Integración Cuasi Monte Carlo en Química

INTEGRACIÓN CUASIMONTECARLO EN QUÍMICA CUÁNTICA
M. FERNÁNDEZ NÚÑEZ
Dto. de Química-Física, Universidad de Cádiz
11510 PUERTO REAL (CÁDIZ), España
R. RODRÍGUEZ HUERTAS
Dto. de Matemáticas, Universidad de Cádiz
y
R. INFANTE MACÍAS
Dto. de Estadística e I.O, Universidad de Sevilla
Resumen
En el presente trabajo se analizan varios métodos de Integración
Cuasimontecarlo desde el punto de vista de su utilidad en los cálculos químicocuánticos. Tras describir brevemente la naturaleza de estos procedimientos, se
presentan algunos resultados de su empleo en el cálculo de energías atómicas. Se
concluye que cualquiera de los métodos cuasimontecarlo ensayados es mucho más
eficiente que el de Montecarlo. El método de Hammersley es el más adecuado si no
se emplea una gran cantidad de puntos. Cuando el numero de puntos empleados es
mayor, se obtienen mejores resultados usando nuestra versión del procedimiento de
Korobov.
Abstract
In the present work we analyze several Quasi-Monte Carlo integration
methods in terms of its usefulness in the quantum chemical calculations. After
describing briefly the nature of these procedures, we study their results when they
are employed in atomic energies calculations. We conclude that Quasi-Monte Carlo
integration methods are much more efficient than that of Montecarlo.
The most
adequate Quasi-Monte Carlo method seems to be that of Hammersley when we do
not employ a whole slew of points, and a version of Korobov’s method when the
quantity of integration points is very large.
1
1. INTRODUCCIÓN
La integración Montecarlo puede usarse, como ya se ha puesto de
manifiesto en un trabajo precedente [1] , para obtener orbitales por el método
Roothaan, con la ventaja de que permite usar funciones de base más generales
que las habituales. No obstante, en el trabajo citado se comprobó que los
problemas de eficiencia de este método limitaban muy drásticamente el tamaño
de las bases utilizables. Por una parte el tiempo de cálculo consumido por las
integraciones Montecarlo es muy largo, pues depende del cuadrado de la
precisión deseada, y ésta no puede ser pequeña si lo que se pretende es calcular
orbitales atómicos o moleculares. Además, la precisión necesaria para obtener
un resultado final aceptable es muy probable que aumente con el número de
funciones de base utilizadas, ya que la energía es una combinación lineal de las
integrales. A pesar de estos problemas, en [1] logramos alcanzar resultados
útiles, gracias al empleo de una función de peso adaptada a cada una de las
integrales. No obstante, también se comprobó que a efectos prácticos, y a causa
del tiempo requerido por las integraciones, el número de funciones de base que
era posible utilizar (para cálculos con ordenadores de tipo PC), no pasaba de
cinco.
En el presente trabajo hemos explorado la posibilidad de sustituir el
método de integración Montecarlo por métodos Cuasimontecarlo, y hemos
encontrado que la eficiencia de los cálculos resulta mucho mayor.
En primer lugar, describimos los procedimientos Cuasimontecarlo, pues
son todavía poco conocidos en el campo de la Química teórica. Se ha procurado
resaltar los aspectos más relevantes desde el punto de vista práctico e incluir las
citas adecuadas para quien esté interesado en los aspectos más matemáticos.
En segundo lugar se hace
una comparación de los métodos Montecarlo y
Cuasimontecarlo en el caso del átomo de Helio, donde se ponen de manifiesto
las ventajas alcanzadas por los diversos métodos Cuasimontecarlo ensayados.
Por último, se comparan los resultados de su aplicación en algunos otros
átomos.
