Inicio de estudios: Enero 2012 - Posgrado en Matemáticas

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para el examen de admisión
al posgrado en matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Inicio de estudios:
Enero 2012
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1
Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
Posgrado en Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Guía de Estudio
Para el Examen de Admisión
al Posgrado en Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
El examen tendrá lugar el 26 de octubre de 2011
Los trámites se efectuarán del 26 de septiembre al 21 de octubre de
2011
UAMI
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Posgrado en Matemáticas
El examen de Ingreso al Posgrado consiste en varias secciones: se deben elegir
tres secciones.
✤ Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial e Integral.
✤ Análisis Real.
✤ Ecuaciones Diferenciales.
✤ Álgebra.
✤ Topología General.
✤ Lógica Matemática.
✤ Teoría de Conjuntos.
✤ Análisis Complejo.
En el examen cada sección tendra 6 problemas, el alumno deberá resolver 3
problemas de cada una de las secciones elegidas por él (ella).
La bibliografía recomendada:
Ecuaciones Diferenciales
① Boyce, W.E. y Di Prima, R.C., ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS
CON VALORES EN LA FRONTERA, Limusa, 2007.
② Simmons, G.F. y Robertson, J.S., ECUACIONES DIFERENCIALES TEORIA Y
PRACTICA, Mc Graw Hill, 2007.
③ Blanchard, P., ECUACIONES DIFERENCIALES, Internacional Thomson Editores, 1998.
④ Ayres, F., ECUACIONES DIFERENCIALES, Mc Graw Hill 1991.
⑤ P. Blanchard, R. Devaney, G. Hall, DIFFERENTIAL EQUATIONS, 3rd Ed.,
Thomson, 2006.
⑥ J. D. Logan. A first Course in Differential Equations, Springer-Verlag, 2006.
Álgebra Lineal y Cálculo
❶ Strang, Gilbert, Algebra lineal y sus aplicaciones, Fondo Educativo Interamericano. Mexico, 1982.
2
Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Posgrado en Matemáticas
❷ Noble, Ben y J. W. Daniel, Algebra lineal aplicada, tercera edicion. PrenticeHall Hispanoamericana, Mexico, 1990.
❸ Cullen, Charles G., Matrices and Linear Transformations, segunda edicion,
Dover, Nueva York, 1990
❹ Grossman, Stanley I, Algebra lineal, Grupo Editorial Iberoamérica, 5a. edicion. Mexico, 1996.
❺ K. Hoffman y R. Kunze, Álgebra Lineal, Prentice Hall.
❻ S. Lang, Algebra Lineal, Fondo Educativo Interamericano, 1976.
❼ C. Pita, Cálculo Vectorial, Prentice-Hall Iberoamericana
❽ J. Marsden, A.Tromba, Cálculo Vectorial, Addison - Wesley 1991.
❾ Edwards, Penney, Cálculo con geometría analítica, 1996.
❿ Thomas, Finney Cálculo con geometría analítica.
Análisis Matemático
➀ T. Apostol, Analisis Matematico, Reverte, 1991
➁ Hasser, Norman B., LaSalle Joseph P., Sullivan Joseph A., Análisis Matemático
1; Curso de Introducción, 1ra. edición. Trillas. México. 1978.
➂ Hasser, Norman B., LaSalle Joseph P., Sullivan Joseph A. Análisis Matemático
2; Curso Intermedio, 1ra. Ed. Trillas. México. 1970-1979.
➃ R. G. Bartle, Introducción al Análisis Matemático, Limusa 1987
➄ R. G. Bartle, D. Shebert, Introducción al análisis matemático de una variable,
1984, Limusa
➅
➆
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf
➇ W. Rudin, Principios de Análisis Matemático, Mc Graw Hill 1987
Álgebra
➊ J. B. Fraleigh, Álgebra Abstracta, Addison-Wesley, 1988.
3
Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
➋
➌
Posgrado en Matemáticas
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf
➍ M. Pineda, Aritmética y Teoría de Grupos, UAMI 1995.
➎ D. Dummit, R. Foote, Abstract Algebra, 3rd Ed. Wiley, 2004.
➏ 6. P. A. Grillet, Abstract Algebra, 2nd Ed., Springer-Verlag, 2007
Análisis Complejo
❶ D. Zill, P. Shanahan, Complex analysis, Jones and Bartlett, 2003.
❷ John Howie, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2004.
❸ S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2008.
❹ J. Marsden, M. Hoffman, Basic complex Analysis, W. H. Freeman, 1987.
❺ B. Palka, An Introduction to Complex Function theory, Springer - Verlag, 1991.
Topología General
➀ V. Tkachuk, Curso Básico de Topología General, UAMI, 1999.
➁ J. Dixmier, General Topology, Springer-Verlag, 1984.
➂ R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.
➃ J. Dugundji, Topology, Allyna and Bacon, 1966.
➄ J. Nagata, Modern General Topology, North-Holland, 2nd Ed., 1984
Lógica Matemática
➊ Max Fernández de Castro, Luis M. Villegas Silva, Lógica Matemática I: Lógica
Proposicional, Intuicionista y Modal, UAMI, 2011.
➋ Max Fernández de Castro, Luis M. Villegas Silva, Lógica Matemática II: Clásica,
Intuicionista y Modal, UAMI, 2011.
➌ J. Rubin, Mathematical Logic: Applications and Theory, Saunders Co., 1990.
4
Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Posgrado en Matemáticas
➍ H. D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas, Mathematical Logic, 2nd Ed., SpringerVerlag, 1994.
➎ S. Hedman, A first course in Logic, Oxford University Press, 2004.
➏ R. Cori, D. Lascar, Mathematical Logic. A Course with Excercises, I, Oxford
University Press, 2000.
➐ P. Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic, A. K. Peters, 2005.
➑ G. Metakides, A. Nerode, Principles of Logic and Logic Programming, NorthHolland, 1996.
➒ A. Nerode, R. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag, 1994.
➓ W. Rautenberg, A Concise Introduction to Mathematical Logic, Springer-Verlag,
2006.
Teoría de Conjuntos
① K. Hrbacek, T. Jech, Introduction to Set Theory, Third Ed., M. Dekker, 1999.
② K. Devlin, The Joy of Sets, Springer-Verlag, 2nd Ed.
③ W. Just, M. Weese, Discovering Modern Set Theory I, II, AMS, 1997
④ A. Levy, Basic Set Theory, Dover, 2002.
⑤ A. Hajnal, P. Hamburger, Set Theory, London Math. Society, Cambridge
University Press, 1999.
A continuación varios problemas que deben servir como guia para preparse.
5
Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Posgrado en Matemáticas
UAM-Iztapalapa. Departamento de Matemáticas
Posgrado en Ciencias (Matemáticas)
Noviembre 2011
Examen de admisión, Trimestre ???
INSTRUCCIONES. A continuación encontrará varias secciones. Usted deberá
resolver 3 problemas de tres secciones distintas elegidas libremente por Usted.
Dispone de 3 horas.
Álgebra Lineal y Cálculo
1. Considere el conjunto S de sucesiones complejas {un : n ∈ N} que verifcan
la relación recursiva
un = a1 un−1 + · · · + ak un−k
n ≥ k,
donde a1 , a2 , . . . , ak son números complejos dados.
(a) Muestre que S es un subespacio vectorial del espacio delas sucesiones
complejas sobre C.
(b) Con las operaciones {un }+{vn } = {un +vn }, λ{un } = {λun }. Exhiba
una base para S y muestre que su dimensión es k.
2. Sean E el espacion vectorial de polinomios con coeficientes complejos, A es
un polinomio dado de grado α. y En+1 el subespacio de E conformado por
los polinomios de grado que no excede a n. Sea f la transormación lineal de
E en E definida por f (P ) = AP − A P , donde A y P son las derivadas.
(a) Muestre que si el grado k de P no es α, entonces el grado de f (P ) es
α + k − 1. Demuestre que f (A) es el polinomio cero y que el conjunto
f (Eα+1 ) es idéntico al conjunto f (Eα ). Encuentre el núcleo de f .
(b) ¿Cuál es el rango de la restricción de f a En+1 ?
(c) El conjunto de polinomios Q que pertenecen a Ep+1 y a f (E) es un
subespacio vectorial Fp+1 . Muestre que Fp+1 = f (Ep−α+2 ) y encunetre la dimensión de Fp+1 .
(d) Determine el subespacio F3 cuando A = x2 .
3. Sea En+1 el espacio vectorial de los polinomios de grado que no excede a n
con coeficientes complejos.
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Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Posgrado en Matemáticas
(a) Muestre que el valor A(x0 ) es una forma lineal en En+1 .
(b) Si los números x1 , x2 , . . . , xn+1 son distintos, las formas lineales A(x1 ), . . . , A(xn+1 )
∗
son idenpendientes y constituyen una base B ∗ del dual En+1
de En+1 .
(c) Verifique que lospolinomios de Lagrange relativos a los valores x1 , x2 , . . . , xn+1
constituyen una base B de En+1 que es dual a la base B ∗ . (Dos bases
ei y ϕj de un espacio E y su dual E ∗ se dicen duales si ϕj (ei ) = 0
siempre que j = i y ϕi (ei ) = 1.)
∗
(d) Encuentre una base de En+1
dual a la base 1, x, . . . , xn de En+1 .
(e) Suponga que x0 , x1 , . . . , xn+1 son vectores dados del espacio En+1 .
Verifique que existen constantes λ1 , . . . , λn+1 tales que para todo polinomio A de grado ≤ n,
A (x0 ) = λ1 A(x1 ) + λ2 A(x2 ) + · · · + λn+1 A(xn+1 ),
donde A es la derivada de A. Encuentre expresiones explícitas para
las constantes λ.
4. Sean E un espacio vectorial de dimensión finita sobre los reales, u, v aplicaciones lineales de E en E. Suponga que el núcleo u−1 (0) de u contiene al
núcleo de v.
(a) Muestre que es posible escoger una base e1 , . . . , en para E tal que
los primeros k vectores constituyen una base del nćuleo de v y los
primeros k + h una base del núcleo de u. Demuestre que los vectores
v(ei ) cuyo índice excede a k son independientes y constituyen una base
de v(E).
(b) Muestre que existe una aplicación lineal w : E → E tal que
u = w ◦ v.
(c) Si E = R3 , por definición de un vector según v y u son las proyecciones en el plano P que pasa por el origen y sobre la linea D que pasa
por el origen y contenida en P . Dé la restricción de w al plano P .
5. Suponga que E es un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo K.
Recuerde que las transformaciones lineales de E en E forman un anillo L.
Sea f un elemento de L con la siguiente propiedad: las imágenes f p (x0 ) de
un elemento particular x0 ∈ E constituyen una base para E si 1 ≤ p ≤ n.
(a) Muestre que f es biyectiva.
(b) Demuestre que existen números ap en K tales que
(f n + an−1 f n−1 + · · · + a0 e)(x0 ) = 0,
donde e es la identidad. USando esto compruebe que la aplicación
f n + an−1 f n−1 + · · · + a0 e es la aplicación cero.
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Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
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Posgrado en Matemáticas
(c) Suponga que gconmuta con f . Verifique que se pueden encontrar
números bi en K tales que
g(x0 ) = (bn−1 f n−1 + bn−2 f n−2 + · · · + b0 e)(x0 )
y concluya que
g = bn−1 f n−1 + bn−2 f n−2 + · · · + b0 e.
6. Demuestre que los elementos de la diagonal de una matriz hermitiana son
reales.
7. Una transformación lineal f : R3 → R3 se define dando las coordenadas
(X, Y, Z) del vector f (u) como función de las coordenadas (x, y, z) del vector u:
X =(m − 2)x + 2y − z
Y =2x + my + 2z
Z =2mx + 2(m + 1)y + (m + 1)z.
Compruebe que el ango de f es igual a 3 excepto para valores particulares
de m y determine esos valores particulares. Encuentre los rangos de esos
valores y defina el subespacio f (R3 ).
8. Sean E un espacio vectorial sobre el campo K, E ∗ su dual Φ un conjunto de
vectores que pertenecen a E y F el F el subespacio vectorial de E generado
por Φ.
(a) Compruebe que las transformaciones lineales que se anulan en los elementos de Φ constituyen un subespacio vectorial F ∗ de E ∗ .
(b) Demuestre que los ceros comunes a las transformaciones lineales de
F ∗ son los vectores de F .
(c) Verifique que dim(F ) + dim(F ∗ ) = n.
(d) Sea En+1 el espacio vectorial de polinomios de grado ≤ n con coeficientes complejos. Tome como F el subespacio de polinomios múltiplos de (x − 1)2 (x − 2)3 (x − 3). Corrobore que F ∗ es el conjunto de
trensformaciones lineales l definidas por
l(A) = λ1 A(1) + μ1 A (1) + λ2 A(2) + μ2 A (2) + v2 A (2) + λ3 A(3).
9. Pruebe que una matriz hermitiana triangular es diagonal.
10. Sean A, B matrices hermitianas (Del mismo tamaño). Compruebe que A+B
es hermitiana. Si AB = BA, verifique que AB es hermitiana.
11. Sea A una matriz hermitiana. Cerciórese de que At y A son hermitianas. Si
A es invertible, entonces pruebe que A−1 es hermitiana.
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Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
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Posgrado en Matemáticas
12. Sea A una matriz hermitiana no nula. Demuestre que tr(AA∗ ) > 0.
13. Calcule el rango de las siguientes matrices.
(a)
2 3 5 1
1 −1 2 1
(b)
⎞
⎛
3 5 1 4
⎝2 −1 1 1⎠
5 4 2 5
(c)
⎞
⎛
3 5 1 4
⎝2 −1 1 1⎠
8 9 3 9
(d)
⎛
3
⎜−2
⎜
⎝−1
7
1
4
9
4
⎞
1 −1
3 2⎟
⎟
7 3⎠
2 1
14. ¿Existe una transformación lineal T : IR3 → IR2 tal que T (1, −1, 1) = (1, 0)
y T (1, 1, 1) = (0, 1)?
15. Sean V y W espacios vectoriales sobre el campo F y U un isomorfismo de
V sobre W . Demuestre que T → UT U −1 es un isomorfismo de L(V, V )
sobre L(W, W ), donde L(A, B) es el conjunto de transformaciones lineales
entre A y B.
16. Recuerde que si V es un espacio vectorial sobre el campo F , el dual V ∗
consiste en las transformaciones lineales de V en F ; si E ⊆ V ∗ , entonces
el anulador E 0 es el subespacio de V que consiste en los α ∈ V tales que
f (α) = para todo f ∈ E.
(a) Sea n un enntero positivo, F un campo y W el conjunto de los vectores
(x1 , . . . , xn ) de F n tales que x1 + · · · + xn = 0. Demuestre que W 0
consta de todos los funcionales lineales f de la forma
f (x1 , . . . , xn ) = c
n
xi .
j=1
(b) Demuestre que el espacio dual W ∗ de W puede identificarse en forma
natural con los funcionales lineales
f (x1 , . . . , xn ) = c1 x1 + · · · + cn xn
sobre F n que satisfacen c1 + · · · + cn = 0.
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Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
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Posgrado en Matemáticas
17. Sean S un conjunto, F un campo y V (S, F ) el espacio de todas las funciones
de S en F :
(f + g)(x) =f (x) + g(x)
(cf )(x) =cf (x).
