análisis numérico

ANÁLISIS NUMÉRICO
Asignatura Clave:FIM002 Numero de Créditos: 7 Teóricos: 4 Prácticos: 3
INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA:
El Sumario representa un reto, los Contenidos son los ejes temáticos, los
Activos una orientación inicial para resolverlo y la síntesis concluyente, como
Posibilidad de integración conceptual corresponderá a lo factible de un
punto de vista temático amplio. La visión global de los asuntos resueltos como
Titular Académico, te ofrecerá oportunidades de discusión que se
enriquecerán en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad
de estudio, te sirves de los asesores y analizas la ciberinformación disponible
posicionándote de los escenarios informativos adecuados. Los periodos de
evaluación son herramientas de aprendizaje. La acreditación es un
consenso de relación con el nivel de competencia. Mantén informado a tu tutor
de tus avances académicos y estado de ánimo. Selecciona tus horarios de
asesorías. Se recomienda al titular (estudiante) que al iniciar su actividad
de dilucidación, lea cuidadosamente todo el texto guión de la asignatura.
Para una mejor facilitación, el documento lo presentamos en tres ámbitos: 1.Relación de las unidades, 2.- Relación de activos, 3.- Principia Temática
consistente en información inicial para que desarrolles los temas.
COMPETENCIAS:
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A partir de una realidad, planteará en un lenguaje algorítmico, los
problemas a resolver.
Realizará cálculos de manera óptima, en exactitud y tiempo.
Desarrollará sus habilidades de pensamiento complejo
Reforzará el pensamiento lógico y simbólico
Estimulará el pensamiento creativo a partir de las posibilidades de
diversidad y cambio en la estructura matemática de los fenómenos
físicos.
SUMARIO: Desarrollar el espíritu científico de asombro, observación,
búsqueda y entendimiento del comportamiento físico de la naturaleza, haciendo
una mezcla de matemáticas y ciencias de la computación para dar origen a
herramientas que coadyuvarán a resolver problemas de ciencia e ingeniería.
considerando temas desde la perspectiva del matemático, al crear o establecer
un algoritmo; del científico de la computación, al implementarlo en software o
modificarlo para su optimo funcionamiento en un dispositivo particular; o del
quien resuelve un problema una vez que el modelo matemático ha sido creado.
CONTENIDO:
Unidad I
Unidad II
Unidad III
Unidad IV
Unidad V
Unidad VI
Unidad VII
Sistemas de numeración
Errores
Sistemas de ecuaciones lineales
Interpolación polinómica y diferenciación aproximada
Raices de ecuaciones
Aproximación de funciones
Métodos numéricos de integración
ACTIVOS
UNIDAD I
SISTEMAS DE NUMERACION
I.1.- Introducción.
I.2.- El sistema binario.
I.3.- Operaciones.
I.4.- Ejercicios.
Actividad.- Transformaciones del sistema decimal a los tres diferentes
sistemas de esta unidad y viceversa.
UNIDAD II
ERRORES
II.5.- Error de redondeo y aritmética de computadora.
II.6.- Error y exactitud
II.7.- Error inherente y precisión fija.
II.8.- Propagación del error (en los cálculos aritméticos)
II.9.- Algunas Estrategias para minimizar el error de redondeo.
II.10.- La fórmula del error y las interpolaciones óptimas.
Actividad.- Observar los conocimientos adquiridos en los dispositivos de
numeración de las computadoras.
UNIDAD III
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
III.11.- Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.
III.12.- Forma matricial de los sistemas lineales.
III.13.- Resolución de sistemas por el método de Gauss-Jordan.
Actividad.- Aplicar los conocimientos adquiridos para darle solución a los
sistemas de ecuaciones.
UNIDAD IV
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Y DIFERENCIACIÓN
APROXIMADA
IV.14.- Introducción.
IV.15.- Interpolación lineal y cuadrática.
IV.16.- Formas de Lagrange
IV.17.- Diferencias divididas y la forma de Newton
IV.18.- La fórmula del error y las interpolaciones óptimas.
Actividad.- Aplicar los métodos de la solución general y la solución particular
para solucionar los ejercicios propuestos al final.
UNIDAD V
APROXIMACIÓN DE FUNCIONES
V.19.- Aproximación discreta de mínimos cuadrados.
V.20.- Aproximación de Pade.
Actividad.- Aplicar sus conocimientos en el análisis del último censo de
población efectuado por el INEGI correspondiente al estado de
Sinaloa.
UNIDAD VI
RAICES DE ECUACIONES
VI.21.- Obtención de raíces, introducción.
VI.22.- Localización de raíces no repetidas.
Actividad.- Análisis de la forma general de las ecuaciones cuadrática y cúbica.
UNIDAD VII
MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRACIÓN
VII.23.- Introducción.
VII.24.- Cuadratura numérica.
Actividad.- El criterio del área bajo la curva para problemas específicos.
ESCENARIOS INFORMATIVOS:
•
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Asesores Locales
Asesores Externos
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Disposición en Internet
Puntualidad en Intranet
Fuentes Directas e Indirectas
Bibliografía
Disposición en Internet:
Páginas WEB:
http://lal.cs.byu.edu/lal/hol-documentation.html
http://www.eecs.umich.edu/gasm/
BIBLIOGRAFÍA:
AUBENELL, A.; Benseny, A.
1993 Útiles Básicos de Cálculo Numérico
Editorial Labor
BURDEN, R.L.; Faires, J.D.
1985 Análisis Numérico.
Grupo Editorial Iberoamérica
MELVIN J. Maron, Robert J. López
1999 Análisis Numérico, un Enfoque Práctico.
Editorial CECSA.
ANÁLISIS NUMÉRICO
PRINCIPIA TEMATICA:
1.1.- En un sistema numérico posicional se selecciona un número como base.
En el sistema decimal la base elegida es el diez, probablemente porque
los dedos son una conveniente ayuda para contar, sin embargo es posible
utilizar otros números como bases para los sistemas numéricos. Por
ejemplo, si se decide emplear el cinco como base (esto es contar grupos
de cinco), entonces pueden contarse las 17 letras A siguientes de este
modo:
( A A A A A ) ( A A A A A ) ( A A A A A) A A
tres cincos +` dos unos
y escribir 325 o sea, realmente en el sistema numérico decimal lo que
ocurre es que ese grupo de letras se cuentan de la manera siguiente:
(AAAAAAAAAA)AAAAAAA
UN DIEZ + SIETE UNOS
y se escribe 1710 , es decir el numero diecisiete en base 10 es igual al
número treinta y dos en base 5.
de la misma forma si se selecciona el 8 como base, las letras pudieran
agruparse de esta manera:
(AAAAAAAA)(AAAAAAAA)A
dos ochos + un uno
y concluiríamos que: 17 = 325 = 218 observando que cuando la base es
diez, no se escribe.
Considérese ahora el problema de pasar los números que no son de base
10 a nuestro sistema decimal.
por ejemplo: ¿a que número corresponde el 435 en nuestro sistema
decimal?
En primer lugar debemos recordar que, en el sistema decimal los números
pueden escribirse en una forma desarrollada, por ejemplo:
342 = ( 3x102 ) + ( 4x10 ) + ( 2x100 ) como puede observarse, cuando se
representa en notación desarrollada cada dígito del número 342, se
multiplica por la potencia adecuada de diez ( que es la base empleada ).
De modo semejante, al escribirse en notación desarrollada cada dígito del
numeral 43cinco, debe multiplicarse por la potencia adecuada de cinco (la
base utilizada). por lo que,
43cinco = ( 4x5 ) + ( 3x50 ) = 23
note que a0 = 1 para a ≠ 0. De esta manera, 100 = 1 y 2 x 100 = 2 y
además que cuando el exponente es uno, no se escribe.
Ejemplo: represente en notación decimal los siguientes números:
a).- 432cinco b).- 312ocho c).- 547siete d).- 342seis
1.2.- El sistema binario.- Este sistema utiliza solamente los dígitos 0 y 1, y la
agrupación se realiza de dos en dos. En años recientes, las computadoras
electrónicas que utilizan este sistema, han revolucionado la tecnología y
las ciencias, debido a la rapidez con que realizan cálculos que le llevarían
años completos al hombre. La ventaja del sistema binario es que en un
numeral, cada posición contiene exactamente uno de dos valores posibles
( 0 ó 1 ). En este caso pueden usarse interruptores eléctricos con
solamente dos posiciones, prendido o apagado, para designar los valores
de cada posición. Ahora observemos como convertir números de la base
dos a la base decimal.
Escriba en notación decimal el número 101dos.
Solución: 101dos= ( 1 x 22 ) + ( 0 x 2 ) + ( 1 x 20 ) = 4 + 0 + 1 = 5.
Ahora, consideremos el proceso inverso, es decir, cambie el número 15 al
sistema binario:
solución: podemos usar también el proceso de agrupamiento, sin embargo
existe otro método para hacerlo, se llama de divisiones sucesivas y
consiste en lo siguiente: hacer divisiones sucesivas entre la base (en este
caso es dos) de esta suerte, al dividir 15 entre 2, se obtiene como
cociente al 7 y el residuo es 1, cuando se divide el 7 entre 2 el cociente es
3 y el residuo es uno, y de la misma forma cuando se divide el 3 entre 2 el
cociente es 1 y el residuo es 1, por lo que: 15 = 1111dos.
15 ÷ 2 = 7 --------------1
7 ÷ 2 = 3 ------------- 1
3 ÷ 2 = 1 ------------- 1
Ejemplo: cambie al sistema binario los números: 8, 33, 41, 56 y 67.
1.3.- Operaciones en el sistema binario.- Las operaciones de suma y resta en
este sistema, se efectúan siguiendo el mismo proceso que en el sistema
decimal, teniendo presente que en cualquier base, el numeral 10
representa a la base, de tal manera que: en base dos,10 representa al
número dos.y cuando la base no es diez, deberá leer 10 como “uno-cero”,
nunca como “diez”.
Ejemplos: sume 10102 y 11112 y reste 1112 de 11102
1.4.- Ejercicios.- Una cámara instalada en una sonda espacial tomó fotografías
del planeta Marte y las envió en forma de señales de radio hacia la tierra,
en donde una computadora recibió las “fotografías” en forma de
numerales binarios formados por seis bits. El sombreado de cada punto,
en la fotografía final, fue determinado por esos seis bits. El numeral
0000002 indicaba un punto blanco y el numeral 1111112 denotaba un
punto negro. Los 62 numerales intermedios representaban distintos
sombreados que iban del gris al negro. para obtener una fotografía
completa se necesitaban 40,000 puntos.
1.- si uno de los numerales recibidos fue el 1101112 ¿puede decir a
que numeral decimal corresponde?
2.- ¿El punto que corresponde al numeral recibido en el inciso
anterior representa una sombra de color gris cercana al blanco o al
negro?
3.- ¿Cuál es el numeral binario que representaría el gris más claro
que no llegue al blanco?
4.- ¿Cuál es el numeral binario que constituiría el gris más oscuro
que no llegue al negro?
5.- ¿Puede decir que numeral binario representaría el sombreado
correspondiente al número 31?
II.5.- Error de redondeo y aritmética de computadora.- Cuando se usa una
calculadora o computadora para hacer cálculos numéricos, debe
considerarse un error inevitable que es el llamado error de redondeo. Este
error se origina porque la aritmética realizada en una máquina involucra
números con solo un número finito de dígitos, con el resultado de que
muchos cálculos se realizan con representaciones aproximadas de los
números verdaderos. En una computadora típica, solo un subconjunto
relativamente pequeño del sistema de los números reales se usa para
representar a todos los números reales. Este subconjunto contiene solo
números racionales, positivos y negativos, y almacenan una parte
fraccionaria, llamada la mantisa, junto con una parte exponencial , llamada
la característica. Por ejemplo, un número de punto flotante en precisión
simple usado en la IBM 370 Ó 3000 consiste en 1 dígito binario (bit)
indicador del signo, un exponente de 7 bits en base 16, y una mantisa de
24 bits. Como 24 bits corresponde a entre 6 y 7 dígitos decimales,
podemos suponer que este número tiene, por lo menos, seis cifras
decimales de precisión para el sistema de numeración de punto flotante.
El exponente de siete bits da un rango de 0 a 127, pero debido a los
exponentes usados el rango es, realmente, entre –164 y +63, o sea que,
se resta automáticamente 64 del exponente listado.
Considere por ejemplo el número de máquina:
0
1000010
101100110000010000000000
El bit más a la izquierda es cero, lo cual indica que el número es positivo.
Los siguientes siete bits, 1000010, son equivalentes al número decimal:
1x26 + 0x25 + 0x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 66
y se usan para describir la característica. Los veinticuatro bits finales
indican que la mantisa es:
1.(1/2)1 + 1.(1/2)3 + 1.(1/2)4 + 1.(1/2)7 + 1.(1/2)8 +1.(1/2)14
como consecuencia, este número de máquina representa precisamente al
número decimal:
+ [(1/2)1 + (1/2)3 + (1/2)4 + (1/2)7 + (1/2)8 + (1/2)14] 1666-64 =
179.015625.
sin embargo, el siguiente número de máquina más pequeño es:
0
1000010
101100110000001111111111
= 179.0156097412109375
mientras que el número de máquina más grande siguiente es:
0
1000010
101100110000010000000001
= 179.0156402587890625
Esto significa que nuestro número de máquina original debe representar
no solamente a 179.015625, sino a un número infinito de números reales
que están entre este número y sus números de máquina más cercanos.
para ser más precisos, el número de máquina original se usa para
representar cualquier número real en el intervalo:
[ 179.01561737060546875 – 179.01563262939453125 ]
II.6.- Error y exactitud.
Estudio de errores.- Definición
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para
representar cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de
truncamiento que resultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se
producen cuando los números tienen un límite de cidras significativas que
se usan para representar números exactos. Para los dos tipos de errores,
la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta
dada por :Valor verdadero = aproximación + error (1.1)Reordenando la
ecuación 1.1 se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia
entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:
Et = valor verdadero - aproximación (1.2)
Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. Se incluye el
subíndice t para denotar que se trata del error “verdadero”. Como ya se
menciono brevemente, esto contrasta con los otros casos , donde se debe
emplear una estimación “aproximada” del error.
Un defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden
de magnitud del valor que se esta probando. Por ejemplo, un error de un
centímetro es mucho mas significativo si se está midiendo un remache
que un puente . Una manera de medir las magnitudes de las cantidades
que se esta evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero,
Error relativo fraccional = error verdadero / valor verdadero.
Donde, como ya se dijo, en la ecuación (1.2), El error relativo también se
puede multiplicar por el 100% para expresarlo como
Et = (error verdadero / valor verdadero)100 %. (1.3)
Donde Et denota el error relativo porcentual verdadero.
II.7.- Error inherente y precisión fija.
Exactitud y precisión.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden
caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere
a que tan cercano está el valor calculado o medido con el verdadero. La
precisión, se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o
calculado con respecto a los otros.
Para la mayoría de los números reales x, un dispositivo digital no
almacena x, sino el numero de la maquina f l(x) que aproxima a x. El
error de f l(x) se llama error de redondeo o error inherente al almacenar
x. Así,
Error inherente = x - f l(x)
Si el dispositivo es una calculadora que almacena mantisas a k dígitos
decimales, se obtiene el fl(x) mas exacto redondeado x a ks. Por
ejemplo , si k = 4 y la calculadora redondea al almacenar, entonces
x=
1
= 0.066666......se..almacenaria..como.. fl ( x) = +.6667 x10 −1 ,..( M = .6667,..E = −1)
15
Así el error inherente de almacenar x = 1/15 en este dispositivo es
1
6667
−1
x − fl ( x) =
−
=
15 100000 300000
II.8.- Propagación del error (en los cálculos aritméticos)
Fuentes de error en los dispositivos digitales
1) Error humano: error cometido por el programador, operador o
usuario.
2) Error de redondeo: nombre general dado a los errores producidos al
realizar aritmética en un dispositivo de precisión fija. Principia con el
error inherente y luego se propaga en virtud del error escondido, la
adición insignificante, la ampliación del error y/o la cancelación
sustractiva.
3) Error por truncamiento (o discretización): el error que ocurre cuando
se usa una fórmula que es solo aproximada.
Consideración práctica, ¿cuando redondear?: Dos importantes reglas
prácticas. Primero, nunca redondee una respuesta intermedia. La mejor
manera de asegurar esto es hacer que el dispositivo digital los almacene;
si deben ser anotados a mano valores intermedios, asegúrese de usar
varios dígitos de seguridad mas que la exactitud deseada. Segundo,
redondee siempre una respuesta final teniendo en mente que la exactitud
de la respuesta final está limitada por la exactitud del dispositivo
computacional,
Mostraremos un procedimiento perfectamente razonable, el cual llamamos
aritmética de precisión fija o mas específicamente aritmética ks, puede
conducir a una variedad de errores.
Tabla I.4.1, almacenamiento de números en un dispositivo que redondea a a
4s
Valor exacto
Valor
Error inherente
Error relativo
almacenado
u = 122.9572
fl(u) = 123.0
Єfl(u) = -0.0428
Ρfl(u) = -0.3E-3
v = 124.1498
fl(v) = 124.1
Єfl(v) = +0.0498
Ρfl(v) = +0.40E-3
w = 0.014973
fl(w) = 0-01497
Єfl(w) =
Ρfl(w) = +0.20E-3
+0.000003
z = 457.932
fl(z) = 457,900
Єfl(z) = +32
Ρfl(z) = +0.70E-4
La tabla I.4.1, examina el error inherente de una calculadora que
almacena cuatro dígitos significativos redondeados, así que ЄM = 0.5 . 103 . Aunque los errores inherentes varían en tamaño para este dispositivo a
4s hipotético, ningún error inherente relativo excede ЄM en magnitud como
lo predice:
x − fl ( x )
ρ fl ( x ) =
≤ EM
fl ( x)
La tabla I.4.2, usa u, v, w, y z de la tabla I.4.1 para mostrar como la
aritmética a 4s propaga el error de redondeo. La tabla I.4.3 resume los
tipos de redondeo propagado ilustrado en la tabla I.4.2. Observemos
primero que una adición insignificante hace que fl(u) ˆ fl(w) se redondee
simplemente fl(u).
Tabla I.4.2, propagación
almacenadas.
x ° y exacto
V+z=
458055.1498
u–w=
122.942227
v*z=
0.56394234E8
u/w=
8211.92813
u – v = -0.1926
del error al realizar aritmética a 4s en aproximaciones
x ° y (4s)
458100
122.9
fl(x) ° fl(y)
fl(v)+fl(z) = 458023.1
fl(u) – fl(w) =
122.98503
0.5639E+8 fl(v) * fl(z) = 05636749E8
8212
fl(u)/fl(w) =
8216.43287
-0.1926
fl(u) – fl(v) = -0-1
fl(x) + fl(y)
fl(v)+fl(z) =
458000
fl(u) -fl(w) = 123.0
fl(v)*fl(z)
=0.5637E+8
fl(u) / fl(w) = 8216.
fl(u) – fl(v) = 0.1000
En la tabla 1.4.2, fl(v)+fl(w), fl(u)-fl(w), fl(u) * fl(z) y fl(u) / fl(w) tienen errores en
el cuarto dígito significativo aun cuando fl(u), fl(v), fl(w) y fl(z) se redondearon
correctamente a 4s. Esta lenta acumulación del error en el dígito menos
significativo es redondeo escondido.
