40.1 Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck

40.1 Radiación de cuerpo
negro e hipótesis de
Planck
40.2 Efecto fotoeléctrico
40.3 Efecto Compton
40.4 Fotones y ondas
electromagnéticas
40.5 Propiedades
ondulatorias de las
partículas
40.6 Partícula cuántica
40.7 Revisión del
experimento de doble
rejilla
40.8 El principio de
incertidumbre
El filamento de este foco brilla con un resplandor anaranjado. ¿A qué se
debe esto? La física clásica no es capaz de explicar la distribución
de la longitud de onda de la radiación electromagnética emitida por un
objeto caliente que se observa en experimentos. En el año 1900 se
propuso una teoría que describe la radiación emitida por dichos objetos,
y que se considera el amanecer de la física cuántica. (Imágenes de Steve
Cole/Getty)
40
Introducción a la física cuántica
En el capítulo 39 vió la necesidad de reemplazar la mecánica newtoniana por la teoría especial de la relatividad de Einstein, al trabajar con magnitudes de velocidad de partícula
cercanas a la rapidez de la luz. Conforme avanzaba el siglo xx, muchos problemas experimentales y teóricos fueron resueltos aplicando la teoría especial de la relatividad. Sin
embargo, existían muchos otros problemas, a los cuales ni la relatividad ni la física clásica
podían ofrecer una respuesta teórica. Todos los intentos de aplicar las leyes de la física
clásica para explicar el comportamiento de la materia a escala atómica fueron invariablemente infructuosos. Por ejemplo, las longitudes de onda de luz discretas emitidas por los
átomos de un gas a temperatura alta no podían ser explicadas dentro de la estructura de
la física clásica.
Mientras los físicos buscaban nuevos métodos para resolver estos enigmas, entre 1900 y
1930 se produjo otra revolución en la física. Una nueva teoría, llamada mecánica cuántica,
explicaba con gran éxito el comportamiento de partículas de tamaño microscópico. Al
igual que la teoría especial de la relatividad, la teoría cuántica requiere una modificación
de las ideas de la humanidad respecto al mundo físico.
La primera explicación de un fenómeno que aplica la teoría cuántica fue presentada
por Max Planck. Diversos desarrollos matemáticos e interpretaciones consecutivas fueron
realizados por otros físicos distinguidos, entre los que se cuenta a Einstein, Bohr, De Broglie,
Schrödinger y Heisenberg. A pesar del gran éxito de la teoría cuántica, Einstein fue con
frecuencia muy crítico, en especial respecto a la manera en que era interpretada.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 40.1
Espere ser desafiado
Si las explicaciones de la física
cuántica en este y capítulos
subsecuentes le parecen
extraños y confusos, se debe a
que toda su vida ha transcurrido
en el mundo macroscópico,
donde los efectos cuánticos no
son evidentes.
1153
1154
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
En vista de que un estudio extenso de la teoría cuántica está fuera del alcance y los
propósitos de este libro, este capítulo simplemente es una introducción a sus principios
fundamentales.
40.1
Corbis.
Figura 40.1 La abertura hacia
la cavidad en el interior de un
objeto hueco es una buena
aproximación de lo que es un
cuerpo negro. La luz penetra por
el pequeño orificio e incide sobre
las paredes interiores, donde
una parte es absorbida y otra es
reflejada en ángulos aleatorios.
Las paredes de la cavidad
vuelven a radiar con longitudes
de onda correspondientes a su
temperatura, produciendo ondas
estacionarias dentro de la cavidad.
Parte de la energía a causa de
estas ondas estacionarias puede
abandonar la cavidad a través del
orificio.
Figura 40.2 El resplandor que
emana de los espacios entre estas
briquetas de carbón ardientes
es una buena aproximación a la
radiación de un cuerpo negro. El
color de la luz sólo depende de la
temperatura de las briquetas.
Radiación de cuerpo negro
e hipótesis de Planck
Un objeto a cualquier temperatura emite ondas electromagnéticas en la forma de radiación térmica desde las superficie, como se explicó en la sección 20.7. Las características
de esta radiación dependen de la temperatura y de las propiedades de la superficie del
objeto. Estudios cuidadosos muestran que la radiación consiste en una distribución de
longitudes de onda continuas desde todas las partes del espectro electromagnético. Si el
objeto se encuentra a temperatura ambiente, la radiación térmica tendrá longitudes de
onda principalmente en la región infrarroja y, por esto, no podrá ser detectada a simple
vista. Conforme aumenta la temperatura superficial del objeto, llegará un momento en
que éste comenzará a resplandecer con un color rojo visible. A temperaturas suficientemente altas, el objeto resplandeciente parece blanco, como en el caso del filamento
caliente de tungsteno de un foco.
Desde un punto de vista clásico, la radiación térmica tiene su origen a causa de las partículas con carga y aceleradas en los átomos que están cerca de la superficie del objeto;
estas partículas con carga emiten abundante radiación como lo hacen pequeñas antenas. Las
partículas agitadas térmicamente tienen una distribución de energía que explica el espectro
continuo de radiación emitido por el objeto. Sin embargo, hacia finales del siglo xix, fue
evidente que la teoría clásica de la radiación térmica era inadecuada. El problema básico
era comprender la distribución observada de longitudes de onda de la radiación emitida
por un cuerpo negro. Como se definió en la sección 20.7, un cuerpo negro es un sistema ideal
que absorbe toda radiación incidente. La radiación electromagnética emitida por un cuerpo
negro se conoce como radiación de cuerpo negro.
Una buena aproximación a un cuerpo negro es un orificio pequeño que conduce al
interior de un objeto hueco, como se muestra en la figura 40.1. Toda la radiación que
incide en el orificio desde el exterior de la cavidad penetra en la abertura y es reflejada
varias veces por las paredes internas de la cavidad, por esto, el orificio funciona como un
absorbente perfecto. La naturaleza de la radiación que abandona la cavidad a través del
orificio depende sólo de la temperatura de las paredes de la cavidad y no del material
del que las paredes están fabricadas. Los espacios entre carbones ardientes (figura 40.2)
emiten una luz que es muy similar a la radiación de un cuerpo negro.
La radiación emitida por los osciladores en las paredes de la cavidad experimenta
condiciones de frontera. Como la radiación se refleja desde las paredes de la cavidad, se
establecen ondas electromagnéticas estacionarias dentro del espacio tridimensional en el
interior de la cavidad. Existen muchos modos de onda estacionaria posibles, y la distribución de la energía dentro de la cavidad entre estos diferentes modos determina la distribución de longitudes de onda de la radiación que sale de la cavidad a través del orificio.
La distribución de las longitudes de onda de la radiación desde las cavidades fue estudiada experimentalmente a finales del siglo xix. La figura 40.3 muestra cómo varía
la intensidad de la radiación de un cuerpo negro en relación con la temperatura y la
longitud de onda. Los dos descubrimientos experimentales siguientes se consideraron
especialmente significativos:
1. La potencia total de la radiación emitida aumenta con la temperatura. Este comportamiento se explicó brevemente en el capítulo 20, cuando se presentó la ley de Stefan,
Ley de Stefan
sAeT 4
(40.1)
donde es la potencia en watts radiada en todas las longitudes de onda desde la superficie de un objeto, s es la constante Stefan-Boltzmann, igual a 5.670 1028 W/m2 ! K4,
A es el área de la superficie del objeto en metros cuadrados, e es la emisividad de la
superficie y T es la temperatura de la superficie en grados kelvin. En el caso de un
cuerpo negro, el valor de emisividad es exactamente e " 1.
Sección 40.1
1155
Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
2. El pico de la distribución de la longitud de onda se desplaza hacia longitudes de onda
más cortas conforme aumenta la temperatura. Este comportamiento se describe mediante la correspondencia siguiente, conocida como ley de desplazamiento de Wien:
l máxT
2.898
10
3
m#K
(40.2)
!
donde lmáx es la longitud de onda en la que el máximo de la curva y T es la temperatura absoluta de la superficie del objeto que emite la radiación. La longitud de
onda en el pico de la curva es inversamente proporcional a la temperatura absoluta;
es decir, conforme la temperatura aumenta, el pico se “desplaza” hacia longitudes
de onda más cortas (figura 40.3).
Pregunta rápida 40.1 La figura 40.4 muestra dos estrellas en la constelación de Orión. Betelgeuse emite un resplandor rojo, en tanto que Rigel tiene un color azul. ¿Cuál de las estrellas
tiene una temperatura superficial más elevada? a) Betelgeuse, b) Rigel, c) ambas poseen la
misma temperatura superficial, o d) imposible de determinar.
John Chumck/Photo Researchers, Inc.
Betelgeuse
Rigel
Figura 40.4 (Pregunta rápida 40.1)
¿Cuál de estas estrellas está más
caliente?
Una teoría adecuada para la radiación de cuerpo negro debe predecir la forma de las
curvas de la figura 40.3, la dependencia con la temperatura expresada en la ley de Stefan y
el corrimiento del pico en función de la temperatura descrito por la ley de desplazamiento
de Wien. Los primeros intentos que utilizaron ideas clásicas para explicar las formas de
estas curvas de la figura 40.3 fallaron.
Considere uno de estos primeros intentos. Para describir la distribución de la energía de
un cuerpo negro, resulta útil definir I(l, T )dl como la intensidad o la potencia por unidad
de área emitida en el intervalo de longitud de onda dl. El resultado del cálculo según la
teoría clásica de la radiación de un cuerpo negro, conocido como ley de Rayleigh-Jeans es
2pck BT
(40.3)
I 1l,T 2
l4
donde kB es la constante de Boltzmann. El cuerpo negro se representa como un orificio
que conduce a una cavidad que contiene muchos modos de oscilación del campo electromagnético causados por cargas aceleradas en las paredes de la cavidad, lo que da como
resultado la emisión de ondas electromagnéticas en todas las longitudes de onda. En la
teoría clásica empleada para deducir la ecuación 40.3, la energía promedio de cada longitud de onda de los modos de ondas estacionarias se supone proporcional a kBT, en función
del teorema de equipartición de la energía explicado en la sección 21.1.
Intensidad
La ley de desplazamiento de Wien coincide con el comportamiento del objeto mencionado al principio de esta sección. A temperatura ambiente, no parece resplandecer porque
el pico está en la región infrarroja del espectro electromagnético. A una temperatura más
elevada, resplandece con un color rojo debido a que el pico está en la cercanía infrarroja,
con alguna radiación en el extremo rojo del espectro visible y a temperaturas aún mayores
resplandece blanco porque el pico está en el intervalo visible, así que todos los colores son
emitidos.
Ley de desplazamiento
de Wien
4000 K
3000 K
2000 K
0
1
2
3
4
Longitud de onda (mm)
Figura 40.3
Intensidad de la radiación de
un cuerpo negro en función
de la longitud de onda en tres
temperaturas diferentes. La
radiación emitida (área bajo una
curva) aumenta al incrementarse
la temperatura. El intervalo visible
de longitudes de onda está entre
0.4 mm y 0.7 mm, por lo que la
curva de 4000 K presenta un
pico que está cerca del intervalo
visible y representa un objeto
que resplandecería con un
color blanco amarillento. A la
temperatura de aproximadamente
6000 K, el pico aparece en el
centro de las longitudes de onda
visibles y el objeto parece blanco.
!
Ley de Rayleigh-Jeans
1156
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
Intensidad
Teoría clásica
Datos
experimentales
Longitud de onda
Figura 40.5 Comparación de
los resultados experimentales
con la curva que establece la ley
Rayleigh-Jeans para la distribución
de la radiación de un cuerpo
negro.
En la figura 40.5 aparece una curva experimental del espectro de radiación de un
cuerpo negro, junto con la predicción teórica de la ley de Rayleigh-Jeans. En el caso de
longitudes de onda largas, la ley de Rayleigh-Jeans coincide razonablemente con la información experimental, pero en longitudes de onda cortas la diferencia es apreciable.
Observe que conforme l se aproxima a cero, la función I(l, T) dada por la ecuación
40.3 tiende al infinito. Por esto, de acuerdo con la teoría clásica, no sólo deben predominar las longitudes de onda corta en el espectro de un cuerpo negro, sino que también la
energía emitida por cualquier cuerpo negro debe tender al infinito en el límite de una
longitud de onda cero. En contraste con esta predicción, los datos experimentales graficados en la figura 40.5 muestran que, conforme l se aproxima a cero, I(l, T) también
se aproxima a cero. Esta falta de coincidencia entre teoría y experimentación, resultaba
tan desconcertante que los científicos le dieron el nombre de catástrofe ultravioleta. (Esta
“catástrofe” —energía infinita— se presenta conforme la longitud de onda se aproxima a
cero; se le añadió la palabra “ultravioleta” porque las ondas ultravioleta son cortas.)
En el año 1900, Max Planck desarrolló una teoría para la radiación de un cuerpo negro
que conduce a una ecuación para I(l, T ) que está en total acuerdo con los resultados experimentales a todas las longitudes de onda. Planck supuso que la radiación de la cavidad
llega a causa de osciladores atómicos en las paredes de la cavidad de la figura 40.1. Planck
formuló dos atrevidas y controvertidas hipótesis respecto a la naturaleza de los osciladores
en las paredes de la cavidad:
J La energía de un oscilador sólo puede tener ciertos valores discretos E n :
En
nhf
(40.4)
1
© Bettmann/CORBIS.
donde n es un entero positivo conocido como número cuántico, f es la frecuencia
de la oscilación y h es un parámetro introducido por Planck y que hoy se conoce como
la constante de Planck. Porque la energía de cada oscilador sólo puede tener valores
discretos conocidos por la ecuación 40.4, se dice que la energía está cuantizada. Cada
uno de los valores discretos de energía corresponde a un estado cuántico diferente,
representado por el número cuántico n. Cuando el oscilador se encuentra en el estado
cuántico n " 1, su energía es igual a hf ; cuando se encuentra en el estado cuántico n " 2,
la energía es igual a 2hf ; y así sucesivamente.
J Los osciladores emiten o absorben energía cuando realizan una transición de un
estado cuántico a otro. Toda la diferencia de energía entre los estados inicial y final
de la transición es emitida o absorbida como un solo cuanto de radiación. Si la
transición es a causa de un estado a otro inmediatamente inferior, por ejemplo, del
estado n " 3 al estado n " 2, la ecuación 40.4 muestra que la cantidad de energía
emitida por el oscilador es igual a
MAX PLANCK
Físico alemán (1858-1947)
Planck introdujo el concepto de “cuanto
de acción” (la constante de Planck, h) en
un intento por explicar la distribución espectral de la radiación de un cuerpo negro,
concepto que estableció los cimientos de
la teoría cuántica. En 1918 se le otorgó el
premio Nobel, por ser el descubridor de la
naturaleza cuantizada de la energía.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 40.2
De nuevo n es un entero
En los capítulos anteriores
sobre óptica, se utilizó el
símbolo n como índice de
refracción, el cual no era un
número entero. Aquí se utiliza
otra vez n como en el capítulo
18, para indicar el modo de
onda estacionaria presente en
una cuerda o en una columna
de aire. En la física cuántica n
se utiliza a menudo como un
número cuántico entero para
identificar el estado cuántico
particular de un sistema.
E
hf
(40.5)
Un oscilador emite o absorbe energía sólo cuando cambia de estado cuántico. Si permanece en un mismo estado cuántico, no existe emisión o absorción de energía. La figura
40.6 es un diagrama de nivel de energía que muestra los niveles cuantizados de energía y las
transiciones posibles, según la propuesta de Planck. Esta es una representación semigráfica
de importancia, que es utilizada a menudo en la física cuántica.2 El eje vertical es lineal
respecto a la energía, y los niveles de energía permitidos están representados por líneas
horizontales. El sistema cuantizado sólo puede tener representadas energías mediante
líneas horizontales.
El punto clave en la teoría de Planck es la hipótesis radical de los estados cuantizados
de la energía. Este desarrollo representó una clara separación de la física clásica y marcó
el nacimiento de la teoría cuántica.
En el modelo de Rayleigh-Jeans, la energía promedio asociada con una longitud de
onda específica de las ondas estacionarias existentes en la cavidad es la misma para todas
las longitudes de onda y es igual a kBT. Planck utilizó las mismas ideas clásicas que en el
modelo de Rayleigh-Jeans para llegar con la densidad de energía para una longitud de
1
Un número cuántico por lo general es un número entero (aunque pueden presentarse números cuánticos
de medio entero) que describe un estado permitido en un sistema, como por ejemplo los valores de n,
que describen los modos normales de oscilación de una cuerda fija en ambos extremos, como se explicó
en la sección 18.3.
2
En la sección 21.4, aparece por primera vez un diagrama de niveles de energía.
Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
onda determinada como un producto de valores constantes y la energía promedio, pero
la energía promedio no se proporciona por el teorema de equipartición. La energía promedio de una onda es la diferencia de energía promedio entre los niveles del oscilador,
ponderados de acuerdo con la probabilidad de la onda que se está emitiendo. Esta ponderación
a partir de la ocupación de estados de energía más elevada, como se describe en la ley
de distribución de Boltzmann, se explicó en la sección 21.5. De acuerdo con esta ley, la
probabilidad de que un estado esté ocupado es proporcional al factor e2E/kBT, donde E es
la energía del estado.
