TRIGONOMETRÍA ANGULO TRIGONOMETRICO SISTEMA DE MEDICION ANGULAR 1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. ⇒ Se cumple: x=-θ Observación: a) Angulo nulo Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero. L.F 0 0 L.I.: Lado inicial L.F.: Lado Final L.I . 1.1 CONVENCIÓN : Angulos Positivos Si el rayo gira en sentido Antihorario b) Angulo de una vuelta Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. 1V 0 -1V 0 α Angulos Negativos Si el rayo gira en sentido horario. β c) Magnitud de un ángulo Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. El ángulo mide 3 vueltas Ejemplo: θ x Nótese en las figuras: • “θ” es un ángulo trigonométrico de medida positiva. • “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa. 3V 2V El ángulo mide -2 vueltas 2. SISTEMAS ANGULARES CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición. 1 rad = 1V 360 1’=60’’ π ≅ 3,1416 ≅ 1º=3600’’ Magnitudes angulares equivalentes 2.2 Sistema Centesimal Su unidad angular es el grado el cual es centesimal (1g), equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta. 1g = 1V 400 1V= 400g Equivalencias: 1g=100m 1m=100s 2.3 Sistema Radial o Circular o Internancional Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva. r r 0 1 rad r A m<AOB=1rad 360º=400g=2πrad 1 vuelta : 1 v : 1/2v 180º=200g=πrad Llano 9º =10g Grados : Ejemplos: • Convertir a radianes la siguiente magnitud angular α=12º Resolución: Magnitud equivalente 1g=10000s B 22 ≅ 10 ≅ 3 + 2 7 3. CONVERSION DE SISTEMAS Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes. 1V 360º Equivalencias: 1º=60’ 1V=2πrad ≅ 6,2832 Nota Como π = 3,141592653... Entonces: 2.1 Sistema Sexagesimal Su unidad ángular es el grado sexagesimal(1º); el cual es equivalente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta. 1º = 1V 2π Factor de Conversión πrad πrad = 180º α = 12º • πrad 180º = 180º π 15 rad Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: β=15º Resolución: Magnitud equivalente Factor de Conversión πrad πrad = 200g β = 15g πrad 200g = 200g 3π rad 40 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA • Convertir a sexagesimal la sgte. magnitud angular: θ=40g Magnitud equivalente 9º = 10 θ = 40g • Hallar: Factor de Conversión 9º g 10g 9º 10g = 36º E= • Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular. α=16g Resolución: A) 16g a sexagesimales Factor de conversión = 1º 1g 9º + + 1' 1m 5g Resolución: Recordando: 1º=60’ 1g = 100m 9º = 10g Reemplazando en: E= 60' 100m 10g + + 1' 1m 5g E = 60 +100 + 2 =162 • Hallar: a+b sabiendo π 8 rad = aº b' Resolución: Equivalencia: πrad = 180º π 8 rad. 180º 180º 45º = = πrad 8 2 ⇒ 22,5º = 22º+0,5º + =22º30’ Luego: π 8 rad = 22º30' = aº b' Efectuando: a=22 b=30 Entonces : a+b = 52 Nótese que para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión. CUESTIONARIO DESARROLLADO 9º 10g TRIGONOMETRÍA Luego: 9º 144º 72º α = 16g = = = 14,4º g 10 5 10 Ejemplos: • B) 16g a radianes Convertir rad a grados 5 sexagesimal. Resolución: Factor de conversión = πrad 200g Sabemos que: π /5 S = 180 π Luego: πrad 16.πrad 2π α = 16g = = rad 200g 200 Sº Cg ∴ 25 4. FORMULA GENERAL DE CONVERSION Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números. 0 • Dividiendo (1) entre (2) tenemos: Fórmula o Relación de Conversión Fórmula particulares: S C = 9 10 Sexagesimal y Centesimal S R = 180 π Sexagesimal y Radian C R = 200 π Centesimal y Radian 5 S=36 rad = 36º Convertir 60g a radianes. Sabemos que: C R = 200 π 60 R = 200 π 3π R= 10 Rrad De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1) Además 180º = 200g = πrad ... (2) π S R = 180 π Resolución: ∴ • S C R = = 180 200 π π 60g = 3π rad 10 Convertir 27º a grados centesimales. Resolución: Sabemos que: S C = 9 10 27 C = 9 10 C=30 ∴ 27º=30g • Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es 222. ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo? Resolución: Si S, C y R son números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA centesimales y respectivamente; afirmamos. en del radianes enunciado 2. Dada la figura: 6S + 2C = 222 .... (1) a Además: 180R S = π C = 200R π S C R = = 180 200 π Calcular: K= Reemplazando en (1): R 6.180 π 1080 π + 2. 200R R+ 400R π π 1480 π = 222 = 222 R = 222 R= 3 π 20 a) 5 d) 20 g b + 4a − 2a b) 10 e) 25 S = 180K S C R = = = K C = 200K 180 200 π R = πK = ? Reemplazando en (1): 6(180K)+2(200K) = 222 1480K = 222 3 K= 20 3π ∴ R = πK = 20 EJERCICIOS 1. Calcular: J.C.C.H. Si: 68 a) 6 d) 30 g <> JCºCH’ b) 12 e) 22 c) 15 3. La medida de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son (6x)º y g (5x+5) . Calcular el ángulo desigual en radianes. 2π rad 5 π d) rad 10 3π 4π c) rad 5 5 π e) rad 5 a) Nota: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer: b’ b) 4. Determinar la medida circular de un ángulo para el cual sus medidas en los diferentes sistemas se relacionan de la siguiente manera: 3 3 18 20 π + + S C 10R 3 3,5C − 3S 1 = C−S 9 2π 3π rad c) rad 10 20 4π 5π d) rad e) rad 7 18 5. Las media aritmética de los números que expresan la medida de un ángulo positivo en grados sexagesimales y centesimales, es a su diferencia como 38 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5π. Hallar cuanto mide el ángulo en radianes. a) 3πrad c) 24 a) 5π rad 4 b) b) 4π rad 3 CUESTIONARIO DESARROLLADO c) 2π rad 3 TRIGONOMETRÍA d) 5π rad 3 6π rad 5 e) 6. Del gráfico, hallar una relación entre α, β y θ. θ α β a) b) c) d) e) α α α α α -β +β +β -β +β + + - θ θ θ θ θ = = = = = -360º 360º 360º 360º -360º 1g2m 1º12' 3' 2m Hallar el número sexagesimales. a) 10 d) 9 + de b) 81 e) 18 grados c) 72 Sx=9x, Hallar: M = 10x b) 2 e) 5 –1/6 –6 6 1/3 –1/3 4π rad 5 11.Siendo “y” el factor que convierte segundos centesimales en minutos sexagesimales y ”x” el factor que convierte minutos centesimales en segundos sexagesimales. Calcular x/y. b) 4000 e) 9000 c) 6000 12.Siendo “S” el número de grados sexagesimales y “c” el número de grados centesimales que mide un ángulo menor que una circunferencia, calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que . C = x2-x-30 ; S = x2+x-56 3π 5 3π d) 11 a) 3π 7 3π e) 13 b) c) 3π 10 361(C − S)3 = 400(C + S)2 Hallar: E= c) 3 9. Del gráfico, calcular y/x a) b) c) d) e) c) 13.Si se cumple que: 8. Sabiendo que: C S = S C y además: a) 1 d) 4 3π rad 10 7π e) rad 3 b) 0a) 2000 d) 8000 7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para el cual se cumple: 5S + 3C = π rad 10 2π d) rad 5 a) y’ xº g x 10.Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas “S” y “C”, son números pares consecutivos. El valor del complemento del ángulo expresado en radianes es: a) 9/5 d) 5/2 2,4R + π 1,3R − π b) 8/3 e) 7/5 c)6/5 14.Sabiendo que a, b y R son los números que expresan la medida de un ángulo en minutos sexagesimales, segundos centesimales y radianes respectivamente. Calcular: π E= (a + 0,001b) 32R a) 5 d) 10 b) 10 e) 20 c) CUESTIONARIO DESARROLLADO 20 TRIGONOMETRÍA 15. Reducir: a) 10 d) 70 E= 1g 10 m + b) 40 e) 80 c) 63º 1º 1m + 3' 2s d) 133º e) “a”, “b”, y “c” son correctas c) 50 16. Si “S”, “C” y “R” son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas convencionales. Hallar dicho ángulo en grados “S” si “R” es entero: 1+ 4C − 6S 5R 2C < < S−C 2 C−S Rtpa. ....... 17.En un cierto ángulo, se cumple que: 2S + 3 C + 7 = 9 . Calcular el complemento del ángulo en radianes. π 10 3π d) 20 a) 3π 10 7π e) 5 b) c) 2π 5 18.Al medir un ángulo positivo en los sistemas convencionales, se observó que los números que representan dichas medidas, se relacionan del siguiente modo: “La diferencia del triple del mayor con el doble del intermedio, resulta ser igual a treinta veces el número menor entre π, aumentado todo esto en 70, obtener la medida circular”. π π π rad b) rad c) rad 2 3 4 π π d) e) 5 6 19.Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un triángulo en grados sexagesimales es 133. Entonces la medida de dicho ángulo es: a) a) 7π rad 20 b) 70g CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA SECTOR CIRCULAR RUEDAS Y ENGRANAJES 1. ARCO Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia. Resolución: A 4m B R 0 R AB: Arco AB A: Origen del arco AB B: Extremo del arco AB O: Centro de la A circunferencia R: Radio de la circunferencia Amplitud Dada por la medida del ángulo central que sostiene el arco. Longitud de Arco En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “θ” radianes determina una longitud de arco “L”, que se calcula multiplicando el número de radianes “θ” y el radio de la circunferencia “R”. B R θrad 0 L θrad rad 0 4m m L L = R.θ L = 4.0,5 L=2 El perímetro 2p del sector AOB será: 2p = R + R + L 2p = 4m + 4m + 2m 2p = 10m B Nota: • La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2π por el radio “R” de la circunferencia (2πR) LC=2πR R 0 2. SECTOR CIRCULAR Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. B R A L: Longitud del arco AB R: Radio de la circunferencia θ: Nº de radianes del ángulo central (0 ≤ θ 2 ≤ π) 0 A L = R.θ Ejemplo: Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4m, y la amplitud del ángulo es 0,5 radianes. AOB: Sector Circular AOB Área del Sector Circular El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central, en radianes; es decir: CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Resolución: B S R θrad R 0 S= A θR 2 2 Caso I L.R SI = 2 Caso II Donde: S: Área del sector circular AOB A R S= L.R 2 θ rad S L B (4m)2.1 2 L2 2θ ⇒ SIII = (2m)2 2.0,5 SIII = 4m2 • B A 0 ⇒ SII = SII = 8m2 SIII = R L R 2θ 2 Caso III Otras fórmulas S (3m).(2m) 2 SI = 3m2 SII = 0 ⇒ SI = De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva ABC, tiene por longitud 4πm. 0 L2 S= 2θ 12m 8m cuerda Ejemplos: • Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso: I. 2m 0 3m 2m D C A B Resolución: Denotemos por: L1 : Longitud del arco AB, el radio R1=12m L2 : Longitud del arco BC, el radio R2=4m 0 II. 4m 0 1 rad 4m III. 12m 8m 2m 0 0,5 rad C 4m L2 B A L1 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA De la figura: L 2 = R 2.θ 2 = 4m. L 2 = 2πm π Resolución: 2 7S 5S 3S Según el dato: L AB + L BC = 4πm L1 + L 2 = 4πm L1 + 2π = 4πm L1 = 2πm S 4 4 4 Recordando la observación: A =7S B = 3S A 7 = B 3 AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR • Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos. • El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir: El área del sector AOB será: L .R 2πm.12m S1 = 1 1 = = 12πm2 2 2 Observaciones: • El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de Área “S” (fig.1); produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (fig.2). h Fig. 1 R 0 4 S b θ rad A B R R h Fig. 2 R R R S 0 B + b AT = .h 2 7S 3S R R 5S R Donde: AT= Área del trapecio circular. R Ejemplo: Hallar el cociente de las áreas sombreadas A y B respectivamente. También: • θrad = B−b h Ejemplos: Calcular el valor del área del trapecio, y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada. 2m A θ rad B 4 4 4 4 3m 4m 2m CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Resolución: 4−3 2 4 + 3 AT = .2 2 θrad = ∴ A T = 7m2 ∴ θrad = • 1 = 0,5 2 Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m2 Resolución: 2m 9m 0 x 2m Resolución: Por dato: AT = 21 Por fórmula: (x + 9) AT = .2 = x + 9 2 Igualamos: x+9 = 21 x = 21m Aplicación de la Longitud del Arco Número de Vueltas que da una Rueda(#v) El número de vueltas (#V) que da una rueda al desplazase (sin resbalar) desde la posición A hasta B. Se calcula mediante la relación. #v = Ec 2πR Ec: Espacio que recorre el centro de la rueda. Ec θB = R R R: Radio θB : Angulo barrido 0 0 A B R CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Cono g a) a b) 2a d) 4a e) 5a c) 3a r 3. Del gráfico, hallar “L” Desarrollo del Cono L g a) b) c) d) e) L=2πr θ Tronco de Cono 1 1/3 1/5 3 5 π 60º 5π L 4. De la figura calcular: r E = (θ2 − 2)(θ − 1) g R a) b) c) d) e) Desarrollo del Tronco de Cono g θrad 5. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su extremo recorre 3π m. 2πR 2π 1 2 0,5 0,3 0,25 π/12 EJERCICIOS 4m 1. De La figura calcular: n−m E= p−m a) b) c) d) e) 0 1 0,5 0,2 2 50 m n g p a) 5m b) 6m d) 8m e) 9m c) 7m 6. Calcule el área de la región sombreada OA=12m A 2. Del gráfico hallar “x+y” x a θ D θ y θ O . 60º C CUESTIONARIO DESARROLLADO B TRIGONOMETRÍA a) (14π − 18 3 )m2 b) (12π + 5 2 )m2 c) (4 3 + 2π)m2 d) 3πm2 e) πm2 7. Se tiene un sector circular de radio “r” y un ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior? a) 64º b) 100º c) 36º d) 20º a) 88π b) 92π d) 168π e) 184π 11.Una grúa cuyo brazo es 15m está en posición horizontal se eleva hasta formar un ángulo de 60º con la horizontal luego conservando este ángulo gira 72º. ¿Determinar el recorrido por el extremo libre de la grúa en estos dos momentos?. a) 4π b) 10π c) 8π d) π e) 5π 12.Qué espacio recorre un rueda de 4cm de radio si da 15 vueltas al girar sin resbalar sobre un piso plano. a) 60π cm b) 90π cm e) 28º 8. Calcular el área sombreada en: c) 100π cm 4 θ r r r 5 r 2 r 2 a) 15θr b) 21θr 21 2 θr d) 2 7θr 2 e) 2 r 2 c) 3θr 10.Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces y al detenerse el punto “B” está es contacto con el piso (r=12u). 120º d) 105π cm e) 120π cm 9. Del gráfico adjunto, calcular el área M sombreada, si se sabe que: MN=4m a) 2πm2 b) πm2 c) 4πm2 π 2 45º d) m 2 e) 3πm2 N B c) 172π 13.De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r). r A R 135º R a) 2 b) 3 d) 5 e) 6 r c) 4 14.Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8π radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 15.Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan sus ruedas es 80. Se sabe además que los radios de las mismas miden 3u y 5u. a) 100π b) 200π c) 250π CUESTIONARIO DESARROLLADO A B TRIGONOMETRÍA d) 300π e) 500π 16.El ángulo central de un sector mide 80º y se desea disminuir en 75º; en cuanto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 20cm. a) 20 cm d) 80 cm b) 40 cm e) 100 cm c) 60 cm 17.La longitud del arco correspondiente a un sector circular disminuye en un 20%. ¿Qué ocurre con el área de sector circular? a) b) c) d) e) aumenta en 5% disminuye en 5% no varía falta información disminuye en 20% 18.Calcular la medida del ángulo central en radianes de un sector circular tal que su perímetro y área son 20m y 16m2 respectivamente. a) 0,5 b) 2 c) 8 d) 2 y 8 e) 0,5 y 8 19.Hallar en grados sexagesimales la medida del ángulo central de un sector circular, sabiendo que la raíz cuadrada de su área es numéricamente igual a la longitud de su arco. a) π/90 b) π/180 c) π/6 d) 2π/3 e) 3π/2 20.Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas. a) 4π b) 5π c) 10π d) 20π e) 40π CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 1. RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS Cat.op. c NOTABLES Sen α = = = Cos β RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Hip. Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. Cos α = b Cat.ady. a = = Sen β Hip. b TRIANGULO RECTANGULO Tg α = C a t e t o A Hipotenusa Cateto Cat.op. c = = C tg β Cat.ady a Ctg α = Cat.ady. a = = Tg β Cat.op. c Sec α = Hip. b = = Csc β Cat.ady a Csc α = Hip. b = = Sec β Cat.op c b c C a Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. B a2 + b2 = c2 Teorema “Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”. Ejemplo: • En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Resolución: Nótese que en el enunciado problema tenemos: B a + b = k.c β Nos piden calcular A + B = 90º 2. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO AGUDO. Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la figura, se establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo “α”: A c a a b Senα + Senβ = + c c α C b β Luego: Senα + Senβ = b c • α B a C A = del a+b c k .c = k c Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Resolución: Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto Mayor = x Hipotenusa = x + r Teorema de Pitágoras (x-r)2+x2=(x+r)2 x2-2xr+r2+x2=x2+2xr+r2 x2-2xr=2xr x2=4xr x x=4r x+r x-r Importante “A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando en la figura tenemos: 4r 5r α Triáng. Rectangulo Particular 12 α 5k 5 es: b) El perímetro del Según la figura: 5k+12k+13k = 30k Según dato del enunciado =330m Luego: 30k = 330 K =11m d) La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir: Cateto menor = 5k = 5.11m = 55m 3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS 3.1 Razones Trigonométricas Recíprocas. “Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas entonces: Senα . Cscα Cosα . Secα Tgα . Ctgα 4r 4 Nos piden calcular Tgα= = 3r 3 Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 330m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. 13k 12k α 3r • 13 Triáng Rectángulo General • de las R.T. recíprocas son =1 =1 =1 Ejemplos: Indicar la verdad de las siguientes proposiciones. Resolución: a) Sea “α” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición: 24 12 Tgα = 2,4 = = 10 5 Ubicamos “α” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5. La hipotenusa se calcula por pitágoras. I. Sen20º.Csc10º =1 II. Tg35º.Ctg50º =1 III. Cos40º.Sec40º=1 ( ( ( ) ) ) Resolución: Nótese que las parejas de R.T. recíprocas, el producto es “1”; siempre que sean ángulos iguales. Luego: Sen20º.Csc10º≠1 ; s No son iguales Tg35º.Ctg50º ≠1 ; s No son iguales Cos40º.Sec40º=1 ; s Sí son iguales CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA • Resolver “x” agudo que verifique: Tg(3x+10º+α).Ctg(x+70º+α)=1 “Una razón trigonométrica de un ángulo a la co-razón del ángulo complementario”. RAZON CO-RAZON Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Resolución: Nótese que en la ecuación intervienen, R.T. trigonométricas; luego los ángulos son iguales. Dado: x+y=90º, entonces se verifica Senx =Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscy Así por ejemplo: • Sen20º = Cos70º (20º+70º=90º) • Tg50º = Ctg40º (50º+40º=90º) • Sec80º = Csc10º (80º+10º=90º) Tg(3x+10º+α).Ctg(x+70º+α)=1 ángulos iguales 3x+10º+α = x+70º+α 2x=60º x=30º • Se sabe: 3 7 Calcular: E=Cosθ.Tgθ.Ctgθ.Secθ.Cscθ Senθ.Cosθ.Tgθ.Ctgθ.Secθ= • Resolución: Recordar: Cosθ.Secθ = 1 Tgθ.Ctgθ = 1 Secθ.Cscθ = 1 Resolución: Nótese que dado una razón y co-razón serán iguales al elevar que sus ángulos sean iguales. I. Sen80º ≠ Cos20º (80º+20º≠90º) II. Tg45º = Cgt45º (45º+45º=90º) III. Sec(80º-x)= Csc(10º+x) Luego; reemplazando en la condición del problema: 3 Senθ.Cosθ.Tgθ.Ctgθ.Secθ = 7 “1” Senθ = 3 ....(I) 7 Nos piden calcular: E = Cosθ.Tgθ.Ctgθ.Secθ.Cscθ 1 E = Cscθ = , Senθ 3 pero de (I) tenemos: Senθ = 7 3 ∴ E= 7 3.2 Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios. “Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”. Ejemplo: Indicar el valor de verdad según las proposiciones: I. Sen80º = Cos20º ( ) II. Tg45º = Cgt45º ( ) III. Sec(80º-x) = Csc(10º+x) ( ) (80º-x+10º+x=90º) • Resolver el menor valor positivo de “x” que verifique: Sen5x = Cosx Resolución: Dada la ecuación Sen5x=Cosx; luego los ángulos deben sumar 90º: ⇒ 5x+x=90º 6x=90º x=15º • Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x – Cosy = 0 Tg2y.Ctg30º - 1 = 0 Resolución: Nota: CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Sen3x=Cosy ⇒ 3x+y=90º ...(I) Tg2y.Ctg30º=1 ⇒ 2y=30º ...(II) y=15º Reemplazando II en I 3x+15º = 90º 3x =75º x = 25º • Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1 Hallar Tgx Resolución: Dado: x+y=90º Senx=Cosy Reemplazando 2t+3 = 3t+4,1 -1,1 = t Conocido “t” calcularemos: Senx=2(-1,1)+3 Senx=0,8 4 ..... (I) Senx= 5 Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condición (I) en un triángulo, tenemos: x 3 45º Cat.Op. 4 Tgx= = Cat.Ady. 3 4. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES 4.1 Triángulos Rectángulos Notables Exactos I. 30º y 60º k 2 k 45º k 4.2 Triángulos Rectángulos Notables Aproximados I. 37º y 53º 53º 5k 3k 37º 4k II. 16º y 74º 74º 25k 7k 16º 24k TABLA DE LAS R.T. DE ANGULOS NOTABLES α 30º R.T. 1/2 Senα 5 4 II. 45º y 45º 60º 45º 37º 53º 2 /2 3/5 4/5 7/25 24/25 2 /2 4/5 3/5 24/25 7/25 Cosα 3 /2 1/2 Tgα 3 /3 3 1 3/4 4/3 7/24 24/7 Ctgα 3 3 /3 2 1 4/3 3/4 24/7 7/24 2 5/4 5/3 25/24 25/7 2 3 /3 2 5/3 5/4 25/7 25/24 Secα 2 3 /3 Cscα 2 Ejemplo: Calcular: F = 4.Sen30º+ 3.Tg60º 10.Cos37º+ 2.Sec45º 60º 2k 30º k 3 74º 3 /2 Resolución: Según la tabla mostrada notamos: 1k 16º CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 1 + 3. 3 2 F= 4 10. + 2. 2 5 4. ⇒ F= 2+3 5 1 = = 8 + 2 10 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 1. Calcular “x” en : Sen( 2x - 10º) = Cos( x + 10º) π π π a) b) c) 2 3 4 π π d) e) 6 5 2. Si : Tg (8x – 5º) Tg (x + 5º) = 1 Hallar: K = Sen23x – Ctg26x 7 1 7 a) b) c) 12 12 12 1 d) e) 1 12 3. Hallar “x” en : Cos (60º - x) Csc (70º - 3x) = 1 a) 5º d) 10º b) 15º e) –5º 4. Si : Cosx = 1 3 2 d) 3 a) c) 25º 5 , Calcular “Sen x” 3 3 b) 1 c) 5 3 e) 3 2 , Calcular : 5 P = Sen3θ Cosθ + Cos3θ Senθ 5. Si : Tgθ = 10 29 420 d) 841 a) b) 20 29 e) c) 210 841 421 841 5 4 Senx 1 + Cosx Calcular : E = + 1 + Cosx Senx 4 8 9 a) b) c) 3 3 3 10 3 d) e) 3 10 7. Si: Secx = 2 , Calcular : P = (Tgx–Senx)2 + (1–Cosx)2 6. Dado: Secx = a) 0,5 d) 2 b) 1 e) 3 c) 1,5 8. Si : Tgθ = a , Calcular : a) c) e) K= 1 − Sen2 θ 1 + Tg2 θ 1 b) (1 + a2 )2 1 d) 1 + a2 a2 1 + a2 a2 (1 + a2 )2 a2 − 1 a2 + 1 9. En un triángulo rectángulo ABC, 20 TgA= , y la hipotenusa mide 58cm, 21 Hallar el perímetro del triángulo. a) 156cm. d) 140cm. b) 116cm. e) 145cm. c) 136cm. 10. Si en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a 5 los del producto de los catetos, 2 Hallar la tangente del mayor de los ángulos agudos de dicho triángulo. a) 1 d) 4 b) 1,5 e) 6 c) 2 11.Calcular : E= Sen1º+Sen2º+Sen3º+...+Sen89º Cos1º+Cos2º+Cos3º+...+Cos89º a) 0 1 d) 2 b) 1 c) 2 e) 90 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 12.En un triángulo rectángulo recto en “A”. Calcular el cateto “b”, si se tiene que: ∧ ∧ ∧ SenBSenCTgB= a) 16 d) 4 A 16 a2 H b) 8 e)9 2 c) 2 D 13.En un triángulo rectángulo el semiperímetro es 60m y la secante de unos de los ángulos es 2,6 calcular la mediana relativa a la hipotenusa. a)5 d) 24 b) 13 e) 26 c) 12 14.De la figura, Hallar “x” si: Tg76º = 4 6 6 8 12 18 24 62º 6 15.En un cuadrado “ABCD” ; se prolonga el lado AB , Hasta un punto “E” , tal que : AB = 5BE Calcular la tangente del ángulo EDC 5 4 6 d) 5 b) 4 5 e) θ C B 7 2 7 d) 7 a) b) 7 c) e) 3 7 7 2 7 3 3 3 b) 2 3 − 1 a) c) 3 +1 d) 3 −1 e) 3 θ O 19.Del gráfico, calcular Tg(Senθ) si el área sombreada es igual al área no sombreada. c) 1 θ 5 6 16.Hallar el valor reducido de: E= 4Tg37º-Tg60º+Sen445º+Sen30º a) Tg37º d) Sen37º θ 18.Calcular Ctgθ. a) b) c) d) e) X a) 17.Si: AC = 4 DC , Hallar “Ctgθ” O 3 4 4 d) 3 a) b) 3 3 e) 3 c) 1 b) 2Sen30º c) Tg60º e) 4Tg37º CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA AREAS DE TRIANGULOS Y CUADRILATEROS ANGULOS VERTICALES 1. AREA DE UN TRIANGULO • Hallar el área de un triángulo cuyos a) Area en términos de dos lados y el ángulo que éstos forman: lados miden 171cm, 204cm y 195 cm. Resolución: Sabemos que: A S= b ha C Entonces: p= B a Sea: S el área del triángulo Sabemos que: S = a.h.a 2 S= ab Entonces: S = SenC 2 S= ac SenB 2 • b) Area en términos del semiperímetro y los lados: Entonces: S= 285(144)(81)(90) S = (57)(5)(9)(3)(2) S = 15390 cm2 Análogamente: bc Sen A 2 a + b + c 171 + 204 + 195 = 285 = 2 2 Luego: S= 285(285 − 171)(285 − 2049(285 − 195) Pero: ha = bSenC S= p(p − a )(p − b)(p − c) c Dos lados de un ∆ miden 42cm y 32cm, el ángulo que forman mide 150º. Calcular el área del triángulo. Resolución: ab ab C SenC = 2 2 2R C 42 C C S = abSen Cos 2 2 150º A ∴ S= p (p − a )(p − b)(p − c) C C = 2R ⇒ SenC = SenC 2R ab ab C S= SenC = 2 2 2R S= abc 4R B S= c) Area en términos de los lados y el circunradio (R): Sabemos que: S= • 32 1 a bSenC 2 1 1 1 (42)(32)Sen150º= (42)(32) 2 2 2 S = 336cm2 2 El área de un ∆ ABC es de 90 3 u y los senos de los ángulos A, B y C son proporcionales a los números 5,7 y 8 respectivamente. Hallar el perímetro del triángulo. Ejemplos: CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Resolución: 2 Datos: S = 90 3 u SenA=5n, SenB=7n y SenC=8n • Sea S el área del cuadrilátero y p su semiperímetro entonces: S = ( p − a )( p − b)( p − c)(p − d ) − abcdCos 2θ Sabemos que: a b c = = ...(Ley de senos) SenA SenB SenC Entonces: a = 5n, b=7n y c=8n P = 10n 90 3 = (10n )(10n − 5n )(10n − 7n )(10n − 8n ) 90 3 = (10n )(5n )(3n )(2n ) θ es igual a la semisuma de dos de sus ángulos opuestos. 2º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas. B 90 3 = 10n 2 3 → n = 3 C Luego el perímetro es igual a 2p 2p=2(10)(3) → 2p = 60u • α El diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide 26 3 cm y la media geométrica de 3 • 3 sus lados es 2 91 . Calcular el área del triángulo. Resolución: La media geométrica de a,b y es: 3 Del dato: 3 abc D A Sea: AC = d1 y BD = d2 Entonces: S= d1d 2 .Sen α 2 ...(2) 3º Area de un cuadrilátero inscriptible (cuadrilátero cíclico) abc = 2 3 91 → abc = 728 B C El radio de la circunferencia 13 3 3 abc 728 Entonces: S = = = 14 3cm 2 4R 13 3 4 3 Circunscrita mide 2. CUADRILATEROS 1º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus lados y ángulos opuestos A S= (p − a )(p − b)(p − c)(p − d) 4º Area de un circunscriptible. B B b D ...(3) cuadrilátero C b C c a A a c d D CUESTIONARIO DESARROLLADO A d D TRIGONOMETRÍA p= Si un cuadrilátero es circunscriptible se cumple que: a+c=b+d (Teorema de Pitot) entonces el semiperímetro (p) se puede expresar como: 23 + 29 + 37 + 41 2 p = 65 Luego: S = (p − a )(p − b)(p − c)(p − d ) (65 − 23)(65 − 29)(65 − 37)(65 − 41) S= p = a+c o p=b+d S= De éstas igualdades se deduce que: p-a=c, p-c=a, p-b=d y p-d=b Reemplazando en la fórmula (1) se obtiene: S= abcd − abcdCos 2θ S= abcd (1 − Cos 2θ) S= abcd.Sen 2θ abcd Sen 2θ S = 1008cm2 • Las diagonales de un paralelogramo son 2m y 2n y un ángulo es θ. Hallar el área del paralelogramo (s), en términos de m, n y θ. Resolución 2n Si un cuadrilátero es circunscriptible ya sabemos que la semisuma de sus ángulos opuestos es igual a 90º y como a la vez es inscriptible aplicamos la fórmula (2) y obtenemos: abcd C 2m a 5º Area de un cuadrilátero inscriptible y circunscriptible θ A a 180-θ b D Recordar que el área del paralelogramo es: S = abSenθ .....(1) Aplicamos la ley de cosenos: Ejemplos: • Los lados de un cuadrilátero inscriptible miden 23cm, 29cm, 37cm y 41cm. calcular su área. Resolución ∆BAD: 4n2 = a2+b2-2ab.Cosθ ∆ADC: 4m2 = a2+b2-2ab.Cos(180-θ) Rescatando: 4n2-4m2 = -2ab.Cosθ-2abCosθ 4(n2-m2) = -4ab.Cosθ D A 41 37 ab = m2 − n 2 Cosθ 23 Reemplazando en (1) 29 C b B …(4) S= No olvidar que θ es la suma de dos de sus ángulos o puestos. S= (42)(36)(28)(24) B Sea: a = 23, b=29, c=37 y d=41 entonces m2 − n 2 Senθ S = Cos θ CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA e) S = (m2-n2)Tgθ 7 10 50 EJERCICIOS 1. La figura muestra un triángulo ABC cuya área es 60m2, determinar el área de la región sombreada. B a) 20m2 b) 15m2 c) 24m2 d) 18m2 e) 12m2 2b 3a 4b a A 2. C En el cuadrilátero ABCD, el área del triángulo AOD es 21m2. Hallar el área del cuadrilátero ABCD. B a) 120m2 b) 158m2 c) 140m2 d) 115m2 e) 145m2 A a 2a o 4a C 6a D 3. Del gráfico, si ABC es un Triángulo y AE = BC =3EB. Hallar: Sen α. C a) 3 10 10 b) 9 10 20 c) 7 10 10 d) α A E B 9 10 50 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 4. ABCD es un cuadrilátero y AE = 3EB. Hallar Sen α. E A 7. ABCD es un BC = 3m Hallar Tg x. B A rectángulo BA=4m, B 1 B α x 1 D D a) d) 5. C a) 1,57 b) 2,52 c) 4,74 d) 2,12 e) 3,15 5 34 7 34 5 34 b) c) 34 34 17 8. 3 34 34 e) 34 17 En la siguiente figura determinar “Tg α” a) α 6 /6 c) 6 /4 d) 6 /5 e) 6 /7 En un triángulo rectángulo (C= 90º) se traza la bisectriz de “A” que corta a BC en el punto “M”. Luego en el triángulo ACH se traza CN mediana. Hallar el área del triángulo CNM. a) 0,125b2Cos2(0,5A)Sen(0,5A) b) 0,125b2Sec2(0,5A) c) 0,125b2 Sec2(0,5A)CosA d) 0,125b2Sec2(0,5A)SenA e) 0,125b²Cos²(0,5A) 6 /2 b) C 6 α 1 6. En el cubo mostrado. Hallar Sen φ 9. Hallar “x” en la figura, en función de “a” y “θ”. BM: mediana BH: altura B a θ φ A 4 2 3 2 b) 9 7 2 d) e) 1 3 a) c) 2 9 H M x a) aSenθ.Ctgθ b) aSenθ.Tgθ c) aSenθ.Tg2θ d) aSen2θ.Ctgθ e) aSenθ.Ctg2θ CUESTIONARIO DESARROLLADO C TRIGONOMETRÍA 10. En la figura se tiene que A-C=θ, AM=MC=a, halle el área de la región triangular ABC B 3. ÁNGULOS VERTICALES Un ángulo se llama vertical, si está contenida en un plano vertical por ejemplo “α” es un ángulo vertical. Plano Vertical a a C M a) a²Senθ c) a²Tgθ e) a²Secθ 11. Plano Horizontal α A b) a²Cosθ d) a²Ctgθ En la figura “o” es el centro de la circunferencia cuyo radio mide “r”; determine “x”. 