MATEMÁTICAS II

2012
MATEMÁTICAS II
Dirección
General
de
Educación
Permanente.
Dirección de Educación Comunitaria.
1
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Matemáticas II
Presentación
Los temas centrales de este curso son Álgebra, Probabilidad y Estadística. El potencial de problemas de la
vida cotidiana y de las ramas de las ciencias naturales y sociales, que por medio de las técnicas algebraicas
se pueden modelar y resolver es ilimitado; además, el contacto de los estudiantes con el lenguaje simbólico
les ayuda a desarrollar y madurar formas de razonamiento, lo que ha motivado que, desde la creación de los
primeros centros educativos que difundieron los conocimientos matemáticos, el álgebra haya estado
presente como parte fundamental de la cultura científica, y en nuestro entorno educativo sea considerada
como uno de los principales tópicos matemáticos a traer en el Bachillerato.
El programa sea dividido en cuatro unidades:
1. Sistema de ecuaciones lineales.
2. Ecuaciones cuadráticas.
3. Funciones.
4. Probabilidad y estadística.
Objetivos
¾
¾
¾
¾
¾
¾
¾
Se pretende que, a partir de la experiencia aritmética, se descubran patrones y relaciones, y que se
expresen en forma simbólica por medio de álgebra.
Profundizar en el concepto y las operaciones con los diferentes tipos de números para la solución
de problemas en diversos contextos algebraicos.
Utilizar el lenguaje simbólico de álgebra, en el planteo y solución de problemas que involucren
ecuaciones de primero y segundo grados y sistemas de ecuaciones lineales.
Asimilar el concepto de función, para relacionar la dependencia entre dos variables, por medio de
expresiones algebraicas.
Representar e interpretar gráficamente las soluciones de los diferentes tipos de ecuaciones y de
sistemas de ecuaciones.
Construir modelos matemáticos elementales a partir de procesos inductivos, determinando los
conceptos involucrados en diferentes contextos como el aritmético, geométrico, algebraico,
probabilístico, estadístico, etc.
Iniciar el estudio de algunos temas de álgebra superior, como son ecuaciones poli nominales,
desigualdades, sistemas no lineales y álgebra de matrices.
Orientaciones metodológicas
Se propone que el tiempo que se emplea para desarrollar exclusivamente las destrezas operativas se fusione
con el utilizado en el desarrollo de los contenidos. Al proponer problemas en el lenguaje común se pueden
observar las estrategias de resolución que emprenden los alumnos, las dificultades que van encontrando y
las tácticas que emplean para salvarlas. El poseer habilidades para simplificar y operar las expresiones hace
más expedito el proceso para resolver una ecuación; pero es hasta este momento cuando el estudiante
encuentra la razón del desarrollo de esas habilidades.
6
Matemáticas II
Unidad 1
Sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
El núcleo de esta Unidad son los sistemas de ecuaciones lineales y su solución. Por medio de
diferentes métodos, por lo que se puede vincular con Matemáticas IV, Química II y concebir esta
Unidad como una breve introducción al álgebra lineal, que es utilizada en diversas ciencias como:
biología, economía y física.
Objetivos
¾ Resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden m x n; dominar los diferentes métodos
de solución.
¾ Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales en diferentes
contextos, como el de la química, física, economía, y poder interpretar el conjunto
solución.
¾ Interpretar en el plano coordenado la representación de las ecuaciones lineales y sus
soluciones y determinar regiones definidas por desigualdades lineales.
Contenidos temáticos
9 Sistemas lineales 2 x 2, 2 x 3, 3 x 3, 3 x 2, m x n.
9 Métodos de solución: sustitución, igualación, suma y resta, método de eliminaciones
sucesivas (eliminación gaussiana) y determinantes.
9 Interpretación geométrica de las soluciones: puntos, rectas y planos, en el plano o en el
espacio.
9 Sistemas de desigualdades lineales.
Sistemas lineales 2x2, 2x3, 3x3, 3x2, m x n.
Una ecuación lineal es aquella cuyas variables o incógnitas tienen como máximo
exponente 1 y se les llama lineales por la razón de que al graficarlas o
representarlas en un plano cartesiano generan líneas rectas.
Los sistemas se nombran M x N; donde M=numero de ecuaciones, N=clases de
incógnitas que hay en un sistema de ecuaciones lineales M x N, la m deberá ser
igual o mayor que dos, es decir, no puede haber sistemas de una ecuación con dos
incógnitas. Así el mismo sistema que va a resolver es 2 x 2 (dos ecuaciones con dos
incógnitas).
Un sistema de orden 2 x 3 significa dos ecuaciones con tres incógnitas
Un sistema de orden 3 x 3 significa tres ecuaciones con tres incógnitas
Un sistema de orden 3 x 2 significa tres ecuaciones con dos incógnitas
Un sistema de M x N significa cualquier numero de ecuaciones, con cualquier numero de incógnitas.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
9
9
9
Una ecuación es como una balanza, donde el signo de igual indica que la balanza esta en equilibrio.
La ecuación es una igualdad que sólo es cierta para un valor determinado o valores determinados
de la incógnita, es decir una ecuación es una igualdad condicional.
La ecuación se divide en dos miembros, del lado izquierdo del signo igual se llama primer miembro
y del lado derecho del signo igual segundo miembro.
Los sistemas se ordenan alfabéticamente en función de las letras que representan las variables, en el primer
miembro los términos que contienen las incógnitas y en el segundo miembro las constantes numéricas.
Trasposición de términos.
El signo igual que “=” representa la frontera ya que;
Si se pasa de un lado a otro de la ecuación, se cambia la función que está desempeñando.
Si está sumando +, cambia a resta – (principio aditivo)
Ejemplo:
2x + 4 = 22
2x = 22 – 4
2x = 18
Si está multiplicando ( ) ( ), *, x, cambia a dividir /, ÷, ____, (principio multiplicativo)
Ejemplo:
En la expresión 2x = 18 (la “x” multiplica al 2);
x= 18/2
x=9
En esta unidad vamos a estudiar los siguientes métodos de solución simultánea.
Método de solución
Por eliminación
para sistemas
suma y resta
Igualación
Sustitución
Gaussiana
Por determinantes
Por graficas
2 x 2, 2 x 3, 3 x 2
2x2
2 x 2, 3 x 3, M x N
2x2
Propiedad distributiva.
Para cualquier número real a, b, y c
a (b + c) = a b + a c
Utilizando la propiedad distributiva eliminemos los paréntesis de las siguientes expresiones algebraicas.
Ejemplo 2(x + 4)= 2x + 8
Actividad 1.1
-2(x + 4)=
3(x – 3)=
-2(4x – 3)=
5(2x + 9)=
6(x – 8)=
-5(-2x – 12)=
4(5x + 8)=
7(x + 6)=
8
Matemáticas II
Resolver cada ecuación y verificar su solución
Ejemplo:
X – 5 = 12
X – 5 + 5 = 12 + 5
X= 17
X+ 2 = 6
X + 7 = -3
2x = 10
X/5 = 12
comprobación
x – 4 = -8
x – 16 = 36
3x + 5 = 25
x/4 = 30
x + 43 = -18
-8 + x = 14
5x + 6 = 36
17 – 5 = 12
x–4=9
7= 9 + x
12x = 60
12 = 12
6+x=9
5 + x = 12
x/2 = 20
Resolver la ecuación x – 6 = x + 1
4
3
SOLUCION:
Para este caso especial, una forma de resolver la ecuación es hacerlo con productos cruzados y queda
(3) (x – 6) = (4) (x + 1)
3x – 18 = 4x + 4
Ordenando la ecuación y simplificando, queda:
3x – 4x = 4 + 18
x = -22
-x = 22 multiplicamos por (-1) para cambiar el signo de la incógnita y queda
COMPROBACIÓN
Sustituimos el valor de la “x” en la ecuación y nos queda
-22 – 6 = -22 + 1 simplificamos resolviendo las operaciones indicadas
4
3
-28 = -21
4
3
-7 = -7
ACTIVIDAD 1.2
Resuelve las siguientes ecuaciones
3 + 2(x-1) = -3
2(x-3) – 3(x+1) = 4
3(x-1) = 2(x+2) -6
7 – 3(x+2) = 10
3x – 2 = x + 4
3
2
3x – 4 = 2x – 3
4
6
2x – 5 = x – 6
4
3
2
x +6 = x + 4
3
Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden
presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Quedando así la clasificación:
Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (híper) planos que se cortan a lo
largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de
vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la
matriz es diferente de cero:
Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de
soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -0.5 y
que pasa por el punto (-1, 1), por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El
sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al
ocurrir esto en infinitos puntos.
x
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables
como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados,
al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es
decir, es linealmente dependiente.
x
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el
determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus auto valores será
0):
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible
indeterminado, o que las rectas son la misma.
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Matemáticas II
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente
sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se
cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de
la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea
cero:
Son sistemas de tipo 2 X 2
4x – 2y = 12
4x + 6y = -7
y = 2x + 3
Y= x+6
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o simplemente, sistema 2 x 2 de ecuaciones
lineales, es la agrupación de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
Se llama solución de un sistema 2 x 2, a cualquier pareja de valores de “x” e “y” que sea solución de ambas
ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan
cada una de las ecuaciones del sistema
Un sistema 2 x 2 de ecuaciones lineales puede ser:
Compatible determinado (S.C.D.): 1 solución
Compatible indeterminado (S.C.I.): Infinitas soluciones.
Incompatible (S.I): 0 soluciones
Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción (suma y resta).
Método de solución de un sistema 2 x 2, por suma y resta.
Resolver un sistema simultáneamente, de dos ecuaciones con dos incógnitas, empleando el método de
solución de suma y resta.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Igualar los coeficientes y lograr signos contrarios de una misma incógnita en ambas ecuaciones, para ello se
multiplica la ecuación (todos los términos en los dos miembros) por números tales que generen lo antes
mencionado y que sean los menores posibles.
Se reducen las dos ecuaciones (considerando los términos semejantes y la regla de los signos para suma y
resta.
Se ordenan los términos despejando la incógnita con la cual se obtiene el valor que contiene.
Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y se resuelve, obteniendo así el valor de la
otra incógnita.
Ejemplo
3x – 2y = 12 (1)
4x + 5y = -7 (2)
Solución:
Se elige eliminar la “y” (conviene por tener signos contrarios)
Multiplica la ecuación (1) por 5, y la ecuación (2) por 2.