Tabla I.4.3, Tipos de error propagado cuando los operandos tienen error de
redondeo
NOMBRE DEL ERROR
DESCRIPCIÓN DEL ERROR
Adición insignificante
La adición o (sustracción) de dos números
Redondeo escondido
Ampliación del error
Cancelación sustractiva
cuyas magnitudes son tan diferentes que la
suma (o diferencia) se redondea al numero
mayor.
El error en el kesimo digito significativo de x °
y que puede ocurrir aun si x & y se
redondean correctamente a ks.
La multiplicación de un numero erróneo por
un numero grande (en magnitud) o su
división entre un numero cercano a cero
La resta de dos números casi iguales (o, de
manera equivalente, la suma de un numero
con casi su negativo) .
La ampliación del error sucedió en la tabla I4.2,cuando el producto fl(v) * fl(z)
amplifico el error de fl(v) [y, en menor extensión, el error de fl(z)] , Aunque los
errores representan errores relativos aceptablemente “pequeños” porque están
en el digito menos significativo de fl(v) * fl(w) y fl(u) / fl(w), no son números
“pequeños”.
ε fl ( v ) ∗ˆ fl ( z ) = v * z _ fl (v) * fl ( z ) = 563942234.2136 − 56370000 = 2423.2136
ε fl ( u ) / fl ( w ) = u / v − fl (u ) / fl ( w) = 8211.92813 − 8216 = 4.07187
La amplificación del error puede entonces producir errores absolutos que son
inaceptablemente grandes en ciertas situaciones.
El tipo mas devastador de error de redondeo propagado es la cancelación
sustractiva. Para ver por que, compare las siguientes dos restas:
u = 122.9572
fl(u) = 123.0
v=
fl(v) = 123.1
123.1498
u – v = -0.1926 fl(u) –fl(v) = - 0.1 [= fl(u) ˆ fl(v) ]
Obsérvese que la sustracción de dos números redondeados casi iguales
cancela la exactitud de los dígitos principales significativos. A la sustracción
sustractiva también se le conoce como cancelación catastrófica porque a
diferencia de los otros tipos de redondeo propagado, puede producir errores en
el digito significativo principal después de una sola operación aritmética.
II.9.- Algunas Estrategias para minimizar el error de redondeo.
Puesto que el error de redondeo propagado inicia con el error inherente, los
usuarios inteligentes de los métodos numéricos conocen la precisión del
dispositivo de cálculo, así que pueden usar la:
Estrategia de la mantisa completa. Para minimizar el error inherente ,
introduzca valores de entrada con tantos dígitos significativos como puedan
almacenarse en el dispositivo (por supuesto que sea conocida la precisión del
digito significativo del dispositivo).
Por ejemplo. Así, en un dispositivo a 7s, π debería proporcionarse como
3.141593 (no como 3.14). Mejor aun , haga que el propio dispositivo lo calcule
por si mismo. Digamos este sencillo truco nos da π con la precisión nominal del
dispositivo cualquiera que sea
E forma similar, ex debe programarse como ExP(x), no como 2.718**x, (lo cual
restringe la exactitud probable asegurada a 4s independientemente de la
precisión del dispositivo).
Algunas veces, los valores de entrada de un calculo son conocidos con menos
dígitos exactos que la precisión del dispositivo. En estas condiciones
aconsejamos lo siguiente..
Estrategia de respuesta final, Redondee la respuesta final a una exactitud
conocida.
Por ejemplo, si un cálculo bien condicionado resulta 23.3876 y el dato de
entrada menos exacto se conoce solo con exactitud a “3s” , entonces la
respuesta debe anotarse como 23.4 es decir, redondeada a 3s. Es aconsejable
una nota de que incluso 23.4 podría ser inexacto si se sabe que el cálculo
estuvo mal condicionado.
Otra estrategia útil para limitar la propagación del error de redondeo es la:
Estrategia de operaciones mínimas , para ayudar a minimizar el error de
redondeo escondido, evalué las expresiones matemáticas en una forma que
requiera el menor número de operaciones aritméticas siempre que al hacerlo
no permita la posibilidad de cancelación sustractiva.
Como un ejemplo sencillo, u = y-8 se evalúa mejor en cuatro pasos
1
u ← y ∗ y; u ← u * u; u ← u * u; u ← (tres..multiplicaciones.. y..un..recíproco)
u
La estrategia de operaciones mínimas solo toma la exactitud en consideración
. Si también se desea una ejecución rápida, tome en cuenta que las adiciones
(estas son mas rápidas que las multiplicaciones, las cuales son mas rápidas
que las divisiones; y a su vez, estas operaciones aritméticas son mas rápidas
que la mayoría de las evaluaciones de funciones internas).
Como un ejemplo más, compararemos la forma exponencial usual de:
p ( x) = 2 x 4 − 19 x 3 + 56.98 x 2 − 56.834 x + 5.1324.............( A)
a..su..equivalente..en.. forma..anidada
p ( x) = (((2 x − 19) x + 56.98) x − 56.834) x + 5.1324..........( B )
Ambas formas requieren cuatro adiciones / sustracciones y cuatro
multiplicaciones por una potencia de x. Sin embargo, la evaluación (A) requiere
el cálculo adicional de x4, x3 y x2, el cálculo adicional posiblemente genere con
(a) mas error de redondeo que con (b) . Esta es la razón por lo que se
recomienda la:
Estrategia de multiplicación anidada , Evalué los polinomios en forma
anidada.
El algoritmo de la división sintética (también conocido como el método de
Horner) para la evaluación de un polinomio en forma anidada. El lector que
haya realizado la división sintética manualmente podrá reconocerlo en el
siguiente ejemplo que se muestra.
Encontrará p(x) = {[(1c-9.5)c + 28.49]c + -28.417}c + 2.5662 para cuando c = -2
-2
1
-9.5
28.49
-28.417
2.5662
+
-2.0 23.00
-102.98
262.794
-11.5 51.49
-131.397
265.3602 = p(-2)
p ( x)
265.3602
= x3 − 11.5 x 2 + 51.49 x − 131.397 +
x − ( − x)
x − ( −2)
1
Estrategia del dígito de seguridad , Nunca redondee valores intermedios. Si
usted debe anotarlos y reintroducirlos, hágalo con unos cuantos dígitos de
seguridad mas que la exactitud deseada en la respuesta final.
Estrategia de precisión parcial , Cuando haga una suma acumulada en
un ciclo, hágalo usando precisión extendida siempre que este disponible.
INTERPOLACIÓN.
III.10.- Introducción.
Cada 10 años se levanta un censo de población. En la siguiente tabla se
incluyen datos de la población, en miles de habitantes, de 1940 a 1990.
POB (en miles)
POBLACION
300
200
100
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
AÑO
Al revisar los datos anteriores, podríamos preguntarnos si es posible utilizarlos
para obtener una estimación razonable de la población que habría en: digamos,
en 1965, incluso en el año 2000. Este tipo de predicciones puede obtenerse por
medio de una función que corresponda a los datos disponibles. Este proceso
recibe el nombre de Interpolación.
La palabra interpolación, significa pasar una curva por un conjunto dado de
puntos. Matemáticamente el problema de interpolación es.
Hasta hace poco, las funciones trascendentes eran evaluadas en forma
rutinaria usando interpolación sobre una tabla. Aunque las calculadoras de
bolsillo y las computadoras han hecho innecesaria en gran medida tales
interpolaciones, la necesidad de interpolar persiste. Por ejemplo los
especialistas en estadística, los científicos y los ingenieros necesitan a menudo
estimaciones exactas basadas en un número limitado de puntos tabulados de
un libro de consulta o de la impresión de una computadora, y herramientas de
corte controladas por computadoras requieren de seguir curvas especificadas
por un conjunto de puntos fijos.
II.7.- Interpolación lineal y cuadrática.
Considere el problema de determinar un polinomio de grado 1 que pase por los
puntos distintos de (x0, y0) y (x1, y1). Este problema es el mismo que el de
aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x ) = y1, por medio de un
polinomio de primer grado, interpolando entre o coincidiendo con, los valores
de f en los puntos dados .
Consideremos el polinomio
p ( x) =
( x − x1 )
( x − x0 )
y1
y0 +
( x0 − x1 )
( x1 − x0 )
Cuando x = x0,
Y cuando x = x1,
P( x0 ) = 1. y0 + 0. y1 = y0 = f ( x0 )
P( x1 ) = 0. y0 + 1. y1 = y1 = f ( x1 )
Así que P tiene las propiedades requeridas.
La técnica usada para construir a P es el método de “interpolación” usado con
frecuencia en las tablas trigonométricas o logarítmicas . Lo que puede ser no
es tan obvio es que P es el único polinomio de grado 1 o menor con la
propiedad de interpolación. Este resultado, sin embargo, se sigue
inmediatamente del corolario de la 2.16, pagina 80.
Corolario 2.16.- Sean P y Q polinomios a lo mas de grado “n”. Si x1, x2, ....,xk, k
> n son números distintos con P(xi) = q(xi) para i = 1, 2,.....,k, entonces P(x) =
Q(x) para todo valor de x .
Para generalizar el concepto de interpolación lineal , consideremos la
construcción de un polinomio a lo mas n que pase por n + 1 puntos (xo, f(x0)),
(x1, f(x1)), .....,(xn, f(xn)) (ver figura XII.A). El polinomio lineal que pasa por (x0,
f(x0)) , y (x1, f(x1)) se construye usando los cocientes .