3.1 Angulo de Elevación (α) Es un ángulo vertical que está formado por una línea que pasa por el ojo del observador y su visual por encima de esta. Visual x α θ Horizontal o a) rCosθ b) rSenθ c) rTgθ d) 2rSenθ e) 2rCosθ 12. Determine el “Senθ”, si ABCD es un cuadrado 2 1 3 θ Ejemplo: Una hormiga observa al punto más alto de un poste con un ángulo de elevación “θ”. La hormiga se dirige hacia el poste y cuando la distancia que las separa se ha reducido a la tercera parte, la medida del nuevo ángulo de elevación para el mismo punto se ha duplicado. Hallar “θ”. Resolución Poste 5 3 b) a) 5 5 3 10 10 d) e) 10 10 2 5 c) 5 Hormiga Luego: 2θ = _____________ θ = _____________ CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 3.2 Angulo de Depresión (β) Es un ángulo vertical que está formado por una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y su línea visual por debajo de esta. 1. Al observar la parte superior de una torre, el ángulo de elevación es 53º, medido a 36m de ella, y a una altura de 12m sobre el suelo. Hallar la altura de la torre. a) 24m b) 48m c) 50m d) 60m e) 30m Horizontal β Visual Ejemplo: Desde la parte más alta de un poste se observa a dos piedras “A” y “B” en el suelo con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente. Si el poste tiene una longitud de 12m. Hallar la distancia entre las piedras “A” y “B”. Poste 2. Desde una balsa que se dirige hacia un faro se observa la parte más alta con ángulo de elevación de 15º, luego de acercarse 56m se vuelve a observar el mismo punto con un ángulo de elevación de 30º. Determinar la altura del faro. a) 14m b) 21m c) 28m d) 30m e) 36m 3. Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio se observan dos puntos “A” y ”B” en el mismo plano con ángulo de depresión de 37º y 53º. Se pide hallar la distancia entre estos puntos, si la altura del edificio es de 120m. a) 70m d) 160m A B x Luego: _____________ _____________ b) 90m e) 100m c) 120m 4. Un avión observa un faro con un ángulo de depresión de 37º si la altura del avión es 210 y la altura del faro es 120m. Hallar a que distancia se encuentra el avión. a) 250m d) 290m b) 270m e) 150m c) 280m 5. Obtener la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte mas alta aumenta de 37º hasta 45º, cuando el observador avanza 3m hacia el árbol. a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 CUESTIONARIO DESARROLLADO e) 10 TRIGONOMETRÍA 6. Desde 3 puntos colineales en tierra A, B y C (AB = BC) se observa a una paloma de un mismo lado con ángulos de elevación de 37º, 53º y “α” respectivamente. Calcule “Tgα”, si vuela a una distancia de 12m. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 7. Un avión que vuela a 1Km sobre el nivel del mar es observado en 2 instantes; el primer instante a una distancia de 1,41Km de la vertical del punto de observación y el otro instante se halla 3,14Km de la misma vertical. Si el ángulo de observación entre estos dos puntos es “θ”. Calcular: E = Ctgθ - Ctg2θ Considere a) d) 8. 2 7 2 = 1,41; b) 3 e) 10 3 = 1,73 c) 5 Desde lo alto de un edificio se observa con un ángulo de depresión de 37º, dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si de esta posición tarda en llegar al edificio 6seg. Hallar la velocidad del automóvil en m/s. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 9. Se observan 2 puntos consecutivos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º y 45º respectivamente desde lo alto de la torre. Hallar la altura de la altura si la distancia entre los puntos “A” y “B” es de 100m a) 200m b) 300m d) 500m e) 600m c) 400m CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA GEOMETRIA ANALITICA I 1. Sistema de Coordenadas Rectangulares (Plano Cartesiano o Bidimensional) Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) perpendicular entre sí, llamados Ejes Coordenados. Sabemos que: La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su diferencia de abscisas y su diferencia de ordenadas. y P2(x2;y2) P1(x1;y1) X´X : Eje de Abscisas (eje X) Y´Y : Eje de Ordenadas (eje Y) O x : Origen de Coordenadas Y(+) IIC P1 P2 = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 )2 IC O X´(-) Ejm: Hallar la distancia entre los puntos A yB si: A(3;8) y B(2;6). X(+) IIIC IVC Resolución Y´(-) Ejem: Del gráfico determinar coordenadas de A, B, C y D. Y -3 -1 D 1 2 Coordenadas Coordenadas Coordenadas Coordenadas X 3 PQ= ( −2 − 3) 2 + (5 − (−1))2 PQ= ( −5)2 + (6)2 = 61 -1 -2 • • • • AB= 5 Resolución 1 -2 AB= (3 − 2)2 + (8 − 6)2 Ejm: Hallar la distancia entre los puntos P y Q. P( -2;5) y Q(3;-1) A 2 B las de de de de C A: (1;2) B: (-3;1) C: (3;-2) D: (-2;-1) Nota Si un punto pertenece al eje x, su ordenada igual a cero. Y si un punto Pertenece al eje y, su abscisa es igual a cero. 2. Distancia entre Dos Puntos Observaciones: • Si P1 y P2 tienen la misma abscisa entonces la distancia entre dichos puntos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de ordenadas. Ejm: A(5;6) y B(5;2) AB= 6-2 AB=4 C(-3;-2) y D(-3;5) CD= -1-5 CD=6 E(5;8) y F(5;-2) EF= 8-(-2) EF=10 • Si P1 y P2 tienen la misma ordenada entonces la distancia entre estos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de abscisas. CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Ejm: A(8;-1) y B(1;-1) C(-4;7) y D(-9;7) AB=7 AB= 8-1 CD= -4-(-9) CD=5 Ejemplos: 1. Demostrar que los puntos A(-2;-1), B(2;2) y C(5;-2) son los vértices de un triángulo isósceles. Resolución Calculamos puntos. la distancia entre dos Resolución • AB = ( −3 − 0) 2 + ( −1 − 3)2 = 5 • BC = (0 − 3) 2 + (3 − 4)2 = 10 • CD = (3 − 4)2 + ( 4 − (−1))2 = 26 • AB = ( −2,2) 2 + ( −1 − 2)2 = 25 = 5 AC = 3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A(-3;-1), B(0;3), C(3;4) y D(4;-1). ( −2 − 5)2 + ( −1 − ( −2))2 = 50 = 2 5 BC = (2 − 5)2 + (2 − ( −2))2 = 25 = 5 Observamos que AB =BC entonces ABC es un triángulo isósceles. El perímetro es igual a: 26 + 10 + 12 3. División de un Segmento en una Razón Dada. Y P2(x2;y2) 2. Hallar el área de la región determinada al unir los puntos: A(-4;1), B(4;1) y C(0;3). Resolución Al unir dichos puntos se forma un triángulo. (ver figura) DA = (4 − ( −3))2 + (−1 − ( −1))2 = 7 P(x;y) P1(x1;y1) X • Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) extremos de un segmento. • Sea P(x;y) un punto (colineal con P1P2 en una razón) tal que divide al segmento P1P2 en una razón r. es decir: P P r= 1 P P2 los C 3 A 1 0 -4 AB . h .......... (1) 2 AB= -4 -4 =8 h= 3 -1 =2 • Reemplazando en (1): • S ∆ABC = S ∆ABC = B 4 entonces las coordenadas de P son: x 1 + + r.x 2 1+ r y + r.y 2 y= 1 1+ r x= (8)(2) 2 S ∆ABC = 8u2 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Nota Si P es externo al segmento P1P2 entonces la razón (r) es negativa. Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(2;4) y B(8;-4). Hallar las coordenadas de un puntos P tal que: AP =2 PB Resolución: Sean (x;y) las coordenadas de P, entonces de la fórmula anterior se deduce que: x 1 + r.x 2 2 + 2(8) x= 1+ 2 1+ r 18 x= =6 3 y + r.y 2 4 + 2( −4) y= 1 y= 1+ 2 1+ r x= y=− ∴ 4 3 4 P 6; − 3 Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(-4;3) y B(6;8). Hallar las coordenadas de un punto P tal que: BP 1 = . PA 3 Resolución: x + r.x 2 x= 1 1+ r 1 6 + ( −4) 3 x= 1 1+ 3 7 x= 2 y= y1 + r.y 2 1+ r 1 8 + (3) 3 y= 1 1+ 3 27 y= 4 7 27 2 4 ∴ P ; Ejm: A(-2;3), B(6;-3) y P(x;y) son tres AP puntos colineales, si = −2 . PB Hallar: x+y Resolución: Del dato: r=-2, x= x 1 + r.x 2 1+ r x= − 2 + (−2)(6) 1 + ( −2) entonces: x=14 x + y2 y= 2 1+r 3 + ( −2)(−3) y= 1 + ( −2) y=-9 ∴x+y=5 Observación Si la razón es igual a 1 es decir P1 P = 1 , significa que: P P2 P1P=PP2, entonces P es punto medio de P1P2 y al reemplazar r=1 en las formas dadas se obtiene: x + x2 x= 1 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA y + y2 y= 1 2 Ejm: Hallar las coordenadas del punto medio P de un segmento cuyos extremos son: A(2;3) y B(4;7). Resolución: Sea P(x; y) el punto medio de AB, entonces: 2+4 x= x=3 2 3+7 y= 2 y=5 ∴ P(3; 5) Las coordenadas del otro extremo son: (-3;5) Baricentro de un Triángulo Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los vértices del triángulo ABC, las coordenadas de su baricentro G son: x 1 + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y 3 ; 3 3 G(x;y)= Área de un Triángulo Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los Vértices de un triángulo ABC, el área (S) del triángulo es: S= Ejm: Si P(x; y) es el punto medio de CD. Hallar: x-y. C(-5; 6) y D(-1;-10). S= Resolución: x= − 5 + (−1) 2 x=-3 6 + ( −10) y=-2 y= 2 P(-3;-2) ∴ x-y = -1 Ejm: El extremo de un segmento es (1;-9) y su punto medio es P(-1;-2). Hallar las coordenadas del otro extremo. 1 2 x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 y4 1 x1.y2 + x2.y3 + x3.y4 - x2.y1- x3.y2 - x1.y3 2 EJERCICIOS 1. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (5;6) ∧ (-2;3) b) (3;6) ∧ (4;-1) c) (1;3) ∧ (1;-2) d) (-4;-12) ∧ (-8;-7) Resolución: Sean (x2;y2) las coordenadas del extremo que se desea hallar como P(-1;-2) es el punto medio, se cumple que: 2. Un segmento tiene 29 unidades de longitud si el origen de este segmento es (-8;10) y la abscisa del extremo del mismo es12, calcular la ordenada sabiendo que es un número entero positivo. a) 12 b) 11 c) 8 d) 42 e) 31 1+ x2 2 − 9 + y2 −2= 2 3. Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al origen es igual a 13u. Sabiendo además que la ordenada es 7u más que la abscisa. −1 = x2=-3 y2=5 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) (-12; 5) b) (12; 5) c) (5; 12) d) (-5; -12) e) a y b son soluciones 4. La base menor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;4), uno de los extremos de la base mayor tiene por coordenadas (3;-2). La distancia o longitud de la base mayor es: a) 6u b) 7u c) 8u d) 9u e) 10u b) c) d) e) –19 –14 –18 -10 10.La base de un triángulo isósceles ABC son los puntos A(1;5) y C(-3;1) sabiendo que B pertenece al eje “x”, hallar el área del triángulo. b) 11u2 c) 12u2 a) 10u2 d) 13u2 e) 24u2 11.Reducir, “M” si: 5. Calcular las coordenadas de los baricentros de los siguientes triángulos: a) (2:5); (6;4); (7;9) b) (7;-8); (-12;12); (-16;14) A=(3;4) D=(0;0) 6. Calcular las coordenadas del punto “p” en cada segmentos dada las condiciones: a) A(0;7); B(6;1) / AP = 2PB b) A(-3;2); B(4;9) / 3AP = 4PB c) A(-1;-4); B(7;4) / 5AP = 3PB a) 1 d) 5 7. En un triángulo del baricentro medio AB es determinar la coordenadas del a) 21 b) 20 d) 41 e) 51 ABC las coordenadas son (6:7) el punto (4;5) y de CB(2;3) suma de las vértice ”C”. c) 31 8. Se tienen un triángulo cuyos vértices son los puntos A(2;4); B(3;-1); C(-5;3). Hallar la distancia de A hasta el baricentro del triángulo. a) 2 d) 4 3 b) 2 2 e) c) M= B=(5;6) E=(2;2) C=(8;10) 2. AB.BC.AD.BE.CE 5 . AE b) 6 e) 4 c) 7 12.El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado es (1;2), hallar su área si uno de sus vértices es: (3;8). a) 20 b) 80 c) 100 d) 40 e) 160 13.Los vértices de un cuadrilátero se definen por: (2; 1), (-2; 2), (3; -2), (-3; -3). Hallar la diferencia de las longitudes de las diagonales a) 41 b) 2 41 d) 41 2 e) c) 0 3 41 2 2/2 14.Del gráfico siguiente determine las coordenadas del punto P. 3 9. En la figura determinar: a+b a) (-7; 3) b) (-8; 3) c) (-5; 2) (2;6) a) 19 (-11;2) (-4,1) y (-2;8) 5a P 2a CUESTIONARIO DESARROLLADO (-9;1) o (a;b) x TRIGONOMETRÍA d) (-4; 5) e) (-3;2) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA GEOMETRIA ANALITICA II 1. PENDIENTE DE UNA RECTA Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. General-mente la pendiente se representa por la letra m, dicho valor puede ser positivo o negativo, dependiendo si el ángulo de inclinación es agudo u obtuso respectivamente. Demostración: Y L P2 y2 a Y P1 y1 L1 θ b θ x1 x2 θ X • Pendiente de L1:m1=Tgθ En este caso m1 > 0 (+) Demostración: • Observamos de la figura que θ es el ángulo de inclinación de L, entonces: Y M=Tgθ ......(1) L2 • De la figura también se observa que: a Tgθ= .......(2) b Pero: a=y2 – y1; b=x2 – x1 θ X Reemplazando en (1) se obtiene: • m= Pendiente de L2 : m1=Tgθ En este caso m2 < 0 (-) Nota: La pendiente de las rectas horizon- tales es igual a cero (y viceversa) las rectas verticales no tienen pendiente. y 2 − y1 x 2 − x1 Ejemplo: • Otra manera de hallar la pendiente de una recta es la siguiente: Sean P1(x1; y1) y P2(x2; y2) dos puntos de la recta, entonces la pendiente (m) se calcula aplicando la fórmula: y − y1 m= 2 , Si x1 ≠ x2 x 2 − x1 Hallar la pendiente de una recta que pasa por (2;-2) y (-1;4). Resolución: Sea P1(2;-2) y P2(-1;4); entonces m= • 4 − (−2) 6 = (−2) − (2) − 3 m=-2 Una recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) y (10;b). CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Hallar el valor de b. Resolución: Como la recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) entonces su pendiente es: 8−3 5 m= m= ........ (1) 6−2 4 Como la recta pasa por (2,3) y (10,b) entonces su pendiente es: m= b−3 10 − 2 De (1) y (2): • m= −1 = 7 −n −2 2=7-n 2. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cuando dos rectas orientadas se intersectan, se foorman cuatro ángulos; se llama ángulo de dos rectas orientadas al formado por los lados que se alejan del vértice. L1 b−3 ...... (2) 8 b−3 5 = 8 4 n=5 α L2 b=13 α es el ángulo que forma las rectas L1 y L2 El ángulo de inclinación de una recta mide 135º, si pasa por los puntos (-3; n) y (-5;7). Hallar el valor de n. L4 L3 θ Resolución: Y θ es el ángulo que forman las rectas L3 y L4 . 