2 - Mauricio Contreras

5.
Áreas bajo gráficas
de funciones
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
190
1.
Área bajo una gráfica
2.
Primitivas de una función
3.
Relación entre áreas y
primitivas
4.
Cálculo de áreas
5.
Cálculo de primitivas
6.
Aplicaciones de las
integrales
Áreas bajo gráficas de funciones
1.- ÁREA BAJO UNA GRÁFICA
 UN VIAJE EN TREN
Un tren que sale de una estación aumenta gradualmente su velocidad de tal manera que al cabo de
10 minutos el velocímetro señala 120km/h. Después y durante media hora se mantiene a esta
velocidad. Por último comienza a disminuir gradualmente la velocidad para parar al cabo de 5
minutos. La gráfica correspondiente a esta situación es la siguiente:
a) ¿Qué representa el área rayada ?. Calcúlala.
b) ¿Qué representan las áreas de los dos triángulos de la gráfica ?. Calcúlalas.
c) ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones ?.
a) El área rayada ( base  altura = velocidad  tiempo = espacio) representa la distancia
recorrida por el tren cuando viaja a velocidad constante. Dicha distancia es: 2(40 10)=2
x 30=60 km.
b) El área del primer triángulo representa la distancia recorrida por el tren cuando está
base  altura 10  2

 10 km, mientras que el área del segundo
acelerando y es igual a
2
2
triángulo representa la distancia recorrida por el tren cuando esta frenando y es igual a
base  altura 5  2

 5 km.
2
2
c) La distancia entre las dos estaciones es el área total bajo la gráfica, es decir:
10+60+5=75 km.
191
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 LLUVIAS
3
El número de m de agua precipitados mensualmente durante el año 1975 en las provincias de
Castellón y Valencia, están indicados en la gráfica que sigue:
a) ¿Qué representa el área de todos los rectángulos juntos ?. ¿Y la suma de las áreas de los
rectángulos comprendidos entre los meses de febrero y abril, ambos inclusive ?.
b) Calcula las áreas anteriores.
3
a) El área total representa el número total de m de agua precipitados durante todo el año
1975, mientras que la suma de las áreas de los rectángulos entre febrero y abril
representa la precipitación total de lluvia en esos meses.
b) La precipitación total de lluvia durante el año 1975 es:
0,8+2,8+5+3+4,5+3,2+0,2+1,5+2,2+1,2+1,8+5,5 =31,7 miles de millones de m
La precipitación total de lluvia entre los meses de febrero y abril es:
3
2,8+5+3=10,8 miles de millones de m .
 FUNCIÓN ESCALONADA
Calcula el área bajo la función escalonada de la siguiente gráfica:
El área buscada es la suma de las áreas de los cuatro rectángulos, es decir:
S=2  1 + 1  2 + 1  3 + 1  1= 2 + 2 + 3 + 1 = 8 unidades cuadradas.
192
3
Áreas bajo gráficas de funciones
 ÁREA BAJO UNA CURVA
Sea y = f(x) una función continúa y positiva con el intervalo [a, b]. Al área contenida entre la
gráfica de dicha función, el eje X y dos segmentos verticales por a y b, le llamaremos
integral definida de la función f entre a y b y la expresamos de la siguiente forma:
S=
b
 a f(x)
Expresa por medio de una integral definida las siguientes áreas y calcúlalas lo más aproximadamente
que puedas:
y x
y   x 2  4x
193
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
SOLUCIONES :
A=
6
0 3  6  3  18 unidades cuadradas
Se calcula como el área de un rectángulo de
base 6 y altura 3.
3 6
2
 6  9  15 u
2
Se calcula como el área de un trapecio o
descomponiendo en un rectángulo y un triángulo.
B=
6
1 
0 1+ 2 x   6 
Para hallar las dos últimas C y D, tendrás que
hacer uso de algún método de aproximación.
Para aproximar el área bajo una gráfica puedes sustituir ésta por escaleras de rectángulos.
Obtienes así dos aproximaciones del área, una por defecto y otra por exceso.
El área que deseamos calcular, S, estará comprendida entre D y E, de manera que una
buena aproximación será la media aritmética de las dos :
S
D+ E
2
Por otra parte, esta estimación dista del valor real
ED
del área S, menos que
, como puedes
2
observar en el diagrama :
De manera que la imprecisión máxima al tomar como estimación del área S la media
D+ E
ED
aritmética
es:
I=
2
2
Este procedimiento se conoce como método de los rectángulos.
194
Áreas bajo gráficas de funciones
También podemos aproximar el área bajo una gráfica sustituyendo la gráfica por una
escalera de trapecios.
Esta aproximación “parece” más buena que la dada por el
método de los rectángulos.
Sin embargo presenta el inconveniente de no dar cotas de
las imprecisiones correspondientes.
Este método de aproximación se conoce como método de
los trapecios.
A pesar de que el método de los trapecios parece
mejor que el de los rectángulos no es así:
La media aritmética que se toma como estimación
en el método de los rectángulos coincide
precisamente con la estimación dada por el
método de los trapecios. ¿Por qué ?.
Así, pues, los trapecios dan una estimación del área bajo la gráfica y los rectángulos dan las
imprecisiones máximas de esta estimación.
Utilizando el método combinado de rectángulos y trapecios es posible calcular
aproximadamente cualquier área con la precisión deseada.
Cálculo del área C=
4
0
x :
a) Con 4 subintervalos.
Defecto :
D= 1  1  2  1  3  1  1  2  3
Exceso :
E= 1  1  2  1  3  1  4  1
Estimación : S 
Imprecisión : I=
D+ E
 2  2  3  5,1462644
2
ED 2
 1
2
2
b) Con 8 subintervalos.
D=0,5
E=0,5
 0,5 
 0,5 
1  1,5  2  2,5  3  3,5

1  1,5  2  2,5  3  3,5  4

195
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Por lo tanto, la estimación del área es:
S


