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Matemática para Economistas
Curso 6
Práctica 9: Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones lineales homogéneas
Ejercicio 1 Encuentre la solución general de las ecuaciones diferenciales homogéneas
siguientes:
Coeficientes constantes
a. y ′′ = 0
b. y ′′ − 3 ⋅ y ′ + 2 ⋅ y = 0
d. y ′′′ − y ′ = 0
e. y ′′′ − 3 ⋅ y ′′ + 3 ⋅ y ′ − y = 0
c. y ′′ + 4 ⋅ y ′ + 5 ⋅ y = 0
f. y ( 4 ) + 2 ⋅ y ( 2 ) + y = 0
Respuestas:
(a) y ( x ) = c1 ⋅ x + c 2
(b) y ( x ) = c 1 ⋅ e x + c 2 ⋅ e 2⋅x
(c) y ( x ) = e −2⋅x ⋅ ( c1 ⋅ cos ( x ) + c 2 ⋅ sen ( x ) )
(d) y ( x ) = c 1 + c 2 ⋅ e x + c 3 ⋅ e − x
(e) y ( x ) = ( c 1 + c 2 ⋅ x + c 3 ⋅ x 2 ) ⋅ e x
(f) y ( x ) = ( c1 ⋅ cos ( x ) + c 2 ⋅ sen ( x ) ) + ( c 3 ⋅ cos ( x ) + c 4 ⋅ sen ( x ) ) ⋅ x
Coeficientes variables (ecuaciones de Euler)
(a) x 2 ⋅ y ′′ + ( 5 2 ) ⋅ x ⋅ y ′ − y = 0
(b) x 2 ⋅ y′′ − x ⋅ y′ + y = 0
(c) x 2 ⋅ y ′′ + x ⋅ y ′ + y = 0
(d) x 2 ⋅ y ′′ − x ⋅ y ′ + 2 ⋅ y = 0
(e) ( x + 2 ) ⋅ y′′ + 3 ⋅ ( x + 2 ) ⋅ y ′ − 3 ⋅ y = 0
2
Respuestas:
(a) y ( x ) = c 1 ⋅ x 1 2 + c 2 ⋅ x −2
(b) y ( x ) = c1 ⋅ x + c 2 ⋅ x ⋅ ln ( x )
(c) y ( x ) = c 1 ⋅ cos ( ln ( x ) ) + c 2 ⋅ sen ( ln ( x ) )
(d) y ( x ) = c 1 ⋅ x ⋅ cos ( ln ( x ) ) + c 2 ⋅ x ⋅ sen ( ln ( x ) )
(e) y ( x ) = c1 ⋅
1
3 + c2 ⋅ ( x + 2 )
(x + 2)
Ecuaciones lineales no-homogéneas o completas
Ejercicio 2 Encuentre la solución general de las ecuaciones diferenciales siguientes:
Método de coeficientes indeterminados
(a) y ′′ + y = x 2 + x
(d) y′′ − y = e x ⋅ ( x 2 − 1 )
(b) y ′′ + y ′ = x − 2
(c) y ′′ + 9 ⋅ y = e 5⋅x
(e) x 2 ⋅ y′′ − x ⋅ y′ + 2 ⋅ y = x ⋅ ln ( x )
1
 y ′′ + y = 2 ⋅ cos ( x )

(g)  y ( 0 ) = 1
 y′ 0 = 0
 ( )
 y ′′ − 5 ⋅ y ′ + 6 ⋅ y = ( 12 ⋅ x − 7 ) ⋅ e − x

(f)  y ( 0 ) = 0
 y′ 0 = 0
 ( )
Respuestas:
(a) y ( x ) = M ⋅ cos ( x ) + N ⋅ sen ( x ) + x 2 + x − 2
(b) y ( x ) = c1 + c 2 ⋅ e − x + x ⋅ ( ( 1 2 ) ⋅ x − 3 )
(c) y ( x ) = M ⋅ cos ( 3 ⋅ x ) + N ⋅ sen ( 3 ⋅ x ) +
1 5⋅x
⋅e
34
(d) y ( x ) = c1 ⋅ e x + c 2 ⋅ e − x + e x ⋅ x ⋅ ( 1 6 ⋅ x 2 − 1 4 ⋅ x − 1 4 )
(e) y ( x ) = x ⋅  M ⋅ cos ( ln ( x ) ) + N ⋅ sen ( ln ( x ) )  + x ⋅ ln ( x )
(f) S.P: y ( x ) = e 2⋅x − e 3⋅x + x ⋅ e − x
(g) S.P: y ( x ) = cos ( x ) + x ⋅ sen ( x )
Método de variación de las constantes
(a) y ′′ − y =
2 ⋅ ex
ex − 1
(b) y ′′ + a2 ⋅ y =
(c) y′′ − y′ =
1
cos( a ⋅ x )
(x ≠ 0)
x ∈ [ 0, π 2 ⋅ a )
1
e +1
x
(d) x 2 ⋅ y′′ − x ⋅ y′ + y = x ⋅ ln 3 ( x )
(e) − y′ + y = e 2⋅x ⋅ cos ( e x )
(f) x ⋅ y′′ − ( 1 + 2 ⋅ x 2 ) ⋅ y ′ = 4 ⋅ x 3 ⋅ e x
2
Respuestas:
(a) y( x ) = c1 ⋅ e x + c 2 ⋅ e − x − 1 − x ⋅ e − x + ( e x − e − x ) ⋅ ln ( 1 − e − x )
(b) y( x ) = c1 ⋅ cos ( a ⋅ x ) + c 2 ⋅ sen ( a ⋅ x ) + ( 1 a 2 ) ⋅ cos ( a ⋅ x ) ⋅ ln cos ( a ⋅ x ) + ( 1 a ) ⋅ sen ( a ⋅ x ) ⋅ x
(c) y ( x ) = c 1 ⋅ e x + c 2 − 1 + ( 1 + e x ) ⋅ ln ( 1 + e − x )
(d) y ( x ) = c 1 ⋅ x + c 2 ⋅ x ⋅ ln ( x ) +
1
⋅ x ⋅ ln 5 ( x )
20
(e) y ( x ) = c1 ⋅ e x − e x ⋅ sen ( e x )
2
2
(f) y ( x ) = c1 ⋅
2
ex
+ c2 + ( x 2 − 1) ⋅ ex
2
Análisis cualitativo
Método de isoclinas
Ejercicio 3 Estudie la solución de las ecuaciones diferenciales siguientes a través del
campo de direcciones dado por ( x , y ′ ( x ) ) .
(a) y ′ = x
(b) y ′ = y x
(d) y ′ = − y x
(e) y ′ = x 2 + y 2
(c) y ′ = −x y
Diagrama de fase
Ejercicio 4 Dadas las ecuaciones siguientes (nota: aquí denotaremos por t a la
variable independiente):
y = y − 1
(a) 
 y ( t0 ) = y 0
t∈
y = −y + 1
(b) 
 y ( t0 ) = y 0
t∈
(i) Halle su solución. Grafique las trayectorias para diferentes condiciones iniciales.
(ii) Muestre que la solución está definida para todo t ∈
.
(iii) Estudie la estabilidad de la solución de equilibrio mediante un diagrama de fase.
Respuestas:
(i.a) y ( t ) = et −t0 ⋅ ( y 0 − 1 ) + 1
(i.b) y ( t ) = e −(t −t0 ) ⋅ ( y 0 − 1 ) + 1
(iii.a) La solución y * ( t ) ≡ 1 es inestable.
(iii.a) La solución y * ( t ) ≡ 1 es asintóticamente estable.
2
 y = y − 0, 5 ⋅ y
(c) 
 y ( 0 ) = y0
t ∈ [ 0, β )
(i) Halle su solución. Determine las dos soluciones de equilibrio. Grafique las
trayectorias para diferentes condiciones iniciales (tomar, por ejemplo, y 0 = 4 ,
y 0 = 0, 1 e y 0 = −0, 1 ).
(ii) Muestre que si se eligen condiciones iniciales “cercanas” a y = 2 las soluciones
están definidas para β = +∞ . ¿Qué ocurre si se toman condiciones iniciales
“próximas” a y = 0 ?
(iii) Estudie la estabilidad de la soluciones de equilibrio mediante un diagrama de
fases.
3
(iv) Estudie la estabilidad de las soluciones de equilibrio a partir de la linealización
de la ecuación en un entorno de los puntos de equilibrio.
Respuestas:
(i) y ( t ) =
y0
y  y

