Guía Nº 2 1. Dada la siguiente función de distribución F para la

Guía Nº 2
1. Dada la siguiente función de distribución F para la variable aleatoria discreta X,
determinar la función de probabilidad y calcule la esperanza y la varianza de la variable
aleatoria.
𝐹(𝑥) =
{
0
0,04
0,08
0,36
0,76
1
𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝑠𝑖 𝑥 < 3
𝑠𝑖 𝑥 < 4
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
2. La función de probabilidad de una variable X está dada por:
f(x)=
2p
p
4p
0
si x =1
si x = 2
si x = 3;4
Otro caso
a) ¿Cuál es el valor de p?
b) P(0  X  3) ; P(X  1)
c) Determine el valor esperado y la varianza
3. Si la función de probabilidad f de una v.a.d X dada por
f ( x) 
(k  1) /( x 3  2)
si x  0,1,2,3
0
o.c.
Se pide:
(a)
(b)
(c)
(d)
Encontrar el valor de k
Encontrar la función de distribución F(X)
Encontrar P( 2  x  5)
Calcular el valor esperado y varianza para la v.a.d. X
4. Sea X una variable aleatoria discreta que cuenta la cantidad de artículos, cuya función
de probabilidad es.
x  8 a  x  9

f ( x)  0  x 9  x  10
 0
O.C.

Se pide:
a) Calcular el valor de a para que f sea la función de probabilidad de la v.a.d X
b) Calcular la probabilidad que X asuma a los más el valor 9
b) Calcular la probabilidad que X sea igual 9
c) La probabilidad que X sea más que 9
5. La función de densidad de la variable aleatoria X, diámetro final de un cable eléctrico
blindado, esta dado por
( x  0,7) / a

g ( x)  (0,8  x) / a

0

0,7  x  0,75
0,75  x  0,8
O.C.
a) Determine la constante a.
b) P(0,74.<X<.0,85)
c) Calcule Esperanza y varianza de X
6. Suponga que la duración de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua
con función de densidad
100

x  100
h( x )   x 2
 0
O.C.
a) Cuál es la probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo
todavía funciona después de 150 horas de servicio?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que si se instalan tres de esos tubos en un conjunto,
exactamente uno tenga que ser substituido después de 150 de horas servicio?
c) ¿Cuál es el número máximo de tubos que se pueden poner en un conjunto de modo
que haya una probabilidad de 0.5 de que después de 150 horas de servicio funcionen
todavía?
7. Una caja tiene paquetes de distintos pesos. El peso medio de los citados paquetes es
de 100 gr. Y la desviación estándar es de 10 gr. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por
extracción al azar un paquete que tenga menos de 85 gr?
8. Se ha determinado que para varones normales en una cierta población normalmente
distribuida, la temperatura media es de 37ºC y desviación estándar de 0,5ºC. Si se
consideran 1000 de estas personas ¿Cuántas se puede esperar que tengan una
temperatura comprendida entre 37º C y 37,6º C?
9. En la plaza de Chillán, se colocan 10000 ampolletas en servicio entre el 15 de
diciembre y el 15 de marzo del año siguiente durante las noches. La fábrica de
ampolletas asegura que la vida de las ampolletas puede ser considerada como una
variable normalmente distribuida, con vida promedio de 50 días y un coeficiente de
variabilidad del 20%; se desea conocer con tiempo: ¿Cuántas ampolletas se deberán
cambiar hasta el 31 de diciembre? ¿Cuántas ampolletas al 31 de enero?
10. para una muestra de 400 personas elegidas al azar se obtiene una renta per cápita de
$1.215.000. Si la desviación típica de la renta per cápita para la población es de
$700.000, calcula el intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de
significación de: 0,1 y 0,05
11. Para una muestra de 30 alumnos se obtuvo una nota media en el último examen de
matemáticas de x  5,83 , con una desviación típica s = 1,92. Determina el intervalo de
confianza al 80% para la media real e interprete el resultado.
12. El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es 3.200 gramos. Sabiendo que
la desviación típica de los pesos de la población de recién nacidos es de 150 gramos,
halla el intervalo de confianza para la media poblacional para una significación de 0,05
13. Para las muestra de tamaño 36 extraídas de la distribución de calificaciones en una
población de 120 alumnos, con media 5,5 y desviación típica 2,04, hallar los intervalos
de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza de: 75,4% y 0,87
14. La media de edad de los alumnos que se presentan a pruebas de acceso a la
Universidad es de 18,1 años, y la desviación típica 0,6 años. ¿Qué tamaño debe tener
una muestra de dicha población para que su media esté comprendida entre 17,9 y 18,3
años, con una confianza del 99,5%?
15. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el
nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que
la desviación típica de la población es de 20 mg/cc.
a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la
población
b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?
16. Se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos recién
nacidos de madres fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gramos, con una
confianza del 95%. Si por estudios anteriores se sabe que la desviación típica del peso
medio de tales recién nacidos es de 400 gramos, ¿qué tamaño mínimo de muestra se
necesita en la investigación?
17. Para 96 familias, elegidas al azar, se ha determinado que la televisión permanece
encendida en la casa una media de 217 minutos diarios; la desviación típica de la
muestra fue de 40 minutos. Para una fiabilidad del 95%,
a) ¿Qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de las familias?
b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para reducir ese error a la mitad?
18. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró
que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo
de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre
los estudiantes de esa Universidad.
19. Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir
que la cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la
proporción de alumnos que hablan inglés en esa Universidad no sea superior a 0,05, con
un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que tomar, como mínimo,
en la muestra?
20. Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad,
se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de
confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de
votantes del partido X en esa ciudad.
21. En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se
encontró que 105 leían un determinado periódico X. A la vista de esos datos se pretende
seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centésimas como
máximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimación de la proporción de
lectores de ese periódico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el número de
individuos de la población que, como mínimo, debe tener la muestra.
22. La siguiente tabla muestra los índices de precio de Laspeyres, cuánticos de Paasche
y de precio de Fisher se pide interprete cada de estos números índices.
23. Los índices de Laspeyres, Paasches e Ideal de Fisher para la siguiente tabla son (p0
y q0 son los precio y cantidad del periodo base respectivamente)
A
B
C
D
E
Precios
p0
p1
100 120
200 200
200 300
300 350
400 600
Cantidad
q0
q1
100
120
300
310
200
400
20
40
40
60
p0*q0
p1*q1
p0*q1
p1*q0
24. Una empresa produce artículos A, B, C registrando los siguientes datos anuales:
Se pide:
a) Calcule los índices simples de precio para el artículo A considerando como periodo
base el año 1982.
b) Calcule los índices simples de cantidad para el artículo B considerando como
periodo base el año 1980.
a) Calcule los índices simples de valor para el artículo C considerando como periodo
base el año 1983.
25. Realice los promedios móviles de 3 y 5 periodos para la tabla:
tiempo 1
valor
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
200 135 195 198 310 175 155 130 220 277 235
26. Pronostique para la tabla, a través del suavisamiento exponencial con  igual a 0.24
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Xt 200 135 195 198 310 175 155 130 220 277 235
27. La tabla muestra la demanda de un producto en los últimos 12 meses
Se pide
a) Calcular el pronóstico para el periodo 13 utilizando el promedio móvil ponderado
con factores 0,2-0,3-0,5
b) Calcular todos los pronósticos utilizando el promedio móvil ponderado de factores
0,4-0,6