( x − x1 )
( x − x0 )
L0 ( x ) =
,......... y........L1 ( x ) =
( x0 − x1 )
( x1 − x0 )
cuando x = x0 , f(x0) = 1, mientras que L1(x0) = 0. Cuando x = x1 , Lo(x1) = 0,
mientras L1(x1) = 1
Y
F
P
X
X0 x1 x2 xn
Para el caso general necesitamos construir, para cada k = 0, 1, ..,n, un cociente
Ln k(x) con la propiedad de que Ln, k(xi) = 0 cuando i ≠ K y Ln, k(x k) = 1. Para
satisfacer que Ln, k(xi) = 0 para cada i ≠ k se requiere que el numerador de Ln,,k
contenga el termino:
( x − x0 )( x − x1 ).....( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xn ) ............................(II.B)
Para satisfacer Ln,k(x) = 1, el denominador de Lk debe ser igual a (II.B) cuando x
= xk. Por lo tanto.
Ln , k ( x ) =
n
( x − x0 )...( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xn )
( x − xi )
=∏
( xk − x0 )...( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )...( xk − xn ) i = 0 ( xk − xi )
i≠k
En la siguiente figura se muestra una grafica de la forma L n,k
Y
x0 x1 xk-1 xk xk+1 xn-1 xn X
La interpolación polinomica de dos puntos se llama interpolación lineal. En
forma similar, la interpolación de tres puntos se llama interpolación cuadrática.
II.8.- Formas de Lagrange de Pk m (x).
Ahora que se conoce la forma de Ln,,k es Fácil describir al polinomio
interpolante. Este polinomio se llama “Polinomio interpolante de lagrange” y se
define en el teorema siguiente.
Teorema: Si xo, x1,…..,xn son números (n +1) diferentes y “f” es una
función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe un único
polinomio P de grado a lo mas “n” con la propiedad de que:
f ( xk ) = p ( xk )................ para..cada..k = 0,.1,....., n
Este polinomio esta dado por:
n
P( x) = f ( x0 ) Ln ,0 ( x) + ............ + f ( xn ) Ln , n ( x) = ∑ f ( xk ) Ln, k ( x ),
k =0
( x − x0 )( x − x1 )...( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xn )
Ln, k ( x) =
( xk − x0 )( xk − x1 )...( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )...xk − xn )
n
............. = ∏
i =0
i≠k
Escribiremos L
grado..
n,k
( x − xi )
.......... para..cada..k = 0,..1,......, n.
( xk − xi )
(x) simplemente como Lk(x) cuando no haya confusión de su
Ejemplo: Usando los números o nodos, x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 para encontrar el
polinomio interpolante de segundo grado para f(x) = 1/x necesitamos
determinar primero los coeficientes polinómicos L0, L1, L2:
( x − .2.5)( x − 4)
= x 2 − 6.5 x + 10
(2 − 2.5)(2 − 4)
( x − 2)( x − 4)
1
= ( −4 x 2 + 24 x − 32)
L1 ( x) =
( 2.5 − 2)(2.5 − 4) 3
( x − 2)( x − 2.5) 1
= ( x 2 − 4.5 x + 5).
L2 ( x) =
( 4 − 2)(4 − 2.5) 3
L0 ( x ) =
Ya que f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25
2
P( x) = ∑ f ( xk ) Lk ( x)
k =0
0 .4
0.25 2
( −4 x 2 + 24 x − 32) +
( x − 4.5 x + 5)
3
3
..... = 0.05 x 2 − 0.425 x + 1.15
...... = 0.5( x 2 − 6.5 x + 10) +
una..aproximacion..a.. f (3) = 1 / 3..es............. f (3) ≈ P(3) = 0.325
II.9.- Diferencias divididas y la forma de Newton.
Los métodos para determinar la representación explicita de un polinomio
interpolante a partir de datos tabulados se conocen como métodos de
diferencia dividida . Estos métodos se usaron mas con propósito de computo
antes de que el equipo de computo digital llegara a ser fácilmente disponible.
Sin embargo, los métodos pueden usarse también para derivar técnicas para
aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales.
Supongamos que
Pn es el polinomio de Lagrange de grado a lo mas n que coincide con la
función f en los números distintos xo, x1,..., xn. Las diferencias divididas de f con
respecto a x0, x1, ....,xn, se pueden derivar demostrando que Pn tiene la
representación
Pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + ... + an (( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 ) ..(
A)
con constantes apropiadas a0, a1, ....,an
Para determinar las primeras de estas constantes, a0, note que si Pn(x) puede
escribirse en la forma de la ecuación (A), entonces evaluando Pn en x0 deja
solamente el termino constante a0 ; esto es, a0 = Pn(x0) = f(x0).
Similarmente, cuando Pn se evalúa en x1 los únicos términos que distintos de
ceros en la evaluación de Pn(x1) son la constante y el término lineal.
f ( x0 ) + a1 ( x − x0 ) = Pn ( x) = f ( x1 );
f ( x1 ) − f ( x0 )
........( B)
x1 − x0
Aquí introducimos lo que se conoce como notación de diferencia dividida. La
diferencia dividida cero de la función f, con respecto a xi, se denota por f[xi] y es
simplemente la evaluación de f en x i ,
f [xi ] = f ( xi ).
asi..que : a1 =
Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente; la primera
diferencia dividida de f con respecto a x i y xi+1, se denota por f[xi, xi+1] y esta
definida como
f [xi , xi +1 ] =
f [xi +1 ] − f [xi ]
xi +1 − xi
EJEMPLO
La función de Bessel de primera clase de orden cero fue considerada en el
ejemplo 3 de la sección 3.2 (Análisis numérico, Richard L. Burden) En ese
ejemplo, se usaron varios polinomios interpolantes para aproximar f(1.5),
usando los datos que están en las primeras tres columnas de la siguiente tabla
I
xi
F[xi]
0
1.0
0.7651977
F[xi-1, xi]
F[xi-2, xi-1, xi]
F[xi-3,........, xi]
F[xi4,……,
xi]
0.4837057
1
1.3
0.6200860
-0.1087339
0.5489460
2
1.6
4554022
0.0658784
-0.0494433
0.5786120
3
1.9
0.2818186
0.0680685
0.0118183
0.5715210
0.00182
51
4
2.2
0.1103623
Las restantes cuatro columnas de la tabla contienen diferencias divididas
calculadas usando un algoritmo (Algoritmo de la formula de diferencia
interpolante de Newton).
Los coeficientes de la forma de diferencia dividida progresiva de Newton del
polinomio interpolante están a lo largo de la diagonal en la tabla. El polinomio
es
P4 ( x) = 0.7651977 − 0.4837057( x − 1.0) − 0.1087339( x − 1.0)( x − 1.3)
........... + 0.0658784( x − 1.0)( x1.3)( x − 1.6)
........... + 0.0018251( x − 1.0)( x − 1.3)( x − 1.6)( x − 1.9)
se verifica fácilmente que P4(1.5) =0.5118200.
Cuando las (k-1)diferencias divididas
II.10.- La formula del error y las interpolaciones optimas.
Designemos por pk,m(x) al polinomio interpolante para Pk, Pk+1,...,Pm = Pk + n . Si
c es una x no tabulada, entonces el numero pk,m(x) obteniendo evaluando pk,
m(x) en x = c, puede usarse para aproximar f(x). Si c pertenece al intervalo de
interpolación [xk, xm] entonces se dice que pk,m (x) interpola a f(x) de otra
manera, (por ejemplo, ya sea que c < xk o bien c > xm), se dice que pk,m(c(c )
“extrapola” a f(c). En cualquier caso debe enfrentarse la siguiente pregunta:
Dado que “c”, ¿qué valores de “m” y “k” hacen a pk, m(c) aproximar a f(c) con
mayor exactitud?
Para ayudar a contestar la siguiente pregunta usaremos el siguiente teorema
de “Lagrange”
TEOREMA Si la (n + 1)esima derivada de f(n + 1) existe en el intervalo cerrado
mas pequeño que contiene a “c” y a “n + 1” nodos interpolados xk, ...,xk+n,
entonces hay una ξ en este intervalo tal que
f ( n +1) (ξ )
f (c ) − Pk , k + n (c) =
(c − xi )(c − xk −1 )....(c + xk +1 )
(n + 1)!
El teorema implica que para una “c” dada y “n”, el error absoluto
f (c) − Pk , k + n (c) es.. proporcional..al.. producto.. c − xi . c − xk +1 ..... c − xk + n (C)
Donde |c - xi| es la distancia de “c” a “xi” en la recta numérica . Así el error de la
aproximación f(c) ≈ Pk,k+n(c) es probable que sea mas pequeño en los casos en
que xk*≤ c ≤ xk+n (interpolación), que cuando los xk,....,xk+n estén en el mismo
lado que “c” (extrapolación); y cuando se interpola, se supone que el error será
mayor para c entre dos xi ampliamente espaciadas (oscilaciones polinomicas) y
menor para una c cerca de un xi .
Si c esta en el intervalo [xk, xk+n] (interpolación) y el espacio entre dos nodos es
razonablemente uniforme, entonces el producto de los |c - xi | .en (C) es mas
grande cuando c esta cerca de un punto extremo de [xk, xk+n] y mas pequeño
cuando c esta cerca del centro de [xk, xk+n] . Así, para una c dada, la
aproximación mas exacta de f(c) con un polinomio de interpolación de n + 1
puntos, es probable que sea
f (c ) = pˆ k , k + n (c) , donde:
pˆ k , k + n (c) = pk , k + n (c).. usando los n + 1 nodos sucesivos xk,...xk+n que mejor
centren a c.
Nos referimos al numero pˆ k , k + n (c) como la interpolación optima de nesimo
grado para f(c) . El circunflejo ( ˆ ) es para indicar que es la “probablemente
optima”. Así, cuando se interpola , las interpolaciones optimas, las
interpolaciones optimas se obtienen como sigue:
TABLA II.10.1, Interpolaciones optimas de nesimo grado para c = c1, c2, c3 de
la figura
II.10.A
N
Pk, k+n(c2)
Pk, k+n(c3)
Pk, k+n(c1)
0
Pk, k (c1) =P0,0(c1)
Pk, k(c2) =P2,2(c2)
Pk, k(c3) =P2,2(c3)
1
Pk,k+1(c1) =p0,1(c1)
Pk,k+1(c2) =p1,2(c2)
Pk,k+1(c3) =p2,3(c3)
2
Pk,k+2(c1) =p0,2(c1)
Pk,k+2(c2) =p1,3(c2)
Pk,k+2(c3) =p1,3(c3)
3
Pk,k+3(c1) =p0,3(c1)
Pk,k+3(c2) =p0,3(c1)
Pk,k+3(c3) =p1,4(c3)
4
Pk,k+4(c1) =p0,4(c1)
Pk,k+4(c2) =p0,4(c1)
Pk,k+4(c3) =p0,4(c3)
C1 C2 C3
X0 X1 X2 X3 X4
Figura II.10.A, Extrapolación de f(c1) e interpolación de f(c2) y f(c3)
EJEMPLO
Hallar “k” y la “m” para las cuales Pk,m(c) es la aproximación optima a
usando los cinco puntos
PO(0, 0), P1(1, 1), P2(4, 2), P3(9, 3) P4(16, 4) de la curva y = x
a) si c es 8; b) se c es 21. ( Nota : 8 ≅ 2.8284.. y.. 21 ≅ 4.5826)
xk
XO = 0
fk
0
Pk,k+1(8)
Pk,k+2(8)
Pk,k+3(8)
Pk,k+4(8)
8 = 8.00
X1 = 1
1
-4/3 = -1.333
10/3 =
3.333
X2 = 4
2
12/5 =
2.400
43/15 = 2.867
14/5 =
2.800
X3 = 9
3
128/45=
2.844
592/210=2.819
20/7 =
2.857
118/45 =
2.62
c
X4 = 16
4
C=8
El elemento subrayado de cada columna , para el cual el intervalo de
interpolación centra mejor a c = 8, observe que las interpolaciones optimas
subrayadas están igualmente distribuidas a uno y otro lado de la línea
punteada en c = 8
El valor más exacto de la tabla, es el punto con valor de 2.819, que usa solo
tres puntos, mientras que el pinto con valor de 2.622, que usa los cinco puntos
es el menos exacto de las interpolaciones “optimas”.
X0
X1 X2 C X3 X4
0 1 4 8 9 = nodo mas cercano 16
c = 8 y los cinco nodos tabulados xi del ejemplo.
III.11.- Un sistema de ecuaciones lineales, es una formación de ecuaciones de
primer grado, ya que estas reciben el nombre de lineales debido precisamente
a que si trazamos la gráfica de cualquiera de ellas, el resultado será siempre
una línea recta. Generalmente se habla de sistemas de “n” ecuaciones con “n”
incógnitas.
por ejemplo:
5x – 3y = 12
3y = -9
2x – 3y = 3
3x + 4y = -2
10x – 6y = 24
10x – 15y = 15
5x + y = 9
6x
+
3x – y = 7
Son sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
x + 3y + z = 5
x–y+z=4
3x +6y – 2z = 3
2x – y – z = 9
2x – 3y + 3z = 6
x – 3y + 2z = 12
Son sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
III.12.- Cualquier sistema de ecuaciones, se puede representar por dos arreglos
matemáticos que reciben el nombre de matriz, por ejemplo los primeros casos
de los sistemas anteriores quedarán debidamente representados de la manera
siguiente:
5 − 3 
2 − 3


12
3 
 
1 + 3 + 1 
3 + 6 − 2


2 − 3 + 3 
5 
3 
 
6
En donde la primera matriz de cada caso recibe el nombre de matriz de los
coeficientes numéricos, mientras que las siguientes se llaman matrices de las
constantes por el lado derecho de las ecuaciones.
III.13.- Para resolver los sistemas lineales de ecuaciones existen tres operaciones
permitidas sobre ellas sin provocar que las ecuaciones se alteren y son las
siguientes:
1.- La ecuación
Ei puede multiplicarse por cualquier constante λ (
lambda ) diferente de
cero y utilizar la ecuación resultante en lugar de
Ei, esta operación se simboliza mediante λ Ei Ei
2.- .- La ecuación Ei puede multiplicarse por cualquier constante λ (
lambda ) diferente de cero, sumar a la ecuación Ej, y utilizar la ecuación
resultante en lugar de Ej, esta operación se simboliza mediante λ Ei + Ej Ej
3.- Las ecuaciones Ei y Ej se pueden intercambiar, esta operación se
simboliza mediante: Ei Ej.
El método de Newton, consiste en, usando estas operaciones permitidas, hacer
que el sistema de ecuaciones tome una forma triangular reducida en donde
todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes del
sistema se hagan 1, mientras que todos los demás elementos de ella sean 0.
de donde serán despejados los valores de las variables del sistema y así se
obtendrá la solución al sistema que se este tratando.
INTERPOLACIÓN.
IV.14.- Introducción.
Cada 10 años se levanta un censo de población. En la siguiente tabla se
incluyen datos de la población, en miles de habitantes, de 1940 a 1990.
POB (en miles)
POBLACION
300
200
100
0
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
AÑO
Al revisar los datos anteriores, podríamos preguntarnos si es posible utilizarlos
para obtener una estimación razonable de la población que habría en: digamos,
en 1965, incluso en el año 2000. Este tipo de predicciones puede obtenerse por
medio de una función que corresponda a los datos disponibles. Este proceso
recibe el nombre de Interpolación.
La palabra interpolación, significa pasar una curva por un conjunto dado de
puntos. Matemáticamente el problema de interpolación es.
Hasta hace poco, las funciones trascendentes eran evaluadas en forma
rutinaria usando interpolación sobre una tabla. Aunque las calculadoras de
bolsillo y las computadoras han hecho innecesaria en gran medida tales
interpolaciones, la necesidad de interpolar persiste. Por ejemplo los
especialistas en estadística, los científicos y los ingenieros necesitan a menudo
estimaciones exactas basadas en un numero limitado de puntos tabulados de
un libro de consulta o de la impresión de una computadora, y herramientas de
corte controladas por computadoras requieren de seguir curvas especificadas
por un conjunto de puntos fijos.
IV.15.- Interpolación lineal y cuadrática.
Considere el problema de determinar un polinomio de grado 1 que pase por los
puntos distintos de (x0, y0) y (x1, y1). Este problema es el mismo que el de
aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x ) = y1, por medio de un
polinomio de primer grado, interpolando entre o coincidiendo con, los valores
de f en los puntos dados .
Consideremos el polinomio
p ( x) =
( x − x1 )
( x − x0 )
y1
y0 +
( x0 − x1 )
( x1 − x0 )
P( x0 ) = 1. y0 + 0. y1 = y0 = f ( x0 )
Cuando x = x0,
Y cuando x = x1,
P( x1 ) = 0. y0 + 1. y1 = y1 = f ( x1 )
Así que P tiene las propiedades requeridas.
La técnica usada para construir a P es el método de “interpolación” usado con
frecuencia en las tablas trigonométricas o logarítmicas . Lo que puede ser no
es tan obvio es que P es el único polinomio de grado 1 o menor con la
propiedad de interpolación. Este resultado, sin embargo, se sigue
inmediatamente del corolario de la 2.16, pagina 80.
Corolario 2.16.- Sean P y Q polinomios a lo mas de grado “n”. Si x1, x2, ....,xk, k
> n son números distintos con P(xi) = q(xi) para i = 1, 2,.....,k, entonces P(x) =
Q(x) para todo valor de x .
Para generalizar el concepto de interpolación lineal , consideremos la
construcción de un polinomio a lo mas n que pase por n + 1 puntos (xo, f(x0)),
(x1, f(x1)), .....,(xn, f(xn)) (ver figura XII.A). El polinomio lineal que pasa por (x0,
f(x0)) , y (x1, f(x1)) se construye usando los cocientes .
( x − x1 )
( x − x0 )
L0 ( x ) =
,......... y........L1 ( x ) =
( x0 − x1 )
( x1 − x0 )
cuando x = x0 , f(x0) = 1, mientras que L1(x0) = 0. Cuando x = x1 , Lo(x1) = 0,
mientras L1(x1) = 1
Y
F
P
X
X0 x1 x2 xn
Para el caso general necesitamos construir, para cada k = 0, 1, ..,n, un cociente
Ln k(x) con la propiedad de que Ln, k(xi) = 0 cuando i ≠ K y Ln, k(x k) = 1. Para
satisfacer que Ln, k(xi) = 0 para cada i ≠ k se requiere que el numerador de Ln,,k
contenga el termino:
( x − x0 )( x − x1 ).....( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xn ) ............................(II.B)
Para satisfacer Ln,k(x) = 1, el denominador de Lk debe ser igual a (II.B) cuando x
= xk. Por lo tanto.
Ln , k ( x ) =
n
( x − x0 )...( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xn )
( x − xi )
=∏
( xk − x0 )...( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )...( xk − xn ) i = 0 ( xk − xi )
i≠k
En la siguiente figura se muestra una grafica de la forma L n,k
Y
x0 x1 xk-1 xk xk+1 xn-1 xn X
La interpolación polinómica de dos puntos se llama interpolación lineal. En
forma similar, la interpolación de tres puntos se llama interpolación cuadrática.