e −(t −t0 ) ⋅  1 − 0  + 0
2  2

(ii) y * ( t ) ≡ 0 e y ** ( t ) ≡ 2 . Si la condición inicial se toma levemente por arriba del
punto y = 0 la solución está definida para β = +∞ . En cambio, si se elige una
condición inicial inferior a y = 0 , la solución está definida hasta
 1 − 0, 5 ⋅ y 0 
.
 −0, 5 ⋅ y 0 
β = ln 
(iii) y * ( t ) ≡ 0 (inestable) e y ** ( t ) ≡ 2 (localmente estable).
 y = − y 3
(d) 
 y ( t0 ) = y 0
t ∈ [t0 , ∞ )
 y = y 3
(e) 
 y ( t0 ) = y 0
t ∈ [ t0 , β )
(i) Halle la solución. Grafique las trayectorias para diferentes condiciones iniciales.
(ii) Estudie la estabilidad de la solución de equilibrio mediante un diagrama de fases.
(iii) Muestre que si se linealiza la ecuación en un entorno del punto de equilibrio la
ecuación que se obtiene no provee información acerca del comportamiento de las
soluciones en las proximidades de y * ≡ 0 .
Respuesta:
(d.i) y ( t ) =
y0
1 + 2 ⋅ ( y 0 ) ⋅ ( t − t0 )
2
(d.ii) La solución y * ≡ 0 es asintóticamente estable.
(e.i) y ( t ) =
y0
1 − 2 ⋅ ( y 0 ) ⋅ ( t − t0 )
2
(e.ii) La solución y * ≡ 0 es inestable.
 y = y 2
(f) 
 y ( t0 ) = y0
t ∈ [t0 , β )
Ídem punto (d)
Respuesta:
(i) y ( t ) =
y0
1 − y 0 ⋅ ( t − t0 )
4
(ii) La solución y * ≡ 0 es inestable.
y = 0
(g) 
 y ( 0 ) = y0
t∈
(i) Halle su solución. Grafique las trayectorias.
(ii) Determine los puntos de equilibrio de la ecuación y estudie su estabilidad.
(iii) Interprete los resultados antes obtenidos a partir de un diagrama de fases.
Respuestas:
(i) y ( t ) ≡ y 0
(ii) Infinitos puntos de equilibrio estables.
 y = sen ( y )
(h) 
 y ( t0 ) = y0
t ∈ [ t0 , ∞ )
(i) Determine la solución del problema (¡revisar algún libro de análisis I!).
(ii) Determine los puntos de equilibrio. Graficar las trayectorias para condiciones
iniciales cercanas a y = 0 .
(iii) Analice la estabilidad de los puntos de equilibrio a través de un diagrama de
fases.
(iv) Si y ( 0 ) = π 6 , cuánto tiempo tarda en alcanzarse la solución y * ≡ π . Interprete el
resultado a partir del diagrama de fases.
Respuestas:
 y  
(i) y ( t ) = 2 ⋅ arctg  tg  0  ⋅ et 
  2  
(ii) x * = n ⋅ π , n ∈ .
(iii) Son localmente estables los puntos x * = n ⋅ π , n ∈ {… , −3, −1, 1, 3,…} e inestables
los puntos x * = n ⋅ π , n ∈ {… , −4, −2, 0, 2, 4,…} .
(iv) Infinito.
Ejercicio 5 (No unicidad de la solución) Considere la ecuación diferencial y = 3 ⋅ y 2 3 .
Halle una solución general de la misma. Verifique que la función u ( t ) ≡ 0 es también
solución. Grafique algunas trayectorias posibles.
13
Solución: y ( t ) = ( t − t0 ) + ( y 0 ) 