D+ E
 0,5 2  0,5  1,5  2  2,5  3  3,5  5,2650418
2
ED
16
 0,5 . Valor exacto: C=
 5,333333
2
3
Observa que al aumentar el número de subintervalos, la estimación obtenida es mejor, es
decir se acerca más al valor exacto y la imprecisión disminuye cada vez más, es decir
tiende a cero.
Imprecisión : I=
Cálculo del área D=
0  x
4
2
 4x

a) Con 4 subintervalos
D=1f(1)+1f(3)=6
E=1f(1)+1f(2)+1f(2)+1f(3)=14
S
I=
2
D+ E
 f(1)+ f(2)+ f(3)= 10
2
ED
 f(2)= 4
2
2
2
Hemos tenido en cuenta que f(1)=1 +4=3 ; f(2)=2 +42=4 ; f(3)=3 +43=3
b) Con 8 subintervalos.
D=0,5  f(0,5)+ f(1)+ f(1,5)+ f(1,5)+ f(3)+ f(3,5)  8,5
E=0,5  f(0,5)+ f(1)+ f(1,5)+ f(2)+ f(2)+ f(2,5)+ f(3)+ f(3,5)  12,5
S
D+ E
ED
 10,5 I=
2
2
2
2
Hemos tenido en cuenta que:
2
f(0,5)=0,5 +40,5=1,75 ; f(1,5)=1,5 +41,5=3,75 ; f(2,5)=f(1,5) ; f(3,5)=f(0,5)
El valor exacto del área es D= 32 3  10,666666 .
Observa que conforme aumenta el número de subintervalos, la estimación se acerca cada
vez más al valor exacto y las imprecisiones tienden a cero.
196
Áreas bajo gráficas de funciones
2.- PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN
 PRIMITIVAS
Considera la función f(x)=2x+1. ¿Puedes encontrar una función cuya derivada sea
f(x)=2x+1 ?. ¿Hay sólo una solución ?.
2
2
2
2
Algunas soluciones son: x +x, x +x+5, x +x23, x +x+1200, etc.
Las funciones obtenidas se llaman primitivas de la función f(x)=2x+1.
En general, se dice que F(x) es una primitiva de la función f(x) si se cumple que la derivada
de F(x) es f(x), es decir: F’(x) = f(x)
Una función f(x) admite infinitas primitivas, ya que basta sumar una constante a una
primitiva para obtener otra.
2
2
Por ejemplo, F(x)=x +x es una primitiva de f(x)=2x+1 ; pero la función G(x)=x +x+3 también
2
lo es, ya que su derivada es G’(x)=(x +x+3)’=2x+1.
En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces la función f(x)+C es también una
primitiva de f(x), siendo C una constante, ya que:
(F(x)+C)’ = F’(x) = f(x)
a) Calcula las funciones primitivas de las siguientes funciones:
¿Obtienes alguna ley general ?.
b) Calcula las primitivas de las siguientes funciones:
y=3 ;
2
3
y=3+x+x +x ;
y=x ;
2
y=x ;
3
y=x .
y= 5 3 x
a) Podemos construir la siguiente tabla:
Función
Primitiva
y=3
y=3x+C
y=x
1 2
y= x  C
2
2
y=x
1 3
y= x  C
3
n
La primitiva de la función f(x)=x es la función F(x)=
3
y=x
1 4
y= x  C
4
1
x n  C , siendo C una constante
n+1
arbitraria.
2
3
b) La primitiva de y=3+x+x +x es la función F(x)= 3 x +
5
La primitiva de la función y= 3 x
F(x)= 5 3 

1
1
1
5
1
 x5
1
1
5
 (3 x)
1
5
3
1
5
x

5
1 2 1 3 1 4
x  x  x C .
2
3
4
1
5
3x
es la función:
6
C =
5 5
5
5 5
5
 3  x 5  C =  5 3  x6  C =  3 x6  C
6
6
6
FUNCIÓN MISTERIOSA
¿Cuál es la expresión matemática de una función f(x) de la que se sabe que al derivarla dos veces se
obtiene una constante distinta de cero?.
197
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

DERIVADAS
a) Di si puede haber dos funciones con la misma derivada. En caso afirmativo, pon un ejemplo.
b) Determina la función f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (2, 4) y que su derivada es:
1
f ' (x) 
 2x
x4
 UN CAMIÓN
La velocidad de un camión viene dada por la gráfica siguiente:
Dibuja la gráfica del espacio recorrido por dicho camión en función del tiempo.
 FUNCIÓN ESCALONADA
Representa en unos ejes coordenados la gráfica de la siguiente función escalonada:
 2,
 1,

f(x)   3,
 2,

 1,
si0  x  1
si1  x  2
si 2  x  3
si 3  x  4
si 4  x  5
a) Calcula el área bajo la gráfica de esta función escalonada.
b) Calcula las siguientes integrales definidas:
1
0
2
0
f
f
3
0
f
4
0
f
5
0
f
 CALCULA PRIMITIVAS
Calcula una primitiva de cada una de las siguientes funciones:
1) f(x)  4x 3  7x 2  5x  1 ;
198


x 3  7x 2  4
2) f(x)  x  1 x 2  x  1 ; 3) f(x) 
;
x
4) f(x)  6x
Áreas bajo gráficas de funciones
3.- RELACIÓN ENTRE ÁREAS Y PRIMITIVAS
 LA FUNCIÓN ÁREA
a) Interpreta gráficamente el significado de las siguientes integrales definidas:
p
0
p
0
1
p
0
x
p
0
2x
x2
y comprueba, una vez hecho el dibujo correspondiente que:
p
0
p
0
1 p
x 
p2
2
p
0 2x  p
2
SOLUCIÓN :
p
0
p p p2

0
2
2
área de un triángulo

1 =p1=p
área de un rectángulo
p
x 
p  2p
 p2
2
área de un triángulo
p
0 2x 
b) Interpreta gráficamente el significado de las siguientes integrales definidas:
6
6
1
1 1
6
1 2 x
x
y calcúlalas utilizando los resultados obtenidos en el apartado (a).
SOLUCIÓN :
6
6
1
1 1  0 1  0 1= 6  1 = 5 u. c.
6
1
6
x 
6
0
6
x 
1
0
1
x 
6 2 12 35