A frecuencias bajas, los niveles de energía están más cerca, como se observa a la derecha
de la figura 40.7, y la mayoría de los estados de energía están excitados porque el factor de
Boltzmann e2E/kBT es relativamente grande para estos estados. Por lo tanto, existen muchas
contribuciones a la radiación de salida, si bien cada contribución tiene muy poca energía.
Considere ahora una radiación de alta frecuencia, esto es, una radiación con longitud
de onda corta. Para obtener esta radiación, las energías permitidas están muy separadas,
como se ve a la izquierda de la figura 40.7. La probabilidad de que una agitación térmica
excite estos altos niveles de energía es pequeña, debido a que para valores grandes de E
el valor del factor de Boltzmann es pequeño. A frecuencias altas, la baja probabilidad de
excitación da como resultado una muy pequeña contribución a la energía total, a pesar
de que cada cuanto tiene una gran energía. Esta baja probabilidad “invierte la curva” y la
lleva a cero una vez más en longitudes de onda corta.
Utilizando este procedimiento, Planck generó una expresión teórica para la distribución de la longitud de onda que coincide notablemente con las curvas experimentales de
la figura 40.3:
I 1l,T 2
2phc 2
l5 1e hc>lkBT
12
(40.6)
6.626
10
34
J#s
Intensidad
Longitud
de onda
En longitudes
de onda larga:
• gran separación
de energía
• poca separación
de energía
• baja probabilidad de que
ocurran esados excitados
• alta probabilidad de que
ocurran estados excitados
• pocas transiciones descendentes
• muchas transiciones
descendentes
2
n
1
ENERGíA
ENERGÍA
n
n
4
3hf
3
2hf
2
hf
1
0
0
!
Función de distribución
de las longitudes de
onda de Planck
!
Constante de Planck
(40.7)
En longitudes de onda largas, la ecuación 40.6 se reduce a la expresión de RayleighJeans, ecuación 40.3 (véase el problema 13), y a longitudes de onda cortas predice una
reducción exponencial en I(l, T ) al disminuir la longitud de onda, que concuerda con
los resultados experimentales.
Cuando Planck presentó su teoría, la mayoría de los científicos (¡Planck incluido!) no
consideró la idea del cuanto como realista. Creyeron que se trataba de un truco matemático que casualmente daba los resultados correctos. En consecuencia, Planck y los demás
En longitudes
de onda corta:
E
4hf
Figura 40.6 Niveles de energía
permitidos para un oscilador
con frecuencia f. Las transiciones
permitidas se indican mediante
flechas de doble punta.
Esta función incluye el parámetro h que Planck ajustó de manera que su curva coincidiera con la información experimental en todas las longitudes de onda. Se determinó que
este parámetro es independiente del material con el cual está hecho el cuerpo negro e independiente de la temperatura; se trata de una constante fundamental de la naturaleza. El
valor de h, la constante de Planck, que se introdujo por primera vez en el capítulo 35, es
h
1157
Hacia n 5 ∞
ENERGÍA
Sección 40.1
n
n
n
n
n
n
n
7
6
5
4
3
2
1
Figura 40.7
En el modelo de Planck, la
energía promedio asociada con
una longitud de onda particular
es el producto de la energía de
una transición y de un factor
relacionado con la probabilidad
de que ocurra dicha transición.
Conforme los niveles de energía
se separan con longitudes de
onda más cortas (mayor energía),
la probabilidad de excitación
disminuye, al igual que la
probabilidad de una transición
desde el estado de excitación.
1158
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
Figura 40.8 Un termómetro
ótico mide la temperatura de un
paciente al detectar la intensidad
de la radiación infrarroja emitida
por el tímpano.
continuaron buscando una explicación más “racional” de la radiación de los cuerpos negros. Sin embargo, desarrollos posteriores demostraron que una teoría según el concepto
del cuanto (antes que en conceptos clásicos) tendría que ser utilizada para explicar no
solamente la radiación de cuerpo negro sino también para explicar varios fenómenos más
a nivel atómico.
En 1905, Einstein volvió a deducir los resultados de Planck al suponer que las oscilaciones de la cavidad del campo electromagnético estaban cuantizadas. En otras palabras,
propuso que la cuantización es una propiedad fundamental de la luz y de otras radiaciones
electromagnéticas. Esto condujo al concepto de fotones, como se explicó en la sección
40.2. Un factor crítico para el éxito de la teoría cuántica o de los fotones es la relación
entre la energía y la frecuencia, que fracasó completamente en predecir la teoría clásica.
Es posible que un doctor en su consultorio mida la temperatura corporal con un termómetro ótico, el cual lee la temperatura en cuestión de segundos (figura 40.8). Este tipo
de termómetro mide la cantidad de radiación infrarroja emitida por el tímpano. Después
convierte la radiación en una lectura de temperatura. Este termómetro es muy sensible
porque en la ley de Stefan la temperatura aparece elevada a la cuarta potencia. Suponga
que tiene una temperatura de 1!C por encima de lo normal. Ya que las temperaturas
absolutas se determinan agregando 273 a las temperaturas Celsius, la relación de su temperatura febril con la temperatura normal de su cuerpo de 37!C es igual a
Tfiebre
Tnormal
38°C
37°C
273°C
273°C
1.003 2
Esto representa sólo un incremento de temperatura de 0.32%. De cualquier modo, el
incremento en energía radiada es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura,
así que
fiebre
normal
a
273°C 4
b
273°C
38°C
37°C
1.013
Esto representa un incremento de 1.3% en energía radiada, que es fácilmente medida por
los modernos sensores de radiación infrarroja.
EJEMPLO 40.1
Radiación térmica de diferentes objetos
A) Encuentre la longitud de onda máxima de la radiación de cuerpo negro emitida por el cuerpo humano cuando la
temperatura de la piel es de 35°C.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Desde la superficie de cualquier objeto se emite radiación térmica. La longitud de onda máxima se relaciona con la temperatura superficial a través de la ley de desplazamiento de Wien (ecuación 40.2).
Categorizar Los resultados se evalúan con una ecuación desarrollada en esta sección, así que este ejemplo se clasifica
como un problema de sustitución.
Resuelva la ecuación 40.2 para lmáx:
Sustituya la temperatura superficial:
1)
l máx
l máx
2.898
2.898
10
T
10 3 m # K
308 K
3
m#K
9.4 mm
Dicha radiación está en la región infrarroja del espectro y es invisible al ojo humano. Algunos animales (como las serpientes,
por ejemplo) son capaces de detectar radiación de esta longitud de onda y por lo tanto localizar presas de sangre caliente
incluso en la oscuridad.
B) Encuentre la longitud de onda máxima de la radiación de cuerpo negro emitida por el filamento de tungsteno de un
foco, que opera a 2000 K.
Sección 40.1
SOLUCIÓN
Sustituya la temperatura del filamento en la ecuación 1):
1159
Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
l máx
2.898
10 3 m # K
2000 K
1.4 mm
Esta radiación también está en el infrarrojo, lo que significa que la mayor parte de la energía emitida por un foco no es
visible para los humanos.
C) Encuentre la longitud de onda máxima de la radiación de cuerpo negro emitida por el Sol, que tiene una temperatura
superficial de aproximadamente 5800 K.
SOLUCIÓN
Sustituya la temperatura superficial en la ecuación 1):
2.898
l máx
10 3 m # K
5800 K
0.50 mm
Esta radiación está cerca del centro del espectro visible, cerca del color de una pelota de tenis amarillo verdosa. Porque es
el color más frecuente en la luz solar, los ojos humanos evolucionaron para ser más sensibles a la luz de aproximadamente
esta longitud de onda.
EJEMPLO 40.2
El oscilador cuantizado
Un bloque de 2.0 kg se une a un resorte sin masa que tiene una constante de fuerza de k
0.40 m desde su posición de equilibrio y se libera desde el reposo.
25 N/m. El resorte se estira
A) Encuentre la energía total del sistema y la frecuencia de oscilación de acuerdo con cálculos clásicos.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Los detalles del movimiento del bloque se comprenden a partir del estudio del movimiento armónico
simple del capítulo 15.
Categorizar La frase “de acuerdo con cálculos clásicos” pide clasificar esta parte del problema como un análisis clásico del
oscilador. El bloque se modela como una partícula en movimiento armónico simple.
Analizar En términos de la manera en que el bloque se pone en movimiento, su amplitud es de 0.40 m.
Evalúe la energía total del sistema bloque-resorte con la ecuación 15.21:
E
Evalúe la frecuencia de oscilación a partir de la ecuación
15.14:
f
1
2 125
1
2
2 kA
1
k
2p B m
N>m2 10.40 m2 2
25 N>m
1
2p B 2.0 kg
2.0 J
0.56 Hz
B) Si supone que la energía del oscilador está cuantizada, encuentre el número cuántico n para el sistema que oscila con
esta amplitud.
SOLUCIÓN
Categorizar Esta parte del problema se clasifica como un análisis cuántico del oscilador. El sistema bloque-resorte se
modela como un oscilador de Planck:
Analizar Resuelva la ecuación 40.4 para el número cuántico n:
Sustituya valores numéricos:
n
n
16.626
2.0 J
10
34
En
hf
J # s 2 10.56 Hz2
5.4
1033
Finalizar Note que 5.4 " 1033 es un número cuántico muy grande, que es representativo para sistemas macroscópicos. A
continuación se exploran los cambios entre estados cuánticos para el oscilador.
1160
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
¿Qué pasaría si? Suponga que el oscilador realiza una transición desde el estado n 5.4 " 1033 hasta el estado que corresponde a n 5.4 " 1033 2 1. ¿En cuánto cambia la energía del oscilador en este cambio de un cuanto?
Respuesta A partir de la ecuación 40.5, la energía retirada debido a la transición entre estados que difieren en n por 1 es
E
hf
16.626
10
34
J # s2 10.56 Hz2
3.7
10
34
J
Este cambio de energía debido a un cambio de un cuanto es fraccionalmente igual a 3.7 " 10234 J/2.0 J, ¡o en el orden
de una parte en 1034! Esta es una fracción tan pequeña de la energía total del oscilador que no se puede detectar. Por lo
tanto, aun cuando la energía de un sistema bloque-resorte macroscópico esté cuantizada y de hecho disminuya mediante
pequeños saltos cuánticos, los sentidos humanos perciben la disminución como continua. Los efectos cuánticos se vuelven
importantes y detectables sólo a nivel submicroscópico de átomos y moléculas.
Fotoelectrones
C
E
Luz
A
V
Suministro variable
de energía
Figura 40.9
Diagrama del circuito para
estudiar el efecto fotoeléctrico.
Cuando la luz incide sobre la
placa E (emisor), se expulsan fotoelectrones de ella. Los electrones que se desplazan de la placa E
a la placa C (colector) constituyen
una corriente en el circuito.
Corriente
Intensidad alta
Intensidad baja
2# Vs
Voltaje aplicado
Figura 40.10
Corriente fotoeléctrica en función
de la diferencia de potencial
aplicada a dos intensidades de luz.
La corriente aumenta al
incrementar la intensidad, pero
con valores altos de #V llega a un
nivel de saturación. Con voltajes
iguales o más negativos que 2#Vs,
en donde #Vs es el potencial de
frenado, la corriente es igual a
cero.
40.2
Efecto fotoeléctrico
El primer fenómeno explicado a partir del modelo cuántico fue la radiación de cuerpo
negro. A finales del siglo xix, mientras se recolectaba información sobre la radiación térmica, algunos experimentos demostraron que una luz incidente sobre ciertas superficies
metálicas provoca la emisión de electrones de esas superficies. Este fenómeno, explicado
por primera vez en la sección 35.1, se conoce como efecto fotoeléctrico, y los electrones
emitidos se conocen como fotoelectrones.3
La figura 40.9 es un diagrama de un aparato diseñado para el estudio del efecto fotoeléctrico. Un tubo de vidrio o de cuarzo al vacío contiene una placa metálica E (emisor)
conectada a la terminal negativa de una batería, y otra placa metálica C (colector) conectada a la terminal positiva de la batería. Cuando el tubo se conserva en la oscuridad, el
amperímetro lee cero, lo que indica que no hay corriente en el circuito. Sin embargo,
cuando se ilumina la placa E mediante luz con una longitud de onda apropiada, el amperímetro detecta una corriente, lo cual indica que existe un flujo de cargas a través del
espacio entre las placas E y C. Esta corriente surge a causa de los fotoelectrones emitidos
por la placa E y recolectados en la placa C.
La figura 40.10 es un diagrama de la corriente fotoeléctrica en función de la diferencia
de potencial #V aplicada entre las placas E y C para dos intensidades de luz. Con valores
grandes de #V, la corriente alcanza un valor máximo; todos los electrones emitidos por
E son recolectados en C, y la corriente no puede aumentar más. Además, la corriente
máxima aumenta conforme se incrementa la intensidad de la luz incidente, como podría
esperarse, ya que una luz de mayor intensidad emite mayor cantidad de electrones. Por
último, cuando #V es negativo, es decir, cuando se invierte la batería del circuito haciendo
que la placa E sea positiva y la placa C negativa, la corriente cae porque muchos de los
fotoelectrones emitidos por E son repelidos por la placa C, que ahora es negativa. En esta
situación, sólo aquellos fotoelectrones que tengan una energía cinética mayor que e |#V |
llegan a la placa C, en donde e es la magnitud de la carga del electrón. Cuando #V es igual
o más negativo que 2#Vs, siendo #Vs el potencial de frenado, ningún fotoelectrón llega a
C, con lo cual la corriente es igual a cero.
Considere que la combinación del campo eléctrico entre las placas y un electrón expulsado de la placa E es un sistema aislado. Suponga que este electrón se detiene justo
cuando llega a la placa C. Porque es un sistema aislado, deberá conservarse la energía
mecánica total del sistema:
K1
U1
K2
U2
donde la configuración 1 se refiere al instante en que el electrón abandona el metal con
una energía cinética K1 y la configuración 2 al momento en que el electrón se frena, justo
antes de tocar la placa C. Si define igual a cero la energía potencial eléctrica del sistema
en la configuración 1, tiene
K1
3
0
0
1 e2 1 ¢V 2
Los fotoelectrones no son diferentes de otros electrones. Se les ha dado este nombre únicamente porque
han sido emitidos de un metal por luz debido al efecto fotoeléctrico.
Sección 40.2
Ahora, suponga que incrementa la diferencia de potencial #V en la dirección negativa,
justo hasta que la corriente es cero. En este caso, el electrón que se frena justo antes de
alcanzar la placa C tendrá la energía cinética máxima posible al abandonar la superficie
metálica, y #V será igual al potencial de frenado #Vs. En tal caso la ecuación anterior
puede escribirse como:
K máx
e¢Vs
(40.8)
Esta ecuación permitirá medir Kmáx en forma experimental, al determinar el voltaje #Vs,
en el cual la corriente disminuye hasta cero.
A continuación se mencionan varias características del efecto fotoeléctrico. Para cada
una se hace la comparación entre las predicciones realizadas con el método clásico, utilizando el modelo ondulatorio de la luz, y los resultados experimentales.
1. Dependencia de la energía cinética del fotoelectrón en relación con la intensidad
de la luz.
Predicción clásica: Los electrones absorben energía continuamente de las ondas electromagnéticas. Conforme aumenta la intensidad de la luz que incide sobre un metal,
se tranfiere energía al metal en una proporción considerable y los electrones se
expulsan con más energía cinética.
Resultado experimental: La energía cinética máxima de los fotoelectrones es independiente de la intensidad de la luz. Esto se muestra en la figura 40.10, en donde ambas
curvas llegan al valor cero para el mismo voltaje negativo. (De acuerdo con la ecuación 40.8, la energía cinética máxima es proporcional al potencial de frenado.)
2. Intervalo de tiempo entre la incidencia de la luz y la expulsión de los fotoelectrones.
Predicción clásica: A bajas intensidades de luz, debe transcurrir un intervalo de tiempo
medible entre el instante en que se enciende la luz y el momento en que el electrón es
expulsado del metal. Este intervalo de tiempo es necesario para que el electrón
absorba la radiación incidente antes de adquirir la energía suficiente para escapar
del metal.
Resultado experimental: Los electrones son emitidos de la superficie metálica casi de
manera instantánea (menos de 1029 s después de que se ilumina la superficie), incluso
con intensidades de luz muy bajas.
3. Dependencia de expulsión de electrones en relación con la frecuencia de la luz.
Predicción clásica: Los electrones se expulsan del metal con luz incidente de cualquier
frecuencia, siempre y cuando la intensidad sea lo suficientemente elevada, porque la
energía se transfiere al metal sin importar la frecuencia de la luz incidente.
Resultado experimental: No existe emisión de electrones si la frecuencia de la luz incidente disminuye por debajo de cierta frecuencia de corte ƒc , cuyo valor es característico del material iluminado. No existe expulsión de electrones por debajo de esta
frecuencia de corte, independiente de la intensidad de luz.
4. Dependencia de la energía cinética del fotoelectrón en relación con la frecuencia
de la luz.
Predicción clásica: No existe ninguna correspondencia entre la frecuencia de la luz y
la energía cinética del electrón. La energía cinética debe estar relacionada con la
intensidad de la luz.
Resultado experimental: La energía cinética máxima de los fotoelectrones aumenta al
incrementarse la frecuencia de la luz.
