Proyecto

Organización de la unidad
Proyectos
Proyecto: La espiral áurea
TERCER PROYECTO
Sitúate ante el trabajo a realizar
Comprende las unidades didácticas
Formad grupos de trabajo. Leed el texto anterior con detalle y:
9. Elementos de geometría
a) Busca en Internet el origen del número áureo.
10. Triángulos
b) Busca en Internet el número áureo en la naturaleza.
11. Polígonos
c) Busca en iIternet el número áureo en el arte.
12. Circunferencia y círculo
A lo largo del libro se trabajan cuatro proyectos. Cada doble página dedicada al proyecto comienza con un texto introductorio
y tres apartados: Sitúate ante el trabajo a realizar plantea una
serie de cuestiones sobre el texto que llaman a la reflexión, Lo
que tienes que hacer muestra lo que harás durante el desarrollo
del proyecto y el objetivo perseguido y, por último, Pasos a seguir,
señala cuáles son los pasos que tendrás que dar por unidad para
realizar el proyecto.
d) Busca otras situaciones en las que se vea el número áureo.
13. Longitudes y áreas
La espiral áurea
La naturaleza nos da muchas sorpresas y quizá lo que nunca imaginamos
es que gran parte de los seres vivos crecen de una manera geométrica.
Si observas la imagen de la caracola que aparece en este proyecto (es
un nautilus, un molusco cefalópodo considerado como un fósil viviente), comprobarás que su crecimiento sigue la figura llamada espiral
áurea. Esta figura ya fue estudiada en la antigua Grecia. A lo largo de
este proyecto aprenderemos a construirla y estudiaremos alguna de
sus curiosidades.
Lo que tienes que hacer
Lo primero que haremos será construir un rectángulo áureo. En él veremos
distintos triángulos y sus medidas, y encontraremos el número áureo.
Para realizar todas estas
construcciones, usaremos
regla, compás y el programa GeoGebra.
A partir de aquí construiremos una secuencia de cuadrados, que nos ayudarán a general la espiral áurea a través de arcos de circunferencia.
Una vez construida la espiral, calcularemos áreas cubiertas y no cubiertas.
El número áureo es uno de los conceptos matemáticos más conocidos.
Este número irracional descubierto en la Antigüedad aparece repetidamente en la naturaleza y posee muchas propiedades interesantes. Así,
lo podemos encontrar en el estudio del crecimiento de las plantas, en
la distribución de las hojas en el tallo, en el caparazón del caracol, en
las dimensiones humanas, etc., y también lo podemos descubrir en la
arquitectura y en el arte, en donde simbolizaba la belleza y la perfección.
El número áureo se obtiene resolviendo la siguiente proporción:
1− x x
=
x
1
donde la solución es x =
1+ 5
2
Pasos a seguir
A este número se lo denomina con la letra griega Φ (fi) en honor al
escultor griego Fidias.
Para conseguir este reto personal, lo importante es ir paso a paso, realizando los siguientes pasos por
unidad:
9. Elementos de geometría. Paso 1: Construir un rectángulo áureo con GeoGebra.
10. Triángulos. Paso 2: Construcción de triángulos en un rectángulo áureo.
11. Polígonos. Paso 3: Construir la sucesión de cuadrados.
12. Circunferencia y círculo. Paso 4: Construcción de la espiral áurea.
13. Longitudes y áreas. Paso 5: Cálculo del área restante de la construcción de la espiral en la sucesión
de cuadrados.
166
167
¿Desde cuando existen las ecuaciones?
Presentación de la unidad
La doble página inicial de la unidad presenta una tabla que relaciona lo que vas a aprender con las competencias que vas a trabajar a lo largo de la unidad, un sumario de contenidos, un texto
introductorio y el apartado La matemática a nuestro alrededor,
donde podrás darte cuenta de la utilidad de lo que vas a estudiar
a lo largo de la unidad.
Ya en el siglo xvii a. C. los mesopotámicos y los babilonios resolvían ecuaciones de primer y segundo grado. Es más, incluso resolvían sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. También en
el antiguo Egipto (siglo xvi a. C.) existía un álgebra básica con el
que resolvían problemas de la vida diaria. En vez de utilizar letras,
utilizaban un símbolo que llamaban el montón y que era la incógnita que debían resolver. Razonaban de la siguiente manera: si tengo 2 montón y me dan otro montón, tendré tres montón.
8 Introducción
al álgebra
No obstante, el término álgebra proviene del término Al-Jabr, cuyo
significado es ‘restitución’, en nuestro caso, restituir números por
letras y viceversa. Pero, además, también se llama algebrista a la
persona que se dedica a colocar (restituir) los huesos en su sitio.
En esta unidad
La matemática a nuestro alrededor
1. Lenguaje algebraico
2. Expresión algebraica
3. Monomios
4. Operaciones con monomios
5. Polinomios
6. Ecuaciones de primer grado
7. Resolución de ecuaciones de primer grado
8. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
– El doble de 5.
– El doble de 15.
– El doble de un número x.
– El doble de un número es 20. ¿De qué número estamos hablando?
Pero también existen ecuaciones muy famosas, busca las siguientes en la Red.
■
2
– e = mc .
– Área = π ⋅ r 2 .
Vamos a aprender a...
Competencias
Saberes
científicos
–Descubrir situaciones o enunciados que dependen de cantidades varia- CMCT, CPAA
bles o desconocidas mediante expresiones algebraicas.
–Descubrir secuencias lógicas o regularidades presentes en conjuntos
numéricos mediante expresiones algebraicas.
–Calcular el valor numérico de expresiones algebraicas sencillas.
–Realizar operaciones de suma, resta, producto y división de monomios.
Lectura
y comprensión
–Realizar una lectura comprensiva del enunciado del problema e identi- CMCT, CCL
ficar los datos y las incógnitas de los problemas propuestos.
–Revisar la coherencia de las soluciones obtenidas en el contexto del
problema y resuelve algún problema de varias maneras.
Tratamiento
de la información
y competencia
digital
–Realizar búsquedas en la Red de una manera sistematizada y crítica com- CMCT, CD
parando diversas opciones.
–Presentar adecuadamente los resultados de manera estructurada y
utilizando las herramientas apropiadas.
Aprende a
aprender ciencia
–Explorar y conjeturar posibles resultados de procesos de cálculo.
CMCT, CPAA, SIE
–Reconocer la importancia del dominio de las operaciones y procedimientos matemáticos como herramientas que facilitan la resolución de
problemas.
La ciencia
en la sociedad
–Practicar actitudes propias del quehacer matemático (a su nivel): hacer CMCT, CSC
preguntas, sentir curiosidad, indagar, profundizar en algún problema
planteado, elaborar conjeturas, justificar sus razonamientos.
Proyecto: La cesta
de la compra
–Utilizar expresiones algebraicas para calcular resultados en
situaciones de la vida diaria.
CMCT, CD, CSC, CCL,
SIE
Nota: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia en comunicación lingüística (CCL), competencias
sociales y cívicas (CSC), competencia para aprender a aprender (CPAA), competencia digital (CD), sentido de la iniciativa y espíritu emprendedor (SIE),
conciencia y expresiones culturales (CEC).
Desarrollo de contenidos
Unidad 4
Números enteros
1.2. Valor absoluto
1. Los números enteros
¿Cuántos grados debe subir la temperatura de −5 °C para que haya 0 °C?
¿Cuántos grados debe bajar la temperatura de 5 °C para que haya 0 °C?
La libreta del banco del señor Peláez durante el mes de agosto tiene los
movimientos y resultados finales que aparecen al margen.
A continuación comienza el desarrollo de contenidos explicado
con un lenguaje sencillo, comprensible y riguroso, y siempre acompañado, donde se requiera, de ejemplos, fotografías y gráficos
para mejorar la comprensión. Para aclarar las posibles dudas surgidas se intercalan numerosos ejercicios y actividades resueltos.
A lo largo del texto se plantea un gran número de ejercicios y
actividades que sirve para comprobar, comprender y afianzar los
contenidos desarrollados en cada epígrafe y conocer ejemplos
de su aplicación en la vida cotidiana.
El álgebra es una herramienta fundamental en la ciencia, pero
también en la vida diaria; responde a las siguientes cuestiones:
■
Concepto
■
05/08 Préstamo
Los números negativos son los números que se escriben con un
signo menos delante.
10/08 Seguro
El conjunto de los números enteros ( ) está compuesto por los
números negativos, el cero y los números naturales:
30/08 Recibo
del gas
 = {... −100... −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5... +100...}
31/08 Nómina
21/08 Renta
1.1. Representación de números enteros
3
4
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
5
6
7
1
1
2
2
3
4
3
4
1 391
250
1 141
5
5
6
6
7
7
El valor absoluto de un número entero es el número natural que
resulta de quitarle el signo.
El valor absoluto de cero es cero: |0| = 0.
0
35
−35
1.3. Ordenación de números enteros
718
Los números enteros se ordenan de la siguiente forma:
1
→
−1
2
→
−2
3
4
9
8
23
8
En ambos casos la respuesta es 5, que coincide con el número de
unidades que hay entre el −5 y el 0 y entre el 0 y el 5. Este número de
unidades es lo que llamamos valor absoluto.
El valor absoluto se indica con dos barras verticales | |. En el ejemplo
anterior escribiríamos |−5| = 5 y |+5| = 5.
1 141
753
Todo número natural
tiene su negativo
8
Luis le debe 5 Ð a su hermano Pedro. Aquí tendrá 5 Ð negativos (−5 Ð).
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1 991
Cualquier número entero positivo es mayor que el cero y el cero es
mayor que cualquier número negativo.
718
EJEMPLOS
■ Luis tiene en la hucha 5 Ð. Esto es, tiene 5 Ð positivos (+5 Ð). Por
tanto, habrá que marcar el 5 a la derecha del 0.
■
Saldo
2 076
85
600
Saldo
Los números enteros se pueden representar en una recta. Situando el
cero como origen, los enteros negativos irán a la izquierda del cero y
los enteros positivos irán a la derecha del cero.
2
753
03/08 Recibo
de la luz
30/08: le cobran el recibo del gas y aparece en la cuenta la anotación −35, es decir, le debe 35 Ð al banco.