3
5
Aplicaciones económicas
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
Ejercicio 1 (Curva de crecimiento logística) En fenómenos de crecimiento demográfico
se estudia la función que surge de encontrar la solución de la ecuación diferencial
siguiente:
y (s)
= a − b ⋅ y (s) ,
y (s)
( a, b > 0 )
Según esta ley la tasa de crecimiento de una población, y ( s ) y ( s ) , es la diferencia
entre la tasa de nacimiento, a , y la tasa de muerte b ⋅ y ( s ) . El modelo supone,
entonces, que la tasa de muerte es proporcional a la cantidad de individuos en la
población.
(a) Encuentre su solución general.
(b) Suponiendo a = 1 y b = 1 8 , grafique la trayectoria de y para las condiciones
iniciales que siguen: (i) y(0) = 1 2 y (ii) y(0) = 16
Respuesta:
(a) y(t ) =
a
b + k ⋅ e − a⋅t
(b) (i) y(t ) =
8
8
, (ii) y(t ) =
−t
1 − 0, 5 ⋅ e − t
1 + 15 ⋅ e
Ejercicio 2 (Función de producción CES) En un estudio empírico que comprendió una
muestra de industrias de varios países se observó que, dentro de cada industria, el
valor agregado por unidad de trabajo varía a través de los países con el salario real,
w . La relación estudiada fue la siguiente [Arrow, Chenery, Minhas y Solow, 1961]:
ln (Y L ) = ln ( a ) + b ⋅ ln ( w ) ,
(b > 0)
Suponga que el producto en la industria se puede expresar como una función del
trabajo y el capital: Y = F ( K , L ) . Si la función de producción exhibe rendimientos
constantes a escala entonces el producto medio del trabajo, y , es función del capital
percápita:
(i) y := Y L = F ( K L , 1 ) := y ( k ) , donde k := K L ,
además si los mercados de productos y factores son competitivos el salario real es
igual a su producto marginal:
(ii) w = y ( k ) − k ⋅ y ′ ( k ) .
reemplazando (i) y (ii) en la primera resulta una ecuación diferencial en k :
ln ( y ( k ) ) = ln ( a ) + b ⋅ ln ( y ( k ) − k ⋅ y ′ ( k ) )
(a) Encuentre su solución general.
6
Respuestas:
(
(a.1) Si b ≠ 1 se obtiene y( k ) = β ⋅ k ( b −1) b + a(
−1 b )
)
b ( b − 1)
, donde β es una constante de
integración. Llamando ρ := ( b − 1 ) b y α := a ρ −1 se puede escribir:
1
y (k) = (β ⋅ kρ + α )ρ
Retornando a las variables originales resulta: Y = ( β ⋅ K ρ + α ⋅ Lρ )
1ρ
.
Finalmente haciendo α + β := γ ρ y β ⋅ γ − ρ := δ se llega a la expresión general de la
función de producción de elasticidad de sustitución constante (CES):
1
Y = γ ⋅ (δ ⋅ K ρ + ( 1 − δ ) ⋅ Lρ ) ρ
( ρ < 1)
(a.2) Si b = 1 se obtiene y ( k ) = A ⋅ k ( a −1) a , retornando a las variables originales:
Y = A ⋅ K ( a−1) a ⋅ L1 a .
Haciendo α := ( a − 1) a resulta la función de producción Cobb-Douglas:
Y = A ⋅ K α ⋅ L1−α
Ejercicio 3 Obtenga la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales [Solow,
1956, y Swan, 1956]:
 k ( s ) = 0, 15 ⋅ k ( s ) − 0, 03 ⋅ k ( s )
(a) 
 k ( t0 ) = k0 > 0
s ∈ [t 0 , t ]
β
 k ( v ) = s ⋅ k ( v ) − n ⋅ k ( v )
(b) 
 k ( t0 ) = k0 > 0
v ∈ [t0 , t ]
,
donde: 0 < β < 1 , 0 < s < 1 y 0 < n < 1 .
Respuestas:
(
)
(a) k ( t ) =  k0 ⋅ e −0 ,015⋅(t −t0 ) + 5 ⋅ 1 − e −0 ,015⋅( t −t0 ) 


(b) k ( t ) = ( k0 )

1− β
(
2
)
1
⋅ e −( 1− β )⋅n⋅(t −t0 ) + ( s n ) ⋅ 1 − e −( 1− β )⋅n⋅(t −t0 )  1− β

Ejercicio 4 (Velocidad de convergencia) Suponga que en el punto (a) del ejercicio
anterior el valor inicial de k ( t ) , k0 , es igual a 20% del valor de largo plazo.
Determine el tiempo mínimo necesario para que k recorra la mitad del camino entre
su valor inicial y el de equilibrio de largo plazo.
Respuesta: t * − t0 ≅ 59, 8
7
Ejercicio 5 Estudie la existencia y estabilidad del equilibrio de la ecuación diferencial
que sigue:
(
)
k ( v ) = s ⋅ a ⋅ k ( v ) + b 2 − n ⋅ k ( v )

(c) 
 k ( t0 ) = k0 > 0
v ∈ [t0 , t ]
,
donde: a , b > 0 , 0 < s < 1 y 0 < n < 1 .
Respuesta: La existencia de solución de equilibrio requiere que
caso el equilibrio, k * = b 2
(
n s −a
)
2
n s − a > 0 . En ese
, es asintóticamente estable.
Ejercicio 6 Considere el siguiente modelo de estabilidad del equilibrio de Walras
(1834-1910):
QD = D ( p ) ,
D′( p ) < 0
QS = S ( p )
p = F ( Q D − QS ) ,
s ∈ [ t 0 , t ] , F ( 0 ) = 0 y F′ ( 0 ) > 0
pt0 = p0
p * = {p ∈
+
: p = 0}
(a) Suponga que la curva de oferta tiene pendiente positiva y que existe un punto de
equilibrio. Estudie la estabilidad local del equilibrio.
(b) Asuma que la curva de oferta posee un primer tramo (para niveles de precios
bajos) donde las cantidades ofrecidas aumentan al aumentar el precio y, a
continuación, un segundo tramo donde las cantidades ofrecidas descienden al
aumentar el precio. Suponga también que el sistema determina dos puntos de
equilibrio: p * en el tramo con pendiente positiva de la curva de oferta y p ** en el
tramo con pendiente negativa. Estudie la estabilidad local de los puntos de
equilibrio.
(c) En particular suponga las siguientes funciones de demanda y de oferta:
Q D = 50 − 4 ⋅ p
QS = 10 + 10 ⋅ p − p 2
Respuestas:
(a) p ( t ) = e F ( 0 )⋅( D −S )⋅( t −t0 ) ⋅ ( p0 − p * ) + p * , el equilibrio es asintóticamente estable.
′
′
′
(b) El primer punto de equilibrio, p * , es localmente estable, el segundo, p ** , es
inestable.
8
(c) p(t ) =
10 − p0
10 − 4 ⋅ c ⋅ e 6⋅t
, donde c =
6⋅t
4 − p0
1−c⋅e
Modelos lineales
Ejercicio 7 El stock de capital físico de una economía está determinado por el flujo de
inversión bruta, I , y la tasa de depreciación del capital, δ ⋅ K :
s ∈ [t0 , t ]
K ( s ) = I ( s ) − δ ⋅ K ( s )

