fisica resumida 11.

Unidad 1
Movimiento armónico simple M.a.s
1. Resortes: un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella
sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es
sometido. Son fabricados con materiales muy diversos, tales como acero al
carbono, acero inoxidable, acero al cromo silicio, cromo-vanadio, bronces, plástico,
entre otros, que presentan propiedades elásticas y con una gran diversidad de formas
y dimensiones. Se les emplean en una gran cantidad de aplicaciones, desde cables
de conexión hasta disquetes, productos de uso cotidiano, herramientas especiales o
suspensiones de vehículos. Su propósito, con frecuencia, se adapta a las situaciones
en las que se requiere aplicar una fuerza y que esta sea retornada en forma de
energía. Siempre están diseñados para ofrecer resistencia o amortiguar las
solicitaciones externas.
A. Resortes en serie:
Por la ley de Hooke
Fe
F
 x=- e
-k
k
F
F
F=-k equiv x t  x t =
=-k equiv k equiv
x t =x 1 +x 2 +x 3
Fe =-kx  x=
F  F   F 
+ - + - 
k equiv k 1  k 2   k 3 
F
F F F
=- - k equiv k 1 k 2 k 3
F
F F F
= + +
k equiv k 1 k 2 k 3
1
1 1 1
= + +
k equiv k 1 k 2 k 3
-
1
kequiv
kequiv
F

=-
1

1
k1 k2
kk
 1 2
k1  k2
Para el caso de dos resortes seria:
B. Resortes en paralelo
Fe =-kx
F=-k equiv x
Ft =F1 +F2 +F3
-k equiv x t =-k 1 x 1 +  -k 2 x 2  +  -k 3 x 3 
k equiv x t =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k 3 x 3
x t =x 1 =x 2 =x 3
k equiv x=k 1 x+k 2 x+k 3 x
k equiv =k 1 +k 2 +k 3
kequiv  k1  k2
Para dos resortes:
Problema 1
Dos resortes de constantes de elasticidad k1=2N/mm y k2=5N/mm, tienen la misma
longitud sin carga. Son colgados del mismo soporte en la parte superior y son ligados
solidarios en la parte inferior. Si se coloca una pesa de 14N, determinar:
Constante equivalente del sistema
Estiramiento de cada resorte y del resorte como un sistema
Fuerza generada en cada resorte y en el resorte como un sistema
kequiv  k1  k2
kequiv  2N / m  5N / m
kequiv  7N / m
Por la ley de Hooke
Fequiv  K equiv x
N
14N  7 .x
m
14m
x
7
x  2m
F 1  k1 x 1
F 1  k1 x
N
F 1  2 .2m
m
F 1  4N
F 2  k2 x 2
F 2  k2 x
N
F 2  5 .2m
m
F 2  10N
Ft  F 1  F 2 14N
Problema 2
Se tienen tres resortes de constates 1/2N/m, 1/3N/m, 1/4N/m, respectivamente, cual
arreglo permite obtener una constante de resorte de 5/26N/m y 9/20N/m
k  k1  k2
k  k1  k2
1
1
2
3
5
k  N /m
6
1
1 1
 
k  N /m  N /m
kequiv
k
k3
k
kk3
k  k3
5
1
N / m. N / m
4
k 6
5
1
N /m  N /m
6
4
5
N / mN / m
24
k
26
N /m
24
5
k  N /m
26
1
k

1

1
k1 k2
kk
k 1 2
k1  k2
1
1
N / m. N / m
3
k 2
1
1
N /m  N /m
2
3
1
N / mN / m
6
k
5
N /m
6
1
5
k  N /m
kequiv  k  k3
1
1
5
4
45

N /m
20
9

N /m
20
kequiv  N / m  N / m
kequiv
kequiv
2. Sistema masa resorte: Considere una masa de densidad uniforme unida al extremo de
un resorte. El otro extremo del resorte debe quedar fijo, por ejemplo a una pared (ver
figura). Mientras no exista ninguna fuerza neta y el sistema esté en reposo, la masa
permanecerá en un punto denominado origen o posición de equilibrio P.E.
Ahora imagine que mediante una fuerza externa, la masa es desplazada desde el
origen hasta una distancia x, el resorte reacciona a ello ejerciendo una fuerza en contra
de la elongación en x, es decir, la fuerza que aparece en el resorte a consecuencia de la
elongación inicial está dirigida en sentido opuesto al de dicha elongación.
Independientemente del sentido del desplazamiento x, la fuerza que trata de restaurar la
posición de la masa siempre estará dirigida hacia el origen, esta fuerza es una
consecuencia de la 3ra. Ley de Newton de acción y reacción.
Figura . Sistema masa-resorte, el resorte cumple con la ley de Hooke.
La fuerza de reacción queda totalmente descrita por la Ley de Hooke aplicada al resorte:
F = - kx
Donde k define la constante de restauración del resorte. El signo negativo es debido a
que la fuerza de restauración siempre va en sentido contrario al sentido de estiramiento
del resorte. Al graficar la posición de la masa a la largo del eje X en el cual se desplaza en
función del tiempo vemos que ésta oscila de una forma armónica.
f=-Kx
f=ma
-Kx=ma
a=-w 2 x
-Kx=-w 2 x.m
w 2m=K
w2 
k
m
w2 
w=
Como
k
m
k
m
w
2
T
k
m
2
k

T
m
T
m

2
k
m
T  2
k
w
Como la frecuencia es la inversa del periodo entonces
f 
1
2
k
m
Problema 1
Un resorte helicoidal horizontal, se estira 0,076m con respecto a su posición de equilibrio
cuando actúa sobre él una fuerza de 3,34N.
Se toma un cuerpo de 0,68kg, se fija al extremo del resorte y se tira 10cm a partir de su
posición de equilibrio.
Al soltar el cuerpo se ejecuta un M.a.s, determinar el periodo de oscilación
ley de Hooke
f  kx
f
k
x
3,34N
k
0,076m
N
k  43,79
m
m
T  2
k
0,68kg
T  2
N
43,79
m
T  2
0,68kg
kgm / seg 2
43,79
T  0,79seg
m
3. El péndulo simple: También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo
inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo,
con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano
vertical fijo.
Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha
posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.
FT =-mgsen =maT
-gsen =aT
aT  w 2 x
para  muy pequeño sen  
x
sen 
L
x
-g =-w 2 x
L
1
g =w 2
L
w2 
g
L
w2 
g
L
g
L
2
w 
T
g
2

T
L
T
L

2
g
L
T  2
g
w 
Leyes del péndulo

El periodo de un péndulo no depende su amplitud angular
L
T1
 1
T2
L2

g2
g1
T1

T2

Problema 1
Calcular el periodo de un pendulo simple de longitud 40m
T  2
L
g
T  2
40m
10m / seg 2
T  2 4seg 2
T  4 seg
Problema 2
Un reloj de péndulo” bate el segundo”. Si se duplica su longitud, en cuantos segundos se
adelantará o atrasará al término de un minuto.
T 1  2seg
L1  a
L2  2a
L
T1
 1
T2
L2
2
a

T2
2a
T 2  2 2seg
atraso
T 2 T 1  2 2seg  2seg  2  2  1 seg
Regla de tres
2seg  2  2  1 seg
60seg  x
x
2  2  1 seg .60seg
2seg
x  60  2  1 seg
x  60  0,4142  seg
x  24,852seg
Problema 3
Un reloj de péndulo hecho en la tierra es llevado a un planeta x donde la gravedad es 4
veces mayor que la de la tierra .Después de una hora en la tierra el reloj en el planeta x
marcará:
T 1  Periodo en la tierra
T 2  Periodo en el planeta x
4g
T1

T2
g
T1 2

T2 1
T
T2  1
2
Se adelantó a 2 horas.
4. Estado: en la mecánica clásica el estado del movimiento de una partícula queda
determinado por la posición y la velocidad
5. Movimiento periódico: un sistema se encuentra en movimiento periódico cuando su
estado se repite en intervalos de tiempo regulares.
6. Movimiento oscilatorio: una partícula de masa m se dice que se encuentra en un
movimiento oscilatorio, si se describe como un movimiento periódico respecto a un
punto o posición de equilibrio estable.
7. Definición Movimiento armónico simple M.a.s: es la proyección sobre una recta del
movimiento de una partícula que describe un movimiento circular uniforme
8. Elementos del M.a.s
 Periodo (T): Es el tiempo necesario para realizar una oscilación completa, es decir el
tiempo que emplea en ir de la posición de equilibrio y regresar a ella.
 Frecuencia (f): es el número de oscilaciones (vuelta completa) por la unidad de
tiempo.
F=
≠𝑑𝑒𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑡
 Elongación(x): es la deformación que sufre el resorte en el M.a.s.
 Amplitud(A): es la máxima elongación en el M.a.s.
A=Xmáx
Ecuaciones del M.a.s.
A. Posición
x
A
Acos(wt+ )=x
x=Acos(wt+ )
cos(wt+ )=
Y dependiendo de la posición que se tome también puede afirmarse que
x=Asen(wt+ )
Donde:
A=amplitud
𝜃 = 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
W= frecuencia cíclica
F= frecuencia de oscilación
T= periodo de oscilación.
B. Velocidad:
Ahora como
    90 por ser la velocidad un vector tangente a la circunferencia
entonces:
  90  
Además en el triángulo
    90
  90  
90    90  
  
 
 
Quedando la gráfica así
Calculemos
sen 
v x
v
vsen  v x
v x  vsen
pero v  w .r
r R  A
v  w .A
v x   Awsen
si   wt  
v x   Awsen(wt   )
C. Aceleración
-ax
ac
ac cos  -ax
ax =-ac cos
pero ac =w 2 .r
r=R=A
ac =w 2 .A
ax =-Aw 2 cos
si =wt+
ax =-Aw 2 cos(wt+ )
cos =
Problema1
Si la ecuación de movimiento de un oscilador armónico es

x=0,4cos( t+ )m , determine su amplitud de oscilación, frecuencia cíclica, fase inicial,
3
periodo, frecuencia de oscilación y su posición para el instante 2/3seg.
x=Acos(wt+ )m

x=0,4cos( t+ )m
3
A=0,4m=40cm
Rad
w=
seg

T 
f 

3
2 Rad
w

2 Rad
 2seg
Rad

seg
1
1
 Hz
T 2
Rad 2

. seg+ Rad)m
seg 3
3
2 
x=0,4cos( Rad . + Rad)m
x=0,4cos(
3 3
x=0,4cos( Rad )m
x=0,4cos(180°)m
x  0,4.  1m  0,4m
Problema 2
Sea la ecuación de movimiento de un oscilador armónico x=10cos(
 
+ t)cm , determine a
4 3
partir del instante t=0 el menor tiempo que emplea el oscilador para pasar por la posición
x=-5cm
x=10cos(


t+ )cm
3 4
-5cm=10cos(


t+ )cm
3 4
5
 
 cos( t+ )
10
3 4
1
 
  cos( t+ )
2
3 4


t+
3

t+
3


4

4
 120
2
t2

3
 
3 4

8  3
t
3
12

5
t
3
12
1
5.1
t
1
4
5
t
4
t  1,25seg
3
Problema 3
Una partícula desarrolla un M.a.s con una frecuencia de 5Hz y una amplitud de 10cm. Si
cm
v  50 2
seg
cuando t=0 su velocidad es de
Determine su velocidad en función del tiempo pero en cm/seg.
f  5Hz
w  2 Radf
w  2 Rad .5Hz
w  2 Rad .5seg 1
w  10 Rad / seg
A  10cm
v x   Awsen(wt   )
v x  10.10 sen(10 t   )
v x  100 sen(10 t   )
para t  0 v  50 2
cm
seg
 50 2  100 sen(10 .0   )
50 2  100 sen
50 2
 sen
100
2

 sen
2
2
sen  
2
  225
  225.
 rad
5 rad

4
180
v x  100 sen(10t 
5
)
4
Problema 4
La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m=0,5kg sujeta a un resorte es

f t   20 cos(5t  )N
7
Calcular la amplitud en m del movimiento armónico simple horizontal

f t   20 cos(5t  )
7

ma  20 cos(5t  )
7
0,5a  20 cos(5t 

a  40 cos(5t  )

7
)
7
a   Aw cos(wt   )
 Aw 2  40
w 5
A.52  40
40
A
25
A  1,6m
2
D. Relación entre la velocidad y la posición
x
=cos(wt+ ) 
A
2
 x  =cos 2 (wt+ )
x=Acos(wt+ )

 
 A
2
vx
vx 

2
v x   Awsen(wt   ) 
 sen (wt   )  
  sen (wt   )
 Aw
  Aw 
2
2
 x    v x   cos 2 (wt+ )+sen 2 (wt   )
  

 A    Aw 
x2
v 2x

1
A2 A 2w 2
v 2x
x2
 1 2
A 2w 2
A
2
2
v x
A -x 2

A 2w 2
A2
v 2 x A2 -x 2

w2
1
2
2
v x  w  A2 -x 2 
v 2 x   w 2  A2 -x 2 
A
v x  w
2
-x 2 
v x  w  A2 -x 2 
x  A  v x min  0
x  0  v x max  wA
Problema
Una partícula efectúa un M.a.s con una amplitud de 3cm. En qué posición desde el
punto medio del movimiento, su rapidez es igual a la mitad de su rapidez máxima?
A  3cm
v
v x  x max  w
2
w
 A -x  
2
2
2
2
wA
A
 A -x   2
2
 A -x  
2
2
wA
2
3
2
3
2
3

2
-x 2  
 9-x 
2
9-x 2 
9
4
9
9
4
9
x2  9 
4
27
x2 
4
3 3
x
cm
2
-x 2 
E. Relación entre la posición y la aceleración.
x=Acos(wt+ )
ax =-Aw 2 cos(wt+ )
ax =-w 2 Acos(wt+ )
ax =-w 2 x
x  0  axmin =0
x  A  axmax =w 2 A
Problema
Una partícula que realiza un M.a.s tiene en el instante inicial un máximo
desplazamiento de 0,2m desde su posición de equilibrio. Si la rapidez máxima es de
2πm/seg.se pregunta:
Cuál es la frecuencia cíclica y el periodo?
En qué sentido se está moviendo a los 1/20seg?:
que aceleración (m/seg2) tiene la partícula en este instante?.
A  0,2m
v x max  2 m / seg  w .A
v x max  2  w .0,2
2  w .0,2
rad
w  10
seg
2
T 
w
2
T 
10
1
5
T  seg
El móvil se encuentra en la posición de equilibrio cuando x=0
Sentido:-x
Aceleración: a=0
a=w 2 x
a=w 2 .0
a=0
Conservación de la energía en un M.a.s
Em  E c +E p  cte .
1
1
1
mv 2  kx 2  kA 2
2
2
2
Problema
Una partícula de masa m=200g oscila sobre una superficie horizontal lisa unida a un
resorte con una amplitud de 80cm cuando su estiramiento es 62,1cm en la dirección
+x, su velocidad es de 5m/seg, cuál es el valor de la constante del resorte?
m=200g=0,2kg
A=80cm=0,8m
x=62,1cm==o,621m
v=5m/seg
1
1
1
mv 2  kx 2  kA 2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
.0,2.  5   k .  0,621   k .  0,8 
2
2
2
2
2
2
0,2.  5   k .  0,621   k .  0,8 
5  k .  0,39   k .  0,64 
5  0,25k
k  20N / m
Taller de práctica para evaluación de física
1. Se tienen tres resortes de constates 1N/m, 3N/m, 5N/m, respectivamente,
calcular la constante equivalente del resort en cada caso
s
2. Se tienen tres resortes de constates 2N/m, 5N/m, 7N/m, respectivamente,
cual arreglo permite obtener una constante de resorte de a)14N/m
,b)70/59 N/m, c)7/2 N/m d) 59/7N/m
3. Calcular el periodo de un pendulo simple de longitud 3m
4. Un reloj de péndulo” bate el segundo”. Si se triplica su longitud, en
cuantos segundos se adelantará o atrasará al término de un minuto.
5. Un reloj de péndulo hecho en la tierra es llevado a un planeta x donde la
gravedad es 9veces mayor que la de la tierra .Después de una hora en la
tierra el reloj en el planeta x marcará:
6. Si la ecuación de movimiento de un oscilador armónico es
x=5cos( t+

6
)m , determine su amplitud de oscilación, frecuencia
cíclica, fase inicial, periodo, frecuencia de oscilación y su posición para el
instante 2/3seg.
7. Sea la ecuación de movimiento de un oscilador armónico
 
x=20cos( + t)cm , determine a partir del instante t=0 el menor tiempo
12 4
que emplea el oscilador para pasar por la posición x=10cm
8. Una partícula desarrolla un M.a.s con una frecuencia de 5Hz y una
amplitud de 8cm. Si cuando t=0 su velocidad es de
v  40 3
cm
seg
Determine su velocidad en función del tiempo pero en cm/seg.
9. La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m=2,5kg sujeta a un
resorte es

f t   40 cos(8t  )N
5
Calcular la amplitud en m del movimiento armónico simple horizontal
10. Una partícula efectúa un M.a.s con una amplitud de 5cm. En qué
posición desde el punto medio del movimiento, su rapidez es igual a la
mitad de su rapidez máxima?
11. Se tienen tres resortes de constates 2N/m, 4N/m, 6N/m,
respectivamente, cual arreglo permite obtener una constante de resorte
de a)5/3N/m ,b)11/2 N/m
Un reloj de péndulo hecho en la tierra es llevado a un planeta x donde la
gravedad es 25 veces mayor que la de la tierra. si el periodo de este
péndulo en la tierra es de una hora. Después de una hora en la tierra el
reloj en el planeta x marcará.
13. Si la ecuación de movimiento de un oscilador armónico es
12.
x=20cos( t+

4
)m , determine su amplitud de oscilación, frecuencia
cíclica, fase inicial, periodo, frecuencia de oscilación y su posición para el
instante 1/2seg.
14. Una partícula desarrolla un M.a.s con una frecuencia de 5Hz y una
amplitud de 16cm. Si cuando t=0 su velocidad es de
v  80 2
cm
seg
Determine su velocidad en función del tiempo pero en cm/seg.
15. La fuerza que actúa sobre una partícula de masa m=3kg sujeta a un
resorte es

f t   75cos(10t  )N
6
Calcular la amplitud en m del movimiento armónico simple horizontal
FÓRMULAS
1. kequiv  k1  k2 Resortes en paralelo
2. kequiv 
k1k2
Resortes en serie
k1  k2
3. T  2
L
periodo de un péndulo
g
4.
L
T1
 1
T2
L2
g2
T1
5.