1
Pagos
1 323
01/08 Nómina
21/06: paga la declaración de la renta y gasta todo lo que quedaba
en la cuenta, es decir, 1 141 − 1 141 = 0. En este momento no tiene nada.
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Ingresos
Saldo
Fijémonos en lo que ocurre los días 21 y 30 de agosto:
■
→
→
→
→
−3
■
Entre dos números positivos es mayor el de mayor valor absoluto.
■
Entre dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto.
Para cualquier número entero distinto de cero existe otro igual pero
con signo contrario, por ejemplo:
Ejercicios
y actividades resueltos
A la izquierda del 0 tenemos el −5 y a la derecha tenemos el +5.
Ordena de menor a mayor:
−4
■
−9
■
A la derecha del 0 tenemos el +8 y a la izquierda tenemos el −8.
−23
765
→
−765
1 756
→
−1 756
3 5 0 −1 2 −2 6 −4
opuesto
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
↓
1
2
3
4
5
6
7
8
Dado un número entero cualquiera, obtenemos su opuesto cambiándole el signo:
Ejercicios y actividades
Notación
|a| → valor absoluto de a
1.4. Números opuestos
+a opuest
o→ −a
puesto
− b o
→ +b
1. Representa mediante un número entero las siguientes afirmaciones:
−4 −2 −1 0 2 3 5 6
Ordena de mayor a menor:
−1 −2 4 5 −3 0 1
↓
5 4 1 0 −1 −2 −3
a) El agua se congela a 0° centígrados.
Ejercicios y actividades
b) La fosa de las Marianas tiene 11 034 metros de profundidad.
c) El matemático griego Euclides murió en el 265 antes de Cristo.
d) Luis ha comprado un ordenador a plazos y todavía le quedan por pagar 275 euros.
6. ¿Cuál es la distancia entre −5 y su valor absoluto? En general, ¿cuál es la distancia entre un
número negativo y su valor absoluto?
2. Busca tres ejemplos en los que sea necesario utilizar números enteros negativos.
7. ¿Cuál es la diferencia entre 4 y su valor absoluto? En general, ¿cuál es la distancia entre un
número positivo y su valor absoluto?
3. Indica cuáles de los siguientes números son naturales y cuáles no.
18
5
−4
−9
0
−3
187
−100
−1 564
2 128
8. La distancia entre un número y su opuesto es 12. ¿Cuáles son esos números?
4. Representa claramente en la recta los siguientes números:
5
−3
10
−7
−4
6
−9
9. Calcula:
a) |−14|
0
5. Indica a qué números corresponden las letras de este gráfico:
A
B C
0 D
E
b) |25|
c) opuesto (−14)
10. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
−1 −4 |−3| 5 |−6| |0| 4 |−5|
F
68
d) opuesto (25)
|+6| −5 opuesto (3)
69
INFORMÁTICA MATEMÁTICA
Unidad 11
Construcción de polígonos regulares con GeoGebra
Como habrás podido comprobar, el programa GeoGebra es muy fácil de manejar. Ahora vamos a
aprender a construir polígonos regulares. Sigue los siguientes pasos:
Informática matemática
En este apartado se explica cómo utilizar distintas aplicaciones
informáticas, seleccionadas de entre las más útiles y empleadas.
Además, puedes descargarte las app de Matemáticas de Editex, te
servirán de gran ayuda para trabajar los ejercicios. Para descargarte estas app, regístrate en la zona de usuarios en <www.editex.es>
introduciendo en el formulario el código MATE1-2015.
1. Representa dos puntos en A (1, 1) y B (3, 1).
2. Despliega la ventana según aparece en la primera imagen y haz clic en la pestaña Polígono Regular.
3. Marca los puntos A y B. El programa nos preguntará por el número de puntos que queremos que
tenga el polígono regular. Escribe 6 y pulsa OK.
4. En la última figura puedes ver cómo aparecerá el polígono regular:
Ejercicios y actividades
19. Construye con GeoGebra:
a) Un punto C en las coordenadas (0 , 0).
b) Un punto D en las coordenadas (0 , 2).
c) Construye un pentágono regular de lado CD.
d) Construye un cuadrado de lado CD de dos maneras distintas.
216
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IMPORTANTE:
Todas las actividades propuestas en este libro deben realizarse en un cuaderno de trabajo, nunca en el propio libro.
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EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN
Polígonos. Elementos
1. Señala qué figuras son líneas poligonales y cuáles
son polígonos:
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
Unidad 11
Polígonos
7. Sigue el mismo procedimiento del ejercicio anterior
para completar la siguiente tabla sobre la medida de
los ángulos centrales, interiores y exteriores de polígonos regulares. ¿Qué observas?
Número
de lados
Ángulo
central
Ángulo
interior
17. Dibuja una circunferencia de radio 5,5 cm e inscribe un hexágono en ella.
25. Un trapecio isósceles tiene 5 m de altura. La diferencia entre las longitudes de sus bases es 8 cm. Calcula la
medida de sus lados no paralelos. Con los mismos datos,
¿puede averiguarse la longitud de sus dos bases?
a) Calcula la apotema del hexágono.
b) Dibuja una circunferencia con el mismo centro que
la anterior y radio igual a la medida de la apotema.
¿Qué observas?
Ángulo
exterior
Cuadrado
18. Construye un rectángulo cuya diagonal mida 7 cm.
Pentágono
19. Construye un hexágono de 14 cm de diagonal.
26. Calcula la medida de los ángulos de los siguientes
cuadriláteros:
90°
75°
Ejercicios y actividades de recapitulación
2. Nombra los elementos que aparecen señalados
en el siguiente polígono. Justifica que es un polígono
convexo.
Cuadriláteros
d)
g)
b)
e)
h)
c)
f)
i)
c)
e)
b)
d)
f)
cuadrado
21. Indica todos los cuadriláteros que tienen las siguientes características:
Sencilla,
Media,
trapecio
rectángulo
Paralelogramos
28. Clasifica los siguientes paralelogramos:
b) Sus cuatro lados tienen igual longitud.
a)
c) Sus diagonales tienen igual longitud.
b)
c)
d)
d) Al menos dos de sus ángulos son iguales.
Polígonos regulares
e) Sus diagonales se cortan en el punto medio.
a)
c)
e)
b)
d)
f)
29. Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 6 cm y
12 cm respectivamente.
22. Dibuja un trapecio rectángulo cuya base menor
mida 4 cm, cuya base mayor sea 8 cm y cuya altura
sea 3 cm. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
4. Escribe el nombre de los siguientes polígonos regulares:
11. En una circunferencia de 8 cm de radio se inscribe
un hexágono. ¿Cuánto mide su apotema?
30. Halla la longitud del lado del rombo del ejercicio 29.
23. Calcula la longitud de la base menor del siguiente
trapecio isósceles:
12. ¿Cuánto miden el lado y la diagonal de un cuadrado
de apotema 10 cm?
4,5 cm
31. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas
o falsas. En caso de ser verdaderas, dibuja un ejemplo;
en caso de ser falsa, justifica la respuesta.
a) Todos los cuadrados son rectángulos.
4 cm
13. Calcula la longitud del lado del pentágono:
b) Todos los rectángulos son paralelogramos.
10 cm
5. En el siguiente cuadrado nombra los elementos
dibujados. Si el lado mide 4 cm, ¿cuánto miden los
demás elementos?
Las actividades están clasificadas en tres niveles de dificultad mediante los
siguientes símbolos:
paralelogramo
rombo
a) Al menos tienen dos lados paralelos.
Al finalizar la unidad y para que compruebes si has afianzado los conocimientos, se plantean ejercicios y problemas agrupados por contenidos.
15°
rombo
10. De las siguientes figuras, separa las que sean polígonos regulares de las que no:
a)
a)
23°
77°
95°
90°
27. Completa en tu cuaderno los siguientes dibujos para
formar el cuadrilátero que se pide:
20. Clasifica los siguientes cuadriláteros:
8. Construye, con el transportador y la regla, un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm
de radio teniendo en cuenta la medida de su ángulo
central.
9. Un hexágono regular está compuesto a partir de seis
triángulos equiláteros. Teniendo en cuenta ese dato, calcula la apotema de un hexágono regular de lado 6 cm.
3. Identifica los lados, los vértices, los ángulos y las
diagonales de los siguientes polígonos. Justifica que
son polígonos cóncavos.
120°
60°
Hexágono
Heptágono
Radio = 8 cm
c) Todos los rombos son cuadrados.
d) Todos los rombos son paralelogramos.
24. Demuestra que los ángulos de cualquier cuadrilátero suman 360°.
Apotema = 6,5 cm
e) Todos los cuadrados son rombos.
Construcción de polígonos regulares
6. Observa los ángulos central (naranja), interior (azul)
y exterior (verde) del siguiente octógono y calcula su
medida. Para ello, fíjate en los triángulos formados:
Problemas
14. Inscribe un hexágono regular en una circunferencia
de 5 cm de radio. ¿Cuánto mide su lado?
Difícil.
34. Calcula la medida de los ángulos del siguiente paralelogramo.
32. El tamaño de las televisiones se expresa por la
longitud de su diagonal, que se mide en pulgadas (”).
Si una televisión es de 42” y el lado de la pantalla mide
21”, ¿cuánto mide su base?
15. ¿Qué polígono se forma si se unen de forma alterna
los vértices del hexágono del ejercicio anterior?
16. Inscribe un cuadrado en una circunferencia de radio
5 cm. A continuación, inscribe una circunferencia en el
cuadrado anterior. ¿Qué segmento del cuadrado es el
radio de esta circunferencia? Calcula cuánto mide y
compruébalo en el dibujo.
8x + 24
33. Calcula cuánto suman todos los ángulos interiores
y exteriores de un polígono regular. Razona primero
con un cuadrado, sigue por un pentágono y así continúa aumentando el número de lados.
5x
218
219
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES RESUELTOS
Polígonos
1. Dale nombre a los elementos de la figura:
4. Calcula la apotema de un hexágono regular
a)
inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio.
b)
Solución
2
Ejercicios y actividades resueltos
2
 l
 8
a = r 2 −   = 82 −   = 64 − 16 =
 2
 2
c)
= 48 = 6,93 cm
d)
5. Construye un triángulo equilátero de lado:
Solución
a) Ángulo central.
