IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO Alumno: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Fecha: ………………………………. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuaciones de Segundo Grado II Naturaleza de Raíces depende Propiedades de las Raíces Formación de la Ecuación suma se debe tener 2 = b - 4ac b a x1 x2 Discriminante si producto x1 . x2 >0 =0 <0 >0 Raíces reales diferentes Raíces iguales Raíces complejas y conjugadas Raíces reales x1 x2 x1 = x2 Suma = S b S a c a donde Diferencia x1 x2 x1 = m + ni x2 = m – ni m; n R además: i 1 Profesor José María Villavicencio Taipe Producto = P c P a |a| 2 x – Sx + P = 0 IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO Observaciones Raíces Simétricas u Raíces Recíprocas o Ecuaciones Cuadráticas Opuestas Inversas Equivalentes si si si las ecuaciones Una raíz es: x1 = m, la Una raíz es: x1 = m, la ax + bx + c = 0 ; a 0 otra es: x2 = -m otra es: x2 se cumple x1 + x 2 = 0 2 1 m 2 mx + nx + p = 0 ; m 0 se cumple tienen x 1x 2 = 1 Las mismas raíces o soluciones se cumple a b c m n p De donde: x1 Ejercicios Resueltos 1. Ejemplo: En la ecuación x2 + 6x + 5 = 0 Calculemos el DISCRIMINANTE: 6 4 6 4 1; x2 5 2 2 es decir C.S. = {-1; -5} ¡raíces reales y diferentes!. 2. Ejemplo: 2 En la ecuación x – 14x + 49 = 0 Calculamos el DISCRIMINANTE: 2 = b – 4ac 2 = b – 4ac 2 = (6) – 4(1)(5) 2 = (-14) – 4(1)(49) = 16, es decir > 0 Por la fórmula General: x x b 2a 6 16 2(1) = 196 – 196 = 0, entonces las raíces son reales e iguales. Comprobemos: La ecuación dada también se escribe así: 2 (x - 7) = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0 Profesor José María Villavicencio Taipe IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO Igualando cada factor a CERO: x–7=0 x1 = 7 x–7=0 x2 = 7 5. Ejemplo: Formar la ecuación de segundo grado si se tienen las raíces x1 = 2; x2 = -3. entonces: C.S. = {7; 7} Solución: Sabemos: 3. Ejemplo: En la ecuación x2 – 6x + 25 = 0 S = x1 + x2 = 2 – 3 = -1 P = x1x2 = (2)(-3) = -6 Los coeficientes son: a = 1; b = -6; c = 25 entonces de la ecuación: 2 2 El DISCRIMINANTE es: = b – 4ac x – Sx + P = 0 2 2 = (-6) – 4(1)(25) = x – (-1)x + (-6) = 0 -64, es 2 x + x – 6 = 0 Ecuación de 2º Grado decir < 0 Lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS. 6. Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación e indicar 2 4. que tipo de raíces tiene: x – 100 = 0 Ejemplo: Indicar la suma y producto de raíces 2 de: x + 5x + 3 = 0 Solución: Solución: Factorizando (x + 10) (x - 10) = 0 Identificamos: a = 1; b = 5; c = 3 Entonces: S b suma de raíces a S 5 5 1 P c producto de raíces a P 3 3 1 x = -10 x = 10 Son simétricos EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones: Rpta.: _______________ b) 2 2 x +1=0 a) x + 2x + 1 = 0 2 Rpta.: _______________ b) x + x + 1 = 0 2 c) 5x + 2x + 3 = 0 c) 2 d) 7x + 2x – 1 = 0 2 e) 3x – 2x + 5 = 0 Rpta.: _______________ 2 f) x + 8x + 9 = 0 2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes: a) 2 x + 2x + 1 = 0 2 x + 5x + 2 = 0 d) 2 x –1=0 Rpta.: _______________ e) 2 x –x+1=0 Profesor José María Villavicencio Taipe IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 8. Rpta.: _______________ f) 2 (b + 5)x + 3bx + b = 0 presenta raíces iguales. Hallar: “b” 2 5x + 3x + 1 = 0 a) 0 d) 8 Rpta.: _______________ g) Si la ecuación: 2 7x + 4x – 2 = 0 9. b) -2 e) 6 c) 4 Si la ecuación: 2 x + 3x + 6k – 1 = 0 Rpta.: _______________ h) no tiene solución real, entonces se cumple: 2 2x + 3x – 3 = 0 5 24 13 d) k 24 a) k Rpta.: _______________ 3. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: 2 x + 5x + 1 = 0 10. 2 E = (x1 + x2) – 2x1x2 4. b) 21 d) 24 e) 25 13 24 11. Indique los valores de k si en la ecuación: b) -2 ; 1/2 e) -2 ; -1 2 5. b) 25/9 e) N.A. a) c) 9/25 b) 2 con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”. k-4 Si: 3(x1x2) a) 9/2 d) 4 6. 2 c) c) 5/2 2 d) qué valor de “a” las raíces serán iguales? (Raíz doble) 7. x2 = 1 x1 = 5 ; x2 = -2 x1 = -3 ; x2 = -4 Rpta.: _______________ En la ecuación 3x + 2ax + a – 6 = 0, ¿para a) ±1 d) ±4 ; Rpta.: _______________ =1 b) 7/2 e) 9 x1 = 3 Rpta.: _______________ Dada la ecuación: 9x + 5x + 1 = 0 b) ±2 e) N.A. x1 = -2 ; x2 = 2 Rpta.: _______________ c) ±3 e) x1 3 ; x2 2 3 Rpta.: _______________ Si una de las raíces de la ecuación: 2 x + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la f) otra raíz es: a) -2 d) -4 b) -1 e) N.A. x1 2 3 ; x2 2 3 Rpta.: _______________ c) -3 12. c) 2 ; -1 Formar las ecuaciones de 2º grado a partir de las raíces x1 y x2. (m - 2)x – (m + 5)x + 8 = 0 d) 1/4 25 4 e) N.A. a) 1 ; 2 d) -1/2 ; 1 c) 23 Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10. a) 25 c) k x2 – (k + 2)x + k + 1 = 0 su discriminante es igual a la suma de sus raíces. Indicar el valor de: a) 20 b) k Sean las ecuaciones equivalentes: Profesor José María Villavicencio Taipe IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 2 x + ax + 15 = 0 ……….. (I) sea igual al producto de las mismas. (k < 0) 2 3x + 2x + b = 0 ……….. (II) Indicar: “a . b” a) 45/3 d) 2/3 13. b) 30 e) 25/3 a) -3 d) -1 c) 35 15. 2 2ax – (8b - 3)x + 18 = 0 2 d) 14. 3 2 2 e) 9 b) 9 2 Hallar el valor de “k” en la ecuación: 2 a) 1 d) 4 x + (b + 5)x + 6 = 0 son equivalentes (tienen las mismas raíces). 1 6 c) 0 (k - 1)x – 5x + 3k – 7 = 0 para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa multiplicativa de la otra. Calcular “a/b”, si las ecuaciones: a) b) -2 e) N.A. c) b) 2 e) 6 c) 3 1 2 Hallar el valor de “k” que hace la suma de las raíces de la ecuación: 2 2 x + kx + 2x – k + 4 = 0 1. 2 Hallar el valor de “a” de modo que las raíces c) 2x – 2Mx + 1 = 0 de la ecuación: x2 ( a 3)x a2 1 0 se difieren en 5. 