2
2. MÉTODO DE INTEGRACIÓN CUASIMONTECARLO. GENERALIDADES
El método de integración Cuasimontecarlo [2] tiene en común con el de
Montecarlo que la integral se estima como el valor medio del integrando en un
cierto conjunto de puntos, y se diferencia de aquel por la forma en que son
elegidos estos puntos: En el método Montecarlo son elementos de una muestra
con distribución aleatoria en el dominio de integración, obtenida a partir de alguna
rutina de generación de números pseudoaleatorios. En el caso de los método
Cuasimontecarlo los conjuntos de puntos no pretenden ser aleatorios, sino que
son construidos explícitamente con el objetivo de obtener buenas estimaciones
de la integral. Los conjuntos de puntos que se han usado en este trabajo, así
como la forma en que pueden obtenerse, se indican mas adelante.
En cuanto a las ventajas de los métodos de integración Cuasimontecarlo,
respecto al de Montecarlo, pueden reseñarse las siguientes:
a) El orden de convergencia supera al N-1/2 que catacteriza al método de
s-1
Montecarlo: Pueden obtenerse cotas para el error del orden de (log N)
/N para
cualquier función integrable Riemann, siendo s el número de variables de
integración.
b) Las cotas de error son deterministas y no probabilistas como ocurre en
el método Montecarlo.
c) Las condiciones de regularidad del integrando pueden ser registradas
en las cotas de error, es decir, que mejores condiciones de regularidad de la
función que se integra implican unas mejores cotas para el error.
3. MÉTODOS CUASIMONTECARLO ANALIZADOS EN ESTE TRABAJO
En este trabajo, tras hacer los cambios de variable necesarios para
transformar todos los intervalos de integración en (0,1) y emplear las funciones
de peso introducidas en [1], se han utilizado puntos procedentes de sucesiones
de Halton, sucesiones de Korobov, y conjuntos de puntos de Hammersley. A
continuación describimos brevemente las formas de obtener los puntos, así como
algunas de sus propiedades.
3
Sucesiones de Halton [3]
Definición.- Una sucesión de Halton es una sucesión de puntos P1, P2, .....Pn,...
s
de [0,1] cuyas coordenadas son:
Pn = (Pb1 (n), Pb2 (n), ...., Pbs(n))
Los parámetros
b1, b2, .....bs
son números naturales primos entre si y las
coordenadas Pbj(i) puede obtenerse de la forma siguiente:
Sea bj ≥2 un entero. La coordenada j-ésima Pbj(n). del punto que ocupa
el lugar n en la sucesión se obtiene expresando este número en el sistema de
numeración de base bj :
m
n=
∑ a ib j i =
i= 0
am am-1 .... a1 a0 (bj)
(1)
La coordenada Pbj(n) generada tiene cero por parte entera, y por parte decimal
las cifras de (1) en orden inverso:
m
Pbj(i) =
∑ aib j −(i+1) =
i= 0
0. a0 a1 .... am-1am
(bj)
(2)
Se puede dar también una definición recursiva equivalente que tiene
ventajas para la programación:
a) Pb(1) = 1/b
b) Si Pb(n) = 0.a0 a1 .... am-1am 000...
(b)
, y k es el menor número que
cumple que ak < b-1, entonces Pb(n+1) = Pb(n) + b-k + b-k-1 -1.
(se ha prescindido del índice j, para no complicar la notación)
Una subrutina para generar sucesiones unidimensionales de Halton puede
encontrarse en [4]. En este trabajo se han utilizado como valores para los
parámetros b los primeros s números primos, pues corresponden a las menores
cotas para el error [5]. Los N puntos utilizados en las integraciones son los N
primeros términos de la sucesión de Halton. Las cotas de los errores obtenidos
de esta forma son del orden de (log N)s/N . Es de resaltar que la sucesión debe
emplearse empezando por su primer término, ya que cualquier otra elección
aumenta el error.