Sea W un subespacio de dimensión n de V (S, F ). Demuestre que existen
puntos x1 , . . . , xn en S y funciones f1 , . . . , fn en W tales que fi (xj ) = δij .
18. Sean F un campo y f el funcional lineal en F 2 definido por f (x1 , x2 ) =
ax1 + bx2 . Para cada uno de los siguientes operadores T , defina gT tf y
encuentre g(x1 , x2 ).
(a) T (x1 , x2 ) = (x1 , 0).
(b) T (x1 , x2 ) = (−x2 , x1 ).
(c) T (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , x1 + x2 ).
19. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre IR. Sean a, b números
reales fijos y f un funcional lineal en V definido por
b
p(x)dx.
f (p) =
a
Si D es el operador derivación sobre V , ¿qué es D t f ?
20. Sean V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo F , T un
operador lineal sobre V y c un escalar. Suponga que existe un vector no
nulo α ∈ V tal que T (α) = cα. Demuestre que existe un funcional lineal
no nulo f en V tal que T t f = cf .
21. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo F . Demuestre
que T → T t es un isomorfismo de L(V, V ) sobre L(V ∗ , V ∗ ).
22. Una matriz n × n, A sobre un campo F es antisimétrica si At = −A. Si A
es una matriz n × n antisimétrica con elementos complejos y n es impar,
demuestre que det(A) = 0.
23. Una matriz n × n, A, sobre el campo F es ortogonal si AAt = I. Si A
es ortogonal, demuestre que det(A) = ±1. De un ejemplo de una matriz
ortogonal para la cual det(A) = −1.
24. Una matriz n × n, A, sobre el campo C se llama unitaria si AA∗ = I (A∗
denota la transpuesta conjugada de A). Si A es unitaria, demuestre que
|det(A)| = 1.
25. Sean T y U dos operadores lineales sobre el espacio vectorial V de dimensión finita. Demuestre que:
(a) det(T U) = det(T )det(U).
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Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
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Posgrado en Matemáticas
(b) T es invertible si y sólo si det(T ) = 0.
26. Sean V el espacio vectorial de las matrices n × n sobre el campo F , B un
elemento fijo de V y TB el operador lineal sobre V definido por TB (A) =
AB − BA. Demuestre que det(TB ) = 0.
27. Sea A una matriz n × n sobre el campo F . Demuestre que existen a lo más
n escalares c distintos en F tales que det(cI − A) = 0.
28. Si V es el espacio vectorial de las matrices n × n sobre F y B es una matriz
n × n dada sobre F , sean LA y RB los operadores lineales sobre V definidos
por LB (A) = BA y RB (A) = AB. Compruebe que
(a) det(LB ) = (det(B))n .
(b) det(RB ) = (det(B))n .
29. Sean A, B, C, D matrices n×n, conmutativas sobre el campo F . Demuestre
que el determinante de la matriz 2n × 2n
A B
C D
es det(AD − BC).
30. Sean F un subcampo de los complejos y T una función de F 3 a F 3 definida
por
T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 + 2x3 , 2x1 + x2 , −x1 − 2x2 + 2x3 ).
(a) Verifique que T es lineal.
(b) Si (a, b, c) es un vector de F 3 , ¿cuáles son las condiciones para a, b y c
de modo que el vector pertenezca a la imagen de T ?, ¿Cuál es el rango
de T ?
(c) Encuentre condiciones para a, b, c de tal suerte que (a, b, c) pertenezca
al núcleo de T .
31. Sea V el conjunto de todos los números complejos considerado como un
espacio vectorial sobre IR (con las operaciones usuales). Encuentre una función de V en V que sea una transformación lineal en dicho espacio vectorial,
pero que no sea una transformación lineal en C1 , es decir, que no sea lineal
compleja.
32. Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo F y T una
transformación lineal de V en V tal que la imagen y el núcleo de T sean
idénticas. Demostrar que n es par.
33. Sea V un espacio vectorial y T una transformación lineal de V en V . Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
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Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
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Posgrado en Matemáticas
(a) La intersección de la imagen de T y el núcleo de T es el subespacio
{0} de V .
(b) Si T (T (α)) = 0, entonces T (α) = 0.
34. Sean V el conjunto de los números complejos y F el campo de los números
reales. Con las operaciones usuales V es un espacio vectorial sobre F . Desciba explícitamente un isomorfismo de este espacio sobre IR2 .
35. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo F .
Demostrar que V y W son isomorfos si y sólo si dim(V ) = dim(W ).
⎤
⎡
1 1 0
A = ⎣0 −1 1⎦ .
1 0 1
36. Sea
Sea f : R3 → R3 dada por f (x) = Ax para x ∈ R3 .
Encuentre la imagen bajo f del plano con ecuación x3 = 0. Encuentre la
imagen bajo f de la intersección de los planos cuyas ecuaciones son x1 +
x3 = 0, x1 − x2 = 0.
⎤
⎡
1 3 0 −1 0
B = ⎣0 0 1 2 0⎦ .
1 3 1 1 1
37. Sea
Sea S = {x ∈ R5 : Bx = 0}. Encuentre un conjunto G que tenga dos
elementos y que genere a S.
10. Sea α ∈ [0, π] y sea
A=
cos α − sen α
.
sen α cos α
Encuentre A2 , A−1 y det(A4 ).
38. Sea E un espacio vectorial, T : E → E una transformación lineal inyectiva
y {u1, u2 , . . . , um } un subconjunto de E linealmente independiente. Demuestre que {T u1, T u2 , . . . , T um } es linealmente independiente.
39. Sean E y F espacios vectoriales reales de dimensión finita y L : E → F una
transformación lineal. Supongamos que la imagen de L es un subespacio G
de F con dimensión n. Demuestre que existe un subespacio H de E con
dimensión igual a n y tal que L restringida a H es inyectiva y sobre.
40. Encuentre una base B = {u1 , u2 , u3} de R3 tal que el vector de coordenadas
de (0, 1, 0) con respecto a B sea (1, −1, 1).
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Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011
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41. Sea A una matriz 8 × 8 tal que det(A) = 0. Sea f : R8 → R8 dada por
f (x) = Ax para x ∈ R8 . Sea S = {u1 , u2, . . . , uk } ⊂ R8 un conjunto
linealmente independiente. Demuestre que la imagen de S bajo f es también
linealmente independiente.
42. Sea
⎤
⎡
1 3 0 −1 0
B = ⎣0 0 1 2 0⎦ .
1 3 1 1 1
Sea S = {x ∈ R5 : Bx = 0}. Encuentre un conjunto G que tenga dos
elementos y que genere a S.
43. Sean V espacio vectorial y T : V → V una transformación lineal tal que
T 2 = IdV . Demuestre que T es diagonalizable. Si V = IR 4 esencialmente
cuántas transformaciones hay con esa propiedad?
44. Estudie las soluciones del sistema
λx1 + x2 + x3 = 1
x1 + λx2 + x3 = 1
x1 + x2 + λx3 = 1.
45. Sean V un espacio vectorial y T : V → V una transformación lineal invertible. Muestre que T −1 : V → V es una transformación lineal. Demuestre
que si W es un subespacio de V invariante bajo T, entonces W también es
invariante bajo T −1 .
46. Sean n y k enteros mayores que 1. Sea A una matriz k × n y sea b un vector
columna con k coordenadas. Sea S el conjunto de soluciones de Ax = b.
Marque con una V cada una de las afirmaciones siguientes en caso de que
sea necesariamente verdadera, y con una F en caso de que no lo sea.
(a) [ ] Si k > n entonces S es vacío.
(b) [ ] Si k < n entonces S debe ser un conjunto infinito.
(c) [ ] Si k = n entonces S tiene exactamente n soluciones.
(d) [ ] Si k < n entonces no es posible que S contenga exactamente un
elemento.
(e) [ ] Si k = n entonces el sistema tiene una única solución.
(f) [ ] Si k > n entonces es posible que S sea un conjunto infinito.
(g) [ ] Si S es vacío entonces n = k.
(h) [ ] Si S tiene una representación paramétrica con 3 parámetros
reales entonces k ≥ 3.
47. Encontrar la distancia del punto (0, 1, −1, 0) en IR4 al conjunto
{(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 − x2 + x3 − x4 = 0}.
13
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48. Sea T : IR2 → IR2 una transformación lineal que tiene al 1 como único valor
propio. Demuestre o dé un contra-ejemplo para las afirmaciones siguientes:
(i) T es un isomorfismo lineal
(ii) T es diagonalizable.
49. Sea A una matriz real 4 × 3. Describa todas las posibles formas del conjunto
de vectores x en R3 que satisfacen Ax = b, donde b es un vector dado en
R4 .
50. Encontrar una base B = {u1 , u2, u3 } de IR3 tal que el vector con coordenadas (1, −1, 1) con respecto a B sea (0, 1, 0) (con respecto a coordenadas
cartesianas).
51. Si T tiene un valor propio λ, demuestre que aT tiene el valor propio aλ.
52. Si x es un valor propio para T1 , T2 , demuestre que también lo es para aT1 +
bT2 .
53. Considere el plano como un espacio vectorial V sobre IR, y sea T una rotación
de V por π/2 radianes. Si bien T no tiene vectores propios, demuestre que
que todo vector no nulo es un vector propio de T 2 .
54. Si T : V → V tiene la propiedad de que T 2 tiene un valor propio no negativo
λ2 , demuestre que por lo menos uno de los dos valores λ o −λ es un valor
propio para T .
55. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas en IR y tales que la
x
integral −∞ tf (t)dt exista para todo x real. Si f ∈ V definamos g = T (f )
x
poniendo g(x) = −∞ tf (t)dt. Demuestre que todo λ negativo es un valor
propio para T y determine las funciones propias correspondientes a λ.
56. Supongamos que una transformación lineal T tiene dos vectores propios
x, y pertenecientes a valores propios distintos λ y μ. Si ax + by es un vector
propio de T , demuestre que a = 0 o b = 0.
57. Si A y B son matrices n × n, siendo B una matriz diagonal, demuestre (por
inducción) que el determinante f (λ) = det(λB − A) es un polinomio en λ
con f (0) = (−1)n det(A), y con el coeficiente de λn igual al producto de los
elementos diagonales de B.
58. Sea A una matriz hermitiana invertible. Demuestre que A−1 es hermitiana.
59. ¿Cuáles de las siguientes matrices son hermitianas?
(a)
2 i
−i 5
14
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(b)
(c)
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1+i 2
2
5i
⎞
1
1+i 5
⎝1 − i
2
i⎠
5
−i 7
⎛
60. En los siguientes incisos utilice el Teorema de Green para calcular la circulación en sentido contrario al de las manecillas y el flujo saliente para el
campo F y la curva C.
(a) F = (x − y)i + (y − x)j, C : el cuadrado acotado por x = 0, x = 1,
y = 0, y = 1.
(b) F = (x2 + 4y)i + (x + y 2)j, C : el cuadrado acotado por x = 0, x = 1,
y = 0, y = 1.
(c) F = (y 2 − x2 )i + (x2 + y 2)j, C : el triángulo acotado por y = 0, x = 3
y y = x.
(d) F = (x + y)i − (x2 + y 2 )j, C : el triángulo acotado por y = 0, x = 3
y y = x.
(e) Calcule la circulación del campo F = xyi + y 2j en sentido contrario
a las manecillas del reloj y el flujo saliente a través de la frontera de la
región acotada por las curvas y = x2 y y = x en el primer cuadrante.
(f) Encuentre la circulación del campo F = (− sin y)i + (x cos y)j en
sentido contrario l de las manecillas del reloj y el flujo saliente a trvés
del cuadrado definido en el primer cuadrante por las rectas x = π/2 y
y = π/2.
(g) Encuentre el flujo saliente del campo
x
F = 3xy −
i + (ex + tan−1 (y))j
1 + y2
a través de la cardioide r = a(1 + cos θ), a > 0.
(h) Calcule la circulación de F = (y + ex ln y)i + (ex /y)j en el sentido
contrarioal de las manecillas, alrededor de la región acotada por arriba
por la curva y = 3 − x2 y por debajo por la curva y = x4 + 1.
61. Aplique el Teorema de Green para evaluar las integrales siguientes:
(a) C (y 2dx+x2 dy), C es el triángulo acotado por x = 0, x+y = 1, y = 0.
(b) C (3ydx + 2xdy), C es la frontera de 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x.
(c) C (6y+x)dx+(y+2x)dy, C es la circunferencia (x−y)2 +(y−3)2 = 4.
(d) C (2x+y 2 )dx+(2xy+3y)dy, C es cualquier curva cerrada en el plano,
para la que se cumpla el Teorema de Green.
15
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62. Evalue S (∇ × F ) · dS, donde F = (x2 + y − 4, 3xy, 2xz + z 2 ) y S es la
superficie x2 + y 2 + z 2 = 16, z ≥ 0.
63. Calcule S (∇ × F ) · dS, donde S es la superficie x2 + y 2 + 3z 2 = 1, z ≤ 0,
y F = (y, −x, zx3 y 2 ).
64. Calcule la integral S F · dS, donde S es la superfici de la semibola x2 +
y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0 y F = (x + 3y 5 , y + 10xz, z − xy).
65. Calcule la integral de superficie S F ·ndA, donde F (x, y, z) = (1, 1, z(x2 +
y 2 )2 y S es la superficie del cilindro x2 + yr ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
66. Integre f (x, y, z) = xyz a lo largo de las siguientes trayectorias:
(a) c(t) = (et cos t, et sin t, 3), 0 ≤ t ≤ 2π.
(b) c(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π.
(c) c(t) = ( 12 t2 , 2t2 , t), 0 ≤ t ≤ 1.
67. Si F (x) es ortogonal a c (t) en cada punto de la curva x = c(t) ¿qué se
puede decir acerca de c F · ds?
68. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy) al
mover una partícula en sentido contrario al que giran las manecillas del
reloj, alrededor del cuadrado con esquinas (0, 0), (a, 0), (a, a) y (0, a), a > 0.
69. Un anillo con la forma de la curva x2 +y 2 = a2 está formado por un alambre
delgado que pesa |x| + |y| gramos por unidad de longitud en (x, y). Encuentre la masa del anillo.
70. De una parametrización para cada una de las siguientes superficies:
(a) x2 + y 2 + z 2 − 4x − 6y = 12.
(b) 2x2 + y 2 + z 2 − 8x = 1.
(c) 4x2 + 9y 2 − 2z 2 = 8.
71. Encuentre el área de la superficie definida por Φ(u, v) → (x, y, z), donde
x = h(u, v) = u + v,
y = g(u, v) = u,
z = f (u, v) = v,
con 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Bosquejar.
72. Un paraboloide de revolución S está parametrizado por Φ(u, v) = (u cos v, u sin v, u2),
0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π.
(a) Encuentre una ecuación en x, y, z que describa la superficie.
(b) ¿Cuál es el significado geométrico de los parámetros u y v?
(c) Encuentre un vector unitario ortogonal a la superficie en Φ(u, v).
16
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(d) Encuentre la ecuación para el plano tngente en Φ(u0 , v0 ) = (1, 1, 2) y
exprese la respuesta de las dos maneras siguientes:
i. parametrizada por uy v;
ii. en términos de x, y, z.