7 Observar que cuando se habla de ángulo entre dos recta se considera a los ángulos positivos menores o iguales que 180º. n 135º x -5 -3 a. Cálculo del Angulo entre dos Rectas Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo se puede calcular dicho ángulo. Como el ángulo de inclinación mide 135º entonces la pendiente es: m=Tg135º m=-1 L1 α Conociendo dos puntos de la recta también se puede hallar la pendiente: m= 7−n − 5 − (−3) m= L2 7−n −2 Pero m=-1, entonces: CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Tg135º= Tgα = m1 − m 2 1 + m1 . m 2 − 3 − m1 1 + (−3)m1 -1+3m1=-3-3m1 m1 es la pendiente de la recta final (L1) y m2 es la pendiente de la recta inicial (L2). Denominamos a L1 Recta Final, porque de acuerdo con la figura el lado final del ángulo θ está en L1, lo mismo sucede con L2. Ejemplo: • Resolución: Y Observaciones: Si dos rectas L1 y L2 son paralelas entonces tienen igual pendiente. L1 m1=m2 Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a –1. L1 L2 − 3 − m1 1 − 3m1 4m1=-2 1 m1 = − 2 L1//L2 Calcular el ángulo agudo formado por dos rectas cuyas pendientes son: -2 y 3. -1= m1 . m2= -1 L2 3. RECTA La recta es un conjunto de puntos, tales que cuando se toman dos puntos cualesquiera de ésta, la pendiente no varía. Por ejemplo: Si A, B, C y D son puntos de la recta L, α X Sea: m1= -2 y m2=3 Entonces: −2−3 Tgα=1 Tgα= 1 + (−2)(3) • α=45º Dos rectas se intersectan formando un ángulo de 135º, sabiendo que la recta final tiene pendiente igual a -3. Calcular la pendiente de la recta final. Resolución: Sea: m1= Pendiente inicial y m2= Pendiente final=-3 Entonces: B C D E entonces se cumple que: mAB = mCD = mBD ...... = mL Ecuación de la Recta Para determinar la ecuación de una recta debemos de conocer su pendiente y un punto de paso de la recta, o también dos puntos por donde pasa la recta. a) Ecuación de una recta cuya pendiente es m y un punto de paso es p1(x1;y1). CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA y – y1 = m(x – x1) m= - b) Ecuación de una recta conociendo dos puntos de paso p1(x1,y1) y p2(x2;y2) y − y1 = y 2 − y1 (x − x1 ) x 2 − x1 A B (B≠0) Ejemplo: • Hallar la ecuación general de una recta que pasa por el punto (2,3) y su pendiente es 1/2. Resolución: c) Ecuación de una recta cuya pendiente es m e intersección con el eje de ordenadas es (0;b). y–y1 =m(x – x1) y–3 = Y 1 (x − 2) 2 2y–6= x–2 y=mx+b La ecuación es: x – 2y + 4 =0 b • X La ecuación de una recta es: 2x+3y–6 = 0, hallar su pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados. d) Ecuación de una recta conociendo las intersecciones con los ejes coordenados. Ecuación: 2x + 3y – 6 = 0 2 La pendiente es: m = − 3 2x + 3y = 6 Y L 2 x + 3y =1 6 x y → + =1 3 2 (0,b) (a,0) Resolución: X x y + =1 a b Los puntos de intersección con los ejes coordenados son: (3; 0) y (0; 2) A esta ecuación se le denomina: Ecuación Simétrica de la recta. e) Ecuación General de la Recta La foma general de la ecuación de una recta es: Ax + By + C = 0 en donde la pendiente es: CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 1. Una recta que pasa por los puntos ( ) ( 2; 6 ) d) 4 5 e) 5 5 Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 5x+4y+20 = 0. a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 8. y 1; 3 tiene como pendiente y ángulo de inclinación a: a) 3 ,60° b) 1,30° d) 5,37° e) 4,60° 2. 1 7 4 d) − 7 4. 5. 9. Señale la suma de coordenadas del punto de intersección de las rectas: L1: 3x-y-7 = 0 con L2:x-3y-13= 0 a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) -5 10. Dada la recta “L” con ecuación 3x+4y-4 =0 y el punto P(-2,-5), encontrar la distancia más corta de P a la recta L. a) 2 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10 11. Calcular el área del triángulo formado por L1: x =4 L2: x + y = 8 y el eje x. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 12. Calcular el área que se forma al graficar: y = lxl, y = 12. a) 144 b) 68 c) 49 d) 36 e) 45 13. Señale la ecuación de a recta mediatriz del segmento AB : Si A(-3;1) y B(5;5). a) 2x + y – 5 = 0 b) x+2y-5 = 0 c) x+y-3 = 0 d) 2x-y-5 = 0 e) x+y-7 = 0 14. Dado el segmento AB, con extremos: A = (2; -2), B = (6; 2) Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva que pasa por el origen y divide el segmento en dos partes cuyas longitudes están en la relación 5 a 3. a) x-9y = 0 b) x + 9y = 0 c) 9x+ y = 0 d) 9x – y = 0 e) x – y = 0 Hallar la pendiente de la recta: 4x+7y–3 = 0. a) − 3. c) 2,45° b) − 2 7 c) − 3 7 5 e) − 7 Señale la ecuación de la recta que pase por (3; 2) y cuyo ángulo de inclinación sea de 37º. a) 3x-4y-1 = 0 b) 2x+3y-12 = 0 c) x-y-1 = 0 d) x+y+1 = 0 e) x + y – 1 = 0 Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P (1;5) y Q (-3;2). a) 3x+4y – 17 = 0 b) 3x-4x+17=0 c) 3x-4x-17 = 0 d) 2x+y+4 = 0 e) x+y-2=0 Señale la ecuación de la recta que pasando por (1;2) sea paralela a la recta de ecuación: 3x + y –1 = 0. a) b) c) d) e) 3x+y-5 = 0 x-y-5 = 0 3x-y+5 = 0 2x+2y-5 = 0 x+y-1=0 6. Señale la ecuación de la recta que pasando por (-3;5) sea perpendicular a la recta de ecuación: 2x-3y+7=0. a) x+y+7 = 0 b) 2x+2y+3 = 0 c) x+y+8 = 0 d) 3x+2y-1 = 0 e) x+3y-4 = 0 7. Dada la recta L: x + 2y - 6 = 0 ¿Cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta entre los ejes cartesianos? a) 5 b) 2 5 c) 3 5 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD 4. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X. Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina Angulo del Segundo Cuadrante y análogamente para lo otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante. Ejemplos: a. Si θ es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue: Y r= P(x;y) r Y θ 0 β α ∈ IC ∈ IIC ∈ IIIC b. 90º 90º ∉ a ningún cuadrante φ no está en posición normal Senθ = y ORDENADA = r RADIO VECTOR Cosθ = X ABSCISA = r RADIO VECTOR Tgθ = Y θ x=Abscisa y=Ordenada r=radio vector X El radio vector siempre es positivo θ 0 x2 + y2 , r ≥ 0 Nota: X 0 α β θ 5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL X y ORDENADA = x ABSCISA C tg θ = x ABSCISA = y ORDENADA Secθ = r RADIO VECTOR = x ABSCISA Cscθ = r RADIO VECTOR = y ORDENADA CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Como “y” esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo. Ejemplos: • Hallar “x” Y y=-15 (x; 12) 6. SIGNOS DE LA R.T. EN CADA CUADRANTE Para hallar los signos en cada cuadrante existe una regla muy práctica 13 X Resolución: Aplicamos la Fórmula: r = x 2 + y2 r 2 = x 2 + y2 Que es lo mismo 2 2 Regla Práctica Son Positivos: 2 x +y =r 90º Reemplazamos “y” por 12 y “r” por 13 en la igualdad anterior x2+122=132 x2+144=169 x2=25 x=±5 Como “x” esta en el cuadrante entonces tiene negativo x= -5 • Sen Csc Todas 180º Tg Ctg segundo que ser Cos Sec 0º 360º 270º Ejemplos: • ¿Qué signo tiene? Sen100º . Cos200º E= Tg300º Hallar “y” Y X 17 (-8; y) Resolución: Análogamente aplicamos x2+y2=r2 Reemplazamos “x” por 8 y ”r” por 17 en la igualdad anterior. (-8)2+y2=172 64+y2=289 y2=225 y=±15 Resolución: 100º ∈ IIC 200º ∈ IIIC 300º ∈ IVC Reemplazamos • Sen100º es (+) Cos200º es (-) Tg300º es (-) E= (+ )( −) ( −) E= ( −) ( −) E=(+) 2 Si θ ∈ IIC ∧ Cos2θ= . Hallar Cosθ. 9 Resolución: Despejamos dada. Cosθ de la igualdad CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Cos2θ= 2 9 2 3 Como θ ∈ III entonces Cosθ es negativo, por lo tanto: Cosθ = ± 2 Cosθ = − 3 • Si θ ∈ IVC ∧ Tg2θ= 4 . Hallar Tgθ 25 Resolución: Despejamos Tgθ de la igualdad dada: 4 Tg2θ= 25 2 Tgθ= ± 5 Como θ ∈ IVC entonces la Tgθ es negativa, por lo tanto: Tg2= − 90º IC 0º 360º 180º IVC IIIC Si θ ∈ IC 0º < θ < 90º Si θ ∈ IIC 90º < θ < 180º Si θ ∈ IIIIC 180º < θ < 270º Si θ ∈ VIC 270º < θ < 360º Ejemplos: • Si θ ∈ IIIC. En qué cuadrante está 2θ/3. Resolución: Si θ ∈ IIIC 180º < θ < 270º θ < 90º 60º < 3 2θ 120º < < 180º 3 Como 2θ/3 está entre 120º y 180º, entonces pertenece al II cuadrante. 2 5 7. ÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará Cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes. IIC Si θ es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: (0º < θ < 360º) • Si α ∈ IIC. A qué cuadrante α pertenece + 70º 2 Resolución: Si α ∈ IIC 90º < α < 180º α 45º < < 90º 2 α 115º < + 70º <180º 2 α Como + 70º esta entre 115º y 2 160º, entonces pertenece al II Cuadrante. R.T. de Ángulos Cuadrantales Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. de 90º, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0º, 180º, 270º y 360º. Y 270º (x; 12) Propiedades r CUESTIONARIO DESARROLLADO 90º 0 X TRIGONOMETRÍA Del gráfico observamos que x=0 ∧ r=y, por tanto: π=180º π 3 = 270º 2 2π=360º Reemplazamos: Y E= 2Sen90º −Cos180º C tg 270º +Sec360º E= 2(1) − (−1) 0 +1 (0; y) y 90º X 0 E= 3 y y Sen90º = = =1 y r • 0 x Cos90º = = =0 y r y = x x Ctg90º = = y y = No definido=ND 0 0 =0 y r = x r Csc90º = = y y = No definido=ND 0 y =1 y Tg90º = Sec90º = 0º 90º Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tg 0 ND 0 ND 0 Ctg ND 0 ND 0 ND Sec 1 ND 0 ND 1 Csc ND 1 ND -1 ND R.T 180º 270º 360º Calcular el valor de E para x=45º E= Sen2x + Cos6x Tg4 x + Cos8x Resolución: Reemplazamos x=45º en E: E= Sen90º +Cos270º Tg180º +Cos360º E= 1+ 0 0 +1 1 1 E=1 E= EJERCICIOS 1. Del gráfico mostrado, calcular: E = Senφ * Cosφ Y Ejemplos: • Calcular: E= 2Sen(π / 2) − Cosπ C tg(3π / 2) + Sec2π Resolución: Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos: π = 90º 2 3; 2 φ CUESTIONARIO DESARROLLADO X TRIGONOMETRÍA a) 5 6 b) 5 5 d) 6 6 e) 6 8 c) 6 5 a) 2 d) 1/4 b) 4 e) 1/5 c) 1/2 5. Si (3; 4) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal φ. Hallar el valor de: Senφ E= 1 − Cosφ 2. Del gráfico mostrado, calcular: E=Secφ + Tgφ Y (-12; 5) a) 1 d) 3 φ b) 2 e) 1/3 c) 1/2 X a) 3/2 d) –2/3 b) –3/2 e) 1 6. Si el lado de un ángulo en posición estándar θ pasa por el punto (-1; 2). Hallar el valor de: c) 2/3 E = Secθ . Cscθ a) –5/2 d) 2/5 3. Del gráfico mostrado, calcular: E= CscαY Secα α X 0 c) –2/5 7. Si el punto (-9; -40) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal α. Hallar el valor de: (-7; -24) a) 24/7 d) –24/7 b) 5/2 e) 1 E = Cscα + Ctgα b) –7/24 e) 7/24 c) 25/7 a) 4/5 d) 5/4 b) –5/4 e) –4/3 c) –4/5 4. Del gráfico mostrado, calcular: 8. Dado el punto (20;-21) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal β . Hallar el valor de: E = Tgβ + Secβ E=Ctgβ - Cscβ Y β X a) 2/5 d) 5/2 b) –2/5 e) –5/2 c) 1 (15; -8) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 9. Si Cscθ <0 ∧ Sec θ > 0. ¿En qué cuadrante está θ?. a) I d) IV b) II c) III e) Es cuadrantal d) a) + d) + y – 3 2 c) − b) –1/2 e) − 3 2 2 2 16. Si Csc2θ=16 ∧ π<θ< 10.Si θ ∈ II. Hallar el signo de: E= a) 1/2 3π . 2 Hallar el valor de: E = 15 Tgθ − Senθ Senθ − 5Cosθ Tgθ + 3 C tg θ a) –3/4 d) 5/4 b) – c) + ó – e) No tiene signo b) 3/4 e) 0 c) –5/4 17.Calcular el valor de: E= (Cos270º )Sen90º − 11.Hallar el signo de: Tg360º + Cos0º (Sec180º )C tg 270º E=Ctg432º.Tg2134º.Csc3214º.Sec4360º a) + d) + ∧ – a) 0 d) 2 b) – c) + ∨ – e) No tiene signo 12.Si Senθ.Cosθ > 0. ¿En qué cuadrante está θ?. a) I d) I ∨ III b) II e) II ∨ III 1 13.Si Senθ= ∧ θ ∈ II. Hallar Tgθ. 3 a) 2 4 d) 2 2 b) − 2 2 e) − c) − 2 2 2 4 a) − 17 b) d) − 14 e) − 17 c) b) 1 e) –3 b) –5 e) 10 c) 1/5 20.Del gráfico calcular: P = ctgβ + Cscβ 17 4 Y 17 4 β 15.Si Ctg2φ=3∧270º<θ<360º. Hallar Senθ c) –1 19.Si (5; 12) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal φ. Hallar el valor de 1 − Senφ E= Cosφ a) 5 d) –1/5 14.Si Ctgφ=0,25 ∧ φ ∈ III. Hallar Secφ. c) –1 18.Calcular el valor de: π E = TgSen Cos − Cos[Tg(Senπ)] 2 a) 0 d) 2 c) III b) 1 e) –3 X 0 (7; -24) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) 3/4 d) 4/3 b) –3/4 e) –4/3 c) 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 8. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Se denomina Función Trigonométrica al conjunto de pares ordenadas (x, y), tal que la primera componente “x” es la medida de un ángulo cualquiera en radianes y la segunda componente “y” es la razón trigonométrica de “x”. Es decir: F.T. = {(x; y) / y = R.T.(x)} 10. FUNCIÓN SENO a. Definición Sen = {(x; y) / y = Senx} DOM (SEN): “x” ∈ <-∞; ∞> o IR RAN (SEN): “Y” ∈ [-1; 1] Gráfico de la Función SENO Y 9. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Si tenemos una función trigonométrica cualquiera. y = R.T.(x) • Se llama Dominio (DOM) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variable “x”. DOM = {x / y = R.T.(x)} • Se llama Rango (RAN) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variables “y”. 1 -4π 0 -2π 2π 4π X -1 Una parte de la gráfica de la función seno se repite por tramos de longitud 2π. Esto quiere decir que la gráfica de la función seno es periódica de período 2π. Por lo tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico: Y RAN = {y / y = R.T.(x)} 1 Recordar Álgebra La gráfica corresponde a una función y=F(x) donde su Dominio es la proyección de la gráfica al eje X y el Rango es la proyección de la gráfica al eje Y. 0 π/2 π 3π/2 X 2π -1 Y y2 RANGO X 0 π/2 π 3π/2 2π RAN(F)=[y1; y2] Y=Senx 0 1 0 -1 0 Gráfica de Y=F(x) y1 0 DOM(F)=[x1; x2] x1 x2 X Nota El período de una función se representa por la letra “T”. Entonces el período de la función seno se denota así: T(Senx=2π) DOMINIO CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA b. Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y=±Asenkx, entonces al número “A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2π/k. Es decir: Ampitud = A y = ±ASenkx T(Senkx) = 2π k 11.FUNCIÓN COSENO a. Definición Cos = {(x; y) / y=Cosx} DOM (COS): “x” ∈ <-∞; ∞> o IR RAN (COS): “Y” ∈ [-1; 1] Gráfico de la Función COSENO Y Gráfico: 1 Y -4π 0 -2π A 4π X -1 Amplitud 0 X 2π k -A Tramo que se repite Período Ejemplo: • 2π Una parte de la gráfica de la función coseno se repite por tramos de longitud 2π. Esto quiere decir que la gráfica de la función coseno es periodo 2π. Por la tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico: Y Graficar la función y=2Sen4x. Indicar la amplitud y el período. 1 Resolución: 0 Ampitud = 2 2π π = T(Sen4x ) = 4 2 y = 2Sen4x Graficando la función: π/2 π 3π/2 X 2π -1 X 0 π/2 π 3π/2 2π Y=Cosx 1 0 -1 0 1 Nota El período de una función Coseno se denota así: T(Cosx=2π) Y 2 Amplitud 0 π/8 π/4 3π/8 2π 2 X -2 Período b. Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y=±ACoskx, entonces al número “A” se le va a llamar Amplitud y el período de esta función es 2π/k. Es decir: y = ±ACoskx Ampitud = A 2π T(Coskx) = k CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Ejemplo: Graficamos la función: y=Senx Gráfico: Y Y A Amplitud 0 X 2π k -A (120º; 3 ) 2 0 Período Tramo que se repite 3 =Sen120º 2 120º -1=Sen270º (270º;-1) Ejemplo: • Graficar la función y=4Sen3x. Indicar la amplitud y el período. X 270º b. Para la Función COSENO Y Resolución: 0 2π T(Cos3x ) = 3 y = 4Cos3x (a;b ) b=Cosa Ampitud = 4 Graficando la función: X a Ejemplo: Y Graficamos la función: y=Cosx 4 Y Amplitud 0 π/6 π/3 π/2 -4 X 2π 3 (60;1/2) 1/2=Cos60º Período 60 0 X 180º -1=Cos180º (180º;-1) 12.PROPIEDAD FUNDAMENTAL a. Para la Función SENO Si (a; b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y=Senx. Entonces se cumple que: b=Sena EJERCICIOS 1. Si el dominio de la función y=Senx es [0; π/3] hallar su rango. a) [0; 1] Y d) [ (a;b) b=Sena 0 a X 1 3 ; ] 2 2 b) [0;1/2] e) [ c) [0; 3 ] 2 3 ; 1] 2 2. Si el rango de la función y = Sen x es [1/2; 1] a) [0; π/6] b) [0; 6/π] CUESTIONARIO DESARROLLADO c)[π/6;π/2] TRIGONOMETRÍA d) [π/6; 5π/6] e) [π/2; 5π/6] III. y = Cosx + 2 IV. y = Cosx - 2 3. Si el dominio de la función y=Cosx es [π/6; π/4]. hallar el rango, sugerencia: graficar. a) [0; 2 ] 2 b) [0; 3 ] 2 c) [ 2 3 ; ] 2 2 3 3 ; 1 ] e) [ ; 1] 2 2 4. Si el rango de la función y=Cosx es [-1/2; 1/2]. Hallar su dominio, sugerencia: graficar. d) [ a) [0; π/3] c) [π/3; 2π/3] e) [π/3; π] b) [π/3; π/2] d) [π/2; 2π/3] 5. Hallar el período (T) de las siguientes funciones, sin graficar. I. y = Sen4x IV. y = Cos6x x x V. y = Cos II. y = Sen 3 5 3x 2x III. y = Sen VI. y = Cos 4 3 6. Graficar las siguientes funciones, indicando su amplitud y su período. I. y = 2Sen4x 1 x II. y = Sen 4 2 III. y = 4Cos3x 1 x IV. y = Cos 6 4 7. Graficar las siguientes funciones: I. II. III. IV. y = -Senx y = -4Sen2x y = -Cosx y = -2Cos4x 8. Graficar las siguientes funciones: 9. Graficar las siguientes funciones: I. II. y = 3 – 2Senx y = 2 – 3Cosx 10.Graficar las siguientes funciones: π I. y = Sen x − 4 π II. y = Sen x + 4 π III. y = Cos x − 3 π IV. y = Cos x + 3 11.Calcular el ángulo de corrimiento(θ) y el período (T) de las siguientes funciones: π I. y = Sen 2 x − 3 π x II. y = Sen + 2 3 π III. y = Cos 4 x − 6 π x IV. y = Cos + 2 3 12.Graficar las siguientes funciones: π I. y = 2 + 3Sen 2x − 4 II. π y = 1 − 2Cos 3x + 3 13.Hallar la ecuación de cada gráfica: I. Y 2 1 I. II. y = Senx + 1 y = Senx - 1 0 2π CUESTIONARIO DESARROLLADO X TRIGONOMETRÍA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Una circunferencia se llama Trigonométrica si su centro es el origen de coordenadas y radio uno. Y II. 3 Y B(0;1) 2 1 1 0 III. X π/4 A(1;0) C(-1;0) X 0 Y D(0;-1) 3 π 0 X -3 IV. En Geometría Analítica la circunferencia trigonométrica se representa mediante la ecuación: x2 + y2 = 1 1. SENO DE UN ARCO θ El seno de un arco θ es la Ordenada de su extremo. Y 2 Y 1 0 X 6π θ y (x;y) 14.La ecuación de la gráfica es: y=2Sen4x. Hallar el área del triángulo sombreado. Senθ = y X 0 Y Ejemplo: • Ubicar el seno de los sgtes. arcos: 130º y 310º X Resolución: π 2 u 4 d) πu2 a) π 2 u 8 e) 2πu2 b) c) π 2 u 2 Y 130º Sen130º X 0 Sen310º 310º CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Observación: Sen130º > Sen310º 2. COSENO DE UN ARCO θ El seno de un arco θ es la Abscisa de su extremo. Y θ Si 0º<θ<90º 0<Senθ<1 En general: Si θ recorre de 0º a 360º entonces el seno de θ se extiende de –1 a 1. Es decir: Y (x;y) Cosθ = x x 1 X 0 X Ejemplo: -1 • Ubicar el Coseno de los siguientes. arcos: 50º y 140º Si 0º≤θ≤360º -1≤Senθ≤1 Resolución: Máx(Senθ)=1 Mín(Senθ)=-1 Y 140º 50º Cos140º 0 X Cos50º 4. VARIACIONES DEL COSENO DE ARCO θ A continuación analizaremos la variación del coseno cuando θ esta en el segundo cuadrante. Y 90º θ Observación: Cos50º > Cos140º 3. VARIACIONES DEL SENO DE ARCO θ A continuación analizaremos la variación del seno cuando θ esta en el primer cuadrante. 180º Cosθ X 0 Y 90º Si 0º<θ<180º θ Senθ En general: 0º 0 -1<Cosθ<0 X Si θ recorre de 0º a 360º entonces el coseno de θ se extiende de –1 a 1. CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Es decir: Y 4. Si θ ∈ II. Hallar la extensión de “k” para que la siguiente igualdad exista. 1 -1 Sen θ = X 2k − 9 5 5. Si θ ∈ IV. Hallar la extensión de “k” para que la siguiente igualdad exista. Si 0º≤θ≤360º -1≤Cosθ≤1 Max(Cosθ)=1 Min(Cosθ)=-1 EJERCICIOS 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 6. Indicar verdadero (V) o (F) según corresponda: I. Senθ= 2 − 1 II. Senθ= 2 − 3 III. Senθ= 3 I. Sen20º > Sen80º II. Sen190º < Sen250º a) VF d) FV 3 Sen θ − 2 4 a) <1/2; 5/4> b) <-1/2; 5/4> c) <-5/4; 0> d) <-1/2; 0> e) <-5/4; -1/2> k= b) VV c) FF e) Faltan datos a) VVV d) FVF b) VVF e) VFV c) FFF 7. Hallar el máximo y mínimo de “E” si: E = 3–2Senθ 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Sen100º > Sen140º II. Sen350º < Sen290º a) VV d) FF b) VF c) FV e) Falta datos 3. Hallar el máximo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista. Sen θ = a) –1/3 d) 1 3k − 1 5 b) –1 e) 2 c) 0 a) Max=-1 b) Max=5 c) Max=1 d) Max=5 e) Max=3 ; ; ; ; ; Min=-5 Min=1 Min=-5 Min=-1 Min=-2 8. Si θ ∈ III. Hallar la extensión de “E” y su máximo valor: 4 Sen θ − 3 E= 7 a) b) c) d) e) 4/7<E<1 –1<E<3/7 –1<E<-3/7 –1<E<-3/7 –1<E<1 Max=1 Max=3/7 Max=-3/7 No tiene Max Max=1 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 9. Calcular el área del triángulo sombreado, si la circunferencia es trigonométrica. Y I. Cos100º < Cos170º II. Cos290º > Cos340º a) FV d) FF X θ a) Senθ d) - b) -Senθ 1 Senθ 2 d) FV e) Faltan datos 12. Indicar verdadero (V) o falso(F) según corresponda: c) 1 Senθ 2 e) 2Senθ 10. Calcular el área del triángulo sombreado, si la circunferencia es trigonométrica: b) VF c) VV e) Faltan datos 13. Hallar el mínimo valor de “k” para que la siguiente igualdad exista. 5k − 3 Cos θ = 2 a) –1/5 d) –1 b) 1/5 e) –5 c) 1 14. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. I. Cosθ = Y 3 +1 2 5 −1 2 II. Cosθ = III. Cosθ = π 2 X a) FVF d) VVV θ b) FFF e) VFV c) FVV 15. Hallar el máximo y mínimo valor de “E”, si: a) Cosθ b) -Cosθ c) 1 d) - Cosθ 2 e) -2Cosθ 1 Cosθ 2 11. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: E = 5 – 3Cosθ a) Max = 5 ; b) Max = 8 ; c) Max = 5 ; d) Max = -3 ; e) Max = 8 ; Min Min Min Min Min = = = = = -3 2 3 -5 -2 I. Cos10º < Cos50º II.Cos20º > Cos250º a) VV b) FF c) VF CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable. Ejemplos Identidad Algebraica: (a+b)² = a² + 2ab + b² Identidad Trigonométrica: Sen²θ + Cos²θ = 1 Ecuación Trigonométrica: Senθ + Cosθ = 1 Para: θ = 90º Cumple Para: θ = 30º No cumple 2. IDENTIDADES FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas. Se clasifican: • Pitagóricas • Por cociente • Recíprocas 2.1 IDENTIDADES PITAGÓRICAS I. Sen²θ + Cos²θ = 1 II. 1 + Tan²θ = Sec²θ III. 1 + Cot²θ = Csc²θ Demostración I Sabemos que x² + y² = r² x 2 y2 + =1 r2 r2 y2 x 2 + =1 r2 r2 2.2 Sen²θ + Cos²θ = 1 l.q.q.d. IDENTIDADES POR COCIENTE I. II. Senθ Cosθ Cosθ Cotθ = Senθ Tanθ = Demostración I y ORDENADA y r Senθ Tanθ = = = = L.q.q.d. ABSCISA x x Cosθ r 2.3 IDENTIDADES RECÍPROCAS I. Senθ . Cscθ = 1 II. Cosθ . Secθ = 1 III. Tanθ . Cotθ = 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Demostración I y r . = 1 Senθ . Cscθ = 1 r y L.q.q.d. Observaciones: Sabiendo que: Sen²θ + Cos²θ = 1 Despejando: Así mismo: Sen²θ = 1 – Cos²θ Cos²θ = 1 - Sen²θ ⇒ ⇒ Sen²θ = (1 + Cosθ) (1-Cosθ) Cos²θ = (1 + Senθ) (1-Senθ) 3. IDENTIDADES AUXILIARES A) Sen4θ + Cos4θ = 1 – 2Sen²θ . Cos²θ B) Sen6θ + Cos6θ = 1 – 3Sen²θ . Cos²θ C) Tanθ + Cotθ = Secθ . Cscθ D) Sec²θ + Csc²θ = Sec²θ . Csc²θ E) (1+Senθ + Cosθ)² = 2(1+Senθ)(1+Cosθ) Demostraciones A) Sen²θ + Cos²θ = 1 Elevando al cuadrado: (Sen²θ + Cos²θ)² = 1² Sen4θ + Cos4θ +2 Sen²θ + Cos²θ = 1 Sen4θ+Cos4θ=1–2 Sen²θ.Cos2θ B) Sen²θ + Cos²θ = 1 Elevando al cubo: (Sen²θ + Cos²θ)3 = 13 Sen6θ + Cos6θ +3(Sen²θ + Cos²θ) (Sen²θ + Cos²θ)= 1 1 Sen6θ + Cos6θ +3(Sen²θ + Cos²θ) = 1 ⇒ Sen6θ+Cos6θ=1-3(Sen²θ.Cos²θ) C) Tanθ + Cotθ = Senθ Cosθ + Cosθ Senθ 1 Sen 2 θ + Cos 2 θ Cosθ . Senθ 1 .1 Tanθ + Cotθ = ⇒ Tanθ + Cotθ = Secθ . Cscθ Cosθ . Senθ Tanθ + Cotθ = D) Sec²θ + Csc²θ = 1 1 + 2 Cos θ Sen 2θ CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 1 Sec²θ + Csc²θ = Sen θ + Cos 2 θ Cos 2 θ . Sen 2 θ Sec²θ + Csc²θ = 1 .1 Cos θ . Sen 2 θ 2 2 ⇒ Sec²θ + Csc²θ = Sec²θ . Csc²θ E) (1+Senθ + Cosθ)² = 1²+(Senθ)²+(Cosθ)²+2Senθ+2Cosθ+2Senθ.Cosθ = 1+Sen²θ + Cos²θ + 2Senθ.2cosθ + 2Senθ.Cosθ = 2+2Senθ + 2Cosθ + 2Senθ.Cosθ Agrupando convenientemente: = 2(1 + Senθ) + 2Cosθ (1 + Senθ) = (1 + Senθ) (2 + 2Cosθ) = 2(1 + Senθ) (1 + Cosθ) ⇒ (1 + Senθ + Cosθ)² = 2(1+Senθ) (1+Cosθ) 4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes, para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos: 1. Se escoge el miembro “más complicado” 2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general) 3. Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas. Ejemplos: 1) Demostrar: Secx (1 – Sen²x) Cscx = Cotx Se escoge el 1º miembro: Secx (1-Sen²x) Cscx = Se lleva a senos y cosenos: ( ) 1 1 . Cos 2 x . = Cosx Senx 1 Se efectúa: Cosx . = Senx Cotx = Cotx 2) Demostrar: [Secx + Tanx - 1] [1 + Secx - Tanx] = 2Tanx Se escoge el 1º Miembro: [Secx + Tanx - 1] [Secx – Tanx + 1] = [Secx + (Tanx – 1)] [Secx – (Tanx -1)]= Se efectúa (Secx)² - (Tanx - 1)² = CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA (1 + Tan²x) – (Tan²x – 2Tanx + 1) = 1 + Tan²x – Tan²x + 2Tanx - 1 = 2Tanx = 2Tanx 5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y SIMPLIFICAR Ejemplos: 1) Reducir: K = Sen4x – Cos4x + 2Cos²x Por diferencia de cuadrados 1 K = (Sen²x + Cos²x) (Sen²x – Cos²x) + 2Cos²x K = Sen²x - Cos²x + 2Cos²x K = Sen²x + Cos²x ⇒ K = 1 2) Simplificar: E = 1 + Cosx Senx − Senx 1 − Cosx 1− Cos 2 x E= E= (1 + Cosx )(1 − Cosx ) − (Senx )(Senx ) Senx (1 − Cosx ) Sen 2 x − Sen 2 x O → E= ⇒ E=0 Senx (1 − Cosx ) Senx (1 − Cosx ) 6. PROBLEMAS CON CONDICIÓN Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones. Ejemplo Si: Senx + Cosx = 1 . Hallar: Senx . Cosx 2 Resolución 1 Del dato: (Senx + Cosx)² = 2 1 Sen²x + Cos²x + 2Senx . Cosx = 4 2 1 1 -1 4 3 3 2Senx . Cosx = − ⇒ Senx . Cosx = 4 8 2Senx . Cosx = CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIÓN DE ÁNGULOS La idea central es eliminar todas las expresiones trigonométricas, y que al final queden expresiones independientes de la variable. Ejemplo: Eliminar “x”, a partir de: Cosx = b Resolución De Senx = a Cosx = b Senx = a → Sen²x = a² Sumamos → Cos²x = b² Sen²x + Cos²x = a² + b² 1 = a² + b² PROBLEMAS PARA LA CLASE 2 1. Reducir : E = Sen x.Secx + Cosx b) Cscx a) Secx 2. Simplificar : a) tgx E= c) d) Ctgx Tgx e) 1 Secx − Tgx − 1 Cscx − Ctgx − 1 b) cscx c) secx d) ctgx e) Secx.Cscx 3. Reducir : E= a) 1 1− Cos2θ Tg2θ 4. Reducir: + b) 1 1 − 2 Csc θ − 1 1− Sen2θ Sec 2θ c) Csc 2θ d) Ctg2θ e) Sen2θ Senx + Tgx Cosx + Ctgx G = 1 + Cosx 1 + Senx a) 1 b) c) Tgx 1 d) Ctgx Secx.Cscx e) Senx.Cosx 1 2 5. Calcular el valor de “K” si : 1+ K + 1− K = 2Sec θ a) Cosθ b) Senθ c) Cscθ d) Secθ e) Tgθ 6. Reducir : W = (Senx + Cosx + 1)(Senx + Cosx − 1) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) 2 b) c) Senx Cosx d) 2Senx e) Cscx e) 2Senx.Cosx e) Secx Cscx − Senx 7. Reducir : G = 3 Secx − Cosx a) b) Ctgx c) 1 d) Tgx 8. Reducir : Secx ( K = Ctgx.Cosx − Cscx 1 − 2Sen2 x a) Senx b) c) Cosx ) d) Tgx Ctgx 1 9. Si : Cscθ − Ctgθ = 5 Calcular : a) 5 b) 4 10. Reducir : a) Sec 6 x 11. Reducir : a) 1 E = Secθ + Tgθ b) c) 2 d) 2/3 e) 3/2 H = Tg2 x Tg4 x + 3Tg2 x + 3 + 1 b) Cos6 x c) Tg6 x d) G= Senx Tgx + Cosx − 1 + 1 + Cosx Senx Cosx c) d) Senx Ctg6 x e) 1 Cscx e) Secx 12. Reducir : J = Cosθ.(Sec 3θ − Cscθ ) − Tg3 θ.(Ctgθ − Ctg4 θ ) a) 1 b) c) 2Ctgθ 2Cosθ d) e) 2Senθ Sec 2θ 2 4 2 13. Reducir : W = (Sec θ + 1)(Sec θ + 1) + Ctg θ a) Ctg2θ b) 14. Reducir : M = a) 2 Csc8θ Sec8θ c) d) Tg8θ e) Sec8θ.Ctg2θ (2Tgx + Ctgx)2 + (Tgx − 2Ctgx)2 Tg2 x + Ctg2 x b) 10 15. Reducir : E = 1 + c) 5 d) 3 e) 7 1 −1 + 1 1 1− 1+ Sen2 x (1 − Senx)(1 + Senx) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) Sen2 x 16. Si : b) Cos2 x Tg2 x c) d) Ctg2 x e) Sec 2 x Tgθ + Ctgθ + m Sen3θ + Cos3θ = Tgθ + Ctgθ + 2 [Senθ + Cosθ]3 Calcular el valor de “ m “ a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 17. Simplificar : E = a) Csc 2 x b) (Cos3 x.Sec 2 x + Tgx.Senx)Cscx Ctgx.Senx Sec8 x c) 3π 2Senθ b) −2Cosθ c) d) Secx.C sc x 18. Si : θ ∈ 4 , π Reducir : a) e) – 2 J = 1+ −Tgθ d) Secx.Ctgx e) Sec 2 x.C sc x 2 2 + 1− Tgθ + Ctgθ Tgθ + Ctgθ e) 2Cosθ 2(Senθ + Cosθ) 1 Sen4θ − Cos4θ = 3 Calcular : E = Sec 2θ.