A
b) Radio.
B
Solución
c) Centro del polígono.
1. Desde cada uno de los extremos del segmento
AB construimos un arco de longitud AB.
d) Apotema.
2. Clasifica los siguientes polígonos:
a)
d)
g)
b)
e)
h)
2. El punto donde se cortan los dos arcos es el vértice C. Construimos el lado AC y el BC.
C
A
Además de los numerosos ejemplos y ejercicios y actividades resueltos que puedes
encontrar a lo largo de la unidad, en esta página se resuelven otros tantos, representativos de las tipologías fundamentales de la unidad.
c)
f)
B
A
B
1
i)
2
6. En la siguiente circunferencia de radio r, inscribe un hexágono regular:
Solución
a) Trapezoide convexo.
r
b) Rombo.
c) Cuadrado.
d) Trapecio isósceles.
Solución
e) Rectángulo.
1. Desde un punto A de la circunferencia trazamos
dos arcos de la longitud del radio. Estos arcos
cortan la circunferencia en los puntos B y C.
f) Octógono.
g) Trapecio rectángulo.
2. Desde B volvemos a trazar un arco que corta
la circunferencia en D. Desde D trazamos un
arco que corta en E y desde C, otro que corta
en F.
h) Paralelogramo.
i) Triángulo equilátero.
3. Inscribe un octógono regular en una circunfe-
3. Construimos los segmentos AB, BD, DE, EF, FC
y CA.
rencia de 2 cm de radio.
Solución
Ya tenemos el hexágono de lado r.
B
A
D
B
D
B
E
A
r
C
E
A
C
F
C
F
2
1
3
217
Desafío PISA
DESAFÍO PISA
Unidad 11
Polígonos
Actividad 2: Para el siguiente hexágono, marca al menos tres ejes de simetría:
Las simetrías y los polígonos
Recuerda que una figura plana es simétrica si existe un eje que divide a la figura en dos partes simétricas.
Existen muchas figuras en la naturaleza y a nuestro alrededor que son simétricas, como la que
aparece en la imagen.
Actividad 3: ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero?
A
A través de la lectura de un texto motivador y relacionado con la
aplicación de la matemática en la sociedad, se plantean actividades
donde hay que poner en acción la comprensión del citado texto. El
diseño de estos «desafíos » está inspirado en las pruebas PISA.
1.
B
2.
C
3.
D
4.
Actividad 4: Construye en tu cuaderno la figura simétrica a la que aparece en la imagen:
A
F
B
C
D
E
Actividad 5: Indica en tu cuaderno la opción correcta para cada polígono.
Simetría
Polígono
Sí
No
Triángulo equilátero
Cuadrado
Pentágono
Actividades
Hexágono
Tras la lectura del texto anterior, realiza las siguientes actividades:
Actividad 1: Señala de las siguientes imágenes cuáles tienen simetría:
A
B
C
Actividad 6: De las siguientes figuras indica cuáles son polígonos regulares:
D
A
B
C
D
220
MI PROYECTO
221
Unidad 15
Conociendo a tu clase
Mi proyecto
Paso 2. Análisis de los datos
Vamos a analizar todos los datos que hemos recogido en la unidad anterior. Ya tenemos la tabla construida y completada con los datos que hemos recogido:
1. Lo primero es distinguir las variables cualitativas y las cuantitativas. Marca cada una de ellas en
la tabla anterior. Las analizaremos de manera distinta.
2. Aunque la edad y el número de hermanos son números, los trataremos como variables cualitativas.
3. Si lo has hecho bien, ya tenemos la siguiente tabla:
Variables cualitativas
Edad, color del pelo, color de los ojos y hermanos
Variables cuantitativas
Estatura y nota
4. Para cada variable cualitativa, construye la siguiente tabla:
Categoría
Cat 1
Cat 2
Cat 3
…
Frecuencia
5. Construye un diagrama de barras con las variables edad y hermanos.
6. Construye un diagrama de sectores con las variables color del pelo y color de los ojos.
7. Para calcular la media de una variable con Calc, debemos usar la siguiente función:
A través de un texto se contextualiza la tarea que hay que realizar
en la unidad con relación al proyecto. Estas tareas te ayudarán a
experimentar y reflexionar sobre los diferentes tipos de métodos
e instrumentos de trabajo, no solo en relación con el desarrollo
de la unidad, sino también en otros contextos en los que puedan
ser relevantes el conocimiento científico y su utilización.
8. Calcula las medias de las variables estatura y nota.
9. Compara los resultados con tus compañeros.
10. Compara los resultados con la clase de al lado.
294
EVALÚATE
Estadística y probabilidad
Autoevaluación
El siguiente gráfico estadístico representa el número de hijos de 200 mujeres de una ciudad. Contesta a las siguientes preguntas:
Evalúate
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
4. Antonio está haciendo tres etapas del Camino
de Santiago. Se ha propuesto caminar una media
de 25 km diarios. El primer día recorre 20 km y el
segundo día, 30 km. ¿Cuántos kilómetros tendrá
que caminar el tercer día para cumplir su plan?
a) 20 km
c) 30 km
d) 25 km
7
6
1 hijo
2 hijos
3 hijos
4 o más
hijos
5
4
3
1. El número de mujeres que tiene solo un hijo es:
a) 20
b) 50
c) 80
a) 1,85
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
3. La variable «número de hijos por mujer» es:
a) Cualitativa.
2
d) 40
2. El número medio de hijos por mujer es (considera la categoría «4 o más» como 4):
1
0
[30,45) [45,60) [60,75) [75,90) [90,105) [105,120)
5. ¿Cuántos pisos se han analizado?
a) 75
b) 30
c) 20
d) 120
6. La marca de clase del intervalo [75,90) es:
a) 75
b) Cuantitativa discreta.
b) 80
c) 82,5
d) 90
7. El número medio de metros cuadrados de los
pisos es:
c) Cuantitativa continua.
d) Categórica.
a) 74,25
b) 75
c) 82,5
d) 90
Soluciones: 1. b - 2. a - 3. b - 4. d - 5. c - 6. c - 7. a
Al término de cada unidad didáctica, en el apartado Evalúate, se vinculan los contenidos
y las actividades realizadas en dos secciones. En Autoevaluación se plantean diversas
preguntas tipo test centradas en los conocimientos explicados en la unidad cuya solución
se muestra en la misma página. En el apartado Mis progresos se incorporan unas rúbricas
finales de autoevaluación para que reflexiones sobre tus progresos.
b) 35 km
El siguiente histograma representa los metros cuadrados de las casas de un grupo de compañeros
de 1º ESO. Contesta a las siguientes preguntas:
0 hijos
Mis progresos
Sobresaliente
¡Soy muy competente!
Bien
Soy competente,
pero puedo mejorar
Suficiente
Soy competente,
pero debo mejorar
Insuficiente
Me faltan competencias.
¡Debo esforzame mucho más!
¿Se aplicar lo
aprendido?
Defino población, muestra e
individuo y reconozco y propongo ejemplos de distintos tipos de variables estadísticas,
tanto cualitativas como cuantitativas.
Defino población, muestra e
individuo y reconozco pero no
propongo ejemplos de distintos tipos de variables estadísticas, tanto cualitativas como
cuantitativas.
Defino población, muestra e
individuo pero no reconozco
los distintos tipos de variables
estadísticas.
No defino población, muestra
e individuo y no reconozco los
distintos tipos de variables estadísticas.
Sé hacer…
Calculo la media aritmética e
interpreto gráficas estadísticas
sencillas .
Calculo la media aritmética e interpreto algunas gráficas estadísticas sencillas.
Calculo la media aritmética,
pero no interpreto gráficas estadísticas sencillas.
No sé calcular la media aritmética y no interpreto gráficas
estadísticas sencillas.
La tecnología
y yo…
Empleo la calculadora y las TIC
para organizar los datos, generar gráficas estadísticas y calcular la media aritmética.
Empleo la calculadora y las
TIC para organizar los datos y
generar gráficas estadísticas,
pero no para calcular la media
aritmética.
Solo empleo la calculadora y las
TIC para organizar los datos.
No empleo la calculadora ni
las TIC.
¿Sé trabajar
en grupo?
Defiendo mis ideas y acepto
otras diferentes justificadas.
Defiendo mis ideas, pero me
cuesta aceptar otras diferentes justificadas.
Defiendo mis ideas, pero no
acepto otras diferentes justificadas.
No soy capaz de defender mis
ideas ni de aceptar otras diferentes justificadas.
Unidad 15
295
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PRIMER PROYECTO
Comprende las unidades didácticas
1. Los números naturales
2. Potencias
3. Divisibilidad
4. Números enteros
La gestión del stock de un almacén
Uno de los grandes problemas de las empresas es almacenar tanto la
materia prima que necesitan para producir las mercancías como el
producto una vez terminado.
Es fácil ver coches completamente acabados y hacinados esperando
a ser vendidos o imágenes como esta: gran cantidad de materias primas preparadas para ser vendidas.
La palabra stock es de procedencia inglesa, un anglicismo, y es utilizada en español para hacer referencia al inventario o existencias perteneciente a una empresa destinado a la venta.
Existen varios motivos por los que se necesita gestionar el stock:
■
Almacenar un producto terminado sin vender cuesta dinero.
■
Si el producto es perecedero, puede perder todo su valor.
■
Los almacenes para guardar los productos son caros de mantener.
Seguramente encontrarás más motivos por los que es mejor no
almacenar productos.
Existen muchos criterios para hacer pedidos a la hora de gestionar el stock:
■
■
■
Se puede pedir exclusivamente lo que se va a usar en el momento inmediato.
Hacer un gran pedido cada cierto tiempo teniendo en cuenta
lo que se ha consumido en los periodos anteriores.
Pedir según se van agotando las existencias.
Seguramente se te ocurrirán más formas de hacer los pedidos.
Lo que vamos a aprender con este proyecto es a calcular lo que
cuesta mantener un stock.
