Problema 11 - Matemáticas

Matemáticas para Economistas II
LECCIÓN
5.MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN
A
LA
PROGRAMACIÓN
PROBLEMA 11
(Examen Enero 2004) Dado el problema:
Optimizar x 2 + ( y − 2) 2
2x + 3 y ≥ 6
s.a.
x≥0
y≥0
a) Represente gráficamente el conjunto de oportunidades e indique si se puede afirmar
que el problema tiene solución sin resolverlo.
b) Resuelva gráficamente el problema indicando claramente las curvas de nivel, la
dirección de crecimiento de la función objetivo y los óptimos, si existen. Razone su
respuesta.
c) ¿Podemos afirmar, en este problema, que todo óptimo local es global?
Solución:
a)
Represente gráficamente el conjunto de oportunidades e indique si se puede
afirmar que el problema tiene solución sin resolverlo.
El conjunto de puntos admisibles del problema será el determinado por las
restricciones, ya que el dominio de la función objetivo es todo ℜ2:
X = { ( x , y) ∈ℜ2 / 2x + 3y ≥ 6; x ≥ 0; y ≥ 0 }
La primera restricción viene delimitada por una recta, 2x + 3y = 6 , cuyos puntos
de corte con los ejes son (3, 0) y (0, 2).
Las dos últimas restricciones corresponde al primer cuadrante, donde las dos
variables toman valores nulos o positivos.
La intersección de todas da lugar a la zona pintada en verde en la figura 1.
Para contestar a la pregunta de este apartado, vamos a ver si se verifica el teorema de
Weierstrass:
-La función objetivo es continua, por ser polinómica.
-¿Es el conjunto X cerrado y acotado?: en la figura 1 se puede observar que el
conjunto X es distinto del vacío, cerrado ya que contiene a su frontera (todas las
restricciones incluyen la igualdad). Por otro lado, no está acotado, porque por muy grande
que sea el radio de la bola el conjunto nunca va a poder estar contenido en ésta.
 R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Al no estar acotado, deja de cumplirse una de las condiciones del teorema, de ahí
que no aseguremos nada de la existencia de soluciones.
Figura 1.- Conjunto de oportunidades.
b) Resuelva gráficamente el problema indicando claramente las curvas de nivel, la
dirección de crecimiento de la función objetivo y los óptimos, si existen. Razone su
respuesta.
Para resolverlo gráficamente nos falta por determinar el mapa de curvas de nivel y la
dirección de máximo crecimiento de la función objetivo.
Mapas de curvas de nivel: Las curvas de nivel de la función objetivo son
circunferencias centradas en el punto (0, 2) y radio k ( obsérvese que, por este motivo, no
tiene sentido, en este problema, que la constante k sea negativa):
x2 + (y - 2) 2 = k2
Le damos valores a la constante k = 0, 2, 3, 4 ,..., y así obtenemos el mapa de curvas
de nivel que dibujamos sobre el conjunto de oportunidades en la figura 2.
Dirección de máximo crecimiento: Calculemos el vector gradiente de la función
objetivo
 2x 

∇F ( x, y ) = 
 2( y − 2) 
Como podemos observar nos da un vector de componentes no constantes, por tanto,
tendremos que sustituir uno o varios puntos cualesquiera donde no se anule dicho gradiente;
por ejemplo:
∇F (0,4) = (0, 4)t
donde la dirección dada por el vector (0, 4) dibujada a partir del punto (0, 4) es
perpendicular a la tangente correspondiente a la curva de nivel que pasa por el punto (0, 4).
Se observa que, al seguir la dirección de dicho gradiente, se pasa a una curva de nivel
exterior. Por tanto, la función crece hacia fuera.
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Figura 2.- Curvas de nivel
Además, hay que tener en cuenta que las curvas de nivel son circunferencias
concéntricas, y éstas tienen su máximo crecimiento cuanto mayor sea el radio. Si nos
fijamos en la figura 2, el conjunto de oportunidades se encuentra a la derecha del centro de
las circunferencias, razón por la que el primer punto de X que es intersecado por una curva
de nivel, el (0, 2), es un mínimo. Es claro que al ser el problema no acotado, las curvas de
nivel o valor de la función objetivo se puede hacer arbitrariamente grande, ya que dado
cualquier nivel para el objetivo, siempre existe un punto del conjunto de oportunidades con
intersección no vacía con una curva de nivel mayor. En este caso, decimos que el problema
no tiene máximo finito o que el máximo es no acotado.
c) ¿Podemos afirmar, en este problema, que todo óptimo local es global?
Para responder a la cuestión planteada aplicamos el teorema Local-Global, el cual
establece condiciones suficientes para que un óptimo local obtenido sea global.
El teorema afirma que si la función objetivo F(x, y) es continua en X, siendo éste un
conjunto convexo, entonces, si F(x, y) es convexa en dicho conjunto, todo mínimo local es
global; de igual forma, si F(x, y) es cóncava en dicho conjunto, todo máximo local es global.
¿Es convexo X?: X está formado por la intersección de tres semiespacios y, un
semiespacio siempre es un conjunto convexo. Además, la intersección de conjuntos
convexos es un conjunto convexo. Por tanto, el conjunto de oportunidades es convexo.
En cuanto a la función objetivo, F(x, y) = x2 + (y - 2)2 es continua ya que es
polinómica. Para comprobar si es cóncava o convexa, aplicamos el criterio basado en el
estudio de su matriz hessiana:
 2 0

H F(x, y) = 
0
2


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Al ser esta matriz definida positiva en X, la función es convexa. Por tanto,
aseguramos que el mínimo obtenido, (0, 2) es global, con valor de la función objetivo nulo.
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