aqui. - Cenidet

S.E.P
S.E.S
D.G.E.S.T
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN
Y DESARROLLO TECNOLÓGICO
cenidet
Metodología de Diseño de un Convertidor
CD-CD de Alta Densidad de Potencia con un
Transformador Piezoeléctrico
T
E
S
I
S
QUE PARA OBTENER EL GRADO
DE MAESTRO EN CIENCIAS EN
INGENIERÍA
ELECTRÓNICA
P
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E
S
E
N
T
A
ING. ALEJANDRO CARLOS PÉREZ FLORES
DIRECTORES DE TESIS:
DR. CARLOS AGUILAR CASTILLO
DR. FRANCISCO CANALES ABARCA
Cuernavaca, Morelos
Julio 2005
Resumen
Se análizan las capacidades para obtener conmutaciones suaves de voltaje
en un convertidor cd-cd con PT de medio puente sin redes adicionales. Se
establece un criterio para permitir la conmutación suave y se de…nen las
expresiones que determinan los límites de la operación ZVS al igual que la
ganancia de voltaje del convertidor. Con esto, se generan dos propuestas de
metodología de diseño para el convertidor con PT con el objetivo de operar
con ZVS sin necesidad de redes de elementos magnéticos adicionales.
Los transformadores piezoeléctricos (PTs) son dispositivos de transferencia de potencia que presentan ventajas importantes sobre los transformadores
electromagnéticos de baja potencia, como mayor densidad de potencia, altos
niveles de aislamiento y un menor contenido de interferencia electromagnética. Debido a estas características, los PTs ya han sido empleados en aplicaciones donde la densidad de potencia es un aspecto crítico respondiendo a la
necesidad de los últimos años de miniaturizar los sistemas de alimentación.
El PT presenta un comportamiento similar a un tanque resonante LC
serie con transformador de aislamiento discreto, con la diferencia de tener
capacitancias parásitas de entrada y salida de valor muy alto. Un convertidor con PT opera en modo resonante y es posible aplicar una técnica de
conmutación suave requiriendo un menor número de componentes que su
contraparte discreta. Como las capacitancias del PT son muy altas, las mayores pérdidas ocurren en la conmutación de encendido y por ello, se requiere
de una operación de conmutación de voltaje cero (ZVS).
En algunas investigaciones, el PT se ha empleado en conjunción con redes
de elementos magnéticos adicionales para obtener ZVS. En estas propuestas,
las características de pequeño volúmen que ofrece el PT se pierden. Un segundo enfoque propone el aprovechamiento de las capacidades eléctricas del PT
para obtener ZVS sin la necesidad de elementos adicionales. De esta manera,
las características del PT son mejor aprovechadas y se obtiene un convertidor
cd-cd de alta densidad de potencia y alta e…ciencia.
Basadas en un análisis de las propiedades del PT y su operación en el
convertidor cd–cd medio puente se establecen los metodologías para el diseño
del convertidor cd-cd con PT y ZVS sin necesidad de redes adicionales.
Abstract
Piezoelectric transformers (PTs) are electro–mechanical devices which transfer power trough vibrations. They have advantages over magnetic transformers, such as higher power density, high isolation capabilities and lower electromagnetic interference. PT presents a similar behavior when compared with
a discrete series LC resonant tank. The main di¤erence is that it have high–
valued input and output capacitances.
A PT converter operates in resonant mode making possible to apply a
resonant soft–switching technique, thus requiring less components than its
discrete implementation. Since PT capacitances are very high, main losses
ocurr in the ON transient. To alleviate these losses a zero voltaje switching
(ZVS) operation is required.
In some works, PT has been employed along with additional magnetic
elements networks to achieve ZVS. With this approach the low volume advantages of PT over magnetics are lost. A second approach propose to take
the most of PT capabilities to achieve ZVS without needing additional elements. This way, PT properties are better used and a high performance
dc–dc converter is obtained.
This theses presents the analysis of a half-bridge dc-dc resonant converter
based on a PT. The converter achieves soft commutations without additional
passive networks. A soft–switching criterion is established and mathemathical
expressions to determine the ZVS operational limits and converter voltage
gain are de…ned.
The expressions derived from analysis are used to propose two design
methodologies with the main objective of obtaining a high power density and
high e¢ ciency PT dc-dc converter. The …rst methodology has the objective
of choosing a PT to obtain ZVS and the second methodology is proposed
to determine the dimensions of a PT. Results are veri…ed by simulation and
experimentation.
Índice general
1. Introducción
1.1. Antecedentes .
1.2. Motivación . . .
1.3. Objetivos . . .
1.4. Alcance . . . .
1.5. Aportaciones .
1.6. Organización de
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2. El Transformador Piezoeléctrico
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Operación del Transformador Piezoeléctrico . . . . . . . . . .
2.2.1. Material cerámico piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Transformadores piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . .
2.3. Modelos de circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Modelo de una sola rama . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Modelo de múltiples ramas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Modelo de múltiples ramas y múltiples transformadores
2.4. Extracción de los parámetros del modelo . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Método basado en dimensiones y propiedades físicas . .
2.4.2. Método basado en caracterización y análisis del circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Consideraciones para una operación e…ciente . . . . . . .
3.2.1. Problemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Comportamiento inductivo de un PT . . . . . . .
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PT
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3.2.3. Impedancia óptima de carga .
3.3. Operación con redes de acoplamiento
3.3.1. Acoplamiento en la entrada .
3.3.2. Acoplamiento en la salida . .
3.4. Operación sin redes de acoplamiento
3.4.1. Descripción . . . . . . . . . .
3.4.2. Recti…cadores de salida . . . .
3.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Análisis de un convertidor cd-cd con PT
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Descripción del convertidor . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Operación del convertidor . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Etapa inversora . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Criterio para obtener ZVS . . . . . . . . . .
4.3.3. Conmutación suave en la etapa recti…cadora
4.3.4. Circuito equivalente del recti…cador . . . . .
4.4. Expresiones para la evaluación del convertidor . . .
4.4.1. Magnitud y fase de la corriente resonante . .
4.4.2. Ganancia de voltaje de cd . . . . . . . . . .
4.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Metodología de diseño para la selección de un PT . . . . .
5.2.1. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Metodología de diseño del PT óptimo para operación ZVS
5.3.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Implementación de un convertidor cd-cd
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Aplicación de la metodología de diseño .
6.2.1. Selección de un PT . . . . . . . .
II
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6.2.2. Diseño del PT óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3. Resultados experimentales del prototipo . . . . . . . . . . . . 110
6.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7. Conclusiones
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Tecnología del PT . . . . . .
7.2.2. Construcción de un prototipo
7.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Trabajos futuros recomendados . . .
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A. Secuencias de comandos en Matlab para análisis y diseño
A.1. Determinación de la impedancia óptima de un PT . . . . . .
A.2. Análisis de un convertidor cd-cd: determinación de la ganancia
de voltaje y la operación ZVS . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Diseño del convertidor cd-cd con PT . . . . . . . . . . . . .
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B. Secuencias de comandos en MathCAD para análisis y diseño142
B.1. Extracción de parámetros del modelo físico del PT . . . . . . 142
B.2. Extracción de parámetros del modelo del PT basado en análisis de impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.3. Extracción de parámetros del modelo del PT basado en análisis de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
B.4. Determinación de las dimensiones de un PT a partir de su
modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
III
Índice de …guras
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Transformador piezoeléctrico de tipo Rosen. . . . . . . . . . .
Transformador piezoeléctrico de tipo de vibración de espesor. .
Transformador piezoeléctrico de tipo de vibración radial. . . .
Modelo de circuito equivalente para PTs. . . . . . . . . . . . .
Convertidor cd-cd resonante serie-paralelo. . . . . . . . . . . .
Volúmen a frecuencia constante de un transformador magnético.
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2.1. Elemento piezoeléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Elemento piezoeléctrico operando en modo longitudinal . . . .
2.3. Elemento piezoeléctrico operando en modo transversal . . . .
2.4. Modelo de circuito equivalente para un elemento piezoeléctrico.
2.5. Derivación del modelo de circuito equivalente para PTs. . . . .
2.6. Dimensiones de un PT Rosen o HVPT. . . . . . . . . . . . . .
2.7. Dimensiones de un PT de vibración de espesor o LVPT. . . . .
2.8. Dimensiones de un PT de vibración radial. . . . . . . . . . . .
2.9. Curva característica de ganancia de un PT. . . . . . . . . . . .
2.10. Modelo de una sola rama del PT. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Comparación entre la curva de ganancia experimental y la
obtenida del modelo de una rama. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Modelo de múltiples ramas del PT [1]. . . . . . . . . . . . . .
2.13. Comparación entre la curva de ganancia experimental y la
obtenida del modelo multi-rama. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14. Modelo multi-rama y multi-transformador del PT. . . . . . . .
2.15. Comparación entre la curva de ganancia experimental y la
obtenida del modelo multi-rama y multi-transformador. . . . .
2.16. Circuito equivalente del PT con cortocircuito en la salida. . . .
2.17. Esquema para la medición de capacitancia paralela del PT con
un equipo medidor LCR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.18. Esquema para la medición de impedancia de un PT con cortocircuito en la salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.19. Circuito equivalente de un PT con carga Ro . . . . . . . . . .
2.20. Circuito auxiliar para caracterizar la ganancia de voltaje. . .
2.21. Esquema para caracterizar la ganancia de un PT. . . . . . .
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3.1. Diagrama a bloques de un convertidor cd-cd con PT. . . . . .
3.2. Impedancia de entrada de un PT. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Magnitud de la impedancia de entrada de un PT respecto la
frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Magnitud y fase de la impedancia de entrada de un PT con
comportamiento inductivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Magnitud y fase de la impedancia de entrada de un PT sin
comportamiento inductivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Esquema de la ley de máxima transferencia de potencia en un
convertidor cd-cd con PT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Esquema de un convertidor cd-cd con PT y redes de acoplamiento (MNs). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Fase de la impedancia de entrada con MN serie y sin MN. . .
3.9. Fase de la impedancia de entrada con MN paralelo y sin MN. .
3.10. Redes de acoplamiento en la salida tipo L y tipo . . . . . . .
3.11. Convertidor cd-cd con PT sin redes de acoplamiento. . . . . .
3.12. Impedancia equivalente de algunas redes recti…cadoras. . . . .
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41
4.1. Topología de convertidor cd-cd con PT a analizar. . . . . . .
4.2. Formas de onda para el análisis de la etapa inversora del convertidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Simulación del voltaje y corriente de interruptor con un tiempo
muerto menor que tDT min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Simulación del voltaje y corriente de interruptor con un tiempo
muerto mayor que tDT min y menor de tDT max . . . . . . . . .
4.5. Simulación del voltaje y corriente de interruptor con un tiempo
muerto mayor que tDT max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Representación de los criterios ZVS de un convertidor con PT
(resultados de simulación). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Formas de onda en estado estable del bloque recti…cador del
convertidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Primer armónico del voltaje vCd2 y de la corriente iR . . . . .
4.9. Circuito equivalente R–C del recti…cador de salida. . . . . .
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. 67
4.10. Circuito equivalente del convertidor con PT. . . . . . . . . . . 68
4.11. Circuito equivalente simpli…cado del convertidor cd-cd con PT. 69
4.12. Ganancia de voltaje de cd obtenida mediante simulación (o)
y por implementación en MATLAB (continua). . . . . . . . . 71
5.1. Convertidor cd-cd con PT considerado por la metodología. . .
5.2. Dimensiones de los tipos de PTs necesarias para derivar el
modelo físico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Diagrama de ‡ujo de la metodología de selección de un PT
para el diseño de un convertidor. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Circuito equivalente del convertidor cd-cd con PT para la
metodología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Familia de curvas de ganancia en función de la relación de
capas, n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Comportamiento del radio de las capas respecto de la frecuencia y Cp /Cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Grosor de la capa del primario respecto de la frecuencia y Cp /Cs .
5.8. Grosor de la capa del secundario respecto de la frecuencia y
Cp /Cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Comportamiento de la capacitancia de entrada, Cd1 , respecto
de la frecuencia y Cp /Cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Comportamiento de la resistencia serie, Rs , respecto de la frecuencia y Cp /Cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Diagrama de ‡ujo de la metodología de determinación de dimensiones de un PT para el diseño de un convertidor. . . . . .
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6.3.
6.4.
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6.6.
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90
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Topología del convertidor cd-cd con PT a implementar. . . . . 98
Circuito equivalente basado en el modelo físico del PT CK2. . 99
Magnitud y fase de la impedancia de carga óptima del PT CK2.100
Magnitud y fase de la impedancia de entrada del PT CK2. . . 101
Ganancia y tiempo muerto con el modelo físico del PT CK2. . 102
Modelo equivalente basado en la caracterización del PT CK2. 103
Ganancia y tiempo muerto con el modelo de caracterización
del PT CK2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.8. Formas de onda simuladas con el convertidor operando en ZVS.104
6.9. Vista superior del prototipo de convertidor cd-cd. . . . . . . . 105
6.10. Convertidor cd-cd con PT para el diseño. . . . . . . . . . . . . 106
6.11. Familia de curvas de ganancia en función de la relación de
capas, n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VII
6.12. Grosor de la capa del primario como una función de la frecuencia y Cp /Cs , para el convertidor a diseñar. . . . . . . . .
6.13. Evaluación de los criterios ZVS para el PT diseñado en el
convertidor especi…cado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14. Ganancia de voltaje ante variaciones de carga. . . . . . . . .
6.15. Operación en estado estable y región ZVS del convertidor
(datos teóricos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16. Operación en estado estable y región ZVS del convertidor (experimental). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17. E…ciencia del convertidor ante variaciones de carga. . . . . .
. 109
. 110
. 111
. 112
. 113
. 114
A.1. Convertidor cd-cd con PT para la secuencia de comandos Matlab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
B.1.
B.2.
B.3.
B.4.
Dimensiones y modelo equivalente de un PT radial. . . . .
Ganancia de voltaje vs frecuencia del PT bajo prueba. . .
Cortocircuito en la salida en el modelo equivalente del PT.
Carga conocida Ro conectada a un PT. . . . . . . . . . . .
VIII
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142
146
147
149
IX
Lista de símbolos
C
Cm1 , Cm2
Capacitor de modelo de circuito equivalente
Capacitor en el modelo equivalente de un material
piezocerámico
Cd1
Capacitor de entrada del modelo de circuito
equivalente
Cd2
Capacitor de salida del modelo de circuito equivalente
D
Desplazamiento eléctrico
d
Constante piezoeléctrica
E
Campo eléctrico
fo
Frecuencia de resonancia del transformador
piezoeléctrico
fs
Frecuencia de conmutación
L
Inductor del modelo de circuito equivalente
Lm1 , Lm2
Inductor en el modelo equivalente de un material
piezocerámico
N
Relación de capas
N1, N2, . . ., Nn Relación de capas del circuito equivalente para el
n-ésimo modo de vibración
n1
Número de capas en el lado primario
n2
Número de capas en el lado secundario
NL
Constante de frecuencia en la dirección planar
Nt
Constante de frecuencia en la dirección del espesor
Np
Constante de frecuencia en la dirección radial
P
Polarización
Po
Potencia de salida
Qm
Factor de calidad mecánico
R
Resistencia del modelo de circuito equivalente
Rm1 , Rm2
Resistencia en el modelo equivalente de un
material piezocerámico
RL
Resistencia de carga
r
Radio
S
Esfuerzo
T
Tensión
t
Espesor
t1
Espesor de la capa del lado primario
t2
Espesor de la capa del lado secundario
X
Vin
Vout
SE
Yin
Zin
Zo
sE
"T
"o
`
`1
`2
!
!s
Voltaje de entrada
Voltaje de salida
Conformidad elástica
Admitancia de entrada
Impedancia de entrada
Impedancia de salida
Conformidad elástica a un campo eléctrico constante
Relación de vueltas del circuito equivalente
basado en la física
Permitividad a tensión constante
Permitividad del espacio libre
Longitud
Longitud del lado primario de un PT de tipo Rosen
Longitud del lado secundario de un PT de tipo Rosen
Densidad
Frecuencia angular (2 f ) en rad/seg
Frecuencia de resonancia angular (2 f ) en rad/seg
Radio de Poisson
XI
Capítulo 1
Introducción
1.1.
Antecedentes
Los transformadores piezoeléctricos (PTs) son dispositivos de transferencia de potencia que no contienen elementos magnéticos. Estos dispositivos
presentan ventajas importantes sobre los transformadores electromagnéticos
de baja potencia. Las ventajas principales de los PTs son: alta densidad de
potencia, altos niveles de aislamiento y un bajo contenido de interferencia
electromagnética. Debido a estas características, los PTs ya han sido empleados en aplicaciones donde la densidad de potencia es un aspecto crítico.
Tales aplicaciones incluyen: balastros para lámparas ‡uorescentes, cargadores
de baterías para teléfonos móbiles, adaptadores de ca para computadoras
portátiles e impulsores de MOSFETs e IGBTs, y responden a la necesidad
de los últimos años de miniaturizar los sistemas de alimentación. Los PTs
son, por sus características, componentes prometedores para aplicaciones de
baja potencia y alta densidad de potencia.
1
2
Introducción
Un PT está formado de una combinación de actuadores piezoeléctricos y transductores piezoeléctricos. El dispositivo funciona por medio del
acoplamiento electromecánico entre los elementos actuadores y transductores
adyacentes. Este tipo de acoplamiento electromecánico permite una elevación
o reducción de voltaje, a diferencia del acoplamiento de campo magnético que
ocurre entre los devanados primario y secundario de un transformador magnético. Existen tres tipos principales de PTs: Rosen, de vibración de espesor,
de vibración radial. Las Figuras 1.1, 1.2 y 1.3 muestran los digramas de los
tres tipos de transformadores [2] [3] [4] .
Figura 1.1. Transformador piezoeléctrico de tipo Rosen.
Figura 1.2. Transformador piezoeléctrico de tipo de vibración de espesor.
El transformador piezoeléctrico de tipo Rosen, inventado en la década de
1950s es una combinación de actuadores piezoeléctricos de modo transversal
y transductores piezoeléctricos de modo longitudinal. Por sus características
inherentes de alta ganancia de voltaje, este tipo de transformador es nombrado comúnmente como transformador piezoeléctrico de alto voltaje. Este
tipo de dispositivos han sido aplicados en la ignición de lámparas de alto
1.1 Antecedentes
3
Figura 1.3. Transformador piezoeléctrico de tipo de vibración radial.
voltaje, como las lámparas ‡uorescentes empleadas como pantallas en los
monitores de pantalla plana y computadoras portátiles. La caracterización y
el modelado del transformador de tipo Rosen ha sido previamente estudiado
y documentado en [2], [5], [6], [3] y [7].
El transformador piezoeléctrico de tipo de vibración de espesor, desarrollado en la década de 1990s, es una combinación de actuadores y transductores
piezoeléctricos operando en modo longitudinal . Este tipo de transformador
es llamado también transformador piezoeléctrico de bajo voltaje, debido a
su baja ganancia de voltaje. Sus aplicaciones actuales incluyen convertidores
cd-cd y adaptadores de voltaje para dispositivos móviles. Las características de este dispositivo se han estudiado y se han dado modelos de circuito
equivalente en diversas investigaciones [3], [1], [8], [9] y [10].
Desarrollado en 1998, el PT de tipo de vibración radial es una combinación de actuadores y transductores piezoeléctricos operando en el modo
transversal. Este PT se ha empleado en aplicaciones tales como convertidores
cd-cd, adaptadores de voltaje y balastros electrónicos. Existen investigaciones sobre la caracterización y el modelado de este dispositivo ([1], [4], [11]
y [12]).
Estas categorías de PTs tienen distintas características mecánicas y eléctricas, debido a sus diferentes estructuras mecánicas y modos de vibración.
Sin embargo, un mismo modelo de circuito equivalente de una red resonante
serie, mostrado en la Figura 1.4 ([13], [2] y [14]), representa a los tres transformadores. El modelo es idéntico a un circuito resonante serie-paralelo em-
Introducción
4
pleado ampliamente en convertidores/inversores resonantes, si se considera
que la capacitancia Cd1 sea equivalente a la capacitancia efectiva de los interruptores de un convertidor.
Figura 1.4. Modelo de circuito equivalente para los PTs.
Las dimensiones mecánicas y los parámetros del material de los PTs determinan los parámetros del modelo de circuito equivalente. Las diferentes
estructuras mecánicas asociadas con los tres transformadores dan como resultado diferentes parámetros del circuito equivalente. Por lo tanto, cada PT
está relacionado con aplicaciones distintas1 .
Varias investigaciones ([15], [16], [17] y [18] entre otras) han empleado los
PTs para desarrollar convertidores, inversores o balastros electrónicos. Estos
esquemas utilizan uno o más dispositivos magnéticos adicionales, como un
inductor, para lograr operar en una condición de conmutación a voltaje cero
(ZVS). Mediante tal procedimiento, las características especí…cas de los PTs
no son aprovechadas por completo. Si los PTs se emplean sin dispositivos
magnéticos adicionales, se reduce el costo de los componentes empleados en
los circuitos electrónicos.
El empleo de las técnicas de conmutación suave en convertidores conmutados, junto con las aplicaciones de los PTs, es una de las áreas de investigación
más interesantes en aplicaciones de baja potencia [19]. Con estas técnicas se
reducen los esfuerzos en los dispositivos conmutados. Así, se incrementa la
e…ciencia y/o la frecuencia de conmutación (para reducir el tamaño). Existe
una amplia clase de convertidores de carga resonante que emplean dos o tres
elementos resonantes y que aplican alguna técnica de conmutación suave. La
1
Estas aplicaciones sin embargo, se encuentran aún restringidas en un rango de potencia
baja. La potencia de estos dispositivos debe ser mejorada signi…cativamente para satisfacer
los requerimientos de muchas otras aplicaciones.
1.1 Antecedentes
5
Figura 1.5 muestra un circuito de un convertidor cd-cd convencional con un
tanque resonante serie paralelo.
Figura 1.5. Convertidor cd-cd resonante serie-paralelo.
El volumen y peso de los elementos magnéticos de un convertidor de
carga resonante se reducen aplicando alguna técnica resonante y operando
en alta frecuencia. En [20] se desarrolló una técnica para medir el grado de
miniaturización disponible en transformadores magnéticos a medida que se
incrementa la frecuencia de operación. La investigación determinó la existencia de una frecuencia óptima, donde el transformador magnético puede ser
diseñado a un mínimo volumen y peso (Figura 1.6). A frecuencias superiores
a tal, el volumen del transformador debe ser incrementado para lograr disipar las pérdidas en el núcleo y el devanado del dispositivo. Este resultado
sugiere la necesidad de encontrar una alternativa al transformador magnético
en aplicaciones de baja potencia y alta densidad de potencia.
El PT es una alternativa promisoria e…ciente al transformador magnético.
Diversas investigaciones han aplicado el PT con resultados satisfactorios ([1],
[12], [21]). Gracias a sus propiedades eléctricas, el PT reemplaza los tanques
resonantes L-C de convertidores cd-cd resonantes convencionales. Así, el PT
resulta un buen método para reducir el costo y el volumen del convertidor,
haciendolo más atractivo en aplicaciones comerciales y residenciales.
Introducción
6
Figura 1.6. Volúmen de un transformador magnético respecto la frecuencia.
1.2.
Motivación
Los PTs son dispositivos especialmente atractivos para aplicaciones compactas de baja potencia y alta frecuencia. Estos dispositivos tienen un futuro
promisorio en las aplicaciones que demandan fuentes de alimentación más
pequeñas y ligeras.
Un estudio de las características y el modelado de los PTs provee de
una buena referencia para el diseño y la aplicación. Las cualidades de estos
dispositivos deben reconocerse a partir de un modelo de circuito equivalente
que incluya los modos de vibración importantes.
El análisis y diseño de un convertidor con PT requiere del análisis de las
propiedades de carga del convertidor con el fín de proponer las características del mejor PT aplicable. Se evita emplear redes de acoplamiento para
mantener simplicidad en el convertidor y para obtener una alta densidad de
potencia.
1.3 Objetivos
7
Una metodología de análisis, diseño y construcción de un convertidor
con PT es una herramienta de ayuda para los diseñadores, auxiliando en
el desarrollo de un convertidor con PT e…ciente. Además, si la metodología
de diseño considera obtener las dimensiones de un PT especí…co para la
aplicación, podría incrementar el número de aplicaciones de los convertidores
con PT.
1.3.
Objetivos
Basada en las motivaciones mencionadas anteriormente, la investigación
presente está enfocada en lograr las siguientes metas:
1. Establecer un estudio del transformador piezoeléctrico en la electrónica
de potencia. En una primera parte, aprender la teoría de operación del
PT, su representación de modelo de circuito equivalente y las técnicas
respectivas para la obtención de los parámetros del modelo. En una
segunda parte, reconocer y discutir las consideraciones de diseño de un
convertidor cd-cd con PT, para obtener alta e…ciencia sin emplear redes
de elementos magnéticos adicionales.
2. Construir un prototipo de laboratorio de un convertidor cd-cd con
transformador piezoeléctrico. Proponer una metodología de diseño de
convertidor cd-cd con PT basada en el análisis de una topología que
no emplee redes de elementos magnéticos adicionales. Esta metodología
permitirá diseñar un convertidor cuyos dispositivos conmutados operen
en conmutación a voltaje cero aún sin emplear elementos magnéticos
adicionales.