De estas características los resultados experimentales contradicen las cuatro predicciones clásicas. En 1905 Einstein aportó una explicación exitosa del efecto fotoeléctrico, en
el mismo año en que publicó su teoría especial de la relatividad. Como parte de su trabajo
general sobre la radiación electromagnética, por el cual recibió el premio Nobel en 1921,
Einstein amplió el concepto de cuantización de Planck a las ondas electromagnéticas,
como se mencionó en la sección 40.1. Supuso que la luz (o cualquier otra onda electromagnética) de frecuencia ƒ se puede considerar un flujo de cuantos, independientemente
de la fuente de la radiación. Hoy en día a esos cuantos les llamamos fotones. Cada fotón
tiene una energía E, dada por la ecuación 40.5, E hƒ, y se mueve en el vacío a la rapidez
de la luz c, donde c 3.00 " 108 m/s.
Efecto fotoeléctrico
1161
1162
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
Pregunta rápida 40.2 Cuando por la tarde usted se encuentra fuera de su casa, está expuesto a los cuatro siguientes tipos de radiaciones electromagnéticas: luz amarilla de los arbotantes
de luz de sodio de la calle, ondas de radio de una estación de radio AM, ondas de radio de una
estación de radio FM y microondas de la antena de un sistema de comunicaciones. Ordene de
menor a mayor estos tipos de ondas en función de su energía fotónica.
En el modelo de Einstein del efecto fotoeléctrico, un fotón de la luz incidente transfiere
toda su energía hƒ a un electrón particular en el metal. Debido a eso, la absorción de energía por parte de los electrones no es un proceso de absorción continuo, como se asumía
en el modelo ondulatorio, sino un proceso discontinuo en el cual la energía es entregada
a los electrones en paquetes discretos. La transferencia de energía se lleva a cabo mediante
un evento que incluye un fotón y un electrón.4
Los electrones expulsados de la superficie del metal y que no entran en colisión con
otros átomos del metal antes de escapar tienen una energía cinética máxima K máx. De
acuerdo con Einstein, la energía cinética máxima de estos electrones liberados es igual a
Ecuación del efecto
fotoeléctrico
K máx
hf
f
(40.9)
donde f se llama la función trabajo del metal. La función trabajo representa la energía mínima con la cual un electrón está unido en el metal y tiene un valor del orden de unos cuantos
electrón volts. La tabla 40.1 muestra las funciones de trabajo para diversos metales.
Es posible comprender la ecuación 40.9 si la reordena como sigue
K máx $ f
hf
En esta presentación la ecuación de Einstein es la ecuación 8.2 aplicada al sistema no
aislado del electrón y el metal. Kmáx es el cambio #K en la energía cinética del electrón,
suponiendo que parte del reposo; f es el cambio #U en energía potencial del sistema, si
define como cero la energía potencial cuando el electrón está incluido en el metal; y hƒ es
la transferencia de energía hacia el sistema debido a la radiación electromagnética.
Con el modelo fotónico de la luz es posible explicar las características observadas del
efecto fotoeléctrico que no eran posibles de comprender a partir de los conceptos clásicos:
1. Dependencia que tiene la energía cinética del fotoelectrón con la intensidad de la
luz.
La ecuación 40.9 muestra que K máx es independiente de la intensidad de la luz. La
energía cinética máxima de cualquier electrón individual, que es igual a hƒ 2 f,
depende sólo de la frecuencia de la luz y de la función trabajo. Si se duplica la intensidad de la luz, lo mismo pasa con la cantidad de fotones que llegan por unidad de
tiempo, lo que duplica la rapidez a la cual se emiten los fotoelectrones. De cualquier
modo la energía cinética máxima de cualquier fotoelectrón individual se conserva
sin intercambio de tiempo.
TABLA 40.1
Funciones trabajo de metales
seleccionados
Metal
Na
Al
Cu
Zn
Ag
Pt
Pb
Fe
f (eV)
2.46
4.08
4.70
4.31
4.73
6.35
4.14
4.50
Nota: Los valores son representativos
para los metales listados. Los valores
reales pueden variar dependiendo
de si el metal es un solo cristal o es
policristalino. Los valores también
dependen de la cara desde la cual
son expulsados los electrones de
los metales cristalinos. Además,
procedimientos experimentales
diferentes producen distintos
valores.
2. Intervalo entre la incidencia de la luz y la expulsión de fotoelectrones.
Una emisión casi instantánea de los electrones es consistente con el modelo fotónico
de la luz. La energía incidente se presenta en pequeños paquetes, y existe una interacción uno a uno entre fotones y electrones. Incluso si la luz incidente es de muy
baja intensidad, puede haber muy pocos fotones llegando por unidad de intervalo
de tiempo; no obstante, cada fotón tiene la energía suficiente como para expulsar de
inmediato un electrón.
3. Dependencia que tiene la expulsión de electrones con la frecuencia de la luz.
Porque el fotón debe tener una energía superior a la función trabajo f al expulsar
un electrón, el efecto fotoeléctrico no se observa abajo de cierta frecuencia de corte.
Si la energía de un fotón que está llegando no cumple este requisito, no será posible
la expulsión de ningún electrón de la superficie, sin importar el nivel de intensidad
luminosa.
4
En principio, es posible que dos fotones se combinen para entregar un electrón con sus energías combinadas. No obstante, esto es muy poco probable sin el auxilio de una elevada intensidad de radiación, que
sólo está disponible en láser muy potentes.
Sección 40.2
K máx
Metal 1
Metal 2
Metal 3
0
Efecto fotoeléctrico
1163
Figura 40.11
Gráfica de K máx de los fotoelectrones en función de la
frecuencia de la luz incidente, correspondiente a un
experimento representativo de efecto fotoeléctrico. Para
un metal dado los fotones que tengan una frecuencia
inferior a la frecuencia de corte no poseen suficiente
energía para expulsar un electrón de la superficie del
metal.
f
2 f1
2 f2
2 f3
4. Dependencia que tiene la energía cinética del fotoelectrón con la frecuencia de la luz.
Un fotón de frecuencia superior lleva más energía y debido a eso expulsa un fotoelectrón de energía más elevada que un fotón de frecuencia inferior.
El modelo de Einstein anticipa una correspondencia lineal (ecuación 40.9) entre la
energía cinética máxima del electrón K máx y la frecuencia de la luz ƒ. Una comprobación
definitiva de la teoría de Einstein sería observar experimentalmente la correspondencia
lineal entre Kmáx y ƒ. En realidad, se observa dicha correspondencia lineal, como se bosqueja en la figura 40.11, donde la pendiente de las líneas de dicha gráfica h es la constante
de Planck. La intersección con el eje horizontal representa la frecuencia de corte por
debajo de la cual no se emiten electrones. La frecuencia de corte está relacionada con la
función trabajo según la correspondencia ƒc f/h. La frecuencia de corte corresponde
a la longitud de onda de corte lc , donde
lc
c
fc
c
f>h
hc
f
(40.10)
y c es la rapidez de la luz. Longitudes de onda superiores a lc que inciden sobre un material
que tiene una función trabajo f no dan como resultado la emisión de fotoelectrones.
La combinación hc en la ecuación 40.10 se presenta con frecuencia al relacionar la energía de un fotón con su longitud de onda. Un método abreviado común para la resolución
de problemas es expresar esta combinación en unidades útiles, según la aproximación
siguiente:
hc 1240 eV # nm
Uno de los primeros usos prácticos del efecto fotoeléctrico fue como detector en el
medidor de luz de una cámara fotográfica. La luz que refleja el objeto que se desea fotografiar incide sobre una superficie fotoeléctrica en el medidor, generando la emisión de
fotoelectrones que acto seguido pasan a través de un amperímetro sensible. La magnitud
de la corriente del amperímetro depende de la intensidad de la luz.
El fototubo, otra de las primeras aplicaciones del efecto fotoeléctrico, actúa de manera
muy parecida a un interruptor en un circuito eléctrico. Produce una corriente en el circuito cuando una luz con una frecuencia suficientemente alta incide sobre una placa de metal
del fototubo, pero en la oscuridad no produce corriente. Estos fototubos eran utilizados en
alarmas contra robo así como en la detección de la pista sonora en las películas sonoras.
Hoy en día modernos dispositivos semiconductores han ido reemplazando aparatos más
antiguos de acuerdo con el efecto fotoeléctrico.
El efecto fotoeléctrico se usa actualmente en la operación de tubos fotomultiplicadores.
La estructura de uno de estos dispositivos se esboza en la figura 40.12. Un fotón al incidir
sobre un fotocátodo expulsa un electrón debido al efecto fotoeléctrico. Este electrón es acelerado debido a una diferencia de potencial existente entre el fotocátodo y el primer dínodo,
!
Longitud de onda de
corte
Cristal de
centelleo
Partícula
entrante
Fotocátodo
0V
200 V
400 V
600 V
800 V
1000 V
1200 V
1400 V
1600 V
Vacío
Salida
a contador
Figura 40.12 La multiplicación
de electrones en un tubo
fotomultiplicador.
1164
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
que aparece en la figura 40.12 con una diferencia de potencial de 200 V en relación con
el fotocátodo. Este electrón de alta energía incide en el dínodo y expulsa varios electrones
más. Este proceso se repite a través de una serie de dínodos cada uno con un potencial cada
vez más elevado, hasta que se produce un pulso eléctrico cuando inciden sobre el último
dínodo millones de electrones. Debido a eso al tubo se le denomina multiplicador : un fotón
en la entrada ha dado como resultado millones de electrones en la salida.
El tubo fotomultiplicador se usa en los detectores nucleares para localizar fotones producidos por la interacción de partículas cargadas de energía o de rayos gama con ciertos
materiales. También se utiliza en astronomía, en una técnica que se conoce como fotometría
fotoeléctrica, en la cual la luz recolectada por un telescopio desde una sola estrella se deja
incidir durante un cierto intervalo sobre un tubo fotomultiplicador. El tubo mide la energía total de la luz transferida durante ese intervalo, que posteriormente puede convertirse
en la luminosidad de la estrella.
En muchas observaciones astronómicas el tubo fotomultiplicador está siendo reemplazado por un dispositivo acoplado por cargas (CCD, charged-coupled device), que es el mismo
dispositivo que se utiliza en las cámaras digitales (sección 36.6). En un CCD se forma una
matriz de pixeles sobre una superficie de silicio de un circuito integrado (sección 43.7).
Cuando esta superficie se expone a la luz desde una escena astronómica a través de un
telescopio o de una escena terrestre a través de una cámara digital, los electrones generados por el efecto fotoeléctrico quedan retenidos en “trampas” por debajo de la superficie.
La cantidad de electrones está relacionada con la intensidad de la luz que incide sobre la
superficie. Un procesador de señales mide el número de electrones asociados con cada
pixel y convierte esta información a un código digital que utiliza una computadora para
reconstruir y desplegar la escena.
La cámara CCD de bombardeo de electrones ofrece una mayor sensibilidad que una CCD
convencional. En este dispositivo los electrones expulsados de un fotocátodo debido al
efecto fotoeléctrico, son acelerados mediante un voltaje elevado antes de que se impacten
sobre la matriz del CCD. Estos electrones de alta energía dan como resultado un detector
muy sensible a radiaciones de baja intensidad.
Pregunta rápida 40.3 Considere una de las curvas de la figura 40.10. Suponga que la intensidad de la luz incidente se conserva fija pero su frecuencia aumenta. El potencial de frenado de
la figura 40.10 a) se mantiene fijo, b) se mueve hacia la derecha o c) se mueve hacia la izquierda.
Suponga que a los físicos clásicos se les hubiera ocurrido la idea
de predecir cuál sería la apariencia de una gráfica de Kmáx en función de ƒ, como se muestra
en la figura 40.11. Dibuje una gráfica que se parezca al resultado esperado, según el modelo
ondulatorio de la luz.
Pregunta rápida 40.4
EJEMPLO 40.3
El efecto fotoeléctrico para el sodio
Una superficie de sodio se ilumina con luz que tiene una longitud de onda de 300 nm. La función de trabajo para el metal
sodio es 2.46 eV.
A) Encuentre la energía cinética máxima de los fotoelectrones expulsados.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine un fotón que golpea la superficie metálica y expulsa un electrón. El electrón con la máxima
energía es uno cerca de la superficie que no experimenta interacciones con otras partículas en el metal que reduciría
su energía en su ruta fuera del metal.
Categorizar Los resultados se evalúan con ecuaciones desarrolladas en esta sección, así que este problema se clasifica
como un problema de sustitución.
Encuentre la energía de cada fotón en el haz de luz iluminante a
partir de la ecuación 40.5:
E
hf
hc
l
A partir de la ecuación 40.9, halle la energía cinética máxima de
un electrón:
K máx
hf
f
1240 eV # nm
300 nm
4.13 eV
2.46 V
4.13 eV
1.67 eV
Sección 40.3
1165
Efecto Compton
B) Encuentre la longitud de onda de corte lc para el sodio.
SOLUCIÓN
Calcule lc con la ecuación 40.10:
hc
f
1240 eV # nm
2.46 eV
504 nm
Efecto Compton
En 1919 Einstein llegó a la conclusión de que un fotón de energía E se desplaza en una
misma dirección y tiene una cantidad de movimiento igual a E/c ! hƒ/c. En 1923 Arthur
Holly Compton (1892-1962) y Peter Debye (1884-1966), cada uno por su lado, desarrollaron aún más la idea de la cantidad de movimiento del fotón de Einstein.
Antes de 1922, Compton y sus colegas habían acumulado evidencia que demostraba que
la teoría ondulatoria clásica de la luz no podía explicar la dispersión de los rayos X a causa
los electrones. De acuerdo con la teoría clásica, las ondas electromagnéticas de frecuencia
ƒ0 que inciden sobre los electrones tienen dos efectos: 1) la presión de radiación (véase la
sección 34.5) debe hacer que los electrones se aceleren en la dirección de la propagación
de las ondas y 2) el campo eléctrico oscilante de la radiación incidente debería poner en oscilación a los electrones a la frecuencia aparente ƒ", donde ƒ " es la frecuencia en el marco
de los electrones en movimiento. Esta frecuencia aparente ƒ " es diferente de la frecuencia
ƒ0 de la radiación incidente, debido al efecto Doppler (véase la sección 17.4). Primero
cada electrón absorbe radiación como una partícula en movimiento y después vuelve a
radiar como una partícula en movimiento, exhibiendo por lo tanto dos corrimientos Doppler en la frecuencia de radiación.
Dado que cada electrón se mueve a una rapidez diferente después de la interacción,
dependiendo de la cantidad de energía absorbida a causa de las ondas electromagnéticas, la frecuencia de la onda dispersa en un ángulo determinado en relación con la radiación de llegada debe mostrar una distribución de valores con corrimiento Doppler.
Contrariamente a esta predicción, los experimentos de Compton demostraron que, en
un ángulo determinado, sólo se observa una frecuencia de radiación. Compton y sus
colegas se dieron cuenta de que podían explicar estos experimentos si trataban los
fotones no como ondas, sino más bien como partículas puntuales de energía hƒ y con
una cantidad de movimiento hƒ/c, y suponiendo que se conserva tanto la energía como la
cantidad de movimiento en el sistema aislado del par fotón-electrón en colisión. Compton
adoptó un modelo de partícula para algo que era bien conocido como una onda, y hoy
por hoy este fenómeno de dispersión es conocido como efecto Compton. La figura
40.13 muestra la imagen cuántica de la colisión entre un fotón individual de rayos X
y un electrón. En el modelo cuántico el electrón es desviado un ángulo f respecto a
esta dirección, como si se tratara de una colisión parecida a la que ocurre con las bolas
de billar. (El símbolo f aquí utilizado es un ángulo y no debe confundirse con la función
trabajo, que se vio en la sección anterior.)
La figura 40.14 es un diagrama del aparato utilizado por Compton. Los rayos X, desviados a causa de un blanco de grafito, se analizaron utilizando un espectrómetro de cristal giratorio, y la intensidad se midió con una cámara de ionización generadora de una corriente
Blanco de
carbono
u 5 908
Cristal giratorio
Cortesía de AIP Niels Bohr Library.
40.3
lc
ARTHUR HOLLY COMPTON
Físico estadounidense (1892-1962)
Compton nació en Wooster, Ohio, y estudió
en el Wooster College y en la Universidad
de Princeton. Llegó a ser el director del
laboratorio en la Universidad de Chicago,
donde se efectuaban trabajos experimentales relacionados con reacciones
nucleares sostenidas en cadenas. Su
trabajo resultó de importancia central para
la construcción de la primera arma nuclear.
Su descubrimiento del efecto Compton lo
llevó a compartir el premio Nobel de Física
de 1927 con Charles Wilson.
Electrón en retroceso
f
f0, l0
u
f 9, l9
Figura 40.13 Modelo cuántico
para la dispersión de rayos X
a causa de un electrón. La colisión
del fotón con el electrón muestra
la naturaleza corpuscular del
fotón.
l9
l0
Fuente de
rayos X
l9
Cámara de
ionización
Figura 40.14 Diagrama del
aparato de Compton. La longitud
de onda se midió con un
espectrómetro de cristal giratorio,
usando grafito (carbono) como
blanco.
