de interés efectiva debe ser la misma para cada caso? Si su tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa de rentabilidad mínima aceptable) fuera de 35% anual, ¿cuál modalidad de pago le conviene más? Si usted mantiene el bono durante los primeros cuatro pagos y decide venderlo inmediatamente después de recibir el cuarto pago de intereses (bajo la modalidad de TA), ¿cuál sería el mínimo valor por el cual lo vendería, si su tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa mínima aceptable) fuera de 35% anual? Sugerencia: lea el texto del ejercicio 12 de esta misma sección para informarse, si lo necesita, sobre lo que es un bono. A qué tasa de equivalencia (tasa de descuento o tasa mínima aceptable) es indiferente una liquidación TA y una liquidación TV. Sugerencia: para este cálculo utilice la opción Buscar Objetivo de Excel. Al estar ligada la liquidación a la DTF, ¿qué sucede con su análisis, en la realidad, al suponer que la DTF es siempre la misma (27,4% )? ¿Qué tipo de análisis se le ocurre a usted que podría hacer en esta situación? DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 105 54. Siguiendo las instrucciones que se encuentran en el texto, construya la tabla de amortización de un plan de pago de $1’000.000 a 180 meses, 3% de interés mensual y con aumentos anuales de 14% . Cada año la cuota sube un 14% , pero durante el año su valor no cambia; esto da lugar a cuotas escalonadas. 55. Usted ha leído en las páginas económicas de un periódico local que se han realizado negocios de colocación de dinero a ciertos plazos y que al convertir las tasas de interés resultantes a tasas de interés efectivo anual encuentra lo siguiente: 15 30 60 90 180 360 720 días días días días días días días 28,09% 32,38% 33,68% 33,74% 32,95% 32,30% 38,98% Basándose en esta información, ¿cómo proyectaría las tasas de interés futuras?, explique. ¿Cuáles serían esas tasas?