1.4.
Alcance
Esta investigación estudia el estado del arte de la tecnología de los PTs
en la electrónica de potencia. El estudio consta de la teoría de operación
Introducción
8
generalizada de estos dispositivos, su representación de modelo equivalente y
la extracción de parámetros para el modelo. Además, basado en los resultados
de investigaciones previas, se analizan y discuten algunas consideraciones de
diseño de convertidores cd-cd con PT.
A partir del estudio de la tecnología del PT, se establece un análisis
de una topología de convertidor cd-cd sin redes de elementos magnéticos
adicionales. El análisis establece las relaciones necesarias para una operación
con conmutación a voltaje cero en los interruptores del convertidor. Además,
se determina una expresión para la ganancia de voltaje respecto la frecuencia
de operación.
Dos propuestas de metodología de diseño se desarrollan empleando el
conocimiento de la operación del convertidor. Una de ellas permite la selección de un PT dentro de un catálogo de fabricante. Una segunda metodología
permite determinar las dimensiones de un PT de tipo radial especí…co para
la aplicación deseada. Ambas metodologías permiten diseñar un convertidor
que presente conmutaciones suavizadas aún sin emplear elementos magnéticos adicionales.
Se implementa un prototipo de convertidor cd-cd con PT aplicando una
de las metodologías propuestas. Pruebas experimentales de la operación del
propotipo entregan resultados satisfactorios que comprueban los resultados
esperados por el análisis y diseño.
1.5.
Aportaciones
La principal aportación de esta investigación es la generación de dos
metodologías de diseño de un convertidor cd-cd con PT. Estas metodologías
permiten obtener una operación de conmutación suave en un convertidor
sin emplear elementos magnéticos adicionales. Así, con estas metodologías
es posible construir aplicaciones de alta e…ciencia y, al limitar el número de
componentes del convertidor, de bajo volumen y bajo costo. Los objetivos
cumplen con las tendencias industriales y comerciales de miniaturización,
1.6 Organización de la tesis
9
reducción de costos e incremento de e…ciencia de la actualidad.
El estudio realizado del PT aplicado en la electrónica de potencia es una
referencia importante para el futuro investigador de la tecnología del PT. El
análisis de la clase de convertidor estudiada puede ser extendida a diferentes
topologías de convertidores, con el …n de extender las técnicas de conmutación
suave con PT. Finalmente, la construcción de un prototipo de convertidor
cd-cd con PT permite comprobar experimentalmente las cualidades de éste.
1.6.
Organización de la tesis
El Capítulo 2 contiene un estudio de la tecnología del PT en la electrónica de potencia. Aquí son estudiados los tipos de PTs y las relaciones
que permiten elaborar un modelo de circuito equivalente para ellos. Además
se incluyen las metodologías para la extracción de parámetros del modelo
equivalente de los PTs.
En el Capítulo 3 se analizan las propiedades eléctricas de los PTs de
manera que sean empleados e…cientemente en convertidores cd-cd. Se analiza
la operación con redes de acoplamiento y sin redes de acoplamiento en el
convertidor. Se determina que el empleo de PTs en convertidores sin redes
de acoplamiento resulta muy atractiva para aplicaciones de alta densidad de
potencia.
El Capítulo 4 contiene el análisis matemático de una clase de convertidor
cd-cd con PT sin redes de acoplamiento. Aquí se determinan dos condiciones
para la obtención de conmutaciones suaves en el convertidor. Junto con la
expresión matemática de estas condiciones, se obtiene una expresión para
evaluar la ganancia de voltaje del convertidor. Con este análisis es posible
evaluar al convertidor cd-cd y determinar si existen conmutaciones suaves
bajo las condiciones de entrada y salida de una aplicación especí…ca.
Empleando el análisis del convertidor, en el Capítulo 5 se proponen dos
metodologías para el diseño de la clase de convertidor cd-cd propuesta. Por un
lado, efectuar el diseño a partir de la selección de un PT para la aplicación
10
Introducción
deseada. Por otro lado, determinar las dimensiones del PT especí…co para
la aplicación. Ambas metodologías proponen la obtención de conmutaciones
suaves y el aprovechamiento de transferencia de potencia del PT.
En el Capítulo 6 se describe la implementación de un prototipo de convertidor cd-cd con PT, diseñado con la primer metodología de diseño. Se
muestran los resultados experimentales del prototipo comparados con lo previsto por el análisis y diseño previos. El capítulo incluye una ejempli…cación
de la segunda metodología de diseño planteada en el capítulo previo.
Finalmente, el Capítulo 7 establece las conclusiones del trabajo de investigación, derivadas del proceso de análisis, diseño e implementación del
prototipo de convertidor cd-cd.
Capítulo 2
El Transformador
Piezoeléctrico
2.1.
Introducción
El transformador piezoeléctrico (PT) es una combinación de un actuador cerámico piezoeléctrico en el lado primario y un transductor cerámico piezoeléctrico en el lado secundario. Ambos elementos están basados en
elementos piezoeléctricos que están compuestos de electrodos y materiales
piezoeléctricos. Para funcionar como actuador o transductor, un elemento
piezoeléctrico trabaja en un modo de vibración longitudinal o en un modo
transversal.
Los PTs se clasi…can en tres tipos principales: Rosen, de modo de vibración de espesor y de modo de vibración radial. Por operar en distintos
modos de vibración y por sus estructuras mecánicas asociadas, los tres tipos
de PTs tienen diferentes características mecánicas y eléctricas. En trabajos
anteriores ([1], [4], [6] y [13]) se han estudiado los modelos de circuito equivalente basados en la física del dispositivo para los tres tipos de PTs. Estos
modelos equivalentes son una herramienta muy importante para el diseño y
optimización de PTs en lugar de emplear algún procedimiento de prueba y
error. Además, resultan muy útiles para el diseño de una aplicación.
11
El Transformador Piezoeléctrico
12
Este capítulo describirá primero las características generales y la operación básica de un PT. Más adelante, presentará algunos modelos equivalentes
de un PT. Finalmente, explicará ciertas técnicas de extracción de parámetros para el modelo equivalente basados en la física del dispositivo o bien,
en caracterización en laboratorio. Así, las habilidades de reconocimiento y
construcción del modelo equivalente de un PT podrán ser empleadas para el
análisis y diseño de una aplicación.
2.2.
Operación del Transformador Piezoeléctrico
2.2.1.
Material cerámico piezoeléctrico
Los PTs están compuestos de actuadores cerámicos piezoeléctricos en el
lado primario y transductores cerámicos piezoeléctricos en el lado secundario.
Ambos elementos están basados en elementos piezoeléctricos (Figura 2.1) que
están compuestos de electrodos y materiales piezoeléctricos1 .
Los elementos piezoeléctricos son materiales que, expuestos a un campo
eléctrico alternante, cambian sus dimensiones cíclicamente a la frecuencia del
campo eléctrico. La frecuencia de resonancia principal es aquella en la cual
el elemento vibra más fácilmente, en respuesta a la entrada eléctrica. En esta
frecuencia se convierte más e…cientemente la energía de entrada eléctrica en
energía mecánica([22]). El valor de la frecuencia de resonancia depende del
material, la forma y el volúmen del elemento.
El elemento de la Figura 2.1 funciona como un actuador cuando, sin
aplicar una tensión mecánica, T, un campo eléctrico, E, aplicado sobre el
elemento piezoeléctrico, resulta en un esfuerzo mecánico, S, en el mismo. El
elemento funciona como transductor cuando, sin aplicar un campo eléctri1
Los materiales piezoeléctricos están constituidos por una o más capas de material
cerámico(cita). La característica de piezoelectricidad se obtiene después de un tratamiento
especializado de laboratorio tal como ha sido descrito en (cita).
2.2 Operación del Transformador Piezoeléctrico
13
Figura 2.1. Elemento piezoeléctrico.
co, E, una tensión mecánica, T, aplicada sobre el elemento resulta en un
desplazamiento eléctrico inducido en los electrodos del mismo.
Para funcionar como actuador o transductor, un elemento piezoeléctrico
opera en un modo de vibración longitudinal o en un modo transversal. En
un elemento piezocerámico operando en el modo de vibración longitudinal
(Figura 2.2), la dirección de la tensión operante, T, es paralela a la dirección
de polarización, P. Cuando el elemento piezocerámico opera en el modo de
vibración transversal (Figura 2.3), la dirección de la tensión operante, T, es
perpendicular a la dirección de polarización P. En ambos modos, el elemento
presenta una frecuencia de resonancia relacionada con la longitud de onda
en la dirección de la tensión operante, T.
Figura 2.2. Elemento piezoeléctrico operando en modo longitudinal
El modelo de circuito equivalente eléctrico basado en la física del elemento
El Transformador Piezoeléctrico
14
Figura 2.3. Elemento piezoeléctrico operando en modo transversal
piezoeléctrico se deriva como se muestra en la Figura 2.4, donde:
V
Cdm
Lm
Cm
Rm
Em
es el voltaje aplicado o inducido en las placas de los electrodos,
es la capacitancia entre las placas de los electrodos,
es la analogía de la masa mecánica equivalente, mediante un
inductor eléctrico,
es la analogía de la conformidad mecánica equivalente, mediante un capacitor eléctrico,
es la analogía de la resistencia mecánica equivalente, mediante
una resistencia eléctrica,
es la analogía de la fuerza mecánica equivalente, mediante un
campo eléctrico,
es la analogía del factor de fuerza mecánico equivalente, mediante una relación de vueltas.
La derivación de la …gura se basa en las ecuaciones de onda y piezoeléctricas desarrolladas en investigaciones previas [3] [1]. Los parámetros de este
modelo equivalente son dependientes de las dimensiones, los coe…cientes del
material y del modo de operación del elemento piezoeléctrico.
El modelo equivalente de un PT puede derivarse a partir del modelo equivalente del elemento piezoeléctrico [23]. Ya que un PT es una combinación de
dos elementos piezoeléctricos, el modelo equivalente de un PT puede derivarse
conectando dos modelos equivalentes de elementos piezoeléctricos, como se
muestra en la Figura 2.5.
2.2 Operación del Transformador Piezoeléctrico
15
Figura 2.4. Modelo de circuito equivalente para un elemento piezoeléctrico.
Figura 2.5. Derivación del modelo de circuito equivalente para PTs.
16
El Transformador Piezoeléctrico
De las diferentes combinaciones de elementos piezoeléctricos de acuerdo a
su modo de operación, se obtienen distintas clases de PTs. Cada una de ellas
presenta cualidades únicas que la hacen elegible para ciertas aplicaciones.
Además, las relaciones matemáticas que de…nen los parámetros del modelo
equivalente son especí…cas para cada tipo de PT.
2.2.2.
Transformadores piezoeléctricos
Como se ha explicado, existen varias con…guraciones de PTs obedeciendo
a los modos de operación de sus elementos actuadores y transductores. En la
actualidad los tres tipos de PTs más comunes son el Rosen, el de vibración
de espesor y el de vibración radial.
Para cualquier tipo de PT, cuando un voltaje de entrada, Vin , se aplica
en el actuador del primario, el material se polariza en una dirección paralela
al grosor del material. La mayor tensión de vibración, T1 , ocurre en dirección perpendicular o paralela a la dirección de polarización, P1 , según el
modo de vibración transversal o longitudinal del actuador piezoeléctrico. Esta vibración se transmite al transductor del secundario. Con esta vibración
transmitida, el transductor induce una carga eléctrica en las placas de los
electrodos para generar el voltaje de salida, Vout . La dirección de vibración
del transductor, T2 , ocurre en dirección perpendicular o paralela a la dirección de polarización inducida, P2 , según el modo de vibración transversal o
longitudinal del transductor piezoeléctrico.
Las diferencias en la operación de cada PT se deben al modo de vibración
en el que sus actuadores y transductores operan. De hecho, los modos de
vibración determinan las principales características de las familias de PTs.
Así, a cada familia de PTs le corresponde una frecuencia de resonancia y
distintas relaciones para la obtención de su modelo de circuito equivalente.
2.2 Operación del Transformador Piezoeléctrico
17
Transformador piezoeléctrico de tipo Rosen
El transformador de tipo Rosen está formado por una combinación de actuador de modo transversal y un transductor de modo longitudinal (Figura
2.6). Llamado también PT de alto voltaje (HVPT), este dispositivo presenta
, y una potencia típicamente
una alta relación de ganancia de voltaje, VVout
in
menor a 8 W. La frecuencia principal de resonancia mecánica es proporcional a la longitud ` del elemento actuador y a una constante de vibración
longitudinal del material piezoeléctrico, N s (ec. 2.1). Además, la disipación
de potencia está en función de la longitud del material piezoeléctrico. De
acuerdo con la ecuación 2.1, tal requerimiento tiene como consecuencia la
operación a frecuencias relativamente bajas (decenas de kHz).
Figura 2.6. Dimensiones de un PT Rosen o HVPT.
fr =
Ns
`
(2.1)
El HVPT puede ser construído con elementos de una sóla capa o bien con
elementos de múltiples capas. Los parámetros del modelo equivalente basado
en propiedades físicas han sido derivados y veri…cados, tomando en cuenta
también las dimensiones del dispositivo. Con referencia a la Figura 2.6, las
ecuaciones 2.2 a 2.7 muestran las relaciones de los parámetros del modelo
(Figura 2.5) con las dimensiones, w, t y `, del transformador:
Cd1 /
w ` 2
n
t
(2.2)
El Transformador Piezoeléctrico
18
w t
`
(2.3)
t 1
w n2
(2.4)
L/
1
t
` 2
w
n
(2.5)
C/
w
` n2
t
(2.6)
`
n
t
(2.7)
Cd2 /
R/
N/
donde n es el número de capas del primario. Se considera un transductor
secundario de una sola capa.
Transformador piezoeléctrico de vibración de espesor
El transformador de tipo de vibración de espesor está formado por una
combinación de actuador y transductor ambos operando en el modo longitudinal (Figura 2.7). Este dispositivo, llamado también PT de bajo voltaje (LVPT), presenta una baja relación de ganancia de voltaje, VVout
, y una
in
potencia que varía entre 3 y 30W. La frecuencia principal de resonancia es
proporcional al grosor t del elemento actuador y a una constante de vibración
de espesor del material piezoeléctrico, N t (ec. 2.8). La disipación de potencia
requiere de mayor grosor del material piezoeléctrico. Aún así, el grosor de capas típicamente se mantiene relativamente bajo y la frecuencia de resonancia
se encuentra en el rango de unos cuantos MHz.
fr =
Nt
t
(2.8)
2.2 Operación del Transformador Piezoeléctrico
19
Figura 2.7. Dimensiones de un PT de vibración de espesor o LVPT.
Los parámetros del modelo equivalente basado en propiedades físicas han
sido derivados y veri…cados, considerando PTs de capa única o multicapa.
Tomando en cuenta las dimensiones del dispositivo, las ecuaciones 2.9 a 2.14
muestran la proporcionalidad de los parámetros del modelo con las dimensiones, w, t y `, del transformador:
Cd1 /
w `
n1
t
(2.9)
Cd2 /
w `
n2
t
(2.10)
t21
` w
(2.11)
(t1 + t2 ) t21
w `
(2.12)
(t1 + t2 ) ` w
t21
(2.13)
n2
n1
(2.14)
R/
L/
C/
N/
donde n 1 , es el número de capas del primario y n 2 , es el número de capas
del secundario del transformador.
El Transformador Piezoeléctrico
20
Transformador piezoeléctrico de vibración radial
El PT de tipo de vibración radial, está formado por una combinación de
actuador y transductor ambos operando en el modo transversal (Figura 2.8).
El rango de aplicaciones para este dispositivo resulta variado e incluye, entre
otras, balastros electrónicos, adaptadores de ca y convertidores de unas cuantas decenas de Watts. La frecuencia principal de resonancia es proporcional
al radio r del elemento actuador y a una constante de vibración radial del
material piezoeléctrico, N D (ec. 2.15).
Figura 2.8. Dimensiones de un PT de vibración radial.
fr =
ND
2 r
(2.15)
Los parámetros del modelo equivalente basado en propiedades físicas han
sido derivados y veri…cados, considerando PTs de capa única o multicapa. Las
ecuaciones 2.16 a 2.21 muestran las relaciones de los parámetros del modelo
con las dimensiones, r, t 1 y t 2 del transformador:
Cd1 /
n1 r 2
t1
(2.16)
Cd2 /
n2 r 2
t2
(2.17)
2.3 Modelos de circuito eléctrico
21
R/
n1 t1 + n2 t2
n21 r
(2.18)
L/
n1 t1 + n2 t2
n21
(2.19)
C/
n21 r2
t1 + n2 t2
(2.20)
n1
N/
n1
n2
(2.21)
donde n 1 es el número de capas del primario, n 2 es el número de capas del
secundario del transformador, t 1 es el grosor de las capas del primario y t 2
es el grosor de las capas del secundario del transformador.
La operación eléctrica más e…ciente de los PTs expuestos se obtiene cuando el dispositivo se opera en las cercanías de su frecuencia principal de resonancia. Por su construcción, en un PT existen otras frecuencias de resonancia
espurias y no deseadas junto con la principal. Esto se debe a que en un elemento piezoeléctrico existen diversos modos de vibración de acuerdo con el
volumen y las dimensiones del material.2
2.3.
Modelos de circuito eléctrico
La Figura 2.9 muestra la curva característica de ganancia típica de un
PT, que incluye la frecuencia de resonancia principal así como algunas espurias. Con el …n de simpli…car el diseño de convertidores con PT, ha sido
necesario derivar un modelo de circuito equivalente del PT capaz de reproducir las características eléctricas del dispositivo. Existen diferentes modelos
2
La eliminación de las frecuencias de vibración espurias es un aspecto complejo en el
diseño de PTs. En [24] se han obtenido buenos resultados modi…cando la geometría del
PT.
22
El Transformador Piezoeléctrico
del PT con grados distintos de complejidad y precisión. A continuación serán
descritos el modelo equivalente de una sola rama, derivado en la Figura 2.5,
y dos modelos equivalentes mejorados para el PT.
Figura 2.9. Curva característica de ganancia de un PT.
2.3.1.
Modelo de una sola rama
Las categorías de PTs pueden representarse por un modelo de circuito
equivalente de una rama resonante (Figura 2.10), válido en las cercanías de la
frecuencia principal de resonancia (Figura 2.11). Los parámetros del modelo
de circuito equivalente están determinados por las dimensiones mecánicas y
los parámetros del material del PT.
Figura 2.10. Modelo de una sola rama del PT.
2.3 Modelos de circuito eléctrico
23
Por la simplicidad de su estructura y su precisión en las cercanías de la
frecuencia de resonancia principal, este modelo resulta muy útil para análisis
y diseño de un circuito con PT. El modelo tiene la ventaja de que la obtención de sus parámetros se efectua mediante relaciones dependientes de la
física del dispositivo, o bien mediante una caracterización en laboratorio de
una muestra de PT. Como será descrito, en los otros modelos del PT, los
parámetros sólo pueden obtenerse mediante caracterización en laboratorio.
Figura 2.11. Comparación entre la curva de ganancia experimental y la obtenida
del modelo de una rama.
El modelo de una sola rama únicamente puede representar la frecuencia
de resonancia principal. La limitación del modelo es que no describe las vibraciones espurias del PT. Por esta razón, han sido derivados otros modelos
mejorados que permiten representar las frecuencias espurias además de la
principal, la cual está dada por la siguiente ecuación:
fs =
2
1
p
L C
(2.22)
24
2.3.2.
El Transformador Piezoeléctrico
Modelo de múltiples ramas
Han sido derivados dos modelos de múltiples ramas([1], [23]) para incluir la representación de las frecuencias espurias además de la principal.
El primero de ellos (Figura 2.12) se construye agregando una rama LCR
adicional al modelo de una rama, por cada frecuencia espuria representada.
Figura 2.12. Modelo de múltiples ramas del PT [1].
El empleo del modelo multi-rama para análisis y diseño es más complejo
a medida que se incrementan ramas LCR. Sin embargo, para comprobar la
operación de un diseño en un amplio intervalo de frecuencias, es más útil
que el modelo de una sola rama. La Figura 2.13 muestra la comparación
de la ganancia experimental de un PT con la obtenida del modelo multirama. Los parámetros de los elementos agregados al modelo se obtienen de
la caracterización de un PT en laboratorio.
En la Figura 2.13 se observa que con este modelo la ubicación de las
frecuencias espurias se reproduce adecuadamente. Sin embargo, es notable
también que la representación de la ganancia en las cercanías de las frecuencias espurias no es tan precisa como en las cercanías de la principal. El factor
de fuerza mecánico, representado por la relación de vueltas N del transformador no es el mismo para cada una de las vibraciones del dispositivo. Así, al
emplear un solo transformador en el modelo multi-rama, se obtiene precisión
sólo para una de las frecuencias de resonancia, como en el caso mostrado.
Ésta es la principal limitante en la capacidad de representación del PT del
modelo multi-rama.
2.3 Modelos de circuito eléctrico
25
Figura 2.13. Comparación entre la curva de ganancia experimental y la obtenida
del modelo multi-rama.
2.3.3.
Modelo de múltiples ramas y múltiples transformadores
El segundo de los modelos mejorados para el PT incluye múltiples ramas
y múltiples transformadores (Figura 2.14). Este modelo fue creado para complementar la precisión de los modelos anteriores en la representación de la
respuesta en frecuencia del PT. Di…ere del modelo multi-rama en la adición
de transformadores ideales independientes por cada rama resonante LCR.
Así, se considera un factor de fuerza mecánico independiente para cada modo de vibración. El resultado es una mejor representación de los modos de
vibración principal y espurios que los modelos anteriores. En la Figura 2.15
se observa la curva real del PT reproducida con alta precisión empleando
este modelo.
La complejidad del análisis y diseño de un convertidor cuando se emplea
este modelo es alta, por lo que su empleo en etapas de análisis y diseño
no es recomendable. El modelo se emplea en etapas de simulación, para
conocer el desempeño de un circuito con PT mejor que con los modelos
26
El Transformador Piezoeléctrico
Figura 2.14. Modelo multi-rama y multi-transformador del PT.
anteriores. Similar al modelo multi-rama, los parámetros del modelo multirama y multi-transformador se obtienen a partir de caracterización de un PT
en laboratorio.
2.4.
Extracción de los parámetros del modelo
La extracción de parámetros es el proceso de construcción del modelo equivalente a partir de una muestra física de PT. El proceso implica la
aplicación de una técnica que relacione las características del transformador
con uno de sus modelos equivalentes. Aquí serán descritas dos técnicas. La
primera relaciona las dimensiones y propiedades del material del PT con los
parámetros del modelo equivalente de una sola rama. La segunda técnica relaciona ciertas características del PT con los parámetros de alguno de los tres
modelos descritos. En este caso, las características se obtienen de mediciones
en laboratorio.
2.4 Extracción de los parámetros del modelo
27
Figura 2.15. Comparación entre la curva de ganancia experimental y la obtenida
del modelo multi-rama y multi-transformador.
2.4.1.
Método basado en dimensiones y propiedades
físicas
Esta técnica de extracción de parámetros surge de la derivación del modelo equivalente de una rama para cada tipo de PT. Consiste resolver las
expresiones matemáticas que de…nen los parámetros del modelo. Todas las
expresiones son dependientes de las constantes del material y las dimensiones
geométricas, las cuales son distintas para cada PT. De esta manera se construye el modelo equivalente del transformador. Las expresiones para los tres
tipos de PTs han sido derivadas y veri…cadas previamente. En las ecuaciones
2.23 a 2.28 se muestran las expresiones para un PT de tipo radial.
n1 r 2
t1
"T33
n2 r 2
=
t2
"T33
Cd1 =
Cd2
1
1
(1
d231
E
) S11
"T33
(2.23)
(1
d231
E
) S11
"T33
(2.24)
El Transformador Piezoeléctrico
28
n1 t1 + n2 t2
R=
n21 r
q
2
2
2
n1
N=
(1
)2
d231
32 d231
E
(1
S11
n21 r2
t1 + n2 t2
)3
(1
32 Qm d231
E
S11
16
n1 t1 + n2 t2
L=
n21
C=
3
E
S11
)
n1
n2
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
donde:
d31
n1
n2
Qm
r
S11 E
t1
t2
e33 T
es
es
es
es
es
es
es
es
es
es
es
el coe…ciente piezoeléctrico del material,
el número de capas del actuador del primario,
el número de capas del transductor del secundario,
el factor de calidad mecánico,
el radio de la capa,
la conformidad elástica,
el ancho de capa del primario,
el ancho de capa del secundario,
la constante dieléctrica relativa,
la densidad, y
la Relación de Poisson.
La ventaja principal de este método es la facilidad de construcción del
modelo de un PT, donde incluso no es imperativo contar con una muestra
física del mismo. Ya que las expresiones pueden ser evaluadas en un tiempo
muy corto, el método resulta en una manera rápida y sencilla de extraer los
parámetros del modelo de un PT. Además, la existencia de tales expresiones
es una herramienta muy importante en el diseño de PTs.
La limitante del método proviene de ciertas consideraciones que simpli…can la derivación de las expresiones matemáticas. En general, la derivación
de las expresiones se hizo considerando lo siguiente:
2.4 Extracción de los parámetros del modelo
29
1. No existen pérdidas mecánicas entre las interfaces de las capas de
cerámico piezoeléctrico (cerámica - adhesivo, adhesivo - electrodo).
