análisis del efecto de tamaño de probeta en la resistencia a

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17 al 19 DE SEPTIEMBRE, 2008 PUEBLA, MÉXICO
ANÁLISIS DEL EFECTO DE TAMAÑO DE PROBETA EN LA
RESISTENCIA A LA TRACCIÓN UTILIZANDO DISTRIBUCIÓN DE
WEIBULL.
Terán Guillén, J., Fabela Gallegos M.J., Del Valle Moreno A., Pérez Quiroz J.T., Torres Acosta A.
Instituto Mexicano del Transporte
Apartado Postal 1098
76000 Querétaro, Qro.
Teléfono: (442) 2-16-97-77. Fax: (442) 2-16-96-71.
e-mail Jorge.Teran@imt.mx
RESUMEN
Una dificultad práctica en la determinación experimental de propiedades mecánicas es obtener probetas estándar del
material. El caso particular de tubos de pared delgada, la dimensión del espesor obliga a preparar probetas miniatura,
cuyos resultados deben ser validados respecto a las probetas estándar. Con el propósito de determinar el efecto del
tamaño de probeta sobre la resistencia a la tracción como propiedad mecánica, se realizó un análisis estadístico
aplicando la distribución Weibull de dos parámetros. Los resultados mostraron concordancia con resultados
experimentales al utilizar probetas estándar y miniatura obtenidas de un tubo de 25,4 mm de espesor. El análisis
mostró que las probetas miniatura presentan valores de resistencia última más altos en un 2,64% que las estándar, así
como un mayor coeficiente de variabilidad, con un 2,51% respecto a un 0,67% de las estándar. Por tanto, la
aproximación de Weibull describe y predice el efecto de tamaño en la resistencia a la tracción.
ABSTRACT
A common difficult in practice mechanical properties is to obtain material standard test specimens. In thin wall, the
short dimension leads to use reduced test probes, and the results have to be validated with respect the standard size
probes. In order to determine the effect of the specimen size on the tension strength, a statistical analysis employing a
two parameters Weibull distribution was performed. The obtained results showed good agreement with the
experimental data, when using standard and miniature probes taken from a 25 mm in thickness pipe. The analysis
showed that the miniature probes have higher values of tension strength than the standard ones (up to 2,64%), and
higher variability coefficient, 2,51% for the miniatures and 0,67% for the standards. Therefore, the two parameters
Weibull distribution can be used to describe and predict the effect on the tension strength.
NOMENCLATURA
Ф
Diámetro de probeta de tracción
E
Módulo de Young
x
Valores promedios para la prueba de tracción
Desviación estándar
s
ν
σYS
σUTS
Relación de Poisson = 0,3
Punto de fluencia al 0.2%
Resistencia última
%
Porcentaje de elongación
C.V.
Coeficiente de variación
F
V1
V2
m
Probabilidad acumulativa de Weibull
Volumen de la probeta miniatura
Volumen de la probeta estándar
Parámetro de forma de Weibull
û
ŝ
Parámetro de Escala de Weibull
Media de la distribución de Weibull
Desviación estándar de Weibull
σ0
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INTRODUCCION
En elementos mecánicos fabricados de un solo material es común considerar, desde un punto de vista de diseño, una
homogeneidad adecuada en sus propiedades mecánicas. Sin embargo, en la práctica puede resultar que los
tratamientos termomecánicos afecten dichas propiedades, de manera que haya propiedades dependientes de la
dirección. Esta situación se vuelve particularmente importante cuando el elemento ya ha sido fabricado y se deben
determinar sus propiedades para garantizar su funcionamiento adecuado en operación. De la misma manera, es
importante determinar las propiedades como parte de los procesos de análisis de fallas o estudios de confiabilidad
asociados a esa operación.
En el caso de tubos de pared delgada, esta condición se hace patente con la necesidad de determinar propiedades
mecánicas como la resistencia a la tracción o la tenacidad a la fractura en la dirección del espesor. La imposibilidad
de obtener probetas de dimensiones estándar complica el proceso de obtención de las propiedades, ya que
únicamente se puede disponer de probetas reducidas. No obstante, los resultados de los ensayos en probetas