(e) Encuentre el área de S.
73. Encuentre una constante c tal que en todo punto de la intersección de las
dos esferas
(x − c)2 + y 2 + z 2 = 3,
x2 + (y − 1)2 + z 2 = 1
los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares el uno al otro.
74. Si r1 , r2 son las distancias desde un punto (x, y) de una elipse a sus focos, demuestre que la ecuación r1 + r2 = constante (que satisfacen esas distancias)
implica la relación
T · ∇(r1 + r2 ) = 0,
siendo T el vector unitario tangente a la curva. Interprete geométricamente
ese resultado, y con ello demostrar que la tangente forma ángulos iguales
con las rectas que unen (x, y) a los focos.
75. Si ∇f (x, y, z) es siempre paralela a xi+yj+zk, demostrar que f debe tomar
valores iguales en los puntos (0, 0, a) y (0, 0, −a).
76. El cambio de variable x = u + v, y = uv 2 transforma f (x, y) en g(u, v).
Calcular el valor ∂ 2 g/(∂v∂u) en el punto en el que u = 1, v = 1, sabiendo
que
∂f
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
=
=
=
=
= 1,
∂y
∂x2
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
en dicho punto.
77. Dos funciones F y G de una variable y una función z de dos variables están
ligadas por la ecuación
[F (x) + G(y)]2 ez(x,y) = 2F (x)G (x)
con tal que F (x) + G(y) = 0. Demuestre que la derivada parcial mixta
zxy nunca es cero. Puede suponer la existencia y continuidad de todas las
derivadas que aparezcan.
78. Suponga la diferenciabilidad de todas
√ las funciones involucradas. Si k es una
1
constante positiva y g(x, t) = 2 x/ kt, ponemos
g(x,t)
f (x, t) =
2
e−u du.
0
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(a) Demuestre que
∂f
2 ∂g
= e−g
∂x
∂x
∂f
2 ∂g
= e−g
.
∂t
∂t
(b) Demuestre que f satisface la ecuación en derivadas parciales
k
∂2f
∂f
.
=
2
∂x
∂t
79. Considere un campo escalar f definido en IR2 tal que f (x, y) depende de
sólo la distancia r del punto (x, y) al origen, f (x, y) = g(r), siendo r =
(x2 + y 2 )1/2 .
(a) Demuestre que para (x, y) = (0, 0), se cumple
∂2f
∂2f
1
+
= g (r) + g (r).
2
2
∂x
∂y
r
(b) Suponga además que f satisface la ecuación de Laplace,
∂2f
∂2f
+
= 0,
∂x2
∂y 2
para todo (x, y) = (0, 0). Demuestre, usando (a) que f (x, y) = a log(x2 +
y 2) + b para (x, y) = (0, 0), siendo a, b constantes.
80. Supongamos que a, b son números positivos fijos.
(a) Encuentre los valores extremos de z = x/a + y/b con la condición
x2 + y 2 = 1.
(b) Encuentre los valores extremos de z = x2 + y 2 con la condición x/a +
y/b = 1.
81. Encuentre los valores extremos del campo escalar f (x, y, z) = x − 2y + 2z
en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
82. Calcule γydx + zdy + xdz, donde:
(a) γ es la curva de intersección de las dos superficies x + y = 2 y x2 +
y 2 + z 2 = 2(x + y). La curva se recorre de tal modo que mirando desde
el origen el sentido es el de las agujas del reloj.
(b) γ es la intersección de las dos superfices z = xy y x2 +y 2 = 1, recorrida
en sentido, visto desde encima del plano xy, es el contrario al de las
manecillas del reloj.
83. Calcular la integral de línea con respecto a la longitud de arco de los siguientes ejercicios:
18
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(a) C (x+y)ds, siendo C el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) recorrido en sentido contrario al de las manecillas.
(b) C y 2 ds, en donde C tiene la ecuación vectorial
α(t) = a(t − sin t)i + a(1 − cos t)j,
(c)
C
0 ≤ t ≤ 2π.
(x2 + y 2)ds, donde C tiene la ecuación
α(t) = a(cos t + t sin t)i + a(sin t − t cos t)j,
0 ≤ t ≤ 2π.
84. Calcular cada una de las integrales triples en los siguientes incisos. Representar en cada caso la región de integración. Suponga la existencia de todas
las integrales involucradas.
(a)
xy 2 z 3 dxdydz, siendo S el sólido limitado por la superficie z = xy
S
y los planos y = x, x = 1, z = 0.
(b)
(1 + x + y + z)−3 dxdydz, siendo S el sólido limitado por los tres
S
planos coordenados y el plano x + y + z = 1.
(c)
xyzdxdydz, siendo S = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥
S
0, z ≥ 0}.
85. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integración, trazar las regiones correspondientes y evaluar las integrales de las dos maneras.
(a)
1
1
xydydx
0
(b)
π/2
x
cos θ
cos θdrdθ
0
(c)
0
1
0
(d)
2−y
(x + y)2dxdy
0
b
y
f (x, y)dxdy
a
a
(exprese su respuesta en términos de antiderivadas).
86. Si f (x, y) = esin(x+y) y D = [−π, π] × [−π, ß], muestre que
1
f (x, y)dA ≤ e.
≤
e
D
87. Muestre que
1
(1 − cos 1) ≤
2
sin x
dxdy ≤ 1.
4
[0,1]×[0,1] 1 + (xy)
19
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88. Usando el teorema del valor medio, demuestre que
dA
1
1
≤
≤ .
6
4
D y−x+3
√
89. Calcule D f (x, y)dA, donde f (x, y) = y 2 x y D es el conjunto de las
(x, y) con x > 0, y > x2 y y < 10 − x2 .
90. Evalue D ex−y dxdy, donde D es el interior del triángulo con vértices (0, 0), (1, 3)
y (2, 2).
91. Calcule S xydS, donde S es la superficie del tetraedro con lados z =
0, y = 0, x + z = 1, x = y.
92. Evalue S zdS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es, es el
conjunto de (x, y, z) tales que z = a2 − x2 − y 2.
93. Evalue S (x + y + z)dS, donde S es la frontera de la bola unitaria, es decir,
S es el conjunto de (x, y, z) con x2 + y 2 + z 2 = 1.
94. Calcule S zdS, donde S es la superficie z = x2 + y 2, x2 + y 2 ≤ 1.
95. Una superficie metálica S tiene la forma de un hemisferio z = R2 − x2 − y 2,
0 ≤ x2 + y 2 ≤ R2 . La densidad de masa en (x, y, z) ∈ S está dada por
m(x, y, z) = x2 + y 2 . Encuentre la masa total de S.
96. Demuestre que:
x 0
v
0
0
u
1 x
f (t)dt du dv =
(x − t)2 f (t)dt.
2 0
97. Sea S una superficie parámetrica dada en la forma explícita z = f (x, y),
donde (x, y) varía en una región plana T , proyección de S en el plano xy.
Sean F = P i + Qj + Rk y n la normal unitaria a S de componente z no
negativa. Emplée la representación paramétrica r(x, y) = xi + yj + f (x, y)k
y demuestre que
∂f
∂f
−Q
+ R dxdy,
−P
F · ndS =
∂x
∂y
S
T
donde P, Q, R están calculadas en (x, y, f (x, y)).
(b) Sean S la misma superficie del inciso previo y ϕ un campo escalar. Demuestre que
2 2
∂f
∂f
ϕ(x, y, z)dS =
ϕ[x, y, f (x, y)] 1 +
+
dxdy.
∂x
∂y
S
T
20
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98. El cilindro x2 + y 2 = 2x recorta una porción de superficie S en la hoja
superior del cono x 2 + y 2 = z 2 . Calcule la integral de superficie
(x4 − y 4 + y 2 z 2 − z 2 x2 + 1)dS.
S
99. En los siguientes incisos transforme la integral de superficie S (rot(F) ·
ndS en una integral de linea utilizando el teorema de Stokes, y calcule la
integral de linea.
(a) F(x, y, z) = (y 2 , xy, xz), donde S es el hemisfereo x2 + y 2 + z 2 = 1,
z ≥ 0 y n es la norma unitaria con componente z no negativa.
(b) F(x, y, z) = (y, z, x), donde S es la parte del paraboloide z = 1 − x2 −
y 2 con z ≥ 0 y n es la norma unitaria con componente z no negativa.
(c) F(x, y, z) = (y − z, yz, −xz), donde S consta de las cinco caras del
cubo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2 no situada en el plano xy. n es
la normal unitaria exterior.
100. Demuestre la identidad
∇ · (F × G) = G · (∇ × F) − F · (∇ × G),
donde F y G son campos vectoriales diferenciables.
101. Sea F(x, y, z) = (y 2 z 2 , z 2 x2 , x2 y 2). Demuestre que rot(F) no siempre es
cero, pero que F · rot(F = 0. Encuentre un campo escalar μ tal que μF sea
un gradiente.
102. Sea V(x, y) = (y c , xc ), donde c es una constante positiva, y sea r(x, y) =
(x, y). Consideremos una región plana R bordeada por una curva de Jordan
regular a trozos C. Calcule div(V × r) y rot(V × r) y aplique el teorema
de GReen demuestre que
V × r · dα = 0,
C
donde α es la función que describe a C.
2
∂ z
103. Sea z = f (x, y); encuentre ∂u∂v
en términos de las parciales con respecto a
x y a y si x = u + 2v y y = u − 2v.
104. Sea f (x, y) diferenciable en IR2 ; demuestre que la derivada direccional de f
a lo largo de la circunferencia x2 + y 2 = 1 en la dirección contraria a las
manecillas del reloj en el punto (x, y) está dada por
−y
∂f
∂f
+x .
∂x
∂y
Encuentre el valor máximo de f (x, y) = x2 + xy + y 2 en la circunferencia
x2 + y 2 = 1.
21
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105. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + y 2 en el
punto (1, 2, 5).
106. Calcule
(2x2 + y 2 )dA
R
si R es la región delimitada por las curvas x = 0, x = 4, y = x2 y y = x3 .
107. Calcule
(3 − x − y)dA
R
si R es la región delimitada por las curvas x2 − 1 ≤ y ≤ 1 − x2 .
108. Maximice la función f (x, y, z) = 8xyz sujeta a la restricción
16x2 + 4y 2 + 9z 2 = 144.
109. Sea f (x, y) diferenciable en IR2 ; Calcule la derivada direccional de f a lo
largo de la circunferencia x2 + y 2 = 1 en la dirección contraria a las manecillas del reloj en el punto (x, y) de la circunferencia.
110. Sea S un paralelogramo de lados no pararlelos a ningún eje coordenado.
Sean S1 , S2 y A3 las áreas de las proyecciones
de S sobre los planos coorde
2
nados. Demuestre que el área de S es S1 + S22 + S32 .
111. Calcule el área de la porción de esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 interior al cilindro
x2 + y 2 = ay, siendo a > 0.
112. Determine el área de la porción de superficie z 2 = 2xy que se proyecta en
el primer cuadrante del plano xy y limitada por los planos x = 2 e y = 1.
113. Encuentre el área del toro de ecuación
r(u, v) = (a + b cos u) sin vi + (a + b cos u) cos vj + b sin uk,
donde 0 < b < a y 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π.
114. Sea T el disco unitario en el plano uv, T = {(u, v) : u2 + v 2 ≤ 1} y
pongamos
r(u, v) =
2u
2v
u2 + v 2 − 1
i
+
j
+
k.
u2 + v 2 + 1
u2 + v 2 + 1
u2 + v 2 + 1
(a) Determine la imagen respecto a r de cada uno de los siguientes conjuntos: la circunferencia unidad u2 + v 2 = 1; el intervalo −1 ≤ u ≤ 1;
la parte de la recta u = v situada en T .
(b) La superficie S = r(T ) es muy conocida. Diga cual es y dibújela.
22
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(c) Determine la imagen respecto a r del plano uv. Indique con un dibujo
en el espacio xyz los significados geométricos de los parámetros u, v.
115. Sean S la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 y F (x, y, z) = (x, y). Sean
n el vectornormal unitario exterior a S. Calcule el valor de la integral de
superficie S F · ndS, empleando:
(a) la representación vectorial r(u, v) = sin u cos vi + sin u sin vj + cos uk.
(b) La representación explícita z = 1 − x2 − y 2 .
116. Muestre que los planos tangentes a la superficie
xyz = m3
forman con los planos coordenados tetraedros de volumen constante.
117. Encuentre la ecuación del plano tangente y del normal a la superficie z =
2
2
e−(x +y ) en el punto x = 1, y = 2.
118. Sea z = f (x, y); encuentre
y = u − 2v.
∂2z
∂u∂v
en términos de
∂2z
∂x2
y
∂2z
∂y 2
si x = u + 2v y
119. Sea f : IR2 → IR definida por
xy
f (x, y) :=
t cos2 (ty 2) dt.
0
Encuentre
∂f
∂x
y
∂f
.
∂y
120. Encuentre el valor máximo de f (x, y) = x2 + xy + y 2 en la circunferencia
x2 + y 2 = 1.
121. Muestre que los planos tangentes a la superficie
xyz = m3
forman con los planos coordenados tetraedros de volumen constante.
122. Calcule
(2x2 + y 2 )dA
R
si R es la región delimitada por las curvas x = 0, x = 4, y = x2 y y = x3 .
123. Mediante el teorema de Green evalue:
(a)
xydy − y 2dx,
C
donde C es el cuadrado delimitado en el primer cuadrante por las rectas x = 1 y y = 1.
23
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(b) El flujo saliente del campo F (x, y) = xi + y 2 j a través del cuadrado
acotado por las rectas x = ±1 y y = ±1.
Análisis
1. Pruebe que para todo real x = 1,
(1 + x)(1 + x2 )(1 + x4 ) . . . (1 + x2n ) =
1 − x2n+1
.
1−x
2. Sea f : N → N una aplicación tal que f (xy) = f (x) + f (y) para cualesquier
x, y. Verifique que f (an ) = nf (a) para cada n ∈ N.
3. Sea a ≥ 0. Para cada entero positivo n defina a1/n como el número x tal
que xn = a, x ≥ 0. Demuestre que tal número x, si es que existe, es único.
Muestre que si 0 < a < b, entonces a1/n < b1/n , suponiendo que existen la
raíces n-ésimas.
√
4. Pruebe que 3 es irracional.
√
√
5. Sean a un entero positivo tal que a y α = a. Verifique que existe un
número c > 0 tal que para cualesquier enteros p, q con q > 0 se cumple
|qα − p| > c/q.
6. Sea w un racional. Dado > 0, muestre que existe un irracional y tal que
|y − w| < .
7. (a) Sean α un irracional y ε > 0. Muestre que existen enteros m, n > 0 tales
que |mα − n| < ε.
(b) De hecho, dado un entero positivo N, verifique que existen enteros m, n
y 0 < m ≤ N tales que |mα − n| < 1/N.
(c) Sean w un número y ε > 0. Compruebe que existen enteros q, p tales que
|qα − p − w| < ε.
8. Dado cualquier número real ≥ 0, muestre que tiene raíz cuadrada.
9. Sean x1 , . . . , xn números reales. Verifique que x21 + · · · + x2n es un cuadrado.
10. Sean S un conjunto acotado de reales y A el conjunto de sus puntos de
acumulación, es decir, A consiste en los a ∈ R tales que a es punto de un
subconjunto infinito de S. Suponga que A no es vacío. Sea b su cota superior
mínima.
