Los números complejos 1 Los números complejos, forma binómica. Una ecuación de la forma x2+1=0 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para poder resolverla es preciso introducir un nuevo número que llamamos unidad imaginaria: Los números complejos son de la forma: z=a+bi, a es la parte real y b es la parte imaginaria. Comprueba •Que el conjugado del Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. El conjugado de un número complejo z=a+bi es el número z=a-bi. conjugado de z es z. •Que el módulo de z y el del conjugado de z son iguales. Cada nº complejo z se puede representar por un punto del plano Z(a,b), a este punto lo llamaremos el afijo de z. El módulo de z es la longitud del segmento OZ m=|z|= Operaciones con complejos SUMA/RESTA: Se suman/restan las partes real e imaginaria respectivas: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i PRODUCTO: Teniendo en cuenta que i2=-1, multiplicamos los dos binomios, (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i Calcula •Dado z=2+3i, calcula z+z, z-z, z·z, z/z •Utiliza dos complejos z y z' cualesquiera para comprobar que (z+z')=z+z', z·z'=z·z' •El inverso de z=1+i COCIENTE: Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador. Potencias de i Las potencias sucesivas comportamiento cíclico, de i presentan un i0=1 i1=i i2=-1 i3=i2·i=-1·i=-i i4=i2·i2=(-1)·(-1)=1 y a partir de aquí se repiten Comprueba • i17=i, i50=-1, i300=1 • 1+i2+i3+...+i20=0 Para calcular cualquier potencia de i, hemos de dividir el exponente para 4 y calcular la potencia correspondiente al resto de esta división: in=i4q+r=i4q·ir=1·ir=ir MATEMÁTICAS I Mª José García Cebrian, 2006