1166
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
proporcional a la intensidad. El haz incidente estaba constituido por rayos X monocromáticos de longitud de onda l0 0.071 nm. Las gráficas experimentales de intensidad en
función de la longitud de onda observadas por Compton para cuatro ángulos de dispersión
(correspondientes a u en la figura 40.13) aparecen en la figura 40.15. Las gráficas para los
tres ángulos distintos de cero muestran dos picos, uno en l0 y el otro en l! " l0. El pico
desplazado en l! está causado por la dispersión de los rayos X de los electrones libres, y
Compton anticipó que dependería del ángulo de dispersión como sigue:
Ecuación de
desplazamiento
Compton
l¿
l0
h
11
m ec
cos u2
(40.11)
donde me es la masa del electrón. Esta expresión se conoce como ecuación de desplazamiento Compton, y al factor h/mec se le conoce como longitud de onda Compton del
electrón, el cual tiene un valor actualmente aceptado de
lC
Longitud de onda
Compton
h
m ec
0.002 43 nm
El pico sin corrimiento en l0 de la figura 40.15 se genera por rayos X que son dispersados
por causa de los electrones fuertemente unidos a los átomos blanco. Este pico sin corrimiento también está previsto por la ecuación 40.11 si la masa del electrón es reemplazada
por la masa de un átomo de carbono, que es aproximadamente 23 000 veces la masa del
electrón. Debido a eso, existe un corrimiento de la longitud de onda debido a la dispersión
a causa de un electrón unido a un átomo, pero es de una magnitud tan reducida que en el
experimento de Compton no fue detectada.
Las mediciones de Compton coincidieron extraordinariamente bien con las predicciones de la ecuación 40.11. Es justo decir que estos resultados ¡fueron los primeros que realmente convencieron a muchos físicos de la validez fundamental de la teoría cuántica!
Pregunta rápida 40.5 Observe que para cualquier ángulo u de dispersión determinado, la
Intensidad
ecuación 40.11 da el mismo valor para el corrimiento de Compton en cualquier longitud de
onda. Teniendo presente lo anterior, ¿para cuál de los siguientes tipos de radiación es máximo
el corrimiento fraccionario en la longitud de onda en un ángulo determinado de dispersión?
a) Las ondas de radio, b) las microondas, c) la luz visible o d) los rayos X.
0#
u
Haz primario
Intensidad
45#
u
l
Intensitdad
Intensidad
l0 l!
l0
l!
u
135#
hc
l0
90#
u
l0
Es posible deducir la ecuación de corrimiento de Compton si supone que el fotón
se comporta como una partícula y entra en colisión elástica con un electrón inicialmente en reposo, como se puede observar en la figura 40.13. El fotón es tratado como una
partícula con una energía E hƒ hc/l y una energía en reposo igual a cero. Se aplica un
modelo de sistema aislado al fotón y al electrón. En el proceso de dispersión, la totalidad
de la energía y la cantidad de movimiento lineal del sistema deben conservarse. Si aplica
el principio de conservación de la energía a este proceso obtiene
l
l0
Deducción de la ecuación de desplazamiento Compton
Ke
siendo hc/l0 la energía del fotón incidente, hc/l! la energía del fotón disperso y Ke la
energía cinética del electrón con retroceso. Porque el electrón retrocede con una rapidez
comparable a la rapidez de la luz, es necesario que use la expresión relativista Ke (g 2
1)me c 2 (ecuación 39.23). Por tanto,
l
l!
hc
l¿
l
Figura 40.15 Intensidad de
rayos X desviados en función
de la longitud de onda para la
dispersión Compton en u 0#,
45#, 90# y 135#.
donde g
1> 11
hc
l0
hc
l¿
1g
1 2 m ec 2
(40.12)
1u 2>c 2 2 y u es la rapidez del electrón.
A continuación, a esta colisión se le aplica la ley de la conservación de la cantidad de
movimiento, observando que sus componentes en x y en y de la cantidad de movimiento se
conservan cada una de forma independiente. La ecuación 39.28 muestra que la cantidad
de movimiento del fotón tiene una magnitud p E/c, y se sabe por la ecuación 40.5 que
E hƒ. Por lo tanto, p hƒ/c. Si en esta expresión reemplaza lƒ por c (ecuación 16.12)
Sección 40.4
Fotones y ondas electromagnéticas
1167
obtiene p h/l. Porque la expresión relativista para la cantidad de movimiento del electrón en retroceso es igual a pe gmev (ecuación 39.19), obtiene las siguientes expresiones
para las componentes en x y en y de la cantidad de movimiento lineal, donde los ángulos
son los descritos en la figura 40.13:
componente en x:
h
l0
h
cos u
l¿
gm eu cos f
(40.13)
h
(40.14)
sen u gm e u sen f
l¿
Al eliminar v y f de las ecuaciones 40.12 a 40.14, obtiene una sola expresión que relaciona
las tres variables restantes (l!, l0 y u). Después de un poco de álgebra (véase el problema
59) obtiene la ecuación (40.11).
componente en y:
EJEMPLO 40.4
0
Dispersión Compton a 45°
De un bloque de material se dispersan rayos X con longitud de onda l0 0.200 000 nm. Los rayos X dispersados se observan
en un ángulo de 45.0° con el haz incidente. Calcule su longitud de onda.
SOLUCIÓN
Conceptualizar
Imagine el proceso de la figura 40.13, con el fotón dispersado a 45° de su dirección original.
Categorizar El resultado se evalúa con una ecuación desarrollada en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como
un problema de sustitución.
12
Resuelva la ecuación 40.11 para la longitud de onda
de los rayos X dispersados:
Sustituya valores numéricos:
l¿
l¿
0.200 000
10
9
0.200 000
10
9
l0
h 11
m
16.626
m
7.10
19.11
cos u2
m ec
34
10
10
10
31
13
J # s 2 11
kg2 13.00
m
cos 45.0°2
108 m>s2
0.200 710 nm
¿Qué pasaría si? ¿Y si el detector se mueve de modo que los rayos X dispersados se detectan a un ángulo mayor de 45°?
¿La longitud de onda de los rayos X dispersados aumenta o disminuye conforme aumenta el ángulo u ?
Respuesta En la ecuación 1), si el ángulo u aumenta, cos u disminuye. En consecuencia, el factor (1 2 cos u) aumenta.
Por lo tanto, la longitud de onda dispersada aumenta.
También se podía aplicar un argumento energético para lograr este mismo resultado. Conforme el ángulo de dispersión
aumenta, más energía se transfiere del fotón incidente al electrón. Como resultado, la energía del fotón dispersado disminuye con ángulo de dispersión creciente. Porque E hf, la frecuencia del fotón dispersado disminuye, y porque l c/f, la
longitud de onda aumenta.
40.4
Fotones y ondas electromagnéticas
Fenómenos como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton representan una evidencia
a prueba de fuego de que cuando la luz (y otras formas de radiación electromagnética)
interactúa con la materia, se comporta como si estuviera compuesta de partículas con
una energía hƒ y con una cantidad de movimiento h/l. ¿Cómo es posible considerar la
luz como un fotón (en otras palabras como una partícula) cuando sabe que se trata de
una onda? Por otra parte, la luz se describe en términos de fotones con cierta energía y
cantidad de movimiento. También, por otra parte, la luz y otras ondas electromagnéticas
exhiben efectos de interferencia y de difracción, que son entendibles sólo mediante una
interpretación ondulatoria.
1168
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
¿Cuál de los modelos es el correcto? ¿ La luz es una onda o una partícula? La respuesta
dependerá del fenómeno que se esté observando. Algunos experimentos se explican mejor
con el modelo del fotón, en tanto que otros se explican mejor únicamente con el modelo
ondulatorio. El resultado final es que necesita aceptar ambos modelos y admitir que no es
posible describir la naturaleza verdadera de la luz en función de ninguna concepción clásica
única. El mismo rayo de luz puede expulsar fotoelectrones de un metal (lo que quiere decir
que el haz está formado de fotones) y también puede ser difractado por una rendija (lo que
quiere decir que el haz es una onda). En otras palabras, el modelo de partícula y el modelo
ondulatorio de la luz se complementan.
El éxito que tiene el modelo de partícula de la luz para explicar el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton plantea muchas otras preguntas. Si la luz es una partícula, ¿qué
quiere decir la “frecuencia” y “la longitud de onda” de la partícula, y cuál de estas dos
propiedades determina su energía y su cantidad de movimiento? ¿ La luz es simultáneamente
una onda y una partícula? A pesar de que los fotones no tienen energía en reposo (una
cantidad imposible de observar, ¡ya que el fotón no puede estar en reposo!), ¿existe alguna
expresión sencilla para la masa efectiva de un fotón en movimiento? Si los fotones tienen
una masa efectiva, ¿experimentan atracción gravitacional? ¿Cuál es la extensión espacial
de un fotón, y cómo es posible que un electrón absorba o disperse un fotón? Algunas de
estas preguntas se pueden contestar, pero otras demandan una visión de procesos atómicos que resultan demasiado pictóricos y literales. Muchas de estas preguntas se generan
debido a analogías clásicas como la colisión de bolas de billar y el rompimiento de las olas
en una playa. La mecánica cuántica le da a la luz una naturaleza más fluida y más flexible
al considerar el modelo de partícula y el modelo ondulatorio de la luz tanto necesarios
como complementarios. No se puede utilizar de manera exclusiva ninguno de los modelos
para describir todas las propiedades de la luz. Un discernimiento completo del comportamiento observado de la luz sólo se puede obtener si se combinan ambos modelos de una
manera complementaria.
AIP Niels Bohr Library.
40.5
LOUIS DE BROGLIE
Físico francés 1892–1987
De Broglie nació en Dieppe, Francia,
estudió Historia en la Sorbona de París en
preparación para lo que esperaba sería
una carrera en el Cuerpo Diplomático. El
mundo de la ciencia tiene suerte de que
cambiara su carrera para convertirse en
un físico teórico. En el año de 1929 le fue
otorgado el premio Nobel debido a su
predicción de la naturaleza ondulatoria de
los electrones.
Propiedades ondulatorias
de las partículas
Los estudiantes que se inician en la naturaleza dual de la luz, con frecuencia encuentran
este concepto difícil de aceptar. Se está acostumbrado a considerar cosas como los bates
de beisbol como partículas y otras cosas, como las ondas sonoras, únicamente como una
forma de movimiento ondulatorio. Todas las observaciones a gran escala pueden ser interpretadas considerando ya sea una explicación ondulatoria o una explicación de partículas,
pero en el mundo de los fotones y de los electrones, esta distinción no está hecha con
tanta claridad. Todavía más desconcertante es el hecho de que, bajo ciertas condiciones,
estas que sin ninguna ambigüedad se identifican como “partículas” ¡exhiben características
ondulatorias!
En su disertación doctoral en el año de 1923, Louis de Broglie postuló que ya que los
fotones tienen a la vez características ondulatorias y de partículas, es posible que todas
las formas de la materia tengan ambas propiedades. Esta era una idea en extremo revolucionaria que en esas fechas no tenía confirmación experimental. Según De Broglie, los
electrones, justo igual que la luz, tienen una naturaleza dual partícula-onda.
En la sección 40.3 se encontró que la cantidad de movimiento de un fotón puede ser
expresada de la forma
h
p
l
Esta ecuación muestra que la longitud de onda del fotón puede especificarse por su cantidad de movimiento: l h/p. De Broglie sugirió que las partículas materiales que tengan
una cantidad de movimiento p tienen una longitud de onda característica dada por la
misma expresión, l h/p. Porque p mv es la magnitud de la cantidad de movimiento
de una partícula de masa m y de rapidez u, la longitud de onda de De Broglie de dicha
partícula es igual a5
5
La longitud de onda De Broglie para una partícula móvil a cualquier rapidez u es l
g [1 2 (u2/c 2)]21/2.
h/gmu, siendo
Sección 40.5
h
p
l
h
mu
Propiedades ondulatorias de las partículas
(40.15)
1169
Longitud de onda de
De Broglie
Además, en analogía con los fotones, De Broglie postuló que las partículas obedecen
la relación de Einstein E hƒ, donde E es la energía total de la partícula. En tal caso, la
frecuencia de una partícula es
f
E
h
(40.16)
La naturaleza dual de la materia resulta evidente en estas dos últimas ecuaciones, ya
que cada una contiene a la vez conceptos de partículas (p y E) y cantidades ondulatorias
(l y ƒ ).
El experimento Davisson-Germer
La propuesta hecha en 1923 por De Broglie en el sentido de que la materia exhibe
propiedades a la vez ondulatorias y de partícula, fue considerada una simple especulación. Si las partículas como los electrones tuvieran propiedades ondulatorias, bajo las
condiciones adecuadas, deberían exhibir efectos de difracción. Sólo tres años después,
C. J. Davisson (1881-1958) y L. H Germer (1896-1971) lograron medir la longitud de onda
de los electrones. Este importante descubrimiento fue la primera confirmación experimental de las ondas de la materia propuestas por De Broglie.
Es interesante observar que la intención inicial del experimento de Davisson-Germer
no era confirmar las hipótesis de De Broglie. De hecho, su descubrimiento se hizo accidentalmente (como ocurre con frecuencia). El experimento involucraba la dispersión de
electrones de baja energía (aproximadamente de 54 eV) desde una placa de señal de níquel
en el vacío. Durante uno de los experimentos, la superficie de níquel se oxidó en extremo
debido a una ruptura accidental del sistema de vacío. Después de haber calentado la placa
de señal en una corriente de hidrógeno, a fin de eliminar el recubrimiento de óxido, los
electrones dispersados por dicha placa exhibieron intensidades máximas y mínimas en ángulos específicos. Por último, los responsables del experimento finalmente se dieron cuenta
de que al calentarse al níquel se le formaron grandes regiones cristalinas y que los planos
a distancias regulares de esas regiones servían como rejilla de difracción para electrones.
(Véase en la sección 38.5 la explicación de difracción de rayos X por medio de cristales.)
Poco tiempo después, Davisson y Germer llevaron a cabo mediciones de difracción más
amplias sobre electrones dispersos a partir de objetos de un solo cristal. Sus resultados
mostraron de manera concluyente la naturaleza ondulatoria de los electrones y confirmó
la correspondencia de De Broglie p h/l. Ese mismo año, G. P. Thomson (1892-1975)
de Escocia también observó patrones de difracción de electrones al hacerlos pasar a
través de hojas muy delgadas de oro. Se han observado patrones de difracción en
la dispersión de átomos de helio, átomos de hidrógeno y en neutrones. En resumen, se
ha establecido de diversas maneras la naturaleza de onda de las partículas.
Comprender la naturaleza dual de la materia y de la radiación es conceptualmente difícil, porque los dos modelos parecen contradecirse. Este problema, en lo que se refiere a la
luz, ya se explicó. El principio de complementariedad dice que los modelos ondulatorios
y de partículas, ya sea de la materia o de radiaciones, se complementan entre sí. Ninguno
de los modelos puede utilizarse de manera exclusiva para describir adecuadamente ya sea
la materia o la radiación. Porque los seres humanos tienden a generar imágenes mentales
en términos de sus experiencias en el mundo real (bate de beisbol, ondas en el agua y así,
sucesivamente), se utilizan ambas descripciones en forma complementaria para explicar
algún conjunto determinado de datos causa del mundo cuántico.
Pregunta rápida 40.6 Un electrón y un protón que se mueven con magnitudes de velocidad
no relativistas tienen la misma longitud de onda de De Broglie. ¿Cuáles de las características
siguientes también son iguales para ambas partículas? a) Rapidez, b) energía cinética, c) cantidad de movimiento o d) frecuencia.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 40.3
¿Qué oscila?
Si las partículas tienen
propiedades ondulatorias,
¿qué oscila? Son familiares las
ondas de las cuerdas, ondas
muy concretas. Las ondas
sonoras son más abstractas, pero
lo probable es que se sienta
cómodo con ellas. Las ondas
electromagnéticas son aún más
abstractas, pero se describen en
función de variables físicas y de
campos eléctrico y magnético.
En contraste, las ondas
asociadas con las partículas
son totalmente abstractas y no
es posible asociarlas con una
variable física. En el capítulo 41
se describe la onda asociada con
un partícula en términos
de probabilidad.
1170
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
EJEMPLO 40.5
Longitudes de onda para objetos micro y macroscópicos
9.11 ! 10231 kg) que se mueve a 1.00 ! 107 m/s.
A) Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón (me
SOLUCIÓN
Conceptualizar Imagine al electrón que se mueve a través del espacio. Desde un punto de vista clásico, es una partícula
bajo velocidad constante. Desde el punto de vista cuántico, el electrón tiene una longitud de onda asociada con él.
Categorizar El resultado se evalúa con una ecuación desarrollada en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como
un problema de sustitución.
Evalúe la longitud de onda con la ecuación 40.15:
l
h
m eu
19.11
6.63
10
31
10
34
J#s
kg2 11.00
107 m>s 2
7.28
10
11
m
B) Una roca de 50 g de masa se lanza con una rapidez de 40 m/s. ¿Cuál es su longitud de onda de De Broglie?
SOLUCIÓN
Evalúe la longitud de onda de De Broglie con la
ecuación 40.15:
l
h
mu
150
6.63
10
10
3
34
J#s
kg2 140 m>s2
3.32
10
34
m
Esta longitud de onda es mucho menor que cualquier abertura a través de la cual posiblemente pudiera pasar la roca. Por
esto, no se podrían observar efectos de difracción y, como resultado, las propiedades ondulatorias de objetos a gran escala
no se pueden observar.