miniatura tienen que ser validados con base en resultados de probetas estándar[1].
Una forma de atacar la necesidad de validación de los resultados, es bajo una perspectiva estadística en la que se
apliquen funciones especiales para determinar la confiabilidad de los resultados. Tal es el caso de la aplicación de la
distribución de Weibull[3,4,5], que puede utilizarse para estudiar el efecto de tamaño y variabilidad en las propiedades
mecánicas, bajo la suposición de que las propiedades están relacionadas con los defectos del material distribuidos
aleatoriamente. Esto implica, que el promedio de las propiedades mecánicas disminuirán cuando el volumen de la
muestra se incremente, debido a la mayor cantidad de material, el cual tendrá mayor posibilidad de contener un
defecto mucho mayor que uno de menor tamaño.
El objetivo de este trabajo es determinar el efecto de tamaño de probetas en las propiedades en tracción utilizando la
distribución de Weibull. Esto, considerando la importancia de determinar las propiedades mecánicas en tracción de
los materiales como un paso preliminar para estimar otras propiedades de mayor aplicabilidad como es la tenacidad a
la fractura. Para esta determinación se toma como base la norma ASTME-8[2], relacionada con el comportamiento
mecánico en ensayos normalizados.
MATERIALES Y MÉTODOS
El material utilizado en esta investigación fue un acero tipo API-5L en forma de placa curva que proviene de una
sección de tubo de 609,6 mm de diámetro y 25,4 mm de espesor, cuya composición química obtenida por absorción
atómica se muestra en la Tabla I.
%C
%P
0,080
TABLA I. Composición química del acero empleado en la experimentación.
%S
%Mn
%Si
%Cu
0,029
0,010
1,48
0,25
0,009
%Ca
0,0018
Las propiedades mecánicas en tracción se presentan en la Tabla II. Estas propiedades se obtuvieron de pruebas de
tensión uniaxial, tanto en probetas estándar como miniatura, en una máquina servohidráulica Instron® 8503 de 500
kN de capacidad y con celdas de carga intercambiables de 100 kN y 10 kN. Las pruebas en tracción se realizaron en
control de carga a una velocidad de 7 MPa/s y la longitud inicial para medir la elongación fue de 5 veces el diámetro
de la probeta.
La Figura 1 muestra la geometría de las probetas normalizadas y miniatura para los ensayos de tracción. Se
obtuvieron 5 probetas por cada tamaño y orientación.
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Tabla II. Propiedades mecánicas en tracción del acero empleado en la experimentación API-5L en la dirección
Longitudinal (L) y Circunferencial (C).
Orientación de
Ф
las Probetas
(mm)
(MPa)
n
σUTS
σYS
(MPa)
E
x
s
%
C.V.
x
%
Elongación
(MPa)
s
%
C.V.
x
s
%
C.V.
x
s
% C.V.
Lstd
9
5
202031
1117
0,55
394
3,41
0,87
521
3,65
0,70
28
0,91
3,25
Cstd
9
5
214731
3234
1,51
427
3,87
0,91
538
1,81
0,34
27
1,81
6,70
Lmini
3
5
185756
5003
2,69
442
28,12
6,36
533
5,87
1,10
21
3,89
18,52
Cmini
3
5
206767
9644
4,66
443
41,98
9,48
542
15,99
2,95
20
4,42
22,10
Figura 1. Geometría y dimensiones de las probetas de tracción.
Metalografía
Para la metalografía se cortó una muestra de la placa en las tres direcciones, se montó en baquelita y se pulieron a espejo
sus superficies siguiendo el procedimiento de preparación metalográfica. La Figura 2 muestra la microestructura del
acero API-5L utilizado para el estudio. En la dirección longitudinal y transversal se observa una estructura bandeada de
perlita fina en una matriz ferrítica; mientras que en la dirección del plano de laminación la microestructura muestra una
distribución poco uniforme de perlita.
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Figura 2. Microestructura del Acero API-5L tomada en las diferentes orientaciones de la placa. En la dirección corta (S)
muestra una estructura bandeada de perlita fina y ferrita.
Análisis de Weibull
La distribución de Weibull se aplica tanto para fatiga como a la resistencia en tracción. Existen dos formas muy
conocidas de esta distribución, denominadas como de dos y de tres parámetros. La distribución de Weibull para
defectos volumétricos se expresa como sigue[5]:

 1
F = 1 − exp −
 V0

m


σ − σ µ 

 dV 
 σ0 

V

∫
(1)
En la expresión anterior, σ representa el esfuerzo último, σµ el esfuerzo umbral debajo del cual no ocurre la falla, σ0
la resistencia característica definida como el esfuerzo en el cual la probabilidad de falla, F, es 63,2% y V0 el volumen
en el cual σµ y σ0 son determinados. Los parámetros m, σ0 y σµ son de forma, escala y posición o umbral,
respectivamente.
La ecuación (1) implica que la resistencia a la tracción se incrementa cuando el volumen disminuye. Si la
probabilidad de falla de dos muestras de tensión uniaxial con diferente volumen, V1 y V2, se obtiene la siguiente
relación:
1
 V1

 V2
m σ f 2 −σ µ
 = 
 σ −σ

µ
 f1




(2)
Aquí, σf1 y σf2 son la resistencia a la tracción a una probabilidad dada. Esta ecuación implica que el material con bajo
modulo de Weibull que exhiba resistencia a la falla es particularmente sensible a un cambio de volumen.
La distribución de Weibull de tres parámetros es adecuada cuando un valor extremo no puede tomar valores menores
a σµ. Cuando σµ=0 en la ecuación (1) se obtiene la forma de dos parámetros en la función de distribución de Weibull.
La función de distribución en este caso puede entonces reescribirse como sigue:
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
 1
F = 1 − exp −
 V0

