Problema 9 - U

MATEMÁTICAS II
ESCUELA DE VERANO 2008
Problema 9 - Guía II
Se define el conectivo lógico ⊕ como: p ⊕ q ⇔ F si y solo si
Determine el valor de verdad de la siguiente proposición:
p⇔F y q⇔F.
( p ⇒ q) ∨ q ⇔ ( p ∧ q ) ⊕ q
Solución.Como sabemos que p ⊕ q ⇔ F si y solo si p ⇔ F y q ⇔ F , entonces deducimos que:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p⊕q
V
V
V
F
Comparando aquellos valores de verdad con los de p ∨ q :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
Son los mismos, luego podemos concluir que:
p⊕q ⇔
p∨q
(1)
Averigüemos el valor de verdad de:
( p ⇒ q) ∨ q ⇔ ( p ∧ q ) ⊕ q
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
( p ⇒ q) ∨ q ⇔ ( p ∧ q ) ⊕ q
( p ⇒ q) ∨ q ⇔ ( p ∧ q ) ∨ q
{[( p ⇒ q) ∨ q] ⇒ [( p ∧ q ) ∨ q ]} ∧ {[( p ∧ q ) ∨ q ] ⇒ [( p ⇒ q) ∨ q]}
{[( p ∨ q) ∨ q] ⇒ [( p ∧ q ) ∨ q ]} ∧ {[( p ∧ q ) ∨ q ] ⇒ [( p ∨ q) ∨ q]}
{[ p ∨ (q ∨ q)] ⇒ [( p ∧ q ) ∨ q ]} ∧ {[( p ∧ q ) ∨ q ] ⇒ [ p ∨ (q ∨ q)]}
{[ p ∨ q] ⇒ [( p ∧ q ) ∨ q ]} ∧ {[( p ∧ q ) ∨ q ] ⇒ [ p ∨ q]}
{∼[ p ∨ q] ∨ [( p ∧ q ) ∨ q ]} ∧ {∼[( p ∧ q ) ∨ q ] ∨ [ p ∨ q]}
{( p ∧ q ) ∨ [( p ∧ q ) ∨ q ]} ∧ {[∼ ( p ∧ q ) ∧ q] ∨ [ p ∨ q]}
{[( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ q )] ∨ q } ∧ {[( p ∨ q) ∧ q] ∨ [q ∨ p]}
{( p ∧ q ) ∨ q } ∧ {[( p ∧ q) ∨ (q ∨ q)] ∨ [q ∨ p]}
{( p ∧ q ) ∨ q } ∧ {[( p ∧ q) ∨ q] ∨ [q ∨ p ]}
{( p ∧ q ) ∨ q } ∧ {( p ∧ q) ∨ [q ∨ q] ∨ p }
{( p ∧ q ) ∨ q } ∧ {( p ∧ q) ∨ q ∨ p }
{( p ∨ q ) ∧ (q ∨ q )} ∧ {( p ∧ q) ∨ (q ∨ p)}
{( p ∨ q ) ∧ q } ∧ {( p ∨ (q ∨ p)) ∧ (q ∨ (q ∨ p ))}
{( p ∨ q ) ∧ q } ∧ {( p ∨ ( p ∨ q)) ∧ (q ∨ (q ∨ p ))}
{( p ∨ q ) ∧ q } ∧ {(( p ∨ p) ∨ q) ∧ ((q ∨ q) ∨ p)}
{( p ∨ q ) ∧ q } ∧ {( p ∨ q) ∧ (q ∨ p)}
{( p ∨ q ) ∧ q } ∧ {( p ∨ q) ∧ ( p ∨ q)}
{( p ∨ q ) ∧ q } ∧ ( p ∨ q)
( p ∨ q ) ∧ {q ∧ ( p ∨ q)}
( p ∨ q ) ∧ {( p ∨ q) ∧ q }
{( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q)} ∧ q
{( p ∧ ( p ∨ q)) ∨ (q ∧ ( p ∨ q))} ∧ q
{( p ∧ p) ∨ ( p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ q)} ∧ q
{ F ∨ ( p ∧ q) ∨ (q ∧ p ) ∨ F } ∧ q
{( p ∧ q) ∨ (q ∧ p)} ∧ q
{( p ∧ q) ∧ q} ∨ {(q ∧ p ) ∧ q}
{ p ∧ (q ∧ q )} ∨ {( p ∧ q ) ∧ q}
{ p ∧ F } ∨ { p ∧ (q ∧ q )}
F ∨ { p ∧ q}
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
p∧q
Corroboremos con tablas de verdad:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
q
F
V
F
V
p⇒q
V
F
V
V
( p ⇒ q) ∨ q
V
F
V
V
p∧q
F
V
F
F
( p ∧ q) ⊕ q
F
V
F
V
( p ⇒ q) ∨ q ⇔ ( p ∧ q ) ⊕ q
F
F
F
V
Y también tenemos que:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
F
F
V
V
q
F
V
F
V
p∧q
F
F
F
V
Luego, verificamos que:
[( p ⇒ q ) ∨ q ⇔ ( p ∧ q ) ⊕ q ] ⇔ [ p ∧ q ]