2. Tanto el actuador como el transductor piezoeléctrico vibran idénticamente sin pérdidas entre sí.
3. Los modos de vibración diferentes(espurios) al modo de vibración principal no son considerados.
Así, el modelo obtenido por esta técnica suele presentar características
ligeramente diferentes a los de un PT real. Sin embargo, estas variaciones
son aceptables cuando se consideran las ventajas del método. Dado que los
modos de vibración espurios no son considerados, la técnica no permite la
construcción de los modelos de múltiples ramas.
2.4.2.
Método basado en caracterización y análisis del
circuito equivalente
La segunda técnica de extracción de parámetros está basada en el análisis
del circuito equivalente del PT. La técnica inicia determinando las expresiones matemáticas de una(s) variable(s) del circuito medible(s) en laboratorio. Después, se lleva a cabo un procedimiento de caracterización de la(s)
variable(s) del circuito. Finalmente, se evalúa la expresión mediante alguna
técnica numérica para extraer los parámetros del modelo. Con esta técnica
es posible construir cualquiera de los tres modelos descritos para el PT.
Aquí se mencionan los procedimientos de análisis para dos variables características del PT, la impedancia de entrada con cortocircuito en la salida y la
ganancia de voltaje con carga conocida. El método basado en caracterización
puede de esta manera ser abordado desde procedimientos distintos.
Análisis de la impedancia de entrada con cortocircuito en la salida
La Figura 2.16 muestra el circuito equivalente resultante del cortocircuito
en la salida. Mediante el análisis en frecuencia, se determina la expresión
El Transformador Piezoeléctrico
30
matemática de la impedancia de entrada de este circuito equivalente, mostrada en la ecuación 2.29, en función de los parámetros del modelo.
Figura 2.16. Circuito equivalente del PT con cortocircuito en la salida.
j!CR LC! 2 + 1
Zin (!) jscout = 2
! CCd1 R + j! (L! 2 CCd1 Cd1
C)
(2.29)
Para la extracción de parámetros del PT, se realiza una caracterización
de la impedancia de entrada con cortocircuito en la salida ante variaciones de
frecuencia f = 2! . Los parámetros a determinar con esta técnica son Cd1 , L,
C y R, de acuerdo con la expresión 2.29. Por lo tanto, es necesario efectuar al
menos cuatro mediciones de impedancia del PT. Los parámetros restantes N
y Cd2 se obtienen efectuando operaciones independientes. Para caracterizar
la variable en cuestión en el laboratorio, se emplea cualquier medidor de
impedancia de precisión, como el medidor modelo HP-4284A.
Procedimiento
1. Cortocircuitar las terminales de entrada del PT y programar una medición
a baja frecuencia (<100Hz). Medir la capacitancia paralela de salida
del PT Cd2 en la frecuencia programada. La capacitancia paralela de
entrada puede medirse también si se cortocircuitan las terminales de
salida. La Figura 2.17 muestra una referencia de este paso.
2. Obtener el valor del parámetro N utilizando la ecuación 2.28, donde
n1 y n2 son el número de capas del primario y secundario del PT,
respectivamente.
2.4 Extracción de los parámetros del modelo
31
Figura 2.17. Esquema para la medición de capacitancia paralela del PT con un
equipo medidor LCR.
3. Cortocircuitar las terminales de salida del PT y programar cuatro
mediciones a frecuencias en las cercanías de la frecuencia que desee
modelarse, sea ésta la frecuencia principal o alguna de las espurias.
Medir la impedancia de entrada en las cuatro frecuencias programadas.
En caso de haber obtenido el valor de Cd1 por medio del paso 1 de
este procedimiento, sólo son necesarias tres mediciones. La Figura 2.18
muestra una referencia de este paso.
Figura 2.18. Esquema para la medición de impedancia de un PT con cortocircuito
en la salida.
4. Con los valores medidos en el paso 3 y la expresión 2.29, construir
y resolver un sistema de ecuaciones a razón de n ecuaciones para n
parámetros desconocidos.
El Transformador Piezoeléctrico
32
La precisión en la obtención de los parámetros con este procedimiento
depende de la precisión del medidor de impedancias empleado. Además, el
método seleccionado para resolver el sistema de ecuaciones construido en el
paso 4 puede presentar errores de convergencia, reduciendo la precisión de
los parámetros obtenidos. Como observación …nal, el parámetro N del paso 2
corresponde únicamente a la ganancia del modo de vibración principal. Las
diferentes ganancias de los modos de vibración espurios no pueden obtenerse
aplicando este procedimiento. Por lo tanto, con el método basado en la caracterización y análisis de la impedancia de entrada con cortocircuito en la
salida, sólo es posible construir los modelos de una sola rama y de múltiples
ramas para el PT.
Análisis de la ganancia de voltaje con una carga conocida
En la Figura 2.19, se muestra el circuito equivalente de un PT con una
o
resistencia de carga conocida, Ro . La expresión de la ganancia de voltaje VVin
en función de los parámetros del modelo, se obtiene mediante el análisis en
frecuencia y corresponde a las ecuaciones 2.30 a 2.32.
Figura 2.19. Circuito equivalente de un PT con carga Ro .
Vout
(!) =
Vin
1
!2
j!CZo N
(LC + CCo RZo ) + j! (CR + Co Zo
! 2 LCCo Zo + CZo )
(2.30)
donde:
Co = Cd2 N 2
(2.31)
2.4 Extracción de los parámetros del modelo
Zo =
Ro
N2
33
(2.32)
Para extraer los parámetros del modelo equivalente del PT se realiza una
o
ante variaciones de la frecuencia
caracterización de la ganancia de voltaje VVin
!
f = 2 . Los parámetros a obtener mediante esta técnica son L, C, R y N del
modelo equivalente. Así, es necesario tomar al menos cuatro mediciones de
la ganancia del PT.
La caracterización emplea un circuito auxiliar cuya función es generar una
señal de voltaje con forma de onda sinusoidal como señal de entrada del PT.
El esquema del circuito auxiliar puede variar, siempre y cuando se asegure
una señal de voltaje de entrada sinusoidal al PT. La Figura 2.20 muestra
un posible esquema de circuito auxiliar que emplea un inductor auxiliar La .
El inductor La en conjunción con la capacitancia paralela de entrada del
PT Cd1 opera como un …ltro pasabajas. Si la frecuencia de conmutación del
ampli…cador fc se mantiene al menos una década superior a la frecuencia
p1
de corte del …ltro fq
, se generará una señal con forma de onda
2
La Cd1
sinusoidal en la entrada del PT.
Figura 2.20. Circuito auxiliar para caracterizar la ganancia de voltaje.
Procedimiento
1. Cortocircuitar las terminales de entrada del PT y programar una medición
a baja frecuencia (<100Hz) en un medidor LCR de precisión. Medir en
la frecuencia programada las capacitancias paralelas de entrada y de
salida del PT Cd1 y Cd2 , respectivamente.
2. Colocar una resistencia conocida Ro en las terminales de salida del
PT y programar cuatro mediciones en las cercanías de la frecuencia
34
El Transformador Piezoeléctrico
que desee modelarse, sea ésta la frecuencia principal o alguna de las
o
en las cuatro frecuencias
espurias. Medir la ganancia de voltaje VVin
programadas. La Figura 2.21 muestra una referencia a este paso.
Figura 2.21. Esquema para caracterizar la ganancia de un PT.
3. Con los valores de ganancia medidos y empleando la ecuación 2.30,
construir un sistema de ecuaciones a razón de n ecuaciones para n parámetros desconocidos. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener
los parámetros restantes del modelo.
Como una alternativa al paso 2 de este procedimiento, las mediciones de
ganancia pueden realizarse en una misma frecuencia en las cercanías de la
frecuencia que desee modelarse. Para esto se requiere colocar una resistencia
de carga, Rox , para cada x medición a realizar. No existe un criterio que
de…na las diferencias de aplicar el procedimiento con lo descrito en el paso
2, o bien aplicando la alternativa descrita.
Similar al caso de análisis de impedancia, la precisión en la extracción
de parámetros depende del método seleccionado para resolver el sistema de
ecuaciones del paso 3. Sin embargo, mediante el análisis de ganancia, los
errores de convergencia se minimizan y con esto, los parámetros del modelo
se obtienen con más precisión. Finalmente, la principal desventaja de esta
técnica es la necesidad de construir un circuito auxiliar y uno o más inductores
auxiliares. Sin embargo, la metodología basada en la caracterización de la
ganancia de voltaje permite construir cualquiera de los tres modelos del PT
descritos.
2.5 Resumen
35
La precisión del método basado en caracterización y análisis del circuito
equivalente, en cualquiera de los dos procedimientos descritos, es dependiente
del método numérico con el que las expresiones del análisis sean resueltas.
Con este método es posible construir modelos más precisos del PT que con
el método basado en la física del dispositivo. Sin embargo, la extracción de
parámetros en este caso requiere de una mayor inversión de tiempo y de una
cierta infraestructura de laboratorio para realizar la caracterización.
2.5.
Resumen
Este capítulo presentó los principios operacionales de los elementos piezoeléctricos, materiales constituyentes de los PTs. Se describieron las características básicas de los PTs de tipo Rosen, de vibración de espesor y de
vibración radial. El capítulo incluyó una revisión de tres modelos de circuito
equivalente del PT y dos metodologías para la extracción de sus parámetros.
Capítulo 3
Consideraciones de diseño de
un convertidor cd-cd con PT
3.1.
Introducción
El transformador piezoeléctrico (PT) es un dispositivo de transferencia
de potencia empleado primordialmente en aplicaciones cd-ca (inversor) con
requerimentos de elevación de voltaje, como balastros electrónicos o generadores de chispa de ignitores. Sin embargo, por sus características de e…ciencia, tamaño y densidad de potencia, existe una demanda por emplear los PTs
en aplicaciones cd-cd (convertidor) con capacidad de reducción de voltaje.
Actualmente han sido presentados diversos trabajos donde se aplica el PT en
cargadores de baterías y adaptadores de voltaje para dispositivos portátiles
([17], [18], [25] y [26]). En cualquier caso, se ha requerido tomar ciertas consideraciones que permitan al inversor/convertidor operar con características
tales como: tamaño compacto, poco peso y alta e…ciencia en la transferencia
de potencia.
Concretamente, la e…ciencia en la transferencia de potencia es un aspecto
crítico en el diseño de una aplicación con PT. Existen ciertas propiedades en
el PT que ayudan a incrementar la e…ciencia de la aplicación. Sin embargo
tales propiedades no siempre son su…cientes, o bien, no son aprovechadas al
37
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
38
máximo para mejorar la e…ciencia. Así, en algunos casos es necesario emplear elementos magnéticos adicionales al PT, comprometiendo la densidad
de potencia por mejorar la e…ciencia de la aplicación.
Este capítulo, enfocado principalmente en aplicaciones cd-cd, de…ne las
propiedades del PT que ayudan a incrementar la e…ciencia de la aplicación.
Empleando el modelo equivalente del PT, se analiza la posibilidad de mejorar
tales propiedades mediante elementos magnéticos adicionales. Por último, el
capítulo presenta los lineamientos para aprovechar al máximo las propiedades
del PT. Estas consideraciones establecen un punto de partida para el análisis
y diseño de cualquier aplicación cd-cd con PT.
3.2.
Consideraciones para una operación e…ciente
3.2.1.
Problemática
La Figura 3.1 contiene el diagrama a bloques de un convertidor cd-cd con
PT. El convertidor está constituido por:
Una etapa inversora con la función de excitar la entrada del PT con
una forma de onda de ca,
el PT como elemento de transferencia de potencia del convertidor, y
una etapa recti…cadora que convierte la señal de salida de ca del PT a
una señal de cd.
Figura 3.1. Diagrama a bloques de un convertidor cd-cd con PT.
3.2 Consideraciones para una operación e…ciente
39
La e…ciencia de un convertidor como el de la …gura es el producto de la
e…ciencia de cada una de las etapas de conversión de energía. Para mejorar
la e…ciencia en las etapas del inversor y del recti…cador se requiere reducir
las pérdidas en la conducción y en la conmutación de los interruptores. Las
pérdidas tanto en conducción como en conmutación dependen del dispositivo empleado1 . Además, en la conmutación las pérdidas dependen de la
operación del convertidor y para reducirlas es necesario reconocer la principal problemática asociada que permita establecer una técnica de reducción
de pérdidas.
En la etapa inversora, la problemática se asocia con las perdidas en condi
mutación de los interruptores. En el apagado, la existencia de altos niveles dt
resultan en altos picos de voltaje a través del interruptor. En el encendido, las
pérdidas son causadas principalmente por la disipación de la energía almacenada en la capacitancia en paralelo con el interruptor. En un convertidor
con PT, la principal problemática en el inversor de entrada está asociada con
la alta capacitancia paralela de entrada del PT (típicamente en el orden de
nF), es decir, con las pérdidas en el encendido del interruptor. Este problema
se vuelve más severo a medida que la capacitancia en paralelo se vuelve de
mayor valor.
Para aliviar la problemática relacionada con el capacitor de entrada del
PT es necesario aplicar alguna técnica que permita disipar la energía almacenada en el capacitor en el encendido del interrutor. Como el PT es un
elemento de características similares a una red resonante, el empleo de alguna técnica resonante de conmutación suave es una solución para optimizar
la e…ciencia del inversor. En la técnica de conmutación suave de corriente
(ZCS), el interruptor apaga con corriente cero pero en el encendido, el inversor aún sufre las pérdidas ocasionadas por la alta capacitancia de entrada del
PT. Por otro lado, la técnica de conmutación suave de voltaje (ZVS) elimina
las pérdidas en el encendido asociadas con la carga/descarga de la energía
1
Debido a la operación en alta frecuencia de los PTs, normalmente se emplean dispositivos MOSFET. El empleo de IGBT no está justi…cado debido al rango de baja potencia
de los convertidores con PT.
40
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
almacenada en la capacitancia del PT.
Como ha sido mencionado, para solucionar la problemática en un convertidor con PT es muy importante eliminar las pérdidas en el encendido del
interruptor por lo que la técnica resonante ZVS ofrece una mejor solución que
la técnica ZCS. A pesar de la conmutación a voltaje cero existen pérdidas en
el apagado pero, dada las pérdidas asociada con la alta capacitancia paralela
del PT, se pre…ere el empleo de la técnica ZVS.
Para aplicar la técnica ZVS en el inversor, es necesario que la impedancia
de entrada de las etapas del PT y el recti…cador con carga cuenten con
propiedades tales que el voltaje a través del interruptor adelante a la corriente
del mismo. La propiedad necesaria es un comportamiento inductivo de la
impedancia de entrada2 .
Por otro lado, la e…ciencia máxima de un PT se alcanza cuando la impedancia equivalente del recti…cador con carga es igual a la impedancia equivalente del PT. La optimización de la e…ciencia del PT requiere forzosamente
del reconocimiento de la impedancia del PT, llamada también impedancia
óptima. La impedancia de carga óptima de un PT es muy compleja e igualarla de manera precisa es complicado. Por ello, para la optimización de la
e…ciencia del PT es necesario que el PT sea construido para la aplicación,
considerando desde su diseño la impedancia del recti…cador con carga.
Finalmente, similar al inversor de entrada la e…ciencia del recti…cador se
mejora aplicando una técnica ZVS para eliminar las pérdidas en el encendido,
ocasionadas en este caso, por la capacitancia de salida del PT. Nuevamente,
el empleo de las técnicas requiere de ciertas propiedades presentes en los
dispositivos empleados en el convertidor.
2
Está reconocido que el comportamiento inductivo es una condición necesaria, aunque
no su…ciente para la operación ZVS [27]. Es necesario analizar las implicaciones del capacitor del PT, de valores típicamente más altos que la capacitancia en un convertidor
resonante convencional [28].
3.2 Consideraciones para una operación e…ciente
3.2.2.
41
Comportamiento inductivo de un PT
El comportamiento inductivo es un atributo presente en ciertas redes de
impedancia que se de…ne como un incremento de la magnitud de la impedancia conforme se incrementa la frecuencia, mientras la fase es mayor a cero
grados. Las redes con comportamiento inductivo permiten que la corriente se
atrase respecto del voltaje, que es una de las condiciones que permite obtener
una conmutación suave a voltaje cero en un convertidor [27]. En tal caso la
e…ciencia del inversor se mejora.
La operación eléctrica del PT asemeja al de una red de impedancia resonante. Al igual que en las redes resonantes, a frecuencias superiores a la
frecuencia de resonancia la magnitud de la impedancia se incrementa. Sin
embargo a diferencia de las redes resonantes, la fase de la impedancia no
siempre es mayor que cero grados y el comportamiento inductivo no está
presente en el PT [29]. En un PT las características inductivas son una función de las dimensiones (número de capas, grosor de capas), propiedades del
material y factores de construcción (distribución de electrodos, aislante entre
capas) [8].
Para mejorar la e…ciencia del inversor de entrada, es deseable que el PT
tenga propiedades inductivas al menos en el rango de frecuencias de operación
del convertidor. El comportamiento inductivo de un PT está relacionado
con la magnitud y fase de la impedancia de entrada del PT, jZin j y in
respectivamente (Figura 3.2).
Figura 3.2. Impedancia de entrada de un PT.
42
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
En la Figura 3.3 se observa la evolución de la magnitud de la impedancia
de entrada respecto de la frecuencia para un PT, obtenida mediante simulación. Las frecuencias en las cuales la impedancia tiene un valor mínimo y
máximo son llamadas frecuencia de resonancia y frecuencia de antiresonancia, f res y f ares , respectivamente. De acuerdo a la …gura, dentro del rango
f res –f ares , la magnitud de la impedancia incrementa conforme incrementa la
frecuencia. Como ha sido mencionado, esto corresponde a un comportamiento inductivo. Sin embargo, para que el dispositivo ofresca la posibilidad de
ZVS se requiere además que la fase dela impedancia sea mayor a cero grados.
Figura 3.3. Magnitud de la impedancia de entrada de un PT respecto la frecuencia.
La fase de la impedancia de entrada, mostrada en la Figura 3.4, es mayor
que cero grados solo en un rango menor al rango f res -f ares . Así, el comportamiento inductivo útil para obtener ZVS se reduce al rango de frecuencias
donde la fase de la impedancia de entrada es mayor de cero grados (líneas
punteadas en la Figura 3.4).
El comportamiento inductivo de un PT se mani…esta en un rango de
frecuencia entre f res – f ares , y es una función de las características de construcción del dispositivo. En [30] son analizadas diversas consideraciones en
el diseño y construcción de PTs para obtener características deseadas, entre ellas el comportamiento inductivo. La Figura 3.5 da una ejempli…cación
donde se reconoce que las propiedades inductivas del PT no están presentes,
dado que la fase de la impedancia no es mayor a cero grados. La conclusión
3.2 Consideraciones para una operación e…ciente
43
Figura 3.4. Magnitud y fase de la impedancia de entrada de un PT con comportamiento inductivo.
en este caso es que el PT por las características derivadas de se construcción
no ofrece la posibilidad de operar el convertidor con conmutaciones de voltaje
cero. En tales casos es necesario mejorar las propiedades del PT, ya sea por
medio de un mejor diseño del transformador o bien mediante la adición de
elementos magnéticos adicionales.
Figura 3.5. Magnitud y fase de la impedancia de entrada de un PT sin comportamiento inductivo.
El comportamiento inductivo no asegura una operación ZVS por sí solo.
La operación ZVS se obtiene sólo si se cumplen ciertas condiciones en el
convertidor en cuanto a: frecuencia de operación, voltaje de entrada, corriente
de carga. La ventaja real de un PT con comportamiento inductivo es su
potencial para ser empleado en convertidores sin elementos adicionales.
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
44
3.2.3.
Impedancia óptima de carga
Así como la impedancia de entrada del PT es importante para mejorar la
e…ciencia del inversor de entrada, lo es la impedancia de salida del convertidor
para mejorar la e…ciencia en la transferencia de potencia. La ley que rige la
máxima transferencia de potencia de…ne:
Un generador trans…ere la máxima potencia a una carga cuando la
impedancia de ésta es igual a la impedancia interna del generador.
De acuerdo con la ley de máxima transferencia de potencia, la impedancia
equivalente del recti…cador con carga del convertidor cd-cd, debe ser igual a la
impedancia equivalente de salida del PT (Figura 3.6). Cuando tal condición
se cumple, la impedancia del recti…cador con carga es llamada impedancia
óptima, ya que con ella se optimiza la transferencia de potencia del PT
hacia la salida. El cálculo de la impedancia de salida de un PT es un proceso
relativamente complejo, que implica el empleo del modelo de ‡ujo de potencia
[31].
Figura 3.6. Esquema de la ley de máxima transferencia de potencia en un convertidor cd-cd con PT.
El principal reto para maximizar la transferencia de potencia es igualar la
impedancia del recti…cador con carga a la impedancia de salida del PT. En
general, el PT debe ser diseñado y construido para optimizar esta cualidad.
Normalmente, esto es complicado y para mejorar la transferencia de potencia
en una aplicación se requiere emplear elementos magnéticos adicionales. Ésto,
si la especi…cación de densidad de potencia lo permite y la especi…cación de
e…ciencia lo requiere. Los elementos adicionales tendrán la función de acoplar
3.3 Operación con redes de acoplamiento
45
la impedancia del recti…cador con carga con la impedancia de salida del PT,
mejorando la e…ciencia. Esta solución compromete la densidad de potencia
del convertidor.
Las dos propiedades del PT presentadas (comportamiento inductivo e
impedancia óptima de carga) son deseables para mejorar la e…ciencia del
convertidor cd-cd. Ambas cualidades se obtienen mediante dos perspectivas.
Las propiedades del PT son conseguidas o mejoradas empleando redes de
elementos magnéticos adicionales, también llamadas redes de acoplamiento.
Empleando esta perspectiva se comprometen la simplicidad del convertidor y
su densidad de potencia. Por otro lado, el PT puede ser diseñado y construído para cumplir con tales propiedades sin emplear redes de acoplamiento.
Aunque esta solución es deseable, desde el punto de vista de simplicidad y
densidad de potencia del convertidor, la e…ciencia depende de las condiciones
de operación del mismo, las cuales serán analizadas en un capítulo posterior.
A continuación serán analizadas las dos perspectivas con el …n de seleccionar
una clase de convertidor que emplee un PT más e…cientemente.
3.3.
Operación con redes de acoplamiento
El principal objetivo de las redes de acoplamiento o matching networks
(MNs) es mejorar la e…ciencia del convertidor cd-cd. Las MNs de entrada, colocadas entre el PT y el bloque inversor, se diseñan para modi…car
el comportamiento inductivo del PT a manera de permitir conmutaciones
suavizadas en los interruptores del inversor. Las MNs de salida, colocadas
entre el PT y el bloque recti…cador, se diseñan para acoplar la impedancia
equivalente del recti…cador con la impedancia óptima del PT. Al incluir estas
redes en el convertidor, éste toma una forma como la mostrada en la Figura
3.7.
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
46
Figura 3.7. Esquema de un convertidor cd-cd con PT y redes de acoplamiento
(MNs).
3.3.1.
Acoplamiento en la entrada
Las MNs de entrada modi…can el comportamiento inductivo del PT, al
incrementar la fase de la impedancia. Esto mejora la posibilidad de obtener
conmutaciones de voltaje cero en los interruptores del inversor. Las MNs
permiten además alimentar al PT con formas de onda sinusoidales o cuasicuadradas en lugar de las formas de onda cuadradas del inversor. En las
Figuras 3.8 y 3.9 se muestran dos tipos de MNs de entrada simples.
La MN de un solo inductor (Figura 3.8) permite alimentar al PT con formas de onda sinusoidales, mejorando su e…ciencia al permitir una operación
ZVS en el bloque inversor. Además incrementa la fase de la impedancia de
entrada del PT por lo que existe un incremento en la energía circulante en el
convertidor, lo que afecta la e…ciencia del mismo. La principal desventaja de
la red de un solo inductor es la reducción en el rango de voltaje de entrada,
debido a que se modi…ca la conductancia de entrada del convertidor3 .
La MN de inductor paralelo (Figura 3.9) permite alimentar al PT con
formas de onda cuasi-cuadradas e incrementar la fase de la impedancia de
entrada del PT. La e…ciencia se mejora puesto que se obtienen conmutaciones
suavizadas en los interruptores del inversor. La conductancia de entrada no
es modi…cada, por lo que el rango de voltaje de entrada no se reduce. Sin
embargo, la corriente del inductor paralelo se mantiene casi constante en
condiciones de potencia máxima y mínima de entrada, lo que empeora la
e…ciencia del convertidor en condiciones de carga mínima.
La mayor parte de los diseños recientes emplean algún tipo de MN en la
3
La conductancia se relaciona con la capacidad de transferencia de potencia para un
voltaje de entrada determinado.
3.3 Operación con redes de acoplamiento
Figura 3.8. Fase de la impedancia de entrada con MN serie y sin MN.
Figura 3.9. Fase de la impedancia de entrada con MN paralelo y sin MN.
47
48
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
entrada para obtener ZVS ([18], [32], [33], [34]). A pesar de la efectividad
con la que se obtiene ZVS, la ventaja de menor tamaño, la cual se obtiene
con el uso de un PT, se pierde. Así, en aplicaciones donde la alta densidad
de potencia es una característica deseada del convertidor, el PT debe ser
diseñado para permitir la operación ZVS sin necesidad de MNs de entrada.