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Proyecto: La gestión del stock de un almacén
Sitúate ante el trabajo a realizar
Formad grupos de trabajo. Leed el texto anterior con detalle y:
a) Busca en Internet el significado del término stock y cuál es su procedencia.
b) Busca en Internet el significado de la expresión control de stock.
c) Busca en Internet otras expresiones que signifiquen lo mismo que control de stock.
Lo que tienes que hacer
Lo primero que haremos será calcular las existencias de materia prima que
tenemos en el almacén y el coste de almacenarla.
Continuaremos buscando la mejor forma de almacenar la materia prima. Después veremos cuánto producto seremos capaces de fabricar con la materia
prima de la que disponemos.
Además, nos ayudaremos
para realizar todas estas
operaciones de la hoja de
cálculo Microsoft Excel.
A continuación calcularemos el coste de almacenar el producto terminado. Y
finalmente, calcularemos el beneficio final obtenido.
Para estas operaciones solo necesitaremos realizar operaciones sencillas con
números naturales, potencias y números enteros.
Pasos a seguir
Para conseguir este reto personal, lo importante es ir paso a paso, realizando los siguientes pasos por
unidad:
1. Números naturales. Paso 1: Cálculo de la cantidad total de materia prima y el coste de almacenamiento.
2. Potencias. Paso 2: Simplificación de los resultados obtenidos.
3. Divisibilidad. Paso 3: Cálculo de la manera más óptima para almacenar las materias primas.
4. Números enteros. Paso 4: Cálculo del beneficio final.
9
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1 Números
naturales
En esta unidad
1. Números naturales
2. Sistema de numeración decimal
3. Operaciones con números naturales
4. Jerarquía de operaciones
5. Uso de paréntesis
6. Propiedades con paréntesis
Vamos a aprender a...
Competencias
Saberes
científicos
–Identifica los números naturales y los utiliza para representar e inter- CMCT, CPAA
pretar adecuadamente la información cuantitativa.
–Realiza operaciones combinadas (suma, resta, producto y división) entre números naturales, bien mediante el cálculo mental y algoritmos de
lápiz y papel o calculadora, bien utilizando la notación más adecuada.
Lectura
y comprensión
–Realiza una lectura comprensiva del enunciado del problema e identifi- CMCT, CCL
ca los datos de los problemas propuestos.
–Comunica los resultados obtenidos y explica, mediante un lenguaje
preciso y claro, las ideas y el proceso seguido.
Tratamiento
de la información
y competencia
digital
–Realiza cálculos numéricos utilizando las tecnologías de la información. CMCT, CD
–Realiza búsquedas en la Red de una manera sistematizada y crítica
comparando diversas opciones.
Aprende a
aprender ciencia
–Elabora informes científicos con el nivel adecuado sobre alguno de los CMCT, CPAA, SIE
problemas resueltos o sobre la investigación realizada.
–Comunica oralmente o por escrito sus ideas matemáticas y de manera
ordenada y organizada.
La ciencia
en la sociedad
–Practica actitudes propias del quehacer matemático (a su nivel): se CMCT, CSC
hace preguntas, siente curiosidad, indaga, profundiza en algún problema planteado, elabora conjeturas, justifica sus razonamientos.
Proyecto: La
gestión del stock
de un almacén
–Calcular las cantidades y costes.
CD, CCL, CMCT, CPAA,
SIE, CSC
Nota: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia en comunicación lingüística (CCL), competencias
sociales y cívicas (CSC), competencia para aprender a aprender (CPAA), competencia digital (CD), sentido de la iniciativa y espíritu emprendedor (SIE),
conciencia y expresiones culturales (CEC).
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La aritmética
La aritmética es la disciplina dentro de las matemáticas que estudia
los números naturales, enteros y racionales (estos dos últimos tipos
los veremos más adelante) y trata las operaciones definidas entre
ellos. La aritmética ha estado presente en todas las civilizaciones y,
al parecer, las primeras constancias de su desarrollo se encuentran
en la antigua Babilonia y Egipto como herramienta para el comercio.
Los matemáticos y filósofos griegos Pitágoras y Euclides fueron
quienes dieron valor al concepto de número y sus propiedades, y
Diofanto de Alejandría (siglo iii a. C. aprox.) dio el empujón definitivo a la aritmética con su obra Aritmética, que fue referente de esta
materia durante casi dos milenios.
En el siglo xvii Pierre de Fermat (1601-1665) y en el siglo xix Giuseppe
Peano (1858-1932) formalizaron y desarrollaron la aritmética hasta
llevarla a la forma en que la conocemos en la actualidad.
El italiano Giuseppe Peano (1858-1932) fue el matemático que
definió las reglas (axiomas) para poder construir los números naturales, a partir de los cuales se puede definir el resto de los tipos
de números.
La matemática a nuestro alrededor
■
■
■
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Aunque los usamos sin pensar, estamos usando números naturales todos los días. Se usan para contar objetos, personas, animales…
Algunos ejemplos de números naturales son el DNI, ordenar
alumnos en la lista de clase o contar el número de hermanos.
Busca otros tres ejemplos en los que uses números naturales en
tu vida cotidiana.
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Unidad 1
1. Números naturales
El conjunto de los números naturales se representa por la letra y se
corresponde con el siguiente conjunto de números:
Representación
indoarábiga
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 20, ..., 1 000, ...}
Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar números naturales,
no es propiamente un número natural.
Tenemos que saber que los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no siempre
se han escrito de esta manera de hecho, la representación que conocemos en la actualidad proviene de la escritura árabe.
1.1. Números romanos
Además del sistema decimal, el sistema de numeración para expresar
números naturales que nos resulta más conocido es el de los números
romanos. Este sistema utiliza letras para representar números cuya
equivalencia con el sistema decimal es la siguiente:
I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1.000
Las reglas prácticas para usar los números romanos son las siguientes:
■
Los valores de las letras I, X y C se suman.
■
Las letras I, X y C pueden repetirse hasta tres veces seguidas.
■
La letra M se puede poner tantas veces como haga falta.
■
Las letras V, L y D solo se pueden poner una vez.
■
■
Si una letra está a la derecha de otra de mayor valor, se suman sus
valores.
Decimal
Indoarábigo
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
Nuestro sistema de numeración
procede del sistema de numeración desarrollado en la India,
que introdujeron los árabes en
Europa, de ahí su nombre: sistema indoarábigo.
Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor, se restan sus
valores.
EJEMPLOS
■ III = 1 + 1 + 1 = 3
■
VI = 5 + 1 = 6
■
MV = 1 000 + 5 = 1 005
■
DCXII = 500 + 100 + 10 + 2 = 612
■
CMLII = 1 000 - 100 + 50 + 2 = 952
■
MCMLIV = 1 000 + 1 000 - 100 + 50 + 5 - 1 = 1 954
Ejercicios y actividades
1. Escribe mediante números romanos los siguientes números:
a) 512
b) 473
c) 2 348
d) 3 999
e) 444
2. Escribe en sistema decimal los siguientes números romanos:
a) MCIX
c) MCMLIX
e) MMXIV
b) CDXXIV
d) DCCCXLVIII
f) CMXCIX
12
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Números naturales
2. Sistema de numeración decimal
El sistema de numeración romano tiene muchos problemas. Quizá el
más importante es que no se puede operar con sencillez. Por ejemplo,
si quisiéramos sumar los números MCCIV y CDLII, tendríamos que
hacer primero la correspondencia con el sistema decimal, luego hacer
la suma y finalmente transformar el resultado a números romanos.
Comprueba si el resultado es MDCLVI.
Recuerda
■
El sistema de numeración decimal utiliza 10 dígitos:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Para resolver este problema se utiliza el sistema de numeración decimal. Este sistema es posicional, lo que quiere decir que cada dígito
tiene un valor en función de la posición que ocupe.
La tabla de posiciones es la siguiente:
Tabla de posiciones
…
unidades
de millón
centenas
de millar
decenas
de millar
unidades
de millar
centenas
decenas
unidades
…
UM
Cm
Dm
Um
C
D
U
…
1 000 000
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Teniendo en cuenta el valor de sus diferentes cifras, cada número
natural tiene una descomposición polinómica que se realiza como
indicamos en los siguientes ejemplos:
EJEMPLOS
■
1 324 = 1 ⋅ 1 000 + 3 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 4 = 1 000 + 300 + 20 + 4
1 unidad de millar + 3 centenas + 2 decenas + 4 unidades
■
2 423 = 2 ⋅ 1 000 + 4 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 3 = 2 000 + 400 + 20 + 3
2 unidades de millar + 4 centenas + 2 decenas + 3 unidades
En el último ejemplo tenemos dos cifras 2; en la primera posición por
la izquierda vale 2 000, mientras que en la posición tercera por la izquierda tiene un valor de 20. Vemos que el mismo dígito tiene un valor
distinto dependiendo de la posición que ocupa.
Ejercicios y actividades
3. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:
a) 869
b) 12 509
c) 20 054
d) 108 650
e) 43 567
4. Escribe qué número se corresponde con las siguientes
descomposiciones polinómicas:
a) 7 ⋅ 10 000 + 3 ⋅ 100 + 8
c) 9 ⋅ 1 000 + 4 ⋅ 10 + 5
b) 4 ⋅ 100 000 + 2 ⋅ 1 000 + 1
d) 6 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 8
5. Escribe con letras los siguientes números:
a) 512
b) 68 012
c) 5 432 902
d) 86 000 000 000
6. Escribe con cifras los siguientes números:
a) Cuatrocientos cincuenta y cuatro mil trescientos cinco
b) Siete millones setenta mil cuatrocientos cincuenta y tres
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Unidad 1
3. Operaciones con números
naturales. Propiedades
3.1. Suma
Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al
sumar los dos cestos tendré en total 37 manzanas.
14 + 23 = 37
Se utiliza la suma de números naturales cuando queremos añadir dos
o más cantidades.
Propiedad conmutativa de la suma
Si cambio el orden de los sumandos, la suma no varía.
a+b=b+a
3.2. Resta
Si en el cesto en que tenía 23 manzanas hay 12 con gusano, ¿cuántas
manzanas sanas me quedan?