El microscopio electrónico
Un aparato práctico que se basa en las características ondulatorias de los electrones es el microscopio electrónico. En la figura 40.16 aparece un microscopio electrónico de transmisión
que se utiliza para estudiar muestras planas y delgadas. En muchos aspectos es similar a un
Cañón de
electrones
Vacío
Cátodo
Ánodo
Lente
electromagnética
Núcleo
Bobina
Lente condensadora
electromagnética
Haz de
electrones
Aquí se coloca
el especimen
Pantalla
© David Parker/Photo Researchers,Inc.
Puerta de
la cámara
del especimen
Lente
proyector
Transmisión
visual
Fotocámara
a)
b)
Figura 40.16 a) Diagrama de un microscopio electrónico de transmisión para estudiar una muestra muy delgada. Las “lentes” que controlan el
haz de electrones son en realidad bobinas de deflexión magnética. b) Microscopio electrónico.
microscopio óptico, de cualquier modo, el microscopio electrónico tiene un poder de resolución mucho mayor porque puede acelerar electrones hasta energías cinéticas muy altas,
con lo que se logran longitudes de onda muy cortas. Ningún microscopio tiene la capacidad de definir detalles que sean significativamente menores que la longitud de onda de las
ondas utilizadas para iluminar el objeto. Las longitudes de onda de los electrones son cerca
de 100 veces más cortas que las de la luz visible utilizada en los microscopios ópticos. Como
consecuencia, un microscopio electrónico con lentes ideales sería capaz de distinguir
detalles aproximadamente 100 veces más pequeños que un microscopio óptico. (La radiación electromagnética con la misma longitud de onda que los electrones de un microscopio electrónico se presenta en la región de rayos X del espectro.)
El haz de electrones en un microscopio electrónico se controla mediante desviación
electrostática o magnética, que actúa sobre los electrones para enfocar el haz y formar una
imagen. En vez de examinar la imagen a través de un ocular, como ocurre en un microscopio óptico, el observador estudia una imagen formada en un monitor o en algún otro
tipo de pantalla de despliegue. La figura 40.17 pone de manifiesto el asombroso detalle
disponible al utilizar un microscopio electrónico.
40.6
Partícula cuántica
Ya que en el pasado se consideraba que los modelos de partícula y onda eran diferentes,
la explicación presentada en secciones previas es posible que sea completamente inquietante. La idea de que tanto la luz como las partículas de la materia tienen propiedades
a la vez de partícula y de onda no encaja con esta distinción. No obstante, la evidencia
experimental muestra que esta conclusión es exactamente la que se debe aceptar. El reconocimiento de esta naturaleza dual lleva a un nuevo modelo, la partícula cuántica, la cual
es una combinación del modelo de partícula presentado en el capítulo 2 y el modelo de
onda visto en el capítulo 16. En este nuevo modelo las entidades tienen características a
la vez de partículas y de ondas, y debe elegir un comportamiento apropiado —partícula u
onda— a fin de comprender un fenómeno en particular.
En esta sección se explora este modelo de manera que pueda llegar a sentirse mejor con
la idea, para lo cual se demostrará que es posible construir a partir de ondas una entidad
que exhiba las propiedades de una partícula.
Primero recuerde algunas de las características de las partículas y de las ondas ideales.
Una partícula ideal tiene de tamaño cero dimensiones. Debido a eso, una característica
esencial de una partícula es que está localizada en el espacio. Una onda ideal tiene una sola
frecuencia y es infinitamente larga, como lo sugiere la figura 40.18a. Por lo tanto, una
onda ideal no se localiza en el espacio. Se puede construir una entidad localizada a partir
de ondas infinitamente largas. Imagine que dibuja una a lo largo del eje x, con una de sus
crestas localizada en x 0, como en la parte superior de la figura 40.18b. Ahora dibuje
una segunda onda, de la misma amplitud pero con una frecuencia distinta, y que también
tiene una de sus crestas localizada en x 0. El resultado de la sobreposición de estas dos
ondas es un batimiento, ya que las ondas están alternativamente en y fuera de fase. (Los
batimientos fueron analizados en la sección 18.7.) La curva inferior de la figura 40.18b
muestra el resultado de la sobreposición de estas dos ondas.
0
x
a)
Onda 1:
Onda 2:
Superposición:
0
0
x
x
x
0
b)
Partícula cuántica
1171
© Eye of Science/Science Source/Photo Researchers, Inc.
Sección 40.6
Figura 40.17 Fotografía de
un microscopio electrónico de
color mejorado que muestra el
detalle significativo de un ácaro
de bodega Lepidoglyphus destructor.
Este ácaro es tan pequeño
(longitud máxima de 0.75 mm),
que los microscopios ordinarios
no pueden definir sus diminutos
detalles anatómicos.
Figura 40.18 a) Una onda
idealizada de una única
frecuencia exacta es igual a todo
en todas las partes del espacio y
del tiempo. b) Si se combinan
dos ondas ideales con frecuencias
ligeramente distintas, el resultado
es una pulsación (sección 18.7).
Las regiones en el espacio en
donde existe interferencia
constructiva son distintas de
aquellas en donde se tiene
interferencia destructiva.
1172
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
Figura 40.19
Si se combina un gran número de
ondas, el resultado es un paquete
de ondas que representa una
partícula.
x
0
Observe que ya se ha introducido alguna localización gracias a la sobreposición de
dos ondas. Una onda individual tiene la misma amplitud en cualquier sitio del espacio,
no existe ningún punto en el espacio diferente de cualquier otro punto. Sin embargo,
cuando se añade una segunda onda, existe alguna diferencia relativa a los puntos en fase
en comparación con los que están fuera de fase.
Ahora imagine que se agregan más y más ondas a las dos originales, donde cada nueva
onda tiene una nueva frecuencia. Cada onda nueva se agrega de forma que una de sus crestas esté en x 0, con el resultado de que todas las ondas se suman constructivamente en
x 0. Cuando se considera un gran número de ondas, la probabilidad de que exista un
valor positivo de una función de onda en cualquier punto x " 0 es igual a la probabilidad
de que se tenga un valor negativo, y existe interferencia destructiva en todos los sitios excepto
cerca de x 0, donde se sobrepusieron todas las crestas. El resultado de esto se ilustra en
la figura 40.19. La pequeña región de interferencia constructiva se conoce como paquete
de ondas. Se trata de una región localizada en el espacio que es diferente de todas las
demás regiones. Se identifica el paquete de ondas como una partícula porque ¡tiene la
naturaleza localizada de una partícula! La localización del paquete de ondas corresponde
a la posición de la partícula.
La naturaleza localizada de esta entidad es la única característica de una partícula que
fue generada mediante este proceso. Aún no se ha encarado la forma en que el paquete
de ondas logra tener características de partícula tales como masa, carga eléctrica, espín,
etc. Debido a esto, quizá aún no esté totalmente convencido de que ha construido una
partícula. Como evidencia adicional de que el paquete de ondas puede representar la
partícula, se prueba que tiene otra característica de ésta.
A fin de hacer sencilla la representación matemática, regrese a la combinación de dos
ondas. Considere dos ondas de igual amplitud pero de frecuencias diferentes ƒ1 y ƒ2. La
representación matemática de estas ondas es
y1
A cos 1k 1x
v1t 2
donde, igual que en el capítulo 16, k
posición, se añaden las ondas:
y
y1
y
2p/l y v
A cos 1k 1x
y2
A cos 1k 2x
y2
v2t 2
2pƒ. Utilizando el principio de sobre-
v1t 2
A cos 1k 2x
v2t2
Es conveniente escribir lo anterior de manera que se utilice la identidad trigonométrica
cos b
cos a
Haciendo que a
y
k1x 2 v1t y b
2A cos c
y
1k 1x
v1t 2
c 2A cos a
2 cos a
a
b
2
b cos a
a
b
2
b
k2x 2 v2t, se encuentra que
2
¢k
x
2
1k 2x
v2t2
d cos c
1k 1x
k1 k2
¢v
t b d cos a
x
2
2
v1t2
2
v1
1k 2x
v2
2
tb
v2t 2
d
(40.17)
donde #k k1 2 k2 y #v v1 2 v2. El segundo factor coseno representa una onda con
un número y una frecuencia iguales a los promedios de los valores de las ondas individuales.
En la ecuación 40.17, el factor entre paréntesis cuadrados representa la envolvente
de la onda, como por ejemplo la curva color azul de la figura 40.20. Observe que este
factor también tiene la forma matemática de una onda. Esta envolvente, resultado de la
combinación, puede moverse a través del espacio a una rapidez distinta de la de las ondas
Sección 40.6
(
)
2A cos #k x – #ω t
2
2
x
0
Partícula cuántica
1173
Figura 40.20
Patrón de batimiento de la figura
40.18b, con la sobreposición de
una función envolvente (curva
color azul).
individuales. Como un ejemplo extremo de esta posibilidad, imagine dos ondas idénticas
pero que se mueven en direcciones opuestas. Ambas ondas se mueven con la misma rapidez, pero la rapidez de su envolvente es cero, ya que se ha generado una onda estacionaria,
la cual fue analizada en la sección 18.2.
Para una onda individual, su rapidez se conoce por la ecuación 16.11,
v
k
vfase
(40.18)
Esta rapidez se conoce como rapidez de fase ya que se trata de la relación de avance de
una cresta en una sola onda, que es un punto de una fase fija. Esta ecuación se interpreta
como: la rapidez de fase de una onda es la relación del coeficiente variable en el tiempo
t con el coeficiente variable en el espacio x en la ecuación de la onda, y A cos (kx – wt).
El factor entre paréntesis de la ecuación 40.17 tiene la forma de una onda, por lo que
se mueve con una rapidez conocida por esta misma relación:
vg
1¢ v>2 2
coeficiente variable en el tiempo t
coeficiente variable en el espacio x
1 ¢ k>2 2
Rapidez de fase de una
onda en un paquete de
ondas
¢v
¢k
El subíndice g de la rapidez indica que a este término por lo común se le conoce como
rapidez de grupo, es decir, la rapidez del paquete de ondas (el grupo de ondas) que se
ha construido. Se ha generado esta expresión por una simple adición de dos ondas.
Para la sobreposición de una gran cantidad de ondas para formar un paquete de
ondas, esta relación se convierte en una derivada:
vg
dv
dk
(40.19)
Multiplique tanto el numerador como el denominador por $, donde $
U dv
Udk
vg
d 1 U v2
d 1 U k2
h/2p da:
(40.20)
Considere los términos en el paréntesis de la ecuación 40.20, de manera separada. En el
caso del numerador,
Uv
h
12pf 2
2p
hf
E
Uk
h
2p
a
b
2p
l
h
l
p
Para el denominador,
Por lo tanto, la ecuación 40.20 se puede reescribir de la siguiente forma:
vg
d 1 Uv2
d 1 U k2
dE
dp
(40.21)
Porque se está explorando la posibilidad de que la envolvente de las ondas combinadas
represente la partícula, piense en una partícula libre con una rapidez u que es pequeña en
comparación con la rapidez de la luz. La energía de esta partícula es su energía cinética:
E
Al derivar esta ecuación respecto a p
1
2
2 mu
p2
2m
Rapidez de grupo de un
paquete de ondas
1174
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
dE
dp
vg
p2
d
b
a
dp 2m
1
12p 2
2m
u
(40.22)
En consecuencia la rapidez de grupo del paquete de ondas es ¡idéntica a la rapidez de la
partícula que se modela en su representación! Esto permite confiar más en el hecho de
que el paquete de ondas es una forma razonable de generar una partícula.
Pregunta rápida 40.7 Como una analogía a los paquetes de ondas, considere un “paquete de automóvil” que se presenta cerca de la escena de un accidente en una autopista. La rapidez
de fase es análoga a la rapidez individual de los automóviles cuando se mueven a través de la
acumulación causada por el accidente. La rapidez de grupo puede ser identificada como la rapidez
del borde de adelante del paquete de automóviles. Para el paquete de automóviles, la rapidez de
grupo a) es la misma que la rapidez de fase, b) menor que la rapidez de fase, c) mayor que la
rapidez de fase.
40.7
Revisión del experimento
de doble rejilla
La dualidad onda-partícula ya es ahora un concepto firmemente aceptado, reforzado por
resultados experimentales, incluyendo los del experimento Davisson-Germer. Sin embargo, de manera similar a los postulados de la relatividad especial, a menudo esta idea
conduce a contradicciones con los patrones familiares de pensamiento recibidos de la
experiencia cotidiana.
Una forma de cristalizar estas ideas respecto a la dualidad onda-partícula del electrón es mediante un experimento en el que se disparan electrones hacia una doble rejilla. Piense en un haz paralelo de electrones monoenergéticos que incide sobre una
rejilla doble, como en la figura 40.21. Suponga que el ancho de la rejilla es pequeño en
comparación con la longitud de onda de los electrones, por lo que no es necesario preocuparse sobre máximos y mínimos de difracción, como se explicó en el caso de la luz en la
sección 38.2. Lejos de las rejillas y a una distancia mucho mayor que d, que es la separación
entre ellas, está ubicado un detector de electrones. Si la pantalla del detector reune electrones durante un tiempo suficientemente largo, se halla un patrón de interferencia de
ondas representativo respecto al conteo por cada minuto, es decir, a la probabilidad de llegada de los electrones. Este patrón de interferencia no debería esperarse si los electrones
se comportaran como si fueran partículas clásicas, proporcionando una evidencia clara de
que los electrones están interferidos, un comportamiento distinto parecido a la onda.
Si se miden los ángulos u en los que la intensidad máxima de los electrones llega a la
pantalla del detector en la figura 40.21, se encuentra que se describen exactamente por
la misma ecuación (ecuación 37.2) que para la luz, d sen u ml, donde m es el número de
Electrones detectados
por minuto
Electrones
u
d
u
Pantalla
del
detector
Figura 40.21 Interferencia de los electrones. La separación d entre las rejillas es mucho mayor que el
ancho de cada una y mucho menor que la distancia entre rejillas y el detector.
Sección 40.8
El principio de incertidumbre
orden y l es la longitud de onda del electrón. Por lo tanto, la naturaleza dual del electrón
se muestra claramente en este experimento: los electrones se detectan como partículas
en una mancha localizada sobre la pantalla del detector en algún instante de tiempo, pero
la probabilidad de llegada a dicha mancha se determina al encontrar la intensidad de dos
ondas que interfieren.
En un haz de electrones con intensidades extremadamente bajas, un electrón por vez
llega a la doble rendija. Es tentador suponer que el electrón pasa a través de la rendija 1 o la rendija 2. Puede argumentar que no hay efectos de interferencia porque no
hay un segundo electrón que pase a través de la otra rendija para interferir con el primero. Sin embargo, esta suposición pone demasiado énfasis en el modelo de partícula
del electrón. ¡Sólo se observa el patrón de interferencia si el intervalo de tiempo para
la medición es suficientemente grande para que muchos electrones lleguen a la pantalla
del detector! Esta situación se ilustra por los patrones simulados por computadora en la
figura 40.22, donde el patrón de interferencia se vuelve más claro conforme aumenta el
número de electrones que llegan a la pantalla del detector. Por esto, la suposición de que
el electrón se localiza y pasa sólo a través de una rendija, cuando ambas rendijas están
abiertas, debe ser incorrecta (¡una conclusión dolorosa!).
Para interpretar estos resultados, se está forzado a concluir que un electrón interactúa
con ambas rendijas simultáneamente. Si usted intenta determinar experimentalmente
por cuál rendija pasa el electrón, el acto de medir destruye el patrón de interferencia. Es
imposible determinar por cuál rendija pasa el electrón. En efecto, ¡sólo se puede decir que
el electrón pasa a través de ambas rendijas! Los mismos argumentos aplican a fotones.
Si se restringe usted mismo a un modelo de partícula puro, es una noción incómoda
que el electrón pueda estar presente en ambas rendijas al mismo tiempo. Sin embargo,
a partir del modelo de partícula cuántica, la partícula se puede considerar construida por
ondas que existen en todo el espacio. Debido a eso, las componentes ondulatorias del
electrón están presentes en ambas rendijas al mismo tiempo, y este modelo conduce a una
interpretación más cómoda de este experimento.
40.8
a) Después de 28 electrones.
b) Después de 1000 electrones.
c) Después de 10 000 electrones.
d) Patrón de electrones de
doble rejilla.
El principio de incertidumbre
Siempre que se mida la posición o la velocidad de una partícula en cualquier momento,
habrá incertidumbres experimentales incluidas en las mediciones. Según la mecánica clásica, no existe una barrera básica que impida un refinamiento adicional de los aparatos o
de los procedimientos experimentales de medición. En otras palabras, es posible llevar a
cabo, en principio, dichas mediciones con una incertidumbre arbitrariamente pequeña.
Sin embargo, la teoría cuántica dice que básicamente es imposible medir, simultáneas, la
posición y la cantidad de movimiento de una partícula con una precisión infinita.
En el año de 1927 Werner Heisenberg (1901-1976) introdujo este concepto, que ahora
se conoce como el principio de incertidumbre de Heisenberg:
Figura 40.22
a), b), c). Patrones de
interferencia simulados por
computadora de un haz de
electrones que inciden sobre una
doble rejilla. d) Fotografía de un
patrón de interferencia de doble
rejilla producido por electrones.
Si se hace una medición con una incertidumbre #x de la posición de una partícula y
de manera simultánea se hace una medición con una incertidumbre #px de su componente en x de la cantidad de movimiento, el producto de ambas incertidumbres
no puede ser nunca menor de $/2:
¢x ¢p x
U
2
1175
(40.23)
Es decir, físicamente es imposible medir de manera simultánea la posición exacta y la
cantidad de movimiento exacto de una partícula. Heisenberg tuvo cuidado en hacer notar
que las incertidumbres inevitables #x y #px no se presentan debido a imperfecciones en
los instrumentos reales de medición. Más bien, las incertidumbres se presentan debido a
la estructura cuántica de la materia.
