ECUACIÓN EXPONENCIAL Ecuación exponencial es aquella que tiene la(s) incógnita(s) en el exponente de una potencias. o más Para resolver una ecuación exponencial se debe reducir cada miembro de la igualdad a una potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. Las bases deben ser distintas de cero, uno y menos uno. EJEMPLOS 1. Si 2. 32x = 33, entonces 2x – 3 = Si 4x + 1 · 22x – 6 = (0, 5)x, entonces x es A) A) 0 B) 1 3 C) 2 D) 2 E) 3 B) C) D) E) 3. 4. Si 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 13 entonces x es 5. 6. Si 2x · 3y · 5z · 7w = 180, con x, y, z, w entonces x + y + z + w = A) B) C) D) E) A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3 4 3 4 5 5 2 4 3 4 5 2 3 4 5 no es divisible por siete, por ende no se puede determinar. (0,01)-x + 5 = 100 es 3 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 5 A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) La solución de la ecuación 6 5 4 3 2 7. 6 5 4 3 1 ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si x6= 36, entonces x = 3. II) Si x5 = 55, entonces x = 5. III) Si x3 = y3, entonces x = y. A) B) C) D) E) Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III x+2 -x + 2 125 = 27 ? RAÍCES DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces real b , no negativo, tal que bn = a n a = b bn = a con a = b bn = a a es el único n a es el único b0 DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces real b tal que bn = a n n con b lR OBSERVACIONES: Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces ES REAL. n La expresión ak , con a real no negativo, potencia de exponente fraccionario. n k a = a k n a2 = a, para todo número real EJEMPLOS 16 – 3 125 + 4 81 – 5 -32 = A) 14 B) 6 C) 4 D) 2 E) 0 2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) equivalentes con I) II) III) A) B) C) D) E) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III 9 3 -3 a NO se puede expresar como una a 1. n (-3)2 ? 3. 9 La expresión 3 -8 + 2 5 4 16 3 es igual a 4. -32 A) 0 3 B) 4 7 C) 4 9 D) 4 E) 3 El valor de 0,04 + A) B) C) D) E) 5 (-5)2 es -55 A) -2 7 B) 5 3 C) 5 7 D) 5 E) no está definido 25 5 5. (-2)3 3 6. 0,064 = 0,024 0,24 0,6 1 6 ( 9) A) B) C) D) E) 4 = 1 9 3 6 9 81 PROPIEDADES Si n MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE a y n b están definidas en lR, entonces: n a · n b = na DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n · b n a = b n a , b0 b EJEMPLOS 1. 3 3 · 5 3 A) 15 B) 9 C) 3 D) 3 E) 3 4 25 3 25 3 5 3 75 5 3 = 2. Si a > 0, entonces b A) 1 a B) b a C) b 1 ab D) E) 4 4 a b 4 4 a b3 b a3 = 3. 3 + 3 = 7 7 · A) -2 B) 2 C) 4 D) 10 E) 3 + 7 Si a b y n es impar, entonces el valor de 4. n A) n a n n a b n b a es b n b a B) 0 C) 1 D) -1 E) no está definido. xy 5. xy xy · xy yx xy A) xy xy B) xy xy C) D) E) 1 6. = · yx 1 xy x · yx p 3p + 2 3p · A) 3 3 p · ( 8) B) 8 5 C) 3 · p 8 y xy xy D) 6 E) 3 xy xy · yx (x · y)x 1 - 6 p p 2-3 = PROPIEDADES Si a lR+ y m y n +, entonces: POTENCIA DE UNA RAÍZ n m a RAÍZ DE UNA RAÍZ m nm = (n a) a= nm a EJEMPLOS 1. 3 84 = 23 24 26 212 236 A) B) C) D) E) 4. 3 2. 5. C) 6 2 3 D) 6 E) 2 7. Si p > 0, entonces A) 6 p B) 3 1 p C) 3 p D) 3 p2 E) 6 p5 D) 5 E) 6 10 · p 3 p = 4 5 -2 = 9 A) - 2 9 2 C) - 20 B) 64 2 20 8 D) 2 E) no es un número real. 5 -2 32 A) -20 B) -5 C) 0,5 D) 5 E) 20 A) 1 B) 3. 64 = A) 2 B) 4 C) 8 2 9 = 6 3 = 6. 