Sergio Muñoz Guı́a 6. Álgebra y Geometrı́a I MF. Polinomios en R[x] o Q[x] 1. Para cada uno de los siguientes polinomios p(x) y f (x), exprese f (x) de la forma f (x) = q(x)p(x) + r(x), donde q(x) y r(x) son polinomios y grado(r(x) < grado(p(x), o r(x) = 0 (es decir, divida f (x) por p(x) e indique el resto). a) f (x) = 2x5 + 3x3 − 1, p(x) = x3 − 2 b) f (x) = 2x7 − 23x6 + 12x5 − 9x4 + 2x3 − 32x2 + 3, c) f (x) = 49 x6 − 23 x5 − 8 4 15 x + x3 + 2 2 15 x + x + 3, p(x) = x3 − 11x2 + 1 p(x) = 23 x4 − x2 + 1 2 2. Encuentre el valor de k de manera que f (x) = x4 + x3 + 3x2 + kx − 4 sea divisible por p(x) = x2 − 1. 3. Encuentre el valor de m para que el polinomio 2x4 + 9x3 + 2x2 − 6x + 3m tenga resto 12 al dividirlo por x + 12. 4. Encuentre un polinomio de grado 2 p(x) ∈ R[x] tal que p(0) = 2, p(1) = 0 p(−1) = 0. 5. Sabiendo que al dividir f (x) = x2 − 3x − 1 por x − c el resto es 3, encuentre c. 6. Determine el polinomio ax2 + bx + c sabiendo que es divisible por x + 2 y que los restos obtenidos al dividirlo por x + 1 y por x + 3 sean iguales. 7. Criterio para raı́ces racionales (usar sin demostración): Sea p(x) = an xn + · · · + a0 ∈ Z[x], an �= 0. Si un número racional pq es raı́z de p(x) entonces p divide a a0 y q divide a an . Encuentre, si las hay todas las raı́ces racionales de a) p(x) = 3x4 − 10x3 − 3x2 + 8x − 2, b) q(x) = 13 x3 + 13 x2 − 19 x. 8. Encuentre todas las raı́ces del polinomio p(x) = x3 + 6x2 + 8x + 3 y factorice en R[x] dicho polinomio. 9. Factorice en R[x] los siguientes polinomios: a) f (x) = 2x3 − x2 + x + 1. c) f (x) = −5x2 + x + 6. b) f (x) = 2x2 + 4x − 3. d ) f (x) = x4 − 1. 10. Sabiendo que 3 y 4 son raı́ces de f (x) = x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24, factorice en R[x] dicho polinomio. 40