Academia de Matemáticas TM Geometría Analítica

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. “CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ”
PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA
Distancia entre puntos
1.- Determina la distancia entre los puntos dados, en todos los casos traza su grafica.
a) A(3,4) y B(3,1)
b) A(−3, 2) y B(6, 0)
c) A(2,1) y B(5,5)
d) A(−4, −3) y B (2,5)
1 3
5
e) A (2 , 2) , (− 2 , 2)
3
1
5 3
f) A (4 , − 2) , (− 3 , 2)
2.-Determina si el triángulo cuyos vértices son los puntos (-2,2), (1,0) y (0,5) es equilátero, isósceles o escaleno y
determina su perímetro. Traza su grafica
3.- Si el punto (𝑥, 4) equidista de los puntos (5,-2) y (3,4). Determina el valor de 𝑥. Traza la grafica
Área de polígonos
4.-Determina el área de los polígonos de vértices siguientes; en todos los casos traza su grafica:
a)
b)
c)
d)
e)
A(-2, 5), B(1, 3) y C(-1, 0)
A(-5, 3), B(6, 0) y C(5, 5)
A(1,1), B(4,5) y C(6,2)
A(2,5), B(7,1), C(3,-4) y D(-2,3)
A(1,5), B(-2,4), C(-3,-1), D(2,-3) y E(5,1)
División de un segmento en una razón dada y Punto Medio
5.- En los siguientes ejercicios, encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵 en la razón 𝑟
correspondiente. En todos los casos traza su grafica.
a) 𝐴(4, −3), 𝐵(1,4); 𝑟 = 2
2
b) 𝐴(−2,3), 𝐵(3, −2); 𝑟 = 5
5
c) 𝐴(−5,2), 𝐵(1,4); 𝑟 = − 3
3
d) 𝐴(2, −5), 𝐵(6,3); 𝑟 = 4
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6.- Sabiendo que el punto (9,2) divide el segmento definido por los puntos 𝑃1 (6,8) 𝑦 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) en la razón 𝑟 = 7,
Hallar las coordenadas de 𝑃2 . Traza la grafica.
̅̅̅̅ de coordenadas dadas, en
7.- En los siguientes ejercicios, encontrar las coordenadas del punto medio del segmento 𝑅𝑆
todos los casos traza su grafica:
a) 𝑅(3,2), 𝑆(6,8)
b) 𝑅(5,3), 𝑆(3, −2)
5 3
2 5
c) 𝑅 (3 , 2) , 𝑆 (3 , 2)
3 2
2
5
d) 𝑅 (− 4 , 5) , 𝑆 (7 , − 6)
8.- Un extremo de una circunferencia es B(2, 6) y el centro es C(-4, 1). Hallar la coordenada del otro extremo. Traza su
grafica.
9.- Hallar los puntos de trisección P y Q, del segmento de recta formado por A(3, -1) y B(9, 7). Traza su grafica.
̅̅̅̅
𝐴𝑃
10.- Hallar la razón 𝑟 = 𝑃𝐵
en la que el punto P(6, -7) divide al segmento determinado por A(-2, 1) y B(3, -4). Traza su
̅̅̅̅
grafica.
La línea recta
1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos dados; en todos los casos
traza la grafica correspondiente.
a) (3,2) 𝑦 (5,7)
b) (−3, −7) 𝑦 (−8,9)
2.- Para cada uno de los siguientes incisos dada la pendiente y un punto encontrar la ecuación de la recta y
trazar su grafica:
a) Pasa por el punto (2, −3) y tiene pendiente 𝑚 = −3
2
b) Pasa por el punto (7,8) y tiene pendiente 𝑚 = −
3
c) Pasa por el punto (−3, −7) y tiene pendiente 𝑚 =
5
7
3.- Hallar la ecuación de la recta si pasa por los puntos 𝐴(1,3) 𝑦 𝐵 (−2, −5). Traza su grafica.
4.- Hallar la ecuación de la recta si pasa por los puntos 𝐴(2,3) 𝑦 𝐵 (0, −1). Traza su grafica.
5.- Determina la ecuación de la recta que pasa por 𝐴(2,4) y que es paralela a la recta que pasa por
𝐵(2, −1) 𝑦 𝐶 (−3, −4). Traza la grafica.
6.- Hallar la ecuación de la recta con ordenada al origen 𝑏 = 4 y pendiente 𝑚 = −3. Traza su grafica.
7.- Escribir la ecuación 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 en su forma pendiente y ordenada al origen. Traza su grafica.
8.-Encontrar la ecuación de la recta en su forma simétrica, cuyos puntos de intersección con los ejes son
(3,0) 𝑦 (0,4). Traza su grafica.
9.- Escribir la ecuación 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0 en su forma simétrica. Traza su grafica.
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10.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y es paralela a la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0.
Traza su grafica.
11.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −4) y es paralela a la recta 5𝑥 − 3𝑦 + 13 = 0.
Traza su grafica.
12.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2,1) y es perpendicular a la recta
3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0. Traza su grafica.
13.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, −2) y es perpendicular a la recta
2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0. Traza su grafica.