23 - 12 = 11 manzanas sanas
Se utiliza la resta de números naturales cuando a una cantidad le queremos sustraer otra cantidad.
3.3. Operaciones con sumas y restas
Si en la misma operación tenemos sumas y restas, las operaciones se
hacen de izquierda a derecha.
EJEMPLOS
■ 4+5-3+2-4=9-3+2-4=6+2-4=8-4=4
■
6-3+4-3-4=3+4-3-4=7-3-4=4-4=0
■
7 + 8 - 6 - 3 + 2 = 15 - 6 - 3 + 2 = 9 - 3 + 2 = 6 + 2 = 8
Ejercicios y actividades
7. Realiza las siguientes sumas:
a) 12 + 3 + 2 + 15
c) 9 + 5 + 5 + 2
e) 9 + 14 + 12 + 7 + 13
b) 7 + 2 + 17 + 13 + 9
d) 6 + 2 + 13 + 4
f) 11 + 2 + 125 + 46
8. Realiza las siguientes restas:
a) 24 - 12
b) 34 - 21
c) 78 - 28
d) 46 - 22
e) 18 - 14
9. ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la resta de números naturales? Pon un ejemplo
para justificarlo.
10. Realiza las siguientes operaciones:
a) 14 + 3 - 15
b) 19 - 12 + 4 - 5
c) 13 - 1 + 2 + 14 - 9
11. Un globo se encuentra a 200 m de altitud. Si desciende 50 m, luego asciende 100 m y vuelve
a descender 75 m, ¿a qué altitud se encuentra después?
14
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Números naturales
3.4. Multiplicación
En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, ¿cuántos libros tengo?
Antes de
resolver un ejercicio lee
atentamente el enunciado
para saber exactamente
lo que se pide.
Tenemos dos alternativas:
■
Sumar el contenido de todas las cajas:
15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75 libros
■
Utilizar la multiplicación. La suma anterior es equivalente a multiplicar los libros que caben en cada caja por el número total de cajas:
15 ⋅ 5 = 75
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Si cambio el orden de los factores, el resultado no varía.
a ⋅b = b ⋅a
3.5. División
Queremos empaquetar 30 libros en cajas de 6 libros cada una.
En este caso, utilizaremos la división para repartir los 30 libros en
varias cajas iguales para obtener el número de cajas que necesitamos.
30 6
30 : 6 = 5 cajas
0 5
En nuestro ejemplo no sobra ningún libro; por tanto, tenemos lo que
llamamos una división exacta.
También podría ocurrir que en vez de tener 30 libros tuviéramos 32.
Tendríamos que utilizar también 5 cajas, pero sobrarían 2 libros (resto). En este caso hablaríamos de división entera.
Propiedad fundamental
de la división entera
D
d
r c
D=d⋅c+r
Propiedad fundamental de la división entera
r<d
En una división entera se cumple la siguiente igualdad:
Si la división es exacta:
D=d⋅c
Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto, con resto < divisor
Ejercicios y actividades
12. Realiza las siguientes operaciones:
a) 12 ⋅ 7
c) 7 ⋅ 36
e) 14 ⋅ 23
g) 138 : 23
i) 96 : 12
k) 140 : 10
b) 103 ⋅ 8
d) 13 ⋅ 8
f) 18 ⋅ 6
h) 126 : 7
j) 135 : 9
l) 56 : 8
13. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones y comprueba que se cumple
la propiedad fundamental de la división entera:
a) 105 : 23
b) 59 : 16
c) 197 : 37
d) 208 : 12
14. ¿Se cumple la propiedad conmutativa para la división de números naturales? Pon un ejemplo
para justificarlo.
15. En cada paquete de cromos de la liga vienen seis cromos. ¿Cuántos cromos tendré si compro
12 paquetes?
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Unidad 1
4. Jerarquía de operaciones
Juan tiene cajas de distintos tamaños: 5 cajas con 12 libros cada una,
6 cajas con 8 libros cada una y 13 cajas con 5 libros cada una. ¿Cuántos libros tiene en total?
Primer tipo de caja → 5 ⋅ 12 = 60 libros.
Segundo tipo de caja → 6 ⋅ 8 = 48 libros.
Tercer tipo de caja → 13 ⋅ 5 = 65 libros.
No te
precipites a la
hora de resolver las
actividades, piensa
siempre lo que tienes
que hacer en
cada paso.
En total tiene 60 + 48 + 65 = 173 libros.
Si lo ponemos en una única operación, esta sería la siguiente:
5 ⋅ 12 + 6 ⋅ 8 + 13 ⋅ 5 = 60 + 48 + 65 = 173
Si nos fijamos, hemos realizado primero los productos y luego las
sumas.
La regla general de la jerarquía de operaciones es la siguiente:
1. Se realizan los productos y las divisiones.
2. Si hay varios productos y divisiones encadenados, estos se
operan en orden de izquierda a derecha.
3. Se realizan las sumas y las restas.
4. Si existen varias sumas o restas encadenadas, estas se
operan en orden de izquierda a derecha.
EJEMPLOS
■ 6 ⋅ 4 - 8 : 2 : 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 24 - 4 : 2 + 6 ⋅ 5 = 24 - 2 + 30 = 22 + 30 = 52
■
27 : 3 + 2 ⋅ 5 ⋅ 2 - 3 ⋅ 4 = 9 + 10 ⋅ 2 - 12 = 9 + 20 - 12 = 29 - 12 = 17
■
5 ⋅ 6 : 3 + 9 ⋅ 3 - 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 30 : 3 + 27 - 8 ⋅ 2 = 10 + 27 - 16 = 37 - 16 = 21
■
4 ⋅ 5 - 9 : 3 : 3 + 4 ⋅ 3 - 3 = 20 - 3 : 3 + 12 - 3 = 20 - 1 + 12 - 3 =
= 9 + 12 - 3 = 31 - 3 = 28
Ejercicios y actividades
16. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
a) 12 ⋅ 2 - 14 : 7 + 3 ⋅ 6
c) 9 ⋅ 5 + 5 ⋅ 8 - 7 ⋅ 7 + 2 ⋅ 6
b) 19 - 4 ⋅ 3 + 9 : 3 + 11 ⋅ 3
d) 54 - 15 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3 - 18
17. Realiza las siguientes operaciones:
a) 45 - 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 : 6
b) 34 ⋅ 2 - 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6 - 7 ⋅ 2 + 25 ⋅ 4
18. Antonio va a las rebajas y compra dos camisetas a 10 euros
cada una; un par de zapatillas a 25 euros; y dos pantalones a
30 euros cada uno. Si tiene un bono de descuento de 2 euros
por cada artículo que compra, ¿cuánto deberá pagar en total?
Resuélvelo mediante una única operación combinada.
16
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Números naturales
5. Uso de paréntesis
Marta y Daniel tienen 36 y 60 huevos respectivamente. ¿Cuántas
docenas tienen entre los dos?
Para resolver este problema, tenemos dos alternativas:
■
Saber cuántas docenas tiene cada uno y sumarlas:
Marta → 36 : 12 = 3
Daniel → 60 : 12 = 5
Total → 8 docenas
Como vimos en el apartado anterior, en una única operación
sería:
36 : 12 + 60 : 12 = 3 + 5 = 8 docenas
■
Saber cuántos huevos tienen entre los dos y luego dividir para
calcular el número de docenas:
Total de huevos → 36 + 60 = 96
Total de docenas → 96 : 12 = 8
Con una sola operación se escribiría de la siguiente forma:
(36 + 60) : 12
Y se resolvería de la siguiente manera:
(36 + 60) : 12 = 96 : 12 = 8 docenas
Podemos observar que con la segunda alternativa, utilizando paréntesis, se realizan menos operaciones.
Cuando en una operación combinada aparecen paréntesis, lo primero que debemos resolver son las operaciones que se encuentran
en su interior.
La jerarquía que utilizamos dentro de los paréntesis es la misma que
vimos en el apartado anterior.
EJEMPLOS
■ 6 ⋅ (18 - 8) - (2 + 3) ⋅ 5 = 6 ⋅ 10 - 5 ⋅ 5 = 60 - 25 = 35
■
72 : (2 + 8 : 2) + 8 ⋅ 2 = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : 6 + 16 = 12 + 16 = 28
■
18 ⋅ (24 : 6 - 2 ⋅ 2 + 3 - 2 + 7 ⋅ 2) = 18 ⋅ (4 - 4 + 3 - 2 + 14) = 18 ⋅ 15 = 270
■
6 ⋅ (5 - 2 ⋅ 2) + 4 ⋅ (12 : 3 - 3 + 2 ⋅ 7 ⋅ 2) = 6 ⋅ (5 - 4) + 4 ⋅ (4 - 3 + 14 ⋅ 2) = 6 ⋅ (1) + 4 ⋅ (4 - 3 + 28) =
= 6 + 4 ⋅ (1 + 28) = 6 + 4 ⋅ (29) = 6 + 116 = 122
Ejercicios y actividades
19. Opera:
a) 12 - (8 + 14 : 7 - 6)
b) 14 - 3 ⋅ (3 + 5 - 4)
c) 9 ⋅ (15 - 7) - 7 ⋅ 6
d) 54 - 5 ⋅ (8 - 3 + 5)
20. Calcula:
a) (18 - 2 ⋅ 4) : 5 + 40 : (2 ⋅ 2 + 6)
b) 4 ⋅ (8 + 4 - 2) - 3 ⋅ (15 - 7)
21. Realiza las siguientes operaciones y compara el resultado.
45+−945
12 +− 9
12 + 9 30 −30
15 +−2
30
15 +− 215 + 2 12 −212⋅ 5−2
12⋅ 5− 2 ⋅ 5
45 −12
a) 


 b) 


 c) 
45 −+45
(12
9) −+(12
9) + 9)30 −30
(15 −+30
(15
2) −+(15
2) + 2)(12 −(12
2) ⋅ −
5(12
2) ⋅−5 2) ⋅ 5
45 −(12
22. Plantea mediante una única operación y resuelve: Jorge está ahorrando para comprar una
bicicleta que cuesta 258 euros. Si tiene ahorrados 180 y cada semana ahorra 6 euros, ¿cuántas semanas tardará en ahorrar para comprarla?