T2
g1
6. x=Acos(wt+ )
7. v x   Awsen(wt   )
8. ax =-Aw2cos(wt+ )
9. v x  w  A2 -x 2 
x  A  v x min  0
x  0  v x max  wA
10. ax =-w 2 x
x  0  axmin =0
x  A  axmax =w 2 A
11.
1
1
1
mv 2  kx 2  kA 2
2
2
2
Respuestas
1.a)9N/m b) 15/23N/m
2.
3.
4.
5.
6.
T 
60


5
30seg

3  1 seg
3 horas
c)20/9N/m
d)23/4 N/m
A=5m
Rad
w=
seg

Rad / seg
6
T  2seg

1
2
5 3
x 
m
2
f  Hz
7. 0,25seg
8. v x  80 sen(10t 
4
)
3
9.A=0.25m
10. x 
5 3
cm
2
Unidad 2
Movimiento ondulatorio
1. Introducción En nuestra vida estamos en contacto permanente con gran cantidad de
fenómenos ondulatorios. El movimiento de las olas en la superficie del mar, fenómenos
de propagación del sonido, las ondas de radio, televisión, y otros tantos que son
comunes a nuestra vida cotidiana, constituyen fenómenos ondulatorios. También
veremos en mecánica cuántica que los "elementos constituyentes" de la materia,
pueden interpretarse como si fuesen ondas o partículas, dependiendo del fenómeno
que se desee explicar o interpretar.
2. Onda: " Se denomina onda a la transmisión de una perturbación de un punto a otro
del espacio sin que exista transporte neto de materia entre ambos, transportando
solamente energía. "las ondas se propagan trasmitiendo energía más no materia.
La física distingue entre dos tipos de ondas fundamentales, las ondas materiales o
mecánicas que requieren un medio material para propagarse, y las ondas
electromagnéticas que no requieren un medio material.
A. Ondas mecánicas: son perturbaciones físicas que se deforman elásticamente y
necesitan de un medio de propagación como por ejemplo las olas del mar, el
sonido que sale de un equipo, etc.
B. Ondas electromagnéticas (O.E.M): se trasladan por medio de campos eléctricos y
magnéticos. No necesitan de un medio para propagarse, es decir se propagan en
el vacío.
3. Elementos de una onda.
 Ciclo: oscilación completa
 Periodo: es el tiempo de una oscilación completa. Se representa por la letra " T " y
en el S.I. se mide en segundos.
T 
t
 de oscilaciones
 Frecuencia: número de oscilaciones por cada unidad de tiempo. Se representa
por la letra " f " y en el S.I. se mide en Hertz (Hz)
f=




 de oscilaciones
t
f=
1
t
Amplitud (A): elongación o deformación máxima que presenta una onda.
Cresta: punto más alto.
Valle: punto más bajo.
Longitud de onda: distancia entre dos crestas o valles
4. Clasificación de las ondas mecánicas:
De acuerdo al movimiento oscilatorio
a. Longitudinales: si el movimiento oscilatorio y la dirección de propagación son
paralelas, como por ejemplo en un resorte, en el sonido.
b. Transversales: cuando el movimiento oscilatorio es perpendicular a la
dirección de propagación.
5. Velocidad de una onda en función del periodo: la velocidad de una onda es la
medida de la propagación de dicha onda. La velocidad es constante, es decir
describe un M.R.U.
V=
x
t
x=  Longitud de onda
t=T=Periodo
V=

T
V=

T
unidad
(m / seg )
Problema
La figura muestra una onda producida en la superficie del agua de una piscina. La
velocidad de propagación es 1m/seg. Halle el periodo de la onda en seg.
V=

T
  20cm.
1m
100cm
  0,2m

V=
T

0,2m
T = 
V 1m / seg
T  0,2seg
6. Propagación de ondas en medios diferentes: En medios diferentes la velocidad de
propagación será:
Vsolidos > Vliquidos > Vgases
En los solidos
V=
E

  densidad
E=módulo de Young
En los líquidos
V=
B

  densidad
B=módulo de compresiblidad
En los gases
V=
V=
kp

kRT
M
M  masa molecular
  densidad
p=Presión
T=temperatura absoluta en kevin
R=constante universal de los gases ideales
C
K= P  Cons tante de equilibrio
CV
7. Pulso de onda y trenes de onda
Si tenemos una cuerda sometida a una tensión (fuerza que tiende a mantenerla
estirada), y le damos en uno de sus extremos un movimiento ascendente y
descendente (sacudida), vemos como se produce una perturbación que la recorre
en un cierto tiempo. Esta perturbación que recorre la cuerda de longitud finita se
llama pulso de onda. Si en lugar de dar una sola sacudida, lo hacemos en intervalos
iguales de tiempo, por la cuerda encontraremos viajando una serie de pulsos y en ese
caso habremos obtenido un tren de ondas periódicas
8. Interferencia de ondas:
Principio de superposición de ondas: El Principio de superposición dice que cuando dos
o más ondas se superponen, el desplazamiento resultante en cualquier punto y en
cualquier instante puede encontrarse sumando los desplazamientos instantáneos que
producirían en ese punto las ondas individuales si cada una estuviese sola. Esto solo
ocurre si las ondas están en fase
Cuando dos pulsos iguales se cruzan, existirá un instante donde la interferencia será lo
que se llama perfectamente constructiva y el aspecto que toma, será el de duplicar
la amplitud del pulso en ese cruce.
Si las ondas están desfasadas, entonces Cuando dos pulsos iguales viajan por un
mismo medio en sentidos opuestos, existe un instante en que la interferencia
es perfectamente destructiva es decir ambos pulsos al sumarse hacen que la cuerda
mantenga su posición de equilibrio.
9. Ondas estacionarias
Onda estacionaria en una cuerda. Los puntos rojos representan los nodos de la onda.
Las ondas estacionarias son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda
llamados nodos, permanecen inmóviles.
Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza
con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a
través de un medio.
Se producen cuando interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma frecuencia,
amplitud pero con diferente sentido, a lo largo de una línea con una diferencia de fase
de media longitud de onda.
Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire,
membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición,
la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Tiene
puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que
otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al
doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima.
El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La
distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de
onda.
Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los
distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una
cuerda, tubo, membrana,... determinados, sólo hay ciertas frecuencias a las que se
producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se
denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble,
triple,...).
10. Ecuación de una onda estacionaria: de acuerdo al movimiento armónico simple M.a.s
x=Acos  wt+ 
y=Asen  wt+ 
Para el caso de la onda armónica tenemos:
y=Asen  wt+ 
   hacia la izquierda
y=Asen  w(t  t)+   
   hacia la derecha
y=Asen  w(t  t)+ 
2
y=Asen 
(t  t)+ 
 T

2
x
y=Asen 
(t  )+ 
v
 T

t
y=Asen  2 (
T

t
y=Asen  2 (
T

t
y=Asen  2 (
T

Forma condensada
x
)+ 
T .v

x
 )+ 


x  
 +
)
 2 

 =0
t x
y=Asen  2 (  ) 
T  

O también
t
x
y=Asen  (2  2 ) 
T
 

2
2
y=Asen(
t
x)

T
Haciendo
2
w=
T
k
2
 número de onda

obtenemos :
y=Asen(wt  kx )
Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada
sobre un mismo eje. ( x o y)

Cuando llega a una cresta consecutiva, habiendo recorrido un valle o viceversa.
Se pueden obtener por la suma de dos ondas atendiendo a la fórmula:
y d(x,t) =Asen(wt+kx )
yi(x,t) =Asen(wt-kx )
yR =y d +yi =Asen(wt+kx )+Asen(wt-kx )
yR =y d +yi =A sen(wt+kx )+sen(wt-kx )
wt+kx+wt-kx
wt+kx-wt+kx 

yR =y d +yi =A  2sen(
)cos(
)
2
2


2wt
2kx 

yR =y d +yi =A  2sen(
)cos(
)
2
2 

yR =y d +yi =A  2sen(wt)cos(kx)
yR =2Asen(wt)cos(kx)
De forma similar
yR =yd -yi =A2sen(kx)cos(wt)
Siendo
y
Vientres y nodos

Se produce un vientre cuando
siendo
,
para
, entonces


para
Se produce un nodo cuando
siendo
para
, entonces

Siendo
,
para
la longitud de la onda.
Ondas estacionarias en una cuerda
Modos normales de vibración en una cuerda.
La formación de ondas estacionarias en una cuerda se debe a la suma (combinación
lineal) de infinitos modos de vibración, llamados modos normales, los cuales tienen una
frecuencia de vibración dada por la siguiente expresión (para un modo n):
Donde es la velocidad de propagación, normalmente dada por
cuerda de densidad y tensión .
para una
La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de
longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación de los nodos (vista
anteriormente), que representa la distancia máxima posible entre dos nodos de una
longitud dada. Ésta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de
este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos. La siguiente
posibilidad en la ecuación, el caso n = 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo
intermedio.
despejamos
:
Armónicos
 n
2L
 f n  nf 0
n
Primer armónico
2L
 1
 f 1  1.f 0  f 1  f 0
1
Segundo armónico
2L
 2
 f 2  2.f 0  f 1  2f 0
2
Tercer armónico
2L
 3
 f 3  3.f 0  f 1  3f 0
3
En general
n armónico
2L
 n
 f n  n.f 0
n
Problema1
En el grafico se muestra una onda armónica que se propaga en un medio homogéneo
con una rapidez de 10m/seg. Determinar la ecuación de la onda armónica
t x
y=Asen  2 (  ) 
T  

A=10m   16m v  10m / seg
T 

v
16m
10m / seg
T  1,6seg
T 
t
x 

y=10sen  2 (
 )
1,6 16 

Problema 2
Determinar la ecuación de una onda sinusoidal de amplitud 0,1m, longitud de onda 2m y
frecuencia 5Hz, que se propaga en la dirección +x sabiendo que to =0, xo=0 (x,y en metros
y t en segundos)
t x
y=Asen  2 (  ) 
T  

A=0,1m   2m f=5Hz
1
T 
f
T 
1
5Hz
T  0,2seg
t
x 

y=0,1sen  2 (
 )
0,2 2 

Problema 3
La ecuación de onda estacionaria en una cuerda está dada por la expresión:
y x.t  =3sen 2 x  cos  t  cm
Donde x esta en cm y t en segundos. Determinar a qué armónico corresponde dicha
onda si la frecuencia del modo fundamental es 1/4Hz.
1
f 0 = Hz
4
y  x.t  =3sen  2 x  cos  t  cm
y  x.t  =2Asen kx  cos  wt  cm
w= =2 f
 =2 f
1=2f
1
f= Hz
2
f n =nf 0
1
1
Hz=n. Hz
2
4
n=2
11. Rapidez de una onda transversal en una cuerda; la rapidez de propagación de una
onda mecánica transversal depende de la fuerza y de la densidad lineal.
m
L
m  masa de la cuerda
L  longitud de la cuerda
=
v
Problema 1
F

v
F .L
m
Se mantiene tensa una cuerda flexible de 30m de longitud y 10kg de masa entre dos
postes con una tensión de 2700N. Si se golpea transversalmente la cuerda en uno de
sus extremos, hallar el tiempo en segundos que tardara la onda transversal producida
en alcanzar el otro extremo.
m
L
m  masa de la cuerda  10kg
L  longitud de la cuerda  30m
=
v
F .L
2700N .30m

m
10kg
v
8100kgm / seg 2m
kg
v  90m / seg
M.R.U
t=d/v
t=30m/90m/seg
t=1/3seg
Problema 2
Una cuerda de 15m de longitud se fija a un poste por uno de sus extremos y en el otro
extremo se encuentra un alumno. La tensión en la cuerda es de 5N. Si el alumno envía
un pulso el cual se refleja al llegar al poste y vuelve a su punto de origen, empleando 6
segundos en todo el viaje, calcule la masa de la cuerda.
m
L
m  masa de la cuerda  ?
L  longitud de la cuerda  15m
d 15m
v 
 5m / seg
t 3seg
=
v
5
25 
F .L
5.15

m
m
75
m
75
m
m  3kg
Unidad n°3
Efecto doppler
Efecto doppler: Es un hecho conocido que cuando un vehículo, como una ambulancia,
emite una señal de una determinada frecuencia y se encuentra en movimiento, para el
conductor de la ambulancia, la frecuencia de la señal emitida permanece constante,
mientras que para un observador exterior el sonido posee una frecuencia variable, siendo
más agudo cuando la ambulancia se acerca, y más grave cuando se aleja.
Esto es una manifestación del efecto Doppler, (bautizado así en honor a Christian
Doppler). Este efecto se encuentra también en el estudio de la radiación procedente de
las galaxias, en los radares de carretera o aeropuertos o en los ultrasonidos de los
murciélagos o delfines.
El efecto Doppler es el fenómeno que nos indica el cambio de frecuencia con la
velocidad relativa. Dónde:
Fuente =emite o produce el sonido
Receptor u observador=recibe o escucha el sonido.
Toda observación positiva se hará del observador a la fuente. En este estudio se
analizaran 4 casos.
1. Primer caso: si el observador y la fuente se encuentran en reposo
En este caso no habría distorsión de la frecuencia.
f f =f o
f o =frecuencia percibida por el observador
f f =frecuencia de la fuente
Nota: el número de oscilaciones que genera la fuente es el mismo que percibe el
observador en un mismo tiempo.
Problema 1
Un gorrión se encuentra parado en una rama está cantando cerca de un gato echado
en la cama de su dueño. Si el gorrión canta con una frecuencia de 60 Hz. Calcular el
número de oscilaciones que percibe el gato en 5 segundos.
fuente=Gorrión
Receptor u observador=Gato
f f =f o =60Hz
 de oscilaciones n
fo=
=
tiempo empleado t
n
6oHz=
5seg
1
n
6o
=
seg 5seg
300=n
n=300
2. Segundo caso: fuente en reposo y observador moviéndose.
Imaginemos que un observador O se mueve hacia una fuente S que se encuentra en
reposo. El medio es el aire y se encuentra en reposo. El observador O comienza a
desplazarse hacia la fuente con una velocidad . La fuente de sonido emite un sonido
de velocidad V, frecuencia f y longitud de onda . Por lo tanto, la velocidad de las ondas
respecto del observador no será la v del aire, sino la siguiente:
. Sin embargo, no debemos olvidar que como el medio no cambia, la
longitud de onda será la misma, por lo tanto si:
o
=
v
f
Pero como mencionamos en la primera explicación de este efecto, el observador al
acercarse a la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es
mayor. A esta frecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia
aparente y la simbolizaremos con f'.
El observador escuchará un sonido de mayor frecuencia debido a que
Analicemos el caso contrario:
Cuando el observador se aleje de la fuente, la velocidad v' será
y de manera
análoga podemos deducir que
. En este caso la frecuencia aparente
percibida por el observador será menor que la frecuencia real emitida por la fuente, lo
que genera que el observador perciba un sonido de menor altura o más grave.
De estas dos situaciones concluimos que cuando un observador se mueve con respecto
a una fuente en reposo, la frecuencia aparente percibida por el observador es:
Si el observador posee una velocidad vo entonces su frecuencia será:
f , =f o
f  ff
 V 
f o= 1  0 ff
 Vs 
   : si el observador se acerca a la fuente

   : si el observador sea eleja de la fuente
V s  velocidad del sonido
Problema 1
Un automóvil se aproxima con una velocidad de 30m/seg hacia la sirena de un local, la
cual emite un ruido con una frecuencia de 500Hz. Hallar la frecuencia que
aparentemente oye el conductor (suponer la velocidad del sonido como 340m/seg).
 30m/seg 
f o =  1+
 500H
 340m/seg 
3
f o =  1+  500H
 34 
37
f o =   500Hz
 34 
f o =544Hz
3. Tercer caso. Considerando el receptor (observador) en reposo y la fuente con una
velocidad V, entonces la frecuencia ff será:
Para este caso se analiza como el caso anterior obteniendo
 V 
ff = 1± f  f0
 Vs 
 +  : si la fuente se acerca al observador
 -  : si la fuente se aleja del observador

Vs = velocidad del sonido
Despejando la frecuencia percibida por el observador obtenemos
f , =f o
f  ff
 Vs

f o=
f
 V V  f
f 
 s
   : si la fuente se aeleja del observador o receptor

   : si la fuente se acerca al observador o receptor
V s  velocidad del sonido
Problema 1
Un diapasón emite sonidos de 400Hz de frecuencia. Si se aleja del observador y se acerca
a una pared con una velocidad de 2m/seg, asumir la VS=335m/seg. Calcular la
frecuencia aparente de:
a. Las ondas sonoras que llegan directamente al observador
b. Las ondas sonoras que llegan al observador luego de reflejarse en la pared.
Cuando la fuente se acerca directamente al observador
f , =f o
f  f f  400Hz
 Vs

f o=
f
   : la fuente se aeleja del observador o receptor
 V V  f
s
f 

V s  velocidad del sonido

f , =f o
f  f f  400Hz

335m / seg
f o=
 335m / seg  2m / seg
 335m / seg 
f o=
 400hz
337
m
/
seg



 400hz

f o =397Hz
Luego que las ondas se reflejan en la pared.
 Vs 
f opared = 
f
 V ±V  f
 s f 
 -  : la fuente se acerca al observador o receptor pared

 Vs 
f opared = 
f
 V -V 
 s f 


335m/seg
f opared = 
 400Hz
335m/seg-2m/seg


 335m/seg 
f opared = 
 400Hz
333m/seg


f opared =402Hz
4.Cuarto caso: Si ambos presentan movimiento. Fuente y observador se mueven.
Haciendo un análisis similar podemos concluir que:
f , =f o
f  ff
 V V o
f o= s
 V V
f
 s

 f f

Recordemos que :
=
v
f
Como la longitud de onda es igual tanto para el observador como para la fuente
vR0
v
y  = RF
f0
fF
vR0 vRF
=
f 0 fF
Pero
vR0 =v s±v 0
vRF =v s±vF
v s±v 0 v s±vF
=
f0
fF
f0
f
= F
v 0 ±v s vF ±v s
 v ±v 
f 0 =  s 0  fF
 v s±vF 
=
Esta fórmula puede considerarse general para todos los casos
Observemos:
Primer caso
 V V o
f o= s
 V V
f
 s
V o V f  0

 f f

 V 0 
f o= s
ff
 Vs  0 
V 
f o= s ff
 Vs 
f o =f f
Segundo caso
 V ±V
fo= s o
 V ±V
 s f
Vf =0

 f f

Vo  0
 V ±V 
fo= s o ff
 Vs 
V
V 
fo= s ± o ff
 Vs Vs 

V
f o =  1± o
Vs


ff

Tercer caso
 V ±V
fo= s o
 V ±V
 s f
Vf  0

 f f

Vo  0
 V ±0 
fo= s
f
 V ±V  f
 s f 
 Vs 
fo=
f
 V ±V  f
s
f 

Problema 1
Una ambulancia viaja al este por una autopista a una rapidez de 33,5m/seg. Su sirena
emite un sonido a una frecuencia de 400 Hz? Cuál es la frecuencia escuchada por un
automovilista que viaja al este a 28,6m/seg
 V +V 
fo= s o ff
 V +V 
 s f 
 340m/seg+28,6m/seg 
fo=
 400Hz
340m/seg+33,5m/seg


 368,6m/seg 
fo=
 400Hz
373,5m/seg


f o =394,75Hz
 V -V 
fo= s o ff
 V -V 
 s f 
 340m/seg-28,6m/seg 
fo=
 400Hz
340m/seg-33,5m/seg


