MAT-ALG-GUI-GUIAS DE CLASE

UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 1
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
LOS NÚMEROS REALES
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
OBJETIVO
Identificar y operar con cada uno de los elementos de los conjuntos numéricos sus
características, correlaciones, y propiedades, su simbología y significado matemático, el
análisis de los mismos en las actividades de la vida diaria.
LOGROS:
Identifica y operacional correctamente con los conjuntos numéricos.
TEMAS:
Los números Naturales (N): propiedades, operaciones, fracciones.
Los números Enteros y Racionales (Z, Q): propiedades, operaciones.
Los números Irracionales y Reales (I, R): propiedades, operaciones.
Axiomas de los números reales.
CONCEPTUALIZACION.
a. Los números naturales (N): son los números que sirven para contar.
Se simboliza N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.....} donde los puntos sucesivos indican que es un
conjunto infinito. En este conjunto se definen las siguientes operaciones:
Dados a y b números naturales:
a + b ∈ N (suma) y
a × b ∈ N (multiplicación)
Ejemplos:
7 + 4 = 11 ∈ N
4 × 3 = 12 ∈ N
También el producto de varias veces un mismo número natural se llama potenciación, esto
es:
donde:
a se llama base
n exponente
a × a × a × a ×........× a = an
an enésima potencia de a
Ejemplo:
34 = 3 × 3× 3 × 3 = 81, es decir que 81 es la cuarta potencia de tres
El proceso inverso, es decir dada la potencia enésima de un número se puede conocer su
base y este proceso se llama raíz enésima de un numero, esto es: a n = b entonces n b =
a}
Ejemplo:
3
27 = 3
pues 3 3 = 27
Los números naturales son ordenados es decir dados a y b ∈ N entonces a ≤ b, ó a < b, ó
a > b, Ley de tricotomia, y siempre dados dos números naturales es mayor el que este
más alejado del cero.
En ocasiones es posible que el número de unidades no sea exacto. Entonces es necesario
subdividir la unidad en cierto número de partes iguales (n). Una de esas partes la notamos
(1/n), si una cantidad contiene una de estas partes, su medida la llamamos (m/n) y a esta
expresión la llamamos fracción.
Propiedades de las fracciones:
a c
=
si y solo si a × d = b × c
b d
a c
<
si y solo si a × d < b × c
b d
Ejemplo:
2 10
=
pues 2 × 15 =3 × 10
3 15
2 3
<
pues 2 × 4 < 3 × 3
3 4
Operaciones con fracciones:
a
+
b
a
+
b
a
−
b
a
×
b
a
÷
b
c
b
c
d
c
d
c
d
c
d
=
=
=
=
=
n
a+ c
b≠ 0
b
ad + bc
b, d ≠ 0
bd
ad − bc
b, d ≠ 0
bd
a× c
b,× d ≠ 0
b× d
a d ad
× =
b, c ≠ 0
b c bc
a × a.....a a n
 a
=
=
 
b × b....b b n
 b
Ejemplos:
2
+
3
4
−
5
2
×
3
1
=
3
2
=
3
4
=
9
3
2 1 2 × 3+ 1 × 4 10
;
+ =
=
3
4 3
4× 3
12
4 × 3 − 5 × 2 12 − 10 2
=
=
;
5× 3
15
15
2× 4 8
5 3 5 2 10
=
;
÷ = × =
3 × 9 27
9 2 9 3 27
3
2 × 2 × 2 23
8
 2
= 3 =
  =
5× 5× 5 5
125
 5
En las fracciones la expresión
a
, " a" se llama numerador y “b” se llama denominador, si
b
el denominador es un múltiplo de diez se dice que la fracción es decimal. Ejemplo:
3 4
5
,
,
.
10 100 1000
EJERCICIOS.
1. Si (a + b) + c = s ¿Cuál será la suma de b + c + a? Por qué?
∆
2. Si a – b = 20 entonces
∆0
(a + 10) – b =
(a + 3) - (b + 2) =
a - (b + 7) =
20 - (b - a) =
3. Si a – b = c
∆0
b + c = 300
a + c = 130
Entonces el valor de c es _______
4. Una población de bacterias se triplica cada 6 horas ¿ cuantas veces habrá crecido la
población en:
∆
a. Un día
b. Una semana
c. Un mes
5. Un hombre nacido en 1934 se caso a los 25 años, tres años después nació su primer
hijo, si el
∆
hombre murió cuando su primer hijo tenia 27 años ¿En qué año murió?.
6. Si a, b, c son números naturales y x = 2a + 1
∆0
Establezca relaciones entre x, y, z si:
y = a +2b
z=a+b+c
a. a = 3, b es el doble de a, y c = 3
a. a excede en 2 a b; c < 2 y b > 3
b. b excede en 3 al triple de a; c = 1, a > 1
7. Compró cierto número de kilos de azúcar, por $6750 y luego los vendo por $10800
ganando
∆0 $30 por kilo, ¿Cuántos kilos compró?
8. Al gastar los 3/10 de mi capital y después los 4/5 de lo que me quedo, tengo aun
$14000.
∆0 ¿Cuál era mi capital?
9. Efectuar:
∆0
2 3
+
−
5
10
a).
2 1
+ +
3 9
10. Completar:
∆0
a). Los
c).
1
20
5
6
2
1
de es
3
2
1 2
 49 1
−
−

÷
 8 20 55  7
b).
 1 1   24 
 −


 3 12   5 
b.) Los
4
de 12690 es
3
1 4 13
+ =
2 5
d.)
2 9 2
× × =
3 4 3
2 4
×
3 5
b.)
Los
11. Grafique:
0
a).
4
1
de
5
2
12. Crear 10 problemas que contengan operaciones entre fracciones.
13. Convertir en fracciones decimales y efectuar :
0
a).
(15.43 −
0.005) × 51
b.)
0.15 
 8
−

 + 0.01
 0.16 0.5 
14. El costo de un articulo es de $7500, halle su nuevo costo si:
∆0
a). Aumenta el 8%
b). Aumenta el 0.8%
12%.
15. Que fraccionario representa la región sombreada.
∆
a.)
b.)
c). Disminuye el
c.)
16. El precio de un articulo más el IVA es de $139200. Si el IVA es del 16% halle el
precio del
0
articulo sin el IVA?
BIBLIOGRAFÍA
-
-
Fundamentos de Matemáticas
Núñez y Soler
Grupo Editorial Iberoamerica
Capítulo 2 – Pág. 51-100
Álgebra y Trigonometría
Swokowski / Cole
Grupo Editorial Iberoamerica
Capítulo 1 – Ejercí. 1.1
SIMBOLOGÍA
∆ Competencia Interpretativa
Competencia Propositiva
Ο Competencia Argumentativa
CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN
1. Halle la suma de los dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, y diez primeros
impares; obsérvese los resultados e infiérase como hallar la suma de los cien primeros
impares.
2. Se compran 115 reses a $700.000 cada una; se pierden 15 y las que quedan se
venden a $900.000. cada una. Calcule la utilidad.
3. Un capital de $10.000.000 puesto a una tasa de interés del 1% anual se duplica cada 3
años. Escribir una expresión que corresponda al enunciado y halle el capital en 15
años.
4. Un hombre es propietario de los 3/4 de una parcela y vende 3/11 de su parte. ¿Qué
parte de la parcela ha vendido?.
5. Calcule:
a.
b.
c.
d.
¿Qué % es 2.500 de 20.000?
El 12.5% menos de 120.000?
El 32% más de 7.800
Si la población de Bogota es de 7 millones de habitantes y crece anualmente en un
5,5%, hallar la población de Bogota en 20 años.
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 2
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL
ÁLGEBRA
LOS NUMEROS REALES
OBJETIVO
(continuación)
b. Los números Enteros y Racionales (Z, Q). Este conjunto numérico aparece como una
necesidad del hombre de simbolizar cantidades perdidas o desaparecidas, luego aparecen
el símbolo, -a, donde a es un número natural, luego el conjunto de los enteros se determine
así: Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...) Que es nuevamente un conjunto infinito.
El símbolo , -a, se denomina el inverso aditivo de a y el conjunto de los inversos aditivos
de los naturales, excepto cero, se le denominan enteros negativos, y se simboliza Z.
Operaciones con los Enteros en la suma:
(−
(−
(−
(−
(−
a) +
a) +
a) +
a) +
a) +
( − b) = − ( a + b)
0 = 0 + ( − a) = − a
b = b − a, si b ≥ a
b = − ( a − b ) si a ≥ b
a = a + ( − a) = 0
Ejemplos:
( − 4 ) + ( − 2 ) = − ( 4 + 2) =
5 + ( − 5 ) = ( − 5) + 5 = 0
10 + ( − 4) = 10 − 4 = 6
( − 6) + 3 = − ( 6 − 3) = − 3
Ya se definió que:
n × a = a + a + a + .... + a
a n = a × a × a × ..... × a
−6
Ejemplo:
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
5 3 = 5 × 5 × 5 = 125
35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
Luego con los enteros se tiene que:
En la multiplicación :
( − a ) ⋅ ( − b) =
( − a ) × b = − ( ab ) = a( − b )
a⋅b
De aquí se deducen las siguientes propiedades:
a n × a m = a n+ m
( a × b) n
= an × bn
a0 = 1
a≠ 0
(a )
m n
= a mn
Ejemplos:
( − 3) × 2 = − ( 3 × 2) = − 6
( − 2)( − 3) = 2 × 3 = 6
5 n × 5 = 5 n+ 1
( 2 × a) 2 =
(4 )
m 2
2 2... × a 2 = 4a 2
= 4 2m
Relaciones entre números naturales:
Para a y b números naturales -a = -b si y solo si a = b
Si a = b entonces
a+c=b+c
a–c=b–c
a×c=b×c
para a y c números enteros a ≤ c si y solo si existe un numero natural único b, tal que a +
b=c
Si a ≤ b entonces
a+c≤b+c
-a ≥ -b
a×c≤b×c
Si c > 0
a×c≥b×c
Si c < 0
Ejemplos: 3 ≤ 5 entonces
3+4≤5+4
-3 ≥ -5
3×3≤5×3
3 × (-2) ≥ 5 × (-2)
La operación que a un número entero se le suma el inverso aditivo de un numero a, se
denomina sustracción y se denota, b - a es decir b - a = b + (-a).
Ejemplo: 7 + (-3) = 7 - 3 = 4.
División Exacta: Significa hallar un factor conociendo un producto y el otro factor, es decir
si a y b son enteros y a × x = b, si el numero x existe se llama cociente entre b y a, y se
denota b ÷ a donde b se llama dividendo y a se llama divisor.
Luego si b ÷ a es un entero, entonces a es un factor o divisor de b, o b es un múltiplo de a
Ejemplo:
− 3 × x = 60 entonces x =
60
= 60 ÷ ( − 3) = − 20
−3
El conjunto de los números racionales (Q): se define así:
{ b} / a ∈ Z , b ∈ Z , b ≠ 0
Q= a
Propiedades:
a c
=
si y solo si a × d = b × c
b d
a a× k
=
k ≠ 0 Amplificacion
b b× k
a c× m
a m
=
por lo tan to
=
simplificacion
b c× n
b n
Ejemplos:
3
=
5
2
=
3
6
puesto que 3 × 10 = 5 × 6
10
2× 4
12 6 × 2 2 1 × 2 1
,
=
= =
=
3× 4
24 6 × 4 4 2 × 2 2
Con los números racionales ocurren las mismas operaciones con las propiedades que en
los números enteros.
ACTIVIDADES Y EJERCICIOS
1. Un proyecto tiene una duración de 3 años, el primer año da una perdida de $80
millones, el
∆Ο segundo año la perdida se disminuye en $50 millones y el tercer año se da una
utilidad de $120 millones. Determine si el proyecto da pérdidas o ganancias y de
cuanto?.
2. Si x < 0, y y > 0 determine el signo del numero real
Ο a.)
xy
b.)
x2y
x
+ x
y
c.)
d.) y − x
3. Remplace el símbolo: [
]
e.) y
( y − x)
x− y
f.) xy
con <, con > ó con = para que sea valida la afirmación
resultante
Ο
a.)
1
[ ]0.09 b.) 1 [ ]0.143 c.) − 7[ ] − 4 d.)
11
7
225[ ]15 e.)
289[ ]17
4. Exprese el enunciado en forma de desigualdad
a.) X es negativo.
b.) Q es menor o igual que 5.
c.) Y es
positivo
d.) T no es menor que 3.
e). El cociente de P y Q es, cuando mucho, 7
f.) P no es mayor que 2.
5. Durante 4 semanas Pedro le presta a Luisa $2720 diarios de lunes a sábado, cada
domingo
∆Ο Luisa abona a Pedro $5290. ¿ Cuál es el saldo de Luisa al final de la cuarta
semana?.
6. Hallar el valor de X, y explique cada paso:
∆Οa.) x + ( 5 + b ) = 11 + b
b.) x + ( − 7 )
= ( − 12 )
7 + ( − x ) = 11
2 + { [ − 5 + ( x + ( − 3) ) ] + ( − 3)} =
c.)
d.)
[ ( − 7 ) + 7] + 8
7. Halle los valores enteros de X y explique cada paso:
∆Ο
a.) x + 12 < − 3
b.) − 9 − x ≥ 17
b.)
23 + ( + 14) ≤ x + 25
c.)
8. Halle el valor entero de X si existe:
∆Ο
a.) 3( x + 7 ) = − 24
d.)
2 x − 34 = 20 2 − ( − 10 )
3
− x + 5 > ( − 3) − ( 2)
2
4
− 5( 7 x + 2 ) = − 80
F:) 8( − x ) = 234
b.) − 7 x = 56
c.)
e.) − 12 − 4 x = 20
9. Si a, b y c son números enteros, escriba 5 igualdades de la forma ax + b = c de tal
manera que
x sea un número entero.
10. Efectué
Ο
3
a.) +
8
 − 5