m

σ 

  dV 
σ 0 

V

∫
(3)
En el contexto de este estudio, F, representa la probabilidad que la resistencia a la tracción sea igual o menor que σ.
Los parámetros σ0 y m de la función de distribución F son estimados a partir de los resultados de la prueba de
tracción en as observaciones y se necesita construir la gráfica de Weibull para obtenerlos, para eso los datos se
clasifican del menor al más alto valor. Posteriormente, a cada valor se asigna aproximadamente una probabilidad de
acuerdo a su clasificación, como sigue:
F=
(i − 0,3)
(n + 0,4)
(5)
En esta expresión, i representa el valor individual de la muestra y n el número total de muestras.
Los métodos para determinar los parámetros de Weibull son:
a) Regresión lineal
b) Máxima probabilidad o verosimilitud
c) Momentos.
El método de regresión lineal es el más sencillo, pues se puede ajustar la línea de predicción utilizando algún
software comercial. En este trabajo se utilizó ese método.
Método de la regresión lineal
Para aplicar la regresión lineal a los datos, previamente se aplicó doblemente la función de logaritmo natural a ambos
miembros de la ecuación 3 con el propósito de aproximar los datos al gráfico de una línea. Una vez aproximados, se
aplicó el modelo de regresión lineal, en la forma de y=mx+b, de lo cual se obtiene:
  1 
ln ln
 = m ln(σ ) − m ln(σ 0 )
  1 − F 
(6)
De este modelo y con base en el método de mínimos cuadrados a los pares de valores (x,y) = ln[ln(1/1-F)] para el
modelo de la ecuación 6, se obtienen los parámetros para m y σ0.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Tracción Uniaxial
Los resultados muestran diferencias entre los esfuerzos de fluencia y resistencia última en las direcciones L y C de
las probetas estándar. Se encontró que el promedio del esfuerzo de fluencia en la orientación C fue 8,4% mayor que
en la orientación L y la resistencia última en la orientación C fue 3,26% mayor que en la orientación L. Comparando
los valores del límite elástico entre probetas miniatura con probetas estándar en la orientación L, las probetas
miniatura fueron 12% más altos que en las estándar. Respecto a la orientación C, no hubo diferencias significativas
entre los dos tamaños de probeta. Es interesante observar que las diferencias entre los valores de esfuerzo de fluencia
y resistencia última para las direcciones L y C, son mayores entre las probetas miniatura que entre las estándar.
Al comparar el efecto de tamaño en las propiedades de tracción uniaxial se observa que las probetas miniatura
tienden a presentar valores más altos que en las probetas estándar. Probablemente, la probeta miniatura tiene menor
volumen y menos defectos cristalinos que hacen que se “sature“ de dislocaciones. Por consiguiente, al disminuir la
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distancia promedio entre las dislocaciones se incrementa la interacción entre ellas y al tener menos defectos se
reduce la movilidad de las dislocaciones. Lo anterior se refleja en un mayor endurecimiento por deformación y, por
lo tanto, mayor resistencia.
En la orientación longitudinal, la probeta de menor tamaño tiene una resistencia mecánica del 10 al 13% mayor que
la estándar. Cabe destacar que la comparación de los resultados obtenidos aquí con los de un estudio similar
realizado en acero 1020[6], muestran concordancia, en el sentido que las propiedades mecánicas se incrementan en los
especimenes más pequeños con respecto a los especimenes más grandes.
En general, las probetas miniatura presentaron mayor dispersión en los valores de las propiedades evaluadas, como
se refleja en los altos coeficientes de variación. Esta dispersión se explica por el efecto combinado de la orientación
de la microestructura y el tamaño relativo de inclusión, definido como la razón del tamaño promedio de inclusión
con respecto al radio total de la probeta.
En resumen, la variación de las propiedades mecánicas en las distintas orientaciones se atribuye al efecto de la
anisotropía direccional, debido a la orientación relativa de la perlita bandeada y las inclusiones con respecto a la
dirección de la deformación principal y el plano de fractura[7]. Probablemente en las probetas miniatura la anisotropía
direccional es más significativa por el menor tamaño de la sección transversal.
Análisis de Weibull
Los resultados de los ensayos de tracción fueron analizados utilizando dos parámetros para ajustar la distribución de
Weibull. El ajuste de dos parámetros describe los datos de resistencia de una manera más simple y permite
directamente comparar los materiales metálicos porque supone que σµ =0 (no se tiene un esfuerzo de falla mínimo).
En las figuras 3-6 se muestran las gráficas de probabilidad de las probetas ensayadas. En la figura 3 se comparan las
probetas estándar. Por ejemplo, al considerar el 90 % de probabilidad, se observa que la resistencia a la tracción es
mayor en la orientación circunferencial que la longitudinal, y el intervalo de confianza en la orientación longitudinal
es más amplio que la orientación circunferencial. De la misma manera, en las figuras 4y 5 se tiene mayor
probabilidad de que las probetas miniatura tengan mayor resistencia que las probetas estándar, aunque los intervalos
de confianza son mas amplios en las miniatura que las probetas estándar.
Por último, la comparación entre las probetas miniatura, la orientación longitudinal probablemente sea menos