A fin de comprender el principio de incertidumbre, suponga que se conoce con exactitud
la longitud de onda de una partícula. Según la relación de De Broglie, l h/p, sabría
por tanto que la cantidad de movimiento sería precisamente igual a p h/l. En realidad, una onda de una sola longitud existiría en todo el espacio. Cualquier región junto
a esta onda es la misma que cualquier otra (figura 40.18a). Si fuera necesario preguntar,
Principio de
incertidumbre de
Heisenberg
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
Cortesía de la Universidad de Hamburgo.
1176
WERNER HEISENBERG
Físico teórico alemán (1901-1976)
Heisenberg obtuvo su doctorado en 1923
en la Universidad de Munich. Mientras otros
científicos intentaban desarrollar modelos
físicos de los fenómenos cuánticos, Heisenberg desarrolló un modelo matemático
abstracto que se conoce como mecánica
matricial. Los modelos físicos más ampliamente aceptados demostraron tener una
equivalencia con la mecánica matricial. Heisenberg hizo muchas otras contribuciones
significativas a la física, incluyendo su famoso principio de incertidumbre debido al cual
fue galardonado con el premio Nobel en el
año de 1932, por la predicción de dos formas
de hidrógeno molecular y por los modelos
teóricos del núcleo.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 40.4
“¿dónde está la partícula representada por esta onda?”, no existe una ubicación especial
en el espacio junto a la onda que pueda ser identificada con la partícula; todos los puntos
a lo largo de la onda son iguales. Por lo tanto, se tiene incertidumbre infinita respecto a la
posición de la partícula, y no se sabe nada respecto a su ubicación. Obtener el conocimiento perfecto de la cantidad de movimiento de la partícula ha costado toda la información
referente a su localización.
En comparación, considere ahora una partícula cuya cantidad de movimiento es incierta, por lo que tiene un intervalo de valores posibles de cantidad de movimiento. Según
la relación de De Broglie, esto da como resultado un intervalo de longitudes de onda.
En consecuencia, la partícula no está representada por una sola longitud de onda, sino
por una combinación de longitudes de onda dentro de este intervalo. Esta combinación
forma un paquete de ondas, como se vio en la sección 40.6, y como se ilustró en la figura
40.19. Si se le pide determinar la localización de la partícula, sólo podrá decir que está en
alguna parte en la región definida por el paquete de ondas, ya que existe una diferencia
muy clara entre esta región y el resto del espacio. Por lo tantto, al renunciar a parte de la
información respecto a la cantidad de movimiento de la partícula, ha ganado información
en relación con su posición.
Si perdiera toda información en relación con la cantidad de movimiento, estaría sumando ondas de todas las longitudes de onda posibles. Esto daría como resultado un paquete de ondas con una longitud igual a cero. Por lo tanto, si no sabe nada respecto a la cantidad
de movimiento, sabe exactamente donde está la partícula.
La forma matemática del principio de incertidumbre afirma que el producto de las
incertidumbres en posición y en la cantidad de movimiento, es siempre mayor que cierto
valor mínimo. Este valor puede ser calculado a partir de los argumentos arriba explicados
y que resultan en el valor de $/2 de la ecuación 40.23.
Si reconsidera la figura 40.19, es posible generar otra forma de principio de incertidumbre. Imagine que el eje horizontal es el tiempo y no la posición en el espacio x. Ahora
desarrolle los mismos argumentos que utilizó respecto al conocimiento de la longitud de
onda y de la posición, pero en el dominio del tiempo. Las variables correspondientes serían la frecuencia y el tiempo. Porque la frecuencia está relacionada con la energía de la
partícula mediante la expresión E hƒ, en esta forma el principio de incertidumbre es
El principio de incertidumbre
Algunos estudiantes interpretan
de manera incorrecta que el principio de incertidumbre significa
que una medición interfiere con
el sistema. Por ejemplo, si en un
experimento hipotético se observa
un electrón usando un microscopio óptico, el fotón utilizado para
observarlo entra en colisión con
él y hace que se mueva, lo que le
da incertidumbre en la cantidad
de movimiento. Ésta no es la idea
en el principio de incertidumbre.
El principio de incertidumbre es
independiente del proceso de medición y está en función de la naturaleza ondulatoria de la materia.
EJEMPLO 40.6
¢E ¢t
U
2
(40.24)
Esta forma del principio de incertidumbre sugiere que puede parecer que se ha violado
la conservación de la energía en una cantidad #E, siempre y cuando sea durante un breve
intervalo de tiempo #t consistente con la ecuación. En el capítulo 46 se utilizará esta idea
para estimar las energías de reposo de las partículas.
Pregunta rápida 40.8 Se observa la localización de una partícula y se concluye que está
exactamente en x 0, con una incertidumbre cero en la dirección de las x. ¿De qué manera
afecta lo anterior la incertidumbre de su componente de velocidad en la dirección y? a) No
la afecta. b) Se hace infinita. c) Se hace igual a cero.
Localización de un electrón
Se observa la rapidez de un electrón que es 5.00 ! 103 m/s con una exactitud de 0.003 00%. Encuentre la incertidumbre
mínima para determinar la posición de este electrón.
SOLUCIÓN
Conceptualizar El valor fraccionario dado por la exactitud de la rapidez del electrón se puede interpretar como la incertidumbre fraccionaria en su cantidad de movimiento. Esta incertidumbre corresponde a una incertidumbre mínima en la
posición del electrón a través del principio de incertidumbre.
Categorizar El resultado se evalúa con conceptos desarrollados en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un
problema de sustitución.
Sección 40.8
Suponga que el electrón se mueve junto al
eje x y encuentre la componente x de su cantidad de movimiento:
px
Encuentre la incertidumbre en px como
0.003 00% de este valor:
10
31
kg2 15.00
10.000 030 02 14.56
¢p x
Resuelva la ecuación 40.23 para la incertidumbre en la posición del electrón:
EJEMPLO 40.7
19.11
mu x
¢x
U
2¢p x
El principio de incertidumbre
27
10
1.055
2 11.37
103 m>s 2
kg # m>s2
10
10
31
34
J#s
kg # m>s 2
4.56
1.37
10
10
31
27
1177
kg # m>s
kg # m>s
0.386 mm
El ancho de línea de emisiones atómicas
Los átomos tienen niveles de energía cuantizados similares a los de los osciladores de Planck, aunque los niveles de energía
de un átomo por lo general no están igualmente espaciados. Cuando un átomo hace una transición entre estados, se emite
energía en la forma de un fotón. Aunque un átomo excitado puede radiar en cualquier momento de t 0 a t %, el intervalo de tiempo promedio después de la excitación durante el cual un átomo radia se llama vida media t. Si t 1.0 ! 1028 s,
use el principio de incertidumbre para calcular el ancho de línea #f producido por este tiempo de vida finito.
SOLUCIÓN
Conceptualizar La vida media t determinada por el estado excitado se interpreta como la incertidumbre #t en el tiempo
cuando se presenta la transición. Esta incertidumbre corresponde a una incertidumbre mínima en la frecuencia del fotón
radiado a través del principio de incertidumbre.
Categorizar El resultado se evalúa con conceptos desarrollados en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un
problema de sustitución.
¢E
E hf S ¢E h¢f S ¢f
h
Use la ecuación 40.5 para relacionar la incertidumbre en la
frecuencia del fotón con la incertidumbre en su energía:
1 1h>2p 2
h 2¢t
1 U
h 2¢t
¢f
Use la ecuación 40.24 para sustituir la incertidumbre en la
energía del fotón, dado el valor mínimo de #f:
4p 11.0
¢f
Sustituya para la vida media del estado excitado:
1
10
8
s2
1
4p¢t
8.0
1
4pt
106 Hz
¿Que pasaría si? ¿Y si esta misma vida media se asociara con una transición que emite una onda de radio en lugar de una
onda de luz visible desde un átomo? ¿El ancho de línea fraccionaria #f/f es mayor o menor que para la luz visible?
Respuesta Puesto que se supone la misma vida media para ambas transiciones, #f es independiente de la frecuencia de la
radiación. Las ondas de radio tienen frecuencias menores que las ondas de luz, así que la relación #f/f será mayor para las
ondas de radio. Si supone una frecuencia de onda de luz f de 6.00 ! 104 Hz, el ancho de línea fraccionaria es
¢f
8.0
106 Hz
f
6.00
1014 Hz
1.3
10
8
Este estrecho ancho de línea fraccionaria se puede medir con un interferómetro sensible. Sin embargo, por lo general los
efectos de temperatura y presión ensombrecen el ancho de línea natural y ensancha la línea a través de un mecanismo
asociado con el efecto Doppler y las colisiones.
Si supone una frecuencia de onda de radio f de 94.7 ! 106 Hz, el ancho de línea fraccionaria es
¢f
f
8.0
94.7
106 Hz
106 Hz
8.4
10
2
Por lo tanto, para la onda de radio, este mismo ancho de línea absoluto corresponde a un ancho de línea fraccionario de
más de 8 por ciento.
1178
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
Resumen
CONCEPTOS Y PRINCIPIOS
Las características de la radiación
de cuerpo negro no se explican con
conceptos clásicos. Planck introdujo
el concepto cuántico y la constante
de Planck h cuando supuso que
los osciladores atómicos que sólo
existían en estados de energía
discretos fueron los responsables
de esta radiación. En el modelo de
Planck, la radiación se emite en
paquetes cuantizados simples,
siempre que un oscilador haga una
transición entre estados de energía
discretos. La energía de un paquete es
E
hf
(40.5)
donde f es la frecuencia del oscilador.
Einstein extendió exitosamente la
hipótesis cuántica de
Planck a las ondas estacionarias
de la radiación electromagnética en
una cavidad usada en el modelo de
radiación de cuerpo negro.
El efecto fotoeléctrico es un proceso mediante el cual se expulsan
electrones de una superficie metálica cuando la luz incide sobre dicha
superficie. En el modelo de Einstein la luz se ve como una corriente de
partículas o fotones, cada uno con energía E hf, donde h es la constante
de Planck y f es la frecuencia. La máxima energía cinética del fotoelectrón
expulsado es
K máx
hf 2 f
(40.9)
donde f es la función trabajo del metal.
Los rayos X se dispersan en diferentes ángulos por electrones en un objetivo.
En tal evento de dispersión, se observa un corrimiento de la longitud de
onda para los rayos X dispersados, un fenómeno conocido como efecto
Compton. La física clásica no predice el comportamiento correcto en este
efecto. Si el rayo X se trata como un fotón, la conservación de energía y
la cantidad de movimiento lineal aplicados a las colisiones fotón-electrón
producen, para el corrimiento Compton,
l¿
l0
h
11
m ec
cos u2
(40.11)
donde me es la masa del electrón, c es la rapidez de la luz y u es el ángulo
de dispersión.
La luz tiene una naturaleza dual en cuanto a
que tiene características tanto de onda como de
partícula. Algunos experimentos se explican mejor o
exclusivamente por el modelo corpuscular, mientras
que otros se explican mejor o exclusivamente por el
modelo ondulatorio.
Todo objeto de masas m y cantidad de movimiento p mu
tiene propiedades ondulatorias, con una longitud de onda
De Broglie dada por
Al combinar un gran número de ondas se puede crear una
región de interferencia constructiva llamada paquete de onda.
El paquete de onda tiene la característica de localización como
las partículas, pero tiene propiedades ondulatorias porque está
construida a partir de ondas. Para una onda individual en el
paquete de onda, la rapidez de fase es
v
vfase
(40.18)
k
Para el paquete de onda como un todo, la rapidez de grupo es
dv
vg
(40.19)
dk
Para un paquete de onda que representa una partícula, se
demuestra que la rapidez de grupo es la misma que la rapidez
de la partícula.
l
h
p
h
mu
(40.15)
El principio de incertidumbre de Heisenberg
afirma que, si una medida de la posición de
una partícula se hace con incertidumbre #x
y una medición simultánea de su cantidad de
movimiento lineal se hace con incertidumbre
#px, el producto de las dos incertidumbres se
restringe a
U
¢E ¢t
(40.23)
2
Otra forma del principio de incertidumbre
relaciona mediciones de energía y tiempo:
U
¢E ¢t
(40.24)
2
Preguntas
1179
Preguntas
O indica pregunta complementaria.
1. El modelo clásico de la radiación del cuerpo negro conocido
por la ley de Rayleigh-Jeans tiene dos defectos importantes.
Identifíquelos y explique la forma en que la ley de Planck los
resuelve.
2. Todos los objetos emiten energía. ¿Por qué, en tal caso, no es
capaz de ver todos los objetos existentes en un cuarto oscuro?
3. O En cierto experimento, un filamento en un foco evacuado tiene una corriente I1 y mide el espectro de luz emitido
por el filamento, que se comporta como un cuerpo negro a
temperatura T1. La longitud de onda emitida con la mayor
intensidad (simbolizada mediante lmáx) tiene el valor l1. Por
lo tanto, usted aumenta la diferencia de potencial a través del
filamento en un factor de 8, y la corriente aumenta en un
factor de 2. i) Después de este cambio, ¿cuál es el nuevo valor
de la temperatura del filamento? a) 16T1, b) 8T1, c) 4T1,
d) 2T1, e) todavía T1. ii) ¿Cuál es el nuevo valor de la longitud de onda emitida con mayor intensidad? a) 4l1, b) 2l1,
c) 12 l1, d) l1, e)l1/ 12 , f) l1/2, g) l1/4.
4. Si observa el efecto fotoeléctrico en un metal, ¿podría concluir
que también el efecto será observado en otro metal bajo iguales condiciones? Explique.
5. ¿Qué representa la pendiente de la línea de la figura 40.11?
¿Qué representa la intersección con el eje de las y? ¿De qué
manera se compararían estas gráficas en diferentes metales?
6. ¿Por qué la existencia de la frecuencia de corte en el efecto fotoeléctrico favorece la teoría de las partículas y no la teoría ondulatoria?
7. En el efecto fotoeléctrico, explique por qué el potencial de
frenado depende de la frecuencia de la luz pero no de su intensidad.
8. ¿Cuál tiene más energía, un fotón de radiación ultravioleta o
un fotón de luz amarilla?
9. O ¿Cuál de los siguientes es más probable que cause quemadura por entregar más energía a moléculas individuales en las
células de la piel? a) Luz infrarroja, b) luz visible, c) luz
ultravioleta, d) microondas, e) Las opciones de la a) a la
d) son igualmente probables.
10. ¿En qué difiere el efecto Compton del efecto fotoeléctrico?
11. Un fotón de rayos X es dispersado por un electrón originalmente inmóvil. ¿Qué le ocurre a la frecuencia del fotón dispersado en relación con la correspondiente del fotón incidente?
La frecuencia del fotón dispersado es a) baja, b) alta, o c)
sin cambio.
12. Suponga que se tomó la fotografía de la cara de una persona
utilizando sólo unos pocos fotones. ¿El resultado sería una
imagen muy poco nítida de la cara? Explique su respuesta.
13. O Considere a) un electrón, b) un fotón y c) un protón, todos
moviéndose en el vacío. Elija todas las respuestas correctas para
cada pregunta. i) ¿Cuál de las tres tiene energía en reposo?
ii) ¿Cuál tiene carga? iii) ¿Cuál porta energía? iv) ¿Cuál porta
cantidad de movimiento? v) ¿Cuál se mueve a la rapidez de la
luz? vi) ¿Cuál tiene una longitud de onda que caracteriza su
movimiento?
14. ¿La luz es una onda o una partícula? Documente su respuesta
con evidencias experimentales específicas.
15. ¿Un electrón es una onda o una partícula? Documente su respuesta con algunos resultados experimentales.
16. ¿Por qué se considera la demostración de la difracción del
electrón, por parte de Davisson y Germer, como un experimento de importancia?
17. O Un electrón y un protón, que se mueven en direcciones
opuestas, aceleran desde el reposo a través de la misma diferencia de potencial. ¿Cuál partícula tiene la longitud de onda
más larga? a) El electrón. b) El protón. c) Ambas. d) Ninguna
tiene longitud de onda.
18. Si la materia tiene una naturaleza ondulatoria, ¿por qué esa
característica de onda no es observable en la experiencia cotidiana?
19. O Clasifique las longitudes de onda de las siguientes partículas
cuánticas, de mayor a menor. Si algunas tienen iguales longitudes
de onda, despliegue la igualdad en su clasificación. a) Un fotón
con energía 3 eV, b) un electrón con energía cinética 3 eV,
c) un protón con energía cinética 3 eV, d) un fotón con energía 0.3 eV, e) un fotón con cantidad de movimiento 3 eV/c
1.6 ! 10227 kg & m/s, f) un electrón con cantidad de movimiento 3 eV/c, g) un protón con cantidad de movimiento 3 eV/c.
20. Cuando estaba describiendo el paso de los electrones a través de
una rejilla y su llegada a la pantalla, el físico Richard Feynman
dijo que “los electrones llegan en paquetes, como las partículas,
pero la probabilidad de llegada de dichos paquetes está determinada al igual que la intensidad de las ondas. Es en este sentido que el electrón se comporta a veces como una partícula y
a veces como una onda”. Explique esto con sus propias palabras. Para un análisis adicional de este punto, véase R. Feynman, The caracter of Physical Law, Cambridge, MA, MIT Press,
1980, capítulo 6.