24
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(a) Compruebe que b es punto de acumulación de S. b es el límite superior
de S y se denota lim sup S.
(b) Sea c un real. Pruebe que c es el límite superior de S si y sólo si c satisface
la siguiente propiedad. Para todo ε exsite sólo una cantidad de elementos
x ∈ S tal que x > c + ε, y exist una cantidad infinita de x ∈ S tales que
x > c − ε.
11. Sea d > 1. Pruebe que dado B > 1 existe N tal que si n > N, entonces
dn > B.
12. Pruebe que si 0 < c < 1, entonces
lim cn = 0.
n→∞
¿Qué ocurre si −1 < c ≤ 0?
13. Sea x > 0. Suponga que la n-ésima raíz x1/n existe para todo entero positivo
n. Encunetre limn→∞ x1/n .
14. Sea f la función definida mediante
1
.
n→∞ 1 + n2 x
f (x) = lim
Muestre que si f es la función característica del conjunto {0}, es decir,
f (0) = 1 y f (x) = 0 si x = 0.
15. Sea A > 0, considere un intervalo 0 < δ ≤ x ≤ 2A − δ. Muestre que existe
una constante C, y para cada entero positivo n, existe un polinomio Pn tal
que para toda x en el intervalo, se cumple
| log(x) − Pn (x)| ≤ C/n.
16. Dé un ejemplo de dos sucesiones {xn } y {yn } tales que
lim xn = 0
n→∞
lim yn = ∞,
n→∞
y
lim (xn yn ) = 1.
n→∞
17. Sea fn (x), n = 1, 2, . . . una
∞sucesión de funciones tal que |fn (x)| ≤ Mn ,
para todo x real y la serie n=0 Mn converge.
Demuestre que ∞
n=0 fn (x) converge uniformemente.
18. Demuestre que una función diferenciable en (a, b) es continua en (a, b).
19. Demuestre que una sucesión monótona converge si y solo si está acotada.
25
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20. Calcule los límites:
√
n ln(n)
x
; b) lim a) lim 2
√ .
n→∞ n + 1
x→∞
x+ x
21. Demuestre que si f es diferenciable en (0, 1) y df /dx es acotada en (0, 1),
entonces f es uniformemente continua en (0, 1).
22. Sea f : [a, b] → IR una función continua. Se define g : [a, b] → R por
g(a) = f (a) y g(x) = max{f (t) : t ∈ [a, x]}. Demostrar que g es continua
en [a, b].
23. Sea f : [a, b] → IR una función creciente. Demuestre que f es Riemann
integrable en [a, b].
√
√
24. Definimos s1 := 2 y sn+1 := sn + 2. Demuestre que la sucesión {sn }n
está acotada por 2, que es convergente y calcule su límite.
25. Sea f continua para x ≥ 0, derivable para x > 0, con f creciente y f (0) =
0. Demuestre que
f (x)
g(x) :=
x>0
x
es creciente.
26. Sea f : IR → IR tal que |f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 para cada x, y ∈ IR. Demostrar que f es diferenciable en IR y citar un teorema que permita concluir
que f es constante.
27. Sea {xn }n una sucesión de números reales tal que
|xn+1 |
=r
n→∞ |xn |
lim
con 0 ≤ r < 1. Demuestre que
lim xn = 0.
n→∞
28. Sea f : [a, b] → IR continua. Demuestre que la función g : [a, b] → IR dada
por
g(x) := max{f (t) : t ∈ [a, x]}
está bien definida y es continua.
29. Demuestre que si {fn } → f uniformemente en [a, b] entonces la sucesión
{Fn }n donde
x
Fn (x) =
fn
a
converge.
¿Es cierto que si, además, {fn }n es derivable la sucesión {fn }n es convergente? (Demostrarlo o dar un contraejemplo.)
26
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30. Defina convergencia de una serie
an ; pruebe que si an es convergente
entonces la sucesión {an } converge a 0. ¿Es cierto el inverso? (Demostrarlo
o dar un contraejemplo.)
31. Muestre que si {fn } → f uniformemente en [a, b] entonces
b
b
{
fn dx} →
f dx.
a
a
¿Es cierto este mismo resultado si {fn } → f puntualmente? (Demostrarlo
o dar un contraejemplo.)
32. Muestre que entre dos números reales distintos existe un irracional.
33. Considere el conjunto R = {0, 1} equipado con las siguientes operaciones:
a) Adición (+): 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0.
b) Multiplicación (·): 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.
c) Orden: 0 ≥ 0, 1 ≥ 1, 1 ≥ 0.
¿Satisface R los axiomas de los números reales? Explique su respuesta.
34. Muestre que si |x| < 1, entonces lim xn = 0.
35. Encuente lim sup y lim inf de la sucesión {xn } definida por
1
1
1
x1 = , x2n = x2n−1 , x2n+1 = + x2n ,
3
3
3
n ∈ N.
36. Sea {xn } una sucesión acotada. Muestre que
lim sup(−xn ) = − lim inf xn ,
lim inf(−xn ) = − lim sup xn .
37. De un ejemplo de que si k ak y k bk son series convergentes de números
reales,
serie k ak bk puede no
converger. También muestre que
entonces la
si k ak = A y k bk = B, entonces k ak bk puede converge pero su
suma puede no ser igual a AB.
38. Muestre que la serie
∞
k=1
2
(k + 1)(2k + 1)
es convergente y que su suma es ≤ 1.
39. Sea a ∈ R con a > 1. Muestre que la serie
∞
k!
k=1 (1/a )
es convergente.
27
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40. Sean f, g : [2, ∞) → R definidas por
1, si k ≤ t < k + (1/k 2 ) para algún k ∈ N
f (t) =
0, en otro caso.
k, si k ≤ t < k + (1/k 3 ) para algún k ∈ N
g(t) =
0, en otro caso.
∞
∞
Muestre que 2 f (t)dt y 2 g(t)dt convergen, f (k) = 1 para cada k ∈ N
con k > 2 y g(k) → ∞ conforme k → ∞.
41. Sean a ∈ R y f : [a, ∞) → R tal que f es integrable en [a, x] para toda
x ≥ a. demuestre lo siguiente:
∞
(a) Si a f (t)dt es convergente y f (x) → l conforme x → ∞, entonces
l = 0.
∞
(b) Si f es diferenciable y a f (t)dt es convergente, entonces existe l ∈ R
tal que f (x) → l conforme x → ∞.
∞
∞
(c) Si f es diferenciable y tanto a f (t)dt como a f (t)dt son convergente, entonces f (x) → 0 conforme x → ∞.
∞
(d) Use lo anterior para concluir que la integral 0 t sin t2 dt es divergente.
42. Sea f : [1, ∞] → R tal que f es integrable en [1, x] para toda x ≥ 1.
Demuestre que:
(a) Si existen p > 1 y l ∈ R tales que tp f (t) → l conforme t → ∞,
∞
entonces 1 f (t)dt es absolutamente convergente.
(b) Suponga que f (t) > 0 para toda t ∈ [1, ∞). Si existen
∞p ≤ 1 y
p
l = 0 tales que t f (t) → l conforme t → ∞, entonces 1 f (t)dt es
divergente.
∞
∞
43. Muestre que las integrales impropias 1 sin t2 dt y 1 cos t2 dt son convergentes.
44. Determine cuál de los números eπ y π e es mayor. [Sugerencia: encuentre el
mínimo absoluto de f (x) = x1/x para x ∈ (0, ∞) y haga x = π; alternativa:
encuentre el mínimo absoluto de f : R → R, f (x) = ex − 1 − x y haga
x = (π/e) − 1.]
45. Considere la función g : R → R definida por g(x) = x2 − 2 cos x. Muestre
que g es estríctamente convexa en R aunque g se anula en una cantidad
infinita de puntos ¿Tiene g un mínimo absoluto?
46. Considere la función f : (−π/2, π/2) → R definida por f (x) = tan x.
Muestre que f no es uniformemente continua en [0, π/2), pero que para
cualquier δ > 0, f es uniformemente continua en [−(π/2) + δ, (π/2) − δ].
28
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47. Considere la sucesión de funciones {gn }n∈N , donde para cada x ∈ IR,
gn (x) =
1
,
n(1 + x2 )
(a) Encuentre el límite puntual de {gn }n∈N para cada x ∈ IR
(b) ¿Se tiene convergencia uniforme de {gn }n∈N en IR?
48. Considere la sucesión de funciones {fn }n∈N , donde para cada x ∈ IR,
fn (x) =
nx
,
1 + nx2
(a) Encuentre el límite puntual de {fn }n∈N para cada x ∈ (0, ∞)
(b) ¿Se tiene convergencia uniforme de {fn }n∈N en (0, ∞)?
(c) ¿Se tiene convergencia uniforme de {fn }n∈N en (0, 1)?
(d) ¿Se tiene convergencia uniforme de {fn }n∈N en (1, ∞)?
49. Una función f : R → R es localmente creciente en el punto x0 si existe
δ > 0 tal que
f (x) < f (x0 ) < f (y)
siempre que
x0 − δ < x < x0 < y < x0 + δ.
Muestre que una función que es localmente creciente en cada punto de R
debe ser creciente, esto es, f (x) < f (y) para cualesquiera x < y.
50. Suponga que f : E → R tiene la siguiente propiedad: para todo e ∈ E
existe ε > 0 tal que
f (x) > ε si x ∈ E ∩ (e − ε, e + ε).
Muestre que si el conjunto E es compacto entonces existe un real positivo c
tal que
f (e) > c
para cada e ∈ E. Muestre que cuando E no es cerrado o acotado, la conclusión puede fallar.
51. Sea C la colección de subintervalos cerrados de [a, b] con la propiedad de que
para cada x ∈ [a, b] existe δ = δ(x) > 0 tal que C contiene a los intervalos
[c, d] ⊂ [a, b] que contienen a x y tienene longitud menor que δ. Suponga
que C tiene la propiedad de que si [α, β] y [β, γ] pertenecen a C también
[α, γ] pertenece. Entonces [a, b] pertenece a C.
29
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52. De un ejemplo de una cubierta abierta de Q que no contiene una subcubierta
finita.
53. (a) Si f una función creciente y acotada sobre un intervalo (a, b); entonces
f es de variación acotada en (a, b).
(b) Si f = g − h, donde g y h son crecientes y acotadas en (a, b), entonces f
es de variación acotada en (a, b).
54. Sea f : IR → IR la función dada por
f (x) =
1
,
n
si; x = m
∈Q
n
0, si; x ∈ IR \ Q
Considere que m y n no tienen factores comunes. Pruebe que limx→c f (x) =
0 para cada c ∈ IR.
55. Use la definición ε − δ para probar que
f (x) =
1
x
es continua en x = 1.
56. Sea f (x) =
ax2
2
donde a > 0, consideremos
g(y) = sup (xy − f (x)),
x∈IR
Muestre que g(y) =
y2
2a
y ∈ IR.
y que además f y g son inversas.
Ecuaciones Diferenciales
1. Exprese la solución general de la ecuación u = 2tu + 1 en términos de la
función error.
2. Una ecuación diferencial de la forma
u = a(t)u + g(t)un
se conoce como ecuación de Bernoulli. Muestre que la ecuación de Bernoulli
se puede reducir a la ecuación lineal
y = (1 − n)a(t)y + (1 − n)g(t)
(cambie la variable dependiente de u a y mediante y = u1−n ).
Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli
30
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(a) u =
2
u
3t
+
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2t
.
u
(b) u = u(1 + uet ).
(c) u = − 1t u +
1
.
tu2
3. Considere el sistema lineal
x = −x + y,
y = 4x − 4y,
con condiciones iniciales x(0) = 10, y(0) = 0. Encuentre fórmulas para las
soluciones x(t), y(t).
4. Resuleva el problema con valores iniciales
2 1
x.
x =
−1 0
1
x(0) =
−1
5. Determine el comportamiento de las soluciones cerca del origen para el sistema
3 a
x =
x
1 1
para diferentes valores del parámetro a.
6. Considere el sistema
x = − 3x + ay
y =bx − 2y.
¿Existen valosres de a y b tales que las soluciones sean cíclos cerrados (órbitas periódicas)?
7. Encuentre un sistema lineal bidimensional cuya matriz tiene valores propios
λ = −2 y λ = −3.
8. ¿Cuál es el comportamiento posible, que depende de γ, de las soluciones del
siguiente sistema lineal?
x = − γx − y,
y =x − γy.
9. Encuentre la solución general de los siguientes sistemas.
(a)
⎞
3
1
3
x = ⎝−5 −3 −3⎠ x.
6
6
4
⎛
31
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(b)
⎞
⎛
−0.2
0
0.2
0 ⎠x
x = ⎝ 0.2 −0.4
0
0.4 −0.2
(c)
⎞
2 1 −2
x = ⎝−1 0 0 ⎠ x
0 2 −2
Posgrado en Matemáticas
⎛
10. Encuentre la solución general del sistema
x =ρx − y
y =x + ρy
z = − 2z
donde ρ es una constante.
11. Considere el sistema no lineal x = x2 , y = −y.
(a) Encuentre una relación entre x y y que describa las órbitas. ¿están
contenidas las órbitasen esta relación para valores diferentes de la constante arbitraria?
(b) Bosqueje el campo vectorial en diversos puntos cerca del origen
(c) Dibuje el diagra de fase. ¿es el equilibrio estable o inestable?
(d) Encuentre las soluciuones x = x(t), y = y(t).
12. Un modelo no lineal de la forma
x =y − x
5x2
y =−y+
4 + x2
se ha propuesto para describir la diferenciación celular. Encuentre soluciones al equilibrio.
13. Encuentre la ecuación de las orbitas del sistema x = ex − 1, y = yex y
grafique las órbitas en el plano fase.
14. Determine la naturaleza de cada equilibrio del sistema x = 4x2 − a, y =
− y4 (x2 +4) y muestre cómo cambia el equilibrio conforme varía el parámetro
a.
15. Considere el sistema
x
x =2x(1 − ) − xy
2
9
y =y( − y 2) − x2 y.
4
Encuentre los equilibrios. Use la matriz jacobiana para determinar el tipo y
estabilidad de cada punto de equilibrio.
32
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16. Un sistema
x =f (x, y)
y =g(x, y)
se conoce como un sistema hamiltoniano si existe una función H(x, y) para
la que f = Hy y g = −Hx . La función H se llama el hamiltoniano. Demuestre las siguientes afirmaciones sobre sistemas hamiltonianos.
(a) Si fx + gy = 0, entonces el sistema es hamiltoniano.
(b) Sobre cualquier órbita H(x, y) = constante, por lo que las órbitas están
dadas por H(x, y) = constante.
(c) Si un sistema hamiltoniano tiene un equilibrio, no es un sumidero o
una fuenta.
(d) Cualquier ecuación dinámica conservativa x = f (x) da lugar a un
sistema hamiltoniano y el hamiltoniano coincide con la energía total.
(e) Encuentre el hamiltoniano del sistema x = y, y = x − x2 ; grafique
las órbitas.
17. En un sistema hamiltoniano el hamiltoniano está dado por H(x, y) = x2 +
4y 4. Escriba el sistema y determine los equilibrios. Bosqueje las órbitas.