IV.16.- Formas de Lagrange de Pk m (x).
Ahora que se conoce la forma de Ln,,k es Fácil describir al polinomio
interpolante. Este polinomio se llama “Polinomio interpolante de lagrange” y se
define en el teorema siguiente.
Teorema: Si xo, x1,…..,xn son números (n +1) diferentes y “f” es una
función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe un único
polinomio P de grado a lo mas “n” con la propiedad de que:
f ( xk ) = p ( xk )................ para..cada..k = 0,.1,....., n
Este polinomio esta dado por:
n
P( x) = f ( x0 ) Ln ,0 ( x) + ............ + f ( xn ) Ln , n ( x) = ∑ f ( xk ) Ln, k ( x ),
k =0
( x − x0 )( x − x1 )...( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xn )
Ln, k ( x) =
( xk − x0 )( xk − x1 )...( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )...xk − xn )
n
............. = ∏
i =0
i≠k
Escribiremos L
grado..
n,k
( x − xi )
.......... para..cada..k = 0,..1,......, n.
( xk − xi )
(x) simplemente como Lk(x) cuando no haya confusión de su
Ejemplo: Usando los números o nodos, x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 para encontrar el
polinomio interpolante de segundo grado para f(x) = 1/x necesitamos
determinar primero los coeficientes polinómicos L0, L1, L2:
( x − .2.5)( x − 4)
= x 2 − 6.5 x + 10
(2 − 2.5)(2 − 4)
( x − 2)( x − 4)
1
L1 ( x) =
= ( −4 x 2 + 24 x − 32)
( 2.5 − 2)(2.5 − 4) 3
( x − 2)( x − 2.5) 1
L2 ( x) =
= ( x 2 − 4.5 x + 5).
( 4 − 2)(4 − 2.5) 3
L0 ( x ) =
Ya que f(x0) = f(2) = 0.5, f(x1) = f(2.5) = 0.4, f(x2) = f(4) = 0.25
2
P( x) = ∑ f ( xk ) Lk ( x)
k =0
0 .4
0.25 2
( −4 x 2 + 24 x − 32) +
( x − 4.5 x + 5)
3
3
..... = 0.05 x 2 − 0.425 x + 1.15
...... = 0.5( x 2 − 6.5 x + 10) +
una..aproximacion..a.. f (3) = 1 / 3..es............. f (3) ≈ P(3) = 0.325
IV.17.- Diferencias divididas y la forma de Newton.
Los métodos para determinar la representación explicita de un polinomio
interpolante a partir de datos tabulados se conocen como métodos de
diferencia dividida . Estos métodos se usaron mas con propósito de computo
antes de que el equipo de computo digital llegara a ser fácilmente disponible.
Sin embargo, los métodos pueden usarse también para derivar técnicas para
aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales.
Supongamos que
Pn es el polinomio de Lagrange de grado a lo mas n que coincide con la función
f en los números distintos xo, x1,..., xn. Las diferencias divididas de f con
respecto a x0, x1, ....,xn, se pueden derivar demostrando que Pn tiene la
representación
Pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + ... + an (( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 ) ..(
A)
con constantes apropiadas a0, a1, ....,an
Para determinar las primeras de estas constantes, a0, note que si Pn(x) puede
escribirse en la forma de la ecuación (A), entonces evaluando Pn en x0 deja
solamente el término constante a0 ; esto es, a0 = Pn(x0) = f(x0).
Similarmente, cuando Pn se evalúa en x1 los únicos términos distintos de ceros
en la evaluación de Pn(x1) son la constante y el termino lineal .
f ( x0 ) + a1 ( x − x0 ) = Pn ( x) = f ( x1 );
f ( x1 ) − f ( x0 )
........( B)
x1 − x0
Aquí introducimos lo que se conoce como notación de diferencia dividida. La
diferencia dividida cero de la función f, con respecto a xi, se denota por f[xi] y es
simplemente la evaluación de f en x i ,
f [xi ] = f ( xi ).
asi..que : a1 =
Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente; la primera
diferencia dividida de f con respecto a x i y xi+1, se denota por f[xi, xi+1] y esta
definida como
f [xi +1 ] − f [xi ]
f [xi , xi +1 ] =
xi +1 − xi
EJEMPLO
La función de Bessel de primera clase de orden cero fue considerada en el
ejemplo 3 de la sección 3.2 (Análisis numérico, Richard L. Burden) En ese
ejemplo, se usaron varios polinomios interpolantes para aproximar f(1.5),
usando los datos que están en las primeras tres columnas de la siguiente tabla
I
xi
F[xi]
0
1.0 0.7651977
F[xi-1, xi]
F[xi-2, xi-1, xi] F[xi-3,........,
xi]
F[xi-4,……,
xi]
0.4837057
1
1.3 0.6200860
-0.1087339
0.5489460
2
1.6 4554022
0.0658784
-0.0494433
0.5786120
3
1.9 0.2818186
0.0018251
0.0680685
0.0118183
0.5715210
4
2.2 0.1103623
Las restantes cuatro columnas de la tabla contienen diferencias divididas
calculadas usando un algoritmo (Algoritmo de la formula de diferencia
interpolante de Newton).
Los coeficientes de la forma de diferencia dividida progresiva de Newton del
polinomio interpolante están a lo largo de la diagonal en la tabla. El polinomio
es
P4 ( x) = 0.7651977 − 0.4837057( x − 1.0) − 0.1087339( x − 1.0)( x − 1.3)
........... + 0.0658784( x − 1.0)( x1.3)( x − 1.6)
........... + 0.0018251( x − 1.0)( x − 1.3)( x − 1.6)( x − 1.9)
se verifica fácilmente que P4(1.5) =0.5118200.
Cuando las (k-1)diferencias divididas
IV.18.- La formula del error y las interpolaciones óptimas.
Designemos por pk,m(x) al polinomio interpolante para Pk, Pk+1,...,Pm = Pk + n . Si
c es una x no tabulada, entonces el numero pk,m(x) obteniendo evaluando pk,
m(x) en x = c, puede usarse para aproximar f(x). Si c pertenece al intervalo de
interpolación [xk, xm] entonces se dice que pk,m (x) interpola a f(x) de otra
manera, (por ejemplo, ya sea que c < xk o bien c > xm), se dice que pk,m(c(c )
“extrapola” a f(c). En cualquier caso debe enfrentarse la siguiente pregunta:
Dado que “c”, ¿qué valores de “m” y “k” hacen a pk, m(c) aproximar a f(c) con
mayor exactitud?
Para ayudar a contestar la siguiente pregunta usaremos el siguiente
teorema de “Lagrange”
TEOREMA Si la (n + 1)esima derivada de f(n + 1) existe en el intervalo
cerrado mas pequeño que contiene a “c” y a “n + 1” nodos interpolados
xk, ...,xk+n, entonces hay una ξ en este intervalo tal que
f ( n +1) (ξ )
f (c ) − Pk , k + n (c) =
(c − xi )(c − xk −1 )....(c + xk +1 )
(n + 1)!
El teorema implica que para una “c” dada y “n”, el error absoluto
f (c) − Pk , k + n (c) es.. proporcional..al.. producto.. c − xi . c − xk +1 ..... c − xk + n (C)
Donde |c - xi| es la distancia de “c” a “xi” en la recta numérica . Así el
error de la aproximación f(c) ≈ Pk,k+n(c) es probable que sea mas pequeño
en los casos en que xk*≤ c ≤ xk+n (interpolación), que cuando los xk,....,xk+n
estén en el mismo lado que “c” (extrapolación); y cuando se interpola, se
supone que el error será mayor para c entre dos xi ampliamente
espaciadas (oscilaciones polinomicas) y menor para una c cerca de un xi .
Si c esta en el intervalo [xk, xk+n] (interpolación) y el espacio entre dos nodos es
razonablemente uniforme, entonces el producto de los |c - xi | .en (C) es mas
grande cuando c esta cerca de un punto extremo de [xk, xk+n] y mas pequeño
cuando c esta cerca del centro de [xk, xk+n] . Así, para una c dada, la
aproximación mas exacta de f(c) con un polinomio de interpolación de n + 1
puntos, es probable que sea
f (c ) = pˆ k , k + n (c) , donde:
pˆ k , k + n (c) = pk , k + n (c).. usando los n + 1 nodos sucesivos xk,...xk+n que mejor
centren a c.