  12 
2
 3 
÷  
 2  
11. Reemplace el símbolo
b.)
[( − 4 )
con = o bien con
−2
+ 3( 2 )
−3
] ÷ [( − 4 )
2
+ ( 8)
−1
]
≠ para que el enunciado se cumpla con
todos los
∆Ο números reales a,b,c,d siempre que las expresiones estén definidas.
ab + ac
[ ] b + ac
a
b+ c b c
[] +
a
a a
a+ c
[ ]a+ c
d.)
b+ d
b d
g.) − ( a + b ) [ ] − a + b
a.)
b.)
ab + ac
[ ] b+ c
a
c.)
e.)
( a ÷ b ) ÷ c[ ] a ÷ ( b ÷ c )
f.)
h.)
( a ) [ ]a
r 2
r2
i.)
a xb y [
BIBLIOGRAFÍA
-
-
Fundamentos de Matemáticas
Núñez y Soler
Grupo Editorial Iberoamerica
Capítulo 3 – Pág. 101-130
Álgebra y Trigonometría
Swokowski / Cole
Grupo Editorial Iberoamerica
Capítulo 1 – Ejercí. 1.1.
CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN
[]
3
a.) [ ] =
1. Completar el
Ο
2. Completar el
[]
64
b.)
81[ ] = 3
c.)
25 =
[]
a− b
[
b− a
]( ab ) xy
]−1
Ο
4 [ ] 23
=
a.) +
5 2 [ ]
3. Completar el
[]
3[
]+ x
Ο
a.)
= 3[
 − 2
b.) 

 3 
]x
4. Hallar el valor de x
7 x 19
−
= 3
Ο∆
a.)
36 9
[ ]
=
4
[]
c.)
4× 9 =
[ ] × 12
b.)
3[ ] − 4 = 11
c.)
a+ [ ]
2a
=
b+ c b+ c
b.)
−5 7 1
− =
x 8 3
c.)
3
11 3 × 2
x−
=
8
4
2
5. Reescriba la expresión empleando un radical
Ο∆
a.)
4x
3
b.)
2
d.) ( 4 +
x)
3
2
( 4x )
e.)
3
c.)
2
8− y
1
3
4+ x
f.)
3
2
( 8 − y ) 13
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 3
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL
ÁLGEBRA
LOS NUMEROS REALES
(continuación)
Los números Irracionales y los Reales: (I, R)
Los números racionales tienen la característica que al dividir el numerador entre el
denominador siempre va obtener una expresión decimal periódica, es decir se repite un
numero de cifras infinitamente.
Ejemplo:
1
= 0.3333...
3
7
= 2.333...
b.)
3
a.)
3
= 0.750000...
4
57
111
= 0.5757....
= 1.1212...
c.)
e.)
99
99
b.) {
c.)
Según lo anterior se tiene que en a: el periodo es tres, en b: el periodo es cero, en c: el periodo
es tres, en, d: el periodo es 57, en e el periodo es 12.
En ocasiones para operar con expresiones decimales es más conveniente convertirlas en
racionales.
Ejemplo:
2.2626... × 1.0101.. =
224 100 22400
×
=
99 99
9801
Para convertir una expresión decimal a racional se procede así:
x = 2.2626....
100 x = 2.26... se multiplica por una potencia de diez dependiendo del numero de cifras del periodo
100 x = 226.2626..
224
−
x = 2.2626...
x=
= 2.2626
99
99 x = 224
En cambio los números irracionales son aquellos que no tienen una expresión decimal
periódica, es decir que no tienen periodo finito
Ejemplo:
2 = 1.414213562 y no tiene periodo
π = 3.141592654 y no tiene periodo
Otra forma de reconocerlos es cuando la expresión
a
al dividirlo nunca encontraremos periodo
b
finito.
Para finalizar: El conjunto de los números reales recoge todos los conjuntos numéricos
anteriores, luego en estos se cumplen todas las operaciones anteriores y sus propiedades.
Luego los números reales tienen una estructura axiomática que sigue todas las operaciones de
todos los conjuntos numéricos esta son:
Asociativa : x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
conmutativa : x + y = y + x
mod ulativa : 0 + x = x + 0 = x
x( yz ) = ( xy ) z
xy = yx
1x = x1 = x
Invertiva : x + ( − x ) = ( − x ) + x = 0
Distributiva x( y + z ) = xy + xz
xx − 1 x − 1 x = 1 x ≠ 0
Pero esencialmente la más sobresaliente es la de cerradura o clausurativa que asume que: la
suma de dos números reales es otro real, y que el producto de dos números reales es otro real
A continuación presentaremos las operaciones de más frecuencia con el conjunto
números reales, sus características y propiedades.
de los
Las operaciones que se efectúan en los diferentes conjuntos numéricos se van sucediendo de
igual forma en los conjuntos que los contienen, así sucesivamente.
R
Z
N
Q
I
ACTIVIDADES Y EJERCICIOS
1. Efectuar las siguientes operaciones de sumas y restas con los enteros.
∆Ο
a.) 7 + ( − 9 )
b.) ( − 4 ) + 7
c.) ( − 4 ) + ( − 7 ) − ( − 4 )
d.)
( − 3) − ( − 5)
2. Efectuar las siguientes operaciones de sumas y restas con los racionales.
∆Ο
a.)
4  − 3
8  7 
− 2 4
 4  − 2
+
b.) − 
 c.) + 
 d.)  −  + 

5  7 
5  − 2
3 −9
 5  3 
3. Escribir tres números racionales equivalentes al racional dado
a.)
− 2
5
b.)
4
3
c.)
1
7
d.)
2
−9
−
4. Efectué y simplifique las siguientes operaciones.
 7 5 5 4
 − − ×
 8 4 2 9
∆Ο
a.)
3 4 2
 1
2 −1 −
×
 2 10 14  5
3 2
 1 7
−
6 −
÷
 8 20 55  7
4
 2 5
− −
× 4
5
 3 12 



b.)



5 7 − 2
− ×
4 6 5
− 3 2 2
− ×
2 7 5
c.)
5. Convertir las siguientes expresiones decimales en fracción (racional)
Ο∆
a.) 2.55
b.) 0.717171....
c.) 1.0333.... d.) 4.251111..
e.) 1.3
6. Convertir la siguiente expresión racional en expresión decimal
Ο∆
a.)
e.)
7
3
b.)
3
4
c.) -
12
11
d.)
− 11
3
4
7
7. Efectuar las siguientes operaciones pero dar el resultado con una expresión racional.
Ο∆
a.)
[ ( ( 0.5) × 3) + 0.6] ÷ ( 0.03 + 0.5)
[ ( 0.8) ÷ 0.1] ÷ ( 0.1 − 0.01)
c.)
0.15 
 8
−

 + 0.01
 0.16 0.5 
0.03
3 + 0.56
b.) 0.0056 +
0.564
32
3
0.16
( 8.006 + 0.452 + 0.15) ÷ 0.1
d.)
}
( 8 − 0.1 + 0.32) × 4
Recordaremos ahora las propiedades de la potenciación
0
a n = a × a × a...a ,
0 n = 0 , 0 no esta definido
i ) a n × a m = a n + m donde a ∈ R
ii ) a n × b n = ( ab ) n
( )
iii ) a
donde a, b, m, n ∈ R
n m
v) a − n
= a nm
1
= n
a≠ 0
a
8. Efectuar los siguientes ejercicios de potenciación con los reales
Ο∆
a.)
3− 2 × 23
( 0.001) − 3 × 1.000.000
b.)
 4
 
 3
−2

×

1
 × 16 c.)
9



2
1  2
 × 
3  5 
−1
 18 
×   d.)
 5
9. Simplifique las siguientes expresiones
Ο∆
a.)
(2x
2
 3x 5 y 4
c.)  0 − 3
 x y
y− 5



)(
 − y3 

2
b.)
 y − 1 
3

)
1

6x − 3 y  x − 1 y 3 
3

2
( − 2r 8) (3r
5
2
d.)
3
−1
83
)
−2
Recordaremos el proceso de la radicación
m
=
( )
1
m
n
am = am n y a n = b ⇔ b m = a
Donde si a ≥ 0 y m y n son positivos el resultado es un real positivo.
a
n
n
10. Reescriba la expresión empleando exponentes racionales
Ο
4
a.)
x3
4
b.)
3
x5
a+
c.)
r 3 − s3
3
d,)
b
e.)
( a + b) 3
11. Reescriba la expresión empleando un radical
Ο
a.)
4x
3
b.)
2
( 4x )
Relación Potenciación- Radicación
Ejemplo:
3
8 = 2 pues 2 3 = 8
3
c.)
2
( 4 + x)
3
2
d.) 8 −
x
1
3
e.)
( 8y ) 13
an = b ⇔ n b = a
( − 3) 3 = 27 pues 3 − 27 = − 3
Propiedades de la Radicación:
1
a.)
n
a a= a a
b.)
n
an b =
c.)
n m
m
n
n
1
m
Ejemplo : 3 3 2 3 = 3
Ejemplo : 3 4 3 16 =
ab
1
a =  a m 