21. ¿Por qué un microscopio electrónico es más adecuado para
“ver” objetos de tamaño inferior a 1 mm que un microscopio
óptico?
22. O Un electrón y un protón se aceleran a la misma rapidez, y la
incertidumbre experimental en la rapidez es la misma para las
dos partículas. También se observan las posiciones de las dos
partículas. La mínima incertidumbre posible en la posición del
electrón es, ¿a) menor que la mínima incertidumbre posible
en la posición del protón, b) la misma que para el protón,
c) más que para el protón o d) imposible de decir a partir de
la información dada?
23. Como se ilustra en las fotografías de apertura del capítulo 37
y de la figura P38.52 en el capítulo 38, la iridiscencia es el fenómeno que le da colores brillantes a las plumas de los pavo
reales, colibríes, quetzales resplandecientes, e incluso patos y
estorninos. Sin pigmentación, le da color a las mariposas Morpho, a las polillas Urania, a algunos escarabajos y moscas, a
la trucha arco iris y a las conchas de madreperla de las orejas
marinas o de San Pedro. Los colores iridiscentes cambian si se
hace girar un objeto. Pueden aparecer diferentes a cada uno
de los ojos, con lo cual parecen tener un lustre metálico. Los
colores iridiscentes, que fueron descritos por primera vez no
por un artista o por un biólogo sino por el físico Isaac Newton,
son originados por una amplia diversidad de estructuras intrincadas en diferentes especies; el problema 52 del capítulo 38
describe los correspondientes a una pluma de pavo real. Estas
estructuras eran totalmente desconocidas hasta la invención
del microscopio electrónico. Explique la razón por la cual los
microscopios luminosos no los pueden poner de manifiesto.
1180
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
24. Más negro que el negro, más brillante que el blanco. a) Tome una
caja de cartón grande cerrada y vacía. Corte en un costado una
ranura de unos milímetros de ancho. Use plumas y marcadores negros así como otro material de color negro para hacer
algunas franjas a un costado de la ranura, como se observa en
la figura P40.24a. Estúdielas con cuidado y elija la franja más
negra; quizá la figura no tenga suficiente contraste para observar cuál es. Explique por qué esa raya es la más negra.
b) Busque una lámpara o foco fluorescente de pequeño tamaño de forma intrincada. Obsérvela a través de anteojos oscuros
y diga dónde parece ser más brillante. Explique la razón por
la cual la lámpara es más brillante en ese punto. La figura
P40.24b muestra dos de estas lámparas una al lado de la otra.
Sugerencia: Gustav Kirchhoff, profesor en Heidelberg y maestro de lo obvio, respondió de la misma manera al inciso a)
que se hizo aquí. Su respuesta al inciso b) empezaría como
sigue: cuando una radiación electromagnética incide sobre
su superficie, un objeto refleja una fracción r de la energía
y absorbe lo demás. Independientemente de que la fracción
reflejada sea 0.8 o 0.001, la fracción absorbida es igual a a
1 2 r. Suponga que el objeto y su entorno están a la misma
temperatura. La energía que absorbe el objeto se une a su
energía interna, pero la segunda ley de la termodinámica implica que la energía absorbida no puede elevar la temperatura
del objeto. No produce un incremento en temperatura porque
el presupuesto energético del objeto tiene un término adicional: energía radiada.
Es necesario todavía efectuar las observaciones y responder a las preguntas a) y b), pero, si así lo desea, puede incorporar algunas de las ideas de Kirchhoff.
a)
b)
Figura P40.24
Problemas
Intensidad relativa
Sección 40.1 Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck
1. El ojo humano tiene su máxima sensibilidad a luz de 560 nm.
¿Cuál es la temperatura de un cuerpo negro cuya radiación
más intensa ocurrirá en esta longitud de onda?
2. v a) Modele el filamento de tungsteno de una lámpara como
un cuerpo negro a 2900 K de temperatura. Determine la longitud de onda de la luz que emite más intensamente. b) Explique por qué la respuesta al inicio a) sugiere que más energía
de la lámpara va a radiación infrarroja que a luz visible.
3. v La figura P40.3 muestra el espectro de luz emitido por una
luciérnaga. Determine la temperatura de un cuerpo negro que
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
400
500
600
Longitud de onda (nm)
Figura P40.3
2
intermedio; 3
desafiante;
razonamiento simbólico; v
emitirá radiación con pico a la misma longitud de onda. Según
su resultado, explique si la radiación de la luciérnaga es radiación de cuerpo negro.
4. a) Los relámpagos producen una máxima temperatura de aire
del orden de 104 K, mientras b) una explosión nuclear produce una temperatura del orden de 107 K. Use la ley de desplazamiento de Wien para encontrar el orden de magnitud de
la longitud de onda de los fotones térmicamente producidos
radiados con mayor intensidad por cada una de estas fuentes.
Mencione la parte del espectro electromagnético donde esperaría que cada uno emita más intensamente.
5. Un cuerpo negro a 7 500 K está constituido por una abertura de diámetro 0.050 0 mm, mirando hacia el interior de un
horno. Encuentre la cantidad de fotones por segundo que
escapan por esa abertura con longitudes de onda entre 500 y
501 nm.
6. Considere un cuerpo negro con 20.0 cm2 de superficie y con
una temperatura de 5000 K. a) ¿Cuánta potencia irradia? b)
¿A qué longitud de onda irradia con una máxima intensidad?
Determine la potencia espectral por longitud de onda en c)
esta longitud de onda y en longitudes de onda de d) 1.00 nm
(un rayo X o un rayo gama), e) 5.00 nm (luz ultravioleta
o rayos X), f) 400 nm (en el límite entre la luz ultravioleta y
la luz visible), g) 700 nm (en el límite entre la luz visible
y la luz infrarroja), h) 1.00 mm (la luz infrarroja o una microonda) e i) 10.0 cm (una microonda o una onda de radio).
razonamiento cualitativo
Problemas
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
j) ¿Aproximadamente cuánta energía irradia el objeto como
luz visible?
El radio del Sol es de 6.96 ! 108 m, y su energía total emitida es
de 3.85 ! 1026 W. a) Suponiendo que la superficie del Sol radia
como si fuera un cuerpo negro, calcule la temperatura de su
superficie. b) Utilizando el resultado del inciso a), determine
la lmáx para el Sol.
El umbral promedio de la visión adaptada a la oscuridad (escotópica), es de 4.00 ! 10211 W/m2 a una longitud de onda central de 500 nm. Si la luz de esta intensidad y longitud de onda
entra en el ojo humano y la pupila está abierta a su diámetro
máximo de 8.50 mm, ¿cuántos fotones por segundo entran en
el ojo?
Calcule en electrón volts la energía de un fotón cuya frecuencia es a) 620 THz, b) 3.10 GHz y c) 46.0 MHz. d) Determine
las longitudes de onda correspondientes a estos fotones y diga
cómo se clasifica cada uno de ellos en el espectro electromagnético.
Un péndulo simple tiene una longitud de 1.00 m y una masa
de 1.00 kg. La amplitud de las oscilaciones del péndulo es de
3.00 cm. Estime el número cuántico para este péndulo.
Un transmisor de radio de FM tiene una potencia de salida de
150 kW y con una frecuencia de 99.7 MHz. ¿Cuántos fotones
por segundo emite el transmisor?
Problema de repaso. Este problema es acerca de que tán fuertemente se acopla la materia a la radiación, el tema con el que
comenzó la mecánica cuántica. Para un modelo simple, considere una esfera sólida de hierro de 2.00 cm de radio. Suponga
que su temperatura siempre es uniforme en todo su volumen.
a) Encuentre la masa de la esfera. b) Suponga que la esfera
está a 20°C y tiene emisividad 0.860. Encuentre la potencia
con la que emite ondas electromagnéticas. c) Si estuviese sola
en el Universo, ¿con qué rapidez cambiaría la temperatura de
la esfera? d) Suponga que la ley de Wien describe la esfera.
Encuentre la longitud de onda lmáx de radiación electromagnética que emite más fuertemente. Aunque emite un espectro
de ondas que tienen diferentes longitudes, suponga que su
salida de potencia se transporta mediante fotones de longitud
de onda lmáx. Encuentre e) la energía de un fotón y f) el número de fotones que emite cada segundo. Nota: La respuesta
al inciso f) da un indicio de qué tan rápido emite el objeto y
también absorbe fotones cuando está en equilibrio térmico
con sus alrededores a 20°C.
Demuestre que en las longitudes de onda larga, la ley de la
radiación de Planck (ecuación 40.6) se reduce a la ley de Rayleigh-Jeans (ecuación 40.3).
Sección 40.2 Efecto fotoeléctrico
14. El molibdeno tiene una función trabajo de 4.20 eV. a) Determine la longitud de onda y la frecuencia de corte para el
efecto fotoeléctrico. b) ¿Cuál es el potencial de frenado si la
luz incidente tiene una longitud de onda de 180 nm?
15. Dos fuentes luminosas se usan en un experimento fotoeléctrico
para determinar la función trabajo para una superficie metálica particular. Cuando se usa luz verde de una lámpara de mercurio (l 546.1 nm), un potencial de frenado de 0.376 V reduce la fotocorriente a cero. a) Según esta medición, ¿cuál es la
función trabajo para este metal? b) ¿Qué potencial de frenado
se observa cuando se usa luz amarilla de un tubo de descarga
de helio (l 587.5 nm)?
16. Cuando se utiliza una luz de longitud de onda de 625 nm,
se expulsan los electrones de una superficie metálica con in-
2
intermedio; 3
desafiante;
17.
18.
19.
20.
1181
tervalos de rapidez que llega hasta 4.60 ! 105 m/s. a) ¿Cuál es
la función trabajo de la superficie? b) ¿Cuál es la frecuencia
de corte para esta superficie?
v El litio, el berilio y el mercurio tienen funciones trabajo de
2.30 eV, 3.90 eV y 4.50 eV, respectivamente. Sobre cada uno de
estos metales incide una luz con una longitud de onda de 400
nm. Determine a) cuál de estos metales muestra el efecto fotoeléctrico. Explique su razonamiento. b) Encuentre la energía
cinética máxima de los fotoelectrones en cada caso.
v A partir de la dispersión de la luz solar, Thomson calculó el radio clásico del electrón de 2.82 ! 10215 m. Sobre un
disco de este radio incide luz solar con una intensidad de 500
W/m2. Calcule el intervalo requerido para acumular 1.00 eV
de energía. Suponga que la luz es una onda clásica y que la
luz que incide sobre el disco se absorbe totalmente. ¿Cómo
se compara su resultado con la observación de que los fotoelectrones se emiten con prontitud (en un tiempo inferior a
1029 s)?
Problema de repaso. Una esfera de cobre aislada de 5.00 cm
de radio, inicialmente sin carga, es iluminada utilizando luz
ultravioleta con una longitud de onda de 200 nm. ¿Qué carga
induce el efecto fotoeléctrico sobre la esfera? La función trabajo del cobre es de 4.70 eV.
v Problema de repaso. Una fuente luminosa que emite radiación en 7.00 ! 1014 Hz no es capaz de expulsar fotoelectrones
de un cierto metal. En un intento por utilizar esta fuente para
expulsar fotoelectrones del metal, se le imprime a la fuente
una velocidad dirigida hacia el metal. a) Explique la forma en
que este procedimiento produce fotoelectrones. b) Cuando
la rapidez de la fuente luminosa es igual a 0.280 c, apenas
empiezan a ser expulsados del metal los fotoelectrones. ¿Cuál
es la función trabajo del metal? c) Cuándo se incrementa la rapidez de la fuente luminosa hasta 0.900c, determine la energía
cinética máxima de los fotoelectrones.
Sección 40.3 Efecto Compton
21. Calcule la energía y la cantidad de movimiento de un fotón
con una longitud de onda de 700 nm.
22. v Rayos X con una longitud de onda de 120.0 pm se someten
a dispersión Compton. a) Encuentre las longitudes de onda
de los fotones dispersados con ángulos de 30.0°, 60.0°, 90.0°,
120°, 150° y 180°. b) Encuentre la energía del electrón dispersado en cada caso. c) ¿Cuál de los ángulos de dispersión
proporciona al electrón la mayor energía? Explique si podría
responder esta pregunta sin hacer cálculo alguno.
23. Un fotón de 0.001 60 nm se dispersa de un electrón libre. ¿Para
qué (fotón) ángulo de dispersión del electrón en retroceso
tiene una energía cinética igual a la energía del fotón disperso?
24. Los rayos X, con una energía de 300 keV, se someten a cierta
dispersión Compton proveniente desde un objetivo. Los rayos dispersos son detectados a 37.0' en relación con los rayos
incidentes. Determine a) el corrimiento Compton en este ángulo, b) la energía del rayo X disperso y c) la energía del electrón en retroceso.
25. Un fotón de 0.880 MeV es dispersado por un electrón libre
inicialmente en reposo de manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del fotón dispersado
(u f de la figura 40.13b). Determine a) los ángulos u y f,
b) Determine la energía y la cantidad de movimiento del
fotón dispersado y c) la energía cinética y la cantidad de movimiento del electrón dispersado.
razonamiento simbólico; v
razonamiento cualitativo
1182
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
26. Un fotón con energía E0 es dispersado por un electrón libre
inicialmente en reposo, de manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del fotón dispersado
(u
f de la figura 40.13). a) Determine los ángulos u y f,
b) Determine la energía y la cantidad de movimiento del fotón
dispersado y c) Determine la energía cinética y la cantidad de
movimiento del electrón dispersado.
27. Después de que un fotón de rayos X de 0.800 nm se dispersa a
causa de un electrón libre, el electrón retrocede a 1.40 ! 106 m/
s. a) ¿Cuál es el corrimiento Compton en la longitud de onda
del fotón? b) ¿A través de qué ángulo se dispersa el fotón?
28. En un experimento de dispersión Compton, un fotón de rayos
X se dispersa en un ángulo de 17.4' a causa de un electrón
libre inicialmente en reposo. El electrón retrocede con una
rapidez de 2180 km/s. Calcule a) la longitud de onda del fotón
incidente y b) el ángulo en el cual se dispersa el electrón.
29. v En un experimento de dispersión Compton, un fotón se
dispersa en un ángulo de 90.0° y el electrón se pone en movimiento en una dirección a un ángulo de 20.0° a la dirección
original del fotón. Explique si esta información es suficiente para determinar de manera única la longitud de onda del
fotón dispersado. Si es así, encuentre esta longitud de onda.
30. Un fotón con un longitud de onda l se dispersa por un electrón libre en el punto A (figura P40.30) y produce un segundo fotón con una longitud de onda l9. Este fotón a su vez se
dispersa por colisión con otro electrón libre en el punto B,
produciendo un tercer fotón de longitud de onda l0 y que se
mueve en una dirección directamente opuesta a la del fotón
original, como se muestra en la figura. Determine el valor numérico de #l l0 2 l.
en el interior del haz. b) Si el haz brilla en forma perpendicular
sobre una superficie perfectamente reflejante, ¿cuál es la fuerza
que ejerce sobre la superficie? c) Si el haz es absorbido por un
bloque de hielo a 0'C durante 1.50 h, ¿cuál es la masa de hielo
que se funde?
Sección 40.5 Propiedades ondulatorias de las partículas
34. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un protón
móvil con una rapidez de 1.00 ! 106 m/s.
35. Calcule la longitud de onda de De Broglie para un electrón
que tiene una energía cinética a) de 50.0 eV y b) de 50.0 keV.
36. a) Un electrón tiene una energía cinética de 3.00 eV. Determine su longitud de onda. b) ¿Qué pasaría si? Un fotón tiene
una energía de 3.00 eV. Determine su longitud de onda.
37. v El núcleo de un átomo tiene un diámetro del orden de 10214 m.
Para que un electrón se quede confinado en un núcleo, su
longitud de onda de De Broglie tiene que estar en ese orden
de magnitud o menor. a) ¿Cuál sería la energía cinética de un
electrón confinado en esa región? b) Estime el orden de magnitud de la energía potencial eléctrica del sistema de un electrón en un núcleo atómico. ¿Qué esperaría para encontrar un
electrón en el núcleo? Explique.
38. En el experimento de Davisson-Germer, se difractaron electrones de 54.0 eV a causa de una red de níquel. Si el primer
máximo en el patrón de dispersión fue observado en f 50.0'
(figura P40.38), ¿cuál fue el espaciamiento a de la red entre las
hileras verticales de átomos de la figura? (No es el mismo espaciamiento que el que se encuentra entre las hileras horizontales
de átomos.)
u
Haz de
electrones
Electrón 1
f
a
A
l
Electrones
dispersados
a
u
l9
d
B
l0
b
Electrón 2
Figura P40.30
31. Determine la máxima pérdida fraccionaria de energía para un
rayo gama de 0.511 MeV que ha sido dispersado mediante el
efecto Compton a causa de a) un electrón libre y b) un protón
libre.
Sección 40.4 Fotones y ondas electromagnéticas
32. v Un onda electromagnética es llamada radiación ionizante si su
energía de fotones es superior a, 10.0 eV, por lo que un fotón
individual tiene suficiente energía para romper un átomo. En
referencia a la figura 34.11, explique que región o regiones del
espectro electromagnético que se ajustan a esta definición de
radiación ionizante y también las que no se ajustan.