K ( t0 ) = K 0
,
donde: 0 ≤ δ < 1 . K ( s ) indica el stock de capital, I (s ) la inversión bruta y δ la tasa
de depreciación del capital existente en el instante s . La ecuación diferencial indica
que el stock de capital aumenta cuando la inversión bruta supera a la tasa de
depreciación del stock existente.
(a) Obtenga la trayectoria del stock de capital.
(b) Suponga que la tasa de inversión se mantiene constante en el tiempo, I (s) ≡ I .
Determine la trayectoria del stock de capital.
Respuesta:
t
(a) K ( t ) = K 0 ⋅ e
−δ ⋅( t − t0 )
∫
+ I ( s ) ⋅ e −δ ⋅(t −s ) ⋅ d s
t0
(b) K ( t ) = ( K 0 − I δ ) ⋅ e −δ ⋅(t −t0 ) + I δ
Ejercicio 8 Considere el siguiente modelo de estabilidad del equilibrio parcial
walrasiano:
QD ( p, s ) = D ( s ) − a ⋅ p ( s )
a>0
QS ( p , s ) = S ( s ) + b ⋅ p ( s )
b>0
p = k ⋅ ( Q D − QS )
s ∈ [t 0 , t ] , k > 0
p ( t0 ) = p0
p * := { p ∈
+
: p = 0}
El modelo describe el comportamiento del precio del bien cuando el mercado se
encuentra en desequilibrio: el precio sube (baja) cuando existe exceso de demanda
(oferta). Se supone que las variables exógenas D(s ) y S(s ) pueden modificarse por
cambios en las preferencias y en el ingreso de los consumidores y por alteraciones en
la tecnología y en el precio de los factores, respectivamente. La cuarta ecuación es
una condición inicial en tanto la quinta define el precio de equilibrio.
9
(a) Obtenga el precio de equilibrio asumiendo que D(s ) ≡ D y S(s) ≡ S . Normalice
k = 1.
(b) Estudie la estabilidad del equilibrio obtenido en (a) mediante un diagrama de
fases.
(c) Encuentre la solución del modelo suponiendo que D(s ) ≡ D y S(s ) ≡ S . Grafique la
solución hallada para las tres condiciones iniciales que siguen: (i) p0 = p * , (ii)
p0 > p * y (iii) p0 < p * .
(d) Suponga que, como consecuencia de un cambio en las preferencias de los
consumidores, las cantidades demandadas exógenamente se elevan hasta
D(s ) ≡ D + ∆D a partir de s ≥ t1 mientras la oferta exógena se mantiene invariante
en el tiempo. La perturbación permanente se representa por:
D
D(s) = 
D + ∆D
S (s) = S
si
si
t0 ≤ s < t1
t1 ≤ s
∀s
Encuentre y grafique la solución asumiendo que p0 = p * .
(e) ¿Hacia qué valor tiende la solución anterior en el largo plazo?
(f) Encuentre la solución del modelo si los procesos de las variables exógenas son los
que siguen (perturbación transitoria):
D

D ( s ) = D + ∆D
D

S (s) = S
si
si
si
t0 ≤ s < t1
t 1 ≤ s < t 1 + ∆t 1
t1 + ∆t1 ≤ s
∀s
Grafique la solución hallada.
(g) ¿Hacia qué valor tiende la solución anterior en el largo plazo?
Respuestas:
(a) p * =
D−S
a+b
− a + b ⋅ t −t
(c) p ( t ) = ( p0 − p * ) ⋅ e ( ) ( 0 ) + p *
( p0 − p * ) ⋅ e −( a+ b )⋅( t −t0 ) + p *

(d) p ( t ) = 
∆D
−( a + b )⋅( t − t0 )
*
+ p* +
⋅ 1 − e −( a + b )⋅(t −t1 )
( p0 − p ) ⋅ e
a+c

(
(e) lim t →+∞ p ( t ) = p * +
t0 ≤ t < t1
)
t1 ≤ t
∆D
= p **
a+c
10
(f)

− ( a + b )⋅( t − t0 )
*
+ p*
( p0 − p ) ⋅ e

∆D

⋅ 1 − e −( a+ b )⋅(t −t1 )
p ( t ) = ( p0 − p * ) ⋅ e −( a+ b )⋅(t −t0 ) + p * +
a+c