3.3.2.
Acoplamiento en la salida
Las MNs de salida equilibran en cierto grado la impedancia equivalente
del recti…cador con carga con la impedancia de salida del PT. De esta manera se optimiza la e…ciencia en la transferencia de potencia del PT y, en
consecuencia, del convertidor. Con el empleo de estas redes, se logra también reducir la sensibilidad del convertidor ante variaciones de la carga. Sin
embargo, el grado de efectividad de las MNs de salida está en función de
su complejidad. Por esto es conveniente aclarar que las MNs de salida no
permiten la operación con máxima transferencia de potencia ante cualquier
tipo de carga.
La Figura 3.10 muestra dos tipos de MNs de salida4 . La principal diferencia entre las redes tipo L y tipo de la Figura 3.10, es el ancho de banda
en el que la impedancia del recti…cador es adecuadamente acoplada. En este
aspecto, la red de tipo presenta un ancho de banda más amplio.
El tipo de MN de salida está de…nido principalmente por la complejidad
de la impedancia de salida del PT. Ésta a su vez depende del diseño y tipo del
PT. En ciertos casos, acoplar el bloque recti…cador con el PT requiere de redes
lo su…cientemente complejas que comprometen la alta densidad de potencia
del convertidor. En consecuencia, si se desea mantener una alta densidad de
potencia en el convertidor, el PT debe ser diseñado para transferir la máxima
potencia al recti…cador con carga sin necesidad de emplear MNs de salida.
4
Existen con…guraciones variadas de redes de acoplamiento. Entre otras, puede nombrarse las tipo L, tipo T, tipo . Algunas de estas redes son analizadas en [35] y su
aplicación en convertidores con PT, desarrolladas en [31].
3.4 Operación sin redes de acoplamiento
49
Figura 3.10. Redes de acoplamiento en la salida tipo L y tipo .
3.4.
Operación sin redes de acoplamiento
3.4.1.
Descripción
En [11], [21] y [36] ha sido demostrada la posibilidad de construir un
convertidor cd-cd con PT sin MNs (Figura 3.11). En éstos, las características especí…cas del PT han sido plenamente aprovechadas para conseguir
conmutaciones naturales en el bloque inversor. Esto requiere que el PT sea
operado en la región de frecuencia donde presenta un comportamiento inductivo. Además, es necesaria la existencia de energía su…ciente para cargar
y descargar el capacitor paralelo de entrada Cd1 en los instantes de conmutación. Así, empleando las características del PT, es posible mejorar la
e…ciencia (y la densidad de potencia) del convertidor sin agregar elementos
magnéticos adicionales.
Figura 3.11. Convertidor cd-cd con PT sin redes de acoplamiento.
50
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
Dado que se desea una operación con conmutaciones naturales, el rango de
frecuencias de operación y el rango de voltaje de entrada resultan limitados,
si son comparados con los rangos en los que se permiten conmutaciones duras.
Esto se debe a que la operación ZVS está limitada a la región donde el
PT presenta un comportamiento inductivo, normalmente menor al rango de
operación f res - f ares (véase Sección 3.2.2).
En el esquema del convertidor sin redes de acoplamiento, el PT es alimentado con formas de onda cuadradas o cuasi-cuadradas, lo que resulta en
mayores esfuerzos mecánicos y calentamiento excesivo del PT [18]. Sin embargo, dado que no se emplea algún elemento magnético adicional, la energía
circulante total se reduce y el desempeño del convertidor (tanto en volumen
como en e…ciencia) mejora.
La capacidad de operar con conmutaciones suaves, el rango de frecuencias
de operación, el rango de voltaje de entrada y la transferencia e…ciente de
potencia, son todos dependientes de las características del PT empleado.
Es notable entonces, la necesidad de diseñar un PT especí…co para cada
aplicación requerida. El diseño del PT para un convertidor con este esquema
requiere considerar las condiciones de operación del convertidor, así como
el material y la geometría del dispositivo5 . Aunque el diseño del PT pueda
resultar complejo y el alcance de aplicaciones de este esquema se vea reducido,
la solución presenta un convertidor con PT de altas prestaciones.
Por último, la variable menos favorecida en este esquema es la transferencia de potencia del PT. Ya que no existe algún acoplamiento en la salida del
PT, el convertidor es muy dependiente del comportamiento de impedancia
del recti…cador con carga. Es necesario entonces diseñar el PT de manera que
su impedancia de carga óptima equilibre la carga equivalente de la aplicación.
Este requerimiento es prácticamente irrealizable, considerando que cualquier
aplicación presenta límites (máximo y mínimo) de carga. Por lo tanto el diseño del PT debe reducirse, de manera que la máxima transferencia de potencia
5
Esto no debe signi…car que el diseño con redes de acoplamiento no considere la operación del convertidor. Como se ha mencionado, el empleo de MN’s agrega un cierto grado
de libertad en el diseño, ya que permite modi…car las cualidades del convertidor con PT.
3.4 Operación sin redes de acoplamiento
51
se cumpla sólo bajo ciertas condiciones de carga normalmente el límite de
carga máxima. Así, resulta necesario e interesante reconocer la impedancia
equivalente de las redes recti…cadoras con carga, ya que el diseño de un PT
para máxima transferencia de potencia depende de su selección y aplicación.
3.4.2.
Recti…cadores de salida
Algunas de las redes recti…cadoras más comunes son mostradas en la
Figura 3.12. Además de la diferencias en operación que existen entre los recti…cadores6 , es importante notar que, para una resistencia de carga RL , la
impedancia equivalente Req del recti…cador con carga es distinta, de acuerdo
con el recti…cador empleado. Esta situación puede ser aprovechada en un
convertidor con PT sin redes de acoplamiento. Debido a que el tipo de recti…cador del convertidor modi…ca la resistencia de carga, el recti…cador mismo
puede ser empleado para acoplar la carga con la impedancia óptima del PT.
Para el diseño de un PT que cumpla con máxima transferencia de potencia, la impedancia equivalente del recti…cador con carga debe conocerse
previamente. Dado que la impedancia equivalente del recti…cador se aproxima
mediante una resistencia equivalente y que ésta, a diferencia de la impedancia
óptima del PT, no depende de la frecuencia, el rango de frecuencias donde se
optimiza la e…ciencia del PT es muy limitado. Si además se considera que la
técnica ZVS requiere un control de frecuencia variable para regular la carga,
la e…ciencia en la transferencia de potencia del PT es limitada cuando no se
emplean MNs de salida.
En conclusión, en un convertidor con PT sin MNs es posible operar en
condición ZVS en los interruptores del bloque inversor. Además, si el PT es
diseñado para la aplicación especí…ca, es posible maximizar la transferencia
de potencia del PT, en un rango limitado de frecuencias de operación. Ambos aspectos mejoran el rendimiento total del convertidor. Sin embargo, es
necesario reconocer bajo que condiciones estarán presentes las dos caracte6
La operación de los recti…cadores ha sido estudiada extensamente y no será revisada
en esta investigación.
52
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
Figura 3.12. Impedancia equivalente de algunas redes recti…cadoras.
3.5 Resumen
53
rísticas. Por medio del análisis de una clase de convertidor con este esquema,
tales condiciones serán reconocidas y podrán ser empleadas para generar una
metodología de diseño del convertidor en cuestión.
3.5.
Resumen
Este capítulo presentó algunas consideraciones en el diseño de un convertidor cd-cd con PT. Las consideraciones fueron orientadas a obtener una
operación ZVS y a optimizar la transferencia de potencia, para incrementar
la e…ciencia total del convertidor.
El comportamiento inductivo de la impedancia de entrada del PT permite
operar a los interruptores del bloque inversor en condición ZVS, mejorando
la e…ciencia. Por sus características y las especi…caciones del convertidor, el
comportamiento inductivo del PT puede no ser su…ciente para lograr ZVS.
El comportamiento inductivo puede ser mejorado con el empleo de redes de
acoplamiento en la entrada del PT. Con esta solución, se obtiene la condición
ZVS aunque se compromete el volumen y peso del convertidor.
Por otro lado, la impedancia equivalente del bloque recti…cador con carga
debe equilibrar la impedancia de salida del PT en un rango de frecuencias
permisibles de acuerdo con la aplicación. Bajo esta condición, se optimiza la
transferencia de potencia del PT, mejorando la e…ciencia del convertidor. La
adición de redes de acoplamiento en la salida puede resultar necesaria, dado
que la complejidad de la impedancia del PT di…cilmente es equilibrada por la
del bloque recti…cador. Nuevamente, se compromete la densidad de potencia
por mejorar la e…ciencia total.
Las cualidades de bajo volúmen y peso de un PT son mejor aprovechadas
en un convertidor sin redes de acoplamiento. Así, es necesario lograr, sin la
necesidad de tales redes, un incremento de la e…ciencia total del convertidor.
Se requiere un comportamiento inductivo del PT su…ciente para obtener ZVS
y que la impedancia de salida del PT sea igual con la impedancia del recti…cador. Se requiere diseñar un PT a la medida de la aplicación. Entonces,
54
Consideraciones de diseño de un convertidor cd-cd con PT
es necesario establecer una metodología de diseño orientada a obtener una
operación ZVS y a optimizar la transferencia de potencia.
Capítulo 4
Análisis de un convertidor
cd-cd con PT
4.1.
Introducción
El transformador piezoeléctrico es un dispositivo que ofrece características
como pequeño volumen y bajo peso al emplearse en un convertidor. La mayor
parte de las aplicaciones con PT actuales, emplean elementos magnéticos
adicionales para incrementar la e…ciencia de los convertidores. Bajo tales
esquemas se pierde la densidad de potencia del dispositivo, además que se
incrementa el costo de la aplicación. Un esquema empleando el dispositivo sin
redes adicionales mantiene bajo el costo y aumenta la densidad de potencia
del convertidor. Este esquema permite obtener aplicaciones de baja potencia
muy competitivas.
El convertidor con PT sin redes adicionales requiere de operar en condición ZVS para mejorar la e…ciencia. Mediante el análisis de una clase de
convertidor, en este capítulo serán presentados los criterios para lograr la
operación ZVS requerida. Capítulos posteriores presentarán una metodología de diseño y la implementación del convertidor, basados en los criterios
ZVS propuestos.
55
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
56
4.2.
Descripción del convertidor
La Figura 4.1 muestra una clase de convertidor cd-cd con PT sin redes
de acoplamiento. Desde un punto de vista de circuito, el convertidor cd-cd
puede describirse con tres bloques principales:
1. Un bloque inversor cd-ca de medio puente en la entrada,
2. Un circuito tanque de energía resonantecon transformador de aislamiento, y
3. Un bloque recti…cador ca-cd en la salida de puente completo.
El inversor cd-ca está integrado por una etapa inversora clase D con dos
interruptores bidireccionales S1 y S2 (par SW1 -Ds1 , y par SW2 -Ds2 ). El PT
reemplaza al transformador y al tanque resonante de los convertidores resonantes convencionales y tiene la función de regular el ‡ujo de energía desde
la fuente hacia la carga. El capacitor de entrada del PT Cd1 se encuentra
colocado en paralelo con S2 y en paralelo con la capacitancia parásita equivalente de ambos interruptores Cp . El capacitor de salida del PT Cd2 está
en paralelo con el recti…cador de salida, y en paralelo con la capacitancia
parásita equivalente del recti…cador. Como etapa de salida se encuentra una
red recti…cadora de puente completo.
Figura 4.1. Topología de convertidor cd-cd con PT a analizar.
El circuito de la Figura 4.1, al igual que su contraparte convencional, tiene
el potencial de operar con conmutaciones naturales en los interruptores. Esta operación se traduce en una mejora en la e…ciencia y en la posibilidad de
4.3 Operación del convertidor
57
incrementar el rango de frecuencias de conmutación del convertidor. Así, el
resultado es la reducción del tamaño y peso del convertidor, un incremento en la respuesta dinámica y una posible reducción de los problemas de
interferencia electromagnética (EMI).
4.3.
Operación del convertidor
En esta sección será descrita la operación con conmutación a voltaje cero
(ZVS) del convertidor de la Figura 4.1. El análisis será realizado considerando
la operación de los tres bloques principales: un bloque inversor, el PT funcionando como un tanque resonante junto con un transformador de aislamiento
y un bloque recti…cador de salida. El objetivo del análisis será la propuesta
de las condiciones de operación ZVS, así como las expresiones matemáticas
que permitan evaluarlas.
4.3.1.
Etapa inversora
La Figura 4.2 muestra un diagrama de las formas de onda de voltaje y
corriente en estado estable del inversor para una frecuencia de operación f
p
superior a la frecuencia de resonancia fs = 1/(2 Ls Cs ). El circuito resonante
del PT forza la existencia de una corriente sinusoidal en el inductor Ls .
Antes de t0
Antes del instante t0 la señal de control vgs1 está en bajo y la señal de
control vgs2 en alto. Por lo tanto, el transistor SW2 está encendido, mientras
que los diodos D2 y D1 , y el transistor SW1 están apagados. El voltaje entre
terminales drenaje-fuente del interruptor superior vS1 es cercano a VCD y el
voltaje entre terminales drenaje-fuente del interruptor inferior vS2 es igual
al voltaje de conducción. La corriente a través del capacitor paralelo es cero
dado que el voltaje del capacitor es constante e igual a cero.
58
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
Figura 4.2. Formas de onda para el análisis de la etapa inversora del convertidor.
4.3 Operación del convertidor
59
Periodo t0 –t1
En el instante t0 se apaga el transistor SW2 de acuerdo con la señal de
compuerta vgs2 . Se mantiene apagado al transistor SW1 de acuerdo a su
voltaje de compuerta vgs1 dado que se emplea un tiempo muerto tDT . Ambos
interruptores están apagados simultáneamente. La forma de onda de corriente
en el circuito resonante está dada por:
iLs (t) = ILsp sin (!t
(4.1)
')
donde ILsp y ' son la amplitud y la fase inicial de la corriente, respectivamente. Cuando se apaga el transistor SW2 (en el instante t0 ), la corriente
iLs conmuta de SW2 al capacitor Cd1 . Así, la corriente a través del capacitor
durante el periodo t0 –t1 es:
iCd1 (t) =
ILsp sin (!t
')
; to < t < t1
(4.2)
Dado que la corriente iCd1 es positiva, el capacitor se carga por la energía
del tanque resonante. En consecuencia, el voltaje entre terminales del capacitor y el interruptor S2 se incrementa gradualmente desde cero hasta un
valor ligeramente mayor a VCD . Dado que VCD = vs1 + vs2 , el incremento de
voltaje de S2 causa un decremento de voltaje de S1 desde VCD hasta un valor
ligeramente menor a cero. Asumiendo que la capacitancia parásita de salida
del transistor es lineal y está absorbida dentro de Cd1 , la forma de onda de
voltaje del capacitor y del interruptor S2 queda determinada por:
vCd1 (t) =
ILsp
[cos (!t
!Cd1
')
cos (')]
; to < t < t1
(4.3)
La corriente a través del transistor SW2 , iS2 , cae a un valor cercano a cero
y permanece así mientras que el voltaje vS2 = vCd1 aumenta gradualmente.
El producto de la corriente y el voltaje del transistor es muy bajo. Por lo
tanto, la pérdida en el apagado del transistor SW2 es aproximadamente cero.
60
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
Periodo t1 –t2
En el instante t1 el voltaje vS1 alcanza la caída de voltaje necesaria para
encender el diodo Ds1 y la corriente deja de ‡uir por Cd1 , conmutando al diodo
Ds1 . En el intervalo t1 –t2 , mientras la corriente iS1 es negativa, el voltaje de
compuerta vgs1 enciende el transistor S1 . En el encendido (t2 ), el cambio del
voltaje en el transistor es pequeño e igual al voltaje de conducción del diodo
(típicamente menor a 1 V). En consecuencia, la pérdida en el encendido de
SW1 es cercana a cero. Después del encendido de SW1 , el diodo D1 apaga y
su voltaje entre terminales es igual al voltaje drenaje-fuente en conducción
de SW1 , generalmente de unos cuantos volts. La corriente de recuperación
inversa del diodo es una porción de onda sinusoidal de valor cercano a cero,
durante un tiempo muy pequeño (el tiempo de retraso de encendido de SW1 ).
Por lo tanto, el diodo presenta un di/dt muy bajo en el apagado. Además,
dado que el producto de corriente por voltaje en el diodo es bajo, la pérdida
en el apagado es despreciable.
Periodo t3 –t4
En el instante t3 se apaga el transistor SW1 de acuerdo con la señal de
compuerta vgs1 . Se mantiene apagado al transistor SW2 de acuerdo a su
voltaje de compuerta vgs2 dado que se emplea un tiempo muerto tDT . La
corriente iLs conmuta der SW1 al capacitor Cd1 . Así, la corriente a través del
capacitor durante el periodo t3 –t4 es:
iCd1 (t) = ILsp sin (!t
')
; t3 < t < t4
(4.4)
Dado que la corriente iCd1 es negativa, el capacitor se descarga por la
energía del tanque resonante. En consecuencia, el voltaje entre terminales
del capacitor y el interruptor S2 se reduce gradualmente desde VCD hasta
cero. La reducción en el voltaje de S2 causa un incremento de voltaje de S1
desde cero hasta un valor ligeramente mayor a VCD . La corriente a través del
transistor SW1 iS1 cae a un valor cercano a cero y permanece así mientras
4.3 Operación del convertidor
61
que el voltaje vS2 = vCd1 se reduce gradualmente. El producto de la corriente
y el voltaje del transistor es muy bajo y la pérdida en el apagado de SW1 es
aproximadamente cero. Durante este periodo el capacitod Cd1 se emplea como
circuito de ayuda a la conmutación (snubber) en el apagado del interruptor.
La cantidad de energía entregada por el tanque resonante al capacitor
en el periodo de carga, W = (1/2)Cd1 V2CD , es la misma que la removida
por el tanque desde el capacitor en el periodo de descarga. Por lo tanto, las
pérdidas tanto en el encendido como en el apagado son iguales entre sí y
aproximadamente cero. La operación descrita sólo puede cumplirse al operar
en frecuencias superiores a la frecuencia de resonancia, mientras el tanque
resonante (en este caso el PT) presente un comportamiento inductivo.
4.3.2.
Criterio para obtener ZVS
Para obtener una operación ZVS en el convertidor descrito, debe lograrse
la carga/descarga adecuada del capacitor Cd1 previo al encendido del interruptor. El tiempo de carga/descarga debe ser menor que un tiempo máximo
dado por la fase de la corriente resonante. Además es necesaria la existencia
de un tiempo muerto entre las señales de control, lo su…cientemente grande
como para permitir que se logre el proceso de carga/descarga. Este tiempo
muerto puede variar entre un valor mínimo tDT min y un valor máximo tDT max .
De acuerdo al diagrama de tiempos de la sección anterior, el tiempo de carga
de Cd1 , tDT min y el tiempo máximo tDT max se de…nen en:
tDT min = t1
t0 = t4
t3
(4.5)
tDT max = t2
t0 = t5
t3
(4.6)
Así, para obtener la operación ZVS se requiere la siguiente condición:
tDT min < tDT max
(4.7)
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
62
El tiempo de carga del capacitor tDT min es una función de la capacitancia
Cd1 , el voltaje de entrada, la magnitud y fase de la corriente resonante y la
frecuencia, como lo muestra la siguiente ecuación (normalizada respecto al
periodo de conmutación):
C
=
t1 t0
'
tDT min
=
=
T
T
2
cos
1
!Cd1 VCD
+ cos (')
ILsp
(4.8)
El tiempo tDT max es una función de la fase de la corriente resonante la
cual a su vez es una función de la frecuencia de operación y la impedancia
del PT. Este tiempo está de…nido como:
tDT max
'
=
T
2
(4.9)
La ecuación 4.7 representa la existencia de energía su…ciente en el tanque
resonante para cargar/descargar al capacitor Cd1 . Para aprovechar esta energía es necesaria la existencia de un tiempo muerto tDT tal que:
tDT min < tDT < tDT max
(4.10)
El cumplimiento de la ecuación 4.10 asegura la carga/descarga de Cd1 , en
consecuencia se obtiene la operación ZVS descrita en la sección precedente.
Se reconoce que los tiempos tDT max y tDT min son función del voltaje de
entrada, la corriente resonante y la capacitancia del PT. Dado que la magnitud y fase de la corriente varía respecto de la frecuencia de operación, los
límites de tiempo muerto varían también. Esto sugiere que el tiempo muerto
tDT sea adaptable de acuerdo con las condiciones de carga del tanque resonante y la frecuencia de operación, a fín de no perder la condición ZVS ante
variaciones de carga y de frecuencia.
La importancia del concepto de tiempo muerto adaptable reside en la posibilidad de ampliar el rango de frecuencias de operación con ZVS. La Figura
4.3 muestra el voltaje y la corriente de un interruptor simuladas en PSPICE
4.3 Operación del convertidor
63
con un tiempo muerto menor al tDT min a 82.6 kHz, según la Figura 4.6. En
este caso la condición ZVS no se cumple. Por el contrario, el mismo resultado simulado con un tiempo muerto mayor al mínimo y menor al máximo
muestra que se logra operar en condición ZVS (Figura 4.4). Por último, si el
tiempo muerto es mayor al máximo (Figura 4.5)se permite una inversión de
la corriente, el proceso de carga/descarga del capacitor se pìerde y la condición ZVS se pierde. Así, adaptando el tiempo muerto según las condiciones de
carga respecto la frecuencia, el rango de operación ZVS puede ser ampliado.
Figura 4.3. Simulación del voltaje y corriente de interruptor con un tiempo muerto menor que tDT min .
Figura 4.4. Simulación del voltaje y corriente de interruptor con un tiempo muerto mayor que tDT min y menor de tDT max .
La Figura 4.6 muestra la ejempli…cación grá…ca, obtenida en simulación
en PSPICE, de los criterios ZVS en el convertidor de medio puente analizado.
64
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
Figura 4.5. Simulación del voltaje y corriente de interruptor con un tiempo muerto mayor que tDT max .
En esta Figura se sintetiza el análisis del convertidor, puesto que incluye
los límites de operación ZVS representados por las ecuaciones ?? y 4.10.
En la …gura se muestran los valores máximo y mínimo normalizados del
tiempo muerto tDT en función de la frecuencia para el convertidor con PT
operando bajo ciertas condiciones de voltaje de entrada y corriente en el
circuito resonante. Además, la …gura contiene la evolución de la ganancia de
voltaje obtenida en simulación en PSPICE del convertidor. La obtención de
esta grá…ca para un convertidor resulta muy importante puesto que permite
determinar la región de operación ZVS del mismo. En un caso de diseño, con
la información contenida en el grá…co se determinan las condiciones necesarias
para obtener la operación ZVS en el convertidor.
4.3.3.
Conmutación suave en la etapa recti…cadora
La etapa recti…cadora consta de un puente de diodos conectado en la
salida del PT del convertidor. La Figura 4.7 muestra un diagrama de las
formas de onda de voltaje y corriente en estado estable del recti…cador de
salida.
La corriente sinusoidal iLs /n ‡uye por el capacitor de salida Cd2 , durante
los periodos de no conducción del recti…cador #0 #1 y #2 #3 y ‡uye por
los diodos D1 –D3 y D2 –D4 en los periodos de conducción #1 #2 y #3 #4 .
4.3 Operación del convertidor
65
Figura 4.6. Representación de los criterios ZVS de un convertidor con PT (resultados de simulación).
Figura 4.7. Formas de onda en estado estable del bloque recti…cador del convertidor.
66
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
El voltaje a través del capacitor Cd2 es igual al voltaje Vout de salida durante
la conducción de los diodos D1 –D3 , y es igual a –Vout durante la conducción
de los diodos D2 –D4 .
En el periodo #0 #1 , dado que la corriente iLs /n a través de Cd2 es positiva, el capacitor se carga con la energía del tanque resonante. En consecuencia,
el voltaje entre terminales del capacitor vCd2 incrementa gradualmente desde
–Vout hasta un valor ligeramente mayor a Vout . Cuando el voltaje vCd2 alcanza la caída de voltaje necesaria para encender los diodos D1 –D3 , la corriente
conmuta de Cd2 a los diodos D1 –D3 .
En el periodo #2 #3 , dado que la corriente iLs /n es negativa, el capacitor
se descarga con la energía del tanque resonante. En consecuencia, el voltaje
entre terminales del capacitor vCd2 decrementa gradualmente desde Vout hasta
un valor ligeramente menor a –Vout . Cuando el voltaje vCd2 alcanza la caída
de voltaje necesaria para encender los diodos D2 –D4 , la corriente conmuta
de Cd2 a los diodos D2 –D4 .
Los diodos conmutan de modo natural y ya que la corriente de recuperación inversa de los mismos es una porción de onda sinusoidal, los dispositivos apagan con un di/dt muy bajo. Como el producto de corriente por
voltaje en los diodos es bajo, la pérdida en el apagado es despreciable.
4.3.4.
Circuito equivalente del recti…cador
El voltaje del capacitor Cd2 y la corriente de entrada al recti…cador incluyen armónicos de alto orden. Sin embargo, como la corriente del inductor
resonante es sinusoidal, únicamente la componente fundamental de vCd2 e iR
contribuyen a la potencia de salida del convertidor. En consecuencia, el análisis puede basarse en una aproximación a la fundamental [37]. La Figura 4.8
muestra las variables mencionadas junto con su forma de onda fundamental.