17
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Unidad 1
6. Propiedades con paréntesis
Juan, Mario y Luis tienen 12, 13 y 17 años respectivamente. ¿Cuánto
suman las edades de estos tres amigos?
12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 25 + 17 = 42
o
12 + 13 + 17 = 12 + (13 + 17) = 12 + 30 = 42
Es decir,
12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 12 + (13 + 17) = 42
Propiedad asociativa de la suma
Cuando realizamos una suma con varios sumandos, el resultado es
independiente del modo en que se reúnan las sumas.
(a + b) + c = a + (b + c)
Tengo 4 cajas con 15 paquetes de 50 folios cada uno. ¿Cuántos folios
tengo?
4 ⋅ 15 ⋅ 50 = (4 ⋅ 15) ⋅ 50 = 60 ⋅ 50 = 3 000
o
4 ⋅ 15 ⋅ 50 = 4 ⋅ (15 ⋅ 50) = 4 ⋅ 750 = 3 000
Es decir,
4 ⋅ 15 ⋅ 50 = (4 ⋅ 15) ⋅ 50 = 4 ⋅ (15 ⋅ 50) = 3 000
Propiedad asociativa del producto
Cuando realizamos un producto con varios factores, el resultado
es independiente del modo en que se reúnan los productos.
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
EJEMPLOS
■ (3 + 5) ⋅ 7 = 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 7 = 21 + 35 = 56
■
6 ⋅ (4 + 5) = 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 = 24 + 30 = 54
■
(7 - 4) ⋅ 9 = 7 ⋅ 9 - 4 ⋅ 9 = 63 - 36 = 27
■
4 ⋅ (9 - 5) = 4 ⋅ 9 - 4 ⋅ 5 = 36 - 20 = 16
■
5 ⋅ (12 + 21 - 13) = 5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 21 - 5 ⋅ 13 = 60 + 105 - 65 = 100
Ejercicios y actividades
23. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en las siguientes sumas:
a) 12 + (8 + 4) = (12 + 8) + 4
b) 22 + (15 + 18) = (22 + 15) + 18
24. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en los siguientes productos:
a) (9 ⋅ 3) ⋅ 4 = 9 ⋅ (3 ⋅ 4)
b) (8 ⋅ 2) ⋅ 3 = 8 ⋅ (2 ⋅ 3)
25. En un parque hay 18 olmos, 14 castaños de indias y 22 pinos. ¿Cuántos árboles hay en total?
Resuélvelo de dos formas distintas aplicando la propiedad asociativa.
26. En una caja de folios hay cinco paquetes de 500 folios cada uno. ¿Cuántos folios compraremos en tres cajas? Resuélvelo de dos formas distintas aplicando la propiedad asociativa.
18
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Números naturales
6.1. Propiedad distributiva del producto respecto
de la suma
Andrea y Luis tienen 3 y 4 docenas de huevos respectivamente. ¿Cuántos huevos tienen entre los dos?
Galileo Galilei dijo…
(3 + 4) ⋅ 12
Tenemos dos formas de resolverlo:
■
Primero calculamos las docenas que tienen entre los dos y luego
multiplicamos por 12 para saber el número de huevos:
(3 + 4) ⋅ 12 = 7 ⋅ 12 = 84
■
Calculamos cuántos huevos tiene cada uno multiplicando el número de docenas por 12 y luego sumamos los resultados:
(3 + 4) ⋅ 12 = 3 ⋅ 12 + 4 ⋅ 12 = 36 + 48 = 84
Si nos fijamos, hemos resuelto el apartado primero aplicando la regla
de los paréntesis. En el segundo, sin embargo, hemos aplicado la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
El producto de un número por la suma (o resta) de varios números
es igual a la suma (o resta) de los productos de ese número por cada
sumando.
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c ó (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a
a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c ó (b − c) ⋅ a = b ⋅ a − c ⋅ a
De manera más general:
a ⋅ (b + c − d) = a ⋅ b + a ⋅ c − a ⋅ d
EJEMPLOS
■ (3 + 5) ⋅ 7 = 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 7 = 21 + 35 = 56
■
(7 − 4) ⋅ 9 = 7 ⋅ 9 − 4 ⋅ 9 = 63 − 36 = 27
■
5 ⋅ (12 + 21 − 13) = 5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 21 − 5 ⋅ 13 = 60 + 105 − 65 = 100
«Las matemáticas son
el alfabeto con el que Dios ha
escrito el Universo».
Galileo Galilei fue un astrónomo, físico, matemático y filósofo que nació en Italia en 1554 y
murió en 1642.
Con un telescopio, Galileo descubrió cuatro lunas de Júpiter,
los cráteres de la Luna y las
manchas solares, con lo que demostró que los astros no eran
tan perfectos como se pensaba
hasta entonces. Además, se dio
cuenta de que Venus era un planeta del sistema solar.
Pero su mayor y más comprometido hallazgo fue descubrir
que la Tierra gira alrededor del
Sol y no al contrario, como se
pensaba hasta entonces.
Ejercicios y actividades
2 7. Comprueba que se cumple la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y resta operando de dos formas distintas:
a) 14 ⋅ (3 + 7)
c) 10 ⋅ (22 − 15 + 8)
b) (8 − 2) ⋅ 5
d) (12 + 3 − 5) ⋅ 5
28. Aplica la propiedad distributiva de la división respecto de la suma (y la resta) en las siguientes operaciones. Fíjate primero en el ejemplo:
(49 + 35) : 7 = 49 : 7 + 35 : 7 = 7 + 5 = 12
(49 + 25) : 7 = 84 : 7 = 12
a) (46 − 24) : 2
b) (54 + 36) : 6
c) (81 − 27) : 9
29. Resuelve de dos formas distintas mediante la propiedad distributiva: Clara compró seis pendrives a 5 euros cada uno. Begoña ha comprado cuatro iguales. ¿Cuánto tendrán que pagar
entre las dos?
19
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INFORMÁTICA MATEMÁTICA
Unidad 1
Opera con Excel
Excel nos ayuda a resolver operaciones con números naturales de manera muy sencilla. Vamos a
resolver la siguiente operación: 6 - (9 - 4) ⋅ (7 - 6) + 3 ⋅ 5 + 9 : 3.
Para multiplicar en Excel, debemos usar el símbolo * en vez del símbolo ⋅. Y, para dividir, usaremos
el símbolo / en vez de :. Por tanto, la operación quedaría:
6 - (9 - 4) * (7 - 6) + 3 * 5 + 9 / 3
Pasos:
1. Situar el cursor en una celda cualquiera, por ejemplo, la A1.
2. Escribir en la barra de funciones la expresión:
= 6 - (9 - 4) * (7 - 6) + 3 * 5 + 9 / 3
No olvides el símbolo =.
3. Pulsar la tecla Intro. Aparece el resultado, en nuestro ejemplo, 19. Compruébalo.
Ejercicios y actividades
30. Realiza las siguientes operaciones usando Microsoft Excel:
a) 4 ⋅ 5 - 7 + 8 : 2
b) (25 - 10) : 3 + 6 ⋅ (8 + 4)
c) 12 - 6 ⋅ (4 - 2 ) + 23 - 15 : (5 - 2) + 12
d) Un pescadero pagó ayer 375 Ð por 25 kg de lenguados. ¿Cuántos kg ha comprado
hoy si ha pagado 450 Ð?
20
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06/03/15 13:10
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES RESUELTOS
1. Pasa al sistema de numeración romano o decimal las siguientes cantidades:
a) 46
b) CCLXXXVIII
Números naturales
5. Aplica la propiedad fundamental de la división
entera a la división 135 : 23.
Solución
135
20
Solución
a) 46 = XLVI
23
5
40 = 50 - 10 = XL
D = 135
d = 23
c = 5 r = 20
6 = 5 + 1 = VI
D = d ⋅ c + r → 135 = 23 ⋅ 5 + 20
6. Opera:
46 = 40 + 6 = XLVI
a) 5 ⋅ (6 - 3 + 4) - 9 : (6 - 3)
b) CCLXXXVIII = 288
CC = 100 + 100 = 200
b) 9 ⋅ (5 - 3 - 1) ⋅ (12 - 5)
LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80
c) [12 ⋅ 8 - (7 + 5) ⋅ 6] - (9 - 5) : 4 + 3
VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8
Solución
CCLXXXVIII = CC + LXXX + VIII =
= 200 + 80 + 8 = 288
a) 5 ⋅ (6 - 3 + 4) - 9 : (6 - 3) = 5 ⋅ (3 + 4) - 9 : 3 =
= 5 ⋅ 7 - 3 = 35 - 3 = 32
2. Escribe la descomposición polinómica de los
siguientes números:
a) 498
b) 3 687
Solución
a) 498 = 4 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 8
4 centenas + 9 decenas + 8 unidades
b) 3 687 = 3 ⋅ 1 000 + 6 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 7
3 u. de millar + 6 centenas + 8 decenas +
+ 7 unidades
3. Opera:
a) 16 - 12 + 86 - 13
b) 34 - 13 + 5 + 6 - 15
c) 9 - 24 : 6 + 5 ⋅ 8 - 25 : 5
Solución
a) 16 - 12 + 86 - 13 = 4 + 86 - 13 = 90 - 13 = 77
b) 34 - 13 + 5 + 6 - 15 = 21 + 5 + 6 - 15 =
= 26 + 6 - 15 = 32 - 15 = 17
c) 9 - 24 : 6 + 5 ⋅ 8 - 25 : 5 = 9 - 4 + 40 - 5 =
= 5 + 40 - 5 = 45 - 5 = 40
4. María y Pedro cenan en una pizzería. María
come 2 porciones a 3 Ð la porción y Pedro come
3 porciones a 4 Ð cada una. Además, María bebe
un refresco de limón que le cuesta 1 Ð y Pedro
una botella de agua que cuesta 1 Ð. ¿Cuánto le
costará la cena a María? ¿Y a Pedro? ¿Cuánto
gastarán entre los dos?