 17,5 u. c.
2
2
2
1 2x  0 2x  0 2x  6
2
 12  35 u. c.
199
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
c) Justifica gráficamente la siguiente igualdad :
b
a
f(x) 
b
0
f(x) 
a
0
f(x)
SOLUCIÓN :
Como puedes ver en la figura, el área bajo la gráfica de la función y=f(x) en el intervalo [a, b]
es igual al área bajo la gráfica en el intervalo [0, b] menos el área bajo la gráfica en el
intervalo [0, a].
En los apartados anteriores has utilizado integrales definidas del tipo
p
0
f(x) .
Si a cada valor de p le asociamos el valor de la correspondiente integral, obtenemos una
función:
F(p)=
p
0
f(x)
Se le llama función integral o función área de f.
La función integral de f no es más que el área bajo la gráfica de la función f en el intervalo
[0, x]:
F(x)=
x
0
f
¿Qué relación existe entre F y f ?. O lo que es lo mismo, ¿qué relación existe entre la
gráfica de una función y el área bajo esa gráfica ?.
Para averiguarlo, puedes construir una tabla utilizando los resultados de los apartados
anteriores:
f(x)
F(x)
1
x
x
1 2
x
2
2x
2
x
2
x
1 3
x
3
¿Qué conclusión obtienes de esta tabla ?.
Habrás observado que: F’(x) = f(x)
Es decir: La derivada de la función área es la función gráfica; o lo que es lo mismo, la
función área es una primitiva de la función gráfica.
Este resultado se conoce como Teorema fundamental del cálculo integral.
200
Áreas bajo gráficas de funciones
 ÁREA BAJO UNA RECTA
Dibuja aproximadamente la gráfica de la función área bajo la curva en el siguiente caso:
 REGLA DE BARROW
Teniendo en cuenta el apartado (c) del problema
anterior, se cumple:
S=
b
a
f(x) 
b
0
f(x) 
a
0
f(x)  F(b)  F(a)
Sabemos, además, que la función integral F es una
primitiva de f. Si G es otra primitiva cualquiera de f,
entonces:
F(x) = G(x) + C, siendo C una constante,
ya que dos primitivas de una misma función únicamente difieren en una constante.
Tenemos, pues:
S=
b
a
f(x)  F(b)  F(a) = (G(b)+ C)  (G(a)+ C) = G(b)  G(a)
o sea:
S=
b
a
f(x)  G(b)  G(a)
Luego, para calcular el área S hemos de seguir los siguientes pasos:
1.- Calculamos una primitiva G de f.
2.- Calculamos G(b) G(a), con lo que ya tenemos el área.
Este procedimiento se conoce como regla de Barrow.
Ejemplo.- Calculemos, por este método, el área del rectángulo de la figura. Es decir:
6
2 2
201
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1.- Obtenemos una función cuya derivada sea 2.
Por ejemplo: G(x)=2x.
G(2)=22=4
2.- Calculamos G(2) y G(6):
3.- El área buscada es:
S=
G(6)=26=12
y
6
2 2  G(6)  G(2)= 12  4 = 8
que, efectivamente, coincide con el área del rectángulo de base 4 y altura 2.
Utiliza la regla de Barrow para calcular la siguiente área:
2
1
0 (x - 1)(x - 3)
f(x)=(x1)(x3)=x 4x+3. Una función primitiva es G(x)=
Entonces : G(0)=0, G(1)=
1
0
1 3
x  2x 2  3x .
3
1
4
 2  3  . Por lo tanto:
3
3
( x  1)( x  3)  G(1)  G(0) 
4
4
 0  unidades cuadradas.
3
3
4.- CÁLCULO DE ÁREAS
 CALCULA ÁREAS
3
5
x + . Calcula el área S del recinto plano limitado por
2
2
dicha función, el eje de abcisas y las rectas x=3 y x=7.
a) Representa gráficamente la función y = 
x
y
1
1
3 7
2 8
3
5
x + , una función primitiva es
2
2
3 2 5
G(x)=  x  x .
4
2
Si f(x)= 
3
77
; G(7)= 
. Por lo tanto,
4
4
aplicando la regla de Barrow:
Entonces: G(3)=
5
77 3
80
 3
 
 20 Como el área debe ser positiva, tomaremos valores
 x+   
2
4 4
4
 2
absolutos, es decir, el área buscada es S=-20=20 u.c.
7
3
202
Áreas bajo gráficas de funciones
Si el recinto plano S cuya área queremos hallar está por debajo
del eje de abcisas, se cumple que:
b
a
f(x)<0
f(x)  0
Pero el área debe ser siempre positiva. Por tanto, en este caso,
hay que tomar el valor absoluto de la integral. Es decir:
b
a
S=
f(x)
Si el recinto plano S cuya área queremos calcular
consta de dos regiones, una por encima y otra por
debajo del eje de abcisas, se cumple que:
S1=
c
a
f(x)  0 S2=
b
c
f(x)  0
Pero como el área debe ser positiva, tiene que cumplirse que:
S=S1+S2=
c
a
f(x) 
b
c
f(x)
2
b) Representa gráficamente la función f(x)=x 1. Calcula el área S del recinto plano limitado por
dicha función, el eje de abcisas y las rectas x=0 y x=3.
x
y
2
 2 1
3
0
Si f(x)=x 1, una función primitiva es G(x)=
Entonces : G(0)=0 ; G(1)=
0
1
1
0
2
3
3
8
1 3
x x.
3
2
; G(3)=6. Por lo
3
tanto, por la regla de Barrow:
A=
0 x
B=
2 20
 2
2
1 x 1  G(3)  G(1)= 6    3   6  3  3
1
2

 1  G(1)  G(0) = 
2
3
3
El área del recinto buscado es:
S=A+B= 
2 20 2 20 22

 

 7,333333 unidades cuadradas
3
3
3 3
3
203
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Dadas dos funciones y=f(x), y=g(x), supongamos que sus gráficas se cortan en los puntos
x=a, x =b. Estos valores se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=g(x).
En este caso, el área S del recinto rayado limitado entre las dos gráficas es la diferencia S 1S2 de las áreas de los recintos planos limitados por las curvas y=f(x), y=g(x), ya que al ser
a  x  b , se cumple f(x)  g(x) . Por lo tanto:
S=S1S2=
b
a
 f(x)  g(x)
2
c) Calcula el área S del recinto limitado por las curvas f(x)=x , g(x)= x
Hallamos los puntos de corte de las dos gráficas, resolviendo la ecuación f(x)=g(x)

x = 0
2
4
4
3
x = x  x =x  x x=0  x (x 1)=0   3

x = 1  x = 1
Construimos la tabla de valores y las gráficas:
2
x
x
0
0,5
1
0
0,25
1
x
0
0,7071
1
2
Se cumple que x  x siempre que 0  x  1. Por lo tanto, el
área buscada es:
S=
0 
1
x  x2