18. Un sistema
x =f (x, y)
y =g(x, y)
es un sistema gradiente si existe una función G(x, y) para el cual f = Gx y
g = Gy .
(a) Si fy − gx = 0, pruebe que el sistema es gradiente.
(b) Muestre que sobre cualquier órbita, dtd G(x, t) ≥ 0. Compruebe que las
órbitas periódicas son imposibles en sistemas gradiente.
(c) Corrobore que si un sistema tiene un equilibrio, éste no es centro o un
espiral.
(d) Muestre que el sistema x = 9x2 − 10xy 2 , y = 2y − 10x2 y es un
sistema gradiente.
(e) Demuestre que el sistema x = sin y, y = x cos y no tiene órbitas
periódicas.
19. Muestre que el sistema
x =1 + x2 + y 2
y =(x − 1)2 + 4
no tiene soluciones periódicas.
33
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20. Analice la dinámica del sistema
x =y,
y = − x(1 − x) + cy
para diferentes valores de c. Dibuje el diagram de fase para cada caso, ilustre
el comportamiento.
21. Para el sistema
x =y,
y =x − y − x3
determine el equilibrio. Escriba la matriz jacobiana en cada equilibrio e
investigue estabilidad. Bosqueje un diagrama de fase.
22. Considere el sistema
x =ax + y − x(x2 + y 2),
y = − x + ay − y(x2 + y 2 )
donde a es un parámetro. Discuta el comportamiento cualitativo del sistema
como función del parámetro a. En particular, ¿cómo evoluciona el plano fase
conforme a cambia?
23. Considere el sistema
x =x(P − ax + by),
y =y(Q − cy + dx)
donde a, c > 0. Muestre que no pueden existir órbitas periódicas en el
primer cuadrante del plano xy.
24. Convierta la ecuación de segundo orden
d2 y
−y =0
dt2
en un sistema de primer orden en términos de y y u, donde v = dy/dt.
(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema de primer orden.
(b) Bosqueje suficiente vectores para describir su estructura geométrica.
(c) Describa en forma sucinta el comportamiento de las soluciones.
Repita lo anterior para la ecuación
d2 y
+ 2y = 0.
dt2
34
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25. En la gráfica anexa se dan 8 sistemas de ecuaciones y cuatro campos de
direcciones. Determine el sistema que corresponda a cada campo de direcciones y describa brevemente como supo elegir.
26. Convierta la ecuación de segundo orden
d2 x
dx
+ 2 − 3x + x3 = 0
2
dt
dt
en un sistema de primer orden en términos de x y v = dx/dt.
(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema de primer orden.
(b) Encuentre los puntos de equilibrio.
(c) Describa brevemente el comportamiento de las soluciones.
35
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27. Considere el sistema
dx
=2x + 2y
dt
dy
=x + 3y
dt
Para la función Y (t) =)x(t), y(t)) dada, averigüe si Y (t) es Y (t) es solución
del sistema.
(a) Y (t) = (2et , −et ).
(b) Y (t) = (3e2t + et , −et + e4t ).
(c) Y (t) = (2et − e4t , −et + e4t ).
(d) Y (t) = (4et + e4t , −2et + e4t ).
28. Resuelve la ecuación diferencial
x3
29. Resuelva
dy
= x2 y − 2y 3 .
dx
(2xy 3 + 2)dx + (3x2 y 2 + ey )dy = 0.
30. Encuentra la solución general
y + 2y − 3y = 4e2x .
31. Resolver el problema
y + 2y + 3y = 0
.
y(0) = 2 y(0) = −3
32. Encuentra la solución general de
y + y = tan x.
33. Dibuja el plano fase del sistema
ẋ = −x + 3y
.
ẏ = 2x − 2y
34. Encuentra los círculos límite de
ẋ = y(1 − x2 − y 2)
.
ẏ = −x(1 − x2 − y 2 )
35. Encuentre la solución de y − 8y + 7y = 0.
36
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36. Determine una solución general de la siguiente Ecuación de Cauchy-Euler
para x > 0 usando la sustitución x = et : y − x1 y + x52 y = 0.
37. Determine una solución general de la ecuación: xy + 3y − x3 y = x2
38. Encuentre la solución general de la ecuuación: x2 y + 3xy + y = x−1 .
39. La ecuación de Bessel de orden un medio
1
2 2
y = 0,
x y + xy + x −
4
x>0
tiene dos soluciones linealmente independientes,
y1 = x−1/2 cos x,
y2 = x−1/2 sin x.
Determine una solución general de la ecuación no homogénea
1
2 2
y = x5/2 ,
x > 0.
x y + xy + x −
4
40. En los siguientes ejercicios:
(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema dado.
(b) Bosqueje suficientes vectores para capturar la estructura geométrica.
(c) Describa brevemente el comportamiento de las soluciones.
i.
dx
=1
dt
dy
=0.
dt
ii.
du
=u − 1
dt
dv
=v − 1.
dt
iii.
dx
=x
dt
dy
=1.
dt
iv.
dx
=x
dt
dy
= − y.
dt
37
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v.
dy
=−v
dt
dv
=y.
dt
41. En los siguientes ejercicios considere la ecuación de segundo orden para
y(t) dada.
(a) Grafique el campo de direcciones en el plano yv donde v = dy/dt.
(b) Encuentre dos soluciones = 0 que sean múltiplos una de la otra.
(c) Para cada solución, grafique su curva solución en el plano yv y sus
y(t), x(t)-gráficas.
i.
ii.
iii.
iv.
d2 y
dy
+ 3 − 10y = 0.
2
dt
dt
d2 y
dy
+
3
+ 2y = 0.
dt2
dt
d2 y
dy
+ 4 + y = 0.
2
dt
dt
d2 y dy
− 2y = 0.
+
dt2
dt
42. Encuentre una solución del sistema dx/dt = |x|sen y y dy/dt = |y| cos x.
43. Encuentre los puntos de equilibrio del sistema dx/dt = y y dy/dt = ey + x2 .
44. Convierta la ecuación de segundo orden d2 y/dt2 = 1 en un sistema de
primer orden. Encuentre la solución general del sistema.
45. Encuentre los puntos de equilibrio del sistema dx/dt = y y dy/dt = sin(xy).
46. La forma general de una ecuación de segundo orden, lineal y homogénea
con coeficientes constantes es
d2 y
dy
+ p + qy = 0.
2
dt
dt
(a) Escriba el sistema de primer orden para esta ecuación, y transfórmelo
a forma matricial.
(b) Muestre que si q = 0, el origen es el único punto de equilibrio del
sistema.
(c) Pruebe que si q = 0, laúnica solución de la ecuación de segundo orden
con y constante es y(t) = 0 para cada t.
38
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47. Convierta la ecuación de tercer orden
d2 y
dy
d3 y
+
p
+ q + ry = 0,
3
2
dt
dt
dt
donde p, q, r son constantes, a un sistema lineal de tres dimensiones escrito
en forma matricial.
48. Considere el sistema
dx
=2x + y
dt
dy
= − y.
dt
(a) ¿porqué es inmediato que Y (t) = (e2t − e−t , e−2t ) no es solución del
sistema?
(b) ¿Hay una forma fácil de mostrar que Y (t) = (4e2t − e−t , 3e−t ) es
solución del sistema?
(c) Encuentre una solución general del sistema.
(d) ¿Se pueden elegir constantes de tal suerte que la de la solución general
se obtenga la solución Y (t) = e−t , 3e−t )?
(e) Sin conocer la solución general, ¿cómo puede deducir que Y (t) =
(e−t , 3e−t ) no es solución?
(f) Determine una solución que satisfaga la condición inicial Y (0) = (x(0), y(0)) =
(1, 0).
(g) En el plano fase xy, grafique la curva solución asociada a la solución
del inciso anterior. grafique las correspondientes x(t), y(t)-gráficas.
(h) Determine la solución que satisface la condión inicial Y (0) = (x(0), y(0)) =
(−1, 3).
49. Tenga en cuenta el sistema lineal
dY
=
dt
2 0
Y
1 1
(a) Muestre que las funciones
0
Y1 (t) = t
e
y
2t e
Y2 (t) = 2t
e
son soluciones de la ecuación diferencial.
39
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(b) Resuelva el problema con valores iniciales
dY
−2
2 0
.
Y,
Y (0) =
=
−1
1 1
dt
50. Considere el sistema lineal
dY
=
dt
(a) Muestre que la función
1 −1
Y.
1 3
Y (t) =
te2t
−(t + 1)e2t
es una solución de la ecuación diferencial.
(b) Resuelva el problema con valores iniciales:
dY
0
1 −1
.
Y,
Y (0) =
=
2
1 3
dt
51. En los siguientes ejercicios se especifica una matriz de coeficiente para el
sistema lineal
dY
x(t)
.
= AY,
Y (t) =
y(t)
dt
También se dan dos funciones y un valor inicial. Para cada sistema:
(a) Averigüe si las funciones son solución del sistema, de no serlo deténgase.
(b) determine si las soluciones son linealmente independientes, de no serlo,
deténgase.
(c) Encuentre la solución al sistema lineal con el valor inicial dado.
i.
A=
−2 −1
2 −5
Funciones: Y1 (t) = (e−3t , e−3t ), Y2 (t) = (e−4t , 2−4t ). Valor inicial
Y (0) = (2, 3).
ii.
A=
−2 −1
2 −5
Funciones: Y1 (t) = (e−3t − 2e−4t , e−3t − 4e−4t ), Y2 (t) = (2e−3t +
e−4t , 2e−3t + 2e−4t ). Valor inicial Y (0) = (2, 3).
iii.
A=
−2 −3
3 −2
Funciones: Y1 (t) = e−2t (cos 3t, sin 3t), Y2 (t) = e−2t (− sin 3t,
cos 3t). Valor inicial Y (0) = (2, 3).
40
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2 3
A=
1 0
iv.
Funciones: Y1 (t) = (−e−t + 12e3t , e−t + 4e3t ), Y2 (t) = (−e−t ,
2e−t ). Valor inicial Y (0) = (2, 3).
Álgebra
1. Suponga que (G, ∗) es un grupo de orden 3. Muestre que g ∗ g ∗ g = e para
todo g ∈ G.
2. Muestre que existe un grupo G que contiene subgrupos H, K, L tales que
H ∪K ∪L es el subgrupo generado por H, K, L pero H ∩K ∩L ∈
/ {H, K, L}.
3. Suponga que H es un subgrupo de G, que H es finito generado y que el
índice |G : H| es finito. Demuestre que G es finito generado.
4. Suponga que G esun grupo finito generado y que G está generado por un
conjunto Y , donde Y no es necesariamente finito. Pruebe que existe un
subconjunto X de Y finito tal que X genera a G.
5. Suponga que ϕ : G → H es un epimorfismo de grupos y que G es abeliano.
Pruebe que H es abeliano.
6. Suponga que G está generado por el subconjunto X y que θi : G → H
son homomorfismos de grupo (i = 1, 2) tales que θ1 (x) = θ2 (x) para cada
x ∈ X. Muestre que θ1 = θ2 .
7. Suponga que H es un subgrupo de G y que |G : H| = 2. Demuestre que
H G.
8. Suponga que G es un grupo y que H ≤ Z(G), es decir, todos los elementos
de H pertenecen al centro de G. Más aún, suponga que G/H es cíclico.
Compruebe que G es abeliano.
9. Sea σ un a permutación del grupo simétrico Sn . Escriba σ como el producto
de cíclos ajenos. Muestre que el orden de σ es el mínimo común múltiplo de
la longitud de esto cíclos.
10. Exhiba un elemento del grupo simétrico de Z que es un producto infinito de
de cíclos infinitos ajenos.
41
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11. Encuetre los enteros x, si es que alguno existe, que satisfaga las siguientes
congruencias:
3x ≡2
12x ≡38
10x ≡3
12x ≡1
25x ≡30
mod 7
mod 12
mod 5
mod 13
mod 15.
12. Encunetre las soluciones de la ecuación x2 = 0 en Z4 . Haga lo mismo para
Z5 .
13. En Z1 2 encuentre las soluciones de x2 = x.
14. ¿Cuáles de los conjuntos Z3 , Z4 , Z5 , Z6 contienen un elemento x tal que
2x = 1? ¿Cuáles de ellos contienen un elemento y = 0 tal que 2y = 0?
15. Si n es un enetero impar, pruebe que x = 0 es el único elemento en Zn que
satisface x = −x.
16. Muestre que si x = y + z y d es un divisor de dos de los tres enteros x, y, z,
entonces d es divisor del tercero.
17. Si m es un entero positivo, pruebe que (ma, mb) = m(a, b).
18. Si x = yn + t, demuestre que (x, n) = (t, n).
19. Sean a, b, n enteros. Pruebe que n se puede expresar como combinación
lineal de a y b si y sólo si (a, b)|n.
20. Muestre que (a, bc) = 1 si y sólo si (a, b) = 1 y (a, c) = 1.
21. Defina el máximo común divisor de tres enteros a, b, c y verifique que es
igual a ((a, b), c).
22. Demuestre la siguiente variante del algoritmo de la división: si a, b ∈ Z con
b ≥ 1, entonces existen enteros únicos q y r tales que
−b/2 < r ≤ b/2.
a = bq + r,
23. Si p es un primo que divide a a2 , para algún entero a, pruebe que p|a.
24. Si p1 , p2 , . . . , pn son primos, muestre que el entero 1 + (p1 p2 · · · pn ) no es
divisible por ninguno de los pj .
25. Sea n un enetero positivo, Demuestre que todo primo divisor de 1 + n! es
mayor que n.
42
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26. Muestre que un entero positivo a > 1 es el cuadrado de un entero si y sólo
si los exponentes de la descomposición como producto de primos de a son
enteros pares.
27. Compruebe que si b, c son eneteros positivos tales que bc es el cuadrado de
un entero y si (b, c) = 1, entonces b y c son cuadrados de aenteros.
28. Para un entero positivo n, sea d(n) la cantidad de enteros positivos que
dividen a n.
(a) Si p es un primo, muestre que d(pk ) = k + 1.
(b) Si m, n son eneteros positivos con m, n) = 1, pruebe que d(mn) =
d(m)d(n).
(c) Si p, q son primos, muestre que d(pk q k ) = (k + 1)(h + 1).
(d) Generalice el inciso previo para encontrar una fórmula general para
d(n) que se pueda calcular a partir de la descomposición como producto de primos de n.
29. Determine los isomorfismos del grupo (Z6 , +) con (Z7 , ·).
30. Sea G un grupo cíclico de orden n y H un grupo cíclico de orden m.
(a) Pruebe que existe un homomorfismo de G sobre H si y s’olo si m|n.
(b) Si θ : GtoH es un hommomorfismo, muestre que el orden de g[G]
divide a (n, m).
31. Demuestre que el grupo cíclico de orden 6 es el producto directo de un grupo
cíclico d orden 2 y un grupo cíclico de orden 3.
32. Sea G = (R − {0}, ·) y H = ((0, ∞], ·) ≤ G . Encuentre los elementos
representativos de las distintas clases laterales de H en G y muestre que
|G : H| = 2.
33. Pruebe que un grupo de orden n tiene un subgrupo propio si y sólo si n no
es primo.
