12. ANÁLISIS DINÁMICO POR MÉTODOS NUMÉRICOS 12.1. Introducción Por medio del análisis dinámico tratamos de encontrar las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de un mecanismo como consecuencia de su velocidad inicial o de las fuerzas exteriores. La Mecánica Clásica proporciona diversos caminos para obtener dichas ecuaciones. Por ejemplo, aislando cada elemento y aplicando las ecuaciones de Newton-Euler, empleando las ecuaciones de Lagrange o empleando el Teorema de los Trabajos Virtuales. Cualquiera que sea el camino seguido, el resultado es un conjunto de tantas ecuaciones diferenciales ordinarias como grados de libertad. El empleo de las coordenadas naturales no introduce ninguna variación conceptual respecto de los procedimientos ya conocidos. Simplemente, aporta un soporte matemático adecuado para dar a los procedimientos un enfoque general y sistemático. Gracias a las coordenadas naturales podremos desarrollar las ecuaciones del movimiento de cualquier sistema mecánico, sin importar cuántos elementos, pares y grados de libertad tenga. Como veremos, para obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento necesitaremos recurrir a las resoluciones de los problemas cinemáticos vistos en el capítulo anterior. Asimismo, necesitaremos recordar brevemente algunos conceptos sobre la integración numérica de ecuaciones diferenciales. La resolución del análisis dinámico nos proporciona la trayectoria de los grados de libertad z(t). Para determinar las reacciones en los pares recurriremos al método de los multiplicadores de Lagrange, un método empleado tradicionalmente en la minimización de funciones sujetas a restricciones. Como veremos, este método nos proporcionará la forma de asociar fuerzas interiores a las ecuaciones de restricción. Por necesidades de espacio, en este capítulo nos limitaremos a estudiar los mecanismos planos. Los mecanismos tridimensionales no presentan gran dificultad añadida, salvo que el tamaño de las matrices es considerablemente mayor. © Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra). 308 Cap. 12: Análisis dinámico por métodos numéricos 12.2. Fuerzas de inercia de un elemento Partimos de un sólido definido mediante dos puntos i y j. Además del sistema de referencia fijo {0}, definimos un sistema de referencia {e} cuyo origen se encuentra en el punto i y cuyo eje xe atraviesa el punto j. Denominamos Ae a la matriz de rotación entre los sistemas de referencia {e} y {0}. ye P erP y0 xe j i r ri Tratemos de escribir las coordenadas de una partícula x0 material de masa dm situada Figura 12.1. en el punto P en función de las coordenadas de los puntos i y j, para lo cual necesitamos emplear las coordenadas del punto P en el sistema de referencia {e}, que denominaremos e rP x 1 x j − xi r = ri + A e e rP = i + yi Lij y j − yi e x xi (1 − P ) + yi Lij = e yP − x i L + yi (1 − ij −( y j − yi ) e x P = x j − xi e yP e e yP x y + x j P − yj P Lij Lij Lij e e e xP yP xP + yj ) + xj Lij Lij Lij e (12.1) Mediante una simple reordenación de términos, esta expresión se puede escribir en forma de producto de matriz por vector, e x 1 − P Lij r= e − yP L ij e yP Lij e e e x 1− P Lij xP Lij yP Lij e yP Lij − e xP Lij x i yi x = TP q e j yj (12.2) donde TP es una matriz de tamaño 2×4, constante en el tiempo, pero variable de una partícula a otra, y qe es el vector de coordenadas naturales del elemento. Para calcular la aceleración del punto P basta con derivar dos veces con respecto al tiempo la ecuación anterior, r = TP q e (12.3) También podemos calcular el desplazamiento virtual del punto P empleando el operador virtual δ sobre la ecuación (12.2), © Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra). Cap. 12: Análisis dinámico por métodos numéricos δr = TP δq e 309 (12.4) La fuerza de la inercia de la partícula P es sencillamente - r dm. El trabajo virtual producido en un desplazamiento virtual δr del punto P se calculará mediante el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Llamando δWP a dicho trabajo virtual, tenemos δWP = −δrT r dm = δqTe TPT TP q e dm (12.5) Para calcular el trabajo virtual de todo el elemento deberemos sumar los trabajos virtuales de todas las partículas por medio de una integral δWine = ∫V δWP = − ∫V δqTe TPT TP q e dm (12.6) En esta ecuación los términos δqe y q e no varían de una partícula a otra, pues contienen las coordenadas de los puntos i y j. Por tanto, podemos sacarlos fuera de la integral, obteniendo ( ) δWine = −δqTe ∫V TPT TP dm q e (12.7) El paréntesis representa una matriz simétrica de tamaño 4×4, y multiplica al vector q e . El resultado es un vector de 4×1 que expresa las fuerzas de inercia del elemento mediante las coordenadas naturales. Por el sentido físico del paréntesis, que es el de una masa, recibe el nombre de matriz de masas del elemento, que denominaremos Me. Con la ayuda de la ecuación (12.2) que contiene la expresión explícita de la matriz TP, podemos expandir la ecuación anterior para obtener explícitamente la matriz de masas del elemento, 2 ex P + 1 − L 0 2 ey + P L 2 ey P + L M e = ∫V TPT TP dm = ∫V 2 ex P + 1− L sim. ex P ex − 1 − L P 2 ey P − L e y ex P P + L L ex e y P P + 1 − L L ex P L 2 ey + P L 2 © Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra). ey − P L 2 e y − P + L dm ex ex P P + 1 − L L 0 2 2 ex e y (12.8) P + P L L 310 Cap. 12: Análisis dinámico por métodos numéricos Para simplificar la matriz de masas del elemento recordamos el valor de cuatro integrales sencillas que aparecen en la matriz de masas: la masa total del elemento M; las coordenadas e xG , e yG del centro de gravedad G en el sistema de referencia {e}; el momento de inercia I respecto del origen de {e}: ∫V dm = M (12.9) e e ∫V x P dm = M xG (12.10) e ∫V yP dm = M (12.11) ∫V ( e e yG ) x P2 + e yP2 dm = I (12.12) Expandiendo los términos y sustituyendo estas cuatro ecuaciones en la ecuación (12.8) obtenemos la forma final de la matriz de masas: 2 M e xG M + I − L L2 Me = sim. 0 M+ 2 M e xG I − L L2 M e xG I − L L2 M e yG L I L2 M e yG L M e xG I − L L2 0 I 2 L − (12.13) Finalmente, podemos escribir el trabajo virtual de las fuerzas de inercia de un elemento como δWine = −δqTe Me q e (12.14) Ejemplo 1. Calcular la matriz de masas Me de una barra de longitud L y masa M uniformemente distribuida, modelizada mediante dos puntos 1 y 2 situados en los extremos de la barra. En primer lugar, situamos el sistema de referencia {e} en el punto 1 y diFigura 12.2. bujamos el eje xe apuntando hacia el punto 2. Es sencillo ver el valor que toman las coordenadas del centro de gravedad y el momento de inercia respecto del origen del sistema de referencia del elemento: L 2 e xG = e yG = 0 © Alejo Avello, Tecnun (Universidad de Navarra).