2
Aplicando la regla de Barrow, si f(x)= x  x 
G(x)=
1
1
2
x
1
1
2
1
2
x
 x 2 , una función primitiva es
3

1 3 2 2 1 3 2
1
2
1
x  x  x 
x3  x3  x x  x3
3
3
3
3
3
3
3
Entonces : G(0)=0 ; G(1)=
S=G(1)G(0)=
1
. Por lo tanto, el área buscada es
3
1
unidades cuadradas.
3
d) Calcula el área del recinto plano delimitado por el eje OX, la función
x=4 y x=2.
204
2
f(x)=x +2x3
y las rectas
Áreas bajo gráficas de funciones
2
Hallamos los puntos de corte con el eje OX , resolviendo la ecuación x +2x3=0.
Sus soluciones son x=1, x=3.
Dibujamos la gráfica de la función, construyendo previamente una tabla de valores.
X
Y
4 3 2 1 0
5 0 3 4 3
1
0
2
5
2
Si f(x)=x +2x3, una primitiva es
1
G(x)= x 3  x 2  3x . Entonces:
3
20
5
G(4)=
; G(3)=9 ; G(1)= ;
3
3
usando Barrow:
C=
A=
-4 x
2
 2 x  3  G( 3)  G( 4) = 9 
B=
-3 x
2
 2 x  3  G(1)  G( 3) = 
-3
1


G(2)=
2
. Por lo tanto,
3
20 7

3 3
5
32
9  
3
3
2
2  5 7
2
1 x  2x  3  G(2)  G(1)= 3    3   3
Por lo tanto, el área buscada se obtiene de la siguiente forma:
S=A+ B +C=
7
32 7 7 32 7 46

  
 
 15,333333 unidades cuadradas.
3
3 3 3 3 3 3
2
e) Calcula el área del recinto plano delimitado por las funciones f(x)=x y g(x)=x+2.
Obtenemos los puntos de corte de las dos gráficas, resolviendo la ecuación f(x)=g(x) 
1  1  8 2
2
2
x =x+2  x x2=0  x=

2
 1
Si x=0  f(0)=0 y g(0)=2  Se cumple que f(x)g(x) siempre que 1x2
La gráfica es la siguiente:
El área buscada es S=
2
2
2
2
1 g(x)  f(x)= 1 x + 2  x 
1 2
1
x  2 x  x 3 . Entonces:
2
3
8 10
G(2)=2+4 
. Por lo tanto, usando Barrow:
3 3
Si f(x)=x+2x , una primitiva es G(x)=
G(1)=
S=
1
1
7
2   ;
2
3
6
2
10  7  27 9
2
1 x + 2  x   G(2)  G( 1) = 3    6   6  2 unidades cuadradas.
205
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

EQUIPOS INFORMÁTICOS
Una empresa estima que la tasa de variación de gastos de mantenimiento de sus equipos
informáticos viene dada por la función m(t)  10  10t  4t 2 , donde t se mide en años, y m en decenas
de euros/año.
a) Dibuja la gráfica y haz una interpretación.
b) Halla el área encerrada entre la curva anterior y el eje de abcisas, entre los valores t=0 y t=5.
¿Qué representa el resultado?.

PARÁBOLA
a) Dibuja la gráfica de la función y  x 2  5x  6 .
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función anterior y el eje de las x.
 ÁREAS SOMBREADAS
Obtén el área de cada una de las regiones sombreadas adjuntas.
a) Hallamos los puntos de corte de la recta y la curva, resolviendo el sistema
2
donde x =1  x=1, x=1. El área buscada es S=
2
1
x 2 1
2
Usando la regla de Barrow, si f(x)=x 1, una primitiva es G(x)=
G(1)=
S=
2
2  2 4
2
1 x 1  G(2)  G(1) = 3    3   3 unidades cuadradas.
G(x)=
206
1 3
x  x . Entonces :
3
2
2
, G(2)= . Por lo tanto, el área buscada es:
3
3
b) El área buscada es S=
S=
y = x 2 
 de
y = 1 
3
1
1 3
x . Entonces:
3
3
1
x 2 . Usando la regla de Barrow, si f(x)=x 2, una primitiva es
1
,
G(3)=9. Por lo tanto, el área buscada es:
3
1 26
unidades cuadradas.
x 2  G(3)  G(1) = 9  
3 3
G(1)=
Áreas bajo gráficas de funciones
 UNA HERENCIA
La única posesión del tío Santiago es un campo de garroferas en el Valle Seco. Al morir, sus dos
nietos, Santiago e Irene, heredan el campo. El tío Santiago ha dejado dividido el campo el 2 parcelas,
la parcela A, que hereda Santiago, y la parcela B, que hereda Irene. En la siguiente figura se muestra
un dibujo de las dos parcelas (las unidades se expresan en Hm.)
2
a) ¿Cuántos Hm tiene la parcela que hereda Irene ?.
2
b) La curva que limita superiormente la parcela A es y = 1,5x +2,5x+2. ¿Cuál es su área ?.
SOLUCIÓN :
a) Observa en la figura que el área heredada por
Irene es
B=1+1+2+
1
1 9
 4    4,5 Hm2
2
2 2
b) Observa en la figura que el área heredada por Santiago es
A=
2
  1,5x  2,5x + 2
2
Por la regla de Barrow, si f(x)=1,5x +2,5x+2, una primitiva es
3 1
5 1
1
5
G(x)=   x 3   x 2  2 x =  x 3  x 2  2x . Entonces G(0)=0, G(2)=5.
2 3
2 2
2
4
Por lo tanto, el área buscada es:
A=
2
  1,5x  2,5x + 2  G(2)  G(0) = 5  0 = 5 Hm
2
207
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
INTEGRALES CON LA CALCULADORA GRÁFICA
Podemos utilizar la calculadora TI83 para calcular áreas bajo gráficas
de funciones. Veamos un ejemplo.
Ejemplo.- Representa gráficamente la función f ( x)  x 2  x  3 y
calcula el área bajo la gráfica en el intervalo [2, 4].
Pulsa [Y=]. Si es necesario, borra las funciones que estuviesen en este
ventana. Para ello, utiliza las teclas de cursor [] y [] y pulsa [CLEAR].
2
En la línea Y1= introduce la fórmula de la función: [X,T,] [x ] [] [X,T,]
[+] [3]. Pulsa [ZOOM] [6] para activar la opción 6: Zstandard. En pantalla
aparece la gráfica de la función.
nd
Pulsa [2 ] [TRACE] para activar la función CALC. En el menú CALCULATE, selecciona la
opción 7.

