Radiación del cuerpo

Capítulo 2
Radiación del cuerpo negro
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE EL EQUILIBRIO
TERMODINÁMICO
En el capítulo anterior hemos mencionado que para conocer el estado de la
materia en situaciones de interés astrofísico necesitamos conocer las poblaciones relativas de los distintos niveles de energía de los átomos, la fracción
de átomos una o más veces ionizados, la cantidad de moléculas existentes
con respecto al número de átomos, la distribución de velocidades de todas
estas especies mencionadas y, además, debemos conocer la distribución de la
radiación en función de la longitud de onda. Nuestro interés está centrado en
atmósferas de estrellas normales en un rango de temperaturas comprendido
entre 2000 °K y 45000 °K aproximadamente. Estamos además interesados
en describir atmósferas en estado estable, sin turbulencia ni escape o eyección de materia.
Conviene destacar que un estado estacionario no implica necesariamente equilibrio térmico. En efecto, en las atmósferas estelares que consideraremos, las condiciones no cambian por largos períodos de tiempo y, en ese sentido, se dice que se encuentran en estado estacionario. Pero ocurre que,
como veremos en capítulos siguientes, en las atmósferas de las estrellas
existen gradientes de temperatura y por lo tanto no se encuentran en equilibrio térmico.
¿Cómo es posible imaginar un sistema en equilibrio térmico?
Simplemente como una cavidad hipotética con un gas en su interior y cuyas
paredes se encuentran a una temperatura T constante. En esas condiciones
los átomos dentro de la cavidad se moverán rápidamente chocando unos con
otros. Estos átomos absorberán fotones emitidos por las propias paredes de
la cavidad y a su vez emitirán energía. Perderán y recapturarán electrones.
Dejando que el sistema evolucione por un tiempo suficientemente prolongado, se llegará a una situación en la cual cada proceso resulta balanceado exactamente por el proceso inverso. Cada colisión en la cual un electrón cede
energía a un átomo para excitarlo a un cierto nivel, es balanceada por un
RADIACION DEL CUERPO NEGRO 25
encuentro en el cual un átomo excitado se desexcita cediendo energía a un
electrón. Por otro lado, cada ionización desde un cierto nivel se compensa con
la correspondiente recombinación al mismo nivel. Así sucede con todos los
procesos físicos posibles. Cuando un conjunto de partículas alcanza este estado en el que cada proceso es balanceado por su proceso inverso, se dice que
se encuentra en condiciones de Equilibrio Termodinámico Estricto (ETE) con la
radiación. Suele expresarse también que en dicho sistema existe balance
detallado de energía. Si a la cavidad hipotética de la que hablamos se le practica un pequeñísimo orificio en una de las paredes, la energía radiante que
podrá escapar, aunque insignificante, permitirá tener una idea del tipo de
radiación proveniente de dicha cavidad. Rigurosamente hablando el ETE es un
estado al que se aproximan ciertos cuerpos pero que nunca llega a ser completamente alcanzado. En dicho estado son válidas las leyes de Boltzmann,
Saha, Maxwell, Planck y la ley de disociación molecular. Estas leyes describen
completamente el estado de la materia en equilibrio termodinámico estricto y
las estudiaremos en el Capítulo 4.
2.2 EMISIÓN Y ABSORCIÓN EN EQUILIBRIO TERMODINÁMICO.
LEY DE KIRCHHOFF
Es bien sabido que todo cuerpo, cualquiera sea su naturaleza o geometría,
emite energía en forma de radiación electromagnética. Cuanto más caliente
se encuentre el cuerpo, mayor cantidad de energía emite. La emisión de radiación es en realidad el resultado de un gran número de procesos radiativos
microscópicos originados en la interacción de las partículas elementales de
las que está formado el cuerpo. La radiación emitida por un cuerpo no debe
confundirse con la radiación reflejada por el mismo y por lo cual resulta visible. Una persona es esencialmente visible por la luz que refleja y no por la
radiación que emite (radiación infrarroja). Al mismo tiempo, todo cuerpo, cualquiera sea su naturaleza, absorbe parte de la radiación electromagnética que
sobre él incide. Precisamente, se denomina poder absorbente de un cuerpo al
cociente entre la radiación absorbida y la incidente sobre el cuerpo. El poder
absorbente varía entre cero y uno; es la unidad si el cuerpo absorbe totalmente la radiación que sobre él incide, sin reflejar ni transmitir nada. En ese
26 EL ESPECTRO CONTINUO DE LAS ATMÓSFERAS ESTELARES
Capítulo 2
caso el cuerpo se denomina cuerpo negro o radiador ideal. Obviamente que
no existen en la naturaleza cuerpos con las características del cuerpo negro.