(1 + Ctg2θ) 19. Si : a) 2 b) 4 c) 7/2 d) 9/2 e) 5 20. Simplificar : R = (Senx + Cosx)(Tgx + Ctgx) − Secx a) Senx b) Cosx c) Ctgx d) e) Secx Cscx 21. Reducir : H = (Secx − Cosx)(Cscx − Senx)(Tgx + Ctgx) a) 1 22. Si : b) 2 Tgx E = Sec 2θ + Ctg2θ b) 3 43 23. Reducir : a) e) 4 Tgθ = 7 − Ctgθ Calcular : a) c) 3 d) 0 b) 24. Reducir : E= c) 3 7 d) 4 3 e) 4 5 Sec 2 x + Csc 2 x + Sec 2 x.Csc 2 x + Tg2 x 2 2 2Sec x.Csc x 2Tg2 x H= 5 c) Senx d) Sec 2 x e) Sen2 x (1 − Senx + Cosx)2 (1 + Senx) Senx.Cosx(1 + Cosx) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) Tgx b) Ctgx c) Senx d) Cosx e) Senx.Cosx FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ARCOS COMPUESTOS REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ARCOS 6+ 2 4 ∴ Sen75º = Sen (α+β)= Senα.Cosβ +Senβ.Cosα Cos (α+β)= Cosα. Cosβ-Senα.Senβ tgα + tgβ Tg (α+β) = 1 − tgα.tgβ FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE DOS ARCOS 75º 4 6− 2 15º 6+ 2 b) Cos 16º = Cos (53º-37º) = Cos 53º.Cos37º Sen37º 3 4 4 3 5 5 5 5 = + Sen (α-β)= Senα.Cosβ - Cosα.Senβ Cos (α-β)= Cosα.Cosβ + Senα.Senβ ∴ Cos 16º = 24 25 Tg (α-β) = tgα - tgβ 1+ tgα . tgβ Ojo: Ctg(α+β)= Ctgα . Ctgβ + 1 Ctgβ ± Ctg α Aplicación: a) Sen 75º = Sen (45º+30º) = Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º 74º 25 7 16º 24 2 3 2 1 + = 2 2 2 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA c) tg 8º = tg (53º-45º) 4 −1 tg53º − tg 45º 3 = = = 4 1 + tg53º.tg 45º 1+ 3 1 ∴ Tg 8º = 7 1 3 7 3 82º 5 2 1 8º 7 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS RESUELTOS b- 1 Sen 25º = a 2 1. Calcular: Sen 25º = E=(Sen17º + Cos13º)²+(Cos17º+Sen13º)² = Sen²17º + Cos²13º+ 2Cos13ºSen17º + Cos²17º+Sen²13º+ 2Cos17º.Sen13º = 1+1+2Sen (17º+13º) = 2 + 2Sen30º= 3 Tg25º = Sen 25º = Cos 25º 2 (b-a) 2 (a − b ) 2b = a−b b 2. Hallar: P=Cos80º+2Sen70º.Sen10º 5. Simplificar: Resolución E=Sen²(α+β)+sen²β-2sen (α+β) Senβ.Cosα = Cos(70º+10º)+2Sen70º.Sen10º = Cos70º.Cos10º-Sen70º.Sen10º+2Sen70º.Sen10º = Cos70º.Cos10º+ Sen70ºSen10º = Cos(70º-10º)=Cos60º = 1 2 3. Hallar Dominio y Rango: f(x) = 3Senx + 4 Cosx 4 3 Rango: y = 5 Sen x + Cos x 5 5 Y = 5 (Sen37º.Senx +Cos37º.Cosx) Y = 5 Cos(x-37º) Ymax = 5 ; Ymin = -5 Propiedad: E = a Senα ± b Cos x a 2 + b2 Emin = - a 2 + b 2 Ejemplo: -13 ≤ 5 Senx + 12 Cos x ≤ 13 - 2 ≤ Sen x + Cosx ≤ 2 4. Siendo Sen 20º = a, Cos 25º = 2 b. Obtener tg 25º en término de “a” y “b” Resolución Sen 20º = a Sen (45º-25º) = a 1 2 .cos 25º − 2b 1 2 E = {sen(α+β)-Cosα.Senβ}²+Sen²β(1-Cos²α) E = Sen²αCos²β + Sen²β . Sen²α Resolución Dominio: x ∈R Emáx = Resolución: Ordenando: E = Sen²(α+β) – 2Sen(α+β) Senβ.Cosα + Sen²β + Cos²αSen²β - Cos²αSen²β . Sen 25º = a E = Sen²α(Cos²β + Sen²β) E = Sen²α 6. Siendo: Senα + Senβ + Sen θ=0 Cosα + Cosβ + Cos θ = 0 Calcular: E = Cos (α-β) + Cos (β-θ) + Cos (θ-α) Resolución: Cosα + Cosβ = - Cos θ Senα + Senβ = - Sen θ Al cuadrado: Cos²α + Cos²β + 2Cosα . Cosβ = Cos²θ + Sen²α + Sen²β + 2Senα . Senβ = Sen²θ 1 + 1 + 2 . Cos(α - β) = 1 Cos (α - β) = - 1 2 Por analogía: 1 2 1 Cos (θ - α) = 2 Cos (β - θ) = - E = - 3/2 Propiedades : Tag( A + B) =TagA + TagB +TagA TagB Tag( A +B) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Ejm. Tg18º+tg17º+tg36ºtg18ºtg17º=tg35º 3 tg20º tg40º = Tg20º + tg40º + 3 ↓ (tg60º) tg22º + tg23º + tg22º . tg23º tgα + tg2α + tgα tg2α tg3α =1 = tg3α tgα . tgβ = b 2 − c2 a 2 − c2 − 2ab a 2 − c2 b2 − c2 1− 2 2 a −c − 2ab 2ab tg(α+β) = 2 = a − b2 b2 − a 2 tgα + tgβ tg (α+β) = = 1 − tgα.tgβ Propiedades Adicionales 8. Hallar tgα si: Sen(a ± b) Cosa.Cosb Sen(a ± b) Ctga ± Ctgb = Sena.Senb Tag ± Tagb = 4 6 α 2 α Sen(α + θ ).Sen(α − θ ) = Sen 2α − Sen 2 β Cos(α + θ ).Cos(α − θ ) = Cos 2α − Sen 2θ Resolución: ........................ Si : a + b + c = 180° 9. Siendo: tg (x-y) = a−b , tg (y-z) = 1 a+b Taga +Tagb +Tagc =Taga.Tagb.Tagc Ctga.Ctgb +Ctga.Ctgc +Ctgb.Ctgc =1 Hallar: tg (x-z) Resolución ........................ 10. Siendo “Tag α” + “Tagβ” las raíces de la ecuación: a . sen θ + b . Cos θ = c Hallar: Tg (α + β) Resolución: Dato: a Senθ + b Cosθ = c a Tgθ + b = c . Sec θ a² tg²θ + b²+ 2abtgθ = c² (1+tg²θ) (a² - c²) tg² θ + (2ab)tgθ + (b² - c²)=0 tgα + tgβ = − 2ab a 2 − c2 Si: a + b + c = 90° Ctga + Ctgb + Ctgc = Ctga.Ctgb.Ctgc Taga.Tagb + TagaTagc . + Tagb.Tagc = 1 EJERCICIOS 3 1. Si : Senα = − ; α∈ III C; 5 12 Cosβ = , β∈ IV C. 13 E = Sen(α + β) a) −16/65 d) 13/64 2. Reducir : E = b) 16/65 c) 9/65 e) 5/62 Sen(a − b) + Tagb Cosa.Cosb CUESTIONARIO DESARROLLADO Hallar: TRIGONOMETRÍA a) Taga b) Tagb c) Tag(a – b) d) Tag( a +b ) e) Ctga 3. Si : Cos(a +b)−Cos(a −b)= 10. Si ABCD es un cuadrado. Hallar Tagx B C a) 19/4 1 2 b) 4/19 Hallar E = Csca.Cscb a) −2 d) −5 b) −3 e) −6 c) 1/2 c) −4 a) 1 /2 e) 3Cosx 9. Si se cumple: Cos(a − b) = 3SenaSenb Hallar M = Taga.Tagb a) −1 /2 b) −2 d) 1 e) 1/4 c) 1 /2 b) 10 / 11 e) 1 / 2 c) 5 /3 B 2 5 E C b) 1 /32 c) 1 /48 6 θ d) 1 /64 a) 1 b) -1 c) Taga.Ctgb d) Tgb.Ctga e) 2 d) −Cosx 2 5 ; Ctgα + Ctgβ = 3 2 13. Hallar : Ctgθ Sen(a + b) − Senb.Cosa Sen(a − b) + Senb.Cosa 3Senx b) 2 c) 1 /2 e) 1 /8 a) 11/ 10 d) 13 / 10 a) 2Cosθ b) 2Senθc) 3Cosθ d) 2Senθ Cosθ e) Ctgθ b) Cosx c) 5 Hallar E = Tag(α + β) 8Sen(θ + 45°) − 2Senθ a) Senx E E = Cos80°+ 2Sen70°.Sen10° 12. Si: Tagα + Tagβ = b) Sena c) Cosa e) 1 8. Reducir E = Cos(60° + x) + Sen(30° + x) D 11. Reducir : a) 1 d) 1 /4 Cos(a − b) − Cos(a + b) 5. Reducir : G = 2Sena 7. Reducir : E = A e) 3/4 a) 17 2 /13b) 17 2 /15 c)17 2 /14 d) 17 2 /26e) 5 2 /26 6. Reducir :M = x d) 7/3 5 4. Si : Senθ = − ;θ ∈III C; Tag α=1 ; 13 α ∈ III C Hallar E = Sen(θ+α ) a) Senb d) Cosb 2 D e) −1 /72 A : 14. Hallar :M = (Tag80° − Tag10°)Ctg70° a) 2 d) 3 b) 1 e) 1 /3 c) 1 /2 15. Hallar el máximo valor de: M = Sen(30° + x) + Cos(60° + x) a) 1 d) 5 /3 b) 2 /3 e) 1 /7 c ) 4 /3 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE PRIMER CASO: Reducción para arcos positivos menores que 360º 180 ± α = ± f .t.{α} 360 ± α f.t. Depende del cuadrante 90 ± α = ± co f .t.{α} 270 ± α f.t. Ejm: Sen200º=(Sen180º+20º)=-Sen 20º IIIQ Tg300º = (tg300º - 60º) = -tg60º IVQ π + x = -Senx 2 Cos II Q 8π π π Sec = sec π + = −Sec 7 7 7 TERCER CASO: Reducción para arcos negativos Sen(-α) = -Senα Ctog(-α) = -Ctgα Cos(-α) = Cosα Sec(-α) = Secα Tg(-α) =-tgα Csc(-α) = -Cscα Ejemplos: Sen (-30º) = -Sen30º Cos (-150º) = Cos 150º = Cos (180º - 30º) = - Cos 30º Tg x − 3π 3π = − tg − x = -ctgx 2 2 ARCOS RELACIONADOS a. Arcos Suplementarios Si: α + β = 180º ó π → Senα = Senβ Cscα = Cscβ Ejemplos: Sen120º = Sen60º Cos120º = -Cos60º SEGUNDO CASO: Reducción para arcos positivos mayores que 360º f.t. (360º . n + α) = f.t. (α); “n” ∈ Z Ejemplos: 1) Sen 555550º = Sen 70º 555550º 360º 1955 1943 -1555 1150 - 70º 2) Cos 62π 2π 2π = Cos12π + = Cos 5 5 5 Tg 5π 2π = − tg 7 7 b. Arcos Revolucionarios Si α + β = 360º ó 2 π → Cosα = Cosβ Secα = Secβ Ejemplos: Sen300º = - Sen60º Cos200º = Cos160º Tg 8π 2π = − tg 5 5 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 8. Reducir: A = EJERCICIOS 1. Reducir E = Cos 330° • Ctg 150° a) −1 /2 d) −5 /2 a) − 3 /4 d) 1 /4 c) −3 /2 b) 3 /2 e) 7 /2 a) 1 /2 d) −2 b) 3 / 2 c) A= 2 π M= c) 1 d) − 2 / 2 5. Reducir: π a) 5 /3 d) 1 /3 Ctg1680°.Tag1140° Cos 300° A= 2 2 Cos(2π − θ ) = − Hallar “ m “ a) 1 /5 d) 4 /5 b) 2 /5 e) 6 /5 c) 3 /5 c ) 2 /5 Sen (20° + x) + Cos ( y + 40°) Cos (140° − y ) + Sen (200° + x) a) −1 b) 2 c) −2 d) 1 e) 0 13. Del gráfico hallar E = Tagθ + Tagα d) −2 e) −1 7. Si: Sen( π + ϑ ) = m − 1, b) 2 /3 e) 5 /2 12. Siendo : x + y = 180° Hallar: 6. Reducir: Sen( −θ ) − Sen(π − θ ) M= π Sen(2π − θ ) + Cos(3 − θ ) 2 c) 3 e) Cos 2 x Hallar E = Tag 2 x + Ctg 2 x b) −2 c) 1 /2 e) − 3 a) 1 b) 2 3π + x )Sen 2 (π + x ) 2 3π Ctg 2 ( − x) 2 11. Si se cumple que : Sen(180° + x ).Sen(360° − x ) = 1/ 3 e) 1 A= 6/4 b) Sen 4 x c) Cos 4 x a) 1 2 / 2 c) − 2 b) 2 / 4 c) Cos(π − x )Sen( .Sen325 .Sec 41 4 6 4 2 π e) 1 /6 10. Reducir: + x) Cos (π + x) π π b) 2 /2 6 /6 d) Sen 2 x 4. Hallar : a) 2 d) 3 d) b) − Tagx e) −1 a) Tagx d) Senx a) π π M= Cos123 .Tag17 .Sen125 4 3 6 a) Tag (− x) • Sen(2π − x) Ctg ( M = Ctg 53 3 /3 3 / 3 e) − 3 / 3 3. Reducir b) −4 /3 c) 5 /2 e) 2 9. Reducir: 2. Reducir : M = Sen 1200° • Ctg 1500° Sen( −1920°)Ctg (2385°) 5π 7π Sec ( ).Ctg 6 4 m 3 a) 5 /6 b) 1 /5 c) 1 /6 d) 6 /5 e) 2 /5 A (−3 ; 2) α θ CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ARCO DOBLE Y MITAD I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE 1. Seno de 2α: Del triángulo rectángulo: * Sen 2α = 2 tgα 1 + tg 2α * Cos 2α = 1 − tg 2α 1 + tg 2α Sen 2α = 2Senα Cosα 2. Coseno de 2α: 5. Especiales: Cos 2α = Cos²α - Sen²α 3. Cos 2α = 1 – 2 Sen²α ... (I) Cos 2α = 2 Cos²α - 1 ... (II) Fórmulas para reducir el exponente (Degradan Cuadrados) De (I)... 2 Sen²α = 1 – Cos 2α De (II).. 2 Cos²α = 1+Cos 2α 4. Tangente de 2α: 2Tgα tg2α = 1 − Tg 2α 1 + Tg2α • Ctgα + Tgα = 2Csc 2α • Ctgα - Tgα = 2Ctg2α • Sec 2α + 1 = • Sec 2α - 1 = tg2α . tgα • 8Sen4α = 3 – 4 Cos2α + Cos4α • 8Cos4α = 3 + 4 Cos2α + Cos4α • Sen4α + Cos4α = 3 + Cos 4α 4 • Sen6α + Cos6α = 5 + 3Cos 4α 8 tg 2α tgα 2Tgα 2α 1-Tg2α CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 1 + Sen 2 x + Cos 2 x 1. Reducir: R= 1 + Sen 2 x − Cos 2 x Calcular: tg2x Resolución: Sabemos: Resolución: R= 1 + Cos 2 x + Sen 2 x 2Cos 2 x + 2SenxCosx = 1 − Cos 2 x + Sen 2 x 2Sen 2 x + 2SenxCosx 2 tgx 1 − tg 2 x Tg2x = Del Dato: R= 2Cosx (Cosx + Senx ) = Ctgx 2Senx (Senx + Cosx ) -3 tgx = 1- tg²x tg2x = 2. Simplificar: E= (Sen 2 x + Senx )(Sen 2 x − Senx ) (1 + Cosx + Cos 2 x )(1 − Cosx + Cos 2 x ) (2SenxCosx + Senx )(SenxCosx.2 − Senx ) E= (2Cos 2 x + Cosx )(2Cos 2 x − Cosx ) Senx (2Cosx + 1)Senx (2Cosx − 1) Cosx (2Cosx + 1)Cosx (2Cosx − 1) 5. Siendo: 2tg x + 1 = 2Ctgx Calcular: Ctg 4x Resolución E= 2 tgx 2 =− − 3tgx 3 = tgx.tgx Resolución: Del dato: 1 = 2(Ctgx - Tgx) 1 = 2 (2Ctg 2x) 1 = Ctg. 2x 4 E = tg²x Notamos: 2Ctg 4x = Ctg 2x – Tg2x 3. Siendo: 1 −4 Ctg4x = 4 2 Senθ Cosθ = b a Reducir: P = aCos2θ + bSen2θ Resolución: = aCos2θ+b.2Senθ.Cosθ = aCos 2θ+bCosθ. 2Senθ = aCos 2θ+aSenθ. 2Senθ = aCos 2θ+a(2Sen²θ)(1-Cos2θ) Ctg4x = - 15 8 6. Siendo: Sec x = 8Senx Calcular: Cos 4x Dato : 1 1 = 4.2Senx ⇒ = 2 Senx . Cosx Cosx 4 P = aCos2θ + a – aCos2θ → P = a 4. Si tg²x – 3tgx = 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 1 = Sen 2 x 4 E = 2 Cos 4 Nos pide: Cos4x= 1 – 2 Sen²2x 1 = 1-2 4 1 = 18 7 Cos4x = 8 7. E = 2 Cos 4 2 π π + Sen 4 12 12 π π . Cos² 12 12 π 1 E = 2 – Sen² = 2 = 7/4 6 4 E = 2 – 2² . Sen² Determinar la extensión de: F(x)= Sen6x + Cos6x F(x) = 1 - 3 . 2² Sen²x . Cos²x 4 EJERCICIOS 1. Si : Cscx = 3 . Hallar : E = Sen 2 x a) 2 2 / 3 b) d) 3 F(x) = 1 . Sen²2x 4 2/4 3 / 6 c) 2 / 6 e) 4 2 / 7 2. Si: Tagθ = −1/ 5 . Calcular : E = Cos 2θ Sabemos: a) 12/13 d) 2/7 b) 5/13 c) 1/8 e) 3/5 ≤ Sen²2x ≤ 1 0 3 4 1 4 3 ≤Sen²2x ≤ 0 4 3 ≤Sen²2x+1 ≤ 1 4 3. Si: Senx - Cosx = a) 12/13 d) 13/5 ¼ ≤ f(x) ≤1 1 n −1 b) 25/24 c) 7/25 e) 5/4 1 Hallar : 2 E = Tag 2θ a) −1 /4 d) −7 /4 ≤ Sen 2 n x + Cos 2 n x ≤ 1 π 5π E = Cos4 12 +Cos4 +Cos 12 b) −3 /4 c) 5 /4 e) 9 /4 5. Reducir: 8. Calcular 4 7π 11π + Cos 4 12 12 Resolución: π 5π 4 +Cos E= Cos 12 +Cos4 12 1 Hallar E = Csc 2x 5 4. Si: Tag (π + θ ) = Propiedad: 2 π 5π + Cos 4 12 12 4 5π π + Cos 4 12 12 M = 2SenxCos 3 x + 2CosxSen3 x a) Cos 2x d) Ctg2x b) Sen 2x e) 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO c) Tag x TRIGONOMETRÍA 6. Si: Senα = II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD 1 3 2 9 Hallar E = E = 3 − Cos2α + Cos4α 1. Seno de 2 Sen2 a) 82/27 b) 81/26 c) 49/27 d) 17/32 e)12/17 7. Reducir: M= Sen 5 + 3Cos4x Cos4 x - Sen2 xCos2 x + Sen4 x a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 2. 2Cos² Sen 4 x − Sen 2 xCos 2 x + Cos 4 x ≡ ACos 4 x + B b) 1 /2 e) 1 /5 α = 1 - Cosα 2 Cos c) 2 /5 1 + Cosα 2 α =± 2 Coseno de 8. Si se cumple: a) 3 /5 d) 3 /10 α : 2 α : 2 α = 1 + Cosα 2 1 + Cosα 2 α =± 2 Donde: 9. Reducir: M = a) 1 /2 d) 1 /5 Sen10°Sen80° Cos10° − 3Sen10° b) 1 /3 e) 1 /6 c) 1 /4 (±) Depende del cuadrante al cual ∈“ 3. Tangente de 10. Si se cumple: 4 2 2 Tag θ + Sec θ + Tag θ 8 = 3 2Tagθ − 2Tag 3θ tg α 2 =± α : 2 1 − Cosα 1 + Cosα Hallar E = Sen 4θ a) 1 /3 d) 1 /4 11. Reducir: M= b) 1 /2 e) 5 /7 c) 3 /4 2Sen 2θ − Senθ Sen3θ + 4Sen 2θ .Sen 2 a) 1 d) 1 /4 b) 1 /2 e) 2 c) 1 /3 4. Cotangente de Ctg α : 2 α 1 + Cosα = ± 2 1 − Cosα θ 2 5. Fórmulas Racionalizadas Tg α 2 Ctg = Cscα - Ctgα α = Cscα + Ctgα 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO α ” 2 TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 1. Reducir Sen 2α Cosα 1 + Cos 2 x 1 + Cosx Resolución: 2.SenxCosx Cosx Senx = . 2 2.Cos x 2Cos 2 x 2Cos 2 x 2 2 x x 2Sen .Cos 2 2 = tg x P= x 2 2Cos 2 2 2. α θ b .Ctg = 2 2 a 1. Relaciones Principales P= P= tg π 2 − 2 + 2 + 2 + ......... 2 = 2 Sen 2n +1 n radianes π 2 + 2 + 2 + 2 + ........ + 2 = 2Cos 2n +1 Relaciones Auxiliares n radianes EJERCICIOS 1. Si: Cosx = 1 / 4 ; x ∈ III Cuadrante x 2 b) − 10 / 4 Siendo: Hallar E = Sen ( ) a 2 − b 2 + (a 2 + b 2 )Cosθ Cosα = 2 a + b 2 + (a 2 − b 2 )Cosθ a) 10 / 4 d) 5/4 Hallar: α θ tg .Ctg 2 2 Resolución: del dato: 2 2 2 Por proporciones 2 /4 e) − 5 / 4 5 ; x ∈ III Cuadrante 12 x Hallar M = Cos ( ) 2 2. Si : Ctgx = a) 2 / 13 1 a + b + (a − b )Cosθ = 2 Cosα a − b 2 + (a 2 + b 2 )Cosθ 2 c) d) − 1 / 13 b) 1 / 13 c) − 2 / 13 e) 3 / 13 3. Si. Cosx = 1 / 3 ; 3π / 2 < x > 2π x 2 b) 2 / 2 c) − 2 / 2 e) 2 2 Hallar E = Tag 1 − Cosα 2b 2 − 2b 2Cosθ = 1 + Cosα 2a 2 + 2a 2Cosθ Tg² tg α 2b 2 (1 − Cosθ) = 2 2a 2 (1 + Cosθ) α b θ = .tg 2 a 2 a) 2 d) − 2 4. Si : 90° < x < 180° y Tag 2 x = 32 / 49 Hallar : Cos( x / 2) a) −4/7 d) 3/7 b) −3/7 c) 1/3 e) 4/7 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 5. Reducir : E = Senx (Tagx.Ctg x − 1) 2 11. Siendo x un ángulo positivo del III cuadrante; menor que una vuelta y se sabe: 3Sen2x + 2 5Cosx = 0 b) Tagx c) Senx a) Ctgx d) Tagx / 2 e) 1 Hallar E = Tag x / 2 6. Reducir: E = Tag x x x + 2Sen 2 .Ctg 4 2 4 a) Senx b) Cscx/2 c) Cscx d) 1+Cosx/2 e) Senx/2 a) − 5 b) − 2 d) e) 1 /3 12. 2 Reducir: 1 + Cosx 2 ; x ∈ < π ; 2π > 2 1+ P= 7. Si: 2 Sen 2θ = Senθ ; θ ∈ < 270°;360° > θ θ 2 3Sen + 5 Cos 2 2 Hallar E = a) 1 d) 1/2 b) −1 e) 2 a) Cos x/2 b) −Cos x/4 c) Sen x/4 d) −Sen x /4 e) −Tag x/4 c) 0 Tag 13. Reducir: M = Tag 8. Reducir: M = Tagx + Ctg a) 1 d) 0 x x − Ctg Secx 2 2 b) 2 e) 1 /2 c) −1 θ 9. Reducir: A = Tag(45º + ) − Secθ 2 a) Tag θ d) Csc θ b) Ctg θ c) Sec θ e) Sen θ Hallar E = Tag 7° 30" 10. c) − 3 x x − Tag 2 4 x x − 2 Tag 2 4 1 1 Sec 2 x / 4 b) Ctg 2 x / 4 2 2 1 c) Csc 2 x / 4 d) Csc 2 x / 4 e) 1 2 a) 14. Si: 4Cos x x − 2Cos = 3 4 2 Hallar E = 5 −4 Cosx a) 2 d) 8 b) 7 e) 10 c)6 15. Reducir: a) 6 − 2 −2+ 3 b) 6− 6+ 6+ 6+ c) d) e) 3+ 3+ 3+ 3− 2 −2 2 −2 2+2 2 −2 x π x x x M= 1 + Sen Ctg 2 + + Sen 2 • Csc 2 2 2 4 4 a)1 d) 1 /4 b) 2 c) 1 /2 e) 1 /6 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ARCO TRIPLE 3Senx – 4 Sen3x Sen 3x= Senx (2Cos 2x+1) 4Cos3x – 3 Cosx Cos3x= Cosx (2Cos 2x - 1) 3 tan x − Tan 3 x tang3x= 1 − 3Tan 2 x Ejm. Reducir: 3Senx − Sen 3 x Sen 3x = 3Senx − (3Senx − 4Sen 3 x ) 4Sen 3 x = =4 Sen 3 x Sen 3x Cos3x 4Cos 2 x 4Cos3 x − 3Cosx 3Cosx = Hallar P = 4 Cos²x = P= − Cosx = 3 Cosx 1 Cosx Reducir: M = 9 Senx – 12Sen3x – 4Sen33x M = 3 (3Senx – 4 Sen3x) – 4 Sen33x M = 3 Sen3x – 4 Sen33x = Sen 9x 1. Reducir A = 2 Cos2x Cosx – Cosx 2 Cos2x Senx + Senx Resolución: A= 2. Cosx (2Cos 2 x − 1) Cos3x = = Ctg3x Senx (2Cos 2 x + 1) Sen 3x Si Tan3x = 11Tanx Hallar cos “2x” Resolución: Sen 3x 11Senx Senx (2Cos 2 x + 1) senx = → = 11 Cos3x Cosx Cosx (2Cos 2 x − 1) cos x 4Cos 2 x 12 3 = → Cos 2 x = 2 10 5 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 3. Sabiendo tan (30º-x) = 2. Hallar tan 3x Resolución Hacemos Tan (30º-x) =2 → Tan θ = 2 Tan 3θ = 3 tan 3θ − tan 3 θ 3x 2 − 8 2 = = 1 − 3 tan 2 θ 1 − 12 11 Luego: Tan 3θ = 2 2 → Tan [3(30º-x)] = 11 11 Tan (90º-3x) = Tan 3x = 4. 