∆D

− ( a + b )⋅( t − t0 )
*
+ p* +
⋅ 1 − e −( a+ b )⋅∆t1 ⋅ e −( a + b )⋅(t −t1 −∆t1 )
( p0 − p ) ⋅ e
a+c
(
(
t0 ≤ t < t 1
)
)
t 1 ≤ t < t 1 + ∆t 1
t 1 + ∆t 1 ≤ t
(g) lim t →+∞ p ( t ) = p *
Modelos con expectativas adaptativas
Ejercicio 9 La hipótesis de expectativas adaptativas es frecuentemente utilizada en
macroeconomía para describir cómo los agentes formulan pronósticos sobre ciertas
variables endógenas. En un modelo de inflación ésta hipótesis se puede formular de
la siguiente manera:
π e ( s ) = β ⋅ (π ( s ) − π e ( s ) )
 e
π ( t0 ) = π 0
s ∈ [ t0 , t ]
,
donde β > 0 , π ( s ) es la inflación o la tasa de variación del nivel de precios en el
instante s y π e ( s ) el nivel de inflación esperada. Dado el signo de β , la ecuación
indica que los agentes corregirán las expectativas de inflación hacia arriba (abajo) si
subestimaron (sobreestimaron) la inflación.
(a) Obtenga la solución de la ecuación diferencial en la inflación esperada.
(b) Si la inflación se mantiene constante en el tiempo, π (s ) ≡ π > 0 , cuál es la inflación
esperada en el largo plazo?
Respuesta:
− β ⋅ t −t
(a) π e ( t ) = π 0e ⋅ e ( 0 ) + β ⋅
t
∫ π (s) ⋅ e
t0
− β ⋅( t − s )
⋅ds
(b) π e ( t ) = π
Ejercicio 10 Suponga que los inversores en los mercados financieros pueden elegir
entre dos activos: bonos del gobierno libres de riesgo, cuyo retorno es fijo e igual a r ,
y acciones, que pagan una corriente instantánea de dividendos d ( t ) . El problema
consiste en determinar el precio de la acción, p ( t ) . En equilibrio, el rendimiento
esperado para ambos activos debe ser el mismo, por lo tanto:
pe (t ) d (t )
+
=r,
p (t ) p (t )
donde p e ( t ) es el cambio esperado en el precio del activo. Suponga que las
expectativas son adaptativas:
pe (t ) = β ⋅ ( p (t ) − pe (t )) ,
β >0
11
(a) Determine las trayectorias del precio esperado y del precio de equilibrio. Asuma
que el sistema parte de algún pronóstico inicial para el precio de la acción, p e ( t0 ) .
(b) Encuentre p e ( t ) y p ( t ) si d ( t ) ≡ d . ¿Cuál es el valor de largo plazo para el precio
del activo?
(c) Determine la evolución del error de pronóstico: er ( t ) := p ( t ) − p e ( t ) .
Respuestas:
(a) p e ( t ) = p0e ⋅ e
− ( β ⋅r r − β )⋅( t − t0 )
+
β
r−β
⋅
∫
t
t0
d (s) ⋅ e
−( β ⋅r r − β )⋅( t − s )
⋅ ds
(condición de estabilidad β < r )
(b) p e ( t ) = e
p (t ) = e
−( β ⋅r r − β )⋅( t − t0 )
− ( β ⋅r r − β )⋅( t − t0 )
⋅ ( p0e − d r ) + d r
⋅ − β ( r − β )( p0e − d r ) + d r
Ejercicio 11 Considere la siguiente versión del modelo de inflación de Cagan [1956]
con expectativas adaptativas:
(1) m D = A ⋅ exp ( −α ⋅ π e ( s ) ) ,
(2) π e (s) :=
α >0
d ln P e (s)
ds
(3) π e (s) = β ⋅ ( ln P(s) − ln P e (s) ) ,
β >0
(4) mO = M ( s ) P ( s )
(5) m D = mO
s ∈ [t0 , t ]
(6) ln P e (t0 ) = ln P0e
La primera función es la demanda de dinero, donde A es una variable exógena
(que puede interpretarse como el nivel de ingreso real de pleno empleo) y π e ( s )
denota la tasa esperada de variación del nivel de precios en el instante s . La
demanda de saldos reales depende negativamente de la tasa de inflación esperada: a
mayor inflación esperada superior es el costo de oportunidad de mantener cierta
parte de la riqueza en forma de dinero. El nivel de precios se denota por P y por P e
el nivel de precios esperado. La segunda ecuación es la definición de inflación
esperada. La tercera ecuación define cómo se forman las expectativas sobre la
inflación esperada. Esta especificación, en donde la tasa de inflación esperada se
ajusta de acuerdo a los errores de pronósticos cometidos, corresponde a la hipótesis
de expectativas adaptativas. La ecuación indica que siempre que el nivel de precios
corriente sea mayor (menor) que el nivel de precios esperados, la inflación esperada
para un instante de tiempo (infinitesimalmente) posterior se corregirá hacia arriba
(abajo). La cuarta ecuación es la oferta de saldos reales como función del tiempo.
Suponga que la cantidad nominal de dinero es una variable exógena bajo control del
12
banco central. La ecuación (5) es la condición de equilibrio (continuo) para el
mercado de dinero y (6) es una condición inicial para la variable endógena P e . El
instante corriente se denota por t .
(a) Encuentre la trayectoria del nivel de precios esperado y del nivel de precios
(asuma A = 1 ). Sugerencia: resuelva el modelo mediante el cambio de variables
siguiente: p e ( s ) := ln P e ( s ) y p ( s ) := ln P ( s ) .
(b) Suponga que el banco central mantiene constante la cantidad de dinero, obtenga
la trayectoria de p e y p .
(c) Suponga que el banco central mantiene constante la cantidad nominal de dinero
en M desde t0 hasta t1 , a partir de t1 se produce una perturbación permanente
que eleva la cantidad de dinero en una proporción η :
s < t1
t1 ≤ s ,
M
M(s ) = 
η ⋅ M
η >1
Obtenga y grafique las trayectorias de p e y p .
Respuestas:
−β
(a) p e ( t ) = p0e ⋅ e 1−α ⋅β
⋅( t −t0 )
+
−β
(b) p e ( t ) = ( p0e − m ) ⋅ e 1−α ⋅β
β
⋅
1 −α ⋅ β
⋅( t − t0 )
∫
t
t0
−β
m ( s ) ⋅ e 1−α ⋅β
⋅( t − s )
⋅d s
+m
−β
⋅( t −t0 )
 e
1 −α ⋅β
−
⋅
+m
p
m
e
(
)
 0

e
(c) p ( t ) = 
−β
−β
⋅( t −t0 )
⋅( t − t1 ) 

