P1Par09

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen Parcial de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a
Primer Curso de Ingenierı́a Industrial.
8 de junio de 2009
Tiempo: 1 hora y 30 minutos
PROBLEMA 1
El denominado ciclo de Stirling está constituido por dos procesos isotermos y dos isocoros, todos
reversibles (ver figura). Sean dos moles de una gas ideal monoatómico que realizan un ciclo de
Stirling con los siguientes parámetros: temperatura del foco caliente (isoterma 1-2) Tc = 500 K,
temperatura del foco frı́o (isoterma 3-4) Tf = 300 K y V2 /V1 = 7,4. Calcule:
a) Calor, trabajo e incremento de energı́a interna en cada uno de los procesos del ciclo y en el
ciclo completo. Exprese estas cantidades en el Sistema Internacional de unidades.
b) Rendimiento del ciclo definido como trabajo dividido por calor absorbido del foco caliente
(proceso 1-2). Compare este rendimiento con el que tendrı́a una máquina de Carnot que
trabajase entre los mismos focos térmicos.
c) ¿Es posible modificar las parámetros del ciclo de Stirling propuesto de forma que se obtenga
un rendimiento del 50 %?
cal
atm·l
J
= 1,98 mol·K
= 0,082 mol·K
Dato: R = 8,314 mol·K
SOLUCIÓN:
Apartado a)
Como se trata de un gas ideal monoatómico sabemos que el calor especı́fico molar a volumen
constante es cv = 23 R. Vamos entonces a detallar el cálculo del calor, el trabajo y el incremento de
energı́a interna en cada uno de los procesos del ciclo:
Proceso 1-2: Se trata de una isoterma reversible de un gas ideal. Como la energı́a interna del
gas ideal depende solamente de su temperatura y la temperatura del gas no cambia en el proceso
1-2 tenemos que ∆U12 = 0. Entonces la ecuación del primer principio nos lleva a que W12 +Q12 = 0.
Es decir, basta calcular el trabajo en el proceso para obtener el calor (o viceversa). En este caso
el trabajo resulta muy sencillo de calcular. En efecto, si tenemos en cuenta que en un proceso
reversible la presión externa coincide en todo momento con la del gas y que precisamente por ser
el proceso reversible la ecuación de estado del gas ideal es válida en todo momento obtenemos:
W12 = −
Z
1
2
Pext dV = −
Z
2
P dV = −
1
Z
1
2
V2
nRTc
dV = −nRTc ln
= −Q12 .
V
V1
(1)
Sutituyendo el valor de las variables obtenemos:
Q12 = −W12 = nRTc ln
J
V2
500 K ln(7, 4) = 16,64 kJ.
= 2 mol 8,314
V1
mol · K
(2)
Es decir, se trata de una expansión isoterma en la que el gas realiza trabajo y absorbe la misma
cantidad de calor.
Proceso 2-3: Es una isocora no hay variación de volumen y por tanto W23 = 0. Del primer
principio se deduce entonces que ∆U23 = Q23 . La variación de energı́a interna de un gas ideal tiene
una expresión muy sencilla en cualquier proceso:
∆U23 = Q23 = ncv (T3 − T2 ) = ncv (Tf − Tc ).
(3)
Y sustituyendo en (3) obtenemos:
3
J
∆U23 = Q23 = 2 mol 8,314
(300 − 500) K = −4,988 kJ.
2
mol · K
(4)
Proceso 3-4: De nuevo se trata de una isoterma reversible de un gas ideal, por lo que repitiendo
los razonamientos realizados respecto al proceso 1-2 llegamos a que ∆U34 = 0 y:
Q34 = −W34 = nRTf ln
V1
V4
= nRTf ln .
V3
V2
(5)
Con lo que podemos sustituir para obtener:
Q34 = −W34
1
J
300 K ln
= 2 mol 8,314
mol · K
7,4
= −9,984 kJ.
(6)
Se trata de una compresión isoterma en la que se realiza un trabajo sobre al gas equivalente al
calor que éste cede al entorno.