2 2 → Cot 3x = 11 11 11 2 Si tan 3x = mtanx Hallar : Sen3x.Cscx = Sen 3x = 2Cos2x+1 Senx Resolución: Dato: Sen3x.Cscx = Sen 3x = 2Cos2x+1 Senx Sen 3x Senx Senx (2Cos 2 x + 1) Senx =m = =m → (proporciones) Cos3x Cosx Cosx (2Cos 2 x − 1) Cosx 2Cos 2 x + 1 m 2m = → 2Cos 2 x + 1 = 2 m −1 m −1 5. Resolver “x”, Sabiendo: 8x3–6x+1 = 0 2 (4x3 – 3x) + 1 =0 3x – 4x3 =+½ Cambio de variable→x = Senθ 3 Senθ - 4Sen3θ =½ Sen3θ = ½ → θ = (10º, 50º, 130º) CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 6. Calcular “x” sabiendo x3 – 3x = 1 x = ACosθ A3Cos3θ - 3ACosθ = 1 ... (α) Reemplazando : A 3 3A = → A² = 4 4 3 = A=2 En (α) 8 Cos3θ - 6 Cosθ = 1 2Cos3θ = 1 Cos3θ = ½ θ = 20º x = 2 Cos 20º PROPIEDADES IMPORTANTES 4Senx.Sen(60º-x).Sen(60º-x) = Sen3x 4Cosx.Cos(60º-x).Cos(60+x) = Cos3x Tanx . tan (60-x) . Tan(60+x) = Tan3x 1. Reducir: E = Cos 20º Cos40º . Cos 80º Resolución: E = Cos 20º Cos40º . Cos 80º = = 4 Cos20º.Cos(60º-20º).Cos(60º+20º) 4 1 1 .Cos60º = 4 8 2. Calcular: A = Sen10º . Sen50º . Sen70º Resolución: A = Sen10º . Sen50º . Sen70º = = 4 Sen10º . Sen (60-10).Sen (60º+10º) 4 1 1 .Sen30º = 4 8 3. Calcular: A= Tan10 º Tan 20 º.Tan 40 º ResoluciónCUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA A= Tan10 º Tan10 º.Tan 80 º = Tan 20 º.Tan 40 º Tan 20 º.Tan (60 − 20 º )Tan (60 º +20 º ) A= Tan10º Cot10º 1 3 = = Tan.60º 3 3 3. Hallar “θ”, sabiendo: Tan2θ. Tan12º = Tanθ.Tan42º Resolución: Tan 2θ Tan 42º = = tan 42º.Cot12º Tanθ Tan12º Tan 2θ Tan18º = = Tanθ Tan18º Tan (60º-18º)Tan (60+18º) Tan 2θ Tan 54º Tan 2θ Tan 72º = = Tan54º . Cot 18= = → θ = 36º Tanθ Tan18º Tanθ Tan 36º 4. Hallar x: en la figura: 40º 10º 10º x Resolución: Tanx = a tan 10º 1 1 = = aTan 20º.Tan 40º Tan 20º.Tan 40º.Tan 80º 3 5. Hallar “Sen18º” y “Cos36º” Resolución Sabemos que: Sen36º = Cos54º 2sen18.Cos18º =4Cos318– 3Sen18º 2sen18º = 4 Cos²18º - 3 2Sen18º = 4 (1-Sen²18º)-3 4Sen²18º + 2Sen18º - 1 = 0 Sen18º = − 2 ± 4 − 4(4)(−1) 2(4) = − 2 ± 20 2x 4 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Se concluye que: 2(4) Sen18º = 5 −1 4 Cos36º = 5 +1 4 6. Hallar Sec²10º.Sec²50º.Sec²70º 4 x1 4 xCos10º.Cos50º.Cos70º E= = 16 16 64 = = 2 Cos 30º 3/ 4 3 EJERCICIOS 1. 1. Si : 4Tg37° Senx = 1. Calcular Sen3x. a) 21/28 2. Si: Tgα = a) 13/3 3. b) 21/23 c) 22/27 d) 23/27 e) 25/27 1 . Calcular Tg 3α 3 b) 13/9 c) 13/4 d) 9/2 e) 9/4 Si : Sen(180° + x ) = 1/ 3 Calcular : E = Sen 3 x a) 23/27 b) -23/27 c) 2/27 d) 14/27 e) 9/24 4Sen3 x + Sen3 x 4. Simplificar : A= Senx a) Senx 5. Reducir : A = a) 1 6. b) Cosx b) 2 Reducir : A = c) Sen2x d) Cos2x e) Sen3x 4Cos 3 x −Cos3 x Cosx c) 3 d) − 2 e) − 3 Sen3 x −3Cos 2 x Senx CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) Sen 2 x b) Cos 2 x c) − Sen 2 x d) − Cos 2 x e) − 2Sen 2 x CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 7. Reducir : A = 6Sen10° − 8Sen 3 10° a) 1 8. b) 1 /2 e) − 1 /2 Calcular : A = 16Cos 3 40° − 12Sen50°+ 1 a) 1 9. d) − 1 c) 1 /3 b) 2 10. Dado : e) − 1 Sen3 x +Sen3 x Cos3 x −Cos3 x Reducir : A = a) Tgx d) − 1/2 c) 1 /2 b) Ctgx c) − Tgx d) – Ctgx e) 2Ctgx a.Cscx = 3 – 4 Sen 2 x b.Secx = 4Cos 2 x − 3 Calcular :a 2 + b 2 a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6 0,8 11. Simplificar : A = 4Cos 2 75°−3 Sec 75° 2 /2 c) a) b) 1 /2 e) 1,0 3 / 2 d) − 2 /2 e) − 3/2 Sen3 x −1Sen30° Senx 12. Simplificar : A = a) Senx b) Cosx c) Sen2x d) Cos2x e) Tgx 13. Si : 3Tagx + Ctgx = 4 ; además x es agudo Calcular : Sen3x a) − 2 / 2 b) 2 / 2 c) 1 /2 3 / 2 e) −1 /2 d) 14. Si : 2Sen3x = 3Senx. Calcular : Cos2x a) 1 5 b) 1 4 c) 3 10 d) 2 5 15. Si : Tag 3 x = 37Tagx . Calcular : E = a) 13/12 b) 12/13 c) 1/13 e) 0,45 Cosx Cos 3 x d) 5/13 e) 1/12 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS I. DE SUMA A PRODUCTO (Factorización): A − B A+B Cos 2 2 Sen A + Sen B = 2 Sen A − B A+B Sen 2 2 Sen A – Sen B = 2 Cos A − B A+B Cos 2 2 Cos A + Cos B = 2 Cos A − B A+B Sen 2 2 Cos B – Cos A = 2 Sen Donde: A > B Ejemplos: 1. Calcular: W = Sen80º −Sen 40° 2Cos60º.Sen 20° 3 = = Ctg 60º = Cos 40° − Cos80° 2Sen 60°.Sen 20° 3 2. Simplificar: E= Cosα + mCos2α + Cos3α 2Cos 2α . Cosα + mCos2α Cos 2α.(2Cosα + m ) = = = Ctg 2α Senα + mSen 2α + Sen 3α 2Sen 2α . Cosα + mSen 2α Sen 2α (2Cosα + m) 3. Hallar “Tan (α+β)”, sabiendo que: Sen 2α+Sen 2β = m y Cos 2α + Cos 2β = n RESOLUCIÓN 2Sen (α + β)Cos(α − β) m m = ⇒ Tan (α + β) = 2Cos(α + β)Cos(α − β) n n SERIES TRIGONOMÉTRICAS r Sen n. 2 . Sen 1º + u º Sen (α) + Sen (α+r) + Sen (α+2r)+ ......= r 2 Sen 2 “n” s están en Progresión Aritmética CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA r Sen n. 2 . Cos 1º + u º Cos (α) + Cos (α+r) + Cos (α+2r)+ ......= r 2 Sen 2 “n” s están en Progresión Aritmética Ejemplos: 1. Calcular: M = Sen5º + Sen10º + Sen15º + .... + Sen 355º RESOLUCIÓN 5º 5º +355º 5º Sen n. .Sen Sen n. .Sen (180°) 2 2 = 2 M= =0 5º 5º Sen Sen 2 2 2. Reducir: Sen 4º +Sen8º +Sen12º +.... + Sen 48º = Cos 4º +Cos8º + Cos12º +.... + Cos 48º Sen (12.2º ) 4º +48º .Sen Sen 2º 2 = Tan 26º E= Sen (12.2º ) 4º +48º .Cos Sen 2º 2 E= PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si se cumple: Sen 5x 5 = Sen 3x 3 Calcular: Tan 4 x Tanx RESOLUCIÓN Sen 5x + Sen 3x 5 + 3 2Sen 4 x . Cosx 8 Tan 4 x = = = ⇒ =4 Sen 5x − Sen3x 5 − 3 2Cos 4 x .Senx 2 Tanx 2. Calcular la expresión: E = 1 + aSen ( x − y) + Cos( x − y) a + Sen ( x − y) − aCos( x − y) Sabiendo: Sen x – Seny = m Cosx + Cos y = n CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA RESOLUCIÓN x− y x−y x−y 2Cos 2 + a.2Sen Cos 1 + Cos( x − y) + aSen ( x − y) 2 2 2 →E = = E= a [1 − Cos( x − y)] + Sen ( x − y) x − y x − y x − y a 2Sen 2 + 2Sen .Cos 2 2 2 x − y x −y x − y 2Cos Cos + aSen 2 2 2 x−y E= → E = ctg 2 x − y x − y x − y 2Sen aSen + Cos 2 2 2 x + y x −y 2Cos Sen 2 2 m x−y m Del dato: = → tg = → 2 n x+ y x −y n 2Cos Cos 2 2 x−y n = 2 m ∴ctg n m 2π 4π 6π 3. Hallar “P” = Cos + Cos + Cos 7 7 7 E= RESOLUCIÓN 3π 3π 4π Sen .Cos 2 + 6 π 7 . Cos 7 7 = P= = π π 2 7 Sen Sen 7 7 Sen 3π 3π − Sen .Cos .2 − Sen 6π 7 7 7 = −1 P= = π 2 π 2Sen Sen .2 7 7 4. Calcular “A” = 1Cos 2π 4π 6π + 2Cos + 3Cos + ... 13 13 13 12 SUMANDOS CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA RESOLUCIÓN A = 12Cos 24π 22π 20π 2π + 11Cos + 10Cos + ... + 1Cos 13 13 13 13 2π 4π 6π 24π + 13Cos + 13Cos + ...... + 13Cos 13 13 13 13 12π Sen 13 2ª = 13 .Cosπ ⇒ 2A = −13 Sen π 13 2ª = 13 Cos A= • − 13 = −6,5 2 Fórmulas para degradar Fórmula General: 4 2n-1 CosnX 4 4 23Cos4X = Cos4x+ Cos2x + ½ 0 1 2 6 6 5 5 T. INDEPENDIENTE 6 6 25Cos6x = Cos6x+ Cos4x + ½ Cos 2x + ½ 0 1 2 3 5 24Cos5x = Cos5x+ Cos3x + Cosx 0 1 2 = Cos 5x + 5 Cos3x + 10Cosx II. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA:- 2Senx . Cosy = Sen(x+y) + Sen (x+y) 2Cosx . Sen y = Sen (x+y) – Sen (x-y) 2Cosx . Cosy = Cos (x+y) + Cos (x-y) 2Senx . Seny = Cos (x-y) – Cos (x+y) Donde x > y Ejemplos: 1. Reducir: E = 2Sen 4 xCos3x − Senx 2Cos5xSen 2 x + Sen 3x CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA RESOLUCIÓN E= Sen 7 x + Senx − Senx =1 Sen 7 x − Sen 3x + Sen 3x Sen 7 x − 2Cos 2 x − 2Cos 4 x − 2Cos6 x Senx Sen 7 x − 2Cos 2 xSenx − 2Cos 4 xSenx − 2Cos6 xSenx E= Senx 2. Calcular: E = = Sen 7 x − (Sen 3x − Senx ) − (Sen 5x − Sen 3x ) − 1(Sen 7 x − Sen 5x ) Senx Senx =1 Senx = 3. Hallar P = Sen 7 xSen5x + Sen14 xSen 2 x Sen 9 xSen 7 x RESOLUCIÓN 1 {Cos2x − Cos12x} + 1 {Cos12x − Cos16x} 2 P= 2 → P =1 1 {Cos2x − Cos16x} 2 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Reducir: R = Sen 3xSenx + Sen 9 xSen5x + Sen 6 x.Sen 2 x Cos 4 xSen 2 x + Cos7 x.Senx + Cos13xSen5x RESOLUCIÓN R= 2Sen 3xSenx + 2Sen 9 xSen5x + 2Sen 6 x.Sen 2 x 2Cos 4 xSen 2 x + 2Cos7 x.Senx + 2Cos13xSen5x R= Cos 2 x − Cos 4 x + Cos 4 x − Cos14 x + Cos14 x − Cos18x Sen 6 x − Sen 2 x + Sen8x − Sen 6 x + Sen18x − Sen8x R= Cos 2 x − Cos18x 2Sen10 xSen8x Sen10 x = = Sen18x − 2Sen 2 x 2Cos10 x.Sen8x Cos10 x R= Tg10x 2. Calcular: P = Sen²10º + Cos²20º - Sen10Cos20º RESOLUCIÓN 2P = 2Sen²10º + 2Cos²20º - 2Sen10Cos20º 2P = 1-Cos20º + 1+ Cos40º - (Sen30º-Sen10º) 2P = 2+ Cos40º - Cos20º - ½ + Sen10º CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 2P = 3/2 + Cos40° - Cos20° + Sen10° 2P = 3/2 – 2Sen30° . Sen10° + Sen10° P=¾ EJERCICIOS d) Sen12θ e) 2Sen6θ 1. Transformar a producto : 7. Reducir : R = Sen70° + Cos70° a) 2 Cos25° b) 2 Sen25° c) 2 Sen20° d) 2 Cos20° e) 1 Cos11x − Cos7x 2. Reducir : M = Sen11x − Sen7x a) 2Sen22x b) 2Cos22x c) −Tag9x d) 2Sen3x e) 2Sen2x 3. Si : a + b = 60° . Hallar : E = a) d) 2 /3 3 /3 Sena + Senb Cosa + Cosb b) e) 2 /2 c) 1/2 3 1 2 a) Cscx d)Cosx a) 2Sen4x b) 2Cos8x c) 2Sen8x d) 2Cos4x e) 2Sen4x.Cos4x e) Secx A = Sen3x + Sen6x + Sen9x si x=5° Cos3x + Cos6x + Cos9x a) 3 /3 d) 3 b) 3 /2 c) 2 /2 e) 1 E= Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x Cosx + Cos3x + Cos5x + Cos7x b) Tag2x c) Tag3x e) Tag4x 10. Al factorizar : Cos8x + Cos2x + Cos6x + Cos4x Indicar un factor : a) Senx d) Sen5x 5. Hallar el valor de “ M “ : M = Sen85° − Cos5°−Sen25° − Cos115° b) – 0.5 c) 0.5 e) 3 6. Reducir : R = (Tag2θ +Tag4θ)(Cos2θ+Cos6θ) b) Sen6θ b) Cscx c) Csc2x 8. Reducir : a) Tagx d) Tag6x E = 4(Cos5x + Cos3x)(Sen3x − Senx) a) Sen2θ Cos4x + Cos2x + Cosx Sen2x(1 + 2Cos3x) 9. Reducir . 4. Reducir : a) 0 d) – 1 E= b) Cos3x c) Cos5x e) Sen2x 11. Expresar como producto : E = Cos24x – Sen26x a) Cos4x.Cos6x b) Cos2x.Cos10x c) 2Cos4x.Cos6x d) 2Cos2x.Cos10x e) 4Cos2x.Cos10x c) 2Sen2θ CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 12. Hallar el valor de "n" igualdad : para que la Sen5θ + Senθ Sen5θ − Senθ Sen10θ + Sen2θ + − n Cos5θ − Cosθ Cos5θ + Cosθ Cos10θ − Cos 2θ Siempre sea nula. a) 1 d) 1/2 b) -2 c) 2 e) -1 17. Reducir : E = 2Cos3x.Cosx − Cos2x a) Cos2x d) Sen4x b) Cos3x c) Cos4x e) Sen2x 18. Reducir : M = 2Sen80°.Cos50° − Sen50° 13. Reducir : E= Cos50o 2Sen70o − Sen50o a) 3 /3 b) 3 /6 c) 1 d) 2 e) 2 3 /3 14. Si : 21θ = π . Hallar el valor de : R= a) 2 d) − 1 Sen 23 x − Sen7 x Sen14 x + Sen 2 x b) – 2 c) 1 e) 1/2 15. Hallar el valor de “ E “ : E = Cos 2 20° + Cos 2100° + Cos 2140° a) 1 d) 5/2 b) 3/2 e) 3 c) 2 a) 1 d) b) 1/2 3 /2 e) c) 3 3 /4 19. Reducir : R = 2Cos4θ.Csc6θ − Csc2θ a) – Csc3θ b) – Csc4θ c) Csc6θ d) – Ctg4θ e) – Tag4θ 20. Si: Sen2x.Sen5x Cosx.Cos6x Hallar : " Ctgx " a) 1 d) 4 b) 1/2 e) 2 = Senx.Cos4x - c) 1/4 21. Transformar : R = 2Cos3 x.Senx + 2Cos5 x.Senx + 2Cos7 x.Senx − 2Sen 4 x.Cos 4 x a) Sen6x b)Cos6x c) – Sen4x d) – Cos4x e) – Sen2x 16. Factorizar : E = Ctg 30° + Ctg 40° + Ctg 50° + Ctg 60° 22. Simplificar : R = Sen5x.Senx + Cos7x.Cosx a) 2 3 Cos20° b) 4 3 /3Cos50° c) 2 3 /3Sen70° d) 8 3 /3Cos70° e) 10 3 /3Sen70° a) 2Cosx.Cos6x b) 2Sen2x.Sen6x c) 2Sen2x.Cos6x d) Cos2x.Cos6x e) Sen2x.Sen6x CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS * OBJETIVOS De lo que se trata es de calcular de manera única un valor para el arco (ángulo), conociendo para ello el valor de la función trigonométrica que lo afecta. En otro tipo de problemas un artificio útil será hacer un cambio de variable a la función trigonométrica inversa. Si = Senα = ½ → α = π 5π 13π , , ,... 6 6 6 α es un arco cuyo seno vale ½ α = arc Sen (½) = Sen -1 ½ arc Sen (½) = π 6 → Si Tg α = ½ arc tg (½) = α * DEFINICIONES x ∈ [-1,1] i) y = arc Senx π π y ∈ − , 2 2 un arco cuyo seno es “x” y . π 2 . . -1 x 1 . − π 2 Ejemplo: 3 π = Arc Sen 2 3 2 π = Arc Sen 2 4 3 π Arc Sen − = 2 3 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Arc Sen − 2 π = 2 4 Arc Sen (-x) = Arc Sen x ii) y = arc Cos x x ∈ [-1,1] un arco cuyo coseno es x y ∈ [0, π] y π x x 1 o -1 Ejemplo: 3 π = Arc Cos 2 6 2 π = Arc Cos 2 4 3 5π 2 3π = Arc Cos − 6 2 = Arc Cos − 4 2 Arc Cos (-x) = π - arc Cos x CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA iii) y = arc tgx x∈R π /2 y∈<- π π , > 2 2 x o − π /2 Ejemplo: Arc Tg (1) = π 4 Arc Tg (2 - 3) = Arc tg (-1) = - π 12 π 4 Arc tg ( 3 -2) = - π 12 Arc tg (-x) = - Arc tg x iv) y = arc ctg (x) x∈R y ∈ <0, π> arc ctg. (3/4) = 53º arc ctg. (- 3/4) = 180º - 53º = 127º * PROPIEDADES 1. La función directa anula a su inversa Sen (arc Senx) =x Cos (arc Cosx) = x Tg (arc Tg x) =x 2 2 )= 5 5 11 11 Cos (arc Cos )= 10 10 Ejm: Sen (arc Sen Tg (arc Ctg 1996) = 1996 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 2. La función inversa anula a su función directa Arc Sen (Sen x) = x Arc Cos (Cos x) = x Arc Tg (Tg x) =x Ejm: Arc Cos (Cos Arc Sen (Sen 4π 4π ) = 5 5 4π π π ) = Arc Sen (Sen ) = 5 5 5 3. Expresiones equivalentes Si: Sen α = n Csc α = 1/n 1 n α = arc sen (n)α = arc Csc 1 n arc Sen (n) = Arc Csc 1 n Arc Cos (n) = arc Sec Arc Tg (n) 1 n = arc Ctg ; n > 0 1 n Arc Tg (n) = arc Ctg - π ; n > 0 4. Fórmula Inversa x+y + n π Arc tgx + Arc y = arc tg 1 − xy i) xy<1 n=0 ii) xy < 1 x>0 n=1 Ejemplo: E = Arc tg (2) + Arc tg (3) X>0 n=1 iii) xy > 1 x<0 n = -1 xy > 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA RESOLUCIÓN 2+3 +π 1 − 2x3 E = Arc tg E = Arc tg (-1) + π = −π 3π +π= 4 4 NOTA x−y * Además: arc tgx–arc tgy = arc tg 1 + xy 2arc tgx 2x 2 1− x = arc tg 3x − x 3 3arc tgx = arc tg 2 1 − 3 x EJERCICIOS 1. 2b = 3c Sen k θ; Despejar “θ” RESOLUCIÓN 2b = SenKθ 3c 1 2b 2b Arc Sen arc Sen = k θ → θ = k 3c 3c 2. a = b Cos (kθ + d), Despejar “θ” RESOLUCIÓN a = Cos (kθ + d), b 1 a a Arc cos = kθ + d → θ = arc cos − d k b b 3. HALLAR: P = arc Sen ( 2 /2) + arc Cos (- ½ ) + arc Tg (2- 3 ) RESOLUCIÓN P=- π 2π π − 3π + 8π + π 6π π + + = = = 4 3 12 12 12 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 4. HALLAR: Q = arc Cos1 + arc Sen (-1) + arc Cos (-1) RESOLUCIÓN π π +π= 2 2 Q = 0 + − 5. HALLAR: R = Sen (arc Cos 1/3) 3 α 1 RESOLUCIÓN α = arc Cos 1/3 → Cosα = 1/3 → 2 2 Sen α = ¿?? Senα = 2 2 3 6. S = Sec² (arcTg3) + Csc² (ar Ctg 4) α β RESOLUCIÓN Tenemos → Tgα = 3 Ctg β = 4 Piden: S = 1 + Tg²α + 1 + Ctg2β Sec²α + Csc²β = 27 7. T = Cos (2 Arc Cos 2 ) 5 α RESOLUCIÓN Cos α = 2 5 2 2 _ 1 = − 21 T=2 5 25 Piden T = Cos 2α = 2Cos²α - 1 8. Y = arc Sen 1/3 + arc Cos 1/3 α β RESOLUCIÓN Tenemos: Senα = 1 3 Cos β = 1 3 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA α+ β = Senα = Cosβ π 2 Propiedad: π 2 π arc Tg x + arc Ctg x = 2 π arc Sec x + arc Csc x = 2 arc senx + arc Cosx = 9. 