(5) (3x – 2y = 12)
15x – 10y = 60
(2) (4x + 5y = -7)
8x + 10y = -14
Simplificamos las ecuaciones
15x – 10y = 60
8x + 10y = -14
Con lo cual desaparecen los
23x = 46
Términos en “y”
X = 46/23
X=2
Se sustituye el valor de la “x” en cualquiera de las dos ecuaciones originales y se obtiene el valor de la “Y”
Lo sustituiremos en la ecuación (1)
3 (2) – 2y = 12
Y = 6/-2
6 – 2y = 12
y = -3
-2y = 12 – 6
- 2y = 6
por lo tanto x=2; Y= -3
Para la comprobación:
Se sustituyen ambos resultados en cualquiera de las dos ecuaciones principales.
Sustituiremos en la ecuación 1; 3(2) – 2(-3) = 12
Simplifiquemos
6 - (-6) = 12
6 + 6 = 12
12 = 12
Ejemplo
Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:
3x + 2y = 7
4x – 3y = 15
(1)
(2)
12
Matemáticas II
Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por (-3)
(4) (3x + 2y = 7)
(-3) 4x – 3y = 15)
12x + 8y = 28
-12x + 9y = -45
Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones:
12x + 8y = 28
-12x + 9y = -45
17y = -17
Y = -17/17
Y = -1
Sustituimos el valor y = -1 en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la primera:
3x + 2y = 7
3x + 2(-1) = 7
3x + (-2) = 7
3x – 2 = 7
3x = 7 + 2
3x = 9
X = 9/3
X=3
Sustituimos en la ecuación (1) el valor de la “x”
3(3) + 2y = 7
9 + 2y = 7
2y = 7 – 9
2y = -2
Y= -2/2
Y= -1
Así, la solución del sistema es: x = 3;
y= -1
Actividad 1.3
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, usando el método de suma y resta:
4x + 3y = 7
-5x + 2y = -3
12x − 13y = 9
−4x + 17y = 35
x+y=2
2x - y = 1
3x - y = 0
2x + y = 5
Resolver el siguiente problema por equipos
Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200 ¿Cuántas pulseras y
cuántas libretas deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta, si el costo en materiales de cada pulsera es
de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? ¿Cuánto dinero ganarán con esta venta?
Para resolver puedes seguir estos pasos:
a) Identifica las incógnitas.
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
x = _____________________
y = _____________________
b) Plantea una ecuación con el número de artículos.
__________________= 65
c) Plantea la 2a ecuación con los precios de los artículos.
________ x + ________ y = ________
d) Resuelve el sistema de 2 ecuaciones y completa.
x = ___________ y = ______________
e) Responde al problema:
Deben fabricar __________ pulseras y ___________ libretas.
Por la venta obtienen $ __________________.
Costo de materiales $ ___________________.
Ganancia $ ___________________________.
Si fabrican 20 pulseras y 30 libretas. ¿A qué precio deben vender cada uno para obtener $ 85.000 con la
venta y quieren que cada libreta valga $ 500 más que cada pulsera?
Para resolver el problema puedes seguir estos pasos:
a) Identifica las incógnitas:
x = __________ y = ______________
b) Plantea una ecuación con los precios de venta y el dinero que obtendrán:
_____ x + _____ y = $ 85.000
c) Plantea la 2º ecuación considerando la relación entre los precios de cada artículo:
x = _______ + _________
Bien x - _______ = _________
d) Resuelve el sistema y completa:
x = _________ y = ___________
Respuesta:
Deben vender cada pulsera a $ _________ y cada libreta a $ _______________
14
Matemáticas II
Método de sustitución
El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Así, la
ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita.
Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.
Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:
3x + 2y = 7
4x – 3y = 15
(1)
(2)
Despejamos la
en la primera ecuación:
3x = 7 – 2y
X = 7 – 2y
3
Sustituimos esta expresión de la
4(7- 2y) – 3y = 15
3
en la segunda ecuación:
4 (7 – 2y) = 15 + 3y
3
4(7-2y) = 3(15 + 3y)
Resolvemos la ecuación resultante:
28 – 8y = 45 + 9y
-8y – 9y = 45 – 28
-17y = 17
Y = 17/-17
Y = -1
Sustituimos el valor de la “y” en una de las dos ecuaciones y obtendremos el valor de la “x”:
3x + 2(-1) = 7
3x + (-2) =7
3x -2 = 7
3x=7 +2
3x=9
X=9/3
X=3
Así, la solución del sistema es:
X=3; y=-1
Actividad 1.4
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, usando el método de Sustitución:
2x + 5y = 1
6x + 7y = 3
4x - y = 6
3x + y = 1
x + 4y = 5
3x – 4y = -17
7x − 3y = 27
5x − 6y = 0
15
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones
resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita.
Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:
5x + 12y = 6
3x + 2y = 2
Solución:
Despejamos la
en cada una de las dos ecuaciones:
Igualamos estas dos expresiones:
6 – 12 y =
5
2 – 2y
3
Resolvemos la ecuación:
3(6 – 12y) = 5(2 – 2y)
18 – 36y = 10 – 10y
-36y + 10y = 10 - 18
-26y = -8
Y = - 8 / -26
Y = 4/13
Sustituimos el valor y = 4/13 en cualquiera de las expresiones del primer paso, por ejemplo
En x = 2 – 2y
3
X = 2 – 2(4/13)
3
X = 2 – 8/13
3
X = 18/13
3
X = 6/13
16
Matemáticas II
Así, la solución del sistema es: x = 6/13; y= 4/13
Actividad 1.5
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, usando el método de igualación:
7x − 3y = 15
5x + 6y = 27
3x − 4y = 11
5x − 3y = 33
7x + 2y = 42
3x − 2y = 1
3x + 4y = 3
4x + 7y = 9
Método por determinante
Valor de un determinante 2 x 2
a b
ªa b º
es
»
c d
¬c d ¼
Si a, b, .c y d son números, el determinante de la matriz «
ad bc
El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los números
de la diagonal principal.
a b
c d
Menos el producto de los números de la otra diagonal
a b
c d
PROCEDIMIENTO
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:
ax + by = r
Para resolver el sistema
donde X y Y son las incógnitas y a, b, c, d, r. s, son
cx + dy = s
Números reales.
a b
1.
Consideremos el arreglo
que consta de los coeficientes de las variables
c d
2.
Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se
encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los
números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El numero
17
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
obtenido se llama determinante del arreglo, aunque parezca complicado, es fácil de
recordar si usamos símbolos
a
b
Determinate
a
b
c
d
=
c
= ad - bc
d
Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas
que aparecen en el diagrama, asignado a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un
signo negativo y sumando los resultados obtenidos.
a
b
a
b
=
c
d
3.
c
d
Con la notación observamos que la solución del sistema es
r
s
b
d
a
c
b
d
X=
a
c
r
s
y=
a b
c d
Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando
el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador
consideremos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna
de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.
Ejemplo 1
­5 x 6 y
¯2 x 3 y
Resuelve el sistema ®
10
1
utilizando los determinantes.
SOLUCIÓN Calculamos primero el determinante del sistema.
5 6
2 3
53 26 15 12 3
Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante
del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante del
sistema
18
Matemáticas II
x
10 6
1 3
3
103 16
3
30 6
3
24
3
8
Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del
sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante del
sistema.
y
5 10
2
1
3
5 1 2 10
3
5 20
3
15
3
COMPROBACIÓN Sustituimos los valores x = -8 y
5
y = 5 en las ecuaciones
Primera ecuación:
5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10
Segunda ecuación
2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1
Actividad 1.6
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, usando el método por determinantes:
2x + 5y = 1
6x + 7y = 3
7x + 3y = 10
3x − 7 = 2
8x − 15y = −30
2x + 3y = 15
7x − 3y = 27
5x − 6y = 0
MÉTODO GRÁFICO
Se trata en el método gráfico de dibujar las rectas que son la representación gráfica de las dos ecuaciones lineales. De
esta manera, las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, son las soluciones (x e y) del sistema.
“La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables en el registro de las escrituras algebraicas
corresponde a una intersección de rectas en el registro de los gráficos cartesianos. El hecho de que lo que se mantiene
constante mediante la resolución del sistema por transformación en un sistema equivalente es la intersección y no las
rectas que representan las ecuaciones originales suele plantear problemas serios en la enseñanza” (Panizza M. &
Drouhard J-Ph, 2003).
Para este método se requiere hacer lo siguiente procedimiento:
Resolver un problema por medio de un sistema de ecuaciones, método de solución grafico.
Una señora compra10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate y paga $62.00. Otra señora compra 3 kilos de huevo y 5 kilos
de jitomate y paga $30.00. ¿Cuánto cuesta 1 kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta 1 kilo de huevo?
Traduzcamos este problema que se encuentra en lenguaje común a lenguaje algebraico; quedándonos de la
siguiente manera: 10x + 4y = 62 3x + 5y = 30
19
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Donde: x = huevo y = jitomate NOTA: Este problema lo vamos a ocupar en todos los métodos, pero solo en su traducción
algebraica. 2. Elegimos el método de los propuestos, para resolver este problema. Comenzaremos con el siguiente
método:
MÉTODO GRÁFICO PASO 1: En ambas ecuaciones, despejamos la variable dependiente, “y”. Así pues: Empezaremos a
despejar el término independiente, “pasándolo” al otro lado de la igualdad.
4Y= 62 – 10x
5 Y = 30- 3x
Retomando lo anterior, proseguimos:
Introducimos su inverso al 4 y eliminamos. Así queda despejada la primera ecuación, que nos
servirá para nuestros pasos siguientes. Ahora despejemos la otra ecuación.
Y = 62 – 10x
4
Introducimos su operación inversa al 5 y eliminamos. Introducimos su inverso al 3x, que es -3x y
eliminamos. Así, ya tenemos despejadas ambas ecuaciones que, nos servirán para el próximo
paso.
Y = 30 – 3x
5
PASO 2:
Ya una vez teniendo despejadas las ecuaciones, TABULAMOS. Le damos valores a “x” (digamos de
-3 a + 3). Empezamos a sustituir y hacer las operaciones de la ecuación correspondientes.
ACTIVIDAD 1.7
En equipo completen las dos tablas, y grafiquen los pares que formaron en ambas tablas.
(Para esto utilizamos un plano cartesiano), quedándonos de la siguiente manera: Se unen los
puntos Ubica de la ecuación 1 con una recta al igual que las parejas de la ecuación 2. Cuando no
se unen las rectas; entonces se alargan las rectas hasta que logren cruzarse ambas (extrapolamos).
Cuando se unen, llegamos al resultado.