1 −α ⋅β
( p0e − m ) ⋅ e 1−α ⋅β
+ m +1− e
 ⋅ ln η ⋅




t < t1
t1 ≤ t
Modelos con expectativas racionales (previsión perfecta)
Ejercicio 12 A partir de la siguiente condición de arbitraje (para agentes neutrales al
riesgo) entre un activo libre de riesgo y una acción:
pe ( s ) d ( s )
+
= r (s)
p (s) p (s)
s ∈ [t , T ] ,
donde p ( s ) es el precio de la acción, r ( s ) es la tasa de rentabilidad del activo libre de
riesgo, d ( s ) el valor nominal de los dividendos que en forma instantánea distribuye
la empresa y p e ( s ) la tasa esperada de variación del precio del activo. Asuma que los
agentes poseen previsión perfecta y que conocen la trayectoria de r ( s ) y d ( s ) en el
intervalo [t , T ] .
(a) Determine el precio de la acción asumiendo la condición terminal p (T ) = pT .
13
(b) Asuma que el horizonte de tiempo se prolonga hasta infinito y que la solución
corresponde a la parte fundamental, determine el precio de la acción si d ( s ) ≡ d y
r ( s ) ≡ r ∀s ∈ [t , +∞ ) .
(c) Suponga ahora que en el instante t0 se anuncia que a partir de un instante futuro
t1 > t0 los dividendos aumentarán 50%, determine cómo evolucionará el precio de
la acción en el tiempo (antes del anuncio, a partir del anuncio y luego del cambio).
Grafique la trayectoria.
Respuestas:
T
r ( v )⋅dv
+
(a) p ( t ) = pT ⋅ e ∫t
−
∫
T
t
s
r ( v )⋅dv
⋅ds
d ( s ) ⋅ e ∫t
−
(b) p ( t ) = d r
d r

(c) p(t ) = d r + ( 0, 5 ⋅ d r ) ⋅ e − r (t1 −t )
d + 0, 5 ⋅ d r

t < t0
t0 ≤ t < t1
t1 ≤ t
Ejercicio 13 Considere la siguiente versión del modelo de inflación de Cagan [1956]
con previsión perfecta. La hipótesis de previsión perfecta significa que los agentes
conocen la estructura completa del modelo, la forma funcional de la demanda de
dinero, el valor del parámetro α y los valores pasados, corriente y futuros de la
oferta nominal de dinero. En este caso las ecuaciones (11.3) y (11.6) cambian de
acuerdo al nuevo supuesto sobre formación de expectativas. El supuesto implica que
los agentes no cometen errores de pronóstico y, por lo tanto, se verifica (13.2):
(1) m D = A ⋅ exp ( −α ⋅ π e ( s ) ) ,
α >0
(2) π e ( s ) = π ( s )
(3) π ( s ) :=
d ln P ( s )
ds
(4) m O = M ( s ) P ( s )
(5) m D = m O
s ∈ [t , T ]
(6) ln P(T ) = ln PT
(a) Encuentre la trayectoria del nivel de precios esperados y del nivel de precios.
(b) Asuma que el horizonte de tiempo se prolonga hasta infinito y que la solución
corresponde a la parte fundamental. Obtenga la trayectoria de p e y p si el banco
central mantiene constante la cantidad de dinero.
(c) (Perturbación anticipada) Suponga que, partiendo de una cantidad nominal de
dinero constante e igual a M , el banco central anuncia en el instante t0 que
14
aumentará la cantidad de dinero hasta η ⋅ M a partir t1 . Es decir, a partir del
instante t0 el conjunto de información es el siguiente:
s < t1
, η >1
t1 ≤ s
M
M(s ) = 
η ⋅ M
Bajo las mismas condiciones que en el punto anterior, obtenga y grafique la
trayectoria del nivel de precios para los intervalos t < t0 , t0 ≤ t < t1 y t1 ≤ t .
(d) Analice el comportamiento de la solución cuando ( t1 − t0 ) , el “tiempo de
descuento del suceso”, tiende a cero; es decir, cuando los instantes de anuncio y
de realización del cambio en M(s ) coinciden (perturbación no-anticipada).
Respuestas:
(a) p ( t ) = pT ⋅ e −α
(b) p ( t ) = α −1 ⋅
∫
t
−1
∞
⋅(T − t )
+ α −1 ⋅
∫
T
t
m ⋅ e −α
−1
⋅( s − t )
m ( s ) ⋅ e −α
−1
⋅( s −t )
⋅ds
⋅ds = m
t < t0
m