De la Figura 4.8, el primer armónico de la corriente adelanta por grados
el primer armónico de voltaje. Esto implica que el recti…cador y la carga con
…ltro capacitivo pueden ser representados aproximadamente por medio de un
4.3 Operación del convertidor
67
Figura 4.8. Primer armónico del voltaje vCd2 y de la corriente iR .
circuito equivalente R–C, mostrado en la Figura 4.9.
Figura 4.9. Circuito equivalente R–C del recti…cador de salida.
Los elementos R y C del circuito equivalente de la Figura 4.9 se determinan de acuerdo con las ecuaciones 4.11 y 4.12.
R = Ro
C=
kv2
2
(4.11)
2
tan j j
Ro kv2 !
(4.12)
donde:
kv = 1 + 0;27 sin
2
(4.13)
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
68
=
25 sin [deg]
= 2 tan
kv
,
,
1
s
1
2 !Cd2 Ro
(4.14)
(4.15)
es el factor de forma del voltaje vCd2 ,
es la diferencia de fase del primer armónico de la corriente iR ,
respecto del primer armónico del voltaje vCd2 , y
es el ángulo de conducción de los diodos.
Finalmente, los elementos Cd2 , R y C en el secundario del transformador
del modelo del PT son re‡ejados al primario. Con esto, el convertidor cdcd con PT toma una forma equivalente, mostrada en la Figura 4.10. Los
elementos equivalentes se de…nen por las ecuaciones 4.16 a 4.18.
Figura 4.10. Circuito equivalente del convertidor con PT.
Cp = n2 Cd2
Ce = n2 C =
Re =
2n2
tan j j
Ro kv2 !
R
kv2
=
R
o
n2
2n2
(4.16)
(4.17)
(4.18)
4.4 Expresiones para la evaluación del convertidor
4.4.
69
Expresiones para la evaluación del convertidor
En la Sección 4.3 se propusieron los criterios de operación ZVS del convertidor cd-cd con PT. Para evaluar numéricamente estos criterios se requieren
expresiones matemáticas para el valor pico de la corriente de inductor ILsp y
para la fase de la misma '. También se requiere una expresión de la ganancia
de voltaje, para evaluar su comportamiento respecto la frecuencia.
4.4.1.
Magnitud y fase de la corriente resonante
Las expresiones requeridas serán desarrolladas a partir del circuito equivalente del convertidor medio puente con PT expuesto anteriormente. El
circuito equivalente simpli…cado del convertidor con PT se muestra en la
Figura 4.11, considerando un voltaje de entrada v ab (ecuación 4.19), con una
forma de onda trapezoidal de tiempo de subida tr .
Figura 4.11. Circuito equivalente simpli…cado del convertidor cd-cd con PT.
vab (!) = Vab;pk sin (!t) =
2Vin sin (!tr =2)
sin (!t)
!tr =2
(4.19)
El valor pico de la corriente iLs respecto a la frecuencia está dado por la
relación:
ILs pk (!) =
2Vin sin (!tr =2)
1
Vab;pk
=
sin (!t)
jZin (!)j
!tr =2
jZin (!)j
(4.20)
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
70
Mientras que la fase de la corriente iLs respecto a la frecuencia está dada
por la relación:
' (!) = tan
1
Im [Zin (!)]
Re [Zin (!)]
+
2
(4.21)
Las ecuaciones 4.20 y 4.21 requieren determinar expresiones para la impedancia de entrada, Zin , respecto a la frecuencia. Mediante análisis en
frecuencia del circuito se obtienen las expresiones de la impedancia Zin ,
mostradas en las ecuaciones 4.22 a 4.24.
Zin (!) = Rin (!) + jXin (!)
Rin (!) = Rs +
Xin (!) = !Ls
1
!Cs
Re
1 + !Re (Ce + Cp )
Re2 [! (Ce + Cp )]
1 + [!Re (Ce + Cp )]2
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Con las ecuaciones 4.20 y 4.21 se evalúan los criterios ZVS propuestos
en la Sección 4.3.2. El análisis de un convertidor puede realizarse numéricamente si se emplean estas ecuaciones. El tiempo requerido para efectuar
el análisis numéricamente es menor, comparado con el tiempo empleado en
simulaciones.
4.4.2.
Ganancia de voltaje de cd
La ganancia de voltaje del convertidor está de…nida por:
kCD =
Vout
2n kca sin (!tr =2)
=
Vin
kv !tr =2
(4.25)
Mediante el análisis del circuito de la Figura 4.11, la ganancia del voltaje
del circuito equivalente simpli…cado, kac , está dada por:
4.4 Expresiones para la evaluación del convertidor
kca =
vx
= rh
vab
Rs
1+ R
e
Cp
Cs
1+ CCpe
!2
! 2s
1
i2
+
1
h
Cp
Cs
71
!2
! 2s
1
1
!Re Cp
i2
Rs ! (Cp +C e )
(4.26)
donde:
!s = p
1
Ls Cs
(4.27)
Al sustituir las ecuaciones 4.26 y 4.27 en la ecuación 4.25, se cuenta con
una expresión donde la ganancia de voltaje puede ser evaluada. Los resultados de la evaluación numérica son buenos comparados con los resultados
de simulación, a pesar de que el circuito equivalente empleado es sólo una
aproximación. La Figura 4.12 muestra una comparación entre los resultados
de simulación (Sección 4.3.2) y los de la evaluación numérica de la ecuación
4.25.
Figura 4.12. Ganancia de voltaje de cd obtenida mediante simulación (o) y por
implementación en MATLAB (continua).
Las expresiones que de…nen la magnitud y fase de la corriente del tanque
resonante y la expresión para la ganancia de voltaje permiten el análisis de la
Análisis de un convertidor cd-cd con PT
72
clase de convertidor con PT descrita. Sin embargo, tal vez es más importante
la utilidad de estas expresiones, junto con los criterios ZVS propuestos, para
efectuar el diseño del convertidor. En el próximo capítulo, serán presentadas
dos metodologías de diseño del convertidor cd-cd con PT, basadas en los
criterios ZVS propuestos.
4.5.
Resumen
El capítulo presentó un convertidor cd-cd con PT con una con…guración
medio puente en la etapa del inversor y un recti…cador de puente completo
en la salida que opera sin redes de acoplamiento y en condición ZVS. Despúes de una descripción de la con…guración del convertidor, se describió la
operación de los bloques de entrada y salida, un inversor y un recti…cador,
respectivamente.
Mediante el análisis de la operación del inversor de entrada, se propusieron
las condiciones de operación ZVS del convertidor, expresadas en ecuaciones
matemáticas. Las condiciones especi…can el proceso de carga/descarga del
capacitor de entrada del modelo del PT Cd1 . Cuando el proceso de carga/descarga se logra satisfactoriamente, los interruptores del inversor operan
con conmutaciones suaves y se optimiza la e…ciencia.
El análisis en la salida del PT determinó que el circuito recti…cador con
carga y …ltro de salida capacitivo, pueden ser representados por un circuito
equivalente R–C dependiente de la frecuencia. Esta simpli…cación del circuito equivalente resulta útil para derivar las expresiones matemáticas de las
variables del convertidor.
Finalmente, se derivaron expresiones para la magnitud y fase de la corriente del tanque resonante del modelo del PT. Con éstas, las condiciones de
operación ZVS pueden ser evaluadas numéricamente. Se derivó también una
expresión para la ganancia de voltaje de cd del convertidor en función de los
elementos del circuito y la frecuencia.
Junto con la evidente utilidad del análisis para evaluar el desempeño del
4.5 Resumen
73
convertidor propuesto, las condiciones ZVS y expresiones resultantes permitirán la generación de una metodología de diseño para esta clase de convertidor. Aun, el análisis aquí efectuado puede ser extendido a diferentes
clases de convertidores cd-cd con PT sin redes de acoplamiento, con ligeras
modi…caciones.
Capítulo 5
Metodología de diseño de un
convertidor cd-cd con PT
5.1.
Introducción
Un PT posee características que permiten una operación con conmutaciones de voltaje cero en los interruptores del convertidor. De esta manera, la
densidad de potencia, el costo y la e…ciencia del convertidor se mejoran. Actualmente existen dos enfoques para el diseño de un convertidor cd-cd con PT
y ZVS. El primero de ellos requiere de elementos magnéticos adicionales para
conseguir la operación ZVS. Desde este punto de vista se mejora la e…ciencia,
aunque el costo y densidad de potencia del convertidor son negativamente
afectados.
El segundo enfoque se basa en las propiedades del PT y en las condiciones
de operación del convertidor para conseguir ZVS sin el empleo de elementos magnéticos adicionales. La densidad de potencia, el costo y la e…ciencia
del convertidor son mejorados a expensas de una mayor dependencia de la
operación del PT, respecto al primer enfoque descrito. Bajo este enfoque se
diseña un convertidor con PT de altas prestaciones.
Este capítulo presenta dos propuestas de metodología de diseño de un
75
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
76
convertidor cd-cd con PT de con…guración medio puente con recti…cador
de onda completa (Figura 5.1), pertenecientes al segundo enfoque. Se busca
efectuar la selección, o bien la construcción, de un PT para obtener ZVS sin
necesidad de redes adicionales.
Figura 5.1. Convertidor cd-cd con PT considerado por la metodología.
5.2.
Metodología de diseño para la selección
de un PT
5.2.1.
Descripción
La presente metodología sugiere el procedimiento de selección de un PT
de catálogo para la obtención de las condiciones ZVS del convertidor cdcd. El procedimiento parte de las especi…caciones de la aplicación, así como
de las características físicas de PTs proporcionadas en unos catálogos de
fabricantes.
Empleando el modelo físico del PT (véase Capítulo 2), se analizan las características inductivas y la impedancia óptima del dispositivo (véase Capítulo 3). Para la selección del PT, se busca que la impedancia óptima se
aproxime a la impedancia especi…cada por la aplicación.
Además, resulta muy importante la selección para conseguir una operación ZVS. Para ello se evalúan los criterios ZVS del convertidor (véase
Capítulo 4) bajo los niveles de entrada y salida especi…cados, empleando
5.2 Metodología de diseño para la selección de un PT
77
nuevamente el modelo físico del PT. Ya que se emplea el modelo equivalente, y sólo los parámetros de éste cambian de acuerdo al tipo de PT, la
metodología puede ser aplicada a cualquier tipo de PT de los catálogos del
fabricante.
El objetivo de la metodología es seleccionar un PT a partir de las especi…caciones del convertidor. Los objetivos son:
1. Obtener una máxima transferencia de potencia desde la entrada hacia
la salida.
2. Operar en condición ZVS en los interruptores.
5.2.2.
Metodología
1. Establecer las especi…caciones del convertidor y recopilar la información
de PTs
En este paso se limita la cantidad de PTs del catálogo de acuerdo con las
especi…caciones de la aplicación. Se parte de las especi…caciones mínimas del
convertidor: potencia de salida Po y voltajes de entrada y salida Vin y Vo .
Se parte además, de que el fabricante proporciona en catálogo la siguiente
información mínima del PT: potencia máxima de salida Pomax , dimensiones y
propiedades del material1 . La potencia Pomax debe ser mayor que la potencia
Po de la aplicación. Así, la potencia del PT permite limitar la cantidad de
PTs del catálogo.
2. Derivar del modelo equivalente del PT
Se deriva el modelo equivalente del PT a partir de sus dimensiones y
propiedades del material. Como primera aproximación, se selecciona el PT
1
A pesar de que los catálogos de PTs en la actualidad no son tan extensos como
con otros dispositivos, los catálogos disponibles típicamente contienen la información aquí
descrita como mínima.
78
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
cuyo modelo tenga el capacitor Cd1 de menor valor. Con las especi…caciones
del fabricante se deriva el modelo físico del transformador (Figura 5.2). Aún
sin realizar ningún análisis, la selección del PT de acuerdo a su menor valor
de capacitancia paralela Cd1 , ofrece mayores posibilidades de obtener ZVS.
A pesar de esto, es posible que de acuerdo con las propiedades del PT y las
especi…caciones del convertidor, sea necesario seleccionar y analizar más de
un PT.
Figura 5.2. Dimensiones de los tipos de PTs necesarias para derivar el modelo
físico.
3. Analizar de la impedancia de carga óptima del PT
Determinar la magnitud de la impedancia de carga óptima del PT. Este
valor debe ser aproximadamente el mismo que la impedancia equivalente de
salida de la aplicación. De lo contrario, volver al paso 2 y seleccionar un PT
distinto. El Anexo A.1 contiene una secuencia de comandos en Matlab para
analizar el modelo equivalente del PT y obtener su impedancia óptima. Por
otro lado, la impedancia equivalente de salida depende de la con…guración
del recti…cador empleado (véase Sección 3.4).
Se desea que la carga de la aplicación y la carga óptima del PT sean aproximadamente iguales. De esta manera se opera cerca de la máxima transferencia de potencia. Aún cuando esta condición no está directamente relacionada
con la operación ZVS, alcanzar la máxima transferencia de potencia conlleva
un mejor aprovechamiento de la energía en consecuencia, una mejora en la
e…ciencia total.
5.2 Metodología de diseño para la selección de un PT
79
4. Analizar del comportamiento inductivo del PT
El comportamiento de la impedancia de entrada del PT debe contar con
características inductivas para obtener conmutaciones suavizadas del voltaje.
De lo contrario, volver al paso 2 y seleccionar un PT distinto. El comportamiento de la impedancia de entrada del PT se determina mediante simulación en PSPICE. Se desea la existencia de un comportamiento inductivo, ya
que con éste el PT permite, potencialmente, obtener ZVS sin emplear redes
adicionales. Debe reconocerse además, que la región con comportamiento
inductivo limita el rango de frecuencias de operación de la aplicación.
5. Evaluar de los criterios ZVS del convertidor
Evaluar los criterios ZVS del convertidor empleando las especi…caciones
de la aplicación. Si los resultados muestran la existencia de ZVS, seleccionar
el PT para la aplicación. De lo contrario, volver al paso 2 y seleccionar un
PT distinto. Los criterios ZVS del convertidor han sido enunciados en el
Capítulo 4 junto con las expresiones necesarias para su evaluación. El Anexo
A.2 contiene una secuencia de comandos en Matlab para la evaluación de
estos criterios.
Este paso representa la última condición en la selección o rechazo del
PT para la aplicación. Aún cuando existen otros criterios para la selección
como volumen, costo y disponibilidad del PT, éstos no son cubiertos por la
metodología descrita.
6. Obtener una muestra física del PT seleccionado
Obtener una muestra física del PT seleccionado. Derivar su modelo equivalente basado en caracterización y comprobar la operación ZVS con ese
modelo.
En este paso es posible observar ligeras diferencias respecto a los resultados del paso 5. Ésto se debe a que el modelo físico del PT (empleado para la
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
80
evaluación y selección del mismo) no considera ciertos efectos parásitos que
sí están presentes al derivar el modelo equivalente mediante caracterización
y emplearlo en la evaluación de la muestra física. Generalmente, estas diferencias corresponden a ligeras desviaciones en la frecuencia de operación del
convertidor [34]. Sin embargo, la operación ZVS se mantiene existente.
7. Implementar el convertidor
La metodología concluye con la implementación de un prototipo del convertidor cd-cd con PT. Es necesario señalar la posibilidad de que no exista
un PT aplicable que permita la operación ZVS sin redes de acoplamiento. O
bien, que aún cuando se obtenga una operación ZVS, otros aspectos como
el volumen y peso no son optimizados. En tales casos, una estrategia que
permita especi…car la construcción de un PT representa una mejor solución
al diseño del convertidor.
5.2.3.
Observaciones
La metodología propuesta permite al diseñador seleccionar un PT de
catálogo para una aplicación especí…ca. Existe una dependencia explícita
de las facilidades que tenga el fabricante de ofrecer distintos modelos de PT.
Además, el proceso de análisis de los transformadores de un catálogo asemeja
a un proceso de prueba y error, aún con la existencia de expresiones especí…cas para las evaluaciones. Con esto, la selección de un PT puede volverse una
tarea altamente repetitiva, y puede requerir una inversión de tiempo para el
análisis considerable.
El diseño del convertidor no se involucra con costosos procesos de fabricación de un PT. Con esto, la iteración del procedimiento está justi…cada con
la reducción del costo de diseño e implementación. Aún cuando se obtiene
ZVS, el convertidor no es óptimo ya que el PT no fue fabricado especí…camente para la aplicación. La …gura 5.3 muestra un diagrama de ‡ujo que
puede ser empleado para resumir la metodología presentada.
5.2 Metodología de diseño para la selección de un PT
81
Figura 5.3. Diagrama de ‡ujo de la metodología de selección de un PT para el
diseño de un convertidor.
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
82
5.3.
Metodología de diseño del PT óptimo
para operación ZVS
5.3.1.
Antecedentes
Esta metodología sugiere el procedimiento para la obtención de las dimensiones de un PT especí…co para una aplicación determinada. Con estas
dimensiones puede construirse un PT con el que se obtenga una operación
ZVS en el convertidor. Además, al ser controladas las dimensiones del PT es
posible optimizar el empleo del dispositivo para cumplir con especi…caciones
de volumen y peso, además de la e…ciencia eléctrica.
Para la generación del procedimiento es necesario relacionar las especi…caciones y la operación del convertidor con las dimensiones y propiedades del
PT. Esta relación se establece por medio del modelo físico del PT. A manera
de resumen, la operación del convertidor se relaciona con el modelo equivalente del PT. Después, el modelo equivalente se relaciona con las dimensiones
y propiedades del material del PT.
Para cada tipo de PT, las relaciones entre sus dimensiones y el modelo
físico son distintas. Por esto, las expresiones de esta metodología varían, si se
diseña un PT de tipo longitudinal, por ejemplo, o un PT de tipo radial. Aquí,
la metodología será descrita para la determinación de dimensiones de un PT
de tipo radial. Sin embargo, los conceptos que permiten generar la metodología pueden ser extendidos y aplicados a otros tipos de transformadores.
Así, para el diseño del convertidor de la Figura 5.4 es necesario hacer las
siguientes consideraciones:
1. La resistencia equivalente del recti…cador con carga, n2 Re , se considera
igual a la magnitud de la impedancia de carga óptima del PT y mucho
mayor que la resistencia equivalente serie del modelo del PT. Con ésto
se garantiza la máxima transferencia de energía desde el PT a la carga.
2. El modelo equivalente del PT incluye únicamente los efectos parásitos
5.3 Metodología de diseño del PT óptimo para operación ZVS
83
del dispositivo representados por la capacitancia Cd1 y la resistencia
Rs .
Figura 5.4. Circuito equivalente del convertidor cd-cd con PT para la metodología.
Curvas de ganancia de voltaje
La primera consideración se expresa como:
1
!Cd2
Re n2 = Ropt
(5.1)
(5.2)
Re >> Rs
Con ésto, la expresión de ganancia de voltaje kCD , de la Sección 4.4 toma
la forma:
kac = rh
1
1
Cp
Cs
(1 + tan j j)
kCD =
donde:
!2
! 2s
1
i2
+
h
Cp
Cs
Vout
2n kca sin (!tr =2)
=
Vin
kv !tr =2
!2
! 2s
1
i2
(5.3)
(5.4)
84
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
kv = 1 + 0;27 sin
2
= 25 sin [deg]
r
= 2 tan 1
k2
4 v
Re = Ro
Ce =
kv2
1
=
2
2n
!Cp
2n2
tan j j = tan j j Cp
Ro kv2 !
Cp = n2 Cd2
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
La expresión para la ganancia de cd del convertidor está en función de la
frecuencia normalizada de conmutación !!s , de la relación entre capacitancias
del PT CCps , y la relación de capas del transformador n. Se construye una familia de curvas de ganancia dependiente de los tres factores mencionados, de
manera que sea posible seleccionar un punto de operación para el convertidor,
de acuerdo con el valor de ganancia especi…cado por la aplicación.
La Figura 5.5 muestra dos familias de curvas para los casos de n=1 y n=2.
De la …gura se observa que el factor n debe ser lo su…cientemente grande para
que la ganancia especi…cada por la aplicación sea alcanzada. Debe ponerse
especial cuidado en la selección del factor n, puesto que mientras es mayor,
la operación del convertidor está más lejos de la resonancia del convertidor
con PT. Por lo tanto, la energía del tanque resonante se vuelve circulante y
la capacidad de operar en ZVS se di…culta.
La selección del punto de operación del convertidor sobre las diferentes
curvas de ganancia determina la frecuencia de conmutación, la relación de
capacitancias y la relación de capas. Es necesario determinar si existe algún
impacto de estos factores sobre las dimensiones del PT. Así, la selección del
punto de operación, y en consecuencia la selección de los factores mencionados será un proceso de…nido por criterios de diseño, más que un proceso
arbitrario.
5.3 Metodología de diseño del PT óptimo para operación ZVS
85
Figura 5.5. Familia de curvas de ganancia en función de la relación de capas, n.
86
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
Dimensiones del PT
Las dimensiones de un transformador se relacionan con la frecuencia de
conmutación, la relación de capacitancias y la relación de capas empleando las
expresiones del modelo equivalente basado en la física del PT. A continuación
se determinarán las dimensiones de un PT de tipo radial: el grosor de capa
de primario y secundario t1 y t2 , y el radio de la capa r.
La potencia, el voltaje de salida de la aplicación y la selección de un punto
de operación sobre la familia de curvas de ganancia, se consideran dados. Con
esto se obtienen: !, !!s , CCps , n, Po y Vo . La frecuencia de resonancia fs , y los
elementos Cd2 , Cs y Ls del modelo equivalente del PT se obtienen de las
expresiones:
1
1 !s
!s
p
=
!
=
2
2 !
2 Ls Cs
(5.11)
Po
Cp
=
2
n
16f Vo2
(5.12)
Cs
Cs 2
Cs n2 Po
Cp =
n Cd2 =
Cp
Cp
Cp 16f Vo2
(5.13)
fs =
Cd2 =
Cs =
Ls =
1
=
! 2s Cs
!
!s
2
1 Cp 16f Vo2
! 2 Cs n2 Po
(5.14)
Las dimensiones del dispositivo se obtienen a partir de los elementos
de…nidos por las ecuaciones 5.12 a 5.14 y de la frecuencia de resonancia
del PT. Para ello se emplean las ecuaciones 5.15 a 5.18 que relacionan las
dimensiones y propiedades del material con el modelo de un PT de tipo radial. En el Anexo A.3 se incluye una secuencia de comandos en Matlab para
obtener los elementos del modelo equivalente del PT a partir de las especi…caciones del convertidor. En el Anexo B.3 se incluye una serie de comandos
en MathCAD para la obtención de dimensiones del PT radial.
5.3 Metodología de diseño del PT óptimo para operación ZVS
n2
t2 =
t1 =
t1 =
r
Np
fs
r2 "T33
h
1
(5.15)
(1
d231
E "T
) S11
33
Cd2
32 r2 (d31 n1 )2
E
S11
Cs n1 (1
)
16
87
Ls (d31 n1 )2
E2
S11
n1 (1
)
i
n2 t2
n1
n2 t2
n1
(5.16)
(5.17)
(5.18)
Las dimensiones del PT están en función de los elementos Cd2 , Cs y Ls , las
cuales a su vez están en función de la frecuencia de conmutación, la relación
Cp
y de las especi…caciones de la aplicación. Para reconocer esta dependencia
Cs
se gra…ca el comportamiento de las dimensiones respecto de la frecuencia y
la relación de capacitancias.
La Figura 5.6 muestra la variación del radio de las capas ante variaciones
de frecuencia de conmutación y de la relación CCps . En esta grá…ca se observa
la tendencia del radio a disminuir conforme aumenta la frecuencia. Además,
para una frecuencia constante, el radio disminuye ligeramente conforme se
incrementa la relación de capacitancias.
El grosor de capa de primario (Figura 5.7) se incrementa en proporción al
factor CCps y disminuye conforme se incrementa la frecuencia. Debe notarse que
para los casos en que CCps sean muy pequeños, el grosor de la capa tiene valores
muy pequeños, incluso negativos, lo que es inaceptable físicamente. El grosor
de la capa del secundario (Figura 5.8) disminuye conforme se incrementa el
factor CCps y en mayor proporción ante un incremento de frecuencia.
Finalmente, la dependencia con la frecuencia de conmutación y la relación
de capacitancias de los valores de los elementos Cd1 y Rs del modelo del PT,
puede observarse en las Figuras 5.9 y 5.10, respectivamente. Al incrementar el
factor CCps se reduce la capacitancia Cd1 , condición deseable para la operación
88
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
Figura 5.6. Comportamiento del radio de las capas respecto de la frecuencia y
Cp /Cs .
Figura 5.7. Grosor de la capa del primario respecto de la frecuencia y Cp /Cs .
5.3 Metodología de diseño del PT óptimo para operación ZVS
89
Figura 5.8. Grosor de la capa del secundario respecto de la frecuencia y Cp /Cs .
ZVS. Sin embargo, al mismo tiempo se incrementa el valor del parásito Rs ,
condición no deseable desde el punto de vista de la e…ciencia.
Los resultados permiten establecer dos conclusiones:
1. Las dimensiones del PT son una función inversa de la frecuencia de
conmutación.
2. La variación de la relación CCps afecta principalmente al grosor de la(s)
capa(s) del primario del PT. En consecuencia, tales variaciones modi…can principalmente los valores de los elementos parásitos del modelo
Cd1 y Rs .
