Segunda Prueba Integral 752-757 –1/2 Lapso 2014-2 Universidad Nacional Abierta Álgebra I (Cód. 752-757) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126-508 Área de Matemática Fecha: 10-01-2014 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del 04 al 06 OBJ 4 PTA 4 Sea G un grupo finito. Consideremos para un x en G fijo, las potencias x,x2,x3,… Pruebe que debe existir un n natural tal que xn es el elemento neutro de G. Sugerencia: pruebe primero que en algún momento dos potencias de x deben ser iguales entre sí, esto es xk=xj con j<k. Solución: Veamos los elementos del grupo representados cada uno por una caja. Es decir, tenemos finitas cajas, al ser la sucesión de las potencias x,x2,x3 ,… infinita en una de las cajas deben haber dos elementos iguales, es decir xk=xj con k<j. Pero en un grupo vale la ley de cancelación y luego k veces xx j veces x xx j k veces x e xx x Nota: Hemos aplicado una versión del principio del palomar. El principio del palomar o de Dirichlet es una herramienta básica en combinatoria. Dice que si tenemos n+1 objetos y los debemos colocar en n cajas, entonces alguna caja debe contener 2 o más elementos. Más información en http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_palomar. En este caso hay más cajas que palomas OBJ 5 PTA 5 Demuestre que si tomamos un polinomio 2 n p( x ) a0 a1 x a2 x an x con coeficientes en los enteros y si p(a)=0 con a entero entonces a divide a a0 . ¿Cuáles son las posibles raíces enteras de q x 12 2 x x ? 3 Nota: Debe contestar todo el problema para lograr el objetivo. Solución: Observe que p(a)= a0 a1 a a2 a2 an a n 0 a0 a a1 a2 a an a n1 y esto implica que a divide a a0 . Para la siguiente parte vemos que los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y estas son las posibles raíces enteras. Especialista: José Gascón Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática Segunda Prueba Integral Lapso 2014-2 752-757 –2/2 OBJ 6 PTA 6 ¿Es posible que en un cuerpo tengamos divisores de 0? Recuerde que a es un divisor de 0 si a es no nulo y existe un b tal que ab=0. Solución: Si a no es el cero entonces a tiene inverso multiplicativo a-1 .¿Qué pasa si multiplicamos este por la ecuación ab=0?. Indique la contradicción que se obtiene. FIN DEL MODELO. Especialista: José Gascón Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática