Conceptos basicos

Ingreso y Distribucion del Ingreso. Aspectos
basicos
Walter Sosa-Escudero
June 11, 2014
Walter Sosa-Escudero
Ingreso y Distribucion del Ingreso. Aspectos basicos
Ingreso y Distribucion del Ingreso
Y ingreso. Variable aleatoria continua con soporte y ∈ [0, ∞)
Funcion de distribucion acumulada (FDA)
F (y) = P r(Y ≤ y)
Funcion de densidad
f (y) =
dF (y(
dy
Relacion entre F (y) y f (y)
Z
F (y) = P r(Y ≤ y) =
Z
f (y); dy =
0
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y
y
y; dF (y)
0
Ingreso y Distribucion del Ingreso. Aspectos basicos
Caracteristicas como funcionales
Sea C el espacio de todas las FDA’s F (y).
T (F ) : C → <,
es cualquier funcional de la distribucion del ingreso.
R∞
R∞
Media: µ ≡ E(Y ) = 0 yf (y) dy = 0 y dF (y).
Mediana: M ed(Y ) ≡ inf{y : F (y) ≤ 0.5}
τ −esimo cuantil: Qτ (Y ) ≡ inf{y : F (y) ≤ τ }. τ = 0.5,
mediana. τ ∈ (0.1, 0.2, . . . , 0.9), deceiles,
τ ∈ (0.25, 0.5, 0.75), cuartiles.
Rl
Pobreza: P (Y ) ≡ 0 f (y) dy = F (l), l es la linea de pobreza.
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Ingreso y Distribucion del Ingreso. Aspectos basicos
Poblacion, muestra y datos
Poblacion: Y es una va continua con fda F (y).
Muestra: una coleccion de variables aleatorias
(Y1 , Y2 , . . . , Yn ), independientes e identicamente distribuidas,
cada una con fda F (y).
Poblacion como concepto y muestra como replica. On census
as samples.
Datos: (y1 , y2 , . . . , yn ), realizaciones de la muestra (ingresos
observados).
Objetivo: aprender F, f y T (F ) a partir de los datos.
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Ingreso y Distribucion del Ingreso. Aspectos basicos
FDA Empirica
Sea Y1 , Y2 , . . . , Yn una muestra aleatoria iid de la poblacion Y , con
fda F (y).
n
Fn (y) ≡
1X
1 [Yi ≤ y] ,
n
y ∈ [0, ∞)
i=1
Fn (y) como estimador de F (y). Fn es una funcion aleatoria.
T (Fn ) como estimador de T (F ). Ejemplo
Media Muestral: µ̂ = T (F̂ ) =
n
X
i=1
Pobreza Muestral: µ̂ = T (F̂ ) =
n
X
i=1
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Yi
1
n
1
1 [Yi ≤ l]
n
Ingreso y Distribucion del Ingreso. Aspectos basicos
El Teorema Fundamental de la Estadistica
p
Consistencia: Para cualquier y0 fijo, Fn (y0 ) → F (y0 )
Fn (y0 ) =
1X
p
1 [Yi ≤ yo ] → E [1 (Y ≤ yo )]
n
= P r [Y ≤ y0 ]
= F (y0 )
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Ingreso y Distribucion del Ingreso. Aspectos basicos
Aparte: convergencia uniforme
Una sucesion de funciones reales fn definidas en un conjunto
S ∈ < converge uniformemente a una funcion f en S si para cada
> 0, existe N tal que
n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < for all x ∈ S
Intuicion: estamos usando el mismo para todo el dominio, i.e.,
eventualmente podemos meter fn en la ‘banda’ f ± .
Converencia uniforme equivale a
sup |f (x) − fn (x)| → 0
x∈S
(ver Ross (1980, pp. 137))
La funcion aleatoria Qn (θ) converge uniformemente en
p
probabilidad a Q0 (θ) si supθ∈Θ |Qn (θ) − Q0 (θ)| → 0.
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Teorema Fundamental de la Estadistica (Glivenko-Cantelli):
Y1 , Y2 , . . . Yn una muestra iid de Y , con fda F (y), yin[0, ∞)
up
Fn (y) → F (y)
Nexo entre la f da poblacional y la fda empirica. Idea de ‘aprender’
de los datos.
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