taxas simples - Curso Aprovação

Matemática
Financeira
Sumário
2
JUROS SIMPLES (Capitalização Simples)
5
JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta)
7
TAXAS SIMPLES
8
TAXAS COMPOSTAS
10
TAXAS SIMPLES EXATO
11
PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO
13
CONVENÇÃO EXPONENCIAL
13
CONVENÇÃO LINEAR
15
DESCONTO COMPOSTO
18
DESCONTO SIMPLES
21
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO COMPOSTO. (Rendas
variáveis)
24
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO SIMPLES. (Rendas
variáveis e uniformes)
30
TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO COMPOSTO
33
TAXA EFETIVA E NOMINAL NO JURO SIMPLES
35
RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME (Rendas Uniformes)
41
PROVAS ANTERIORES
52
TABELAS PARA CONSULTA
Matemática Financeira
2
JUROS SIMPLES
(Capitalização Simples)
Juros Simples comercial é uma modalidade de
juro calculado em relação ao capital inicial, neste
modelo de capitalização, os juros de todos os períodos serão sempre iguais, pois eles serão sempre
calculados em relação ao capital inicial.
Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios
de Juros Simples.
J = C.i.t
Onde
ou
M = C.(1+i+t)
J = juros
C = capital
i = taxa unitária
t = tempo
M = Montante
Neste tópico o aluno precisa entender as variáveis que usará no seus cálculos e descobrir qual das
duas fórmulas é a melhor para a resolução dos exercícios.
Se bem que qualquer exercício pode ser calculado com qualquer uma delas.
É importante que a unidade da taxa deva coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar as
fórmulas.
O que é Juros?
Resposta: Juros é quanto se ganha em uma aplicação. Por exemplo: se aplicarmos R$ 100,00 e esse
valor se transforma em R$ 140,00, conclui-se que a
aplicação gerou um aumento de capital de R$ 40,00,
esse valor é o que ganhamos na aplicação, isto é R$
40,00 é os juros.
O que é Capital?
Resposta: É o valor que aplicamos. No exemplo
da resposta anterior, o capital é R$ 100,00.
O que é taxa unitária?
Resposta: É a retirada do símbolo de percentagem da taxa. Por exemplo: se estamos utilizando
uma taxa de 10%, a taxa unitária é 0,10. Se estamos
utilizando uma taxa de 5%, a taxa unitária é 0,05.
Isto é, devemos dividir por 100 o valor da taxa percentual.
EDITORA APROVAÇÃO
O que é tempo?
Resposta: É o valor de quanto tempo se aplica
um capital.
O que é Montante?
Resposta: Montante é o capital acrescidos de
juros. M = C + J.
Nosso próximo passo é ganhar experiência com
os 13 exercícios exemplos resolvidos.
Preste muita atenção na resolução deles, por
mais fácil que sejam, existe muita experiência sendo transmitida.
Repare também que usarei sempre o melhor
método de resolução, isto é, aquele onde economizamos tempo e espaço de resolução.
Observação: É importante ressaltar que quando lemos juros simples,estamos nos retratando ao
juros simples comercial, nesta modalidade de juros
o ano terá sempre 360 dias e o mês terá sempre 30
dias. Para alguns autores também é chamado de juros simples ordinário.
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Calcular os juros simples que um capital de $
10.000,00, rende em um ano e meio, aplicado
à taxa de 6%a.a.?
a)R$ 700,00
b) R$ 1.000,00
c) R$ 1,600,00
d) R$ 600,00
e) R$ 900,00
J=C.i.t
J=?
C = 10.000
t = 1,5 a
J = 10.000 .
i = 6% a.a. = 6
100
J = 900
LETRA E
6
. 1,5
100
Matemática Financeira
2. Qual o capital que produz, à taxa de 6% a.a.,
em 3 meses, juro de R$ 78,00?
a) R$ 4.300,00
b) R$ 3.000,00
c) R$ 5.200,00
d) R$ 2.600,00
e) R$ 3.500,00
C=?
J=C.i.t
6
i = 6% a.a. =
100
6
78 = C .
. 3
100 12
3C
78 =
200
t=3m=
3
12
a
J = 78
C=
3. A que taxa anual o capital de R$ 5.000,00, em
1 ano, renderia R$ 300,00?
a) 5%
b) 6%
c) 4%
d) 3%
e)2%
i
i = ? % a.a.=
100
C = 5000
t=1a
J = 300
J=C.i.t
300 = 5000 .
i
.1
100
J=C.i.t
30
100
i = 15% a.m. =
15
100
J = 500 . 15 . 3
J = 2250 100
M=C+J
M = 5000 + 2250
M = 7250
LETRA E
6. Qual o capital que em dois anos, à taxa de 5%
a.a., produz um montante de R$ 6.600,00?
a) R$ 5.400,00
b) R$ 6.000,00
c) R$ 4.200,00
d) R$ 5.200,00
e) R$ 6.200,00
C=?
t=2a
M = C (1 + i .t)
5
i = 5% a.a. =
M = 6600 100
6600 = C 1 +


6600 =
C=
4. Durante quantos meses um capital de R$
100,00 aplicado a uma taxa de 30% a.m., renderia R$ 240,00?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 3
e) 10
i = 30% a.m. =
J = 240
J = C. i . t
M=?
C = 5000
t=3m
300
i = 50
i = 6% a.a.
LETRA B
t = ?m
C = 100
5. Calcule o montante produzido por capital de
R$ 5.000,00, aplicado durante 3 meses a uma
taxa de 15% a.m?
a) R$ 7.500,00
b) R$ 4.300,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 5.000,00
e) R$ 7.250,00
78 . 200
3
C = 5200
LETRA C
240 = 100 .
t=8m
LETRA C
30
100
3
5