f ( x) dx (o directamente, pulsa [7] ). En pantalla aparece el mensaje Lower
Limit? y el cursor se sitúa sobre la gráfica. Utilizando las teclas [] y [] desplaza el cursor
hasta que X valga 2 y pulsa [ENTER], o bien pulsa directamente [2] [ENTER]. Aparece el
mensaje Upper Limit?. Desplaza el cursor, igual que antes, sobre la gráfica hasta que X
valga 4 y pulsa [ENTER], o bien pulsa directamente [4] [ENTER].
Observa que en pantalla se sombrea toda el área bajo la gráfica en el intervalo [2, 4] y en la
parte inferior aparece el valor de la integral:
 f(x) dx  18,666667 unidades cuadradas.
También puedes obtener este mismo resultado, sin necesidad de dibujar la gráfica de la
función. Para ello usaremos la función fnInt( del menú MATH, cuya sintaxis es:
fnInt(función, variable independiente, extremo inferior, extremo superior).
Pulsa [MATH] [9] para activar la función 9: fnInt(. A continuación introduce la siguiente
2
secuencia: [X,T,] [x ] [] [X,T,] [+] [3] [ , ] [X,T,] [ , ] [2] [ , ] [4] [ ) ]. En pantalla aparece la
expresión fnInt( x 2  x  3, x, 2, 4 ). Pulsa [ENTER]. En pantalla aparece el resultado
18,66666667.
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Veamos cómo se puede utilizar la calculadora gráfica TI83 para hallar el área entre las
gráficas de dos funciones.
Ejemplo.- Calcula el área de la región limitada por las gráficas de las funciones
f(x)  x  x 2 y g(x)  x  4 . Representa gráficamente dicha región.
Pulsa [Y=] para abrir el editor de funciones. Borra las funciones existentes, utilizando las
teclas [], [] y [CLEAR]. En la línea Y1= introduce la fórmula de la primera función, [X,T,]
2
[] [X,T,] [x ]. En la línea Y2= introduce la fórmula de la segunda función, [X,T,] [] [4].
Pulsa [GRAPH] para visualizar las gráficas.
208
Áreas bajo gráficas de funciones
nd
Pulsa [2 ] [TRACE] para activar la función CALC. De esta forma se abre el menú
CALCULATE. Pulsa [5] para activar la opción 5: intersect. Aparece en pantalla el mensaje
First curve? y el cursor se sitúa en una de las curvas. Utiliza las teclas [] y [] para situar
el cursor en la primera curva y pulsa [ENTER]. Aparece el mensaje Second curve?. Sitúa el
cursor sobre la segunda curva y pulsa [ENTER]. Aparece el mensaje Guess?. Sitúa el
cursor cerca de uno de los puntos de corte y pulsa [ENTER]. Repite el mismo procedimiento
para obtener el segundo punto de intersección. Obtendrás que las curvas se cortan en los
puntos (2, 6) y (2, 2).
nd
Pulsa [2 ] [MODE] para activar la opción QUIT. En la pantalla de introducción de datos,
nd
pulsa [MATH] [9] para activar la función 9: fnInt(. A continuación pulsa [2 ] [VARS] para
activar la opción YVARS. Pulsa [1] para seleccionar 1:Function. Pulsa [1] para seleccionar
nd
Y1. Pulsa [] [2 ] [VARS] [1] [2] para seleccionar Y2. Pulsa [ , ] [X,T,] [ , ] [()] [2] [ , ] [2]. De
esta forma hemos editado el comando fnInt(Y1Y2 , X, 2, 2). Pulsa [ENTER] y aparece en
pantalla el resultado, 10,66666667 unidades cuadradas.
nd
Pulsa [2 ] [PRGM] para activar la opción DRAW. Pulsa [7] para seleccionar la opción 7:
nd
nd
Shade(. Pulsa [2 ] [VARS] [1] [2] [ , ] [2 ] [VARS] [1] [1] [ ) ]. De esta forma aparece en
pantalla el comando Shade( Y2 , Y1). Pulsa [ENTER] y observa que aparece la pantalla
gráfica con la región sombreada.
INTEGRALES CON DERIVE
Veamos como se puede utilizar DERIVE para calcular primitivas de
funciones y áreas bajo gráficas en intervalos.
Ejemplo 1.- Halla
el
área
bajo
la
gráfica
de
la
función
2
f(x)  x  5x  4 en el intervalo [2, 4].
Selecciona Inicio / Programas / DERIVE para Windows / DERIVE para Windows. Una
vez abierta la ventana Álgebra, haz clic en el botón Editar expresión. En la caja de texto
introduce la fórmula de la función: x  2  5x  4 y haz clic en Sí. Con la fórmula de la función
seleccionada, haz clic en el botón  (Calcular integral). En el cuadro de diálogo, activa la
opción Definida. En la casilla Límite inferior introduce 2 y en la casilla Límite superior
escribe 4. Haz clic en el botón Sí. Selecciona la expresión de la integral definida y haz clic
en el botón  (Aproximar). Observa que el resultado de la integral definida es 40,6666
unidades cuadradas.
Vamos a comprobar este resultado utilizando la regla de Barrow. En primer lugar,
calcularemos una primitiva de la función. Selecciona la fórmula de la función y haz clic en el
botón  (Calcular integral). En el cuadro de diálogo, activa la opción Indefinida y haz clic
en el botón Simplificar. Aparece en pantalla la expresión de una primitiva. Con esta
expresión seleccionada, haz clic en el botón SUB (Sustituir variable). En la caja
Sustitución introduce 4 y haz clic en Simplificar. Selecciona de nuevo la expresión de la
primitiva y haz clic en el botón SUB (Sustituir variable). En la caja Sustitución introduce 2
y haz clic en Simplificar. A continuación resta las dos expresiones obtenidas. Haz clic en el
botón Editar expresión y con el cursor en la caja de texto, selecciona la primera expresión.
Pulsa [F3] []. Selecciona la segunda expresión y pulsa [F3] . Haz clic en Simplificar. Con
la expresión seleccionada, haz clic en el botón  (Aproximar). Observa que obtiene el
mismo resultado que anteriormente.
209
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejemplo 2.- Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones f ( x)  x 2  4 x y
g ( x)   x 2  2 x  8 .
Haz clic en el botón Editar expresión. En la caja de texto introduce la fórmula de la primera
función: x  2  4 x y haz clic en Sí. Con la expresión seleccionada, haz clic en el botón
Gráficos 2D para abrir la ventana gráfica y haz clic en Representar. Vuelve a la ventana de
Álgebra, haciendo clic en el botón correspondiente. Haz clic en Editar expresión y en la
caja de texto introduce la fórmula de la segunda función:  x  2  2 x  8 . A continuación,
represéntala gráficamente en la ventana Gráficos 2D. Observa que la gráfica g(x) va por
encima de f(x).
Necesitamos hallar los puntos de corte de ambas gráficas. Para ello, selecciona Resolver /
Algebraicamente. Selecciona la fórmula de la primera función y pulsa [F3] [=]. Selecciona
la fórmula de la segunda función y pulsa [F3]. Comprueba que está activada la variable x y
haz clic en Simplificar. Observa que las soluciones son x=1 y x=4. Por tanto, hemos de
calcular
4
1 ( x
2
 2 x  8)  ( x 2  4 x) .
Haz clic en el botón  (Calcular integral). En la caja de texto introduce la expresión del
integrando (puedes usar el procedimiento de seleccionar las fórmulas de cada una de las
dos funciones y pulsar [F3] ). Activa la opción Definida. En la caja de texto Límite inferior,
escribe –1 y en la caja Límite superior, escribe 4. Haz clic en el botón Simplificar.
Selecciona la expresión del resultado y haz clic en el botón  (Aproximar). El resultado es
41,6666 unidades cuadradas.