Los cuerpos recubiertos de una capa de negro de humo o de negro de platino
tienen un poder de absorción próximo a la unidad sólo en un intervalo limitado de longitudes de onda. En el infrarrojo lejano, sin embargo, sus poderes de
absorción son significativamente menores que la unidad.
La experiencia demuestra que la capacidad de emisión de un cuerpo está
relacionada con su poder absorbente. En efecto, supongamos un conjunto de
cuerpos C1 , C2 , C3 ,... incluidos dentro de una cavidad que se mantiene a una
determinada temperatura T constante. Supongamos además que dentro de la
cavidad se ha hecho el vacío, de manera que los cuerpos sólo puedan intercambiar energía entre sí o con la cavidad mediante emisión y absorción de fotones. La experiencia demuestra que al cabo de un cierto tiempo, el sistema de
cuerpos Ci alcanza el equilibrio térmico, esto es, todos adquieren la misma temperatura T, igual a la de la cavidad. Para que esto ocurra, es necesario que cada
cuerpo con una capacidad de emisión mayor (por unidad de tiempo y de superficie) ceda energía a aquél con menor capacidad de emisión. Se deduce entonces que este último cuerpo sólo podrá encontrarse a una temperatura T constante, igual a la de los restantes cuerpos, sólo si posee también un mayor poder
absorbente. Luego, de la posibilidad del establecimiento del equilibrio termodinámico entre cuerpos que sólo pueden intercambiar energía por emisión y
absorción de fotones, se deduce la necesidad de que exista proporcionalidad
entre los poderes emisivo y absorbente de los cuerpos.
Hemos dicho que todo cuerpo emite y absorbe radiación. Ambas propiedades, emisión y absorción, dependen de la longitud de onda y de la temperatura del cuerpo. En 1859 Gustav Kirchhoff dió una prueba experimental
y matemática de la siguiente ley que lleva su nombre: en condiciones de
equilibrio termodinámico, la relación entre el poder emisivo y el poder absorbente es para todos los cuerpos una misma función de λ y T. Esta relación
es igual al poder emisivo del cuerpo negro para dicha λ y T. Es decir que si
ε1(λ,T ), ε2(λ,T ),..., εn(λ,T ) representan los poderes emisivos de varios cuerpos y A1(λ,T ), A2(λ,T ),..., An(λ,T ) sus correspondientes poderes absorbentes,
dando a λ y a T un valor fijo y único para todos los cuerpos y llamando
ε0(λ,T ) y A0(λ,T ) a los correspondientes valores del cuerpo negro, la ley de
Kirchhoff establece:
RADIACION DEL CUERPO NEGRO 27
ε1 ( λ ,T)
ε2 ( λ , T )
εn ( λ ,T )
ε0 ( λ , T )
=
= ... =
=
= ε0 ( λ , T)
A 1 ( λ ,T)
A 2 ( λ , T)
A n ( λ ,T )
A 0 ( λ , T)
(2.1)
La mencionada ley puede entonces escribirse de la siguiente forma:
ε( λ ,T )
=
ε0 ( λ ,T )A( λ ,T )
(2.2)
De modo que si un cuerpo –cualquiera sea su forma, tamaño o composición química– es capaz de emitir radiación de una cierta longitud de onda,
será también capaz de absorber radiación de la misma longitud de onda y,
viceversa, si un cuerpo no emite radiación en una determinada longitud de
onda, tampoco podrá absorber radiación de esa longitud de onda. En otras
palabras, cada cuerpo, independientemente de su forma, densidad, tamaño o
composición química, tiene el poder de absorción máximo para la radiación
que tiende a emitir y la emisión de energía depende sólo de λ y de T. Es conveniente reiterar que la mencionada ley de Kirchhoff es válida en condiciones
de equilibrio termodinámico.
2.3 RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
Volvamos por un instante al ejemplo de la cavidad hipotética con gas a temperatura constante mencionada en la sección anterior. Es evidente que el
pequeño orificio practicado en dicha cavidad no podrá alterar significativamente el estado de equilibrio termodinámico alcanzado por el gas en su interior, después de haber transcurrido un tiempo suficientemente largo. Dicho
orificio, sin embargo, servirá para observar experimentalmente qué clase de
radiación emerge de la cavidad. La experiencia muestra que dicha radiación
depende exclusivamente de la longitud de onda λ y de la temperatura T.
Además, la radiación proveniente de la cavidad es no polarizada, isotrópica y
continua. Es continua debido a que, no obstante existir procesos que dan origen a radiación discreta (líneas), al estar considerando un cuerpo infinitamente opaco, la radiación que se produce en su interior es absorbida y reemitida
28 EL ESPECTRO CONTINUO DE LAS ATMÓSFERAS ESTELARES
Capítulo 2
muchas veces antes de salir del cuerpo. En esas condiciones, la energía se distribuye entre las distintas longitudes de onda y el resultado, en el límite de
opacidad infinita (cuerpo negro), es un espectro continuo independiente del
material.
