TEMA 3

TEMA 3
X:
1. Se considera un dado regular y se dene la v.a
puntuación obtenida en un
lanzamiento cualquira de dicho dado.
a) Obtén la distribución de probabilidad de
b) Obtén su función de distribución,
F (x).
X.
Represéntala grácamente.
c) Calcula las siguientes probabilidaddes haciendo uso únicamente de la
P (X = 3); P (X ≥ 3); P (X < 3); P (4 <
X < 5); P (3 < X ≤ 5); P (1 ≤ X < 4) y P (1 ≤ X ≤ 4).

0
x < −1



0,5 −1 ≤ x < 1
la v.a. X cuya función de distribución es: F (x) =
 0,8 1 ≤ x < 2


1
x≥2
información del apartado b).
2. Sea
Representa grácamente
v.a.
F (x)
y obtén la distribución de probabilidad de la
X.
3. Una urna tiene tres bolas blancas y tres negras. La variable aleatoria
X
cuen-
ta el número de bolas blancas obtenidas en la extracción de tres bolas sin
reemplazamiento.
a) Escribe la función de cuantía de la v.a.
X
y su representación gráca
b) Escribe la función de distribución de probabilidad de la v.a.
X
y su
representación gráca.
c) ¾Cuál es la probabilidad de obtener dos bolas blancas si a lo sumo se
extraen dos bolas negras?
d) Escribe el soporte y la función de cuantía de la variable aleatoria
Y =
X2 − X.
4. Se considera un dado regular. Se dene la v.a.
X :número de unos
obtenidos
en 5 lanzamientos consecutivos del dado.
a) Obtén la distribución de probabilidad de la v.a.
X.
b) ¾Tiene alguna forma concida? ¾Cuál?
c) Calcula la probabilidad de obtener tres unos en cinco lanzamientos.
d) Calcula la probabilidad de sacar al menos dos unos en cinco lanzamientos.
e) Calcula la probabilidad de no obtener ningún uno en cinco lanzamientos.
5. El número de gotas de agua que caen de un grifo mal cerrado cada 15 minutos
sigue una distribución de Poisson de parámetro
P (X = k) =
λ
igual a 4:
e−λ λk
; k = 0, 1, 2, ...
k!
Calcular:
a)
La función de distribución de probabilidad para X igual a 3.
b)
Probabilidad de que en un cuarto de hora caigan menos de cinco gotas
si han caído más de 3 gotas.
1
c)
Probabilidad de que en un cuarto de hora caigan tres gotas y en el siguiente cuarto de hora otras tres. Suponer independencia entre el número
de gotas que caen en los distintos cuartos de hora.
6. En una empresa de embotellado de agua mineral, se ha estudiado la distribución del número de botellas que resultan defectuosas en la producción diaria
de botellas, siendo independientes el número de defectuosas en días distintos.
Así la v.a. X representa el número de botellas defectuosas en la producción
diaria de la empresa y se distribuye como una Poisson de parámetro λ igual
a 1:
e−λ λk
; k = 0, 1, 2, ...
k!
P (X = k) =
Calcular:
a)
La probabilidad de encontrar al menos una botella defectuosa en la producción de un día cualquiera.
b)
La probabilidad de encontrar ninguna botella defectuosa en la producción
de un día cualquiera.
c)
La probabilidad de encontrar al menos una botella defectuosa en la producción de un día cualquiera, si (sabiendo que) el día anterior no ha
aparecido ningunda defectuosa.
7. Sea
X
una v.a. con distribución uniforme entre 0 y 8, es decir su función
1
8 , si
f (x) =
P (X ≤ a) = FX (a) = 14 .
de densidad es:
0 ≤ x ≤ 8.
X una v.a. con función de
f (x) = 0, en otro caso. Calcular:
8. Sea
densidad,
a)
El valor de
K
b)
El valor de
P (−1 ≤ X < 3).
c)
La función de distribución de
para que
f (x)
Obtener el valor de
f (x) = Kx2 ,
X , F (x)
en
a
b)
El valor de
FX (1,5).
para que
f (x)
−1 ≤ x ≤ 1
y
f (x) = a(3 − x),
si
si
x ∈ (−1, 1]
X una v.a. continua cuya función de densidad
0 ≤ x ≤ 2, y f (x) = 0, en otro caso. Calcular:
El valor de
tal que
sea función de densidad.
9. Sea
a)
a
es
sea una función de densidad.
c ) P (1 ≤ X ≤ 2,5).
X una v.a. con función de densidad exponencial de parámetro
−x
f (x) = 18 e 8 , si x ≥ 0.
10. Sea
a)
Calcular
b)
Obtener la función de distribución de la v.a.
la de
c)
1
8 , es decir:
P (X ≤ 5).
Y = 1 − 2X ,
en función de
X.
A partir del apartado anterior, deducir la función de densidad de la v.a.
Y.
11. La vida útil de las pilas de los relojes medida en meses sigue una distribución
exponencial de parámetro
a) ¾Cuál es el valor de
λ.
λ
para que la probabilidad de que una pila dure al
menos un año sea 0.5?
2
b) Se eligen cinco pilas al azar, ¾cuál es la probabilidad de que haya tres
que duren al menos un año?
12.
X
es una v.a. discreta cuya distribución de probabilidades se especica así:
P (X = −3) = 0,5;
P (X = 3) = 0,2;
Hállese la distribución de probabilidad de
13.
X
P (X = 5) = 0,3
Z = X 2 − 8.
es una variable con distribución uniforme entre 0 y 1. ¾Cuál es la función
de densidad de
Y = X 2?
¾Y la de
Z = 2X − 1?
Soluciones a los problemas. Tema 3
1.
X:
puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado regular.
a)
b)
c)
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, P (X = i) =