Las conclusiones anteriores conllevan al establecimiento de un compromiso en la selección de CCps y de la frecuencia de conmutación, para obtener las mínimas dimensiones del PT y los mínimos valores de los elementos
parásitos.
90
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
Figura 5.9. Comportamiento de la capacitancia de entrada, Cd1 , respecto de la
frecuencia y Cp /Cs .
Figura 5.10. Comportamiento de la resistencia serie, Rs , respecto de la frecuencia y Cp /Cs .
5.3 Metodología de diseño del PT óptimo para operación ZVS
5.3.2.
91
Descripción
La metodología describe un procedimiento para determinar las dimensiones de un PT de tipo radial, de manera que se cumplan las condiciones
ZVS del convertidor cd-cd. Partiendo de las especi…caciones del convertidor,
se seleccionan la frecuencia de conmutación y la relación de capacitancias CCps ,
para obtener las mínimas dimensiones y los mínimos valores de elementos
parásitos del dispositivo. Después de determinar las dimensiones, se evaluan
los criterios ZVS empleando el modelo equivalente del PT. Las expresiones
de la metodología presentada corresponden a un PT de tipo radial. Sin embargo, los conceptos de la metodología pueden ser extendidios a otros tipos
de transformadores piezoeléctricos.
El objetivo de la metodología es determinar las dimensiones de un PT a
partir de especi…caciones del convertidor. Los objetivos son:
1. Obtener una máxima transferencia de potencia desde la entrada hacia
la salida.
2. Operar en condición ZVS en los interruptores del convertidor.
5.3.3.
Metodología
1. Establecer las especi…caciones de la aplicación y seleccionar un material
para el PT
Se parte de las especi…caciones mínimas del convertidor, las cuales son:
potencia de salida, Po , voltajes de entrada y salida, Vin y Vo . Se parte además
de un material piezoeléctrico especí…co para la construcción del PT2 .
2. Seleccionar el número de capas del PT
2
Los fabricantes de elementos piezoeléctricos ofrecen información de los materiales recomendables para PTs; típicamente se emplean las llamadas cerámicas duras [38].
92
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
Construir una familia de curvas de ganancia de voltaje a partir de la
expresión 5.4. En ella seleccionar el número de capas que permita generar el
voltaje de salida a partir del voltaje de entrada. El número de capas n debe ser
lo su…cientemente grande para que la ganancia especi…cada por la aplicación
sea alcanzada. El número de capas no debe ser excesivamente mayor del
necesario, puesto que mientras es mayor, la operación del convertidor está
más lejos de la resonancia del convertidor con PT. Por lo tanto la energía
del tanque resonante se vuelve circulante y se compromete la capacidad de
operar en ZVS.
3. Determinar la frecuencia de operación y la relación
Cp
del
Cs
PT
La determinación de la frecuencia de operación y la relación CCps requiere
establecer un compromiso entre varios criterios de diseño. Dado que las dimensiones del PT dependen de estos dos factores, los criterios como: densidad de potencia deseada, per…l del convertidor, disipación de potencia, entre
otros, establecen compromisos entre las dimensiones del PT y el desempeño
del convertidor. Tales compromisos son evaluados en conjunción con el paso
4, es decir, determinando las dimensiones del PT en función de la frecuencia
y la relación de capacitancias.
4. Determinar las dimensiones del PT como una función de la frecuencia
de operación y la relación CCps
Las dimensiones del PT se determinan empleando las expresiones 5.15
a 5.18. Como se ha visto, este paso marca la segunda parte de un proceso
de diseño del PT conforme a criterios variables, según la aplicación. Los
resultados de este paso permiten evaluar los criterios de selección del paso
3, de la manera más conveniente para la aplicación del convertidor. Junto
con las dimensiones, el modelo equivalente del PT es determinado para la
frecuencia de operación y la relación de capacitancias seleccionados.
5. Veri…car la condición ZVS
5.3 Metodología de diseño del PT óptimo para operación ZVS
93
Se veri…can los criterios ZVS las ecuaciones derivadas por el análisis del
convertidor (Capítulo 4). Este paso representa la última condición para la
determinación de la frecuencia de operación y las dimensiones del PT para
la aplicación. Una vez identi…cada la operación ZVS, se pueden especi…car
las dimensiones del PT para efectuar su construcción.
6. Especi…car y construir un prototipo del PT con las dimensiones determinadas en el paso 4
7. Derivar el modelo equivalente basado en la caracterización del PT construido y veri…car la operación ZVS
Una vez construido el PT, es necesario derivar el modelo equivalente a
partir de una caracterización en el laboratorio. Los criterios ZVS se evaluan
empleando el modelo del PT. Existe la posibilidad de observar diferencias
entre los resultados con un PT construido y los resultados de un PT diseñado.
Ésto se debe a que el modelo físico del PT, empleado en el paso 4 para
la obtención de las dimensiones, no considera ciertos efectos parásitos que
si están presentes en el PT construido. Estas diferencias, de acuerdo con
reportes actuales ([39], [34]), no son representativas de error y la operación
ZVS se mantiene existente.
8. Implementar el convertidor cd-cd con el PT obtenido
La metodología concluye con la implementación de un prototipo del convertidor cd-cd con PT. Es necesario señalar que la metodología no cuenta
con un proceso efectivo para la determinación del comportamiento térmico y disipativo del PT. Este comportamiento evidentemente de…ne límites
en las dimensiones del dispositivo. Actualmente, el análisis térmico del PT
está pobremente descrito en la literatura relacionada y sus resultados poco
concluyentes. Así, la metodología presentada representa una buena aproximación, aunque limitada, en la determinación de las dimensiones de un PT
para una aplicación especí…ca.
94
5.3.4.
Metodología de diseño de un convertidor cd-cd con PT
Observaciones
La metodología propuesta permite determinar la frecuencia de operación de un convertidor cd-cd con PT y las dimensiones del PT. Mediante el
proceso se obtiene un convertidor que, sin necesidad de redes de elementos
magnéticos adicionales, opere en condición ZVS. Esta metodología amplía
las oportunidades de alcanzar un diseño óptimo, dado que las dimensiones
del dispositivo son elegidas de acuerdo a criterios aplicables al desempeño
del convertidor, tales como volúmen, peso y ZVS. La …gura 5.11 muestra
un diagrama de ‡ujo que puede ser empleado para resumir la metodología
presentada.
Figura 5.11. Diagrama de ‡ujo de la metodología de determinación de dimensiones de un PT para el diseño de un convertidor.
La principal desventaja de esta propuesta es la inexistencia de resultados
experimentales que permitan validar el procedimiento. Ésto se debe a que no
se ha efectuado la construcción de un PT empleando la técnica descrita. Sin
5.4 Resumen
95
embargo, los resultados en simulación sugieren que la metodología representa
una buena aproximación en la determinación de las dimensiones de un PT
para el convertidor empleado.
5.4.
Resumen
El Capítulo 5 presentó la derivación de dos propuestas de metodología
de diseño de un convertidor cd-cd con PT. Las metodologías están basadas
en las propiedades del PT y en el análisis del convertidor cd-cd. Ambas
metodologías están dirigidas a la obtención de un convertidor que, sin emplear redes de acoplamiento, opere en condición ZVS en los interruptores del
convertidor.
La primer metodología propuesta consiste en la selección de un PT para
ser empleado en el convertidor. Las propiedades y características del PT
están contenidas en catálogos de fabricante y son analizadas con el …n de
determinar si permiten transferir la máxima potencia desde la entrada hacia
la salida, y operar el convertidor en condición ZVS. Al evitar el proceso
de construcción del dispositivo, el convertidor incrementa en economía. Sin
embargo se tienen pocas oportunidades de controlar otros aspectos de diseño
tal como la densidad de potencia.
La segunda metodología propuesta consiste en la determinación de la frecuencia de conmutación y las dimensiones del PT en un convertidor cd-cd
con PT. Estos parámetros se seleccionan a partir de un proceso de establecimiento de compromisos entre factores como: densidad de potencia, frecuencia
de operación y ZVS. Esta metodología permite especi…car y construir un PT
desde un punto de vista de optimización del diseño. La metodología no ha
sido comprobada experimentalmente con la fabricación de un prototipo de
PT. Los resultados en simulación, sin embargo, sugieren una buena aproximación del método limitada únicamente por las consideraciones iniciales del
procedimiento.
Capítulo 6
Implementación de un
convertidor cd-cd con PT
6.1.
Introducción
A …nales de la década de los 80’s fueron presentadas varios convertidores
conocidos como convertidores de conmutación suave. La conmutación suave
signi…ca que a uno o más de los interruptores del convertidor se le eliminan
las pérdidas, ya sea en el encendido o en el apagado. Una manera de abordar
la conmutación suave consiste en la creación de un fenómeno de resonancia en
el convertidor por medio de combinaciones en serie o en paralelo de componentes resonantes, reduciendo drásticamente las pérdidas en los transitorios.
Tradicionalmente, componentes como capacitores, inductores y transformadores magnéticos han sido empleados para crear la resonancia en un
convertidor. Recientemente, algunas topologías han incorporado el transformador piezoeléctrico (PT) en las con…guraciones resonantes de los convertidores. Por las características del dispositivo, la necesidad de elementos
discretos adicionales al PT ha sido eliminada en ciertas topologías. Esto ha
reducido e incrementado la densidad de potencia.
Para aprovechar las cualidades del PT, el diseño del convertidor debe con97
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
98
sistir en un proceso que, basado en el análisis del dispositivo y del convertidor,
establezca los criterios para la selección o construcción del PT adecuado para
la aplicación. En este capítulo será presentada la implementación de un convertidor cd-cd con PT de medio puente con recti…cador de puente completo.
La implementación está basada en la aplicación de la metodologías de diseño
para la selección de un PT, establecida en el Capítulo 5.
6.2.
Aplicación de la metodología de diseño
6.2.1.
Selección de un PT
Para la implementación del convertidor cd-cd con PT de la Figura 6.1 será
empleada la metodología para la selección de un PT derivada en el Capítulo
5.
Figura 6.1. Topología del convertidor cd-cd con PT a implementar.
1. Establecer las especi…caciones del convertidor y recopilar información
de PTs
Las especi…caciones del convertidor son: voltaje de entrada Vin = 101.5
V, voltaje de salida Vout = 121.5 V y potencia de salida Po = 18 W. Para
este diseño no se estableció una oferta de PTs de catálogos de fabricante y
se cuenta solo con un PT de tipo radial de la compañía Transoner. El PT,
con el nombre CK2, tiene las propiedades geométricas resumidas en la Tabla
6.2 Aplicación de la metodología de diseño
99
6.1 y material PKI-802 de la compañía Piezo –Kinetics con las propiedades
de la tabla 6.2.
Dado que la potencia máxima del PT es mayor que la de la aplicación, el
PT CK2 puede ser empleado.
Tabla 6.1. Propiedades geométricas del PT CK2.
Parámetro
Radio
Número de capas de primario
Número de capas de secundario
Grosor de capa de primario
Grosor de capa de secundario
Potencia de salida
Valor
r = 14.98mm
n1 = 2
n2 = 1
t1 = 2.03mm
t2 = 2.03mm
Po = 30W
2. Derivación del modelo equivalente del PT
El modelo equivalente basado en la física del PT CK2 se muestra en la
Figura 6.2. El valor del capacitor de entrada es relativamente alto. Mediante
análisis subsecuente será determinado si es posible obtener una operación
ZVS.
Figura 6.2. Circuito equivalente basado en el modelo físico del PT CK2.
3. Análisis de la impedancia de carga óptima del PT
La magnitud de la impedancia de carga óptima del PT CK2 se muestra en
la Figura 6.3. De la …gura puede observarse que la magnitud de la impedancia
100
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
Tabla 6.2. Parámetros del material cerámico piezoeléctrico PKI-802.
Parámetro
Densidad
Constante dieléctrica relativa
Relación de Poisson
Factor de disipación
Factor de calidad mecánico
Coe…ciente de acoplamiento
Coe…ciente piezoeléctrico
Conformidad elástica
Constante de frecuencia de espesor
Constante de frecuencia radial
Valor
= 7.6 (g=cc)
T
"33 = 1000"o
= 0.32
0.004
Qm = 900
k31 = 0.30
k33 = 0.61
d31 = -100 10 12 (m=V )
d33 = 220 10 12 (m=V )
12
(m2 =N )
SE
11 =10.4 10
12
(m2 =N )
SE
33 =13.5 10
Nt = 2100 (m=s)
Np = 2360 (m=s)
Figura 6.3. Magnitud y fase de la impedancia de carga óptima del PT CK2.
6.2 Aplicación de la metodología de diseño
101
equivalente de la carga (ecuación 6.1) sólo equilibra a la impedancia óptima
en un punto (f
81.7 kHz). Ésto impide extender la máxima transferencia
de potencia ante variaciones de frecuencia.
Re
8 (121;5)2
8Vo2
=
= 664;77
2P
2 (18)
o
(6.1)
Como se mencionó en el Capítulo 3, al no emplear redes de acoplamiento
de salida, se mejora la densidad de potencia, a costa de limitar la capacidad de
transferencia máxima. Como la desventaja descrita forma parte del comportamiento del convertidor se acepta el grado de aproximación de la magnitud
de la impedancia de carga con la magnitud de la impedancia óptima del PT
CK2.
4. Análisis del comportamiento inductivo del PT
El comportamiento de la impedancia de entrada del PT CK2 es inductivo,
como lo muestran la magnitud y fase de la impedancia de entrada mostradas
en la Figura 6.4. Debido a que la fase de la impedancia de entrada es positiva,
el PT tiene potencial para que el convertidor opere en condición ZVS.
Figura 6.4. Magnitud y fase de la impedancia de entrada del PT CK2.
5. Evaluación de los criterios ZVS del convertidor
102
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
La Figura 6.5 muestra la ganancia de voltaje del convertidor junto con
los límites máximo y mínimo del tiempo muerto de las señales de control
necesarios para obtener la condición ZVS. De acuerdo con la …gura, el punto
de operación del convertidor bajo los niveles de entrada y salida especi…cados
está ubicado en la intersección de la ganancia especi…cada VVino , y la curva de
ganancia del convertidor. Este punto establece la frecuencia de operación, fc ,
del convertidor.
Figura 6.5. Ganancia de voltaje y límites máximo y mínimo del tiempo muerto,
tDT , empleando el modelo físico del PT CK2.
Por último, el punto de operación en este caso casi corresponde con el
límite de operación ZVS. Esto sugiere que, para un voltaje de salida constante, la reducción del voltaje de entrada hará que la condición ZVS se pierda.
En caso contrario, un aumento en el voltaje de entrada podrá permanecer con
condición ZVS, siempre y cuando se respeten los límites del tiempo muerto
de las señales de control.
6.2 Aplicación de la metodología de diseño
103
Obtención de un muestra física del PT seleccionado
6. Obtención de un muestra física del PT seleccionado
El modelo equivalente con los valores obtenidos en la caracterización del
PT CK2 se muestra en la Figura 6.6. La existencia de diferencias en los
parámetros es notoria al compararlos con los valores de la Figura 6.6, . Esto
conlleva a diferencias en el comportamiento de la ganancia de voltaje y de la
región de operación ZVS, mostradas en la Figura 6.7.
Figura 6.6. Modelo equivalente basado en la caracterización del PT CK2.
Una comparación entre las curvas de las Figuras 6.5 y 6.7, permite determinar que las diferencias entre los parámetros del modelo hacen que exista
una desviación de la respuesta en frecuencia del PT. Sin embargo, la ganancia absoluta y la región ZVS permanecen casi constantes. Así, a pesar de que
las variaciones del modelo físico del PT son notorias, se puede obtener una
buena aproximación de las características reales del PT y del convertidor con
PT. La Figura 6.8 muestra las formas de onda simuladas en el convertidor
trabajando en el punto de operación.
7. Implementación del convertidor
Para la construcción del prototipo se emplearon componentes de montaje
super…cial a manera de obtener un prototipo de pequeñas dimensiones y bajo
per…l. La etapa fue diseñada para una tensión de entrada máxima de 200 V
y una corriente máxima de 2 A rms. La Figura 6.9 muestra una fotografía
de la etapa de potencia del prototipo.
104
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
Figura 6.7. Ganancia de voltaje y límites máximo y mínimo del tiempo muerto,
tDT , empleando el modelo basado en caracterización del PT CK2.
Figura 6.8. Formas de onda simuladas con el convertidor operando en ZVS.
6.2 Aplicación de la metodología de diseño
Figura 6.9. Vista superior del prototipo de convertidor cd-cd.
105
106
6.2.2.
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
Diseño del PT óptimo
Para la implementación del convertidor cd-cd con PT (Figura 6.10) será
empleada la metodología para la selección de un PT derivada en el Capítulo
5.
Figura 6.10. Convertidor cd-cd con PT para el diseño.
Especi…caciones del convertidor
1. Establecer las especi…caciones de la aplicación y seleccionar un material
para el PT.
Las especi…caciones del convertidor son: voltaje de entrada, Vin = 101.5
V, voltaje de salida, Vout = 121.5 V y potencia de salida, Po = 18 W. Se
empleará en este caso el material PKI–802 de la compañía Piezo–kinetics
para el diseño del PT. Los parámetros del material están resumidos en la
tabla 6.2 (pág. 100).
2. Seleccionar el número de capas del PT
La Figura 6.11 muestra las familias de curvas de ganancia de voltaje para
n = 1 y n = 2. De acuerdo con las especi…caciones del convertidor, la ganancia
de voltaje debe ser de 1.2. Para cumplir este requerimiento, se selecciona una
relación de capas de n = 2. Aunque resulta evidente que podría emplearse
una relación mayor, esto no es recomendable puesto que mientras n es mayor,
la operación del convertidor está más lejos de la resonancia del convertidor
6.2 Aplicación de la metodología de diseño
107
con PT. Por lo tanto, la energía del tanque resonante se vuelve circulante y
la capacidad de operar en ZVS se di…culta.
3. Determinar la frecuencia de operación y la relación
Cp
del
Cs
PT
Para este caso se decidió seleccionar una relación de capacitancias y frecuencia de operación tales que los grosores de las capas del primario y secundario fueran aproximadamente iguales. Así, se obtuvo una relación CCps
10.2 para !!s 1.041043. De acuerdo con la Figura 6.12, si se selecciona una
frecuencia de conmutación de 82.5 kHz, se obtiene un grosor de capas de poco
menos de 2 mm. Este grosor se encuentra en la gama media de los dispositivos piezocerámicos del fabricante y es adecuado para el nivel de potencia
necesario en esta aplicación.
4. Determinar las dimensiones del PT como una función de la frecuencia
de operación y la relación CCps
Empleando las ecuaciones derivadas en el Capítulo 5, se determinaron
las dimensiones del PT radial (tabla 6.3). La información en tabla establece
además una comparación con el PT CK2 seleccionado por la metodología
anterior para la misma aplicación. Puede notarse que el volumen del PT es
menor que el del PT CK2. Como se esperaba, mediante esta metodología
puede reducirse el volúmen y peso para una aplicación de convertidor cd-cd.
Tabla 6.3. Dimensiones del PT radial para obtener ZVS en el convertidor.
Parámetro
Radio de capa r
Grosor de capa de primario, t1
Grosor de capa de secundario, t2
Relación de capas, n
Potencia, Po
5. Veri…car la condición ZVS
Diseñado
CK2
13.81 mm
14.98mm
1.6 mm
2.03mm
1.68 mm
2.03mm
2
2
22(estimación)
30
108
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
Figura 6.11. Familia de curvas de ganancia en función de la relación de capas,
n.
6.2 Aplicación de la metodología de diseño
109
Figura 6.12. Grosor de la capa del primario como una función de la frecuencia
y Cp /Cs , para el convertidor a diseñar.
Los criterios ZVS son evaluados mediante las expresiones derivadas por
el análisis del convertidor y los resultados están gra…cados en la Figura 6.13.
En la …gura se observa la existencia de una región ZVS entre 82.1 – 84.2
kHz siempre y cuando se implemente un tiempo muerto adaptable tDT max
tDT < tDT min .
6. Especi…car y construir un prototipo del PT con las dimensiones determinadas en el paso 4
7. Derivar el modelo equivalente basado en la caracterización del PT construido y veri…car la operación ZVS
8. IImplementar el convertidor cd-cd con el PT seleccionado
En esta investigación no se logró contactar a un fabricante de PTs, por
lo que no se mandó construir el PT diseñado. Por ésto, los resultados de esta
metodología no fueron veri…cados experimentalmente.
110
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
Figura 6.13. Evaluación de los criterios ZVS para el PT diseñado en el convertidor especi…cado.
6.3.
Resultados experimentales del prototipo
A continuación se presentan los resultados de las pruebas experimentales
realizadas con el prototipo generado por la metodología de diseño para la
selección de un PT. Con el …n de observar la operación ZVS prevista en el
proceso de diseño, se comprueba experimentalmente el comportamiento del
convertidor. En la Figura 6.14 se muestra la respuesta de ganancia de voltaje
respecto a la frecuencia ante variaciones de carga. En la …gura se observa
que las curvas de ganancia obtenidas con la metodología di…eren ligeramente
de las obtenidas experimentalmente. Esto sugiere la existencia de variaciones
en la impedancia del tanque resonante (el PT) debidas principalmente a las
inductancias y capacitancias parásitas en las pistas del prototipo.
Se espera que la operación en estado estable y en la región de operación
ZVS del prototipo asemeje a los datos teóricos obtenidos mediante análisis
matemático y la simulación (Figura 6.15). Las pruebas experimentales permitieron reconocer la operación ZVS y comprobar la existencia de la región ZVS
6.3 Resultados experimentales del prototipo
111
Figura 6.14. Ganancia de voltaje ante variaciones de carga.
ante variaciones de la potencia y la frecuencia de operación (Figura 6.16).
Puede observarse que los resultados experimentales concuerdan de buena
manera con los teóricos. Ésto valida la metodología de diseño empleada.
Los resultados establecen la existencia de una región de operación ZVS
ante variaciones de carga para el convertidor implementado. Es importante
notar que, si bien la e…ciencia mejorada por las conmutaciones suaves, se
puede ver reducida ante las variaciones de carga (Figura 6.17). Ésto se debe
a que, para un voltaje de salida constante, la operación del convertidor está
más lejos de la resonancia del convertidor ante variaciones de la carga, por
lo tanto la energía del tanque resonante se vuelve circulante y las pérdidas
en conducción se incrementan. Dado que la potencia de la carga disminuye,
la e…ciencia total se reduce.
Los resultados aquí mostrados validan la metodología de diseño. El prototipo construido presentó una región de operación ZVS tal como fue previsto
en el análisis previo. Además se comprobó la dependencia del convertidor con
la magnitud de la carga y su importancia en la modi…cacción de la e…cien-
112
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
Figura 6.15. Operación en estado estable y región ZVS del convertidor (datos
teóricos).
6.3 Resultados experimentales del prototipo
113
Figura 6.16. Operación en estado estable y región ZVS del convertidor (experimental).
Implementación de un convertidor cd-cd con PT
114
Figura 6.17. E…ciencia del convertidor ante variaciones de carga.
cia. Esta dependiencia con la carga puede ser aún más determinante para la
e…ciencia que la operación ZVS en sí. De esta forma, la dependencia con la
carga es la principal desventaja del convertidor cd-cd con PT sin redes de
acoplamiento.
Sin embargo, cuando la carga equilibre la impedancia óptima, se aprovechan
por completo las cualidades eléctricas del PT. En consecuencia, no se emplean elementos adicionales y el costo y la densidad de potencia se mejoran,
manteniendo una e…ciencia competitiva para la aplicación.
6.4.
Resumen
El Capítulo 6 presentó la aplicación de las metodologías de diseño derivadas
para una el convertidor cd-cd con PT medio puente con recti…cador de puente
completo. Mediante la metodología, fue implementado un prototipo de laboratorio. Las pruebas experimentales realizadas al prototipo concordaron con
6.4 Resumen
115
los resultados teóricos, producto del análisis previo.
Fue comprobada la operación ZVS, principal objetivo de la metodología
de diseño. Además se comprobó la dependencia de la e…ciencia del convertidor
ante las variaciones de carga. Mediante estos resultados se validó la metodología empleada, comprobando la operación ZVS sin necesidad de redes de
acoplamiento.
Capítulo 7
Conclusiones
7.1.
Introducción
Una clase de convertidores cd-cd conocidos como convertidores resonantes
de conmutación suave han sido intensamente estudiados en los últimos años.
En términos generales, la “conmutación suave” signi…ca que uno o más de
los interruptores de potencia en el convertidor cd-cd reducen drásticamente
sus pérdidas, ya sea en la conmutación de encendido o bien de apagado.
Los avances en la tecnología de conversión de potencia resonante proponen
soluciones que permiten elevar la frecuencia de conmutación para reducir el
volumen y peso de los convertidores.
A lo largo de los años han existido grandes desafíos que han limitado
el máximo aprovechamiento de las cualidades de los convertidores resonantes. Por una parte, la presencia de elementos reactivos resonantes conlleva
a mayores pérdidas en la conducción de los interruptores debidas a los elevados niveles VA, comparados con las contrapartes no resonantes. Por otro
lado, debe tenerse en mente que los componentes reactivos de alta frecuencia,
como los inductores y los transformadores, pueden producir por sí mismos
pérdidas y usualmente representan un cuello de botella en el diseño total del
convertidor.