.2
100 
11C
10
6600 . 10
11
C = 6000
LETRA B
7. A que taxa mensal o capital de R$ 1.200,00, no
fim de dois meses, geraria um capital acumulado de R$ 2.400,00?
a) 12%
b) 23%
c) 25%
d) 15%
e) 50%
.t
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
4
i
i = ? % a.m. =
100
C =1200
t =2 m
J=C.i.t
1200 = 1200 .
J =1200
i
.2
100
i = 50% a.m.
LETRA E
M = 2400
8. Durante quantos meses um capital de R$
100,00, aplicado a uma taxa de 30% a.m., geraria um montante de R$ 220,00?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 3
e) 10
t=?m
J=C.i.t
C =100
J =120
M = 220
i = 30% a.m. =
30
100
120 = 100 .
t = 4m
LETRA A
30
100
.t
Prática
1. (TTN-INTERNO) Qual o capital que produz, à
taxa de 2% a.m., o juro mensal de Cr$ 48,00?
a) Cr$ 2.400,00
b) Cr$ 2.000,00
c) Cr$ 3.200,00
d) Cr$ 2.600,00
e) Cr$ 3.000,00
2. (TTN-INTERNO) Qual o capital que, em 40 dias,
à taxa de 4% a.a., produz o juro de Cr$ 32,00?
a) Cr$ 8.200,00
b) Cr$ 7.000,00
c) Cr$ 9.000,00
d) Cr$ 7.200,00
e) Cr$ 8.000,00
EDITORA APROVAÇÃO
3. (TTN - INTERNO) Qual o capital que, à taxa
2,5% a.a., no fim de um semestre, produz o
montante de Cr$ 8.100,00?
a) Cr$ 10.000,00
b) Cr$ 5.000,00
c) Cr$ 8.000,00
d) Cr$ 7.000,00
e) Cr$ 9.000,00
4. (TTN-INTERNO) A que taxa anual o capital
de Cr$ 5.000,00, em um ano, renderia Cr$
300,00?
a) 5% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4% a.a.
d) 3% a.a.
e) 2% a.a.
5. (TTN-89) O capital que, investido hoje a juros
simples de 12% a.a., se elevará a Cr$ 1.296,00
no fim de 8 meses, é:
a) Cr$ 1.100,00
b) Cr$ 1.000,00
c) Cr$ 1.392,00
d) Cr$ 1.200,00
e) Cr$ 1.399,68
6. Calcular o juro e montante de uma aplicação
de R$ 1.000,00, durante 3 meses, a taxa de
juro simples de 10% a.m.
a) R$ 1.300,00 e R$ 3.300,00
b) R$ 300,00 e R$ 1.300,00
c) R$ 1.100,00 e R$ 2.100,00
d) R$ 100,00 e R$ 1.100,00
e) R$ 500,00 e R$ 1.500,00
7. Qual o capital que em 40 dias, à taxa de 4%
a.a., produz o montante de R$ 7.232,00
a) R$ 8.400,00
b) R$ 6.000,00
c) R$ 5.200,00
d) R$ 7.200,00
e) R$ 6.200,00
8. (TTN/94-TARDE) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo
prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma
taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de
capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a
outra, o capital inicial era de R$
a) 4.200,00
d) 4.600,00
b) 4.800,00
e) 4.400,00
c) 4.900,00
Matemática Financeira
9. Qual é o prazo para uma aplicação de 5% a.a.,
tenha um aumento que corresponda a 1/5 de
seu valor?
a) 2 anos
b) 4 anos
c) 6 anos
d) 5 anos
e) 8 anos
10. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa
de 150% a.a., quadruplique seu valor?
a) 2 anos
b) 4 anos
c) 6 anos
d) 5 anos
e) 8 anos
11. Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22%
a.a., rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?
a) 3 meses e 3 dias
b) 3 meses e 8 dias
c) 2 meses e 23 dias
d) 3 meses e 10 dias
e) 3 meses
12. Calcule o valor do montante produzido por
capital de 150, aplicado a juro simples a uma
taxa de 4,8% a.m. , durante 25 dias?
a) 151
b) 151,2
c) 156
d) 153,6
e) 210,0
13. José colocou 2/3 de meu capital a 36% a.a., e
o restante a 18% a.a., recebendo juro anual de
R$ 117.000,00. Qual é o meu capital?
a) R$ 480.000,00
b) R$ 390.000,00
c) R$ 410.600,00
d) R$ 520.800,00
e) R$ 350.000,00
5
JUROS COMPOSTOS
(Capitalização Composta)
Juros Composto é uma modalidade de juro calculado em relação ao capital inicial de cada período, onde o capital inicial de cada período é o capital
do período anterior acrescidos dos juros do período
anterior se houver. É costume dizer que juro composto é juros sobre juros.
Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios
de Juros Compostos.
J = C [(1+i)t - 1 ]
Onde
ou
M = C. (1+i)t
J = juros
C = capital
i = taxa unitária
t = tempo
M = Montante
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. O capital de R$ 500.000,00 e aplicado à 5%
a.m. de juros compostos, durante 3 meses.
Calcule o montante?
a) R$ 578.800,00
b) R$ 588.810,50
c) R$ 570.000,50
d) R$ 579.600,00
e) R$ 588.882,50
C = 500000
i = 5% a.m.
t=3m
M=?
M = C . (1 + i )t
M = 500000 . (1 + 5%)3
M = 500000 . 1,1576
M = 578800
LETRA A
EDITORA APROVAÇÃO
6
Matemática Financeira
2. Calcule o capital que produz o montante de
R$ 112.360,00, à taxa de 6% a.m. de juros
compostos durante 2 meses é:
a) R$ 100.000,00
b) R$ 145.000,00
c) R$ 230.000,00
d) R$ 214.000,00
e) R$ 233.000,00
C=?
M= 112360
i = 6% a.m.
t=2m
M = C . (1 + i )t
112360 = C . (1 + 6%)2
112360 = C . 1,1236
C = 100000
LETRA A
3. Qual o valor do capital que aplicado a 4% a.m.
de juros compostos, produz ao final de 5 meses, um montante de R$ 1.300.000,00?
a) R$ 1.088.551,70
b) R$ 1.135.552,56
c) R$ 1.222.642,60
d) R$ 1.068.463,88
e) R$ 1.155.897,32
C=?
i = 4% a.m.
t=5m
M = 1300000
M = C . (1 + i )t
1300000 = C . (1 + 4%)5
1300000 = C . 1,2167
C = 1068463,88
LETRA D
Prática
1. Aplicaram-se R$ 400.000,00 a 9% ao bimestre
de juros compostos, durante 1 ano e 4 meses.
O valor do capital acumulado é:
a) R$ 792.067,06
b) R$ 797.025,06
c) R$ 700.000,00
d) R$ 733.867,53
e) R$ 730.800,53
2. Calcular o valor do montante final da aplicação de R$ 300.000,00 à taxa composta de 6%
ao mês, durante 5 meses.
a) R$ 303.337,67
b) R$ 501.433,67
c) R$ 401.467,67
d) R$ 601.457,65
e) R$ 501.565,65
EDITORA APROVAÇÃO
3. Após 8 meses de aplicação a 7% ao mês de juros composto, o capital acumulado era igual a
R$ 1.374.552,00. Qual o valor do capital aplicado?
a) R$ 800.001,78
b) R$ 789.661,78
c) R$ 763.301,33
d) R$ 850.601,33
e) R$ 732.201,11
4. Durante quanto tempo um capital de R$
1.000.000,00, a juros compostos, a uma taxa
de 15% a.a., produzirá um montante de R$
2.011.356,00?
a) 5 anos
b) 4 anos
c)6 anos
d) 3 anos
e) 7 anos
5. O capital R$ 1.060.000,00 foi aplicado a juros
compostos durante 4 meses. Ao final do prazo
o montante será igual a R$ 1.288.440,00. Qual
a taxa da aplicação?
a) 9% a.m.
b) 8% a.m.
c) 7% a.m.
d) 6% a.m.
e) 5% a.m.
6. Um capital aplicado a 6% ao mês de juros
composto, durante 8 meses. A que taxa de
juros simples mensal, o mesmo capital deveria ser aplicado, durante o mesmo prazo, para
produzir o mesmo montante?
a) 7,42% a.m.
b) 8,42% a.m.
c) 9,42% a.m.
d) 6,42% a.m.
e) 5,42% a.m.
7. Um capital aplicado a 80% ao ano de juros
simples, produziu ao final de 1 ano e 4 meses, um determinado montante. A que taxa
mensal de juros compostos o mesmo capital
deveria ser aplicado para produzir o mesmo
montante, durante o mesmo prazo?
a) 4,6%
b) 4,0%
c) 5,2%
d) 5,0%
e) 5,8%
Matemática Financeira
8. Durante quantos meses o capital R$
500.000,00 deverá ser aplicado a 6% a.m. de
juros compostos para se transformar em R$
844.700,00?
a) 5
b) 8
c) 7
d) 6
e) 9
9. Quantos bimestres são necessários para o capital R$ 1.000.000,00 se transformar em R$
3.341.700,00, se for aplicado a 9% a.m. de juros compostos?
a) 5
b) 8
c) 7
d) 6
e) 9
10. A que taxa de juros compostos R$ 560.000,00
devem ser aplicados para produzirem o montante de R$ 888.608,00 em 6 meses de aplicação?
a) 8% a.m.
b)7% a.m.
c) 6% a.m.
d) 5% a.m.
e) 4% a.m.
11. O capital R$ 10.000,00 foi aplicado à taxa
composta de 5% ao trimestre, durante 8 anos.
O valor do capital acumulado é:
a) R$ 38.566,88
b) R$ 40.224,60
c.) R$ 44.120,97
d) R$ 47.647,65
e) R$ 52.337,56
12. O capital de R$ 10.000,00 e aplicado à 25%
a.m. de juros compostos, durante 2 meses.
Calcule o montante?
a) R$ 15.000,00
b)R$ 15.150,00
c) R$ 15.350,00
d) R$ 15.500,00
e) R$ 15.625,00
7
TAXAS SIMPLES
TAXA PERCENTUAL: é aquela que possui o símbolo de porcentagem junto a ela, ou melhor é aquela
aparecem nos exercícios. Exemplo: 20% a.m.
TAXA UNITÁRIA: é a retirada do símbolo de
porcento. Exemplo : 20/100 ou 0,20 (qualquer uma
delas é taxa unitária).
TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são
proporcionais, se mantiverem entre si a mesma razão entre as taxas e os períodos de tempo a que se
referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional
a 10% a.m.
30% 3
  i  10%
. Repare que 30% está
i
1
para 10% assim como 3 meses (1 trimestre) está para
1 mês.
TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são
equivalentes, se para um mesmo capital e para um
mesmo período de tempo, produzirem montantes iguais. Em outras palavras, tanto faz aplicar R$
100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$
100,00 a 30% a.t. durante 1 trimestre que iremos
obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os
fluxos abaixo para um melhor entendimento.
Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses.
110
100
0m
J1 = 10
1m
130
120
J2 = 10
2m
3m
J3 = 10
Aplicando R$100,00 a 30%a.m. durante 1 trimestre
Repare que as taxas de 10% a.m. e 30% a.t. são
equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito.
130
100
0t
J2 = 30
1t
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
8
Observação: Em Juros Simples, as taxas equivalentes são numericamente iguais às taxas proporcionais. Isto é, o aluno pode usar qualquer modelo de
transformação (equivalente ou proporcional) que o
valor que irá encontrar servirá para taxa proporcional
ou equivalente.
É importante ressaltar que apesar de numericamente iguais, taxas equivalentes e proporcionais, são
teoricamente diferentes.
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Qual a taxa anual simples equivalente à taxa
simples de 5% a.m.?
a) 79,58%
b) 69,58%
c) 59,58%
d) 78,88%
e) 60.00%
i = ?% a.a. ↔ 5% a.m..
5 . 12 = 60% a.a.
LETRA E
2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros
simples de 2% a.m.?
a) 11,61%
b) 10,61%
c) 12,61%
d) 13,61%
e) 12,00%
i = ?% a.s. ↔2% a.m.
2 . 6 = 12% a.s.
LETRA E
3. Calcular a taxa semestral proporcional a juros
simples de 36% a.a.?
a) 15%
b) 16%
c) 17%
d) 18%
e) 19%
i = ?% a.s.↔36% a.a.
36 = 18% a.s.
4. Calcular a taxa mensal proporcional a juros
simples de 84% a.a.?
a) 5%
b) 6%
c) 7%
d) 8%
e) 9%
i = ?% a.m.↔84% a.a.
84
= 7% a.m.
12
LETRA C
TAXAS COMPOSTAS
TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são
proporcionais, se mantiverem entre si a mesma razão entre as taxas e os períodos de tempo a que se
referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional
a 10% a.m.
30% 3
  i  10%
i
1
. Repare que 30% está
para 10% assim como 3 meses ( 1 trimestre) está
para 1 mês.
TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são
equivalentes, se para um mesmo capital e para um
mesmo período de tempo, produzirem montantes
iguais.
M1 = M 2
C . (1+ i1 )1 = C . (1+ i2
t
(1+ i1 )t = (1+ i2 )t
1
)t
2
2
Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00
durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a
33,10% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o
mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos
abaixo para um melhor entendimento.
Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses.
2
LETRA D
100
0m
J1 = 10
EDITORA APROVAÇÃO
110
1m
J2 = 11
121
2m
J3 = 12,10
133,10
3m
Matemática Financeira
Aplicando R$100,00 a 33,10%a.t. durante 1 trimestre
133,10
100
0t
J2 = 33,10
1t
Repare que as taxas de 10% a.m. e 33,10% a.t. são
equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito.
Encontrando a taxa equivalente de 10% a.m.
sem montar o fluxo, usanado a fórmula de equivalência:
(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2
(1 + 10%)3 = (1 + i)1
1,3310 = 1 + i
i = 1,3310 -1
i = 0,3310 (taxa equivalente unitária)
i = 33,10% (taxa equivalente percentual)
Observação: No Juros Composto, as taxas equivalentes são numericamente diferentes que as taxas
proporcionais. Isto é, você não pode usar qualquer
modelo de transformação (equivalente ou proporcional) para transformar taxas, você deverá usar sempre que quiser transformar uma taxa o modelo de
equivalência.
9
2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros
de 2% a.m.?
a) 11,62%
b) 10,62%
c) 12,62%
d) 13,62%
e) 12,00%
(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2
(1 + 2%)6 = (1 + i)
1,1262 = 1 + i
i = 1,1262 -1
i = 0,1262 (taxa equivalente unitária)
i = 12,62% (taxa equivalente percentual)
LETRA C
3. Calcular a taxa semestral equivalente a juros
composta de 4% a.b.?
a) 11,00%
b) 12,49%
c) 13,49%
d) 14,49%
e) 12,00%
(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2
(1 + 4%)3 = (1 + i)1
1,1249 = 1 + i
i = 1,1249 -1
i = 0,1249 (taxa equivalente unitária)
i = 12,49% (taxa equivalente percentual)
LETRA B
Prática
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 5% a.m.?
a) 79,59%
b) 69,58%
c) 59,58%
d) 78,88%
e) 60.00%
(1 + i1) = (1 + i2)
(1 + 5%)12 = (1 + i)1
1,7959 = 1 + i
i = 1,7959 -1
i = 0,7959 (taxa equivalente unitária)
i = 79,59% (taxa equivalente percentual)
LETRA A
t1
t2
1. Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 10% a.s.?
a) 20%
b) 21%
c) 5%
d) 18,88%
e) 22.35%
2. Calcular a taxa semestral proporcional a juros
composto de 36% a.a.?
a) 15%
b) 16%
c) 17%
d) 18%
e) 19%
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
10
3. Calcular a taxa semestral equivalente percentual juros compostos de 8,16% a.a.?
a) 4%
b) 4,08%
c) ( 12 1,0816 – 1).100%
d) ( 1,0816 – 1).100%
e) ( 1,0816 – 1)
4. Calcular a taxa mensal equivalente percentual a juros compostos de 69% a.b.?
a) 34,5%
b) 30%
c) ( 12 1,0816 – 1).100%
d) ( 1,0816 – 1).100%
e) ( 1,0816 – 1)
5. Calcular a taxa mensal equivalente unitária a
juros compostos de 108% a.a.?
a)
12
1,08
b) 12 2,08
c) ( 12 1,08 – 1).100
d)
12
2,08 – 1
e)
12
1,08 –1
6. Calcular a taxa semestral equivalente percentual a juros compostos de 8% a.a.?
a) 1,08 %
b) ( 1,08 – 1).100%
c) ( 1,8 – 1).100%
d) [( 1,08 – 1).100]%
e)
1,08 –1
7. Qual a taxa anual composta equivalente a
taxa de 4% a.m.?
a) 60,10%
b) 48,00%
c) 59,26%
d) 68,88%
e) 58,88%
EDITORA APROVAÇÃO
8. Calcular a taxa semestral equivalente a juros
compostos de 10% a.m.
a) 61,61%
b) 70,61%
c) 77,16%
d) 60,00%
e) 74,61%
9. Um capital foi aplicado a 4% ao mês de juros
compostos. A que taxa anual o capital deveria
ser aplicado para produzir o mesmo montante?
a) 60,10% a.a.
b) 6,10% a.a.
c) 50,10% a.a.
d)5,10% a.a.
e) 7,10% a.a.
JUROS SIMPLES EXATO
O juro que calculamos no primeiro capítulo é
chamado de juro comercial e o que iremos calcular
neste capítulo chama-se juro exato. A diferença entre
eles está no fato que no juro comercial todos os meses
apresentam 30 dias enquanto que no juro comercial
o mês tem 30, 31, 28 ou 29 dias. Outra diferença entre
eles, está no fato que o ano para o juro comercial apresenta 360 dias enquanto que o juro exato apresenta
365 ou 366 dias. De resto, o processo de calculo é o
mesmo, inclusive a fórmula: J = C . i . t
Separo aqui alguns problemas que o aluno pode
ter, ao resolver exercícios de juros simples exato.
1º Problema: Descobrir se o ano é ou não é bissexto.
Por que isso é tão importante? Para descobrir se fevereiro
tem 28 ou 29 dias. Para resolver este problema, devemos
dividir o ano por 4, se der resto 0, então o ano é bissexto e
com isso fevereiro tem 29 dias, caso o resto for diferente
de zero o ano não será bissexto e com isso fevereiro terá
28 dias. Ver exemplo nos exercícios abaixo.
2º Problema: Realizar a contagem de quantos
dias o capital foi aplicado. É importante lembrar
que o primeiro dia de aplicação é contado e que o
dia de resgate da aplicação não é contado.
3º Problema: Quando for resolver um exercício de
juros simples exato, a taxa deve estar no período anual
ou diário. Por que a taxa deve estar no período anual? Para que ao transformá-la para diária, possamos
dividi-la por 366 ou 365, sendo assim teremos o que
chamamos de taxa diária exata. Se a taxa estiver ao dia,
não precisamos transformá-la. Caso a taxa não esteja
no período anual, devemos transformá-la.
Matemática Financeira
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Calcular o juro simples exato do capital R$
3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de
2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo
ano?
a) R$ 70,00
b) R$ 72,00
c) R$ 74,00
d) R$ 76,00
e) R$ 78,00
C = 3800
5
100
146
t = 146 d =
a
365
i = 5% a.a. =
02/01/45
02
03
04
28/05/45
→
→
→
→
→
30
28
31
30
27 .
146
o ano de 2005 não é
bissexto, em virtude disso
fevereiro terá 28 dias.
3. Um capital foi aplicado no dia 2 de maio de
1990 e o dia 14 de junho de 1991 havia rendido juro simples exato no valor de 6/5 de seu
próprio valor. A que taxa anual o capital foi
aplicado?
a) 107,35%
b) 95%
c) 102,5%
d) 110,5%
e) 98,5%
PRAZO, TAXA E
CAPITAL MÉDIO
Prazo Médio
 C . i . t 
Tm 
 C . i 
Onde Tm é o prazo médio
Taxa Média
J=C.i.t
J = 3800 .
11
5 146
.
100 365
J = 76
LETRA D
Im 
 C . i . t 
 C . t 
Im é a taxa média
Capital Médio
Prática
1. Calcular o juro simples exato do capital R$
5.000,00, colocado, à taxa de 5% a.a., de 2 de
janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?
a) R$ 170,00
b) R$ 120,00
c) R$ 110,00
d) R$ 100,00
e) R$ 80,00
2. A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros
simples exatos do dia 8 de agosto de 2003 ao
dia 2 de julho de 2004. Calcule os juros exatos
obtidos, à taxa de 10% ao mês.
a) R$ 90,14
b)R$ 90,00
c) R$ 1080,00
d) R$ 1081,64
e) R$ 588,27
Cm 
 C . i . t 
 i . t 
Cm é o capital médio
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte
forma: R$ 300,00 a 8% a.m., R$ 200,00 a 9%
a.m. e R$ 100,00 a 6%a.m., sabe-se que o prazo de aplicações são iguais. Qual a taxa média
da aplicação?
a) 10%a.m.
b) 18%a.m.
c) 8%a.m.
d) 7,5%a.m.
e) 25%a.m.
C1 = 300
i1 = 8% a.m.
t1 = t
C2 = 200
i2 = 9% a.m.
t2 = t
C3 = 100
i3 = 6% a.m.
t3 = t
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
12
im =
∑ (C . i . t )
∑ (C . t )
=
300 .8. t + 200 .9 . t + 100 . 6 . t
300 . t + 200 . t + 100 . t
2400 . t + 1800 . t + 600 . t
=
600 . t
im = 8% a.m.
LETRA C
=
4800 . t
600 . t
tm = 232 d
LETRA B
2. Um investidor aplicou seu capital da seguinte
forma: R$ 300,00 a 4% a.m. durante 2 meses,
R$ 200,00 a 3% a.m. durante 3 meses e R$
100,00 a 2%a.m. durante 3 mês. Qual a taxa
média da aplicação?
a) 8,0%a.m.
b) 5,0%a.m.
c) 6,5%a.m.
d) 3,2%a.m.
e) 15,0%a.m.
C1 = 300
C2 = 200
C3 = 100
i1 = 4% a.m.
i2 = 3% a.m.
i3 = 2% a.m.
t1 = 2 m
t2 = 3 m
t3 = 3 m
im =
∑ (C . i . t )
∑ (C . t )
=
300 . 4 . 2 + 200 .3 . 3 + 100 . 2 . 3
300 . 2 + 200 . 3 + 100 . 3
2400 + 1800 + 600
= 600 + 600 + 300 =
4800
1500
4. Um investidor aplicou seu capital da seguinte
forma: R$ 600,00 a 8% a.m., R$ 500,00 a 9%
a.m. e R$ 400,00 a 3%a.m.. Qual o capital médio da aplicação?
a) R$ 500,00
b) R$ 451,00
c) R$ 560,50
d) R$ 525,00
e) R$ 475,00
C1 = 600
C2 = 500
C3 = 400
i1 = 8% a.m.
i2 = 9% a.m.
t1 = t
t2 = t
i3 = 3%
a.m.
Cm =
∑ (C . i . t )
∑ (i . t )
=
t3 = t
600 . 8 . t + 500 . 9 . t + 400 .3 . t
8 . t + 9. t + 3 . t
4
1

= 4800 . t  4500 . t  1200 . t =
20 . t
12
3
Cm = 525
LETRA D
im = 3,2% a.m.
LETRA D
3. Uma entidade financeira usa os seguintes
critérios para investimento: R$ 40,00 em 180
dias, R$ 35,00 em 200 dias e R$ 25,00 em 360
dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos?
a) 302
b) 232
c) 280
d) 240
e) 252
C1 = 40
t1 = 180 d
i1 = i
23200 . i
7200 . i + 7000 . i + 9000 . i
=
100 . i
100 . i
C2 = 35
T2 = 200 d
i2 = i
C3 = 25
t3 = 360 d
i3 = i
∑ (C . i . t )
( )
tm = ∑ C . i =
40 . i . 180  35 . i . 200  25 . i . 360
40 . i  35 . i  25 . i
EDITORA APROVAÇÃO
=
Prática
1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte
forma: metade do seu capital a 8% a.m., a terça
parte do seu capital a 9% a.m. e o restante à taxa
de 6%a.m.. Qual a taxa média da aplicação?
a) 10%a.m.
b) 18%a.m.
c) 8%a.m.
d) 7,5%a.m.
e) 25%a.m.
2. Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: 40% dos seus recursos em 180 das, 35% de seus recursos em 200
dias e o restante em 360 dias. Qual é o prazo
médio dos seus investimentos?
a) 302 d) 240
b) 232
e) 252
c) 280
Matemática Financeira
3. Um investidor aplicou seu capital da seguinte
forma: metade do seu capital a 16% ao mês,
a terça parte do seu capital a 12% ao mês e o
restante à 6% ao mês. Qual a taxa média da
aplicação?
a) 10% a.m.
b) 18 % a.m.
c) 13% a.m.
d) 11% a.m.
e) 20% a.m.
CONVENÇÃO
EXPONENCIAL
Irei colocar um ponto de vista meu neste tópico
que não interessa muito ao leitor, porém é muito
importante a citação deste para compreender melhor a convenção exponencial.
Muitos autores classificam este ponto com uma
matéria a ser explicada, eu não concordo com este
ponto de vista, pois convenção exponencial nada
mais é do que juros composto e esta matéria já foi
explicada no capítulo de juro composto.
Portanto não há o que explicar, o único ponto que preciso esclarecer é que esta matéria é Juro
Composto.
Veja o exemplo abaixo para entender que não
existe nada a explicar.
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 por 40
meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1+10%)1/3 =
1,0323)
a.) R$ 13.739,91
b.) R$ 15.587,84
c.) R$ 14.984,47
d.) R$ 11.317,11
e.) R$ 13.181,81
C = 10000
4
1
 )
t = 40m = 3a e 4 m (
12 3
i = 10% a.a.
M=?
13
M = C . (1 + i)t
1
M = 10000 .
1  10% 3 3
1
1 10% 3
M = 10000 . (1 + 10%)3 .
M = 10000 . 1,3310 . 1,0323
M = 13739,91
LETRA A
Normalmente encontramos nos livros a seguinte fórmula de convenção exponencial
p
M = C . (1 + i ) . (1 + i )q
t
Onde:
t é o tempo inteiro
p é o tempo fracionário
q
CONVENÇÃO LINEAR
A convenção linear é a utilização de juro composto e juro simples ao mesmo tempo em uma aplicação.
Juro composto para o tempo inteiro e juro simples
para o tempo fracionário. Veja o exemplo abaixo para
entender melhor o que estou escrevendo.
Exercícios Exemplos
2. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 por 40
meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante
por ele recebido considerando-se a convenção linear?
a) R$ 11.411,25
b) R$ 13.753,67
c) R$ 12.477,27
d) R$ 14.449,48
e) R$ 15.455,55
C = 10000
4
1
t = 40m = 3a e 4 m (  )
12 3
i = 10% a.a.
M=?
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
14
M = C . (1 + i)t
Prática
1
M = 10000 .
1  10% 3 3
A resolução do exercício irá ser iniciada deste
ponto em diante. Acima, temos a resolução de
convenção exponencial.


