E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Prof: Francisco Palacios EPSEM-UPC Noviembre 2008, Versión 1.2 Tema 8: EDOs de orden n, Practica 1 Resolución de algunas EDO's de orden n con Maple • Resolución de EDOs con dsolve • Escritura de condiciones iniciales con el operador D Ejercicio 1.2 > edo:=diff(y(x),x,x)-diff(y(x),x)-6*y=0; ⎛ ∂2 ⎞ ⎛∂ ⎞ edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ − 6 y = 0 ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x > dsolve(edo,y(x)); y( x ) = _C1 e( −2 x ) + _C2 e( 3 x ) Ejercicio 1.6 > edo:=diff(y(x),x,x)-4*diff(y(x),x)+5*y=0; ⎛ ∂2 ⎞ ⎛∂ ⎞ edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − 4 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + 5 y = 0 x ⎝ ⎠ ∂ ⎝ ∂x ⎠ > dsolve(edo,y(x)); y( x ) = _C1 e( 2 x ) sin( x ) + _C2 e( 2 x ) cos( x ) Ejercicio 2.1 > edo:=diff(y(x),x,x,x)-4*diff(y(x),x,x)-5*diff(y(x),x)=0; ⎛ ∂2 ⎞ ⎛ ∂3 ⎞ ⎛∂ ⎞ edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ − 4 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − 5 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ = 0 x ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ > dsolve(edo,y(x)); y( x ) = _C1 + _C2 e( −x ) + _C3 e( 5 x ) Ejercicio 2.2 > edo:=diff(y(x),x,x,x)-5*diff(y(x),x,x)+3*diff(y(x),x)+9*y=0; ⎛ ∂2 ⎞ ⎛ ∂3 ⎞ ⎛∂ ⎞ edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ − 5 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + 9 y = 0 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ > equ:=m^3-5*m^2+3*m+9=0; equ := m3 − 5 m2 + 3 m + 9 = 0 > solve(equ,m); -1, 3, 3 la solución será, por lo tanto y(x)=c1*exp(-x)+c2*exp(3*x)+c3*x*exp(3*x) > dsolve(edo,y(x)); > y( x ) = _C1 e( 3 x ) + _C2 e( −x ) + _C3 e( 3 x ) x Ejercicio 2.4 > edo:=diff(y(x),x,x,x)+3*diff(y(x),x,x)+3*diff(y(x),x)+y=0; > dsolve(edo,y(x)); ⎛ ∂2 ⎞ ⎛ ∂3 ⎞ ⎛∂ ⎞ edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + y = 0 ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ y( x ) = _C1 e( −x ) + _C2 e( −x ) x2 + _C3 e( −x ) x Ejercicio 3 > edo:=diff(y(x),x,x)+16*y=0; cond:=D(y)(0)=-2,y(0)=2; ⎛ ∂2 ⎞ edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 16 y = 0 ⎝ ∂x ⎠ cond := D( y )( 0 ) = -2, y( 0 ) = 2 > s:=dsolve({edo,cond},y(x)); Page 1 s := y( x ) = 2 cos( 4 x ) − 1 2 sin( 4 x ) > f:=rhs(s); f := 2 cos( 4 x ) − 1 2 sin( 4 x ) > plot(f,x=0..4); 2 1 0 1 2 x 3 4 -1 -2 definimos la solución como función > g:=unapply(f,x); g := x → 2 cos( 4 x ) − 1 2 sin( 4 x ) valor de la solución para x=1.25 > g(1.25); 1.046786508 Ejercicio 6 > restart; > edo:=diff(y(x),x,x,x)+12*diff(y(x),x,x)+36*diff(y(x),x)=0; ⎛ ∂2 ⎞ ⎛ ∂3 ⎞ ⎛∂ ⎞ edo := ⎜⎜ 3 y( x ) ⎟⎟ + 12 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + 36 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ = 0 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ > cond:=y(0)=0,D(y)(0)=1,(D@@2)(y)(0)=-7; cond := y( 0 ) = 0, D( y )( 0 ) = 1, ( D( 2 ) )( y )( 0 ) = -7 > s:=dsolve({edo,cond},y(x)); s := y( x ) = 5 36 − 5 36 e( −6 x ) + 1 6 e( −6 x ) x Resolución por pasos. 