X
Y
-3 -2
23
-1 0
18
1 2
13
3
5
Y = 62 – 10(-3) = 92/4 = 23
Y= 62 – 10(-1) = 72/4 = 18
Y = 62 – 10(1) = 52/4 =13
X
Y
-3 -2
7.8
-1 0
6.6
1
5.4
2
3
5
30 – 3(-3) = 39/5 = 7.8
30 – 3(-1) = 33/5 = 6.6
30 – 3(1) = 27/5 = 5.4
20
Matemáticas II
(-3,23)
(-3,7.8)
-4
-3
-2
23
22
21
20
19
(-1,18)
17
16
15
14
13 (1,13)
12
11
10
9
8
(-1,6.6)
6 (1, 5.4)
5
4
3
2
1
-1
1
(5,3)
2
3
4
5
PASO 4:
Nos resta COMPROBAR nuestro resultado: (5,3) Hay que recordar que, un punto en el plano
cartesiano está dado por: P (x, y) Por tanto, de acuerdo con lo anterior tenemos: x=5 y=3
Para comprobar, vamos a tomar la ecuación 2 y verifiquemos: 3x + 5y = 30 3(5) + 5(3) = 30 ¡EUREKA! ¡ESTAMOS 15 + 15
= 30 BIEN! ¡Y POR FIN TERMINAMOS! 30 = 30
ACTIVIDAD 1.8
Resolver en equipo por método grafico y por determinantes los siguientes sistemas de ecuaciones
7x − 3y = 15
5x + 6y = 20
3x − 4y = 10
5x − 3y = 15
7x + 2y = 4
3x − 2y = 1
3x + 4y = 12
4x + 7y = 6
21
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Actividad 1.9
Resolver los siguientes problemas en equipo, por cualquier método de solución
Calcula dos números que su suma sea 191 y su diferencia sea 67
Una empresa aceitera ha embasado 3 000 litros de aceite en 1 200 botellas de 2 y de 5 litros. ¿Cuántas botellas de cada
clase se han utilizado?
En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
Tengo $1.85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total poseo 22 monedas, ¿cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5
centavos?
El doble de un número, aumentado en 10, da 32. ¿Cuál es el número?
El costo de entrada a un espectáculo varía de hombre a mujer en razón 3 a 5. Asistieron 87 hombres y 36 mujeres, y se
recaudaron $2987.00. ¿Cuánto cuesta la entrada para hombres, y cuánto para mujeres?
Hallar las edades de dos personas sabiendo que la suma de las mismas es, actualmente, 50 años y que la razón entre las
mismas era, hace 5 años, igual a 1/3. (Respuesta: 15 años y 35 años)
Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que si se aumenta 3 cm a la altura y se disminuye 2 cm a la base, su
área no aumenta ni disminuye, siendo además la altura 2 cm mayor que la base.(Resp.: base = 10 cm; altura = 12 cm )
Si el largo de un rectángulo fuese 9 cm más corto y el ancho fuese 6 cm más largo, la figura sería un cuadrado con la
2
misma área que el rectángulo. ¿Cuál sería el área del cuadrado? (Resp.: 324 cm )
Una fábrica de agua lavandina ofrece dos tipos de producto. Uno de ellos (lavandina A) contiene 12% de materia activa,
y el otro (lavandina B) 20% de materia activa. ¿Cuántos litros de cada uno deben utilizarse para producir 100 litros de
agua lavandina con 15% de materia activa? (Resp.: 62,5 litros de lavandina A y 37,5 litros de lavandina B)
Si Juan le da a Pedro $1, ambos tienen lo mismo, y si Pedro le da a Juan $1, Juan tendrá el triple de lo de Pedro. ¿Cuánto
tiene cada uno?
Miguel gasto $336 comprando manzanas y peras. Cada quilo de manzanas costo $12 y cada kilo de peras costo $18. Si el
peso de las manzanas compradas fue el doble que el peso de las peras, ¿Cuántos kilos compro de cada tipo de fruta?
5 lápices y 3 gomas cuestan $ 1.700, 8 lápices y 9 gomas valen $ 3.350 ¿Cuánto valen 3 lápices?
SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 X 3
Método de Gauss
La eliminación de Gauss-Jordán, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente
a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante
transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al
coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero
ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno
escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la
tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular
el valor de las tres incógnitas.
22
Matemáticas II
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de
las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz
equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación
y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el
caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra
matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y
verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
x
d1 = x
x
d2 = y
x
d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por
medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
x
Sea el sistema de ecuaciones:
23
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
x
Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:
x
Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en
su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:
x
Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz
identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.
x
Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el
opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que
será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila
y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto
de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna
de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y
se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.
24
Matemáticas II
x
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es
decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo
inverso es -2/13
Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador,
entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es
un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.
x
Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos
el opuesto del numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso
-17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y
sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 3ª fila.
x
A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la matriz
identidad.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien,
aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por
el inverso del numero que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será
13/96.
25
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
x
Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el
opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos
operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 3ª fila
y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a - 11/13
(opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le
corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de
los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila.
x
El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto
buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando,
en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los
elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 1ª fila.
x
x= 1
x
Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta columna
hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:
y= -1
z= 2
Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.
2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4
1 = 1 -3 = -3 4= 4
26
Matemáticas II
Conclusión
Para finalizar este trabajo es importante destacar algunas observaciones importantes; por empezar
encontré dificultosa la realización de este trabajo puesto que se trababa del desarrollo de un tema
que nunca antes tuve la oportunidad de conocer y mucho menos de ejercitar, pero su
comprensión se vio facilitada por conocimientos previos relacionados a matrices y ecuaciones.
También vale la pena destacar la importancia del conocimiento de este tema para la formación de un
Ing. Agrónomo puesto que pueden solucionarse problemas de muchas variables y hay muchísimas
situaciones que se nos presentaran y podremos aplicar este conocimiento.
Actividad
Pongamos un ejemplo del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en
20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y
resolver el sistema de ecuaciones.
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:
X + Y + Z = 30
Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:
X + 3X = 2Z + 20
También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:
X + Y = 2Z
Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:
Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:
En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer mas operaciones. Por lo tanto
obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:
-3z = -30
z = -30/-3
z= 10
Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:
Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.
27
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:
Regla de Cramer
Artículo principal: Regla de Cramer
La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos
dada por:
Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j - ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos
ecuaciones y dos incógnitas:
La regla de Cramer da la siguiente solución:
Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.
28
Matemáticas II
Actividad 1.10
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en equipos
X + 2y + 3z = 2
2x – 3y + z = 1
3x – y + 2z = 9
x+y+z=4
x – 2y + 3z = 13
x+ 3y + 4z = 11
Sol. (6, 6, 6)
1.
3.
sol. (3, 6, 9)
2.
4.
Problemas modelos
1. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de
Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución
1º. Comprender el problema.
Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos
x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.
Ordenamos los elementos del problema:
La madre
La hija
Hoy
x
y
dentro de 8 años
x+8
y+8
2º. Concebir un plan.
Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:
x = 27 + y x + 8 = 2(y +8)
Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de
sustitución.
3º Ejecutar el plan. x = 27 + y
Entonces: 27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 4º Examinar la solución obtenida.
La solución obtenida es factible por ser entera. El método empleado se puede usar en problemas
“similares”.
Nota. En los demás problemas el alumno indicará las cuatro fases.
2. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres,
mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número
29
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres.
¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión?
Solución. Sean:
hombres
mujeres
niños
x
y
z
Luego:
x + y + z = 20
x + y = 3z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
x = y + 1 Se resuelve por reducción:
Restamos a la 1º ecuación la 2ª
z =20x +y =15 que junto con la 3ª forman un sistema de dos ecuaciones:
x –y =1
Otra forma
Utilizando el método de Gauss.
El sistema que resulta es:
x + y + z = 20
-2 y + 3z = 1
z=5
Sustituyendo en la 2º ecuación
2y = 3zSustituyendo los valores hallados en la 1ª ecuación:
x = 20 –y –z = 20-7-5=8
El consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres sándwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y
2 peniques, mientras que un vaso de limonada, cuatro sándwiches y diez bizcochos vale 1 chelín y 5
peniques. Hallar cuál es el precio:
1º) De un vaso de limonada, un sándwich y un bizcocho.
2º) De dos vasos de limonada, tres sándwiches y cinco bizcochos.
Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12 peniques.
Solución
Es un problema con tres incógnitas y sólo dos condiciones, luego los valores de las incógnitas no se podrán
determinar.
Llamamos: x al precio de un vaso de limonada, y al de un sándwich y z al de un bizcocho.
Entonces: x + 3y + 7z = 14 (peniques)
x + 4y + 10z = 17
Resuélvelo por el método de gauss.
30
Matemáticas II
En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, cadetes y
juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de
cadetes y por otra, coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de atletas que
hay en cada categoría.
Solución
Llamamos: x al número de atletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z al número de atletas juveniles
Se verifica
x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, y =6
Nota. También lo podríamos resolver aplicando el método de Gauss
Se trata de conseguir una matriz escalonada de más fácil resolución...
En cierta heladería por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran 34 un día. Otro día por
4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran 44 €, y un tercer día te piden 26 € por una horchata y 4 batidos.
¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te ha presentado una cuenta incorrecta?
Solución
Planteamiento:
Llamamos x al precio de la copa de la casa
y al precio de la horchata
z al precio del batido
Se tiene:
x +2y+ 4z=34
4x+ 4y =44, simplificando x + y = 11 (1)
y +4z=26
Si restamos las ecuaciones 1ª y 3ª se tiene:
x +y = 8 por lo que el sistema es incompatible
DESIGUALDADES LINEALES
Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar
o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.
El conjunto solución lo escribimos así: S =]- ∞, -13/7]
31
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
El conjunto solución lo escribimos así: S =]- ∞, 3/8[
El conjunto solución lo escribimos así: S =] 30/17, + ∞ [
Sistema de desigualdades lineales con una incógnita
Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones
lineales de la forma:
a1 x c1 > 0
a2 x c2 < 0
an x cn ≥ 0
O cualquier otro signo de desigualdad, donde a1, a2, ‫ڮ‬, an son coeficientes reales y c1, c2,‫ڮ‬, cn son
términos independientes.
La solución de un sistema de este tipo es un conjunto de números reales x que satisfagan simultáneamente
todas y cada una de las desigualdades. La solución, en caso de existir, suele expresarse en forma de intervalo
y se debe tener cuidado en expresar correctamente si es abierto o cerrado según el signo de desigualdad
utilizado.