TRIÁNGULO MIXLITILÍNEO
Halla el área del triángulo mixtilíneo de vértices A(2, 4), B(2, 4) y C(1, 1), en el que las líneas AB y
AC son rectas, mientras que la que une los puntos B y C es la de ecuación y  x 2 .

CHAPA DE PLATA
Una chapa de plata tiene la forma y dimensiones que se indican en el dibujo, y la curva que la
delimita superiormente es la parábola de ecuación y  4  x 2 . Determina el área de la chapa.

ÁREA
Calcula el área del recinto limitado por la curva y  2x 3  2x y el eje de abcisas.
210
Áreas bajo gráficas de funciones

MATERIAL CONTAMINANTE
Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según un ritmo dado por la
siguiente función: m  0,01 t 3  0,2  t 2  t  1 , siendo m la cantidad de material en kg y t la hora del
día.
a) ¿Cuánto material arroja cada día?.
b) Representa gráficamente la función.

RAIZ CUADRADA
Calcula el área limitada por la gráfica de la función y  x y las rectas x=0, x=1, y=0.

DOS FUNCIONES

y  x 3  4x 2  4x
Sean las funciones 
. Determina:
2

y  3x  6x
1) Los puntos de corte con los ejes de cada función.
2) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada función.
3) Valor o valores de x en los que cada función tiene un extremo relativo.
4) El área encerrada por ambas funciones.

OTRAS DOS FUNCIONES
Dadas las funciones y  x 2 e y  x 2  4x :
a) Represéntalas gráficamente.
b) Halla el área de la superficie que encierran.

FUNCIÓN
x2
. Determina el área encerrada por la curva, la asíntota correspondiente y
4x
las rectas x=k, x=2k, siendo k el punto en el que la función tiene un máximo relativo.
Sea la función f(x) 
211
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS
 DESCOMPOSICIÓN

Si F(x) es una primitiva de f(x), escribimos:
f(x) = F(x)
que llamamos integral indefinida. La operación que calcula la función primitiva F(x) de una
función dada f(x) se llama integración y es operación inversa de la derivación. Es decir, se
d
cumple:
f(x) = f(x)
dx

d
dx
En efecto,

f(x) =
 f(x)'  F' (x)= f(x) , ya que F(x) es una primitiva de la función f(x).
En toda integral indefinida las constantes pueden salir fuera de la integral. Osea :
 k f(x)= k 
Ejemplo.-

3
=3
x

f(x)
1
= 3 ln x + C
x
Las primitivas más sencillas se obtienen teniendo en cuenta las reglas de derivación y se
denominan integrales inmediatas. Aquí tienes una tabla de las principales integrales
inmediatas:
Función: f(x)
x
Primitiva: F(x)
n
(n1)
-1
x =

3)


7
= 7
x
2
x
2
=2

1
1
= 7 ln x C ; 2)
x

1)
ex 1
=
4
4


e
e
1
2 x
ln x  C
1 n+1
x
C
n1
a) Calcula las siguientes integrales indefinidas:
1)
1
x
x
=
x
a
x
e +C
x C
7
;
x
x
2)

ax
C
ln a
ex
;
4
3)

2
x2
1 x
e C ;
4
2
 x2 =  x +C .
La integral de una suma o resta o funciones es igual a la suma o resta de las integrales.
Es decir:
  f(x)  g(x)  
f(x) 
 g(x)
El método de integración por descomposición consiste en descomponer la función f(x)
en la forma:
f(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x)
de manera que cada sumando tenga una primitiva inmediata. Es decir:

212
f(x) =

f 1 ( x) +

f 2 ( x) + ...+

f n ( x)
Áreas bajo gráficas de funciones
b) Calcula las siguientes integrales indefinidas: 1)

1)
 15x
2)
 x
3
2
 6
1

9ex   5
x


 x 2  x  1 5x = 5
 x
4
 3x
2
6

 15x
1
2
 x  9 e

 x3  x2  x  x5 
 6
x
1

9ex  ;
x

2)
 x
3

 x 2  x  1 5x
 5 x 3  6 ln x  e x +C
5x 4 5 3 5 2
 x  x C
4
3
2
 CAMBIO DE VARIABLE
e
Para calcular la integral indefinida
e
3x

1
3
e
3x
3x
, puedes proceder como sigue:
3
Haz el cambio de variable 3 x = t , de forma que derivando : t’=(3 x)’=3.
Sustituyendo queda:
e
puesto que
3x
e

t
1
3
e
3x
3 
1
3
e
t
 t' =
1 t
e C
3
t' es una integral inmediata.
Deshaciendo el cambio, resulta:
e
3x

1 t
1
e  C = e3 x  C
3
3
En general, para calcular una integral indefinida del tipo

f(g(x)) g' (x)
basta hacer el
cambio de variable g(x)=t.
a) Calcula las siguientes integrales indefinidas por cambio de variable:

1)
 x
2

2
 3  2x ;
2)
ln 2 x
x
2
1) Hacemos el cambio de variable x 3=t, de forma que derivando: t’=2 x. Sustituyendo
resulta:
 x

1 3
t C
3
Deshaciendo el cambio, resulta:
2
2
 3  2x 
 x
2
t
2

2
 t' =
 3  2x 
ya

que
t
2
 t' es
una
integral
inmediata.