 311,4m/seg 
fo=
 400Hz
306,5m/seg


f o =406,39Hz
Unidad n°4
Acústica
1. Definición es una rama de la física interdisciplinaria que estudia el sonido, infrasonido y
ultrasonido
2. Historia La acústica tiene su origen en la Antigua Grecia y Roma, entre los siglos VI a. C.
y I d. C. Comenzó con la música, que se venía practicando como arte desde hacía
miles de años, pero no había sido estudiada de forma científica hasta que Pitágoras se
interesó por la naturaleza de los intervalos musicales. Quería saber por qué algunos
intervalos sonaban más bellos que otros, y llegó a respuestas en forma de
proporciones numéricas. Aristóteles (384 a 322 a. C.) comprobó que el sonido consistía
en contracciones y expansiones del aire «cayendo sobre y golpeando el aire próximo»,
una buena forma de expresar la naturaleza del movimiento de las ondas. Alrededor
del año 20 a. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio escribió un tratado sobre las
propiedades acústicas de los teatros, incluyendo temas como la interferencia,
los ecos y la reverberación; esto supuso el comienzo de la acústica arquitectónica
Sobre tonos de una cuerda vibratoria. Pitágoras fue el primero en documentar el
estudio de este fenómeno.
La comprensión de la física de los procesos acústicos avanzó rápidamente durante y
después de la Revolución Científica. Galileo (1564-1642) y Mersenne (1588-1648)
descubrieron de forma independiente todas las leyes de la cuerda vibrante, terminando
así el trabajo que Pitágoras había comenzado 2000 años antes. Galileo escribió «Las
ondas son producidas por las vibraciones de un cuerpo sonoro, que se difunden por el
aire, llevando al tímpano del oído un estímulo que la mente interpreta como sonido»,
sentando así el comienzo de la acústica fisiológica y de la psicológica.
Entre 1630 y 1680 se realizaron mediciones experimentales de la velocidad del sonido en
el aire por una serie de investigadores, destacando de entre ellos Mersenne. Mientras
tanto,Newton (1642-1727) obtuvo la fórmula para la velocidad de onda en sólidos, uno
de los pilares de la física acústica (Principia, 1687).
De la Ilustración en adelante
El siglo XVIII vio grandes avances en acústica a manos de los grandes matemáticos de la
era, que aplicaron nuevas técnicas de cálculo a la elaboración de la teoría de la
propagación de las ondas. En el siglo XIX, los gigantes de la acústica eran Helmholtz en
Alemania, que consolidó la acústica fisiológica, y Lord Rayleigh en Inglaterra, que
combinó los conocimientos previos con abundantes aportaciones propias en su
monumental obra «La teoría del sonido». También durante ese siglo, Wheatstone, Ohm y
Henry desarrollaron la analogía entre electricidad y acústica.
Durante el siglo XX aparecieron muchas aplicaciones tecnológicas del conocimiento
científico previo. La primera fue el trabajo de Sabine en la acústica arquitectónica,
seguido de muchos otros. La acústica subacuática fue utilizada para detectar submarinos
en la Primera Guerra Mundial. La grabación sonora y el teléfono fueron importantes para
la transformación de la sociedad global. La medición y análisis del sonido alcanzaron
nuevos niveles de precisión y sofisticación a través del uso de la electrónica y la
informática. El uso de las frecuencias ultrasónicas permitió nuevos tipos de aplicaciones
en la medicina y la industria. También se inventaron nuevos tipos
de transductores (generadores y receptores de energía acústica).
3. Sonido: es una onda mecánica elástica longitudinal que se produce por la vibración
de un medio material. Este medio material se llama la fuente del sonido, es decir, es el
material por el cual se produce el sonido por medio de su vibración. El medio material
puede ser el aire, el agua, una cuerda… y es indispensable para la existencia de la
onda.
Ejemplos de ellas son las ondas sonoras producidas en las cuerdas de una guitarra, en
una campana o en un despertador.
Como en todas las ondas, el sonido presenta unas cualidades que las diferencian de los
demás tipos de ondas. Estas son la intensidad, la altura o tono y el timbre:
La intensidad
La intensidad de un sonido viene determinada por la amplitud del movimiento oscilatorio,
subjetivamente, la intensidad de un sonido corresponde a nuestra percepción del mismo
como más o menos fuerte. Cuando elevamos el volumen de la cadena de música o del
televisor, lo que hacemos es aumentar la intensidad del sonido y por equivalente
aumentamos la amplitud de la onda sonora. La intensidad en el SI se mide en decibeles
o Decibelios (dB) .
Mientras más se aumenta la intensidad de la onda, la amplitud será mayor.
El tono o altura
El tono de un sonido depende únicamente de su frecuencia, es decir, del número de
oscilaciones por segundo. La altura de un sonido corresponde a nuestra percepción
del mismo como más grave o más agudo. Las frecuencias que son altas se denominan
tono agudo y las frecuencias bajas son un tono grave. Esto puede comprobarse, por
ejemplo, comparando el sonido obtenido al acercar un trozo de cartulina a una sierra
de disco: cuando mayor sea la velocidad de rotación del disco más alto será el sonido
producido.
De acuerdo a la percepción humana oscila entre 20HZ hasta 20000Hz
Ultrasonidos f>20000Hz
Infrasonidos f<20Hz
Mientras más agudo es el sonido, más frecuencia existe en la onda
El timbre
El timbre es la cualidad del sonido que nos permite distinguir entre dos sonidos de la
misma intensidad y altura. Podemos así distinguir si una nota ha sido tocada por una
trompeta o un violín. Esto se debe a que todo sonido musical es un sonido complejo que
puede ser considerado como una superposición de sonidos simples.
4. Velocidad del sonido
El sonido se mueve a velocidad constante en un mismo medio, por lo que describe un
M.R.U.
La velocidad del sonido depende del medio material por el cual se propaga.
V s VL VG
La velocidad del sonido en el vacío es cero, sin medio material el sonido no se
propaga.
Problema 1
Un policía motorizado y en persecución de un automóvil; más debido a una falla
mecánica, la motocicleta se detiene y el automóvil se detiene a 662m. Al percatarse
de esta situación el conductor escapa, el automóvil inicia un M.u.a, 1segundo
después el policía de tránsito toca la sirena de la moto durante 2segundos. Si el
conductor del automóvil escucha la sirena cuando el policía deja de tocarla. Cuál es
el módulo de la aceleración con la que el automóvil reanuda su movimiento?
Como se trata de un M.R.U
1
2
1
18  0.t  .a .(3)2
2
1
18  .a .9
2
a  4m / seg 2
x  v ot  at 2
Velocidad del sonido en un gas
La velocidad del sonido en un gas depende de su movimiento molecular ( movimiento
que presentan las moléculas en un gas y eso está determinado por la temperatura)
T
V1
 1
V2
T2
Donde:
T1Y T2 Serán las temperaturas absolutas
V1: Velocidad del sonido a temperatura T1
V2: Velocidad del sonido a temperatura T2
Problema 1
La velocidad del sonido en el aire a 15°c es 340m/seg. El señor Eugenio emite un grito
frente al Huascarán escuchando el eco luego de 4seg. A que distancia se encontraba
el señor de dicha montaña (temperatura de Ancash 0°c )
Huascarán: montaña más alta en el Perú
T1 =0°c+273=273°k
T2 =15°c+273=288°k
V1
273
=
340
388
V1 =331m/seg
x=vt
x=331m/seg.2seg
x=662m
5. Pulsación: es la resultante de la composición de dos ondas sonoras de frecuencias
muy próximas.
El número de pulsaciones por segundo es igual a la diferencia entre las frecuencias de
las ondas sonoras componentes.
f=f 2 -f 1
Problema 1
Un estudiante situado a varios metros de una pared reflectora y lisa, permanece en
reposo tocando una flauta de 30cm de longitud, que emite un sonido en su tercer
armónico. Otro estudiante que estaba junto a él, camina hacia la pared y escucha 12
pulsaciones por segundo. Determinar la velocidad con la cual el estudiante se
acercaba a la pared.
f=f 2 -f 1
 V ±Vo 
fo= s
f
 V ±V  f
s
f 

2L
 n=
n
20.0,3m
 3=
3
 3 =0,2m=
v 340
ff = s =
=1700Hz
 0,2
se aleja de la fuente
 V -V 
f o1 =  s o  f f
 Vs -0 
340-Vo 
f o1 = 
 1700=5  340-Vo 
 340 
se acerca a la fuente
 V +V 
f o2 =  s o  f f
 Vs 
340+Vo 
f o2 = 
 1700=5  340+Vo 
 340 
f=f 2 -f 1
12=5  340+Vo  -5  340-Vo  =5  340+Vo -340+Vo 
12=5  Vo +Vo 
12=5  2Vo 
6=5  Vo 
Vo =1,2m/seg
6. Nivel de intensidad en decibles: En el caso de una onda esférica que se transmite
desde una fuente puntual en el espacio libre (sin obstáculos), cada frente de onda es
una esfera de radio r. En este caso, la intensidad acústica es inversamente
proporcional al área del frente de onda (A), que a su vez es directamente
proporcional al círculo de la distancia a la fuente sonora.
La unidad utilizada por el Sistema Internacional de Unidades es el vatio por metro
cuadrado
El oído humano tiene la capacidad de escuchar sonidos a partir de una intensidad de 1012 W/m². Esta intensidad se conoce como umbral de audición. Cuando la intensidad
supera 1 W/m², la sensación se vuelve dolorosa.
Dado que en el rango de intensidades que el oído humano puede detectar sin dolor hay
grandes diferencias en el número de cifras empleadas en una escala lineal, es habitual
utilizar una escala logarítmica. Por convención, en dicha escala logarítmica se emplea
como nivel de referencia el umbral de audición. La unidad más empleada en la escala
logarítmica es el decibelio.El oído oye intensidades sonoras desde 10-12W/m2 hasta 1
W/m2, a causa de este gran intervalo de intensidades, se prefiere utilizar una escala
logarítmica (base 10), en lugar de la natural.
Para esto, el nivel de intensidad ß de una onda sonora se define como.
ß= 10 log (I/I0)
Siendo I0 una intensidad arbitraria de referencia, que se toma igual a 10-12 W/m2 y que
corresponde al sonido más débil que se puede oír, los niveles de intensidad se expresan
en decibeles (dB), en honor al americano Grahan Bell.
Así que el sonido más fuerte que puede tolerar un oído y que tiene una intensidad de 1
W/m2, tendrá un nivel de intensidad de:
ß= 10 log (1/10-12) = 120 dB
A continuación se muestran algunos niveles de intensidad de diferentes sonidos.
FUENTE
Umbral de sensación sonora
Conversación en voz baja
Pequeño motor
Conversación normal
Calle de mucho tráfico
Taladro de romper pavimento
Umbral de la sensación dolorosa
NIVEL EN decibeles (dB)
0
20
40
60
80
100
120
La sensación subjetiva o sonoridad que percibe el oído es proporcional al nivel de
intensidad. Esto se debe a la ley sicofísica de Weber-Fechner, ley aproximativa y válida
también para la sensaciones de los otros sentidos, que dice: La magnitud de una
sensación S es proporcional al logaritmo de la energía excitadora E; o sea: S= k log (E/E0).
E0 es la energía de la excitación de referencia.
Problema 1
Una fuente irradia en todas las direcciones 0.4π watts de energía acústica. Encontremos
la intensidad y el nivel de intensidad en un punto situado a 100 metros.
Solución
La intensidad es:
I= P/(4πr2)= 0.4π/(4π(100)2) = 10-5 w/m2
El nivel de intensidad es:
ß= 10 log (I/I0)= 10log(10-5/10-12) = 70 dB
Si 10 fuentes iguales a la anterior irradian en todas las direcciones, a 100 metros
tendremos una intensidad de;
I’ = 10 .I= 10*10-5= 10-4 W/ m2
Y un nivel de intensidad:
ß= 10 log (I’/I0)= 10log(10-4/10-12) = 80 dB
Problema 2
El ruido de un martillo neumático tiene un nivel de intensidad de 95 dB. Cuál es la
intensidad del martillo neumático en w/m2.
I

 I0 
I
95=10log  
 I0 
 =10log 
I
9,5=log  
 I0 
I
109,5 =
I0
I
109,5 = -12
10
9,5-12
10
=I
I=10-2,5
1
I= 2,5
10
1
1
1
1
1
1
10
3,16
I= 25 = 5 = 5 =




5
2
2
1
1
1000 10 3
10
10
10
10
100
10
10
2
2
10
10 10
-3
I=3,16.10 w/m2
Problema 3
El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000
Hertz. Calcular la longitud de onda de los sonidos extremos, si el sonido se propaga en el
aire con la velocidad de 330 ms-1.
Al ser  =v.T las longitudes de onda correspondientes a los sonidos extremos que
percibe el oído humano serán, respectivamente:
1
v
 =v.T   =v.   =
f
f
v 330m / seg
1 = 
 16,5m
f1
20Hertz
330m / seg
v
2 = 
 0,0165m
f 2 20000Hertz
Problema 4
¿Cuál es el nivel de sensación sonora en decibeles correspondiente a una onda de
intensidad 10-10 W/m2 ? ¿Y de intensidad 10-2 W/m2 ? (Intensidad umbral 10-12 W/m2).
Al ser s= β = 10 log(I/I0) db, resulta:
Problema 5
Demostrar que si se duplica la intensidad de un sonido, el nivel de sensación sonora
aumenta en 3,0 decibeles.
Tomando como I0 la intensidad inicial, la sensación sonora S0 correspondiente a dicha
intensidad I0 es:
y la correspondiente a una intensidad doble:
Problema 6
Una profesora de física cuando da clase produce un sonido con una intensidad de 500
veces mayor que cuando susurra. ¿Cuál es la diferencia de niveles en decibeles?
Problema 7
La intensidad debida a un número de fuentes de sonido independientes es la suma de
las intensidades individuales ¿En cuántos decibeles es mayor el nivel de intensidad
cuando lloran cuatro niños que cuando llora uno solo?
La diferencia entre los dos niveles es:
S2 - S1 = 10 log 4 + 10 log I - 10 log I0 - 10 log I + 10 log I0 = 10 log 4 = 6 db
Problema 8
Las ambulancias llevan una sirena cuya intensidad sonora máxima es de 80 dB a 3 m de
distancia.
Calcula:
a) La intensidad sonora a una distancia de 100 m de la ambulancia
b) La distancia a la que la sirena deja de oírse
a) En primer lugar es necesario calcular la intensidad de la onda sonora que viene
dada por
Como la intensidad de una onda sonora disminuye en función del cuadrado de la
distancia
, si denominamos como i la posición inicial y como f la posición final,
entonces la relación entre intensidades será:
Siendo esta la intensidad sonora, por tanto:
b) La distancia a la que la sirena deja de oírse.
La sirena dejara de oírse cuando la intensidad sonora sea igual al límite audible (if=
i0), en tal caso la relación entre sus intensidades será:
Problema 9
Si escuchas el sonido de un altavoz de 5 W de potencia y su sonido llega con una
intensidad I = 10-4 W·m-2
¿A qué distancia del mismo te encuentras?
¿Qué nivel de intensidad percibes?
Hemos estudiado que
, por lo tanto:
Para calcular el nivel de intensidad
Optica
1.Definición: es la parte de la fisica que se encarga de estudiar todos los fenomenos
relacionados con la luz.
A. Óptica geométrica: Es la parte de la óptica que trata, a partir de representaciones
geométricas, de los cambios de dirección que experimentan los rayos luminosos en los
distintos fenómenos de reflexión y refracción.
B. Óptica fisica: Si no considerásemos la luz como una onda electromagnética, nos sería
imposible explicar los fenómenos de interferencia, dispersión, difracción , la
polarización la doble refracción de la luz. La parte de la Óptica que estudia estos
fenómenos se denomina Óptica Física.
2. naturaleza de la luz:
A. teoría antigua:según Platón la luz es algo que proviene de la vista lo cual es
lógicamente inaceptable por lo que esta teoría ha sido tomada como erronéa
B. teoria corpuscular: tambien conocida como la teoría de Newton plantea la luz como
una particula
C. teoría ondulatoria: planteada por cristian Huygens el cual afirma que la luz tiene una
naturaleza ondulatoria pero cuando se propaga, la luz es como una onda parecida a
la del sonido y se transporta de un medio a otro con una cierta velocidad o rapidez.
esta teoría es totalmente contradictoria a la planteada por Newton.
D. teoría electromagnética: planteada por maxwell afirma que la luz es una onda
electromagnética que puede viajar en el vacio o en cualquier medio y que tiene una
velocidad de propagación e incluso encuentra la relación que existe entre la
permeabilidad magnética en el vacio y la permetividad eléctrica en el vacio y una
relacion de ambas nos da la velocidad de la luz en forma constante.
E. teoría cuántica o actual : es la teoría mas aceptada actualmente fue desarrolada por
varios ciéntificos entre ellos el precursor de todo esto Max planck. Esta teoría nos
plantea que la luz viaja en paquetes de energia y se encuentra cuantizada a lo cual
denomino cuanto. Más adelante el científico albert Einstein EL CUAL DEMOSTRO QUE
LA LUZ VIAJA POR PAQUETES de energia mediante el efecto fotoelectrico con el cual
gano el premio nobel.
Louis-Victor de Broglie
abordó directamente el tema de la naturaleza de las partículas subatómicas, en lo que
se vino a constituir en teoría de la dualidad onda-corpúsculo, según la cual las partículas
microscópicas, como pueden ser los electrones, presentan una doble naturaleza, pues,
además de un, anteriormente identificado comportamiento ondulatorio, al desplazarse a
grandes velocidades se comportan así mismo como partículas materiales, de masa
característica, denominada masa relativista, lógicamente muy pequeña y debida a la
elevada velocidad.
Esta nueva concepción teórica sobre la naturaleza de la radiación completamente
revolucionaria pronto encontró una contrastación experimental (efecto Compton, en el
que se fundamenta el diseño de las células fotoeléctricas) De Broglie fue galardonado
con el Premio Nobel de Física del año 1929.
3. Propagacion y rapidez de la luz:
Desde tiempos muy antiguos el fenómeno de propagación de la luz ha sido de gran
interés. De saber cómo se propaga la luz como se manifiesta y todo lo relacionado
con la luz .El primero en hacer intentos de mediciones fue Galileo Galilei, es mas
también fue el primer en intentar calcular la velocidad del sonido. Sin embargo le fue
imposible calcular su valor. Más adelante otros genios intentaron obtener este valor
pero fracasaron.
La composición y velocidad de la luz han sido estudiadas por filósofos, teólogos y
científicos durante cientos de años. Los griegos fueron los primeros en escribir acerca de
sus creencias sobre la luz. Pensaban que emanaba de los objetos y que la visión humana
se emitía desde los ojos para capturar la luz.
Al comienzo del siglo XVII muchos científicos creían que no había tal cosa como la
velocidad de la luz, pensaban que la luz podía viajar cualquier distancia en forma
instantánea. Galileo no estaba de acuerdo y diseñó un experimento.
La velocidad de la luz (representada mediante c) actualmente no es una magnitud
medida, sino que se ha establecido un valor fijo en el Sistema Internacional de Unidades.
Desde 1983 el metro ha sido definido como la longitud que viaja la luz en el vacío en el
intervalo de tiempo 1/299792.458 de un segundo, de forma que la velocidad de la luz se
define exactamente 299792.458 km/s.
Antes de la centuria de 1700 se aceptaba que la luz se transmitía de forma instantánea.
Su fundamento estaba bien establecido mediante la observación de eclipses, pero el
error fue no considerar que la velocidad podía ser tan grande que no se detectara
ningún efecto.
Medidas basadas en observaciones astronómicas
Ole Roemer (1644-1710), fue el primero en medir la velocidad de la luz en 1676. Detectó
que el tiempo entre los eclipses del satélite de Júpiter era menor cuando la distancia a la
Tierra decrecía, y viceversa. El satélite queda oculto por la sombra que proyecta el
planeta Júpiter, y se puede detectar fácilmente el momento en el que el satélite
aparece de nuevo tras desaparecer brevemente de la vista del observador terrestre.
Obtuvo un valor de 214000 km/s, aceptable dada la poca precisión con la que se podía
medir en aquella época la distancia de los planetas.
En 1728 James Bradley (1692-1762) estudió la velocidad observando las aberraciones de
las estrellas, que es el desplazamiento aparente de las estrellas debido al movimiento de
la Tierra alrededor del Sol. Obtuvo un valor de 301000 Km/s.
Medidas sobre la Tierra
Galileo (1564-1642) dudó que la velocidad de la luz fuera infinita y describió un
experimento. Dos personas toman una lámpara con rejillas y se colocan en la cima de
dos montañas diferentes. Una abría la rejilla de su lámpara y la otra debía abrir la suya
tan pronto como viera la luz de la lámpara del primero. De esta manera se podía calcular
cuánto tiempo habría pasado antes de que se viera la luz de la otra montaña. La
velocidad de la luz es tan elevada que es imposible detectarla mediante un experimento
de este tipo.
Armand Fizeau (1818-1868) en 1849 usó un haz de luz reflejado en un espejo a ocho Km.
de distancia. El haz pasa a través de una rueda dentada cuya velocidad se incrementa
hasta que el haz de retorno ha pasado completo el hueco siguiente. El valor obtenido es
315000 Km/s. Usando espejos en rotación, Leon Foucault (1859-1868) en 1850, obtuvo un
valor de 298.000 Km/s.
Pruebas acertadas
Albert Abraham Michelson (1852-1931), en 1879, durante una reunión de la Asociación
Americana para el Progreso de la Ciencia, presentó el método que había utilizado para
determinar la velocidad de la luz, que halló ser de 300091 km/s, si bien en 1926, como
consecuencia de los estudios que realizó en el observatorio de Monte Wilson, dio como
valor más correcto el de 299520 Km/s.
En Estados Unidos, colaboró con Edward W. Morley (1838-1923) para realizar una serie de
experimentos con el interferómetro para conocer la influencia que el movimiento de la
Tierra pudiera ejercer sobre un supuesto éter. Estos trabajos probaron la constancia de la
velocidad de la luz, siendo la base del principio de la relatividad de Einstein. En 1907
recibió el premio Nobel de Física.
En 1907 Rosa y Dorsey lograron un valor de 299788 Km/s, el más exacto hasta el momento.
Se han empleado otros métodos para mejorar la exactitud. En 1958, Froome llegó al valor
de 299792.5 Km/s, mediante un interferómetro de microondas y una celda Kerr. A partir
de 1970 con el desarrollo de aparatos de láser con una estabilidad espectral muy grande
y relojes de cesio exactos, ha sido posible mejorar las medidas, llegando a ser conocida
con tan sólo un error de un m/s.
En 1972, con un láser estabilizado de helio-neón, alcanzó una precisión impensable hasta
entonces: 299.792,4574 ± 0,0011 km/s. Con el mismo tipo de láser, Woods, Shotton y
Rowley perfeccionaron el experimento y en 1978 obtuvieron un valor aún más preciso:
299.792,45898 ± 0,0002 km/s. De hecho, su precisión era mejor que la del antiguo metro
patrón de platino iridiado.
4. Reflexión de la luz: La reflexión es el cambio de dirección de una onda magnética,
que al estar en contacto con la superficie de separación entre dos medios
cambiantes, de tal forma que regresa al medio inicial. Ejemplos comunes son la
reflexión de la luz, el sonido y las ondas en el agua. La luz es una forma de energía.
Gracias a ello puedes ver tu imagen reflejada en un espejo, en la superficie del agua
o un piso muy brillante. Esto se debe a un fenómeno llamado reflexión de la luz. La
reflexión ocurre cuando los rayos de luz que inciden en una superficie chocan en ella,
se desvían y regresan al medio que salieron formando un ángulo igual al de la luz
incidente, muy distinta a la refracción
La luz al reflejarse lo hará siguiendo el principio de Fermat:” la luz al propagarse lo hará
por el camino más corto y que le lleve menos tiempo ” . a partir de este principio se
puede formular las leyes de la reflexión
A. El rayo incidente R.I, la normal N y el rayo reflejado R.R están sobre el mismo
plano, es decir , son coplanares
B. El ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado
i = r
Problema 1
Considere reflexiones regulares. Hallar β
Β=40°
Problema 2
Considere reflexiones regulares, hallar θ
Β+µ+40°=180°
Β+µ=140°
40°+θ= β + µ
40°+θ= 140°
θ= 140°-40
θ=100°
Teorema del pescaito:
µ=x+z z= µ-x
y=β+z z=y-β
µ-x=y-β
µ+𝛽=x+y
5. Refracción de la luz: La refracción es el cambio de dirección que experimenta
una onda al pasar de un medio material a otro. Solo se produce si la onda incide
oblicuamente sobre la superficie de separación de los dos medios y si estos
tienen índices de refracción distintos. La refracción se origina en el cambio
de velocidad de propagación de la onda.
Un ejemplo de este fenómeno se ve cuando se sumerge un lápiz en un vaso con agua: el
lápiz parece quebrado. También se produce refracción cuando la luz atraviesa capas de
aire a distinta temperatura, de la que depende el índice de refracción. Los espejismos son
producidos por un caso extremo de refracción, denominado reflexión total. Aunque el
fenómeno de la refracción se observa frecuentemente en ondas electromagnéticas
como la luz, el concepto es aplicable a cualquier tipo de onda.
Índice de refracción
Índice de refracción.
Es la relación entre la velocidad de propagación de la onda en un medio de referencia
(por ejemplo el vacío para las ondas electromagnéticas) y su velocidad en el medio del
que se trate.
Ángulo crítico: cualquier rayo que incida con un ángulo θ1 mayor al ángulo crítico θc
correspondiente a ese par de sustancias, se reflejará en la interfase en lugar de
refractarse.
La refracción Se produce cuando la luz pasa de un medio de propagación a otro con
una densidad óptica diferente, sufriendo un cambio de rapidez y un cambio de dirección
si no incide perpendicularmente en la superficie. Esta desviación en la dirección de
propagación se explica por medio de la ley de Snell. Esta ley, así como la refracción en
medios no homogéneos, son consecuencia del principio de Fermat, que indica que la luz
se propaga entre dos puntos siguiendo la trayectoria de recorrido óptico de menor
tiempo.
Por otro lado, la velocidad de la penetración de la luz en un medio distinto del vacío está
en relación con la longitud de la onda y, cuando un haz de luz blanca pasa de un medio
a otro, cada color sufre una ligera desviación. Este fenómeno es conocido
como dispersión de la luz. Por ejemplo, al llegar a un medio más denso, las ondas más
cortas pierden velocidad sobre las largas (ej: cuando la luz blanca atraviesa un prisma).
Las longitudes de onda corta son hasta 4 veces más dispersadas que las largas lo cual
explica que el cielo se vea azulado, ya que para esa gama de colores el índice de
refracción es mayor y se dispersa más.
En la refracción se cumplen las leyes deducidas por Huygens que rigen todo el
movimiento ondulatorio:


El rayo incidente, el reflejado y el refractado se encuentran en el mismo plano.
Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales, entendiendo por tales los que forman
respectivamente el rayo incidente y el reflejado con la perpendicular (llamada
Normal) a la superficie de separación trazada en el punto de incidencia.
La velocidad de la luz depende del medio por el que viaje, por lo que es más lenta
cuanto más denso sea el material y viceversa. Por ello, cuando la luz pasa de un medio
menos denso (aire) a otro más denso (cristal), el rayo de luz es refractado acercándose a
la normal y por tanto, el ángulo de refracción será más pequeño que el ángulo de
incidencia. Del mismo modo, si el rayo de luz pasa de un medio más denso a uno menos
denso, será refractado alejándose de la normal y, por tanto, el ángulo de incidencia será
menor que el de refracción. Así podemos decir que la refracción es el cambio de
dirección de la propagación que experimenta la luz al pasar de un medio a otro
Leyes de la refracción
Leyes de la refracción
 RI,RR Y N Son coplanares.
 Segunda ley o ley de Snell
n 1 seni  n 2 senr
Problema 1
Determinar el ángulo de refracción
Ley de Snell
n 1 sen i  n 2 sen r
8
1.sen 74  sen r
5
24 8
1.
 sen r
25 5
3 1
1.  sen r
5 1
3
sen r 
5
 r  37
Problema 2
Determinar la desviación que sufre el rayo al pasar de un medio a otro
5 3 sen 37  6sen r
3
5 3.  6sen r
5
3 3  6sen r
3 3
 sen r
6
3
 sen r
2
 r  60
Angulo de desviación β
Β+37°=60
Β=60°-37°
Β=23°
6. Reflexión interna total
Imagen ilustrando la reflexión interna total en un vidrio semicilíndrico de laboratorio.
Reflexión interna total
Reflexión interna total es el fenómeno que se produce cuando un rayo de luz atraviesa un
medio de índice de refracción n2 menor que el índice de refracción n1 en el que éste se
encuentra, se refracta de tal modo que no es capaz de atravesar la superficie entre
ambos medios reflejándose completamente.
Este fenómeno solo se produce para ángulos de incidencia superiores a un cierto valor
crítico, θc. Para ángulos mayores la luz deja de atravesar la superficie y es reflejada
internamente de manera total. La reflexión interna total solamente ocurre en rayos
viajando de un medio de alto índice refractivo hacia medios de menor índice de
refracción.
La reflexión interna total se utiliza en fibra óptica para conducir la luz a través de la fibra
sin pérdidas de energía. En una fibra óptica el material interno tiene un índice de
refracción más grande que el material que lo rodea. El ángulo de la incidencia de la luz
es crítico para la base y su revestimiento y se produce una reflexión interna total que
preserva la energía transportada por la fibra.
En aparatos de óptica se prefiere utilizar la reflexión total en lugar de espejos metalizados.
Como ejemplo de utilización de la reflexión total en aparatos corrientes encontramos el
pentaprisma de las cámaras fotográficas réflex y los Prisma de Porro o Schmidt-Pechan de
los prismáticos.
La reflexión interna total es responsable de los destellos de luz que se observan en un
diamante tallado.
Ángulo crítico
El ángulo crítico o ángulo límite también es el ángulo mínimo de incidencia en el cual se
produce la reflexión interna total. El ángulo de incidencia se mide respecto a
la normal de la separación de los medios. El ángulo crítico viene dado por:
 Segunda ley o ley de Snell
n 1 sen i  n 2 sen r
n 1 senc  n 2 sen 90
n 1 senc  n 2 .1
n
senc  2
n1
,
Donde
y
son los índices de refracción de los medios con
. Esta ecuación
es una simple aplicación de la ley de Snell donde el ángulo de refracción es 90°.
Problema 1
Un pez en el fondo del mar n=4/3 quiere ver al exterior notando que no existe
refracción, ni reflexión en su visión. Hallar el ángulo de incidencia.
n 1 sen i  n 2 sen r
n 1 senc  n 2 sen 90
n 1 senc  n 2 .1
n
senc  2
n1
1
4/3
3
senc 
4
3
c  sen 1
4
senc 
Problema 2
Determine el mínimo ángulo de incidencia para el que el buzo pueda observar al pez
detrás del obstáculo
n 1 sen i  n 2 sen r
n 1 senc  n 2 sen 90
n 1 senc  n 2 .1
n
senc  2
n1
1
4/3
3
senc 
4
3
c  sen 1
4
senc 
7. Espejos: cuando la luz tropieza con la superficie de un cuerpo cualquiera, es difundida
parcial o totalmente en todas las direcciones posibles. No ocurre lo mismo cuando la
superficie del cuerpo está totalmente pulimentada. Entonces, la superficie devuelve el
luminoso en una dirección única que depende de la posición del rayo con respecto a
esta superficie: se dice que el rayo se ha reflejado, y que la superficie reflectora es un
espejo. Los espejos pueden ser:
A. Plano: Cuando los pueblos antiguos lograron dominar la metalurgia, hicieron espejos
puliendo superficies metálicas (plata).
Para construir un espejo se limpia muy bien un vidrio y sobre él se deposita plata metálica
por reducción del ión plata contenido en una disolución amoniacal de nitrato de
plata. Después se cubre esta capa de plata con una capa de pintura protectora. El
espejo puede estar plateado por la cara anterior o por la posterior, aunque lo normal es
que esté plateada la posterior y la anterior protegida por pintura. La parte superior es de
vidrio, material muy inalterable frente a todo menos al impacto.
Debido a la doble reflexión la oreja izquierda del sujeto se verá como la oreja derecha
del sujeto que se ve en la imagen. La cara de casi todas las personas es ligeramente
asimétrica. Vistas con espejos que formen un ángulo de 90 º estas peculiaridades
normalmente inadvertidas aparecen muy marcadas.
¿Qué tipo de imágenes nos dan los espejos planos?
Una imagen en un espejo se ve como si el objeto estuviera detrás y no frente a éste ni en
la superficie. (Ojo,es un error frecuente el pensar que la imagen la vemos en la superficie
del espejo). El sistema óptico del ojo recoge los rayos que salen divergentes del objeto y
los hace converger en la retina.
El ojo identifica la posición que ocupa un objeto como el lugar donde convergen las
prolongaciones del haz de rayos divergentes que le llegan. Esas prolongaciones no
coinciden con la posición real del objeto. En ese punto se forma la imagen virtual del
objeto.
La imagen obtenida en un espejo plano no se puede proyectar sobre una pantalla,
colocando una pantalla donde parece estar la imagen no recogería nada. Es, por lo
tanto virtual, una copia del objeto "que parece estar" detrás del espejo.
La imagen formada es:
Simétrica: porque aparentemente está a la misma distancia del espejo
Virtual: porque se ve como si estuviera dentro del espejo, no se puede formar sobre una
pantalla pero puede ser vista cuando la enfocamos con los ojos.
Del mismo tamaño que el objeto.
Derecha: por que conserva la misma orientación que el objeto.
La parte derecha de la imagen corresponde a la parte izquierda del objeto y viceversa.
Técnicamente esto se llama ver la imagen falseada.
La oreja izquierda del sujeto (objeto) y la oreja derecha del sujeto (imagen) que vemos
en el espejo.
Por lo tanto el espejo cambia el sentido izquierda-derecha: nos vemos delante de
nosotros mismos como si se tratara de otra persona pero...su derecha está a nuestra
derecha y no como cuando vemos las imágenes reales de nuestros semejantes
Cuando dos espejos forman un ángulo entre si el número de imágenes que podemos ver
en ellos depende del ángulo y se calcula así:
Espejos angulares.
Sea N = NÚMERO DE IMAGENES k =
N = K si n es impar
N = K -1si n es par
360°
θ
Espejos paralelos
Entre dos espejo paralelos el número de imágenes es infinito.
Además la distancia para n reflexiones o imágenes será:
n imágenes =2n(a+b)
Características
 La imagen y el objeto están a la misma distancia del espejo plano
 La imagen es virtual
 La imagen es derecha y del mismo tamaño que el objeto
Problema 1
Una silla de 70cm de alto se encuentra a 2m de un espejo plano y una persona se
encuentra a 5m del espejo plano observando la silla a través del espejo. Cuál es el largo
mínimo del espejo para que la persona pueda observar completa a la silla?
ΔABC  ΔADE
X
5cm
=
70cm 7cm
X = 50cm
Problema 2
Luego de cuantos segundos el móvil estará a 60m de su imagen si v=10m/seg?
x = vt
x
40m
t= =
v 10m/seg
t = 4seg
Problema 3
Una rana se encuentra entre dos espejos angulares que son perpendiculares entre sí.
Calcular el número de imágenes y la distancia entre las imágenes más lejanas, si la rana
está a 30cm y 40cm de cada espejo.
Espejos perpendiculares θ=90°
N = NÚMERO DE IMAGENES
360°
N=
-1si n es par
θ
360°
N=
-1
90°
N = 4 -1
N= 3
Teorema de Pitágoras
D2=(80cm)2 +(60cm)2
D2=6400m2 +3600m2
D2=10000m2
D=100cm
Problema 4
Dos espejos paralelos están separados entre sí una distancia de 20cm. Hallar la distancia
entre las imágenes de la octava reflexión de un objeto que se ubica entre los espejos.
Primeras imágenes =2a+2b=2(a+b)
Segundas imágenes=2b+a+a+b+b+2a=4a+4b=4(a+b)
Terceras imágenes =6(a+b)
n imágenes =2n(a+b)
Para 8 imágenes o reflexiones=2.8(20cm) =320cm
B. Espejos esféricos: todo espejo cuya superficie o curva es una porción de esfera.
Los espejos esféricos tienen la forma de la superficie que resulta cuando una esfera es
cortada por un plano. Si la superficie reflectora está situada en la cara interior de la
esfera se dice que el espejo es cóncavo. Si está situada en la cara exterior se
denomina convexo
Elementos de un espejo esférico
C=Centro de curvatura C: Es el centro de la superficie esférica que constituye el
espejo.
R=Radio de curvatura R: Es el radio de dicha superficie.
V=Vértice: Coincide con el centro del espejo.
Eje principal: Es la recta que une el centro de curvatura C con el vértice V.
F=Foco: Es un punto del eje por el que pasan o donde convergen todos los rayos
reflejados que inciden paralelamente al eje. En los espejos esféricos se encuentra
en el punto medio entre el centro de curvatura y el vértice.
F=R/2
Formación de imágenes en espejos esféricos:
1. Todo rayo paralelo al eje principal, se refleja pasando por el foco (y viceversa).
2. Todo rayo que pasa por el centro de curvatura, se refleja sobre sí mismo
Con estas reglas, que son consecuencia inmediata de las leyes de la reflexión, es posible
construir la imagen de un objeto situado sobre el eje principal cualquiera que sea su
posición. Basta trazar dos rayos incidentes que, emergiendo del extremo superior del
objeto discurran uno paralelamente al eje y el otro pasando por el centro de curvatura C;
el extremo superior del objeto vendrá determinado por el punto en el que ambos rayos
convergen. Cuando la imagen se forma de la convergencia de los rayos y no de sus
prolongaciones se dice que la imagen es real.
Espejos cóncavos
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Caso 5
Espejos convexos
En este caso la imagen será virtual, derecha y de menor tamaño
FÓRMULA DE LOS ESPEJOS ESFÉRICOS
Hay una relación muy sencilla entre las cantidades que
describen la formación de imágenes en espejos esféricos.
Vamos a llamar f a la distancia focal. La distancia al
espejo en que se coloca al objeto, xo. El tamaño del
objeto yo. La distancia entre el espejo y la posición de la
imagen, xi. Y el tamaño de la imagen yi.
Y de los infinitos rayos luminosos que salen de cada punto
del objeto, vamos a valernos de algunos pocos cuya
marcha conocemos y nos sirve. Por ejemplo un rayo que
incide justo en el centro del espejo, y se refleja -desde
luego- con un ángulo igual al de incidencia.
Si miras atentamente los dos triangulitos que sombreé,
admitirás que son semejantes. Porque ambos son
rectángulos, y tienen un ángulo igual: el de incidencia y
reflexión (luego, el tercer ángulo también es
respectivamente igual, pero eso ya no interesa).La
cuestión es que como son semejantes, sus lados
homólogos serán proporcionales:
-yi xi
=
yo xo
Le agregué un signo menos adelante porque la imagen
está invertida, por lo que yi es negativa. A esos cocientes
se les llama aumento, M.
Símbolos para
aumento
MoA
indistintamente
M = – yi /yo
Formalicemos una convención de signos para el
aumento.
imagen
|M| > 1
yi > yo espejo cóncavo
aumentada
imagen
espejo cóncavo o
|M| < 1
yi < yo
disminuida
convexo
yo > 0
yi > 0
yi < 0
siempre
imagen
derecha
imagen
invertida
(+)
objeto real o virtual
(+)
imagen real o virtual
(–)
imagen real o virtual
Ahora vamos a usar un rayo que pasa por el foco y -por
ende- al rebotar en el espejo lo hace saliendo en forma
paralela al eje central.
Nuevamente, mira esos otros dos triángulos coloreados:
también son semejantes entre sí. Ambos son
rectángulos... y el ángulo de abajo a la derecha de
cada triángulo está construido con el mismo rayo y dos
paralelas (el eje central y una paralela al eje central). Por
lo tanto sus lados homólogos van a ser proporcionales:
– yi / yo = f /(xo – f)
El primer miembro lo podemos reemplazar por la fórmula
anterior (la de aumento)...
xi / xo = f /(xo – f)
Operamos algebraicamente un poquito...
xi . (xo – f) = f . xo
xi . xo – f . xi = f . xo
xi . xo = f . xo + f . xi
Ahora dividimos ambos miembros por xi xo f, y nos queda
(reordenando)...
xi x 0
fx
fx
= 0 + i
xi x 0 f xi x 0 f xi x 0 f
1 1 1
= +
f xi x 0
1 1 1
= +
f x 0 xi
La fórmula de los espejos esféricos también llamada
fórmula de Gauss en honor a su descubridor, Carl
Friedrich Gauss (1777–1855), vincula la distancia
focal, f con la posición en la que se obtiene una
imagen, xi, dada la posición en que se coloca el
objeto, xo.
Del mismo modo en que se hace con el aumento, para
el resto de las magnitudes también habrá que tener en
cuenta la siguiente convención de signos:
distancia
focal
(+)
positiva
distancia
focal
f<0
(–)
negativa
objeto
frente
al
xo > 0
(+)
espejo
objeto detrás del
xo < 0
(–)
espejo
imagen frente al
xi > 0
(+)
espejo
imagen detrás del
xi < 0
(–)
espejo
f>0
espejo
cóncavo
espejo
convexo
objeto real
objeto virtual
imagen real
imagen virtual
CHISMES IMPORTANTES

Llamamos imágenes reales aquellas que pueden
ser recogidas en una pantalla. Se obtienen en la
posición en la que se cruzan los rayos provenientes
del objeto.