14.- Dados P y W indica la ecuación de la recta en su forma general y traza su grafica.
a) W=60° ; p=2
b) W=150° , p=-3
15.- Dada la ecuación de la recta en su forma general, hallar la ecuación en su forma normal, determina el
valor de w y de p y traza su grafica.
a) 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
b) 12𝑥 + 5𝑦 + 52 = 0
15.- Determinar la distancia dirigida entre la recta y el punto dado.
a) 8x  15y  24  0 , P(-2, -3).
b) 3x  4y  10 , P(0, 5)
c) 3x  4y  21  0 , P(1, 2).
16.- Calcule la distancia más corta entre las rectas paralelas cuyas ecuaciones son:
a) 8x  15y  34  0, 8x  15y  102  0
b) 4 x  3 y  12  0, 8x  6 y  4  0
Circunferencia
1.-Escribir la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y en su forma general si su centro está en
(-3, -5) y radio 7.
2.- Hallar la ecuación de la curva en su forma ordinaria y en su forma general si los extremos de un diámetro
de un circunferencia son los puntos:
a) A (2, 3) y B(-4, 5).
b) P (-4,3) y Q(4,-1)
3.- Hallar ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7, -6) y que pasa por el punto A(2, 2).
4.- Hallar ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(-3,0) y que pasa por el punto B(4, -2).
5.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (1, -4) y que es tangente a la recta 4x-3y-12=0.
6.- Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0, -2) y es tangente de la recta 5x -12y  2 = 0.Hallar su
ecuación en la forma ordinaria y en la forma general.
7.- De las siguientes ecuaciones de la circunferencia. Determina el centro, radio y forma ordinaria y grafica
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a) 3x 2  3 y 2  6 x  5 y  0
b) 2 x 2  2 y 2  6 x  10 y  7  0
c) 4 x 2  4 y 2  8 x  8 y  7  0
PARABOLA
1.- Determina los elementos y grafica de la parábola cuya ecuación es:
a) (𝑦 − 3)2 = 12(𝑥 + 4)
b) (𝑥 − 4)2 = −8(𝑦 + 1)
2.-Dadas las condiciones, determina la ecuación de la parábola en su forma ordinaria, en su forma general y
traza su grafica:
a) Vértice en 𝑉(2,4) y Foco 𝐹(−3,4)
b) Vértice en 𝑉(3, −1) y Foco 𝐹(3, −5)
c) Foco en 𝐹(−2,6) y ecuación de la Directriz 𝑥 = 10
d) Foco en 𝐹(4,5) y ecuación de la Directriz 𝑦 = −3
e) Vértice en 𝑉(−3,5) , longitud del lado recto 24 unidades y eje focal paralelo al eje 𝑦 (dos soluciones)
f) Vértice en 𝑉(1,5) y coordenadas de los extremos del lado recto 𝐿1 (4,11) 𝑦 𝐿2 (4, −1)
ELIPSE
1.- Determina los elementos y grafica de la elipse cuya ecuación es:
𝑥2
a) 16𝑥 2 + 4𝑦 2 = 64
b)16 +
𝑦2
7
=1
4
2.-Determina la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos(4,0) y (−4,0)y excentricidad de 5. Traza su
grafica
3.- Determina los elementos y traza la grafica de la elipse cuya ecuación es:
(𝑥 + 5)2 (𝑦 − 1)2
+
=1
9
3
4.- Determina la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (3,8) y (3,2), la longitud de su eje menor es
8. Traza su gráfica.
5.- Determina la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (1, −6) y(9, −6) y la longitud de cada lado
9
recto es 2. Traza su grafica.
6.- Determina la ecuación de la elipse , si su centro es el punto (7, −2) , eje mayor = 8, eje menor = 4 y eje
focal paralelo al eje x. Traza su grafica
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7.- Determina la ecuación de la elipse, si sus vértices son los puntos (−4,6) y (−4, −4) y uno de sus focos es el
punto (−4, −3).
8.- Reduce a su forma ordinaria, determina sus elementos y traza la grafica de las elipses:
a) 16𝑥 2 + 25𝑦 2 + 192𝑥 + 100𝑦 + 276 = 0
b) 25𝑥 2 + 9𝑦 2 + 200𝑥 − 18𝑦 + 184 = 0
HIPERBOLA
1.- Determina los elementos y traza la grafica de la hipérbola cuya ecuación es:
a) 16𝑥 2 − 4𝑦 2 = 64
b)
(𝑦−3)2
16
−
(𝑥+2)2
9
c)
=1
d)
𝑦2
−
36
𝑥2
9
(𝑥−4)2
25
=1
−
(𝑦−5)2
25
=1
2.- Determina la ecuación en su forma ordinaria y general de la hipérbola cuyos vértices son los puntos
(3,0) 𝑦 (−3,0) y sus focos son los puntos(5,0) y (−5,0) Traza su grafica.
3.-Determina la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (3,1) 𝑦 (−3,1) y sus focos son los
puntos(5,1) y (−5,1) Traza su grafica
5
4.- Determina la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los puntos(−3, −1) y (−3,9) y excentricidad de 4.
Traza su grafica
5.- Reduce a su forma ordinaria, indica las coordenadas del centro, los valores de las constantes 𝑎, 𝑏 , 𝑐 y traza
la grafica de las hipérbolas:
a) 9𝑥 2 − 4𝑦 2 + 36𝑥 − 16𝑦 − 16 = 0
b) 49𝑦 2 − 4𝑥 2 + 98𝑥 − 48𝑦 − 291 = 0
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