Matemática Lámina coleccionable “Números complejos” Síntesis de contenidos • Números imaginarios (𝕀) 1 Son todos los números de la forma bi, donde b es un número real e i la unidad imaginaria, igual a la raíz cuadrada de uno negativo. Es decir, i = �–1 • Unidad imaginaria i = �–1 i 2 = –1 i 3 = i ∙ i 2 = –i i4 = i2 ∙ i2 = 1 i5 = i4 ∙ i = i i 6 = i 4 ∙ i 2 = –1 i 4p = 1 i (4p + 1) = i i (4p + 2) = –1 i (4p + 3) = –i , con p un número natural. • Números complejos (ℂ) -- Son todos los números de la forma z = a + bi, donde a y b números reales e i la unidad imaginaria. -- Si a + bi = c + di (con a, b, c y d reales), entonces a = c y b = d • Definiciones -- Parte real de z o Re(z): Es aquel número que no es factor de la unidad imaginaria. Es decir, si z = a + bi, entonces a es la parte real. -- Parte imaginaria de z o Im(z): Es el número que es factor de la unidad imaginaria. Es decir, si z = a + bi, entonces b es la parte imaginaria. -- Módulo o valor absoluto de z: Distancia positiva entre dicho número y el cero. Su símbolo es | z |, donde | z | = �[Re(z)]2 + [lm(z)]2 -- Conjugado de z: Número simétrico de z con respecto al eje real. Su símbolo es z, donde z = a – bi, si z = a + bi -- Inverso aditivo: Si z = a + bi, entonces su inverso aditivo es – z = – a – bi, ya que z + (– z) = a + bi + (– a – bi) = 0 + 0i -- Inverso multiplicativo: Es igual al cociente entre el conjugado de z y el cuadrado del z 1 módulo de z. Es decir, z−1 = = , con z ≠ 0 + 0i z | z |2 • Suma y resta en complejos Se suman o restan las partes reales con las reales y las imaginarias con las imaginarias. Es decir, si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces z1 ± z2 = (a ± c) + (b ± d)i • Multiplicación en complejos -- Complejo por un escalar: Se multiplica tanto la parte real como la imaginaria por el valor del escalar. Es decir, m · z = m · (a + bi) = m · a + m · bi , con m un número real. • División en complejos Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Es decir, si z1 y z2 son complejos, entonces 1 z1 = z1 · z2 z2 LAMCAC032MT21-A16V1 -- Complejo por complejo: Se multiplican término a término. Es decir, si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Ejercicios propuestos 1 (ai)14 = 4 A)– a14i Sea z1 = 5 + 3i y z2 = 1 – 4i, entonces z1 · z2 – (z1 + z2) es A) 11 + i B)– a14 B) 11 – 16i C)– a C) 11 – 18i D) ai D) – 14 – 16i E) a14i E) – 14 – 18i 2 Sea z = − 4 + 3i. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) |z|=5 [(3 – 2i) – (– 4 + i)]2 = A) – 8 + 6i B) 10 + 6i C) 40 − 42i A) Solo I D) 49 − 9i B) Solo II E) 58 − 42i II) z = 4 – 3i III) 1 –4 3 – i = z 25 25 C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 3 5 Si z = − 2i, entonces (z · z) + 3z es A) – 10i B) – 4 – 6i C) 4 – 6i D) – 2i E) 4 + 6i 2