34. Sean p un primo y G un grupo abeliano que contiene a los elementos a, b
tales que a no pertenece al grupo cíclico generado por b y a, b tienen orden
p. Demuestre que {ai bj : 0 ≤ i, j ≤ p − 1} es un subgrupo de orden p2 .
35. Muestre que un grupo abeliano de orden 6 debe ser cíclico.
36. Muestre que todo grupo G con identidad e tal que x ∗ x = e para toda x ∈ G
es abeliano.
37. Si ∗ es una operación binaria en un conjunto S, un elemento x de S es
idempotente para ∗ si x ∗ x = x. Pruebe que un grupo tiene exactamente un
elemento idempotente.
43
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38. Muestre que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces
{hk : h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G.
39. Pruebe que un grupo cíclico con un sólo generador puede tener a lo más dos
elementos.
40. Muestre que si a ∈ G, donde G es un grupo finito con identidad e, entonces
existe n > 0 tal que an = e.
41. Muestre que si H ≤ G y K ≤ G, entonces H ∩ G ≤ G.
42. Sean G un grupo y a ∈ G. Muestre que la transformación λa : G → G dada
por λa (g) = ag para g ∈ G, es una permutación de G.
43. Sean p y q números primos. Encuentre el número de generadores del grupo
cíclico Zpq .
44. Sea p un primo. Encuentre el número de generadores del grupo cíclico Zpr .
45. Sea (S, ∗) el grupo de los reales excepto el −1 con la operación a ∗ b =
a + b + ab. Demuestre que (S, ∗) es isomorfo al grupo R∗ de los números
reales distintos de cero con la multiplicación.
46. Sean G un grupo y g ∈ G. Demuestre que la transformación ig (x) = gxg −1
para x ∈ G es un automorfismo de G.
47. Pruebe que todo grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a Zn .
48. Considere un grupo abeliano G y H el subconjunto de G que consta de la
identidad junto con todos los elementos de G de orden 2. Muestre que H es
un subgrupo de G.
49. Recuerde que ig (x) = gxg −1. Demuestre que el conjunto de las g ∈ G tales
que ig : G → G es el automorfismo identidad ie es un subgrupo normal de
G.
50. Muestre que si un grupo finito G contiene exactamente un subgrupo H de
un orden dado, entonces H es un subgrupo normal de G.
Análisis Complejo
1. Sea n ∈ Z. Muestre que si n = 4r + 3, con 0 ≤ r ≤ 3, entonces
⎧
1,
si r = 0
⎪
⎪
⎪
⎨i,
si r = 1
in =
⎪
−1, si r = −2
⎪
⎪
⎩
−i, si r = 3.
44
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2. Muestre por inducción que, para toda z = 1,
1 + 2z + 3z 2 + · · · + nz n−1 =
1 − (n + 1)z n + nz n+1
(1 − z)2
Deduzca que, si |z| < 1,
∞
nz n−1 =
n=1
1
.
(1 − z)2
3. Encuentre la suma de la serie
cos θ + cos 3θ + · · · + cos(2n + 1)θ.
/ IR) una raíz de P (z) = 0, donde
4. Sea γ = ρeθ (∈
P (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ,
y a0 , a1 , . . . , an son reales. Muestre que γ también es una raíz e infiera que
z 2 − 2ρ cos θ + ρ2 es un factor de P (z).
5. Determine las raíces de las ecuaciones:
(a) z 2 − (3 − i)z + (4 − 3i) = 0.
(b) z 2 − (3 + i)z + (2 + i) = 0.
6. Determine las raíces de z 5 = 1 y deduzca que
z 5 − 1 = (z − 1)(z 2 − 2z cos
2π
4π
+ 1)(z 2 − 2z cos
+ 1).
5
5
Infiera que
cos
4π
1
2π
+ cos
=− ,
5
5
2
cos
2π
4π
1
cos
=− .
5
5
4
Concluya que
π
cos =
5
√
5+1
,
4
2π
cos
=
5
√
5−1
.
4
7. Sea p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n un polinomio de grado n. Muestre
que
p(z)
lim
= 1.
|z→∞ an z n
8. Muestre que ez = ez para toda z ∈ C, y deduzca que
sen z = sen z,
cos z = cos z.
45
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9. Muestre que si F (z) = cosh2 z − sinh2 z, entonces F (Z) = 0, y deduzca
que cosh2 z − sinh2 z = 1 para toda z.
10. Demuestre que z → tan z es meromorfa, con polos simples en (2n + 1)π/2
(n ∈ Z).
11. Investigue las singularidades de z → 1/(z sin z).
12. Sea r una función racional con un polo de orden k en el punto c. Muestre
que la derivada de r tiene un polo de orden k + 1 en c.
13. Sea γ(t) = z − a − t (0 ≤ t ≤ h). Pruebe que
dζ
1
1
1
.
=
−
n+1
n (z − a − h)n (z − a)n
γ ζ
14. Evalue
γ
f (z)dz, donde
(a) f (z) = Re(z), γ(t) = t2 + it, t ∈ [0, 1].
(b) f (z) = z 2 , γ(t) = eit , t ∈ [0, π].
(c) f (z) = 1/z, γ(t) = eit , t ∈ [0, 6π].
15. Sea n
f (z) =
z 3 − 4z + 1
,
(z 2 + 5)(z 3 − 3)
y γ(t) = Reit (0 ≤ t ≤ π). Demuestre que
3
f (z)dz ≤ πR(R + 4R + 1) .
(R2 − 5)(r 3 − 3)
γ
16. Aplique el Teorema de Cauchy a ez e integre alrededor de un contorno circular para probar que
2π
er cos θ cos(r sen θ + θ)dθ = 0.
0
17. Evalue las siguientes integrales:
kz
(a) κ(0,1) zen+1 dz,
z3
(b) κ(0,2) z 2 −2z+2
dz,
ez
dz,
(c) κ(0,2) πi−2z
donde κ(a, r) es un círculo con centro en a y radio r.
18. Evalue
κ(0,2)
zm
dz
(1 − z)n
(m, n ∈ N).
46
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19. Suponga que la función f es holomorfa en N(a, R) (la bola con centro en a
y radio R). Pruebe que, si 0 < r < R,
2π
1
f (a) =
F (θ)e−iθ dθ,
πr 0
donde F (θ) es la parte real de f (a + reiθ ).
20. Suponga que la función f es holomorfa en N(0, R ), y sea a tal que |a| =
r < R < R .
(a) Demuestre que
1
f (a) =
2πi
κ(0,R)
R2 − aa
f (z)dz.
(z − a)(R2 − za)
(b) Deduzca la fórmula de Poisson: si 0 < r < R, entonces
2π
R2 − r 2
1
iθ
f (re ) =
f (Reiϕ )dϕ.
2
2
2π 0 R − 2Rr cos(θ − ϕ) + r
21. Sea zk ∈ C cualquier raíz n-ésima de la unidad, pruebe que
1 + zk + zk2 + · · · + zkn−1 = 0,
si zk = 1.
22. Muestre que, en z = 0, la función
f (z) =
z3
,
|z|2
0,
si;z =
0,
si; z = 0
satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no tiene derivada en ese
punto.
23. Si z = x + iy, muestre que no existe una función entera cuya derivada sea
la función f (z) = x.
24. Sea g : [0, 1] → IR continua. Defina
1
g(t)
f (z) =
dt,
0 1 − zt
|z| < 1.
Pruebe que f es analítica en |z| < 1 y encuentre su derivada.
√
√
25. Encuentre las tres soluciones de z 3/2 = 4 2 + i4 2.
26. Encuentre las raices de la ecuación z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z + 5 = 0 suponiendo
que z1 = i es una rraíz.
47
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27. SeaS = {z1 , z2 , . . . , zn } es un conjunto finito de números complejos. Muestre que S está acotado en C.
28. De una prueba de que la imagen de un círculo respecto a una transformación
lineal es un círculo.
29. Muestre que la transformación lineal que aplica el círculo |z −z0 | = r1 sobre
el círculo |w − w0 | = r2 se puede expresar como
A(w − w0 ) = (z − z0 )r2 ,
donde|A| = 1.
30. Encuentre la imagen de los siguientes conjuntos respecto a la aplicación
w = z 1/2 .
(a) {reiθ : r > 1, π/3 < θ < π/2}.
(b) {reiθ : 1 < r < 9, 0 < θ < 2π/3}.
(c) {reiθ : r < 4, −π < θ < π/2}.
31. Sea f (z) =
z2
.
|z|2
(a) Encuentre limz→0 f (z) sobre la recta y = x.
(b) Determine limz→0 f (z) sobre la recta y = 2x.
(c) Calcule limz→0 f (z) sobre la parábola y = x2 .
(d) ¿Qué se puede concluir sobre el límite de f (z) cuando z → 0?
32. Sea f (z) = z/z. Muestre que f (z) no tiene límite conforme z → 0.
33. Sea f (z) =
toda z.
zRe(z)
|z|
cuando z = 0 y f (0) = 0. Muestre que f es continua para
34. Sea f (z) = Re(z)/|z| cuando z = 0 y f (0) = 1. ¿Es f (z) continua en el
origen?
35. Suponga |g(z)| ≤ M y que limz→z0 f (z) = 0. Demuestre que limz→z0 f (z)g(z) =
0.
36. Pruebe que
d 1
dz z
=
−1
.
z2
37. Decida cuáles de las siguientes funciones son enteras, suponiendo que f y g
lo son:
(a) (f (z))3 .
(b) f (1/z).
(c) f (z)g(z).
(d) f (z − 1).
(e) f (g(z)).
48
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38. sea P el polinomio de grado 2 dado por
P (z) = (z − z1 )(z − z2 ),
donde z1 y z2 son distintos. Demuestre que
1
P (z))
1
=
+
.
P (z)
z − z1 z − z2
39. Muestre que f (z) = (y + ix)/(x2 + y 2) es diferenciable para todo z = 0.
40. Sea f (z) = |z|2 . Pruebe que f es diferenciable en z0 = 0 pero no lo es en
ningún otro punto.
41. Muestre que las siguientes funciones son enteras:
(a) f (z) = cosh x sin y − i sinh x cos y.
(b) cosh x cos y + i sinh x sin y.
42. Sea f (z) = x2 − y 2 + i2|xy|.
(a) ¿Donde tien f derivada?
(b) ¿donde es f analítica?
43. Encuentre la función analítica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) dado lo siguiente:
(a) u(x, y) = y 3 − 3x2 y.
(b) u(x, y) = sin y sinh x.
(c) v(x, y) = ey sin x.
(d) v(x, y) = sin x cosh y.
44. suponga que u(x, y) es armónica. Pruebe que U(x, y) = u(x − y) es armónica.
45. En los siguientes problemas encuentre la imagen del conjunto dado respecto
a la aplicación reciprocaw = 1/z en el plano complejo extendido.
(a) El círculo |z| = 5.
(b) El semicírculo |z| = 12 , π/2 ≤ arg(z) ≤ 3π/2.
(c) El semicírculo |z| = 3, −π/4 ≤ arg(z) ≤ 3π/4.
(d) El cuarto de círculo |z| = 14 , π/2 ≤ arg(z) ≤ π.
(e) La linea y = 4.
(f) La linea x = 16 .
46. En los siguientes problemas conteste Verdadero o Falso. Si la afirmación es
verdadera justifique su respeusta, si es Falsa dé un contraejemplo.
49
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(a) Si |ez | = 1, entonces z es un número imaginario puro.
(b) Re(ez ) = cos(y).
(c) La aplicación w = ez transforma rectas verticales en el plano z sobre
rectas horizontales en el plano w.
(d) Existen una cantidad infinita de soluciones z para la ecuación ez = w.
(e) ln(i) = 12 πi.
(f) Im(ln(z)) = arg(z).
(g) Para todo complejo z = 0, eLn(z) = z.
(h) Si w1 , w2 son dos valores de ln(z), entonces Re(w1 ) = Re(w2 ).
(i) Ln( 1z ) = −Ln(z) para cada z = 0.
(j) Para cualesquiera complejos no cero, Ln(z1 z2 ) = Ln(z1 ) + Ln(z2 ).
(k) Ln(z) es una función entera.
(l) El valor principal de ii+1 es e−π/2+i .
(m) La potencia compleja z α siempre es multi valuada.
(n) cos z es periódica con periodo 2π.
(o) Existen complejos z tales que | sin(z)| > 1.
(p) tan(z) tiene singularidades en z = (2n+1)π/2, para n = 0, ±1, ±2, . . ..
(q) cosh(z) = cos(iz).
(r) z = 12 πi es un cero de cosh(z).
(s) La función sin(z) nunca es analítica.
(t) Cualquier rama de tan−1 (z) es entera.
Topología General
1. Sea X un espacio
topológico. Dada
una familia {As : s ∈ S} ⊆ P ot(X),
demuestre que {As : s ∈ S} ⊆ {As : s ∈ S}.
2. Proporcione un contraejemplo a la "igualdad" A ∩ B = A ∩ B.
3. Sea X un espacio topológico tal que A ∩ B = A ∩ B para cualesquiera
A, B ⊆ X. Verifique que X es discreto.
4. Sea (X, τ ) un espacio topológico. Suponga que U, V ∈ τ y que U)V = X.
Pruebe que U ∩ V = X.
5. Sean Δ el conjunto de (x, y) ∈ R2 tales que x2 + y 2 ≤ 1, S el conjunto de
puntos de R2 de la forma (x, 0) con 0 ≤ x ≤ 1, y A = Δ − S. Encuentre el
interior, exterior, frontera y cerradura de A (en R2 ).
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6. Exhiba que no siempre se cumple la igualdad
Int( {As : s ∈ N}).
Posgrado en Matemáticas
{Int(As ) : n ∈ N} =
7. Sea X un espacio topológico tal que Int(A ∪ B) = INt(A) ∪ Int(B) para
cualesquiera A, B ⊆ X. Compruebe que X es discreto.
8. Demuestre que toda sucesión convergente de IR, tomada con su límite, es un
subconjunto cerrado de IR.
9. Pruebe que A = X − Int(X − A).
10. Verifique que Q tiene una base que consiste en subconjuntos abierto-cerrados.
11. Sea X ⊆ R discreto. ¿Es cierto que X es numerable?
12. Sea X un espacio topológico. Si A es un subconjunto de X, denotamos con
F r(A) la frontera de A, es decir, F r(A) = A − Å.
(a) Demuestre que F r(Å) ⊂ F r(A), F r(A) ⊂ F r(A). Pruebe mediante
un ejemplo (que estos tres pueden ser distintos. (Intente con X = R,
A = Q ∩ [0, 1]). Compruebe que
F r(A ∪ B) ⊂ F r(A) ∪ F r(B).
Encuentre un ejemplo para ilustrar que estos tres conjuntos pueden
ser distintos. Verifique que si A ∩ B = ∅, entonces F r(A ∪ B) =
F r(A) ∪ F r(B).
13. (a) Cerciórese de que un conjunto con dos elementos hay 4 posibles topologías.
(b) En un conjunto finito, pruebe que la uníca topología Hausdorff es la
discreta.
14. Demuestre que un subconjunto abierto de R es la unión de una sucesión de
intervalos abiertos ajenos entre sí.
15. Usualmente se identifica R con el subconjunto R × {0} de R2 . Entonces
[0, 1] tiene interior no vacío relativo a R, pero tiene interior vacío relativo a
R2 .