−1
(c) p ( t ) = m + ln η ⋅ e −α ⋅(t1 −t )
m + ln η

t0 ≤ t < t 1
t1 ≤ t
Ejercicio 14 El valor de mercado de una empresa, V , puede definirse como el valor
presente descontado de la corriente futura de beneficios esperados, π . Si la empresa
tiene un período de vida determinado, T , y la tasa de descuento es constante e igual
a r , entonces el valor en t de la misma es:
V (t ) =
T
∫ π (s) ⋅ e
− r ⋅( s − t )
t
ds
Suponga que el gobierno de forma no anticipada establece un impuesto sobre el
valor de mercado de la empresa. El impuesto consiste en una tasa impositiva, τ , que
se devenga en forma continua. Entonces, en un instante de tiempo cualquiera el
beneficio neto de impuestos de la empresa es igual a π ( s ) − τ ⋅ V ( s ) . Luego, el valor
de mercado de la empresa se determina a partir de la siguiente ecuación integral
(Hotelling, [1931]):
V (t ) =
T
∫ π ( s ) −τ ⋅ V ( s )⋅ e
t
− r ⋅( s −t )
⋅ds
(a) Determine el valor de mercado de la empresa suponiendo si posee un valor
residual igual a cero, es decir: V (T ) = 0 .
Respuesta: (a) V ( t ) =
T
∫ π (s) ⋅ e
t
− ( r +τ )⋅( s − t )
⋅d s
15
Ejercicio 15 (Un modelo de volatilidad del tipo de cambio) Considere el siguiente modelo
macroeconómico para una economía pequeña y abierta [Dornbusch, 1976]:
(1) r ( s ) = r * + e ( s )
(condición de arbitraje)
(2) m ( s ) − p ( s ) = −α ⋅ r ( s )
(mercado de dinero)
(3) p ( s ) = β ⋅ ( e ( s ) + p * − p ( s ) )
(mercado de bienes)
s ∈ [t0 , T ]
(4) p ( t0 ) = p0
(condición inicial)
(5) lim t →+∞ e ( t ) = e
(condición terminal)
La primera ecuación establece la condición de equilibrio para el mercado de valores:
los agentes estarán indiferentes entre demandar títulos denominados en moneda
doméstica ó en moneda extranjera siempre que cualquier diferencia entre tasas sea
compensada por una expectativa de apreciación ó depreciación de la moneda
doméstica. Se asume previsión perfecta en el mercado de valores. La segunda
ecuación es la condición de equilibrio para el mercado de dinero dada por la
igualdad (para todo instante de tiempo) entre oferta y demanda de saldos reales. El
modelo asume que el producto se encuentra dado. La tercera ecuación indica que el
nivel de precios responde al exceso de demanda de bienes. La demanda agregada
depende positivamente del tipo real de cambio. La cuarta ecuación establece una
condición inicial sobre el nivel de precios mientras la quinta una condición terminal
sobre el tipo de cambio ( e es el tipo de cambio de equilibrio de largo plazo para una
cantidad nominal de dinero constante).
El modelo, entonces, determina soluciones para el tipo de cambio, el nivel de precios
y la tasa de interés doméstica dados ciertos procesos para la cantidad nominal de
dinero, el nivel de precios extranjero y la tasa de interés internacional.
(a) Asuma que la cantidad de dinero se mantiene constante. Determine la solución
para el tipo de cambio y el nivel de precios.
(b) (Overshooting) Suponga que, partiendo de un estado inicial de equilibrio, el banco
central aumenta en t1 la cantidad nominal de dinero hasta m + ∆m (la
perturbación es no-anticipada). Obtenga la solución para el tipo de cambio y el
nivel de precios.
Respuestas:
(a) e ( t ) = m + ( p0 − m ) ⋅
1
⋅ e λ2 ⋅(t −t0 )
α ⋅ λ2
( λ2 < 0 )
p ( t ) = m + ( p0 − m ) ⋅ e λ2 ⋅( t −t0 )


1
(b) e ( t ) = m + 1 −
⋅ e λ2 ⋅(t −t1 )  ⋅ ∆m ,
 α ⋅ λ2

t ≥ t1
p ( t ) = m + 1 − e λ2 ⋅(t −t1 )  ⋅ ∆m
16
Algunas aplicaciones en teoría de la probabilidad
Ejercicio 16 (Tiempo de espera de un suceso aleatorio) Una firma distribuye dividendos
en forma continua en el tiempo. Sin embargo, existe una probabilidad de que en
cierto instante de tiempo la firma quiebre y deje, entonces, de repartir dividendos.
Sea T ≥ 0 la variable aleatoria que denota el tiempo de duración o de vida de la
empresa, f ( t ) su función de densidad y F ( t ) := P (T ≤ t ) la función de distribución.
Cualquiera sea el instante de tiempo, la probabilidad de que la firma quiebre entre t
y t + ∆t condicionada a que no haya quebrado hasta t es una constante igual a λ ⋅ ∆t .
La constante λ puede interpretarse como la intensidad media de quiebra. Por el
principio de multiplicación de las probabilidades tenemos:
P ( t < T ≤ t + ∆t / T > t ) =
P ( t < T ≤ t + ∆t )
P (T > t )
(a) Suponga que conoce el valor de λ y que la función de distribución es
diferenciable, obtenga las funciones de distribución y densidad para la duración
del proceso.
(b) Calcule el tiempo medio de espera. Interprete.
Respuestas:
(a) F ( t ) = 1 − e − λ ⋅t ,
(b) E ( t ) =
f ( t ) = λ ⋅ e − λ ⋅t
1
λ
Ejercicio 17 (Distribución de probabilidades de Poisson). Suponga que ciertos eventos
ocurren aleatoriamente en el tiempo y están continuamente distribuidos en la recta
numérica (por ejemplo: la cantidad de consumidores que llegan a un mercado en
cierto intervalo de tiempo, la cantidad demandada de servicios de salud durante un
lapso de tiempo determinado, el número de huelgas … , etc.). Tal secuencia de
eventos se denomina flujo de acontecimientos. Suponga que este flujo satisface:
(i) Los eventos son independientes:
P  x ( ti + 2 , ti + 3 ) = m / x ( ti , ti + 1 ) = n  = P  x ( ti + 2 , ti + 3 ) = m  si ( ti + 2 , ti + 3 ) ∩ ( ti , ti + 1 ) = ∅
(ii) Intensidad o velocidad media del flujo de acontecimientos:
P x ( t , t + ∆t ) = 1 = v ( t ) ⋅ ∆t ,
v (t ) > 0
(iii) La probabilidad de que ocurra más de un evento en un intervalo infinitesimal de
tiempo es un infinitésimo de orden superior a ∆t :
P x ( t , t + ∆t ) > 1 = ο ( ∆t )
Denote la probabilidad de que la variable aleatoria x tome un valor igual a
m = 0, 1, 2,… en el intervalo ( t0 , t ) por: pm ( t ) := P  x ( t0 , t ) = m 
(a) El problema consiste en determinar la ley de distribución de x .
17
Solución: Comencemos determinando la probabilidad de que no ocurra ningún
acontecimiento en el intervalo ( t0 , t ) : p0 ( t ) . Por el primer supuesto sobre eventos
independientes tenemos:
p0 ( t0 , t + ∆t ) = p0 ( t0 , t ) ⋅ p0 ( t , t + ∆t ) ,
(1)
además por el teorema de la probabilidad total:
+∞
p0 ( t , t + ∆t ) + p1 ( t , t + ∆t ) + ∑ pk ( t , t + ∆t ) = 1 ,
k =2
los últimos dos supuestos permiten volver a expresarla como:
p0 ( t , t + ∆t ) = 1 − v ( t ) ⋅ ∆t − ο ( ∆t ) ,
(2)
reemplazando en (1):
p0 ( t0 , t + ∆t ) = p0 ( t0 , t ) ⋅ 1 − v ( t ) ⋅ ∆t − ο ( ∆t ) ,
que puede volverse a expresarse como:
p0 ( t0 , t + ∆t ) − p0 ( t0 , t )
ο ( ∆t )
= − v ( t ) ⋅ p0 ( t0 , t ) −
,
∆t
∆t
haciendo tender ∆t → 0 obtenemos la ecuación diferencial en variables separables
siguiente:
p′0 ( t0 , t ) = − v ( t ) ⋅ p0 ( t0 , t ) ,
Notemos que la probabilidad de que no ocurra ningún acontecimiento (por ejemplo,
que no arribe ningún comprador al mercado) disminuye con el tiempo a una tasa
v (t ) .
Integrando obtenemos:
p0 ( t0 , t ) = p0 ( t0 , t0 ) ⋅ e
−
t
∫t0 v( s )⋅d s
,
la condición inicial, p0 ( t0 , t0 ) , es igual a 1, es decir, la probabilidad que no se
produzca ningún evento en t0 es 1. Por lo tanto, queda determinada la probabilidad
de que no ocurra ningún evento:
p0 ( t0 , t ) = e
−
t
∫t0 v( s )⋅d s
,
Notemos nuevamente que esta probabilidad disminuye con el tiempo dado que v ( s )
es una función positiva.
¿Cómo obtenemos las restantes probabilidades pm ( t0 , t ) para m = 1, 2,… ? m
acontecimientos pueden ocurrir de las siguientes ( m + 1 ) formas independientes
entre si:
•
•
Pueden ocurrir m eventos favorables en ( t0 , t ) y 0 en ( t , t + ∆t )
“
”
m − 1 en ( t0 , t ) y 1 en ( t , t + ∆t )
18
m − 2 en ( t0 , t ) y 2 en ( t , t + ∆t )
“
”
“
“
•
“
”
1 en ( t0 , t ) y m − 1 en ( t , t + ∆t )
•
“
”
0 en ( t0 , t ) y m en ( t , t + ∆t )
•
•
……
Por lo tanto (para ahorrar notación definimos pm ( t0 , t + ∆t ) := pm ( t + ∆t ) ):
pm ( t + ∆t ) = pm ( t ) ⋅ p0 ( t , t + ∆t ) + pm−1 ( t ) ⋅ p1 ( t , t + ∆t ) + pm− 2 ( t ) ⋅ p2 ( t , t + ∆t ) + … + p0 ( t ) ⋅ pm ( t , t + ∆t )
Teniendo presente el segundo y tercer supuesto y (2) resulta:
pm ( t + ∆t ) = pm ( t ) ⋅ 1 − v ( t ) ⋅ ∆t − ο ( ∆t ) + pm−1 ( t ) ⋅ v ( t ) ⋅ ∆t + ο ( ∆t ) ,
ordenando términos:
pm ( t + ∆t ) = pm ( t ) + ⋅  pm−1 ( t ) − pm ( t )⋅ v ( t ) ⋅ ∆t + ο ( ∆t ) ,
Pasando el primer término del lado derecho al lado izquierdo, dividiendo por ∆t y
tomando límite resulta el siguiente problema:
 p′m ( t0 , t ) =  pm−1 ( t0 , t ) − pm ( t0 , t )  ⋅ v ( t )