4
Conjuntos de puntos de Hammersley [5]
Son los definidos por:
i

Hi =  , pb1 (i)....... p bs−1(i) , i=1,2,... N
N

(3)
lo que significa que se emplea una división en intervalos iguales para una
coordenada y el método de Halton en las restantes. En este caso el orden de
convergencia es (log N)s-1/N
Sucesiones de Korobov [5] y [6]
Si 1, α1, α2, ..., αs, son números irracionales linealmente independientes
sobre los racionales, y (nαi) = nαi - INT(nαi) , entonces:
Pn=((nα1), (nα2), ..., (nαs))
n=1, 2, 3, ...
(4)
son los términos de una sucesión de Korobov . En el caso unidimensional se ha
demostrado [5],[7] que si el integrando es una función periódica, contínua y con
tres derivadas contínuas, el orden del error es 1/N y que si no se cumplen estas
condiciones tan estrictas, el orden del error es (log N)-1/N. El teorema ha sido
generalizado por Ritchmyer [8] para el caso s-dimensional. Este método, para las
funciones que cumplen ciertas condiciones de regularidad es, según Ritchmyer,
más eficiente a partir de dos dimensiones que la regla del trapecio y a partir de
tres, más que las reglas de segundo orden. En cambio, el método Montecarlo
supera a la primera regla para tres o más dimensiones y a la segunda a partir de
cinco.
En trabajos sobre integración múltiple se han usado diversos valores para
los parámetros α [9], [10], [11], [12]. En nuestro caso, tras realizar una serie de
cálculos comparativos preliminares, hemos escogido las raíces cuadradas de los
primeros números primos. No conocemos expresiones para las cotas de error
como las citadas para el método Halton o el de Hammersley, que sean validas
para todo tipo de integrales s- dimensionales, pero más adelante se verá una
forma de evaluar la eficiencia de este procedimiento, a partir de los valores de las
energías atómicas calculadas con él.
5
4. COMPARACIÓN DE LOS METODOS: ÁTOMO DE HELIO.
Con objeto de comparar su calidad, los distintos procedimientos de
integración ensayados se han empleado en el cálculo de la energía de una serie
de átomos. Comparar estas energías es mejor que comparar directamente las
integrales: En primer lugar porque en Química Teórica las integrales son sólo un
medio para obtener los observables atómicos o moleculares, que es lo que se
busca en último término.
Además, como las energías son combinaciones
lineales de un número elevado de integrales, la obtención de buenos resultados
para éstas significa que, o bien las integrales son suficientemente precisas, o se
produce una compensación de errores que, a fin de cuentas, es tan importante
como lo primero.
En la tabla 1 se comparan las energías obtenidas para el átomo de helio
con tres bases diferentes, empleando los procedimientos Montecarlo, Halton,
Hammersley y Korobov, y usando siempre la misma semilla en la generación de
los números. En ella puede apreciarse la superioridad de cualquiera de los
métodos Cuasimontecarlo sobre el de Montecarlo. También se observa que el
método de Halton es menos eficiente que los otros métodos Cuasimontecarlo.
Por supuesto, los resultados obtenidos cuando se generan los números con otras
semillas difieren algo de los indicados en la tabla, pero las conclusiones son las
mismas: El método de Montecarlo es el peor, seguido por el de Halton. Mas
adelante comprobaremos que para elegir entre Hammersley y Korobov debe
tenerse en cuenta el número puntos empleados.
Con objeto de manejar unas medidas concretas de la calidad de estos
métodos hemos seguido un procedimiento basado en el hecho, bien conocido, de
que las cotas de precisión del método Montecarlo se relacionan con el número de
puntos empleados por medio de la expresión:
ε ≅ εo. N -1/2
(5)
en la que ε representa el error cometido y N el número de puntos empleados. Por
consiguiente un ajuste del logaritmo del error frente al logaritmo de N debería dar
una recta con pendiente próxima a -1/2 . En efecto, ajustando una recta por
mínimos cuadrados a los puntos de la figura 1, que se han obtenido
representando el logaritmo de los errores en la energía del átomo de helio (con
6
la base mas sencilla), frente al logaritmo del número de puntos empleados en las
integraciones, se obtiene:
log εMC = (0.3±0.3) - (0.53±.0.07) log N
(6)
Para los métodos Cuasimontecarlo la relación (5) no es necesariamente valida,
pero hemos comprobado que se cumple una del mismo tipo, con un margen de
error similar al obtenido con Montecarlo. En el caso del método de Halton
obtenemos:
log εHAL = (0.4±0.3) - (0.67±0.07) log N
(7)
log εHAM = (-0.4±0.3) - (0.57±0.07) log N
(8)
en el de Hammersley:
Tabla 1.