16. Sea X el conjunto R equipado con la topología discreta. Muestre que la
identidad de X en R es continua, pero no es abierta o cerrada.
17. Sean X, Y espacios topológicos, f una aplicación de X en Y . Las siguientes
condiciones son equivalentes:
(a) f es continua y cerrada.
(b) f (A) = f (A) para todo subconjunto A ⊆ X.
18. Sea E un espacio topológico e I = [0, 1]. En el espacio producto E × I.
Considere la relación de equivalencia R cuyas clases son:
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Posgrado en Matemáticas
(a) Los conjuntos con un elemento {(x, t)} donde x ∈ E, t ∈ I, t = 1;
(b) el conjunto E × {1}.
El espacio topológico C = (E × I)/R es el cono sobre E.
(a) Para x ∈ E, denote por f (x) la imágen canónica de (x, 0) en C. Demuestre que f es un homeomorfismo de E sobre f (E).
(b) Comprueba que E es Hausdorff si y sólo si C es Hausdorff.
19. La topología de orden. Sea (X, <) un conjunto totalmente ordenado. La
topología de orden en X es la topología generada por la subbase de los
conjuntos de la forma {x ∈ X : x < a} o {x ∈ X : x > a} para a ∈ X.
(a) Pruebe que la topología de orden en X es la menor topología con la
propiedad de que siempre que a, b ∈ X y a < b existen vecindades
U de a y V de b tales que U < V (es decir, tales que x < y para
cualesquiera x ∈ U, y ∈ V ).
(b) Pruebe que si X es conexo (respecto a la topología), entonces X es
completo como conjunto totalmente ordenado, es decir, todo subconjunto no vacío con cota superior tiene menor cota superior.
(c) Si existen puntos a, b ∈ X tales que a < b y no existe c ∈ X con
a < c < b, decimos que X tiene un hueco. Pruebe que X es conexo si
y sólo si X es completo y no tiene huecos.
(d) ¿Es cierto que X es completo si y sólo si todo subconjunto cerrado y
acotado de X es compacto?
20. Sea X un espacio topológico, L un subconjunto de X y x ∈ L. Decimos que
L es localmente cerrado en x si existe una vecindad V de x en X tal que
L ∩ V es cerrado en el subespacio V . L es localmente cerrado en X si es
localmente cerrado en cada uno de sus puntos.
(a) Muestre que las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) L es localmente cerrado;
(ii) L es abierto en L;
(iii) L es la intersección de un abierto y un cerrado en X.
(b) La imagen inversa de un subconjunto localmente cerrado respecto a una
aplicación continua es localmente cerrado.
(c) Si L1 y L2 son localmente cerrados en X, entonces L1 ∩ L2 es localmente
cerrado en X:
(d) Si L1 es es localmente cerrado en L2 , y L2 es localmente cerrado en L3 ,
entonces L1 es localmente cerrado en L3 .
(e) Suponga que L es localmente cerrado en X. Sea U una familia de abiertos
U de X con L ⊆ U y L cerrado en U. Sea F la frontera de L con respecto a
L. Pruebe que X − F es el mayor elemento de U.
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21. Sean X, Y espacios topológicos.
(a) Sean x, x1 , x2 , . . . ∈ X y y, y1, y2, . . . ∈ Y . Si la sucesión ((xn , yn ))
admite (x, y) como punto de adherencia en X×Y , entonces la sucesión
(xn ) (repectivamente (yn )) admite x (respectivamente y) como punto
de adherencia en X (respectivamente Y ).
(b) Demuestre que existe una sucesión ((xn , yn )) en R2 que no admite
ningún punto de adherencia, aunque las sucesiones (xn ) y (yn ) tengan
un punto de adherencia en R.
22. Compruebe que las proyecciones canónicas de un espacio producto a sus
factores son abiertos.
23. Sean X, Y espacios topológicos A ⊆ X y B ⊆ Y . Muestre que las siguientes topologías en A × B coinciden:
(a) La topología inducida por la topología producto en X × Y ;
(b) El producto de las topología inducidas en A y B.
24. En Rn , defina una relación de equivalencia R: (x1 , x2 , . . . , xn ) y (y1 , y2, . . . , yn )
son R-equivalentes si xi − yi ∈ Z para toda i. Muestre que el espacio cociente Rn /R es homemorfo a Tn , donde T es el círculo unitario en R2 .
25. Sean X, Y espacios Hausdorff, f un a aplicación continua de X en Y . Verifique que la gráfica de f es un subconjunto cerrado de X × Y .
26. Sea E un espacio topológico, F y G subconjuntos de E tal que G ⊆ F .
Demuestre que para que G sea cerrado en F , es necesario y suficiente que
G ∩ F = G, dondes G es la cerradura de G en E.
27. En R2 equipado con la métrica usual, sea D un disco abierto con centro en
x0 y radio α > 0 y A un compacto contenido en D. Compruebe que existe
α ∈ (0, α) tal que A está contenido en el disco abiero con centro en x0 y
radio α .
28. Sean E un esapcio Hausdorff, (x1 , x2 , . . .) una sucesión de puntos en E que
tiende a x ∈ E. Muestre que {x1 , x2 , . . .} es compacto.
29. Verifique que los espacios topológicos (0, 1) y [0, 1] no son homeomorfos.
30. Sea A = Rn+1 − {0}. Defina una relación de equivalencia Rn en A de
la siguiente forma: dos puntos x, y ∈ A son R-equivalentes si existe t ∈
R − {0} tal que y = tx. El espacio cociente A/Rn se denota Pn (R) y se
llama el espacio proyectivo real de dimensión n.
(a) Sea π la aplicación canónica de A sobre Pn (R). Muestre que π es
abierto.
(b) Demeustre que π no es cerrada.
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(c) Sea Γ = {(x, y) ∈ A × A : xRy}. Verifique que Γ es cerrado. Deduzca
que Pn (R) es Hausdorff.
31. Sean (X, d) un espacio métrico, A, B, C subconjuntos de X. Demeustre que
no necesariamente ocurre d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C).
32. Sean X un espacio métrico, A un subconjunto cerrado de X, B un subconunto compacto de X. Suponga que A ∩ B = ∅. Demeustre que d(A, B) >
0.
33. Muestre que para toda familia {Os : s ∈ S} de topologías en un conjunto X
existe una topología en X que es la menor cota superior de {Os : s ∈ S} (es
decir, la más gruesa que es más fina que cualquiera de las Os ) y que existe
una topología en X que es la mayor cota inferior de las {Os : s ∈ S} (es
decir, la topología más fina en la familia de todas las topologías de X más
gruesa que cualquiera de las Os .)
34. Demuestre que para todo conjunto abierto U en un espacio topológico X y
cada A ⊆ X se cumple U ∩ A = U ∩ A.
35. Verifique que para todo cerrado F en un espacio topológico X y cada A ⊆
X es cierto que Int((F ∪ Int(A))) = Int(F ∪ A), donde Int(A) = Å.
36. Muestre que cualquier subespacio abierto de un espacio denso en sí mismo
es denso en sí mismo.
37. Una familia {As : s ∈ S} de subconjuntos de un espacio topológico X es
localmente finita si para todo punto x ∈ X existe una vecindad U de x tal
que {s ∈ S : U ∩As = ∅} es finita. Sea {As : s ∈ S} una familia localmente
finita de un espacio X.
(a) Muestre que F r( s∈S As ) ⊆ s∈S F r(As ).
(b) Verifique que si todos los mimebros de la familia{As : s ∈ S} son
densos en ninguna parte en X, entonce la unión s∈S As también es
densa en ninguna parte en X.
38. Verifique que una aplicación f : X → Y es cerrada si y sólo si f (A) = f (A)
para cada A ⊆ X y que f es una aplicación abierta si y sólo si es continua y
f (Int(A)) ⊆ Int(A) para toda A ⊆ X. Dé un ejemplo para ilustrar que la
última contención no puede sustituirse por igualdad.
39. Muestre que una aplicación f X → Y es abierta si y sólo si f −1 (B) =
f −1 (B), equivalente Int(f −1 (B) = f −1 (Int(B)) para cada B ⊆ Y .
Lógica Matemática
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1. Describa una fórmula equivalente a ϕ → ψ pero que sólo involucre el conectivo ↓, también conocido como NOR ≡ P NOR Q ≡ ¬P ∧ ¬Q.
2. Existe un conectivo ↑ (en ingles se denota NAND) que tiene la misma tabla
de verdad que ¬(ϕ ∧ ψ).
(a) Escriba la tabla de verdad de ↑.
(b) Determine si ↑ es asociativo.
(c) Demuestre que
(ϕ ∧ ψ) ⇔ [(ϕ ↑ ψ) ↑ (ϕ ↑ ψ)].
(d) Determine si ↑ distribuye sobre ↓.
(e) Determine si ↓ distribuye sobre ↑.
3. Traduzca los siguientes enunciados al lenguaje proposicional, use las variables proposicionales indicadas
a) No es el caso que Óscar apruebe lógica suponiendo que él estudie y no
haga la tarea (P,S, H).
b) Una condición suficiente para que Óscar apruebe lógica es que estudie
y haga la tarea (P,S,H).
c) Si pierdo el tren, llegaré 10 minutos tarde, suponiendo que el siguiente
tren es puntual (M,L,N).
d) Si lógica es difícil, Óscar y Virginia aprobarán sólo si estudian (D,O,V,S).
e) Si la función f es continua en el intervalo (a, b), entonces f tiene un
máximo en [a, b] o f no es continua en a y b (C,M,A,B).
f) Una condición necesaria para que la función f tenga un máximo en
[a, b] es que f sea continua en (a, b) y f sea continua en a y en b
(M,C,A,B).
4. Encuentra la conversa, inversa y contrapositiva de cada uno de los siguientes enunciados condicionales
→
→
→
→
→
→
a) Si −
v es paralelo a −
w , entonces |−
v ·−
w | = ||−
v || ||−
w ||.
b) Dos rectas se intersectan si no son paralelas.
c) Una condición necesaria para que dos triángulos sean similares es que
tengan lados iguales.
5. Dé la tabla de verdad de cada fórmula
a) A → (B → ¬A);
b) A ∧ ¬A → B ∨ ¬C;
c) (A ∧ ¬B ∧ C ∧ D) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C ∧ ¬D).
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6. Para cada una de los siguientes parejas, use las tablas de verdad para determinar si
i) α ⇒ β.
ii) β ⇒ α.
iii) α ⇔ β.
iv) Ninguna de estas
a) α ≡ A → (B → ¬C)
β ≡ A → (¬B → C);
b) α ≡ A ∧ B → ¬C
β ≡ A → (C → ¬B);
c) α ≡ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C)
d) α ≡ (A → B) ∨ C
β ≡ C ∧ ¬C;
β ≡ (A ↔ B) ∧ C;
7. Traduzca los argumentos y determine su validez mediante tablas de verdad.
Recuerde que un argumento consiste en un conjunto de premisas y una conclusión. El argumento es válido si siempre que las premisas son verdaderas,
también la conclusión lo es.
a) Si Óscar asiste a clases, Miriam o Virginia asisten a clase. Miriam no
asiste a clase. Por lo tanto, Virginia asiste a clase si Óscar lo hace
(O,M,V).
b) Si Óscar asiste a clase, entonces Virginia asiste a clase sólo si Jorge
asiste a clase. Jorge asiste a clase. Por lo tanto, si Óscar asiste a clase,
Virginia también lo hace (O,V,J).
c) Una condición necesaria para que Óscar asista a clase es que Miriam
o Virginia asistan. Una condición suficiente para que Virginia asista
a clase es que Jorge asista. Sin embargo, Jorge no asiste a menos que
Miriam asista, y Virginia asiste sólo si Óscar asiste. Por lo tanto, Virginia asiste a clase si y sólo si Óscar asiste (O,M,V,G).
8. Determine la validez de cada uno de los siguientes argumentos usando tablas de verdad
a)
– Premisas: O → M ∨ V, M, V → O.
– Conclusión: O.
b)
– Premisas: O → M, G → V, ¬M ∨ ¬V, G ∨ ¬M.
– Conclusión: O ↔ ¬G.
c)
– Premisas: O ∧ G → V , V → ¬M, ¬J → M, M → ¬G.
– Conclusión: G → (O → J).
d)
– Premisas: (M → O) ∧ (G → V ), M ∨ G, O.
– Conclusión: O ∧ V .
9. Demuestre las leyes de De Morgan para proposiciones α1 , . . ., αn , es decir
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a) ¬(α1 ∨ α2 ∨ · · · ∨ αn ) ≡ ¬α1 ∧ ¬α2 ∧ · · · ∧ ¬αn .
b) ¬(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn ) ≡ ¬α1 ∨ ¬α2 ∨ · · · ∨ ¬αn .
No intente escribir las tablas de verdad. Argumente directamente de las
condiciones de veracidad para disyunción y conjunción.
10. Un conjunto C de conectivos lógicos es adecuado si dada cualquier fórmula
ϕ del cálculo proposicional, podemos encontrar una fórmula ψ construida
exclusivamente mediante variables proposicionales y conectivos en C tal
que ϕ ≡ ψ. Muestre que {¬, ∨} es adecuado. Pruebe que {¬, →} es un
conjunto adecuado.
11. Recuerde que un conjunto Σ de fórmulas es consistente si existe una asignación que hace cierta a cada fórmula en Σ. Determine si los siguientes
conjuntos son consistentes.
(a) Σ = {A ∧ ¬B, A → B}.
(b) Ψ = {A ∨ ¬B, B ∨ ¬A, A → C}.
(c) Θ = {A ∨ C ∨ G, F → G, G ↔ A}.
(d) Σ = {A ∧ B → C, A ∧ ¬C}.
(e) Ψ = {A → B ∨ C, A ∧ ¬B}.
12. Si Σ = {A ∨ B, A → C}, pruebe que Σ |= B ∨ C.
13. Si Σ = {A ↔ C, B ↔ D, (A ∨ B) ∧ (C ∨ D)} pruebe que Σ |= (A ∧ B) ∨
(C ∧ D).
14. Pruebe que si {A, ¬B} |= C ∧ ¬C entonces {A} |= B.
15. Pruebe que si Σ ∪ {A} |= B, entonces Σ |= A → B.
16. Sea Ψ un conjunto de fórmulas cerrado respecto a ∧, ∨ y ¬, y Σ un subconjunto consistente de Ψ. Decimos que Σ es máximo consistente si, para
todo Σ ⊆ Ψ con Σ ⊆ Σ , Σ es inconsistente. Pruebe que un conjunto
Σ es máximo consistente si y sólo si para toda proposición σ ∈ Ψ, ocurre
exactamente una de las siguientes afirmaciones:
i) σ ∈ Σ.
ii) ¬σ ∈ Σ.
17. Muestre que los siguientes enunciados son equivalentes.
(a) ϕ |= ψ
(b) |= ϕ → ψ,
(c) ϕ ∧ ¬ψ no es satisfacible,
(d) ϕ ≡ ϕ ∧ ψ, donde ϕ ≡ ψ significa que ψ |= ϕ y ϕ |= ψ.
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18. Sea Σ un conjunto finito de fórmulas y ∧Σ la conjunción de sus miembros.