= a
m+ n
mn
1
n
= a
1
mn
=
mn
a
3
4 × 16 =
Ejemplo :
5
6
6
35
64 = 4
3
3 2
=
64 = ( 64 )
1
6
= 2
12. Calcular las siguientes raíces utilizando las propiedades
Ο∆
a.) 3
33 9
b.)
8 2
c.)
4 3
d.) 2
64
73 4
13. Halle el resultado de las siguientes operaciones con radicales
Ο∆
a.)
1
2
3
125 +
45 −
245
5
3
7
c.)
(2
x−3 y
)
(4
b.) 9
3−
27
)
2
6
2
2
d.)
2
a n = b ⇔ log b = n
Ejemplo: log 5 25 = 2 pues 5 2 = 25 ; log 2 32 = 5 pues 2 5 = 35
Relación Potenciación-Logaritmación.:
14. Encontrar el valor del [ ] en cada uno e los siguientes ejercicios
a.) log 3 [ ] = 4
b.) log 4 64 = [ ]
c.) log [ ] 32 = 5
log10 1000 =
[]
d.)
15. Escriba las siguientes expresiones en notación logarítmica
Ο
a.)
4− 2 =
e.)
i.)
1
16
2
b.)
8
10 − 2= 0.01
f.)
(a )
( a + b) n = c
j.)
a 10 = b
a m+ n = w
3
= 4
2 x
c.)
10 5 = 100.000
= y+ z
g.)
px = t
16. Escriba las siguientes expresiones en notación exponencial
Ο
a.)
log 2 x = a + b
d.)

log 3 

b.)
1
 = −1
3
log 1 10 = − 2
2
e.)
log x b = 4
BIBLIOGRAFÍA
-
-
Fundamentos de Matemáticas
Núñez y Soler
Grupo Editorial Iberoamerica
Capítulo 3 – Pág. 101-148
Álgebra y Trigonometría
Swokowski / Cole
Grupo Editorial Iberoamerica
Capítulo 1 – Ejercí. 5.50
UNIVERSIDAD
LIBRE
c.)
log y z = 3
d.) x 2
h.)
= 64
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 4
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2 horas
OBJETIVO
Recordar conceptos adquiridos en la secundaria para fundamentar las bases que soportan el
andamiaje matemático que requiere el Ingeniero a través de toda su carrera y en el ejercicio del
profesional.
TEMAS:
Expresiones matemáticas algebraicas. Polinomios Operaciones algebraicas
CONCEPTUALIZACION.
Como se pudo observar en el capítulo de número entero Z, se utilizaron expresiones literales
para expresar los mismos; igual sucedió con los números reales R y se usaron letra minúscula
para determinar los elementos de los conjuntos.
En la tabla siguiente observaremos algunas notaciones con su terminología.
NOTACIÓN
SIGNIFICADO
EJEMPLO
CONSTANTE
Elemento literal o numérico
de un conjunto.
5; TT ; e
VARIABLE
Letra o símbolo que
representa cantidades
desconocidas o que
dependen de otras.
x; y, z; w......
2 ; a,b,c
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Podemos decir que las expresiones algebraicas son aquellas que contienen tantas constantes
como variables.
Ejemplo: ( X3 + 2X
6
X +5para X > 0
VALOR TIPICO
Es el valor real que tiene la expresión algebraica cuando se reemplazara la variable por
un determinado valor.
Ejemplo:
Si en el ejercicio anterior X = 4 tendremos.
6
(4)3 + 2(4) – 4 +5 = 64+8-3+5 = 74
CONCEPTO DE MONOMIO Y POLINOMIO.
MONOMIO: Es la expresión algebraica que contiene un solo término; de la forma ax n
donde a= constante, x = variable ∧ n es el exponente.
BINOMIO: Es la suma algebraica de dos monomios axn +/- bxM
POLINOMIOS: Es la suma de cualquier número de términos an xn+ an-1 xn-1 + ........... a 1 X +
a 0 donde n es el grado o exponente del polinomio y a k son números R.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA Y RESTA: Para poder sumar o restar polinomios, es necesario que tengan
términos semejantes; entendiendo como semejantes aquellos que tienen el mismo grado
y expresión literal . Ejemplo: x y2 ∧ 6x y2
Ejemplo: Realizar la suma de los siguientes polinomios: X2 – 5X+8; -6 X2 +3;
9 X2 – 7X.
Entonces
x2 – 5x +8
-6x2
+3
9x2 -7x
4x2 –12x +11
Resta: la resta está considerada como una suma algebraica; ya que cumple con la
propiedad de que se aplica con los términos semejantes solo que se multiplica por (-1) el
polinomio que se pretende restar. Ejemplo: De 7x3 – 9x + 3 Restar –5x3 +2x -8
Entonces: Multiplicamos por (-1) (-5x3 + 2x-8) se convierte en: 5x3 –2x+8 y ahora
sumamos:
7x3 –9x +3
5x3 –2x+8
12x3 –11x+11
EJERCICIOS PROPUESTOS
En las siguientes figuras, se encuentra el perímetro:
3x
2x
3x
4x
P=
L
c
5x
Dadas las figuras, calcula las superficies A y B y la superficie total
S=
S=
Bb
EJERCICIOS PROPUESTOS
Escriba una expresión en símbolos algebraicos que represente fielmente el enunciado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Un número aumentado en 11
A veces un número
Un número disminuido en a
El cociente de dividir un número por 8
El cociente de dividir un número por a
El cociente de dividir un número por otro
Un número entero par no negativo
Un número impar no negativo
Un número impar negativo
El perímetro de un rectángulo
El perímetro de una circunferencia
La superficie de un triángulo
La superficie de un círculo
El cuadrado de un número aumentado en 2
El cuadrado de la suma de dos números
Un número aumentado en su cuadrado
La suma del cuadrado de dos números
La diferencia del cuadrado de dos números
La diferencia de dos números, el cuadrado
Los 2/8 de un número aumentado en 5
La suma de 3 enteros g consecutivos
La suma de 3 enteros positivos consecutivos pares
23. La suma de 3 enteros positivos consecutivos impares
24. Un número de dos dígitos
25. El valor de cierto número de artículos si cada uno vale $4880
Competencia:
2. PRODUCTOS DE POLINOMIOS
Tanto en monomios como en polinomios es necesario hacer primero el producto de
signos.
-.-=+
+.-=-
+.+=+
-.+=-
De lo anterior se deduce que : El producto de signos iguales es + y que : El producto de
signos diferentes es - .
En la parte literal se tiene en cuenta las normas de la potenciación. Igual base y
diferente exponentes, se suman los exponentes (en el producto también se cumple igual
base con igual exponente.
EJEMPLOS:
(2X2), (3X2) = 6X4
(5X) (2X5) = 10X6
(XY2Z).(XY3Z2) = X2Y5Z3
(-5XY3 ).(2X3Y) = -10 X4Y4
(-3X2Y2Z).(-4 XYZ) = 12 X3Y3Z2
Para el producto de polinomios, se realiza término a término de acuerdo con lo
explicado anteriormente y al final se reducen los términos semejantes
Existente dos métodos para realizar el producto de polinomios.
Ejemplo: Realizar el producto: (4x2-5x+3).(2x-2)
1° (4x2-5x+3).(2x-2) = 8x3-8x2-10x2+10x+6x-6
2° 4x2-5x+3
por
2x-2
-8x2+10x-6
8x3-10x2+6x
8x3-18x2+16x-6 Suma de lo anterior
EJERCICIOS PROPUESTOS
Realizar los siguientes productos
1.
(x1/3) (x)2/5
2.
*(X+5)
3.
(X+5)2.(X+5)
4.
(3X3+2X2) (12X-8)
5.
(5X-4Y) (5X-4Y)
7.
8.
(X1/3 - Y1/3) (X2/3 +X1/3 Y1/3+Y2/3)
(4X3-3X2+3X-5) (-2X2+3X-2)
9.
Hallar el área de un cubo que tiene de arista (6+x) cm
10
en la figura encontrar el área y el volumen
(X+1)
3X
2X
2X
X
Competencia:
UNIVERSIDAD
FACULTAD DE
LIBRE
INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 5
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
POLINOMIOS
CONCEPTUALIZACION.
MONOMIOS: En el mismo orden de idead y retomando el concepto de la potenciación, la
división entre dos cantidades con igual base se realiza dejando la misma base y se restan los
exponentes.
Utiliza también el comportamiento de los signos.
Ejemplos:
2x4 ÷4x2 = 2x4 = 1 x2
4x2
2
-3x2 y2 z3 = -3x y4z2
(4x2yz4+2x3z2) ÷ (2xz) Tendremos
4x2yz4+2x3z2 = 2xyz3 + x2z
2xz
2x Z
POLINOMIOS: Para dividir dos polinomios es necesario observar las siguientes normas:
1. Ordenar tanto el dividendo como el divisor en forma descendente ó ascendente
2. Realizar el producto de los signos
3. Hacer la división de cada uno de los términos entre el primer término del divisor, para
obtener el cociente.
4. Hacer el producto del cociente por el divisor.
5. Colocar el resultado del paso cuarto, debajo de los términos semejantes del dividendo.
6. Se hace la resta de los términos semejantes del punto y se sigue, hasta cuando no haya
más términos para bajar.
Ejemplo: Hallar la división de:
X4 – 16 entre x2 - 4
X4 +0x3 + 0x2 + 0x – 16
- (x4)
0
x2 –4
-(4x2)
x2+4
0x3 +4x2 + 0x
-(4x2)+
0
-(16)
0
Respuesta X2 +4
Del ejemplo anterior se deduce que los términos que no aparezcan entre el primero y el
último, de acuerdo con el grado del polinomio, deben colocarse con cero (0),para
efectuar la división.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Realiza las siguientes divisiones
1.
27 x3 – 1 entre (x-1)
2.
x2 –5x-6 entre x – 3
3.
(g p4 q3 – 6 p2 q4 + 5p3 q2) entre 3 p2 q2
4.
x2+6x+9 entre (x+3)
5.
x2 – 6x –5 entre x -1
6.
x3 – 3x2y + 4y2 entre y – x3
7.
6x2 – 5x +4 entre x2 - 9
8. Encuentre la expresión algebraica que represente el volumen de un solo cubo; y exprese
cuantos cubos caben en el cubo grande?
y
-x Competencia : 1 a 7
8
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 6
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
FACTORIZACIÓN DE LAS FORMAS x2+bx+c
y ax2+bx+c
OBJETIVO
Identificar y factorizar (descomponer en dos factores) correctamente los trinomios de las formas
x2+bx+c y ax2+bx+c.
CONCEPTUALIZACION.
Para lograr el objetivo planteado se debe dominar en forma adecuada los siguientes conceptos
previos:
♦ Producto de binomios
♦ Producto notable de la forma (x+a)(x+b)
♦ Caso factor común por agrupación de términos
♦ Adición y multiplicación de números enteros
♦ Múltiplos y divisores de un número
PARTE TEÓRICA
A. TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Recuerda que en un trinomio x2+bx+c, c se conoce como constante. Si la constante de un
polinomio de la forma x2+bx+c no es un cuadrado perfecto, el trinomio no se puede factorizar
como un trinomio cuadrado perfecto; sin embargo, es posible que se pueda factorizar como un
producto de dos binomios diferentes así:
 Primero se abren dos paréntesis para escribir los factores.
 En cada uno se escribe la raíz cuadrada de x2 o sea x
 Enseguida se buscan dos números que multiplicados den el número c y sumados
algebraicamente den el número b
EJEMPLO 1
Factoricemos x2– 8x+12
En este caso tenemos que buscar dos números cuyo producto sea +12 y su suma sea –8
Cuando factorizamos puede ser útil una tabla así:
Producto 12
–1, –12
–2, – 6
–3, – 4
suma
– 13
– 8
– 7
los números que necesitamos son – 2 y – 6
Procedemos a factorizar como se explicó anteriormente
x2–8x+12 = (
)(
) abrimos dos paréntesis
= (x
)(x
) escribimos x en ambos paréntesis
= (x – 2)(x – 6) escribimos los dos números que buscamos, y es la solución.
EJEMPLO 2
Factoricemos x2 – 7x – 18
En este caso tenemos que buscar dos números cuyo producto sea – 18 y su suma sea –7
Producto – 18
–1, 18
– 9, 2
–3, 6
1, – 18
9, – 2
suma
17
– 7
3
–17
7
los números que necesitamos son – 9 y 2
procedemos a factorizar como el ejemplo anterior:
x2– 7x – 18 = (
)(
) abrimos dos paréntesis
= (x
)(x
) escribimos x en ambos paréntesis
= (x – 9)(x + 2) escribimos los dos números que buscamos, y es la solución.
PARTE TEÓRICA
B. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
Este caso de factorización es parecido al caso anterior, y debe tener las siguientes
características:
 Debe estar ordenado en forma descendente con respecto a x
 El primer término debe ser positivo, con a ≠ 1
PROCEDIMIENTO
Hay dos formas las cuales explicaré a continuación:
Primera forma:




Se multiplican los números ac
Se buscan dos números que multiplicados den ac y sumados den b
Se reparte el término x con los números que hemos encontrado
Se aplica el caso factor común por agrupación de términos.
EJEMPLO 1
Factoricemos 3x2 – 4x –15
Multiplicamos 3×(–15)= – 45 y buscamos dos números que multiplicados den – 45 y sumados –
4
Producto – 45
–15, 3
– 9, 5
suma
–12
–4
los números que necesitamos son – 9 y 5
–3, 15
1, – 45
9, – 5
12
–44
4
entonces 3x2 – 4x –15 = 3x2 – 9x +5x –15
= (3x2 – 9x) + (5x –15) se agrupan de a 2 términos
= 3x(x– 3) + 5(x– 3)
factor común de cada paréntesis
=(x– 3)(3x + 5)
Segunda forma:
Factoricemos el mismo ejercicio anterior: 3x2 – 4x –15
3(3x2 – 4x –15)
3
Multiplicamos y dividimos la expresión por 3:
Efectuando:
9x2 – 4(3x) –45
3
Reescribimos el numerador:
(3x)2 – 4(3x) –45
3
Factorizamos el numerador
(3x
)(3x
3
)
Buscamos dos números cuyo producto sea – 45 y
sumados den – 4, son – 9 y 5
(3x – 9)(3x +5)
3
Extraemos factor común en el primer binomio: 3(x – 3)(3x +5)
3
Simplificando nos da la solución:
3x2 – 4x –15= (x–3)(3x+5)
ACTIVIDAD
Factorice los siguientes trinomios:
1. 2x2 + 7x + 3
2. x2 + 7x + 12
3. 6x2 – 11x + 3
4. x2 + 4x –32
5. 6x2 – x –12
6. x2 –11x + 28
7. 4x2 – 4x – 12
8. x2 + 5x – 14
9. 12x2 + 13x – 14
10. x2 – x – 12
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 7
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
DIVISIÓN SINTÉTICA
OBJETIVO
Analizar y realizar la división por el método de División Sintética como una manera práctica y
rápida para hallar el residuo, saber si una división es exacta o factorizar aquellos polinomios
que no se pueden por métodos conocidos.
LOGROS:
Aplica la división Sintética para hallar el residuo, conocer el resultado de una manera práctica
y rápida o factorizar un polinomio por un binomio.
CONCEPTUALIZACION.
La división sintética es una forma práctica y rápida para realizar el algoritmo de la división que
en muchos casos resulta dispendioso, para aplicar este método se debe tener en cuenta lo
siguiente:
1. El cociente es un polinomio en x P(x) cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo.
2. El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del
dividendo.
3. El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente
del término anterior por el segundo término del binomio divisor (x+a) cambiado de signo (–
a) y sumado este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el
dividendo.
4. El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término por el segundo término
del divisor cambiado de signo y sumando este producto con el término independiente del
dividendo.
PROCEDIMIENTO
Ejemplo: Dividir x3 –5x2 +3x +14 entre x –3
Dividendo:
x3
–5x2
Coeficientes:
1
–5
1x3 = 3
+3x
+3
(–2)x3=–6
+14
+14
(–3)x3=–9
Divisor
x
– 3
Segundo
+3
término del
divisor
Con signo
cambiado
1
–2
–3
+5
residuo
Explicación :
El cociente es un polinomio de 2° grado ya que el dividendo es de tercer grado
El coeficiente del primer término es 1
El coeficiente del segundo término es –2 que se obtiene de sumar –5 con el producto de 1x3
que es el divisor
El coeficiente del tercer término se halla de sumar +3 con el producto del anterior coeficiente
por el divisor es decir (–2)x3
El residuo es +5 que es el último coeficiente obtenido de sumar +14 con el producto del anterior
coeficiente por el divisor es decir (–3)x3=–9
El cociente de la anterior división es : x2–2x–3 y el residuo es 5
ACTIVIDAD:
Hacer las siguientes divisiones por el método de división sintética:
1. x3+4x2–x–10 entre x–3
2. 2x4–5x3+7x2–9x+3 entre x–1
3. x5+x4–5x3–7x+8 entre x+3
4. 4x3–8x2+11x–4 entre 2x–1
5. 6x5+2x4–3x3–x2+3x+3 entre 3x+1
Competencia
Hallar el valor de la constante K (término independiente del polinomio) para que:
1. 7x2–5x+K sea divisible entre x–5
2. x3–3x2+4x+K sea divisible entre x–2
3. 2a4+25a +K sea divisible entre a+3
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 8
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
FRACCIONES PARCIALES
2 horas
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA CON
ANALÍTICA SWOKOWSKI & COLE
Décima edición Paginas : 709 a 715
GEOMETRIA
OBJETIVO
Descomponer expresiones racionales en sumas de expresiones más sencillas, mediante la
utilización de sistemas de ecuaciones.
CONCEPTUALIZACION.
División algebráica larga
Factorización en todos los casos
Sumas y diferencias de fracciones algebráicas
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
PARTE TEORICA
Tomamos el caso de
`____X-29___ que al descomponerla en suma de fracciones, nos
(X-4) ( X + 1 )
da como resultado : ___6_ _ __5__ lo que se llama descomposición se fracciones
X+1
X–4
Parciales.
Al tomar una expresión racional para descomponerla en fracciones parciales se debe cumplir
con:
1- Determinar si la fracción es propia o empropia
1.1 Si es propia, es decir que el grado del numerador es menor que el del denominador,
entonces se puede continuar el proceso de hallar las fraciones parciales.
1.2 Si es impropia, el grado del numerador es igual o mayorque eldel denominador,
entonces es necesario realizar la división larga para detener la forma adecuada.
2- Ver si el deniminador es factorizable de modo que sea producto de factores diferentes
o factores repetibles
2.1 Por cada factor irreductible se tendrá el denominador para cada sumando de las
fracciones parciales.
2.2 Si se trata de factores lineales repetidos, se tendrán tantas fracciones parciales, cual
sea el grado del factor repetido.
Aplicando los conceptos anteriores, desarrollaremos ejercicios que servirán de ejemplo
para los posibles casos en que se deben hallar fracciones parciales.
Ejemplo 1. Fracción propio con denominador lineal factorizable en producto de factores
diferentes.
Dada ___4X2 – 5X – 15__ , Hallar las fracciones parciales correspondientes
X3 – 4 X2 – 5 X
Siendo una fracción propia procedemos asi:
1- Factorizamos el denominador:
X3 – 4X2 – 5 X = X ( X2 – 4X – 5 ) = X ( X – 5 )( X + 1)
2- A cada factor del denominador la corresponderá una fracción parcial asi:
4X2 – 5 X – 15 = _A_ + _B_ + _ C_
X3 – 4X2 –5X
X
X-5
X+1
3- Hallamos el mínimo común denominador (MCD) y realizamos la suma :
__A__ + __B__+ __C__ = A(X-5)(X+1) + B(X)(X+1) + C(X)(X-5)
X
X-5
X+1
X (X-5)( X+1 )
Desarrollando, resulta :
__A__ + __B__+ __C__ = A(X2-5)(X+1) + B(X2 +X) + C(X2-5)
X
X-5
X+1
X (X-5)( X+1 )
4 - Hallamos los valores de A,B,C. Para esto multiplicamos ambps miembros de la
````````````igualdad por el MCD y obtenemos:
4X2 –5X-15 = AX2 – 4AX – 5A) +BX2+BX +CX2-5CX
= X2(A+B+C) +X(B-4A-5C)-5ª
Formamos los coeficientes de potencias iguales en cada lado y resulta:
A+B+C = 4
4B+ B- 5C = -5
- 5A
= -15
Despejando, se obtiene : A = 3 , B = 2 Y C = -1; por lo tanto , la
descomposición es :
4X2 – 5X – 15
X3 – 4X – 5X
__3__
X
=
+
__2___ - __1__
X-5
X+1
Ejemplo 2: Fracción propia con denominador factorizable en factores repetido.
___2X + 3___
X2-2X+1
=
2X + 3
(X-1)2
1- Tomamos el denominador factorizado y procedemos asi:
2
___2X + 3___ = __A__ + __B__
(X-1)2
X-1
(X-1)2
– Se halla el MCD y se realiza la suma :
2X +3 = AX – A + B = AX – A +B
(X-1)2
(X-1)2
3- Igualamos numeradores :
2X +3 = AX – A + B
De donde : A=2
B-A= 3
4- Despejamos A y B y obtenemos,
(X-1)2
A=2
y
B =5
La descomposición en fraccines será:
__2X + 3__ = __2__ + __5__
X2 –2X +1
X-1
(X-1)2
Ejemplo 3 : Fracción propia cuyo denominador contiene un factor cuadrático irreductible.
____X2 + X - 6__
X3 – X2 + X – 1
1- Factorizamos el denominador:
____X2 + X - 6__
X3 – X2 + X – 1
___X2 + X – 6____
(X2+1)(X – 1)
=
2- La descomposición será:
____X2 + X - 6__
X3 – X2 + X – 1
___AX + B_
X2+1
=
+
__C__
X–1
Debe tenerse en cuenta que, cuando el factor es cuadrático irreductible, el numerador será
de la forma AX + B , por cuanto el grado del numerador siempre se diferencia en una
unidad menos que el del denominador.
3- Se procede como en los casos anteriores y tenemos :
____X2 + X - 6__
X3 – X2 + X – 1
___(AX + B)( X – 1)_ + _C (X2 = 1)__
( X2+1) ( X – 1)
=
4-Igualando numeradores y desarrollando:
X2 + X – 6 = AX2 - AX + BX - B + CX2 + C
= X2 ( A + C) + X (B – A) - B + C
Entonces:
A+C = 1
B–A = 1
C – B = -6
Resolviendo el sistema tenemos:
A = 3 , B= 4
Y C = -2
La descomposición será:
____X2 + X - 6__
X3 – X2 + X – 1
=
___3X + 4_ - __2__
X2+1
X–1
Ejemplo 4 : Fracción impropia, porque el grado del denominador es igual a menor que el
del numerador.
___2X2 + 7X___
X2 + 6X + 9
1-En este caso los grados son iguales, entonces se realiza la división larga y se obtiene :
___2X2 + 7X__ = 2 – __5X + 18__
X2 + 6X + 9
X2 + 6X + 9
2- A la parte fraccionaria se le buscan las fracciones parciales, aplicando el caso
correspondiente:
__5X + 18 _ = __5X + 18__
X2 + 6X + 9
( X + 3)2
3-Como este caso ya se vio en el “Ejemplo 2 “ , entonces procedemos de igual forma, para
obtener:
5X + 18 _
X2 + 6X + 9
=
__A__
X+3
+
__B__
(X+3)2
=
A(X+3) + B
(X+3) 2
4-Desarrollando:
5X + 18 = AX + 3A + B
A = 5
3 A + B = 18
De donde : A = 5 , B = 3
La descomposición de las fracciónes quedará:
___2X2 + 7X__ = 2 – __5
+ __3__
X2 + 6X + 9
X+ 3
(X+3)2
=
2 – __5
- __3__
X+ 3
(X+3)2
ACTIVIDADES:
Encontrar la descomposición de fracciones parciales
1-
8X – 1__
(X-2)(X+3)
2 -
5X – 12__
X2 – 4X
3-. ___37 – 11 X___
(X+1)(X2-5X+6)
4-... 19X2 + 50X – 25
3X3 – 5X2
5- . X2 – 6___
(X+2)2(2X-1)
6- .
X2 – X-21___
(X2+4) (2X – 1)
7-
.4X3 –X2 +4X + 2
( X2 + 1 )2
8- .
X3_________
X3 – 3X2 + 9 X – 27
9-
.
10 - .
2X2 + 7X____
X2 + 6X + 9
4X3 + 4X2 – 4X + 2__
2X2 – X –1
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 9
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
Ecuaciones Lineales y de Segundo Grado
OBJETIVO
Al finalizar la presente Ayuda Didáctica durante el tiempo de seis horas, el educando estará en
capacidad:
_ Identificar cuando una función es lineal o es cuadrática
_ Representarlas gráficamente
_ Establecer la ecuación lineal o la de segundo grado, y determinar los valores
de la incógnita para los cuales son válidas.
CONCEPTUALIZACION.
Conocer el concepto de función. Localizar puntos en el plano cartesiano.
Identificar las propiedades que satisfacen los números reales. Manejar la raíz cuadrada de un
entero no negativo. Conocer las formas directas de la factorización
DESARROLLO:
1.-El signo de igualdad ( = ) relaciona dos expresiones ,ambas o una ,contiene la letra x cuyo
valor inicialmente es desconocido .Y la ecuación no es mas que una proposición de esta
índole ;si se cumple para al menos un valor se llama solución y el procedimiento a seguir es la
resolución .
La ecuación 2x - 3 = x + 2 dice que x debe ser 5; por supuesto x = 5 es una
solución .Esta ecuación es condicional .Por qué?
En otras que son satisfechas por todos los valores permisibles se denominan
identidades .Ej. : 2x + y = 2(x + y) - y para cualquier x i y
2.-Una función simple es f(x) = mx + b ,donde m y b son reales ;es lineal y su gráfica es una
línea recta que interseca el eje de las ordenada en el punto (0,b) ;b = f(0) se llama ordenada al
origen de la recta y m la pendiente de la misma .
La ecuación lineal se desprende de igualar la función mx + b a c .A propósito mx + b = c
implica mx + b -c = 0
Los métodos para resolver las ecuaciones ,se fundamentan en la suposición de que existe una
solución atendiendo : a) x = a implica x + k = a + k
b) X = a
"
x k = a k, k = 0
c) x = a
"
x/k = a/k,k=0
La ecuación 3x = 6 tiene una solución x = 2 ,pero la ecuación 3x (x + 1) = 6(x + 1) tiene una
solución mas ,x = -1 la cual no satisface la inicial .En qué argumentaría este hecho ?
Cuando se tiene fracciones donde al menos aparece x en un denominador ,su solución se
basa en transformar las fracciones utilizando MDC .
Resolver :
6(x - 3) + x
3(x - 3)
1 + 2x + x tomando a 3(x - 9) como mínimo denominax + 3 3 dor común y eliminando los denominadores ,
Tenemos :
6(x - 9) + x (x + 3) = 3(x -9) + 6x(x-3) + x(x-9)
Esta ecuación se reduce a que x = 1 .Argumente parte del procedimiento anterior .
Ejercicios :
a) El denominador de una fracción es 5 unidades mayor que el numerador .Si éste se
aumenta en 1 y el denominador en 6 ,el valor no cambia .Qué ocurre ?
b) Coloca el número real preciso que conlleva a que la ecuación se reduzca a x = 0 ,en la
siguiente ecuación :
xx+
x + 0.25 x - 0.25
c) Marca con una cruz la respuesta correcta (ax - b)(ax + b) es igual a :
a (x - b)
a (x - b)
a (x - b)
a (x – b)
e) La diferencia de dos números positivos es 5 ;si se agrega 3 a cada uno ,el cociente del
mayor por el menor es 1.5 .Qué se debe hacer?
f) Marca con una cruz la verdadera de
7
5
6
8
g) Resolver para x en : 1 + 3 =
3
x x+1
-x -x
3) La función de máximo grado 2 en la variable independiente ,tiene la forma ax + bx + c con a
,b y c reales ,a = 0 recibe el nombre de función cuadrática .
Al analizar los (x , y) de y = ax + bx + c ,y completando cuadrado podemos lograr la gráfica
donde aprenderá muchas propiedades de la función , por lo tanto tenemos :
4ac - b
y= a (x + b / 2a)
4a
El valor mínimo de (x + b / 2a) se tiene en x = - b/ 2a ,y es cero ;el mínimo para y será en
4ac - b si a>0 que ocurrirá en el anterior de x ,por consiguiente el punto correspondiente
4a
a estas coordenadas es el más bajo .Será el más alto para los valores obtenidos de la abscisa
y ordenada si a<0 .Así se obtiene una parábola y su vértice estará determinado por esas
coordenadas .
Describa el gráfico para la función -7 + 5x + 3x ,
explique la obtención .
Desarrollando la ecuación ax + bx + c = 0 ,encontraremos los ceros de la función
cuadrática ,cuando se llegue a la fórmula general : x = (-b + b -4ac) / 2a .Argumente cómo
hacerlo ?
El mismo ejercicio planteado anteriormente , resuélvalo para que x = (-5 + 109) / 6 ,
logrando así los ceros lo que puede verificarse por sustitución .
4) Para resolver una ecuación cuadrática por la fórmula es indispensable identificar los valores
de las constantes y proceder a reemplazarlos en ella .En efecto : Dada la ecuación -2x + 3x +
5 = 0 observamos a = -2 ,b =3 y c = 5 luego x -3 +
3 -4(-2 ) 5 -3 +7
2(-2)
-4
Por tanto las soluciones son : -1 y 5/2
Mientras que el camino de completar el cuadrado puede ser siempre usado para resolver
cualquier ecuación de este tipo sin embargo en la realidad no se hace .Su importancia se torna
en el marco teórico de sacar una fórmula que facilite el resolver la ecuación dada .
Ocurre con frecuencia que si el trinomio cuadrado ax + bx + c es factorizable ,en cuyo caso
sería resolverla por el método que lleva su nombre .Considérese la ecuación resuelta por la
fórmula ,que puede escribirse como (x + 1)(-2x + 5) = 0,de manera que cada factor debe ser
igualado a cero .Cuál es la razón para hacerlo ? ,luego llegamos a los mismos valores para x .
5) Lo desarrollado nos sirve para determinar las raíces de dicha ecuación que también es
aplicable a otra ecuación que pueda reducirse a este tipo ,utilizando una sustitución .En
efecto ,resolvamos la siguiente :
x + 6x + 2x - 21x - 18 = 0 .Completando cuadrado , nos
lleva a esta ,que es la esperada (x + 6x + 9x ) -7(x + 3x) -18 = 0 ,haciendo u = x + 3x ;
entonces u -7u -18 = 0 ó (u - 9)(u + 2) = 0 por tanto u = 9 y u = -2 ;implica
0 = x + 3x - 9 y 0 = x + 3x + 2 .
Las cuatro soluciones son el conjunto :{-1,-2, (-3 + 3 5)/2 } e interprete estos resultados
argumentando el procedimiento realizado .
Resolvamos otra mucho más sencilla : x - 17x + 16 = 0 factorizando dicho trinomio resulta
(x - 16)(x - 1) = 0 .Luego las cuatros raíces son x = +1 ,+2
Ejercicios :
a) La f(x) está dada por -3x + 6x - 2 .Encontrar las coordenadas (x , f(x)) del vértice y trazar la
gráfica de la función .
b) Marca con una cruz ,dado que el vértice de la gráfica de la función en 2x - kx + 2 esté en la
recta paralela al eje de las abscisas con los valores para k i y ,así :
k=0 i y=1
k=2 i y=0
k = 1 i y =0
k= 0 i y = 2
c) Las soluciones para x = - b/ a, c en las siguientes ecuaciones, sólo hay una que es
correcta .Identifíquela:
bx + (b +ac)x + ac = 0
ax +(ac -2b)x- 2bc = 0
ax + (b -ac)x - bc = 0
cx +(bc -a)x - ab = 0
d) Resuélvala por cualquier método apropiado .
(x - 1)/ (x + 1) + 1 = (x + 1)/ (x - 1)
e) Dado el cuadrado de lado igual a 1 que aparece ,represente en su área la expresión
(x + (1-x)) siendo x la correspondiente al cuadrado pequeño .
f) Si las raíces de una de las ecuaciones son 2 / 3 ,-5 / 4 .Ubíquela :
12x - 7x- 10 = 0
12x + 7x + 10 = 0
-12x + 7x- 10= 0
12x + 7x- 10 = 0
f)
Resolver todos los valores de x que satisface la ecuación : x - 8x + 15 = 0
g) Hallar las dimensiones de la figura .
i) Un avión puede lanzar hacia abajo objetos con Vo = 19.6 m/s ,si lanza un objeto
el avión está a una altura de 2352m En qué tiempo llegará al suelo el objeto?
cuando
j) Un mayordomo tiene 100 metros cuadrados para cultivar .Puesto que sólo tiene 30 metros
de cerca de alambre para un corral ,utilizaría tres lados ya que aprovecharía una
pared ,interprete con un gráfico el problema .Qué se buscaría como solución del mismo ?
BIBLIOGRAFÍA :
Fundamentos de Matemáticas de Oakley .Ed .Mc Graw Hill
Algebra y Geometría de Bardell .Ed .CECSA
Algebra Moderna de Dolciani .Ed .Publicaciones Cultural S .A .
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 10
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
APLICACIONES
INECUACIONES CUADRÁTICAS CON
APLICACIONES
OBJETIVO
UTILIZAR DESIGUALDADES PARA REPRESENTAR SITUACIONES Y EN ELLAS
PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS ENCONTRANDO EL VALOR DE LA INCÓGNITA.
CONCEPTUALIZACION.
Una desigualdad lineal en una variable es un intervalo que según su tipo se clasifican en
abiertos, semiabiertos, y cerrados como se presenta en la siguiente tabla:
NOTACION
GRAFICA
( a, b )
[ a, b ]
[ a, b )
( a, b ]
( a, ∞ )
( -∞, b )
( -∞, ∞ )
DESIGUALDAD
TIPO DE INTERVALO
a<x<b
a ≤ x ≤b
a ≤ x<b
a<x ≤b
a<x<∞
-∞<x<b
-∞<x<∞
Intervalo Abierto
Intervalo Cerrado