Comparación de energías obtenidas para el átomo de Helio
usando los distintos métodos.
En la primera columna se especifica el número Nb de funciones de base
utilizadas,
el número
NI de integrales calculadas y el valor analítico de la
energía (Ea)
Analítico
Nº
de Montecarlo
Halton
Hammersley
Korobov
puntos
Nb = 1
1000
2.9491
2.8801
2.8359
2.7694
NI = 3
10000
2.8250
2.8565
2.8427
2.8505
Ea = 2.8477
100000
2.8335
2.8491
2.8474
2.8490
1000000
2.8458
2.8482
2.8477
2.8479
Nb = 2
1000
2.9023
2.8960
2.8556
2.7946
NI = 12
10000
2.8142
2.8693
2.8577
2.8661
Ea = 2.8616
100000
2.8476
2.8629
2.8620
2.8627
1000000
2.8573
2.8620
2.8617
2.8618
Nb = 5
1000
No conv.
2.8959
2.8467
No conv.
NI = 150
10000
2.8840
2.8704
2.8570
2.8665
Ea= 2.8616
100000
No conv.
2.8629
2.8627
2.8629
1000000
2.8590
2.8622
2.8617
2.8617
y para el de Korobov:
log εKOR = (1.2±0.4) - (0.88±0.09) log N
(9)
7
Estas cuatro rectas están representadas en la figura 2. En ella se observa que,
ya que el mejor método debe ser el que suministre la recta mas baja, éste
depende de cual sea el número de puntos empleados. Cuando se usan pocos, el
mejor método es el de Hammersley, pero si se emplea un número suficiente de
puntos (N>106) es preferible el procedimiento de Korobov, Estos resultados se
repiten al emplear dos funciones de base (fig. 3), o al tratar otros átomos (figuras
4,5,6).
5. COMPARACIÓN DE LOS METODOS: OTROS ÁTOMOS
Una vez concluÍdo el estudio del átomo de helio, se ha abordado el
estudio de algunos otros átomos con objeto de confirmar las observaciones
realizadas en el primero. En la tabla 2 se registran las pendientes de las rectas
de regresión obtenidas para los cinco sistemas tratados. En la parte A de la tabla
se tienen en cuenta, en cada caso, los mismos números de puntos que en la
figura 1 (esto es, 16 datos en cada ajuste). En la parte B se ha prescindido de
los puntos con un residuo mayor que dos veces la desviación estándar s de
éstos (en la propia tabla se indica el número de puntos despreciados en cada
caso). Los resultados B son los más adecuados, pues toman en cuenta la
posibilidad de que algún valor sea más próximo al exacto de lo esperado, en
cuyo caso el logaritmo del error resultaría anómalo: Considérese, por ejemplo,
que si por casualidad se obtiene algún valor coincidente con el exacto, lo que no
es improbable cuando se manejan un número limitado de cifras significativas, el
logaritmo del error sería infinito. Precisamente, hemos observado que todos los
puntos con error superior a 2s correspondían a valores mas próximos al exacto
que la media.
8
L o g a r i t m o d e l e r r o r e n la e n e r g ía f r e n t e
a l n ú m e ro d e p u n to s
2
1
0
-1
-2
lo g e r r o r -3
-4
-5
-6
-7
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lo g N
Fig. 1. Método de Montecarlo.