Pruebe que para cualquier fórmula las siguientes afirmaciones son equivalentes
a) Σ |= α.
b) |= ∧Σ → α.
c) |= α.
19. Si Σ1 , Σ2 son conjuntos de fórmulas, determine si las siguientes afirmaciones son ciertas (recuerde que Cn (Σ) denota el conjunto de consecuencias
lógicas de Σ, es decir, el conjunto de fórmulas ϕ para las cuales se cumple
Σ |= ϕ.
a) Cn (Σ1 ∪ Σ2 ) = Cn (Σ1 ) ∪ Cn (Σ2 ).
b) Cn (Σ1 ∩ Σ2 ) = Cn (Σ1 ) ∩ Cn (Σ2 ).
Si la afirmación es falsa, proporcione un contraejemplo. Si es cierta, demuéstrela.
20. Suponga que el conjunto Σ es consistente, pruebe que Σ ∪ {ϕ} es inconsistente si y sólo si Σ |= ¬ϕ.
21. Si Σ1 ⊆ Cn (Σ2 ) entonces Cn (Σ1 ∪ Σ2 ) = Cn (Σ2 ).
22. (a) Encuentre una fórmula ϕ en FNC que tenga la siguiente tabla de verdad.
A
F
V
F
F
V
V
F
V
B
F
F
V
F
V
F
V
V
C
F
F
F
V
F
V
V
V
ϕ
F
V
V
V
F
F
F
V
(b) Encuentre una fórmula en FND que tenga la tabla de verdad anterior.
23. Dadas las siguientes tablas de verdad, encuentre una fórmula ϕ que tenga la
tabla de verdad dada. Después encuentre la FNC de la fórmula ϕ.
i) La primera tabla es
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P
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
Posgrado en Matemáticas
Q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
R
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
A2
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
A3
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
S
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
ϕ
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
ii) La segunda tabla es:
A1
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
A4
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
ϕ
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
24. Encuentre fórmulas en FNC equivalentes a cada una de las siguientes.
(a) (A ↔ B) ↔ C.
(b) (A → (B ∨ C)) ∨ (C → ¬A).
(c) (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ (B ∧ C) ∨ A.
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25. Sean Φ y Ψ conjuntos de fórmulas. Decimos que Φ es equivalente a Ψ,
Φ ≡ Ψ, si para toda asignación A, A |= Φ si y sólo si A |= Ψ.
(a) Muestre que lo siguiente es cierto:
Para cualesquiera Φ y Ψ, Φ ≡ Ψ, si y sólo si Φ |= ψ para cada ψ ∈ Ψ
y Ψ |= ϕ para cada ϕ ∈ Φ.
(b) Demuestre que lo siguiente no es cierto:
Para cualesquiera Φ y Ψ, Φ ≡ Ψ si y sólo si para cada ψ ∈ Ψ existe
ϕ ∈ Φ tal que ψ |= ϕ y para cada ϕ ∈ Φ existe ψ ∈ Ψ tal que ϕ |= ψ.
26. Considere el conjunto de variables P = {A1 , . . . , An }.
(a) Muestre que la siguiente fórmula es una tautología.
!
#
!
#
"
$ "
(Ai ∧ Aj ) ↔
Aj .
1≤i<j≤n
1≤i≤n
j=i
(b) ¿Qué asignación en P hace falsa la siguiente fórmula:
!
#
!
#
$ "
"
Ai ↔
Aj ?
1≤i≤n
1≤i≤n
j=i
(c) Muestre que la fórmula previa es lógicamente equivalente a
!
#
"
$
Ai →
Aj .
1≤i≤n
j=i
27. Considere un conjunto P de variables. Identificamos {0, 1}(= {V, F }) con
el campo Z2 , +, ×, 0, 1.
(a) Exprese los conectivos usuales en términos de + y ×.
(b) Exprese las operaciones + y × usando los conectivos usuales.
(c) Muestre que cada fórmula proposicional ϕ[A1 , . . . , An ] se puede asociar con un polinomio en n incógnitas Pϕ ∈ Z2 [X1 , . . . , Xn ] tal que
para toda asignación A, se cumple
A(ϕ) = P̃ϕ (A(A1 ), . . . , A(An )),
donde P̃ϕ denota a la función polinomial (de {0, 1}n a {0, 1}) asociada
con el polinomio Pϕ . Dada una fórmula ϕ ¿es único el polinomio Pϕ ?
(d) De lo anterior, deduzca un procedimiento para determinar si dos fórmulas son lógicamente equivalentes o si una fórmula es una tautología.
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Teoría de Conjuntos
En toda la sección se supone la teoría Zermelo-Fraenkel-Axioma de elección,
a menos que se indique explícitamente algo distinto.
1. Muestre que el conjunto de todos los x tales que x ∈ A, x ∈
/ B, existe,
suponiendo que A, B existen.
2. Demuestre que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.
3. Demuestre que P ot(X) ⊆ X es falso para cualquier conjunto X. En particular, P ot(X) = X para cualquier X. Deduzca que la colección de todos los
conjuntos no es un conjunto.
4. Compruebe que (a, b) ∈ P ot(P ot({a, b})) y que a, b ∈ (a, b).. En general,
si a, b ∈ A, entonces (a, b) ∈ P ot(P ot(A)).
5. Sean A una relación binaria en un conjunto B y A = ( R)). Verifique
que (x, y) ∈ R implica x, y ∈ A. Deduzca de lo anterior que dom(R) y
ran(R) son conjuntos.
6. Pruebe que:
(a) Si |A| < |B| y |B| ≤ |C|, entonces |A| < |C|.
(b) Si |A| ≤ |B| y |B| < |C|, entonces |A| < |C|.
7. Pruebe que
(a) |A × B| = |B × A|.
(b) |(A × B) × C| = |A × (B × C)|.
(c) |A| ≤ |A × B| si B = ∅.
8. Muestre que |A| ≤ |P ot(S)|. [Sugerencia: |S| = |{{a} : a ∈ S}|].
9. Muestre que |A| ≤ |AS | para cualesquiera conjuntos A, S. [Sugerencia:
considere funciones constantes].
10. Sean a, b, c, d conjuntos. Demuestre que
{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} si y sólo si
a = c y b = d.
11. Decimos que una relación binaria D es asimétrica si (x, y) ∈ D implica
(y, x) ∈
/ D. Demuestre que toda relación irreflexiva, transitiva y binaria es
asimétrica.
12. Sea F in el conjunto de subconjuntos finitos de N. Encuentre todos los elementos mínimos, máximos, menor, mayor de (F in, ⊆) y de (F in−{∅}, ⊆).
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13. Construya un conjunto parcialmente ordenado (cpo) que tenga exactamente
un elemento mínimo pero que no tenga menor elemento.
14. Suponga que n > 0 y a0 , . . . , an son elementos distintos entre sí de un
conjunto X. Sea R ⊆ X 2 tal que
{(a0 , a1 ), (a1 , a2 ), . . . , (an−1 , an ), (an , a0 )} ⊆ R.
Muestre que R no está bien fundada.
15. Sea P el conjunto de todos los polinomios en una variable x con coeficientes
en IR. Defina una relación binaria D en P mediante: (p0 , p1 ) ∈ D si p0 es la
derivada de p1 . Muestre que D no es transitiva, ni reflexiva, ni irreflexiva,
pero está bien fundada.
16. Sea A = {An : n ∈ N} una familia de conjuntos. Muestre que existe una
familia M = {Mn : n ∈ N}
tal que Mn⊆ An para toda n ∈ N, los conjuntos
Mn son ajenos entre sí, y n∈N An = n∈N Mn .
17. Muestre que (F in, ⊆) se puede encajar en (N − {0}, ≤1 ), donde
a ≤1 b ⇔ a|b.
18. Muestre que para todo cpo (X, ≤) existe una familia de conjuntos A tal que
(X, ≤) ∼
= (A, ⊆). [Sugerencia: Sea A ⊆ P ot(X) la familia A = {{y : y ≤
x} : x ∈ X}.]
19. Muestre que si to(A, ≤A ) = to(B, ≤B ), entonces
to(A, ≤∗A ) = to(B, ≤∗B ).
20. Muestre que to(Z, ≤) = ω ∗ + ω.
21. Muestre que si to(A, ≤) = ω + ω ∗ , entonces (A, ≤) tiene un elemento mínimo.
22. Muestre que |IR| = |(a, b)|.
23. Demuestre que |C| = |[0, 1) × [0, 1)|.
24. Para cada f ∈ {0, 1}N , defina
H(f ) =
f (n) · 2−(n+1) .
n∈N
Pruebe que H es una función de {0, 1}N sobre [0, 1].
25. Filtros y ultrafiltros. sea x = ∅. Un filtro F en x es una colección no vacía
de subconjuntos de x tal que
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(i) F es cerrado respecto a supraconjuntos, es decir,
∀ y ∈ F ∀ z ⊆ x(y ⊆ z → z ∈ F ).
(ii) F es cerrado respecto a intersecciones finitas, es decir, ∀ H ⊆ F (H es finito →
H ∈ F ).
Un filtro es propio si ∅ ∈
/ F.
(a) Sea x un conjunto no vacío. Meustre que si F es un filtro en x, entonces
x ∈ F.
(b) Muestre que P ot(x) es el único filtro impropio en x.
(c) Muestre que para todo subconjunto y de x la familia ŷ = {z ⊆ x : y ⊆
z} es un filtro en x.
(d) Suponga que x es infinito. Muestre que la familia F = {y ⊆ x :
x − y es finito} es un filtro propio en x.
Un filtro F en x es un ultrafiltro si F es propio, y para todo filtro G
en x que satisfaga F ⊆ G, ya sea G = F o G = P ot(x). En otras
palabras, un ultrafiltro es un filtro propio máximo. Sean x = ∅ y F
un filtro en x. Entonces F es un ultrafiltro en x sii para todo y ⊆ x
exactamente uno de los conjuntos y, x − y pertenece a F .
(e) Sean x un conjunto no vacío, y a ∈ x. Muestre que el conjunto Fa =
{y ⊆ x : a ∈ y} es un ultrafiltro en x.
Un ultrafiltro F en x es principal si F = Fa para alguna a ∈ x. Los
ultrafiltros no principales se conocen como libres.
(f) Si x es un conjunto no vacío finito y F es un ultrafiltro en x, entonces
F = Fa para alguna a ∈ x.
(g) Sea x un conjunto no vacó, y F un filtro propio en x. Muestre que
existe un ultrafiltro H en x tal que F ⊆ H. [Sugerencia: Considere la
familia de todos los filtros en x que contienen a F . Ordene esta familia
por ⊆. Use el lema de Zorn para obtener un elemento máximo, que es
el ultrafiltro buscado.]
(h) Muestre que si x es infinito, existe un ultrafiltro libre en x.
(i) Un filtro F en un conjunto X es cerrado respecto a intersecciones
numerables o numerablemente completo si satisface la condición
%
∀ H ⊆ F (H es numerable →
H ∈ F ).
(➊)
Muestre que todo ultrafiltro principal es numerablemente completo.
(j) Sea x un conjunto no numerable. Muestre que el filtro numerable en
x, es decir, la familia F = {y ⊆ x : x − y es numerable}, es un filtro
numerablemente completo en x.
26. Simplifique las siguientes operaciones ordinales:
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(a) (ω + 1) + ω.
(b) ω + ω 2 .
(c) (ω + 1) · ω 2 .
27. Pruebe que para todo ordinal α, existe un único ordinal límite β y un único
número natural n tal que α = β + n. [Sugerencia: β = sup{γ ≤ α :
γ es límite}.]
28. (a) Si α1 , α2 y β son ordinales y β = 0, entonces α1 < α2 si y sólo si
β · α1 < β · α2 .
(b) Para cualesquiera ordinales α1 , α2 , y β = 0, β · α1 = β · α2 si y sólo si
α 1 = α2 .
29. Pruebe que si A se puede ordenar totalmente, entonces todo sistema de subconjuntos finitos de A tiene una función de elección (sin usar el Axioma de
elección).
30. Sea E una relación binaria en un conjunto A. Muestre que existe una función f : A → A tal que para todo x ∈ A, (x, f (x)) ∈ E si y sólo si existe
y ∈ A tal que (x, y) ∈ E.
31. Pruebe que todo conjunto no numerable tiene un subconjunto de cardinalidad ℵ1 .
32. En este ejercicio se desarrolla otra prueba del Teorema de Cantor-Bernstein,
que norecurre a los números naturales.
Sea F una función de P ot(A) en P ot(A). Un conjunto X ⊆ A es un punto
fijo de F si F (X) = X. La función F es monótona si X ⊆ Y ⊆ A implica
F (X) ⊆ F (Y ).
(a) Sea F : P ot(A) → P ot(A) monótona. Entonces F tiene un punto fijo.
[Sugerencia: sea T = {X ⊆ A : F (X) ⊆ X}. Note que T = ∅. SEa
X = T y pruebe que X ∈ T , F (X) ∈ T . Por lo tanto, F (X) ⊆ X
es imposible.]
(b) Use elejercicio anterior para dar una prueba alterna del teorema deCantorBernstein. [Sugerencia: en clase se probo un lema auxiliar para demostrar el teorema de Cantor-Bernstein. Pruebe este mismo lema
como sigue: sea F : P ot(A) → P ot(A) definida mediante F (X) =
(A − B) ∪ f [X]. Muestre que F es monótona. Sea C el punto fijo de
F , es decir, C = F (A − B) ∪ f [C], y sean D = A − C. Defina g como
en la prueba original y muestre que es inyectiva y sobre B.]
(c) Pruebe que X en el ejercicio 5(a) es el menor punto fijo de F , es decir,
si F (X) = X para algún X ⊆ A, entonces X ⊆ X.
33. Una función F : P ot(A) → P ot(A) es continua si F (supi∈N Xi ) = i∈N F (Xi )
se cumple para cualquier sucesión no decreciente de subconjuntos de A. La
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sucesión Xi : i ∈ N no es decreciente si Xi ⊆ Xj se cumple siempre que
i ≤ j.
Pruebe que F en el ejercicio 5(b) es continua.
34. Pruebe que si X es el menor punto fijo de una
función monótona y continua F : P ot(A) → P ot(A), entonces X = i∈N Xi , donde definimos por
recursión: X0 = ∅, Xi+1 = F (Xi ).
35. Si X, Y son finitos, entonces X × Y es finito y |X × Y | = |X| · |Y |.
36. Si X es finito, entonces |P ot(X)| = 2|X| .
37. Si X y Y son finitos, entonces X Y tiene |X||Y | elementos.
38. Si |X| = n ≥ k = |Y |, entonces el número de funciones inyectivas f : Y →
X es n · (n − 1) · · · (n − k + 1).
39. X es finito si y sólo si toda familia no vacía de subconjuntos de X tiene un
elemento ⊆-máximo. [Sugerencia: si X es finito, |X| = n para algún n.
Si U ⊆ P ot(X), sea m el mayor número en {|Y | : Y ∈ U}. Si Y ∈ U
y |Y | = m, entonces Y es máximo. Por otro lado, si X es infinito, sea
U = {Y ⊆ X : Y es finito}.]
40. Si A, B son finitos y X ⊆ A × B, entonces |X| = a∈A ka donde ka =
|X ∩ ({a} × B)|.
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