La radiación de un cuerpo negro se describe mediante la función o Ley de
Planck:
Bλ(T ) =
2h c 2
1
λ5
( e hc/k λT - 1)
,
(2.3)
en la cual Bλ(T) representa la energía emitida hacia el vacío por la unidad de
superficie del cuerpo negro, dentro de la unidad de ángulo sólido, en la unidad
de tiempo y por unidad de intervalo de longitud de onda. La función de Planck
(2.3) suele también escribirse de la siguiente manera:
Bλ(T )dλ =
C1
λ5 (e C
dλ
2/
λT -1)
,
(2.4)
2
en la cual c es la velocidad de la luz y las constantes C1 = 2hc y C2 = hc/k
tienen los siguientes valores:
C1 = 1.1909x10-12 watt cm2 estereorradian-1
C2 = 1.43879 cm °K
La función de Planck es una función distribución y por lo tanto expresa la
cantidad de energía emitida en un cierto intervalo de longitud de onda. Por ello,
si se desea expresar la función de Planck por intervalo de frecuencia, en lugar
de hacerlo por intervalo de longitud de onda, debe tenerse en cuenta que intervalos de longitud de onda no se corresponden con iguales intervalos en frecuencia. Sin embargo, si Bν(T ) representa la función de Planck por intervalo de
frecuencia, debe cumplirse la siguiente relación:
RADIACION DEL CUERPO NEGRO 29
Bλ(T )dλ = Bν(T )dν
Puesto que
(2.5)
λ = c/ ν , se tiene:
c
|dλ| =
dν
ν2
(2.6)
En consecuencia, de (2.4) y (2.5) resulta:
Bν(T ) =
C1
c
4
ν3
1
(e
C 2 ν /c T
,
(2.7)
-1)
o su equivalente:
Bν(T ) =
2h ν 3
1
c2
e h ν /kT -1
(2.8)
No vamos a deducir aquí la función de Planck. Aquéllos interesados en
dicha deducción pueden encontrarla en Aller (1963).
Bλ(T)
T1
T2
T3
λ
Figura 2-1:
Curvas de Planck para diferentes temperaturas del cuerpo negro
30 EL ESPECTRO CONTINUO DE LAS ATMÓSFERAS ESTELARES
Capítulo 2
La Figura 2-1 ilustra de qué manera varían las curvas de Planck con la
temperatura del cuerpo negro. El valor máximo de dichas curvas se desplaza hacia las longitudes de onda más cortas a medida que la temperatura
aumenta. Volveremos sobre este punto al describir las leyes del desplazamiento de Wien.
2.4 LEY DE STEFAN - BOLTZMANN
Dado que la función de Planck no incluye ninguna dependencia angular, la
misma no depende de la dirección de emisión que se considere. En consecuencia, un campo de radiación caracterizado por la función de Planck es isótropo. Cuando describamos las propiedades de un campo de radiación isótropo (Capítulo 6), veremos que una de éstas establece que la radiancia monocromática en cualquier punto de dicho campo es igual al producto de π por la
intensidad específica monocromática en ese punto. Entendemos por radiancia monocromática Λλ, la cantidad de energía emitida a todo un semiespacio
por la unidad de área, en la unidad de tiempo y por unidad de intervalo de longitud de onda. Para el caso particular de un cuerpo negro, la intensidad específica monocromática Iλ coincide con la función de Planck. Luego:
Λλ(cn) =
πBλ(T),
(2.9)
en la cual Λλ(cn) representa la radiancia monocromática del cuerpo negro. Si
integramos la expresión (2.9) en todas las longitudes de onda obtendremos la
radiancia integrada del cuerpo negro, esto es, la cantidad total de energía que
emite la unidad de área de dicho cuerpo, a todo un semiespacio y en la unidad de tiempo. Dicha cantidad será:
∞
∞
Λ(cn) = π ∫ Bλ(T )dλ = π ∫ Bν(T )dν
0
De (2.7) y (2.10) resulta entonces:
0
(2.10)
RADIACION DEL CUERPO NEGRO 31
Λ(cn) = π
∞
C1
∫ (e
c4
ν3
C 2 ν /c T
0
-1)
dν
(2.11)
Para resolver la integral de (2.11) es usual llevar a cabo el siguiente cambio de
variables:
α=
C 2ν
cT
hν
=
,
kT
del cual resultan:
ν3 = α3
kT
h
3
; dν =
kT
dα
h
La expresión (2.11) se transforma ahora en la siguiente:
Λ(cn) =
πC 1
kT
c4
h
4
∞
∫
0
α3
e α -1
dα
Dado que la integral del segundo miembro de (2.12) vale
(2.12)
π4
, se tiene:
15
Λ(cn) =
C 1k 4π 5
15 c 4 h 4
T4
(2.13)
Puede mostrarse que el término constante entre paréntesis de la expresión
-8
-1
-2
-4
anterior es igual a 5.67x10 Joules seg m °K . Denotando con σ esta
constante, resulta la expresión:
Λ(cn) = σ T 4 ,
conocida como ley de Stefan-Boltzmann.
