MATE 4009

MATE 4009
Dr. Pedro V·squez
UPRM
P. V·squez (UPRM)
Conferencia
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Ecuaciones diferenciales exactas
Diferencial exacto de una funciÛn de dos variables Si z = f (x, y ) es
una funciÛn de dos variables con derivadas parciales de primer orden
continuas en una regiÛn R del plano !xy , entonces su diferencial es:
dz =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
(1)
Nota Si f (x, y ) = c, donde c es una constante,
entonces.dz =
∂f
∂f
dx +
dy = 0
∂x
∂y
(2)
Ejemplos
1 Por ejemplo, si x 3 ! xy + y sin x = 4, entonces por (2) se obtiene la
ED de primer orden:
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Nota Nuestro interÈs es encontrar ED escritas en la forma
M (x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0 que correspondan a un diferencial de
f (x, y ) = c. Por ejemplo, la expresiÛn diferencial
!
"
(8x + y ) dx + (x + 2y ) dy es el diferencial d 4x 2 + xy + y 2 .
EcuaciÛn diferencial exacta Una expresiÛn diferencial
M (x, y ) dx + N (x, y ) dy es un diferencial exacto en la regiÛn R del plano
xy si es el diferencial de alguna funciÛn f (x, y ) en R. Una ED de primer
orden es de la forma:
M (x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0
(3)
se dice que es exacta si la expresÛn de la izquierda en un diferencial exacto.
NotaEn la expresiÛn diferencial (8x + y ) dx + (x + 2y ) dy , se tiene que
∂
∂
∂M
∂N
=
(8x + y ) =
(x + 2y ) o equivalente a decir que:
∂y
∂x
∂y
∂x
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Theorem
Sean M (x, y ) y N (x, y ) funciones que son continuas y tienen derivadas
de primer orden continuas en una regiÛn rectangular R deÖnida por
a < x < b, c < y < d. Entonces una condiciÛn suÖciente y necesaria que
M (x, y ) dx + N (x, y ) dy para que sea un diferencial exacto es que:
∂M
∂N
=
.
∂y
∂x
(4)
Proof.
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Pasos para resolver una EDE
Para resolver la EDE (3) se sugiere:
1 VeriÖcar que se cumpla (4).
∂f
2 Si cumple paso 1, entonces existe una funciÛn f para la cual
= M.
∂x
R
3 Halle f (x, y ) = M (x, y ) dx + g (y ):
∂f
∂ R
4 Luego calcule:
=
M (x, y ) dx + g 0 (y ) = N (x, y ).
∂y
∂y
5 Halle g (y ) y sustituyendo en la funciÛn obtenida en el paso 3, se
obtiene la soluciÛn general f (x, y ) = c.
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Ejemplos
Resolver las siguientes ED si son exactas:
1 (2x + y ) dx ! (x + 6y ) dy = 0
!
"
!
"
2 2xy 2 ! 3 dx + 2x 2 y + 4 dy = 0
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3
$
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y%
1 + ln x +
dx = (1 ! ln x ) dy
x
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4
&
x 2y !
1
1 + 9x 2
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'
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y 0 + x 3y 2 = 0
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5 (tan x ! sin x sin y ) dx + cos x cos ydy = 0
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6
&
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1
+ cos x ! 2xy
1 + y2
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'
dy = y (y + sin x ) ,
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y (0) = 1
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Factores integrnados
Si la ED M (x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0 no es
exacta, en algunos casos es posible convertirla en exacta encontrando un
factor integrando u (x, y ) tal que la ED
u (x, y ) M (x, y ) dx + u (x, y ) N (x, y ) dy = 0
es exacta. La ED (5) es exacta si se satisface
∂ (uM )
∂ (u N)
=
∂y
∂x
Calculando las derivadas parciales se obtiene:
uMy + Muy = u Nx + Nux ) !Muy + Nux = (My ! Nx ) u.
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(5)
(6)
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Aunque M, N,My , Nx son funciones de x y y , la diÖcultad es determinar
u (x, y ) . Existen dos casos sencillos:
1 Si u = u (x ), entonces (6) se convierte en:
My ! Nx
My ! Nx
du
du
N
= (My ! Nx ) u )
=
u. si la expresiÛn
dx
dx
N
N
depende ˙nicamente de x entonces el factor integrando es una
funciÛn de x.
2 Si u = u (y ), entonces (6) se convierte en:
Nx ! My
du
du
!M
= (My ! Nx ) u )
=
u. si la expresiÛn
dy
dy
M
Nx ! My
depende ˙nicamente de y entonces el factor integrando es
M
una funciÛn de y .
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7 Resolver la EDNE (!xy sin x + 2y cos x ) dx + 2x cos xdy = 0 si
u (x, y ) = xy
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!
"
8 Resolver la EDNE 2y 2 + 3x dx + 2xydy = 0
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&
'
2
9 Resolver la EDNE cos xdx + 1 +
sin xdy = 0
y
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