Particularmente, un sistema de dos inecuaciones lineales con incógnita x, es de la forma:
a1 x c1 > 0
a2 x c2 < 0
O cualquier otro signo de desigualdad. Resolver un sistema de este tipo es encontrar el intervalo de
números reales x que satisface ambas inecuaciones, si existe.
Ejemplos 1.
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.
5x - 4 > 12 – 3x
7x + 9 > 34 + 2x
Solución.
32
Matemáticas II
De la primera inecuación:
5x + 3x > 12 + 4
8x > 16
x > 16/8
x>2
De la segunda inecuación:
7x
2x
34 9
5xx
5
25
2
5
x
x
El conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la
flecha, por lo tanto es x > 5
X>5
X>2
0
1
2
3
4
5
6
7
X>5
Ejemplo 2
11x - 23 < -3 + 6x
-5x + 4 > -8- x
Solución.
De la primera inecuación:
11x 6x
3 23
5x
20
x
x
De la segunda inecuación:
-5x + 4 > - 8 - x
-5x + x > -8 – 4
-4x > -12
x < -12/-4
x<3
El conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la
flecha, por lo tanto es x 3
X<4
X<3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
33
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
-9x + 4 + 8x < 7 + 2x
-3x – 6 < 10 - 9x + 2
Solución.
De la primera inecuación:
-9x + 8x - 2x < 7 – 4
- 3x < 3
x > 3/-3
x > -1
De la segunda inecuación:
3x
9x 10
2
6
6xx
18
x
x
El conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la
flecha, por lo tanto es 1 x 3
X<3
X > -1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 < x < 3
EJERCICIOS:
Resolver las siguientes desigualdades:
1) 4 + 9x > –2 + 7x
2) 5 – 3x < 13 + 3x
34
Matemáticas II
SISTEMAS DE DESIGUALDADES
SISTEMAS DE DOS INECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS
DESIGUALDAD LINEAL EN DOS VARIABLES
Estudiaremos ahora desigualdades lineales de la forma
Ax + by<c
Donde a #O =f b y a, b, y c son números reales.
usando\ los teoremas sobre desigualdades, podemos escribir b y < c - a x
O para b > O Mientras que para b < O
Un sistema de dos inecuaciones lineales con incógnitas x y y, es de la forma:
a11 x + a12 y > b1
a21 x + a22 y < b2
O cualquier otro signo de desigualdad, donde a11, a12, a21, a22 son coeficientes reales y b1, b2 son términos
independientes. En cada una de las inecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es
diferente de cero.
Resolver un sistema de este tipo es obtener el semiplano solución de las dos desigualdades e identificar su
intersección.
Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el hiperplano solución de cada una de las
inecuaciones que lo forman y determinar la intersección de todos ellos.
La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto convexo.
Se llama conjunto convexo a una región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la misma, el
segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos particulares, un conjunto
convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, a un punto o al conjunto
vacío.
Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de ellos,
vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de inecuaciones se
denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o
vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no acotado según su área sea o no
finita.
Ejemplo 1
Resolver el sistema de desigualdades
Y < 3X + 2
Y < -3X + 2
3X +2
X
-3
-2
-1
0
1
2
Y
-7
-4
-1
2
5
8
-1
0
1
2
X
-3
-2
35
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Y
11
8
5
2
-1
-4
-3X + 2
Ninguna es
verdadera en
esta región
8
7
Esta
es
verdadera en
esta región
y < -3x + 2
6
5
4
Esta
es
verdadera
en
esta
región
y < 3x + 2
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
Ambas son verdaderas en
esta región y < 3x + 2
-5
Y < -3 + 2
-6
-7
Ejemplos 2
Resolver los siguientes sistemas de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas.
La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.
36
Matemáticas II
Primero: Representamos la región solución de la primera inecuación.
Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que o b t e n e m o s d o s p u n t o s .
x=0
(2 · 0) + y = 3
y = 3 por lo tanto las coordenadas serán (0, 3)
x=1
(2 · 1) + y = 3
y = 1 por lo tanto las coordenadas serán (1, 1)
Al representar y unir estos puntos o b t e n e m o s u n a r e c t a .
T o m a m o s u n p u n t o , por ejemplo el (0, 0), los s u s t i t u i m o s e n l a d e s i g u a l d a d . S i s e c u m p l e ,
la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el
otro semiplano.
2x + y ≤ 3
(2 · 0) + 0 ≤ 3
0 ≤ 3 Sí
Segundo:
Representamos la región solución de la segunda inecuación.
x+y=1
x=0
(0 + Y) = 1
37
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
y=1
(0, 1)
x=1
1+y=1
y = 1 -1
y=0
(1, 0)
x + y ≥ 1
0 + 0 ≥ 1 No
Tercero La solución es la intersección de las regiones soluciones.
Gráfica de Sistemas de desigualdades lineales
El conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales en los dos variables x y y es el conjunto de
todos los puntos (x, y) que satisfacen cada desigualdad del sistema. La solución gráfica de tal sistema se
puede obtener graficando el conjunto solución para cada desigualdad de manera independiente y
determinando a continuación la región común de los diversos conjuntos solución.
Determinar el Conjunto solución del sistema 4x+ 3y > 12 x – y < 0
Solución: Al proceder como en los ejemplos anteriores, no tendríamos la dificultad en localizar los
semiplanos determinados por cada uno de las desigualdades lineales que forman el sistema. Estos
semiplanos aparecen en la figura. La intersección de los dos semiplanos es la región sombreada. Un punto
de esta región es un elemento del conjunto solución del sistema dado. El punto P, la intersección de las dos
líneas rectas determinadas por las ecuaciones, se encuentra resolviendo las ecuaciones simultáneas.
4x+ 3y = 12
x–y=0
38
35
Matemáticas II
Trazar el conjunto solución del sistema
x+y–6<0
2x+ y –8 < 0
Y>0x>0
Solución: La tercera desigualdad del sistema define el semiplano derecho (todos los puntos a la derecha del
eje y, más todos los puntos que están sobre el propio eje y). La cuarta desigualdad del sistema define el
semiplano superior, incluyendo el eje x. Los semiplanos definidos por la primera y segundad desigualdad
aparecen indicados mediante flechas en la figura. Así la región requerida, la intersección de los cuatros
semiplanos definidos mediante las cuatros desigualdades en el sistema dado de desigualdades lineales, es la
región sombreada. El punto P se determina resolviendo las ecuaciones simultáneas x + y – 6 =0 y 2x+ y –8
=0.
Resolver los sistemas de inecuaciones siguientes, dibujando la solución.
Y= ≤ x + 3
2y ≤ -x + 10
-y ≥ -2
2x + y ≤ 8
1≤y≥3
2≤x
2x + 5y ≥ 10
5x + 3y ≤ 15
39
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Unidad 2
Ecuaciones cuadráticas
Presentación
El tema de esta unidad es el enlace para llegar a los planteamientos más generales de la teoría de
ecuaciones algebraicas, permite desarrollar las operaciones de potenciación y radicación, y se
introduce la discusión sobre la naturaleza y significado de los números, pues de las soluciones de
las ecuaciones cuadráticas surgen números irracionales y complejos. Otro aspecto importante es
que se incrementa el campo de problemas donde podemos aplicar el álgebra; por ejemplo, en
Matemáticas III y IV, así como las materias de Física.
Objetivos
¾ Plantear ecuaciones cuadráticas a partir de un enunciado en prosa.
¾ Resolver ecuaciones cuadráticas.
¾ Interpretar los conjuntos solución de ecuaciones y desigualdades cuadráticas en la recta
numérica, con la ayuda del plano cartesiano.
¾ Resolver desigualdades cuadráticas.
Contenidos temáticos
9
9
9
9
Aritmética de radicales.
Productos notables y factorización.
Métodos de solución para las ecuaciones de segundo grado:
Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto, fórmula general, relación entre el
discriminante y el número de soluciones.
9 Interpretación geométrica de las soluciones.
9 Desigualdades de segundo grado.
Aritmética de radicales
TORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES
TEORÍA DE RADICALES
n
√a
Signo del radical
INDICE Cantidad su radical
RADICANDO
a
1/n
n
= √a
1
40
Matemáticas II
LEYES
a
m/n
n
= √a
m
(a b) m/n = n √abm = n√ambm
EJERCICIOS
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:
EXTRACCIONES DE FACTORES DE UN RADICAL
Si el radicando contiene uno o más factores que sean potencias de exponente igual al índice del radical,
estos factores pueden extraerse del radical (como factores) las bases de dichas potencias.
SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES RADICALES
POR EXTRACCIÓN DE FACTORES
ACTIVIDAD 2.1
41
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Simplificar los siguientes radicales
Extraer factores:
Introducir factores:
Poner a común índice:
Productos notables y factorización
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas
fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una
diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a + b con un término c se
obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en
la figura. El área del rectángulo es
(El producto de la base por la altura), que también
puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca)
y (cb).
Ejemplo
Actividad 2.2
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por factor común.
2
2
2
3 2
3 3
5xy - 15y =
24a b - 12a b =
xy - y w =
2
3
4 5
3 2
2 6
4xy - 8xy - 12xy =
16a b - 20a b - 24a b =
a+2
a+3
a
x - 3x - 5x =
2a b
a + 1 b+1
a 2b
x(a + 7) - 5(a + 7) =
36x y - 24x y + 12x y =
42
Matemáticas II
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo
por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término
con el doble del producto de ellos. Es decir:
Un trinomio de la forma:
, se conoce
como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se
obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo
positivo.
Ejemplo
Simplificando:
Actividad 2.3
Elevar los siguientes binomios al cuadrado
a) (x + 3)2 =
b) (x – 3)2 =
c) (2a + b)2 =
d) (3a – 5b)2 =
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un
término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un
término común, se suma el cuadrado del término
común con el producto el término común por la suma
de los otros, y al resultado se añade el producto de los
términos diferentes.
Ejemplo
43
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Agrupando términos:
Luego:
Producto de dos binomios conjugados
Véase también: Conjugado (matemática)
Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados son aquellos que
sólo se diferencien en el signo de la operación.