Llamamos imágenes virtuales aquellas que no
pueden ser recogidas en una pantalla. Se
obtienen en la posición en la que se cruzan
las prolongaciones de los rayos provenientes del
objeto.

Tanto las imágenes reales como las virtuales se
convierten en objetos de nuestra visión y luego en
imágenes reales en nuestras retinas (pantallas
sensibles). No debe confundirse el concepto de
imagen del espejo con la imagen de nuestra
visión. En nuestros ojos siempre entran rayos,
no prolongaciones de rayos.

[...] Yo conocí de chico
ese
horror
de
una
duplicación
o
multiplicación
espectral
de la realidad, pero ante
los grandes espejos. Su
infalible
y
continuo
funcionamiento,
su
persecución de mis actos,
su pantomima cósmica,
eran
sobrenaturales
entonces,
desde
que
anochecía. Uno de mis
insistidos ruegos a Dios y al
ángel de mi guarda era el
de
no
soñar
con
espejos.[...]
LOS
VELADOS. Jorge
Borges
ESPEJOS
Luis
Ahora hagamos unos pequeños cambio de variables
1 1 1
= +
f di do
R
2
p = do = y o = distancia del objeto al espejo
q = di = y i = distancia de la imagen al espejo
1 1 1
 = +
f p q
pq
f=
p+q
f = distanciafocal =
  zona real
  zona virtual
q
  zona real espejos concavos
f= 
  zona virtual espejos convexos
Problema 1
Una vela está situado a 60 cm de una bola de metal bruñido de 30cm de diámetro.
Localizar la imagen.
R 15cm
f=distancia focal= =2
2
p=do =distancia del objeto al espejo=60cm
q=di =distancia de la imagen al espejo=?
pq
f=
p+q
1 1 1
= +
f p q
1
1
1
=
+
-15/2cm 60cm q
1
1
1
=
q -15/2cm 60cm
1 -2
1
=
q 15cm 60cm
1 -8-1
=
q 60cm
1
-9
60cm
20
=
q=
q=cm
q 60cm
-9
3
Problema 2
Cuál es la distancia focal de un objeto esférico, sabiendo que al alejar 20cm a un objeto
colocado a una distancia de 40cm del mismo, la distancia entre el espejo y la imagen se
reduce a la mitad.
Inicialmente el objeto se encontraba a 40cm del espejo
f = distanciafocal
p = do = distancia del objeto al espejo = 40cm
q = di = distancia de la imagen al espejo = 2x
pq
f=
p+q
40.2x
f=
40 + 2x
Cuando el objeto se aleja 20cm
f = distanciafocal
do = distancia del objeto al espejo = 40cm+ 20cm = 60cm
di = distancia de la imagen al espejo = x
dd
f= i o
di + do
x.60
f=
x +60
Como se trata del mismo espejo
2x.40
x.60
=
2x + 40 x +60
4
3
=
2x + 40 x +60
6x +120 = 4x + 240
6x - 4x = 240 -120
2x =120
x = 60cm
Ahora averigüemos la distancia focal
x.60
x +60
60.60
f=
60 +60
60.60
f=
2.60
f = 30cm
f=
Se trata entonces de un espejo cóncavo cuya distancia focal es de 30cm
8. Aumento del tamaño de imágenes: es la variación del tamaño de la imagen con
respeto al tamaño del objeto. La relación que hay entre el tamaño del objeto y el
tamaño de la imagen se llama ecuación del aumento de la imagen
A=M=
yi
I
=
yo O
 + IMAGEN DERECHA
 -  IMAGEN INVERTIDA

De la semejanza de triángulos tenemos
yi
I
d q
= = i =
yo O do p
 I.do = O.di
 p. I = q.O
Problema 1
Un objeto se sitúa a 2cm de un espejo dando una imagen real situada a 6cm, sabiendo
que el objeto es de 5cm de altura. Cuál es el tamaño de la imagen
Este sería el único caso posible ya que por los datos del problema la imagen real solo
seda en espejos cóncavos y como se encuentra a una distancia mayor que el objeto solo
podría ser el caso en que el objeto esta entre el centro de curvatura y el foco.
pI=qO
2cm.I=6cm.5cm
6cm.5cm
I=
2cm
I=15cm
Problema 2
Un espejo convexo tiene 80cm de radio de curvatura. La distancia a la superficie del
espejo a la que debe colocarse un objeto para que el tamaño de su imagen sea el 40%
del tamaño del objeto es?
I=40%O
40
I=
O
100
pI=qo
40
P.
O=qO
100
40
.p=q
100
40
q=
.p
100
2
q= .p
5
Como el espejo es convexo la imagen es virtual por lo que
2
q=- .p
5
R 80cm
f= ==-40cm
2
2
1 1 1
= +
f p q
pq
f=
p+q
-2
pp
5
-40cm=
-2
p+p
5
-2 2
p
5
-40cm=
-2p+5p
5
-2 2
p
5
-40cm=
3p
5
-2p
-40cm=
3
2p
=40cm
3
p=60cm
Otra forma por semejanza de triángulos seria
d0/40cm=60%/40%
do=60cm
9. Lentes: Las lentes son objetos transparentes (normalmente de vidrio), limitados por dos
superficies, de las que al menos una es curva.
Las lentes más comunes están basadas en el distinto grado de refracción que
experimentan los rayos al incidir en puntos diferentes del lente. Entre ellas están las
utilizadas para corregir los problemas de visión en gafas, anteojos o lentillas. También se
usan lentes, o combinaciones de lentes y espejos, en telescopios y microscopios. El primer
telescopio astronómico fue construido por Galileo Galilei usando una lente
convergente (lente positiva) como objetivo y otra divergente (lente negativa) como
ocular. Existen también instrumentos capaces de hacer converger o divergir otros tipos
de ondas electromagnéticas y a los que se les denomina también lentes. Por ejemplo, en
los microscopios electrónicos las lentes son de carácter magnético
La palabra lente proviene del latín "lens, lentis" que significa "lenteja" con lo que a las
lentes ópticas se las denomina así por el parecido de forma con la legumbre.
En el siglo XIII empezaron a fabricarse pequeños discos de vidrio que podían montarse
sobre un marco. Fueron las primeras gafas de libros o gafas de lectura
Las lentes, según la forma que adopten pueden ser convergentes o divergentes.
Las lentes convergentes (o positivas) son más gruesas por su parte central y más estrechas
en los bordes. Se denominan así debido a que unen (convergen), en un punto
determinado que se denomina foco imagen, todo haz de rayos paralelos al eje principal
que pase por ellas. Pueden ser:

Biconvexas


Planoconvexas
Cóncavo-convexas
Las lentes divergentes (o negativas) son más gruesas por los bordes y presentan una
estrechez muy pronunciada en el centro. Se denominan así porque hacen divergir
(separan) todo haz de rayos paralelos al eje principal que pase por ellas, sus
prolongaciones convergen en el foco imagen que está a la izquierda, al contrario que las
convergentes, cuyo foco imagen se encuentra a la derecha. Pueden ser:



Bicóncavas
Planocóncavas
Convexo-cóncavas

Centro óptico, O o OP: o llamado centro geométrico de la lente

Centro de curvatura, C y C' o C1 C2, son los centros de las superficies que forman sus
caras.

Ejes secundarios: Todas las rectas que pasan por el Centro óptico

Foco principal imagen: foco de la imagen F’ O F1.

Eje principal cc’ O C1C2

Las distancias focales son las distancias entre el foco principal y el centro óptico. f y
f’

Radios de curvatura: R 1 R2
10. formación de imágenes en lentes
Lentes convergentes:Las reglas generales para trazar diagramas de rayos con lentes se
parecen a la de los espejos esféricos, pero se necesitan algunas modificaciones, Porque:
“la luz atraviesa la lente, y no se refleja en ella”.
Los tres rayos de un punto de un objeto se trazan como sigue:
A. Lentes convergentes
1. Un rayo paralelo
Pasa por el foco del lado de la imagen de una lente convergente
2. Un rayo central o rayo principal es el que pasa por el centro del lente y no se desvía.
3. Un rayo focal
Pasa por el foco del lado del objeto en una lente convergente, y después
de atravesarla, es paralelo al eje óptico de ella
Veamos entonces como se forman las imágenes
B. Lentes divergentes
1. Rayo Paralelo parece emanar del foco, del lado del objeto, en el lado del objeto
de una lente divergente
2. Un rayo central o rayo principal es el que pasa por el centro del lente y no se
desvía.
3. Un rayo focal es paralelo al eje óptico de una lente divergente y después de
atravesarla parece provenir del foco del lado del objeto en una lente divergente.
11. Ecuación de los lentes conjugados o de Gauss.
p = +
 +  = Imagen real
q=
 -  = Imagen virtual
 +  = lente convergente
f=
 -  = lente divergente
1 1 1
1 1 1
= +
o = +
f di do
f q p
dd
pq
f= i o =
di + do p + q
Problema 1
Una lente delgada convergente tiene una longitud de 24cm. Si se coloca un objeto a
18cm de la lente, calcular la distancia a la cual se encuentra la imagen de la lente.
p =  +  =18cm
q =  -  = Imagen virtual
f =  +  = lente convergente = 24cm
1 1 1
1 1 1
= +
o = +
f di do
f q p
dd
pq
f= i o =
di + do p + q
pq
f=
p+q
18cmq
24cm =
18cm+ q
3q
4=
18cm+ q
4q +72cm = 3q
4q - 3q = -72cm
q = -72cm
Problema 2
Una lente divergente de 30cm de distancia focal forma la imagen a 20cm del centro
óptico. ¿A qué distancia se colocó el objeto?
p = + = ?
q =  -  = Imagen virtual = -20cm
f =  -  = lente divergente = -30cm
dd
pq
f= i o =
di + do p + q
pq
f=
p+q
-20cmp
-30cm =
-20cm+p
2p
3=
-20cm+p
3p - 60cm = 2p
3p - 2p = 60cm
p = 60cm
12. Aumento de imagen en lentes:
A=
q + =imagen derecha
I di
=
=

O do
P  -  =imagen invertida
 I.do =O.di

p. I=q.o
Problema 1
Un objeto de 4cm de altura se encuentra ubicado a 20cm de una lente convergente
de distancia focal 12cm. Determine el tamaño de la imagen.
f=
f=
pq
p+q
pq
p+q
12cm=
20cm.q
20cm+q
5q
3=
20cm+q
5q=60cm+3q
5q-3q=60cm
q=30cm
p.I=q.o
20cm.I=30cm.4cm
I=6cm
Otra forma por semejanza de triángulos
4+I 20
=
I
12
4 8
=
I 12
1 2
=
I 12
I=6cm
13. Ecuación del fabricante de lentes
1  n  no   1
1 




f  no   R1 R2 
Problema 1
Una lente biconvexa de vidrio de índice de refracción 1.5 tiene radios de curvatura de
10cm y 15cm. Si la lente se encuentra en el aire, determinar la distancia focal de la lente.
1  n-no   1 1 
=
 - 
f  no  R 1 R 2 
1  1,5-1  1
1 
=


f  1  10cm -15cm 
1
1
1 
=  0,5  
+

f
 10cm 15cm 
1
3+2 
=  0,5  

f
 30cm 
1
5 
=  0,5  

f
 30cm 
f=12cm
Problema 2
Una lente plano convexa de material sintético de índice de refracción 1,5; tiene un radio
de curvatura de 40cm. Si es sumergido en un líquido trasparente de índice de refracción
2, determine f.
1  n-no   1 1 
=
 - 
f  no   R 1 R 2 
1  1,5-2  1
1 
=


f  2   -40cm 
1  -0,5  
1 
=
  0+

f  2   40cm 
1
1 
=  -0,25  

f
 40cm 
1 
1 
= 

f  160cm 
f=-160cm
14. Potencia óptica: En Óptica, se denomina potencia, potencia óptica, potencia de
refracción, o convergencia a la magnitud física que mide la capacidad de
una lente o de un espejo para hacer converger o divergir un haz de luz incidente. Es
igual al inverso de la distancia focal del elemento medida en metros. Al igual que
ocurre con la focal, la potencia es positiva para lentes convergentes y negativa para
las divergentes. Suele medirse en dioptrías, unidad igual al inverso del metro (m-1).
Características
La potencia óptica se emplea frecuentemente para caracterizar lentes en los campos de
la Optometría y el Diseño Óptico. Cuando dos o más lentes delgadas se encuentran en
contacto, la potencia óptica del sistema completo se puede aproximar por la suma de
las potencias de cada lente.
P
1
f
    Lentes convergentes
    Lentes divergentes

Unidad =m-1=dioptrías=dp
Problema 1
Una lente biconvexa de índice de refracción 1,5 y de radios de curvatura 10cm y 20cm
debe trabajar en el aire, calcular la potencia óptica de la lente.
1  n-no   1 1 
=
 - 
f  no  R 1 R 2 
1  1,5-1   1
1 
=


f  1   0,1m -0,2m 
1  0,5 
-1
-1
=
  10m +5m 
f  1 
1
=  0,5   15m-1 
f
1
=7,5m-1
f
1
P=
f
P=7,5dp
Problema 2
Un objeto de 48cm de altura se encuentra ubicado a 60cm de una lente divergente
produciendo una imagen de 12cm de altura. Calcule la potencia óptica de la lente.
Como podemos observar los triángulos ABC Y DBO son semejantes
f
12cm
=
60cm 36cm
f
1
=
60cm 3
f=-20cm
1m
f=-20cm.
100cm
f=-0,2m
1
p=
f
1
P=
-0,2m
p=-5m-1
p=-5dioptrías
p=-5dp
15. Asociación de lentes en contacto.
Potencia
PSL  P1  P2
1 1