Solución
b) 9 ⋅ (5 - 3 - 1) ⋅ (12 - 5) = 9 ⋅ (2 - 1) ⋅ 7 = 9 ⋅ 1 ⋅ 7 =
= 9 ⋅ 7 = 63
c) [12 ⋅ 8 - (7 + 5) ⋅ 6] - (9 - 5) : 4 + 3 =
= [96 - 12 ⋅ 6] - 4 : 4 + 3 = = [96 - 72] - 1 + 3 =
= 24 - 1 + 3 = 23 + 3 = 26
7. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) 3 ⋅ (8 + 5 + 2)
b) 9 ⋅ (12 - 4 + 5)
Solución
a) 3 ⋅ (8 + 5 + 2) = 3 ⋅ 8 + 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 = 24 + 15 + 6 =
= 39 + 6 = 45
b) 9 ⋅ (12 - 4 + 5) = 9 ⋅ 12 - 9 ⋅ 4 + 9 ⋅ 5 =
= 108 - 36 + 45 = 72 + 45 = 117
8. A Inés la manda su madre a la frutería con 34 Ð.
Allí compra 2 kg de peras a 2 Ð/kg, 3 kg de tomates a 3 Ð/kg, 5 kg de manzanas a 2 Ð/kg y 4 kg de
patatas a 1 Ð/kg. ¿Cuántos kg de fresas a 3 Ð/kg
podrá comprar? ¿Cuánto dinero le sobrará?
Solución
Inés ha gastado:
2 kg de peras ⋅ 2 Ð/kg = 4 Ð
3 kg de tomates ⋅ 3 Ð/kg = 9 Ð
5 kg de manzanas ⋅ 2 Ð/kg = 10 Ð
4 kg de patatas ⋅ 1 Ð/kg = 4 Ð
Total = 4 + 9 + 10 + 4 = 27 Ð
Le quedan 34 Ð - 27 Ð = 7 Ð para comprar fresas.
Dividimos 7 Ð entre 3 Ð/kg y miramos el cociente y
el resto.
María → 2 ⋅ 3 + 1 = 6 + 1 = 7 Ð
7 3
Pedro → 3 ⋅ 4 + 1 = 12 + 1 = 13 Ð
1 2
Entre los dos gastarán → 7 + 13 = 20 Ð
Podremos comprar 2 kg de fresas y sobrará 1 Ð.
21
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EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN
Unidad 1
a) ¿Cuántas unidades hay en 852 decenas?
Números romanos
b) ¿Cuántas centenas hay en 3 544 unidades?
1. La inscripción corresponde a distintos lugares en
los que aparecen números romanos. ¿A qué año se
refieren?
a) MDCCLXXVIII-Puerta de Alcalá, Madrid
b) MCMLXXIV-Loba capitolina en Segovia (Roma a
Segovia en el bimilenario de su acueducto)
c) MDCCLXXVI-Fecha de la Independencia de los
EE. UU. en el billete de 1$.
c) ¿Cuántas decenas de millar hay en 4 748 520?
7. Realiza la descomposición polinómica de los siguientes números:
a) 3 017
b) 103 030
c) 1 234
Operaciones con números naturales.
Propiedades
8. Estima mentalmente el resultado aproximado de las
siguientes operaciones. Comprueba a continuación que
lo has hecho correctamente efectuando la operación:
2. Escribe con números romanos el año y el siglo en
el que ocurrieron los siguientes hechos históricos:
a) Erupción del Vesubio el 24 de agosto del 79 que
sepulta las ciudades de Pompeya y Herculano
a) 235 + 55 + 92
d) 45 738 : 506
b) 957 - 447 - 20
e) 23 564 + 2 485 + 9 233
c) 703 ⋅ 198
f) 95 789 - 45 398 - 25 310
9. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones e indica, en cada caso, si la división es exacta
o entera:
a) 756 : 27
b) 18 333 : 315
10. Recuerda la disposición de los elementos en una
división y la propiedad fundamental que cumplen
b) Caída del Imperio romano de Occidente en el año
476
c) Toma de Granada por los Reyes Católicos en 1492
d) Pascal diseñó y construyó la primera calculadora
en 1642
e) Caída del muro de Berlín en 1989
Sistema de numeración decimal
3. Con las cifras 2, 3 y 7 forma todos los números
que sean posibles y ordénalos de menor a mayor.
4. A continuación se indica la población de algunos
países. Escríbela con letras:
a) China: 1 360 763 000
D
r
d
c
Aplícala para completar la siguiente tabla:
D
d
c
42
5
8
35
21
8
10
7
97
r
Jerarquía de operaciones.
Uso del paréntesis
11. Realiza las siguientes operaciones:
b) España: 47 129 783
a) 7 ⋅ 8 - 3 ⋅ 4 - 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 8
c) San Marino: 31 247
b) 50 ⋅ 6 - 3 ⋅ 5 - 5 ⋅ 4
d) Islandia: 320 137
5. La población mundial es aproximadamente de siete millones cuarenta y seis mil personas. Escribe esa
cifra con números.
6. Observa la disposición de los siguientes números
en una tabla y responde a las preguntas:
c) 9 ⋅ 7 - 4 ⋅ 12 - 3 ⋅ 2 + 36
d) 60 - 30 ⋅ 2 + 15 ⋅ 3
e) 97 - 4 ⋅ 21 - 3 ⋅ 4
f) 14 - 12 : 4 + 2 ⋅ 8 : 4 - 12 ⋅ 5 : 6
12. Calcula y observa la diferencia:
842
8
+ 42
+:42
2: 2: 2
2: +
2: 4
2
+4
+4
24
8+
24
:24
b)  
42)
+ 42)
+ 42)
: 2: 2: 2 24
(2
: (:+
2(4)
2
+ 4)
+ 4)
(8
+(8
(8
24
:24
5⋅ +
5⋅ 4
54
+4
+
⋅ 14
14
14
c) 
5
⋅ (4)
5 4)
+ 4)
(5⋅ (+
+
⋅ 14
14
14
UM
CM
DM
UM
C
D
U
4
7
4
8
5
2
0
2
0
3
5
4
4
13. Calcula directamente y aplicando la propiedad distributiva:
3
0
7
6
5
a) 6 ⋅ (35 - 25 - 5)
a)   
b) (18 - 9 + 7) ⋅ 3
22
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Números naturales
14. Aplica la propiedad distributiva para escribir estas
operaciones de otra manera:
a) 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 9
b) 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 7
c) 8 ⋅ 5 - 7 ⋅ 5
d) 6 ⋅ 7 - 6 ⋅ 3
15. Opera:
16. Calcula:
a) (2 + 6 - 3) ⋅ 5 + (4 - 3 + 8) ⋅ 9 - 32 : 8
b) 24 + (5 + 3) ⋅ 2 - 5 ⋅ (13 - 5) : 4 - 4 ⋅ 5
c) (5 - 2 + 12) ⋅ (17 - 8) - (14 - 4 - 7) ⋅ 10
d) 56 + 4 ⋅ (9 + 9 - 3) - 6 ⋅ (6 - 2 ⋅ 2) : 6
17. Calcula (presta atención a los corchetes):
b) 4 + (6 + 2) ⋅ 7 - 9 ⋅ (10 - 2) : 4 - 7 ⋅ 6
a) 19 − 3 ⋅ (24 − 2 ⋅ 9) + 18  − (8 − 6) ⋅ 9 + 32 : 18 − 7 ⋅ (3 − 1)
b) 5 ⋅ 39 − 5 ⋅ (14 − 8) − 3 ⋅ 20 − 5 ⋅ (10 − 3 ⋅ 2)
c) (15 + 13 - 4) ⋅ 2 - (9 - 6 + 5) ⋅ (9 - 5)
c) 23 − 4 ⋅ 14 − 2 ⋅ (3 + 4) − (14 ⋅ 6 − 4) : (7 + 3)
d) 6 ⋅ (12 - 8 + 3) - 5 ⋅ (8 - 7 + 5) : (14 - 9)
d) 246 : 4 ⋅ (8 − 3 + 5) + 9 ⋅ (9 − 4 + 5) : 2 − 6 ⋅ (8 − 3 ⋅ 2) : (12 − 8)
a) 16 - 4 ⋅ 3 + (4 + 3) ⋅ 9 - 12 : (26 - 4 ⋅ 5)
Problemas
18. Averigua qué tres números naturales consecutivos
suman 78.
19. Al abrir un libro al azar, la suma de los números de
las dos páginas da 565. ¿Por qué páginas he abierto
el libro?
20. La suma de los tres números consecutivos de los
portales de una calle es 78. ¿De qué tres números se
trata?
21. Las edades de Jaime, Antonio y Andrea suman 131.
Si Jaime tiene 41 años y los otros dos son mellizos.
¿Cuántos años tienen Andrea y Antonio?
22. Los alumnos de 1.º de ESO visitaron una exposición
de matemáticas. En total pagaron 123 Ð y cada entrada salió a 3 Ð. ¿Cuántos alumnos asistieron?
23. La distancia de Madrid a Barcelona es de 505 km.
Si hemos realizado el viaje en 5 horas, ¿qué velocidad
media hemos llevado?
24. Calcula el número de ventanas que tendrá un colegio de 7 plantas y con tres ventanas por planta.
25. Clara compró seis pendrives por 42 euros. Si Begoña
ha comprado cuatro iguales, ¿cuánto tendrá que pagar?
26. Ismael ha cambiado dos cromos de la liga de fútbol por tres de superhéroes. ¿Cuántos cromos de
superhéroes le darán por 14 cromos de fútbol?
27. Para realizar el siguiente proyecto de curso, se va
a dividir a los 77 alumnos del instituto de 1.º de ESO
en grupos. Se pretende que cada grupo esté formado por 6 estudiantes. ¿Cuántos grupos de 6 se formarán? ¿Cuántos alumnos quedarán en el único grupo con menos de 6 alumnos?
28. Se va a realizar un campeonato de baloncesto en
el instituto. Cada equipo lo formarán siete chicos y
chicas (cinco jugando y dos suplentes). Si se han
apuntado 53 alumnos, ¿cuántos equipos podremos
formar? ¿A cuántos alumnos tendremos que convencer para que se forme un equipo más?