1
3
M = 10.000 . (1 + 10%)3 . 1  10% . 
M = 10.000 . 1,331 . 1,0333
M = 13753,67
LETRA B
Normalmente encontramos nos livros a seguinte fórmula de convenção linear
p
t 
M = C . (1 + i ) .  1 + i . 
q

Onde:
t é o tempo inteiro
p
q é o tempo fracionário
Perceba na fórmula a conclusão já explicada

p
 1 + i . 
q é
é juro composto e 
acima. (1 + i )
juro simples. Estamos misturando juro composto e
juro simples nesta matéria (convenção linear).
t
Comparando estas convenções
O montante da convenção linear será sempre
maior que o montante calculado pela convenção exponencial, pois entre 0 e 1, juro simples é maior que
juro composto. Veja o exemplo abaixo:
(1+10%)1/3 = 1,0323
juro composto
1

1  10% .  = 1,0333
3

juro simples
EDITORA APROVAÇÃO
1. Qual o montante de um capital de R$
1.000.000,00 durante 3 anos e seis meses, a
uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção exponencial
(dado que (1 + 10%)1/2 = 1,0488)
a) R$ 1.390.904,00
b) R$ 1.312.933,67
c) R$ 1.395.964,58
d) R$ 1.355.554,67
e)R$ 1.455.966,97
2. Qual o montante de um capital de R$
1.000.000,00 durante 3 anos e seis meses, a
uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção linear.
a) R$ 1.390.500,00
b) R$ 1.397.550,00
c) R$ 1.300.000,00
d) R$ 1.090.050,00
e)R$ 1.055.750,00
3. Um investidor aplicou R$ 20.000,00 por 44
meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante
por ele recebido considerando-se a convenção exponencial?
(dado que (1 + 15%)2/3 = 1,0977)
a) R$ 33.387,87
b) R$ 35.587,84
c) R$ 34.484,47
d) R$ 31.317,11
e) R$ 30.181,81
4. Um investidor aplicou R$ 20.000,00 por 44
meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante
por ele recebido considerando-se a convenção linear?
a) R$ 31.411,25
b) R$ 33.459,25
c) R$ 32.477,27
d) R$ 34.449,48
e) R$ 35.455,55
Matemática Financeira
DESCONTO COMPOSTO
Desconto é uma operação financeira que retira
do valor de um título um certo valor, em virtude do
fato de não ter sido respeitado o prazo deste título. O valor que receberemos após ter sido retirado
o desconto do valor do título é chamado de valor
atual.
Portanto, podemos definir desconto como
sendo a diferença entre o valor de um título (valor
nominal) e o valor do resgate do pelo título (valor
atual).
Temos um único tipo de DESCONTO COMPOSTO a ser estudado, pelo edital:
DESCONTO RACIONAL (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor
atual.
Dr = A . (1 + i ) f −1
t
]
Fórmulas que podemos usar no exercícios de
desconto simples racional:
N = A . (1 + i ) f
t
Dr = A . (1 + i ) f −1
t
]
 (1 + i )t f −1 
Dr = N . 

tf
 (1 + i ) 
onde
do título
2º Tipo: DESCONTO COMERCIAL ou (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado
sobre o valor atual.
[
Dc = N . 1 − (1 − i ) f
t
]
Fórmulas que podemos usar no exercícios de
desconto simples racional:
t
Onde
D = desconto
N = valor nominal ou valor de face
ou valor futuro ou valor do título
A = valor atual ou valor do resgate
ou valor resgatado ou valor presente ou valor descontado
[
Observação: a unidade da taxa deve coincidir
com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula.
A = N . (1 − i ) f
D=N-A
[
15
Dr = Desconto racional
i = taxa unitária
tf = tempo que falta para vencimento
[
Dc = N . 1 − (1 − i ) f
t
]
 1 − (1 − i )t f 
Dc = A . 

tf
 (1 − i )

onde
to do título
Dc = Desconto racional
i = taxa unitária
tf = tempo que falta para vencimenN = valor nominal
A = valor atual.
Observação: a unidade da taxa deve coincidir
com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula.
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Determinar o valor do desconto que um título
de R$ 408.150,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m.
de desconto composto?
a) R$ 108.150,00
b) R$ 116.867,00
c) R$ 146.464,54
d) R$ 126.866,56
e) R$ 136.855,25
N = valor nominal
A = valor atual.
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
16
D=?
N = 408150
tf = 4 m
i = 8% a.m.
N = A . (1 + i)t
408150 = A . (1 + 8%)4
408150 = A . 1,3605
A = 300000
D=N–A
D = 108150
LETRA A
2. Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ 40.000,00. Qual o valor do título?
a) R$ 56.176,26
b) R$ 46.867,50
c) R$ 50.464,54
d) R$ 63.476,00
e) R$ 76.866,56
tf = 6 m
N = A . (1 + i)t
i = 8% a.m.
N = 40.000 . (1 + 8%)6
N = 40.000 . 1,5869
N = 63.476
LETRA D
A = 40.000
N=?
3. Um título vale em sua data de vencimento, R$
121.000,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para
que, havendo um desconto composto de R$
21.000,00. a taxa de juros compostos cobrada
seja de 10% a.a.
a) 4 anos
b) 3 anos
c) 2 anos
d) 1 ano
e) 7 anos
N = 121.000
D = 21.000
A=N–D
A = 100.000
t=?a
i = 10% a.a.
N = A . (1 + i)t
121000 = 100000 . (1 + 10%)4
121.000
= (1 + 10%)t
100.000
1,21 = (1 + 10%)t
procurar na coluna do 10% o
fator 1,21 e ver a qual tempo
está associado este fator.
t=2a
LETRA C
EDITORA APROVAÇÃO
4. O valor atual de um título de R$ 700.000,00
vencível em 4 meses é R$ 478.109,72. Qual a
taxa de juros compostos vigente?
a) 9% a.m.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 18% a.m.
e) 8% a.m.
N = 700.000
t=4m
A = 478109,72
i = ?% a.m.
N = A . (1 + i)t
700000 = 478109,72 . (1 + i)4
700000
= (1 + i)4
478109,72
1,4116 = (1 + i)4
procurar na linha do tempo
4, o fator 1,4116 e ver a qual
taxa está associado este
fator.
i = 9% a.m.
LETRA A
5. Um título obteve um desconto de R$ 4.641,00
a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4
meses antes do seu vencimento. Qual deverá
ser o valor de resgate do título?
a) R$ 8.500,00
b) R$ 9.500,00
c) R$ 10.500,00
d) R$ 9.000,00
e) R$ 10.000,00
D = 4641
A=?
tf = 4 m
i = 10% a.m.
N = A . (1 + i)t
N = A . (1 + 10%)4
N = A . 1,4641
D=N–A
4641 = 1,4641A - A
4641 = 0,4641A
A = 10000
LETRA E
6. Determinar o valor do desconto comercial que
um título de R$ 600.000,00, com vencimento
para 4 meses, deverá sofrer se for descontado
a 8% a.m. de desconto composto?
a) R$ 158.980,00
b) R$ 170.160,00
c) R$ 146.460,00
d) R$ 132.780,00
e) R$ 166.540,00
Matemática Financeira
Dc = ?
N = 600000
tf = 4 m
i = 8% a.m.
A = N . (1 - i)t
A = 600000 . (1 - 8%)4
A = 600000 . 0,7164
A = 429840
D=N–A
Dc = 170160
LETRA B
7. Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado comercialmente a juros composto de
8% a.m. e se reduziu a R$ 12.128,00. Qual o
valor do título?
a) R$ 22.175,35
b) R$ 20.000,00
c) R$ 25.464,54
d) R$ 26.866,56
e) R$ 24.326,45
A = 12128
N=?
tf = 6 m
i = 8% a.m.
A = N . (1 - i)t
12128 = N . (1 - 8%)6
12128 = N . 0,6064
A = 20000
LETRA B
Prática
1. Uma letra de câmbio no valor nominal de R$
8.000,00 foi resgatada 4 meses antes de seu
vencimento. Qual é o valor de resgate, se a taxa
composta de juros corrente for de 4% a.m.?
a) R$ 6.638,66
b) R$ 5.832,63
c) R$ 3.238,22
d) R$ 5.855,52
e) R$ 6.838,63
2. Pedro receberá R$ 20.000,00 como parte sua
numa herança. Contudo, necessitando do dinheiro 4 meses antes da data de recebimento
propõe a um amigo a venda de seus direitos
por R$ 16.454,05. Que taxa de juros anual Pedro pagou?
a) 5,00% a.a.
b)73,77% a.a.
c) 9,50% a.a.
d) 79,59% a.a.
e)55,55% a.a.
17
3. Se existe a possibilidade de ganhar 3% a.m.,
que desconto racional devo exigir na compra
de um título no valor nominal de R$ 15.800,00,
vencível em 2 meses?
a) R$ 906,98
b) R$ 868,18
c) R$ 110,11
d) R$ 868,78
e) R$ 915,12
4. Uma Nota Promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 6,0% ao mês
de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória R$ 670.000,00. Qual o valor do desconto concedido?
a) R$ 227.676,42
b) R$ 197.676,43
c) R$ 337.654,82
d) R$ 187.876,88
e) R$ 145.663,13
5. Em um título no valor nominal de R$ 6.500,00,
o desconto racional sofrido foi de R$ 2.707,31.
Se a taxa de juros de mercado for de 8,0% ao
mês, qual deverá ser o prazo de antecipação?
a) 3 meses
b) 6 meses
c) 7 meses
d) 12 meses
e) 2 meses
6. Determinar o prazo de antecipação de um
título de R$ 236.736,30, que deverá ser descontado a 9% ao mês de desconto composto e que gerou um valor descontado de R$
100.000,00.
a) 4 meses
b) 8 meses
c) 1 ano e 8 meses
d) 10 meses
e) 2 anos e 3 meses
7. Um título vai ser resgatado dois meses antes
do seu vencimento. Sabendo que foi adotado o critério do desconto racional composto, a taxa de 15% a.m., qual o valor descontado desse título de valor nominal igual a R$
100.000,00?
a) R$ 75.614,37
b) R$ 95.619,25
c) R$ 99.694,35
d) R$ 55.514,57
e) R$ 72.214,22
EDITORA APROVAÇÃO
18
Matemática Financeira
8. Um título vale em sua data de vencimento, R$
100.000,00. Um investidor quer saber quanto
tempo poderá antecipar seu resgate para que,
havendo um desconto comercial composto
de R$ 27.100,00. a taxa de juros compostos
cobrada seja de 10% a.a.
a) 4 anos
b) 3 anos
c) 2 anos
d) 1 ano
e) 7 anos
9. O valor atual comercial de um título de
R$ 700.000,00 vencível em 4 meses é R$
479.990,00. Qual a taxa de juros compostos
vigente?
a) 9% a.m.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 18% a.m.
e) 8% a.m.
10. Determinar o valor do desconto bancário que
um título de R$ 600.000,00, com vencimento
para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto, sabendo
que os encargos administrativos é de 5%?
a) R$ 160.650,00
b) R$ 170.160,00
c) R$ 180.650,00
d) R$ 190.650,00
e) R$ 200.160,00
11. Descontando-se um título de valor nominal
de R$ 10.500,00 dois meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto de 3% ao mês e
de acordo com o critério do desconto comercial composto, o valor do desconto na operação é de
a) R$ 600,00
b. R$ 610,00
c) R$ 615,15
d) R$ 620,55
e) R$ 639,45
DESCONTO SIMPLES
Desconto é uma operação financeira que retira
do valor de um título um certo valor, em virtude do
fato de não ter sido respeitado o prazo deste título. O valor que receberemos após ter sido retirado
o desconto do valor do título é chamado de valor
atual.
EDITORA APROVAÇÃO
Portanto, podemos definir desconto como sendo a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do título (valor atual).
D=N-A
Onde
D = desconto
N = valor nominal ou valor de face
ou valor futuro ou valor do título
A = valor atual ou valor do resgate
ou valor resgatado ou valor presente ou valor descontado
Temos dois tipos de DESCONTO SIMPLES a
ser estudado, pelo edital:
DESCONTO RACIONAL (Desconto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor
atual.
Dr = A . i . tf
Fórmulas que podemos usar no exercícios de
desconto simples racional:
N = A . ( 1 + i . tf )
Dr = A . i . tf
Dr =
N . i . tf .
( 1 + i . tf )
Onde
to do título
Dr = Desconto racional
i = taxa unitária
tf = tempo que falta para vencimenN = valor nominal
A = valor atual.
Observação: a unidade da taxa deve coincidir
com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula
DESCONTO COMERCIAL (Desconto por fora) é
juros que pagamos, calculado sobre o valor nominal.
Dc = N . i . tf
Fórmulas que podemos usar no exercícios de
desconto simples comercial:
A = N . ( 1 - i . tf )
Matemática Financeira
Dc = N . i . tf
Dc = A . i . tf .
( 1 - i . tf )
Onde
to do título
Dc = Desconto comercial
i = taxa unitária
tf = tempo que falta para vencimen-
Observação: a unidade da taxa deve coincidir
com a unidade do tempo para poder utilizar a fórmula
Relação entre os descontos racional e desconto comercial
1.) Dc > Dr
2.) Dc = Dr . ( 1 + i . tf )
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Qual é o valor racional nominal de um título,
cujo valor atual vale R$ 200,00, dois meses antes do vencimento e cuja taxa combinada fora
de 10% a.m.?
a) R$ 180,00
b) R$ 192,00
c) R$ 200,00
d) R$ 220,00
e) R$ 240,00
N=?
N = A (1 + i . t)
A = 200
tf = 2 m
i = 10% a.m. =
N = 200 . (1 +
10
100
N = 200 . (
2. Qual é o valor comercial atual de um título,
dois meses antes do vencimento, cujo valor
nominal vale R$ 240,00, e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.?
a) R$ 180,00
b) R$ 192,00
c) R$ 200,00
d) R$ 220,00
e) R$ 240,00
A = N (1 – i . t)
A=?
tf = 2 m
N = 240
N = valor nominal
A = valor atual.
10
. 2)
100
120
)
100
19
i = 10% a.m. =
10
. 2)
100
120
A = 240 . (
)
100
A = 240 . (1 –
10
100
A = 192
LETRA B
3. Calcule o desconto por dentro e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de
120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o
valor nominal de R$ 3.000,00?
a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00
b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00
c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00
d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00
e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00
Dr = ?
10
A = ? i = 120% a.a. = 10% a.m. =
100
N = 3000
tf = 5 m
N = A (1 + i . t)
3000 = A . (1 +
3000 = A . (
150
. 5)
100
150
)
100
A = 2000
Dr = 3000 – 2000
Dr = 1000
LETRA A
N = 240
LETRA E
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
20
4. Calcule o desconto por fora e o valor atual de
um título no sétimo mês após feito negócio.
Sabendo que a taxa combinada foi de 120%
a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00?
a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00
b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00
c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00
d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00
e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00
Dc = ?
A=?
10
i = 120% a.a. = 10% a.m. =
100
N = 3000
tf = 5 m
A = N (1 – i . t)
10
. 5)
100
50
A = 3000 . (
)
A = 1500 100
A = 3000 . (1 –
Dc = 3000 – 1500
Dc = 1500
LETRA B
Prática
1. Se tenho um título com valor nominal de R$
15.000,00.com vencimento daqui a dois anos e
sendo a taxa de juros simples corrente de 25%
a.a. qual o valor atual racional deste título hoje?
a) R$ 9.600,00
b) R$ 8.700,00
c) R$ 9.500,00
d) R$ 8.000,00
e) R$ 10.000,00
2. Se tenho um título com valor nominal de R$
10.400,00 com vencimento daqui a dois anos
e sendo a taxa de juros simples corrente de
24% a.a., qual o valor atual racional deste título 2 meses antes do seu vencimento?
a) R$ 10.315.00
b) R$ 12.610,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 9.615,00
e) R$ 14.655,00
EDITORA APROVAÇÃO
3. Se tenho um título com valor nominal de R$
28.000;00 com vencimento daqui a dois anos
e sendo a taxa de juros simples corrente de
24% a.a., qual! o valor atual racional deste título 4 meses depois de adquirido o título?
a) R$ 11.600,00
b) R$ 11.611,00
c) R$ 8.225,00
d) R$ 9.220,00
e) R$ 20.000,0
4. Se tenho um título com valor nominal de R$
10.000,00 e com vencimento daqui a dois
anos e sendo a taxa de juros simples corrente
de 24% .a.a., qual o valor atual comercial deste título 2 meses antes do seu vencimento?
a) R$ 10.315,00
b) R$ 12.610,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 9.600,00
e) R$ 14.855;00
5. Se tenho um título com valor nominal de R$
20.000,00 com vencimento daqui a dois anos
e sendo a taxa de juros simples corrente de
24% a.a., qual o valor atual comercial deste
título 4 meses depois de adquirido o título?
a) R$ 11.800,00
b) R$ 11.611,00
c) R$ 8.225,00
d) R$ 9.220,00
e) R$ 12.000,00
6. Determine o desconto racional obtido ao
reportar-se uma letra de valor nominal R$
7.200,00 a 10% a.m. 2 meses antes de seu vencimento.
a) R$ 12,000,00
b) R$ 1.200,00
c) R$ 120,00
d) R$ 120.000,00
e) R$ 12,00
7. Determine a desconto comercial sofrido por
um título de R$ 7.200,00 descontado a 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de
10% a.m..
a) R$ 144.000,00
b) R$ 14.400,00
c) R$ 8.440,00
d) R$ 1.440,00
e) R$ 11.200,00
Matemática Financeira
8. (TTN-89) Utilizando o desconto racional, o
valor que devo pagar por um título com seu
vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor
nominal for de Cr$ 29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de:
a) Cr$ 24.000,00
b) Cr$ 25.000,00
c) Cr$ 27.500,00
d) Cr$ 18.880,00
e) Cr$ 24,190,00
9. Quanto tempo antes de seu vencimento foi
paga uma letra de R$ 20.000,00, descontada a 6% a.a. o desconto comercial foi de R$
2.400,00?
a) 25 meses
b) 1 ano
c) 10 meses
d) 3 anos
e) 2 anos
10. Uma letra, faltando 8 meses para seu vencimento, sofre o desconto por fora de R$
3.200,00. Calcular o valor atual, sendo a taxa
de 12% a.a.
a) R$ 38.800,00
b) R$ 38.600,00
c) R$ 36.000,00
d) R$ 36.800,00
e) R$ 38.000,00
11. Uma letra de R$ 880.000,00 foi apresentada
para desconto racional, faltando 1 ano e 3
meses para o seu vencimento. A que taxa foi
descontada, se pagou R$ 800.000,00?
a) 10% a.a.
b) 9% a.a.
c) 8% a.a.
d) 7% a.a.
e) 6% a.a.
12. (TTN-92-RIO) O valor atual de um título é igual
a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa de
desconto sabendo-se que o pagamento foi
antecipado de 5 meses.
a) 200% a.a.
b) 20% a.m.
c) 25% a.m.
d) 28% a.m.
e) 220% a.a.
21
13. Um título obteve um desconto racional simples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de
mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu
vencimento. Qual deverá ser o nominal do título?
a) R$ 14.000,00
b) R$ 9.500,00
c) R$ 10.500,00
d) R$ 9.000,00
e) R$ 10.000,00
14. Um título obteve um desconto comercial simples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de
mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu
vencimento. Qual deverá ser o valor de resgate do título?
a) R$ 8.500,00
b) R$ 9.500,00
c) R$ 6.000,00
d) R$ 9.000,00
e) R$ 10.000,00
15. O desconto comercial simples de um título
seis meses antes do seu vencimento é de R$
600,00. Considerando uma taxa de 10% ao
mês, obtenha o valor correspondente no caso
de um desconto racional simples.
a) R$ 375,00
b) R$ 600,00
c) R$ 800,00
d) R$ 700,00
e) R$ 500,00
Equivalência de Capitais
no Juro Composto.
(Rendas variáveis)
O objetivo dessa matéria é trocar títulos que
vencem em datas futuras por outros títulos que vencem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro
objetivo desta matéria é calcular a taxa de juros que
uma empresa aplica ao trocar títulos.
O segredo da matéria é capitalizar (aumentar
o valor do título) o título, caso a troca seja por uma
data futura ou descapitalizá-lo (diminuir o valor do
título) , caso a troca seja por uma data anterior à do
vencimento do título.
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
22
Veja os gráficos abaixo para entender melhor o
processo.
Exemplo 1
onde
pitalizamos.
N é o valor nominal.
A é o valor atual.
i é a taxa.
t é o número de períodos que desca-
Exemplo de Capitalização de um título.
Vejamos abaixo o novo valor do título.
X
T
T+1
Quando capitalizamos um título, encontramos
o valor nominal dele. Para isso devemos utilizar a
seguinte fórmula.
N = A . (1 + i )T
Onde
lizamos.
X
X
1  i 1
T
N é o valor nominal.
A é o valor atual.
i é a taxa.
t é o número de períodos que capita-
Vejamos abaixo o novo valor do título.
X . 1  i 1
X
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Um capital de R$ 900,00 disponível em 90
dias, é equivalente a outro capital, disponível
em 150 dias, à taxa de 5% a.m., qual o valor do
outro capital?
a) R$ 879,35
b) R$ 987,70
c) R$ 992,25
d) R$ 995,50
e) R$ 1.008,00
900
T
T+1
X
T+1
90 d (3 m)
Exemplo 2
Exemplo de Descapitalização de um título.
X
T
T+1
Quando descapitalizamos um título, encontramos o valor atual dele. Para isso também devemos
utilizar a mesma fórmula, porém isolando o valor
atual.
A=
N
(1 + i )T
EDITORA APROVAÇÃO
150 d (5 m)
X = 900 . ( 1 + 5% )5 -3
X = 900 . ( 1 + 5% )2
x = 900 . 1,1025
x = 992,25
LETRA C
2. Qual o valor do capital, disponível em 210
dias, equivalentes a R$ 10.000,00, disponível
em 90 dias, à taxa de 10% a.m.?
a) R$ 13.331,00
b) R$ 14.641,00
c) R$ 15.400,00
d) R$ 17.350,00
e) R$ 18.151,00
Matemática Financeira
X
10000
90 d (3 m)
210 d (7 m)
X = 10000 . ( 1 + 10% )7 -3
X = 10000 . ( 1 + 10% )4
x = 10000 . 1,4641
x = 14641
LETRA B
4. Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores
de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e
6 meses. Considerando o regime de desconto
composto, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses títulos.
a) R$ 1.900,00
b) R$ 1.915,40
c) R$ 1.800,75
d) R$ 1.993,48
e) R$ 1.887,70
1000
3. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias,
capaz de substituir os seguintes pagamentos:
R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao
final de 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado é 10% a.m.?
a) R$ 398,00
b) R$ 405,15
c) R$ 370,18
d) R$ 359,00
e) R$ 365,00
220
180
60 d (2 m)
90 d (3 m)
120 d (4 m)
X
X = 180 . ( 1 + 10% )3-2 +
220
1  10% 1
X = 180 . ( 1 + 10% )1 +
220
X = 180 . 1,1 + 1,1
X = 198 + 200
X = 398
LETRA A
1m
1000
2m
1000
3m
4m
X
6m
X
X + X . ( 1 + 10% )6-4 = 1000 . ( 1 + 10% )6-3 +
1000 . ( 1 + 10% )6-2 + 1000 . ( 1 + 10% )6-1
X + X . ( 1 + 10% )2 = 1000 . ( 1 + 10% )3 + 1000
. ( 1 + 10% )4 + 1000 . ( 1 + 10% )5
X + X . 1,21 = 1000 . 1,331 + 1000 . 1,4641 +
1000 . 1,6105
2,21 . X = 1331 + 1464,10 + 1610,50
2,21 . X = 4405,60
X=
220
1  10% 43
23
4405,60
2,21
X = 1993,48
LETRA D
Prática
1. Um capital de R$ 1.000,00 disponível em 90 dias,
é equivalente a um outro capital, disponível em
150 dias, à taxa de 5% ao mês de desconto composto, qual o valor do outro capital?
a) R$ 1.276,30
b) R$ 1.107,70
c) R$ 1.102,50
d) R$ 1.055,50
e) R$ 1.108,00
EDITORA APROVAÇÃO
24
Matemática Financeira
2. Qual será a taxa anual de desconto necessário, para que os capitais de R$ 2.000,00 e R$
2.200,00, vencíveis daqui a 2 e 3 anos, respectivamente, sejam equivalentes na data atual
pelo regime de capitalização composta.
a) 12,5%
b) 8,5%
c) 11,5%
d)11,4%
e)10%
3. Qual o valor do capital, vencível em 3 anos,
equivalente a R$ 115.927,40 vencível em 8 anos,
à taxa de 3% ao ano de desconto composto?
a) R$ 260.000,00
b) R$ 166.056,56
c) R$ 166.250,00
d) R$ 160.500,25
e) R$ 100.000,00
4. Um título de R$ 7.700,00 com vencimento para
120 dias, deve ser substituído por outro título,
com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto composto vigente é 10% ao mês, qual
será o valor do novo título?
a) R$ 3.000,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 7.000,00
5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de
substituir os seguintes pagamentos: R$ 100,00 ao final
de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de
desconto composto de mercado é 10% ao mês?
a) R$ 310,00
b) R$ 340,15
c) R$ 370,18
d) R$ 329,00
e)R$ 350,23
6. Um título de R$ 6.000.000,00 com vencimento ao final de 6 meses, a contar da época atual.
Deve ser liquidado por meio de 2 pagamentos iguais, o primeiro, ao final de 3 meses, e
o segundo, ao final de 5 meses. Sendo a taxa
de juros compostos de mercado 10% ao mês,
calcular o valor de cada pagamento.
a) R$ 2.468.120,12
b) R$ 1.418.120,11
c) R$ 2.400.000,00
d) R$ 1.468.120,00
e)R$ 2.000.000,00
7. Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores
de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e
6 meses. Considerando o regime de desconto
composto, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor
nominal desses títulos.
a) R$ 1.900,00
b) R$ 1.915,40
c) R$ 1.800,75
d) R$ 1.986,56
e) R$ 1.887,70
Equivalência de Capitais
no Juro Simples.
(Rendas variáveis
e uniformes)
O objetivo dessa matéria é trocar títulos que
vencem em datas futuras por outros títulos que vencem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro
objetivo desta matéria é calcular a taxa de juros que
uma empresa aplica ao trocar títulos.
O esquema da matéria é realizar a troca dos títulos na data focal zero, a não ser que no enunciado
seja específica a data de equivalência.
Quando não especificado o tipo de desconto
usaremos como convenção o desconto racional.
Irei dividir este tópico em duas partes: equivalência usando desconto racional e equivalência utilizando desconto comercial.
Primeiro caso: equivalência usando
desconto racional
Veja os gráficos abaixo para entender melhor o
processo.
Caso 1
Data de equivalência no futuro.
X
T
EDITORA APROVAÇÃO
T+1
Matemática Financeira
Quando a data de equivalência for no futuro,
devemos capitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula.
N = A . (1 + i .t )
Onde
N é o valor nominal.
A é o valor atual.
i é a taxa.
t é o número de períodos que capitalizamos.
Vejamos abaixo o novo valor do título.
25
Vejamos abaixo o novo valor do título.
X
X
1  i .1 
T
T+1
Alguns exemplos para facilitar o entendimento.
Exercícios Exemplos Resolvidos
X . 1  i .1 
X
T
T+1
Caso 2
1. Uma impressora é vendida à vista por R$
300,00 à vista ou com uma entrada de 30% e
mais um pagamento de R$ 220,50 após 30 dias.
Qual a taxa mensal envolvida na operação?
a) 5%
b) 2%
c) 10%
d) 6%
e) 20%
Data de equivalência no passado.
300
X
T
T+1
Quando a data de equivalência for no passado,
devemos descapitalizar o(s) título(s), desse modo,
iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso,
também devemos utilizar a mesma fórmula, porém
isolando o valor atual.
N
A=
(1 + i . t )
Onde
N é o valor nominal.
A é o valor atual.
i é a taxa.
t é o número de períodos que descapitalizamos.
0
30 d (1 m)
90
220,50
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
26
300 = 90 +
220,50
(1  i )
220,50
(1  i )
210 =
210 + 210i = 220,50
210i = 10,50
3. Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com vencimentos respectivos em 150 e 360 dias, são
equivalentes. Qual a taxa mensal de desconto
simples racional vigente?
a) 4%
b) 5%
c) 6%
d) 7%
e) 8%
10,50
i = 210
i = 0,05 = 5% am
LETRA A
2. Qual o valor do capital, disponível em 120
dias, equivalente a R$ 10.500,00 disponível
em 75 dias à taxa de 80% ao ano de desconto
simples racional?
a) R$ 10.400,00
b) R$ 11.400,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 11.000,00
e) R$ 10.500,00
80% ao ano de desconto simples racional
10500
X