Helio (SZ)
L o g . d e l e r r o r e n la E n e r g ía fr e n te a l lo g . d e l n ú m e ro
d e p u n to s
0
-1
-2
-3
-4
-5
M o n te c a rlo
-6
H a m m e r s le y
H a lt o n
-7
K o ro b o v
-8
0
1
2
3
4
5
lo g
6
7
8
9
1 0
N
Fig. 2. Rectas de regresión de los cuatro métodos.
Helio(SZ)
9
L o g . d e l e r r o r e n la E n e r g ía fr e n te a l lo g . d e l n ú m e r o d e p u n to s
0
-1
-2
-3
-4
-5
M o n te c a r lo
-6
H a m m e rs le y
-7
H a lto n
K o ro b o v
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Log N
fig. 3. Rectas de Regresión de los cuatro métodos.
Helio (DZ)
L o g . d e l e r r o r e n la E n e r g ía fr e n te a l lo g . d e l n ú m e ro d e p u n to s
0
-1
-2
-3
M o n te c a r lo
-4
-5
H a m m e rs le y
-6
H a lto n
-7
K o ro b o v
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lo g N
Fig.4. Rectas de regresión de los cuatro métodos.
Berilio (SZ)
10
L o g . d e l e rro r e n la E n e rg ía fre n te a l lo g .d e l n ú m e ro d e p u n to s
0
-1
-2
-3
M o n te c a rlo
-4
H a lto n
-5
H a m m e rs le y
-6
-7
K o ro b o v
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Log N
Fig 5. Rectas de Regresión de los cuatro métodos. Carbono (triplete,SZ)
L o g . d e l e rro r e n la E n e rg ía fre n te a l n ú m e ro d e p u n to s
0
-1
-2
-3
-4
M o n te c a rlo
H a m m e rs le y
-5
H a lto n
-6
K o ro b o v
-7
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Log N
Fig 6. Rectas de regresión de los cuatro métodos. Carbono (Singlete,SZ)
11
Tabla 2. Pendientes de las rectas de regresion para los cinco sistemas estudiados. A: Con todos los datos. B: Eliminando los outliers (el número de
éstos se indica como subíndice)
ajustes “A”:
(16 datos)
ajustes “B”:
(Sin datos que
que se aparten
de la media
más de 2s )
Sistema
Montecarlo
He(SZ)
-0.53 ± 0.07 -0.67 ± 0.07 -0.56 ± 0.07 -0.88 ± 0.09
He(DZ)
-0.51 ± 0.09 -0.74 ± 0.07 -0.57 ± 0.10 -0.89 ± 0.08
Be(SZ)
-0.53 ± 0.12 -0.69 ± 0.06 -0.58 ± 0.07 -0.88 ± 0.08
C tripl.
-0.56 ± 0.09 -0.64 ± 0.07 -0.56 ± 0.13 -0.85 ± 0.08
C singl.
-0.63 ± 0.16 -0.78 ± 0.09 -0.48 ± 0.08 -0.78 ± 0.08
He(SZ)
-0.53 ± 0.07- -0.67 ±
He(DZ)
Be(SZ)
C tripl.
C singl.
Halton
Hammersley Korobov
-0.56 ±
-0.81 ±
0
0.070
0.070
0.041
-0.51 ±
-0.74 ±
-0.57 ±
-0.89 ±
0.090
0.070
0.041
0.070
-0.44 ±
-0.64 ±
-0.57 ±
-0.83 ±
0.111
0.031
0.031
0.041
-0.50 ±
-0.65 ±
-0.58 ±
-0.85 ±
0.041
0.031
0.101
0.080
-0.54 ±
-0.70 ±
-0.54 ±
-0.79 ±
0.071
0.042
0.031
0.041
Los resultados que hemos obtenido para las energías de un conjunto
más amplio de átomos se exponen en la tabla 3. En ella se aprecia, para
todos, un comportamiento análogo al observado para el Helio en la tabla 1,
confirmándose la superioridad de cualquiera de los métodos Cuasimontecarlo
ensayados respecto al de Montecarlo y la menor eficiencia del método de
Halton con respecto a los otros cuasimontecarlos.