(2.14)
32 EL ESPECTRO CONTINUO DE LAS ATMÓSFERAS ESTELARES
Capítulo 2
2.5 APROXIMACIONES A LA LEY DE PLANCK
Reemplazando C2 por hc/k en (2.4) resulta la siguiente expresión para la función
de Planck:
Bλ(T ) =
C1
λ (e
5
h ν /kT
(2.15)
-1)
Para la región infrarroja del espectro o bien para las ondas de radio, es válida
la desigualdad hv << kT. Desarrollando en serie de Taylor la exponencial de (2.15)
y despreciando términos de orden superior, tenemos:
e h ν /kT = 1+
hν
kT
Reemplazando este desarrollo truncado en la expresión (2.15) y teniendo en
cuenta que ν = c/λ, resulta:
Bλ(T ) =
C1
C2
Tλ
-4
(2.16)
La expresión (2.16) es conocida como la ley de Rayleigh-Jeans y representa una buena aproximación para la región del infrarrojo y las ondas de
radio.
En la región ultravioleta del espectro es válida la desigualdad hν >> kT.
En consecuencia, el paréntesis del denominador de (2.15) se reduce simplemente a la exponencial sin la unidad y la función de Planck resulta ahora:
Bλ(T) = C1λ-5e-C2 /λT ,
(2.17)
conocida como aproximación de Wien y válida para la región ultravioleta del
espectro.
RADIACION DEL CUERPO NEGRO 33
2.6 LEYES DEL DESPLAZAMIENTO DE WIEN
Las leyes del desplazamiento de Wien indican de qué manera se desplazan los
máximos de las curvas de Planck con la temperatura y cómo varía el área interior a una curva de Planck, a medida que cambia la longitud de onda correspondiente al máximo de emisión de energía. La primera ley establece que la
longitud de onda λmax correspondiente al máximo de emisión de energía de
una curva de Planck a temperatura T, es inversamente proporcional a dicha
temperatura. Es decir:
λmaxT = C ,
en la cual C
(2.18)
≅ 0.29 cm °K.
Para demostrar esta primera ley basta derivar la función de Planck y
encontrar para qué valor de λ se produce el máximo de dicha función. Al derivar la expresión (2.3) con respecto a λ e igualar a cero, resulta:
hc
kλT
e hc /k λ T
( e hc /k λ T - 1)
= 5
Haciendo el cambio de variable x = hc/(k λ T) , la igualdad anterior se transforma en la siguiente:
5 - x = 5e -x
(2.19)
El primer miembro de (2.19) representa una recta, en tanto que el segundo es una función exponencial. El valor de x que soluciona la ecuación transcendente (2.19) es la intersección de ambas curvas. Es fácil mostrar que la
solución es muy próxima a x = 5, (Figura 2-2). Luego:
x =
ch
kλT
≅ 5
34 EL ESPECTRO CONTINUO DE LAS ATMÓSFERAS ESTELARES
Capítulo 2
O bien:
λma x T =
ch
5k
Reemplazando las constantes numéricas en la igualdad anterior se obtiene la primera ley del desplazamiento de Wien:
λmaxT = 0.29 cm °K
La segunda ley del desplazamiento de Wien establece que la energía total
emitida por el cuerpo negro es inversamente proporcional a la cuarta potencia de λmax. Esta ley es inmediata si se tiene en cuenta que de (2.9) y (2.14) la
energía total emitida por el cuerpo negro es:
E(total) = Bλ(T)dλ =
σ 4
T
π
(2.20)
y
5
4
y1 = 5-x
3
2
Solución
y2 = 5e-x
1
0
1
2
3
4
5
x
-x
La intersección de la recta y1 = 5-x con la exponencial y2 = 5e
ocurre muy aproximadamente en x = ch/(kT) = 5, valor éste para el cual
la función de Planck es máxima.
Figura 2.2:
RADIACION DEL CUERPO NEGRO 35
Reemplazando (2.18) en la expresión anterior, obtenemos:
-4
E(total) = αλ max ,
en la cual
α =
σC4
π
es una constante.
(2.21)