120 
80
75
80



.
.
 1

 1

100 360 
100 360 


10500
X

2 120 
2 75 


.
. 
 1
 1

100 9 
100 9 


10500
X
=
 1140 
 1050 




 900 
 900 
10500
X
=
1050
1140
10500 .1140
1050
X=
X = 11400
LETRA B
EDITORA APROVAÇÃO
700
500
0
150 d (5 m)
360 d (12 m)
500
700

(1  5i ) (1  12i )
5
7

(1  5i ) (1  12i )
5 + 60i = 7 + 35i
25i = 2
2
i = 25
i = 0,08 = 8% a.m.
LETRA D
Considerações Finais
• Sempre que realizarmos equivalência
de capitais, iremos realizar a equivalência na data focal zero, a não ser que
no enunciado seja especificado uma
data de equivalência. É importante que
fique bem claro que quando o enunciado especificar uma data focal, fique
bem especificado qual será a data. Tem
que estar escrito algo tipo: “faça a equivalência na data focal x”, caso não seja
especificado claramente a data focal,
iremos utilizar a data focal zero.
• Quando não especificado o tipo de desconto usaremos como convenção o desconto racional.
Matemática Financeira
Segundo caso: equivalência usando
desconto comercial
Veja os gráficos abaixo para entender melhor o
processo.
Quando a data de equivalência for no passado,
devemos descapitalizar o(s) título(s), desse modo,
iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso,
também devemos utilizar a mesma fórmula, porém
isolando o valor atual.
Caso 1
A = N . (1 − i .t )
Data de equivalência no futuro.
Onde
pitalizamos.
X
T
T+1
N é o valor nominal.
A é o valor atual.
i é a taxa.
t é o número de períodos que desca-
Vejamos abaixo o novo valor do título.
Quando a data de equivalência for no futuro,
devemos capitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula.
N =
X
X . 1  i .1 
A
(1 − i . t )
Onde
lizamos.
27
N é o valor nominal.
A é o valor atual.
i é a taxa.
t é o número de períodos que capita-
T
T+1
Alguns exemplos para facilitar o entendimento.
Exercícios Exemplos Resolvidos
Vejamos abaixo o novo valor do título.
X
1  i .1 
X
T
T+1
1. Uma empresa deve um título de valor R$
1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um
outro que vencerá na data 5, usando uma taxa
simples comercial de 10% ao período, qual o
valor do novo título.
a) R$ 1.760,00
b) R$ 1.820,00
c) R$ 1.950,00
d) R$ 1.880,00
e) R$ 1.700,00
Caso 2
Data de equivalência no passado.
X
1.300
X
0
T
3
5
T+1
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
28
Devemos descapitalizar os dois títulos e igualar eles, para o obter o valor de X.
10 
10 


1300 .  1 
. 3  X .  1
. 5
100 
100 


1300 0,7 = X . 0,5
X = 1820
LETRA B
O novo título terá o valor de R$ 1.820,00 na
data 5.
2. Um capital de R$ 900,00 disponível em 40 dias,
é equivalente a outro capital, disponível em 100
dias, à taxa de 60% a.a. de desconto simples comercial, qual o valor do outro capital?
a) R$ 1.000,00
b) R$ 2.000,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 1.008,00
X
900
0
40 d
60% a.a. de desconto simples comercial
100 d
60 40 
60 100 


900 .  1 
.
.

  X .  1
100 360 
100 360 


1 40 
1 100 


900 .  1 
.
.