12
6. COMPARACION POR OTROS PROCEDIMIENTOS
Para finalizar, resulta interesante comparar la calidad de los distintos
métodos estudiados mediante gráficas como las de las fíguras 7, 8 y 9. En la
primera de ellas se representan en escala logaritmica los errores absolutos
de las energías obtenidas, con 104 puntos, para los átomos de las tablas 1 y
3. La fígura 8 es análoga a la 7, pero en este caso se representan los errores
Tabla 3
Comparación de energías obtenidas para diversos átomos
usando integraciones Montecarlo, Halton, Hammersley y Korobov.
En la primera columna se especifica el átomo tratado, el número de funciones de
la base utilizada (Nb), el número de integrales calculadas (NI) y el valor analítico de
la energía (Na)
Be
Nb = 2
NI = 12
Na = 14.5567
Be
Nb = 4
NI = 75
Na = 14.5723
Ne
Nb = 5
NI = 150
Na =127.8121
Ne
Nb =10
NI = 1650
Na = 128.5351
Mg
Nb = 6
NI = 273 Na =
198.8577
Ar
Nb = 9
NI = 1125
Na = 525.7652
Ca
Nb =10
NI = 1650
Na = 675.6339
Sistema
Montecarlo
Halton
Hammersley Korobov
1000
10000
100000
1000000
1000
10000
100000
1000000
1000
10000
100000
1000000
1000
10000
100000
1000000
1000
10000
100000
1000000
1000
10000
100000
1000000
1000
10000
100000
1000000
15.0984
14.3025
14.5410
14.5498
14.7670
14.6237
14.5468
14.5639
126.4545
126.2802
129.0706
127.7660
No converge
130.4399
128.2354
128.2354
202.0786
196.5535
198.0960
198.7921
514.0360
522.5134
524.4065
525.6289
659.9889
674.0350
674.0259
675.4765
14.6622
14.5839
14.5626
14.5582
14.6753
14.5972
14.5772
14.5730
128.6601
128.0675
127.8747
127.8241
129.3523
128.7272
128.5649
128.5434
200.0749
199.2287
198.9271
198.8719
528.6926
526.6279
525.8069
525.8218
679.2291
676.7409
675.7212
675.7239
14.5161
14.5468
14.5563
14.5569
14.5642
14.5643
14.5723
14.5722
127.2022
127.8115
127.7943
127.8139
128.4154
128.5206
128.5380
128.5332
198.3187
198.7997
198.8639
198.8709
524.7989
525.7479
525.8469
525.7766
674.0720
675.7149
675.7630
675.6675
14.3330
14.5656
14.5605
14.5576
14.4470
14.5780
14.5763
14.5731
126.0585
127.9005
127.8493
127.8227
126.8090
128.5999
128.5654
128.5392
196.5108
198.9780
198.9161
198.9181
519.6746
525.9468
525.8859
525.7900
668.6171
675.9969
675.8128
675.6573
13
relativos. En ambas se observan hechos bien concordantes con los
comentados en los epígrafes precedentes. En gráficas como la de la figura
9, aparece bien clara la superioridad del método de Hammersley sobre el de
Montecarlo: se observa que con 104 puntos se obtienen, por el método de
Hammersley,
errores similares a los que se obtienen con 106 puntos
empleando el método de Montecarlo. Se deduce, por consiguiente, que la
eficiencia del procedimiento de Hammersley es cien veces mayor que la del
método Montecarlo.
