Álgebra matricial

Francisco Torres Ruiz
1.
1
Algunos resultados matriciales
1.1.
Sobre rango de matrices
Dada una matriz Ap×q , diremos que su rango es r si al menos uno de sus menores de orden r es
distinto de cero mientras que los de orden superior son iguales a cero. Si A = 0 diremos que tiene
rango cero. Evidentemente, si Ap×p es no singular entonces el rango de A es p. Otras propiedades
referidas al rango de matrices son:
1. rg(A) = rg(A0 ) = rg(AA0 ) = rg(A0 A).
2. Si Ap×q , entonces rg(A) ≤ Min(p, q).
3. Dadas Ap×q y Bq×r , entonces rg(AB) ≤ Min(rg(A), rg(B)).
4. Dadas Ap×q y Bp×q , entonces rg(A + B) ≤ rg(A) + rg(B).
5. Dadas Ap×p , Bp×q y Cq×q y si A y C son no singulares, entonces rg(ABC) = rg(B).
6. Dadas Ap×q y Bq×r tales que AB = 0, entonces rg(B) ≤ q − rg(A).
1.2.
Sobre inversas y determinantes de matrices particionadas
1. Sean Ap×p y Bq×q dos matrices no singulares y sean Cp×q y Dq×p . Si P = A + CBD entonces
P−1 = A−1 − A−1 CB(B + BDA−1 CB)−1 BDA−1 = A−1 − A−1 C(B−1 + DA−1 C)−1 DA−1 .
2. Sean Ap×p y Bp×p dos matrices no singulares. Si P = A + B entonces
P−1 = A−1 (A−1 + B−1 )−1 B−1 = B−1 (A−1 + B−1 )−1 A−1 .
3. Sea Ap×p una matriz no singular. Particionemos A en la forma
A11 A12
A=
A21 A22
siendo A11 de dimensión k × k, A12 de dimensión k × (p − k), A21 de dimensión (p − k) × k y
A22 de dimensión (p − k) × (p − k). Supongamos además que A11 y A22 son no singulares. Si
−1
llamamos A11·2 = A11 − A12 A−1
22 A21 y A22·1 = A22 − A21 A11 A12 se tiene
Si A22·1 es no singular, entonces
−1
A11 + A−1
A12 A−1
A21 A−1
−A−1
A12 A−1
−1
11
22·1
11
11
22·1
A =
−1
−A−1
A−1
22·1 A21 A11
22·1
Si A11·2 es no singular, entonces
A−1
−A−1
A12 A−1
−1
11·2
11·2
22
A =
.
−1
−1
−1
−1
−1
−A22
A21 A−1
11·2 A22 + A22 A21 A11·2 A12 A22
Análisis Multivariante. 2o Licenciado en C.C. y T.T. Estadı́sticas
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4. Sea Ap×p particionada como en el apartado anterior.
Si A22 es no singular, entonces |A| = |A22 ||A11·2 |.
Si A11 es no singular, entonces |A| = |A11 ||A22·1 |.
5. Si A es no singular e y es un vector, entonces |A + yy0 | = |A|(1 + y0 A−1 y).
6. Dadas Ap×q y Bq×p , entonces |Ip + AB| = |Iq + BA|.
1.3.
Sobre vectores y raı́ces caracterı́sticas
1. Sean Ap×p y Cp×p , con C no singular y consideremos B = CAC−1 . Entonces A y B tienen las
mismas raı́ces caracterı́sticas.
2. Si A es una matriz real y simétrica entonces todas sus raı́ces caracterı́sticas son reales.
3. Si A es una matriz real y simétrica y λi , λj son dos raı́ces caracterı́sticas distintas de A, entonces
los correspondientes vectores caracterı́sticos xi y xj son ortogonales.
4. Las raı́ces caracterı́sticas de A y A0 son las mismas.
5. Si λ1 , . . . , λp son las raı́ces caracterı́sticas de A entonces λ1 − k, . . . , λp − k son las correspondientes a A − kI y kλ1 , . . . , kλp son las de kA, (k 6= 0).
6. Sean Ap×p y Bp×p dos matrices y supongamos que A es no singular. Entonces las raı́ces caracterı́sticas de AB y BA son las mismas.
−1
7. Si λ1 , . . . , λp son las raı́ces caracterı́sticas de A, entonces λ−1
1 , . . . , λp son las correspondientes
−1
aA .
8. Si A es una matriz ortogonal entonces todas sus raı́ces caracterı́sticas tienen valor absoluto
igual a uno.