f1 f2
1
1 1
 
f SL f 1 f 2
ff
f SL  1 2
f 1 +f 2
PSL 
Si las lentes se separan una distancia d
PSL  P1  P2  P1P2d
Problema 1
Dos lentes delgadas de 12cm y 24 cm de distancia focales están en contacto, cuál es la
potencia del sistema?
PSL = P1 +P2
1
1
100
25
P1 = =
=
=
f1 0,12m 12m 3m
1
1
100
25
P2 = =
=
=
f2 0,24m 24m 6m
25 25
PSL =
+
3m 6m
50 + 25
PSL =
6m
75
PSL =
6m
25
PSL =
2m
PSL =12,5m-1
PSL =12,5dp
Problema 2
Del problema anterior si las lentes se separan 9cm, cuál sería la nueva potencia del
sistema ?.
25 25 25 25
+
.0,09m
3m 6m 3m 6m
25 25 25 25 9
PSL =
+
.
m
3m 6m 3m 6m 100
25 25 25 1 1
PSL =
+
. m
3m 6m m 2m 4
PSL =
25 25 25
+
3m 6m 8m
200+100-75
PSL =
24m
325
PSL =
24m
PSL =9,375m-1
PSL =9,375dp
PSL =
Unidad n°6
Electricidad
La electricidad (del griego elektron, cuyo significado es ámbar) es el conjunto de
fenómenos físicos relacionados con la presencia y flujo de cargas eléctricas.
La electricidad se divide en: la electrostática(cargas en reposo) y la electrodinámica
(cargas eléctricas en movimiento).
1. Electrostática: es el estudio de las cargas eléctricas en reposo.
A. Carga eléctrica: es la propiedad de la materia que permite el traslado de los
electrones. Cualidad de perder o ganar electrones.
Benjamín franklin fue el primero en hablar de dos tipos de cargas positiva y negativa
Positiva: cuando el cuerpo pierde o cede electrones
Negativa: gana o acepta electrones carga resinosa
Neutra: cuando un cuerpo no gana ni pierde electrones entonces se dice que es neutro,
su carga es cero, está en equilibrio.
B. Electrización: efecto de ganar o perder cargas eléctricas, normalmente electrones,
producido por un cuerpo eléctricamente neutro.
Al frotar dos cuerpos eléctricamente neutros (número de electrones igual al número
de protones), ambos se cargan, uno con carga positiva y el otro con carga negativa. Si
se frota una barra de vidrio con un paño de seda, hay un traspaso de electrones del
vidrio a la seda. Si se frota un lápiz de pasta con un paño de lana, hay un traspaso de
electrones del paño al lápiz. Ejemplo: Un globo lo frotas en tu cabeza y luego lo pones
cerca de la cabeza de una persona, veras que su cabello se levanta.
El vidrio adquiere una carga eléctrica positiva al perder un determinado número de
cargas negativas (electrones); estas cargas negativas son atraídas por la seda, con lo
cual se satura de cargas negativas. Al quedar cargados eléctricamente ambos cuerpos,
ejercen una influencia eléctrica en una zona determinada que depende de la cantidad
de carga ganada o perdida, dicha zona se llama campo eléctrico, una explicación
sobre los materiales y como se cargan puede hallarse en el efecto triboeléctrico.
FORMAS DE ELECTRIZACIÓN : Cuando un cuerpo cargado eléctricamente se pone en
contacto con otro inicialmente neutro, puede transmitirle sus propiedades eléctricas. Este
tipo de electrización denominada por contacto se caracteriza porque es permanente y
se produce tras un reparto de carga eléctrica que se efectúa en una proporción que
depende de la geometría de los cuerpos y de su composición. Existe, no obstante, la
posibilidad de electrizar un cuerpo neutro mediante otro cargado sin ponerlo
en contacto con él. Se trata, en este caso, de una electrización a distancia o
por inducción o influencia. Si el cuerpo cargado lo está positivamente la parte del cuerpo
neutro más próximo se cargará con electricidad negativa y la opuesta con electricidad
positiva. La formación de estas dos regiones o polos de características eléctricas opuestas
hace que a la electrización por influencia se la denomine también polarización eléctrica.
A diferencia de la anterior este tipo de electrización es transitoria y dura mientras el
cuerpo cargado se mantenga suficientemente próximo al neutro. Finalmente, un cuerpo
puede ser electrizado por frotamiento con otro cuerpo, como aprecio Tales de Mileto en
el siglo sexto antes de Cristo.
Electrización por frotamiento La electrización por frotamiento se explica del siguiente
modo. Por efecto de la fricción, los electrones externos de los átomos del paño de lana
son liberados y cedidos a la barra de ámbar, con lo cual ésta queda cargada
negativamente y aquél positivamente. En términos análogos puede explicarse la
electrización del vidrio por la seda. En cualquiera de estos fenómenos se pierden o se
ganan electrones, pero el número de electrones cedidos por uno de los cuerpos en
contacto es igual al número de electrones aceptado por el otro, de ahí que en conjunto
no hay producción ni destrucción de carga eléctrica. Esta es la explicación, desde la
teoría atómica, del principio de conservación de la carga eléctrica formulado por
Franklin con anterioridad a dicha teoría sobre la base de observaciones sencillas.
Cuerpos neutros. Se procede a friccionar .Los cuerpos quedan cargados eléctricamente
Electrización por contacto La electrización por contacto es considerada como la
consecuencia de un flujo de cargas negativas de un cuerpo a otro. Si el cuerpo cargado
es positivo es porque sus correspondientes átomos poseen un defecto de electrones, que
se verá en parte compensado por la aportación del cuerpo neutro cuando ambos
entran en contacto, El resultado final es que el cuerpo cargado se hace menos positivo y
el neutro adquiere carga eléctrica positiva. Aun cuando en realidad se hayan transferido
electrones del cuerpo neutro al cargado positivamente, todo sucede como si el segundo
hubiese cedido parte de su carga positiva al primero. En el caso de que el cuerpo
cargado inicialmente sea negativo, la transferencia de carga negativa de uno a otro
corresponde, en este caso, a una cesión de electrones.
Uno de los cuerpos es neutro y el otro cargado positiva o negativamente. Se hace
contacto entre ellos. los cuerpos quedan cargados eléctricamente
Electrización por inducción: La electrización por influencia o inducción es un efecto de las
fuerzas eléctricas. Debido a que éstas se ejercen a distancia, un cuerpo cargado
positivamente en las proximidades de otro neutro atraerá hacia sí a las cargas negativas,
con lo que la región próxima queda cargada negativamente. Si el cuerpo cargado es
negativo entonces el efecto de repulsión sobre los electrones atómicos convertirá esa
zona en positiva. En ambos casos, la separación de cargas inducida por las fuerzas
eléctricas es transitoria y desaparece cuando el agente responsable se aleja
suficientemente del cuerpo neutro
.
C. Conductores y aislantes
Toda la materia está constituida por átomos y estos a su vez contienen cargas
positivas y negativas. Hay cuerpos que tienden a mantener fijas sus cargas, pero
existen otros en los cuales una parte de la carga se puede desplazar; los cuerpos que
mantienen fijas sus cargas o que les permiten un movimiento muy reducido se
conocen como materiales no conductores o aislantes y a los cuerpos en los que las
cargas se mueven con facilidad se les denomina materiales conductores.
Los materiales que son buenos conductores son aquellos formados por átomos que en
su último nivel energético tienen menos de cuatro electrones, por lo que los metales
son los mejores conductores, puesto que sus electrones se pueden mover con
facilidad y ello da como resultado que sean buenos conductores de la electricidad;
en cambio, cuando un material aislante es electrizado, solo se electriza en la parte por
donde se hizo contacto, por lo que no permite que las cargas circulen a través de él.
Aparte de los metales, también las soluciones de sales en agua (electrolitos) permiten
una buena conducción de la electricidad.
D. Cuantización de la carga: La carga eléctrica no se puede dividir indefinidamente
sino que existe una mínima cantidad de carga o cuanto de carga, es decir, la carga
está cuantizada. La mínima cantidad de carga se llama electrón.
E. Carga elemental.
La carga elemental o carga del electrón es la constante física que corresponde a la
unidad mínima e indivisible descarga: todas las cargas observables son un múltiplo
entero de esta carga. Su valor es: e = 1.602 176 462(63) × 10-19 Culombios
Q = N qE
Donde N=Numero de electrones perdidos o ganados (entero)
(+)Pierde electrones
(-)Gana electrones
qE =Carga elemental o carga del electrón= -1,6x10
-19
c
Observación
mc  103 c
c =10-6c
nc  10-9c
pc  10-12c
Problema 1
Si una esfera conductora es tocada por una barra cargada positivamente, la esfera
adquiere una carga de 4nc.calcule el número de cargas elementales que son
transferidas debido al contacto.
La esfera pierde electrones.
Q = N qE
Q =N qE
-19
4nc=NX1,6 10 c
-9
-19
4X 10 c =NX1,6 10 c
2,5X1010 =N
25X109 =N
9
La esfera pierde 25X10 electrones.
F. Primera ley de la electrostática o ley cualitativa
a) Cargas eléctricas del mismo signo generan fuerzas eléctricas de repulsión.
b) Cargas eléctricas de signos diferentes generan fuerzas eléctricas de atracción
Estas fuerzas cumplen la tercera ley de Newton, LEY DE ACCION Y REACCION.
F12  F21
Problema
En la figura se muestran tres cargas en los vértices de un triángulo equilátero. Determine
aproximadamente la dirección de la fuerza resultante sobre la carga ubicada en el
vértice A.
G. Segunda ley de la electrostática o ley cuantitativa
LEY DE COULOMB
Es una ley CUANTITATIVA: “La fuerza de atracción o repulsión en la línea que une los
centros entre dos cargas electrostáticas, es directamente proporcional al producto de sus
masas eléctricas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa
sus centros”.
F12 =F21 
k q1 q2
d2
Fuerza de atracción o repulsión, en newtons
q1, q2  Masas eléctricas que pueden ser positivas y/o negativas, en coulombios (
Distancia entre los centros de masa eléctrica, en metros “
).
”.
Coeficiente de proporcionalidad o constante eléctrica en el aire o vacío.
K  9.109 Nm 2 / c 2
K
1
4 0
Coeficiente de permitividad del medio, en
Problema 1
Dos cargas puntuales separadas una distancia de 10cm se repelen entre sí con una
fuerza de 0,08N. Si una de las cargas se duplica y la distancia entre ambas también se
duplica, la fuerza con que se repelerán será:
F
k q1 q2
d2
0,08N 
q1 ,d se duplican
Suposición
f 
k q1 q2
d2
k 2q1 q2
2d 
2
2k q1 q2

4d 2
k q1 q2

2d 2
1 k q1 q2

2 d2
1
 F
2
1
  0,08N 
2
 0,04N
f 
f
f
f
f
f
Problema 2
Dos esferas conductoras de radios iguales (mucho menores de 3cm) y con cargas de
-9
+8.10-9 c
y -40.10 c , respectivamente se ponen en contacto y posteriormente se las
separa 3cm. La fuerza en N , que actúa después sobre cada una de ellas es.
F
k q1 q2
d2
F
9.109 Nm 2 / c 2 -16c -16c
 0,03m 2
F  256.105N
Problema 3
Q  6C
Dos esferas muy pequeñas del mismo peso y de igual carga
, se Encuentran en
equilibrio como se muestra en la figura. Calcular la masa de cada esfera en gramos y la
tensión en la cuerda en Newton
FE 
FE 
k q1 q2
d2
9.10 9 Nm 2 / c 2 6.10-6 c 6.10-6 c
2
FE  o ,4N
  0,90m 
FE  mg  0
FE  mg
0,4N  mg
mg  0,4N
0,4N
m
g
0,4N
10m / seg 2
m  0,04kg  40kg
m
T -FE  mg  0
T = FE  mg
T  0,4N  0,4N
T = 0,8N
Problema 4
Una barra homogénea de 45.10-3 kg no conductora se encuentra suspendida en la
posición horizontal; determine “q” si las partículas electrizadas son de masa despreciable.
Se debe cumplir la segunda condición de equilibrio
  0
 t = F .0,5m- mg.1m = 0
E
FE .0,5m- mg.1m = 0
FE .0,5m = mg.1m
mg.1m
FE =
0,5m
10m/seg2
-3
FE = 45.10 kg
0,5
-3
FE = 900.10 kgm/seg2
FE = 0,9N
FE = 9.10-1N
Ley de coulomb
FE 
k -q q
d2
FE =
kqq
d2
9.109 Nm2 /c2q2
1m2
109 m2 /c2q2
10-1 =
1m2
109 q2
-1
10 =
c2
109 q2
=10-1
2
c
10-1c2
q2 =
109
2
q =10-1-9 c2
9.10-1N =
q2 =10-10 c2
q2 = 10-10 c2
q =10-5 c
Problema 5
Una partícula electrizada con q1=+5µc se encuentra incrustada sobre un bloque de
madera el cual está unido a un resorte de k=5N/cm, tal como se muestra. Determine la
deformación del resorte si el bloque se encuentra en reposo.
q2=-10µc.
Ley de Hooke
F=-kx
Ley de Coulomb
FE 
FE 
FE 
k q1 q2
d2
9.10 9 Nm 2 / c 2 +5µc -10 µc
 0,30m 2
9.10 9 Nm 2 / c 2 .50.10 12 c 2
 3.10
1
m
2
9.10 9 Nm 2 .50.10 12
9.10 2 m 2
10 9 N .50.10 12

10 2
50.10 3 N

10 2
 50.10 1 N
 5N
FE 
FE
FE
FE
FE
Por la primera condición de equilibrio

 FX = 0

 FY = 0
F = 0  
F
F
X
= F -FE = 0
= N- mg = 0
F -FE = 0
FE = F
5N = kx
kx = 5N
5N
x=
k
5N
x=
5N/cm
x =1cm
Y
Problema 6
Sobre los extremos de un segmento AB de 1.00 m. de longitud se fijan dos cargas.
Una q1 =+4 x 10-6C.sobre el punto A y otra q2=+1 x 10-6C. sobre el punto B .
a) Ubicar una tercera carga q=+2 x10-6C. sobre AB de modo que quede en equilibrio
bajo la acción simultánea de las dos cargas dadas.
b) La ubicación correcta de q, ¿depende de su valor y signo?
a) para obtener la posición de la carga q en el punto C de modo que se encuentre en
equilibrio, se debe dar que la fuerza total sobre ella sea nula, es decir que la
interacción entre la carga q1q y q2q deben ser fuerzas de igual módulo y sentidos
opuestos.
O por factorización.
(3d-2)(d-2)=0
Como el dato que estamos buscando es entre las cargas que se encuentran separadas 1
m. en total, la solución buscada es d=2/3m. Por lo que la distancia a la otra carga será 1 2/3m = 1/3m.
b) La ubicación de q no depende de su valor ni de su signo. Que no depende de su
valor se ve claramente cuando se produce su simplificación en la igualdad módulos.
En cuanto al signo, tanto sea la carga q positiva o negativo, da como resultado que
los vectores que actúan sobre ella son siempre opuestos, pues ambos serán de
repulsión o de atracción, respectivamente.
Problema 7
Dada la configuración de cargas que se observan en el dibujo adjunto, calcular la fuerza
que actúa sobre cada una de las cargas.
q1= - 4 x 10-3 C. q2= - 2 x 10-4 C. q3=+5 x 10-4 C.
Para poder calcular la fuerza neta sobre cada una de las cargas, debemos aplicar la ley
de Coulomb tomándolas de a pares.
Cálculo entre q1q2
Ahora deberemos resolver la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada uno de los
puntos pedidos.
Resultante sobre carga q1
Para hallar dicha resultante lo haremos por el método de las componentes rectangulares.
Para ello debemos realizar la proyección de los vectores sobre ejes coordenados elegidos
de modo que resulte cómodo su uso para los cálculos a realizar. De la forma elegida el
vector Fq1q2 tiene las siguientes componentes:
Fyq1q2= Fq1q2= 7,2 x 105N
Fxq1q2= 0
En cuanto al vector Fq1q3 las componentes son las siguientes:
Para lo cual debemos conocer el ángulo a que puede ser determinado en base a las
medidas de la figura que forman las tres cargas eléctrica. El ángulo a es la suma de 270º
+ β y el valor β se obtiene como
Las componentes serán: Fxq1q3 = Fq1q3 . cos a = 9 x 105 cos 315º = 6,4 x 105 N
Fyq1q3 = Fq1q3 . sen a = 9 x 105 sen 315º = -6,4 x 105 N (el signo de menos precisamente
indica que sobre el eje y la componente tiene el sentido contrario al elegido para el eje apunta hacia las y negativas)
Cálculo de las componentes rectangulares de Fq1
Fxq1= Fxq1q3 + Fxq1q2 = 6,4 x 105 N + 0 = 6,4 x 105 N.
Fyq1= Fyq1q3 + Fyq1q2 = -6,4 x 105 N +7,2 x 105 N = 8 x 104 N
Teniendo las componentes rectangulares podemos calcular el módulo de la resultante y
el ángulo que forma con el eje de las x.
Con igual procedimiento se calculan los otros dos valores solicitados
H. Campo eléctrico: región del espacio que permite los fenómenos eléctricos entre las
cargas. Llamaremos infinito a esa parte que rodea el campo eléctrico, es decir, el
lugar donde ya no existe la interacción eléctrica
Carga de prueba: Por carga de prueba debe entenderse una carga positiva tan
pequeña que no altere la distribución de las demás cargas, que son las que provocan el
campo que se está midiendo
El campo eléctrico es un concepto similar al de campo gravitacional. En ambos, existe
una fuerza que actúa a distancia, lo que no fue fácil de aceptar para los pensadores
antiguos. La idea de campo se extiende de toda carga hacia fuera e invade todo el
espacio. Cuando se coloca una segunda carga cerca de la primera, "siente" una fuerza
debido a que el campo eléctrico está allí. Se considera que el campo eléctrico en el
lugar de la segunda carga interactúa directamente con esa carga para producir la
fuerza.
Se puede medir y cuantificar el campo eléctrico que rodea una carga, un grupo de
cargas o una distribución continua de cargas midiendo la fuerza sobre una carga de
prueba positiva y pequeña..
Para mayor claridad, supongamos una carga positiva única Q, a la cual deseamos medir
su campo mediante la colocación de una carga de prueba q (positiva y pequeña) en los
puntos a, b y c.
Sabemos que las fuerzas se dirigen radialmente hacia fuera de Q y que su magnitud está
dada por la Ley de Coulomb.
Líneas de fuerza: es posible conseguir una representacion grafica de un campo de
fuerzas empleando las llamadas lineas de fuerza.Son lienas imaginarias que describen,si
los hubiere,los cambios en direccion de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso
del campo eléctrico puesto que tiene magnitud y sentido, se trata de cantidad vectorial,
y las lineas de fuerza o lineas del campo eléctrico indican las trayectorias que seguiran las
particulas positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas de
campo. El campo eléctrico sera un vector tangente a la linea de fuerza en cualquier
punto considerado.
 Partícula electrizada
Una carga puntual positiva dara lugar a un mapa de lineas de fuerza radiales, pues las
fuerzas eléctricas actuan siempre en la direccion de la linea que une a las cargas
interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas moviles positivas se
desplazarian en ese sentido(fuerzas repulsivas)
En el caso del campo debido a una fuerza puntual negativa el mapa de lineas de fuerza
seria analogo, pero dirigidas hacia la carga central
 Dipolo eléctrico: como consecuencia de lo anterior , en el caso de los campos
debidos a varias cargas las lineas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y
mueren en las cargas negativas. Se dice por ello que las primeras son
“manantiales”y las segundas “sumideros” de lineas de fuerza
 Campo eléctrico uniforme: Es aquél en el cual el vector intensidad del campo
eléctrico tiene el mismo módulo, dirección y sentido en todos sus puntos, en cuyos
caso las líneas de campo eléctrico son equidistantes y paralelas.
 Campo eléctrico en una esfera conductora:
 Campo eléctrico en una carga:


E 
FE
q

FE  Fuerza eléctrica
q = carga

E  int ensidad del campo eléctrico
Problema
Una partícula que tiene 5.1020 electrones en exceso al estar muy cerca de una carga
experimenta una fuerza de 400N. Calcular la intensidad del campo eléctrico.
q = ±N qE
q = -5.1020 1,6.10-19 c
q = -5.1020 1,6.10-19 c
q = -8.1020-19 c
q = -8.10c
q = -80c
F=400N

E 
FE
q
E 
FE
q

400N
80C
E = 5N/C
E=
 Campo eléctrico en un punto
KQ
E  2
d
K  9.109 Nm 2 / c 2
Problema
Sea una carga de 4µc.cual será el campo eléctrico que producirá a 3m de distancia?
KQ
E  2
d
KQ 9.109 Nm2 /c2 .4.10-6 c
E= 2 =
d
 3m2
KQ 9.109 Nm2 /c2 .4.10-6 c
E= 2 =
d
9m2
KQ
E = 2 =109 N/c.4.10-6
d
E = 4000N/c
E = 4KN/C
 Superposición de campos eléctricos




E P  E 1E 2 E 3
Problema
La figura muestra dos cargas puntuales Q1=12µC colocadas fijamente en dichas
posiciones, si el medio es el aire, determine el valor de la carga Q2 (en c) que hace
posible que la magnitud del campo eléctrico en el punto “p” sea:

432.105 i N / c
kQ1 9.109 Nm2 /c2 .12.10-6 c
E= 2 =
2
d
 0.1m
E=
kQ1 108.109 Nm2 /c2 .10-6 c
=
2
d2
10-1m
kQ1 108.109 Nm2 /c2 .10-6 c
E= 2 =
d
10-2 m2
E =108.N/c.109-6+2
E =108.105 N/c