0
x<1



1

1
≤
x<2

6



 62 2 ≤ x < 3
3
3≤x<4
F (x) =
6

4

4≤x<5

6


5

5≤x<6


 6
1
x≥6
1
6 , para
i = 1, ..., 6.
P (X = 3) = 16 ; P (X ≥ 3) = 46 ; P (X < 3) = 62 ; P (4 < X < 5) = 0;
P (3 < X ≤ 5) = 26 ; P (1 ≤ X < 4) = 63 y P (1 ≤ X ≤ 4) = 46 .
2.
S = {−1, 1, 2}. P (X = −1) = 0,5, P (X = 1) = 0,3
3.
X:
y
P (X = 2) = 0,2.
o
n . de bolas blancas obtenidas en la extracción de tres bolas sin reempla-
zamiento
S = {0, 1, 2, 3}
a)
b)
1
= 0) = 20
9
= 1) = 20
9
= 2) = 20
1
= 3) = 20


 0


 0,05
0,5
F (x) =


 0,95


1
P (X
P (X
P (X
P (X
= 0,05
= 0,45
= 0,45
= 0,05
x<0
0≤x<1
1≤x<2
2≤x<3
x≥3
c) a lo sumo 2N = al menos 1B
P (X = 2|X ≥ 1) =
d)
4.
a)
P (X=2,X≥1)
P (X≥1)
=
P (X=2)
1−P (X=0)
=
0,45
1−0,05
=
9
19
≈ 0,47
S = {0, 2, 6}
P (Y = 0) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,5
P (Y = 2) = P (X = 2) = 0,45
P (Y = 6) = P (X = 3) = 0,05
5
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. P (X = i) =
pi (1−p)5 − i, donde p =
i
i = 0, 1, ..., 5.
b) Se trata de la distribución binomial
3
B(n = 5, p = 61 ).
1
6 , para
5.
c)
P (X = 3) = 10p3 (1 − p)2
d)
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1).
e)
P (X = 0) = (1 − p)5
a)
= P (X ≤ 3)
F (3)
= P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
42
43
= e−4 + 4e−4 + e−4 + e−4 = 0,4335
2!
3!
b ) P (X < 5|X > 3) =
P (3<X<5)
P (X>3)
=
P (X=4)
1−P (X≤3)
=
0,1954
0,5665
= 0,3449
3
3
c ) P (X1 = 3, X2 = 3) = P (X1 = 3)P (X2 = 3) = e−4 43! e−4 43! = e−8 1024
9 =
0,0382
6.
a ) P (X ≥ 1) = 0,6322.
b ) P (X = 0) = 0,3678.
c ) P (X1 ≥ 1|X0 = 0) = 0,6322.
7.
8.
a = 2.
a) K =
3
2.
b ) P = 1.
c ) FX (x) =
9.
a) a =
(1+x3 )
, −1
2
< x ≤ 1.
1
4.
b ) 0,8437.
c)
10.
3
8.
a ) 0,4647.
b ) 1 − FX ( (1−y)
2 ).
c ) f (y) =
11.
1 −(1−y)
16
si
16 e
f (x) = λe−λx ,
a)
y ≤ 1; f (y) = 0,
en otro caso.
x≥0
P (X ≥ 12) = 0,5 ⇒ P (X < 12) = 0,5
R 12
−12λ
P (X < 12) = 0 λe−λx dx = [−e−λx ]12
0 =1−e
1 − e−12λ = 0,5 ⇒ e−12λ = 0,5
0,5
−12λ = ln 0,5 ⇒ λ = − ln12
≈
b) Sea
0,7
12
≈ 0,06
Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5
la v.a. que cuenta el n
o de pilas de
entre las cinco que duran al menos un año.
Z
es una v.a. discreta con distribución binomial
P (Z = 3) =
12.
13.
5
3
0,53 × 0,52 = 10 × 0,55 = 0,3125
P (Z = 1) = 0,7, P (Z = 17) = 0,3.
a ) f (y) =
1
√
2 y,0
B(p = 0,5; n = 5)
≤y≤1
b ) f (z) = 0,5, −1 ≤ z ≤ 1
4