  X .  1
100 6 
100 6 


900 .
560
500
=X.
600
600
900 . 560
X = 500
X = 1008
LETRA E
EDITORA APROVAÇÃO
Considerações Finais
• Sempre que realizarmos equivalência
de capitais, iremos realizar a equivalência na data focal zero, a não ser que
no enunciado seja especificado uma
data de equivalência. É importante que
fique bem claro que quando o enunciado especificar uma data focal, fique
bem especificado qual será a data. Tem
que estar escrito algo tipo: “faça a equivalência na data focal x”, caso não seja
especificado claramente a data focal,
iremos utilizar a data focal zero.
• Quando não especificado o tipo de desconto usaremos como convenção o desconto racional.
Prática
1. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias,
equivalente a R$ 840.000,00 vencível em 30
dias, à taxa de 80% ao ano de desconto simples racional?
a) R$ 860.000,00
b) R$ 866.000,00
c) R$ 866.250,00
d) R$ 860.500,00
e) R$ 860.100,00
2. (AFC/93) Determinar a taxa de juros mensal
para que sejam equivalentes hoje os capitais
de Cr$ 1.000,00 vencível em dois meses e Cr$
1.500,00 vencível em três meses, considerando-se o desconto simples comercial.
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 33,33%
3. Um título de valor nominal de R$ 500,00 com
vencimento daqui a 1 mês, precisa ser trocado por outro de valor nominal de R$ 700,00
com vencimento daqui a três meses. Supondo
o critério de desconto racional simples, qual a
taxa mensal que deverá ser considerada?
a) 25%
b) 20%
c) 30%
d) 15%
e) 10%
Matemática Financeira
4. Um título de R$ 50.000,00 e outro de R$
80.000,00, vencem respectivamente em 60 e
120 dias. Calcular o valor nominal de um único título com vencimento par 30 dias, a fim de
substituir os dois primeiros. A taxa de desconto simples comercial é de 20% ao mês.
a) R$ 57.500,00
b) R$ 72.000,00
c) R$ 55.000,00
d) R$ 60.500,00
e) R$ 65.000,00
5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias,
capaz de substituir os seguintes pagamentos:
R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 200,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples
comercial de mercado é 20% ao mês?
a) R$ 300,00
b) R$ 450,00
c) R$ 370,00
d) R$ 350,00
e) R$ 200,00
6. O portador de um título de R$ 800.000,00
com vencimento para 60 dias, quer trocá-lo
por dois outros, de igual valor, vencíveis em
30 e 90 dias. Qual o valor de cada novo título se a taxa de desconto simples comercial de
mercado é 120% ao ano?
a) R$ 250.000,00
b) R$ 350.000,00
c) R$ 450.000,00
d) R$ 550.000,00
e) R$ 400.000,00
7. Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores
de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4
e 6 meses. Considerando o regime de desconto comercial simples, a uma taxa de 8% a.m.,
qual o valor nominal desses títulos.
a) R$ 1.900,00
b) R$ 2.000,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 2.100,00
e) R$ 1.920,00
8. Uma empresa deve um título de valor R$
1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por
um outro que vencerá na data 5, usando uma
taxa simples de 10% ao período, qual o valor
do novo título.
29
a) R$ 1.400,00
b) R$ 1.600,00
c) R$ 1.300,00
d) R$ 1.200,00
e) R$ 1.500,00
9. Um som é vendido da seguinte forma: entrada
de R$ 500,00 e duas prestações iguais de R$
600,00. A primeira daqui a 30 dias e a segunda
daqui a 90 dias. Se a loja opera com uma taxa
de desconto igual a 20% a.m., qual o preço à
vista deste som?
a) R$ 1.375,00
b) R$ 1.220,00
c) R$ 1.750,00
d) R$ 1.300,00
e) R$ 1.500,00
10. Uma empresa devedora de três títulos pagáveis em 6, 12 e 18 meses, com valores respectivamente de R$ 4.400,00, R$ 6.000,00 e R$
7.800,00. Verificando que apenas daqui a 12
meses possuirá recursos disponíveis, propõe
liquidar esses três títulos nesta data. Qual
será o valor deste pagamento, se a taxa de juros simples for de 20% a.a.?
a) R$ 15.000,00
b) R$ 17.500,00
c) R$ 20.000,00
d) R$ 22.500,00
e) R$ 18.000,00
11. Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 6, 10 e 30 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de
mesmo valor nominal com vencimento daqui
a 40 e 60 meses. Considerando o regime de
desconto simples racional, a uma taxa de 10%
a.m., qual o valor nominal desses títulos.
a) R$ 2.250,00
b) R$ 2.750,00
c) R$ 3.000,00
d) R$ 3.750,00
e) R$ 4.250,00
12. Qual o valor do capital, disponível em 80 dias,
equivalente a R$ 800,00 disponível em 60 dias
à taxa de 50% ao ano de desconto simples comercial?
a) R$ 900,00
b) R$ 915,00
c) R$ 825,00
d) R$ 805,00
e) R$ 925,00
EDITORA APROVAÇÃO
30
Matemática Financeira
13. Um título de R$ 7.000,00 com vencimento
para 120 dias, deve ser substituído por outro
título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa
de desconto simples comercial vigente é de
10% ao mês, qual será o valor do novo título?
a) R$ 3.000,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 7.000,00
C = 10000
t=1a=2s
i = 44% a.a. → taxa nominal
devemos transformar a taxa nominal em
taxa efetiva para a resolução do exercício.
Usaremos o conceito de taxas equivalentes
(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2
(1 + 44%)1 = (1 + i)2
1,44 = (1 + i)2
14. Uma empresa devedora de dois títulos de $
30.000,00 cada, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja liquidar a dívida com um único pagamento no quinto mês. Calcular o valor desse pagamento empregando a taxa simples comercial
de 15% a.m.
a) $ 114.000,00
b) $ 90.000,00
c) $ 100.000,00
d) $ 110.000,00
e) $ 120.000,00
1,4 = 1 + i
1,2 = 1 + i
i = 0,2
i = 20% (suposta taxa efetiva)
M = C . (1 + i)t
M = 10000 . (1 + 44%)1
M = 10000 . 1,44
M = 14400
Usando a suposta taxa efetiva, repare que
iremos obter o mesmo montante, sendo
assim não haveria necessidade de transformação das taxas e conseqüentemente não
haveria a necessidade da existência desta
matéria. Em virtude disso, quando formos
transformar a taxa nominal em taxa efetiva
usaremos sempre o conceito de taxas proporcionais.
TAXAS NOMINAL E
TAXA EFETIVA NO
COMPOSTO
TAXA NOMINAL: é a taxa que não coincide
com o período de capitalização de uma aplicação
M = C . (1 + i)t
TAXA EFETIVA: é a taxa que coincide com o
período de capitalização de uma aplicação
Observação: Para transformar uma taxa nominal em efetiva ou vice-versa, devemos utilizar o conceito de proporcionalidade entre as taxas.
Veja o exemplo abaixo para uma melhor compreensão.
Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros
compostos, durante 1 ano, à taxa de 44% a.a. com
capitalização semestral. Qual o montante dessa
aplicação?
Resolução errada usando taxas equivalentes:
EDITORA APROVAÇÃO
M = 10000 . (1 + 20%)2
M = 10000 . 1,44
M = 14400
Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 44%
a.a. com capitalização semestral. Qual o montante dessa aplicação?
Resolução correta usando taxas proporcionais
C = 10000
t=1a=2s
i = 44% a.a. → taxa nominal
devemos transformar a taxa nominal em taxa
efetiva para a resolução do exercício.
i = 22% a.m. → taxa efetiva
Matemática Financeira
31
M = C . (1 + i)t
M = 10000 . (1 + 44%)1
M = 10000 . 1,44
M = 1400
M=?
C = 1000000
t=6m
i = 36% a.a. → taxa nominal
Perceba-se como o valor do montante será
maior e diferente.
M = C . (1 + i)t
M = 10000 . (1 + 22%)2
M = 10000 . 1,4884
M = 14884
devemos transformar a taxa nominal em taxa
efetiva para a resolução do exercício.
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Um capital de R$ 1.000.000,00 foi aplicado
a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de
60% a.a. com capitalização mensal. Qual o
montante dessa aplicação?
a) R$ 1.795.900,00
b) R$ 1.600.567,00
c) R$ 1.700.000,00
d) R$ 1.450.340,00
e) R$ 1.610.000,00
C = 1000000
t = 1 a = 12 m
i = 60% a.a. → taxa nominal
i = 3% a.m. → taxa efetiva
M = C . (1 + i)t
M = 1000000 . (1 + 3%)6
M = 1000000 . 1,1941
M = 1194000
LETRA C
3. Determine o prazo de uma aplicação de R$
550.000,00, a juros compostos, capitalizados
mensalmente, se desejo obter um montante de R$ 1.106.215,00, a taxa de juro de 15%
a.m.
a) 2 meses
b) 3 meses
c) 4 meses
d) 5 meses
e) 6 meses
devemos transformar a taxa nominal em taxa
efetiva para a resolução do exercício.
t=?m
C = 550000
M = 1106215
i = 15% a.m.
i = 5% a.m. → taxa efetiva
a taxa em questão já é efetiva.
M = C . (1 + i)
t
M = 1000000 . (1 + 5%)12
M = 1000000 . 1,7959
M = 1795900
LETRA A
2. Qual o montante de uma aplicação de R$
1.000.000,00, a juros compostos, durante 6
meses à taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente?
a) R$ 1.167.066,00
b) R$ 1.450.597,00
c) R$ 1.194.000,00
d) R$ 1.190.340,00
e) R$ 1,203,456,00
M = C . (1 + i)t
1106215 = 550.000 (1 + 15%)t
1106215
)
= (1+ 6%
550000
t
2,0114 = (1 + 15%)t
procurar na coluna do 15% o fator 2,0114 e
ver a qual tempo está associado este fator.
t=5m
LETRA D
EDITORA APROVAÇÃO
32
Matemática Financeira
4. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$
1.200.000,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$
3.021.720,00?
a) 4% a.m.
b) 8% a.m.
c) 5% a.m.
d) 9% a.m.
e) 10% a.m.
C = 1200000
t = 1 a = 12 m
M = 3021720
i = ?% a.m.
M = C . (1 + i)t
3021720 = 1200000 . (1 + i)12
3021720
= (1 + i )12
1200000
2,5181 = (1 + i)12
procurar na linha do tempo 12 o fator 2,5181
e ver a taxa que está associado este fator.
i = 8% a.m.
LETRA B
5. A taxa de juros nominal de 48% a.s., capitalizada mensalmente, equivale à taxa semestral
de:
a) 8,00%
b)17,00%
c) 25,00%
d) 48,00%
e) 58,69%
i = 48% a.s. → taxa nominal
devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício.
i = 8% a.m. → taxa efetiva
8% a.m. → % a.s.
(1 + 8%)6 = (1 + i)1
1,5869 = 1 + i
i = 1, 5869 -1
i = 0, 5869 (taxa equivalente unitária)
i = 58,69% (taxa equivalente percentual)
LETRA E
EDITORA APROVAÇÃO
Prática
1. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$
1.200.000,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$
2.155.027,20.
a) 4% a.m.
b) 8% a.m.
c) 5% a.m.
d) 9% a.m.
e) 10% a.m.
2. Um título de valor nominal de R$ 500.000,00
vai ser resgatado três meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional
composto. Sabendo-se que a taxa de desconto racional é de 96% a.a., qual o valor descontado e o desconto, considerando capitalização mensal?
a) R$ 396.916,00 e R$ 103.083,88
b) R$ 390.900,00 e R$ 100.080,00
c) R$ 396.010,00 e R$ 103.080,88
d) R$ 300.916,00 e R$ 100.083,88
e) R$ 306.916,00 e R$ 100.080,88
3. (AFC/94) Quanto se deve investir hoje, à taxa
nominal de juros de 20% ao no, capitalizados
trimestralmente, para se obter R$ 100.000,00
daqui a 5 anos?
a) R$ 37.680,00
b) R$ 30.000,00
c) R$ 26.530,00
d) R$ 23.020,00
e) R$ 8.333,00
4. (AFC/93) A taxa de juros nominal de 30% ao
semestre, capitalizados mensalmente equivale à taxa semestral de:
a) 5%
b) 12%
c) 15%
d) 30%
e) 34%
5. (AFC/94) Um banco paga juros compostos
de 30% ao ano, com capitalização semestral.
Qual a anual taxa efetiva?
a) 27,75%
b) 29,50%
c) 30%
d) 32,25%
e) 35%
Matemática Financeira
6. Um banco paga juros compostos de 20% a.a., com
capitalização semestral, Qual a taxa anual efetiva?
a) 20%
b) 25%
c) 23%
d) 21%
e) 24%
TAXA EFETIVA E NOMINAL NO JURO SIMPLES
Sempre que o valor do desconto comercial simples for equivalente ao desconto racional simples,
a taxa do desconto comercial será chamada de taxa
nominal enquanto que a taxa do desconto racional
será chamada de taxa efetiva. É interessante que
quando acontecer o mencionado acima, o valor atual racional e o valor atual comercial também serão
iguais.
Observação: Repare que para resolver um exercícios desta matéria o valor nominal ou o valor atual
são desprezíveis. O motivo desta conclusão está no
fato que ao deduzir as duas fórmulas acima, os valores atuais e nominais são simplificados ao deduzir as
duas fórmulas.
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. Desconto simples por fora a uma taxa de 20%
ao mês aplicado por 1 mês é equivalente a
desconto por dentro, também aplicado por 1
mês, a uma taxa mensal de:
a) 10%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
Saliento que alguns autores atribuem outros
nomes paras essas duas taxas, veja abaixo:
ir = ?% a.m.
ic = 20% a.m. = 0,20
tf = 1m
Taxa do desconto racional = taxa efetiva = taxa
real = taxa linear = taxa de juros simples = taxa implícita.
ir =
Taxa do desconto comercial = taxa nominal =
taxa estabelecida.
ir 
Relação entre as taxas efetivas e comerciais
ir 
2.)
mos: ic =
N .ir .t simplificando N e t, teN .ic .t =
(1 + ir .t )
ir
(1+ ir .t )
D r = Dc
3.)
mos: ir =
A.ir .t =
ic
(1− ic .t )
A.ic .t simplificando A e t, te(1 − ic .t )
ic
(1− ic .t )
0,20
1  0,20.1
0,20
0,80
ir = 0,25 = 25% a.m.
LETRA E
1.) A taxa efetiva será sempre maior que a taxa
nominal.
Dc = D r
33
2. Calcule a taxa simples efetiva mensal de uma
aplicação feita utilizando desconto simples
por fora a uma de 20% ao mês por 1 mês.
a) 10%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
Antes da resolução desta, é bom enfatizar que
o enunciado dela apresenta a mesma idéia do
enunciado da questão número três.
EDITORA APROVAÇÃO
34
Matemática Financeira
ir = ?% a.m.
ic = 20% a.m. = 0,20
tf = 1m
ic
(1− ic .t )
ir =
0,20
ir 
1  0,20.1
0,20
ir 
0,80
ir = 0,25 = 25% a.m.
LETRA E
3. Desconto simples por dentro a uma taxa de
25% ao mês aplicado por 1 mês é equivalente
a desconto por fora, também aplicado por 1
mês, a uma taxa mensal de:
a) 10%
b) 15%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
ic = ?% a.m.
ir = 25% a.m. = 0,25
tf = 1m
ic =
ic 
ir
(1+ ir .t )
0,25
1  0,25.1
ic 
0,25
1,25
ic = 0,20 = 20% a.m.
LETRA D
4) Calcule a taxa simples nominal mensal de uma
aplicação feita utilizando desconto simples por
dentro a uma de 25% ao mês por 1 mês.
a) 10%
b)15%
c) 17%
d)20%
e) 25%
Antes da resolução desta, é bom enfatizar que
o enunciado dela apresenta a mesma idéia do
enunciado da questão número três.
ic = ?% a.m.
ir = 25% a.m. = 0,25
tf = 1m
ic =
ir
(1+ ir .t )
ic 
0,25
1  0,25.1
ic 
0,25
1,25
ic = 0,20 = 20% a.m.
LETRA D
EDITORA APROVAÇÃO
Prática
1. (Controladoria-RJ/00) Uma promissória de R$
240.000,00 é descontada em um banco 60 dias
antes do vencimento pelo desconto comercial
simples, aplicando-se uma determinada taxa
de desconto. Se a operação resulta em uma
taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao
mês, a taxa mensal de desconto comercial
simples praticada pelo banco é de
a) 15,0%
b) 10,0%
c) 9,5%
d) 8,5%
e) 6,5%.
2. Calcule taxa de juros simples mensais que um
título descontado pelo desconto comercial,
utilizando taxa de 16% a.b. em 5 meses:
a) 0,80%
b) 6,50%
c) 13,3%
d)40,0%
e)80,0%.
3. Calcule taxa nominal simples mensal que um
título descontado pelo desconto racional simples, utilizando taxa de 6% a.m. em 5 meses:
a) 5,00%
b) 3,59%
c) 2,38%
d) 4,62%
e) 5,50%.
4. (AFC–05) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00.
A taxa de desconto comercial simples foi de
60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o
valor mais próximo da taxa efetiva da operação
são, respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês
b)R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês
c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano
d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano
e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês
Matemática Financeira
RENDA CERTA
OU RENDA UNIFORME
(Rendas Uniformes)
O objetivo desta matéria é o mesmo da matéria
anterior, porém nesta matéria os títulos apresentam os mesmos valores e os vencimentos são consecutivos, o que nos levará a ter um jeito alternativo e
mais rápido para resolver os exercícios.
Iremos apresentar o novo jeito de resolver os
exercícios de equivalência de capitais que se adequam ao caso abordado acima.
Quando lidamos com uma série de pagamentos
(entradas) iguais e sucessivas, teremos dois casos de
exercícios para resolver:
• O primeiro caso iremos encontrar o valor atual dos pagamentos iguais e sucessivos. Podemos dizer que esse valor
é o valor do financiamento obtido por
uma empresa ou ainda o valor do empréstimo que a empresa realizou.
• O segundo caso iremos encontrar o valor que a empresa obterá se aplicar os
pagamentos dos seus clientes em uma
data futura às datas dos pagamentos.
Vamos abordar o primeiro caso: Cálculo do Valor Atual.