resistente que la circunferencial, a pesar que se observa mayor intervalo de confianza en ésta última. En la Tabla III
se resumen los parámetros m, σ0 , media y desviación estándar de la distribución de Weibull. La Tabla muestra que
las probetas miniaturas tienen en promedio una resistencia a la tracción de 2,64% mas altas que las probetas
estándar, de la misma manera, el coeficiente de variación es de 2,51% para las probetas miniaturas y de 0,67% para
las probetas estándar
El efecto de tamaño y, por tanto, la presencia de defectos distribuidos en el volumen, se observa al comparar dos
probetas de diferente tamaño en la misma orientación. La relación de volumen entre la probeta estándar y miniatura
es en promedio de 72 veces. La reducción de la resistencia en las probetas estándar se puede estimar al utilizar la
ecuación 2 y utilizando las propiedades de la probeta miniatura. Por ejemplo, si se toma la probeta miniatura en la
dirección longitudinal, sus parámetros de Weibull son m=90,61 y σ0= 536,32 MPa. Si se designa la resistencia
característica de las probetas estándar como σ02, el volumen de la probeta miniatura como V1 y el tamaño estándar V2,
se puede estimar de la ecuación 3 la forma de dos parámetros como:
1
σ0 2 µ
 V m
=  1  (σ 01 ) = 511,59 MPa
 V2 
Por consiguiente, se espera un incremento en el volumen por un factor de 72 para producir una reducción en la
resistencia de 24,72 MPa. Los resultados experimentales reportados en la tabla II, indican que la reducción en σ0 fue
12 Mpa. El error involucrado en calcular los parámetros de Weibull con número de ensayos pequeños es claro. Sin
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embargo, corresponden a un valor que muestra la tendencia a la disminución en la resistencia en las probetas
estándar, respecto de las probetas miniaturas. Por otro lado, la tabla III muestra también que el parámetro de forma es
mayor que 2. Un valor de m<1 indica que el material tiene una rapidez decreciente de falla., un valor de m = 0 indica
una rapidez de falla constante y un valor de m>1,0 indica una rapidez creciente de falla. El valor de σ0, calculado
como el punto que intercepta el eje Y. Por consiguiente, m= 90,61 indica que el material tiende a fracturar con una
probabilidad más alta por cualquier unidad de incremento de tensión aplicada..
Tabla III. Parámetros de Weibull- 2 Parámetros
m
σ0
û
ŝ
% C.V.
140.007764
523.147458
521.016881
4.74820913
0.91133499
297.618924
538.601871
537.563277
2.31090695
0.42988557
90.6154804
536.322179
532.969791
7.48386238
1.40418135
34.7094053
549.721348
541.019245
19.590876
3.6211052
Probeta
Lstd
Cstd
Lmini
Cmini
Gráfica de probabilidad de Lstd y Cstd
2- Parámetros Weibull - 95% CI
99
Probabilidad a la ruptura
90
80
70
60
50
40
30
● Lstd
■ Cstd
20
10
5
3
2
1
500
510
520
530
Resistencia última ( MPa)
540
Figura 3. Gráfica de probabilidad donde se comparan la orientación en probetas estándar.
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Gráfica de Probabilidad de Lstd y Lmini
2 Parámetros Weibull - 95% CI
99
Probabilidad a la ruptura
90
80
70
60
50
● Lmini
■ Cmini
20
10
5
2
1
490
500
510
520
530
540
Resistencia última (MPa)
550
560
Figura 4. Gráfica de probabilidad donde se comparan el tamaño de las probetas en la orientación longitudinal.
Gráfica de probabilidad de Cstd y Cmini
2 -Parámetros Weibull - 95% CI
99
Probabilidad a la ruptura
90
80
70
60
50
40
● Cstd
■ Cmini
30
20
10
5
3
2
1
450
500
550
Resistencia última (MPa)
600
Figura 5. Gráfica de probabilidad donde se comparan el tamaño de las probetas en la orientación circunferencial.
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Gráfica de probabilidad de Lmini y Cmini
2-parámetros Weibull - 95% CI
99
● Lstd
■ Lmini
Probabilidad a la ruptura
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
3
2
1
450
500
550
Resistencia última (MPa)
600
Figura 6. Gráfica de probabilidad donde se comparan la orientación en probetas miniatura.
CONCLUSIONES
En elementos mecánicos como tubos de pared delgada, donde el espesor es una dimensión sumamente pequeña
comparada con la longitud y diámetro, es necesario utilizar probetas de dimensiones diferentes a las estandarizadas.
Esto provoca diferencias en las propiedades mecánicas de acuerdo a la dirección de prueba, mostrando con ello
condiciones de anisotropía.
El análisis de Weibull mostró concordancia con los resultados experimentales en el sentido que las probetas
miniatura muestran la tendencia de tener los valores de resistencia a la tracción y coeficiente de variación más altos
que las probetas estándar.
La determinación del efecto del tamaño se puede obtener estadísticamente, utilizando el modelo de distribución
Weibull. No obstante el pequeño número de muestras utilizadas y el error respectivo asociado, este ejercicio permite
ver las ventajas de análisis de ese tipo de efectos, mostrando en este caso la predicción de la resistencia a la tracción
cuando se presenta un efecto de tamaño de probeta. Esta función puede ser extendida a otros parámetros
representativos de la calidad del material, cuyo efecto incida en las propiedades mecánicas o en la funcionalidad de
los elementos fabricados.
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ISBN 978-968-9773-03-8
636
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