4 4. Sean “S” y “P” la suma y el producto de raíces de la ecuación de incógnita “x”: 2 2. a) 5/3 b) 7/3 d) 5/6 e) 20/3 (k - a)(x – x) = -(k + a) c) 10/3 Si: S < P; son números consecutivos. Hallar “k” en función de “a”. Indicar la suma de las raíces que verifican la ecuación: 2 2 x 6x 9 4 x 6x 6 a) 12 b) 16 d) 18 e) 13 c) 15 5. a) –a b) 2a d) 3a e) c) a 3a 2 Los límites hacia los que tienden las raíces de la ecuación: 2 (a - 2)x – (7a - 2)x + 6a = 0 3. Formar la ecuación de segundo grado, si tiene cuando “a” crece indefinidamente. por raíces: M M2 1 2 d) 2x – 2Mx + 2 = 0 2 e) 2x – Mx + 1 = 0 a) 2x – Mx + 2 = 0 b) 2x – 4Mx + 2 = 0 a) 1 y 6 b) 2 y 3 d) 2 y 6 e) N.A. 2 2 Profesor José María Villavicencio Taipe c) 1 y 3 IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO 6. 2n 1 2n 3 Siendo: ; el conjunto solución n1 n 1 7. 2 ecuación: x – 5x + 1 = 0 de la ecuación cuadrática en “x”: 2 ax + 2bx + 4c = 0 Calcular el valor de: L Sabiendo que x1 x2 son las raíces de la (a 0) Reducir: N b2 4 ac x12 x22 x14 x12 x22 x2 4 ( a b c)2 TAREA DOMICILIARIA Nº 5 1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones: 2 7. 2 a) x + 3x + 1 = 0 d) 2x + 5x + 1 = 0 b) x + 5x + 2 = 0 e) x + 7x + 6 = 0 2 2 2 a) 1 d) 9 c) 3x + 4x + 1 = 0 2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes: 2 e) 5x + 2x + 1 = 0 b) x + x + 2 = 0 f) x – 25 = 0 c) x + 5x + 1 = 0 g) x + 3x = 0 d) x – 7x + 2 = 0 h) 3x – 7x + 1 = 0 2 2 2 2 9. 4. b) -4/3 e) -3/4 1 10. c) 1/3 a) 4 d) 2 5. 11. 64 3 64 d) 19 67 9 19 e) 64 b) b) -2/3 e) -1/2 c) -3 Hallar “m”, si la ecuación tiene por raíz a la unidad, m > 0. 2 b) 2 e) 6 c) 3 Dadas las ecuaciones: 2 2 2x + nx + 2 = 0 ………..(II) Equivalentes (tienen las mismas raíces) Indicar el valor de: E = m + n c) 3 c) 19 64 Indicar el valor de “m” si el producto de raíces es igual a la suma de las mismas en la 2 ecuación: (m + 4)x – 2mx + 3m + 1 = 0 a) 1/2 d) 1/3 b) -2 e) -10 mx + 5x + 10 = 0 ………..(I) Hallar “k”, si la suma de raíces de la ecuación es 20. 2 (k - 3)x – (k + 4)x + 30 = 0 a) 6. b) -2 e) 1 2 2 2 (x1 x2 )2 2x1x2 3x1x2 c) -6 Hallar “m”, si el producto de raíces es 16. a) 1 d) 4 x + 2ax + a = 0 Indicar: b) -2 e) -12 4x – 4x + m – m – 2 = 0 Sea x1 y x2 raíces de la ecuación: 2 Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 8. 2 (m + 2)x – (7m + 6)x + 4m + 5 = 0 a) -1 d) -4 2 x + 4x + 1 = 0 a) 4/3 d) -1/3 c) 3 (m + 1)x – (m + 5)x + 10m + 4 = 0 Siendo x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x x2 Indicar el valor de: A 1 3x1x2 b) 2 e) 10 a) -1 d) -10 2 2 3. 8. 2 a) x – ax + 1 = 0 Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble. 2 x – (m + 1)x + 25 = 0 c) 2/3 a) 10 d) 11 12. b) -10 e) 3 c) -11 Indicar el valor de “p” si una de las raíces es la inversa multiplicativa de la otra. 2 (p + 2)x – 3x + 2p + 1 = 0 a) -1 d) 3 13. b) 1 e) 4 c) 2 Hallar “a” si la ecuación presenta raíces 2 2 simétricas: x + (a – 2)x + a + b = 0 Siendo: b > 5 Profesor José María Villavicencio Taipe IV BIM – ÁLGEBRA – 5TO. AÑO a) 1 d) -1 14. b) 3 e) 2 c) 4 2 Sea la ecuación: 5x – 2x + 3 = 0 Donde: “x1” y “x2” son sus raíces Calcular: M = (1 + x1) (1 + x2) a) 1 d) 4 15. b) 2 e) 5 c) 3 Formar las ecuaciones de 2º Grado a partir de las raíces dadas x1 y x2. a) x1 = -2 x2 = -1 b) x1 = 3 x2 = 4 c) x1 = 5 x2 = 3 d) x1 = 2 x2 = e) x1 = x2 = 3 f) x1 = 6 3 3 x2 = -1 Profesor José María Villavicencio Taipe