a) Renda Certa Postecipada, também chamada
de Imediata: é aquela onde o primeiro pagamento
acontecerá um período após contrair o empréstimo
ou o financiamento.
P
t-1
t
t+1
t+2 t+3 t+4 t+5 t+6
A
pagas.
renda certa.
Onde
A é o valor atual da renda certa.
i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos.
n é o número de prestações a serem
P é o valor de cada pagamento da
a n ,i =
(1 + i ) n − 1
i . (1 + i ) n
Sabe-se que
é um fator que normalmente é dado das provas. (segunda
tabela da nossa apostila). Caso este fator não for
dado, para resolver exercícios de renda certa, devemos utilizar os mesmo conceitos de equivalência de
capitais.
b) Renda Certa Antecipada: é aquela onde o
primeiro pagamento acontecerá no ato do empréstimo ou do financiamento
P
t
t+1
t+2 t+3 t+4 t+5 t+6
A
Para calcular o valor atual desta renda certa,
ignorar a primeira prestação no fluxo e trabalhar
como se a renda certa fosse postecipada com uma
prestação a menos e depois para obter o valor atual
é só somar a prestação retirada.
A = P . an-1,i + P ou A = P . ( an-1,i + 1)
Onde
A é o valor atual da renda certa.
i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos.
n é o número de prestações a serem
pagas.
P é o valor de cada pagamento da
renda certa.
c) Renda Certa Diferida: é aquela onde o primeiro pagamento acontecerá períodos após ser feito o empréstimo ou o financiamento.
Para calcular o valor atual desta renda certa,
basta usar a seguinte fórmula:
A = P . an,i
35
P
t
t+1
t+2 t+3
t+4
t+5 t+6
t+7 t+8 t+9
A
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
36
Para calcular o valor atual desta renda certa,
devemos adicionar quantas prestações forem necessárias para transformar a renda certa diferida em
renda certa postecipada e depois retirar estas prestações adicionadas com o fator an,i para obter o valor
atual do fluxo.
10.000
0
4
A = P . an,i
A = P . ( an+x,i - ax,I )
Onde
A é o valor atual da renda certa.
i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos.
n é o número de prestações a serem
pagas.
P é o valor de cada pagamento da
renda certa.
x é o número de prestações acrescentadas.
Veja os exemplos abaixo para entender melhor
como resolver problemas de renda certa, com cálculo de valor atual.
Exercícios Exemplos Resolvidos
1. O valor atual de uma Anuidade Imediata
de 4 pagamentos mensais no valor de R$
10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. é:
Este mesmo exercício, poderia se enunciado
da seguinte maneira:
1. Uma empresa deve pagar a um banco um financiamento composto de 4 pagamentos
mensais no valor de R$ 10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro
pagamento acontece um mês após recebido
o financiamento, calcule o valor do financiamento:
a) R$ 31.699,00
b) R$ 51.051,00
c) R$ 46.410,00
d) R$ 26.198,00
e) R$ 34.868,00
EDITORA APROVAÇÃO
3
t+9
A
2
A
P
t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8
1
A = 10000 . a4,10%
A = 10000 . 3,1699
A = 31699
LETRA A
2. O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$
10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. é:
Este mesmo exercício, poderia se enunciado
da seguinte maneira:
2. Uma empresa deve pagar a um banco um financiamento composto de 4 pagamentos
mensais no valor de R$ 10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro
pagamento acontece no ato do recebimento
o financiamento, calcule o valor do financiamento:
a) R$ 31.699,00
b) R$ 51.051,00
c) R$ 46.410,00
d) R$ 26.198,00
e) R$ 34.869,00
10.000
0
1
A
2
3
Matemática Financeira
Para calcular o valor atual desta renda certa,
devemos ignorar a primeira prestação no fluxo e
trabalhar como se a renda certa fosse postecipada
com uma prestação a menos e depois para obter
o valor atual é só somar a prestação retirada.
Transformando a renda certa antecipada em
postecipada.
10.000
0
1
2
3
A
10.000
0
1
2
3
4
3. Determinar o valor atual de uma renda certa,
diferida de 3 meses, com 4 pagamentos mensais e iguais no valor de R$ 10.000,00, à taxa
composta de 10% a.m. é:
Este mesmo exercício, poderia se enunciado
da seguinte maneira:
3. Uma empresa deve pagar a um banco um financiamento composto de 4 pagamentos mensais
no valor de R$ 10.000,00, à taxa composta de 10%
a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece
três períodos após o recebimento do financiamento, calcule o valor do financiamento:
a) R$ 31.699,00
b) R$ 51.051,00
c) R$ 46.410,00
d) R$ 26.198,00
e) R$ 34.868,00
5
6
A
Para calcular o valor atual desta renda certa,
devemos acrescentar duas prestações ao fluxo,
transformando a renda certa diferida em renda
certa postecipada e depois para obter o valor
atual basta subtrair o fator an,i das parcelas que
acrescentamos.
Transformando a renda certa diferida em postecipada (repare que acrescentamos duas parcelas).
A = P . an-1,i + P
A = 10.000 . a3,10% + 10000
A = 10.000 . 2,4869 + 10000
A = 34869
LETRA E
37
10.000
0
1
2
3
4
5
6
A
A = P . ( an+x,i - ax,I )
A = 10000 . ( a6,10% - a2,10% )
A = 10000 . ( 4,3553 - 1,7355 )
A = 10000 . ( 2,6198 )
A = 26198
LETRA D
Vamos abordar o segundo caso: Cálculo do Montante.
Neste caso, teremos duas abordagens, porém
diferentemente do primeiro caso não teremos nomes para estas abordagens.
a.) Primeira abordagem: nesta abordagem
calcularemos o montante de uma renda certa na
data do último pagamento ou do último recebimento das parcelas que compõe a renda certa. Veja
o fluxo abaixo:
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
38
Para calcular o montante desta renda certa,
basta usar a seguinte fórmula:
P
M = P . ( sn+x,i – sx,i )
t+1 t+2
t+3
t+4
t+5
t+6
M
Para calcular o montante desta renda certa,
basta usar a seguinte fórmula:M = P . sn,i
Onde
M é o montante da renda certa.
i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos.
n é o número de prestações a serem
pagas.
P é o valor de cada entrada da renda
certa.
(1 + i ) n
s n ,i =
−1
sabe-se que
é um fator
i
que normalmente é dado das provas. (terceira tabela da nossa apostila). Caso este fator não for dado,
para resolver exercícios de renda certa, devemos
utilizar os mesmo conceitos de equivalência de capitais.
b.) Segunda abordagem: nesta abordagem
calcularemos o montante de uma renda certa em
uma data onde o último pagamento ou o último recebimento das parcelas que compõe a renda certa
não coincide com o montante que desejamos calcular. Veja o fluxo abaixo:
Onde
M é o montante da renda certa.
i é a taxa empregada na descapitalizações dos pagamentos.
n é o número de prestações a serem
pagas.
P é o valor de cada entrada da renda
certa.
x é o número de prestações acrescentadas.
Veja os exemplos abaixo para entender melhor
como resolver problemas de renda certa, com cálculo de montante.
Exercícios Exemplos Resolvidos
4. Aplica-se, mensalmente, R$ 10.000,00 durante 4 meses, no início de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante,
no início do 4º mês?
a) R$ 31.698,65
b) R$ 51.051,00
c) R$ 46.410,00
d) R$ 26.198,00
e) R$ 34.868,52
10.000
início
1
t+3
t+4
t+5
t+6
t+7
t+8
t+9
4
t+10
M
Caso o último título da renda certa não coincidir com o valor do montante que queremos calcular
devemos acrescentar títulos e depois retirá-los.
Olhe o fluxo abaixo para entender o explicado.
P
t+1 t+2
3
M
P
t+1 t+2
2
t+3
t+4
t+5
t+6
t+7
t+8
t+9
t+10
M
EDITORA APROVAÇÃO
M = P . sn,i
A = 10000 . s4,10%
A = 10000 . 4,6410
A = 46410
LETRA C
5. Aplica-se, mensalmente, R$ 10.000,00 durante 4 meses, no início de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante,
no final do 5º mês?
a) R$ 51.051,00
b) R$ 56.156,00
c) R$ 46.410,00
Matemática Financeira
d) R$ 57.156,10
e) R$ 41.051,00
Prática
10.000
1
2
3
4
5
6
M
Para calcular o montante desta renda certa,
devemos acrescentar duas prestações ao fluxo,
fazendo com que a última prestação coincida
com o valor que queremos calcular e depois para
obter o montante basta subtrair o fator sn,i das
parcelas que acrescentamos.
10.000
1
2
39
3
4
5
6
M
A = P . ( sn+x,i - sx,I )
A = 10000 . ( s6,10% - s2,10% )
A = 10000 . ( 7,7156 - 2,1000 )
A = 10000 . ( 5,6156 )
A = 56156
LETRA B
Conclusão sob Rendas Certas.
1) Quando calculamos o valor atual de uma
renda certa, a fórmula que usamos descapitaliza ao mesmo tempo todos os títulos que
compõe a renda certa.
2) Quando calculamos o montante de uma renda certa, a fórmula que usamos capitaliza ao
mesmo tempo todos os títulos que compõe a
renda certa.
1. O valor atual de uma Anuidade Imediata
de 4 pagamentos mensais no valor de R$
100.000,00, à taxa composta de 8% a.m. é:
a) R$ 331.212,68
b) R$ 322.212,79
c) R$ 345.665,56
d) R$ 335.267,33
e) R$ 357.709,70
2. O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4
pagamentos mensais no valor de R$ 100.000,00, à
taxa composta de 8% ao mês. é:
a) R$ 331.212,68
b) R$ 322.212,79
c) R$ 345.665,56
d) R$ 335.267,33
e) R$ 357.709,70
3. O valor atual de uma Renda Certa Imediata com 3 pagamentos mensais e iguais é R$
329.876,00. Qual o valor de cada pagamento
se a taxa composta vigente é 4% ao mês?
a) R$ 134.413,11
b) R$ 175.755,55
c) R$ 214.448,81
d) R$ 252.053,14
e) R$ 118.870,33
4. O valor atual de uma Renda Certa Antecipada com 3 pagamentos mensais e iguais é R$
329.876,00. Qual o valor de cada pagamento
se a taxa composta é 4% ao mês?
a) R$ 134.413,11
b) R$ 275.755,55
c) R$ 214.448,81
d) R$ 114.298,42
e) R$ 315.435,92
5. Determinar o valor atual de uma Renda Certa,
Diferida de 3 meses, com 4 pagamentos mensais e iguais de R$ 10.000,00, à taxa composta
de 5% ao mês.
a) R$ 12.882,98
b) R$ 22.122,45
c) R$ 31.112,65
d) R$ 32.162,82
e) R$ 52.561,32
EDITORA APROVAÇÃO
40
Matemática Financeira
6. Qual o valor de cada pagamento mensal de
uma Renda Certa, Diferida de 2 meses, com 5
pagamentos iguais, se seu valor atual à taxa
composta de 6% ao mês é R$ 557.000,00?
a) R$ 240.122,66
b) R$ 130.333,56
c) R$ 188.863,58
d) R$ 140.163,57
e) R$ 121.127,77
7. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos
iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8%
ao mês, qual o preço a vista desse carro?
a) R$ 3.300.000,00
b) R$ 3.312.126,00
c) R$ 2.839.614,20
d) R$ 3.577.097,00
e)R$ 3.543.129,78
8. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra.
Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao
mês, qual o preço a vista desse carro?
a) R$ 3.300.000,00
b) R$ 3.312.126,00
c) R$ 2.839.614,20
d) R$ 3.577.097,00
e)R$ 3.543.129,78
9. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos
iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, vencendo
a primeira prestação três meses após a compra.
Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao
mês, qual o preço a vista desse carro?
a) R$ 3.300.000,00
b) R$ 3.312.126,00
c) R$ 2.839.614,20
d R$ 3.577.097,00
e)R$ 3.543.129,78
EDITORA APROVAÇÃO
10. Um débito é formado por 5 prestações mensais e iguais que deverão vencer nos dias 15
de abril, 15 de maio, 15 de junho, 15 de julho e
15 de agosto, no valor de R$ 75.600 cada uma.
Quanto deverá ser pago no dia 15 de janeiro,
do mesmo ano, para quitar o débito, se a taxa
composta vigente é 7% ao mês?
a) R$ 170.347,77
b) R$ 171.748,08
c) R$ 270.744,07
d) R$ 232.733,88
e) R$ 259.554,47
11. Aplica-se, mensalmente, R$ 50.000,00 durante 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês.
Qual o valor do montante, ao final do 8° mês?
(considere que as aplicações são feitas no fim
de cada mês)
a) R$ 477.455,45
b) R$ 338.786,87
c) R$ 322.773,76
d) R$ 333.124,56
e) R$ 444.768,99
12. Um título de R$ 823.506,00 deverá vencer no
dia 12 de julho. Quanto deverá ser depositado
nos dias 12 de maio, 12 de junho e 12 de julho,
do mesmo ano para saldar o débito, se a taxa
composta vigente é 9% ao mês?
a) R$ 153.233,56
b) R$ 257.289,49
c) R$ 241.224,46
d) R$ 121.274,77
e) R$ 251.214,47
13. Aplica-se, mensalmente, R$ 50.000,00 durante 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês.
Qual o valor do montante, ao final do 8° mês?
(considere que as suplicações são feitas no
início de cada mês)
a) R$ 477.455,45
b)R$ 501.328,20
c) R$ 522.773,76
d) R$ 433.124,56
e) R$ 456.006,89
Matemática Financeira
PRÁTICA
Provas de Concursos Anteriores AFRF (AFTN)
AFTN/91
(Usar a tabela do fim da apostila)
1. Um capital no valor de 50, aplicado a juros
simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge,
em 20 dias, um montante de:
a) 51
b) 51,2
c) 52
d) 53,6
e) 68
2. A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de
100 no fim do período t, mais uma quantia de
200 no fim do período t+2, são equivalentes, no
fim do, período t+1, a uma quantia de:
a) 406,25
b) 352,5
c) 325
d) 300
e) 285
3. Um “comercial paper” com valor de face U$
1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos
deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros
compostos de 10% ao ano e considerando o
desconto racional, obtenha o valor do resgate.
a) U$ 751.314,00
b) U$ 750.000,00
c) U$ 748.573,00
d) U$ 729.000,00
e) U$ 700.000,00
4. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de
um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil,
com capitalização diária. Considerando que o
referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês
o montante será o capital inicial aplicado mais:
a) 20,324%
b) 19,6147%
c) 19,196%
d) 18,174%
e) 18%
41
5. O pagamento de um empréstimo no valor de
1.000 unidades de valor será efetuado por intermédio de uma anuidade composta por seis
prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao
semestre, sendo que a primeira prestação,
vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação será:
a) 1.000 ÷ 6
b) 1.000 ÷ 2,31306
c) 1.000 ÷ 3,784482
d)1.000 ÷ 8,753708
e) 1.000 ÷ 2,31306
6. Quanto devo depositar, mensalmente, para
obter um montante de 12.000, ao final de um
ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro
depósito é feito ao fim do primeiro mês?
a) 12.000 ÷ 15,025805
b) 12.000 ÷ ( 12 x 1,48)
c) 12.000 ÷ 9,385074
d) 12.000 ÷ (12 x 1,601032)
e) 12:000 ÷ 12
7. Uma alternativa de investimento possui um
fluxo de caixa com um desembolso de 20.000
no início do primeiro ano, um desembolso de
20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas liquidas anuais e consecutivas de 10.000
a partir do fim do segundo ano, inclusive. A
uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim primeiro ano.
a) 24.940,86
b) 11.363,22
c) 5.830,21
d) 4.940,86
e) 1.340,86
AFTN/96
(Usar a tabela dada na prova)
A Tabela abaixo contem números elevados à
potências específicas que poderão ser usados para facilitar seus cálculos na resolução
das questões desta prova. Alguns resultados
podem apresentar diferenças, isso ocorrerá pois os resultados que fornecemos, estão
truncados com quatro casas decimais.
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
42
(1,04)2
(1,04)3
(1,04)4
(1,04)5
(1,04)6
(1,04)7
(1,04)8
(1,04)9
(1,04)10
(1,09)2
(1,09)3
(1,09)4
(1,09)5
(1,09)6
(1,09)7
(1,09)8
(1,09)9
(1,09)10
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1,0816
1,1248
1,1098
1,2166
1,2653
1,3159
1, 3685
1,4233
1,4802
1,1881
1,2950
1,4115
1,5386
1,9771
1,8280
1,9925
2,1718
2,3673
(1,10)2
(1,10)3
(1,10)4
(1,10)5
(1,10)6
(1,10}7
(1,10)8
(1,10)9
(1,10)10
(1,20)2
(1,20)3
(1,20)4
(1,20)5
(1,20)6
(1,20)7
(1,20)8
(1,20)9
(1,20)10
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
PRÁTICA
1,2100
1,3310
1,4641
1,6105
1,7715
1,9487
2,1435
2,3579
2,5937
1,4400
1,7280
2,0736
2,4883
2,9859
3,5831
4,2998
5,1597
6,1917
1. Uma pessoa possui um financiamento ( taxa
de juros simples de 10% a.m.). O valor total
dos pagamentos a serem efetuados, juros
mais principal, é de $ 1.400,00. As condições
contratuais prevêem que o pagamento deste
financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de 70% do
total dos pagamentos, será paga ao final do
quarto mês, e a segunda parcela, no valor de
30% do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais
se aproxima do valor financiado é:
a) $ 816,55
b) $ 900,00
c) $ 945,00
d) $ 970,00
e) $ 995,00
2. Você possui uma duplicata cujo valor de face
é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses.
O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal
(simples por fora) também fará uma retenção