Proceso 4-1: Este proceso es una isocora como el proceso 2-3. Entonces: W41 = 0 y podemos
escribir:
∆U41 = Q41 = ncv (Tc − Tf ).
(7)
De la ecuación (3) y de (4) vemos que Q41 = −Q23 = 4,988 kJ. Es decir, que el calor cedido en la
isocora 2-3 coincide con el absorbido en la isocora 4-1. En la práctica un motor de Stirling dispone
de un dispositivo denominado regenerador el cual almacena el calor desprendido en 2-3 para luego
volverlo a entregar al sistema en el proceso 4-1. En consecuencia el calor Q41 no procede en última
instancia del entorno y por ello no suele incluirse en el término de calor absorbido cuando se calcula
el rendimiento de la máquina, como veremos en el apartado siguiente.
Ciclo completo: El trabajo realizado en un ciclo puede calcularse como una simple suma:
W = W12 + W23 + W34 + W41 = −16,64 kJ + 0 + 9,984 kJ + 0 = −6,66 kJ
El signo negativo indica que se trata de un trabajo realizado por el gas.
(8)
En principio el calor neto absorbido o cedido en el ciclo también podrı́a obtenerse como la suma
de los calores intercambiados en cada proceso, pero en realidad no es necesario, ya que sabemos
que en cualquier proceso cı́clico la variación de energı́a interna es nula ∆U = 0 (por ser función de
estado) y, aplicado el primer principio, tenemos que 0 = W + Q, de donde el calor intercambiado
es Q = −W = 6,66 kJ. El signo positivo del calor indica que se trata de un calor absorbido.
Apartado b)
El rendimiento de una máquina térmica se define en general como el trabajo realizado por cada
ciclo dividido por el calor absorbido. Por las razones que se han expuesto antes, y tal como indica
el enunciado, no es preciso incluir Q41 en este último término y, por lo tanto tenemos:
ε=
6,65 J
|W |
= 0,4
=
Q12
16,63 J
(9)
Por otra parte el rendimiento de una máquina de Carnot trabajando entre esos mismos focos
térmicos es:
Tf
εc = 1 −
= 0,4.
(10)
Tc
Es decir, ambos rendimientos coinciden. Este resultado es coherente con el Teorema de Carnot, que
afirma que ninguna máquina térmica trabajando entre dos focos térmicos puede dar un rendimiento
superior al de una máquina reversible de Carnot trabajando entre esos mismos focos. En este caso
la máquina de Stirling es reversible (ideal) y proporciona un rendimiento igual que el de la máquina
de Carnot, pero no superior.
Apartado c)
Para examinar la dependencia del rendimiento con los parámetros del ciclo partimos de (9) y
expresamos el módulo del trabajo en el ciclo como la suma de los calores en cada proceso (primer
principio): |W | = Q12 − |Q23 | − |Q34 | + Q41 = Q12 − |Q34 |. Haciendo a continuación uso de (1) y
(5) llegamos a:
nRTc ln VV12 − nRTf ln VV12
Q12 − |Q34 |
Tc − Tf
W
=
=
= 0,4.
=
ε=
V
2
Q12
Q12
Tc
nRTc ln V1
(11)
Observamos que el rendimiento del motor de Stirling tiene la misma expresión que el rendimiento
de una máquina de Carnot. No es sorprendente por tanto que en el caso particular del apartado
anterior hayamos obtenido el mismo resultado para ambos rendimientos.
Como el rendimiento del ciclo de Stirling solamente depende de las temperaturas de los focos
entonces para obtener un rendimiento del 50 % serı́a necesario modificar el cociente de temperaturas
de forma que se cumpla:
Tf′
Tf′
(12)
0,5 = 1 − ′ → ′ = 0,5
Tc
Tc
En definitiva es preciso que la temperatura absoluta del foco caliente sea el doble que la temperatura
absoluta del foco frı́o. Una posibilidad serı́a mantener en 300 K la temperatura del foco frı́o y subir a
600 K la del foco caliente, pero en general es válida cualquier modificación que cumpla la condición
(12).