Nos referimos al numero pˆ k , k + n (c) como la interpolación optima de nesimo
grado para f(c) . El circunflejo ( ˆ ) es para indicar que es la “probablemente
optima”. Así, cuando se interpola , las interpolaciones optimas, las
interpolaciones optimas se obtienen como sigue:
TABLA II.10.1,
la figura
II.10.A
N
0
1
2
3
4
C1 C2 C3
Interpolaciones óptimas de nesimo grado para c = c1, c2, c3 de
Pk, k+n(c1)
Pk, k (c1) =P0,0(c1)
Pk,k+1(c1) =p0,1(c1)
Pk,k+2(c1) =p0,2(c1)
Pk,k+3(c1) =p0,3(c1)
Pk,k+4(c1) =p0,4(c1)
Pk, k+n(c2)
Pk, k(c2) =P2,2(c2)
Pk,k+1(c2) =p1,2(c2)
Pk,k+2(c2) =p1,3(c2)
Pk,k+3(c2) =p0,3(c1)
Pk,k+4(c2) =p0,4(c1)
Pk, k+n(c3)
Pk, k(c3) =P2,2(c3)
Pk,k+1(c3) =p2,3(c3)
Pk,k+2(c3) =p1,3(c3)
Pk,k+3(c3) =p1,4(c3)
Pk,k+4(c3) =p0,4(c3)
X0 X1 X2 X3 X4
Figura II.10.A, Extrapolación de f(c1) e interpolación de f(c2) y f(c3)
EJEMPLO
Hallar “k” y la “m” para las cuales Pk,m(c) es la aproximación óptima a
usando los cinco puntos
PO(0, 0), P1(1, 1), P2(4, 2), P3(9, 3) P4(16, 4) de la curva y = x
c
b) si c es 8; b) se c es 21. ( Nota : 8 ≅ 2.8284.. y.. 21 ≅ 4.5826)
xk
XO = 0
fk
0
Pk,k+1(8)
Pk,k+2(8)
Pk,k+3(8)
Pk,k+4(8)
8 = 8.00
X1 = 1
1
-4/3 = -1.333
10/3 =
3.333
X2 = 4
2
12/5 =
2.400
43/15 = 2.867
118/45 =
2.62
128/45=
2.844
14/5 =
2.800
X3 = 9
3
592/210=2.819
20/7 =
2.857
X4 = 16
4
C=8
El elemento subrayado de cada columna , para el cual el intervalo de
interpolación centra mejor a c = 8, observe que las interpolaciones optimas
subrayadas están igualmente distribuidas a uno y otro lado de la línea
punteada en c = 8
El valor mas exacto de la tabla, es el punto con valor de 2.819, que usa solo
tres puntos, mientras que el pinto con valor de 2.622, que usa los cinco puntos
es el menos exacto de las interpolaciones “óptimas”.
X0
X1 X2 C X3 X4
0 1 4 8 9 = nodo mas cercano 16
c = 8 y los cinco nodos tabulados xi del ejemplo.
V.19.- Aproximación discreta de mínimos cuadrados.
Consideremos el problema de estimar los valores de una función en puntos no
tabulados, dados los datos experimentales de la siguiente tabla.
i
1
2
3
4
Xi
2
4
6
8
Yi
2
11
28
40
Sin embargo, la grafica de los valores dados en la tabla (III.1), nos indica que
seria razonable (ver figura III.1) suponer que la relación real es lineal y que
ninguna recta se ajusta a los datos exactamente debido al error en el
procedimiento de recolección de datos.
Si este es realmente el caso, no seria razonable pedir que la función
aproximante con los datos dados; en realidad, tal función aproximante
introduciría oscilaciones de que no ocurrían originalmente. Un mejor enfoque
para un problema de este tipo seria encontrar la “mejor” (en algún sentido)
recta que se pudiera usar como función aproximante, aun cuando pudiera no
coincidir precisamente con los datos de cada punto.
El enfoque de mínimos cuadrados a este problema requiere de la
determinación de la mejor recta aproximante cuando el error involucrado es la
suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la recta
aproximante y los valores de dados. Denotado
50
40
y1
30
20
10
0
0
5
10
x1
por axi + yi al i-esimo valor de la recta aproximante y por y1, al i-esimo valor
dado, se necesita encontrar las constantes a y b que son tales que minimizan
el error de mínimos cuadrados:
n
∑ [y
− ( ax1 + b)]
2
1
i =1
Para nuestro problema en particular esto se reduce a encontrar las constantes
a, y b que minimicen.
4
∑ [y
i
− ( axi + b)] = [2 − ( 2a + b) ] + [11 − ( 4a + b)] + [28 − (6a + b) ] + [40 − 8a + b)]
2
2
2
2
2
i =1
Si consideramos a
∑ [yi − (axi + b)]
4
i =1
2
como una función de dos variables a y b
,
un resultado elemental del calculo de varias variables implica que, para que un
mínimo ocurra en (a, b) es necesario que.
2
4
∂ 4
0=
[yi − (axi + b)]2 ,....................0 = ∂ ∑ [yi − (axi + b)]
∑
∂a i =1
∂b i =1
consecuentemente,
∂
[2 − (2a + b)]2 + [11 − (4a + b)]2 + [28 − (6a + b)]2 + [40 − 8a + b)]2 = 0
∂a
2( 2 − 2a − b)(−2) + 2(11 − 4a − b)(−4) + 2( 28 − 6a − b)(−6) + 2(40 − 8a − b)(−8) = 0
30a + 5b = 134
∂
[2 − (2a + b)]2 + [11 − (4a + b)]2 + [28 − (6a + b)]2 + [40 − 8a + b)]2 = 0
La
∂b
2( 2 − 2a − b)(−1) + 2(11 − 4a − b)(−1) + 2(28 − 6a − b)(−1) + 2( 40 − 8a − b)(−1) = 0
20a + 4b = 81.
solución a este sistema de ecuaciones es; a = 6.55 y b = -12.5, así que la mejor
ecuación lineal en el sentido de mínimos cuadrados es.
y = 6.55 x − 12.5
La siguiente tabla, muestra los valores
obtenidos usando esta aproximación.
i
xi
1
2
2
4
3
6
4
8
observados junto con los valores
yi
2
11
28
40
6.55x –12.5
0.6
13.7
26.8
39.9
V.20.- Aproximación de Pade.
La clase de los polinomios algebraicos tienen algunas ventajas distintivas en
cuanto a su uso para aproximaciones. Para encontrar técnicas que disminuyan
las cotas de error de aproximación, consideraremos los métodos que esparcen
mas uniformemente el error de la aproximación el intervalo en el que se esta
trabajando. Estas técnicas requieren la introducción de una nueva clase de
funciones aproximantes. La clase de funciones racionales.
Una función racional “r” de grado N es una función de la forma:
p ( x)
r ( x) =
III.1)
q( x)
donde: p y q son polinomios cuyos grados suman N.
Como todo polinomio es también una función racional (simplemente
tomamos q(x) =1), la aproximación usando funciones racionales dará
resultados con cotas de error no mayores que la aproximación con polinomios.
Las funciones racionales tienen la ventaja de adicional de permitir las
aproximación eficiente de funciones que tienen discontinuidades infinitas cerca,
pero fuera del intervalo de aproximación. La aproximación polinómica es
generalmente inaceptable en esta situación.
Supongamos que “r” es una función racional de grado N = n + m de la forma:
p ( x) p0 + p1 x + ........ + pn x n
=
III.2)
q( x) q0 + q1 x + ........ + qm x m
que se usara para aproximar a una función “ f ” en un intervalo cerrado I, que
contiene al cero. Para que “r” esta definida en cero se requiere que q0 ≠ 0. De
hecho, podemos suponer que q0 = 1 , Ya que si este no es el caso, podemos
simplemente reemplazar a p(x) por p(x)/q0 y a q(x) por q(x)/qo .
Consecuentemente, hay N + 1 parámetros q1, q2, ...,,qm, p0, p1,...,pn disponibles
para la aproximación de “ f “ mediante “ r “.
La técnica de aproximación de Pade , escoge a los N + 1 parámetros de
f ( k ) ( 0) = r ( k ) ( 0)
III.3)
tal manera que
Para cada k = 0, 1, ......., N
La aproximación de Pade es la extensión de la aproximación polinomica de
Taylor a funciones racionales. Cuando n = N Y m = 0, la aproximación de Pade
es el polinomio de Taylor de grado N expandido alrededor del cero, es decir, El
polinomio de Maclaurin de grado N.
Considere la función:
r ( x) =
i
i
p ( x) f ( x)q ( x) − p ( x ) f ( x )∑i = 0 qi x − ∑i = 0 pi x
=
=
f ( x) − r ( x) = f ( x) −
q( x)
q( x)
q( x)
suponga que “ f “ tiene la expansión en series de Maclaurin de:
α
f ( x) = ∑i = 0 ai x i . III.5) Entonces tenemos que:
n
m
α
∑
f ( x) − r ( x) =
i =0
III.4)
y
ai x i ∑i = 0 qi x i − ∑i = 0 pi x i
m
n
III.6)El objetivo es escoger las
q( x)
constantes q1, q2, ......, qm, y p0, p1,...,pn, de tal manera que:
f ( k ) (0) − r ( k ) (0) = 0,...... para..cada..k = 0,..1,..., N .
Encontramos Que esto es equivalente a que f – r tenga una raíz de
multiplicidad N + 1 en cero. Como consecuencia, queremos escoger q1, q2, ....,
qm y p0, p1,...,pn tales que el numerador del lado derecho de (III.6) .
(a0 + a1x + .......) 1 + q1x + ........ + qm x m − p0 + p1x + ......... pn x n ..........III .7)
no tenga términos de grado menor o igual que N. Para simplificar la
notación, definamos
pn +1 = pn + 2 = ........ = pN = 0.. y..qm +1 = qm + 2 = ... = q N = 0.
Podemos entonces expresar el coeficiente de xk , en la expresión (III.7)
como
(
k
∑a q
i k −i
) (
)
− pk ;
i =0
así que la función racional para la aproximación de Pade resultará de la
solución de las N +1 ecuaciones lineales
k
∑a q
i k −1
− . px = 0,..................k = 0,1,........., N
i =0
con las N + 1 incógnitas q1, q2,......qm, p0, p1,.......pn
EJEMPLO:
La expansión en series de Maclaurin de ex es
∞
(−1)i i
x
∑
i!
i =0
Para encontrar la aproximación de Pade para e-x de grado 5 con n = 3 y m = 2,
se requiere escoger p0, p1, p3 , q1 y q2 de tal manera que los coeficientes de
xk para k = 0,
1,....,5 sean cero en la expresión

x2 x3 
1 − x +
+  1 + q1 x + q2 x 2 − ( p0 + p1 x − p2 x 2 + p3 x 3 )
2
6

(
)
Expandiendo y recolectando términos se llega a
1
1
1
+ q1 − q2 = 0
120 24
6
1
1
1
x 4 ;.............. − q1 + q2 = 0
24 6
2
1
1
x 3 ;................ − + q1 − q2 = p3
6 2
1
x 2 ;...................... + q1 − q2 = p2
2
1
x ;............................ − 1 + q1 = p1
x 5 ;...... −
x 0 ;......................................1 = p0
La solución de este sistema es:
3
3
1
2
1
,.. p3 = − ,...q1 = ,... y..q2 =
p0 = 1,.. p1 = − ,... p2 =
5
20
60
5
20
así que la aproximación de Pade
es:
3
3 2 1 3
1− x +
x − x
5
20
60
r ( x) =
2
1 2
1+ x +
x
5
20
Raíces de ecuaciones.