Otro tipo de conclusiones que pueden obtenerse de las gráficas 7,8 y 9
es el siguiente: Como es sabido, el número de integrales que es preciso
evaluar para obtener la energía crece rápidamente con el número de
funciones de base, ya que la expresión para ésta es:
m m k
k
k
k
q
r
s
~
E = 2∑ ∑ ∑ cpi∗c qiHpq + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ cpi∗c qicrs∗c js [ 2(pqrs) − (pr qs)]
i
p
q
i
j
p
Podrían temerse, por tanto, unos resultados substancialmente peores si se
aumenta el número de funciones de base. Sin embargo, en la figura 7 se
puede comprobar que no hay una dependencia clara de los errores absolutos
con este número. Así mísmo, de la gráfica de la figura 8 se deduce que los
errores relativos no aumentan, necesariamente, al aumentar el número de
funciones de base, sino que a menudo disminuyen.
14
10
Montecarlo
Halton
1
hammersley
Korobov
0.1
0.01
1E-3
1E-4
He(1)
He(2)
He(5)
Be(2)
Be(4)
Ne(5)
Ne(10)
Mg(6)
Ar(9)
Ca(10)
Fig. 7
Errores absolutos (escala logarítmica) de la energía de los átomos
de las tablas 1 y 3 que aparecen numerados en el eje horizontal en orden
creciente de energía. El número de funciones de base empleadas en cada
átomo aparece entre paréntisis.
Valores obtenidos con 104 puntos.
15
0.03
Montecarlo
Halton
0.025
Hammersley
Korobov
0.02
0.015
0.01
5E-3
0
2
4
6
8
10
Fig. 8
Errores relativos de la energía de los átomos de las tablas 1y 3 que
aparecen numerados en el eje horizontal en orden creciente de energía.
Valores obtenidos con 104 puntos.
16
0.
0.03
Montecarlo 106
0.025
4
Montecarlo 10
Hammersley 104
0.02
0.015
0.01
5E-3
0
0
2
4
6
8
10
Gráfica 9
Errores relativos de la energía de los átomos de las tablas 1y 3
que aparecen numerados en el eje horizontal en orden creciente de energía.
Valores obtenidos con 104 puntos.para Hammersley y para Montecarlo con 104
y 106 puntos
17
Referencias:
[1]
M. Fernández y R. Rodríguez. Integration Montecarlo en el metodo
Roothaan. FCTL. Vol XX. pp.161-179 (1992)
[2] Harald Neiderreiter. Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo
Methods..CBMS 63. Siam. 1992
[3]
J.H. Halton. On the efficiency of certain quasi-random sequences of
points in evaluating multidimensional integrals. Numer. Math., 2 (1960),
pp.84-90; Berichtigung, ibid., 2 (1960),p.196
[4] M. Berblinger and C. Schlier. Monte Carlo integration with quasi-ramdom
numbers:some experience. Comp. Phys. Com. 66.157-166. 1991
[5] Harald Neiderreiter. (Ibid, Cap. 3º)
[6]
Korobov.H.M. The aproximate computation of multiple integrals. Dokl.
Akad. Nank. SSSR 124 (1959) 1207-1210
[7] P. Davis y P. Rabinowitz, Methods of integration. Academic Press. inc.
London 1984, pp. 384 -415
[8] Richtmyer.R.D. On the evaluation of definite integrals and a quasi-Monte
Carlo method based on Properties of algebraic numbers. Rep. LA-1342. Los
Alamos, New Mexico,1952
[9] Baker C.T.H. On Some diophantine inequalities involving the exponential
function, Canad. J. Math. 17 (1965) 616-626
[10]
Haselgrove C. B. A method for numerical integration. Math. Comp. 15.
323-337
[11] H. Conroy. Molecular Schrödinger Equation. VIII. A new Method for The
evaluation of Multidimensional Integrals. J. Chem. Phys. 47. 12 (1967)
pp.5307-5318
[12]
Seymour Haber.Parameters for Integrating Periodics Functions of
Several Variables. Math. Comp. 41. Nº163, 115-129. 1983
18