117
118
Conclusiones
El transformador piezoeléctrico (PT) es un dispositivo que en los últimos
años ha hallado un uso creciente en convertidores de potencia. Este dispositivo ha aparecido como una alternativa al transformador magnético ya que
posee cualidades de aislamiento. Además, el comportamiento eléctrico del
PT es similar al de una red resonante L-C con transformador de aislamiento.
Por sus características, un convertidor con PT puede operar con conmutaciones suaves bajo ciertos criterios de operación y al reemplazar a los circuitos
resonantes convencionales, el convertidor mejora en densidad de potencia y
potencialmente en costo.
A pesar del potencial del PT, el modelo equivalente del mismo incluye
capacitancias parásitas muy altas en paralelo con la entrada y la salida
del transformador. Estas capacitancias, no presentes usualmente en los convertidores resonantes convencionales, incrementan la capacitancia efectiva a
través de los interruptores, lo que afecta el desempeño del convertidor.
Los elementos parásitos descritos son la razón por la que no se puede
comparar directamente al PT con una red resonante L–C con transformador
magnético. Tales capacitancias en las redes resonantes discretas son de mucho
menor valor que en el PT y por ello afectan en menor grado el desempeño
del convertidor. Entonces, en convertidores resonantes de alta densidad de
potencia el PT funciona como alternativa a ciertas redes resonantes discretas.
Con el …n de aprovechar las cualidades resonantes, de aislamiento y de alta
densidad de potencia del PT, resulta muy importante de…nir las condiciones
para obtener conmutaciones suaves y reducir los efectos de los parásitos del
PT en el desempeño del convertidor.
En este trabajo, se estudió la tecnología de los PTs, investigando las características de los principales tipos de PTs de la actualidad. De este estudio,
se derivó una estrategia de análisis de una clase de convertidores cd-cd que
permitió de…nir las condiciones para obtener una operación ZVS. Bajo tales
condiciones el convertidor opera en ZVS, a pesar de las altas capacitancias
parásitas del PT en paralelo con los interruptores del convertidor.
En una segunda parte de la investigación, se generaron dos propuestas de
metodología de diseño para el convertidor cd-cd con PT. Ambas metodologías
7.2 Resumen
119
están dirigidas a la obtención de ZVS y la máxima transferencia de potencia
desde dos puntos de vista: la selección del PT adecuado para la aplicación
especí…ca desde un conjunto de PTs cuyas características se encuentren en
catálogos de fabricante, o bien, la construcción de un PT adecuado para
la aplicación, especi…cando su geometría y propiedades de material. Aquí se
implementó un prototipo de laboratorio empleando la primer propuesta de
metodología y los resultados de pruebas experimentales, validaron el análisis
y las condiciones ZVS desarrolladas.
7.2.
7.2.1.
Resumen
Tecnología del PT
El PT es un dispositivo de transferencia de potencia alternativo al transformador magnético que tiene el potencial de reemplazar a los tanques resonantes L–C convencionales en convertidores resonantes. Si además, las características del dispositivo son tales que opere con un comportamiento inductivo bajo ciertas condiciones de carga existe el potencial de operar con
conmutaciones suaves en el convertidor.
El comportamiento inductivo del PT es función de su geometría y de la
física de su material, y puede ser analizado a partir del modelo equivalente
de rama resonante del PT. Debido a que cualquier tipo de PT se representa
con el mismo modelo equivalente, el comportamiento inductivo se analiza
de la misma manera para cualquier tipo de PT. Ésto sugiere el desarrollo
de una estrategia de análisis para comprobar el comportamiento inductivo
de los PTs y su potencial para permitir operar a una clase de convertidor
con conmutaciones suaves. Además sugiere el desarrollo de una estrategia de
diseño para determinar la geometría y la física de material del dispositivo
para obtener conmutaciones suaves.
En ésta investigación se revisaron las técnicas para determinar el modelo
equivalente de los PTs, ya sea de una manera analítica o bien experimental.
Conclusiones
120
Además, se estudió la manera de reconocer el comportamiento inductivo de
un PT a partir de su modelo equivalente.
7.2.2.
Construcción de un prototipo
Se desarrolló una estrategia de análisis de una clase de convertidor cd–cd
integrando un PT en lugar de un transformador magnético y un tanque L–C
resonante convencional. La estrategia de…ne dos criterios para la obtención de
ZVS en el convertidor, quedando implícita la necesidad del comportamiento
inductivo del PT. Así, se generó una primera propuesta de metodología de
diseño. En ésta se selecciona un PT de catálogo que mejor sea aprovechado
en la aplicación, mediante la comprobación del comportamiento inductivo
del PT y su análisis para la obtención de ZVS.
La estrategia de análisis permite además la introducción a la investigación del proceso de construcción del PT. Se generó una segunda propuesta
de diseño en la cual se determinan las dimensiones de un PT de geometría
seleccionada en función de varios factores. Los factores que determinan las
dimesniones del PT son: operación ZVS en el convertidor con especi…caciones
dadas, operación con máxima transferencia de potencia, la frecuencia de operación y la disipación de potencia.
Los resultados invitan a extender el estudio hacia la construcción de PTs
para aplicaciones especí…cas. De tal investigación podría especi…carse un PT
de características óptimas para la obtención de ZVS y para alta densidad de
potencia en un convertidor de…nido.
Los resultados de pruebas experimentales en el prototipo generado al emplear la primera metodología están de acuerdo con lo previsto por el análisis.
Así, se validó la estrategia de análisis propuesta y se comprobó la utilidad de
la metodología de diseño para la construcción de un convertidor cd–cd con
PT que no requiera de elementos magnéticos adicionales para la obtención
de ZVS.
Al reemplazar los tanques resonantes L–C con PTs se reduce el número de
7.3 Conclusiones
121
componentes y el costo de los convertidores cd-cd. Si además se cumplen ciertos criterios de operación, se consigue una condición ZVS en el convertidor.
En consecuencia, se incrementa la e…ciencia del convertidor y las emisiones
de interferencia electromagnética se reducen. Por último, el diseño de un PT
de bajo per…l puede minimizar el volumen total del convertidor y reducir aún
más el costo de la aplicación.
En la presente investigación se estableció una metodología de diseño para
un convertidor cd-cd con PT de medio puente como etapa del inversor y
puente completo como etapa del recti…cador, para obtener una condición ZVS
y máxima transferencia de potencia. Para esto, se realizó un análisis con el …n
de establecer los criterios de operación para la obtención de ZVS sin redes de
acoplamiento. Resultados experimentales revelan la validez del procedimiento
de diseño y sugieren que el análisis y la propuesta de la metodología pueden
extenderse a diferentes clases de convertidores a la aquí tratada.
7.3.
Conclusiones
Basándose en los resultados de la investigación pueden establecerse las
siguientes conclusiones:
1. Los diferentes tipos de PTs pueden ser representados por un mismo
modelo de circuito equivalente. El modelo, similar a una red resonante
serie L–C con capacitores parásitos en paralelo de entrada y salida, tiene
sus parámetros en función de las características físicas y geométricas de
cada PT. Debido a que el modelo de cualquier PT será el mismo (sólo los
parámetros de éste se modi…can) la aplicación del modelo equivalente
en un procedimiento de análisis y diseño es aplicable a cualquier PT.
Aquí se integró el modelo de red resonante serie del PT en una clase
de convertidor cd–cd reemplazando un tanque resonante L–C convencional.
Así, se analizó el convertidor resultante con el …n de revelar criterios que
permitan la operación ZVS en el convertidor. El análisis reveló las condiciones
de operación que deben cumplirse:
122
Conclusiones
2. La magnitud de la energía de la red resonante del modelo equivalente
debe ser su…ciente para la carga/descarga de los capacitores parásitos
en paralelo del mismo modelo. La existencia de esta energía es implícita
si se cumple la condición de que el tiempo de carga sea menor que un
tiempo máximo dado por la fase de la corriente resonante.
3. Es necesaria la existencia de un tiempo muerto entre las señales de
control mayor al tiempo de carga/descarga de los capacitores parásitos
y menor de al tiempo máximo dado por la fase de la corriente resonante.
Se establecieron dos propuestas de metodología de diseño. Una de ellas
para seleccionar un PT para el diseño e implementación del convertidor con
ZVS. La segunda de ellas para determinar las dimensiones de un PT de tipo
radial para el diseño e implementación del convertidor con ZVS1 .
La metodología de selección de un PT se implementó en un prototipo de
laboratorio y algunas pruebas experimentales posteriores revelaron que:
4. El tanque resonante L–C convencional puede ser efectivamente reemplazado por el PT. El número de componentes se reduce y potencialmente, el costo del convertidor también.
5. Al cumplir con los criterios ZVS establecidos en el análisis previo se
obtiene la condición de conmutación suave. Así, la e…ciencia del convertidor se mejora y no es necesaria la aplicación de redes de acoplamiento
adicionales para alcanzar la operación ZVS.
6. La clase de convertidor con PT sin redes de acoplamiento puede ser de
altas prestaciones ya que se consigue una condición ZVS y el volumen
y costo pueden hacerse bajos. Sin embargo, la e…ciencia y la dinámica
del convertidor dependen en gran parte de las condiciones de carga del
convertidor.
1
La metodología no considera la construcción de un PT. Se considera la aplicación de
la metodología como parte del proceso de construcción de un PT.
7.4 Trabajos futuros recomendados
123
7. Para reducir los problemas de dependencia con la carga es recomendable efectuar el diseño de un PT especí…co para la aplicación. Así se
mejoraría el acoplamiento de la carga con el convertidor. Además, el
diseño podría optimizar la densidad de potencia del PT y, en consecuencia, la densidad de potencia del convertidor.
La metodología para la determinación de dimensiones de un PT sólo
entregó resultados en simulación. Éstos sugieren que:
8. Es posible determinar analíticamente las dimensiones de un PT especí…co para la aplicación con el …n de acoplar la carga y operar en
condición ZVS.
9. El número de capas, las dimensiones de cada capa y las relaciones entre las capas de entrada y salida pueden optimizarse en función de las
especi…caciones del convertidor, la frecuencia de operación y la disipación de potencia. Con ésto, se establece la posibilidad de optimizar
la densidad de potencia del PT para una aplicación especí…ca.
10. Existe una necesidad de determinar los límites de la tecnología de PTs
en cuanto a potencia de operación, dimensiones máximas y comportamiento respecto de la frecuencia. Esto podría resolverse mediante un
estudio de la fabricación de PTs.
7.4.
Trabajos futuros recomendados
Las siguientes, son algunas recomendaciones para futuros trabajos de investigación con transformadores piezoeléctricos:
Extensión de la estrategia de análisis y las metodologías de diseño a diferentes clases de convertidores, para desarrollar nuevas aplicaciones en
la electrónica de potencia, que empleen transformadores piezoeléctricos
en aplicaciones de baja a mediana potencia.
124
Conclusiones
Desarrollo de una metodología de construcción de transformadores piezoeléctricos, con el …n de optimizar el diseño de transformadores piezoeléctricos en aplicaciones de alta densidad de potencia y alta e…ciencia
(ZVS). Además es importamte incluir el análisis térmico y la capacidad
de disipación de potencia en transformadores piezoeléctricos.
Estudiar las redes de acoplamiento en la salida y de…nir criterios para
su empleo, para mejorar el acoplamiento entre el piezoeléctrico y la
carga de la aplicación, logrando así reducir o eliminar la dependencia
de la dinámica del convertidor respecto a las condiciones de salida.
Investigar y comprobar la integración de la capacidad de corrección de
factor de potencia, para incorporar esquemas de corrección de factor de
potencia en convertidores cd-cd con PT.
Investigar la capacidad del convertidor para operar a frecuencia …ja en
lugar de la operación a frecuencia variable, para ampliar los esquemas
de control estableciendo criterios de empleo de los mismos en convertidores de potencia con transformadores piezoeléctricos.
Referencias
[1] R.-L. Lin, Piezoelectric Transformer Characterization and Application
of Electronic Ballast. PhD thesis, Virginia Tech, 2002.
[2] A. M. Flynn and S. R. Sanders, “Fundamental limits on energy transfer
and circuit considerations for piezoelectric transformers,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 17, pp. 8–14, Jan. 2002.
[3] C. Y. Lin, Design and Analysis of Piezoelectric Transformer Converters.
PhD thesis, Virginia Tech, July 1997.
[4] K. Sakurai, S. Shindou, K. Ohnishi, and Y. Tomikawa, “Piezoelectric
ceramic transformer using radial vibration mode disks,”in IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings, vol. 1, pp. 939–944, Oct. 1998.
[5] J. H. Hu, G. R. Li, H. L. W. Chan, and C. L. Choy, “An improved
method for analyzing the performance of multilayer piezoelectric transformers,” IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings, vol. 20, pp. 943–
946, Jan. 1999.
[6] K. Kanayama, “Thermal analysis of a piezoelectric transformer,” in
IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings, vol. 1, pp. 901–904, Oct.
1998.
[7] J. Hu, “Analyses of the temperature …eld in a bar-shaped piezoelectric
transformer operating in longitudinal vibration mode,” IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, vol. 50,
pp. 594–600, June 2003.
125
126
REFERENCIAS
[8] K. J. Tseng, J. Du, and J. Hu, “Piezoelectric transformer with high
power density and multiple outputs,” IEE Electronic Letters Journal,
vol. 40, p. 2, June 2004.
[9] T. Bove, W. Wolny, E. Ringaard, and K. Breboel, “New type of piezoelectric transformer with very high power density,” in IEEE International Symposium on Applications of Ferroelectrics Proceedings, vol. 1,
pp. 321–324, 2000. ISAF 2000.
[10] T. Zaitzu, O. Onishi, T. Inoue, M. Shoyama, T. Ninomiya, F. C. Lee, and
G. Hua, “Piezoelectric transformer operating in thickness extensional
vibration and its application to switching converter,” in IEEE Power
Electronics Specialists Conference Proceedings, pp. 585–589, June 1994.
PESC 94.
[11] R. L. Lin, F. C. Lee, E. M. Baker, and D. Y. Chen, “Inductor–less
piezoelectric transformer electronics ballast for linear ‡uorescent lamp,”
in IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition Proceedings, vol. 2, pp. 664–669, Mar. 2001. APEC 2001.
[12] E. Baker, W. Huang, D. Chen, and F. C. Lee, “Radial mode piezoelectric
transformer design for ‡uorescent lamp ballast applications,” in IEEE
Power Electronics Specialists Conference Proceedings, vol. 3, pp. 1289–
1294, June 2002. PESC 02.
[13] E. Dieulesaint, D. Royer, D. Mazerolle, and P.Ñowak, “Piezoelectric
transfromers,”IEE Electronic Letters Journal, vol. 24, pp. 444–445, Mar.
1988.
[14] T. Hemsel, W. Littman, and J. Wallaschek, “Piezoelectric transformers – state of the art and development trends,” in IEEE Ultrasonics
Symposium Proceedings, vol. 1, pp. 767–772, Oct. 1999.
[15] M. Imori, T. Taniguchi, and H. Matsumoto, “Performance of a photomultiplier high voltage power supply incorporating a piezoelectric ceramic transformer,” IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 47,
pp. 2045–2049, Dec. 2000.
REFERENCIAS
127
[16] T. Zaitzu, Y. Fuda, Y. Okabe, T. Ninomiya, S. Hamamura, and M. Katsuno, “New piezoelectric transformer converter for ac adapter,” in
IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition Proceedings, vol. 2, pp. 568–572, Mar. 1997. APEC 97.
[17] E. Dallago, A. Danioni, G. Ricotti, and G. Venchi, “Single chip, low
supply voltage piezoelectric transformer controller,” in European SolidState Circuits Conference, pp. 273–276, Sept. 2003. ESSCIRC ’03.
[18] J. Navas, T. Bove, J. Cobos, F. Nuño, and K. Kreboel, “Miniaturized
battery charger using piezoelectric transformers,”in IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition Proceedings, pp. 492–496, Mar.
2001. APEC 01.
[19] R. L. Steigerwald, “Power electronic converter technology,”Proceedings
of the IEEE, vol. 89, pp. 890–897, June 2001.
[20] E. J. Gue and R. Liu, “A study of volume and weight vs frequency
for high-frequency transformer,” in IEEE Power Electronics Specialists
Conference Proceedings, pp. 1123–1129, June 1993. PESC 93.
[21] M. Sanz, P. Alou, A. Soto, R. Prieto, J. Cobos, and J. Uceda, “Magneticless converter based on piezoelectric transformers for step–down DC/DC
and low power application,”in IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition Proceedings, vol. 2, pp. 615–621, Feb. 2003. APEC
’03.
[22] A. International, “Piezo theory,” tech. rep., American Piezo Ceramics,
1998.
[23] A. Vásquez Blanco, “Transformadores piezoeléctricos: Una alternativa
para implementar balastros electrónicos compactos,” tesis de maestría,
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico, Diciembre
2002.
[24] A. M. Sánchez, M. Sanz, R. Prieto, J. A. Oliver, and J. A. Cobos, “Mixed
analytical and numerical design method for piezoelectric transformers,”
128
REFERENCIAS
in IEEE Power Electronics Specialists Conference Proceedings, vol. 2,
pp. 841–846, June 2003. PESC 03.
[25] J. Díaz, J. A. Martin-Ramos, and F. Prieto, M. J. Nuno, “A doubleclosed loop DC/DC converter based on a piezoelectric transformer,” in
IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition Proceedings,
vol. 3, pp. 1423 –1428, Mar. 2004. APEC ’04.
[26] T. Ninomiya, M. Shoyama, T. Zaitzu, and T. Inoue, “Zero-voltageswitching techniques and their application to high-frequency converter
with piezoelectric transformer,” in IEEE International Conference on
Industrial Electronics, Control and Instrumentation, vol. 3, pp. 1665–
1669, Sept. 1994. IECON 94.
[27] M. K. Kazimierczuk and D. Czarkowski, Resonant Power Converters.
John Wiley & Sons, May 1995.
[28] J. A. Sabaté, R. W. Farrington, M. M. Jovanovic, and F. C. Lee, “Effect of FET output capacitance on ZVS of resonant converters,” IEEE
Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 32, pp. 255 –
265, 1996.
[29] M. Sanz, P. Alou, R. Prieto, J. A. Cobos, and J. Uceda, “Comparison of
di¤erent alternatives to drive piezoelectric transformers,” in IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition Proceedings, vol. 1,
pp. 358–364, Mar. 2002. APEC 02.
[30] R. Prieto, M. Sanz, J. A. Cobos, P. Alou, O. García, and J. Uceda, “Design considerations of multi-layer piezoelectric transformers,”in
IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition Proceedings,
vol. 2, pp. 567–572, June 2002.
[31] C. Y. Lin and F. C. Lee, “Design of a piezoelectric transformer converter and its matching networks,” in IEEE Power Electronics Specialists
Conference Proceedings, vol. 1, pp. 607–612, June 1994. PESC 94.
REFERENCIAS
129
[32] S. Hamamura, D. Kurose, T. Ninomiya, and M. Yamamoto, “New control method of piezoelectric transformer converter by PWM and PFM
for wide range of input voltage,”in IEEE International Power Electronics Congress, pp. 3–8, Oct. 2000. CIEP 2000.
[33] Y. Ishizuka, S. Shimokawa, F. Kurokawa, H. Matsuo, K. Kimura, and
N. Aoike, “Comparative analysis of driving inverters for the piezoelectric
transformer,”in IEEE International Test Conference Proceedings, vol. 3,
pp. 1390–1393, July 2002. ITC 02.
[34] M. Yamamoto, Y. Sasaki, T. Inou, A. Ochi, and S. Hamamura, “Piezoelectric transformer for 30W output ac-dc converters,”in IEEE International Symposium on Applications of Ferroelectrics Proceedings, pp. 872–
878, May 2002. ISAF 02.
[35] D. Lesson and S. Long, “Impedance matching and matching networks,”
Communication electronics class notes, University of California Santa
Barbara, Nov. 2003.
[36] T. Yamane, S. Hamamura, T. Zaitzu, T. Ninomiya, M. Shoyama, and
Y. Fuda, “E¢ ciency improvement of piezoelectric-transformer dc-dc
converter,” in IEEE Power Electronics Specialists Conference Proceedings, vol. 2, pp. 1255–1261, June 1998. PESC 98.
[37] G. Ivensky, A. Kats, and S. Ben-Yaakov, “An RC load model of parallel
and series- parallel resonant dc-dc converters with capacitive output
…lter,” IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 14, pp. 515–521,
May 1999.
[38] AmericanPiezoceramics,
www.americanpiezo.com.
“Choosing
APCI
material.”
[39] E. M. Baker, “Design of radial mode piezoelectric transformers for lamp
ballast applications,” M. Sc. thesis, Virginia Polytechnic Institute and
University, May 2002.
Apéndice A
Secuencias de comandos en
Matlab para análisis y diseño
A.1.
Determinación de la impedancia óptima
de un PT
La impedancia de carga óptima del PT está determinada por las características de la impedancia de salida del mismo. Para determinarla analíticamente se emplea el modelo de ‡ujo de potencia sobre el modelo equivalente
del PT. A continuación se despliega una secuencia de comandos en Matlab
que permite determinar la impedancia óptima del PT a partir de conocer los
parámetros de su modelo equivalente.
% Determinacion de la carga optima para PT
clear;
% Seccion de entrada
% Se define la variable compleja y se
% define una carga conocida para el analisis.
ii = sqrt(-1);
130
A.1 Determinación de la impedancia óptima de un PT
R_carga = 15;
L_carga = 500e-9;
% Definicion del modelo multi-rama del PT
% Rama principal
R1 = 2.8;
L1 = 6.732e-3;
C1 = 592.972e-12;
fs1 = 1/(2*pi*sqrt(L1*C1));
cd1 = 5.68e-9;
cd2 = 2.823e-9;
n1 = 2.143;
tan_delta = 0.004; % 81 kHz
rcd1 = 1 / (2*pi*fs1*cd1*tan_delta);
rcd2 = 1 / (2*pi*fs1*cd2*tan_delta);
% Ramas espureas
R2 = 100;
L2 = 108.387e-3;
C2 = 165.894e-12;
fs2 = 1/(2*pi*sqrt(L2*C2));
R3 = 135;
L3 = 49.64e-3;
C3 = 52e-12;
fs3 = 1/(2*pi*sqrt(L3*C3));
% Calculo de la carga optima
for i = 1:8000;
delta_f(i) = i - fs1 *0.05;
omega(i) = 2 * pi * (fs1 + delta_f(i));
131
132
Secuencias de comandos en Matlab para análisis y diseño
% Admitancia de carga
Y_carga(i) = 1/(R_carga + ii * omega(i) * L_carga);
% Calculo de parametros
Z_serie1 = R1 + ii
Z_serie2 = R2 + ii
Z_serie3 = R3 + ii
Y
*
*
*
del modelo
omega(i) * L1 + 1 / (ii * omega(i) * C1);
omega(i) * L2 + 1 / (ii * omega(i) * C2);
omega(i) * L3 + 1 / (ii * omega(i) * C3);
Z_serie = 1 / (1 / Z_serie1 + 1 / Z_serie2 + 1 / Z_serie3);
Z_11 = 1 / (1/rcd1 + ii * omega(i) * cd1);
Z_22 = 1 / (1/rcd2 + ii * omega(i) * cd2);
Y_11 = 1 / Z_11 + 1 / Z_serie;
Y_12 = - 1 / (n1 * Z_serie);
Y_21 = Y_12;
Y_22 = 1 / Z_22 + 1 / (n1^2 * Z_serie);
c(i)=abs(Y_12 * Y_21) / abs(2 * real(Y_11) * real(Y_22) - ...
real(Y_12 * Y_21));
x(i) = -1 / c(i) + sqrt(1 - c(i)^2) / c(i);
L(i) = 1 - x(i) * real(Y_12 * Y_21) / abs(Y_12 * Y_21);
M(i) = x(i) * imag(Y_12 * Y_21) / abs(Y_12 * Y_21);
% Potencia de entrada
k1 = -Y_21 / (2 * real(Y_22));
k2 = (L(i) + ii * M(i)) * k1;
Y_entrada(i) = Y_11 + Y_12 * k2;
A.1 Determinación de la impedancia óptima de un PT
R_entrada(i)
X_entrada(i)
P_entrada(i)
Q_entrada(i)
=
=
=
=
133
1 / real(Y_entrada(i));
imag(Y_entrada(i))/omega(i);
real(Y_entrada(i));
imag(Y_entrada(i));
% Admitancia de carga optima calculada
Y_cargaoptima(i) = 2 * real(Y_22) / (L(i) + ii * M(i)) - Y_22;
Y_cargaoptima_mag(i) = abs(Y_cargaoptima(i));
Y_cargaoptima_fase(i) = 180 * angle(Y_cargaoptima(i)) / pi;
end
% Graficacion de los resultados
% Magnitud de la impedancia de carga optima
plot((fs1+delta_f)./1000,1./Y_cargaoptima_mag,...
(fs1+delta_f)./1000,1./((fs1+delta_f)*2*pi*cd2))
% Fase de la impedancia de carga \U{f3}ptima
plot((fs1+delta_f)./1000,-Y_cargaoptima_fase)
Los resultados de la carga óptima calculada son más precisos, en un intervalo de frecuencias, mientras mayor sea el número de ramas del modelo equivalente del PT. Nótese también que el modelo equivalente multi-rama es empleado en vez del modelo equivalente multi-ramas y multi-transformadores.
134
A.2.