33. Problema de repaso. Un láser de helio neón produce un haz
que tiene un diámetro de 1.75 mm, y que entrega 2.00 ! 1018
fotones/s. Cada fotón tiene una longitud de onda de 633 nm.
a) Calcule las amplitudes de los campos eléctrico y magnético
2
intermedio; 3
desafiante;
Figura P40.38
39. v a) Demuestre que la frecuencia ƒ y la longitud de onda l de
una partícula cuántica con un movimiento libre están relacionadas mediante la expresión
f 2
1
1
a b
c
l2
l C2
donde lC h/mc es la longitud de onda Compton de la partícula. b) ¿Será posible alguna vez para una partícula de masa
diferente de cero tener la misma longitud de onda y la misma
frecuencia que un fotón? Explique su respuesta.
40. Un fotón tiene una energía igual a la energía cinética de un
electrón con rapidez u, que puede estar cerca a la rapidez de
la luz. a) Calcule la relación de la longitud de onda del fotón
a la longitud de onda del electrón. b) Evalúe la relación para
la rapidez de la partícula u 0.900c. c) ¿Qué pasaría si? si la
partícula material fuese un protón en lugar de un electrón?
d) Evalúe la relación para la rapidez de partícula u 0.001
00c. e) ¿A qué valor tiende la relación de las longitudes de
onda con magnitudes de velocidad altas? f) ¿Con magnitud
de velocidad bajas?
razonamiento simbólico; v
razonamiento cualitativo
Problemas
41. El poder de resolución de un microscopio depende de la longitud de onda utilizada. Si quisiera “ver” un átomo, sería necesario tener una resolución de aproximadamente 1.00 ! 10211
m. a) Si se utilizan electrones (en un microscopio electrónico),
¿cuál es la energía cinética mínima necesaria para los electrones? b) ¿Qué pasaría si? Si se utilizan fotones, ¿cuál es la energía mínima necesaria para obtener la resolución requerida?
42. v Después de aprender de la hipótesis de De Broglie en cuanto a que las partículas de cantidad de movimiento p tienen
características ondulatorias con una longitud de onda l
h/p, un estudiante de 80.0 kg de peso está preocupado por el
temor a ser difractado al pasar a través de una puerta de 75.0
cm de ancho. Suponga que se presenta una difracción significativa cuando el ancho de la abertura de difracción es inferior
a 10.0 veces la longitud de la onda que se está difractando.
a) Determine la rapidez máxima a la cual el estudiante debe
pasar a través de esa puerta para ser difractado significativamente. b) ¿A esa rapidez, cuánto tarda el estudiante en pasar
a través de la puerta, si está instalada en un muro de 15.0 cm
de espesor? Compare su resultado con la edad actualmente
aceptada del Universo, que es de 4 ! 1017 s. c) Explique si este
estudiante debe preocuparse de ser difractado.
43. v Robert Hofstadter ganó el Premio Nobel de Física en
1961, por su trabajo pionero en el estudio de la dispersión
de electrones de 20 GeV desde el núcleo. a) ¿Cuál es el factor g para un electrón con energía total de 20.0 GeV, defi1> 11 u 2>c 2 ? b) Encuentre la cantidad de
nido por g
movimiento del electrón. c) Encuentre la longitud de onda
del electrón. Establezca cómo se compara con el diámetro de
un núcleo atómico, representativo en el orden de 10214 m.
Sección 40.6 Partícula cuántica
44. Considere una partícula cuántica en movimiento libre de masa
K 21 mu2. Determim y rapidez u. Su energía es igual a E
ne la rapidez de fase de la onda cuántica que representa la
partícula y demuestre que es diferente de la rapidez a la cual
transporta masa y energía.
45. Para una partícula cuántica relativista libre que se mueve
con una rapidez v, la energía total es igual a E
hf !v
1p 2c 2 m 2c 4 y la cantidad de movimiento es igual a p h/l
!k gmu. Para la onda cuántica que representa la partícula,
la rapidez de grupo es igual a vg d"/dk. Demuestre que la
rapidez de grupo de la onda es igual a la rapidez de la partícula.
Sección 40.7 Revisión del experimento de doble rejilla
46. Para llevar a cabo un experimento de interferencia de electrones se utiliza un osciloscopio modificado. Los electrones inciden sobre un par de rejillas estrechas separadas 0.060 0 mm.
Sobre una pantalla colocada a 20.0 cm de las rejillas, las bandas brillantes del patrón de interferencia aparecen separadas
0.400 mm. Determine la diferencia de potencial a través de la
cual se aceleraron los electrones para obtener este patrón.
47. A través de un par de rejillas separadas entre sí 1.00 mm,
se hacen pasar neutrones que viajan a 0.400 m/s. A 10.0 m
de las rejillas, se coloca un arreglo de detectores. a) ¿Cuál es
la longitud de onda de De Broglie de los neutrones? b) ¿Qué
tan alejado del eje está el primer punto de cero intensidad
sobre el arreglo de detectores? c) Cuando un neutrón llega a
un detector, es posible saber a través de qué rejilla pasó dicho
neutrón? Explique.
48. En un determinado tubo de vacío, los electrones se evaporan
de un cátodo caliente a una rapidez lenta estable y se aceleran
2
intermedio; 3
desafiante;
1183
desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 45.0
V. Después se desplazan 28.0 cm conforme pasan a través de un
arreglo de rejillas e inciden sobre una pantalla produciendo un
patrón de interferencia. Si la corriente del haz está por debajo
de un cierto valor, solamente un electrón estará en movimiento
en el tubo. ¿Cuál es este valor? En esta situación seguirá apareciendo el patrón de interferencia, lo que demuestra que cada
electrón individual puede interferir consigo mismo.
Sección 40.8 El principio de incertidumbre
49. Un electrón (me 9.11 # 10231 kg) y una bala (m 0.020 0 kg)
tienen cada uno una velocidad de magnitud 500 m/s, con una
precisión dentro de 0.010 0%. ¿En qué límites es posible determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección
de la velocidad?
50. Suponga que Fuzzy, un pato mecánico cuántico, vive en un
mundo en el cual h 2p J $ s. Fuzzy tiene una masa de 2.00 kg
e inicialmente se sabe que está en un estanque de 1.00 m de
ancho. a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima en la componente
de esta velocidad que es paralela al ancho del estanque? b)
Suponiendo que se mantiene esta incertidumbre en la rapidez
durante 5.00 s, determine la incertidumbre de Fuzzy en esa
posición después de este intervalo.
51. v Con un rifle de aire comprimido se disparan partículas de
1.00 g a 100 m/s a través de un orificio de 2.00 mm de diámetro. ¿A qué distancia del rifle debe colocarse un observador
para poder ver la dispersión del haz en 1.00 cm, debido al
principio de incertidumbre? Compare esta respuesta con el
diámetro del universo visible (2 # 1026 m).
52. Use el principio de incertidumbre a fin de demostrar que si un
electrón estuviera confinado en el interior de un núcleo atómico de 2 # 10215 m de diámetro, tendría que estar desplazándose de manera relativista, en tanto que un protón confinado
en el mismo núcleo podría estarse desplazando de manera
no relativista.
53. Una mujer de pie sobre una escalera deja caer píldoras pequeñas hacia un objetivo puntual en el piso. a) Demuestre que,
según el principio de incertidumbre, la distancia promedio de
error debe ser por lo menos
2U 1>2 2H 1>4
b a
b
m
g
donde H es la altura inicial de cada píldora desde el piso y m
es la masa de cada píldora. Suponga que la dispersión en los
puntos de impacto está dada por %xƒ
%xi & (%vx)t. b) Si
H 2.00 m y m 0.500 g, ¿cuál es valor de %xƒ ?
¢xf
a
Problemas adicionales
54. Problema de repaso. Diseñe un filamento de lámpara incandescente. Especifique la longitud y radio que puede tener un
alambre de tungsteno para radiar ondas electromagnéticas
con potencia de 75.0 W cuando sus extremos se conectan a
través de un suministro de potencia de 120 V. Suponga que
su temperatura de operación constante es 2900 K y su emisividad es 0.450; también que toma energía sólo por transmisión
eléctrica y pierde energía sólo por radiación electromagnética.
De la tabla 27.2, puede tomar la resistividad del tungsteno a
2900 K como
5.6
10
8
# m 31
14.5
10 3>°C2 1 2607°C2 4
7.13 10 7 # m
55. La tabla que aparece a continuación muestra datos obtenidos
en un experimento fotoeléctrico. a) Utilizando estos datos, elabore una gráfica similar a la de la figura 40.11 que construye
razonamiento simbólico; v
razonamiento cualitativo
1184
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
como la ley de Stefan (véase la sección 20.7). A fin de efectuar
la integración, es necesario hacer el cambio de variable x
hc/lkBT y utilizar
una línea recta. De la gráfica, determine b) un valor experimental para la constante de Planck (en joules-segundo) y c) la
función trabajo (en electrón volts) para la superficie. Dos cifras
significativas son suficientes para cada respuesta.
Longitud de
onda (nm)
Energía cinética máxima
de los fotoelectrones (eV)
588
505
445
399
0.67
0.98
1.35
1.63
56. La figura P40.56 muestra el potencial de frenado en función
de la frecuencia del fotón incidente para el efecto fotoeléctrico en el sodio. Use la gráfica para determinar a) la función
trabajo, b) la relación h/e y c) la longitud de onda de corte.
Los datos se han tomado de R. A. Millikan, Phys. Rev. 7:362
(1916).
%Vs (V)
3
2
1200
1000
800
600
200
0
400
1
f (THz)
Figura P40.56
57. Problema de repaso. Sobre un metal inciden fotones de longitud de onda l. Los electrones con mayor energía expulsados
del metal son desviados y forman un arco circular de radio
R mediante un campo magnético de magnitud B. ¿Cuál es la
función trabajo del metal?
58. v Luz ultravioleta, con una sola longitud de onda y con intensidad de 550 W/m2, incide de manera normal sobre
la superficie de un metal que tiene una función trabajo de
3.44 eV. Se emiten fotoelectrones con una rapidez máxima
de 420 km/s. a) Encuentre la rtapidez máxima posible de emisión de fotoelectrones desde 1 cm2 de la superficie al imaginar
que cada fotón produce un fotoelectrón. b) Encuentre la corriente eléctrica que constituyen estos electrones. c) ¿Cómo
supone que se compara la corriente real con esta corriente
máxima posible?
59. Deduzca la ecuación para el desplazamiento Compton (ecuación 40.11), a partir de las ecuaciones 40.12, 40.13 y 40.14.
60. Demuestre que un fotón no puede transferir toda su energía a
un electrón libre. Sugerencia: Observe que es necesario conservar la energía del sistema, así como la cantidad de movimiento
del mismo.
61. La potencia total por unidad de área emitida por un cuerpo
negro a una temperatura T es el área bajo la curva I(l, T) en
función de l, como se observa en la figura 40.3. a) Demuestre
que esta potencia por unidad de área es igual a
0
I 1l,T 2 dl
sT 4
donde I(l, T) está dada por la ley de radiación de Planck y s
es una constante independiente de T. Este resultado se conoce
2
intermedio; 3
desafiante;
0
x 3dx
ex 1
p4
15
b) Demuestre que la constante s de Stefan-Boltzmann tiene el
valor de
s
2p 5k B 4
5.67
15c 2h 3
10
8
W>m2 # K4
62. Deduzca la ley de desplazamiento de Wien a partir de la ley
de Planck. Proceda como sigue. En la figura 40.3 observe
que la longitud de onda a la cual el cuerpo negro emite con la
máxima intensidad es la longitud de onda para la cual la gráfica de I(l, T) en función de l tiene una tangente horizontal.
De la ecuación 40.6 evalúe la derivada dI/dl. Establézcala igual
a cero. Resuelva numéricamente la ecuación trascendental resultante para demostrar que hc/lmáxkBT 4.965. . . , o bien
lmáxT hc/4.965 kB. Evalúe la constante con la mayor precisión posible y compárela con el valor experimental de Wien.
63. v El neutrón tiene una masa de 1.67 # 10227 kg. Los neutrones que se emiten en reacciones nucleares se pueden desacelerar mediante colisiones con la materia. Se conocen como
neutrones térmicos en cuanto llegan a un equilibrio térmico
con lo que los rodea. La energía cinética promedio (3kBT/2)
de un neutrón térmico es de aproximadamente 0.04 eV. Calcule la longitud de onda de De Broglie de un neutrón que tiene
una energía cinética de 0.040 0 eV. ¿Cómo se compara esto
con el espaciamiento atómico característico de un cristal? ¿Se
debe esperar que los neutrones térmicos exhiban efectos de
difracción al ser dispersados por un cristal?
64. El truco favorito de Sergio el saltador es salir por la ventana de
un edificio y dejarse caer 50.0 m en una piscina desde el piso
16. Un reportero de noticias toma una fotografía de Sergio,
que pesa 75.0 kg, justo antes de que llegue al agua, utilizando
un tiempo de exposición de 5.00 ms. Determine a) la longitud de onda de De Broglie correspondiente a Sergio en ese
momento, b) la incertidumbre de la medición de su energía
cinética durante ese periodo, y c) el porcentaje de error causado por dicha incertidumbre.
65. Demuestre que la relación de la longitud de onda Compton
lC con la longitud de onda de De Broglie l h/p en el caso
de un electrón relativista es igual a
ca
lC
l
E 2
b
m ec 2
1d
1>2
donde E es la energía total del electrón y me es su masa.
66. Un fotón con una energía inicial E0 se somete a dispersión
Compton con un ángulo u a causa de un electrón libre (de
masa me), que inicialmente está en reposo. Utilizando ecuaciones relativistas para la conservación de la energía y la cantidad
de movimiento, deduzca la correspondencia siguiente para la
energía final E' del fotón disperso:
E0
E¿
1
a
E0
m ec 2
b 11
cos u2
67. Un mesón p 0 es una partícula inestable producto de las colisiones entre partículas de alta energía. Su energía en reposo es
de aproximadamente 135 MeV, y tiene una existencia con un
tiempo de vida media de sólo 8.70 # 10217 s antes de decaer,
razonamiento simbólico; v
razonamiento cualitativo
Respuestas a las preguntas rápidas
formando dos rayos gamma. Utilizando el principio de incertidumbre, estime la incertidumbre fraccionaria %m/m en su
determinación de la masa.
68. Un fotón con una longitud de onda l0 se mueve hacia un
electrón libre que se está trasladando con una rapidez u en
la misma dirección que el fotón (figura P40.68a). El fotón se
dispersa en un ángulo u (figura P40.68b). Demuestre que la
longitud de onda del fotón disperso es igual a
l¿
l0 a
1u>c2 cos u
1
1
1u>c 2
b
1
h
m ec B 1
1u>c 2
1u>c 2
Fotón
incidente
Electrón
Electrón
dispersado
u
l0
b
u
Fotón
dispersado
l9
b)
a)
11
1185
Figura P40.68
cos u2
Respuestas a las preguntas rápidas
40.1
40.2
40.3
40.4
b) Una estrella muy caliente podría tener su pico en la curva
de distribución de intensidad de cuerpo negro con longitudes de onda más cortas que las visibles. Como resultado se
emite más luz azul que luz roja.
Radio AM, radio FM, microondas, luz de sodio. El orden de
la energía del fotón será el mismo que el orden de la frecuencia. En la figura 34.11 aparece una representación gráfica de
la radiación electromagnética en el orden de frecuencia.
c) Cuando se incrementa la frecuencia, cada fotón transporta
más energía, por lo que se requiere un potencial de frenado
más alto para que la corriente se reduzca a cero.
La física clásica predice que la luz de una intensidad suficiente genera la emisión de fotoelectrones, que son independientes de la frecuencia y que no tienen una frecuencia de corte.
También, mientras más alta sea la intensidad, mayor será la
energía cinética máxima de los electrones, con cierto retraso
en el tiempo para la emisión a bajas intensidades. Por lo que
la expectación clásica (que no coincide con el experimento)
produce una gráfica como la siguiente
40.5
40.6
40.7
40.8
K máx
d) El desplazamiento %l es independiente de l. Por lo tanto
el desplazamiento fraccionario más grande corresponderá a
la longitud de onda más baja.
c) Según la ecuación 40.5, dos partículas con la misma longitud de onda de De Broglie tendrán la misma cantidad de movimiento p mv. Si el electrón y el protón tienen la misma
cantidad de movimiento, no pueden tener la misma rapidez
debido a la diferencia en sus masas. Por la misma explicación, considerando que K
p 2/2m, no pueden tener la
misma energía cinética. Porque las partículas tienen diferentes energías cinéticas, la ecuación 40.16 dice que las partículas no tienen tampoco la misma frecuencia.
b) La rapidez de grupo es igual a cero porque el borde delantero del paquete se mantiene fijo en la ubicación del accidente.
a) El principio de incertidumbre relaciona la incertidumbre
en la posición y la velocidad a lo largo del mismo eje. Una incertidumbre cero en la posición a lo largo del eje x da como
resultado una incertidumbre infinita en su componente de
velocidad en la dirección de las x, pero sin tener ninguna
relación con la dirección y.
Alta intensidad
Baja intensidad (retrasada)
f
2
intermedio; 3
desafiante;
razonamiento simbólico; v
razonamiento cualitativo