m = 1, 2,…
 pm ( t0 , t0 ) = 0
Definimos λ ( t ) :=
t
∫ v ( s ) ⋅ ds , cuya derivada es
t0
d λ (t )
= v ( t ) , sustituyendo en la
dt
d pm ( t ) d λ
=
⋅ pm−1 ( t ) − pm ( t ) , podemos transformarla en una ecuación
dt
dt 
diferencial sobre la variable λ :
ecuación:
d pm ( λ )
+ pm ( λ ) = pm − 1 ( λ ) ,
dλ
(3)
que es una ecuación mixta o ecuación diferencial recurrente. La vamos a resolver
utilizando operadores (ver, por ejemplo, Elsgoltz, 1977):
( D + 1 ) ⋅ pm ( λ ) = pm−1 ( λ ) ,
resolvemos la ecuación en diferencias en m y obtenenos:
m
( D + 1 ) ⋅ pm ( λ ) = p0 ( λ ) ,
Notemos que p0 ( λ ) es conocido y es igual a p0 ( λ ) = e − λ , por lo tanto:
( D + 1 ) m ⋅ pm ( λ ) = e − λ ,
La solución de la ecuación homogénea es (la raíz −1 se repite m veces):
pmh ( λ ) = c 1 ⋅ e − λ + c 2 ⋅ e − λ ⋅ λ + … + cm ⋅ e − λ ⋅ λ m−1
Mientras que la solución particular de la ecuación puede buscarse de la misma
forma:
19
pmp ( λ ) =
m
1
1
−λ
−λ
−λ λ
1
⋅
e
=
e
⋅
⋅
=
e
⋅
Dm
m!
( D + 1 )m
La solución general es entonces:
pm ( λ ) = c 1 ⋅ e − λ + c 2 ⋅ e − λ ⋅ λ + … + c m ⋅ e − λ ⋅ λ m − 1 + e − λ ⋅
λm
m!
(4)
Finalmente queda por determinar el valor de las constantes. La solución hallada debe
verificar la ecuación (3). Haciendo esto obtenemos que los valores de las constantes
no son independientes:
c2 = c1 ,
2 ⋅ c 3 = c1 ,
3 ⋅ 2 ⋅ c 4 = c1 ,
…,
( m − 1 ) !⋅ cm = c1 ,
Pero la condición inicial indica que pm ( λ = 0 ) = 0 , por lo tanto c1 = 0 . Luego
reemplazando el valor de las constantes en (4) llegamos a la distribución de
probabilidades de Poisson:
pm ( λ ) = e − λ ⋅
λm
m!
Ejercicio 18 Muestre que para v ( s ) ≡ a y centrando en t0 = 0 el inicio del instante de
observación la probabilidad que aparezca una vez el acontecimiento entre t0 y t es
igual a la distribución del ejercicio 16.
■
20