Ecuaciones Diferenciales. Curso 2012. Práctico 2 Ecuaciones diferenciales homogéneas. Sea f : R → R. Las ecuaciones de la forma y ′ = f ( xy ), x 6= 0, son llamadas ecuaciones homogéneas. 1. i) Mostrar que el cambio de variable z = y/x transforma ecuaciones homgéneas en ecuaciones de variables separables. ii) Resolver: a) y 2 dx + x(x − y)dy = 0. b) dy dx = y x − xy . 2. Comprobar que las siguientes ecuaciones son homogéneas y resolverlas. a) (x2 − 2y 2 )dx + xydy = 0. b) x2 y ′ = 3(x2 + y 2 ) tan−1 y −x c) xy ′ = y + 2xe y x + xy. . 3. Resolver y verificar (x2 y 2 − 1)y ′ + 2xy 3 = 0. (Sugerencia: hacer el cambio de variable dependiente y(x) = z α (x), donde el número real α se elegirá tal que la ecuación resultante sea homogénea). Ecuaciones reducibles a homogéneas. Un caso es el de las ecuaciones diferenciales de la forma: dy ax + by + c =f . dx a1 x + b1 y + c1 (1) Lo que impide ver a esta ecuación como una ecuación diferencial homogénea es la presencia de términos independientes: c, c1 . El siguiente procedimiento permite convertir la ecuación (1) en una ecuación homogénea. Si consideramos las rectas ax + by + c = 0 a1 x + b1 y + c1 = 0 (2) podemos distinguir dos casos: (a) Las rectas se cortan en el punto (x0 , y0 ) - esto ocurre cuando ab1 − a1 b 6= 0. En este caso, si trasladamos el origen de coordenadas a ese punto, las rectas (2) se convierten en rectas que pasan por el origen del nuevo sistema de coordenadas (los términos independientes pasan a ser 0). Esto sugiere realizar el cambio de variables X = x − x0 (b) Las rectas son paralelas En este caso se tiene Y = y − y0 a1 b1 = =λ a b 1 con lo cual f ax + by + c a1 x + b1 y + c1 =f ax + by + c λ(ax + by) + c1 = g(ax + by) que se convierte en una ecuación a variables separables haciendo el cambio de variables: u = ax + by. Qué ocurre si b = 0? 4. Resolver: ′ a) (2x + 4y + 3)y = 2y + x + 1. b) (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0. Ecuaciones exactas.1 Se llaman ası́ a las ecuaciones de la forma N (x, y)dy + M (x, y)dx = 0, (1) donde M, N : Ω → R son funciones defnidas en un abierto conexo del plano (xy) que derivan de un potencial V (x, y), esto es, M = Vx , N = Vy , donde V x, V y son las derivadas parciales de V respecto de x e y respectivamente. De este modo, la ecuación (1) puede escribirse como Vy (x, y)dy + V x(x, y)dx = 0. (2) Por lo tanto, si y(x) es solución de (2), aplicando la regla de la cadena obtenemos : d V (x, y(x)) = 0. dx (3) Por lo que y(x) también será solución de la ecuación algebraica V (x, y(x)) = c. (4) Donde la constante c puede hallarse si conocemos una condición inicial (x0 , y0 ). Cómo saber si una ecuación del tipo (1) es exacta?. Puede probarse que si la región es abierta y simplemente conexa (”sin agujeros”), una condición necesaria y sufciente para que M, N (de clase C 1 ) deriven de un potencial es My = Nx . Ilustraremos con un ejemplo como hallar el potencial V . Sea la ecuación (x2 + 4y)dy + (2xy + 1)dx = 0 (5) (aquı́, N (x, y) = x2 + 4y, M (x, y) = 2xy + 1). Como My = Nx , la ecuación es exacta. Hallaremos el potencial V del cual derivan M y N . Como M = Vx , si integramos M respecto a x, obtendremos V : Z V (x, y) = (2x + 1)dx + g(y) = x2 y + x + g(y) Donde la función g(y) es la constante de integración respecto de x. Como ademas sabemos ′ que Vy (x, y) = N (x, y) = x2 + 4y, llegamos a que g (y) = 4y, de donde g(y) = 2y2 + k. Entonces V (x, y) = x2 y + x + 2y 2 + k. Por tanto, las soluciones de (5) satisfacen x2 y + x + 2y 2 = c donde c es una constante arbitraria. 1 Estos ejemplos y definiciones han sido tomados del libro Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, de Djairo Guedes de Figueiredo y Aloisio Freiria Neves. 2 5. Determinar cuáles de las ecuaciones siguientes son exactas y resolver aquellas que lo sean. a) x + y2 dy + ydx = 0. b) (y − x3 )dx + (x + y 3 )dy = 0. c) 2x(1 + (x2 − y)1/2 )dx = (x2 − y)1/2 dy. 3 Ejercicios complementarios. 6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) (x2 − 3y 2 )dx + 2yxdy = 0. b) x2 y ′ − 3xy − 2y 2 = 0. dy = y sin xy + x. c) x sin( xy ) dx d) xy ′ = 2x + 3y. e) (x − y)dx − (x + y)dy = 0. f ) xy ′ = (x2 + y 2 )1/2 . g) x2 y ′ = y 2 + 2xy. ′ h) (3y − 7x + 3)y = 3y − 7x + 7. 7. Determinar cuáles de las ecuaciones siguientes son exactas y resolver aquellas que lo sean. a) (1 + y)dx + (1 − x)dy = 0. b) (sin x sin y − xey )dy = (ey + cos x cos y)dx. c) dx = y 1−x2 y 2 dx + x 1−x2 y 2 dy. d) (x log y + xy)dx + (y log x + xy)dy = 0. e) xdx (x2 +y 2 )3/2 + ydy (x2 +y 2 )3/2 f ) 3x2 (1 + log y)dx + = 0. x3 y − 2y dy = 0. 8. Hallar el valor de n para el cual cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolverlas para ese valor de n. a) (xy 2 + nx2 y)dx + (x3 + x2 y)dy = 0. b) (x + ye2xy )dx + nxe2xy dy = 0. 4