3
1 3
1
t  C = x2 3  C
3
3
2) Hacemos el cambio de variable ln x = t, de forma que derivando:
t’=(lnx)’=
1
.
x
Sustituyendo resulta:

ln 2 x

x
t
2
 t' =
1 3
t C
3
t
ya que
Deshaciendo el cambio resulta:

2
t' es una integral inmediata.
ln 2 x 1 3
1
= t  C = (ln x) 3  C
x
3
3
213
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Para calcular la integral indefinida
variable:
ln x = t
1
,
x lnx

puedes efectuar el siguiente cambio de
de manera que derivando t’=(ln x)’=
1
.
x
Sustituyendo queda:

1

x  ln x

t'
 ln t  C
t
t'
es una integral inmediata.
t

puesto que
Deshaciendo el cambio resulta:

1
 ln t  C = ln ln x  C
x  ln x
En general, para calcular una integral indefinida del tipo
f ' (x)
  f(x) n
basta hacer el cambio
de variable f(x)=t.
b) Calcula las siguientes integrales indefinidas:
1)

x -1
x 2  2 x +7
;
2)
x 2  2x
  x 3  3x 2 2
2
1) Hacemos el cambio de variable t=x -2x+7, de forma que derivando obtenemos t’=2x2=2(x-1). Entonces:
2( x  1)
1
1

2
2
x  2 x +7
x  2 x +7 2
Deshaciendo el cambio, resulta:

x 1



2
x 1
2
x  2 x +7
2) Hacemos
el
2


t' 1
 ln t  C , ya que
t 2
t'
 t es una integral inmediata.
1
1
ln t  C = ln x 2  2 x +7  C
2
2
cambio
de

2

variable
t= x 3  3 x 2 ,
de
forma
que
derivando
t’= 3 x  6 x  3  x  2 x . Entonces, sustituyendo queda:


3  x 2  2x
1
1
t'
1
t'
1
 
 
  
 C
ya que
2
2
2
2
3
3
3
3t
t
t
x 3  3x 2
x 3  3x 2
una integral inmediata. Deshaciendo el cambio, resulta:
x 2  2x
1
1

C = 
C
3
3t
3
2 2
3  x  3x 2
x  3x

x 2  2x





RECINTO





t'
  t2
es


La curva y  a  1  x  22 , con a > 0, delimita con el eje de abcisas un recinto de 12 unidades de
superficie. Calcula el valor de a.

CÚBICA
Sea la función: f(x)  2x 3  bx 2  ax  5 .
a) Halla los valores de a y b de forma que f tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=2.
b) Halla el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x=3.
214
Áreas bajo gráficas de funciones

PANEL PUBLICITARIO
Un publicista diseña un panel publicitario que tiene la siguiente forma: base horizontal de 10 metros
de longitud y resto del contorno limitado por la función:
 2
g(x)   x  6x, si 0  x  5
si 5  x  10
 x  10,
a) Dibuja la gráfica del recinto correspondiente al cartel publicitario.
b) Calcula su superficie.

A TROZOS 1
 1 x,


Dada la función f(x)    x 2  3x,
 x 3,


si x   1 2
si 1 2  x  3
si x  3
a) Dibuja la gráfica de f(x).
b) Estudia la continuidad de f(x).
c) Halla el área limitada por f(x), el eje OX y las rectas x=0 y x=3.

A TROZOS 2
 
 1 x2  b


Sea la función f(x)   3x 2  4

 x3  8

si x  1
si  1  x  1
donde b es un parámetro real.
is x  1
a) Calcula el valor del parámetro b para que f(x) sea continua en x=1 y en x=1.
b) Calcula el área del recinto plano limitado por y=f(x), y=0, x=0, x=2. Explica los pasos seguidos
para obtener la respuesta.
215
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

UNA FUNCIÓN
Dada la función f(x)  x 
a
x3
, donde a es una constante,
a) Encuentra una primitiva de f.
b) Si F es una primitiva de f, ¿puede serlo también G(x)=F(x)+2x ?.
c) Encuentra a sabiendo que

2
1
f(x)  1,5
OTRA FUNCIÓN
1
x  0 , donde a es una constante:
Dada la función f(x)  a  e x 3 
x2
a) Calcula
2
1
f(x) en función de a.
b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula a si F(1)=0 y F(2)= 1 2 .

INTEGRAL DEFINIDA
1
Calcula

0
x2
. ¿Cuál es el significado geométrico del valor de esa integral ?.
x1
6.- APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
INTEGRALES EN ECONOMÍA
Vamos a ver a continuación dos aplicaciones importantes de las integrales en el campo de
la Economía.
COSTE MARGINAL Y COSTE TOTAL
Conocida la función de costes, podemos obtener su variación relativa o coste marginal (que
se calcula como la derivada de la función de costes). La suma de todas estas variaciones
relativas (costes marginales) es el coste total. Por tanto, podemos calcular el coste total
como la integral del coste marginal.
De la misma forma podemos obtener el beneficio total, como la integral del beneficio
marginal.
Ejemplo,- El coste marginal para la producción de x unidades de cierto artículo, es:
C ' ( x)  5  0,01x . Halla el coste total que se produce para un incremento de
producción de 200 a 400 unidades.
El coste total es la integral definida CT 
400
200
5  0,01x . Una primitiva de la función
f ( x)  5  0,01x es la función F ( x)  5 x  0,005 x 2 . Se cumple entonces que F(200)=1200 y
F(400)=2800. Por tanto, utilizando la regla de Barrow:
CT 
216
400
200
5  0,01x  F (400)  F (200)  2800  1200  1600 unidades monetarias.
Áreas bajo gráficas de funciones
EXCEDENTE DEL EMPRESARIO Y DEL CONSUMIDOR
En la siguiente figura se representan dos hipotéticas curvas de oferta y demanda. Éstas
constituyen la representación gráfica de funciones que relacionan el precio de venta con la
producción (oferta) o el consumo (demanda).
El precio de equilibrio es el punto de corte de ambas curvas, donde oferta y demanda
coinciden. Si trazamos una recta horizontal por ese punto, el área encerrada por las dos
curvas y el eje de ordenadas queda dividida en dos áreas. A la superior se le llama
excedente del consumidor; a la inferior, excedente del empresario. La razón es sencilla:
a un precio superior al precio de equilibrio, hay consumo; por tanto, si el precio del bien se
sitúa en el punto de equilibrio, ha existido un ahorro por parte del consumidor, que estaba
dispuesto a pagar más, y este ahorro se cuantifica por la parte superior del área: por encima
de la recta horizontal trazada, habría un consumo a precios más altos; como el precio es
inferior, el consumidor ahorra: es su excendente.
En cuanto a la parte inferior, ocurre algo parecido: el empresario estaba dispuesto a vender
más barato, como muestra la curva de oferta; si lo hace al precio de equilibrio, también
posee un excedente.
Ejemplo.- Las funciones de oferta y demanda de cierto bien de consumo son,
respectivamente: p  500  10 x y p  0,5 x 2  100 , donde p es el precio
unitario, y x el número de unidades del producto. Halla los excedentes del
consumidor y del empresario.
El punto de equilibrio se obtiene resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones,
para lo que basta con igualar los segundos miembros:
500  10 x  0,5 x 2  100 , es decir, x 2  20 x  400  0 , ecuación que tiene como soluciones: x
= 40; x = 20.
217
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Nos quedamos, lógicamente, con la segunda, que es la única que tiene sentido en nuestro
contexto. El excedente del consumidor, será, teniendo en cuenta que para x=20, es p=300,
punto de equilibrio y ecuación de la recta horizontal que separa ambas áreas:
20
0
500  10 x  300 
20
0

