Análisis Matemático II Lic. en Ciencias de la Computación Práctico

Análisis Matemático II
Lic. en Ciencias de la Computación
Práctico III - 2013
(1) Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las siguientes series
de potencias.
a)
∞
∑
(−1)n
n=1
b)
n4 22n
∞
∑
en
n=1
n3
x
n
(4 − x)n
c)
∞
∑
(4x − 1)n
nn
n=1
(
)n
∞
∑
1 x+2
d)
n
2
n=1
e)
∞
∑
n3 (2x − 3)n
n=0
f)
∞
∑
1 + 5n
n=0
n!
xn
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · , válida en el rango −1 < x < 1, para
1−x
representar las siguientes funciones:
(2) Usar la expansión
1
, en potencias de x.
2−x
b) f (x) = ln x, en potencias de (x − 4).
a) f (x) =
1
, en potencias de (x + 2).
x2
d ) f (x) = x ln(1 − x), en potencias de x.
c) f (x) =
(3) Evaluar las siguientes integrales como una serie de potencia en x.
∫
∫
1
x
a)
dx
b)
dx
4
1+x
1 + x5
(4) Encontrar la representación en serie de Taylor, centrada en a = 0, de las siguientes funciones. ¿Para qué valores de x vale la representación?
b) f (x) = sen(5x2 )
a) f (x) = cos(x)
(5) a) Encontrar la representación en serie de Taylor, centrada en a = 0, de f (x) = arctan x.
¿Para qué valores de x vale la representación?
b) Usar la parte (a) para mostrar que:
π
1 1 1
= 1 − + − + ···
4
3 5 7
(6) Encontrar la representación en serie de Taylor de las siguientes funciones alrededor de los
puntos indicados. ¿Para qué valores de x vale la representación?
π
b) f (x) = ln(1 + x), en potencias de x.
a) f (x) = sen x, alrededor de a = .
2
∫ x
(7) Sea F (x) =
cos(t2 ) dt. Encontrar la representación de F (x) en serie de Taylor centrada
0
en a = 0. ¿Para qué valores de x vale la representación?
1
2
(8) Para cada una de las siguientes funciones calcular el polinomio de Taylor de grado 3
alrededor de los puntos dados.
√
1
a) f (x) = 1 + x2 ; x = 2.
b) f (x) =
; x = 0.
1+x
(9) Usando desarrollos de Taylor conocidos calcular el polinomio de Taylor de grado 4 de las
siguientes funciones alrededor de x = 0.
√
2
a) f (x) = 1 + x.
c) g(x) = x2 ex .
2
d ) f (x) = ex ln(1 + x).
b) f (x) = ex .
(10) Determinar el orden de los polinomios de Taylor que deberı́an usarse para aproximar los
siguientes valores con un error menor que 5 · 10−5 .
a) e0,1
b) ln 1,4
(11) Estimar el error cometido al aproximar la función f (x) =
de orden 2, centrado en a = 8, para 7 ≤ x ≤ 9.
√
3
x por su polinomio de Taylor
(12) Sea f (x) = (1 + x)1/2 . Usando el polinomio
de Taylor de orden 3 de f , centrado en a = 0,
√
calcular el valor aproximado de 2 que da dicho polinomio, y estimar el error en esta
aproximación.
x3
(13) ¿Para qué valores de x se puede aproximar sen x por x −
con un error menor que 10−4 ?
3!
x3 x5
(14) Estimar el error que se comete cuando se aproxima sen x por x −
+
para |x| < 0,2.
3!
5!
(15) Usar series de Taylor para aproximar las siguientes integrales con un error menor que 10−5 .
∫ 1
∫ 0,5
2
2
a)
sen(x ) dx.
b)
x2 e−x dx.
0
0
Observación: En las clases prácticas se enunciará un resultado para series alternantes
convergentes, que permite estimar el error que se comete al aproximar la suma de la
serie S por una suma parcial Sn .
(16) Usar polinomios de Taylor centrados en x = 0 para calcular los siguientes lı́mites.
sen(x) − x
x→0
x3
a) lı́m
1 − cos x
x→0
x2
b) lı́m