3 A) B) -24 · 18 9 6 3 -64 = 27 27 C) 32 D) 2 E) no está definido. PROPIEDADES AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ n mn m a , m +, a lR+ PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE n a = a m b = mn + am bn , a, b lR FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL b n a = n bn a , b lR + EJEMPLOS 12 1. 38 = 4 2. 8 · A) 3 9 A) 8 16 B) 3 81 B) 6 16 C) 4 C) 4 16 D) 4 9 D) 4 E) 4 27 E) 3. 3 2· 3 3 = 4. 2 = 32 8 2 A) 3 36 A) 4 B) 3 24 B) 8 C) 3 18 C) 18 D) 3 12 D) 24 E) 28 E) 3 6 8 + 18 = 6 5. 4 4 6. La expresión x · es equivalente a = 6 3 A) B) 2 2 3 C) B) 3 C) 2 1 12 - ·3 1 4 3 2 D) E) 6 7. Si x 0, entonces 2 18x2 – 32x2 – 3x 2 = A) -x 2 B) x 2 C) -2x 2 D) 2x 2 E) 3x 2 x3 A) 2 2 3 D) E) 3 x4 3 x16 3 x18 9 x16 3 x2 · 3 x RACIONALIZACIÓN Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz. Fracciones de la forma CASO 1: a b c CASO 2: Fracciones de la forma a p b +q c EJEMPLOS 1. 6 5 3 A) = 6 5 3 B) 2 3 2 C) 3 5 2 D) 5 6 E) 3 5 2. 12 2 3 3 2 = A) 24 3 + 36 2 B) 24 3 – 36 2 C) -4 3 – 6 2 3. D) 6 2 –4 3 E) 4 3 +6 2 ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la tercera parte de I) II) III) A) B) C) D) E) 3 9 1 3 2 Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III 108 1 ? 3 4. Para racionalizar la expresión A) B) C) D) n bm n b n bn m n bm n 3 + 2 3 2 = A) 5 + 6 B) 5 + 2 6 5+2 6 C) 5 D) 5 1 E) 5 7. 1 2 1 2 3 = 2 6 A) - 2 B) , se debe amplificar por bm bm E) 5. a n 6 C) 2 2 3 2 D) E) 1 2 6. a2 b2 a b = A) (a + b)( a + b) B) (a – b)( a + b) C) (a + b)( a b) D) (a – b) ( a b) E) a + b GUIA DE POTENCIAS Y RAICES 1. El valor de A) B) C) D) E) –34 (–5)2 –81 25 –6 5 6 5 81 25 A) x–4 ∙ y4 B) x–4 ∙ y11 C) x–4 ∙ y12 D) x6 ∙ y3 E) x6 ∙ y4 4. ( 14 ninguno de los valores anteriores. El cuadrado de – 6x5 es 3. B) –36x25 C) 36x5 D) 36x10 C) 12m12 E) 36x25 D) 64m–7 E) 64m12 A) B) C) D) E) 81 37 273 99 279 5.400 · 3,8 = 0,18 · 0,19 A) B) 6. En la secuencia ( ) 1 3 A) 13 ∙ B) ( ) C) 13 ∙ ( ) n-1 D) ( ) n+1 E) 13 3 13 3 –3 6 ∙ 10 –2 B) 6 ∙ 10 C) 60 D) 6 ∙ 103 E) 6 ∙ 105 13 3 n n ( 13 ) ) –3 = = 1 m12 64 1 m12 12 –36x10 El valor de 93 + 93 + 93 es A) m–4 A) 5. 7. x4 · y7 · x–3 · y x5 · y–4 2. es 2n 13 13 13 , , ,............., el n-ésimo término es 3 9 27 8. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) 53 = 125 343 7 II) (3pn)2 = 6p2n III) (32)4 + 47 = 38 + 16 45 45 A) B) C) D) E) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III 10. El número √364 es igual a A) 38 B) C) D) E) 9. La expresión (1714 – 1712) es divisible por I) II) III) 1712 24 3 A) B) C) D) E) Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y II I, II y III 11. A) B) C) D) E) –3 √192 B) 3 ( √3 ) C) 6 3 32 D) 9 3 62 E) ninguno de los valores anteriores. 8 7∙ 3 7 = √–27 √–27 13. A) B) C) D) E) 12 13 12√2 13√2 13√2 – √12 14. 15. (√48 + √192 – √27) : √3 107 15√3 9√3 15 9 El valor de 4 A) 3 · √3 B) √9 C) √27 B) 10 7 √21 C) √6 D) √27 D) √3 E) 3 √6 E) 3 A) 3 A) √72 El valor de √162 + √32 – es 6 12. 3 El valor de √3 · √–9 es 4 4 3 3 es = ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a √30 - √15 ? √5 16. I) II) III) A) B) C) D) E) √6 - √3 √6 - √15 √3 ∙ ( √2 - 1) Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III 17. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracionales# I) II) III) A) B) C) D) E) √50 ∙ √2 √7 + 2√7 √6 √216 Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III Sólo II y III 18. 3 3 + √2 A) √2 – 1 B) 9 – 3√2 C) √2 2 D) 9 –√2 7 E) 9 – 3√2 7 =