29. Un manantial de agua mineral mana cada día 25 000
litros de agua. Si se embotellan en garrafas de 8 litros,
¿cuántas se producen cada día?
30. En un invernadero tienen 14 cajas con 20 rosas cada
una. Si reciben un pedido 22 ramos de una docena de
rosas cada uno, ¿podrán atender el pedido? En caso
afirmativo, ¿cuántas rosas les sobrarán? En caso negativo, ¿cuántas rosas les faltarán?
31. Alba necesita comprar 10 cuadernos para este
curso. Cada uno cuesta 3 Ð en la papelería, pero si
se compran cuatro juntos, cuestan 9 Ð los cuatro.
¿Cuánto gastará Alba en los cuadernos si aprovecha
la oferta?
32. Juan va a invitar a sus amigos al cine por su cumpleaños. En total irán 14 compañeros. Si cada entrada
individual cuesta 6 Ð y hay disponibles bonos de 5 entradas por 27 Ð, ¿cuánto tendrá que pagar si coge la
opción que le resulta más barata?
33. Johann Carl Friedrich Gauss es uno de los matemáticos más importantes de la historia. Murió en 1855 a
los 78 años. Marie-Sophie Germain es una matemática
de su misma época que tuvo que trabajar de forma independiente debido al prejuicio que existía en su época hacia las mujeres. Nació en 1776 y murió a los 55
años. Calcula el año en el que nació Gauss y en el que
murió Marie-Sophie.
34. Una finca rectangular mide 42 metros de largo por
38 metros de ancho. Se desea cercar con una valla que
se vende en lotes de 50 metros.
a. ¿Cuántos lotes tendremos que comprar
para cercar la finca?
b. ¿Cuántos metros de
valla nos sobrarán?
23
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DESAFÍO PISA
Unidad 1
Carrera ciclista
Entre los próximos días 7 y 18 de septiembre se celebrará la vuelta ciclista a la comunidad autónoma. Esta carrera se desarrollará en 13 etapas.
Características de la prueba
■
6 etapas llanas
■
3 etapas de media montaña
■
■
■
■
2 etapas de alta montaña con llegadas en alto
2 etapas de descanso
Se han inscrito 12 equipos ciclistas,
cada uno con 9 componentes
La carrera recorrerá 1 375 kilómetros
en total
Actividades
Tras la lectura del texto anterior, realiza las siguientes actividades:
Actividad 1: ¿Qué cifra ocupa las unidades de millar en la longitud total de la carrera?
A
1
B
4
C
5
D
8
Actividad 2: En cada etapa llana se recorren 125 kilómetros y en las de alta montaña, 90 km. ¿Cuántos
kilómetros se recorren en total entre los dos tipos de etapas?
A
920
B
840
C
930
D
215
Actividad 3: Si en todas las etapas, excepto en las de descanso, se recorriera la misma distancia, ¿cuál
sería la operación necesaria para calcular la longitud de cada etapa?
A
1 375 : 6 + 3 + 2
B
1 375 : (6 + 3 + 2)
C
1 375 : 13 - 2
D
(6 + 3 + 2) : 1 375
24
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12/03/15 12:46
Números naturales
Actividad 4: ¿Cuántos ciclistas participarán en la carrera?
A
12
B
108
C
9
D
120
Actividad 5: La rueda de una bicicleta da 108 000 vueltas en una etapa. En cada vuelta completa la bici recorre
125 cm de carrera. ¿Qué distancia, en kilómetros, tiene
la etapa?
A
125
B
135
C
108
D
110
Actividad 6: La siguiente tabla muestra las altitudes en algunos puntos kilométricos de una etapa de
montaña con llegada en alto.
Punto
kilométrico
Salida
Altitud
en metros
0
350
Alto de Antilla
13
560
Bajín
21
825
Alto de la Bagua
27
1 389
Puerto de Mantia
44
1 650
La Cañada
59
1 180
Mandilla
67
1 250
Grandia
71
1 290
102
1 510
135
2 030
Merchán
Meta
Puerto de la Aguja
¿Cuál es la diferencia de altitudes que salva esta etapa?
A
1 680 m
B
1 010 m
C
135 m
D
1 960 m
25
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MI PROYECTO
Unidad 1
La gestión del stock de un almacén
Paso 1: Cálculo de la cantidad total de materia prima y el coste de almacenamiento
En esta unidad calcularemos el total de materia prima almacenada y cuanto nos va a costar almacenar toda esta materia prima. Para ello usaremos la tabla que aparece a continuación y realizaremos
las operaciones oportunas con ayuda de la hoja de cálculo Microsoft Excel.
Para ello:
1. Analiza la siguiente tabla e identifica las materias primas y sus costes.
Materia
prima
Número
de cajas
Unidades
por caja
Coste unitario
de cada unidad (Ð)
Coste unitario de
almacenamiento (Ð)
M1
15
6
250
2
M2
20
4
320
3
M3
25
4
125
1
M4
10
8
600
2
M5
60
2
350
5
M6
15
6
650
5
2. ¿Qué cantidad total hay de cada materia prima?
3. ¿Cuál es el número total de unidades si tenemos en cuenta las 6 materias primas?
4. Calcula el coste total de cada materia prima.
5. Calcula el coste total teniendo en cuenta todas las materias primas.
6. ¿Cuál es el coste de almacenamiento de cada materia prima?
7. ¿Cuál sería el coste total de almacenamiento?
8. Completa una tabla Excel para calcular cada una de
las operaciones de los apartados 2 a 7.
9. Presenta el resultado del coste total
mediante una operación combinada.
10. Presenta el resultado del coste por almacenamiento total mediante una operación combinada.
11. Si el coste final es el coste de compra
más el coste de almacenamiento,
¿cómo se calcula el coste final?
26
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EVALÚATE
Números naturales
Autoevaluación
6. El ganador de la maratón de Nueva York en
2013 tardó 2 horas, 8 minutos y 24 segundos
en los 42,195 km. de recorrido. ¿Cuál fue el
tiempo expresado en segundos?
1. Cómo se escribe 2 794 con signos romanos:
a) MMDCCXCIV
c) MMDCCLXXXXIIII
b) CMMMDCCXCIV
d) a y c son válidas
a) 7 704
2. ¿Qué número se escribe en signos romanos
DXXIV
a) 74
b) 1 024
c) 524
a) 45
c) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 1 000 + 7 ⋅ 100 + 5
d) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 1 000 + 7 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10
60 - 50 : 5 + 150 : 3
d) = 3 ⋅ 6 - 3 ⋅ 5 = 18 - 3 ⋅ 5 = 15 ⋅ 5 = 75
a) C = 13; r = 92
c) C = 93; r = 3
b) C = 3: r = 93
d) C = 92; r = 13
b) 10 barcas, 10 irán llenas
5. ¿En cuál de estos apartados se ha aplicado correctamente la propiedad distributiva para realizar la operación 3 ⋅ (9 - 3 + 5)?
c) = 27 - 9 + 15 = 33
d) 3
a) 9 barcas, 9 irán llenas
d) 12
b) = 3 ⋅ (6 + 5) = 18 + 15 = 33
c) 241
9. A una actividad de remo nos hemos apuntado 38
compañeros. Si en cada barca caben 4, ¿cuántas barcas necesitaremos? ¿Cuántas irán llenas?
4. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
a) = 3 ⋅ (11) = 33
b) 1
8. ¿Cuáles son el cociente y el resto de esta división 1 485 : 16 ?
b) 6 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 5
c) 50
d)7 680,4
40 - 5 ⋅ (4 + 3) - 20 : (6 ⋅ 5 - 25)
a) 6 ⋅ 1 000 + 2 ⋅ 100 + 7 ⋅ 10 + 5
b) 100
c) 7 680
7. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
d) 574
3. Cuál es la descomposición polinómica de
62 705:
a) 52
b) 42 195
c) 10 barcas, 9 irán llenas
d) 10 barcas, 8 irán llenas
10. Un comerciante compra 90 latas de mejillones a 2 euros cada una y las vende en lotes
de tres, cada uno por 8 euros. ¿Qué beneficio
obtendrá por la venta?
a) 240 euros
c) 60 euros
b) 540 euros
d) 180 euros
Soluciones: 1. a - 2. c - 3. c - 4. b - 5. c - 6. a - 7. b - 8. d - 9. c - 10. c
Mis progresos
Sobresaliente
¡Soy muy competente!
Bien
Soy competente,
pero puedo mejorar
Suficiente
Soy competente,
pero debo mejorar
Insuficiente
Me faltan competencias.
¡Debo esforzame mucho más!
¿Sé aplicar lo
aprendido?
Identifico los números naturales y los utilizo para representar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.
Identifico los números naturales
pero no soy capaz de utilizarlos
para representar e interpretar la
información cuantitativa.
No identifico con facilidad los
números.
No identifico los números naturales.
Sé hacer…
Realizo operaciones combinadas (suma, resta, producto, y
división) entre números naturales , bien mediante el cálculo
mental, algoritmos de lápiz y
papel o calculadora, utilizando
la notación más adecuada.
Realizo operaciones combinadas (suma, resta, producto, y
división) entre números naturales utilizando algoritmos de
lápiz y papel o calculadora.
Solo realizo operaciones combinadas de sumas y restas entre números naturales utilizando algoritmos de lápiz y
papel o calculadora.
No realizo operaciones combinadas entre números naturales utilizando algoritmos de
lápiz y papel.
La tecnología
y yo…
Realizo cálculos numéricos
utilizando calculadora y medios informáticos.
Se realizar algunos cálculos
numéricos con calculadora y
medios informáticos.
Sólo realizo cálculos numéricos con calculadora.
Sólo soy capaz de realizar operaciones con lápiz y papel.
¿Sé trabajar
en grupo?
Asumo mi rol sin interferir en
el trabajo de los demás y aporto ideas al grupo.
Asumo mi rol, aporto ideas al
grupo, pero suelo interferir el
trabajo de los demás.
Asumo mi rol, no aporto ideas
al grupo e interfiero en el trabajo de los demás.
No asumo mi rol e interfiero en
el trabajo de los demás sin
aportar ideas al grupo.
Unidad 1
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