Secuencias de comandos en Matlab para análisis y diseño
Análisis de un convertidor cd-cd: determinación de la ganancia de voltaje y la
operación ZVS
La ganancia del convertidor de la …gura A.1 está de…nida por los elementos del modelo equivalente del PT y las especi…caciones del convertidor. La
operación ZVS existe si, bajo las condiciones de operación del convertidor,
el capacitor de entrada, Cd1 , en un tiempo t, tal que tDTmin < t < tDTmax . A
continuación, se despliega una secuencia de comandos Matlab con la que se
determina la ganancia de voltaje del convertidor y se determinan los tiempos
tDTmin y tDTmax en los que se obtiene ZVS.
Figura A.1. Convertidor cd-cd con PT para la secuencia de comandos Matlab.
% Determinacion de la ganancia de voltaje
% y los limites de operacion ZVS
clear;
clc;
% Especificaciones del convertidor
VDC = 101.5; %101.5 Volt
Po = 18;
%18 Watt
Vo = 121.5;
%121.5 Volt
RL = Vo^2/Vo; %820 Ohm
A.2 Análisis de un convertidor cd-cd: determinación de la ganancia de
voltaje y la operación ZVS
135
% Modelo equivalente del PT
% Rama principal
Rs = 6.1;
N= 2.11
CD2 = 2.81e-9;
CD1 = 5.695e-9;
Cs = 1.015e-9;
Ls = 3.877e-3;
Cp = N^2*CD2;
% Rango de frecuencias de analisis
fs = 78e3:10:88e3;
angulo = 2*atan(sqrt(pi/2 * N^2 ./(2*pi*Cp*RL.*fs)));
DT = 0.37
for h=1:length(angulo)
% Determinacion del circuito equivalente
% del rectificador de salida
kv(h) = 0.0064*angulo(h)^4 - 0.051*angulo(h)^3 + ...
0.11*angulo(h)^2 + 0.051*angulo(h) + 1;
beta(h) = -25*sin(angulo(h));
Re(h) = RL/(2*N^2)*kv(h)^2;
Ce(h) = tan(abs(beta(h)*pi/180))./(2*pi*Re(h).*fs(h));
% Determinacion de la impedancia de entrada Zin del PT
R_in(h) = Rs + Re(h) ./ (1+(2*pi*(Cp + Ce(h))*...
Re(h).*fs(h)));
X_in(h) = 2*pi*Ls.*fs(h) - 1./(2*pi*Cs.*fs(h)) ...
- (2*pi*(Cp+Ce(h))*Re(h)^2.*fs(h))./ ...
(1+(2*pi*(Cp+Ce(h))*Re(h).*fs(h)).^2);
136
Secuencias de comandos en Matlab para análisis y diseño
Y_in(h) = ((R_in(h) + i * X_in(h))^(-1)+...
(i/(2*pi*fs(h)*CD1))^(-1))^(-1);
Z_in(h) = R_in(h) + i * X_in(h);
fase(h) = atan(imag(Z_in(h)) / real(Z_in(h))) +...
angulo(h)/(2*pi);
if imag(Z_in(h)) < 0
fase(h) = 0;
end
tr(h) = fase(h)/(2*pi*fs(h));
% Determinacion de la ganancia de ac del convertidor
k21(h) = 1 / sqrt((1 + Rs/Re(h) - Cp/Cs * (1+Ce(h)/Cp) *...
((2*pi*fs(h)/(1/sqrt(Ls*Cs)))^2 - 1))^2 ...
+ (Cp/Cs*((2*pi*fs(h)/(1/sqrt(Ls*Cs)))^2 - 1)*...
(1/(2*pi*fs(h)*Re(h)*Cp)) + Rs*2*pi*fs(h)*(Cp+Ce(h)))^2);
% Corriente resonante
ILpk(h) = VDC ./ abs(Z_in(h)) * 2/pi .* sin(pi.*tr(h).*...
fs(h))./(pi.*tr(h).*fs(h));
ILpoka(h)= VDC ./ abs(Z_in(h)) * 2/pi .* sin(DT*pi);
tc(h) = (-acos(VDC * CD1 * 2*pi*fs(h) / ILpk(h) + ...
cos(fase(h))) + fase(h))/(2*pi);
% Determinacion de la ganancia de voltaje de cd
if imag(tc(h)) ~= 0
%tr(h)= 0.13/fs(h);
ILpk(h)=ILpoka(h);
Vo(h) = 2*N/pi .* k21(h)./kv(h) .*...
sin((fase(h)+DT*2*pi)/2)*sin(pi.*tr(h).*...
fs(h))./(pi.*tr(h).*fs(h));
A.2 Análisis de un convertidor cd-cd: determinación de la ganancia de
voltaje y la operación ZVS
137
else
tr(h)= tc(h)/fs(h);
ILpk(h) = VDC ./ abs(Z_in(h)) * 2/pi .* ...
sin(pi.*tr(h).*fs(h))./(pi.*tr(h).*fs(h));
Vo(h) = 2*N/pi .* k21(h)./kv(h) .*sin(pi.*tr(h).*...
fs(h))./(pi.*tr(h).*fs(h));
end
end
% Calculo de tDTmin para ZVS
tr = VDC * CD1 ./ (ILpk.*sin(fase)) .* fs;
a=1;
for b=1:length(tc)
if imag(tc(b)) == 0
freq_tc(a) = fs(b);
tca(a)=tc(b);
a=a+1;
end
end
a=1;
for b=1:length(tr)
if tr(b) > 0
freq_tr(a) = fs(b);
tra(a)=tr(b);
a=a+1;
end
end
% Graficas de salida
plot(fs./1000,Vo,’Color’,’r’,’LineWidth’,2)
XLabel(’Frecuencia (kHz)’)
138
Secuencias de comandos en Matlab para análisis y diseño
YLabel(’Ganancia de voltaje’)
ax1=gca
ax2=axes(’Position’,get(ax1,’Position’),’XAxisLocation’,...
’top’,’YAxisLocation’,’right’,’Color’,’none’,’YLim’,[0 0.5])
line(freq_tc./1000,tca,’Parent’,ax2,’Color’,’k’,’LineStyle’,’--’)
line(fs./1000,fase./pi./2,’Parent’,ax2,’Color’,’b’,’LineStyle’,’:’)
xlimits = get(ax1,’XLim’);
ylimits = get(ax1,’YLim’);
xinc = (xlimits(2)-xlimits(1))/5;
yinc = (ylimits(2)-ylimits(1))/5;
YLabel(’Tiempo normalizado (tiempo/periodo)’)
El análisis del convertidor que se realiza con esta secuencia de comandos
emplea el modelo equivalente de una rama del PT. Por ésto, es recomendable analizar un rango de frecuencias en las cercanías de la frecuencia de
resonancia del dispositivo. La operación fuera de tales cercanías, entregará
resultados que no deben ser considerados reales o aproximados.
A.3.
Diseño del convertidor cd-cd con PT
Para el diseño del convertidor cd-cd con PT, se determinan los valores de
los elementos de la rama serie del modelo equivalente. Las dimensiones del
dispositivo (PT) pueden obtenerse aplicando las ecuaciones que relacionan
los parámetros del modelo físico con las dimensiones del PT. A continuación
se muestra una secuencia de comandos Matlab para: seleccionar el punto
de operación del convertidor en una posible curva de diseño, determinar la
frecuencia de resonancia del PT, determinar los valores Ls , Cs y Cd2 del
modelo equivalente del PT.
% Diseno del convertidor cd-cd con PT
clc;
A.3 Diseño del convertidor cd-cd con PT
clear;
close
% Especificaciones del convertidor
fr= 82.54e3;
% 82.54 kHz
VDC = 101.5;
% 101.5 V
Vo = 121.5;
% 121.5 V
Po = 18;
% 18 W
RL = Vo^2/Po;
% 820 Ohm
% Generacion de curvas de dise\U{f1}o
CpCs=4:2:10;
WWs=0.9:0.0001:1.3;
k22=[];
angulo=1.6; %1.536;
ang=0:0.0001:pi;
ang1=2.*atan(sqrt(pi/4.*(1+0.27.*sin(ang./2))))-ang;
kv= 1 + 0.27*sin(angulo/2);
% Relacion de capas del PT
N=2;
tir = 0.05;
Rs = 0.05 * RL;
hold on
for a=1:length(CpCs)
k=1./sqrt((1-CpCs(a)*(1+tan(pi/180*25*sin(angulo))/2).*...
(WWs.^2-1)).^2+(CpCs(a).*(WWs.^2-1)).^2);
k22=[k22 k];
Gv=2*N.*k./pi./kv*sin(pi*tir)/(pi*tir);
plot(WWs,Gv)
end
% Ganancia especificada del convertidor
line([0.9 1.1],[Vo/VDC Vo/VDC]);
hold off
% Seleccion de la relacion Cp/Cs
CpCs = input (’Cp/Cs seleccionado ’);
139
140
Secuencias de comandos en Matlab para análisis y diseño
% Curva de dise\U{f1}o seleccionada
k=1./sqrt((1-CpCs*(1+tan(pi/180*25*sin(angulo))/2).*...
(WWs.^2-1)).^2+(CpCs.*(WWs.^2-1)).^2);
Gv=2*N.*k./pi./kv*sin(pi*tir)/(pi*tir);
close
plot(WWs,Gv)
x=1.5:-0.000001:0.9;
y=2*N/pi/kv./sqrt((1-CpCs*(1+tan(pi/180*25*sin(angulo))).*...
(x.^2-1)).^2+(CpCs.*(x.^2-1)).^2) - Vo/VDC;
% Determinacion de la frecuencia normalizada de
% conmutacion
for a = length(x):-1:1
if y(a) < 0.0001 & y(a) > -0.0001
x(a),y(a)%,break
pause
end
end
WWs = input (’w/ws correspondiente ’);
close
clc;
% Frecuencia de resonancia
fs1 = fr/WWs;
ws = 2 * pi * fs1;
% Determinacion de los parametros
% Ls, Cs y Cd2
CD2 = pi^2/(8*2*pi*fr*RL);
Cp = N^2 * CD2;
Cs = Cp/CpCs;
Ls = 1/ws^2/Cs;
% Resultados
string=[’Frecuencia de resonancia = ’ num2str(fs1/1000) ’ kHz \n’ ...
’Parametro Ls = ’ num2str(Ls*1e3) ’ mH \n’ ...
A.3 Diseño del convertidor cd-cd con PT
141
’Parametro Cs = ’ num2str(Cs*1e9) ’ nF \n’ ...
’Parametro Cd2 = ’ num2str(CD2*1e9) ’ nF \n’];
sprintf(string)
Los resultados de esta secuencia de comandos deben aplicarse en la determinación de las dimensiones del PT requerido en el diseño del convertidor con
PT. En el anexo B.4 se presenta una secuencia de comandos en MathCAD
para la determinación de dimensiones de un PT radial.
Apéndice B
Secuencias de comandos en
MathCAD para análisis y
diseño
B.1.
Extracción de parámetros del modelo físico del PT
Uno de los métodos de extracción de parámetros para el modelo del PT,
emplea expresiones matemáticas que relacionan las dimensiones y propiedad
del material con el modelo equivalente. La siguiente es una secuencia de
comandos en MathCAD para determinar el modelo de un PT radial (…gura
B.1), donde los parámetros del modelo están dados por:
Figura B.1. Dimensiones y modelo equivalente de un PT radial.
142
B.1 Extracción de parámetros del modelo físico del PT
Cd1 =
n1 r 2
t1
"T33
1
Cd2 =
n2 r 2
t2
"T33
1
n1 t1 + n2 t2
R=
n21 r
q
2
2
C=
n1
(B.1)
(1
d231
E
) S11
"T33
(B.2)
3
E
S11
)3
(1
32 Qm d231
2
n21 r2
t1 + n2 t2
N=
(1
d231
E
"T33
) S11
E
S11
16
n1 t1 + n2 t2
L=
n21
143
(1
)2
d231
32 d231
E
S11
(1
)
n1
n2
donde:
d31 : Coe…ciente piezoeléctrico del material,
n 1 : Número de capas del actuador del primario,
n 2 : Número de capas del transductor del secundario,
Qm : Factor de calidad mecánico,
r : radio de la capa,
SE
11 : Conformidad elástica,
t 1 : Ancho de capa del primario,
t 2 : Ancho de capa del secundario,
"T33 : Constante dieléctrica relativa,
: Densidad, y
: Relación de Poisson.
(B.3)
(B.4)
(B.5)
(B.6)
144
Secuencias de comandos en MathCAD para análisis y diseño
Propiedades del material PKI-802
Densidad
rho:=7.6
g/cc
Constante
e33:=1000 e0
e0:=8.85 10
dielectrica
relativa
Radio de
sigma:=-0.32
Poisson
Factor de
df:=0.004
disipacion
Factor de
Qm:=900
calidad
mecanica
Coe…ciente de
acoplamiento
Coe…ciente
k31:=-0.3
k33:=0.61
d31:=-100 10
12
piezoelectrico
d33:=220 10
Conformidad
S11:=10.4 10
elastica
Constante de
S33:=13.5 10
12
N5:=1450 m/s
frecuencia
longitudinal
Constante de
Nt:=2100 m/s
frecuencia
de espesor
Constante de
Np:=2360 m/s
m/V
12
m/V
12
m2 /V
m2 /V
12
F/m
B.1 Extracción de parámetros del modelo físico del PT
frecuencia
radial
Dimensiones del PT radial
Diametro
d:=1180 mil
# Capas
n1:=2
primario
Grosor de
t1:=80 mil
capa primario
# Capas
n2:=1
secundario
Grosor de
N=2
N:= n1
n2
t2:=80 mil
capa secundario
Correccion de unidades a sistema de medida estandar
rho:=rho 1000
r:=
d
2
2.54 10
t1:=t1 2.54 10
5
t2:=t2 2.54 10
5
5
Capacitor paralelo Cd1
CD1:=n1
r2 e33
CD1=5.64 10
9
h
2
1- (1 -sig mda3)1 S 1 1
e33
i
e33
i
t1
F
Capacitor paralelo Cd2
CD2:=n2
r2 e33
CD1=2.82 10
9
h
2
1- (1 -sig mda3)1 S 1 1
t2
F
Resistencia serie Rs
p
2 rho S11 3 (1-sigma)3
n1 t1+n2 t2
Rs:= n12 r
Rs=2.214
32 Qm d31 2
Inductancia serie Ls
145
Secuencias de comandos en MathCAD para análisis y diseño
146
Ls:= rho S11
2
(1.sigma)2 (n1 t1+n2 t2)
16 (n1 d31)2
Ls=4.434 10
3
9
F
H
Capacitancia serie Cs
Cs:=
32 r2 (d31 n1)2
S11 (n1 t1+n2 t2) (1-sigma)
Cs=1.093 10
Gra…ca de ganancia vs frecuencia con carga
aproximada a la optima para el PT
Carga aprox. a optima
RL:=
p
Ls Cs
CD2
RL=772.723
Ganancia de voltaje vs frecuencia
f:=30 103 :: 130 103
Gva(f):=2
f Cs
RL
N2
i Gvb(f):=1-(2
Gvc(f):= Cs Rs+CD2 RL- (2
Gv(f):=
f)2 (Ls Cs+Cs CD2 Rs RL)
f)2 Ls Cs RL CD2+Cs
RL
N2
(2
Gva(f) N
Gvb(f)+Gvc(f)
Figura B.2. Ganancia de voltaje vs frecuencia del PT bajo prueba.
Con el método al que se re…ere la anterior serie de comandos, se obtienen
los parámetros del modelo equivalente representando el modo de vibración
principal del PT. Para la obtención de los parámetros que representan los
modos de vibración espurios, se utiliza otro método de extracción de parámetros. Éste puede ser basado en un análisis de la impedancia de entrada del
PT, o bien el análisis de la ganancia de voltaje con carga conocida.
f) i
B.2 Extracción de parámetros del modelo del PT basado en análisis de
impedancia
147
B.2.
Extracción de parámetros del modelo del
PT basado en análisis de impedancia
Uno de los métodos de extracción de parámetros para el modelo del PT,
está basado en el análisis de la impedancia de entrada con cortocircuito en
la salida del PT. De manera resumida, empleando un equipo para medición
de impedancia, se caracteriza el comportamiento de la impedancia del PT
respecto de la frecuencia. El modelo equivalente del PT se obtiene al encontrar la solución de un sistema de ecuaciones formado con la expresión de la
impedancia de entrada (ecuación B.7) y algunas mediciones, en las cercanías
de la frecuencia de vibración principal.
Figura B.3. Cortocircuito en la salida en el modelo equivalente del PT.
j!CR LC! 2 + 1
Zin (!) jscout = 2
! CCd1 R + j! (L! 2 CCd1 Cd1
0
1
0
jZin1 j
1 j! 1
B
C
B
@jZin2 jA = @1 j! 2
1 j! 3
jZin3 j
C)
1 0 1 0
1
1
1
j !1
R
j !1Cd1
1 C B C B
1 C
j !2
A @ L A @ j !2Cd1
A
1
1
j !3
j !3Cd1
C
(B.7)
(B.8)
La siguiente es una secuencia de comandos MathCAD para obtener los
parámetros del modelo equivalente.
Datos de entrada
w1:=2
36.9231 103
M1:=951.64
w2:=2
37.5 103
M2:=350.149
Resolución numerica
w3:=2
M3:=612.3
40 103
Secuencias de comandos en MathCAD para análisis y diseño
148
Guess
Cd1:=2.433 10
9
C:=166.5 10
12
L:=110 10
3
R:=212
Given
i
w1 Cd1
i
w2 Cd1
i
w3 Cd1
R+i (L w1- w 11 C )
R+i (L w1- w 11 C
1
w1 Cd1
)
R+i (L w2- w 21 C )
R+i (L w2- w 21 C
1
w2 Cd1
)
R+i (L w3- w 31 C )
R+i (L w3- w 31 C
1
w3 Cd1
)
= M1
= M2
= M3
Determinacion de parametros
Find(L,C,R) =()
Los parámetros extraídos mediante el análisis de la impedancia de entrada del PT, sirven para representar el comportamiento eléctrico del PT no
sólo en la región de vibración principal, sino también en las zonas espurias.
Sin embargo, no se representan adecuadamente las diferentes relaciones de
transformación, N , del modelo equivalente. En los casos que se requiera, la extracción de parámetros basada en análisis de ganancia del PT provee, además
de los elementos de cada ramam resonante del modelo, las distintas relaciones
de transformación, correspondientes a cada frecuencia de vibración.
B.3.
Extracción de parámetros del modelo del
PT basado en análisis de ganancia
Para efectuar la extracción de parámetros para el modelo del PT, una de
las técnicas está basada en el análisis de la ganancia de voltaje del PT. Se
emplea un circuito auxiliar de generación de onda senoidal. La onda senoidal
se aplica en la entrada del PT, Vin , y se mide la amplitud de la forma de
onda resultante en la salida, Vout , respecto de la frecuencia (…gura B.4). El
modelo equivalente del PT se obtiene al encontrar la solución de un sistema
de ecuaciones formado con la expresión de la ganancia de voltaje (ecuación
B.3 Extracción de parámetros del modelo del PT basado en análisis de
ganancia
149
B.9) y algunas mediciones de ganancia, en las cercanías de la frecuencia de
vibración principal.
Figura B.4. Carga conocida Ro conectada a un PT.
Vout
(!) =
Vin
1
!2
j!CZo N
(LC + CCo RZo ) + j! (CR + Co Zo
! 2 LCCo Zo + CZo )
(B.9)
donde:
Co = Cd2 N 2
Zo =
(B.10)
Ro
N2
(B.11)
La siguiente es una serie de comandos en MathCAD para obtener los
parámetros del modelo equivalente.
Datos de entrada
R1:=820
Cd2:=1.909 10
9
Cd1:=5.68 10
f1:=84740
f2:=82590
f3:=83300
f4:=83300
f5:=84090
f6:=84500
9
M1:=1.5575
M2:=2.3883
M3:=2.5338
M4:=2.2933
M5:=2.0683
M6:=0.50902
Resolución numerica
Guess
Secuencias de comandos en MathCAD para análisis y diseño
150
N:=2
C:=1.093 10
9
L:=4.43 10
3
R:=2.12
Given
2
[1-(2
f2 C
R1
N
f3 C
R1
N
f3) (L C+C Co R R1)]+i [C R+Co R1-(2
R1
N
R1
N2
] (2
f1)
f2)2 L C R1 Co+C
R1
N2
] (2
f2)
f3)2 L C R1 Co+C
R1
N2
] (2
f3)
f4)2 L C R1 Co+C
R1
N2
] (2
f4)
i
2
f4 C
f1)2 L C R1 Co+C
i
f2) (L C+C Co R R1)]+i [C R+Co R1-(2
2
[1-(2
i
2
2
[1-(2
R1
N
f1) (L C+C Co R R1)]+i [C R+Co R1-(2
2
[1-(2
f1 C
2
i
2
f4) (L C+C Co R R1)]+i [C R+Co R1-(2
= M1
= M2
= M3
= M4
Determinacion de parametros
Find(L,C,R,N) =()
Este método de extracción, al igual que el método de análisis de impedancia, tiene capacidad de obtener los parámetros para representar los modos de
vibración principal y espurios. Además, a diferencia del método de análisis
de impedancia, puede determinar la relación de transformación para cada
modo de vibración. Todo ésto, aunado con la mejor convergencia numérica,
hace de esta técnica la más completa para la extracción de los parámetros
del modelo de un PT.
B.4.
Determinación de las dimensiones de un
PT a partir de su modelo
Las dimensiones de un PT de tipo radial se pueden determinar a partir
de los elementos de su modelo equivalente. Esto se logra empleando las ecuaciones que relacionan el modelo equivalente con las dimensiones y propiedades
del material del PT. A continuación se muestra una secuencia de comandos
MathCAD que permite determinar las dimensiones del PT radial.
Propiedades del material PKI-802
Densidad
rho:=7.6
g/cc
e0:=8.85 10
12
F/m
B.4 Determinación de las dimensiones de un PT a partir de su modelo 151
Constante
e33:=1000 e0
dielectrica
relativa
Radio de
sigma:=-0.32
Poisson
Factor de
df:=0.004
disipacion
Factor de
Qm:=900
calidad
mecanica
Coe…ciente de
acoplamiento
Coe…ciente
k31:=-0.3
k33:=0.61
d31:=-100 10
12
piezoelectrico
d33:=220 10
Conformidad
S11:=10.4 10
elastica
Constante de
S33:=13.5 10
12
N5:=1450 m/s
frecuencia
longitudinal
Constante de
Nt:=2100 m/s
frecuencia
de espesor
Constante de
frecuencia
radial
Np:=2360 m/s
m/V
12
m/V
12
m2 /V
m2 /V
Secuencias de comandos en MathCAD para análisis y diseño
152
Datos del modelo equivalente
Cd2:=2.9 10
9
Cs:=1.137 10
Frecuencia
9
Ls:=3.5424 10
fr:=80000
Dimensiones del PT radial
Diametro
d:=Np/fr
# Capas
n2:=1
secundario
# Capas
n1:=2
primario
Grosor de
t2:=n2
r2 e33
h
2
1- (1 -sig mda3)1 S 1 1
e33
Cd2
capa secundario
Grosor de
t1:=
3 2 r 2 (d 3 1 n 1 )2
S 1 1 (n 1 t1 + n 2 t2 ) (1 -sig m a )
n1
capa primario
Resolución numérica
guess
t1:=t1
t2:=t2
Given
t2:=n2
t1:=
t1:=
2
r e33
r:=r
h
2
1- (1 -sig mda3)1 S 1 1
e33
Cd2
16 Ls
(d 3 1 n 1 )2
rh o S 1 1 2 (1 -sig m a )2
i
n2 t2
n1
3 2 r 2 (d 3 1 n 1 )2
S 1 1 (n 1 t1 + n 2 t2 ) (1 -sig m a )
n2 t2
n1
sol:=Find(t1,t2,r)
Resultados
t1:=sol0,0
en milímetros
t2:=sol1,0
t3:=sol2,0
n2 t2
i
3
B.4 Determinación de las dimensiones de un PT a partir de su modelo 153
t1
T1:= 1 10
t2
T2:= 1 10
3
3
R:= 1 10r
3
Parámetros completos del modelo
Capacitor paralelo Cd1
2
CD1:=n1
r e33
CD1=5.9138 10
h
2
1- (1 -sig mda3)1 S 1 1
e33
i
e33
i
t1
9
F
Capacitor paralelo Cd2
2
CD2:=n2
r e33
CD1=2.8999 10
h
2
1- (1 -sig mda3)1 S 1 1
t2
9
F
Resistencia serie Rs
p
2 rho S11 3 (1-sigma)3
n1 t1+n2 t2
Rs:= n12 r
32 Qm d31 2
Rs=1.9608
Inductancia serie Ls
Ls:= rho S11
2
(1.sigma)2 (n1 t1+n2 t2)
16 (n1 d31)2
Ls=3.5424 10
3
9
F
H
Capacitancia serie Cs
Cs:=
32 r2 (d31 n1)2
S11 (n1 t1+n2 t2) (1-sigma)
Cs=1.3774 10
Las dimensiones obtenidas mediante la secuencia de comandos anterior,
corresponden a un PT de tipo radial. Sin embargo, es posible desarrollar otras
secuencias de comandos, con estructuras similares, en las que las dimensiones
correspondan a otros tipos de PTs.