Para multiplicar binomios conjugados, basta
elevar los monomios al cuadrado y restarlos,
obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia
FACTOR COMUN MONOMIO:
Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio:
Ejemplos
¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z)
2
¿Cuál es el factor común monomio en: 5a - 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y
entre los factores literales es a, por lo tanto
2
5a - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)
2
2
2 2
¿Cuál es el factor común en 6x y - 30xy + 12x y
El factor común es “6xy “porque
2
2
2 2
6x y - 30xy + 12x y = 6xy(x - 5y + 2xy)
ACTIVIDAD 2.4
Realiza tú los siguientes ejercicios:
44
Matemáticas II
Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
6x - 12 =
24a - 12ab =
2
14m n + 7mn =
3
2
8a - 6a =
4 3
b -b =
14a - 21b + 35 =
20x - 12xy + 4xz =
2
2
10x y - 15xy + 25xy =
2
3
4
2x + 6x + 8x - 12x =
3 2 4
4 3 5
6 4 4
2 4 3
m n p +m n p -m n p +m n p =
4x - 8y =
2
10x - 15x =
2
4m -20 am =
ax + bx + cx =
3
4a bx - 4bx =
3ab + 6ac - 9ad =
4
3
2
6x - 30x + 2x =
2
3 2
4 3
12m n + 24m n - 36m n =
2 3
3 2
4 3
5 4
10p q + 14p q - 18p q - 16p q =
3 2
8
x y
xy 2
4
9
1 2 3
1
1
1 4 2
a b a 3b 4 a 2b5 a b
2
4
8
16
4
12
8
16 3
a 2b ab a 2b 3 a b
35
5
15
25
FACTOR COMUN POLINOMIO:
Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión:
EJEMPLO Nq 1.
Factoriza
Existe un factor común que es (a + b)
x(a + b) + y(a + b) =
= x(a + b) + y(a + b) =
= (a + b) (x + y)
EJEMPLO Nq 2.
Factoriza
2a (m - 2n) - b (m - 2n) =
= 2a (m - 2n) - b (m - 2n)
= (m - 2n) (2a - b)
Actividad 2.5
a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
2
2
x (p+q)+y (p+q)=
( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
(a( a + b ) - b ( a + b ) =
m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
2
2
( a + 1 ) - b (a + 1 ) =
a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
(2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b) + q(a + b)
45
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Se saca factor común polinomio
(a + b) (p + q)
ACTIVIDAD 2.5
EJERCICIOS:
2
a + ab + ax + bx =
ab - 2a - 5b + 10 =
am - bm + an - bn =
2
3x - 3bx + xy - by =
2
2
3a - b + 2b x - 6ax =
2
ac - a - bc + b + c - c =
2
6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c - 10cd =
ax - ay - bx + by - cx + cy =
3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
ab + 3a + 2b + 6 =
2ab + 2a - b - 1 =
3
2
3x - 9ax - x + 3a =
6ab + 4a - 15b - 10 =
3
2
a +a +a+1=
15 2 21
10
143
x xz xy yz 5x 7 z
4
4
3
3
2
8
4
16
am am bm bn
3
3
5
5
2
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x + bx + c
2
El trinomio de la forma x + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el
siguiente proceso:
EJEMPLO
Descomponer
2
x + 6x + 5
1q Hallar dos factores que den el primer término
x ·x
2q Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
1 · 5 ó -1 ·-5
Pero la suma debe ser +6 luego serán
(x + 1) (x + 5)
EJEMPLO
2
Factorizar x + 4xy - 12y
2
2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x :
x ·x
2
2º Hallar los divisores de 12y , estos pueden ser: 6y · -2y
ó -6y · 2y
Ó 4y · -3y
Ó 12y · -y
Pero la suma debe ser +4, luego servirán
6y y -2y, es decir
2
2
x + 4xy - 12y = ( x + 6y )( x - 2y )
ACTIVIDAD 2.6
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:
46
ó -4y · 3y
ó -12y · y
Matemáticas II
2
2
x + 4x + 3 =
2
b + 8b + 15 =
2
r - 12r + 27 =
2
h - 27h + 50 =
2
2
x + 14xy + 24y =
2
x + 5x + 4 =
a + 7a + 10 =
2
x -x-2=
2
s - 14s + 33 =
2
y - 3y - 4 =
2
m + 19m + 48 =
2
x - 12x + 35 =
2
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c
EJEMPLO
2
Factoriza 2x - 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores
2º Se buscan los divisores del tercer término
2x · x
5 ·1
ó
-5 · -1
3º Parcialmente la factorización sería
(2x + 5) (x + 1)
2
Pero no sirve pues da:
2x + 7x + 5
Se reemplaza por
(2x - 1) (x - 5)
2
Y en este caso nos da:
2x - 11x + 5
ACTIVIDAD 2.7
2
2
5x + 11x + 2 =
2
4x + 7x + 3 =
2
5 + 7b + 2b =
2
2
5c + 11cd + 2d =
2
6x + 7x - 5 =
2
3m - 7m - 20 =
2
2
5x + 3xy - 2y =
2
6a - 5a - 21 =
2
2a - 13a + 15 =
FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
EJEMPLO:
Factorizar
2
3a + 10ab + 7b =
2
4h + 5h + 1 =
2
7x - 15x + 2 =
2
2x + 5x - 12 =
2
2
6a + 23ab - 4b =
2
8x - 14x + 3 =
2
7p + 13p - 2 =
2
2
2x - 17xy + 15y =
2
2
9x - 16y =
2
Para el primer término 9x se factoriza en 3x · 3x
2
Y el segundo término - 16y se factoriza en +4y · -4y
2
2
Luego la factorización de 9x - 16y = (3x + 4y) (3x - 4y)
47
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
ACTIVIDAD 2.8
2
2
2
9a - 25b =
2
4x - 1 =
2 2
36m n - 25 =
2
2
169m - 196 n =
16x - 100 =
2
2
9p - 40q =
2
2
49x - 64t =
2
2
121 x - 144 k =
9 2 49 2
a b
25
36
1 4 9 4
x y
25
16
3x - 12 =
2
8y - 18 =
3
45m n - 20mn =
5 - 180f =
2
2
3x - 75y =
5
3
2a - 162 a =
2
2
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Ejemplo:
Factorizar
2
9x - 30x + 25 =
2
1q Halla la raíz principal del primer término 9x : 3x · 3x
2q Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término
2
2
luego la factorización de 9x - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )
-5 · -5
ACTIVIDAD 2.9
2
2
b - 12b + 36 =
2
m - 2m + 1 =
2
2
16m - 40mn + 25n =
2
2
36x - 84xy + 49y =
2
1 + 6ª + 9a =
2 2
2
25a c + 20acd + 4d =
6 8
3 4 7
14
16x y - 8 x y z + z =
2
25x + 70xy + 49y =
2
x + 10x + 25 =
2
49x - 14x + 1 =
2
4a + 4a + 1 =
2
2
25m - 70 mn + 49n =
2
2 2
289a + 68abc + 4b c =
Métodos de solución para las ecuaciones de segundo grado
Definiciones.
2
La ecuación: ax + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, se llama ecuación cuadrática o
ecuación de segundo grado en la variable x.
Si b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa o afectada; incompleta, en caso contrario.
2
2
Así, las ecuaciones: 6x – 2x =10 y x – x – 15 = 0 son cuadráticas completas, mientras que las ecuaciones: x
2
– 10 = 0 y 2x + 3x = 0 son cuadráticas incompletas.
2
2
En la ecuación cuadrática: ax + bx + c = 0, la cantidad: b2 – 4ac es llamada discriminante de la ecuación y
su signo determina la naturaleza de las raíces, como lo afirma el siguiente teorema.
Teorema.
Considere la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0.
Si b2 – 4ac > 0, entonces, las raíces son reales y diferentes.
48
Matemáticas II
Si b2 – 4ac = 0, entonces, las raíces son reales e iguales.
Si b2 – 4ac < 0, entonces, las raíces son complejas conjugadas.
Solución de ecuaciones cuadráticas.
2
Para resolver la ecuación cuadrática, ax + bx + c = 0 puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Método 1. Solución por factorización.
Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de sus miembros es un
polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda
factorizarse, se procede así:
2
2
Si, ax + bx + c = (x + r1) (x + r2), entonces, la ecuación ax + bx + c = 0 es equivalente a: (x + r1) (x + r2)
La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los números reales: X.Y = 0
= 0.
Ejemplo:
Resolver (x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x+4=0
x = −4
49
X=0
Y
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Actividad 2.10
Resolver cada ecuación por el método de factorización:
Resolver los siguientes problemas:
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
x2 − Sx + P = 0
Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años.
Calcula la edad de Pedro.
Edad actual
x
Edad hace 13 años
x − 13
Edad dentro de 11 años
x + 11
Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las
dimensiones de la finca.
.
Semiperímetro
Base
Altura
55
x
55 − x
x · (55 − x) = 750
Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la
longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
50
Matemáticas II
.Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena
uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
Método 2.
Solución completado cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática.
2
Se supone que la ecuación: ax + bx + c =0, con a ≠ 0, es equivalente a la ecuación cuadrática:
(1)
Sumando
en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó
2
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si 4q + p ≥ 0),
se obtiene:
, de donde
(2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es
2
equivalente a la ecuación: ax + bx + c = 0
Por ejemplo, la ecuación
2
2
x + 8x = 48, que también puede escribirse x + 8x − 48 = 0
2
Al primer miembro de la ecuación (x + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un
binomio del tipo
2
(ax + b)
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
2
2
ax + 2axb + b
En nuestro ejemplo
2
x + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser
2
obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio (a +
2
2
2ab + b ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4 = 16) amplificamos ambos
miembros de la ecuación por 16, así tenemos
2
x + 8x + 16 = 48 + 16
2
x + 8x + 16 = 64
La cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
51
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Que es igual a
2
(x + 4) = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
x+4=8
x=8–4
x=4
Actividad 2.11
Encontrar la solución por el método de completando cuadrados
2
(x +6)(x-2)=0
3y + 6y – 9= 3y
a2 – 14ª = -45
Método 3 solución por la formula general
2
Usando el método de completando cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática: ax + bx
+ c = 0 con a ≠ 0 viene dada por:
(1).
Solución:
2
La ecuación: ax + bx + c = 0 con a ≠ 0, es equivalente a la ecuación:
Sumando
, en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:
O equivalentemente,
2
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (si b - 4ac > = 0), se obtiene:
52
Matemáticas II
De donde:
(2)
La fórmula (2) se conoce como: fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:
Ejemplo:
2
Resolver la ecuación 2x + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,
b=3 y
c = −5, así es que:
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el:
y también
Así es que las soluciones son.
Aquí debemos anotar algo muy importante:
En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión
2
cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b − 4ac) sea positivo o cero.
. Esa raíz
2
El radicando b – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas
también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.
Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones
que posee:
Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.
Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.
Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución
cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.
2
ax + bx + c = 0 con a ≠ 0.
Actividad 2.12
Resolver las siguientes ecuaciones por formula general
53
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
2
2
x + 3x – 2 = 0
2
9x + 6x + 10= 0
2X - 3X = 9
Interpretación Geométrica:
La interpretación geométrica de la ecuación de segundo grado se obtiene a partir de la gráfica de la función
2
2
y=ax +bx+c, que es una parábola; donde la solución de la ecuación ax +bx+c=0 son los puntos de dicha
gráfica cuando y=0, es decir, los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas, OX,
2
Es decir, las soluciones de la ecuación 2x +3x-2=0 son x1=-2 y x2=0.5
2
Y = axx + bx + c
Termino
cuadrático
a=2
para graficarla realizaremos una tabla de
Valores, dándole valores a la x
b=3
2
Ejemplo y= 2x + 3x -2
Termino
independiente
Termino
lineal
x
0
.5
1
2
-1
-2
-3
c= -2
y
-2
0
6
12
-3
0
7
Solución
de
la
ecuación, cuando la
parábola corta al eje de
las x
X
-2,0
.5, 0
Ejemplo para tabular la tabla:
Y
2
2(0) + 3(0) - 2
0 + 0 -2 = -2
Inecuación de segundo grado
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o mediante
transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes:
54
Matemáticas II
2
2
ax +bx+c>0;
2
ax +bx+c< 0;
ax +bx+c=0
2
ax +bx+c≠0
Con a, b y c reales y a≠0
Resolver la inecuación es encontrar el intervalo o intervalos de la recta real donde se verifica la desigualdad.
Para su estudio, vamos a distinguir tres casos según sea el discriminante:
1.
2
DISCRIMINANTE POSITIVO, D>0: cuando
b - 4ac > 0 la
2
ecuación ax +bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas, x1 y
x2, y podemos escribir:
2
ax +bx+c = a·(x-x1) ·(x-x2)
Bastará con estudiar el signo de los tres factores para saber el signo del trinomio.
2
2.
DISCRIMINANTE CERO, D=0: cuando b - 4ac
0 la ecuación
2
ax +bx+c=0 tiene una solución real doble, x1= x2, y podemos
2
2
escribir: ax2+bx+c=a·(x-x1) Como (x-x1) ³ 0, el trinomio tendrá
el signo del coeficiente a y será nulo para x = x1.
3.
DISCRIMINANTE NEGATIVO, D<0: cuando b - 4ac < 0 la
2
ecuación ax +bx+c=0 no tiene solución real (no hay puntos de
corte con el eje X). Por lo tanto, el signo del trinomio es el
mismo que el del coeficiente a.
2
2
x − 6x > -8
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
METODO “SISTEMA DE RECTA REAL”
PASOS:
1.
2.
3.
4.
Ordenar
Coeficiente principal debe ser cero (termino cuadrático)
Hallar los factores
Sistema de signos
Ordenar
Se iguala a cero la inecuación y queda:
2
x − 6x + 8 > 0
Raíces ceros soluciones
55
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Representar
Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en
cada intervalo:
Soluciones: números entre 2 y 4
2
P (0) = 0 − 6 · 0 + 8
8>0
2
P (3) = 3 − 6 · 3 + 8 = 17 – 18
No
-1
-1<0
2
P (5) = 5 − 6 · 5 + 8 = 33 – 30
S
Si
2>0
No
o
La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2)
(4, ∞)
AVTIVIDAD 2.13
Resolver las siguientes desigualdades de segundo grado
X2 + 2x +1 ≥ 0
2
x − 6x + 8 > 0
2
7x + 21x − 28 < 0
2
x + 2x +1 ≥ 0
2
x + x +1 > 0
2
−x + 4x − 7 < 0
Unidad 3
Funciones
Presentación
En esta Unidad, los ejercicios exigen un esfuerzo mayor de los alumnos en
el estricto trabajo matemático; las destrezas para la inducción y deducción
entran en juego para reconocer intuitivamente patrones de
comportamiento y traducirlos a fórmulas. Posteriormente, el trabajo se
56
Matemáticas II
simplifica al establecer el concepto de función y trabajando la graficación
de funciones. Esta Unidad es antecedente cognoscitivo para Matemáticas
IV, Taller de Estrategias para la Resolución de problemas e Introducción al
Cálculo.
Objetivos
¾ Conocer los conceptos que involucra la definición de función, y el papel de ésta en la
elaboración de modelos.
¾ Representar y analizar relaciones dadas por tablas, reglas verbales y gráficas.
¾ Conocer y hacer gráficas de funciones de distintos tipos, así como mostrar la variedad de
situaciones que pueden ser representadas por un solo tipo de función.
¾ Saber modificar la gráfica, si se modifican los parámetros de su expresión algebraica.
Contenidos temáticos
9
9
9
x
x
x
x
Análisis de tablas de variación.
Uso de fórmulas y despeje de sus términos.
Gráficas de funciones:
la recta como función lineal,
la parábola como función cuadrática,
la hipérbola como función y=1/x, y otras funciones racionales,
las funciones exponencial, logaritmo y trigonométricas.
Análisis de tablas de variación
Una función es una ley que relaciona dos magnitudes numéricas (llamadas variables) de forma unívoca, es
decir, que a cada valor de la primera magnitud (llamada variable independiente) le hace corresponder un
valor y sólo uno de la segunda magnitud llamada variable dependiente). Suele decirse que la segunda
magnitud es función de la primera." f: A → B f es una función de A en B, o f es una función que toma
elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codo minio B.
Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que
encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio.
El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el
eje de las Y
El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede
calcular la imagen f(x).
El
otro
conjunto
que
interviene
en
la
definición
es
el
conjunto
llamado
codominio
o
rango
de
la
función,
tambien
llamado
imagen
o
recorrido,
este conjunto son los valores que puede tomar la función; son todos los valores de las Y.
Una función consiste, entonces, en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro
del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo
menos un miembro del dominio.
Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x,
se dice que y es una función de x.
Ejemplo:
y = 7x + 1
57
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Para x=2, x=4, x=6;
y = 7(2) + 1 = 15
y = 7(4) + 1 = 29
y = 7(6) + 1 = 43
El dominio D es {2, 4, 6} y el rango R es {15, 29, 43}.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un
valor.
A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los
que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.
Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos
antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se
llama recorrido de la función.
Ahora otro ejemplo
Tomemos el conjunto de los naturales, como el conjunto A
y el Conjunto de los Reales como el conjunto B
y tomemos la función:
f(x)= 2x
Esto quiere decir que la función f nos ordena que a cada numero natural lo enviemos en el doble, entonces:
al numero 1 lo enviamos hacia el numero 2 ( que es 2·1)
al numero 2 lo enviamos hacia el numero 4 ( que es 2·2)
al 3 lo mandamos hacia el numero 2·3=6
al 4.....................> 8
5.........................>10
f(6) = 12
f(7) = 14
f(8) = 16
y=2x+6
x y
1 8
2 10
3 12
4 14
Si se toma un elemento x del conjunto A y se quiere denotar su asociado
"y" en B bajo la función f, se acostumbra escribir y = f (x), lo cual se lee
como "y es función de x". Cada vez que se sustituya un valor de x, se
obtendrá el correspondiente asociado, según la regla dada por la función.
Funciones también se muestran o describen en forma de tablas o gráficos
de la función. Una función de tabla es una tabla de pares ordenados
siguiendo la regla para esa función. Tablas de funciones puede estar
formado por un número infinito de pares ordenados. Una tabla de
funciones de la ecuación y = 2x + 6 se muestra a continuación.
58
Matemáticas II
Una vez que haya creado una tabla de funciones, se pueden
graficar los pares ordenados de la tabla en el plano de
coordenadas. Al graficar los valores en una tabla de función,
el valor de la variable de entrada es la coordenada x y el valor
correspondiente de la variable de salida es la coordenada. El
gráfico de la función y = 2 x + 6 se muestra aquí.
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano
cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la
función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores
algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano
cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la
representación gráfica de la función.
x
1
2
3
4
5
f(x)
2
4
6
8
10
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en un
punto O (0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su
perpendicular por O, eje de ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto
determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su
correspondiente imagen.
−1
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f que cumple que:
−1
Si f(a) = b, entonces f (b) = a.
59
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función
inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
-1
-1
fof =f of=x
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función,
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
y = 2x
x
y = 2x
0 1 2 3 4
0 2 4 6 8
Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje
de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la
recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
60
Matemáticas II
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la
recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Ejemplo:
Trazar la grafica de la ecuación y = 2x - 1.
Deseamos encontrar los puntos (x; y) de un plano coordenado que correspondan a las soluciones de la
ecuación. Es útil anotar las coordenadas de varios de tales puntos en una tabla, donde para cada x
obtenemos el valor de y para y = 2x - 1:
Y= 2(-3) – 1 Y= -6 – 1 y=-7
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-7
-5
-3
-1
1
3
5
Es evidente que los puntos con estas coordenadas se encuentran en una recta por lo que trazamos la
siguiente grafica:
Es imposible trazar toda la grafica del ejemplo, pues se pueden asignar valores a x tan grandes como se
desee. En general, el trazo de una grafica ha de ilustrar sus características esenciales, de manera que las
partes restantes (no dibujadas) sean evidentes.
Actividad 3.1
Representa las siguientes rectas:
y=2
y = −2
y=¾
x=−5
y=x
y = 2x
Función cuadrática
61
y = −2x – 1
y = ½x − 1
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Definición
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:
Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, obtenemos
siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy
sencillas:
f(x) = x2
f(x) = -x2
x
x
Intersección de la parábola con los ejes
x
Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el
punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)
x
Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0,
para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar
tres situaciones distintas:
i.
Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al
eje OX en dos puntos.
Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje
OX en un punto (que será el vértice).
Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje OX
ii.
iii.
Ejemplo:
2
Dibujar la grafica de la ecuación y = x - 3.
2
Al sustituir los valores de x y hallar los valores correspondientes de y con y = x - 3, llegamos a una tabla de
coordenadas con varios puntos de la grafica.
x
y
-3
6
-2
1
-1
-2
0
-3
1
-2
2
1
3
6
2
Y= (-3) -3 y= 9 -3 y= 6
62
Matemáticas II
Localizar los puntos dados por la tabla y dibujar una curva suave que pase por estos puntos nos da el
siguiente trazo:
La grafica anterior es una parábola, y el eje y es el eje de la parábola. El punto más bajo (0;-3) es el vértice de
la parábola y decimos que la parábola abre hacia arriba. Si invertimos la grafica, la parábola abre hacia abajo
y el vértice es el punto más alto de la grafica.