200  10 x  200 x  5x 2

20
0  2000
u. m.
Por su parte, el excedente del empresario, es:
20
0
300  0,5 x 2  100 

20
1 

200  0,5 x 2  200 x  x 3   2667 u. m.
0
6 0

20
 COSTE TOTAL
El coste marginal de un bien es: C ' (x)  1  10x  e  x , donde x expresa número de artículos
producidos. Si los costes fijos son de 4 unidades monetarias convencionales, halla el coste total de
producción de 10 unidades del artículo.
 BENEFICIO TOTAL
Los beneficios de una empresa se incrementan con la producción, a razón de: 100  200x  12x 2 ,
donde x es el número de unidades vendidas. Halla el beneficio total que se obtiene como
consecuencia de un incremento de producción de 10 a 16 unidades.
 FUNCIÓN BENEFICIO
El beneficio marginal de una empresa viene dado por: B ' (x) 
200
x  52 3
, donde x es el número de
unidades vendidas. Determina la función beneficio, si se sabe que éste es nulo cuando la venta es de
5 unidades.
 EXCEDENTE 1
La función de demanda de un producto es: p  100  e  x , donde x es el número de artículos
demandados, y p, el precio unitario de venta. Si el equilibrio se alcanza para x = 10, halla el
excedente del consumidor.
 EXCEDENTE 2
La función de oferta de un producto es: p  3  e x 3 , donde x es el número de artículos ofertados y p,
el precio unitario. Si el equilibrio se alcanza para x = 3, halla el excedente del empresario.
218
Áreas bajo gráficas de funciones
 OFERTA Y DEMANDA
La función de demanda de un producto es p  100  e  x y la función de oferta es p  3  e x 3 , donde x
es el número de artículos y p el precio unitario. ¿Hay alguna razón que justifique que el exponente de
la función exponencial sea negativo para la función de demanda, y positivo para la función de oferta?.
 EXCEDENTE 3
La ecuación de demanda de cierto producto es: p  150  x , mientras que la correspondiente ecuación
de oferta es: p  0,1x 2  30 ; en ambos casos, x designa el número de artículos, y p el precio unitario.
Halla el excedente del consumidor y el excedente del empresario.
 EXCEDENTE 4
Halla el excedente del consumidor, para una función de demanda de p  700  200 x , si la
correspondiente función de oferta es: p  100  0,5x 2 .
DEL RITMO DE VARIACIÓN A LA PREDICCIÓN
Si se conoce el ritmo de variación , f ' (x) , de una función, f(x), podemos determinar la
variación total de dicha función en un intervalo [a, b], mediante el cálculo de una integral:
f(b) f(a) 
b
a
f ' (x)
Si, por ejemplo, la variable x es el tiempo y se conoce el valor de la función en el instante x
= a, es decir, conocemos f(a), una vez determinada la variación total, podemos predecir cuál
será el valor de la función f(x) en el instante x = b, es decir, podemos determinar f(b).
Ejemplo.- El valor de un camión de segunda mano decrece a un ritmo que varía con el
tiempo. Si el camión tiene t años, el ritmo al que varía es 80  t  10 decenas
de euros por año. Si nuevo costó 80000 euros, ¿cuánto valdrá 10 años
después?.
Calculemos primero la depreciación total del camión durante los 10 años:
10
0
80  t  10 
10
0

80  t  800  40  t 2  800  t

10
0  4000
decenas de euros.
Por lo tanto, el valor del camión después de 10 años será:
V=8000040000=40000 euros.
 POBLACIÓN
Se ha calculado que la población de un país, dentro de x años, estará cambiando a un ritmo de
f ' (x)  e 0,02 x millones de habitantes por año. Si la población actual es de 50 millones, ¿cuál será la
población dentro de 10 años?.
219
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
 DOS OBREROS
Después de x horas de trabajo, un obrero puede fabricar cierto artículo a un ritmo de 75  3  x  12
unidades por hora, y otro obrero lo hace a un ritmo de 567x unidades por hora.
a) Si ambos empiezan su jornada a las 8 de la mañana, calcula la producción de cada uno hasta
mediodía.
b) Calcula e interpreta como el área de una región entre dos curvas, en cuánto excede la producción
de uno sobre la del otro.
 PRECIO DE LA VIVIENDA
Se estima que dentro de t años, el valor de un metro cuadrado de terreno en el centro de una gran
0,1 t 3
ciudad, estará aumentando a razón de f ' (t) 
decenas de euros por año. Si
0,3  t 4  8000
actualmente el metro cuadrado se paga a 2500 euros, ¿cuánto valdrá dentro de 10 años?.
220
Áreas bajo gráficas de funciones
 VACUNA
Para probar la eficacia de una vacuna se ha inyectado a una población de cobayas, observándose
que al cabo de x horas el número de individuos infectados disminuye a un ritmo de 20  e 0,01 x
individuos por hora. ¿Cuántos han estado infectados entre las 3 y las 5 horas, sabiendo que a las 3
horas hay 2000 afectados?.
 ALTURA DE UN ARBOL
Al cabo de x años el crecimiento de un árbol se estima que será 0,5 
1
x  12
metros por año. Si
originalmente medía 3 metros, ¿qué altura tendrá dentro de 8 años?.
 CONTAMINACIÓN PLAYERA
Se estima que dentro de t años, el número de habitantes de una localidad playera se incremente a
razón de 0,6  t 2  0,3  t  0,4 miles de personas por año. Los especialistas en contaminación de aguas
piensan que la contaminación de la playa crece a un ritmo de 4 unidades cada 800 personas.
¿Cuánto aumentará la contaminación en los próximos 4 años?.
221
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
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