Intervalo Semiabierto
Intervalo Semiabierto
Intervalo Infinito
Intervalo Infinito
Intervalo Infinito
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:
PROPIEDAD
1. Si a < b, y b < c, entonces a < c
2. Si a < b, entonces
a+c< b+ c y
a -- c < b -- c
3. Si a < b y c > 0, entonces
a.c < b.c
y a/c < b/c
4. Si a < b y c < 0, entonces
a.c > b.c
y a/c > b/c
EJEMPLO
3 < 7 y 7 < 9; entonces 3 < 9
2 < 5, de modo que
2 + 3 < 5 + 3, y
2 -- 3 < 5 -- 3
1 < 9 y 4 > 0, entonces
1.4 < 9.4 y 1/4 < 9/4
5 < 7 y --2 < 0, entonces
5.(--2) > 7.(--2) y 5/(--2) > 7/(--2)
Es importante recordar que al multiplicar o dividir por un número real negativo ambos miembros
de la desigualdad se invierte el signo de la desigualdad que es la aplicación de la propiedad 4.
Propiedades semejantes a las anteriores son válidas para >, ≥, <, ≤.
En los siguiente ejemplos se estudian soluciones de desigualdades mediante intervalos con su
representación gráfica.
Ejemplo 1: Resolver la siguiente desigualdad
Solución:
4.X – 3 < 2.X + 5
4.X – 3 < 2.X + 5
( 4.X – 3 ) + 3 < ( 2.X + 5 ) + 3
4.X
< 2.X + 8
4.X – 2.X < ( 2.X + 8 ) – 2.X
2.X < 8
Desigualdad dada
Se suman 3
Se simplifica
Se resta 2.X
Se simplifica
2.X / 2 < 8 / 2
X < 4
Se divide entre 2
Se simplifica
Por tanto, las soluciones de la desigualdad consisten en todos los números reales, x, tales que
X < 4. Es el Intervalo ( -∞, 4 ) que se representa gráficamente en la recta numérica.
Ejemplo 2: Resolver la siguiente desigualdad
-- 5 ≤ ---------------
4 -- 3.X
< 1
2
Solución: Un número X es una solución de la desigualdad si y sólo si
4 -- 3.X
-- 5 ≤ ---------------
4 -- 3.X
--------------< 1
y
2
2
Es posible trabajar cada desigualdad por separado, o resolver ambas en forma simultánea,
como sigue:
4 -- 3.X
-- 5 ≤ --------------2
-- 10 ≤
< 1
4 -- 3.X
-- 10 -- 4
-- 14
≤
Desigualdad dada
< 2
Multiplicación por dos
-- 3.X < 2 -- 4
≤
-- 3.X <
-- 14
-- 3.X
---------- ≥ ---------- >
-- 3
-- 3
14
---------3
Se resta 4
-- 2
Se simplifica
-- 2
--------- 3
Se divide entre -- 3
2
≥
X
>
--------
Se simplifica
3
2
---------3
<
X
14
-------3
≤
Desigualdad equivalente
Así, las soluciones de las desigualdad son todos los números reales en el intervalo semiabierto
( ⅔, 14/3], como se representa en la recta real.
Ejemplo 3:
Uso de una fórmula de las lentes
Como se observa en la figura si una lente biconvexa tiene una distancia focal de f centímetros y
se coloca un objeto a una distancia de p centímetros de la lente, donde p > f, entonces la
distancia q de la lente a la imagen, está relacionada con p y f mediante la fórmula:
1
----------p
+
--------
1
=
q
1
--------f
Si f = 5 cm. ¿a qué distancia debe estar el objeto para que la imagen esté a más de 12 cm de
la lente?
Solución: Como f = 5, se puede volver a escribir la fórmula como
1
----------p
+
--------
1
=
q
1
--------5
Se desea determinar los valores de q que tales que q > 12. Primero se despeja q así:
5q + 5p = pq
Se multiplica por el M.C.M., 5pq
q. ( 5 – p ) = -- 5p
Se agrupan los términos en q en un lado y se factoriza
5.p
5.p
q = -- --------- = --------- Se divide entre 5 – p
5 -- p
p -- 5
Para resolver la desigualdad q > 12, se procede como sigue:
5.p
--------p -- 5
>
12
5.p > 12 ( p – 5)
q =
5.p
--------p -- 5
Se permite, porque como p > f, entonces p – 5 > 0
1. Dada la desigualdad –7 < -3, determine la que se obtiene si
a. se suma 5 a ambos lados de la desigualdad
b. se resta 4 a ambos lados de la desigualdad
c. ambos miembros se multiplican por 1/3
d. ambos miembros se multiplican por – 1/3
2. Dada 4 > - 5, determine la desigualdad que se obtiene si
a. se suma 7 a ambos lados de la desigualdad
b. se resta -5 a ambos lados de la desigualdad
c. ambos miembros se dividen entre 6
d. ambos miembros se dividen entre –6
Exprese la desigualdad en forma de un intervalo y bosqueje su gráfica.
3. x < -2
4. x ≥ 4
5. –2 < x ≤ 4
6. 3 ≤ x ≤ 7
7. 5 > x ≥ -2
8. x ≤ 5
9. x > -3
10. –3 ≤ x < 5
11. – 3 < x < -1
12. –3 ≥ x > -5
Exprese el intervalo en forma de desigualdad en la variable x.
13. ( -5, 8]
14. [0, 4)
15. [ -4, -1]
16. (3, 7)
17. [4, ∞)
18. (-3, ∞)
19. (-∞, - 5)
20. (-∞, 2]
Resuelva la desigualdad y exprese las soluciones en términos de intervalos cuando sea
posible.
21. 3x –2 >14
22. 2x + 5 ≤ 7
23. –2 –3x ≥ 2
24. 3 – 5x < 11
CUESTIONARIO DE FUNDAMENTACIÒN DE TRIGONOMETRIA
Elaborado Por: Ing Sara García González.
-
Qué es la trigonometría; por qué y para qué se desarrolló.
Quiénes aportaron al desarrollo de la trigonometría y cuáles fueron los aportes.
En qué unidades se miden los ángulos.
Qué es el : a) grado sexagesimal; b) radian.
Cómo se subdividen los grados y realizar un ejemplo
Realizar un ejemplo de conversión de grados sexagesimales a radianes y viceversa.
cuáles son las funciones trigonométricas de ángulos agudos en los triángulos
rectángulos.
A qué se denomina ángulo de : a) elevación b) depresión
Realice un ejemplo donde aplique el concepto de los ángulos anteriores
Desarrollo de competencias.
-
Dibuje ángulos de: a) 120 b)960 c)220 d) 400.
Expresar en notación decimal: a) 15 19 28 b) 127 5 18.
-
Expresar en grados, minutos y segundos: a) 150.63 b) 215.43 c) 918.7.
Expresar en radianes: a) 135 b) -45 c) 33.40 d) -35.2.
Encuentre la medida de un àngulo central en una circunferencia de radio= 4cms, si el
àngulo subtiende un arco de 6.75. Determinar hexángulo en : a) radianes b) grados.
Demostrar que el àrea de un sector circular formado por un àngulo central O radianes, en
un cìrculo de radio r, està dada por A=1/2(r)O
Desde lo alto de un edificio que mira al mar, un observador avista una lancha que navega
hacia el edificio. Si el observador està a 100 pies sobre el nivel del mar y el àngulo de
depresión de la lancha pasa de 15 a 35 grados durante la observación. Calcular la
distancia que recorre la lancha hasta ese punto.
Bibliografía:
Algebra y trigonometría. Dennis Zill. Ed. Mc Graw Hill.
Algebra y trigonometría, Earl Swokovski. Tompson
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LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 11
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
IDENTIDADES PITAGORICAS
LOGROS:
 Comprender y aplicar las funciones trigonométricas de ángulos agudos.
 Construir las funciones trigonométricas a partir del círculo unidad.
 Determinar los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos notables.
 Deducir y probar identidades trigonométricas.
 Aplicar las funciones trigonométricas a situaciones en diferentes contextos.
TEMAS:
 Funciones trigonométricas de Ángulos Agudos
 Identidades fundamentales
CONCEPTUALIZACION.
Funciones Trigonométricas de Ángulos Agudos.
Dado el triángulo BAC, rectángulo en A, se definen las siguientes funciones trigonométricas
C
a
b
B
α
c
A
cateto opuesto b
=
hipotenusa
a
cateto adyacente c
cos α =
=
hipotenusa
a
cateto opuesto
b
tan α =
=
cateto adyacente c
sen α =
hipotenusa
a
=
cateto opuesto b
hipotenusa
a
sec α =
=
cateto adyacente c
cateto adyacente c
cot g α =
=
cateto opuesto
b
csc α =
Ejemplo
Dado
sen α = 1 . Calcular las demás funciones trigonométricas del ángulo
5
a=5
α
B
sen α =
24 = 2 6
cos α =
cos c α = 5
medio del Teorema de Pitágoras calculamos c
A
24
52 − 1 =
1
5
sobre la hipotenusa, asignamos a b=1 y a=5. Por
b=1
c=
AB = c =
Como el seno del ángulo es igual al cateto opuesto
C
sec α =
2 6
5
5
2 6
tan α =
1
2 6
cot g α = 2 6
EL CIRCULO UNIDAD.
Si trazamos el círculo unidad cuyo radio es 1, podemos definir sobre él las funciones
trigonométricas fundamentales seno y coseno
Y
Para cada número θ el seno de θ,
(0,1)
P (cos θ, sen θ)
denotado sen θ, y el coseno θ denotado
cos θ, se definen como sigue: Se traza el
sen θ
ángulo de θ radianes con origen en (0,0)
θ
Cos θ
(1,0)
X
y una arista sobre el semieje x positivo.
Sea el punto P sobre el círculo unidad
determinado por la segunda arista, la
coordenada X de P es entonces cos θ y
la coordenada Y es sen θ.
Ejemplo:
Hallar
π
π
cos   y sen  
 2
 2
Sí
θ = π
cos π
2 Entonces el ángulo es un ángulo recto P = (0,1) luego
2
= 0 y
sen π
2
=1
Ejemplo:
Hallar
Sí
cos ( − π ) y sen ( − π )
θ= − π
, P es el punto (-1,0) luego
cos ( − π ) = 1 y sen ( − π ) = 0
LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Primeramente como un incremento de
2π
en conduce al mismo punto P sobre el circulo
Cos (θ +
2π
) = cos θ.
Sen. (θ +
2π
) = sen θ.
Así, decimos que el seno y el coseno tienen período
2π
. En segundo lugar por inspección de
la figura se verifica que
(cos θ,sen θ)
Cos (- θ) = cos θ
θ
sen ( - θ ) = - sen θ
Los números cos θ y sen θ están ligados por la
-θ
ecuación
cos2 θ + sen2 θ = 1
(cos (-θ),sen (-θ))
Lo cual se puede verificar mediante la aplicación
del Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Hallar
π
π
cos   y sen  
 4
 4
Sí el ángulo es
coinciden
π
4 (45°) es inmediato comprobar geométricamente que el coseno y el seno
π
π
cos   = sen  
 4
 4
π
π
cos 2   + cos 2   = 1
 4
 4
π 1
cos 2   =
 4 2
π
cos   =
 4
Θ
0
Cos θ
1
π
6