2
En general, la grafica de cualquier ecuación de la forma y = ax + c, a≠ 0 es una parábola con vértice (0; c)
2
que abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. Cuando c = 0, la ecuación se reduce a y = ax y el vértice
esta en el origen (0; 0). Las parábolas también pueden abrir a la derecha o a la izquierda o en otras
direcciones.
Actividad 3.2
Representa gráficamente las funciones cuadráticas:
y = −x² + 4x – 3
y = x² + 2
y = x² + 2x + 1
y = x² - 2
y = (x + 2)²
y = (x + 2)²
y = x² + x + 1
y = (x - 2)² + 2
Actividad 3.3
Representa las siguientes funciones, sabiendo que:
Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la función que define el coste de
los boquerones en función de los kilogramos comprados.
18/3 = 6
y = 6x
En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su
crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado
a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función de el tiempo
y representar gráficamente.
Altura inicial = 2cm
Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5
y= 0.5 x + 2
63
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la
ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y
represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?
y = 0.3 x +100
y = 0.3 · 300 + 100 = 190 € Representarlo en la grafica
Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 20 m/s. La altura, y, de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por: y = -5x2 + 20x + 80;
donde x es el número de segundos que han transcurrido desde el instante que se lanzó la bola.
a) ¿Qué altura alcanza la bola para x = 0, x = 2 y x = 5?
b) ¿Cuándo alcanzará el punto más alto? ¿A qué altura está ese punto?
c) Haz una representación gráfica que se aproxime a esta situación.
Se quiere construir un cercado rectangular con 30 m de valla metálica. ¿Cómo depende el área cercada de la
longitud del vallado? ¿Cuánto deben medir los lados del cercado para que la superficie delimitada sea
máxima?
Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. Las funciones que relacionan el espacio y el tiempo son, en
cada caso: Viajero: Sv = 400 t Tren: St = 500 + 30 t2 Representa las gráficas correspondientes. ¿Llega a
producirse el alcance? ¿En qué momento?
La distancia que un vehículo recorre a partir del momento en que se empieza a frenar depende del cuadrado
de la velocidad del vehículo, de acuerdo con la siguiente fórmula: d = v2/100 donde la velocidad v viene
expresada en km/h y d es la distancia recorrida en metros (distancia de frenado).
a) Si vas circulando a 90 km/h y pisas el freno, ¿qué distancia recorres hasta que se detiene el vehículo?
b) Si circulas en caravana y la distancia que te separa del vehículo que va delante de ti es de unos 100 metros,
¡cuál es la velocidad máxima a la que debes circular para evitar una colisión?
c) En autopistas y autovías la velocidad máxima para turismos es de 120 km/h, para camiones y vehículos mixtos
es de 100 km/h y para automóviles con remolque es de 80 km/h. ¿Cuál es la distancia de frenado para cada
uno de estos vehículos a esa velocidad?
64
Matemáticas II
Unidad 4
Probabilidad y estadística
Presentación
Continuamos con la formación en esta área, que inicia en el primer semestre de este plan de estudios,
donde se recapitulan los elementos de probabilidad y estadística. Para este momento, los alumnos ya han
madurado sus habilidades operacionales y asimiladas el concepto de función y su representación gráfica.
Utilizando estos elementos, se retoman los temas de probabilidad y estadística, para extenderlos en los
aspectos de modelación.
Objetivos
¾
Conocer y aplicar el concepto de variable aleatoria discreta.
¾ Conocer e interpretar el concepto de función de distribución de probabilidad .
Contenidos temáticos
9 Variables aleatorias
™ Definición de variables aleatoria;
™ tipos de variables aleatoria: discreta, continua
9
™
™
™
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria
valor esperado de una variable aleatoria,
varianza de una variable aleatoria,
distribución de probabilidad empírica; de una variable aleatoria discreta y de una variable aleatoria
continua,
™ distribución de probabilidad teórica; distribución binomial,
™ valor esperado en una distribución binomial.
Variable aleatoria
Definición
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número
real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y,...)
para designar valores concretos de las mismas.
65
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Ejemplo 1:
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C
a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:
= {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}
Definimos la variable aleatoria (v. a.) X como el número de caras, estamos asociando a
cada suceso un número, así:
X (CCC)=3
X (CCX)=2
X (XXC)=1
X (XXX)=0
Ejemplos
Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio
muestral será:
={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3)
(6,4) (6,5) (6,6) }
Definimos la variable aleatoria (v .a.) X como la suma de las puntuaciones, entonces
X ((1,1))=2
X ((3,4))=7
X ((2,6))=8
X ((5,6))=11
Las variables aleatorias las podemos clasificar en discretas, si pueda tomar un número finito o infinito
numerable de valores o continuas si dado un intervalo (a, b) la variable puede tomar todos los valores
comprendidos entre a y b.
Variable aleatoria discreta
Dada una variable aleatoria diremos que es discreta si toma un número finito o infinito numerable de
valores.
Ejemplos:
Sea el experimento consistente en lanzar dos dados al aire. El conjunto de posibles
resultados, esto es, el espacio muestral está formado por = {(i, j): i=1,2,...,6 j=1,2,...,6}.
Definimos la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones de los dos dados. La
variable así definida asocia a cada elemento de un número real
, X (i, j) = i+j. Claramente la
variable aleatoria así definida es discreta al tomar un número finito de valores, en concreto los naturales
comprendidos entre 2 y 36, ambos inclusive.
Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de vehículos, fabrica al
día 1000 motores de automóviles.
Definimos la v.a. X = "número de motores defectuosos".
X puede tomar como valor 0, 1, 2, 3, 4,...,1000.
Esta v.a. así definida es discreta.
66
Matemáticas II
Una urna contiene 10 bolas blancas y 10 negras. Se extrae una bola y se introducen 2
bolas del mismo color que se ha extraído. Se realiza el experimento indefinidamente.
Definimos la v.a. X = "número de bolas blancas que hay en la urna”.
La variable aleatoria así definida es discreta siendo su valor inicial 10 y pudiendo tomar como valor
cualquier natural mayor o igual que 10, en este caso hay un número infinito numerable de valores posibles.
Actividad 4.1
Resuelva los siguientes problemas en equipo
Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad,
x 1
2
3
4
5
P(x) 0,05 0,20 0,05 0,45 0,25
Comprobar que es una función de probabilidad.
Calcular P(x ≤ 3).
Calcular P(x > 3).
La tabla siguiente representa la distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria discreta (X, Y).
Determinar
Y \X
1
2
1
1/12 1/6
2
0
1/9
3
1/18
1/4
3
0
1/5
2/15
1. Calcular P(X = 2, Y = 1); P(X = 2); P (Y = 1) y P(X = 3|Y = 2).
2. Calcular E(X); E (Y) y Cov (X, Y).
Función de probabilidad
Dada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada
valor de la v.a.
P [X = xi]
Así si la v.a. X toma los valores x1,..., xi,..., xn la función de probabilidad asociada a cada xi una probabilidad
pi, verificándose siempre que pi = 1
Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz,
el espacio muestral será: = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}
67
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P [X =
0]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P [X = 1]= 3/8, en tres casos hay dos caras P
[X = 2]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P [X = 3]= 1/8.
Resumido:
Función de distribución
Dada X v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a
tal que
Si suponemos ordenados de menor a mayor los valores que toma la v.a. x0, x1,..., xi,..., xn entonces
.
Propiedades:
x
x
x
x
La función de distribución toma valores comprendidos entre 0 y 1.
Para todo x < x0 F(x) = 0, siendo x0 el menor de los valores que toma la v.a. X
Para todo x > xn F(x) = 1, siendo xn el mayor valor que toma la v.a. X.
F(x) es una función creciente (x < y => F(x) F(y) )
Dados x < y
- Si la v.a. no toma ningún valor entre ambos F(x)=F(y)
- Si la v.a. toma algún valor entre ambos, supongamos que tomase k valores xi+1,...,xi+k ( cada P[
X = xj ] ≥ 0 con j=i+1,...,yak ) entonces
F(y) = F(x) + P[ X = xi+1 ]+ P[ X = xi+2 ]+...++ P[ X = xi+k ] y consecuentemente F(y) ≥ F(x).
Ejemplo:
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz,
el espacio muestral será:
= {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}.
68
Matemáticas II
Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras y estudiemos su función de distribución.
Si x<0
Si
Si
Si
Si
Gráficamente
En resumen
0
si
x<0
(1/8)
si
0≤x<1
(1/2)
si
1 ≤ x <2
(7/8)
1
si
si
2 ≤ x <3
x≥3
Media y desviación estándar de una distribución de probabilidad para
variables discretas
En una *a href* distribución de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando la fórmula
, la cual puede expresarse como
Considerando la definición de probabilidad de un evento, P(X) es el cociente de la frecuencia entre el
número total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia), por lo que la media de una distribución
de probabilidad de una variable discreta es:
Por ejemplo: Consideremos la variable X del ejemplo de águilas observadas en dos lanzamientos de
monedas. Es decir, X tal que su distribución de probabilidad sea:
X
P(X=x)
0
¼
1
½
69
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
2
¼
Entonces, para calcular su media m se realiza:
Ejemplo:
Un jugador de dardos tiene probabilidad 0.2 de obtener 5 puntos al lanzar, una probabilidad de 0.25 de
obtener un 10, 0.15 de obtener 50 puntos y 0.4 de obtener 20 puntos. Si consideramos la variable aleatoria
puntuación ¿Cuál es su esperanza?
La variable aleatoria X toma los valores 5, 10, 20, 50 con probabilidades respectivas 0.2, 0.25, 0.4, 0.15, es
claro que se trata de una v.a. discreta.
E [X]= 5·0.2 + 10·0.25 + 20·0.4 + 50·0.15 = 1 + 2.5 + 8 + 7.5 = 19 puntos
Similarmente, la *a href* varianza se definió como
anterior tenemos que
, y haciendo un tratamiento análogo
Para que, finalmente, la varianza de una distribución de probabilidad de una variable discreta sea:
Consecuentemente, la desviación estándar de una distribución de probabilidad de una variable discreta es:
Por ejemplo: Considerando la misma distribución de probabilidad que en el ejemplo anterior, su desviación
estándar se calcula:
Actividad 4.2
Resuelva los siguientes problemas en equipo
70
Matemáticas II
Se lanza una moneda tres veces; sea X el número de caras obtenidas. Hallar la función de probabilidad y de
distribución de X.