EP  E 1E 2
E 2  E P E 1
E 2  432.105 N / c  108.105N / c
E 2  324105 N / c
Pero
E2 =
kQ2
d2 2
9.109 Nm2 /c2Q2
324.10 N/c =
(0,05m)2
9.109 Nm2 /c2Q2
= 324.105 N/c
2
(0,05m)
9.109 Nm2 /c2Q2
= 324.105 N/c
-2
2
(5.10 m)
9.109 Nm2 /c2Q2
= 324.105 N/c
-4
2
25.10 m
324.105.25.10-4 c.
Q2 =
9.109
Q2 = -9.10-6 c
5
 Campo eléctrico uniforme: es aquel en el que las líneas de fuerza son paralelas, se
debe cumplir además que el campo siempre sea el mismo en cualquier punto de
dicha región.
Problema.
Una gota de aceite cargada, con una masa de 10-4g se halla estacionaria en un
campo eléctrico vertical que tiene 200N/c de intensidad. La carga eléctrica de la
gota es:
m =10-4 g.
kg
=10-7 kg
3
10 g
Aplicando la primera condición de equilibrio.
FE - mg = 0
FE = mg
qE =10-7 kg.10m/seg2
q.200N/c =10-7 kg.10m/seg2
10-710N
q=
= 0,5.10 *8 c = 5.10 -9 c
200N/c
I. Flujo eléctrico: el flujo eléctrico, o flujo electrostático es una cantidad escalar que
expresa una medida del campo eléctrico que atraviesa una determinada
superficie, o expresado de otra forma, es la medida del número de líneas de campo
eléctrico que penetran una superficie. Su cálculo para superficies cerradas se realiza
aplicando la ley de Gauss. Por definición el flujo eléctrico parte de
las cargas positivas y termina en las negativas, y en ausencia de las últimas termina
en el infinito.
´
El concepto de flujo eléctrico es de utilidad en asociación con la ley de Gauss. El flujo
eléctrico a través de un área plana se define como el campo eléctrico multiplicado
por la componente del área perpendicular al campo
PROBLEMA
Sea una placa rectangular de 2m y 3m por el cual van a pasar lineas del campo
eléctrico uniforme cuya intensidad es de 50N/C,formando 30°con la normal de la
placa.Calcular el flujo eléctrico.
A=b.h=2m.3m=6m2
φ
E =EA

φE =EACOS37°A
φE=50N/c.6m2 .COS37°
φ
4
2
E=50N/c 6m
5
φE=240Nm2 /c
J. Densidad de carga: En muchas ocasiones no tenemos la cantidad total de carga
acumulada en un cuerpo, pero sabemos de que forma aquella está distribuida por
unidad de longitud, de superficie o de volumen. De esta forma, sabiendo que
cantidad de carga tenemos por cada una de estas unidades podemos calcular la
carga total.
Densidad lineal de carga. La densidad lineal de carga (λ) expresa la cantidad de
carga por unidad de longitud (Coulomb / metro).
Densidad superficial de carga
La densidad superficial de carga (σ) expresa la cantidad de carga por unidad de
superficie (Coulomb / metro cuadrado).
Ó
También
Densidad volumétrica de carga
La densidad volumétrica de carga (ρ) expresa la cantidad de carga por unidad de
volumen (Coulomb / metro cúbico).
K. Ley de Gauss: el fujo eléctrico neto a traves de una superficie cerrada cualquiera es
0.
φE =
q (neta encerrada)
0
0= 8.85.10-2 c2/Nm2 = permitividad eléctrica en el vacio
Problema
Una esfera conductora cargada uniformemente y de 1m de diámetro tiene una
densidad de carga superficial de 8,0c/m 2.cual es el flujo total que sale de la superficie
de la esfera en Nm2/c
=
q
A
q A
Como es una esfera
A  4 r 2
q  4 r 2
φE =
4 r 2
0
4  3.1416 0.5m .8c/m2
φE =
8.85.10-12 c2 /Nm2
φE = 2,84Nm2 /c
2
L. Campo eléctrico nulo:



E 1E 2 E 3  0
Problema
Tres cargas eléctricas puntuales q1, q2 ,q3 están colocadas en los vértices de un
triángulo equilátero para que el campo eléctrico sea nulo en el baricentro del
triángulo, la relación entre las cargas debe ser:



E1 E2 E3
kq1 kq2 kq3
= 2 = 2
d2
d
d
q1 = q2 = q3
M. Energía potencial eléctrica: Es la energía que presenta una partícula cargada en
un determinado punto, es la capacidad para realizar un trabajo que surge de la
posición o configuración .En el caso eléctrico, una carga ejercerá una fuerza sobre
cualquier otra carga y la energía surge del conjunto de cargas. Por ejemplo, si
fijamos en cualquier punto del espacio una carga positiva, cualquier otra carga
positiva que se traiga a su cercanía, experimentara una fuerza de repulsión y por lo
tanto tendrá energía potencial.
Las siguientes formulas se utilizan para encontrar la energía
potencial eléctrica

Para una partícula electrizada
E
E PE WAF
Unidades: joule (j)

Para una carga estacionaria
E PE 
kQq
d
Q=Carga estacionaria
d=distancia
q=carga que se somete a la energía

Para un sistema de partículas cargadas
EPE123 =EPE12 +EPE23 +EPE13
1. Para un campo uniforme
EPE = ±qEd
(+) Si el movimiento y el campo eléctrico están en la misma
dirección
(-) Si el movimiento está en contra del campo eléctrico
Problema 1
A partir de la posición mostrada calcular la energía potencial eléctrica que posee la
partícula cargada q0=4µc
Ley de coulomb
kq q
FE  1 2 2
d
9.109 Nm2 /c2 5.10-6 c 4.10-6 c
FE =
(0,02m)2
180.109.10-12 c2Nm2 /c2
FE =
(2.10-2 m)2
180.109.10-12 Nm2
FE =
4.10-4 m2
45.109.10-12 N
FE =
10-4
FE = 45.101N
FE = 450N
E
E PE WAF
d=2cm=0,02m
EPE = FE .d
EPE = 450N.0,02m
EPE = 9J
Problema 2
De la figura mostrada, calcular la energía potencial eléctrica que posee q0=6µc,
cuando está en la posición mostrada(Q=40µC)
E PE 
EPE =
kQq 0
d
9.109 Nm2 /c2 .40.10-6 c.6.10-6 c
 0.12m
2
9.109 Nm2 .40.10-66.10-6
EPE =
12.10-2 m
9.109 Nm2 .40.10-66.10-6
EPE =
12.10-2 m
3.109 Nm2 .10.10-66.10-6
EPE =
10-2 m
EPE =18J
Problema 3
Hallar la energía potencial en el sistema de partículas
q1=40µc q2=20µc q3=10µc
EPE123 =EPE12 +EPE23 +EPE13
kq1q2
d12
9.109 Nm2 /c2 .40.10-6 c.20.10-6 c
=
2.10-2 m
9.109.40.10-6.10.10-6 Nm
=
10-2
= 360Nm
= 360J
EPE12 =
EPE12
EPE12
EPE12
EPE12
kq2q3
d 23
9.109 Nm2 /c2 .20.10 -6 c.10.10 -6 c
=
2.10-2 m
9.109.10.10-6.10.10-6 Nm
=
10-2
= 90Nm
EPE23 =
EPE23
EPE 23
EPE 23
EPE 23 = 90J
kq1q3
d13
9.109 Nm2 /c2 .40.10-6 c.10.10-6 c
=
2.10-2 m
9.109.20.10-6.10.10-6 Nm
=
10-2
=180Nm
EPE13 =
EPE13
EPE13
EPE13
EPE13 =180J
EPE123 = EPE12 +EPE23 +EPE13
EPE123 = 360J+90J+180J
EPE123 = 630J
Problema 4
La figura muestra un péndulo de longitud L=50cm, de masa 50g y cantidad de carga
500mc, se abandona en la posición A. La intensidad del campo eléctrico es de 600N/c.
Calcular la rapidez máxima que adquiere durante su movimiento.
1m
50
=
m = 0,5m
100cm 100
1kg
m = 50g.
= 0,05kg
1000g
L = 50cm.
Conservación de la energía mecánica
EMA = EMB
ECA +EPA = ECB +EPB
mv 2
0J+mgh+ qEd =
+ oJ
2
m
0,05kgv 2
-6
0,05kg.10
.0,5m+ 500.10 c.600N/c.0,5m =
seg2
2
2
0,05kgv
m
= 0,05kg.10
.0,5m+ 500.10 -6.600.0,5Nm
2
2
seg
2
0,05kgv
m2
= 0,25kg.
+150000.10 -6 kgm/seg2 .m
2
2
seg
2
0,05kgv
m2
m2
4
-6
= 0,25kg.
+15.10 .10 kg
2
seg2
seg2
0,05kgv 2
m2
m2
-2
-2
= 25.10 kg.
+15.10 kg
2
seg2
seg2
2
0,05v 2
-2 m
= 40.10 .
2
seg2
m2
5.10-2 v 2 = 80.10 -2.
seg2
m2
2
5.v = 80.
seg2
m2
2
v =16.
seg2
m2
v = 16.
seg2
v = 4m/seg
2
N. potencial eléctrico: Se conoce como potencial eléctrico al trabajo que un campo
electrostático tiene
que llevar a cabo para movilizar una carga positiva unitaria de
un punto hacia otro. Puede decirse, por lo tanto, que el trabajo a concretar por una
fuerza externa para mover una carga desde un punto referente hasta otro es el
potencial eléctrico.
como fórmula, se indica que el potencial eléctrico de un punto X a un punto Y es el
trabajo necesario para mover la carga positiva unitaria q desde X a Y. Los voltios y
los joules (o julios) son las unidades que se emplean para expresar el potencial
eléctrico.
Es importante considerar que el concepto de potencial eléctrico parte de la idea de
lo que se conoce como campo conservativo, donde existe una fuerza con tendencia
a compensar la propia fuerza del campo para que la partícula con carga se
mantenga en equilibrio estático. Si la intención es trabajar con cargas que estén en
movimiento, es necesario apelar a los potenciales de Liénard-Wiechert.
En el marco de un circuito eléctrico, el potencial eléctrico existente en un punto refleja
la energía que tienen las unidades de carga al pasar por el punto en cuestión.
Cuando la unidad de carga va recorriendo el circuito a la manera de corriente
eléctrica, pierde energía mientras pasa por los distintos componentes. Dicha pérdida
de energía tendrá diferentes manifestaciones a través de trabajos como la iluminación
que aparece en una lámpara o el movimiento que se logra en un motor, por citar dos
posibilidades. Para recuperar la energía, la carga debe pasar por un generador de
tensión.
AE
W
P
Vp 
q0
Unidades =joule/coulomb=j/c=volt(v)
Ahora veamos el potencial eléctrico en un punto
AE
W 
P
Vp 
q0
kQq 0
Vp  d
q0
kQ
Vp 
d
Problema 1
Una carga de 6µc es llevada desde el infinito hasta una region del campo
eléctrico(C.E) generado por una carga de 20µc, hasta una distancia de 20cm. Hallar
el potencial eléctrico generado.
F -F E = 0
F = FE
Calculemos entonces la fuerza eléctrica
F E= k
qq0
d2
20.10-6 c.6.10-6 c
F E = 9.10 Nm /c
(0,2m)2
-6
-6
9
2
2 20.10 c.6.10 c
F E = 9.10 Nm /c
4.10-2 m2
-6
-6
9
2
2 5.10 c.6.10 c
F E = 9.10 Nm /c
10-2 m2
F E = 270.10-1N
F E = 27N
9
2
2
AE
W
P =F.d
AE
W
P = 27N.0,2m
AE
W
P = 5,4J
Vp
Vp
Vp
Vp
Vp
AE
W
P

q0
5,4 J

6.10 6 c
 0,9.106 J / c
 0,9.106V
 0,9.MV
Problema 2
Determinar el potencial eléctrico en un punto situado a 9m de una particula
electrizada con 5µc
kQ
d
9.109 Nm2 /c2 5.10 -6 c
Vp =
9m
9
Vp =10 Nm/c5.10 -6
Vp =
Vp = 5.10 3 J/c
Vp = 5.10 3 V
Vp = 5kV
Problema 3
A que distancia de una carga de 4µc el potencial eléctrico es 1800V?
kQ
d
kQ
d=
Vp
Vp =
9.109 Nm2 /c2 4.10 -6 c
1800J/c
3
36.10 Nm2 /c
d=
1800Nm/c
d = 20m
d=
O. diferencia de potencial
AE
W
B
VB 
q0
AE
W
A
VA 
q0
W AAEB
VB V A 
q0
VB V A  V
Problema 1
Calcular el trabajo desarrollado para llevar la carga eléctrica de 5µc desde el punto A
hasta el punto B.
Q=4mC
kQ
dB
9.109 Nm2 /c2 4.10-3 c
VB =
5m
6
VB = 7,2.10 J/c
VB =
VB = 7,2.106 V
kQ
dA
9.109 Nm2 /c2 4.10 -3 c
VA =
3m
VA =12.106 J/c
VA =
VA =12.106 V
VB - VA = 7,2.106V  12.106V
VB - VA  4.8.106V
W AAEB
q0
 q 0 (V B V A )
 5.10-6 c ( 4.8.106V )
 24.100 c .J / C
 24 J
VB V A 
W AAEB
W AAEB
W AAEB
W AAEB
P. Cantidad de trabajo contra el campo eléctrico
WAAEB  q 0 (VB V A)
Para el campo eléctrico C.E
WACEB  WAAEB
Problema 1
Una esfera electrizada con cantidad de carga Q=4.10-4C genera a su alrededor un
campo eléctrico. Determinar la cantidad de trabajo realizado por el campo eléctrico
para trasladar una carga eléctrico q=+6µc desde la posición A hasta B.
kQ
dB
9.109 Nm2 /c2 4.10-4 c
VB =
0,3m
6
VB =12.10 J/c
VB =
VB =12.106 V
kQ
dA
9.109 Nm2 /c2 4.10-3 c
VA =
0,4m
6
VA = 9.10 J/c
VA =
VA = 9.106 V
VB - VA =12.106V  9.106V
VB - VA  3.106V
W AAEB
q0
 q 0 (V B V A )
 6.10-6 c (3.106V )
 18.100 c .J / c
 W AAEB
 18 J
V B V A 
W AAEB
W AAEB
W AAEB
W ACEB
W ACEB
Q. Superposicion de potenciales eléctricos
Vp = V1 + V2 + V3
kQ1 kQ2 kQ3
Vp =
+
+
d1
d2
d3
Problema
Se muestra cuatro esferas pequeñas electrizadas en los vertices de un cuadrado de
lado “L”. Si la esfera de cantidad de carga +2Q genera un potencial eléctrico de 10V
en el centro del cuadrado, determinar el potencial eléctrico resultante en el centro
del cuadrado.
kQ
d
K  2Q 
10 =
d
KQ
5=
d
Vp =
Superposición de potenciales eléctricos
kQ k  2Q  kQ k  3Q 
Vc =