π
3
2
4
2
2
π
1
2
2
π
=
≈ 0.707 y sen   =
2
2
2
 4
3
1
2
π
2
0
2π
3
1
−
2
3π
−
4
2
2
5π
−
π
6
3
2
Tabla 1. Cosenos de múltiplos de
7π
-1
π
−
4π
6
3
2
−
2π
1
2
3π
0
2
2π
1
6
Con está información podemos representar la función coseno. Como cos (θ +
gráfico se repite a intervalos de longitud
3
2π
) = cos θ, el
. La gráfica de la función seno se puede construir
de manera similar.
LA FUNCIÓN TANGENTE.
Para cada número θ distinto de π
π
2 , más cualquier múltiplo de , la tangente de θ, denotada
tan θ, se define como sigue: se traza al ángulo de θ radianes sobre el circulo unidad y se halla
el punto Q de intersección de la segunda arista del ángulo con la recta L que pasa por (1,0) y
es paralela al eje Y. La coordenada de Y de Q es tan θ.
Observar que en la figura que para θ cerca de pero menor que tan θ se hace muy grande.
Q
Mientras que cos θ y sen θ nunca sobre
pasan el valor de 1, tan θ puede hacerse
arbitrariamente grande.
θ
Observar también que para
(1,0)
π
2
<θ<
π
Un ángulo en el segundo cuadrante, tan θ
L
correspondiente a la función coseno.
es negativa.El gráfico de la función tangente
se construye partiendo de una tabla como la
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
Una identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre funciones de un mismo ángulo
que se cumple para cualquier valor que tome dicho ángulo.
Ejemplo:
sen θ. Csc θ = 1
sec 2 α = 1 + tan2 α
Para comprobar una identidad, es decir, para demostrar que los dos miembros de la igualdad
son idénticos, se realizan todas las operaciones y sustituciones que sean necesarias sobre el
miembro izquierdo, sin efectuar ningún cambio en el derecho, hasta que los dos miembros
sean iguales.
Ejemplo:
sen θ . csc θ = 1
Sen .1/sen θ = 1
Ejemplo:
Demostrar que
cos y
1 − sen y
=
1 + sen y
cos y
cos y
cos y ( 1 − sen y )
cos y ( 1 − sen y )
=
=
1 + sen y ( 1 + sen y ) ( 1 − sen y )
1 − sen2 y
cos y ( 1 − sen y ) 1 − sen y
=
cos 2 y
cos y
ACTIVIDADES Y EJERCICIOS
1.
Hallar cos
π
3 y sen
D
π
3 . Use el triángulo equilátero ODE de la figura
2
O
2.
1
C
E
Sea un ángulo agudo para el cual sec θ = 5/3. Hallar
a) tan θ. b) sen θ.
3.
Escribir la primera expresión en términos de la segunda
4.
a) cot θ, sen θ
c) cot θ, csc θ
b) tan θ, sen θ
d) cos θ, cot θ
Un lado de una hoja rectangular de papel mide 6 cm, mientras que los lados
adyacentes a éste miden más de 6 cm. Se dobla una de las esquinas de la hoja de manera
que apenas toca el lado de mayor longitud opuesto a ella. Sí la longitud del doblez es L cm
y sí el doblez hace un ángulo con la posición original del lado mayor, tal como lo muestra la
figura, expresar L en términos de θ.
θ
L
Verificar que tan (θ +
π
6
) = tan θ.
5.
Representar las funciones seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.
6.
Probar que
sec 2 x = 1 + tan2 x
csc 2 x = 1 + cot 2 x
7.
Demostrar que
sen θ
1
=
sen θ − cos θ 1 − cot θ
csc θ − 1 1 − sen θ
=
csc θ + 1 1 + sen θ
sen 4 x
tan 2 x − sen 2 x =
cos 2 x
( tan θ − sec θ )2 =
1 − sen θ
1 + sen θ
8.
Verificar la identidad
9.
Simplificar la expresión (sec θ + tan θ) (1 - sen θ)
10.
Calcular la longitud del lado del triángulo equilátero
inscrito en un círculo de radio a.
11.
Calcular la superficie de un campo rectangular, sí se sabe que un alambre que lo
atraviesa diagonalmente tiene una longitud L y forma con uno de sus lados un ángulo θ.
12.
Uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 20 cm y el ángulo opuesto a
la base 40º 15'. Resolver el triángulo.
13.
Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno a cm y los ángulos
iguales θ, grados. Hallar el área del triángulo.
14.
En el triángulo de la figura un ángulo mide el doble que otro y los lados opuestos
correspondientes mide uno el doble del otro. Puede existir este triángulo?
a
2a
2α
α
CUESTIONARIO
a. Mencione y explique dos sistemas de medida angular.
b. Señale las funciones trigonométricas de ángulos agudos y de su definición.
c.
Cuáles funciones trigonométricas son recíprocas.
d. Señale los signos que toman las funciones trigonométricas seno y coseno en los diferentes
cuadrantes.
e. Cuáles son los valores máximos y mínimos que pueden tomas las funciones
trigonométricas.
f. En que condiciones se puede asumir que sen θ ≈ θ
g. Qué son ángulos de elevación y ángulos de depresión?
h. Qué es una identidad trigonométrica
i.
Defina Ecuación Trigonométrica.
BIBLIOGRAFIA
SWOKOUSKI, Earl William. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Mexico. Grupo
Editorial Iberoamérica. 1994
BARNETT, Raymond. Algebra y Trigonometría. Mc Graw Hill Latinoamericana. 1976.
OLIMPIADAS COLOMBIANAS DE MATEMÁTICAS. Recopilado por Maria Falk de
Universidad Antonio Nariño.
DENNIS ZILL, Algebra y Trigonometría Mc Graw Hill.
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 12
Losada.
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO
Reconocer y resolver expresiones de tipo ecuación con términos trigonométricos, observar las
relaciones con las ecuaciones algebraicas y su similitud de soluciones.
LOGROS:
Resuelve ecuaciones trigonométricas desarrollando los mismos pasos que con las ecuaciones
algebraicas y reconoce el tipo de variables en las ecuaciones trigonométricas.
TEMAS:
Solución de ecuaciones trigonométricas con una sola función.
Solución de ecuaciones trigonométricas reduciendo a una función.
Solución de ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples.
CONCEPTUALIZACION.
Una ecuación trigonométrica es aquella cuyos términos son expresiones de trigonometría. Se
resuelven mediante las mismas técnicas a las que se usan en las ecuaciones algebraicas; la
diferencia principal radica primero que se despeja sen x, cos θ, etc., de la ecuación
trigonométrica y a continuación se determinan los valores de x o de θ que satisfagan la
ecuación. Las soluciones se pueden expresar como números reales o como ángulos.
Ejemplos:
a). Determinar las soluciones de la ecuación senθ = 1 2 si θ ∈ [ 0,2π
]
Solución:
senθ > 0 para I y II cuadrante se tiene que con θ = π 6 , y , θ = π − π 6 = 5π 6
senθ = 1 2 ó sen − 1 (1 2) = π 6 , sen − 1 ( 5π 6 ) = 1 2
Como
,
b). Resolver, factorizando, una ecuación trigonométrica: senθ tgθ = senθ
Solución:
senθ tgθ = senθ
senθ ( tgθ − senθ ) = 0
senθ ( tgθ − 1) = 0
Luego senθ = 0 y tgθ = 1
Si senθ = 0 entonces
θ = π n para todo n entero
tg
θ
=
1
Si
entonces θ = π 4 + π n para todo n entero, tg es de periodo π
De modo que las soluciones de
senθ tgθ = senθ son π n
y π 4+ π n
En este ejemplo se cometería un error al dividir a ambos lados por
habrían perdido las soluciones para senθ = 0
c).
Resolver la ecuación:
Solución:
senθ ya que se
2 sen 2 t − cos t − 1 = 0
Expresamos la ecuación en términos de una sola función en este caso del
después se resuelve por factorización.
cos t
y
2 sen 2 t − cos t − 1 = 0
(
)
2 1 − cos 2 t − cos t − 1 = 0
2 − 2 cos − cos t − 1 = 0
2t
− 2 cos 2 − cos t + 1 = 0
( − 1)
2 cos + cos t − 1 = 0
Factorizando: ( 2 cos t − 1)( cos t + 1) = 0
Luego 2 cos t − 1 = 0
O cos t + 1 = 0
2
Por lo tanto
ACTIVIDADES Y EJERCICIOS
1. Determine todas las soluciones de las ecuaciones dadas
1
1
b.) 2 cos 2θ − 3 = 0
c.) 3tag t = 1
senθ
3
π  1

d.) sen 2 x −
e.) tag 2 x = 1
f.)
 =
3
2


( cosθ − 1)( senθ + 1) = 0
g.) sen2 x( csc 2 x − 2 ) = 0
h.) tagα + tag 2α = 0 i.) 4 cos θ − 2 = 0
Ο∆
a.)
cosθ =
2. Determine las soluciones de la ecuación que estén en el intervalo [ 0,2π ]
2
2
Ο∆
a.) 2 sen µ = 1 − senµ b.) tag xsenx = cos x c.) 1 − sent = 3 cos t
d.) senx + cos xctgx = csc x e.) 2 sen 3 x + sen 2 x − 2 senx − 1 = 0
f.)
tagθ + secθ = 1
3. En un día claro con D horas de luz diurna, la intensidad I de la luz solar (en cal/cm 2)
se puede
Ο
calcular aproximadamente con la fórmula: I
= Im sen 3
πt
para 0 ≤ t = 0
D
Donde t = 0 corresponde a la aurora e Im es la intensidad máxima si D 0 12,
¿Aproximadamente cuantas horas después de la salida del sol,
I=
1
Im ?
2
4. El peso W de una persona en la superficie terrestre es directamente proporcional a la
Ο
aceleración gravitatoria g (en m/s2). Debido a la rotación, la tierra está achatada en los
polos y, como consecuencia, el peso varía en distintas latitudes, si θ es la latitud
entonces g se puede
aproximar mediante la expresión: g = 9.8066(1 − 0.00264 cos 2θ )
a). ¿A qué latitud g = 9.8 ?
b). Si una persona pesa 150 lb en el ecuador ( θ = 0°) ¿en qué latitud pesará 150.5 lb?
BIBLIOGRAFÍA:
-Algebra y trigonometría con geometría analítica
Swokowski Cole - Tercera edición
Grupo editorial Iberoamerica
Capítulo 7, pags 414 – 425
-Algebra y trigonometría con geometría analítica
Walter Fleming / Dale Varberg - Tercera edición
Prentice Hall
Capitulo 8, pags 393 – 400.
- Geometría
Clemens, et al.
Prentice Hall – Serie Anofi - primera edición
Capitulo 9, pags 330 a 334.
CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN:
1º. Resolver las siguientes ecuaciones encontrando todas las soluciones en el intervalo 0 a 2
π
2
a.) cos 2t = 3sent
b.) tag x − 3tagx + 1 = 0