VI.21.- Raíces.- Introducción
Problemas básicos de la aproximación numérica. El problema de la
búsqueda de raíces consiste en obtener una raíz “x” de una ecuación
dela forma f(x) = 0 para una función dada , f (Al numero “x” se le llama
también cero de f).
Este es uno de los problemas de aproximación mas antiguos y, sin
embargo la investigación correspondiente todavía continua. El problema
de encontrar una aproximación a la raíz de una ecuación se remonta por
lo menos al año 1700 A.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale
Babylonian Collecttion y que data de este periodo, da la aproximación de
2,
Sea f(x) = 0 (la ecuación para hallar raíces)
Las soluciones de “x” se llaman raíces de la ecuación f(x) = 0 , o simplemente
raíces de f(x) = 0.
Nuestro enfoque sistemático para resolver una ecuación de una sola variable,
digamos, x , es trasponer todos los términos hacia un lado para transformarla
en f(X) = 0 Y luego usar el método para encontrar raíces. Así,
La ecuación de punto fijo g(x) = x , será resuelta encontrando raíces de g(x) – x
=0
La ecuación de la función inversa g(x) = c se resolverá encontrando raíces g(x)
–c=0
VI.22.- Localización de raíces no repetidas.
Método de la pendiente
Existen métodos para encontrar una raíz real “x” de una función continua
“f”. Y dos de ellos pueden ser: El método de Newton –Raphson y el
método de la secante. Ambos métodos se basan en la siguiente idea
geométrica sencilla : sea x la raíz deseada de la ecuación f(x) = 0, donde
f es continua y supongamos que;
•
xk es una aproximación actual de la raíz “x”.
•
Pk es el punto (xk, yk) donde yk = f(xk), en la grafica de f
mk es el numero que representa la pendiente de la curva y = f(x)
en, o cerca del punto pk.
•
•
•
Lk designa la línea recta que pasa por Pk y tiene una pendiente mk
Xk+1 es la intersección de la línea Lk con el eje x.
Como se muestra en la figura , si Lk aproxima bien a la grafica dee f en el
entorno xk, xk+1
Y “x”, entonces su intersección su intersección con el eje de las x, xk+1 debe
aproximar mejor que xk y, si el procedimiento se repite comenzando con xk+1 ,
entonces , el kx+2 debe ser una aproximación todavía mejor.
f(xk) = yk PK
Comentario:
línea por Pk con pendiente mk
∆YK
Y = f(x)(grafica de f)
Raíz deseada
∆XK
XK XK+1 X
Figura 5a.- una iteración del método de la pendiente
∆y
mk = k = pendiente..de..Lk
∆xk
.... =
0 − yk
f ( xk )
=−
xk +1 − xk
∆xk
.... = so∆xk = −
f ( xk )
mk
Los cálculos de la figura Va, muestran que xk+1 puede obtenerse a partir de xk
como
f ( xk )
y
xk +1 = xk + ∆xk ,..donde..∆xk = −
= − k .....................(5b)
mk
mk
Un algoritmo para hallar raíces basado en (5b) es conocido como el método de
la pendiente
Método de Newton Raphson:
Si f(x) es diferenciable en xk , entonces el candidato natural para la pendiente
mk es
f ' ( xk ) = mtan ( xk ), la pendiente de la tangente en Pk(xk, yk)
tomando mk en (bb) como f’(xk) se llega ala formula iterativa para el Método de
f ( xk )
Newton-Raphson: xk +1 = xk + ∆xk ,..donde..∆xk =
f ' ( xk )
EJEMPLO
Considere el problema de hallar la nesima raíz de un numero positivo dado “c”
a) ¿Como puede usarse un método para hallar raíces para encontrar n c , ?
muestre para el método de Newton- Raphson.
Solución.- podemos obtener n c hallando la única solución positiva de la
ecuación
n
c = x,......tenemos..que..c = x n ..o,..lo..que..equivale,..x n − c = 0
Así, n c es una raíz de f(x)= xn – c . Puesto que f’(x) = nxn-1 la iteración de
Newton-Raphson es.
n
−c
xk +1 = xk + ∆xk ,.donde...∆xk = x k n −1 .............(5c)
nxk
para el problema de hallar la raíz cuadrada de c (n = 2), (5c) se convierte en
c − xk2
xk +1 = xk + ∆xk ..donde...∆xk =
2 xk
tomando c = 78.8 y el valor inicial x0 = 14 (deliberadamente malo) resulta
∆x0 =
78.8 − 142
=&−4.185714;...asi..que...x1 = 14 − 4.185714 = 9.814286
2(14)
∆x1 =
78.8 − x12
=&−0.892587;..asi...que...x2 = 9.814286 − 0.892587 = 8.921699
2 x1
∆x2 =
78.8 − x22
=&−0.044650;..asi...que..x3 = 8.921699 − 0.044650 = 8.877049
2 x2
78.8 − x32
= −0.000113;...asi...que...x4 = 8.877049 − 0.000113 = 8.876936
2 x3
El rápido crecimiento en el numero de ceros principales en ∆x1, ∆x2, ∆x3
sugiere convergencia superlineal .
∆x3 =
Teorema de convergencia de Newton-Raphson. Si x es una raíz no repetida de
f y f’’’ es continua entorna de x, entonces, las iteraciones de Newton-Raphson
convergen cuadraticamente a x , siempre que x0 este suficientemente cerca de
x.
La rápida convergencia de Newton-Raphson a una raíz no repetida se muestra
en la siguiente grafica (5e), la cual muestra por que el método de NewtonRaphson es a veces llamado método de olas tangentes.
P0 (X0, Y0)
Linea tangente en P0
Pendiente = f’(x0)
Y = f(x)
X3 x2 x1
X0 (estimación inicial) x
Pendiente = f’(x)
P2
P1
VII.23.- Introducción.
Se tiene que construir una hoja de techo corrugado usando una máquina que
comprime una hoja plana de aluminio convirtiéndola en una en una cuya
sección transversal tiene la forma de una onda de la función seno.
Supongamos que necesita una hoja corrugada de cuatro pies de longitud , que
cada onda tiene una altura de una pulgada desde la línea central y cada onda
tiene un periodo de aproximadamente 2π pulgadas. El problema de encontrar
la longitud de la hoja plana inicial consiste en determinar la longitud de arco de
la curva dada por f(x) = sen x , de x = 0 a x = 48 (pulgadas). Sabemos, del
calculo, que esta longitud se puede expresar como:
2
48
 df ( x ) 
L = ∫ 1+ 
dx = ∫ 1 + (cos x) 2 dx,

0
0
 dx 
así que el problema se reduce a evaluar esta integral. Aun cuando la función
seno es una de las matemáticas mas comunes, el cálculo de su longitud de
arco da lugar a la llamada integral elíptica de segunda clase, que no se puede
evaluar usando métodos ordinarios.
Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una
función
que no tiene una antiderivada explícita o cuya antiderivada tiene valores que
no son fácilmente obtenibles.
48
VII.24.- El método básico involucrado para aproximar
∫
b
a
f ( x) dx , se conoce como
“cuadratura numérica” y usa una suma del tipo de
n
∑ a f ( x ) , para aproximar ∫
i
i =0
i
b
a
f ( x) dx .
Los métodos de cuadratura que discutiremos en esta sección se basan en los
polinomios
interpolantes de; Taylor, Lagrange, etc. Para comenzar, primero seleccionamos
un conjunto de nodos distintos {x0, .....,xn} de un intervalo a [a, b]. Si Pn es el
polinomio interpolante
de Lagrange
n
Pn( x) = ∑ f ( xi ) Li ( x),
i =0
Integrando, Pn y su termino de error de truncamiento sobre [a, b] para obtener
la formula de cuadratura.
( n +1)
b
b n
b n
∫ (ξ ( x)) dx
=
+
−
(
)
(
)
(
)
(
)
f
x
dx
f
x
L
x
dx
x
x
i
i
i
∫a
∫a ∑
∫a ∏
(n + 1)!
i =0
i =0
b n
1
( x − xi ) ∫ ( x +1) (ξ ( x ))dx,
∏
∫
a
(
n
+
1
)!
i =0
i =0
donde..ξ ( x)..esta..en..[ a, b].. para..cada..x.. y
n
............... = ∑ ai f ( xi ) +
b
ai = ∫ Li ( x) dx,.... para..cada..i = 0,1,...., n.
a
INTEGRACIÓN CONCEPTUAL: (El Titular Académico, conocerá las
respuestas). La relación ideal entre lo abstracto de los sistemas numéricos y
los sistemas de cómputo y lo práctico de las aplicaciones de esos conceptos a
problemas tangibles y relevantes de la vida cotidiana.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------REPORTES CRÍTICOS O SUGERENTES A: Ing. Manuel de Jesús Valdez
Acosta, Secretario General. Universidad Autónoma Indígena de México (Correo
electrónico ingvaldez@uaim.edu.mx ); MC Ernesto Guerra García,
Coordinador General Educativo. (Correo electrónico: eguerra@uaim.edu.mx )
Benito Juárez No. 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa, México. C.P. 81890, Tel.
01 (698) 8 92 00 42.
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