El numero medio de personas que acuden a un local es de 1000 con una desviación típica σ= 20. ¿Cuál es el
número de sillas necesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, con una probabilidad
de 0,75?
Variable aleatoria continúa
Sea X una v.a. diremos que es continua cuando toma un número infinito no numerable de valores, es el caso
de los intervalos de R o todo R.
Ejemplos:
Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de bombillas, para ello se define
la v.a. X="duración de una bombilla”. La v.a. así definida es una variable continua pues puede tomar
cualquier valor mayor que 0.
Una empresa dedicada a la confección de pantalones de caballero ha determinado que la cintura
de los varones en una determinada localidad oscila entre 70 cm y 130 cm. La v.a. X= "medida de
la cintura de un varón" puede tomar cualquier valor comprendido entre 70 y 130 cm. Toma por
tanto un número infinito no numerable de valores, X es una v.a. continua.
Una panificadora desea conocer qué peso tienen las barras de pan. La máquina fabrica
piezas con pesos comprendidos entre 225 gr. y 275gr. La v.a. X= "Peso de una barra de pan"
es continua, tomando valores en el intervalo [225, 275].
Actividad 4.3
Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad f(x) = a (1+x2) si x 2 (0, 3) y
f(x) = 0 en los demás casos. Se pide:
1. Hallar a y la función de distribución de X.
2. Hallar la probabilidad de que X este comprendido entre 1 y 2.
3. P(X < 1).
4. P(X < 2|X > 1).
5. Calcular P (|X − μ| _ k _), con k = 2.
Ejercicios de distribuciones discretas
Ejemplo
Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de
2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las
puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la
varianza.
Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros
como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como
marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del
juego.
Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no
aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.
Valor esperado de una variable aleatoria.
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una presentación a
otra, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos
correspondientes a cada posible resultado de un experimento aleatorio.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor
posible, y estas probabilidades deben sumar 1.
Valor esperado de una variable aleatoria….
El valor esperado es una idea fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, se multiplica cada valor que la variable
puede tomar por la probabilidad de presentación de ese valor y luego se suman esos productos. Es un
promedio pesado de los resultados que se esperan en el futuro. El valor esperado pesa cada resultado
posible con respecto a la frecuencia con que se espera se que presente. En consecuencia, las presentaciones
más comunes tienen asignadas un peso mayor que las menos comunes.
El valor esperado también puede ser obtenido a partir de estimaciones subjetivas. En ese caso, el valor
esperado no es más que la representación de las convicciones personales acerca del resultado posible.
En muchas situaciones, encontraremos que es más conveniente, en términos de los cálculos que se deben
hacer, representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de una manera algebraica. Al
hacer esto, podemos llevar a cabo cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores numéricos
directamente en una fórmula algebraica.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Las características de esta distribución son:
a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de
resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc., etc., denominados
arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del
éxito).
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no
cambian.
c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.
72
Matemáticas II
d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.
A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una fórmula que nos permita cualquier problema que
tenga este tipo de distribución.
Ejemplo:
Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.
Solución:
Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un
problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de
un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello,
cuantas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los
demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.
Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde
representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la
probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.
A = Aguila, S = sello
A
A
A
½
S
A
S
S
1/2
A
A
S
B
S
A
B
G=^AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA, SSS`
Para obtener la fórmula, definiremos lo siguiente:
n = número de lanzamientos de moneda
x = número de “éxitos” requeridos = número de águilas = 2
p = probabilidad de “éxito”= p (aparezca águila) =1/2
q = probabilidad de “fracaso”= p (aparezca sello) =1/2
Entonces podemos partir de la siguiente expresión para desarrollar la fórmula;
P (aparezcan 2 águilas) = (No. De ramas del árbol en donde ap. 2 águilas) (probabilidad asociada a cada
rama)
73
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Entonces el número de ramas en donde aparecen dos águilas se puede obtener;
Enumerando las ramas de interés, estas serían: AAS, ASA, SAA, ¿QUÉ TIPO DE ARREGLOS SON ESTOS
ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL?, Son permutaciones en donde algunos objetos son iguales, entonces,
el número de ramas se puede obtener con la fórmula correspondiente,
Donde n = x1+x2+...+xk
Sustituyendo en esta fórmula, tenemos lo siguiente;
Esta fórmula puede ser sustituida por la de combinaciones, solo en el caso de dos tipos de objetos, si hay
más de dos tipos de objetos, definitivamente solo se usa la fórmula original, como se observará en el caso
de la distribución multinomial, pero ¿por qué vamos a cambiar de fórmula?, simplemente porque en todos
los libros de texto que te encuentres vas a encontrar la fórmula de combinaciones en lugar de la de
permutaciones, que es la siguiente, y sustituyendo valores, nos damos cuenta de que efectivamente son 3
las ramas de interés, que son donde aparecen dos águilas, donde n = 3, x = 2.
¿Y la probabilidad asociada a cada rama?
2
Probabilidad asociada a cada rama = p (águila)*p (águila)*p (sello)= p*p*q = p q=
=
Luego la fórmula de la distribución Binomial sería:
Donde:
p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de éxito es p
Dando solución al problema de ejemplo tenemos lo siguiente:
n = 3, x = 2, p = ½
Para calcular la media y la desviación estándar de un experimento que tenga una distribución
Binomial usaremos las siguientes fórmulas:
74
Matemáticas II
Media o valor esperado.
Donde:
n = número de ensayos o repeticiones del experimento
P = probabilidad de éxito o la probabilidad referente al evento del cual se desea calcular la media
que se refiere la media
Q = complemento de P
Desviación estándar.
Ejemplos:
Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de
tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se
atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c)
tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.
Solución:
a) n = 5
x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p (éxito) = p (un accidente se deba a errores humanos) = 0.75
q = p (fracaso) = p (un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
b)
c) En este caso cambiaremos el valor de p;
n =5
x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos
p = p (probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25
q = p (probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75
Ejemplo:
Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de
presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de
75
BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se
condense en exactamente 5 tubos.
Solución:
a) n =12
x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa
x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa
p =p (se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40
q = p (no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60
= 0.21284
b) p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1->p(x=0,1,2)@=
= 1->0.002176+0.0174096+0.06385632@= 1- 0.08344192= 0.91656
c)
= 0.22703
VALOR ESPERADO
El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde
hace muchos años este concepto ha sido aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos
veinte años ha sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en condiciones de
incertidumbre.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que ésta puede
asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos. Es un promedio
ponderado de los resultados que se esperan en el futuro.
Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un conjunto finito de números en
uno infinito como: los naturales, los enteros o los racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los
siguientes valores:
X = 0, 1, 2, 3,… decimos que es discreta la probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada
por la función de probabilidad:
P(X = i), para i = 0, 1, 2, 3,...;
Sea P(X = i) = pi para i = 0, 1, 2, 3,... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1
Ejemplo
Una tienda de artículos electrónicos vende un modelo particular de computadora portátil. Hay sólo cuatro
computadoras en el almacén, y la gerente se pregunta cuál será la demanda el día de hoy para este modelo
particular. El departamento de mercadotecnia le informa que la distribución de probabilidad para x, la
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Matemáticas II
demanda diaria para la computadora portátil, es la que se proporciona en la tabla. Determine la media,
varianza y desviación estándar de x. ¿Es probable que cinco o más clientes quieran comprar una
computadora portátil hoy?
X
0
1
2
3
4
5
p(x) 0,10 0,40 0,20 0,15 0,10 0,05
Solución
En la tabla se dan los valores de x y p(x), junto con los términos individuales usados en las fórmulas para μ y
s2, la suma de los valores en la tercera columna es
μ = _xp (x) = (0) (0,10) + (1) (0,40) +… + (5) (0,05) = 1,90
X
0
1
2
3
4
5
Totales
p(x)
0,10
0,40
0,20
0,15
0,10
0,05
1,00
TABLA
2
2
xp(x) (x -μ)
(x -μ) p(x)
0,00
3,61
0,361
0,40
0,81
0,324
0,40
0,01
0,002
0,45
1,21
1,1815
0,40
4,41
0,441
0,25
9,61
0,4805
2
μ = 1,90
σ = 1,79
La suma de los valores en la quinta columna es
2
2
2
2
2
σ = _(x -μ) p(x)= (0 -1,9) (0,10) + (1 - 1,9) (0,40) +,.. + (5 - 1,9)2(0,05) = 1,79 y σ= σ = 1.79 = 1,34
Como la distribución se aproxima a una forma de campana, entonces alrededor de 5% de las mediciones
deben quedar dentro de un intervalo de dos desviaciones estándar respecto de la media, es decir, μ ± 2σ =
1,90 ± 2(1,34) o, -0,78 a 4,58 A partir de este resultado, usted puede decir que es improbable que cinco o
más clientes quieran comprar una computadora portátil hoy. En efecto, el valor x = 5 queda a
(5 1,90)/1,34 = 2,3 desviaciones estándar por arriba del valor esperado o promedio, μ.
ACTIVIDAD 4.4
Resolver en equipo los siguientes problemas
Cinco pelotas numeradas, con 1, 2, 3, 4 y 5, se encuentran en una urna. Se sacan 2 pelotas al azar de las
cinco y se anotan sus números. Encuentre la distribución de probabilidad para la variable aleatoria X = suma
de los puntos.
La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento gástrico es 0.8.
Supóngase que 20 personas han contraído tal afección.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 16 sobrevivan?
d) ¿Se distribuye binomialmente la variable aleatoria?
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BEA. Bachillerato de Educación para Adultos
Según los resultados oficiales de la última elección, 60% de los habitantes del municipio votaron
por el PRI; un grupo de investigadores dice que eso es falso, para confirmarlo, realizan un
muestreo aleatorio de los votos emitidos. Si el tamaño de la muestra es 20, de los cuales 8 son a
favor del PRI; ¿será evidencia suficiente para afirmar que no votó el 60% por PRI, sino menos?
Un proceso de producción opera con un porcentaje de deficiencia de 10%, los artículos los
empaca en cajas de 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en las cajas no haya ningún artículo
defectuoso?, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de un artículo defectuoso?
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Matemáticas II
Bibliografía
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ZUCKERMAN, Martin M. Algebra y trigonometría simplificada. México: Limusa, 1993,
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MATERIAL DE TRABAJO RECOLECTADO Y REALIZADO POR:
Profesor Efraín Álvarez Chávez
DR.ROBERTO RODRIGUEZ NAVA
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