c.) 2 sen 2 x = 1 + cos x
π /4 es la única solución en 0 ≤ t ≤ π
a + b cos t a + b sent
=
b + a sent b + a cos t
2º. Demuéstrese que t =
para la ecuación:
3º. El Sr. Godínez construyó una resbaladilla de 10 pies de altura
con una base de 20 pies (figura). A). Encuentre el ángulo α en
grados. B). ¿Por cuánto ( θ en la figura) debe incrementarse el
ángulo de inclinación si se desea aumentar la altura (a 15 pies)
manteniendo la base de 20 pies?
θ
4º. Resuelva la ecuación: sen4t + sen3t + sen2t = 0
5º. Un rayo de luz de la lámpara L en la figura se refleja en un espejo al objeto O.
a). Encuéntrese la distancia X
b). Escríbase una ecuación para
c). Resuélvase esa ecuación.
θ
Cumplimiento de logros: Aplicará las soluciones de ecuaciones trigonométricas para analizar
y plantear modelos trigonométricos para resolver situaciones de la física y la ingeniería.
α
ESPEJO
θ
θ
O
L
dibujo
UNIVERSIDAD
LIBRE
FACULTAD DE INGENIERÌA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER N° 13
NOMBRE DE LA ASIGNATURA:
TÍTULO:
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
TEOREMAS DEL SENO Y COSENO
DURACIÓN:
BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:
2 horas
OBJETIVO
Plantear y resolver modelos geométricos de tipo trigonométrico haciendo uno de de los
teoremas del seno y coseno, interpretando sus resultados y analizando los mismos.
LOGROS:
Identifica y operaciona con el teorema adecuado a situaciones planteadas de la ingeniería.
TEMAS:
Teorema del seno.
Teorema del coseno.
CONCEPTUALIZACION.
En cualquier triangulo la razón del seno de un Angulo a la longitud del lado opuesto a el es
igual a al razón del seno θ de otro ángulo, la longitud del lado opuesto a este último, es decir:
a
B
C
γ
β
senα
senβ
senγ
=
=
a
b
c
b
c
teorema del seno
Este teorema teorema se usa para casos donde
se conoce: (L=lado, A= un ángulo)
α
A
1.° Dos lados y un ángulo opuesto a uno de
ellos (LLA)
2° Dos ángulos y cualquier lado (AAL, o ALA)
El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triangulo es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros lados menos el doble producto de las
longitudes de ellos por el coseno del Angulo que forman es decir:
C
γ
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
a 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
a
b
α
A
c
β
Teorema del coseno
B
Este teorema se usa en casos cuando se conoce
1° Dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)
2° Los tres lados
Se recomienda no memorizar estos teoremas si no analizarlos e interpretarlos cada
vez que requiera su utilización.
Las demostración para llegar a estos resultados (teorema) se deja como ejercicio
haciendo uno de todos los conocimientos de trigonometría adquiridos.
ACTIVIDADES Y EJERCICIOS
Ejemplo:
A.)
Dados: a = 12.4
b = 8.7
< β = 36.7°
C
γ
a
b
α
β
B
Calcular las demás partes del triangulo
ABC.
senα
senβ
a
=
luego senα senβ
Solución: para calcular α :
a
b
b
12.4 sen36.7°
senα =
α 0.8518 Por lo tanto α = sen − 1 ( 0.8518) ≈ 58.4°
8.7
Como α + β + γ = 180° entonces 58.4° + 36.7° + γ = 180° entonces γ = 84.9°
c
a
senγ
=
⇒ c= a
Para conocer el valor de la longitud C, tendremos:
senγ
senα
senα
sen84
C.9° ≈ 14.5 con lo cual queda determinadas todas las
Luego c= 12.4
sen58.4°
A
c
10°
Partes del triangulo
ABC.
36°
b.) Cuando el ángulo de elevación del sol es 64° un poste telefónico que esta
a
inclinado un ángulo
de 10° directamente frente al sol forma una sombra
de 12 pies de longitud en terreno horizontal, calcular la longitud aproximada del
poste. 64°
80°
A
B
70
65°
30
12
C
B
a
12
=
sen64° sen36°
sen64°
≈ 18.35 pies
Entonces: a = 12
sen36°
Solución:
C.) Un paralelogramo 30
tiene lados de 30 cm y 70 cm de longitud, y uno de sus
A
ángulos mide 65°. Calcular con redondeo a cm enteros la longitud de cada
65°
diagonal
D
70
Solución: ( AC )
2
= ( 30 ) + ( 70 ) − 2( 30 )( 70 ) cos 65° ≈ 4025.1
2
2
Ley de los coseno.
Usando ∆ ABC
AC ≈ 63 cm
De manera similar usando el triangulo BAD y con
∠
BAD=180°-65°=115°, se puede calcular BD como sigue
( BD ) 2 = ( 30) 2 + ( 70) 2 − 2( 30)( 70) cos115° ≈
BD ≈ 87cm
d.) Para calcular el área de cualquier triangulo A=
7575
1
bcsenα donde α es el ángulo
2
entre los lados b y c.
Calcular el área del triangulo ABC con a= 2.2 cm, b= 1.3 cm y γ = 43.2°
Solución: como γ es el ángulo que forman los lados a y b puede emplearse
directamente la formula anterior.
A=
1
1
abseα = × 2,2 × 1,3 × sen43.2° = 0.98cm 2
2
2
e.) También se puede determinar el área de un triangulo conocido solamente la
longitud de los tres lados. a, b, c
A=
s ( s − a )( s − b )( s − c )
Donde
s=
(a +
b + c)
2
esta formula se llama “la formula de Heron”.
Calcular el área de un triangulo cuyos lados miden 125,160 y 225cm
respectivamente.
S=
(125 + 160 +
225)
2
A=
225(130)( 95)( 30)
= 255 ≈ 9720cm 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Calcule aproximadamente,
D las partes restantes del triangulo ABC
2) Para determinar la distancia entre dos puntos Ay B un topógrafo escoge un punto C
que se halla a 375m de A y 530 de B si< BAC mide 49°30’ calcule la distancia de A a
B.
3) Los ángulos de elevación de un globo visto desde dos puntos A y B en suelo a nivel,
sen24° 10´´y 47° 40´ respectivamente, donde A y B están separados 8.4millas y el
globo se encuentra entre ellos en el mismo plano vertical. Calcule la altura del globo
respecto 45°
al suelo.
85°
65°
4)
B
A
C
AC es 10 metros más largo que Cb
determínese la longitud de CD.
5) En una esquina de un triangulo, el ángulo mide 52.4°, lo lados que se encuentran en
esa esquina miden 100m, y 120m de largo. ¿ cuanto mide el tercer lado?
6) Un jardín triangular tiene lados de longitud, 35,40 y 60 mts. Encuéntrese el ángulo mas
grande del triangulo, y el área del mismo.
7) Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 130° y después 80 millas
en dirección 245° aproximadamente ¿ a que distancia se encuentra el aeroplano del
punto A.?
8) Un rombo tiene lados de 100 cm de longitud y el ángulo en uno de los vértices es 70°.
Calcule las longitudes de las diagonales.
9) La caja rectangular tiene dimensiones 8 × 6 × 4 calcule el ángulo θ que forma una
diagonal de la base y una diagonal de la cara.
10) Las manecillas de un reloj tienen 4 y 5 pulgadas de largo respectivamente. A cierta
hora entre las 1:45 y las 2:00 se encuentran las puntas de las manecillas separadas 8
pulgadas ¿ Que hora es entonces?
BIBLIOGRAFÍA:
-Algebra y trigonometría con geometría analítica
Swokowski Cole - Tercera edición
Grupo editorial Iberoamerica
Capítulo 8, Págs. 468 – 485
-Algebra y trigonometría con geometría analítica
Walter Fleming / Dale Varberg - Tercera edición
Prentice Hall
Capitulo 9, Págs. 404– 415.
C
1º. Dado el triangulo. Determine
B
8 cm
CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN:
5 cm
a.) Lado c y los demás ángulos
b.) El área del triangulo
80°
A
2º. Una carretera recta forma un ángulo de 15° con la
horizontal, cuando el ángulo de elevación
del sol es 57°, un poste vertical al lado de la carretera
forma una sombra de 75 pies de longitud pendiente
abajo. Calcule la longitud del poste.
3°. Calcule el área del triangulo ABC
A.) α = 60 b = 20 c = 30
α = 35.7 γ = 105.2 b = 17.2
c.) a = 20 b = 20 c = 10
b.)
15
°
57
°
4°. Una carretera recta forma un ángulo de 22° con la horizontal, desde cierto punto P
en ella, el ángulo de elevación del avión es 57°. En el mismo instante, desde otro
punto Q, 100m adelante del primero, el ángulo de elevación es de 63°. Los puntos
P, Q y A quedan en el mismo plano vertical. Calcule la distancia de P al avión A.
5°. Un pedazo de alambre de 60 pulgadas de largo es doblado en forma de triangulo .
Encuéntrense los ángulos del triangulo si dos de sus lados tienen 24 y 20 pulgadas
de longitud.
Cumplimiento de Competencias: Dado cualquier triangulo se lograra determinar algunas de
sus partes dado mínimo tres partes de las mismas. A demás calculara su área. Triangulizara
regiones y resaltara aspectos del mismo.
Ernesto Vargas
♦ Guía No. 1 Números reales. Operaciones
♦ Guía No. 2 Números reales. Operaciones
♦ Guía No. 3 Números reales. Potenciación, radicación y logaritmación
Sara García
♦ Guía No. 4 Expresiones algebraicas
♦ Guía No. 5 Operaciones algebraicas
Oscar Domínguez
♦ Guía No. 6 Factorización
♦ Guía No. 7 División sintética
Rafael Ruiz.
♦ Guía No. 8 Fracciones parciales
Tito Rovira
♦ Guía No. 9 Ecuaciones lineales y cuadráticas
♦ Guía No. 10 Intervalos, inecuaciones y solución
Ramiro Serrano
♦ Guía No. 11 Inecuaciones de primer grado
♦ Guía No. 12 Inecuaciones cuadráticas
Felipe Lara
♦ Guía No. 13 Valor absoluto y aplicaciones
♦ Guía No. 14 Clasificación de ángulos
Jorge castañeda
♦ Guía No. 15 Identidades pitagóricas. Funciones trigonométricas. Identidades
trigonométricas
Sara García
♦ Guía No. 16 Identidades de la suma y diferencia de ángulos
Ernesto Vargas
♦ Guía No. 17 Ecuaciones trigonométricas
♦ Guía No. 18 Teorema del seno y coseno