1) Ecuación característica. > equ:=m^3+12*m^2+36*m=0; > equ := m3 + 12 m2 + 36 m = 0 > solve(equ,m); 0, -6, -6 2) Solución general. > s:=c1+c2*exp(-6*x)+c3*x*exp(-6*x); s := c1 + c2 e( −6 x ) + c3 x e( −6 x ) 3) Solución particular. Calculamos las derivadas > s1:=diff(s,x); s1 := −6 c2 e( −6 x ) + c3 e( −6 x ) − 6 c3 x e( −6 x ) > s2:=diff(s,x,x); s2 := 36 c2 e( −6 x ) − 12 c3 e( −6 x ) + 36 c3 x e( −6 x ) Imponemos las condiciones > eq0:=subs(x=0,s)=0; eq0:=eval(eq0); eq0 := c1 + c2 e0 = 0 Page 2 eq0 := c1 + c2 = 0 > eq1:=subs(x=0,s1)=1; eq1:=eval(eq1); eq1 := −6 c2 e0 + c3 e0 = 1 eq1 := −6 c2 + c3 = 1 > eq2:=subs(x=0,s2)=-7; eq2:=eval(eq2); eq2 := 36 c2 e0 − 12 c3 e0 = -7 eq2 := 36 c2 − 12 c3 = -7 > sol:=solve({eq0,eq1,eq2},{c1,c2,c3}); 1 , c3 = } 36 36 6 El comando assign permite assignanar los valores correspondientes a c1, c2 y c3. > assign(sol); Vamos que se ha producido la asignación > s; sol := { c1 = 5 36 − 5 36 5 , c2 = e( −6 x ) + 1 6 -5 x e( −6 x ) > plot(s,x=0..4); 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1 2 x 3 4 Ejercicio 9.1 > edo:=diff(y(x),x,x)+y(x)=sec(x); ⎛ ∂2 ⎞ edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + y( x ) = sec( x ) ⎝ ∂x ⎠ > dsolve(edo,y(x)); y( x ) = ln( cos( x ) ) cos( x ) + x sin( x ) + _C1 cos( x ) + _C2 sin( x ) Ejercicio 9.2 > edo:=diff(y(x),x,x)+y(x)=cos(x)^2; ⎛ ∂2 ⎞ edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ + y( x ) = cos( x )2 ⎝ ∂x ⎠ > dsolve(edo,y(x)); y( x ) = − 1 3 cos( x )2 + 2 3 + _C1 cos( x ) + _C2 sin( x ) Ejercicio 9.3 > edo:=diff(y(x),x,x)-y=cosh(x); ⎛ ∂2 ⎞ edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − y = cosh( x ) ⎝ ∂x ⎠ > dsolve(edo,y(x)); y( x ) = 1 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 (2 x) ⎜⎜ − e cosh( x )2 + e( 2 x ) cosh( x ) sinh( x ) + e( 2 x ) x − cosh( x )2 − cosh( x ) sinh( x ) − x ⎟⎟ e( −x ) + _C1 ex + _C2 e( −x ) 4 4 4 4 4 ⎠ ⎝ 4 > edo:=diff(y(x),x,x)-y=(exp(x)+exp(-x))/2; ⎛ ∂2 ⎞ 1 1 edo := ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − y = ex + e( −x ) 2 2 ⎝ ∂x ⎠ > dsolve(edo,y(x)); Page 3 1 1 1 ⎞ ⎛1 y( x ) = ⎜⎜ e( 2 x ) x − − e( 2 x ) − x ⎟⎟ e( −x ) + _C1 ex + _C2 e( −x ) 8 8 4 ⎠ ⎝4 Ejercicio 10 > edo:=4*diff(y(x),x,x)-y=x*exp(x/2); ⎛ ∂2 ⎞ edo := 4 ⎜⎜ 2 y( x ) ⎟⎟ − y = x e( 1 / 2 x ) ⎝ ∂x ⎠ > cond0:=y(0)=1; cond0 := y( 0 ) = 1 > cond1:=D(y)(0)=0; cond1 := D( y )( 0 ) = 0 > s:=dsolve({edo,cond0,cond1},y(x)); s := y( x ) = 1 8 x2 e( 1 / 2 x ) − 1 4 x e( 1 / 2 x ) + 3 4 e( 1 / 2 x ) + 1 4 e( − 1 / 2 x ) Representación gráfica. > f:=rhs(s); f := 1 8 x2 e( 1 / 2 x ) − 1 4 x e( 1 / 2 x ) + 3 4 e( 1 / 2 x ) + 1 4 e( − 1 / 2 x ) > plot(f,x=0..3); 5 4 3 2 1 0 0.5 1 1.5 x 2 2.5 Definimos la solución como función. > g:=unapply(f,x); g := x → 1 8 x2 e( 1 / 2 x ) − 1 4 x e( 1 / 2 x ) + Calculamos el valor de la solución x=2.5. > g(2.5); 3.234749504 > Page 4 3 4 e( 1 / 2 x ) + 1 4 e( − 1 / 2 x ) 3