9. Si A es una matriz simétrica entonces es idempotente sı́ y sólo sı́ sus raı́ces caracterı́sticas son
ceros y unos.
10. Dada Ap×q , las raı́ces caracterı́sticas de AA0 y A0 A son las mismas.
11. Si T es triangular (superior o inferior) entonces sus raı́ces caracterı́sticas son los elementos de
la diagonal.
12. Si An×n y Gn×n son dos matrices no singulares, entonces A y G−1 AG tienen los mismos
autovalores.
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1.4.
3
Sobre matrices definidas positivas
1. A es definida positiva sı́ y sólo sı́ |A1,...,i | > 0, i = 1, . . . , p, donde A1,...,i es la matriz cuadrada
de orden i formada por las primeras i filas y columnas de A.
2. Si A es definida positiva, entonces A−1 también lo es.
3. A es una matriz simétrica definida positiva (definida no negativa) sı́ y sólo sı́ todas sus raı́ces
caracterı́sticas son positivas (no negativas).
4. Para cualquier matriz B se verifica que BB0 es semidefinida positiva.
5. Si A es definida no negativa, entonces A es no singular sı́ y sólo sı́ es definida positiva.
6. Si Ap×p es definida positiva y Bq×p (q ≤ p) de rango r, entonces BAB0 es definida positiva
sı́ r = q y BAB0 es semidefinida positiva si r < q.
7. Si A, B y A − B son definidas positivas, entonces B−1 − A−1 es definida positiva y además
|A| > |B|.
8. Si A y B son definidas positivas entonces |A + B| ≥ |A| + |B|.
9. Si A es definida positiva y
A=
A11 A12
A21 A22
donde A11 es una matriz cuadrada, entonces A11 y A11·2 son definidas positivas.
1.5.
Sobre algunas factorizaciones matriciales
1. Sea Am×p . Si rg(A) = r ≤ Min(m, p), entonces existen matrices C1 y C2 de rango r de órdenes
respectivos m × r y r × p tales que A = C1 C2 .
2. Si Am×m es una matriz real con raı́ces caracterı́sticas reales, entonces existe una matriz ortogonal H tal que H0 AH es una matriz triangular superior cuya diagonal está constituida por las
raı́ces caracterı́sticas de A.
3. Si Am×m es una matriz real y simétrica con raı́ces caracterı́sticas λ1 , . . . , λm , entonces existe
una matriz ortogonal Hm×m tal que H0 AH = D = diag(λ1 , . . . , λm ).
4. Si Am×m es una matriz definida no negativa entonces existe una matriz de orden m×m definida
1
1
1
no negativa, y que notaremos A 2 , tal que A = A 2 A 2 .
5. Si Am×m es una matriz definida no negativa de rango r entonces
Existe una matriz Bm×r de rango r tal que A = BB0 .
Existe una matriz Cm×m tal que
A=C
Ir 0
0 0
C0
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6. Supongamos que Ak×m y Bk×n son matrices reales con m ≤ n. Entonces AA0 = BB0 sı́ y sólo
sı́ existe una matriz Hm×n verificando HH0 = Im y tal que AH = B.
7. Sea An×m una matriz real de rango m (n ≥ m). Entonces:
A puede ser escrita como A = H1 B, donde H1 es de dimensión n × m con H01 H1 = Im y
Bm×m es definida positiva.
A puede ser escrita en la forma
A=H
Im
0
B
donde Hn×n es ortogonal y Bm×m es definida positiva.
8. Si Am×m es una matriz real, entonces es definida positiva sı́ y sólo sı́ existe una matriz Tm×m
triangular inferior cuyos elementos diagonales son positivos y tal que A = TT0 (descomposición
de Cholesky).
9. Si An×m es una matriz real de rango m (n ≥ m), entonces A puede ser escrita de forma única
como A = H1 T, donde H1 es de dimensión n × m con H01 H1 = Im y Tm×m es triangular
superior cuyos elementos de la diagonal son positivos.
10. Si Am×m es una matriz definida positiva y Bm×m es una matriz simétrica, entonces existe una
matriz Lm×m no singular tal que A = LL0 y B = LDL0 , donde D = diag(d1 , . . . , dm ), siendo
d1 , . . . , dm las raı́ces caracterı́sticas de A−1 B. Si B es definida positiva y d1 , . . . , dm son todas
distintas entonces L es única salvo cambio de signo en la primera fila de L.
11. Sea Am×n una matriz real de rango r. Entonces existen matrices Pm×m y Qn×n (no únicas y
no singulares) tales que
Dr 0
PAQ = ∆ =
0 0
siendo Dr = diag(d1 , . . . , dr ).
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