d
d
d
d
kQ 2kQ kQ 3kQ
Vc =



d
d
d
d
7kQ
Vc =
d
Vc = 7.5V
Vc = 35V
R. Superficie equipotencial:
VC = VD
VA = VB
Problema
Se muestra algunas superficies equipotenciales y la trayectoria de una partícula.
Determinar la cantidad de trabajo realizado por un agente externo contra el campo
eléctrico para llevar una partícula electrizada q=20µc desde el punto “A “hasta el
punto “B”.
VA = -20V
VB = 40V
q 0 = 20  c = 20.10 -6 c
W AAEB  q 0 (V B V A )
W AAEB  20.10-6 c (40V   20 V )
W AAEB  20.10-6 c (60V )V
J
W AAEB  1200.10-6 c .
c
3
AE
W AB  1.2.10 J
W AAEB  1.2mJ
3. Electrodinámica
A. INTRODUCCIÓN
Al contrario de lo que ocurre con la electrostática, la electrodinámica se
caracteriza porque las cargas eléctricas se encuentran en constante
movimiento. La electrodinámica se fundamenta, precisamente, en el
movimiento de los electrones o cargas eléctricas que emplean como soporte
un material conductor de la corriente eléctrica para desplazarse.
Todos los cuerpos conocidos en la naturaleza, ya sean sólidos, líquidos o
gaseosos, se componen de átomos o moléculas de elementos químicos
simples o compuestos.
Las moléculas del agua que tomamos para aliviar la
sed, por ejemplo, están formadas por dos átomos
de hidrógeno y uno de oxígeno (H2O).
Formación
de
una
molécula de agua
En un vaso de agua están presentes miles de millones de moléculas formadas
por esos dos elementos químicos.
Todos los átomos o moléculas simples se componen de un
núcleo formado por protones y neutrones, y alrededor de
ese núcleo gira constantemente una nube de electrones
situados en una o en varias órbitas, según el elemento
químico de que se trate, de forma similar a como giran los
planetas alrededor del sol. Es decir, que cada átomo
viene siendo un sistema solar en miniatura, tal como se
puede ver en la ilustración del átomo de cobre (Cu), que
aparece a la izquierda.
Los protones de los átomos poseen siempre carga
eléctrica positiva, los neutrones carga neutra y los
electrones carga eléctrica negativa.
La cantidad de protones presentes en el núcleo de un átomo neutro siempre
es igual a la de los electrones que se encuentran girando en sus respectivas
órbitas. Un átomo en estado neutro tiene el mismo número de cargas
negativas que positivas.
Ahora bien, un átomo puede ganar o ceder
electrones de su última órbita empleando medios
químicos o eléctricos y convertirse así en un ión
negativo o positivo del elemento de que se trate,
exceptuando los átomos de los gases nobles.
En ese caso podemos decir que se trata del ión de
un elemento determinado como pudiera ser, por
ejemplo, hidrógeno (H), cobre (Cu), zinc (Zn),
plomo (Pb), etc.
Cuando el átomo cede o pierde electrones se convierte en un ión positivo o
catión, pues la cantidad de protones con carga positiva superará a la de los
electrones con carga negativa. Si por el contrario, el átomo en lugar de ceder
electrones los capta o gana en su última órbita, se convierte en un ión
negativo o anión, al ser superior la cantidad de electrones con carga
negativa en relación con la carga positiva de los protones agrupados en el
núcleo. Es necesario aclarar que el máximo de electrones que puede
contener la última capa u órbita de un átomo son ocho.
B. DEFINICION: es el estudio de las cargas eléctricas en movimiento.
C. Corriente eléctrica:es la cantidad de carga que fluye a traves de una sustancia que
puede ser solida liquida o gaseosa.
Es el movimiento de cargas eléctricas o electrones por un medio conductor .
El sentido del movimiento convencional es contrario al movimiento real
D. Conductor electrico: aquella sustancia que puede conducir la corriente electrica,es
decir,es el medio por el cual se puede conducir la corriente electrica.hay diferentes
tipos de conductores: malos y buenos conductores.Lo que nos interesa son los buenos
conductores. El mejor conductor electrico es el metal. La siguiente lista de metales
muestra la mejor conductiva en el primero orden,luego en el segundo y asi
sucesivamente
Plata(Ag), cobre(Cu),oro(Au),aluminio(Al). Otro mejor conductor que no es metal es
el grafito una variada aleotropica del carbono, el cual puedes encontrar en la mina
de tu lapiz.
Tambien hay algunos materiales que no son buenos conductores, que son malos o
pésimos conductotres, a esto se les llama aislantes, es decir,es aquel que no conduce
facilmente la electricidad o corriente electrica.a un aislante eléctrico se le llama
dieléctrico.
E. Diferencia de potencial voltaje o caida de tension:preguntemonos ¿como es que se
produce el flujo de electrones?,o sea, porque los electrones viajan de un lugar a otro?,
que hace posible eso?, que hace posible que los electrones vayan de un lugar a
otro?, debe haber una energia que produce ese movimiento,que impulsa a los
electrones para que vayan por el conductor eléctrico y sabes quien lo impulsa los
dispositivos que permiten o ayudan a que se produzca la eléctricidad, la corriente
electrica y a estos se les llama fuente de voltaje o tambien diferencia de potencial
que va a producir una caida de tension.
VBA = VA - VB
F. Fuerza electromotriz(F.E.M) y diferencia de potencial:es como una fuerza capaz de
reponer la caida de tensión
Hoy en día se llama Diferencia de Potencial a lo que Ampere llamó Tensión
Eléctrica y es la magnitud que determina la energía necesaria para mover
una unidad de carga (sea cual sea la unidad que hayamos elegido para
medirla) entre dos puntos o regiones del espacio entre los/las cuales haya que
mover a dicha carga.
Desde Tales de Mileto hasta Galvani,
el desarrollo de la electricidad se limitó
a
todos
aquellos
fenómenos
observables, donde la electricidad era
producida por frotamiento o, por
algunas máquinas que producían
carga eléctrica estática de diferentes
signos, pero en cantidades pequeñas
que producían flujos de ella de corta
duración. Fue a partir de Alejandro
Volta que se empezaron a generar
corrientes eléctricas más estables y de
Alejandro Volta
más larga duración gracias a su
invento La Pila Eléctrica.
Concepto de Fuerza electromotriz.
El término fuerza electromotriz se utiliza
para referirse a la capacidad que
tienen algunos aparatos para movilizar
la carga eléctrica. Por ejemplo, las
pilas, los acumuladores o baterías de
automóvil, el generador o alternador
de un automóvil o de una represa
hidroeléctrica o de una planta
termoeléctrica, las baterías solares de
una
nave
espacial,
los
transformadores, son todos dispositivos
o aparatos diseñados para poner la
carga eléctrica en movimiento y se les
llama fuentes de fuerza electromotriz.
Se supone que en su esencia, estos aparatos ejercen una fuerza sobre las
cargas eléctricas y las ponen en movimiento, de allí el nombre de
generadores de fuerza electromotriz. Sin embargo la magnitud de la fuerza
electromotriz (f.e.m.) no se mide a través de la fuerza eléctrica sino por medio
de la energía que estos aparatos utilizan para mover una unidad de carga.
Tipos
de
Fuentes
de
Fuerza
electromotriz. Dependiendo del tipo
de corriente eléctrica que pueden
producir se clasifican en tres tipos:
a) Fuentes de Fuerza Electromotriz
directa
(C.D
) como
las
pilas,
acumuladores, baterías solares y otros
que se mencionaran más adelante. En
este caso la corriente que producen
es de un valor constante dentro de un
intervalo
relativamente
grande.
Ejemplo de este tipo de fuentes se
muestran en las fotografías siguientes.
Fuentes de Fuerza Electromotriz alterna
(C.A) como los generadores eléctricos
de los carros que son los encargados
de proporcionar electricidad, cuando
el vehículo está en funcionamiento o
como las plantas generadoras de
electricidad doméstica. Se diferencian
de los anteriores por que la corriente
que producen es variable en el tiempo,
no sólo en magnitud sino también de
dirección. Su funcionamiento esta
apoyado en el principio de las
Corrientes Inducidas descubierto por
Faraday. En la figura siguiente se
muestra una manera de inducir
corrientes eléctricas alternas.
Fuentes de Fuerza Electromotriz
variable no alterna. En este caso la
corriente producida es variable, por
ejemplo: el encendedor piezoeléctrico
de la cocina produce una descarga
eléctrica en el aire variable en
intensidad y de muy corta duración.
Causas
de
la
Fuerza
Electromotriz.
Las causas de la Fuerza electromotriz son diversas, pero en cualquiera de ellas
se genera una fuerza eléctrica que es capaz de mover cargas eléctricas.
Fuerza electromotriz por Frotamiento.
Cuando se frota un peine de plástico
se genera una carga eléctrica estática
que produce fuerzas de atracción o
repulsión
sobre
otras
cargas,
poniéndolas en movimiento si son libres
de moverse.
Fuerza electromotriz por inducción. En
este caso las cargas eléctricas se
ponen en movimiento si se produce un
campo magnético variable cerca de
una bobina fija, o viceversa, se mueve
una bobina cerca de un imán o
electroimán. Un esquema de este
sistema se muestra en la siguiente
figura.
Fuerza electromotriz por presión. Algunos materiales como el cuarzo generan
una fuerza electromotriz cuando son sometidos a presión. Algunos
encendedores de cocina o para fumadores utilizan este principio.
Fuerza electromotriz por temperatura.
Al calentar el punto de contacto de
dos metales diferentes aparece una
pequeña fuerza electromotriz, tal es el
caso de los termopares como el que se
ilustra
en
la
figura.
Este aparato genera una fuerza
electromotriz
que
aumenta
al
aumentar la temperatura.
Fuerza electromotriz por Radiación
electromagnética. Cuando la Luz
incide sobre determinados materiales
(silicio, germanio) se produce una
fuerza electromotriz dando lugar a
aplicaciones importantes como el
aprovechamiento de la energía solar
por medio de baterías solares.
Fuerza electromotriz producida por
reacciones químicas. Este es uno de los
sistemas más populares y está basado
en la invención de Volta. En este tipo
de aplicación se necesitan dos
electrodos sumergidos en un medio
conductor. Tal es el caso de las pilas
secas, las baterías para automóviles,
las celdas de combustible y otras
aplicaciones en las que una reacción
química genera la fuerza electromotriz.
Diferencia de potencial. Cuando una
fuente de fuerza electromotriz se
conecta a un material cualquiera, se
transmite su capacidad de tener en
movimiento las cargas eléctricas, de
tal manera que si el material hay
cargas eléctricas, ellas serán puestas
en movimiento en un camino cerrado
denominado
circuito
eléctrico,
estableciéndose así una Corriente
Eléctrica
La descripción de la corriente eléctrica
dentro del material se hace a través de
un concepto denominado potencial y
está asociado con la posición dentro
del material. Se dice que en un
material conductor habrá corriente
eléctrica si existe una diferencia de
potencial o una tensión eléctrica entre
dos puntos diferentes de él . La
diferencia de potencial entre dos
puntos de una región del espacio, se
define de manera similar a la fuerza
electromotriz,
como
el
trabajo
realizado sobre la unidad de carga
eléctrica entre esos puntos.
En la práctica se mide por diferentes métodos y equipos, el más común,
utilizado por los electricistas o en los laboratorios, es el voltímetro, el cual viene
generalmente integrado con medidores de resistencia y corriente eléctrica,
como se muestran en la figura.
G. Intensidad de corriente eléctrica:es una magnitud que nos va indicar el movimiento
de cargas eléctricas, la acumulacion de cargas eléctricas que pasan a través de una
seccion trasversal en un determidado tiempo.la intensidad de corriente eléctrica mide
la variacion de la cantidad de carga con respecto al tiempo y senide en amperios(A)
=
Q
t
unidad=c/seg=ampere=amperios=()
Problema 1
A través de la sección recta de un conductor circula una cantidad de carga de 90c
cada minuto. Determinar la intensidad de corriente eléctrica
=
=
Q
t
Q
90c

 1,5c / seg  1,5A
t 60seg
Problema 2
La intensidad de corriente que circula por un conductor es de 4µA, hallar la cantidad
de electrones que circulan durante 12 segundos.
Q
t
Q=.t
Q=4.10-6 A.12seg
Q=48c/seg.10-6 seg
Q=48.10-6c
=
Por la ley cuantización de la carga tenemos que:
q=n q0
n=
n=
q
q0
Q
q0
48.10-6c
n=
1.6.10-19c
n=3.10 14
H. Ley de Ohm: Georg Simon Ohm (Erlangen; 16 de marzo de 1789 - Múnich; 6 de
julio de 1854) fue un físico y matemático alemán que aportó a la teoría de la
electricidad la Ley de Ohm, conocido principalmente por su investigación sobre las
corrientes eléctricas. Estudió la relación que existe entre la intensidad de una corriente
eléctrica, su fuerza electromotriz y la resistencia, formulando en 1827 la ley que lleva su
nombre que establece que: I = V/R También se interesó por la acústica, la polarización
de las pilas y las interferencias luminosas. La unidad de resistencia eléctrica, el ohmio,
recibe este nombre en su honor. Terminó ocupando el puesto de conservador del
gabinete de Física de la Academia de Ciencias de Baviera.
usando los resultados de sus experimentos, Georg Simon Ohm fue capaz de definir la
relación fundamental entre voltaje, corriente y resistencia. Lo que ahora se conoce
como la ley de Ohm apareció en su obra más famosa, un libro publicado en 1827
que dio a su teoría completa de la electricidad .
V1 V1
=
 tan  R
I1 I1
La ecuación I = V / R se conoce como "ley de Ohm". Se afirma que la cantidad de
corriente constante a través de un material es directamente proporcional a la tensión
a través del material dividido por la resistencia eléctrica del material. El ohmio (Ω),
una unidad de resistencia eléctrica, es igual a la de un conductor en el cual una
corriente (I) de un amperio (1 A) es producida por un potencial de un voltio (1 V) a
través de sus terminales. Estas relaciones fundamentales representan el verdadero
comienzo de análisis de circuitos eléctricos.
La corriente circula por un circuito eléctrico de acuerdo con varias leyes definidas. La
ley básica del flujo de corriente es la ley de Ohm. La ley de Ohm establece que la
cantidad de corriente que fluye en un circuito formado por resistencias sólo se
relaciona con el voltaje en el circuito y la resistencia total del circuito. La ley se
expresa generalmente por la fórmula V = I*R (descrito en el párrafo anterior), donde I
es la corriente en amperios, V es el voltaje (en voltios), y R es la resistencia en ohmios.
El ohmio, una unidad de resistencia eléctrica, es igual a la de un conductor en el cual
se produce una corriente de un amperio por un potencial de un voltio a través de sus
terminales.
La ley de Ohm se puede recordar nemotecnicamnte asi
Donde:
V=diferencia de potencial en volt=v
I=intensidad de corriente electrica en amperios=A
R=Resistencia electrica=ohm =Ω
Problema 1
Determine la intensidad de corriente que atraviesa al resistor 50Ω
I
V
R
200v
50
I  4v / 
4v
I
I
v
A
I  4A
Problema 2
Determinar la caída de tensión a lo largo de un alambre de cobre de 314,16km de largo
y 2mm de diámetro, si por el pasa una corriente eléctrica de 5A
Re sistividad del cobre  1,5.1018 m =ρc
L  3,1416.102.103 m
r  1mm  10 3 m
L
A
1,5.10-8 Ωm.3,1416.105 m
R=
πr 2
1,5.10-8 Ωm.105 m
R=
2
10-3 m
R=ρ
1,5.10-3 Ωm2
10-6 m2
R =1,5.103 Ω
R =1,5kΩ
R=
Por la ley de Ohm
V = I.R
V = 5A.1, 5KV/A
V = 7, 5KV
I. Resistencia eléctrica: es la oposición al flujo o movimiento de electrones, la resistencia
eléctrica quita energía o potencial al sistema para lo cual produce la caída de
tensión.
J. Ley de pouillet: la resistencia eléctrica provocada en un resistor depende delas
dimensiones de él. La resistencia eléctrica es directamente proporcional a la longitud
e inversamente proporcional al área de sección transversal.
R

L
A
=resistividad eléctrica
Problema
Un alambre de 10km de longitud y 8 m 2 de sección transversal tiene una resistencia
eléctrica de 150 Ω. Entonces otro alambre del mismo material, pero de 1km de longitud y
6 m2 de sección, poseerá una resistencia de:
Por la Ley de pouillet
L
A
RA

L
R
Por lo que
Como
son
del
mismo
material
,
tenemos
la
misma
 =resistividad eléctrica=constante , por lo que se debe cumplir que:
R1 A1 R2 A2

L1
L2
resistividad
R1  150 
R2  ?
A1  8m 2
A2  6m 2
L1  10km
L2  1km
Reemplazando tendríamos
R1 A1 R2 A2

L1
L2
150.8m 2 R2 .6m 2

10km
1km
2
R2 .6m
150.8m 2

1km
10km
R2 .6 150.8
1

10
120
R2 
6
R2  20
K. Asociación de resistencias o resistencia equivalente:
Desde el punto de vista de la resistividad, podemos encontrar materiales conductores
(no presentan ninguna oposición al paso de la corriente eléctrica), aislantes (no
L. permiten el flujo de corriente), y resistivos (que presentan cierta resistencia). Dentro de
este último grupo se sitúan las resistencias. Las resistencias son componentes eléctricos
pasivos en los que la tensión instantánea aplicada es proporcional a la intensidad de
corriente que circula por ellos. Su unidad de medida es el ohmio (Ω).
La resistencia eléctrica representa la oposición al flujo de electrones que presenta un
respectivo conductor eléctrico. La resistencia eléctrica es propia de cualquier artefacto
como un cargador, una bombilla un fluorescente una plancha un horno microondas, un
tv, todos estos dispositivos van a tener una resistencia eléctrica con el fin de transformar
la energía eléctrica en otro tipo de energía. Por ejemplo un fluorescente transforma la
energía eléctrica en energía luminosa, una cocina eléctrica transforma la energía
eléctrica en energía calorífica. Pero que sucede por ejemplo si nosotros no usamos una
sola resistencia sino que acoplamos varias resistencias conectadas unas a otras ,
dependerá de como las acoplemos, depende de como hagamos ese circuito , porque
generalmente en un circuito no hay una sola resistencia, hay varias, por ejemplo la
conexión eléctrica de nuestra casa, todo funciona en base a una sola fuente, así todos
los focos o fluorescentes de tu casa, cada uno de ellos va a representar una resistencia
eléctrica y estas se van a asociar dando como resultado una sola resistencia a la cual
llamaremos resistencia equivalente esas asociaciones pueden ser:
a) Serie: Las Resistencias se pueden conectar en serie, esto significa que la corriente
fluye en ellas una después de la otra. El circuito en la Figura tiene tres resistencias
conectadas en serie y la dirección de la corriente indicada por una flecha.
Resistencias conectadas en serie :
Note que como la corriente solo tiene un camino por donde coger, la corriente a
través de cada resistencia es la misma.
I = I1 = I 2 = I 3
También, la caída de voltaje en cada resistencia debe ser sumada para igualarla al
voltaje de la batería:
VT = V1 + V2 + V3
Por la ley de Ohm se debe cumplir que V = I R, entonces
I.RE = I1 .R1 + I 2 .R2 + I 3 .R3
I.RE = I.R1 + I.R2 + I.R3
RE = R1 + R2 + R3
Es importante resaltar que para saber si un conjunto de resistencias están asociadas en
serie debe cumplirse que la conexión entre cada pareja de resistencias comunes debe
ser una sola y a dicho punto en común se le conoce con el nombre de nodo.
b) Paralelo: Las Resistencias se pueden conectar de tal manera que salgan de un
solo punto y lleguen a otro punto, conocidos como nodos. Este tipo de circuito se
a) llama paralelo.
En A el potencial debe ser el mismo en cada resistor. Similarmente, en B el potencial
también debe ser el mismo en cada resistencia. Entonces, entre los puntos A y B, la
diferencia de potencial es la misma. Esto significa que cada una de las tres resistencias en
el circuito paralelo debe tener el mismo voltaje.
También, la corriente se divide cuando viaje de A a B. Entonces, la suma de las corrientes
a través de las tres ramas es la misma que la corriente en A y en B.
Por la ley de Ohm tendríamos:
VT V1 V2 V3
=
+
+
RE R1 R2 R3
VT = V1 = V2 = V3 = V = constante
V
V V V
=
+
+
RE R1 R2 R3
1
1
1
1
=
+
+
RE R1 R2 R3
Problema 1
Hallar la resistencia equivalente de tres resistencias de 20Ω, 5Ω
y 6Ω conectadas
primero en serie y luego en paralelo
RE = R1 + R2 + R3
RE = 20 + 5 + 6
RE = 31
1
1
1
1
=
+
+
RE R1 R2 R3
1
1
1
1
=
+
+
RE 20  5  6
1 3  12  10 

RE
60 
60 
RE 
25
RE  2,4
Problema 2
Si tenemos tres resistencias de 12Ω,6Ω y 5Ω, las dos primeras se conectan en paralelo y
este conjunto en serie con la tercera, hallar la resistencia equivalente del conjunto
1
1
1
=
+
RE R1 R2
1
1
1
=
+
RE 12 6
1
9

RE 36
RE  4
RE = R1 + R2
RE = 4  + 5 
RE = 9 
M. Ley de Ohm en asociación de resistencias en serie:
en un sistema de resistencias en serie se debe cumplir que:
I1  I2
V 1 V 2 VT


R1 R2 RE
Problema 1
calcular el voltaje en la resistencia de 2Ω, si la resistencia de 6 Ω tiene un voltaje de
24V.
V1  ?
V 2  24V
R1  2 
R2  6 
I1  I2
V1 V2

R1 R2
V 1 24V

2 6 
V 1  8V
Problema 2
determine la diferencia de potencial en cada resistor:
V1  ?
V2  ?
V3  ?
VT  120V
R1  2
R2  3
R3  5
RE  R1  R2  R3  2  3  5  10
V 1 V 2 V 3 VT



R1 R2 R3 RE
V 1 V 2 V 3 120V



2 3  5 10 
V 1  24V
V 2  36V
V 3  60V
Ley de Ohm asociada a resistencias en paralelo:
V 1 V 2 V 3
I1R1  I2R2 = I3R3 = ITRE
Problema 1
Determinar la intensidad de corriente eléctrica en el reistor de 4Ω
I1  ?
R1  4 
I2  16 A
R2  9 
V 1 V 2
I1R1  I2R2
I1 4  16 A.9
I1  36 A
Problema 2
Determine la intensidad de corriente eléctrica en cada resistor
R1  2
R2  3
R3  6
VT  60V
I1R1  I2R2 = I3R3 = I TRE
I1 .2  I2 .3 = I3 .6 = 60V
I1 = 30A I2 = 20A
I3  10 A
N. Técnica de los puntos potenciales: para poder hallar la resistencia equivalente de una
asociación de resistencias o resistores es necesario hacer uso de las fórmulas vistas,
pero que sucedería si nos encontramos con una figura esquemática mucha más
compleja y engorrosa y nos es difícil entender si la conexión es en serie o en paralelo.
Para esto tenemos la técnica de los puntos potenciales. Esta técnica se refiere al
aprovechamiento del concepto de resistencia eléctrica, teniendo en cuenta el
cambio de potencial eléctrico al pasar a través de una resistencia
El potencial cambia cuando hay resistencia
El potencial no cambia cuando no hay resistencia
CONEXIÓN ESQUEMATICA

PUNTOS POTENCIALES
CONEXIÓN LINEAL
Problema 1
Hallar la resistencia equivalente
10
 5
2
 10   2  12
6.12

 4
6  12
 5  4
 9
R1 
R2
R3
RE
RE
Problema 2
Determinar la resistencia equivalente entre los puntos extremos
RE 
6
 2
3