de 15% do valor de face da duplicata a titulo
de saldo médio, permanecendo bloqueado
em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco,
você receberá liquidos hoje, $105,00. A taxa
de desconto que mais se aproxima da taxa
praticada por este banco é:
EDITORA APROVAÇÃO
a) 5,0%
b) 5,2%
c) 4,6%
d) 4,8%
e) 5,4%
3. Uma firma deseja alterar as datas e valores de
um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa
de juros simples de 2% ao mês. A instituição
financiadora não cobra custos e nem taxas
para fazer estas alterações.
Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de
$11.024,00 a serem pagas em 50 e 90 dias.
Condições desejadas: pagamento em três
prestações iguais; a primeira ao final do 10o
mês; a segunda ao final do 30o mês; a terceira
ao final do 70o mês.
Caso sejam aprovadas as alterações, o valor
que mais se aproxima do valor unitário de
cada uma das novas prestações é:
a) $ 8.200,00
b) $ 9.333,33
c) $ 10.752,31
d) $ 11.200,00
e)$ 12.933,60
4. Uma empresa aplica $ 300,00 à taxa de juros
compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa
que mais se aproxima da taxa proporcional
mensal desta operação é:
a) 4,60%
b) 4,40%
c) 5,0%
d) 5,20%
e) 4,80%
5. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização
mensal, é equivaIente a uma taxa trimestral de:
a) 60,0%
b) 66,6%
c) 68,9%
d) 72,8%
e) 84,4%
Considere os fluxos de caixas mostrados na
tabela abaixo, para a resolução da questão no
6. Os valores constantes desta tabela ocorrem
no final dos meses ali indicados.
PRÁTICA
Fluxos
Meses
1
2
3
4
5
6
7
8
Um
1000
1000
500
500
500
500
250
50
Dois
1000
500
500
500
500
500
500
300
Três
1000
1000
1000
500
500
100
150
50
Quatro
1000
1000
800
600
400
200
200
100
Cinco
1000
1000
800
400
400
400
200
100
6. Considere uma taxa de juros compostos de
10% ao mês. O fluxo de caixa da tabela acima,
que apresenta o maior valor atual (valor no
mês zero) é:
a) Fluxo Um
b) Fluxo Dois
c) Fluxo Três
d) Fluxo Quatro
e) Fluxo Cinco
7. Uma pessoa paga uma entrada no valor de
$23,60 na compra de um equipamento, e paga
mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas
no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120%
a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima
do valor que à vista do equipamento adquirido é:
a) $ 70,00
b) $ 76,83
c) $ 86,42
d) $ 88,00
e) $ 95;23
8. Uma empresa obteve um financiamento de $
10.000,00 à taxa de 120% ao ano capitalizados
mensalmente (juros compostos). A empresa
pagou $ 6.000,00 ao final do primeiro mês e $
3.000,00 ao final do segundo mês. O valor que
devera ser pago ao final do terceiro mês para
liquidar o financiamento (juros + principal) é:
a) $ 3.250,00
b) $ 3.100,00
c) $ 3.050,00
d) $ 2.975,00
e) $ 2.750,00
Matemática Financeira
43
9. Um empréstimo de $ 20.900,00 foi realizado
com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações
trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro
vencimento ao final do primeiro trimestre,
segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é:
a) $ 10.350,00
b) $ 10.800,00
c) $ 11.881,00
d) $ 12.433,33
e) $ 12.600,00
10. Uma pessoa tomou um empréstimo a taxa
de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve
ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $
1.000,00, daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que se aproxima do valor de
um único pagamento no décimo quinto mês
que substitui estes dois pagamentos é:
a) $ 2.012,00
b) $ 2.121,00
c) $ 2.333,33
d) $ 2.484,84
e) $ 2.510,16
AFTN 98
(Usar a tabela do fim da apostila)
1. Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25
de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros
simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um
montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos.
a) R$ 4.067,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 3.996,00
d) R$ 3.986,00
e) R$ 3.941,00
2. A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro
do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de
18% ao ano, desprezando os centavos.
a) R$ 720,00
b) R$ 725,00
c) R$ 705,00
d) R$ 715,00
e) R$ 735,00
EDITORA APROVAÇÃO
44
Matemática Financeira
3. Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples
de 5% ao mês.
a) 60,0
b) 1,0
c) 12,0
d) 0,6
e) 5,0
4. Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$
50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de
juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses
respectivamente. Obtenha o prazo médio de
aplicação desses capitais.
a) Dois meses e meio
b) Três meses
c) Dois meses e vinte e um dias
d) Três meses e nove dias
e) Três meses e dez dias
5. O desconto comercial simples de um título
quatro meses antes do seu vencimento é de
R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao
mês, obtenha o valor correspondente no caso
de um desconto racional simples.
a) R$ 400,00
b) R$ 600,00
c) R$ 800,00
d) R$ 700,00
e) R$ 500,00
6. Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com
capitalização semestral.
a) 8,20%
b) 8,16%
c) 8,10%
d) 8,05%
e) 8,00%
7. O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10
de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma
taxa de juros compostos de 21% ao mês.
Usando a convenção linear, calcule os juros
obtidos, aproximando o resultado em real.
a.) R$ 331,00
b.) R$ 340,00
c.) R$ 343,00
d.) R$ 342,00
e.) R$ 337,00
EDITORA APROVAÇÃO
PRÁTICA
8. Obtenha o valor hoje de um título de R$
10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de
três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês,
considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos.
a) R$ 9.140,00
b) R$ 9.151,00
c) R$ 9.100,00
d) R$ 9.126,00
e) R$ 9.174,00
9. Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$
2.000,00 em zero, uma despesa no momento
um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de
R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido
entre momentos consecutivos é o mês e que a
taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar
ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos.
a) R$ 2.646,00
b) R$ 0,00
c) R$ 2.511,00
d) R$ 3.617,00
e) R$ 2.873,00
10. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve
ser paga com uma entrada de 20% e o saldo
devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao
fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização
corresponde a uma anuidade ou renda certa,
em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a
prestação mensal, desprezando os centavos.
a) R$ 900,00
b) R$ 986,00
c) R$ 923,00
d) R$ 852,00
e) R$ 1.065,00
PRÁTICA
AFRF 01
(Usar a tabela do fim da apostila)
1. Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$
8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao
mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a
taxa média de aplicação desses capitais.
a) 4,83% ao mês
b) 3,206% ao mês
c) 4,4167% ao mês
d) 4% ao mês
e) 4,859% ao mês
2. O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é
de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a
mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$ 960,00
b) R$ 666,67
c) R$ 973,32
d)R$ 640,00
e)R$ 800,00
3. Indique a taxa de juros anual equivalente à
taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal.
a) 12,3600%
b) 12,6825%
c) 12,4864%
d) 12,6162%
e) 12,5508%
4. Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o
desconto obtido considerando um desconto
racional composto a uma taxa de 3% ao mês.
a) R$ 140,00
b) R$ 104,89
c) R$ 168,00
d) R$ 93,67
e) R$ 105,43
Matemática Financeira
45
a) R$ 21.708,00
b) R$ 29.760,00
c) R$ 35.520,00
d) R$ 22.663,00
e) R$ 26.116,00
6. Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00
hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias e R$
31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela
só espera contar com os recursos necessários
dentro de sessenta dias e pretende negociar
um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida
ao fim dos sessenta dias, considerando uma
taxa de juros compostos de 4% ao mês.
a) R$ 63.232,00
b) R$ 64.000,00
c) R$ 62.032,00
d) R$ 62.200,00
e) R$ 64.513,28
7. Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de
6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima
dos juros obtidos como porcentagem do capital
inicial, usando a convenção linear?
a) 46,11%
b) 48,00%
c) 41,85%
d) 44,69%
e) 50,36%
8. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze
prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos,
a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês,
considerando que o financiamento equivale a
uma anuidade e que a primeira prestação vence
um mês depois de efetuada a compra.
a) R$ 3.155,00
b) R$ 2.048,00
c) R$ 1.970,00
d) R$ 2.530,00
e) R$ 2.423,00
5. Um indivíduo faz um contrato com um banco
para aplicar mensalmente R$ 1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente
do quinto ao oitavo mês, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de
cada mês, calcule o montante ao fim dos doze
meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos).
EDITORA APROVAÇÃO
46
Matemática Financeira
AFRF 02 – Abril
(Usar a tabela do fim da apostila)
1. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$
1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de
4% ao mês, juros simples, durante dois, três,
quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha
o prazo médio de aplicação destes capitais.
a) quatro meses
b) quatro meses e cinco dias
c) três meses e vinte e dois dias
d) dois meses e vinte dias
e) oito meses
2. Um título sofre um desconto comercial de R$
9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao
mês. Indique qual seria o desconto à mesma
taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9.810,00
b) R$ 9.521,34
c) R$ 9.500,00
d) R$ 9.200,00
e) R$ 9.000,00
3. Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que
vence dentro de cem dias e mais o capital de
R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa
de juros simples de 0,1% ao dia.
a) R$ 10.940,00
b) R$ 11.080,00
c) R$ 12.080,00
d) R$ 12.640,00
e) R$ 12.820,00
4. Um capital é aplicado a juros compostos à
taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a
convenção linear para cálculo do montante.
Considere ainda que:
(1,20)4 =2,0736; (1,20)4,5 =2,271515 e (1,20)5
=2,48832.
a) 107,36%
b) 127,1515%
c) 128,096%
d) 130%
e) 148,832%
EDITORA APROVAÇÃO
PRÁTICA
5. Uma empresa recebe um financiamento para
pagar por meio de uma anuidade postecipada
constituída por vinte prestações semestrais
iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras,
a empresa consegue com o financiador uma
redução da taxa de juros de 15% para 12% ao
semestre e um aumento no prazo restante da
anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação
do financiamento.
a) R$ 136.982,00
b) R$ 147.375,00
c) R$ 151.342,00
d) R$ 165.917,00
e) R$ 182.435,00
6. Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$
1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00
mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais
seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês
e que elas renderiam juros compostos de 2%
ao mês, indique qual o valor mais próximo do
montante que a pessoa teria dezoito meses
depois, no dia 1 o de fevereiro.
a) R$ 36.000,00
b) R$ 38.449,00
c) R$ 40.000,00
d) R$ 41.132,00
e) R$ 44.074,00
7. Calcule o valor mais próximo do valor atual no
início do primeiro período do seguinte fluxo
de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é
de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18,
cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere
juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período.
a) R$ 33.448,00
b) R$ 31.168,00
c) R$ 29.124,00
d) R$ 27.286,00
e) R$ 25.628,00
Matemática Financeira
PRÁTICA
AFRF 02 – Setembro
(Usar a tabela do fim da apostila)
1. Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser
paga em um banco na segunda-feira, dia 8.
O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da
conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da
conta. Calcule o valor do pagamento devido
no dia 22 do mesmo mês, considerando que
não há nenhum feriado bancário no período.
a) R$ 2.080,00
b) R$ 2.084,00
c) R$ 2.088,00
d) R$ 2.096,00
e) R$ 2.100,00
2. Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$
3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês,
no regime de juros simples durante o mesmo
prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.
a) 4%
b) 8%
c) 12%
d) 24%
e) 48%
3. Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá
uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa
de 2% ao mês. Considerando que a pessoa
consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é,
em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor
que mais se aproxima da prestação mensal do
financiamento global.
a) R$ 1.405,51
b) R$ 1.418,39
c)R$ 1.500,00
d) R$ 1.512,44
e) R$ 1.550,00
47
4. Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade
de bônus no mercado internacional com valor
nominal de US$ 1,000.00 cada bônus e com
doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00
cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do
primeiro semestre e assim sucessivamente
até o décimo segundo semestre, quando o
país deve pagar o último cupom juntamente
com o valor nominal do título.
Considerando que a taxa de risco do país mais a
taxa de juros dos títulos de referência levou o país
a pagar uma taxa final de juros nominal de 14%
ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço
de lançamento dos bônus, abstraindo custos de
intermediação financeira, de registro etc.
a) US$ 1, 000.00
b) US$ 953.53
c) US$ 930.00
d) US$ 920.57
e) US$ 860.00
5. Considerando a série abaixo de pagamentos no
fim de cada ano, obtenha o número que mais se
aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto
racional de 10% ao ano, juros compostos.
Ano
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor
400
400
400
400
200
200
200
200
200
1.200
a) 2.208,87
b) 2.227,91
c) 2.248,43
d) 2.273,33
e) 2.300,25
6. A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a
quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de
um ano ao mesmo credor. Na medida em que
os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou ao
acerto de um pagamento equivalente único
ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor
deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao
ano, valendo a convenção exponencial para
cálculo do montante (despreze os centavos).
a) R$ 1.440.000,00
b) R$ 1.577.440,00
c) R$ 1.584.000,00
d) R$ 1.728.000,00
e)R$ 1.733.457,00
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
48
7. Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu
vencimento. Indique o valor mais próximo do
valor descontado do título, considerando que
a taxa de desconto é de 5% ao mês.
a) R$ 25.860,72
b) R$ 28.388,72
c) R$ 30.000,00
d) R$ 32.325,90
e) R$ 36.465,1835.
AFRF 03
(Usar a tabela do fim da apostila)
1. Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$
4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros
simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente.
Obtenha a taxa média mensal de aplicação
destes capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%
2. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa
de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o
valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção
exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502.
a) 0,5%
b) 1%
c) 1,4%
d) 1,7%
e) 2,0%
3. Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no
valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo
dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela
combina com credor um pagamento único
equivalente no dia do décimo mês para quitar
a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês.
a) R$ 11.800,00
b) R$ 12.006,00
c) R$ 12.200,00
d) R$ 12.800,00
e) R$ 13.486,00
EDITORA APROVAÇÃO
PRÁTICA
4. Calcule o valor mais próximo do montante
ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de
aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos
meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00;
dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$
4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação
é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos
e que a taxa de remuneração das aplicações é
de 3% ao mês.
a) R$ 94.608,00
b) R$ 88.149,00
c) R$ 82.265,00
d) R$ 72.000,00
e) R$ 58.249,00
5. Um país captou um empréstimo no mercado
internacional por intermédio do lançamento
de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor
nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada
cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto
ano o país deve pagar último cupom mais o
valor nominal do bônus. Considerando que os
bônus foram lançados com um ágio de 7,72%
sobre o seu valor nominal, obtenha o valor
mais próximo da taxa nominal anual cobrada
no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc.
a) 16%
b) 14%
c) 12%
d) 10%
e) 8%
AFRF 2005
1. Ana quer vender um apartamento por R$
400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema
de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse
apartamento e propõe à Ana pagar os R$
400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e
a segunda com vencimento em 18 meses. Se
Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem
considerar os centavos, o valor de cada uma
das parcelas será igual a:
a) R$ 220.237,00
b) R$ 230.237,00
c) R$ 242.720,00
d) R$ 275.412,00
e) R$ 298.654,00
PRÁTICA
2. Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma
parcela de R$ 200.000,00 seis meses após
a entrada. Um comprador propõe mudar o
esquema de pagamentos para seis parcelas
iguais, sendo a primeira parcela paga no ato
da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é
de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os
centavos, o valor de cada uma das parcelas
será igual a:
a) R$ 66.131,00
b) R$ 64.708,00
c) R$ 62.927,00
d) R$ 70.240,00
e) R$ 70.140,00
3. Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$ 100.000,00 pagando
30% a vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for
efetuado até seis meses a taxa de juros compostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer
pagamento que for efetuado após seis meses,
a taxa de juros compostos será de 4% ao mês.
A empresa resolveu pagar a dívida em duas
parcelas. Uma parcela de R$ 30.000,00 no fi nal
do quinto mês e a segunda parcela dois meses
após o pagamento da primeira. Desse modo,
o valor da segunda parcela, sem considerar os
centavos, deverá ser igual a:
a) R$ 62.065,00
b) R$ 59.065,00
c) R$ 61.410,00
d) R$ 60.120,00
e) R$ 58.065,00
4. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que
o valor atual da dívida (valor de resgate) é de
R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:
a) R$ 230.000,00
b) R$ 250.000,00
c) R$ 330.000,00
d) R$ 320.000,00
e) R$ 310.000,00
Matemática Financeira
49
5. Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu
uma dívida no regime de juros compostos
que deveria ser quitada em duas parcelas, todas com vencimento durante o ano de 2005.
Uma parcela de R$ 2.000,00 com vencimento
no final de junho e outra de R$ 5.000,00 com
vencimento no final de setembro. A taxa de
juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No
final de fevereiro, a empresa decidiu pagar
50% do total da dívida e o restante no final
de dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a empresa
deverá pagar no final de dezembro é igual a:
a) R$ 4.634,00
b) R$ 4.334,00
c) R$ 4.434,00
d) R$ 4.234,00
e) R$ 5.234,00
6. Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento
de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com
prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos
vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a
taxa de desconto comercial simples é de 4%
ao mês, o valor nominal do novo título, sem
considerar os centavos, será igual a:
a) R$ 159.523,00
b) R$ 159.562,00
c) R$ 162.240,00
d) R$ 162.220,00
e) R$ 163.230,00
7. Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia
total de R$ 50.000,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no
Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de
4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que
os valores finais de cada uma das aplicações
eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no
Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a:
a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00
b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00
c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411,00
d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00
e) R$ 26.477,00 e R$ 23.552,00
EDITORA APROVAÇÃO
50
Matemática Financeira
8. Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de
juros simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o valor
mais próximo da taxa de desconto comercial
trimestral que o banco deverá cobrar em suas
operações de cinco meses deverá ser igual a:
a) 19 %
b) 18,24 %
c) 17,14 %
d) 22 %
e) 24 %
TRF 2006 (Área Informática)
1. Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de
seis meses enquanto o restante do capital foi
aplicado à taxa de 3% ao mês, juros simples,
no mesmo período de seis meses. Calcule o
valormais próximo deste capital, dado que as
duas aplicações juntas renderam um juro de
R$ 8.229,14 ao fi m do prazo.
a)R$ 22.000,00
b)R$ 31.000,00
c)R$ 33.000,00
d)R$ 40.000,00
e)R$ 44.000,00
2. Indique qual o valor mais próximo da taxa
equivalente à taxa nominal de 36% ao ano
com capitalização mensal.
a)2,595% ao mês.
b)19,405% ao semestre.
c)18% ao semestre.
d)9,703% ao trimestre.
e)5,825% ao bimestre.
3. Uma empresa especializada desconta um cheque no valor nominal de R$ 10.000,00 três meses antes do seu vencimento por meio de um
desconto racional composto calculado à taxa
de 4% ao mês. Calcule o valor mais próximo do
valor do desconto.
a)R$ 1.090,00
b)R$ 1.100,00
c)R$ 1.110,00
d)R$ 1.200,00
e)R$ 1.248,00
EDITORA APROVAÇÃO
PRÁTICA
4. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período da seguinte série de pagamentos, cada um relativo ao fim de cada período,
à taxa de juros compostos de 10% ao período.
Período
Valor
1
2
3
4
5
6
7
8
3.000 2.000 2.000 2.000 1.000 1.000 1.000 1.000
a) 11.700
b) 10.321
c) 10.094
d) 9.715
e) 9.414
5. Indique qual o capital que aplicado a juros simples
à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias.
a)R$ 2.000,00
b)R$ 2.100,00
c)R$ 2.120,00
d)R$ 2.400,00
e)R$ 2.420,00
6. Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros
compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim
de quinze meses usando a convenção linear.
a)R$ 150.108,00
b)R$ 151.253,00
c)R$ 151.772,00
d)R$ 152.223,00
e)R$ 152.510,00
7. Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o
primeiro pagamento ao fim de um mês por
outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor
mais próximo do valor do pagamento mensal
da segunda anuidade considerando a taxa de
juros compostos de 3% ao mês.
a) R$ 500,00
b) R$ 535,00
c) R$ 542,00
d) R$ 559,00
e) R$ 588,00
PRÁTICA
Matemática Financeira
51
8. Três capitais nos valores respectivos de 100,
250 e 150 são aplicados a juros simples no
mesmo prazo às taxas de 3%, 4% e 2% ao mês,
respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.
a)3,4%
b)3,2%
c)3,0%
d)2,8%
e)2,6%
9. Uma pessoa aplica um capital unitário recebendo a devolução por meio de uma anuidade formada por doze pagamentos semestrais, com o
primeiro pagamento sendo recebido ao fi m de
seis meses, a uma taxa de juros compostos de
10% ao semestre. Admitindo que ela consiga
aplicar cada parcela recebida semestralmente a
uma taxa de juros compostos de 12% ao semestre, qual o valor mais próximo do montante que
ela terá disponível ao fi m dos doze semestres?
a) 2,44
b) 2,89
c) 3,25
d) 3,54
e) 3,89
10. Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses
atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês,
desprezando os centavos.
a)R$ 1.380,00
b)R$ 1.371,00
c)R$ 1.360,00
d)R$ 1.349,00
e)R$ 1.344,00
AFRFB 2009
1. No sistema de juros compostos um capital PV
aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao
ano com capitalização semestral resulta no
valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa
de it% ao trimestre resultará no mesmo valor
final FV, se a taxa de aplicação trimestral for
igual a:
a) 26,25 %
b) 40 %
c) 13,12 %
d) 10,25 %
e) 20 %
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
52
GABARITO
TABELAS PARA CONSULTA
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1%
1,0100
1,0201
1,0303
1,0406
1,0510
1,0615
1,0721
1,0829
1,0937
1,1046
1,1157
1,1268
1,1381
1,1495
1,1610
1,1726
1,1843
1,1961
2%
1,0200
1,0404
1,0612
1,0824
1,1041
1,1262
1,1487
1,1717
1,1951
1,2190
1,2434
1,2682
1,2936
1,3195
1,3459
1,3728
1,4002
1,4282
3%
1,0300
1,0609
1,0927
1,1255
1,1593
1,1941
1,2299
1,2668
1,3048
1,3439
1,3842
1,4258
1,4685
1,5126
1,5580
1,6047
1,6528
1,7024
4%
1,0400
1,0816
1,1249
1,1699
1,2167
1,2653
1,3159
1,3686
1,4233
1,4802
1,5395
1,6010
1,6651
1,7317
1,8009
1,8730
1,9479
2,0258
5%
1,0500
1,1025
1,1576
1,2155
1,2763
1,3401
1,4071
1,4775
1,5513
1,6289
1,7103
1,7959
1,8856
1,9799
2,0789
2,1829
2,2920
2,4066
(1 + i)n
6%
1,0600
1,1236
1,1910
1,2625
1,3382
1,4185
1,5036
1,5938
1,6895
1,7908
1,8983
2,0122
2,1329
2,2609
2,3966
2,5404
2,6928
2,8543
7%
1,0700
1,1449
1,2250
1,3108
1,4026
1,5007
1,6058
1,7182
1,8385
1,9672
2,1049
2,2522
2,4098
2,5785
2,7590
2,9522
3,1588
3,3799
8%
1,0800
1,1664
1,2597
1,3605
1,4693
1,5869
1,7138
1,8509
1,9990
2,1589
2,3316
2,5182
2,7196
2,9372
3,1722
3,4259
3,7000
3,9960
9%
1,0900
1,1881
1,2950
1,4116
1,5386
1,6771
1,8280
1,9926
2,1719
2,3674
2,5804
2,8127
3,0658
3,3417
3,6425
3,9703
4,3276
4,7171
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS
1%
0,9901
1,9704
2,9410
3,9020
4,8534
5,7955
6,7282
7,6517
8,5660
9,4713
10,3676
11,2551
12,1337
13,0037
13,8651
14,7179
15,5623
16,3983
2%
0,9804
1,9416
2,8839
3,8077
4,7135
5,6014
6,4720
7,3255
8,1622
8,9826
9,7868
10,5753
11,3484
12,1062
12,8493
13,5777
14,2919
14,9920
3%
0,9709
1,9135
2,8286
3,7171
4,5797
5,4172
6,2303
7,0197
7,7861
8,5302
9,2526
9,9540
10,6350
11,2961
11,9379
12,5611
13,1661
13,7535
4%
0,9615
1,8861
2,7751
3,6299
4,4518
5,2421
6,0021
6,7327
7,4353
8,1109
8,7605
9,3851
9,9856
10,5631
11,1184
11,6523
12,1657
12,6593
5%
0,9524
1,8594
2,7232
3,5460
4,3295
5,0757
5,7864
6,4632
7,1078
7,7217
8,3064
8,8633
9,3936
9,8986
10,3797
10,8378
11,2741
11,6896
6%
0,9434
1,8334
2,6730
3,4651
4,2124
4,9173
5,5824
6,2098
6,8017
7,3601
7,8869
8,3838
8,8527
9,2950
9,7122
10,1059
10,4773
10,8276
7%
0,9346
1,8080
2,6243
3,3872
4,1002
4,7665
5,3893
5,9713
6,5152
7,0236
7,4987
7,9427
8,3577
8,7455
9,1079
9,4466
9,7632
10,0591
8%
0,9259
1,7833
2,5771
3,3121
3,9927
4,6229
5,2064
5,7466
6,2469
6,7101
7,1390
7,5361
7,9038
8,2442
8,5595
8,8514
9,1216
9,3719
9%
0,9174
1,7591
2,5313
3,2397
3,8897
4,4859
5,0330
5,5348
5,9952
6,4177
6,8052
7,1607
7,4869
7,7862
8,0607
8,3126
8,5436
8,7556
1%
1,0000
2,0100
3,0301
4,0604
5,1010
6,1520
7,2135
8,2857
9,3685
10,4622
11,5668
12,6825
13,8093
14,9474
16,0969
17,2579
18,4304
19,6147
2%
1,0000
2,0200
3,0604
4,1216
5,2040
6,3081
7,4343
8,5830
9,7546
10,9497
12,1687
13,4121
14,6803
15,9739
17,2934
18,6393
20,0121
21,4123
3%
1,0000
2,0300
3,0909
4,1836
5,3091
6,4684
7,6625
8,8923
10,1591
11,4639
12,8078
14,1920
15,6178
17,0863
18,5989
20,1569
21,7616
23,4144
EDITORA APROVAÇÃO
4%
1,0000
2,0400
3,1216
4,2465
5,4163
6,6330
7,8983
9,2142
10,5828
12,0061
13,4864
15,0258
16,6268
18,2919
20,0236
21,8245
23,6975
25,6454
5%
1,0000
2,0500
3,1525
4,3101
5,5256
6,8019
8,1420
9,5491
11,0266
12,5779
14,2068
15,9171
17,7130
19,5986
21,5786
23,6575
25,8404
28,1324
6%
1,0000
2,0600
3,1836
4,3746
5,6371
6,9753
8,3938
9,8975
11,4913
13,1808
14,9716
16,8699
18,8821
21,0151
23,2760
25,6725
28,2129
30,9057
7%
1,0000
2,0700
3,2149
4,4399
5,7507
7,1533
8,6540
10,2598
11,9780
13,8164
15,7836
17,8885
20,1406
22,5505
25,1290
27,8881
30,8402
33,9990
15%
1,1500
1,3225
1,5209
1,7490
2,0114
2,3131
2,6600
3,0590
3,5179
4,0456
4,6524
5,3503
6,1528
7,0757
8,1371
9,3576
10,7613
12,3755
18%
1,1800
1,3924
1,6430
1,9388
2,2878
2,6996
3,1855
3,7589
4,4355
5,2338
6,1759
7,2876
8,5994
10,1472
11,9737
14,1290
16,6722
19,6733
i . (1 + i)n
FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
12%
1,1200
1,2544
1,4049
1,5735
1,7623
1,9738
2,2107
2,4760
2,7731
3,1058
3,4785
3,8960
4,3635
4,8871
5,4736
6,1304
6,8660
7,6900
an,i = (1 + i)n –1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
10%
1,1000
1,2100
1,3310
1,4641
1,6105
1,7716
1,9487
2,1436
2,3579
2,5937
2,8531
3,1384
3,4523
3,7975
4,1772
4,5950
5,0545
5,5599
8%
1,0000
2,0800
3,2464
4,5061
5,8666
7,3359
8,9228
10,6366
12,4876
14,4866
16,6455
18,9771
21,4953
24,2149
27,1521
30,3243
33,7502
37,4502
9%
1,0000
2,0900
3,2781
4,5731
5,9847
7,5233
9,2004
11,0285
13,0210
15,1929
17,5603
20,1407
22,9534
26,0192
29,3609
33,0034
36,9737
41,3013
10%
0,9091
1,7355
2,4869
3,1699
3,7908
4,3553
4,8684
5,3349
5,7590
6,1446
6,4951
6,8137
7,1034
7,3667
7,6061
7,8237
8,0216
8,2014
12%
0,8929
1,6901
2,4018
3,0373
3,6048
4,1114
4,5638
4,9676
5,3282
5,6502
5,9377
6,1944
6,4235
6,6282
6,8109
6,9740
7,1196
7,2497
15%
0,8696
1,6257
2,2832
2,8550
3,3522
3,7845
4,1604
4,4873
4,7716
5,0188
5,2337
5,4206
5,5831
5,7245
5,8474
5,9542
6,0472
6,1280
18%
0,8475
1,5656
2,1743
2,6901
3,1272
3,4976
3,8115
4,0776
4,3030
4,4941
4,6560
4,7932
4,9095
5,0081
5,0916
5,1624
5,2223
5,2732
sn,i = (1 + i)n –1
i
10%
1,0000
2,1000
3,3100
4,6410
6,1051
7,7156
9,4872
11,4359
13,5795
15,9374
18,5312
21,3843
24,5227
27,9750
31,7725
35,9497
40,5447
45,5992
12%
1,0000
2,1200
3,3744
4,7793
6,3528
8,1152
10,0890
12,2997
14,7757
17,5487
20,6546
24,1331
28,0291
32,3926
37,2797
42,7533
48,8837
55,7497
15%
18%
1,0000
1,0000
2,1500
2,1800
3,4725
3,5724
4,9934
5,2154
6,7424
7,1542
8,7537
9,4420
11,0668 12,1415
13,7268 15,3270
16,7858 19,0859
20,3037 23,5213
24,3493 28,7551
29,0017 34,9311
34,3519 42,2187
40,5047 50,8180
47,5804 60,9653
55,7175 72,9390
65,0751 87,0680
75,8364 103,7403
Matemática Financeira
GABARITO
53
GABARITO - Juros Simples
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
D
C
B
D
B
D
E
B
A
D
12
13
C
B
GABARITO - Juros Compostos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
C
A
A
E
A
A
E
C
A
D
12
E
GABARITO - Taxas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
D
A
B
D
D
A
C
A
GABARITO - Juros Simples Ordinário / Juros Simples Exato
1
2
3
D
C
A
GABARITO - Prazo, taxa, e Capital Médio
1
2
3
C
B
C
GABARITO - Convenção Exponencial
1
2
3
4
C
B
A
B
GABARITO - Desconto Composto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
E
D
A
B
C
D
A
B
A
E
D
GABARITO - Desconto Simples
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
E
C
E
D
E
B
D
B
E
D
C
12
13
14
15
B
A
C
A
GABARITO - Equivalência de Capitais no Juro Composto
1
2
3
4
5
6
7
C
E
E
E
A
A
E
GABARITO - Equivalência de Capitais no Juro Simples. (Rendas variáveis e uniformes)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
B
A
A
C
E
D
E
A
E
D
12
13
14
C
D
A
GABARITO - Taxa Nominal e Efetiva
1
2
3
4
5
6
C
A
A
E
D
D
GABARITO - Taxa Efetiva e Nominal no Juro Simples
1
2
3
4
B
C
D
B
EDITORA APROVAÇÃO
Matemática Financeira
54
GABARITO
GABARITO - Renda Certa ou Renda Uniforme
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
E
E
D
D
D
B
D
C
C
A
12
13
E
B
GABARITO - Provas AFRF
1
2
3
4
5
6
7
B
E
A
B
C
A
E
GABARITO - Prova AFTN 96
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
E
D
C
A
E
C
B
GABARITO - Prova AFTN 98
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anulada
A
D
C
E
B
E
B
A
D
GABARITO - Prova AFTN 01
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
B
E
E
C
D
C
GABARITO - Prova AFTN 02 - Abril
1
2
3
4
5
6
7
A
E
C
C
B
D
D
GABARITO - Prova AFTN 02 - Setembro
1
2
3
4
5
6
7
A
E
B
D
C
B
C
GABARITO - Prova AFTN 03
1
2
3
4
5
E
C
A
B
D
GABARITO - Prova AFRF 05
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
E
B
D
A
Anulada
C
GABARITO - Prova TRF - Área Informática
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E
B
C
E
A
C
D
B
D
A
GABARITO - Prova AFRFB - 2009
1
E
EDITORA APROVAÇÃO