Números racionales y reales

Resumen de la lección 1 de Matemáticas - 3º ESO - Números racionales y reales
1. FRACCIÓN: es el cociente indicado de dos números enteros. Se escribe:
b: es el denominador. Indica el número de partes iguales en que se divide a la unidad.
Siempre b 0
a: es el numerador. Indica el número de partes fraccionarias que representa la
fracción.
2. FRACCIONES EQUIVALENTES: dos fracciones son equivalentes cuando siendo
diferentes representan lo mismo.
Reconocimiento de fracciones equivalentes: las fracciones equivalentes tienen iguales
sus productos cruzados.
a*d=b*c
Podemos obtener fracciones equivalentes:
- Por amplificación: multiplicando al numerador y al denominador por el mismo
número.
- Por simplificación: dividiendo al numerador y al denominador por el mismo
número. Si esto no es posible la fracción es irreducible. A la fracción irreducible la
llamaremos número racional.
3. OPERACIONES CON FRACCIONES:
- Adición y diferencia: para sumar y/o restar fracciones deben tener el mismo
denominador.
b·d es el mínimo común múltiplo de los denominadores.
1
-
Producto de fracciones: para multiplicar dos fracciones multiplicamos los
numeradores entre sí y los denominadores entre si. A continuación simplificamos
si se puede.
-
Cociente de fracciones: para dividir dos fracciones multiplicamos por inversa del
divisor:
-
Potenciación: para elevar una fracción a un número elevamos a dicho exponente
el numerador y el denominador.
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Operaciones combinadas: cuando hay operaciones diferentes el orden de
ejecución es el siguiente:
1º Paréntesis.
2º Potencias.
3º Productos y cocientes: comenzando desde el que está a la izquierda.
4º Sumas y restas: comenzando por la izquierda.
4. EXPRESIÓN DECIMAL: toda fracción se puede expresar en formato decimal. Para ello:
1º Obtenemos la fracción decimal equivalente, es decir una fracción que tenga en
el denominador una potencia de 10.
2º Escribimos el numerador y con el símbolo “,” dejamos a su derecha tantas
cifras como indique el exponente de la potencia de 10.
También podemos obtener un número decimal “sacando” decimales.
5. CLASES DE NÚMEROS DECIMALES: los números decimales se pueden clasificar en las
siguientes categorías:
- Decimales exactos: tienen un número finito de cifras decimales. Formato: a,bc
- Decimales periódicos puros: tienen infinitas cifras decimales que se repiten
contantemente. Formato: a,bbb… =
b: lo llamamos periodo.
-
Decimales periódicos mixtos: tiene un número de cifras decimales infinitas, de las
que algunas (las primeras no se repiten) y el resto de se repiten contamente.
Formato: a,bbccc… = a,bb
b: lo llamamos anteperiodo.
c: lo llamamos periodo.
Estos números decimales proceden siempre de fracciones, por lo que los consideramos como
números racionales. Puede haber otros números decimales, los que proceden de otras
operaciones que no serán periódicos. Son los NÚMEROS IRRACIONALES. Los números
irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
6. NÚMERO REAL: el número real resulta de la unión de los números racionales y de los
números irracionales.
7. VALOR ABSOLUTO: el valor absoluto de un número real a es siempre mayor o igual a
cero. Diremos que
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8. APROXIMACIÓN DE NÚEMROS REALES: aproximar un número real es sustituirlo por
otro diferente de valor cercano. Podemos realizar la aproximación de tres formas:
-
Por defecto: si queremos aproximar un número por defecto lo sustituimos por
otro menor.
Por exceso: si queremos aproximar un número por exceso los sustituimos por otro
mayor.
Por redondeo: elegimos la opción por exceso o por defecto según la cifra
suprimida: si es menor que 5 redondeamos por defecto y si es mayor o igual a 5
redondeamos por exceso.
9. ERRORES DE UNA APROXIMACIÓN: el error es la diferencia en valor absoluto entre el
número y la aproximación.
A: aproximación realizada.
N: número real que hemos aproximado.
Cuando realizamos una aproximación por defecto o por exceso el error cometido
siempre será inferior 1 unidad.
Cuando la aproximación se realiza por redondeo el error cometido siempre será
inferior a media unidad.
10. INTERVALO: un intervalo es un segmento de una recta que contiene todos los números
comprendidos entre dos números llamados extremos. Dependiendo de si los valores
de los extremos está o no dentro del intervalo diferenciamos varias clases:
- Intervalo cerrado: los valores de los extremos se consideran dentro del intervalo.
Lo escribiremos así: [a,b]
- Intervalo abierto: los valores de los extremos se consideran fuera del intervalo.
Lo escribiremos así: (a,b)
- Intervalo abierto por la izquierda: sólo pertenece al intervalo el extremo derecho.
Lo escribiremos así: (a,b]
- Intervalo abierto por la derecha: sólo pertenece al intervalo el extremo de la
izquierda. Lo escribiremos así: [a,b)
Los intervalos se representan por segmentos (cerrados y abiertos) y por semirrectas
(semiabiertos)
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