2 arc Senx = arc Cos x. Hallar x RESOLUCIÓN Se sabe que: arc Cosx = π 2 π arc Senx = 6 π x = Sen → x = 1/2 6 π - arc Senx 2 3arc Senx = 10. Dado : arc Senx + arc Tg y = π/5 Hallar : arc Cosx + arc Ctg y = z RESOLUCIÓN π π π + =z+ 2 2 5 z= 4π 5 EJERCICIOS 1. Calcular: a) π B = 2(arcos0 - arcsec2) b) π / 2 c) π / 3 2. Calcular: A = arcsen a) π /12 b) π / 6 d) π / 4 e) π / 6 1 + arctan 1 2 c) π / 3 d) 5π / 12 e) 2π / 3 3. Cual de las expresiones no es equivalente a: a) arctg 3 3 b) arcos 3 2 c) 4. Hallar el equivalente de: arcsen 1 1 arccos 2 2 d) arcsec2 E = arcsen 1 2 e) 2arctg(2 - 3) 1 x CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) arcctg x2 + 1 b) arcctg x2 + 1 x c) arcctg x2 - 1 d) arcctg x2 - 1 x e) arcctg x+1 x2 5. Calcular: A = 4cos(arctg 3 - arcsec 2) a) 6 + b) 2 6 - c) 2 d) 3 +1 3 -1 e) 2 3 6. Afirmar si (V) 0 (F) I. arsen - = arcsen 2 2 1 1 II. arctg = arcctg3 3 1 III. arcsen 3 5 3 = arccsc 5 3 a) VVF b) VFV c) FVV 7. Calcular: A = arcsen a) 30º b) 45º d) VVV 1 1 + arccos 2 2 c) 60º 8. Calcule: A = arcsen e) FVF d) 75º e) 90º 2 2 + arctg 3 + arccos 7 7 a) 105º b) 120º c) 135º d) 150º 9. Calcular: a) 10. 3 e) 165º A = 3csc arccos(sen(arctg 3 )) b) 3 /3 c) 6 d) 3 / 5 e) 2 / 3 Si: arcsenx + arcseny + arcsenz = π 4 además: -1 ≤ x ; y ; z ≤ 1 Calcular: E = arccosx + arcosy + arccosz a) 2π/3 11. 1 a) 13. d) 5π/4 e) 3π 5 Calcular: sen 2 arcsec2 + 2 arc csc( 5 + 1) a) 1 /2 12. b) 2π c) 3π/4 b) 1 Simplificar: 2/2 Calcular: b) c) 3 /2 d) 2 e) 5 /2 A = Cos arctg( 3 sec(arcctg 3 )) 3/2 c) 1/ 2 d) A = 2arccos( - 1) + 5 /5 e) 6/6 1 2 arcsen 2 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) 7π/8 14. a) 16. b) π/3 c) π/4 x x+1 b) x x-1 c) 1+ x 1- x x+1 x-1 e) x+1 x b) 1 /3 c) 1 /4 d) 1 /5 e) 1 /6 2 3 1 Calcular: N = cos 4 arcsec 3 + arcsen 2 b) - 1 c) 1 /3 d) – 1 /2 Simplificar A = sen arctg e) 1 /6 3 5 + arcsen 4 13 b) 56/65 c) 71/17 d) 91/19 Evaluar: A = arctg b) π / 3 c) π / 4 b) 2π / 5 d) π / 8 c) π / 4 d) π / 3 4 b) 37º 1 c) 72º e) π /12 7 9 Calcular: M = arccos 5 + arctg 2 + arcsen a) 60º e) 41/14 1 5 + arctg 6 7 Evaluar: B = arctg5 - arctg3 + arctg a) π / 5 22. d) 2 x +1 x π - arcctg3 4 a) π / 6 21. e) π/6 Calcular: A = tg a) 36/17 20. d) π/5 19. e) 17π/8 π Calcular: A = tg arc sec 2 + arcsen a) 1 18. d) 15π/8 a) 1 /2 17. c) 13π/8 Simplificar: B = arctg2 - arccos cos 3 + arcctg2 a) π/2 15. b) 11π/8 e) π / 6 1 10 d) 82º e) 94º 7 4 12 Calcular: P = sen arccos + 2sec arctg + 4cos arcsen 25 5 5 a) 241/25 b) 13/125 c) 31/5 d) 241/5 e) 31/125 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA ECUACIONES TRIGONOMETRICAS CONCEPTO: Expresión general de los arcos que tienen una misma función trigonométrica. 1. En el caso de las funciones trigonométricas Seno y Csc usaremos θG = n π + (-1)n θp Donde: θG = Exp. General de los arcos (ángulos) n = Nº entero θp = Valor principal del arco para calcular θp usaremos el rango del arco Seno. 2. En el caso de las funciones trigonométricas Cos y Sec usaremos: θG = 2 n π ± θp Para calcular el valor principal del arco (θp) usaremos el rango del arco Cos. 3. En el caso de las funciones trigonométricas tg y Ctg usaremos. θG = n π + θp Para calcular el valor principal del arco usaremos el rango del arco tg, o arco Ctg. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Son igualdades entre las funciones trigonométricas de una cierta variable (una sola incógnita), dichas igualdades se satisfacen solamente para algunos valores que puede tomar la función trigonométrica, es decir deberá estar definida en dicho valor (la ecuación trigonométrica puede tener 2 o más incógnitas) A los valores que cumplen con la ecuación trigonométrica se les conoce como soluciones o raíces. Ejemplo de como obtener las soluciones de una ecuación trigonométrica: Resolver: Senx = θG → x = nπ + (-1)n π 3 3 2 3 → θP = π θP = arc Sen 2 3 SOLUCION GENERAL CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Si n = o x= π 3 SOLUCION PRINCIPAL x=π- n=1 π 2π = 3 3 SOLUCIONES PARTICULARES n=2 x = 2π+ 2. Resolver: π 7π = 3 3 Cos 2x = - θP = arc Cos − θG x = nπ ± Si n = 0 3π 8 SOLUCION GENERAL 3π 8 3π x=8 x= x = π+ n=1 3π 3 → θP = 4 2 3π 4 = 2nπ ± 2x 2 2 SOLUCION PRINCIPAL 3π 11π = 8 8 SOLUCIONES PARTICULARES 3π 5π x = π− = 8 8 3. Resolver: Tg 3x + π = 3 4 θG θP = π 3 π π = nπ + 4 3 π 3x = nπ + 12 nπ π x= + 3 36 3x + CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS RESUELTOS 1. 2Senx – Csc x = 1 RESOLUCIÓN 2Senx - 1 =1 Senx 2Sen²x – Senx – 1 = 0 2Senx = 1 Senx = -1 (2Sen x + 1) (Senx - 1) = 0 1 2 i) Senx = - π 6 x = nπ + (-1)n . − π 6 x = nπ - (-1)n ii) Senx = 1 π 2 3(1 − Cosx ) 2 Sen²x = 2 x = nπ + (-1)n RESOLUCIÓN (1 – Cosx) (1+Cosx) = Queda: 1 + Cosx Cos x 3(1 − Cosx ) 2 = 3/2 = 1/2 x = 2nπ ± π 3 Pero → 1 – Cosx = 0 Cosx = 1 X = 2n π 3. Senx - 3 Cosx = 2 1 3 2 Senx Cosx = 2 2 2 π π 2 Senx . Cos − Cosx.Sen = 3 3 2 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Sen x − π 2 = 3 2 θG x- θp = π 4 π π = nπ + (-1)n 3 4 x = nπ + (-1)n i) n = 2k x = 2kπ + π π + 4 3 π π 7π + → x = 2kπ + 4 3 12 ii) n = 2k + 1 x = (2k + 1) π - π π 13π + → x = 2kπ + 4 3 12 4. 2Cos 2x – Sen3x = 2 RESOLUCIÓN 2(1-2Sen²x) – (3Senx – 4Sen3x) = 2 4Sen²x – 4Sen²x – 3 Senx = 0 Sen x (4Sen² x – 4 Senx - 3) = 0 Senx (2Sen x - 3) (2Senx + 1) = 0 i) Sen x = 0 x = nπ ii) Senx = - 1 2 x = nπ - (-1)n iii) Sen x = π 6 3 → ABSURDO 2 5. Senx + Sen2x + Sen3x = Cosx + Cos2x + Cos3x RESOLUCIÓN 2Sen2x . Cosx + Sen2x = 2 Cos2x . Cosx + Cos2x Sen2x (2Cosx + 1) = Cos2x (2Cosx + 1) Queda: Sen2x = Cos 2x Tg 2x = 1 θG θp = 2x = nπ+ π 4 π 4 → Pero → 2Cosx + 1 = 0 Cosx = - ½ x= nπ π + 2 8 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA θG θp = π 4 x = 2nπ ± 2π/3 Siendo 0 ≤ x ≤ 2π 6. 4 Sen²x – 3 = 0 RESOLUCIÓN Sen²x= 3 4 Senx = ± 3 2 3 2 π IQ → = x = 3 π 2π IIQ → = π = 3 3 i) Senx = IIIQ→ x = π + π 4π = 3 3 Si: Senx = - IVQ→ x = 2π - π 5π = 3 3 3 2 7. La suma de soluciones de la ecuación Cos2x + Sen² x x - Cos² = 0 ; Si: O ≤ x ≤ π es: 2 2 RESOLUCIÓN Cos2x – (Cos² x x - Sen² ) = 0 2 2 2Cos²x-1- Cosx 2Cos²x – Cosx – 1 =0 =0 (2Cosx+1) (Cosx-1) = 0 i) 2Cosx + 1 = 0 → Cosx = -½ π 2π = 3 3 π 4π IVQ → x = π + = no es solución 3 3 IIQ → x = π - ii) Cos x = 1 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA “2 π” no es solución x = 0, 2π. Suma = 2π 2π +0= 3 3 8. 4Cos² 2x + 8 Cos²x = 7, si x ∈ [0,2π] RESOLUCIÓN 4Cos² 2x + 4 x 2Cos²x = 7 (1+Cos2x) 4Cos²1x + 4Cos2x – 3 = 0 (2Cos 2x+3)(2Cos 2x-1) = 0 i) Cos 2x =- ii) Cos2x = IQ : 2x = 3 No existe 2 1 2 π 3 x= IVQ: 2x= 2π - π 6 π 5π x= 3 6 9. Dar la menor solución positiva de: Tgx = Tg x + π π π Tg x + Tg x + 18 9 16 RESOLUCIÓN Tgx = Tg (x+10º) . Tg (x+10º) . Tg (x+30º) Tgx = Tg (x+10º) Tg (x+20º) Tg ( x + 30º ) Sen x Cos( x + 30º ) Sen ( x + 10).Sen ( x + 20º ) = Cos x Sen ( x + 30º ) Cos( x + 10º ) Cos( x + 20º ) Proporciones Sen ( x + x + 30º ) Cos( x + 10º − x − 20º ) = Sen ( x − x − 30º ) − Cos( x + 10º + x + 20º ) 2Sen(2x+30º)Cos(2x+30º) = 2Sen30º Cos10º CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Sen (4x + 60) = Cos 10º 4x + 60º + 10º = 90º x = 5º EJERCICIOS 1. Resolver Cosx = - π π 2 ; x ∈ [ 0 ; 2π ] 2 b) 5 a) 3 ; 4 6 π 4 ;5 π c) 3 3 π 4 ;5 π 4 d) π /4 ; π/2 e) 3 π 4 ;7 π 4 2. Resolver si : x ∈ [ 0 ; 2π ] 3Tagx - 4 = 0 a) 53° ; 127° b) 53° ; 233° c) 75° ; 225° d) 75° ; 105° e) 45° ; 135° 3. Resolver e indicar la solución general: Cos3x = a) k π π ± 2 6 b) 2k π π π π ± c) 2k ± 3 3 3 12 2 2 d) kπ ± π 8 e) k π π ± 2 4 4. Resolver : Tag(5x - 25°) = -1 Encontrar las tres primeras soluciones positivas. a) 32° ; 68° ; 104° d) 32° ; 68° ; 102° b) 31°; 62°; 102° e) 32°; 66° ; 108° c) 32° ; 64° , 106° 5. Resolver : 10Sen2 x - Senx = 2 a) kπ + (-1)k π 6 π 3 c) kπ ± (-1)k π 4 2 5 e) kπ + (-1)k arc Sen(- ) d) Ay E 6. b) kπ + (-1)k Resolver : Senx + Cos2x = 1 a) π/8 b) π/4 c) π/6 7. Resolver: Sen(4x - 20°) = a) n π π π + (-1)n + 4 24 36 d) π/12 e) π/7 3 2 b) n π π π + (-1)n 4 24 12 c) n π π + (-1)n 4 12 CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA d) n π π π + (-1)n + 4 18 6 e) n π π π + (-1)n + 4 8 6 8. Resolver : Ctgx + 1 = 0 ; x ∈ < 0 ; 600°> i. ii. iii. iv. v. 45° , 225° , 405° ; 850° 45° ; 125° ; 405° ; 495° 135° ; 225° ; 495° ; 585° 135° ; 315° ; 495° 225° ; 315° ; 858° 9. Resolver: Sen2x = Senx Indicar la solución general. a) 2kπ ± π 6 b) kπ ± π 4 c) 2kπ ± π 3 d) kπ + π 2 e) kπ ± π 6 10. Resolver : Senx + Cosx = 1+ Sen2x a) π/8 ; 0 b) π/6 ; π/2 c) π/3 ; 0 d) π/10 ; π/6 e) π/12 ; π/4 11. Resolver : Tag2 x = 3Tagx ; Si x∈<180°; 360°> a) 150° ; 210° d) 240° ; 270° b) 240° ; 360° c) 180°; 240° e) 210°; 270° 12. Resolver : 2Sen2 x = 1+ Cosx Indicar la suma de sus dos primeras soluciones. a) 180° b) 120° c) 240° d) 360° e) 200° 13. Resolver : (Senx + Cosx)2 = 1+ Cosx Indicar la tercera solución positiva. a) 180° b) 270° c) 390° d) 720° e) 450° 14. Resolver : Sen3x .Cscx = 2 Hallar el número de soluciones en [0;2π ] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Resolver : 2Secx Cscx + 3Tagx = 2Ctgx + 5 3 Indicar la tercera solución. CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) 210° b) 360° c) 420° d) 520° e) 650° 16. Resolver e indicar una de las soluciones generales. Sen2 x + Sen2 2x = Cos2 x + Cos2 2x a) 2k π π π π π π π π + b) 2k ± c) 2k ± d) k ± 3 4 3 6 3 2 4 2 e) kπ ± π 6 RESOLUCIONES DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1. Ley de Senos En todo triángulo la longitud de cada lado es D.P. al seno del ángulo que se opone al respectivo lado. B a c C b A a b c = = SenA SenB SenC =K Sea “S” el Area del ∆ABC S= bc SenA 2 ac SenB 2 S= Igualando áreas: ac bc SenB = SenA , luego: 2 2 a b = SenA SenB COROLARIO DEL TEOREMA DE SENOS B a A T R o R c A TBA : Sen A = a a ⇒ 2R = 2R SenA CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a b c = = = 2R SenA SenB SenC R = Circunradio * Observaciones: a = 2RSenA, b = 2RSenB, c = 2RSenC 2. Ley de Cosenos a² = b² + c² - 2bc CosA b² = a² + c² - 2ac CosB c² = a² + b² - 2ab CosC Observaciones: CosA = b2 + c2 − a 2 a 2 + c2 − b2 a 2 + b2 − c2 , CosB = , CosC = 2bc 2ac 2ab 3. Ley de Tangentes A + B tg 2 a+b = a−b A − B tg 2 B+C tg 2 b+c = b−c B−C tg 2 A+C tg 2 a+c = a−c A −C tg 2 4. Ley de Proyecciones A c B b c Cos B H b Cos c a = bCosC + c CosB b = aCosC + c CosA c = aCosB + b CosA C a * Funciones Trigonométricas de los semiángulos de un ∆ en función de los lados: Sabemos: 2Sen² A 2 = 1 – CosA b 2 + c 2 − a 2 2bc − b 2 − c 2 + a 2 = = 2bc 2bc a 2 − (c 2 + b 2 − 2bc) a 2 − (b − c) 2 (a + b − c)(a − b + c) = = = 2bc 2bc 2bc A (a + b − c)(a − b + c) Sen² = 2 4bc 2Sen² A 2 =1- Perímetro 2p = a + b + c 2p – 2c = a + b + c – 2c → 2 (p-c) → a + b – c CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA También 2(p-b) = a – b + c Luego: Sen² A 2(p − c).2(p − b) = 2 4abc Por analogía: ∴ Sen A = 2 También: Cos Tg (p − b )(p − c) ; bc p(p − a ) bc A = 2 ; Cos (p − b )(p − c) ; A = 2 Sen p( p − a ) Tg B = 2 (p − a )(p − c) ; ac B = 2 p( p − b ) ac B = 2 (p − a )(p − c) p( p − b) ; Sen Cos ; Tg C = 2 C = 2 C = 2 (p − a )(p − b ) ab p ( p − c) ab (p − a )(p − b) p ( p − c) Área de la Región Triángular B a c S A b Donde : a.cSenB 2 abc S= = P.r 4R C S = p(p - a)(p - b)(p - c) S = 2R 2SenA.SenB.SenC S= R = Circunradio Bisectriz Interior: r = Inradio p = Semiperimetro A 2bc Va = Cos 2 b +c Bisectriz Exterior: 2ac A Vb = Sen a - c 2 Inradio: A r = (p - a)tag 2 Exradio: A ra = p.tag 2 EJERCICIOS CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA 1. Hallar “ x” si : Ctg θ = 2 2 a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) 42 x 2 0 37 ° θ 2. En un triángulo ABC ; B = 60° ; b = 3 2 ; y c = 3 + a) 25° b) 30° c) 45° d) 15° 3 . Hallar el ángulo A e) 20° 3. Si los lados b y c de un triángulo miden 31 cm. y 7 2 cm. respectivamente y el ángulo A = 45°. Hallar el lado “a”. a) 20° b) 15° c) 28° d) 30° e) 25° 4. El Coseno del mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son tres números enteros y consecutivos es iguales a 1 /5. Hallar el perímetro del triángulo. a) 15 b) 20 c) 18 d) 21 e) 24 5 En un triángulo ABC simplificar: M= b - a SenA + SenC + b + a SenB + SenC a) b + c b) a + c c) 1 d) 2 e) a − c 6. En un triángulo de lados : x ; x + 3 y ( x − 4 ) el ángulo medio mide 60°. Hallar “ x“ a) 25 b) 28 c) 30 d) 37 e) 42 7. En un triángulo ABC se sabe que : b = 20 2 ; c - a = 16 y m∡A = 45° . Calcular el valor del lado a. a) 42 b) 52 8. Hallar : E = a) 9 /10| b) 9 /20 c) 10 /9 d) 19/20 e) 10 /19 c) 56 d) 62 e) 64 Senθ Senα θ α 3 5 3 4 9. En un triángulo ABC se cumple : a 3 - b 3 - c3 = a2 a-b-c CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA Hallar el valor del ángulo “A” a) 80 b) 45 c) 70 d) 30 e) 60 b2 + c2 - 10.En un triángulo ABC se cumple : a = 2 bc 3 Hallar E = TagA a) 1 3 / 3 c) b) d) 2 2 2 e) 3 11.En la figura ABCD es un cuadrado; M y N son puntos medios. Hallar “Sec x” a) b) c) d) e) N A 5 6 7 8 10 B x M C D 12. Hallar el perímetro de un triángulo si los lados son tres números consecutivos y además de los ángulos miden 30° y 37° respectivamente. a) 12 b) 14 c ) 16 d) 18 e) 20 13.En un triángulo ABC se tiene que : b = 5 , c = 6 , m∠A = 37°y el radio inscrito r = 0.9 . Hallar el lado a. a) 8 b) 9 c) 10 14.En la figura si Tagα = C a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 d) 12 e) 14 2 .Hallar DE 2 4 D 3 5 x A α 60 B E 15.En un triángulo ABC se cumple que: 1 abc = 16 y SenA.SenB.SenC = 4 Calcular el circunradio de dicho triángulo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16.Los lados de un triángulo son 3 ; 5 y 7 respectivamente; se traza la bisectriz relativa al lado mayor. Hallar la longitud de esta bisectriz sabiendo que la proyección de esta sobre el lado menor es 2. CUESTIONARIO DESARROLLADO TRIGONOMETRÍA a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 17.En un triángulo ABC se cumple. a 2 + b 2 + c2 = 10 Hallar E = bc CosA + ac CosB + ab CosC a) 10 b) 20 c) 5 d) 15 e)15 /2 18.En un triángulo ABC ; C = 60° y a = 3b . Hallar E = Tag ( A − B ) a)2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 3 e) 3 /2 CUESTIONARIO DESARROLLADO